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title: "Electromagnetismo covariante"
book: "Física universitaria — tercer año"
subject: physics
language: es
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/6-electromagnetismo-covariante
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# Capítulo 6 — Electromagnetismo covariante

Un hilo de cobre transporta diez amperios. Sus electrones derivan a una décima de milímetro por segundo — más despacio que un caracol — y el hilo es eléctricamente neutro con una precisión fantástica. Y, sin embargo, una carga que se mueve a su lado siente una atracción medible. Vista desde el sistema propio de esa carga, la explicación “magnética” se evapora: la carga está en reposo, y una carga en reposo no siente fuerza magnética alguna. Lo que tira de ella, en ese sistema, es un campo *eléctrico* — conjurado por la propia relatividad, porque la [contracción de las longitudes](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/4-cinematica-relativista#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) desequilibra, en una parte en $10^{24}$, las dos corrientes de carga del hilo. El magnetismo es la electricidad vista desde un asiento en movimiento. Este capítulo reescribe el electromagnetismo del volumen del Año 2 en el lenguaje de los tres capítulos anteriores: [cuadrivectores](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) para la carga y el potencial, un único tensor antisimétrico que mantiene unidos $\vect E$ y $\vect B$, y las cuatro ecuaciones de Maxwell colapsadas en dos líneas que se leen igual en todo [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/4-cinematica-relativista#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates). Más allá de la elegancia, el provecho es física en acción: cómo se transforman los campos, por qué el campo de una carga rápida se aplana en una tortita y por qué la luz de un electrón relativista barre hacia delante como un faro — el principio de las fuentes de luz de sincrotrón que hoy radiografían proteínas y baterías.

## 6.1 Cuadrivectores para la carga y la corriente

**Definición 6.1 (Cuadrivectores).**

Un *cuadrivector* es una cuaterna $a^\mu = (a^0, \vect a)$, $\mu =
0, 1, 2, 3$, cuyas componentes se mezclan bajo un cambio de sistema exactamente como lo hacen las de $(ct,
\vect r)$:

$$
a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad
a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad
a'^{2,3} = a^{2,3}
$$

para un cambio a $\beta c$ según $x$. Dos cuadrivectores cualesquiera dan el producto escalar invariante $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$, el mismo número en todo sistema — el patrón que hay detrás de $c^2t^2 - x^2$ y de $E^2 - p^2c^2$. La posición $(ct, \vect r)$ y el [cuadrimomento](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/5-dinamica-relativista#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) $(E/c, \vect p)$ son los dos que ya tenemos; el electromagnetismo aporta ahora tres más: corriente, potencial y vector de onda.

**Proposición 6.2 (La cuadricorriente y la conservación de la carga).**

La densidad de carga $\rho$ y la densidad de corriente $\vect\jmath$ forman la cuadricorriente

$$
J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) :
$$

una nube de carga de densidad propia $\rho_0$ que se mueve con velocidad $\vect u$ tiene $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ — la densidad crece en $\gamma_u$ porque el volumen de la nube se contrae, mientras que la carga misma es invariante (un hecho experimental decisivo: los átomos con electrones internos rápidos siguen siendo exactamente neutros). La conservación de la carga es el enunciado invariante

$$
\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} +
\operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,
$$

la ecuación de continuidad del volumen del Año 2, ahora visiblemente la misma ley para todos los observadores.

**Demostración parcial.** La nube en movimiento: una caja de volumen propio $V_0$ contiene la carga $\rho_0
V_0$; en el laboratorio la caja está contraída a $V_0/\gamma_u$, luego $\rho =
\gamma_u\rho_0$, y $\vect\jmath = \rho\vect u$ por definición de densidad de corriente. Que $(\rho c, \vect\jmath)$ se transforme entonces como un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) se sigue de que es igual a $\rho_0/c$ por la cuadrivelocidad $\gamma_u(c, \vect u)$, que es [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) por construcción. La invariancia de la carga es un dato experimental. ∎

## 6.2 Un solo tensor para los dos campos

**Definición 6.3 (Cuadripotencial y tensor de campo).**

Los potenciales del volumen del Año 2 se ensamblan en el cuadripotencial

$$
A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) ,
$$

y los campos medibles $\vect E = -\vect\nabla V -
\partial_t\vect A$, $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ son las seis componentes independientes de una única matriz antisimétrica, el *tensor del campo electromagnético*

$$
F^{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix} .
$$

$\vect E$ y $\vect B$ no son dos campos, sino seis caras de un mismo objeto; qué cara llame “eléctrica” un observador depende del movimiento de ese observador.

**Teorema 6.4 (Maxwell, en forma covariante).**

Las cuatro ecuaciones de Maxwell del volumen del Año 2 son la forma en componentes de dos enunciados independientes del sistema: la pareja con fuentes (Gauss y Ampère–Maxwell) es

$$
\sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu ,
$$

y la pareja sin fuentes (ausencia de monopolos, Faraday) es la identidad que garantiza que $F$ deriva de un [cuadripotencial](#def-b3-covariant-electromagnetism-tensor). La fuerza de Lorentz es $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ — la ley de fuerza, con lo magnético incluido, en una línea. Como ambos miembros de cada ecuación se transforman igual, *la teoría de Maxwell no necesita corrección alguna para ser relativista*: fue la primera pieza acabada de la relatividad, nacida en 1865.

**Demostración parcial.** Desarróllese la componente $\nu = 0$: $\sum_i\partial_i(E_i/c) =
\mu_0\rho c$, es decir, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (usando $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$). La componente $\nu = 1$ reúne $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y)
= \mu_0 j_x$: la componente $x$ de Ampère–Maxwell. Las demás componentes repiten el patrón; la pareja sin fuentes es la igualdad de las segundas derivadas cruzadas de $A^\mu$ (comprobada en el [Ejercicio 6.3](#exo-b3-covariant-electromagnetism-3)). Que $F^{\mu\nu}$ se transforme como un tensor (de dos índices) — cada índice como un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) — se admite; sus consecuencias son la proposición siguiente. ∎

## 6.3 Cómo se transforman los campos

**Proposición 6.5 (Transformación de los campos).**

Para un cambio de sistema con velocidad $\vect v = v\,\vect e_x$: las componentes *paralelas* al movimiento quedan intactas y las transversales se mezclan,

$$
E'_x = E_x , \qquad
E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad
E'_z = \gamma(E_z + vB_y) ,
$$

$$
B'_x = B_x , \qquad
B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad
B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) .
$$

De forma compacta, transversalmente al movimiento: $\vect E' = \gamma(\vect E +
\vect v\wedge\vect B)_\perp$ y $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect
v\wedge\vect E/c^2)_\perp$. Un $\vect B$ puro en un sistema es $\vect
E$ y $\vect B$ en otro: los campos son un solo fenómeno.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 6.6 (Magnetismo a partir de un hilo neutro).**

Un hilo neutro transporta corriente: la red positiva en reposo y los electrones a la deriva. Para una carga de prueba que se mueve a su lado, pásese a su sistema: las dos corrientes de carga se contraen de manera *distinta* (tienen velocidades distintas), el hilo adquiere la densidad lineal de carga neta $\lambda' =
-\gamma vI/c^2$, y su campo eléctrico radial tira de la carga con exactamente la fuerza que el laboratorio llamaba $q\vect v\wedge\vect B$. El magnetismo es el aspecto que toma el término de segundo orden $v u/c^2$ de la relatividad cuando conspiran $10^{28}$ cargas elementales por metro: cada efecto es fantásticamente pequeño, pero el hilo es neutro con una precisión todavía mayor, de modo que ese desequilibrio diminuto es toda la historia ([Problema 6.1](#pb-b3-covariant-electromagnetism-1)).

![Una fuerza, dos contabilidades. Laboratorio: la corriente del hilo neutro crea B y la carga en movimiento siente q v B. Sistema de la carga: la red positiva se mueve ahora y se contrae, y los electrones (más lentos allí) se separan; el hilo tiene carga neta y es su E' el que tira. El mismo experimento, el mismo resultado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-88f8c84e2384.svg)

*Una fuerza, dos contabilidades. Laboratorio: la corriente del hilo neutro crea $\vect B$ y la carga en movimiento siente $q\vect v\wedge\vect B$. Sistema de la carga: la red positiva se mueve ahora y se contrae, y los electrones (más lentos allí) se separan; el hilo tiene carga neta y es su $\vect E'$ el que tira. El mismo experimento, el mismo resultado.*

**Ejemplo 6.7 (El campo aplanado de una carga rápida).**

Transfórmese el campo de Coulomb de una carga al sistema en el que se mueve con $\gamma \gg 1$: el campo longitudinal queda intacto mientras que el transversal queda multiplicado por $\gamma$. El campo, antes esférico, se aplana en un disco de ángulo de apertura $\sim 1/\gamma$ en torno al plano que pasa por la carga — acompañado, transversalmente al movimiento, por un anillo magnético $B' = vE'/c^2$. Para un observador en reposo, el paso de un protón del LHC ($\gamma \approx 7000$) es un bofetón de menos de un picosegundo de $\vect E$ y $\vect B$ casi cruzados: casi un pulso de luz — la razón por la que los haces rápidos dialogan con la materia como lo hacen los fotones.

![El campo eléctrico de una carga puntual, en reposo y a gran velocidad: el cambio de sistema multiplica por las componentes transversales y deja intactas las longitudinales, comprimiendo el campo en un disco perpendicular al movimiento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-eaaf815659f4.svg)

*El campo eléctrico de una carga puntual, en reposo y a gran velocidad: el cambio de sistema multiplica por $\gamma$ las componentes transversales y deja intactas las longitudinales, comprimiendo el campo en un disco perpendicular al movimiento.*

## 6.4 Invariantes, luz y efecto faro

**Proposición 6.8 (Los dos invariantes del campo).**

A partir de $F^{\mu\nu}$ pueden construirse exactamente dos escalares independientes:

$$
E^2 - c^2B^2
\qquad\text{y}\qquad
\vect E\cdot\vect B ,
$$

los mismos en todo [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/4-cinematica-relativista#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates). Consecuencias: si en algún punto $E > cB$ (con $\vect E\cdot\vect B = 0$), algún sistema ve allí un campo puramente eléctrico; si $E < cB$, algún sistema lo ve puramente magnético; y una onda luminosa plana, con $E = cB$ y $\vect E\perp\vect B$, tiene *los dos* invariantes nulos — es luz en todo sistema: ningún cambio de sistema puede convertirla en un campo estático, solo enrojecerla. No se puede alcanzar a una onda luminosa; la pregunta adolescente de Einstein se responde sola en dos invariantes.

**Demostración parcial.** Compruébese la invariancia bajo el cambio de sistema estándar por sustitución directa de la [Proposición 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform) ([Ejercicio 6.6](#exo-b3-covariant-electromagnetism-6)); que no exista un tercer invariante independiente se admite. Para la onda: $E = cB$ y la ortogonalidad hacen que ambos se anulen; un sistema con campo estático exigiría un invariante no nulo. ∎

**Proposición 6.9 (Cuadrivector de onda, Doppler y aberración).**

La frecuencia y la dirección de una onda plana forman el [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) nulo $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$, con $\|\vect k\| = \omega/c$. Al transformarlo se obtienen de golpe la fórmula relativista de Doppler del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/4-cinematica-relativista#ch-b3-relativistic-kinematics) y la *aberración* de las direcciones:

$$
\cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} .
$$

Leída al revés, una fuente que radia isótropamente en su sistema propio concentra en el laboratorio la mitad de su luz en el cono delantero $\theta
\lesssim 1/\gamma$: el *[efecto faro](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector)*. Un electrón que gira con $\gamma \sim 10^4$ en un anillo de almacenamiento barre alrededor del anillo un reflector de rayos X de $0.1\,\mathrm{mrad}$ — la luz de sincrotrón que llena las líneas de haz de la cristalografía de proteínas.

**Demostración parcial.** La fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ cuenta las crestas de onda que pasan por los sucesos — un invariante —, de modo que $k^\mu$ debe transformarse como un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). Aplíquese el cambio de sistema a $(\omega/c, k\cos\theta,
k\sin\theta, 0)$: la componente temporal da el efecto Doppler y el cociente de las componentes espaciales, la fórmula de la aberración. Haciendo $\theta' =
90^\circ$ (el rayo lateral del sistema de la fuente): $\cos\theta =
\beta$, es decir, $\theta \approx 1/\gamma$ para $\gamma \gg 1$ — media esfera se pliega en el cono delantero. ∎

![La aberración pliega la radiación de una fuente rápida en un cono delantero de semiángulo 1/: el efecto faro, y el principio de funcionamiento de las fuentes de luz de sincrotrón.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-46b2c7fc8cab.svg)

*La aberración pliega la radiación de una fuente rápida en un cono delantero de semiángulo $\sim 1/\gamma$: el [efecto faro](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector), y el principio de funcionamiento de las fuentes de luz de sincrotrón.*

**Método 6.10 (Trabajar de forma covariante).**

(1) Identificar los [cuadrivectores](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) en juego ($x^\mu$, $P^\mu$, $J^\mu$, $A^\mu$, $k^\mu$) y preferir sus productos invariantes a las componentes. (2) Para transformar campos, separar las componentes paralelas y transversales al movimiento y aplicar la [Proposición 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform). (3) Comprobar los dos invariantes antes y después — el detector de errores más rápido de la materia. (4) Cuando un problema magnético resulte misterioso, viaje con la carga: en su sistema solo actúa $\vect E'$. (5) Confíe en Maxwell: las ecuaciones no necesitan nunca “correcciones” relativistas, solo una lectura relativista.

![Una aurora: cargas del viento solar dirigidas por el campo magnético terrestre hacia la atmósfera polar. Lo que un observador llama dirección magnética, otro lo llama aceleración eléctrica — los campos se mezclan bajo las transformaciones de este capítulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/img-f5d604651824.jpg)

*Una aurora: cargas del viento solar dirigidas por el campo magnético terrestre hacia la atmósfera polar. Lo que un observador llama dirección magnética, otro lo llama aceleración eléctrica — los campos se mezclan bajo las transformaciones de este capítulo.*

## 6.5 Ejercicios

**Ejercicio 6.1 ★.**

(a) Transfórmese $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (en unidades de cierto $a_0$) con $\beta =
0.6$: calcúlese $a'^\mu$ y compruébese que $a\cdot a$ no cambia. (b) Muéstrese que la suma de dos [cuadrivectores](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) es un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). (c) ¿Es $(c,
\vect v)$ un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) para una partícula? ¿Y $\gamma(c, \vect v)$? (d) ¿Por qué “el campo eléctrico” por sí solo no forma parte de ningún [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector)?

**Solución de Ejercicio 6.1.**

(a) $\gamma = 1.25$: $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$, $a'^1 = 1.25(3 -
3) = 0$; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$. (b) La transformación es lineal, luego se distribuye sobre las sumas. (c) $(c, \vect v)$: no — su componente “temporal” es la misma para todas las partículas, mientras que la mezcla exige otra cosa; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$: sí, un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) dividido por el invariante $\dd\tau$. (d) Las tres componentes de $\vect E$ se mezclan con las de $\vect B$, no con ningún escalar: los campos llenan un tensor de dos índices, no un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector).

**Ejercicio 6.2 ★.**

Un hilo de cobre de sección $1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ transporta $10\,\mathrm{A}$, con una densidad de electrones de conducción $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Calcúlese la velocidad de deriva. (b) Escríbase $J^\mu$ para el fluido de electrones y para la red. (c) Compruébese la ecuación de continuidad para cada uno. (d) El hilo es neutro: ¿cuál es el $J^\mu$ del hilo entero y qué componente sobrevive?

**Solución de Ejercicio 6.2.**

(a) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times
1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Red: $(nec, \vect 0)$; electrones: $(-nec, -ne\vect u)$ — su densidad de corriente $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ apunta en sentido contrario a su deriva, y esa *es* la dirección de la corriente convencional. (c) Ambas son estáticas y uniformes: todos los términos se anulan. (d) Total: $(0, \vect\jmath)$ con $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — una corriente pura sin carga, la configuración que hace sutil la relatividad del hilo.

**Ejercicio 6.3 ★.**

(a) A partir de la matriz de $F^{\mu\nu}$, identifíquese qué componentes dan $E_y$ y $B_x$. (b) Escríbase $F^{\mu\nu}$ para un campo uniforme puro $\vect B = B\vect e_z$ y para el campo de una onda plana ($\vect E = E\vect e_y$, $\vect B = (E/c)\vect e_z$). (c) Verifíquese sobre componentes que $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu
A^\mu$ reproduce $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ para $\mu\nu = 12$. (d) ¿Por qué debe ser $F$ antisimétrico para que la fuerza $qF^{\mu\nu}u_\nu$ no realice trabajo en el sistema propio de la partícula?

**Solución de Ejercicio 6.3.**

(a) $E_y$: $F^{20} = E_y/c$; $B_x$: $F^{32} = B_x$. (b) Para $\vect B
= B\vect e_z$, solo $F^{12} = -B$ y $F^{21} = +B$; para la onda, $F^{20} = E/c$, $F^{12} = -E/c$ (con sus parejas antisimétricas). (c) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y +
\partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$: coincide con la matriz. (d) El ritmo de cambio de energía de la partícula es $\propto F^{0\nu}u_\nu$; en el sistema propio, $u_\nu = (c, \vect 0)$ y la antisimetría hace $F^{00} = 0$: una fuerza que nunca puede trabajar sobre una partícula en reposo — la propiedad que define a la parte magnética.

**Ejercicio 6.4 ★.**

Un condensador plano en reposo tiene $\vect E = E_0\vect e_y$ y ningún $\vect B$. Dense $\vect E'$ y $\vect B'$ en un sistema que se mueve (a) según $\vect e_y$ (perpendicularmente a las placas); (b) según $\vect
e_x$ (paralelamente a las placas), e interprétese el $\vect B'$ que aparece como el campo de las cargas superficiales en movimiento; (c) compruébense los invariantes en el caso (b); (d) en el caso (b), las placas también se contraen: ¿qué magnitudes (¿$\sigma$?, ¿$E'$?, ¿la separación entre placas?) cambian, y de acuerdo con qué?

**Solución de Ejercicio 6.4.**

(a) Cambio de sistema a lo largo del campo: componentes longitudinales intactas, $\vect
E' = E_0\vect e_y$, $\vect B' = \vect 0$. (b) Cambio según $\vect
e_x$: $E'_y = \gamma E_0$, $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — las placas desfilan ahora como corrientes superficiales $\pm\sigma'v$, y dos láminas de corriente opuestas encierran exactamente un campo así. (c) $E'^2 - c^2B'^2 =
\gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$: ambos se conservan. (d) Las placas se contraen según $x$, de modo que $\sigma' =
\gamma\sigma$, coherente con $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma
E_0$; la separación, transversal al movimiento, queda intacta.

**Ejercicio 6.5 ★★.**

La fem de movimiento, unificada. Una barra conductora desliza con velocidad $\vect v$ sobre unos raíles atravesando un $\vect B$ uniforme. (a) Contabilidad del laboratorio: ¿qué fuerza empuja a los electrones a lo largo de la barra y qué fem resulta? (b) Contabilidad en el sistema de la barra: ¿qué campo los empuja y de dónde sale en la [Proposición 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform)? (c) Muéstrese que las dos fem coinciden a orden $v/c$. (d) La regla del flujo de Faraday del volumen del Año 1 cubría con una sola fórmula los casos de “circuito en movimiento” y de “campo variable”: ¿qué dice la relatividad sobre por qué esa unificación tenía que funcionar?

**Solución de Ejercicio 6.5.**

(a) La fuerza magnética $-e\vect v\wedge\vect B$ empuja a los electrones a lo largo de la barra: fem $= vBL$. (b) En el sistema de la barra, esta está en reposo — ninguna fuerza magnética sobre cargas en reposo —, pero la transformación entrega $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$: es un campo eléctrico honrado el que las empuja. (c) $E'L = \gamma vBL
\approx vBL$ a orden $v/c$. (d) Tenía que funcionar porque la fem “de movimiento” y la “de transformador” son un mismo fenómeno leído en dos sistemas: la regla del flujo es la covariancia vestida a la moda de 1831 — el artículo de Einstein de 1905 se abre exactamente con esta asimetría del imán y el conductor.

**Ejercicio 6.6 ★★.**

(a) Usando la [Proposición 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform), verifíquese por cálculo directo que $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$ para un cambio de sistema según $x$. (b) Verifíquese $\vect E'\cdot\vect B' = \vect
E\cdot\vect B$. (c) Una región contiene $\vect E$ y $\vect B$ perpendiculares con $E = 2cB$: hállese el sistema con campo puramente eléctrico (dirección y velocidad). (d) ¿Por qué ningún sistema puede hacer que el campo de una onda luminosa plana sea puramente eléctrico o puramente magnético?

**Solución de Ejercicio 6.6.**

(a) Las componentes $x$ quedan intactas; para las transversales, $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 +
(E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$; los términos cruzados se cancelan y los cuadrados recogen $\gamma^2(1 -
\beta^2) = 1$ multiplicando la combinación sin transformar. (b) La misma contabilidad sobre $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$. (c) $E^2 - c^2B^2 =
3c^2B^2 > 0$: cámbiese de sistema según $\vect E\wedge\vect B$ con $v = c^2B/E =
c/2$; allí $B' = 0$ y el campo que sobrevive es $E' = E/\gamma =
\sqrt3\,cB$ — cuyo cuadrado es el invariante, como debe ser. (d) Una onda luminosa tiene los dos invariantes nulos: todo sistema debe reproducir $E' = cB' \perp$, nunca un campo puro.

**Ejercicio 6.7 ★★.**

Campos cruzados. En el laboratorio, $\vect E = E\vect e_y$ y $\vect B =
B\vect e_z$ con $E < cB$. (a) Muéstrese que el sistema que se mueve con $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ ve un campo puramente magnético. (b) Descríbase el movimiento de una carga soltada en reposo, visto desde ese sistema y de vuelta en el laboratorio (una cicloide que deriva a $v_{\text{d}}$). (c) El filtro de velocidades del volumen del Año 1 dejaba pasar sin desviar las partículas de velocidad $E/B$: vuélvase a deducirlo en una línea a partir de (a). (d) ¿Qué ocurre, cualitativamente, cuando $E > cB$, y por qué es entonces imposible el truco del sistema de deriva?

**Solución de Ejercicio 6.7.**

(a) Con $v_{\text{d}} = E/B$: $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) =
0$; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$: campo magnético puro, levemente debilitado. (b) Allí: una circunferencia recorrida a $qB'/\gamma m$; de vuelta en el laboratorio, esa circunferencia más la deriva uniforme — una cicloide que repta a $E/B$ perpendicularmente a ambos campos, la trayectoria de las cargas en un magnetrón. (c) Una partícula que se mueve exactamente a $v_{\text{d}}$ está en reposo en el sistema de deriva, donde el único campo es magnético y no siente nada: no se desvía. (d) Para $E > cB$ la deriva necesaria superaría a $c$: no existe tal sistema; en su lugar existe un sistema de $E$ puro (ejercicio anterior) y la carga se acelera sin límite a lo largo del campo.

**Ejercicio 6.8 ★★.**

El [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) de onda $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$. (a) Muéstrese que exigir que la fase sea invariante obliga a $k^\mu$ a transformarse como un [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). (b) Dedúzcase la fórmula Doppler longitudinal a partir de su componente temporal. (c) Dedúzcase la fórmula de la aberración. (d) Aberración de la luz estelar: la Tierra orbita a $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; ¿qué ángulo barre en un año la posición aparente de una estrella? (Bradley midió $20.5''$ en 1728 — la primera prueba directa de que la Tierra se mueve).

**Solución de Ejercicio 6.8.**

(a) La fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ cuenta sucesos de paso de cresta, un número invariante; es igual a $k^\mu x_\mu$, y la invariancia del producto para todo $x^\mu$ obliga a $k^\mu$ a transformarse como [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). (b) $\omega'/c = \gamma(\omega/c -
\beta k_x)$ con $k_x = (\omega/c)\cos\theta$; para $\theta = 0$, $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$. (c) $\cos\theta' =
k'_x/(\omega'/c)$: la fórmula enunciada. (d) $\beta = 10^{-4}$: $20.5''$; a lo largo de un año, la posición aparente recorre una elipse de ese semieje angular — la aberración de Bradley.

**Ejercicio 6.9 ★★.**

Una carga $q$ se mueve con $\vect v = v\vect e_x$ constante y $\gamma \gg
1$. (a) Transformando el campo de Coulomb, muéstrese que en el plano transversal que pasa por la carga el campo queda amplificado a $\gamma
q/4\pi\varepsilon_0b^2$ a la distancia $b$, mientras que justo delante y detrás queda aplastado en $1/\gamma^2$. (b) Muéstrese que un observador en reposo a distancia $b$ ve un pulso de campo de duración $\sim b/\gamma v$. (c) Para un protón del LHC que pasa a $b = 1\,\mathrm{cm}$: campo máximo y duración del pulso. (d) ¿En qué sentido preciso es este pulso “casi luz”? (Compruébense $E' \approx cB'$ y los invariantes).

**Solución de Ejercicio 6.9.**

(a) En el sistema propio, Coulomb; el cambio de sistema multiplica las componentes transversales por $\gamma$ (en el plano transversal, $E'_\perp = \gamma
q/4\pi\varepsilon_0b^2$), mientras que el campo a lo largo del movimiento, evaluado delante o detrás a la distancia $r$ del laboratorio, corresponde a una distancia $\gamma r$ en el sistema propio: reducido en $1/\gamma^2$. (b) La tortita, de anchura angular $1/\gamma$, pasa de largo a $v$: duración $\sim (b/\gamma)/v$. (c) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx
0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, durante $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$. (d) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ y ambos invariantes son $O(1/\gamma^2)$: localmente indistinguible de un pulso de luz — la base de la descripción por “fotones equivalentes” de las colisiones de cargas rápidas.

**Ejercicio 6.10 ★★★.**

Perseguir una onda luminosa. Una onda plana tiene $\vect E = E_0\vect e_y
\cos(\omega(t - x/c))$, $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t -
x/c))$. Un observador la persigue con velocidad $\beta$. (a) Transfórmense los campos: muéstrese que $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ y $B'_0 = E'_0/c$. (b) Muéstrese que la frecuencia se transforma con el mismo factor: la onda sigue siendo una onda, enrojecida, con $E' = cB'$ siempre. (c) ¿Qué le ocurre a la densidad de energía de la onda (proporcional a $E^2$) y al número de fotones? (d) Conclúyase: ¿qué exigiría “cabalgar junto a un haz de luz” y qué invariante lo prohíbe?

**Solución de Ejercicio 6.10.**

(a) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) =
E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$, y $B'_z = E'_y/c$ por el mismo álgebra. (b) La fase se transforma con el mismo factor Doppler: la misma onda nula, más roja y más débil. (c) La densidad de energía cae como el cuadrado del factor Doppler; el número de fotones no cambia — el $h\nu$ de cada fotón se lleva el factor entero. (d) “Cabalgar junto a ella” significa que el factor $\to 0$ cuando $\beta \to 1$: la onda nunca se vuelve estática porque sus invariantes son nulos — no hay ningún sistema en el que la luz esté quieta, que es donde empezó la relatividad de este libro.

**Ejercicio 6.11 ★★★.**

La luz de sincrotrón y la muerte de las máquinas circulares de electrones. Una carga ultrarrelativista sobre una circunferencia de radio $r$ radia la potencia $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ (admitido — la fórmula de Larmor del volumen del Año 2, transformada). (a) Muéstrese que la energía perdida por vuelta es $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$. (b) LEP: electrones a $100\,\mathrm{GeV}$ con $r = 3.1\,\mathrm{km}$: calcúlense $\gamma$ y $\Delta E$ por vuelta — ¿qué fracción de la energía del haz hay que recomprar en cada vuelta? (c) LHC: protones a $6.8\,\mathrm{TeV}$ en el mismo túnel: calcúlese $\Delta E$ por vuelta y compárese. (d) Explíquese, con el $\gamma^4 =
(E/mc^2)^4$, por qué el sucesor de los electrones es un colisionador *lineal* o un anillo mucho mayor, y por qué sobreviven los anillos de protones.

**Solución de Ejercicio 6.11.**

(a) Por vuelta, $\Delta E = P \times 2\pi r/c$: el resultado enunciado. (b) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$: $\Delta E \approx
2.9\,\mathrm{GeV}$ por vuelta — un tres por ciento de la energía del haz reinyectado en cada vuelta; los klistrones del LEP eran el mayor radiotransmisor de la Tierra. (c) Protones: $\gamma = 7250$, con $\gamma^4$ menor en $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$: unos $5\,\mathrm{keV}$ por vuelta — despreciable. (d) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$: a igual energía, el electrón radia $10^{13}$ veces más; de ahí los colisionadores lineales (radiar una vez, no en cada vuelta) o anillos gigantescos para electrones, mientras los anillos de protones escalan sin problema hasta $27\,\mathrm{km}$.

**Ejercicio 6.12 ★★★.**

El ciclotrón relativista. Una carga en un $\vect B$ uniforme, a velocidad relativista. (a) A partir de $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect
B$ con $E$ constante, muéstrese que la órbita es una circunferencia recorrida con $\omega = qB/\gamma m$: la frecuencia ciclotrónica cae al crecer la energía. (b) Un ciclotrón clásico empuja a $\omega_0 = qB/m$ fijo: muéstrese que, tras $N$ vueltas con $\gamma - 1$ creciendo linealmente hasta su valor final $\Gamma$, el desfase acumulado alcanza un cuarto de periodo de radiofrecuencia cuando $\Gamma \approx 1/2N$; para $N = 100$ vueltas, ¿a qué energía cinética del protón corresponde y cómo se compara con el techo histórico de los ciclotrones clásicos (unos $20\,\mathrm{MeV}$, comprados con margen y tensión adicionales)? (c) Existen dos remedios: hacer variar la frecuencia (sincrociclotrón) o modelar $B(r)$ para que crezca como $\gamma$ (ciclotrón isócrono): explíquese cada uno en una frase. (d) El ciclotrón isócrono del PSI entrega protones de $590\,\mathrm{MeV}$: ¿en qué factor supera su campo en el borde al campo central?

**Solución de Ejercicio 6.12.**

(a) $|\vect p|$ es constante (no hay trabajo); $\dot{\vect p} = q\vect
v\wedge\vect B$ hace girar a $\vect p$ con velocidad angular $qvB/p = qB/\gamma m$. (b) Desfase por vuelta $2\pi(\gamma - 1)$; con $\gamma - 1$ creciendo linealmente hasta $\Gamma$, el desfase total es $\approx \pi N\Gamma$; un cuarto de periodo es $\pi/2$: $\Gamma \approx 1/2N$. Para $N = 100$: $\Gamma =
5 \times 10^{-3}$, $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — la escala correcta; las máquinas reales lo estiraron hasta $\sim20\,\mathrm{MeV}$ con tensiones de dee elevadas (menos vueltas). (c) Sincrociclotrón: barrer la radiofrecuencia hacia abajo durante cada pulso para seguir a $qB/\gamma m$. Ciclotrón isócrono: dejar que $B(r)$ crezca $\propto\gamma(r)$ de modo que el cociente nunca cambie y el haz sea continuo. (d) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$: el campo del borde debe superar al campo central en ese factor.

## 6.6 Problema: magnetismo a paso de caracol

**Problema 6.1.**

Problema de fin de semana — cómo un desequilibrio de $10^{-24}$ mueve todos los motores

Los electrones derivan por el cable de una lámpara más despacio de lo que repta la miel, y el $v^2/c^2$ de esa deriva vale $10^{-24}$ — y, sin embargo, la fuerza magnética que produce levanta coches en los desguaces. Este problema hace la contabilidad completa en dos sistemas para un hilo recto y una carga en movimiento, y encuentra a la relatividad escondida en todo electroimán. Datos: hilo de cobre de sección $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$, corriente $I = 10\,\mathrm{A}$, densidad de electrones de conducción $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$; carga de prueba $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a una distancia $d = 1.0\,\mathrm{cm}$, que se mueve paralelamente al hilo con $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (una velocidad de haz iónico, para mantener visibles las cifras); $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$.

**Parte I — La contabilidad en el laboratorio.**

1. Calcúlense la velocidad de deriva $u$ de los electrones, y $u^2/c^2$ .
2. Modelícese el hilo como dos densidades lineales de carga superpuestas: la red $+\lambda$ en reposo y los electrones $-\lambda$ derivando a $u$ , con $I = \lambda u$ . Calcúlese $\lambda$ .
3. Calcúlese $B$ en la posición de la carga y la fuerza magnética $F = qvB$ sobre ella — dirección incluida, para $v$ paralela a la corriente convencional $I$ (recuérdese: las corrientes paralelas se atraen).
4. ¿Por qué no hay fuerza *eléctrica* en el laboratorio?
5. El campo eléctrico de ese mismo hilo si llevara una carga neta de solo un electrón en exceso por metro: compárese la fuerza que ejercería sobre $q$ con la fuerza magnética de la pregunta 3, y conclúyase con qué precisión hay que medir la “neutralidad” antes de poder atribuir el magnetismo.
6. Una carga de $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ¿es medible la fuerza de la pregunta 3? (Compárese con el peso de un grano de arena, $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ ).

**Parte II — Cambiar de asiento.** Pásese al sistema de la carga de prueba (velocidad $v$ a lo largo del hilo).

7. En ese sistema, ¿cuáles son las velocidades de la red y de los electrones (que derivan en sentido opuesto a $I$ y, por tanto, ganan velocidad en este cambio de sistema: compónganse correctamente)?
8. Integrada sobre la sección del hilo, la cuadricorriente por unidad de longitud es $(c\lambda_{\text{tot}}, I, 0, 0)$ con $\lambda_{\text{tot}} = 0$ aquí. Transfórmese y muéstrese que la densidad lineal de carga del hilo en el sistema nuevo es $$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$$
9. Evalúese $\lambda'$ , en culombios por metro y en cargas del electrón por metro. ¿Qué corriente se hizo más densa, y por qué (contraiga cada una por separado si lo prefiere)?
10. Calcúlense el campo eléctrico $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ en la carga, y la fuerza eléctrica $qE'$ sobre ella.
11. Compárese $qE'$ con el $qvB$ del laboratorio de la parte I y explíquese el factor residual $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ (¿la ley de transformación de qué [cuadrivector](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) relaciona las fuerzas?).
12. En este sistema hay además un campo magnético (el hilo sigue llevando corriente): ¿por qué no ejerce aquí ninguna fuerza?

**Parte III — La moraleja de las cifras.**

13. El desequilibrio relativo $|\lambda'|/\lambda$ : calcúlese y escríbase como $\gamma_v vu/c^2$ .
14. ¿Cómo puede un efecto del orden de $10^{-19}$ de la carga del hilo producir una fuerza macroscópica? (¿Por qué número enorme va multiplicado?).
15. Dos hilos paralelos con $10\,\mathrm{A}$ cada uno a $1\,\mathrm{cm}$ : calcúlese la fuerza por metro y compruébese frente al valor de grado de definición $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ newtons por metro.
16. Un electroimán son diez mil vueltas de esta historia: estímese el campo de una bobina de $10^{4}\,$ vueltas por metro que lleva $10\,\mathrm{A}$ (fórmula del solenoide del volumen del Año 1) y la fuerza por centímetro cuadrado que ejerce sobre el hierro ( $\sim B^2/2\mu_0$ ).
17. Si se apagara la relatividad ( $c \to \infty$ en la transformación), ¿qué quedaría de $\lambda'$ , de la fuerza de $B$ , de los motores y de los imanes de desguace?
18. ¿Por qué no siente nada la carga de prueba en *reposo* junto al hilo, aunque los electrones desfilen a su lado? (¿Qué cancelación la protege y con qué exactitud?).

**Parte IV — Más allá del hilo.**

19. El volumen del Año 2 dedujo los campos magnéticos de la ley de Ampère con las corrientes como fuentes dadas. ¿Qué añade este capítulo a esa versión: qué *es* el campo magnético, visto desde este problema?
20. Los imanes de hierro no tienen pila: ¿qué desempeña el papel de la corriente en el magnetismo permanente (una frase; la respuesta microscópica honrada es cuántica y espera cinco capítulos)?
21. Un haz de electrones aislado en el vacío (sin red): ¿un observador que viaje con él lo ve atraerse o repelerse más que un observador del laboratorio? Reconcíliense las versiones de los dos sistemas sobre el autoenfoque de un haz.
22. Hágase cuantitativo el punto anterior: muéstrese que dos haces paralelos de cargas del mismo signo que se mueven juntos a $\beta$ se repelen con una fuerza neta (repulsión eléctrica menos atracción magnética) reducida exactamente en $1/\gamma^2$ respecto de su valor en reposo — y dígase en qué sistema resulta obvio ese factor.
23. La energía de una lámpara llega casi a $c$ mientras sus electrones derivan un metro por hora: ¿qué transporta realmente la energía a lo largo del cable (recuérdese el vector de Poynting del volumen del Año 2)?
24. Estímese $vu/c^2$ para los electrones de este problema y una carga de prueba peatonal ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): incluso ahí, la fuerza es medible a primer orden con una aguja imantada — ¿quién demostró que una corriente desvía una brújula, y en qué año?
25. Resúmase el resultado con nombre propio: un hilo neutro de $10\,\mathrm{A}$ , observado desde un asiento que se mueve a $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , lleva $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ de carga relativista — y ese error de contabilidad de orden $10^{-24}$ de la contracción de longitudes, multiplicado por $10^{28}$ electrones, es toda la fuerza magnética del laboratorio.

**Solución de Problema 6.1.**

**1.** $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $u^2/c^2 =
6 \times 10^{-24}$. **2.** $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — catorce kiloculombios por metro en cada corriente. **3.** $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$; $F = qvB =
10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, dirigida *hacia* el hilo (las corrientes paralelas se atraen). **4.** Las dos densidades lineales de carga se cancelan exactamente: $\lambda_{\text{tot}}
= 0$, sin campo a orden cero. **5.** Un electrón en exceso por metro: $E = 2k\lambda_1/d =
2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, fuerza $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — $10^8$ veces menor que la fuerza magnética. El hilo podría esconder cien millones de electrones parásitos por metro antes de que la electrostática rivalizara con el magnetismo: atribuir la fuerza a $\vect B$ es seguro. **6.** $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ son veinte pesos de grano de arena: fácilmente medible. **7.** Red: $-v$. Electrones (que derivan a $u$ en sentido opuesto a $I$, es decir, opuesto al cambio de sistema): velocidad $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — más rápidos que la red. **8.** $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{tot}} - vI/c^2) =
-\gamma_v vI/c^2$. **9.** $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} =
-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$: unos $7 \times 10^7$ electrones en exceso por metro. La corriente de electrones, más rápida en este sistema, es la más densa — cada corriente se contrae con su propio $\gamma$. **10.** $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times
1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, apuntando hacia el hilo; fuerza $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, atractiva. **11.** Idéntica a $qvB$ salvo el factor $\gamma_v = 1 +
5.6 \times 10^{-8}$: exactamente la ley de transformación de una fuerza transversal (la cuadrifuerza), $F_{\text{reposo}} = \gamma F_{\text{lab}}$. **12.** El hilo sigue llevando una corriente (mayor), luego $\vect
B' \neq 0$ — pero nuestra carga está aquí en reposo, y un campo magnético solo agarra a las cargas en movimiento. **13.** $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$. **14.** Multiplica a $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ cargas elementales por metro: $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22}
\approx 7 \times 10^{7}$ electrones por metro — macroscópico. La materia está tan enormemente cargada que su neutralidad es el filo de una navaja; la relatividad inclina la navaja. **15.** $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 =
2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — la fórmula que un día *definió* el amperio. **16.** $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times
10 = 0.13\,\mathrm{T}$; presión magnética $B^2/2\mu_0 \approx
6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$: coches enteros cuelgan de relatividad integrada. **17.** Hacer $c \to \infty$ mata $\lambda'$ y, con él, la fuerza, la parte magnética del campo, los motores, las dinamos y las grúas de desguace: el magnetismo no tiene existencia no relativista. **18.** En reposo, la carga ve el hilo neutro del laboratorio: las dos corrientes se cancelan con la precisión con que la materia es neutra — conocida experimentalmente con una exactitud fantástica — y no actúa fuerza alguna. **19.** Que la imagen de las “fuentes dadas” era la rebanada que un sistema toma de un único tensor: $\vect B$ es la parte del campo electromagnético que el movimiento de un observador dado asigna a las corrientes en lugar de a las cargas. **20.** El espín del electrón: cada electrón es un imán elemental (una “corriente” intrínseca y cuántica), y el hierro es materia en la que estos se alinean — los [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/12-espin-y-sistemas-de-dos-niveles#ch-b3-spin-two-level) y [Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/22-el-electromagnetismo-en-la-materia#ch-b3-electromagnetism-in-matter) lo retoman. **21.** En el sistema propio del haz, la repulsión es puramente coulombiana y *máxima*; en el laboratorio, la atracción magnética de las corrientes paralelas casi la cancela. No hay contradicción: la fuerza transversal del laboratorio es la del sistema propio dividida por $\gamma$, y la dinámica más lenta ([dilatación del tiempo](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/4-cinematica-relativista#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)) completa la cuenta. **22.** Fuerza neta en el laboratorio $= qE_{\text{lab}} - qvB_{\text{lab}} =
(1 - \beta^2)qE_{\text{lab}} = F_{\text{Coulomb}}/\gamma^2$ según la transformación; en el sistema propio el factor es transparente: electrostática pura, con la explosión observada a través de un tiempo dilatado. **23.** El vector de Poynting: la energía fluye por los *campos* que rodean a los conductores casi a $c$, y los electrones se limitan a dirigirla; el cobre del cable es una guía, no una tubería. **24.** $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — y, aun así, Oersted vio oscilar su brújula junto a un hilo en 1820: el multiplicador de $10^{22}$ cargas ya estaba trabajando un siglo antes de que nadie pudiera ponerle nombre. **25.** Un hilo neutro de $10\,\mathrm{A}$, visto desde $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lleva $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$: la diferencia contable de $10^{-16}$ de la contracción de longitudes, multiplicada por $10^{23}$ cargas por metro, *es* la fuerza magnética — todo el magnetismo es relatividad auditada a paso de caracol.