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title: "El oscilador armónico cuántico"
book: "Física universitaria — tercer año"
subject: physics
language: es
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/9-el-oscilador-armonico-cuantico
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# Capítulo 9 — El oscilador armónico cuántico

Casi nada en la naturaleza es exactamente un oscilador armónico, y casi todo lo es de forma aproximada: cualquier sistema apartado de un equilibrio estable — el enlace de una molécula, un átomo en un cristal, un puente, un modo del campo electromagnético — siente una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento, porque todo potencial suave es una parábola en el fondo de su pozo. Quien resuelve una vez el oscilador cuántico resuelve, por tanto, las pequeñas vibraciones del mundo entero. Este capítulo lo resuelve al estilo algebraico que se ha convertido en la firma de la mecánica cuántica: dos [operadores escalera](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) suben y bajan una escalera perfectamente regular de niveles $\big(n +
\tfrac12\big)\hbar\omega$, siendo el medio peldaño del fondo — la [energía del punto cero](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum) — un teorema y no una opción. Las consecuencias van desde por qué el helio no se congela nunca hasta cómo una molécula de dióxido de carbono, resonando en su propio $\hbar\omega$, intercepta el calor que la Tierra emite al espacio.

## 9.1 La escalera

**Definición 9.1 (Operadores escalera).**

Para $\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2$, introdúzcase la pareja adimensional y no hermítica

$$
\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x +
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad
\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x -
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .
$$

A partir de $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$:

$$
[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad
\hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad
\hat N = \hat a^\dagger\hat a .
$$

$\hat N$ es hermítico; sus [valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) contarán *cuantos*, y $\hat a$ y $\hat a^\dagger$ — los operadores de *aniquilación* y de *creación* — quitarán y añadirán uno.

**Teorema 9.2 (El espectro, solo con álgebra).**

Los [valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) de $\hat H$ son exactamente

$$
E_n = \Big(n + \tfrac12\Big)\hbar\omega , \qquad n = 0, 1, 2, \dots
$$

— una escalera infinita de peldaños iguales $\hbar\omega$ sobre un nivel fundamental que *no* es nulo: la *[energía del punto cero](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum)* $\tfrac12\hbar\omega$. Los estados propios normalizados $\ket n$ están conectados por

$$
\hat a\ket n = \sqrt n\,\ket{n - 1} , \qquad
\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1} ,
\qquad
\ket n = \frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\,\ket0 .
$$

**Demostración.** A partir del [conmutador](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-commutator), $\hat N\hat a = \hat a(\hat N - 1)$: si $\ket\nu$ es vector propio de $\hat N$ con [valor propio](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) $\nu$, entonces $\hat a\ket\nu$ es un vector propio con $\nu - 1$ (o bien el vector nulo). Cada descenso solo está permitido mientras $\nu \ge 0$, ya que $\nu = \braket{\nu}{\hat
N\nu} = \|\hat a\ket\nu\|^2 \ge 0$; el descenso debe, pues, terminar, y solo termina en un estado con $\hat a\ket{\nu_0}
= 0$, de donde $\nu_0 = 0$. Así que $\nu$ recorre los enteros no negativos. Las normalizaciones se siguen de $\|\hat a\ket n\|^2 = n$ y $\|\hat a^\dagger\ket n\|^2 = n + 1$. ∎

![La escalera del oscilador: peldaños iguales , subidos por a y bajados por a, apoyada sobre un suelo situado medio peldaño por encima de la energía de reposo clásica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-d09e9e127826.svg)

*La escalera del oscilador: peldaños iguales $\hbar\omega$, subidos por $\hat a^\dagger$ y bajados por $\hat a$, apoyada sobre un suelo situado medio peldaño por encima de la energía de reposo clásica.*

**Proposición 9.3 (Los estados en el espacio).**

El estado fundamental es la gaussiana

$$
\varphi_0(x) = \Big(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Big)^{1/4}
\eu^{-m\omega x^2/2\hbar} ,
$$

obtenida al resolver la ecuación de *primer orden* $\hat a\varphi_0
= 0$; satura la desigualdad de Heisenberg, $\Delta x\,\Delta p =
\hbar/2$, con $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$. Aplicar $\hat a^\dagger$ repetidamente genera $\varphi_n$: un polinomio de grado $n$ (con $n$ nodos) por la misma gaussiana. Para $n$ grande, $|\varphi_n|^2$ oscila rápidamente en torno a la distribución clásica del tiempo de permanencia, máxima cerca de los puntos de retorno — el principio de correspondencia en imagen.

**Demostración parcial.** $\hat a\varphi_0 = 0$ se lee $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x
\varphi_0$: la gaussiana, normalizada. La saturación: la gaussiana es el caso de igualdad del [Teorema 8.10](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty). La estructura polinómica se sigue de que $\hat a^\dagger$ es de primer orden en $x$ y $\dd/\dd x$; el enunciado para $n$ grande se comprueba en el [Ejercicio 9.12](#exo-b3-harmonic-oscillator-12). ∎

![Izquierda: las densidades de probabilidad más bajas (desplazadas verticalmente): una gaussiana sin nodos y luego n nodos para _n. Derecha: para n grande, la densidad cuántica oscila en torno a la distribución clásica, que se acumula en los puntos de retorno, donde la masa oscilante se demora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-3b4957357d96.svg)

*Izquierda: las densidades de probabilidad más bajas (desplazadas verticalmente): una gaussiana sin nodos y luego $n$ nodos para $\varphi_n$. Derecha: para $n$ grande, la densidad cuántica oscila en torno a la distribución clásica, que se acumula en los puntos de retorno, donde la masa oscilante se demora.*

## 9.2 La energía del punto cero es real

**Observación 9.4 (Por qué el suelo no puede estar más abajo).**

Un estado de energía nula exigiría $\langle\hat p^2\rangle =
\langle\hat x^2\rangle = 0$: perfectamente quieto *y* perfectamente centrado, algo que prohíbe $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$. El estado fundamental es el mejor compromiso que la desigualdad permite, y $\tfrac12\hbar\omega$ es el alquiler. No es una constante de contabilidad: el movimiento de punto cero difumina los diagramas de difracción de rayos X en el cero absoluto; da a los isótopos más ligeros enlaces efectivos más débiles (H$_2$ y D$_2$ se disocian con energías medibles distintas a partir del mismo pozo electrónico); y en el helio es tan violento — átomos ligeros, atracción endeble — que el líquido *nunca* se congela bajo su propia presión de vapor: el único elemento todavía líquido en el cero absoluto, que solo solidifica con la ayuda de 25 atmósferas.

**Ejemplo 9.5 (Escalas de ℏω\hbar\omegaℏω).**

Enlace del monóxido de carbono ($\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): $\hbar\omega =
0.27\,\mathrm{eV}$, diez veces el $k_{\text{B}}T$ de la temperatura ambiente — las vibraciones moleculares están congeladas en el aire cotidiano, y por eso las capacidades caloríficas de los gases diatómicos desconcertaron al siglo XIX. Un péndulo ($\omega = 5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): $\hbar\omega = 3 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}$, desesperadamente fuera de resolución — el límite de correspondencia. Un espejo de LIGO de $40\,\mathrm{kg}$, suspendido de modo que oscile a $100\,\mathrm{Hz}$, tiene como modo de oscilador la amplitud de punto cero $\Delta x =
\sqrt{\hbar/2m\omega} \approx 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — y el observatorio resuelve de forma rutinaria desplazamientos *en* este suelo cuántico: el movimiento de punto cero de un objeto de cuarenta kilos es hoy una restricción de ingeniería ([Ejercicio 9.3](#exo-b3-harmonic-oscillator-3)).

## 9.3 Estados coherentes: la cara clásica del oscilador cuántico

**Definición 9.6 (Estados coherentes).**

Un *estado coherente* $\ket\alpha$ es un vector propio del [operador de aniquilación](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder), $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$, con $\alpha$ un número complejo cualquiera. Desarrollado sobre la escalera,

$$
\ket\alpha = \eu^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty
\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,\ket n :
$$

el recuento cuántico sigue una distribución de Poisson de media $\langle\hat
N\rangle = |\alpha|^2$ y dispersión $\Delta N = |\alpha|$.

**Proposición 9.7 (Por qué los láseres son clásicos).**

Un [estado coherente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) es la gaussiana del estado fundamental desplazada en el [espacio de fases](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian); bajo la evolución del oscilador *sigue* siendo coherente, con $\alpha(t) = \alpha\,\eu^{-\iu\omega t}$: su centro ejecuta exactamente el movimiento clásico, $\langle\hat x\rangle(t) =
x_0\cos\omega t + \cdots$, mientras que sus anchuras permanecen en el mínimo $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ para siempre — un paquete de ondas que nunca se ensancha. Los [estados coherentes](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) son la manera en que un oscilador cuántico se hace pasar por uno clásico; la luz de un láser es un [estado coherente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) de un modo del campo, con su número de fotones poissoniano (el *ruido de disparo* de todo fotodetector) y su campo oscilando como dijo Maxwell.

**Demostración parcial.** El desarrollo se sigue de escribir $\ket\alpha = \sum c_n\ket n$ en $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$: $c_n = \alpha c_{n-1}/\sqrt
n$. Evolución: cada $\ket n$ adquiere $\eu^{-\iu(n + 1/2)\omega t}$, que vuelve a sumarse en un [estado coherente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) de $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (salvo fase global). $\langle\hat x\rangle \propto
\operatorname{Re}\alpha(t)$ a partir de $\hat x \propto \hat a +
\hat a^\dagger$. Que el estado sea la gaussiana desplazada se admite aquí. ∎

![Retrato en el espacio de fases (compárese con el ): el estado fundamental es una mancha de incertidumbre mínima en el origen; un estado coherente es la misma mancha desplazada, que gira a sin deformarse — la mejor imitación de una oscilación clásica que logra la mecánica cuántica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-790b6afc3985.svg)

*Retrato en el [espacio de fases](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) (compárese con el [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#ch-b3-hamiltonian-mechanics)): el estado fundamental es una mancha de incertidumbre mínima en el origen; un [estado coherente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) es la misma mancha desplazada, que gira a $\omega$ sin deformarse — la mejor imitación de una oscilación clásica que logra la mecánica cuántica.*

**Método 9.8 (Álgebra del oscilador).**

(1) Exprésese lo que se pida en $\hat a$ y $\hat a^\dagger$: $\hat x
= \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p =
\iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (2) Llévense los $\hat a$ a la derecha con $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$; úsese $\hat a\ket0 = 0$. (3) Elementos de matriz: $\hat x$ conecta solo peldaños vecinos — la regla de selección $\Delta n = \pm1$ de la espectroscopia vibracional. (4) Todo [hamiltoniano](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) cuadrático (osciladores acoplados, circuitos, modos de campo) se diagonaliza en escaleras independientes: hállense primero los [modos normales](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/1-mecanica-lagrangiana#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) y cuantícese cada uno. (5) Números primero: $\hbar\omega$ frente a $k_{\text{B}}T$ decide si el sistema es cuántico o clásico antes de cualquier álgebra.

## 9.4 Ejercicios

**Ejercicio 9.1 ★.**

(a) Verifíquese $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ a partir de $[\hat x, \hat p] =
\iu\hbar$. (b) Verifíquese $\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a +
\tfrac12)$ por desarrollo directo. (c) Inviértase para expresar $\hat x$ y $\hat p$. (d) Muéstrese que $\hat N$ es hermítico y explíquese por qué $\hat a$ por sí solo no podría ser un observable.

**Solución de Ejercicio 9.1.**

(a) Al desarrollar, los términos en $\hat x^2$ y $\hat p^2$ se cancelan entre $\hat a\hat a^\dagger$ y $\hat a^\dagger\hat a$, de modo que queda $(m\omega/2\hbar)(-2\iu/m\omega)[\hat x, \hat p] =
(-\iu/\hbar)(\iu\hbar) = 1$. (b) $\hat a^\dagger\hat a = (m\omega\hat x^2/2\hbar) +
(\hat p^2/2m\hbar\omega) - \tfrac12$: multiplíquese por $\hbar\omega$. (c) $\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p
= \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (d) $\hat
N^\dagger = \hat a^\dagger\hat a = \hat N$; $\hat a$ no es hermítico, y sus “[valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable)” $\alpha$ son complejos — ningún aparato de medida los devuelve.

**Ejercicio 9.2 ★.**

Sobre el estado propio $\ket n$: (a) muéstrese que $\langle\hat x\rangle =
\langle\hat p\rangle = 0$; (b) calcúlense $\langle\hat x^2\rangle$ y $\langle\hat p^2\rangle$; (c) dedúzcase $\Delta x\,\Delta p = (n +
\tfrac12)\hbar$; (d) compruébese la relación del virial $\langle E_k\rangle =
\langle E_p\rangle$.

**Solución de Ejercicio 9.2.**

(a) $\hat x$ y $\hat p$ desplazan $n$ en $\pm1$: los elementos diagonales se anulan. (b) $\langle\hat x^2\rangle = (\hbar/2m\omega)(2n + 1)$, $\langle\hat p^2\rangle = (m\hbar\omega/2)(2n + 1)$ (los términos en $\hat
a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a$). (c) $\Delta x\Delta p
= (n + \tfrac12)\hbar$: solo el estado fundamental es mínimo. (d) Ambas medias valen $E_n/2$: la equipartición del oscilador clásico, nivel a nivel.

**Ejercicio 9.3 ★.**

Amplitudes de punto cero $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$: calcúlense para (a) la molécula de CO ($\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\omega =
4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), comparada con la longitud de enlace de $0.11\,\mathrm{nm}$; (b) un átomo de hidrógeno en un sólido ($m =
1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $\hbar\omega = 0.1\,\mathrm{eV}$); (c) un espejo de LIGO ($m = 40\,\mathrm{kg}$, $f = 100\,\mathrm{Hz}$); (d) ordénense las tres como fracciones del tamaño de sus sistemas y coméntese quién es “cuántico”.

**Solución de Ejercicio 9.3.**

(a) $\Delta x = 3.4\,\mathrm{pm}$: un tres por ciento del enlace — una molécula es un objeto algo borroso incluso a temperatura nula. (b) $14\,\mathrm{pm}$, más de una décima de ángstrom: el hidrógeno es el átomo más borroso de cualquier cristal, cosa que la dispersión de neutrones ve directamente. (c) $4.6 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — veinticinco órdenes por debajo del tamaño del espejo y, aun así, la lectura de LIGO llega hasta ahí. (d) En fracción: molécula $3\%$, hidrógeno $\sim15\%$, espejo $\sim10^{-19}$: “cuántico” no va de ser pequeño, sino de $\hbar\omega$ frente a todo lo demás — y, aun así, con suficiente finura, hasta cuarenta kilogramos enseñan su suelo.

**Ejercicio 9.4 ★.**

(a) Usando las relaciones de escalera, calcúlese $\bra m\hat x\ket n$ y muéstrese que se anula salvo si $m = n \pm 1$. (b) Dedúzcase la regla de selección vibracional $\Delta n = \pm1$ para la absorción de luz (el acoplamiento es $\propto\hat x$). (c) ¿Por qué absorbe luz infrarroja una molécula heteronuclear (CO) y no la absorbe el N$_2$? (d) Las moléculas reales muestran líneas débiles de “sobretono” en $\approx 2\hbar\omega$: ¿qué revela eso sobre el potencial?

**Solución de Ejercicio 9.4.**

(a) $\bra m\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\sqrt n\,
\delta_{m,n-1} + \sqrt{n + 1}\,\delta_{m,n+1})$. (b) La interacción con la luz, $\propto\hat x$, solo puede subir o bajar un peldaño: $\Delta n =
\pm1$, una frecuencia infrarroja por modo. (c) La vibración del CO modula un dipolo no nulo; la nube de carga simétrica del N$_2$ no produce ninguno por mucho que se estire: inactiva en el infrarrojo. (d) Los sobretonos existen solo porque el potencial verdadero no es exactamente cuadrático: la anarmonicidad mezcla peldaños y permite débilmente $\Delta n = 2$ — y acerca entre sí los peldaños altos, como muestran los espectros reales.

**Ejercicio 9.5 ★★.**

(a) Resuélvase $\hat a\varphi_0 = 0$ como ecuación diferencial y normalícese. (b) Genérense $\varphi_1$ y $\varphi_2$ aplicando $\hat a^\dagger$. (c) Verifíquese $\varphi_1 \perp \varphi_0$ solo por paridad. (d) Esbócense las tres densidades y compruébese el recuento de nodos.

**Solución de Ejercicio 9.5.**

(a) $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x\varphi_0$: la gaussiana normalizada del texto. (b) $\varphi_1 \propto x\eu^{-m\omega
x^2/2\hbar}$; $\varphi_2 \propto (2m\omega x^2/\hbar -
1)\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}$. (c) $\varphi_0$ es par y $\varphi_1$, impar: el integrando del solapamiento es impar. (d) Cero, uno y dos nodos — el teorema de oscilación en miniatura.

**Ejercicio 9.6 ★★.**

Anticipo de Boltzmann. Un conjunto de osciladores idénticos a temperatura $T$ ocupa el nivel $n$ con probabilidad $\propto
\eu^{-E_n/k_{\text{B}}T}$ (volumen del Año 2, factor de Boltzmann). (a) Muéstrese que el número cuántico medio es $\langle n\rangle =
1/(\eu^{\hbar\omega/k_{\text{B}}T} - 1)$. (b) Evalúese para la vibración del CO a $300\,\mathrm{K}$ y a $2000\,\mathrm{K}$. (c) Muéstrese que la energía media tiende a $k_{\text{B}}T$ a alta temperatura (equipartición recuperada) y a $\tfrac12\hbar\omega$ a baja. (d) ¿A qué temperatura tiene una vibración de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (la flexión del dióxido de carbono) $\langle n\rangle = 0.1$?

**Solución de Ejercicio 9.6.**

(a) Con $x = \hbar\omega/k_{\text{B}}T$: $\langle n\rangle =
\sum n\eu^{-nx}/\sum\eu^{-nx} = 1/(\eu^x - 1)$. (b) CO a $300\,\mathrm{K}$: $x = 10.4$, $\langle n\rangle \approx 3 \times 10^{-5}$ — congelado; a $2000\,\mathrm{K}$: $x = 1.57$, $\langle n\rangle = 0.26$ — despertando. (c) $\langle E\rangle = \hbar\omega(\langle n\rangle +
\tfrac12) \to k_{\text{B}}T$ para $x \ll 1$; $\to \tfrac12\hbar
\omega$ para $x \gg 1$. (d) $\eu^x = 11$: $x = 2.4$, $T =
\hbar\omega/2.4k_{\text{B}} \approx 400\,\mathrm{K}$ — la atmósfera terrestre mantiene parcialmente encendida la flexión del dióxido de carbono.

**Ejercicio 9.7 ★★.**

Estadística de los [estados coherentes](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent). (a) A partir del desarrollo de $\ket\alpha$, muéstrese que $\mathcal P(n)$ es de Poisson con media $|\alpha|^2$. (b) Muéstrese que $\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2$ y $\Delta N = |\alpha|$. (c) Un láser de $1\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$: fotones por segundo y fluctuación relativa $\Delta N/\langle N\rangle$ en un segundo. (d) Ruido de disparo: muéstrese que la razón ruido/señal de la fotocorriente cae como $1/\sqrt{\langle N\rangle}$ — por qué los haces intensos parecen suaves.

**Solución de Ejercicio 9.7.**

(a) $\mathcal P(n) = |c_n|^2 = \eu^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!$: Poisson. (b) La media y la varianza de una Poisson valen ambas $|\alpha|^2$. (c) $3.2 \times 10^{15}$ fotones por segundo; $\Delta N/\langle N\rangle =
1/\sqrt{\langle N\rangle} \approx 1.8 \times 10^{-8}$. (d) La fotocorriente hereda la dispersión de Poisson: ruido sobre señal $\propto 1/\sqrt N$ — el suelo de ruido de disparo, audible con luz débil y despreciable con luz intensa.

**Ejercicio 9.8 ★★.**

Evolución de un [estado coherente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent). (a) Aplíquense las fases de evolución al desarrollo y muéstrese que se obtiene $\ket{\alpha(t)}$ con $\alpha(t) =
\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (salvo una fase global). (b) Dedúzcanse $\langle\hat x\rangle(t)$ y $\langle\hat p\rangle(t)$ y compárense con la solución clásica. (c) ¿Por qué un estado propio de la energía, pese a ser estacionario, *no* describe un péndulo que oscila, y qué rasgo del [estado coherente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) sí lo hace? (d) Estímese $|\alpha|$ para un péndulo real ($10\,\mathrm{g}$, $10\,\mathrm{cm}$ de amplitud, $1\,\mathrm{Hz}$) y coméntese.

**Solución de Ejercicio 9.8.**

(a) Cada término gana $\eu^{-\iu n\omega t}$ (salvo fase global): la suma vuelve a ser coherente con $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$. (b) $\langle\hat x\rangle = \sqrt{2\hbar/m\omega}\,
\operatorname{Re}\,\alpha(t)$: un coseno puro a $\omega$, con la amplitud y la fase fijadas por $\alpha$ — exactamente clásico. (c) La densidad de un estado propio no se mueve nunca; el péndulo que vemos es una superposición coherente de muchos peldaños cuyas fases conspiran para oscilar. (d) $E
\approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$, $\hbar\omega \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}$: $n
\sim 3 \times 10^{30}$, $|\alpha| \sim 2 \times 10^{15}$ — el movimiento macroscópico es coherencia con números cuánticos astronómicos.

**Ejercicio 9.9 ★★.**

El circuito LC cuántico. Un lazo superconductor con $L =
10\,\mathrm{nH}$ y $C = 0.4\,\mathrm{pF}$ hace oscilar la carga y el flujo como $x$ y $p$. (a) Su frecuencia de resonancia (volumen del Año 1) y el cuanto $\hbar\omega$ en $\text{µ}\mathrm{eV}$. (b) ¿Por debajo de qué temperatura se cumple $k_{\text{B}}T \ll \hbar\omega$, de modo que el circuito quede en su estado fundamental? (c) ¿Por qué se operan los cúbits superconductores en refrigeradores de dilución a $20\,\mathrm{mK}$? (d) La fluctuación de tensión de punto cero $\Delta V = \Delta q/C$ con $\Delta q =
\sqrt{\hbar\omega C/2}$: evalúese.

**Solución de Ejercicio 9.9.**

(a) $\omega = 1/\sqrt{LC} = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f =
2.5\,\mathrm{GHz}$); $\hbar\omega = 10\,\text{µ}\mathrm{eV}$. (b) $\hbar\omega/k_{\text{B}} = 0.12\,\mathrm{K}$: bastante por debajo de unos $100\,\mathrm{mK}$. (c) A $20\,\mathrm{mK}$, la excitación térmica es $\eu^{-6} \sim 2 \times 10^{-3}$: el circuito se sitúa en $\ket0$, listo para ser un cúbit — la temperatura ambiente enterraría lo cuántico bajo $10^3$ cuantos térmicos. (d) $\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2} =
5.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (unas pocas cargas del electrón); $\Delta V = \Delta q/C
\approx 1.4\,\text{µ}\mathrm{V}$ de zumbido irreducible.

**Ejercicio 9.10 ★★★.**

Van der Waals a partir del movimiento de punto cero. Modelícense dos átomos neutros a distancia $R$ como dos osciladores dipolares idénticos (carga $e$, masa $m$, frecuencia $\omega_0$) cuyos desplazamientos se acoplan mediante la energía dipolar $\lambda\,x_1x_2$ con $\lambda = e^2/2\pi\varepsilon_0R^3$. (a) Muéstrese que las coordenadas normales $(x_1 \pm x_2)/\sqrt2$ oscilan a $\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1 \pm \lambda/m\omega_0^2}$. (b) La energía fundamental es $\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_-)$: desarróllese a segundo orden en $\lambda$ y muéstrese que la energía de interacción es

$$
\Delta E = -\frac{\hbar\lambda^2}{8m^2\omega_0^3}
\ \propto\ -\frac{1}{R^6} .
$$

(c) ¿Por qué es universal esta atracción — presente incluso entre átomos sin dipolo permanente alguno? (d) La ley $1/R^6$ es la fuerza de van der Waals de las correcciones al gas real del volumen del Año 1: ¿qué “fluctúa”, microscópicamente, y qué le ocurriría a esta fuerza en un mundo con $\hbar = 0$?

**Solución de Ejercicio 9.10.**

(a) En coordenadas normales, el [hamiltoniano](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) se separa en dos osciladores con $m\omega_\pm^2 = m\omega_0^2 \pm \lambda$. (b) $\sqrt{1 + u} + \sqrt{1 - u} \approx 2 - u^2/4$: $\Delta E =
\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_- - 2\omega_0) =
-\hbar\omega_0\lambda^2/8m^2\omega_0^4 =
-\hbar\lambda^2/8m^2\omega_0^3$, y $\lambda \propto 1/R^3$ da $1/R^6$. (c) No necesita dipolos permanentes — solo las *fluctuaciones* de punto cero de la nube de carga de cada átomo, que el acoplamiento correlaciona de modo que la atracción supere a la repulsión. (d) La magnitud que fluctúa es el dipolo instantáneo del estado fundamental; con $\hbar = 0$, el estado fundamental estaría inmóvil y sin dipolo, y el pegamento de van der Waals — las salamanquesas, los gases licuados, buena parte de la materia blanda — se desvanecería.

**Ejercicio 9.11 ★★★.**

Bandas laterales de un ion atrapado. Un ion en una trampa armónica ($f =
1\,\mathrm{MHz}$) absorbe luz láser. Como el ion se mueve, su espectro de absorción muestra la línea electrónica en $\nu_0$ flanqueada por líneas en $\nu_0 \pm f$: transiciones que cambian en $\mp1$ el número cuántico *de movimiento* junto con el electrónico. (a) ¿Cuánto vale $\hbar\omega_{\text{trampa}}$ en $\mathrm{neV}$ y por qué hace falta una línea muy estrecha para resolver las bandas laterales? (b) Excitar la línea $\nu_0 - f$ retira un cuanto de movimiento por ciclo: explíquese el *enfriamiento por banda lateral* hasta el estado fundamental. (c) Una vez que $\langle n\rangle \approx
0$, la banda lateral inferior desaparece por completo — ¿por qué es esa asimetría una prueba de haber alcanzado el estado fundamental cuántico? (d) Así es como se certifica el estado fundamental de movimiento de un solo átomo — y, por otros medios, el de los espejos de LIGO de escala kilogramo —: dígase a qué “temperatura” ha llegado el ion para $f = 1\,\mathrm{MHz}$ y $\langle n\rangle = 0.05$.

**Solución de Ejercicio 9.11.**

(a) $hf = 4.1\,\mathrm{neV}$: la línea óptica debe ser más estrecha que un megahercio — solo cumplen el requisito las transiciones “de reloj” de larga vida. (b) Un fotón de la banda lateral roja excita electrónicamente al ion mientras *retira* un cuanto de movimiento; la desexcitación posterior devuelve en promedio la energía electrónica a la frecuencia portadora: cada ciclo extrae $\hbar\omega_{\text{trampa}}$ de movimiento. (c) Desde $n = 0$ no queda nada que retirar: la desaparición de la banda lateral roja es un certificado sin fondo del estado fundamental. (d) $\langle n\rangle = 0.05$: $T = \hbar\omega/k_{\text{B}}\ln21
\approx 16\,\text{µ}\mathrm{K}$.

**Ejercicio 9.12 ★★★.**

El límite clásico, cuantitativamente. Un oscilador clásico de amplitud $A$ pasa en $[x, x + \dd x]$ la fracción $\dd
t/T = \dd x/\pi\sqrt{A^2 - x^2}$. (a) Dedúzcase esta distribución del tiempo de permanencia. (b) Para el estado cuántico $n$, tómese $A_n$ de $E_n =
\tfrac12 m\omega^2A_n^2$ y compárese la distribución clásica con el $|\varphi_n|^2$ (dado) promediado localmente: ¿dónde coinciden y dónde tienen que diferir? (c) Muéstrese que el espaciado relativo entre niveles contiguos, $\Delta E/E$, se anula como $1/n$: la energía se vuelve efectivamente continua. (d) Para el péndulo del [Ejercicio 9.8](#exo-b3-harmonic-oscillator-8)(d), estímense $n$ y $\Delta
E/E$, y conclúyase el argumento de correspondencia en una frase.

**Solución de Ejercicio 9.12.**

(a) $\dd t = \dd x/|v|$ con $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$, a lo largo del semiperiodo $T/2 = \pi/\omega$. (b) Coinciden en los promedios locales de la región clásicamente permitida; deben diferir en los puntos de retorno (divergencia clásica frente a picos cuánticos finitos) y más allá de ellos (colas cuánticas en la región prohibida). (c) $\Delta E/E = 1/(n +
\tfrac12)$. (d) $n \sim 3 \times 10^{30}$: un espaciado de una parte en $10^{30}$ — ninguna medida concebible resuelve la escalera, y la mecánica parece continua.

## 9.5 Problema: la molécula que calienta la Tierra

**Problema 9.1.**

Problema de fin de semana — la escalera cuántica del dióxido de carbono y el efecto invernadero

Una molécula de dióxido de carbono es una cadena lineal O=C=O: unos pocos osciladores cuantizados. Que el $\hbar\omega$ de su modo de flexión caiga justo en mitad del resplandor térmico que la Tierra emite es la razón por la que este gas traza — cuatro moléculas de cada diez mil — gobierna el clima del planeta. Datos: número de ondas de la flexión $\tilde\nu_2 = 667\,\mathrm{cm}^{-1}$ (la unidad del espectroscopista: $E = hc\tilde\nu$, $1\,\mathrm{cm}^{-1} =
1.24 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$); tensión asimétrica $\tilde\nu_3 =
2349\,\mathrm{cm}^{-1}$; tensión simétrica $\tilde\nu_1 =
1388\,\mathrm{cm}^{-1}$; $k_{\text{B}}T$ a $288\,\mathrm{K}$ vale $24.8\,\mathrm{meV}$; ley de Wien (volumen del Año 2): $\lambda_{\max}T =
2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$.

**Parte I — Los modos de una molécula lineal.**

1. Tres átomos tienen nueve [grados de libertad](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) : ¿cuántos son traslaciones de la molécula entera, cuántos rotaciones (la molécula es *lineal* ) y cuántas vibraciones quedan?
2. Descríbanse las cuatro vibraciones: tensión simétrica, tensión asimétrica y una flexión doblemente degenerada — ¿por qué aparece dos veces la flexión?
3. La luz se acopla a un *dipolo eléctrico* que vibra ( [Ejercicio 9.4](#exo-b3-harmonic-oscillator-4) ). ¿Qué modos de O=C=O modulan el momento dipolar y cuál es mudo en el infrarrojo?
4. Conviértanse los tres números de ondas en longitudes de onda de fotón y sitúense: ¿cuáles caen en el infrarrojo térmico?
5. ¿Por qué no absorben prácticamente nada de infrarrojo los dos gases principales del aire, N $_2$ y O $_2$ , y con qué consecuencia para la transparencia de la atmósfera?
6. El vapor de agua, angular y dipolar, absorbe en buena parte del infrarrojo: ¿en qué “ventana” espectral opera casi en solitario la flexión del dióxido de carbono (compárense los $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ con las bandas intensas del agua por debajo de $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ y por encima de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?

**Parte II — La escalera cuántica de la flexión.**

7. Calcúlese $\hbar\omega_2$ en meV y la escalera $E_n$ .
8. ¿Qué fracción de moléculas ocupa $n = 1$ a $288\,\mathrm{K}$ (respecto de $n = 0$ , factor de Boltzmann)? ¿Y $n = 2$ ?
9. ¿Qué longitud de onda de fotón impulsa $n = 0 \to 1$ ? ¿Por qué domina la *misma* longitud de onda la emisión?
10. Justifíquese, a partir de la escalera armónica, que una sola longitud de onda sirva a toda la escalera ( $n \to n + 1$ para todo $n$ ): ¿qué propiedad del espaciado de niveles interviene?
11. La molécula también rota, lo que añade estructura fina: el rasgo de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ es en realidad una *banda* de aproximadamente $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ de anchura. ¿Por qué importa la *anchura* de banda para un gas de efecto invernadero (piénsese en qué ocurre una vez que el centro de la banda es opaco)?
12. Un CO $_2$ vibracionalmente excitado en el aire tiene mucha más probabilidad de perder su cuanto por colisión que por radiación (vida media radiativa $\sim1\,\mathrm{s}$ , tiempo entre colisiones $\sim10^{-9}\,\mathrm{s}$ ): ¿adónde va realmente la energía radiante absorbida?
13. A la inversa, el aire a $288\,\mathrm{K}$ mantiene una población térmica en $n = 1$ (pregunta 8): ¿qué hace esa población que importe para el balance energético?

**Parte III — La contabilidad radiativa del planeta.**

14. El Sol radia como un cuerpo a $5800\,\mathrm{K}$ : calcúlese su pico de Wien. ¿Intercepta mucha luz solar la flexión del CO $_2$ ?
15. El suelo radia como un cuerpo a $288\,\mathrm{K}$ : calcúlese su pico de Wien y sitúense los $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ en esa curva térmica.
16. Explíquese el mecanismo de efecto invernadero en cuatro frases: la luz solar entra, el infrarrojo térmico sale, se intercepta en $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ y se reemite tanto hacia arriba *como* hacia abajo.
17. La reemisión que escapa al espacio procede de capas altas y frías ( $\sim220\,\mathrm{K}$ ): ¿por qué reduce la potencia saliente del planeta en esas longitudes de onda el hecho de emitir desde una capa más fría (recuérdese que la emisión térmica crece con $T$ )?
18. Más CO $_2$ empuja la capa emisora más arriba y más fría: enúnciese en una frase por qué debe entonces calentarse la superficie para reequilibrar las cuentas.
19. El centro de la banda ya es opaco; el efecto del CO $_2$ añadido actúa en las *alas* de la banda, lo que da un crecimiento logarítmico del forzamiento con la concentración: conéctese esto con la pregunta 11.

**Parte IV — Isótopos: la huella dactilar cuántica.**

20. La frecuencia de un oscilador va como $\sqrt{k/\mu}$ : para la tensión asimétrica, sustituir $^{12}$ C por $^{13}$ C cambia la masa efectiva; la línea observada se desplaza de $2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ a unos $2283\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Compruébese el orden de magnitud de este desplazamiento del $\approx 3\%$ a partir de las masas.
21. Unos láseres sintonizados con esas dos líneas cuentan por separado el $^{13}$ CO $_2$ y el $^{12}$ CO $_2$ de una muestra de gas: explíquese por qué la escalera cuantizada hace posible esa detección resuelta en isótopos.
22. Las plantas prefieren el isótopo ligero, de modo que el carbono fósil es pobre en $^{13}$ C: ¿qué ha hecho la razón isotópica medida del CO $_2$ atmosférico a medida que crecía su concentración, y qué demuestra eso sobre la *fuente* del gas añadido?
23. La misma física de los $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ opera en Venus ( $96\%$ de CO $_2$ , $90\,\mathrm{bar}$ ): ¿qué ilustra su superficie a $737\,\mathrm{K}$ ?
24. Marte respira también CO $_2$ casi puro, pero a $6\,\mathrm{mbar}$ , y es gélido: ¿qué demuestra el trío Venus–Tierra–Marte sobre qué variable controla la intensidad del efecto?
25. Resúmase el resultado con nombre propio: un cuanto de $83\,\mathrm{meV}$ — el $\hbar\omega$ de la flexión de una molécula triatómica — aparcado en $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre el espectro térmico de un planeta a $288\,\mathrm{K}$ , absorbido, termalizado en nanosegundos y reemitido desde altitudes frías, es el mecanismo por el que un $0.04\%$ del aire fija la temperatura de la Tierra.

**Solución de Problema 9.1.**

**1.** Tres traslaciones; *dos* rotaciones (girar en torno al eje molecular no mueve nada); $9 - 5 = 4$ vibraciones. **2.** Modos de tensión a lo largo del eje (simétrico: los dos O salen a la vez; asimétrico: el C va y viene entre ellos); la flexión puede darse en cualquiera de dos planos perpendiculares — misma frecuencia, doble degeneración. **3.** La tensión asimétrica y las flexiones separan los centros de carga: dipolo oscilante, activo en el infrarrojo. La tensión simétrica mantiene nulo el dipolo de la molécula en todo momento: muda en el infrarrojo. **4.** $15.0$, $4.26$ y $7.2\,\text{µ}\mathrm{m}$: todas infrarrojas; los $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ se sitúan de lleno en el infrarrojo *térmico* de las temperaturas terrestres. **5.** Las moléculas homonucleares no adquieren nunca dipolo al vibrar: el grueso de la atmósfera es transparente al infrarrojo, y todo el efecto invernadero descansa sobre gases poliatómicos traza. **6.** Entre las bandas del agua se abre la ventana de $8$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$; la banda de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ del dióxido de carbono opera en su borde, donde el agua compite débilmente — el gas guarda una puerta que el agua deja entornada. **7.** $\hbar\omega_2 = 667 \times 1.24 \times 10^{-4} =
82.7\,\mathrm{meV}$; $E_n = (n + \tfrac12) \times 82.7\,\mathrm{meV}$. **8.** $\eu^{-82.7/24.8} = \eu^{-3.33} \approx 3.6\%$ en $n =
1$; $0.13\%$ en $n = 2$: la escalera está levemente, pero permanentemente, encendida. **9.** $\lambda = hc/\hbar\omega \to 15.0\,\text{µ}\mathrm{m}$; el mismo espaciado que absorbe es el que emite — una sola longitud de onda en los dos sentidos. **10.** Espaciado igual: todo paso $n \to n + 1$ cuesta el mismo fotón, de modo que una sola línea sirve a toda la población térmica. **11.** Cada línea vibracional se desdobla en muchas líneas rotovibracionales repartidas sobre $\sim1\,\text{µ}\mathrm{m}$: una vez que el centro de la banda es completamente opaco, solo esa *anchura* ofrece absorción nueva — las alas de la banda son donde el gas adicional todavía actúa. **12.** Las colisiones ganan por nueve órdenes de magnitud: la energía del fotón se comparte con el N$_2$ y el O$_2$ en cuestión de nanosegundos — la radiación absorbida se convierte en *calor del aire*. **13.** Por esas mismas colisiones en sentido inverso, el aire sigue alimentando moléculas al nivel $n = 1$, que radian $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ en todas las direcciones — incluida la de *abajo*: el propio cielo brilla en el infrarrojo sobre el suelo. **14.** $2898/5800 = 0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$: la luz solar tiene su pico en el visible, muy lejos de los $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — el dióxido de carbono deja entrar al Sol. **15.** $2898/288 = 10.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: el resplandor de la Tierra tiene su pico en diez micrómetros, y los $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ caen sobre su ancho hombro, llevándose una parte sustancial de la potencia saliente. **16.** La luz solar entra casi sin estorbo y calienta el suelo. El suelo reemite en el infrarrojo térmico. En $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ esa radiación se absorbe en cuestión de metros y se termaliza. El aire calentado reemite hacia arriba y hacia abajo, y la mitad descendente es un ingreso adicional para la superficie: esta debe calentarse hasta que los gastos igualen a los ingresos. **17.** La emisión crece bruscamente con la temperatura: la radiación que escapa desde una altitud a $220\,\mathrm{K}$ lleva mucha menos potencia que la que la superficie habría enviado directamente — la banda es una zona más apagada del espectro saliente del planeta. **18.** Con la potencia saliente reducida a insolación fija, toda la columna — superficie incluida — debe calentarse hasta que las cuentas vuelvan a cuadrar. **19.** Centro saturado, alas activas: cada duplicación del gas ensancha la región opaca en un incremento similar, de ahí un forzamiento aproximadamente logarítmico — las alas de la pregunta 11 haciendo el trabajo. **20.** La frecuencia de la tensión asimétrica va al cuadrado como $(1/m_{
\text{O}} + 2/m_{\text{C}})$: la razón de $^{13}$C sobre $^{12}$C vale $\sqrt{0.2163/0.2292} = 0.971$ — una caída del $2.9\%$, que coincide con $2283/2349$. **21.** La cuantización da a cada isotopólogo su propio peine nítido de líneas; un láser aparcado en un peine cuenta un solo isótopo — imposible si la absorción fuera un continuo clásico. **22.** A medida que subía el CO$_2$, su fracción de $^{13}$C *bajaba* (el efecto Suess): el carbono añadido es isotópicamente ligero — hecho por plantas, enterrado hace mucho, es decir, fósil. La atmósfera lleva la firma de su fuente. **23.** Venus: el mismo cuanto de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$, aplicado sobre una columna $200000$ veces mayor, mantiene una superficie más caliente que un horno — el mecanismo no tiene techo incorporado. **24.** Marte, casi CO$_2$ puro y sin embargo glacial, muestra que lo que fija la intensidad es *la cantidad de columna y la presión* (que ensancha las líneas), no la fracción del gas. **25.** Un cuanto de $83\,\mathrm{meV}$ en $15\,\text{µ}\mathrm{m}$, absorbido sobre el hombro térmico de un planeta a $288\,\mathrm{K}$, termalizado en nanosegundos y reemitido desde alturas frías: la escalera del oscilador armónico, sopesada frente a la ley de Wien, es la maquinaria por la que cuatro moléculas de cada diez mil gobiernan un clima.