---
title: "Mécanique lagrangienne"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne
---

# Chapitre 1 — Mécanique lagrangienne

Essayez d’écrire la loi de Newton pour un double pendule : deux forces de tension, dont aucune n’est connue à l’avance, changeant toutes deux de direction à chaque instant, et quatre équations scalaires à démêler rien que pour savoir comment évoluent deux angles. Faites de même pour une perle sur un cerceau tournant, une chaîne de ressorts couplés, un bras de robot. Les forces qui tiennent un système — tiges, rails, articulations — ne travaillent pas, et pourtant la méthode de Newton nous oblige à les traîner dans tout le calcul. Ce chapitre présente la reformulation que Lagrange publia en 1788 : décrire le système par les quelques coordonnées qui peuvent réellement varier, écrire une seule fonction $L = E_k - E_p$, et une unique recette produit les équations du mouvement dans n’importe quelles coordonnées, toutes tiges et tous rails déjà éliminés. Mieux, la nouvelle formulation rend visible ce que celle de Newton cache : chaque symétrie de $L$ donne une grandeur conservée — la quantité de mouvement pour l’uniformité de l’espace, l’énergie pour celle du temps —, un résultat d’Emmy Noether devenu le principe organisateur de la physique bien au-delà de la mécanique.

## 1.1 Des forces aux coordonnées

**Définition 1.1 (Contraintes, degrés de liberté, coordonnées généralisées).**

Une *contrainte* est une condition géométrique imposée aux positions d’un système — une perle reste sur son fil, la tige d’un pendule garde une longueur fixe, deux roues d’un même essieu tournent ensemble. Une contrainte que l’on peut écrire comme une équation $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ entre les coordonnées (et éventuellement le temps) est dite *holonome*. Le nombre de façons indépendantes dont la configuration peut encore varier est le nombre de *degrés de liberté* $n$ ; tout jeu de $n$ grandeurs indépendantes $q_1, \dots, q_n$ qui fixe complètement la configuration forme un jeu de *coordonnées généralisées* — angles, longueurs ou tout mélange commode. Leurs dérivées temporelles $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ sont les *vitesses généralisées*.

**Exemple 1.2 (Compter les degrés de liberté).**

Un point sur une table : $n = 2$. Un pendule plan de longueur fixe : un angle, $n = 1$. Un double pendule : deux angles, $n = 1 + 1 = 2$. Une perle sur un cerceau rigide : un angle, $n = 1$ — même si le cerceau lui-même est forcé de tourner, car la rotation imposée n’ajoute aucune liberté. Un solide libre dans l’espace : trois coordonnées de son centre plus trois angles, $n = 6$. Un gaz de $N$ molécules libres (ponctuelles) : $n = 3N$. Chaque [contrainte](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) holonome retire un degré de liberté : deux points reliés par une tige ont $3 + 3 - 1 = 5$.

![Coordonnées généralisées : chaque système est décrit par les angles qui peuvent réellement varier, non par les coordonnées cartésiennes de ses masses. Les tensions des tiges et la réaction normale du cerceau n’apparaissent jamais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-5179478af8d9.svg)

*[Coordonnées généralisées](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) : chaque système est décrit par les angles qui peuvent réellement varier, non par les coordonnées cartésiennes de ses masses. Les tensions des tiges et la réaction normale du cerceau n’apparaissent jamais.*

## 1.2 Le principe de moindre action

**Définition 1.3 (Lagrangien et action).**

Le *lagrangien* d’un système mécanique dont les forces dérivent d’une énergie potentielle $E_p$ est la fonction des coordonnées, des vitesses et éventuellement du temps

$$
L(q, \dot q, t) = E_k - E_p ,
$$

énergie cinétique *moins* énergie potentielle, toutes deux exprimées dans les [coordonnées généralisées](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates). L’*action* d’un mouvement concevable $q(t)$ entre les extrémités fixées $q(t_1)$ et $q(t_2)$ est le nombre

$$
S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L\big(q(t), \dot q(t), t\big)\,\dd t .
$$

$S$ est une *fonctionnelle* : elle avale un chemin entier et renvoie un seul nombre, en joule-secondes — l’unité de la constante de Planck.

**Théorème 1.4 (Principe de Hamilton et équations d’Euler–Lagrange).**

Parmi tous les mouvements concevables joignant les deux mêmes extrémités dans le même temps, le mouvement réel est celui qui rend l’[action](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) *stationnaire* (*[principe de Hamilton](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*, ou principe de *[moindre action](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*). De façon équivalente, le mouvement obéit aux *[équations d’Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*

$$
\frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}
 - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 ,
\qquad i = 1, \dots, n :
$$

une équation du second ordre par degré de liberté, quelles que soient les coordonnées choisies.

**Démonstration.** Déformons le chemin : $q_i(t) \to q_i(t) + \delta q_i(t)$ avec $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$. Au premier ordre,

$$
\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\delta q_i
 + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\delta\dot q_i\Big)\dd t
 = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}
 - \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Big)\delta q_i\,\dd t ,
$$

après intégration par parties du second terme ($\delta\dot q_i =
\dd(\delta q_i)/\dd t$) et suppression du terme de bord, qui s’annule aux extrémités fixées. Si $\delta S = 0$ pour *toute* déformation, la parenthèse doit s’annuler à chaque instant et pour chaque $i$ — si elle était positive quelque part, une bosse $\delta q_i$ concentrée là donnerait $\delta S \neq 0$. La réciproque se lit sur la même ligne. ∎

![Le principe de Hamilton : parmi tous les chemins de mêmes extrémités et de même durée, le chemin réel rend S = ∈t L\, t stationnaire — les déformations q au premier ordre ne changent S qu’au second ordre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-bbbe51a9ada8.svg)

*Le [principe de Hamilton](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) : parmi tous les chemins de mêmes extrémités et de même durée, le chemin réel rend $S = \int L\,\dd t$ stationnaire — les déformations $\delta q$ au premier ordre ne changent $S$ qu’au second ordre.*

**Proposition 1.5 (Newton retrouvé).**

Pour une particule en coordonnées cartésiennes, $L = \tfrac12 m(\dot x^2 +
\dot y^2 + \dot z^2) - E_p(x,y,z)$, et les [équations d’Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) s’écrivent $m\ddot x = -\partial E_p/\partial x$, de même pour $y$ et $z$ : exactement $m\vect a = \vect F$. Mécaniques lagrangienne et newtonienne s’accordent partout où les deux s’appliquent ; la forme nouvelle survit simplement à un changement de coordonnées, ce que ne font pas les équations en composantes de Newton.

**Démonstration.** $\partial L/\partial\dot x = m\dot x$, $\partial L/\partial x =
-\partial E_p/\partial x$ ; l’équation d’Euler–Lagrange est $\dd(m\dot x)/\dd t + \partial E_p/\partial x = 0$. ∎

**Remarque 1.6 (Pourquoi les forces de liaison disparaissent).**

La tension d’une tige, la réaction normale d’un rail, agissent perpendiculairement à tout déplacement que la [contrainte](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) autorise : elles ne travaillent dans aucun mouvement compatible avec la [contrainte](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates). Comme l’[action](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) est bâtie sur des énergies évaluées uniquement le long de tels mouvements, ces forces n’entrent jamais dans $L$ — c’est là le miracle pratique de la méthode. La justification générale (le principe des travaux virtuels de d’Alembert) est admise ici ; pour chaque système de ce livre, la recette ci-dessous se vérifie directement contre Newton, comme l’a amorcé [Proposition 1.5](#prop-b3-lagrangian-mechanics-newton). Si l’on veut la force de liaison elle-même — la tige va-t-elle casser ? —, on revient à Newton pour cette seule force, le mouvement étant déjà connu.

**Méthode 1.7 (La recette lagrangienne).**

(1) Compter les [degrés de liberté](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) et choisir les coordonnées $q_i$ — angles pour les rotations, abscisses le long des rails. (2) Exprimer les positions $\vect r(q_i, t)$, dériver pour obtenir les vitesses et écrire $E_k$ ; écrire $E_p$. (3) $L = E_k - E_p$, en laissant tomber toute constante additive. (4) Une équation d’Euler–Lagrange par coordonnée. (5) Avant de résoudre, récolter les grandeurs conservées : [coordonnées cycliques](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) ([Définition 1.10](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum)) et [fonction énergie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) ([Proposition 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (6) Vérifier les cas limites : petits angles, rotation coupée, cas particuliers connus.

**Exemple 1.8 (Le pendule, en trois lignes).**

Une seule coordonnée $\theta$ ; $\vect v = \ell\dot\theta\,\vect e_\theta$, donc $E_k = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2$ et $E_p = -mg\ell\cos\theta$. Alors $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$, et $\dd(m\ell^2\dot\theta)/\dd t = -mg\ell\sin\theta$ :

$$
\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta ,
$$

l’équation que le volume de première année tirait du moment du poids — sans jamais mentionner la tension.

**Exemple 1.9 (Perle sur un cerceau tournant).**

Une perle de masse $m$ glisse sur un cerceau circulaire vertical de rayon $R$ forcé de tourner autour de son diamètre vertical à $\omega$ constante ([Exemple 1.2](#ex-b3-lagrangian-mechanics-counting)). Une seule coordonnée, l’angle polaire $\theta$ compté depuis le bas. La vitesse de la perle a une composante $R\dot\theta$ le long du cerceau et une composante $\omega R\sin\theta$ due à la rotation imposée, qui lui est perpendiculaire :

$$
L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
 + mgR\cos\theta ,
\qquad
mR^2\ddot\theta = m\omega^2R^2\sin\theta\cos\theta - mgR\sin\theta .
$$

Les équilibres où $\ddot\theta = 0$ : le bas $\theta = 0$ (et le haut, toujours instable) et, lorsque $\omega^2 > g/R$, une nouvelle paire $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$. Écrivez l’équation sous la forme $mR^2\ddot\theta = -\dd U_{\text{eff}}/\dd\theta$ avec l’*énergie potentielle effective*

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = -mgR\cos\theta
 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
$$

rend la géométrie visible : en dessous de la vitesse critique $\omega_{\text{c}} = \sqrt{g/R}$ le bas est un puits ; au-dessus, le bas devient un sommet et la perle se stabilise sur le flanc, d’autant plus haut que le cerceau tourne vite — le principe du régulateur à boules qui gouvernait les machines à vapeur.

![Le potentiel effectif de la perle sur le cerceau tournant. Lorsque franchit √g/R, l’unique puits du bas se scinde en deux puits symétriques : l’angle d’équilibre croît avec la vitesse de rotation.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-2ded9cafbe3c.svg)

*Le potentiel effectif de la perle sur le cerceau tournant. Lorsque $\omega$ franchit $\sqrt{g/R}$, l’unique puits du bas se scinde en deux puits symétriques : l’angle d’équilibre croît avec la vitesse de rotation.*

## 1.3 Symétries et lois de conservation

**Définition 1.10 (Moment conjugué, coordonnée cyclique).**

Le *moment conjugué* de la coordonnée $q_i$ est

$$
p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .
$$

Pour une coordonnée cartésienne, c’est la quantité de mouvement ordinaire $m\dot x$ ; pour un angle, c’est un moment cinétique. Une coordonnée qui ne figure pas dans $L$ (alors que sa vitesse y figure) est dite *cyclique*.

**Proposition 1.11 (Les coordonnées cycliques donnent des lois de conservation).**

Si $q_i$ est cyclique, son [moment conjugué](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) est conservé : $\partial L/\partial q_i = 0$ entraîne $\dd p_i/\dd t = 0$. Choisir les coordonnées de façon qu’un maximum d’entre elles soient cycliques est l’étape la plus efficace de la résolution d’un problème de mécanique.

**Démonstration.** Immédiat, par l’équation d’Euler–Lagrange relative à $q_i$. ∎

**Exemple 1.12 (Force centrale, résolue à vue).**

Une particule dans un potentiel central $E_p(r)$, en coordonnées polaires dans son plan de mouvement :

$$
L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .
$$

$\varphi$ est cyclique, donc $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — le moment cinétique — est conservé : la loi des aires de Kepler, que le volume de première année tirait de l’équation du moment cinétique, tombe ici avant même qu’aucune équation ne soit résolue. L’équation radiale restante est $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$, c’est-à-dire le mouvement à une dimension dans le potentiel effectif $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ de ce volume.

**Théorème 1.13 (Théorème de Noether).**

À toute symétrie continue du [lagrangien](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) correspond une grandeur conservée. Précisément : si le décalage $q_i \to q_i + \varepsilon\,K_i(q)$ laisse $L$ inchangé au premier ordre en $\varepsilon$ pour tous les mouvements, alors

$$
Q = \sum_i p_i\,K_i(q)
$$

est constante le long de tout mouvement réel. L’uniformité de l’espace (invariance par translation) donne la quantité de mouvement ; l’isotropie de l’espace (invariance par rotation) donne le moment cinétique ; l’uniformité du temps donne l’énergie ([Proposition 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)).

**Démonstration.** L’invariance au premier ordre signifie $0 = \delta L = \sum_i\big(\partial_{q_i}L\,K_i +
\partial_{\dot q_i}L\,\dot K_i\big)\varepsilon$. Sur un mouvement réel, $\partial_{q_i}L = \dot p_i$ par Euler–Lagrange, si bien que la parenthèse vaut $\sum_i(\dot p_iK_i + p_i\dot K_i) = \dd Q/\dd t$. Une [coordonnée cyclique](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) est le cas particulier $K_i = \delta_{ij}$. Le cas de la translation du temps demande le calcul distinct de [Proposition 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) ; le théorème complet, pour des transformations qui changent aussi $t$ ou modifient $L$ d’une dérivée totale, se démontre dans les cours de mécanique analytique et est admis ici dans cette généralité. ∎

**Proposition 1.14 (La fonction énergie).**

Le long de tout mouvement, la *[fonction énergie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)*

$$
h = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L
\qquad\text{obéit à}\qquad
\frac{\dd h}{\dd t} = -\frac{\partial L}{\partial t} .
$$

Si $L$ ne dépend pas explicitement du temps, $h$ est conservée. Si de plus les relations $\vect r(q)$ entre positions et coordonnées ne font pas intervenir le temps — pas de rotation imposée, pas de support mobile —, alors $E_k$ est une forme quadratique des $\dot q_i$ et $h = E_k + E_p$ : l’énergie mécanique. Avec une [contrainte](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) dépendant du temps, $h$ est encore conservée dès que $\partial L/\partial t = 0$, mais ce n’est *pas* l’énergie : le moteur qui impose la [contrainte](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) échange du travail avec le système.

**Démonstration.** $\dd h/\dd t = \sum_i(\ddot q_ip_i + \dot q_i\dot p_i) -
\sum_i(\partial_{q_i}L\,\dot q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\ddot q_i) -
\partial_tL$. Les termes en $\ddot q_i$ se compensent ; les [équations d’Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) transforment $\dot p_i$ en $\partial_{q_i}L$, ce qui annule la paire suivante ; il reste $-\partial_tL$. Si $E_k = \tfrac12\sum a_{jk}(q)\dot
q_j\dot q_k$, l’identité d’Euler donne $\sum\dot
q_i\,\partial E_k/\partial\dot q_i = 2E_k$, donc $h = 2E_k - (E_k - E_p)
= E_k + E_p$. ∎

**Exemple 1.15 (Le cerceau tournant conserve hhh, non EEE).**

Pour la perle de [Exemple 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop), $L$ ne contient pas $t$ explicitement, donc $h = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}
(\theta)$ est conservée — mais l’énergie mécanique $E = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$ ne l’est pas : $E = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ varie à mesure que la perle glisse. L’écart est le travail du moteur qui maintient $\omega$ constante pendant que la distance de la perle à l’axe change.

## 1.4 Particules chargées et petites oscillations

**Proposition 1.16 (Lagrangien d’une particule chargée).**

Dans un champ électromagnétique décrit par les potentiels $V$ et $\vect A$ (avec $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ et $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$, comme au volume de deuxième année), le [lagrangien](#def-b3-lagrangian-mechanics-action)

$$
L = \tfrac12 m\vect v^{\,2} - qV + q\,\vect v\cdot\vect A
$$

donne, par les [équations d’Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange), exactement la force de Lorentz $m\dot{\vect v} = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. La force magnétique, qui ne travaille pas et ne dérive d’aucune énergie potentielle ordinaire, entre par un terme linéaire en la vitesse ; le [moment conjugué](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) devient $\vect p = m\vect v + q\vect A$, et non plus $m\vect v$ seul.

**Démonstration.** Pour la composante $x$ : $p_x = m\dot x + qA_x$, et $\partial_xL = -q\,\partial_xV + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. L’équation d’Euler–Lagrange donne $m\ddot x = -q\,\partial_xV -
q\,\dd A_x/\dd t + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. Le long du mouvement $\dd A_x/\dd t = \partial_tA_x + (\vect v\cdot\vect\nabla)A_x$, donc $m\ddot x = qE_x + q\big[\vect v\cdot\partial_x\vect A - (\vect v\cdot
\vect\nabla)A_x\big]$, et la parenthèse est la composante $x$ de $\vect
v\wedge(\vect\nabla\wedge\vect A) = \vect v\wedge\vect B$ — il suffit de développer les deux pour le vérifier. ∎

**Proposition 1.17 (Petites oscillations et modes propres).**

Au voisinage d’un équilibre stable $q^{\text{eq}}$, développons $L$ au second ordre en les écarts $u_i = q_i - q_i^{\text{eq}}$ : $L \approx \tfrac12\sum m_{ij}\dot u_i\dot u_j -
\tfrac12\sum k_{ij}u_iu_j$ avec des matrices symétriques constantes. Les équations du mouvement sont linéaires, et tout mouvement est une superposition de *[modes propres](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes)* : oscillations collectives $u_i(t) = a_i\cos(\Omega t
+ \phi)$ où toutes les coordonnées vibrent à une même fréquence, les amplitudes et les fréquences résolvant $\sum_j(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij})\,a_j = 0$ — un problème matriciel aux valeurs propres, avec $n$ modes pour $n$ [degrés de liberté](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates).

**Démonstration.** Les termes linéaires s’annulent à un équilibre ; les [équations d’Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) du $L$ quadratique s’écrivent $\sum_jm_{ij}\ddot u_j = -\sum_jk_{ij}u_j$. En y injectant l’oscillation d’essai, on obtient le système linéaire annoncé, qui n’a un vecteur d’amplitudes non nul que si $\det(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij}) = 0$ : $n$ valeurs de $\Omega^2$, toutes positives à un équilibre stable. Que le mouvement général soit une superposition des modes est la diagonalisation simultanée de deux formes quadratiques, un résultat de l’algèbre linéaire du volume de mathématiques de deuxième année ; la complétude est admise. ∎

**Exemple 1.18 (Deux pendules couplés par un ressort).**

Deux pendules identiques (masse $m$, longueur $\ell$), leurs masses reliées par un ressort de raideur $k$ détendu quand les deux pendent à la verticale. Pour de petits angles,

$$
L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta_1^2 + \dot\theta_2^2)
 - \tfrac12 mg\ell(\theta_1^2 + \theta_2^2)
 - \tfrac12 k\ell^2(\theta_2 - \theta_1)^2 .
$$

La symétrie suggère les combinaisons $s = \theta_1 + \theta_2$ et $d =
\theta_1 - \theta_2$, qui découplent les équations : le *mode en phase* ($\theta_1 = \theta_2$, ressort inerte) à $\Omega_1 =
\sqrt{g/\ell}$, et le *mode en opposition* ($\theta_1 = -\theta_2$, ressort deux fois plus étiré) à $\Omega_2 = \sqrt{g/\ell + 2k/m}$. Lancez un seul pendule — un mélange égal des deux modes — et l’énergie migre entièrement d’un pendule à l’autre puis revient, à la fréquence de battement $(\Omega_2 - \Omega_1)/2\pi$ : la démonstration des pendules couplés, et le mécanisme de tout transfert résonnant d’énergie, des circuits accordés aux vibrations moléculaires.

![Les deux modes propres des pendules couplés. En phase, le ressort ne s’étire jamais et la fréquence est celle du pendule libre ; en opposition, chaque masse ressent le ressort doublé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-bb6961759200.svg)

*Les deux [modes propres](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) des pendules couplés. En phase, le ressort ne s’étire jamais et la fréquence est celle du pendule libre ; en opposition, chaque masse ressent le ressort doublé.*

![Un double pendule photographié en pose longue : deux coordonnées, un seul lagrangien, et un mouvement qu’aucune formule ne prédit longtemps — la machinerie de moindre action de ce chapitre écrit les équations ; le chaos rend leurs solutions modestes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-8fd84e34147d.jpg)

*Un double pendule photographié en pose longue : deux coordonnées, un seul [lagrangien](#def-b3-lagrangian-mechanics-action), et un mouvement qu’aucune formule ne prédit longtemps — la machinerie de [moindre action](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) de ce chapitre écrit les équations ; le chaos rend leurs solutions modestes.*

## 1.5 Exercices

**Exercice 1.1 ★.**

Compter les [degrés de liberté](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) et proposer des [coordonnées généralisées](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) : (a) une particule à l’intérieur d’un bol fixe ; (b) un cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné fixe ; (c) un double pendule dont le pivot supérieur coulisse sur un rail horizontal ; (d) un haltère (deux masses, tige rigide) dans l’espace ; (e) deux perles sur un même fil circulaire fixe. Laquelle de ces [contraintes](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) relie des vitesses plutôt que des positions, et pourquoi est-elle néanmoins intégrable en une [contrainte](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) holonome ?

**Solution de Exercice 1.1.**

(a) 2 (deux angles sur la surface du bol). (b) 1 : l’abscisse $x$ le long de la pente, l’angle de rotation lui étant lié par le roulement, $x =
R\phi$. (c) 3 : $X$, $\theta_1$, $\theta_2$. (d) 5 : trois pour le centre, deux pour la direction de la tige. (e) 2 : un angle chacune. La condition de roulement est une relation entre *vitesses*, $\dot x =
R\dot\phi$ ; dans ce problème plan elle s’intègre aussitôt en $x = R\phi +
\text{cte}$, donc holonome. (Pour une bille roulant sur un plan elle ne s’intègre pas, et la mécanique lagrangienne demande une extension.)

**Exercice 1.2 ★.**

Pour le pendule plan ([Exemple 1.8](#ex-b3-lagrangian-mechanics-pendulum)) : (a) vérifier les dimensions de $L$ et de $p_\theta =
\partial L/\partial\dot\theta$ ; (b) identifier physiquement $p_\theta$ ; (c) obtenir la période aux petits angles ; (d) calculer l’[action](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $S$ d’une oscillation complète de faible amplitude $\theta_0$ — et expliquer le résultat avant de le calculer (quelle est la moyenne temporelle de $E_k - E_p$ pour une oscillation harmonique ?).

**Solution de Exercice 1.2.**

(a) $[L] = \mathrm{J}$ ; $[p_\theta] = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — un moment cinétique, car $\theta$ est sans dimension. (b) $p_\theta =
m\ell^2\dot\theta$ est le moment cinétique de la masse autour du pivot. (c) $\ddot\theta = -(g/\ell)\theta$ donne $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$. (d) Avec $E_p$ comptée depuis l’équilibre, une oscillation harmonique a des énergies cinétique et potentielle de mêmes moyennes temporelles, donc $\langle
L\rangle = 0$ et $S = 0$ sur une période entière — le calcul le confirme : $S = \int_0^T\tfrac12 m\ell^2\theta_0^2[\omega^2\sin^2
\omega t - (g/\ell)\cos^2\omega t]\,\dd t = 0$ puisque $\omega^2 =
g/\ell$.

**Exercice 1.3 ★.**

Une machine d’Atwood : les masses $m_1$ et $m_2$ pendent d’un fil idéal passant sur une poulie sans masse. (a) Choisir une coordonnée et écrire $L$. (b) Trouver l’accélération. (c) Le traitement de Newton demandait la tension — où est-elle passée ? (d) Comment récupéreriez-vous la tension une fois le mouvement connu ?

**Solution de Exercice 1.3.**

(a) Soit $x$ la descente de $m_1$ (donc $m_2$ monte de $x$) : $L =
\tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx$. (b) $(m_1 + m_2)\ddot x =
(m_1 - m_2)g$ : $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)$. (c) La tension agit aux deux bouts d’un fil inextensible : dans tout déplacement autorisé ses travaux se compensent, elle n’entre donc jamais dans $L$. (d) Newton sur $m_1$ seule : $T =
m_1(g - a) = 2m_1m_2g/(m_1 + m_2)$.

**Exercice 1.4 ★.**

Une particule libre en coordonnées cylindriques : $L = \tfrac12 m(\dot r^2 +
r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2)$. (a) Quelles coordonnées sont cycliques, et quels sont les moments conservés ? (b) Pourquoi $p_r$ n’est-il *pas* conservé alors qu’aucune force n’agit ? (c) Écrire l’équation d’Euler–Lagrange pour $r$ et interpréter le terme $mr\dot\varphi^2$. (d) Vérifier qu’une droite parcourue à vitesse constante la résout.

**Solution de Exercice 1.4.**

(a) $\varphi$ et $z$ : $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ (moment cinétique autour de l’axe) et $p_z = m\dot z$ sont conservés. (b) $r$ figure dans $L$ via $r^2\dot\varphi^2$, il n’est donc pas cyclique : $\dot p_r =
mr\dot\varphi^2 \neq 0$. Rien d’anormal — $p_r = m\dot r$ est la composante radiale d’un vecteur constant $\vect p$, et une composante sur une direction *tournante* n’a pas à être constante. (c) $m\ddot r =
mr\dot\varphi^2$ : le terme centrifuge, prix de coordonnées attachées à des directions qui tournent. (d) Pour une droite à la distance $b$ parcourue à la vitesse $v$ : $r = \sqrt{b^2 + v^2t^2}$, $r^2\dot\varphi = bv$ ; alors $\ddot r = b^2v^2/r^3 = r(bv/r^2)^2 = r\dot\varphi^2$.

**Exercice 1.5 ★★.**

Un bloc de masse $m$ glisse sur la face sans frottement (angle $\alpha$) d’un coin de masse $M$, lui-même libre de glisser sur un sol sans frottement. (a) Choisir deux coordonnées : l’abscisse $X$ du coin et la distance $s$ parcourue par le bloc sur la face ; écrire $L$. (b) Quelle coordonnée est cyclique, et quelle loi de conservation exprime-t-elle ? (c) Trouver les deux accélérations. (d) Vérifier les limites $M \to \infty$ et $\alpha \to
90^\circ$.

**Solution de Exercice 1.5.**

(a) Position du bloc $(X + s\cos\alpha,\ -s\sin\alpha)$, donc

$$
L = \tfrac12 M\dot X^2 + \tfrac12 m\big(\dot X^2 +
2\dot X\dot s\cos\alpha + \dot s^2\big) + mgs\sin\alpha .
$$

(b) $X$ est cyclique : $P = (M + m)\dot X + m\dot s\cos\alpha$ est conservée — la quantité de mouvement horizontale totale, aucune force extérieure horizontale n’agissant. (c) L’équation en $s$ est $\ddot s + \ddot
X\cos\alpha = g\sin\alpha$ ; avec $\ddot X = -m\ddot s\cos\alpha/(M +
m)$ tiré de (b),

$$
\ddot s = \frac{(M + m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha} , \qquad
\ddot X = -\frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha} .
$$

(d) $M \to \infty$ : $\ddot s \to g\sin\alpha$, le plan incliné fixe ; $\alpha \to 90^\circ$ : $\ddot s \to g$, $\ddot X \to 0$ — chute libre le long d’une face verticale, le coin restant immobile.

**Exercice 1.6 ★★.**

Le pendule sphérique : une masse au bout d’une tige de longueur $\ell$, libre dans les deux angles ($\theta$ depuis la verticale descendante, $\varphi$ autour de celle-ci). (a) Écrire $L$. (b) Identifier la [coordonnée cyclique](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) et le $p_\varphi$ conservé. (c) Ramener le mouvement de $\theta$ à un potentiel effectif et le tracer. (d) Pour le mouvement conique $\theta =
\theta_0$, retrouver la relation du pendule conique $\cos\theta_0 =
g/\ell\omega^2$ du volume de première année.

**Solution de Exercice 1.6.**

(a) $L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2) +
mg\ell\cos\theta$. (b) $\varphi$ cyclique : $p_\varphi =
m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$, le moment cinétique vertical. (c) En éliminant $\dot\varphi$, $\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 +
U_{\text{eff}}(\theta)$ est conservée avec

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = \frac{p_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta}
 - mg\ell\cos\theta :
$$

un mur en $\theta = 0$ et $\theta = \pi$ (pour $p_\varphi \neq 0$) avec un minimum entre les deux — la masse nute entre deux cercles. (d) Au minimum, $\dot\theta = 0$ avec $\theta = \theta_0$ constant : $p_\varphi^2\cos\theta_0/m\ell^2\sin^3\theta_0 = mg\ell\sin\theta_0$ ; en y portant $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta_0\,\omega$, il vient $\ell\omega^2\cos\theta_0 = g$.

**Exercice 1.7 ★★.**

Un pendule (masse $m$, longueur $\ell$) est suspendu à un chariot de masse $M$ libre de rouler sur un rail horizontal. (a) Avec les coordonnées $X$ (chariot) et $\theta$, écrire $L$. (b) Qu’est-ce qui est conservé, et pourquoi physiquement ? (c) Linéariser pour $\theta$ petit et montrer que la fréquence d’oscillation est $\Omega = \sqrt{(1 + m/M)\,g/\ell}$. (d) Expliquer les limites $M \to
\infty$ et $M \to 0$ — pourquoi un chariot léger *augmente*-t-il la fréquence ?

**Solution de Exercice 1.7.**

(a) Masse en $(X + \ell\sin\theta,\ -\ell\cos\theta)$ :

$$
L = \tfrac12(M + m)\dot X^2 + m\ell\cos\theta\,\dot X\dot\theta
 + \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta .
$$

(b) $X$ cyclique : $(M + m)\dot X + m\ell\cos\theta\,\dot\theta$ est conservée — la quantité de mouvement horizontale du système entier (le rail ne pousse que verticalement). (c) Petits angles : $(M + m)\ddot X +
m\ell\ddot\theta = 0$ et $\ell\ddot\theta + \ddot X + g\theta = 0$ ; en éliminant $\ddot X$, $\ell\ddot\theta\,[1 - m/(M + m)] = -g\theta$, donc $\Omega^2 = (M + m)g/M\ell = (1 + m/M)\,g/\ell$. (d) $M \to \infty$ : le pivot fixe, $\Omega^2 = g/\ell$. $M$ petite : le chariot recule à l’opposé de la masse, l’oscillation se fait autour d’un point situé entre eux (le centre de masse fixe), ce qui raccourcit le pendule effectif — d’où la fréquence plus élevée, divergente quand $M \to 0$.

**Exercice 1.8 ★★.**

Une particule de charge $q$ dans un champ uniforme $\vect B = B\vect e_z$, décrit par $\vect A = \tfrac12\vect B\wedge\vect r$. (a) Écrire $L$ en coordonnées cartésiennes. (b) Obtenir les équations du mouvement et vérifier qu’elles décrivent le cercle cyclotron à $\omega_{\text{c}} = qB/m$. (c) Calculer les [moments conjugués](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) $p_x$, $p_y$ : valent-ils $m\dot x$, $m\dot y$ ? Sont-ils conservés ? (d) Montrer que $L$ écrit en coordonnées cylindriques a $\varphi$ cyclique, et identifier le $p_\varphi$ conservé pour un cercle centré sur l’axe.

**Solution de Exercice 1.8.**

(a) $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$ : $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qB(x\dot y -
y\dot x)$. (b) L’équation en $x$ : $\dd(m\dot x - \tfrac12 qBy)/\dd t =
\tfrac12 qB\dot y$, c’est-à-dire $m\ddot x = qB\dot y$ ; de même $m\ddot y =
-qB\dot x$ : mouvement circulaire à $\omega_{\text{c}} = qB/m$, $\dot z$ restant constante. (c) $p_x = m\dot x - \tfrac12 qBy \neq m\dot x$ ; ni $x$ ni $y$ n’est cyclique ($\partial L/\partial x = \tfrac12 qB\dot y$), donc aucun des deux moments n’est conservé — seules des combinaisons comme $m\dot x -
qBy$ le sont (vérifier : sa dérivée est nulle). (d) En coordonnées cylindriques $A_\varphi = \tfrac12 Br$ : $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2) + \tfrac12
qBr^2\dot\varphi$ ; $\varphi$ est cyclique, $p_\varphi = mr^2\dot\varphi +
\tfrac12 qBr^2$. Sur un cercle de rayon $R$ centré sur l’axe, $\dot\varphi = -\omega_{\text{c}}$, donc $p_\varphi = -qBR^2 + \tfrac12
qBR^2 = -\tfrac12 qBR^2$.

**Exercice 1.9 ★★.**

Pour la perle sur le cerceau tournant ([Exemple 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop)) : (a) calculer la [fonction énergie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ et vérifier qu’elle est conservée par l’équation du mouvement ; (b) calculer l’énergie mécanique $E$ et montrer que $E - h =
m\omega^2R^2\sin^2\theta$ ; (c) trouver la puissance fournie par le moteur en fonction de $\theta$ et $\dot\theta$ ; (d) trouver la fréquence des [petites oscillations](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) autour de l’équilibre incliné lorsque $\omega^2 > g/R$, et montrer qu’elle s’annule quand $\omega^2 \to g/R$ — le ralentissement qui annonce la scission.

**Solution de Exercice 1.9.**

(a) $h = \dot\theta\,\partial L/\partial\dot\theta - L = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}$ ; $\dd h/\dd t =
\dot\theta\,[mR^2\ddot\theta + U_{\text{eff}}'(\theta)] = 0$ par l’équation du mouvement. (b) $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12
m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = h +
m\omega^2R^2\sin^2\theta$. (c) $P = \dd E/\dd t =
m\omega^2R^2\sin2\theta\,\dot\theta$ : positive tant que la perle s’éloigne de l’axe (le moteur travaille contre son inertie), négative au retour. (d) $U_{\text{eff}}'' = mgR\cos\theta -
m\omega^2R^2\cos2\theta$ ; en $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$ cela vaut $m\omega^2R^2\sin^2\theta_{\text{eq}}$, donc $\omega_{\text{osc}} = \omega\sin\theta_{\text{eq}} = \omega\sqrt{1 -
(g/\omega^2R)^2} \to 0$ quand $\omega^2 \to g/R$ : le rappel s’aplatit exactement lorsque les puits fusionnent.

**Exercice 1.10 ★★★.**

Le double pendule équilibré ($m_1 = m_2 = m$, $\ell_1 = \ell_2 = \ell$). (a) Montrer que pour de petits angles $L = \tfrac12 m\ell^2(2\dot\theta_1^2 +
2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(2
\theta_1^2 + \theta_2^2)$. (b) Écrire les deux équations du mouvement. (c) Trouver les fréquences propres $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\,g/\ell$ et la forme de chaque mode ($\theta_2 = \pm\sqrt2\,\theta_1$). (d) À grande amplitude ce système est un exemple classique de chaos : expliquer en quelques lignes ce qui ruine l’analyse aux petits angles, et pourquoi aucune loi de conservation n’est perdue.

**Solution de Exercice 1.10.**

(a) Positions $x_2 = \ell(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$, etc. ; en gardant les termes quadratiques, le terme croisé de vitesse est $m\ell^2\dot\theta_1\dot\theta_2$, ce qui donne le $L$ annoncé. (b) $2\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -2\omega_0^2\theta_1$ et $\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -\omega_0^2\theta_2$, avec $\omega_0^2
= g/\ell$. (c) En posant $\theta_i = a_i\cos\Omega t$ : $\det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\Omega^2 & -\Omega^2\\ -\Omega^2 &
\omega_0^2 - \Omega^2\end{pmatrix} = \Omega^4 - 4\omega_0^2\Omega^2 +
2\omega_0^4 = 0$, donc $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\omega_0^2$ ; la seconde ligne donne $a_2/a_1 = \Omega^2/(\omega_0^2 - \Omega^2) =
\pm\sqrt2$ : masses ensemble (mode lent), masses opposées (mode rapide). (d) À grande amplitude, les couplages en $\sin$ et $\cos$ rendent les équations non linéaires ; les solutions ne se superposent plus et des conditions initiales voisines s’écartent exponentiellement (chaos). L’énergie reste exactement conservée — $L$ ne contient pas le temps explicitement — le chaos porte sur la prévisibilité, non la conservation.

**Exercice 1.11 ★★★.**

*La brachistochrone.* Une perle glisse sans frottement, partant du repos à l’origine, le long d’une courbe $y(x)$ ($y$ vers le bas) jusqu’à un point $(a, b)$. (a) En utilisant la conservation de l’énergie, montrer que la durée de descente vaut $T =
\int_0^a\sqrt{(1 + y'^2)/2gy}\,\dd x$ — une fonctionnelle, où $x$ joue le rôle du temps. (b) L’intégrande $F(y, y')$ ne contient pas $x$ explicitement : montrer que $h = y'\,\partial F/\partial y' - F$ est constant le long de la courbe optimale (même calcul que [Proposition 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (c) En déduire $y(1 + y'^2) =
2r$ pour une constante $r$, et vérifier que la cycloïde $x = r(\phi -
\sin\phi)$, $y = r(1 - \cos\phi)$ la satisfait. (d) Montrer que la descente jusqu’au bas d’une arche dure $\pi\sqrt{r/g}$, et comparer avec la glissière rectiligne menant au même point.

**Solution de Exercice 1.11.**

(a) $v = \sqrt{2gy}$ et $\dd s = \sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ donnent la fonctionnelle. (b) Le calcul de [Proposition 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) avec $x$ pour temps : $\dd
h/\dd x = -\partial F/\partial x = 0$. (c) $h = -1/\sqrt{2gy(1 +
y'^2)}$, donc $y(1 + y'^2) = 2r$. Pour la cycloïde, $y' =
\sin\phi/(1 - \cos\phi)$ et $1 + y'^2 = 2/(1 - \cos\phi)$, d’où $y(1 + y'^2) = 2r$. (d) $\dd t = \dd s/v = \sqrt{r/g}\,\dd\phi$ (toute dépendance en $\phi$ disparaît), donc le bas ($\phi = \pi$) est atteint en $\pi\sqrt{r/g}$ — quel que soit le point de départ : la cycloïde est aussi la tautochrone. La glissière rectiligne vers $(\pi r, 2r)$ prend $\sqrt{\pi^2
+ 4}\,\sqrt{r/g} \approx 3.72\sqrt{r/g}$, soit environ $18\%$ de plus que $\pi\sqrt{r/g}$.

**Exercice 1.12 ★★★.**

*Fermat comme [moindre action](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange).* La lumière dans un milieu d’indice $n(y)$ va d’un point à un autre en un temps minimal (volume de deuxième année). (a) Montrer que la durée du trajet le long de $y(x)$ vaut $T = \tfrac1c\int n(y)\sqrt{1 +
y'^2}\,\dd x$. (b) L’intégrande ne contenant pas $x$ explicitement, utiliser le $h$ conservé de l’exercice précédent pour montrer que $n(y)\big/\sqrt{1 +
y'^2} = \text{cte}$, et vérifier que c’est la loi de Descartes $n\sin i =
\text{cte}$ pour un rayon repéré depuis la verticale. (c) Au-dessus d’une route chaude l’indice croît avec l’altitude selon $n(y) \approx n_0(1 + \beta y)$ ; montrer qu’un rayon presque horizontal s’incurve avec un rayon $R \approx
1/\beta$. (d) Avec $\beta = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$, à partir de quelle distance un conducteur dont les yeux sont à $1.2\,\mathrm{m}$ au-dessus de la route voit-il le mirage d’« eau » sur celle-ci ?

**Solution de Exercice 1.12.**

(a) $\dd t = \dd s/(c/n)$. (b) $h = -n(y)/\sqrt{1 + y'^2}$ est conservé ; $1/\sqrt{1 + y'^2} = \cos\theta$ ($\theta$ étant l’angle de pente) $= \sin i$ pour $i$ compté depuis la verticale : $n\sin i = \text{cte}$ — la loi de Descartes, appliquée continûment. (c) Pour un rayon presque horizontal, $n\cos\theta \approx \text{cte}$ avec $\theta$ petit donne $\theta\,\dd\theta = \dd n/n \approx \beta\,\dd y$ ; comme $\dd y =
\theta\,\dd x$, la courbure vaut $\dd\theta/\dd x = \beta$, soit $R =
1/\beta \approx 83\,\mathrm{km}$, la courbure se faisant *vers le haut* (vers les grands $n$). (d) Un rayon parti de l’œil, tangent à la route après s’être incurvé du rayon $R$, la touche à $d = \sqrt{2hR} = \sqrt{2 \times 1.2 \times
8.3e4} \approx 450\,\mathrm{m}$ : au-delà de cette distance la route elle-même n’est plus vue — on voit le ciel réfracté vers le haut, l’« eau » miroitante.

![Le pendule de Foucault au Panthéon, à Paris. Des coordonnées généralisées, une contrainte et un référentiel qui tourne lentement : la rotation de la salle apparaît dans les équations du mouvement — et la dérive du plan d’oscillation permet à un sous-sol de mesurer la rotation de la Terre. Photographie : Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-d1d827b23d7c.jpg)

*Le pendule de Foucault au Panthéon, à Paris. Des [coordonnées généralisées](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates), une [contrainte](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) et un référentiel qui tourne lentement : la rotation de la salle apparaît dans les équations du mouvement — et la dérive du plan d’oscillation permet à un sous-sol de mesurer la rotation de la Terre. Photographie : Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.*

## 1.6 Problème : le balai qui tient à l’envers

**Problème 1.1.**

Problème du week-end — le pendule inversé de Kapitza

Un pendule rigide peut tenir en équilibre stable *au-dessus* de son pivot si l’on secoue ce pivot de haut en bas assez vite — une découverte analysée par Kapitza en 1951, assez frappante pour ressembler à un tour de prestidigitation, et le principe par lequel des champs électriques oscillants piègent des ions uniques. Nous modélisons le pendule par une masse ponctuelle $m$ au bout d’une tige rigide sans masse de longueur $\ell = 40\,\mathrm{cm}$ ; $\theta$ est l’angle compté depuis la verticale *descendante* ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Partie I — Le pendule rigide.** Le pivot est d’abord maintenu fixe.

1. Écrire le [lagrangien](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) et l’équation du mouvement.
2. Donner la fréquence $f_0$ des [petites oscillations](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) autour de $\theta =  0$ , et sa valeur.
3. Montrer qu’ici $h = E$ , et utiliser sa conservation pour trouver la vitesse minimale de lancement de la masse, en bas, qui la mène jusqu’au sommet.
4. Linéariser l’équation près de $\theta = \pi$ (poser $\theta = \pi +  \epsilon$ ) et montrer que $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : à quelle vitesse un millidegré initial d’inclinaison croît-il ? Donner le temps qu’il met à croître d’un facteur $e$ .
5. Un balai en équilibre sur le bout du doigt tombe en une seconde environ, et pourtant ne tient jamais seul : dites en une phrase ce que l’équation linéarisée affirme de l’équilibre $\theta = \pi$ .

**Partie II — On secoue le pivot.** Le pivot oscille maintenant verticalement, sa hauteur étant $y_{\text{s}}(t) =
a\cos\Omega t$ avec $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ et $\Omega$ réglable.

6. Écrire les coordonnées de la masse et montrer que $\vect v^{\,2} = \ell^2\dot\theta^2 -  2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta +  a^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ .
7. Montrer que deux [lagrangiens](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) différant d’une dérivée totale en temps $\dd F(q,t)/\dd t$ donnent les mêmes [équations d’Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) .
8. Utiliser cette liberté pour ramener le [lagrangien](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) à $L = \tfrac12 m  \ell^2\dot\theta^2 - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta +  mg\ell\cos\theta$ . (Indication : le terme $\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ se combine à un terme en $\cos(\Omega t)\cos\theta$ pour former une dérivée totale ; les termes ne dépendant que de $t$ peuvent être abandonnés.)
9. Obtenir l’équation du mouvement $$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta  + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos(\Omega t)\sin\theta .$$ Interpréter le second terme comme le remplacement du poids par $g +  \ddot y_{\text{s}}$ : le pendule vit dans un ascenseur.
10. La [fonction énergie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ est-elle encore conservée ? Et l’énergie ? Qu’est-ce qui injecte et retire de l’énergie ?
11. Dans le régime de Kapitza, $a \ll \ell$ et $\Omega \gg \omega_0 =  \sqrt{g/\ell}$ : le vérifier pour $a = 2\,\mathrm{cm}$ , $\ell =  40\,\mathrm{cm}$ , $\Omega/2\pi = 40\,\mathrm{Hz}$ , et expliquer physiquement pourquoi la masse ne peut alors pas suivre l’excitation.

**Partie III — Séparer le rapide du lent.** Cherchons le mouvement sous la forme $\theta(t) = \Theta(t) + \xi(t)$ : une dérive lente $\Theta$ plus une petite ondulation $\xi$ à la fréquence d’excitation.

12. En ne gardant que le plus grand terme de chaque membre, montrer que l’ondulation obéit à $\ddot\xi \approx +(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)  \sin\Theta$ , avec $\Theta$ gelé à l’échelle de temps de l’excitation.
13. En déduire $\xi(t) = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ , et vérifier que son amplitude est petite, de l’ordre de $a/\ell$ .
14. Développer $\sin\theta = \sin(\Theta + \xi)$ au premier ordre en $\xi$ et reporter dans l’équation du mouvement.
15. Moyenner sur une période d’excitation, $\Theta$ étant maintenu fixe : à l’aide de $\langle\cos\Omega t\rangle = 0$ et de $\langle\cos^2\Omega t\rangle = \tfrac12$, montrer que $$\ddot\Theta = -\frac{g}{\ell}\sin\Theta  - \frac{a^2\Omega^2}{2\ell^2}\sin\Theta\cos\Theta .$$
16. Montrer que c’est un mouvement dans le potentiel effectif $$U_{\text{eff}}(\Theta) = mg\ell\Big({-\cos\Theta}  + \frac{a^2\Omega^2}{4g\ell}\sin^2\Theta\Big) .$$
17. Comparer avec la perle sur le cerceau tournant ( [Exemple 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) ) : mêmes mathématiques, signe opposé du terme nouveau — que fait l’excitation à l’équilibre du *bas* que la rotation ne faisait pas ?
18. Tracer $U_{\text{eff}}$ pour une excitation lente puis rapide, et décrire chaque équilibre et sa stabilité dans les deux cas.

**Partie IV — Le balai se dresse.**

19. En développant $U_{\text{eff}}$ près de $\Theta = \pi$, montrer que la position inversée est stable exactement lorsque $$a^2\Omega^2 > 2g\ell .$$
20. Calculer la fréquence critique d’excitation $f_{\text{c}} =  \Omega_{\text{c}}/2\pi$ pour notre pendule, ainsi que la vitesse maximale du pivot $a\Omega_{\text{c}}$ et l’accélération $a\Omega_{\text{c}}^2$ (en unités de $g$ ) qu’elle exige.
21. À $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , trouver la fréquence du balancement lent du pendule dressé autour de $\Theta = \pi$ , et sa valeur ; vérifier qu’elle est bien lente devant l’excitation.
22. Toujours à $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , quelle est l’amplitude $\xi$ de l’ondulation pour $\Theta$ légèrement écarté de $\pi$ , en degrés, pour $a/\ell = 0.05$ ? Une photographie trahirait-elle le tour ?
23. De combien le balai peut-il pencher hors de la verticale et revenir tout de même ? Montrer que le puits du pendule dressé s’étend sur $|\Theta - \pi| <  \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ , et l’évaluer à $\Omega =  2\Omega_{\text{c}}$ .
24. Un jongleur qui tient un balai en équilibre sur un doigt immobile y parvient aussi — par quel mécanisme entièrement différent ? Nommer la propriété du pendule de Kapitza qui ne demande aucune rétroaction.
25. Résumer le résultat nommé : un pivot secoué à $45\,\mathrm{Hz}$ avec une amplitude de $2\,\mathrm{cm}$ — deux fois la fréquence critique — maintient un pendule de $40\,\mathrm{cm}$ la tête en bas, dans un puits atteignant quelque $75^\circ$ depuis la verticale, oscillant doucement à environ $1.4\,\mathrm{Hz}$ . Où, en physique, ce même piégeage moyenné sert-il à retenir une particule chargée unique ?

**Solution de Problème 1.1.**

**1.** $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$ ; $\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta$. **2.** $f_0 = \sqrt{g/\ell}/2\pi = 0.79\,\mathrm{Hz}$. **3.** La suspension est fixe, donc $h = E = \tfrac12
m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$ ; du bas au sommet, $\tfrac12
mv^2 = 2mg\ell$ : $v = 2\sqrt{g\ell} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **4.** $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : $\epsilon \propto
\eu^{t/\tau}$ avec $\tau = \sqrt{\ell/g} = 0.20\,\mathrm{s}$. **5.** L’équilibre inversé existe mais est exponentiellement instable : toute inclinaison, si petite soit-elle, est multipliée par $e$ toutes les $0.2\,\mathrm{s}$. **6.** Masse en $(\ell\sin\theta,\ a\cos\Omega t - \ell\cos\theta)$ ; dériver et élever au carré : le $\vect v^{\,2}$ annoncé, avec le terme croisé $-2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$. **7.** Si $L' = L + \dd F(q,t)/\dd t$, l’[action](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) change de $F(q_2, t_2) - F(q_1, t_1)$, constante pour des variations à extrémités fixées : mêmes chemins stationnaires, mêmes équations. **8.** Le terme croisé vaut $-ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,
\dot\theta = \dd[ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\cos\theta]/\dd t -
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta$ ; en abandonnant la dérivée totale et les termes ne dépendant que de $t$ ($\tfrac12 ma^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ et $-mga\cos\Omega t$), il reste le $L$ annoncé. **9.** $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta +
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\sin\theta$. Comme $\ddot y_{\text{s}} =
-a\Omega^2\cos\Omega t$, cela s’écrit $\ddot\theta =
-[(g + \ddot y_{\text{s}})/\ell]\sin\theta$ : dans le référentiel du pivot, la pesanteur apparente oscille. **10.** $L$ dépend maintenant explicitement de $t$ : $h$ n’est pas conservée, $E$ non plus — le vibreur injecte et retire de l’énergie par le pivot. **11.** $a/\ell = 0.05$ ; $\Omega = 251\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ contre $\omega_0 = 4.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : rapport $51$. En une période d’excitation ($25\,\mathrm{ms}$) la pesanteur modifie à peine $\dot\theta$ : la masse est trop inerte pour suivre, et ne fait que frémir. **12.** $\ddot\xi$ est la plus grande dérivée ($\propto\Omega^2$) et l’excitation le plus grand terme de force : $\ddot\xi =
(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$. **13.** En intégrant deux fois à $\Theta$ fixé : $\xi =
-(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$, d’amplitude au plus $a/\ell =
0.05$ : un frémissement de deux degrés. **14.** $\sin\theta \approx \sin\Theta + \xi\cos\Theta$, donc

$$
\ddot\Theta + \ddot\xi = -\frac{g}{\ell}(\sin\Theta + \xi\cos\Theta)
 + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos\Omega t\,(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) .
$$

**15.** La moyenne tue $\ddot\xi$, $\langle\cos\Omega t\rangle$ et $\langle\xi\rangle$ ; le terme croisé survivant est $(a\Omega^2/\ell)\cos\Theta\,\langle\xi\cos\Omega t\rangle =
-(a^2\Omega^2/2\ell^2)\sin\Theta\cos\Theta$, ce qui donne l’équation annoncée pour $\Theta$. **16.** $\ddot\Theta = -(1/m\ell^2)\,U_{\text{eff}}'(\Theta)$ avec $U_{\text{eff}} = mg\ell[-\cos\Theta + (a^2\Omega^2/4g\ell)
\sin^2\Theta]$ — dériver pour le vérifier. **17.** Même terme en $\sin^2$ que pour le cerceau, mais de signe *opposé* : la rotation creusait des puits sur les flancs et ne pouvait qu’aplatir le bas ; la secousse verticale raidit le puits du bas et creuse un nouveau puits au *sommet*. **18.** Excitation lente ($a^2\Omega^2 < 2g\ell$) : minimum en $\Theta =
0$, maximum en $\pi$ — rien de neuf. Excitation rapide : minima en $0$ *et* $\pi$, séparés par des maxima en $\cos\Theta^* =
-2g\ell/a^2\Omega^2$ ; pendule pendant et pendule dressé oscillent tous deux de façon stable. **19.** Près de $\pi$, avec $\Theta = \pi + \epsilon$ : $\ddot\epsilon = [g/\ell - a^2\Omega^2/2\ell^2]\,\epsilon$ ; la stabilité exige la parenthèse négative : $a^2\Omega^2 > 2g\ell$. **20.** $\Omega_{\text{c}} = \sqrt{2g\ell}/a = 140\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $f_{\text{c}} = 22\,\mathrm{Hz}$ ; vitesse maximale $a\Omega_{\text{c}} =
2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, accélération maximale $a\Omega_{\text{c}}^2 =
392\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 40g$. **21.** $\omega_{\text{lent}} = \sqrt{a^2\Omega^2/2\ell^2 -
g/\ell}$ ; à $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$, $a^2\Omega^2 = 8g\ell$ donc $\omega_{\text{lent}} = \sqrt{3g/\ell} = 8.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $1.4\,\mathrm{Hz}$, trente fois plus lent que l’excitation à $45\,\mathrm{Hz}$. **22.** $\xi_{\max} = (a/\ell)\sin\Theta$ : penché de $10^\circ$ sur la verticale, $\xi_{\max} = 0.05\sin170^\circ = 8.7\,\mathrm{mrad}
\approx 0.5^\circ$ — une photographie ordinaire montre un balai immobile. **23.** Le puits du pendule dressé atteint les maxima qui l’encadrent : $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ ; à $\Omega =
2\Omega_{\text{c}}$, $\arccos\tfrac14 = 75^\circ$ — un puits remarquablement tolérant. **24.** Le jongleur utilise une rétroaction : les yeux mesurent l’inclinaison, la main accélère latéralement pour l’annuler. La stabilisation de Kapitza est en boucle ouverte — l’excitation ne sait jamais où est le pendule. **25.** Secoué à $45\,\mathrm{Hz}$ avec une amplitude de $2\,\mathrm{cm}$, le pendule de $40\,\mathrm{cm}$ tient à l’envers dans un puits de $75^\circ$, en oscillant à $1.4\,\mathrm{Hz}$. Le même potentiel effectif moyenné, obtenu avec un champ électrique quadrupolaire oscillant au lieu d’un pivot secoué, confine des ions uniques dans le piège de Paul — l’outil de base des horloges atomiques et du calcul quantique à ions piégés.