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title: "Le spin et les systèmes à deux niveaux"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/12-le-spin-et-les-systemes-a-deux-niveaux
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# Chapitre 12 — Le spin et les systèmes à deux niveaux

En 1922, Stern et Gerlach envoyèrent un jet d’atomes d’argent à travers un aimant dissymétrique, s’attendant soit à aucune déviation, soit à une tache continue. Le jet se scinda nettement en *deux*. Aucun moment cinétique orbital ne peut faire cela : $2l + 1$ est toujours impair. Les atomes annonçaient une possession nouvelle et purement quantique — le *[spin](#def-b3-spin-two-level-spin)*, un moment cinétique intrinsèque de $j = \tfrac12$, le barreau demi-entier que l’algèbre du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/10-le-moment-cinetique-quantique#ch-b3-quantum-angular-momentum) tenait prêt et que les orbites ne pouvaient jamais employer. Le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) double chaque état électronique (et complète ainsi le compte derrière le tableau périodique), porte le magnétisme du fer et du proton, et constitue le système à deux niveaux le plus net que la nature offre : la physique de ce chapitre fait tourner l’appareil de [résonance magnétique](#prop-b3-spin-two-level-rabi) de chaque hôpital, l’horloge au césium qui définit la seconde, le murmure à 21 centimètres par lequel on cartographie les galaxies, et le qubit.

## 12.1 L’expérience qui l’a découvert

**Exemple 12.1 (Stern–Gerlach).**

Un moment magnétique $\vect\mu$ dans un champ *inhomogène* subit la force $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : la déviation mesure $\mu_z$. Attente classique : des moments orientés au hasard, un éventail continu. Attente quantique pour des moments orbitaux : $2l + 1$ taches : une, trois, cinq — toujours un nombre impair. Observé pour l’argent (et pour l’hydrogène) : *deux* taches, symétriques, rien entre elles. La composante mesurée ne prend exactement que deux valeurs — la signature de $j
= \tfrac12$, interdite aux orbites, et l’exposition directe de la quantification : l’appareil est un instrument de mesure d’une composante du [spin](#def-b3-spin-two-level-spin), et le jet se scinde selon ses deux [valeurs propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable).

![L’expérience de Stern et Gerlach : un champ inhomogène tire en sens contraire des moments opposés, ce qui transforme l’aimant en appareil de mesure d’une composante du spin. Les atomes d’argent atterrissent en deux taches — une observable à deux valeurs, prise sur le fait.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-e70af9c0d28c.svg)

*L’expérience de Stern et Gerlach : un champ inhomogène tire en sens contraire des moments opposés, ce qui transforme l’aimant en appareil de mesure d’une composante du [spin](#def-b3-spin-two-level-spin). Les atomes d’argent atterrissent en deux taches — une observable à deux valeurs, prise sur le fait.*

**Définition 12.2 (Le spin un demi).**

L’électron (comme le proton, le neutron, les quarks) porte un moment cinétique intrinsèque de $j = \tfrac12$ : un espace d’états à deux dimensions engendré par $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (états propres de $\hat S_z$ pour $\pm\hbar/2$), sur lequel

$$
\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad
\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\;
\sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\;
\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
$$

— les *matrices de Pauli*, qui réalisent l’algèbre du moment cinétique dans son plus petit logement possible. Un état général $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ est un *spineur*. Le moment magnétique de l’électron vaut

$$
\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} ,
\qquad g \approx 2 :
$$

le double du taux orbital par unité de moment cinétique — l’anomalie qu’Einstein et de Haas avaient mesurée ([Exercice 10.12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/10-le-moment-cinetique-quantique#exo-b3-quantum-angular-momentum-12)) et que l’équation de Dirac allait prédire. Le spin n’est la rotation de rien : aucun rayon, aucune « boule qui tourne » ne résiste à l’examen — il est intrinsèque, comme la charge.

**Exemple 12.3 (Filtres de Stern–Gerlach en cascade).**

Sélectionnez le faisceau $S_z = +\hbar/2$ et mesurez $S_z$ de nouveau : tous les atomes répondent $+$. Mesurez plutôt $S_x$ : moitié-moitié — l’état $\ket\uparrow$ est la superposition $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$. Gardez maintenant le faisceau $S_x = +$ et mesurez $S_z$ une fois encore : moitié-moitié *de nouveau* — la mesure de $S_x$ a effacé le $S_z$ auparavant bien défini. Trois aimants suffisent à exhiber incompatibilité, réduction et [règle de Born](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#thm-b3-quantum-formalism-postulates) ; cette cascade est [Exemple 8.7](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#ex-b3-quantum-formalism-threepolarizers) jouée avec des atomes.

## 12.2 La sphère de Bloch

**Proposition 12.4 (Le spin selon un axe quelconque).**

Pour la direction unitaire $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi,
\sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$, l’opérateur $\vect
n\cdot\hat{\vect\sigma}$ a pour [valeurs propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$, avec

$$
\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow +
\eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .
$$

Tout [spineur](#def-b3-spin-two-level-spin) pur est $\ket{+\vect n}$ pour exactement une direction : l’espace des états s’envoie sur une sphère — la *[sphère de Bloch](#prop-b3-spin-two-level-bloch)* — où les états orthogonaux sont *antipodaux* (noter les demi-angles : ce sont les directions opposées, non les perpendiculaires, qui sont orthogonales). Les rotations de la sphère sont exactement les évolutions qu’engendre un champ magnétique : la géométrie de toute manipulation de qubit jamais réalisée.

**Démonstration partielle.** Diagonalisons la matrice $2\times2$ $\vect n\cdot\vect\sigma =
\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\
\sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$ : trace $0$, déterminant $-1$, [valeurs propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$ ; le [spineur](#def-b3-spin-two-level-spin) donné se vérifie par substitution (identités de l’angle moitié). Antipodes : $\theta \to \pi -
\theta$, $\varphi \to \varphi + \pi$ donne $\braket{+\vect
n'}{+\vect n} = 0$. ∎

![La sphère de Bloch : chaque état de spin 1/2 est un point ; les pôles sont ,, l’équateur porte leurs superpositions à poids égaux, et les états orthogonaux siègent aux antipodes. Les champs magnétiques font tourner la sphère — le pupitre de commande du qubit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-4b718bd8fad0.svg)

*La [sphère de Bloch](#prop-b3-spin-two-level-bloch) : chaque état de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$ est un point ; les pôles sont $\ket\uparrow, \ket\downarrow$, l’équateur porte leurs superpositions à poids égaux, et les états orthogonaux siègent aux antipodes. Les champs magnétiques font tourner la sphère — le pupitre de commande du qubit.*

## 12.3 Le spin dans un champ : précession et résonance

**Proposition 12.5 (Précession de Larmor).**

Dans un champ statique $\vect B_0 = B_0\vect e_z$, le [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\hat
H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ sépare les deux niveaux de $\hbar\omega_0$ et fait *précesser* le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) moyen autour du champ :

$$
\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} =
\gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad
\omega_0 = |\gamma|B_0 ,
$$

avec le [rapport gyromagnétique](#prop-b3-spin-two-level-larmor) $\gamma$ ($\mu = \gamma S$). Le vecteur de Bloch tourne autour de $z$ à $\omega_0$, son angle avec le champ restant figé — exactement l’image classique du gyroscope, exacte ici parce que les [commutateurs](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-commutator) sont linéaires. Pour l’électron : $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ ; pour le proton (moment $2.79$ magnétons nucléaires) : $\gamma_p/2\pi =
42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — la plaque d’immatriculation de toute IRM.

**Démonstration.** Appliquons [Proposition 8.12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#prop-b3-quantum-formalism-evolution) avec $\hat H =
-\gamma B_0\hat S_z$ : les [commutateurs](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-commutator) donnent $\dd\langle\hat
S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$, $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat
S_x\rangle$ et $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$, qui s’assemblent en le produit vectoriel annoncé. ∎

**Proposition 12.6 (Résonance magnétique).**

Ajoutons un petit champ $B_1$ tournant dans le plan transverse à la fréquence $\omega$. Dans le référentiel qui tourne avec lui, $B_0$ est effectivement réduit à $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$ ; *à la résonance* ($\omega = \omega_0$) seul $B_1$ subsiste, et le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) précesse autour de lui à la *fréquence de Rabi* $\Omega_1 =
|\gamma|B_1$ : partant de $\ket\uparrow$, la probabilité d’avoir basculé vaut

$$
\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .
$$

Une impulsion de durée $\pi/\Omega_1$ (une « impulsion $\pi$ ») retourne le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) ; sa moitié (une « impulsion $\pi/2$ ») le couche dans le plan équatorial, où il précesse à $\omega_0$ et, par induction de Faraday, *émet* sa fréquence dans toute bobine voisine. Hors résonance l’amplitude du basculement s’effondre comme $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 +
(\omega - \omega_0)^2]$ : la réponse est fortement sélective — une résonance — et c’est ce qui rend les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) adressables, espèce par espèce et, avec un gradient de champ, lieu par lieu ([Problème 12.1](#pb-b3-spin-two-level-1)).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![À gauche : les oscillations de Rabi — à la résonance le spin bascule complètement et périodiquement ; désaccordé, seulement partiellement et plus vite. À droite : entre deux impulsions, le spin moyen précesse autour de B_0 à la fréquence de Larmor, en diffusant sa note dans la bobine réceptrice.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-e64698d20300.svg)

*À gauche : les [oscillations de Rabi](#prop-b3-spin-two-level-rabi) — à la résonance le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) bascule complètement et périodiquement ; désaccordé, seulement partiellement et plus vite. À droite : entre deux impulsions, le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) moyen précesse autour de $\vect B_0$ à la fréquence de Larmor, en diffusant sa note dans la bobine réceptrice.*

**Exemple 12.7 (Structure hyperfine et raie à 21 cm).**

Dans l’état fondamental de l’hydrogène, les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) de l’électron et du proton interagissent par leurs moments magnétiques : les quatre états de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) se séparent en un triplet et un singulet distants de $\Delta E =
5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ seulement — la séparation *hyperfine*, $\nu =
1420\,\mathrm{MHz}$, $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$. La transition est absurdement lente (un basculement tous les dix millions d’années), mais la Galaxie contient $10^{66}$ [atomes d’hydrogène](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/11-latome-dhydrogene#thm-b3-hydrogen-atom-levels) : la [raie à 21 cm](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) est assez brillante pour avoir cartographié les bras spiraux, le gauchissement du disque et — par ses décalages Doppler — les courbes de rotation plates qui plaident pour la matière noire. La même physique, dans l’état fondamental du césium, sépare des niveaux d’exactement $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : depuis 1967, la *définition de la seconde* est un basculement de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) hyperfin que l’on compte ([Exercice 12.12](#exo-b3-spin-two-level-12)).

**Méthode 12.8 (L’art des deux niveaux).**

(1) Écrire tout [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) à deux niveaux avec les [matrices de Pauli](#def-b3-spin-two-level-spin) : $\hat H =
\epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — alors le vecteur de Bloch précesse autour de $\vect h$ à $2|\vect h|/\hbar$ ; tout le reste est de la géométrie. (2) États propres selon $\vect n$ : utiliser les demi-angles. (3) Problèmes de résonance : passer au référentiel tournant ; à la résonance, seul $B_1$ demeure. (4) Impulsions : $\pi/2$ pour lancer un signal de précession, $\pi$ pour retourner (et pour refocaliser — l’écho de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin)). (5) Échelles d’énergie : $\mu_{\text{B}}B$ pour les électrons ($58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$), trois ordres de moins pour les noyaux — des radiofréquences, une spectroscopie sans kelvins.

![Un appareil d’IRM : un champ supraconducteur aligne les spins des protons du corps, des impulsions radio les inclinent, et leur précession de Larmor est relue bobine par bobine — la physique à deux niveaux de ce chapitre, qui radiographie un genou.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/img-8bdbd120f4ce.jpg)

*Un appareil d’IRM : un champ supraconducteur aligne les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) des protons du corps, des impulsions radio les inclinent, et leur [précession de Larmor](#prop-b3-spin-two-level-larmor) est relue bobine par bobine — la physique à deux niveaux de ce chapitre, qui radiographie un genou.*

## 12.4 Exercices

**Exercice 12.1 ★.**

(a) Vérifier $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ et $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$. (b) En déduire $[\hat S_x, \hat S_y]
= \iu\hbar\hat S_z$ : l’algèbre du moment cinétique en dimension deux. (c) Montrer que $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ et vérifier $j(j+1)$ pour $j = \tfrac12$. (d) Montrer que toute matrice hermitienne $2\times2$ est une combinaison réelle de $\mathbb 1$ et des trois $\sigma_i$.

**Solution de Exercice 12.1.**

(a) Multiplication directe. (b) $[\hat S_x, \hat S_y] =
(\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$. (c) $\hat S^2 =
(\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$ : c’est bien $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$. (d) $\{\mathbb 1, \sigma_x,
\sigma_y, \sigma_z\}$ engendrent les quatre dimensions réelles des matrices hermitiennes $2\times2$ ($a + \vect b\cdot\vect\sigma$ avec $a,
\vect b$ réels).

**Exercice 12.2 ★.**

(a) Trouver les états propres normés de $\sigma_x$ et de $\sigma_y$. (b) Un [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) préparé dans $\ket{+x}$ est mesuré selon $z$ : probabilités des issues ? (c) Selon $y$ ? (d) Vérifier les deux dans l’image de Bloch (quels angles $\theta, \varphi$ ?).

**Solution de Exercice 12.2.**

(a) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$ ; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$. (b) Moitié-moitié. (c) Moitié-moitié encore : $|\braket{\pm y}{+x}|^2 =
|1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$. (d) $\ket{+x}$ : équateur en $\varphi =
0$ ; mesurer selon $z$ ou $y$ projette sur des pôles à $90^\circ$ — toujours $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$.

**Exercice 12.3 ★.**

Trois aimants de Stern–Gerlach en cascade, d’axes $z$, puis $\vect n$ à l’angle $\theta$ dans le plan $xz$, puis $z$ de nouveau ; on garde le faisceau $+$ à chaque fois. (a) Probabilité de survivre au deuxième aimant. (b) De survivre aux trois. (c) Évaluer à $\theta = 90^\circ$ et comparer à [Exemple 12.3](#ex-b3-spin-two-level-chained). (d) Pour quel $\theta$ la survie aux trois aimants est-elle maximale, et de quoi la réponse est-elle l’écho, tiré de [Exercice 8.5](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#exo-b3-quantum-formalism-5) ?

**Solution de Exercice 12.3.**

(a) $\cos^2(\theta/2)$. (b) $\cos^2(\theta/2) \times
\cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$. (c) $\theta = 90^\circ$ : $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$, le nombre de la cascade de polariseurs. (d) Trivialement $\theta = 0$ ; la vraie leçon est que les mesures intermédiaires *douces* coûtent le moins — la limite des petits pas de [Exercice 8.5](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#exo-b3-quantum-formalism-5), où de nombreuses petites rotations font passer l’état sans perte notable.

**Exercice 12.4 ★.**

Calculer l’écart de niveaux $2|\mu|B$ et la fréquence de résonance dans un champ de $1\,\mathrm{T}$ pour (a) l’électron ($g = 2$) ; (b) le proton ($\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$, $\mu_{\text{N}} =
e\hbar/2m_{\text{p}}$) ; (c) comparer les deux à $k_{\text{B}}T$ à $300\,\mathrm{K}$ : à quel point les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) électroniques et nucléaires sont-ils polarisés à température ambiante ? (d) Quelles bandes du spectre la RPE et la RMN occupent-elles donc ?

**Solution de Exercice 12.4.**

(a) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu =
28\,\mathrm{GHz}$. (b) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B =
0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$. (c) Face à $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ : polarisation électronique $\sim2 \times 10^{-3}$, protonique $\sim3 \times 10^{-6}$ — les ensembles thermiques de [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) sont presque parfaitement brouillés. (d) RPE : micro-ondes ; RMN : radio — trois ordres de grandeur d’écart, une seule physique.

**Exercice 12.5 ★★.**

Obtenir la [précession de Larmor](#prop-b3-spin-two-level-larmor) : avec $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$, (a) calculer $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$, $\dd\langle\hat
S_y\rangle/\dd t$, $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ à partir des [commutateurs](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-commutator) ; (b) résoudre pour $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ avec un [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) initialement selon $x$ ; (c) montrer que $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ et l’angle avec $\vect B_0$ sont constants ; (d) pourquoi l’image des *états propres de l’énergie* (deux niveaux stationnaires) et celle de la *précession* (un vecteur qui tourne) décrivent-elles la même physique — quel état précesse ?

**Solution de Exercice 12.5.**

(a) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat
S_y\rangle$, $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma
B_0\langle\hat S_x\rangle$, $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$. (b) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$, $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (signe selon celui de $\gamma$). (c) Les deux sont manifestes d’après (b). (d) L’état est une *superposition* des deux états propres de l’énergie ; sa phase relative avance à $\omega_0$, et cette phase tournante *est* la précession — niveaux stationnaires et vecteur tournant sont les deux lectures d’une même évolution à deux niveaux.

**Exercice 12.6 ★★.**

(a) Vérifier que $\ket{+\vect n}$ de [Proposition 12.4](#prop-b3-spin-two-level-bloch) est bien le vecteur propre annoncé. (b) Montrer que les états antipodaux sont orthogonaux. (c) Où, sur la sphère, se trouvent les états propres de $\sigma_x$ et de $\sigma_y$ ? (d) Une porte « NON » de qubit envoie $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$ : quelle rotation de la sphère est-ce, et quelle impulsion de [Proposition 12.6](#prop-b3-spin-two-level-rabi) la réalise ?

**Solution de Exercice 12.6.**

(a) Substituer et utiliser les identités de l’angle moitié. (b) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 +
\eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 =
\cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$. (c) Sur l’équateur, en $\varphi = 0, \pi$ ($\sigma_x$) et $\varphi = \pm\pi/2$ ($\sigma_y$). (d) Une rotation de $180^\circ$ autour d’un axe équatorial quelconque — l’impulsion $\pi$ de la [résonance magnétique](#prop-b3-spin-two-level-rabi) est la porte NON du qubit.

**Exercice 12.7 ★★.**

Le référentiel tournant, honnêtement. Avec $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z
+ B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$ : (a) expliquer pourquoi passer au référentiel tournant à $\omega$ autour de $z$ remplace $B_0$ par $B_0 - \omega/\gamma$ et fige $B_1$ ; (b) à la résonance, décrire le mouvement du vecteur de Bloch dans ce référentiel ; (c) obtenir la durée de l’impulsion $\pi$ pour un proton avec $B_1 =
10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; (d) représenter ce que voit un observateur du laboratoire pendant cette impulsion (deux rotations emboîtées).

**Solution de Exercice 12.7.**

(a) Dans le référentiel tournant, l’excitation est immobile, tandis que la rotation du référentiel retranche $\omega/\gamma$ du champ statique effectif (la même comptabilité qu’une force d’inertie en référentiel tournant). (b) Seul $B_1$ subsiste : le vecteur de Bloch précesse autour de l’axe transverse (fixe) $B_1$ à $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — un basculement régulier. (c) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{
MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$. (d) Une spirale rapide dont le cône se resserre : précession à $128\,\mathrm{MHz}$ autour de $z$, avec une nutation lente à $426\,\mathrm{Hz}$ — un tire-bouchon de mille tours d’un pôle à l’autre.

**Exercice 12.8 ★★.**

La [raie à 21 cm](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine). (a) Vérifier que $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ donne $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ et $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$. (b) L’état excité vit $10^{7}\,\mathrm{yr}$ : quelle largeur de raie est-ce, et pourquoi les largeurs observées ($\sim$ kHz et plus) sont-elles purement Doppler ? (c) Le bord du disque d’une galaxie s’éloigne à $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ par rapport à son centre : calculer l’étendue en fréquence de son profil à 21 cm. (d) Pourquoi la [raie à 21 cm](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) trace-t-elle le gaz *atomique neutre* là où CO ([Problème 10.1](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/10-le-moment-cinetique-quantique#pb-b3-quantum-angular-momentum-1)) trace le gaz *moléculaire* — et pourquoi les astronomes ont-ils besoin des deux ?

**Solution de Exercice 12.8.**

(a) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} =
1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$. (b) $\Delta
\nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$ : totalement négligeable — toute largeur observée est du mouvement. (c) $\Delta\nu =
\nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx
2\,\mathrm{MHz}$ : le profil à deux cornes d’un disque en rotation. (d) La [raie à 21 cm](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) parle partout où l’hydrogène est atomique (chaud, diffus) ; CO parle là où l’hydrogène s’est apparié en H$_2$ invisible (froid, dense) : ensemble ils inventorient tout le milieu interstellaire d’une galaxie.

**Exercice 12.9 ★★.**

L’azote de la molécule d’ammoniac traverse le plan des H$_3$ par effet tunnel : les deux configurations en « parapluie » se mélangent en états symétrique et antisymétrique séparés de $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ (le doublet d’inversion du volume de deuxième année). (a) Justifier que l’on traite l’ammoniac comme un système à deux niveaux. (b) La fréquence et la longueur d’onde de la transition. (c) Dans le maser (1954), des molécules triées en état traversent une cavité résonnante et amplifient cette micro-onde : quelle condition de population le jet entrant doit-il satisfaire, et en quoi diffère-t-elle du cas thermique ? (d) Qu’a démontré le maser à ammoniac trois ans avant le laser optique du volume de deuxième année ?

**Solution de Exercice 12.9.**

(a) Deux configurations couplées par effet tunnel : à basse énergie l’espace est de dimension deux — l’ammoniac *est* un [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$ déguisé. (b) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$, $\lambda =
1.25\,\mathrm{cm}$. (c) Le jet doit arriver avec l’état *supérieur* surpeuplé (sélectionné par déviation électrostatique) — une inversion de population, inaccessible thermiquement, puisque Boltzmann favorise toujours le niveau inférieur. (d) L’amplification stimulée par inversion de population — le principe de fonctionnement du laser, démontré d’abord aux fréquences micro-ondes.

**Exercice 12.10 ★★★.**

Couplage spin–orbite, estimé. Dans le référentiel propre de l’électron, c’est le noyau qui tourne autour de lui : l’électron siège dans un champ magnétique $B_{\text
{int}}$. (a) D’après [Exercice 11.10](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/11-latome-dhydrogene#exo-b3-hydrogen-atom-10)(d), prendre $B_{\text{int}} \sim 10\,\mathrm{T}$ pour l’hydrogène $n = 2$ et estimer le décalage de niveau $\mu_{\text{B}}B_{\text{int}}$ : comparer à l’échelle de structure fine de [Exercice 11.11](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/11-latome-dhydrogene#exo-b3-hydrogen-atom-11). (b) La raie D du sodium est séparée de $0.6\,\mathrm{nm}$ à $589\,\mathrm{nm}$ : convertir en meV puis en champ interne. (c) Pourquoi l’écart croît-il fortement avec $Z$ (le champ interne varie grossièrement comme $Z^4$ sur $n^3$) ? (d) Les états sont étiquetés par le moment total $j = l \pm \tfrac12$ : compter les états d’un niveau $p$ et vérifier qu’aucun n’a disparu.

**Solution de Exercice 12.10.**

(a) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — soit l’échelle $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ de [Exercice 11.11](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/11-latome-dhydrogene#exo-b3-hydrogen-atom-11) : la structure fine *est* le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) rencontrant le champ du mouvement. (b) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/
\lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$ : un champ interne $\Delta E/2\mu_{
\text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$. (c) Le champ interne croît comme $Z^4$ (la charge nucléaire au cube dans le champ, une fois de plus dans le rayon de l’orbite) : les atomes lourds ont une structure fine visible au spectroscope de poche. (d) $j = \tfrac32$ : quatre états ; $j = \tfrac12$ : deux — six en tout, exactement $2 \times (2l + 1)$ pour $l = 1$.

**Exercice 12.11 ★★★.**

Deux [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) ensemble. Pour deux particules de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$, le [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) total vaut $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$. (a) Montrer que les quatre états produits se réorganisent en un *triplet* ($S = 1$ : $\ket{\uparrow\uparrow}$, $(\ket{\uparrow\downarrow} +
\ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$, $\ket{\downarrow\downarrow}$) et un *singulet* ($S = 0$ : $(\ket{\uparrow\downarrow} -
\ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$) — vérifier les comptes de $S_z$ et, pour les deux états du milieu, l’effet de $\hat S^2$ (utiliser $\hat
S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect
S}_2$ et $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat
S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat
S_{2z}$). (b) Lequel des quatre est intriqué — non factorisable en produit ? (c) La paire hyperfine de l’hydrogène ([Exemple 12.7](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine)) est exactement ce triplet/singulet : lequel est le plus haut en énergie, sachant que la raie est *émise* à 21 cm ? (d) Les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) du singulet sont parfaitement anticorrélés selon *tout* axe : mesurer l’un selon un $\vect n$ quelconque et l’autre répond à l’opposé. Pourquoi cette corrélation, si frappante soit-elle, ne transmet-elle aucun signal ?

**Solution de Exercice 12.11.**

(a) Comptes de $S_z$ : $+\hbar, 0, 0, -\hbar$ ; agir avec $\hat S^2$ (via l’identité d’échelle) sur la combinaison symétrique donne $2\hbar^2$ ($S = 1$), sur l’antisymétrique $0$ ($S = 0$). (b) Seul le singulet (et l’état triplet du milieu) ne s’écrit pas comme un produit — le singulet est *la* paire maximalement intriquée. (c) L’émission signifie que le triplet est au-dessus : la configuration à [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) parallèles est la plus énergétique, de $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$. (d) Chaque observateur, seul, voit des issues parfaitement aléatoires ; la corrélation n’apparaît que lorsque les deux listes sont *rapprochées* — aucune statistique locale ne change, donc rien ne se propage (l’argument de [Remarque 8.8](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#rem-b3-quantum-formalism-nosignal)).

**Exercice 12.12 ★★★.**

L’horloge qui définit la seconde. La séparation hyperfine de l’état fondamental du césium vaut exactement $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ (par définition de la seconde). Dans une horloge à fontaine, les atomes reçoivent une impulsion $\pi/2$, volent librement pendant $T = 0.5\,\mathrm{s}$, puis reçoivent une seconde impulsion $\pi/2$ ; la fraction transférée oscille comme $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ avec le désaccord $\delta$ (franges de Ramsey — on l’admet). (a) Expliquer en langage de Bloch ce que font chaque impulsion $\pi/2$ et le vol libre. (b) Largeur de la frange centrale. (c) Si le rapport signal sur bruit permet de scinder le centre de frange par $10^4$, quelle exactitude relative en fréquence en résulte ? (d) Pourquoi les horloges optiques (transitions du pétahertz) battent-elles les horloges micro-ondes à capacité de scission de frange égale — et d’environ quel facteur ?

**Solution de Exercice 12.12.**

(a) La première $\pi/2$ couche le vecteur de Bloch sur l’équateur ; pendant $T$ il précesse au $\nu_0$ propre de l’atome tandis que l’oscillateur local tourne à $\nu$ : l’écart d’angle accumulé vaut $2\pi\delta T$ ; la seconde $\pi/2$ convertit cette phase en une population — un interféromètre dans le temps. (b) $\Delta\delta \sim
1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$. (c) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx
10^{-14}$ — une seconde en trois millions d’années. (d) La même scission absolue de frange sur une porteuse $10^5$ fois plus haute gagne $10^5$ en exactitude relative : d’où les horloges optiques au strontium et à l’ytterbium à $10^{-18}$, et une redéfinition de la seconde en attente.

## 12.5 Problème : voir à l’intérieur du corps

**Problème 12.1.**

Problème du week-end — l’imagerie par résonance magnétique, du spin à l’image

Les deux tiers d’un être humain sont de l’eau ; chaque molécule d’eau porte deux protons, chacun un aimant de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$. Placer une personne dans un champ intense, chatouiller les protons à leur fréquence de Larmor, et écouter : voilà l’imagerie par [résonance magnétique](#prop-b3-spin-two-level-rabi), la physique du [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) devenue médecine. Données : $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ; $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$ ; densité de protons du tissu $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $k_{\text{B}}T$ à $310\,\mathrm{K}$ vaut $26.7\,\mathrm{meV}$ ; $h =
4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$.

**Partie I — Les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) dans l’aimant.**

1. Calculer la fréquence de Larmor à $3.0\,\mathrm{T}$ et l’énergie du photon $h\nu$ en eV.
2. Calculer le déséquilibre de population entre les deux niveaux du proton, $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ .
3. Seul cet excédent — quelques parties par million — contribue au signal : combien de protons « utiles » par centimètre cube de tissu ?
4. Pourquoi la polarisation thermique est-elle si faible ici, alors que le jet de Stern et Gerlach se scindait entièrement ? (Que mesure chaque expérience : des [valeurs propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) d’un atome unique, ou une moyenne thermique ?)
5. Que fait au signal le doublement de $B_0$ (deux effets : la polarisation et la f.é.m. induite à plus haute fréquence) ? Pourquoi les hôpitaux paient-ils pour des aimants plus gros ?
6. L’aimant est supraconducteur et toujours en service : pourquoi une bouteille d’oxygène en acier laissée libre dans la salle est-elle un projectile mortel (quelle force de [Exemple 12.1](#ex-b3-spin-two-level-stern-gerlach) agit sur elle) ?

**Partie II — Impulsions et échos.**

7. Une bobine transverse applique $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ à la résonance : calculer la fréquence de Rabi et les durées des impulsions $\pi/2$ et $\pi$ .
8. Après l’impulsion $\pi/2$ , que fait l’aimantation, et qu’induit la loi de Faraday dans la bobine réceptrice (à quelle fréquence) ?
9. Le signal transverse décroît avec la constante de temps $T_2$ (les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) se déphasent dans le champ les uns des autres et dans les inhomogénéités locales) ; l’aimantation longitudinale repousse avec $T_1$ (l’énergie s’écoule vers le tissu). Valeurs typiques : $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ , $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ . Pourquoi le temps de cohérence ne peut-il jamais beaucoup dépasser le temps de relaxation de l’énergie (que fait à la phase chaque basculement qui échange de l’énergie) ?
10. L’écho de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) : après l’impulsion $\pi/2$ et un délai $\tau$ , on applique une impulsion $\pi$ et, à $2\tau$ , les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin) déphasés se réalignent et le signal revient. Expliquer l’astuce avec des coureurs sur une piste que l’on fait faire demi-tour.
11. Quelle décroissance l’écho défait-il — le déphasage dû aux inhomogénéités de champ *statiques* , ou celui dû aux champs moléculaires fluctuants — et pourquoi celui-là seulement ?
12. Les tissus ont des $T_1$ , $T_2$ différents (la graisse : $T_1$ court ; l’eau et les liquides : long ; bien des tumeurs : $T_2$ plus long que leur tissu hôte). En une phrase : comment le minutage de la séquence d’impulsions change-t-il des temps de relaxation en *contraste* d’image ?

**Partie III — Du signal à l’image.**

13. Superposons un gradient $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ selon $z$ : la fréquence de Larmor devient dépendante de la position. Calculer $\dd\nu/\dd z$ en kHz par millimètre.
14. Une impulsion radiofréquence mise en forme ne contenant que la seule bande $\nu_0 \pm  1\,\mathrm{kHz}$ excite quelle tranche du corps ? (Sélection de coupe.)
15. Pendant la lecture, un gradient selon $x$ fait émettre à chaque colonne de la coupe sa propre fréquence : quelle opération mathématique change le signal temporel reçu en un profil spatial (rappeler la boîte à outils de Fourier du volume de deuxième année) ?
16. Estimer l’information totale d’un examen : une image $256 \times 256$ sur 12 bits, et pourquoi l’acquérir ligne par ligne (un écho par ligne, temps de répétition $\sim T_1$ ) fait durer un examen plusieurs minutes.
17. Le patient entend de forts coups : qu’est-ce qui cogne mécaniquement (penser aux bobines de gradient qui commutent dans le champ de $3\,\mathrm{T}$ — quelle force) ?
18. L’imagerie par rayons X contraste la densité électronique ; l’IRM contraste la densité de protons *et* la relaxation : pourquoi l’IRM est-elle l’outil de choix pour les tissus mous et le cerveau, et quelle dose ionisante délivre-t-elle ?

**Partie IV — Les autres métiers du [spin](#def-b3-spin-two-level-spin).**

19. Les chimistes font la même expérience à une résolution de $10\,\mathrm{ppm}$ : les nuages électroniques écrantent légèrement chaque noyau et décalent sa résonance (le « déplacement chimique »). Pourquoi cela transforme-t-il la RMN en empreinte moléculaire ?
20. L’IRM fonctionnelle cartographie la pensée : l’hémoglobine désoxygénée est paramagnétique et raccourcit le $T_2^*$ local. Retracer la chaîne de l’activité neuronale à la luminosité de l’image.
21. La même physique de Larmor avec le moment de l’ *électron* opère à $84\,\mathrm{GHz}$ sous $3\,\mathrm{T}$ : pourquoi la résonance électronique est-elle inutile à l’intérieur d’un être humain mais précieuse pour étudier radicaux et défauts ?
22. Comparer l’énergie du photon de la question 1 aux énergies de liaison chimiques typiques : justifier l’adjectif « non ionisant » et l’opposer à un photon X de $60\,\mathrm{keV}$ .
23. La polarisation de dix ppm peut être augmentée : du xénon polarisé par laser atteint une polarisation d’ordre un et est inhalé pour imager les espaces aériens du poumon. De quel facteur environ le signal par noyau croît-il, et pourquoi la faible densité du gaz rend-elle malgré tout l’astuce nécessaire ?
24. Un [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) d’électron unique dans un piège de type transistor au silicium est aujourd’hui lu et piloté comme un qubit avec exactement les impulsions de ce chapitre : nommer les deux propriétés du [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) (dimension de son [espace de Hilbert](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-state) ; faiblesse de son couplage au bruit) qui le recommandent.
25. Résumer le résultat nommé : une précession de [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) à $128\,\mathrm{MHz}$ , une polarisation thermique de dix parties par million, deux horloges de relaxation et trois gradients de champ suffisent à photographier un cerveau vivant en coupes — les deux taches de Stern et Gerlach, devenues un hôpital.

**Solution de Problème 12.1.**

**1.** $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$ ; $h\nu =
5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$. **2.** $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2
\times 0.0267) \approx 10^{-5}$ : dix parties par million. **3.** $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx
7 \times 10^{17}$ protons porteurs de signal par centimètre cube — faible par [spin](#def-b3-spin-two-level-spin), puissant par le nombre. **4.** Stern et Gerlach mesuraient chaque atome et le scindaient selon la [valeur propre](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) ; l’IRM écoute une *moyenne thermique* de $10^{23}$ [spins](#def-b3-spin-two-level-spin), et Boltzmann maintient cette moyenne à quelques microvolts de zéro. **5.** La polarisation est $\propto B_0$ et la f.é.m. induite $\propto \omega \propto B_0$ : le signal est à peu près $\propto B_0^2$ — l’argument du $3\,\mathrm{T}$ contre le $1.5\,\mathrm{T}$, et des machines de recherche à $7\,\mathrm{T}$. **6.** Un ferromagnétique dans le gradient de fuite subit $F = \mu\,\partial B/\partial z$ ramené à des kilogrammes de fer : des centaines de newtons qui apparaissent dans une embrasure — la raison du blindage et des listes de contrôle. **7.** $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$ : impulsion $\pi/2$ de $0.59\,\mathrm{ms}$, impulsion $\pi$ de $1.2\,\mathrm{ms}$. **8.** Elle précesse dans le plan transverse à $127.7\,\mathrm{MHz}$ ; le flux de l’aimantation tournante à travers la bobine y induit (Faraday) une f.é.m. radio exactement à cette fréquence — le signal de RM brut. **9.** Tout basculement qui échange de l’énergie rend aussi aléatoire la phase du [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) retourné : ce qui cause $T_1$ contribue à $T_2$, et le déphasage dispose en outre de canaux propres — la cohérence meurt la première. **10.** À $\tau$ chaque coureur fait demi-tour : les plus rapides, les plus avancés, ont désormais le plus long chemin de retour ; à $2\tau$ tous franchissent la ligne de front de concert — le déphasage se rembobine et l’écho retentit. **11.** Seule la partie *statique* : un [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) qui a gardé une fréquence constante (même fausse) retrace exactement sa phase ; les champs moléculaires fluctuants changent entre les deux moitiés et ne se rembobinent pas — leur décroissance est le vrai $T_2$, propre au tissu. **12.** Échantillonner tôt et souvent (TR court, TE court) et le $T_1$ court de la graisse brille ; attendre longtemps et faites l’écho tard, et les liquides à $T_2$ long luisent : les réglages d’horloge de la séquence choisissent quelle constante de relaxation peint l’image. **13.** $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times
0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$. **14.** La tranche où la fréquence de Larmor locale tombe dans la bande : épaisseur $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx
1.2\,\mathrm{mm}$ — une coupe sélectionnée. **15.** Une transformation de Fourier : la fréquence étiquette la position, donc le spectre de l’écho *est* la projection de la coupe. **16.** $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$ ; à raison d’une ligne codée par temps de répétition de l’ordre de $T_1$, les $256$ lignes coûtent des minutes — d’où la consigne de ne pas bouger. **17.** Les bobines de gradient portent des courants commutés à l’échelle du kiloampère dans $3\,\mathrm{T}$ : la force de Laplace les martèle contre leurs supports à chaque commutation — la bande-son en rafales de tout examen. **18.** Les rayons X ombrent la densité électronique — l’os contre l’air — et déposent une dose ionisante ; l’IRM lit la densité de protons et deux horloges de relaxation, qui diffèrent richement d’un tissu mou à l’autre : cerveau, cartilage et tumeurs, tous semblables aux rayons X, sont distincts pour les [spins](#def-b3-spin-two-level-spin), et à dose ionisante nulle. **19.** Chaque environnement chimique écrante son proton de quelques parties par million : les protons d’une molécule se signalent en un peigne résolu de raies décalées — de la détermination de structure dans un tube. **20.** L’activité augmente le débit sanguin local et l’oxygénation ; la désoxyhémoglobine paramagnétique s’y dilue ; le $T_2^*$ local s’allonge ; le voxel s’éclaircit quelques secondes après la pensée. **21.** À $84\,\mathrm{GHz}$ les tissus sont opaques (les micro-ondes millimétriques pénètrent à peine la peau) et la relaxation électronique est de l’ordre de la microseconde — sans espoir in vivo, mais parfait pour compter radicaux et défauts dans les matériaux et pour la dosimétrie. **22.** $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ contre des liaisons de quelques eV : dix millions de fois trop faible pour rien briser — non ionisant ; un photon X de $60\,\mathrm{keV}$ en porte $10^{11}$ fois plus. **23.** De $10^{-5}$ à l’ordre un : un gain de $\sim10^5$ par noyau — nécessaire parce que le gaz inhalé est des milliers de fois plus dilué que les protons de l’eau. **24.** Un [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$ est un système à deux niveaux *parfait* (aucun niveau de fuite), et il ne se couple que faiblement au bruit de charge, par l’intermédiaire de moments magnétiques : une longue cohérence dans un matériau industriel. **25.** Une précession à $128\,\mathrm{MHz}$, une polarisation de $10^{-5}$, deux horloges de relaxation et trois gradients : la physique du [spin](#def-b3-spin-two-level-spin) photographiant un cerveau vivant, coupe par coupe, à dose ionisante nulle — les deux taches d’argent de 1922, devenues un service hospitalier.