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title: "Mécanique hamiltonienne"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne
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# Chapitre 2 — Mécanique hamiltonienne

Photographiez mille fois un pendule et portez, pour chaque cliché, son angle en fonction de son moment cinétique : les points se rangent sur une courbe fermée, et tout mouvement possible du pendule est une telle courbe — [petites oscillations](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) sur des ovales emboîtés, tours complets sur des lignes ondulées au-dessus et au-dessous, et entre les deux une unique courbe croisée qui sépare les deux régimes. Cette image, le *[portrait de phase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait)*, est le cœur de la reformulation que Hamilton donna de la mécanique en 1833 : l’état d’un système est un point dans l’espace des coordonnées *et* des moments, son évolution est un écoulement dans cet espace, et cet écoulement est engendré par une seule fonction, l’énergie, à travers deux équations du premier ordre d’une belle symétrie. Le gain n’est pas la facilité des calculs — Lagrange l’emporte le plus souvent — mais la bonne *géométrie* : l’écoulement conserve le volume dans l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), ce qui fondera la physique statistique ; et son squelette algébrique, le [crochet de Poisson](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson), est exactement ce que la mécanique quantique promouvra en commutateur. Ce chapitre est la charnière entre la mécanique des objets et la physique du vingtième siècle.

## 2.1 De Lagrange à Hamilton

**Définition 2.1 (Hamiltonien et équations canoniques).**

Pour un système de [lagrangien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $L(q, \dot q, t)$, exprimons les vitesses en fonction des moments $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ et définissons le *hamiltonien* comme la transformée de Legendre

$$
H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,
$$

fonction des coordonnées et des *moments*. L’espace de dimension $2n$ des $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ est l’*espace des phases* ; un seul de ses points — un *état* — détermine tout l’avenir et tout le passé du système par les *équations canoniques* du [Théorème 2.2](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-canonical).

**Théorème 2.2 (Équations de Hamilton).**

Les [équations d’Euler–Lagrange](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) équivalent aux $2n$ équations du premier ordre

$$
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .
$$

**Démonstration.** Différentions $H = \sum p_i\dot q_i - L$ comme fonction de $(q, p, t)$ : $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum(
\partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. Les termes en $\dd\dot q_i$ se compensent par la définition de $p_i$ — tout l’intérêt de la transformée de Legendre — et il reste $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. En lisant les dérivées partielles : $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ et $\partial H/\partial q_i =
-\partial L/\partial q_i$, qui vaut $-\dot p_i$ par Euler–Lagrange. (Et aussi $\partial_tH = -\partial_tL$.) ∎

**Proposition 2.3 (Ce qu’est HHH).**

$H$ coïncide avec la [fonction énergie](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ du chapitre précédent : le long d’un mouvement, $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$, donc $H$ est conservé dès qu’il ne dépend pas explicitement du temps ; et lorsque l’énergie cinétique est quadratique en les vitesses avec des contraintes indépendantes du temps, $H = E_k + E_p$, l’énergie mécanique — écrite désormais dans les variables $(q, p)$.

**Démonstration.** $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot
p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H -
\partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$ : la symétrie des [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) annule identiquement la somme. L’identification à $E_k + E_p$ est [Proposition 1.14](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy). ∎

**Exemple 2.4 (Deux hamiltoniens).**

Masse sur un ressort : $p = m\dot x$, donc

$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;
$$

les [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$ sont la paire familière. Pendule : $p = m\ell^2\dot\theta$ et

$$
H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .
$$

Dans les deux cas $H$ est l’énergie, constante sur chaque mouvement : les mouvements *sont* les courbes de niveau de $H$ dans le plan $(q,p)$.

**Méthode 2.5 (La recette hamiltonienne).**

(1) À partir de $L$, calculer les moments $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ et inverser pour les $\dot q_i$. (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$, exprimé en $(q, p)$ seulement — pour un système naturel, simplement $E_k + E_p$ avec $E_k$ réécrite en les moments. (3) Écrire les [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (4) Tracer les courbes de niveau de $H$ : pour un degré de liberté ce sont les trajectoires, et tout le mouvement qualitatif — oscillations, rotations, équilibres, [séparatrices](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) — se lit sans rien résoudre.

## 2.2 L’espace des phases

**Définition 2.6 (Portrait de phase, points fixes, séparatrice).**

Le *portrait de phase* d’un système est la famille de ses trajectoires dans l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Un *point fixe* est un état où les deux [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) s’annulent — un équilibre : un minimum du potentiel apparaît comme un *centre* entouré de courbes fermées, un maximum comme un *col* par lequel passe une *séparatrice*, la trajectoire qui partage l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) en régions de mouvements qualitativement différents.

**Exemple 2.7 (Le portrait de phase du pendule).**

Pour $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$ : des ovales fermés autour de $(0, 0)$ — les *librations*, oscillations ordinaires ; des courbes ondulées à $|p|$ grand — les *rotations*, le pendule tournant par le haut ; et par les cols en $\theta = \pm\pi$ la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), d’énergie $E = +mg\ell$, sur laquelle le pendule met un temps infini à atteindre le sommet. Un état sur la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) est l’oscillation lancée *exactement* assez fort pour arriver à la position inversée sans la moindre marge.

![Le portrait de phase du pendule : les courbes de niveau de H. Les ovales fermés (oscillations) tournent dans le sens horaire autour du centre ; au-dessus et au-dessous de la séparatrice, le pendule tourne. Les cols en ± 180 sont l’équilibre inversé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-347c956a89ce.svg)

*Le [portrait de phase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) du pendule : les courbes de niveau de $H$. Les ovales fermés (oscillations) tournent dans le sens horaire autour du centre ; au-dessus et au-dessous de la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), le pendule tourne. Les cols en $\pm 180^\circ$ sont l’équilibre inversé.*

**Théorème 2.8 (Théorème de Liouville).**

L’écoulement [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) conserve le volume dans l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) : si une région d’états initiaux est entraînée par les [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), son volume (son aire, pour un degré de liberté) ne change jamais — quelle que soit la forme qu’elle prend.

**Démonstration.** L’écoulement dans l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) a pour champ de vitesse le couple $(\dot q_i, \dot p_i) = (\partial_{p_i}H,
-\partial_{q_i}H)$. Sa divergence vaut

$$
\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i}
 + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big)
 = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}
 - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :
$$

l’écoulement est incompressible, et un écoulement incompressible transporte les volumes sans les changer, comme pour les fluides du volume de deuxième année. (Le passage formel d’une divergence nulle à la conservation du volume est le théorème de transport démontré là.) ∎

**Remarque 2.9 (Pourquoi Liouville compte).**

Rien dans la formulation de Newton ne suggère qu’une quelconque grandeur soit incompressible. Dans l’image hamiltonienne c’est automatique — et c’est le permis de la physique statistique : lorsque nous décrivons un gaz de $10^{23}$ molécules par un nuage de points dans l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), le [théorème de Liouville](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) dit que le nuage s’écoule comme un fluide incompressible, de sorte que le « nombre d’états dans un volume de l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) » est une grandeur que la dynamique elle-même ne peut ni créer ni détruire. Le postulat microcanonique de la physique statistique, plus loin dans ce volume, repose exactement là-dessus.

![Le théorème de Liouville : l’écoulement déforme une région d’états initiaux — il la cisaille, il la fait tourner — mais son aire est exactement conservée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-2e46c6800d73.svg)

*Le [théorème de Liouville](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) : l’écoulement déforme une région d’états initiaux — il la cisaille, il la fait tourner — mais son aire est exactement conservée.*

## 2.3 Crochets de Poisson

**Définition 2.10 (Crochet de Poisson).**

Le *crochet de Poisson* de deux fonctions $f(q, p, t)$ et $g(q, p, t)$ sur l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) est

$$
\{f, g\} = \sum_i\Big(
 \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .
$$

Il est antisymétrique, linéaire en chaque argument, vérifie la règle du produit $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$, et satisfait pour les coordonnées elles-mêmes les *relations canoniques*

$$
\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad
\{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .
$$

**Théorème 2.11 (L’évolution comme crochet).**

Le long de tout mouvement,

$$
\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .
$$

En particulier, une grandeur sans dépendance explicite en temps est conservée si et seulement si son crochet avec le [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) est nul ; et les [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) elles-mêmes s’écrivent $\dot q_i = \{q_i, H\}$, $\dot p_i
= \{p_i, H\}$ : le [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) *engendre* l’évolution temporelle.

**Démonstration.** Règle de dérivation composée et [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) : $\dd f/\dd t = \sum(
\partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf =
\sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\,
\partial_{q_i}H) + \partial_tf$. ∎

**Exemple 2.12 (Crochets du moment cinétique).**

Pour une particule, $L_z = xp_y - yp_x$ et ses compagnes par permutation circulaire. Un calcul direct à partir des relations canoniques donne

$$
\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad
\{L_y, L_z\} = L_x , \qquad
\{L_z, L_x\} = L_y ,
$$

et $\{L^2, L_z\} = 0$ : les composantes du moment cinétique ne « commutent » pas entre elles, mais chacune commute avec le carré total. Retenez la forme de ces relations — elles reviendront textuellement, comme commutateurs, en mécanique quantique, où elles dictent tout de la structure atomique.

**Remarque 2.13 (La porte de la mécanique quantique).**

Dirac observa en 1925 que toute la mécanique quantique s’obtient en gardant l’algèbre de la mécanique hamiltonienne et en remplaçant le [crochet de Poisson](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) par le commutateur des opérateurs divisé par $\iu\hbar$ : $\{q, p\} = 1$ devient $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$, la conservation reste « crochet avec $H$ nul », et l’évolution temporelle reste engendrée par le [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). La théorie classique porte, dans ses os, le squelette de la théorie quantique ; les chapitres de mécanique quantique rendront cette correspondance explicite.

## 2.4 Action et invariants adiabatiques

**Définition 2.14 (Variable d’action).**

Pour un système à un degré de liberté oscillant sur une trajectoire de phase fermée, la *variable d’[action](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-action)* est l’aire enclose divisée par $2\pi$ :

$$
I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .
$$

**Proposition 2.15 (Action de l’oscillateur harmonique).**

Pour $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ à l’énergie $E$, la trajectoire est une ellipse de demi-axes $\sqrt{2E/m\omega^2}$ et $\sqrt{2mE}$, d’aire $2\pi E/\omega$ : d’où

$$
I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,
$$

et la fréquence d’oscillation vaut $\partial E/\partial I = \omega$, comme il se doit.

**Démonstration.** Aire d’une ellipse, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} =
2\pi E/\omega$. ∎

**Proposition 2.16 (Invariance adiabatique).**

Si l’on fait varier *lentement* un paramètre du système (une longueur, une raideur, un champ) — sur de nombreuses périodes d’oscillation —, l’énergie change, la fréquence change, mais l’[action](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ reste constante à une excellente approximation : $I$ est un *[invariant adiabatique](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)*. Pour l’oscillateur lentement modifié, $E/\omega$ est donc conservé : raidir lentement le ressort pour doubler $\omega$ et l’énergie double avec lui.

**Démonstration partielle.** Pour l’oscillateur de $\omega(t)$ lentement variable : sur une période, le travail fourni par le paramètre changeant se calcule par moyenne ; le calcul (guidé dans [Exercice 2.11](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-11)) donne $\dot E/E = \dot\omega/\omega$, c’est-à-dire $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ à l’ordre dominant. L’énoncé général, pour tout système oscillant lentement déformé, est admis — c’est la raison pour laquelle les orbites planétaires survivent aux perturbations lentes, et le point de départ de l’« ancienne théorie des quanta » ci-dessous. ∎

![Invariance adiabatique. À gauche : lorsque est lentement doublée, l’ellipse de phase change de forme à aire constante, donc E = I double. À droite : hisser le fil d’un pendule qui oscille lui injecte de l’énergie exactement dans la proportion qui maintient I = E/ fixe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-0bc9e2778ed9.svg)

*Invariance adiabatique. À gauche : lorsque $\omega$ est lentement doublée, l’ellipse de phase change de forme à aire constante, donc $E = \omega I$ double. À droite : hisser le fil d’un pendule qui oscille lui injecte de l’énergie exactement dans la proportion qui maintient $I = E/\omega$ fixe.*

**Remarque 2.17 (L’ancienne théorie des quanta).**

Pourquoi les atomes ont-ils des énergies discrètes ? La première réponse quantitative (Bohr 1913, Sommerfeld 1915) fut écrite dans la langue de ce chapitre : parmi tous les mouvements classiques, la nature garde ceux dont l’intégrale d’[action](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-action) est un nombre entier de constantes de Planck,

$$
\oint p\,\dd q = nh .
$$

Appliquée à l’oscillateur harmonique, elle donne $E_n = n\hbar\omega$ (il n’y manque que la moitié du vrai $\big(n + \tfrac12\big)\hbar
\omega$) ; appliquée à une particule dans une boîte elle donne *exactement* les niveaux du volume de deuxième année ; appliquée à l’atome d’hydrogène ([Problème 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1)) elle donne le spectre mesuré à quatre chiffres. La règle était quantitativement juste et conceptuellement provisoire — et, l’[action](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-action) étant un [invariant adiabatique](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic), le nombre quantique $n$ ne change pas sous les perturbations lentes, ce qui explique qu’une telle règle ait pu fonctionner. La vraie théorie commence cinq chapitres plus loin.

![Un pendule photographié au stroboscope : les positions se pressent près des points de rebroussement, où la masse s’attarde, et s’espacent en bas, où elle se hâte — une photographie du portrait de phase que ce chapitre trace avec des équations.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/img-7e511e05d49a.jpg)

*Un pendule photographié au stroboscope : les positions se pressent près des points de rebroussement, où la masse s’attarde, et s’espacent en bas, où elle se hâte — une photographie du [portrait de phase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) que ce chapitre trace avec des équations.*

## 2.5 Exercices

**Exercice 2.1 ★.**

Pour la masse sur un ressort : (a) construire $H$ à partir de $L$ et vérifier que $H =
E_k + E_p$ ; (b) écrire les [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) et vérifier qu’elles redonnent $\ddot x = -\omega^2x$ ; (c) montrer que les trajectoires sont des ellipses dans le plan $(x, p)$ et donner leurs demi-axes à l’énergie $E$ ; (d) en quel sens le point représentatif tourne-t-il ?

**Solution de Exercice 2.1.**

(a) $p = m\dot x$, $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k +
E_p$. (b) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$, d’où $\ddot x = -(k/m)x$. (c) $H = E$ est l’ellipse $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$ : demi-axes $\sqrt{2E/k}$ et $\sqrt{2mE}$. (d) Au point le plus à droite ($x > 0$, $p = 0$), $\dot p = -kx < 0$ : le point descend — dans le sens horaire, toujours.

**Exercice 2.2 ★.**

La perle sur le cerceau tournant du chapitre précédent a pour $L =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta +
mgR\cos\theta$. (a) Calculer $p$ et $H$. (b) $H$ est-il conservé ? Est-ce l’énergie mécanique ? (c) Tracer les courbes de niveau de $H$ pour $\omega^2 < g/R$ et $\omega^2 > g/R$, à l’aide du potentiel effectif de ce chapitre. (d) Identifier les centres, les cols et les [séparatrices](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) dans le cas rapide.

**Solution de Exercice 2.2.**

(a) $p = mR^2\dot\theta$ ; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2
\sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{eff}}(\theta)$. (b) Conservé ($H$ ne contient pas $t$ explicitement), mais c’est $h$, non l’énergie mécanique : le travail du moteur y manque. (c) Les courbes de niveau sont $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{eff}})}$ : pour une rotation lente, des ovales autour de $(0, 0)$ et une [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) passant par le col en $\theta = \pi$ ; pour une rotation rapide, deux familles d’ovales autour de $(\pm\theta_{\text{eq}}, 0)$. (d) Cas rapide : centres en $\pm\theta_{\text{eq}}$ ; cols en $\theta = 0$ *et* $\theta =
\pi$ ; par $\theta = 0$ passe une [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) en forme de huit entourant les deux centres (les [petites oscillations](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) franchissent le bas), et par $\pi$ la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) extérieure, au-delà de laquelle la perle circule par le haut.

**Exercice 2.3 ★.**

Une balle rebondit élastiquement sur le sol, $H = p^2/2m + mgz$ ($z >
0$). (a) Tracer la trajectoire de phase d’un vol, puis du mouvement de rebond entier. (b) Que fait le rebond élastique au point représentatif ? (c) Calculer l’aire enclose pour une hauteur maximale $z_{\max}$, ainsi que l’[action](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$. (d) La règle de Bohr–Sommerfeld $\oint p\,\dd z = nh$ appliquée à un neutron rebondissant ($m =
1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) donne des hauteurs de rebond quantifiées : estimer la plus basse et comparer aux $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ mesurés dans l’expérience d’états quantiques gravitationnels de 2002.

**Solution de Exercice 2.3.**

(a) Un vol est l’arc $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — une parabole couchée, parcourue de $(0, +p_0)$ jusqu’à $(z_{\max}, 0)$ puis redescendue jusqu’à $(0, -p_0)$. (b) Le rebond envoie $(0, -p_0)$ sur $(0, +p_0)$ : un segment vertical qui ferme la boucle. (c) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z =
\tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$, et $I$ en est le quotient par $2\pi$. (d) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$ : pour un neutron, $z_1 =
(6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — le bon ordre : l’expérience de Grenoble a trouvé l’état quantique gravitationnel le plus bas vers $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (le traitement exact, avec les vraies fonctions d’onde, donne $14\,\text{µ}\mathrm{m}$).

**Exercice 2.4 ★.**

À partir des seules relations canoniques, calculer (a) $\{x^2, p\}$ ; (b) $\{xp, H\}$ pour $H = p^2/2m + E_p(x)$, et interpréter les deux termes (ce crochet gouverne le *théorème du viriel*) ; (c) $\{L_z, x\}$ et $\{L_z, p_x\}$ ; (d) montrer que si $\{f, H\} = 0$ et $\{g, H\} = 0$ alors $\{f, g\}$ est aussi conservé (utiliser l’identité de Jacobi, admise : $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$).

**Solution de Exercice 2.4.**

(a) $\{x^2, p\} = 2x$. (b) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k -
x\,E_p'$ : sur un mouvement lié la moyenne temporelle de $\dd(xp)/\dd t$ est nulle, donc $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — le théorème du viriel (pour $E_p \propto x^2$ : $\langle E_k\rangle = \langle
E_p\rangle$ ; pour $\propto -1/r$ : $2\langle E_k\rangle = -\langle
E_p\rangle$). (c) $\{L_z, x\} = y$, $\{L_z, p_x\} = p_y$ : $L_z$ engendre les rotations des positions comme des moments. (d) Jacobi avec $h
= H$ : $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$.

**Exercice 2.5 ★★.**

Le pendule au voisinage de sa [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait). (a) Donner l’énergie de la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) et le $|p|$ maximal sur celle-ci. (b) Montrer que sur la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) $p =
\pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ avec $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$. (c) À l’aide de $\dot\theta = p/m\ell^2$, montrer que le temps pour aller de $\theta$ au sommet diverge logarithmiquement. (d) Un pendule réel lâché juste au-dessous de la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) reste un long moment près de la position inversée avant de repartir — relier cela à (c), et au ralentissement observé près de tout col.

**Solution de Exercice 2.5.**

(a) $E_{\text{sep}} = mg\ell$ (l’énergie de la position inversée au repos) ; maximum $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ en bas. (b) À partir de $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$. (c) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ se sépare : $\omega_0t =
\ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$, qui diverge quand $\theta \to \pi$ : le sommet est approché, jamais atteint. (d) Juste au-dessous de la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), le mouvement la longe : le pendule s’insinue au voisinage du col, s’y attarde — le logarithme — et finit par retomber ; tout col ralentit logarithmiquement les trajectoires, et c’est pourquoi un bâton mal équilibré semble hésiter avant de tomber.

**Exercice 2.6 ★★.**

Une particule chargée dans un champ magnétique a pour $H = (\vect p -
q\vect A)^2/2m$, où $\vect p$ est le [moment conjugué](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) du chapitre précédent. (a) Écrire les [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) pour $\vect A = \tfrac12
B(-y, x, 0)$ et vérifier qu’elles donnent le mouvement cyclotron. (b) Montrer que $H =
\tfrac12 m\vect v^{\,2}$ : le champ magnétique ne travaille pas. (c) Calculer le crochet des deux grandeurs conservées $\pi_x = p_x - \tfrac12
qBy$ et $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (vérifier d’abord que chacune est conservée), et montrer que $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$ : deux grandeurs conservées dont le crochet est une constante. (d) Utiliser [Exercice 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d) pour expliquer pourquoi aucune troisième grandeur conservée indépendante n’était à en attendre.

**Solution de Exercice 2.6.**

(a) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ et $\dot p_x =
-\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect
A$, etc. ; en éliminant $\vect p$ on retrouve $m\ddot x = qB\dot y$, $m\ddot y = -qB\dot x$. (b) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12
m\vect v^{\,2}$ : l’énergie cinétique seule — constante, la force magnétique étant perpendiculaire à $\vect v$. (c) Avec $m\dot x = p_x +
\tfrac12 qBy$ : $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$, dont la conservation est la première équation du mouvement (de même pour $\pi_y$) ; dans le crochet, deux termes seulement survivent : $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12
qB$ et $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$, au total $-qB$. ($\pi_x/qB$ et $\pi_y/qB$ sont, au signe près, les coordonnées du centre guide du cercle.) (d) D’après [Exercice 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d), le crochet de deux grandeurs conservées est conservé — ici c’est la constante $-qB$, conservée trivialement et qui n’apprend rien de neuf : aucune troisième grandeur n’apparaît.

**Exercice 2.7 ★★.**

Liouville à la main. (a) Pour la particule libre, l’écoulement est $q \to q +
pt/m$, $p \to p$ : montrer qu’un rectangle devient un parallélogramme de même aire. (b) Pour l’oscillateur harmonique, montrer que l’écoulement est une rotation (en unités convenables) et conclure. (c) Pour l’oscillateur *amorti* $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$, écrire la divergence de l’écoulement dans le plan $(x, v)$ et montrer que les aires décroissent comme $\eu^{-\gamma t}$ : l’amortissement n’est pas [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (d) Où passe physiquement l’aire perdue ?

**Solution de Exercice 2.7.**

(a) L’application $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ est un cisaillement : base et hauteur du rectangle sont inchangées, l’aire aussi (déterminant $1$). (b) Dans les variables $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ l’écoulement est une rotation en bloc à la vitesse $\omega$ ; les rotations conservent l’aire, et le changement de variables a pour déterminant $1$. (c) Le champ de vitesse $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ a pour divergence $-\gamma$ : toute aire se contracte comme $\eu^{-\gamma t}$, en spiralant vers l’origine — impossible pour un écoulement [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (d) Elle passe dans les [degrés de liberté](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) ignorés : les molécules de l’air et les phonons du fil, dont le volume dans l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) croît au moins d’autant — le germe du second principe.

**Exercice 2.8 ★★.**

Mouvement plan dans un potentiel central, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m
+ E_p(r)$. (a) Écrire les quatre [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (b) Montrer que $\{
p_\varphi, H\} = 0$ et identifier la loi de conservation. (c) Ramener à un [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) radial à une dimension avec un potentiel effectif. (d) Pour $E_p = -k/r$, situer l’orbite circulaire à $p_\varphi$ donné et donner son énergie — à quantifier dans [Problème 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1).

**Solution de Exercice 2.8.**

(a) $\dot r = p_r/m$, $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$, $\dot p_r =
p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$, $\dot p_\varphi = 0$. (b) $H$ ne contient pas $\varphi$ : $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi =
0$ ; c’est la conservation du moment cinétique. (c) $H_{\text{rad}} = p_r^2/2m +
U_{\text{eff}}(r)$ avec $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$. (d) $U_{\text{eff}}' = 0$ : $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$, et $E =
U_{\text{eff}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$.

**Exercice 2.9 ★★.**

(a) Vérifier $\{L_x, L_y\} = L_z$ à partir des relations canoniques. (b) En déduire les deux autres crochets par permutation circulaire. (c) Montrer que $\{L^2, L_z\} = 0$. (d) Un solide tourne librement : en prenant $H =
L^2/2J$ (inertie à symétrie sphérique), montrer que les trois $L_i$ sont conservés ; qu’en est-il d’un solide à moments d’inertie inégaux (répondre qualitativement à partir des crochets) ?

**Solution de Exercice 2.9.**

(a) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$ : les seuls crochets canoniques non nuls donnent $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z,
p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$. (b) La permutation circulaire $x \to y \to z \to
x$ donne les deux autres. (c) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} +
2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$. (d) Pour $H = L^2/2J$, chaque $\{L_i, H\} = 0$ : $\vect L$ est fixe. Avec $H = \sum L_i^2/2J_i$ et des $J_i$ inégaux : $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — seuls $L^2$ et $H$ survivent, et le solide culbute (le théorème de la raquette du chapitre sur le solide du volume de deuxième année vit ici).

**Exercice 2.10 ★★★.**

Niveaux de l’ancienne théorie des quanta. (a) Montrer que $\oint p\,\dd q = nh$ appliquée à l’oscillateur harmonique donne $E_n = n\hbar\omega$, à l’aide de [Proposition 2.15](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-sho-action). (b) L’appliquer à la particule dans une boîte de longueur $a$ et retrouver exactement $E_n =
n^2h^2/8ma^2$. (c) Pour une molécule diatomique modélisée par un oscillateur de raideur $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ et de masse réduite $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (monoxyde de carbone), calculer $\hbar\omega$ en eV et la longueur d’onde de l’émission $n = 1 \to 0$ ; dans quel domaine spectral tombe-t-elle ? (d) Les vrais niveaux valent $(n + \tfrac12)\hbar\omega$ : la moitié manquante change-t-elle les longueurs d’onde *émises* ? Quelle expérience détecte, elle, cette demi-quantité de point zéro ?

**Solution de Exercice 2.10.**

(a) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ donne $E_n =
n\hbar\omega$. (b) Aller et retour à $|p|$ constant : $2pa = nh$, $p =
nh/2a$, $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — exactement le puits infini du volume de deuxième année. (c) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$, $\lambda = hc/
\hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : infrarouge moyen (la bande fondamentale du CO, qui sert à tracer le gaz interstellaire). (d) Non : les différences de niveaux sont inchangées par la demi-quantité commune. L’énergie de point zéro se voit dans les comparaisons qui dépendent du niveau absolu — décalages isotopiques des énergies de dissociation (H$_2$ contre D$_2$), ou vibrations qui persistent au zéro absolu dans les cristaux.

**Exercice 2.11 ★★★.**

Invariance adiabatique de $E/\omega$, démontrée. Une masse sur un ressort dont la raideur $k(t)$ croît lentement. (a) Montrer que $\dot E = \tfrac12\dot k\,
x^2$ le long du mouvement exact. (b) Moyenner sur une période à $k$ fixée : à l’aide de $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, montrer que $\langle\dot E\rangle
= \dot k\,E/2k$. (c) Conclure $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln
\omega$, d’où $E/\omega$ constant. (d) Un pendule oscillant avec l’amplitude $\theta_0 = 5^\circ$ voit son fil lentement raccourci de $1.0\,\mathrm{m}$ à $0.5\,\mathrm{m}$ : trouver la nouvelle amplitude et le facteur de croissance de son énergie, et dites d’où vient cette énergie.

**Solution de Exercice 2.11.**

(a) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$, donc le long d’un mouvement $\dot E =
\partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$. (b) Sur une période à $k$ pratiquement fixée, $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, donc $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$. (c) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln
k$ ; comme $\omega = \sqrt{k/m}$, on a aussi $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ : $E/\omega$ est invariant. (d) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ croît de $\sqrt2$, donc $E$ croît de $\sqrt2 \approx 1.41$. Avec $E = \tfrac12
mg\ell\theta_0^2$, $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$ : $\theta_0' =
5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$. L’énergie est fournie par qui tire le fil : la tension dépasse $mg\cos\theta$ en moyenne (terme centrifuge), si bien que le hissage fournit un travail net positif.

**Exercice 2.12 ★★★.**

L’aire intérieure à la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) du pendule est un nombre d’états quantiques. (a) Montrer que $\oint p\,\dd\theta$ le long de la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) vaut $16m\ell^2\omega_0$. (b) Par la règle de Bohr–Sommerfeld, le nombre d’états quantiques d’énergie inférieure à celle de la [séparatrice](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) vaut $N \approx
16m\ell^2\omega_0/h$ : l’évaluer pour une masse d’un gramme au bout d’un fil de $10\,\mathrm{cm}$. (c) L’évaluer pour un oscillateur moléculaire du genre de l’ammoniac : $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$, $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (d) Conclure : où passe la frontière entre la mécanique qui a besoin de $\hbar$ et celle qui n’en a pas besoin ?

**Solution de Exercice 2.12.**

(a) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0
\cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2)
\big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$. (b) $\omega_0 =
9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 =
1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, soit $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ états : le grain quantique d’un pendule de laboratoire est trente ordres de grandeur sous tout observable. (c) $16 \times 10^{-26} \times
10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, soit $N \approx
240$ : une libration moléculaire ne loge que quelques centaines d’états quantiques, et ses bas niveaux sont résolus un à un par la spectroscopie. (d) La frontière est là où les aires de phase du mouvement valent quelques $h$ : les molécules et au-dessous sont quantiques ; tout ce qui est visible est classique.

## 2.6 Problème : l’ancienne théorie des quanta et l’hydrogène

**Problème 2.1.**

Problème du week-end — quantifier l’espace des phases, peser le Rydberg

En 1913 Bohr calcula le spectre de l’hydrogène à partir de la mécanique planétaire et d’une seule règle quantique ; Sommerfeld reconnut dans cette règle un énoncé sur l’aire dans l’[espace des phases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Ce problème refait leur calcul avec les outils de ce chapitre. Données : $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $1/4\pi\varepsilon_0 =
8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. On pose $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$.

**Partie I — Le [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) de Kepler.** Un électron se déplace dans le plan autour d’un proton fixe.

1. Justifier que l’on traite le proton comme fixe (rapport des masses), et écrire le [hamiltonien](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} +  \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ .
2. Écrire les quatre [équations canoniques](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) .
3. Montrer que $p_\varphi$ est conservé et le nommer.
4. Ramener le mouvement radial au potentiel effectif $U_{\text{eff}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ et le tracer.
5. Situer l’orbite circulaire : $r_{\text{c}} =  p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
6. Montrer que son énergie vaut $E = -k/2r_{\text{c}} =  -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ , et vérifier que c’est la moitié de l’énergie potentielle (le rapport du viriel des orbites gravitationnelles du volume de première année).

**Partie II — L’orbite classique.**

7. Pour une orbite circulaire de rayon $r$ , trouver la vitesse $v$ et la fréquence orbitale $f_{\text{orb}}$ en fonction de $r$ .
8. Pour une orbite de taille atomique, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : calculer $v$ (et $v/c$ ), $f_{\text{orb}}$ , et l’énergie en eV.
9. Calculer le moment cinétique $p_\varphi$ de cette orbite et le comparer à $\hbar = h/2\pi$ : que suggère cette proximité ?
10. Classiquement, un électron en orbite est un dipôle oscillant et rayonne (volume de deuxième année) à $f_{\text{orb}}$ ; son énergie décroît en $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ environ. Énoncer les deux prédictions fatales que cela donne pour les atomes, et ce que l’on observe à la place.
11. Quel trait des spectres observés (raies discrètes, règle de combinaison $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) suggérait des *niveaux* d’énergie discrets ?
12. Expliquer pourquoi un *[invariant adiabatique](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)* est le candidat naturel pour une grandeur prenant des valeurs universelles fixées (rappeler [Proposition 2.16](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) ).

**Partie III — La quantification.** Imposons la règle de Sommerfeld au mouvement angulaire de l’orbite circulaire : $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$, $n = 1, 2, 3, \dots$

13. Montrer que la règle s’écrit $p_\varphi = n\hbar$ .
14. En déduire les rayons permis $r_n = n^2a_0$ avec $a_0 =  \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , et calculer $a_0$ .
15. En déduire les énergies permises $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ avec $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , et calculer $E_{\text{I}}$ en joules et en eV.
16. Calculer la vitesse sur la première orbite et vérifier que $v_1/c =  k/\hbar c \approx 1/137$ (la constante de structure fine).
17. Un photon emporte l’énergie d’une transition : obtenir la formule de Rydberg et la valeur de $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ; comparer à la valeur mesurée $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
18. Calculer les longueurs d’onde des transitions $2 \to 1$ , $3 \to 2$ et $\infty \to 2$ ; laquelle est visible, et de quelle couleur ?
19. L’ion hélium ionisé He $^+$ est un hydrogène de charge nucléaire $2e$ : comment $a_0$ et $E_{\text{I}}$ se transforment-ils, et où tombe sa raie $2 \to 1$ ?

**Partie IV — La confrontation.**

20. Calculer la fréquence orbitale $f_{\text{orb}}(n)$ et la fréquence de transition $\nu_{n \to n-1}$ pour $n = 2$ , $10$ , $100$ , et montrer que leur rapport tend vers $1$ quand $n$ croît.
21. C’est le *principe de correspondance* de Bohr : l’énoncer en une phrase.
22. La règle $p_\varphi = n\hbar$ commence à $n = 1$ : quelle absurdité $n = 0$ signifierait-il pour une orbite circulaire ?
23. La mécanique quantique gardera exactement $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ tout en rejetant les orbites : nommer deux faits mesurables que l’image des orbites décrit mal (valeur du moment cinétique de l’état fondamental ; existence d’états de même $n$ et de formes différentes).
24. Le muon est un électron $207$ fois plus lourd : pour l’hydrogène muonique, calculer $a_0^\mu$ et $E_{\text{I}}^\mu$ , et expliquer pourquoi les atomes muoniques sondent le *noyau* .
25. Résumer le résultat nommé : un [invariant adiabatique](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) , égalé à des nombres entiers de $h$ , donne $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ et le spectre de l’hydrogène à quatre chiffres — et remet à la vraie théorie ses deux constantes centrales.

**Solution de Problème 2.1.**

**1.** $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$ : le proton bouge 1836 fois moins ; $H$ est celui de l’énoncé, dans le plan de l’orbite. **2.** $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$, $\dot\varphi =
p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$, $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 -
k/r^2$, $\dot p_\varphi = 0$. **3.** $\varphi$ est absent de $H$ : $p_\varphi$, le moment cinétique, est conservé. **4.** $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ : mur répulsif aux petits $r$, queue coulombienne aux grands $r$, un minimum entre les deux. **5.** $U_{\text{eff}}' = 0$ en $r_{\text{c}} =
p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$. **6.** $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} =
-m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ ; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$ : le rapport du viriel de toute orbite circulaire en $1/r$. **7.** $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$ : $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$, $f_{\text{orb}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$. **8.** $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ : $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($v/c =
0.0075$), $f_{\text{orb}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $E = -k/2r =
-2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$. **9.** $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx
\hbar$ : une orbite atomique porte un moment cinétique de l’ordre de $\hbar$ — la constante de Planck est inscrite dans la taille des atomes. **10.** Tout atome devrait s’effondrer en $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$, sa lumière balayant continûment vers les courtes longueurs d’onde. On observe : des atomes éternels, émettant des raies fines et fixes. **11.** $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ écrit toute fréquence observée comme une *différence* de termes : l’énergie s’échange entre des niveaux fixes $-hcR_H/n^2$. **12.** Une grandeur fixée à des valeurs universelles ne doit pas dériver quand l’atome est doucement perturbé (champs, collisions, changements lents) ; un [invariant adiabatique](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) est précisément ce qui reste fixe sous perturbation lente — quantifions donc l’[action](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-action). **13.** $p_\varphi$ est constant sur l’orbite : $\oint
p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$, c’est-à-dire $p_\varphi =
n\hbar$. **14.** $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$, $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$. **15.** $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$, $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} =
13.6\,\mathrm{eV}$. **16.** $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = k/\hbar c =
1/137$ : la constante de structure fine $\alpha$, qui mesure à quel point l’atome est non relativiste. **17.** $h\nu = E_{n'} - E_n$ donne $1/\lambda =
(E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$ : $R_H = E_{\text{I}}/hc =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$, en accord avec la valeur mesurée $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ à la précision de nos constantes. **18.** $2 \to 1$ : $122\,\mathrm{nm}$ (ultraviolet lointain, Lyman $\alpha$) ; $3 \to 2$ : $656\,\mathrm{nm}$, la raie rouge visible qui colore les nébuleuses en émission ; $\infty \to 2$ : $365\,\mathrm{nm}$, le bord proche ultraviolet de la série de Balmer. **19.** $k \to 2k$ : les rayons sont divisés par $2$, $E_{\text{I}} \to
4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$ ; la raie $2 \to 1$ tombe à $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$, dans l’ultraviolet extrême. **20.** $f_{\text{orb}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$ ; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$. Rapport $\nu/f_{\text{orb}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$ : $3$ à $n = 2$, $1.17$ à $n = 10$, $1.015$ à $n = 100$. **21.** À la limite des grands nombres quantiques, les prédictions quantiques doivent rejoindre les prédictions classiques — ici, la fréquence rayonnée rejoint la fréquence orbitale. **22.** $n = 0$ signifie $p_\varphi = 0$ : une « orbite circulaire » de rayon nul, l’électron sur le proton — un tel mouvement n’existe pas. **23.** L’hydrogène mesuré a un état fondamental de moment cinétique *nul* (et non $\hbar$), et plusieurs états distincts partageant le même $n$ (les formes $s$, $p$, $d$ de la chimie) — deux faits impossibles pour une unique orbite circulaire. **24.** $a_0 \propto 1/m$ : $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$ ; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (rayons X). Le muon orbite deux cents fois plus près — en partie *à l’intérieur* de la charge nucléaire pour les éléments lourds — si bien que ses niveaux mesurent les rayons nucléaires (et ont aiguisé l’énigme moderne de la taille du proton). **25.** Un seul [invariant adiabatique](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) égalé à $nh$ livre $a_0 =
52.9\,\mathrm{pm}$, $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$, $R_H =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — des nombres que la théorie quantique complète du [Chapitre 11](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/11-latome-dhydrogene#ch-b3-hydrogen-atom) gardera inchangés, tout en remplaçant les orbites qui les ont produits.