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title: "Photons et phonons"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/20-photons-et-phonons
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# Chapitre 20 — Photons et phonons

La théorie quantique est née du sujet de ce chapitre. En 1900, le spectre des corps incandescents refusait d’obéir à la physique classique — pire, la physique classique prédisait une énergie *infinie* aux courtes longueurs d’onde, la « catastrophe ultraviolette » — et le remède désespéré de Planck, l’énergie par paquets de $h\nu$, s’est révélé la clé maîtresse du siècle. Avec la machinerie désormais assemblée — le comptage des modes du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/7-lequation-de-schrodinger-a-trois-dimensions#ch-b3-schrodinger-three-dimensions), la thermodynamique de l’oscillateur du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/17-lensemble-canonique#ch-b3-canonical-ensemble) — la [loi de Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck) tient en une demi-page : un gaz de photons, un oscillateur occupé selon Bose par mode de cavité. La même demi-page, avec du son à la place de la lumière, donne la théorie des solides de Debye et la capacité thermique en $T^3$ que le modèle d’Einstein manquait. Et emplissant chaque centimètre cube de l’univers se trouve le chef-d’œuvre du sujet : le fond diffus cosmologique à 2,725 kelvins, le corps noir le plus parfait jamais mesuré — le rayonnement thermique du jeune univers lui-même, qui nous parvient encore.

## 20.1 La loi de Planck, démontrée

**Théorème 20.1 (Le spectre du corps noir).**

Une cavité à la température $T$ supporte des modes électromagnétiques — des ondes stationnaires comptées exactement comme dans [Proposition 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/7-lequation-de-schrodinger-a-trois-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting), deux fois pour la polarisation :

$$
g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .
$$

Chaque mode est un oscillateur quantique portant, à l’équilibre, $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ photons ([Exercice 17.5](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/17-lensemble-canonique#exo-b3-canonical-ensemble-5) ; de façon équivalente, des bosons à $\mu =
0$). L’énergie par unité de volume et de fréquence vaut donc

$$
u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,
\frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :
$$

la *[loi de Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck)* (1900). Ses conséquences, toutes conformes à la mesure : le maximum en $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (la loi du déplacement de Wien du volume de deuxième année, maintenant démontrée) ; le flux total issu d’une surface noire $\Phi = \sigma T^4$ avec

$$
\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2}
 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}
$$

(Stefan–Boltzmann, sa constante désormais bâtie sur $h$, $c$, $k_{\text{B}}$) ; et la densité de photons $n_\gamma \approx
2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ par mètre cube.

**Démonstration partielle.** Multiplions le comptage des modes par $h\nu\,\bar n$. L’intégrale d’énergie totale, avec $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ et $\int_0^\infty
x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (admis), donne $u_{\text{tot}}
= aT^4$ et, avec le facteur de flux standard $c/4$, le $\sigma$ annoncé. La loi de Wien est la maximisation de [Exercice 20.1](#exo-b3-photons-phonons-1). À basse fréquence ($h\nu \ll
k_{\text{B}}T$) chaque mode porte $k_{\text{B}}T$ — Rayleigh–Jeans, correct pour la radio, catastrophique si on l’étend à tout $\nu$ : la coupure de Planck, c’est le permis de l’équipartition ([Théorème 17.5](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/17-lensemble-canonique#thm-b3-canonical-ensemble-equipartition)) révoqué mode par mode. ∎

![Spectres de Planck à trois températures (chacun mis à une hauteur comparable : les aires vraies croissent comme T4). La droite classique de Rayleigh–Jeans suit le flanc de basse fréquence puis s’envole vers la catastrophe ultraviolette ; le péage h de Planck ferme les modes de haute fréquence et rabat la courbe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/fig-3bcabdc04755.svg)

*Spectres de Planck à trois températures (chacun mis à une hauteur comparable : les aires vraies croissent comme $T^4$). La droite classique de Rayleigh–Jeans suit le flanc de basse fréquence puis s’envole vers la catastrophe ultraviolette ; le péage $h\nu$ de Planck ferme les modes de haute fréquence et rabat la courbe.*

**Exemple 20.2 (Trois thermomètres).**

Le Soleil ($T = 5800\,\mathrm{K}$) : maximum à $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — nos yeux ont évolué sur son maximum. Un corps à $310\,\mathrm{K}$ : maximum vers $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, rayonnant $\sigma T^4 \approx
520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ par mètre carré de peau (heureusement, la pièce rayonne en retour ; [Exercice 20.2](#exo-b3-photons-phonons-2)). L’univers ($T =
2.725\,\mathrm{K}$) : maximum vers $1.9\,\mathrm{mm}$, soit $160\,\mathrm{GHz}$ en fréquence, $411$ photons par centimètre cube — le fond diffus cosmologique, le grand exemple de ce chapitre ([Problème 20.1](#pb-b3-photons-phonons-1)).

**Proposition 20.3 (Thermodynamique de la lumière).**

Le gaz de photons a une densité d’énergie $u = aT^4$ ($a =
4\sigma/c$), une pression

$$
P = \frac u3 ,
$$

une densité d’entropie $\tfrac43 aT^3$, et un nombre de photons $\propto T^3$. Conséquences : une boîte emplie de rayonnement qui se dilate adiabatiquement refroidit comme $T \propto 1/L$ — les photons de l’univers en expansion se sont refroidis de $3000$ K aux $2.725$ K d’aujourd’hui par un facteur d’étirement $\approx1100$ tout en *gardant* un spectre de Planck parfait ; et dans les étoiles massives la croissance en $T^4$ permet à la pression de radiation de rivaliser avec la pression du gaz, ce qui fixe une limite supérieure aux masses stellaires ([Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/27-astrophysique#ch-b3-astrophysics)).

**Démonstration partielle.** $P = u/3$ : un gaz isotrope de particules à la vitesse $c$ délivre en pression le tiers de sa densité d’énergie (le facteur $\langle
\cos^2\theta\rangle = 1/3$, comme dans la théorie cinétique du volume de première année). L’entropie vient de $\dd U = T\dd S - P\dd V$ appliqué à $U =
aT^4V$. Adiabatique : $S \propto T^3V$ constant donne $T \propto
V^{-1/3}$. ∎

## 20.2 Phonons : l’achèvement de Debye

**Théorème 20.4 (Le modèle de Debye).**

Les vibrations d’un cristal sont des [ondes élastiques](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/3-milieux-continus-et-elasticite#prop-b3-continuum-elasticity-waves) quantifiées exactement comme la lumière : des *phonons*, trois polarisations à la vitesse du son $c_{\text{s}}$, comptés comme des photons mais avec un total plafonné à $3N$ modes — ce plafond définissant la *température de Debye*

$$
k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}
(6\pi^2n)^{1/3} .
$$

La capacité thermique interpole entre les deux lois classiques :

$$
C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}})
\qquad\text{(Dulong--Petit)} ,
\qquad
C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}}
\Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3
\;(T \ll \theta_{\text{D}}) :
$$

la loi en $T^3$ qu’exigeait la calorimétrie des basses températures et que la fréquence unique d’Einstein ne pouvait donner ([Exercice 17.6](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/17-lensemble-canonique#exo-b3-canonical-ensemble-6)). La raison est la même que pour la lumière : si froid que soit le cristal, il existe des quanta sonores de grande longueur d’onde arbitrairement bon marché, et leur comptage à la manière des photons donne le $T^3$ des photons.

**Démonstration partielle.** Refaites le calcul des photons avec $c \to c_{\text{s}}$, trois polarisations, et le total de modes $\int g\,\dd\nu = 3N$ fixant la coupure. À $T \ll \theta_{\text{D}}$ la coupure est invisible et l’intégrale d’énergie en $T^4$ donne $C \propto T^3$ ; à haute $T$, chacun des $3N$ modes porte $k_{\text{B}}T$. L’intégrale d’interpolation complète est admise. ∎

![Capacité thermique d’un cristal : les deux modèles atteignent Dulong–Petit, mais à basse température la courbe à fréquence unique d’Einstein meurt exponentiellement tandis que les phonons bon marché de grande longueur d’onde de Debye soutiennent le T3 mesuré — la région des basses T est de la pure « physique des photons » avec du son.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/fig-9e6bf036512b.svg)

*Capacité thermique d’un cristal : les deux modèles atteignent Dulong–Petit, mais à basse température la courbe à fréquence unique d’Einstein meurt exponentiellement tandis que les phonons bon marché de grande longueur d’onde de Debye soutiennent le $T^3$ mesuré — la région des basses $T$ est de la pure « physique des photons » avec du son.*

**Exemple 20.5 (Les phonons sont de vraies particules).**

Les phonons diffusent les neutrons et les rayons X avec conservation de l’énergie et de l’impulsion (cristalline) — les courbes de dispersion mesurées $\omega(\vect k)$ du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/23-solides-cristallins#ch-b3-crystalline-solids) en sont la spectroscopie. Ils portent la chaleur : la conductivité thermique d’un isolant est le $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ d’un gaz de phonons, et le diamant — rigide, léger, pur — conduit cinq fois mieux que le cuivre à température ambiante, par les seuls phonons ([Exercice 20.12](#exo-b3-photons-phonons-12)). Et ils s’éteignent à basse température comme $T^3$, d’où les cristaux devenus « acoustiquement silencieux » des cryogénistes.

**Méthode 20.6 (L’art du gaz de rayonnement).**

(1) Compter les modes ($\propto\nu^2$ par polarisation en 3D) ; les occuper avec $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ ; intégrer — attendre des énergies en $T^4$ et des nombres et capacités en $T^3$. (2) Les maximums par Wien ; les totaux par Stefan ; le $k_{\text{B}}T$ classique par mode seulement au-dessous de $h\nu \sim k_{\text{B}}T$. (3) Pour les solides, plafonner les modes à $3N$ ($\theta_{\text{D}}$) ; la forme d’Einstein pour les modes de branche optique, celle de Debye pour l’acoustique. (4) Rayonnement adiabatique : $T \propto
V^{-1/3}$. (5) Vérifier les deux constantes du métier : $\lambda_{
\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ et $\sigma =
5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$.

![Une maison vue par une caméra thermique : chaque surface rayonne son spectre de Planck, et la caméra lit la température directement dans l’infrarouge — Stefan, Boltzmann et Wien auditant la facture de chauffage.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/img-b9332d96002e.jpg)

*Une maison vue par une caméra thermique : chaque surface rayonne son spectre de Planck, et la caméra lit la température directement dans l’infrarouge — Stefan, Boltzmann et Wien auditant la facture de chauffage.*

## 20.3 Exercices

**Exercice 20.1 ★.**

(a) À partir de la [loi de Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck) en longueur d’onde, montrer que le maximum obéit à $\lambda_{\max}T =$ const (l’équation transcendante peut être citée : $x = 4.965$). (b) Calculer les longueurs d’onde du maximum pour le Soleil, un filament à $2700\,\mathrm{K}$, un corps à $310\,\mathrm{K}$ et le ciel à $2.725\,\mathrm{K}$. (c) Lequel des quatre l’œil humain échantillonne-t-il bien, et quelle fraction de la production d’un filament est-elle visible (estimation : faible) ? (d) Pourquoi les « caméras infrarouges » sont-elles l’outil adapté aux personnes et aux bâtiments ?

**Solution de Exercice 20.1.**

(a) Poser $\dd u/\dd\lambda = 0$ donne $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$, $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : $\lambda_{\max}T =
hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$. (b) $0.50$, $1.07$, $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ et $1.06\,\mathrm{mm}$. (c) Seul celui du Soleil ; un filament culmine dans le proche infrarouge et ne délivre en lumière que quelques pour cent de sa puissance — le rendement qui l’a mis à la retraite. (d) Les gens et les bâtiments « brillent » à dix microns : les imageurs thermiques sont les caméras du second maximum.

**Exercice 20.2 ★.**

Bilans radiatifs. (a) Une personne ($1.7\,\mathrm{m}^{2}$, peau à $306\,\mathrm{K}$) dans une pièce à $293\,\mathrm{K}$ : la puissance nette rayonnée $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$. (b) Comparer au métabolisme de $100\,\mathrm{W}$ du corps : pourquoi le tolérons-nous (les vêtements, et la pièce qui rayonne en retour) ? (c) La Terre absorbe la lumière solaire sur $\pi
R^2$ et rayonne sur $4\pi R^2$ : obtenir $T_{\text{eff}}
= [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ avec $\Phi_\odot =
1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, un albédo $A = 0.30$, et évaluer. (d) La moyenne de surface mesurée vaut $288\,\mathrm{K}$ : nommer le mécanisme des $33\,\mathrm{K}$ d’écart ([Problème 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/9-loscillateur-harmonique-quantique#pb-b3-harmonic-oscillator-1)).

**Solution de Exercice 20.2.**

(a) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$. (b) Le flux de retour de la pièce est déjà dans la différence ; les vêtements insèrent des surfaces intermédiaires tièdes — le rayonnement est une comptabilité à double sens. (c) $T_{\text{eff}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} =
255\,\mathrm{K}$. (d) Le bonus de $33\,\mathrm{K}$ est l’effet de serre : la couverture infrarouge de [Problème 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/9-loscillateur-harmonique-quantique#pb-b3-harmonic-oscillator-1), quantifiée dans [Exercice 20.9](#exo-b3-photons-phonons-9).

**Exercice 20.3 ★.**

Compter les photons. (a) Avec $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ par mètre cube : la densité de photons du fond à $2.725\,\mathrm{K}$. (b) La lumière solaire à la Terre : à partir de $\Phi_\odot$ et d’une énergie moyenne par photon $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$, calculer le flux de photons par mètre carré et par seconde. (c) Une ampoule à incandescence de $60\,\mathrm{W}$ (5% de visible) : les photons visibles par seconde. (d) Pourquoi « compter les photons » est-il courant pour les astronomes mais absurde pour les radiateurs ?

**Solution de Exercice 20.3.**

(a) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} =
411$ par cm$^3$. (b) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx
6 \times 10^{21}$ photons par mètre carré et par seconde. (c) $3\,\mathrm{W}/
3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ par seconde. (d) Les signaux astronomiques arrivent photon par photon — des cadences qu’un compteur résout ; les $10^{22}$ par seconde d’un radiateur sont un continuum pour tout détecteur.

**Exercice 20.4 ★.**

La catastrophe et sa queue. (a) Montrer que l’équipartition classique ($k_{\text{B}}T$ par mode) donne $u(\nu) =
8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$, divergent une fois intégré. (b) Où la [loi de Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck) s’y réduit-elle ? (c) Les radioastronomes mesurent le fond à $1.4\,\mathrm{GHz}$ : y vérifier $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ et justifier leur habitude de la « température d’antenne », qui donne les intensités en kelvins. (d) Au maximum du fond, à $160\,\mathrm{GHz}$, évaluer $h\nu/k_{\text{B}}T$ : le maximum est-il classique ?

**Solution de Exercice 20.4.**

(a) Le $k_{\text{B}}T$ par mode multiplié par le comptage en $\nu^2$ : intégré, infini — la catastrophe. (b) Pour $h\nu \ll
k_{\text{B}}T$. (c) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : bien dans la queue classique, où l’intensité est $\propto T$ — d’où la « température de brillance » en kelvins. (d) $2.8$ : le maximum est là où la remise quantique de Planck agit à plein.

**Exercice 20.5 ★★.**

Pression de radiation. (a) Obtenir $P = u/3$ par isotropie (ou accepter le facteur cinétique) et évaluer la pression de la lumière solaire sur l’orbite terrestre ; comparer à la pression atmosphérique. (b) À l’intérieur du Soleil ($T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$) : calculer $P_{\text{rad}} =
aT^4/3$ et comparer à la pression du gaz $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$. (c) La pression de radiation croît comme $T^4$, celle du gaz comme $T$ : montrer pourquoi des étoiles suffisamment massives (donc plus chaudes) deviennent dominées par le rayonnement et instables — le plafond d’Eddington vers $\sim100\,M_\odot$. (d) Les lasers : un faisceau de $1\,\mathrm{kW}$ focalisé pour pousser — quelle force ? Pourquoi les « rayons tracteurs » restent-ils au cinéma tandis que les *pinces* optiques (gradients, piconewtons) sont de vrais outils ?

**Solution de Exercice 20.5.**

(a) Pour le faisceau solaire dirigé, $P \approx \Phi/c =
4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : onze ordres sous l’atmosphère — les voiles ne fonctionnent que parce que l’espace soustrait tout le reste. (b) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : moins d’un millième de la pression du gaz — le Soleil est soutenu par son gaz. (c) $P_{\text{rad}}/P_{\text{gaz}} \propto T^3/n$ : les étoiles plus massives brûlent plus chaud, et le déluge en $T^4$ finit par rivaliser avec l’emprise gravitationnelle sur le gaz — une instabilité lumineuse plafonne les étoiles vers $\sim100\,M_\odot$. (d) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : les rayons tracteurs restent de la fiction ; les pinces exploitent des *gradients* de champ sur des objets microscopiques, où règnent les piconewtons ([Problème 16.1](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/16-lensemble-microcanonique#pb-b3-microcanonical-ensemble-1)).

**Exercice 20.6 ★★.**

L’étirement de l’univers. Le fond a été émis à la recombinaison ($T \approx 3000\,\mathrm{K}$, le territoire de [Exercice 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/18-lensemble-grand-canonique#exo-b3-grand-canonical-12)) et arrive à $2.725\,\mathrm{K}$. (a) À partir de $T \propto
1/a$, le facteur d’étirement de toutes les longueurs depuis l’émission. (b) Montrer qu’un spectre de Planck reste de Planck sous un étirement uniforme de toutes les longueurs d’onde (qu’advient-il de $T$ ?). (c) Le maximum émis (de la lumière orange visible !) arrive où ? (d) Pourquoi le ciel est-il donc noir à l’œil et éblouissant pour un récepteur micro-onde ?

**Solution de Exercice 20.6.**

(a) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$. (b) Le $\lambda$ de chaque mode s’étire du même facteur : la forme en $\nu^3$ se transforme en elle-même avec $T \to T/(1+z)$ — une courbe de Planck ne peut être dé-planckisée par l’expansion. (c) Le maximum rouge profond à $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ arrive à $1.06\,\mathrm{mm}$. (d) Le même ciel est vide à $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ et saturé au millimètre : l’obscurité est un énoncé de longueur d’onde.

**Exercice 20.7 ★★.**

Températures de Debye à partir du son. (a) Évaluer $\theta_{\text{D}} =
\hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ pour le cuivre ($c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $n =
8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) et comparer aux $343\,\mathrm{K}$ calorimétriques. (b) Le diamant : $c_{\text{s}} \approx
13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : calculer et comparer à $\approx2200\,\mathrm{K}$. (c) Le plomb : mou et lourd — expliquer son $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ en une phrase. (d) Énoncer la règle liant la raideur d’un solide, sa masse atomique et sa température de gel quantique.

**Solution de Exercice 20.7.**

(a) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ contre les $343\,\mathrm{K}$ ajustées : la bonne échelle (une moyenne correcte sur les vitesses longitudinale et transverse comble l’écart). (b) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — en accord : le diamant est le cas extrême. (c) Une faible vitesse du son (mou) et des atomes lourds poussent tous deux $\theta_{\text{D}}$ vers le bas : le réseau du plomb est classique presque tout de suite. (d) $\theta_{\text{D}} \propto
c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$, en gros : rigide et léger gèle tard, mou et lourd gèle tôt.

**Exercice 20.8 ★★.**

Le cuivre à un kelvin. (a) Avec $C = \gamma T + \beta T^3$, le $\gamma$ de [Exemple 19.3](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/19-statistique-quantique#ex-b3-quantum-statistics-heat) et le coefficient $T^3$ de Debye pour $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ : calculer les deux termes par mole à $1\,\mathrm{K}$. (b) Lequel l’emporte, et de combien ? (c) À quelle température se croisent-ils ? (d) Pourquoi ce régime est-il la fenêtre du calorimétriste sur la [densité d’états](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/7-lequation-de-schrodinger-a-trois-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) électronique ?

**Solution de Exercice 20.8.**

(a) Électronique : $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ donne $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; réseau : $1944R\dots$ — le terme $T^3$ de Debye donne $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$. (b) Les électrons, d’un ordre de grandeur. (c) Vers $3\,\mathrm{K}$ ([Exercice 19.5](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/19-statistique-quantique#exo-b3-quantum-statistics-5)). (d) Sous le croisement, l’ordonnée à l’origine mesurée de $C/T$ est $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ : une expérience de thermomètre et de chauffage lit la [densité d’états](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/7-lequation-de-schrodinger-a-trois-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) de la surface de Fermi.

**Exercice 20.9 ★★.**

Effet de serre à une couche. Soit la surface (température $T_s$) sous une mince couche atmosphérique (température $T_a$) transparente à la lumière solaire mais opaque à l’infrarouge thermique. (a) Écrire le bilan d’énergie de la couche (elle absorbe $\sigma T_s^4$ et rayonne $2\sigma T_a^4$) et celui de la surface (elle absorbe la lumière solaire $S$ plus $\sigma T_a^4$). (b) Montrer que $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{eff}}$ où $\sigma T_{\text{eff}}^4 = S$. (c) Avec $T_{\text{eff}} =
255\,\mathrm{K}$ : évaluer $T_s$ et comparer à $288\,\mathrm{K}$ (l’atmosphère réelle est une couverture partielle et multicouche). (d) Relier à [Problème 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/9-loscillateur-harmonique-quantique#pb-b3-harmonic-oscillator-1) : quelle physique moléculaire rend la couche opaque dans l’infrarouge et pourtant transparente dans le visible ?

**Solution de Exercice 20.9.**

(a) Couche : absorbe $\sigma T_s^4$, émet $2\sigma T_a^4$ (les deux faces) : $T_s^4 = 2T_a^4$. Surface : $S + \sigma T_a^4 = \sigma
T_s^4$. (b) Éliminer $T_a$ : $S = \tfrac12\sigma T_s^4$, soit $T_s = 2^{1/4}T_{\text{eff}}$. (c) $1.19 \times 255 =
303\,\mathrm{K}$ — au-dessus des $288\,\mathrm{K}$ réels, parce que la vraie couverture est partielle et stratifiée. (d) Les quanta de vibration des gaz traces triatomiques : transparents à $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, opaques à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — la molécule de [Problème 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/9-loscillateur-harmonique-quantique#pb-b3-harmonic-oscillator-1).

**Exercice 20.10 ★★★.**

La constante de Stefan depuis zéro. (a) Assembler $u_{\text{tot}} =
\int u(\nu)\dd\nu$ avec $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ et le $\pi^4/15$ donné, pour obtenir $u = aT^4$ avec $a =
8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$. (b) Le flux issu d’une surface noire vaut $c\,u/4$ (accepter le quart géométrique) : former $\sigma$ et l’évaluer numériquement à partir de $h$, $c$, $k_{\text{B}}$. (c) Comparer à $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$. (d) Inversion historique : Planck a ajusté sa loi sur des spectres et en a extrait *à la fois* $h$ et $k_{\text{B}}$ (donc le nombre d’Avogadro) en 1900 — dites pourquoi la courbe du corps noir fixe deux constantes à la fois.

**Solution de Exercice 20.10.**

(a) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x
= 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$. (b–c) $\sigma = ac/4 =
2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — à partir de trois constantes, pile. (d) La *forme* de la courbe fixe $h/k_{\text{B}}$ (par $h\nu/k_{\text{B}}T$) et son *échelle* absolue fixe $k_{\text{B}}^4/h^3$ : deux équations, deux constantes — Planck a lu $h$ *et* $N_{\text{A}} =
R/k_{\text{B}}$ sur un seul ajustement, des années avant les grains de Perrin.

**Exercice 20.11 ★★★.**

Les coefficients A et B d’Einstein (1917). Des atomes à deux niveaux (énergies $0,
h\nu_0$ ; populations $N_1, N_2$) baignent dans un rayonnement de densité spectrale $u(\nu_0)$. Taux d’absorption : $B_{12}uN_1$ ; émission stimulée : $B_{21}uN_2$ ; spontanée : $AN_2$. (a) Écrire le bilan d’équilibre. (b) Exiger que le rapport de Boltzmann $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ et le $u$ de Planck valent simultanément pour *toute* $T$ : obtenir $B_{12} = B_{21}$ et

$$
\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .
$$

(c) Interpréter : pourquoi l’équilibre thermique *force*-t-il l’émission spontanée à exister, et fixe-t-il son taux à partir de l’émission stimulée ? (d) Le $\nu^3$ : relier aux durées de vie de [Exercice 13.8](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/13-la-theorie-des-perturbations#exo-b3-perturbation-theory-8) et à la difficulté de faire laser aux fréquences des rayons X.

**Solution de Exercice 20.11.**

(a) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$. (b) Résoudre en $u$ : $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ; imposer la forme de Planck pour toute $T$ force $B_{12} = B_{21}$ et $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$. (c) Sans $A$, aucun équilibre n’est possible face à la [loi de Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck) : l’équilibre lui-même exige que les atomes excités se désexcitent sans sollicitation, à un taux lié à celui de l’émission stimulée — Einstein a prédit l’émission spontanée par la thermodynamique, une décennie avant que la mécanique quantique ne la démontre. (d) $A \propto
\nu^3$ : les états ultraviolets se désexcitent en nanosecondes ([Exercice 13.8](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/13-la-theorie-des-perturbations#exo-b3-perturbation-theory-8)), donc les inversions coûtent ruineusement cher aux courtes longueurs d’onde — le problème du laser à rayons X.

**Exercice 20.12 ★★★.**

Le diamant, l’autoroute des phonons. Conductivité thermique d’un isolant : $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ par unité de volume, avec $\ell$ le libre parcours moyen des phonons. (a) Pour le diamant à $300\,\mathrm{K}$ ($C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$, donc partiellement gelé ; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\ell
\approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$) : calculer $\kappa$ et comparer aux $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ du cuivre. (b) Pourquoi $\ell$ est-il si long dans le diamant (rigide, léger, isotopiquement propre — qu’est-ce qui diffuse les phonons ?). (c) Un diamant purifié isotopiquement double presque $\kappa$ : que révèle cela sur la diffusion des phonons par le désordre de masse isotopique ? (d) Deux usages : les répartiteurs de chaleur en électronique ; et pourquoi un diamant paraît froid sur la lèvre — expliquer la sensation.

**Solution de Exercice 20.12.**

(a) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4}
\times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : cinq fois le cuivre. (b) Rigide et léger signifie des phonons rapides ; un réseau pur, parfait et léger leur offre peu de quoi diffuser — $\ell$ atteint des milliers de paramètres de maille. (c) Même la différence de masse des atomes de $^{13}$C diffuse les phonons de façon mesurable : le désordre isotopique est une vraie résistance, que la purification supprime. (d) Des répartiteurs de chaleur sous les puces de puissance ; et la chaleur de la lèvre fuit si vite qu’un vrai diamant paraît étonnamment froid — le test tactile du joaillier est une mesure de phonons.

![Tout le ciel en micro-ondes (NASA/WMAP, domaine public) : le rayonnement de Planck à 2.7\, K du fond cosmologique, cartographié. Les marbrures valent une part sur 105 — les germes des galaxies, imprimés sur le corps noir de ce chapitre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/img-df25742b16c5.jpg)

*Tout le ciel en micro-ondes (NASA/WMAP, domaine public) : le rayonnement de Planck à $2.7\,\mathrm{K}$ du fond cosmologique, cartographié. Les marbrures valent une part sur $10^5$ — les germes des galaxies, imprimés sur le corps noir de ce chapitre.*

## 20.4 Problème : la plus ancienne lumière

**Problème 20.1.**

Problème du week-end — lire le fond diffus cosmologique

Pointer n’importe quel récepteur millimétrique vers n’importe quelle région du ciel et il rapporte le même signal : un spectre de Planck à $T =
2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$, plus lisse que tout four jamais construit par l’humanité. C’est l’éclair de la recombinaison de l’univers ([Exercice 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/18-lensemble-grand-canonique#exo-b3-grand-canonical-12)), étiré onze cents fois, et il porte le recensement du cosmos. Données : $T_0 =
2.725\,\mathrm{K}$ ; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $u = aT^4$, $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; densité de baryons aujourd’hui $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ; densité critique $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

**Partie I — Le spectre.**

1. Calculer la longueur d’onde du maximum (Wien) du fond et sa densité de photons par centimètre cube.
2. Calculer sa densité d’énergie, en $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ et en $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ , et la fraction de la densité critique que représente son équivalent en masse.
3. Le spectre de COBE (1990) collait à Planck à quelques parties sur $10^4$ — l’auditoire a applaudi le graphique. Pourquoi un spectre *thermique parfait* venu d’un ciel vide est-il si difficile à expliquer autrement que par un passé chaud et dense ?
4. À l’émission, ces mêmes photons formaient un corps noir à $3000\,\mathrm{K}$ : vérifier le facteur d’étirement $1 + z =  T_{\text{alors}}/T_0$ .
5. Pourquoi l’univers est-il devenu transparent précisément à cette température (rappeler quel équilibre du [Chapitre 18](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/18-lensemble-grand-canonique#ch-b3-grand-canonical) s’est éteint) ?
6. Le ciel nocturne est noir (le paradoxe d’Olbers de l’ancienne astronomie) : en quel sens précis est-il en réalité *éclatant* — à quelle longueur d’onde et à quelle température ?

**Partie II — Le recensement.**

7. Calculer le rapport photons sur baryons $\eta^{-1} =  n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
8. Ce nombre — environ deux milliards de photons par proton — est l’une des données fondamentales de la cosmologie : dites ce qu’il mesure de l’asymétrie matière–antimatière (rappeler [Exercice 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/18-lensemble-grand-canonique#exo-b3-grand-canonical-12) : les photons sont surtout des produits d’annihilation).
9. Comparer la densité d’énergie du fond à celle de la lumière des étoiles ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ moyennée sur l’univers) : quelle lumière domine le cosmos ?
10. Le fond l’emporte, en photons, sur tout ce que les étoiles ont jamais rayonné : pourquoi cela rend-il l’univers primordial « dominé par le rayonnement », et qu’a pris le relais ensuite (les lois en $T^4$ contre $T^3$ face au $a^{-3}$ de la matière) ?
11. Estimer l’époque de l’égalité matière–rayonnement : avec une densité de rayonnement variant comme $(1+z)^4$ et une densité de matière comme $(1+z)^3$ , et le rapport actuel $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ , trouver $z_{\text{eq}}$ .
12. Les neutrinos se sont découplés plus tôt et ont refroidi un peu plus (ils ont manqué le réchauffement par annihilation $e^+e^-$ de [Exercice 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/18-lensemble-grand-canonique#exo-b3-grand-canonical-12) ) : la prédiction $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — l’évaluer, et s’émerveiller d’une prédiction de mer de neutrinos à $1.95\,\mathrm{K}$ que personne n’a encore détectée directement.

**Partie III — Les anisotropies.**

13. Le fond est plus chaud de $3.4\,\mathrm{mK}$ dans une direction et plus froid à l’opposé : interpréter par la physique Doppler du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/4-cinematique-relativiste#ch-b3-relativistic-kinematics) et extraire notre vitesse ( $\Delta T/T = v/c$ ).
14. Une fois ce dipôle retiré, il reste des rides de $\Delta T/T \sim  10^{-5}$ (COBE 1992, puis WMAP, Planck) : que cartographient-elles à $z = 1100$ ?
15. Ces germes de densité à $10^{-5}$ sont devenus des galaxies : pourquoi la gravité amplifie-t-elle les surdensités (quelle instabilité), et pourquoi la croissance a-t-elle dû attendre l’égalité matière–rayonnement pour démarrer vraiment ?
16. La taille de ride la plus marquée (environ un degré sur le ciel) est une longueur d’onde acoustique — du son dans le plasma photons–baryons (le gaz de ce chapitre plus les ondes du [Chapitre 3](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/3-milieux-continus-et-elasticite#ch-b3-continuum-elasticity) !) : qu’est-ce qui fixe son échelle (la distance parcourue par le son avant la recombinaison) ?
17. Mesurer cet angle face à l’échelle physique connue triangule la géométrie de l’univers : énoncer le résultat (plate, au pour cent près).
18. Le monopôle à $2.7\,\mathrm{K}$ , le dipôle à $3\,\mathrm{mK}$ , les rides à $10^{-5}$ : classer ce que chacun a enseigné (un passé chaud ; notre mouvement ; les germes et la géométrie de tout).

**Partie IV — L’héritage.**

19. Penzias et Wilson ont trouvé le signal en 1965 comme un bruit d’antenne impossible à supprimer (après avoir expulsé les pigeons) : pourquoi un excès *isotrope* et indépendant de la saison à $3\,\mathrm{K}$ était-il inexplicable par une source locale ou galactique ?
20. Environ $1\%$ de la neige d’un téléviseur analogique non réglé était ce signal : y réfléchir en une phrase.
21. Le fond traverse les amas de galaxies et se fait légèrement pousser vers les hautes fréquences par les électrons chauds (l’effet Sunyaev–Zel’dovitch) : pourquoi cela rend-il les amas visibles comme des *ombres* à basse fréquence, et quelle est la vertu particulière d’une telle ombre (indépendante de la distance) ?
22. La frontière d’aujourd’hui traque la polarisation du fond pour y trouver l’empreinte des ondes gravitationnelles primordiales : quels chapitres de ce livre une telle découverte marierait-elle (la polarisation du [Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/6-electromagnetisme-covariant#ch-b3-covariant-electromagnetism) , les ondes de la gravitation) ?
23. Calculer le flux de photons du fond à travers votre corps ( $n_\gamma c/4$ par unité d’aire, [section efficace](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/15-la-theorie-de-la-diffusion#def-b3-scattering-theory-cross-section) du corps $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ) : combien de vestiges du Big Bang vous traversent chaque seconde ?
24. Le fond distingue un référentiel de repos (celui où le dipôle s’annule) : expliquer pourquoi cela ne contredit *pas* la relativité — quel genre de référentiel est privilégié par le contenu matériel plutôt que par les lois ?
25. Résumer le résultat nommé : une courbe de Planck à $2.725$ kelvins emplissant le ciel — $411$ photons par centimètre cube, deux milliards par baryon, maximum à $160\,\mathrm{GHz}$ — est le reçu thermique du commencement chaud : la physique statistique comme pierre de fondation de la cosmologie.

**Solution de Problème 20.1.**

**1.** $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ; $411$ photons par cm$^3$. **2.** $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx
0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ; l’équivalent en masse $u/c^2 \approx
4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : environ $5\times10^{-5}$ du critique. **3.** Un spectre thermique exige que l’émetteur et le rayonnement se soient équilibrés — impossible pour un ensemble d’étoiles, de poussières ou de plasmas additionnés le long de lignes de visée différentes ; seul un univers qui fut *lui-même* une cavité chaude et opaque convient. **4.** $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$. **5.** L’équilibre de Saha est passé aux atomes neutres : les électrons libres ont disparu, la diffusion Thomson a cessé, et les photons volent intacts depuis lors. **6.** Éclatant aux longueurs d’onde millimétriques, à $2.725\,\mathrm{K}$ : le ciel d’Olbers *est* embrasé — le décalage vers le rouge a sorti l’embrasement du visible. **7.** $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ photons par baryon. **8.** Les photons sont les cendres de l’annihilation matière–antimatière ; les baryons sont l’excédent d’un pour un milliard qui a survécu : $\eta$ mesure l’asymétrie primordiale — toujours inexpliquée. **9.** $4.2 \times 10^{-14}\,$ contre $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : la lumière fossile surpasse en densité d’énergie tout ce que les étoiles ont jamais émis. **10.** Le rayonnement se dilue en $a^{-4}$ (le nombre en $a^{-3}$, chaque photon étiré de $a^{-1}$), la matière en $a^{-3}$ : aux débuts le rayonnement régnait ; la matière l’a dépassé à l’égalité, laissant croître les structures. **11.** $1 + z_{\text{eq}} \approx 3400$. **12.** $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 =
1.95\,\mathrm{K}$ : un fond cosmique de neutrinos prédit, le chèque non encaissé le plus audacieux de la physique thermique. **13.** $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3}
\approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : le mouvement du Système solaire à travers le référentiel fossile. **14.** Les rides de température (donc de densité et de vitesse) de l’univers à 380 000 ans : une photographie des germes. **15.** Les régions surdenses attirent plus fort et croissent (l’instabilité gravitationnelle) ; avant l’égalité, la pression de radiation les faisait rebondir — la croissance a attendu le règne de la matière. **16.** La distance parcourue par le son ($c/\sqrt3$ dans le fluide photons–baryons) jusqu’à la recombinaison — l’horizon sonore, une règle acoustique enfouie dans le ciel. **17.** L’angle s’accorde à la géométrie d’un univers plat au pour cent près : les parallèles, cosmiquement, restent parallèles. **18.** Monopôle : le commencement chaud. Dipôle : nos $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Rides : l’origine des structures et la géométrie de l’espace — chaque décimale, une découverte. **19.** Il était égal dans toutes les directions, jour et nuit, été comme hiver, et sans pigeons : rien de local, de galactique ni d’instrumental n’est aussi isotrope — rien que le ciel lui-même. **20.** Un souffle sur chaque poste mal réglé : le Big Bang passait à la télévision depuis toujours. **21.** Les électrons chauds des amas propulsent par effet Compton les photons du fond vers le haut en fréquence : sous la fréquence de croisement, l’amas retire des photons — une silhouette dont la profondeur ne dépend pas de la distance, ce qui permet aux relevés de trouver des amas à tout décalage vers le rouge. **22.** Des ondes gravitationnelles primordiales tordraient la polarisation du fond en « modes B » : les ondes de la relativité lues dans une lumière diffusée par effet Thomson — deux fils de ce livre noués. **23.** $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : environ $10^{16}$ photons du Big Bang vous traversent chaque seconde, sans que vous le sentiez. **24.** C’est un référentiel désigné par le *contenu* (celui où le rayonnement est isotrope), non par les lois : la relativité n’interdit que les référentiels privilégiés par les lois — se déplacer à travers le fond est détectable, se déplacer à travers l’espace-temps ne l’est pas. **25.** Une courbe de Planck à $2.725\,\mathrm{K}$ sur chaque ligne de visée — $411$ photons par centimètre cube, $10^9$ par baryon, des rides à $10^{-5}$ : le corps noir de la physique statistique, promu document fondateur de la cosmologie.