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title: "Électromagnétisme dans la matière"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/22-electromagnetisme-dans-la-matiere
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# Chapitre 22 — Électromagnétisme dans la matière

Glissez une feuille de plastique entre les armatures d’un condensateur chargé et la tension chute, comme si de la charge était apparue de nulle part. Enroulez une bobine autour d’un clou de fer et son champ magnétique croît d’un facteur mille. Décollez un aimant décoratif du réfrigérateur et il *se souvient* du sens dans lequel il a été aimanté — pendant des décennies, sans aucune alimentation. Le volume de deuxième année traitait les champs dans la matière en bloc, en cachant le matériau dans un indice de réfraction ; ce chapitre ouvre le matériau. Le plan est le même pour l’électricité et pour le magnétisme : la matière est une foule de dipôles microscopiques ; les sommer en une densité ($\vect P$ ou $\vect M$) ; inventer un champ auxiliaire ($\vect D$ ou $\vect H$) qui ne voit que les charges et les courants que nous contrôlons ; puis descendre à l’échelle microscopique — là où les spins du [Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/12-le-spin-et-les-systemes-a-deux-niveaux#ch-b3-spin-two-level), le facteur de Boltzmann du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/17-lensemble-canonique#ch-b3-canonical-ensemble) et la transition de champ moyen du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/21-transitions-de-phase#ch-b3-phase-transitions) prennent le relais — pour calculer ce que fait le matériau. Le chapitre s’achève à la casse, en concevant l’électroaimant qui soulève les voitures.

## 22.1 Polarisation et champ de déplacement

**Définition 22.1 (Polarisation et charges liées).**

Un *diélectrique* est un isolant dont les molécules acquièrent (ou possèdent déjà) des moments dipolaires électriques. La réponse du matériau se résume par la *polarisation* $\vect P$ : le moment dipolaire par unité de volume, $\vect P = n\langle\vect p\rangle$ pour $n$ molécules par unité de volume. Un bloc polarisé porte des *charges liées* — non libres de partir, mais parfaitement réelles : une densité surfacique $\sigma_{\text{b}} = \vect P\cdot\vect n$ là où la polarisation rencontre la surface, et une densité volumique $\rho_{\text{b}} =
-\nabla\cdot\vect P$ partout où elle n’est pas uniforme. Une lame uniformément polarisée équivaut exactement à deux nappes de charge $\pm P$ sur ses faces : à l’intérieur, toutes les têtes et queues de dipôles se compensent.

**Proposition 22.2 (Le champ de déplacement).**

La charge totale est libre plus liée ; le théorème de Gauss avec $\rho =
\rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}}$ se réarrange en une loi pour le *[déplacement électrique](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)* $\vect D = \varepsilon_0\vect E +
\vect P$ :

$$
\nabla\cdot\vect D = \rho_{\text{f}} :
$$

les sources de $\vect D$ sont les seules charges libres — celles de nos armatures et de nos fils. Dans un [diélectrique](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) *linéaire* la réponse est proportionnelle, $\vect P = \varepsilon_0\chi_{\text{e}}\vect E$, donc $\vect D = \varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}\vect E$ avec $\varepsilon_{\text{r}} = 1 + \chi_{\text{e}}$ la *[permittivité relative](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)* : l’air $1.0006$, le polyéthylène $2.3$, le verre $\sim 5$, l’eau un énorme $80$. Entre des armatures maintenues à charge fixe, $\vect D$ est inchangé par le [diélectrique](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation), si bien que $\vect E =
\vect D/\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}$ *chute* d’un facteur $\varepsilon_{\text{r}}$ : les [charges liées](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) de surface font face aux charges libres et annulent l’essentiel de leur champ. La capacité est multipliée par $\varepsilon_{\text{r}}$ — toute l’industrie du condensateur en une lettre grecque.

**Démonstration.** $\nabla\cdot(\varepsilon_0\vect E) = \rho_{\text{f}} +
\rho_{\text{b}} = \rho_{\text{f}} - \nabla\cdot\vect P$ ; faites passer le terme de [polarisation](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) à gauche. ∎

![Une lame diélectrique entre des armatures chargées. Le champ aligne les dipôles moléculaires ; leurs charges intérieures se compensent deux à deux, laissant des nappes liées _ b sur les faces — qui s’opposent à la charge libre et réduisent le champ intérieur de E_0 à E = E_0/ _ r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-1725ef140772.svg)

*Une lame [diélectrique](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) entre des armatures chargées. Le champ aligne les dipôles moléculaires ; leurs charges intérieures se compensent deux à deux, laissant des nappes liées $\mp\sigma_{\text{b}}$ sur les faces — qui s’opposent à la charge libre et réduisent le champ intérieur de $\vect E_0$ à $\vect E = \vect E_0/\varepsilon_{\text{r}}$.*

## 22.2 D’où vient la permittivité

**Proposition 22.3 (Polarisation induite et Clausius–Mossotti).**

Un atome dans un champ $\vect E_{\text{loc}}$ s’étire en un dipôle $\vect p = \alpha\vect E_{\text{loc}}$, avec $\alpha$ la *polarisabilité* (dimension : $\varepsilon_0\times$volume — environ $\varepsilon_0$ fois le volume atomique). Dans un gaz dilué $E_{\text{loc}} \approx E$ et $\chi_{\text{e}} =
n\alpha/\varepsilon_0$ est petit. Dans un milieu dense, chaque molécule ressent aussi ses voisines polarisées : creuser autour d’elle une petite cavité sphérique donne $\vect E_{\text{loc}} = \vect E + \vect
P/3\varepsilon_0$, et l’auto-cohérence livre la *[relation de Clausius–Mossotti](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti)*

$$
\frac{\varepsilon_{\text{r}} - 1}{\varepsilon_{\text{r}} + 2}
= \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0} :
$$

mesurer la minuscule susceptibilité d’une vapeur et prédiser celle du liquide — l’accord est de quelques pour cent pour les liquides apolaires.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 22.4.**

Le champ de cavité $\vect P/3\varepsilon_0$ est le résultat de la sphère uniformément polarisée, cité ici sans démonstration ; la dérivation honnête, par conditions aux limites, relève d’un cours d’électrodynamique dédié. Tout le reste ci-dessus est de la comptabilité.

**Proposition 22.5 (Molécules polaires : la fonction de Langevin).**

Une molécule à dipôle *permanent* $p$ (l’eau : $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) n’a pas besoin d’être étirée — seulement alignée, contre l’agitation thermique. La moyenne canonique du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/17-lensemble-canonique#ch-b3-canonical-ensemble) sur les orientations, avec l’énergie $-pE\cos\theta$, donne

$$
\langle\cos\theta\rangle = L(x) = \coth x - \frac1x ,
\qquad x = \frac{pE}{k_{\text{B}}T} ,
$$

la *[fonction de Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin)* : linéaire ($L \approx x/3$) aux petits $x$, saturant à $1$ quand le champ l’emporte franchement. Dans le régime linéaire $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ — une loi de Curie électrique, décroissant en $1/T$ : chauffer un liquide polaire et sa permittivité *baisse*, signature qui distingue les dipôles permanents des dipôles induits. Pour l’eau à température ambiante, cela prédit $\chi_{\text{e}} \sim 12$ — le bon ordre de grandeur, la coopération des liaisons hydrogène poussant la valeur réelle à $80$.

**Démonstration partielle.** $Z = \int_0^\pi \eu^{x\cos\theta}\,2\pi\sin\theta\,\dd\theta \propto
\sinh x/x$, et $\langle\cos\theta\rangle = \dd\ln Z/\dd x = \coth x
- 1/x$. Développer $\coth x = 1/x + x/3 - \dots$ aux petits $x$ donne $L \approx x/3$, d’où $P = np\langle\cos\theta\rangle =
np^2E/3k_{\text{B}}T$. ∎

![La fonction de Langevin. Les champs ordinaires vivent très bas dans le régime linéaire (x 10-3 même aux champs de claquage) : l’alignement complet des dipôles de l’eau exigerait E 7 × 108\, V/ m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-7753463b6740.svg)

*La [fonction de Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin). Les champs ordinaires vivent très bas dans le régime linéaire ($x \sim 10^{-3}$ même aux champs de claquage) : l’alignement complet des dipôles de l’eau exigerait $E \sim 7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.*

## 22.3 Aimantation et champ $H$

**Définition 22.6 (Aimantation, courants liés et H).**

L’histoire magnétique est parallèle. La matière est pleine de boucles de courant microscopiques — des électrons en orbite et en rotation propre, chacun un dipôle magnétique $\vect\mu$ ; leur densité est l’*aimantation* $\vect M = n\langle\vect\mu\rangle$. Un bloc uniformément aimanté équivaut à un *courant lié de surface* circulant autour de ses flancs (les boucles intérieures se compensent deux à deux ; un aimant droit *est* un solénoïde de courant lié). En séparant les courants en libres et liés, le théorème d’Ampère se réarrange autour du champ auxiliaire

$$
\vect H = \frac{\vect B}{\mu_0} - \vect M , \qquad
\oint \vect H\cdot\dd\vect\ell = I_{\text{libre}} :
$$

$\vect H$ a pour sources les courants de nos fils (unités $\mathrm{A}/\mathrm{m}$), tandis que $\vect B$ garde la physique — forces, flux, induction. Les milieux linéaires ont $\vect M = \chi_{\text{m}}\vect H$ et $\vect B = \mu_0(1 + \chi_{\text{m}})\vect H =
\mu_0\mu_{\text{r}}\vect H$.

**Remarque 22.7 (Trois tempéraments magnétiques).**

Les matériaux répondent à $\vect H$ de trois façons. Les *diamagnétiques* ($\chi_{\text{m}} \sim -10^{-5}$ : eau, cuivre, graphite) répondent comme une loi de Lenz rendue permanente : le champ appliqué perturbe chaque orbite électronique de façon à s’y opposer — faible, universel, indépendant de la température, et repoussé par les aimants (une grenouille a été ainsi lévitée dans un alésage de $16\,\mathrm{T}$). Les *paramagnétiques* ($\chi_{\text{m}} \sim +10^{-5}$ à $10^{-3}$ : aluminium, O$_2$) possèdent des moments permanents — des spins non appariés du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/14-les-particules-identiques#ch-b3-identical-particles) — qui s’alignent comme les dipôles de Langevin : $\chi_{\text{m}} = \mu_0 n\mu^2/3k_{\text{B}}T$, une loi de Curie en $1/T$ (la version quantique à deux niveaux est [Exercice 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/17-lensemble-canonique#exo-b3-canonical-ensemble-11)). Les *ferromagnétiques* (fer, cobalt, nickel : $\mu_{\text{r}}$ par milliers) sont des paramagnétiques dont les spins se parlent aussi — le couplage d’échange de [Exercice 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/14-les-particules-identiques#exo-b3-identical-particles-12) — et au-dessous de la [température de Curie](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/21-transitions-de-phase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) ils s’alignent *spontanément* : [Théorème 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/21-transitions-de-phase#thm-b3-phase-transitions-meanfield), mise au travail.

## 22.4 Le ferromagnétisme à l’œuvre : domaines et hystérésis

**Définition 22.8 (Domaines et hystérésis).**

Un bloc de fer brut n’est *pas* aimanté : il se brise en *domaines*, régions de taille micrométrique chacune pleinement aimantée mais pointant différemment, si bien que le champ extérieur (et son coût en énergie) s’annule presque. Un $\vect H$ appliqué déplace les parois de domaine — les domaines favorables croissent — puis fait tourner des domaines entiers dans l’alignement. Les parois s’accrochent aux défauts, si bien que le processus est irréversible : balayer $H$ de haut en bas et $B(H)$ trace une boucle, le *cycle d’hystérésis*. Coupez le courant et un champ *rémanent* $B_{\text{r}}$ survit ; l’annuler demande le champ *coercitif* inverse $H_{\text{c}}$. L’aire enfermée par la boucle est l’énergie dissipée par cycle et par unité de volume. Les matériaux *doux* (acier au silicium, ferrites : boucle mince, petit $H_{\text{c}}$) font les noyaux de transformateurs et de moteurs ; les *durs* (alnico, Nd$_2$Fe$_{14}$B : boucle grasse, $H_{\text{c}}$ énorme) font les aimants permanents — et la mémoire magnétique : l’aimant du réfrigérateur et le disque dur sont des cycles d’hystérésis qui refusent d’oublier.

![Domaines. À gauche : un ferroaimant vierge cache son aimantation dans des régions qui se compensent mutuellement. À droite : le champ appliqué les fait croître et tourner en un bloc aimanté unique — par des sauts de paroi irréversibles qui donnent au fer sa mémoire.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-7c314138bee9.svg)

*Domaines. À gauche : un ferroaimant vierge cache son [aimantation](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) dans des régions qui se compensent mutuellement. À droite : le champ appliqué les fait croître et tourner en un bloc aimanté unique — par des sauts de paroi irréversibles qui donnent au fer sa mémoire.*

![Le cycle d’hystérésis. Depuis l’état vierge (en tirets), le champ pousse B jusqu’à saturation ; ramener H à zéro laisse la rémanence B_ r, et seul le champ coercitif -H_ c l’efface. Aire de la boucle = chaleur par cycle et par unité de volume : boucles minces pour les transformateurs, boucles grasses pour les aimants permanents.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-15486d629b9a.svg)

*Le [cycle d’hystérésis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). Depuis l’état vierge (en tirets), le champ pousse $B$ jusqu’à saturation ; ramener $H$ à zéro laisse la [rémanence](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) $B_{\text{r}}$, et seul le champ coercitif $-H_{\text{c}}$ l’efface. Aire de la boucle = chaleur par cycle et par unité de volume : boucles minces pour les transformateurs, boucles grasses pour les aimants permanents.*

**Exemple 22.9 (L’électroaimant à noyau de fer).**

Enroulez $N$ spires parcourues par $I$ autour d’un anneau de fer ($\mu_{\text{r}}
\sim 5000$) percé d’un petit entrefer $e$. Le théorème d’Ampère pour $\vect H$ le long de la boucle donne $H_{\text{fer}}\ell + H_{\text{gap}}e = NI$, et la continuité du flux rend $B$ commun, donc

$$
B\Big(\frac{\ell}{\mu_0\mu_{\text{r}}} + \frac{e}{\mu_0}\Big) = NI .
$$

Avec $\ell = 1\,\mathrm{m}$ et $e = 1\,\mathrm{cm}$, le terme d’entrefer vaut cinquante fois le terme de fer : presque tout l’effort de la bobine sert à pousser le champ à travers un centimètre d’air. Voilà le circuit magnétique en une ligne — le fer est un conducteur de flux presque parfait, l’air la résistance — et c’est pourquoi moteurs, relais et grues de casse gardent leurs entrefers impitoyablement minces ([Problème 22.1](#pb-b3-electromagnetism-in-matter-1)).

![Un ferrofluide au-dessus d’un aimant caché : l’aimantation du liquide rend l’énergie de champ moins chère que la gravité et la tension superficielle, et la surface se déforme en un réseau de pointes — M, rendu visible.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-e2d2cf27d26a.jpg)

*Un ferrofluide au-dessus d’un aimant caché : l’[aimantation](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) du liquide rend l’énergie de champ moins chère que la gravité et la tension superficielle, et la surface se déforme en un réseau de pointes — $\vect M$, rendu visible.*

## 22.5 Exercices

**Exercice 22.1 ★.**

Comptabilité des [charges liées](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Une lame d’épaisseur $d$ est uniformément polarisée selon sa normale, d’amplitude $P$. (a) Donner les densités de [charge liée](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) sur chaque face. (b) Montrer que le champ *intérieur* dû à ces nappes vaut $E = P/\varepsilon_0$, opposé à $\vect P$. (c) Que vaut $\vect D$ à l’intérieur, en l’absence de toute charge libre ? (d) Un électret droit ($\vect P$ figé) est l’analogue électrique de quel objet magnétique ?

**Solution de Exercice 22.1.**

(a) $+P$ sur la face vers laquelle pointe $\vect P$, $-P$ sur l’autre. (b) Deux nappes infinies $\pm P$ produisent entre elles $P/\varepsilon_0$, dirigé du $+$ vers le $-$, soit *contre* $\vect P$. (c) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — comme il se doit : pas de charge libre, et la composante normale de $\vect D$ est continue depuis le vide extérieur. (d) Un aimant droit : densité de dipôles figée, champ entretenu par ses propres sources liées.

**Exercice 22.2 ★.**

Condensateur à [diélectrique](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Un condensateur plan ($C_0 = 100\,\mathrm{pF}$) est chargé sous $12\,\mathrm{V}$ puis déconnecté. Une lame de $\varepsilon_{\text{r}} = 4$ le remplit. Trouver (a) la nouvelle capacité ; (b) la nouvelle tension ; (c) l’énergie avant et après — où est passée la différence ? (d) Reprendre (b)–(c) avec la pile restée branchée.

**Solution de Exercice 22.2.**

(a) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$. (b) $Q =
1.2\,\mathrm{nC}$ est piégée : $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$. (c) $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ avant, $1.8\,\mathrm{nJ}$ après : les $5.4\,\mathrm{nJ}$ manquantes sont devenues du travail mécanique — le champ de bord *aspire la lame*. (d) Pile branchée : $V$ reste à $12\,\mathrm{V}$, $Q$ quadruple, l’énergie monte à $28.8\,\mathrm{nJ}$ — la pile paie à la fois la nouvelle énergie de champ et l’attraction.

**Exercice 22.3 ★.**

Le zoo des susceptibilités. Classer (dia-, para- ou ferromagnétique) et justifier par la structure électronique quand vous le pouvez : l’eau ($\chi_{\text{m}} = -9\times10^{-6}$), l’aluminium ($+2.2\times10^{-5}$), l’oxygène liquide ($+3.5\times10^{-3}$ — pourquoi O$_2$ est-il magnétique ?), le nickel ($\mu_{\text{r}} \sim 600$ en champ faible). Lequel des quatre un aimant puissant attirerait-il visiblement, et lequel repousserait-il très légèrement ?

**Solution de Exercice 22.3.**

L’eau : diamagnétique — tous les électrons appariés, seulement une opposition induite par Larmor. L’aluminium : paramagnétique (spins des électrons de conduction). L’oxygène liquide : fortement paramagnétique — O$_2$ porte *deux électrons non appariés* (remplissage selon la règle de Hund de ses orbitales antiliantes, [Chapitre 14](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/14-les-particules-identiques#ch-b3-identical-particles)) ; il colle visiblement entre les pôles d’un aimant. Le nickel : ferromagnétique. L’aimant attire visiblement le nickel et l’oxygène liquide, et repousse très légèrement l’eau — le creux qu’un aimant puissant fait dans une surface d’eau.

**Exercice 22.4 ★.**

$B$, $H$, $M$. Un long solénoïde ($n = 2000$ spires par mètre, $I = 1.5\,\mathrm{A}$) est rempli de fer, et l’on mesure $B = 1.6\,\mathrm{T}$. Calculer (a) $H$ ; (b) $M$ ; (c) l’amplification $B/\mu_0H$ ; (d) le courant lié de surface par mètre équivalent à $M$ — le comparer au $nI$ propre de la bobine.

**Solution de Exercice 22.4.**

(a) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (b) $M = B/\mu_0 - H =
1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (c) $B/\mu_0H \approx 420$. (d) Le courant lié de surface équivalent vaut $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ par mètre — quatre cents fois le $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ propre de la bobine : c’est le fer qui fait presque tout le travail.

**Exercice 22.5 ★★.**

Câble coaxial, isolé. Une ligne coaxiale (rayon intérieur $a$, extérieur $b$) porte une charge libre $\lambda$ par unité de longueur sur l’âme, avec un [diélectrique](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) $\varepsilon_{\text{r}}$ entre les deux. (a) Trouver $\vect D(r)$ par symétrie. (b) En déduire $\vect E$ et $\vect P$. (c) Calculer les densités de [charge liée](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) en $r = a$ et $r = b$ et vérifier qu’elles se somment à zéro par unité de longueur. (d) Montrer que la capacité par unité de longueur est multipliée par $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Solution de Exercice 22.5.**

(a) Une surface de Gauss cylindrique n’enferme que la charge libre : $D = \lambda/2\pi r$, radial. (b) $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$, $P =
(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$. (c) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$ : par unité de longueur $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ ; en $r = b$, $+P(b)$ : par unité de longueur $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — somme nulle, comme toute [charge liée](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) doit l’être. (d) $V = \int E\,\dd r =
(\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$, donc $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$ : multipliée par $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Exercice 22.6 ★★.**

Clausius–Mossotti à l’œuvre. L’argon gazeux à $1\,\mathrm{bar}$ et $300\,\mathrm{K}$ a $\varepsilon_{\text{r}} = 1.00052$. (a) Extraire $\alpha/\varepsilon_0$ (un volume) et comparer au volume atomique. (b) L’argon liquide a $n = 2.1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ : prédiser $\varepsilon_{\text{r}}$ par Clausius–Mossotti (mesuré : 1,53). (c) Pourquoi le naïf $\chi = n\alpha/\varepsilon_0$ surestime-t-il moins gravement ici que pour l’eau ? (d) Pour quelles molécules tout le schéma doit-il échouer, et qu’est-ce qui le remplace ?

**Solution de Exercice 22.6.**

(a) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, donc $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — le volume d’une sphère de rayon $\approx1.7\,\text{Å}$ : la polarisabilité *est* un volume atomique, en unités de $\varepsilon_0$. (b) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$, donc $(\varepsilon_{\text{r}} -
1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ donne $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — pile la valeur mesurée. (c) La correction de champ local ne pèse que 15 % ici ; l’argon est apolaire, donc aucune contribution d’orientation ne peut s’emballer. (d) Les molécules polaires (eau, HCl) : les dipôles permanents dominent et interagissent ; la théorie de Langevin–Debye (et, pour les liquides denses, d’Onsager) remplace le simple argument de la cavité.

**Exercice 22.7 ★★.**

La permittivité géante de l’eau. (a) À partir de [Proposition 22.5](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin), calculer $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ pour l’eau ($n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$, $T = 300\,\mathrm{K}$). (b) Estimer le champ nécessaire pour $x = 1$ (saturation sérieuse) et comparer à la rigidité [diélectrique](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) de l’eau, $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (c) Les fours à micro-ondes fonctionnent à $2.45\,\mathrm{GHz}$ : pourquoi une réponse *dissipative* de dipôles en rotation chauffe-t-elle les aliments, et pourquoi la glace chauffe-t-elle bien plus lentement que l’eau liquide ? (d) Prédiser le signe de $\dd\varepsilon_{\text{r}}/\dd T$ pour l’eau et pour l’argon.

**Solution de Exercice 22.7.**

(a) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx
11.5$. (b) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — dix fois le champ de claquage : l’eau opère toujours bien à l’intérieur du régime linéaire. (c) À $2.45\,\mathrm{GHz}$ les dipôles suivent presque, mais avec du retard : la part en quadrature de la réponse fournit un travail net sur l’eau à chaque cycle — le chauffage [diélectrique](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Dans la glace, les molécules sont verrouillées au réseau ; leur relaxation de rotation se situe au kilohertz, si bien qu’au gigahertz la glace absorbe à peine (les cycles de décongélation pulsent doucement, laissant l’eau fondue chauffer). (d) L’eau : négatif (réponse d’orientation en $1/T$) ; l’argon : essentiellement nul — la polarisabilité induite se moque de la température.

**Exercice 22.8 ★★.**

Le diamagnétisme estimé. Traiter un électron atomique comme une charge sur un anneau de rayon $r$ ; un $B$ appliqué change sa pulsation du décalage de Larmor $\Delta\omega = eB/2m_{\text{e}}$. (a) Montrer que le moment induit vaut $\Delta\mu = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ (opposé à $B$). (b) En moyennant sur les orientations et en sommant $Z$ électrons par atome, on trouve $\chi_{\text{m}} = -\mu_0ne^2Z\langle
r^2\rangle/6m_{\text{e}}$ : évaluer pour l’eau ($n =
3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ molécules, $Z = 10$, $\langle r^2\rangle
\approx (0.7\,\text{Å})^2$) et comparer au $-9\times10^{-6}$ mesuré. (c) Pourquoi le diamagnétisme est-il indépendant de la température alors que le paramagnétisme ne l’est pas ? (d) Pourquoi même une grenouille lévite-t-elle dans $16\,\mathrm{T}$, et pourquoi le champ de l’aimant doit-il être *non uniforme* ?

**Solution de Exercice 22.8.**

(a) Le décalage de Larmor change le courant circulant de $\Delta I
= -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$, d’où $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$, opposé à $\vect B$ quel que soit le sens d’orbite de l’électron — la loi de Lenz à l’échelle atomique. (b) Avec les nombres donnés, $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$ : le $-9\times10^{-6}$ mesuré, à partir d’un modèle d’anneau. (c) Le moment induit vient de la déformation de l’orbite, non d’une compétition de Boltzmann entre alignement et désordre — aucun $T$ nulle part. (d) L’eau est diamagnétique, donc la grenouille est poussée vers le champ faible ; la densité de force $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ s’annule en champ uniforme — la lévitation exige un $B\,\dd B/\dd z$ assez grand pour équilibrer $\rho g$, d’où l’alésage de $16\,\mathrm{T}$.

**Exercice 22.9 ★★.**

Paramagnétisme de Curie et refroidissement. Un sel porte $n =
2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ ions de moment $\mu \approx \mu_{\text{B}}$. (a) Calculer $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ à $300\,\mathrm{K}$ et à $1\,\mathrm{K}$. (b) À quelle température $\chi_{\text{m}}$ atteindrait-il $1$ — et quelle physique (négligée ici) intervient d’abord dans la plupart des sels ? (c) Désaimantation adiabatique : aimanter à $1\,\mathrm{K}$, isoler, puis retirer lentement le champ — expliquer avec l’entropie de spin du [Chapitre 16](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/16-lensemble-microcanonique#ch-b3-microcanonical-ensemble) pourquoi l’échantillon refroidit. (d) Pourquoi la méthode exige-t-elle un *para*magnétique plutôt qu’un ferromagnétique ?

**Solution de Exercice 22.9.**

(a) $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T
\approx 1.7\times10^{-5}$ à $300\,\mathrm{K}$, $5\times10^{-3}$ à $1\,\mathrm{K}$. (b) Par extrapolation, $\chi \to 1$ vers $5\,\mathrm{mK}$ — mais les couplages dipolaires et d’échange ordonnent (ou gèlent) les sels réels avant : la loi de Curie est une loi de haute température. (c) Aimantée à $1\,\mathrm{K}$, l’entropie de spin est expulsée vers le bain ; une fois isolé, $S$ est fixée, et abaisser $B$ laisse les spins reprendre leur $k_{\text{B}}\ln 2$ chacun — l’énergie vient du réseau, dont la température chute (des millikelvins en pratique). (d) Les spins d’un ferroaimant s’ordonnent d’eux-mêmes sous $T_{\text{c}}$ : leur entropie n’est plus pilotée par le champ, et l’[hystérésis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) dissiperait au lieu de refroidir.

**Exercice 22.10 ★★★.**

Le circuit magnétique. Un tore de fer ($\ell = 60\,\mathrm{cm}$, $\mu_{\text{r}} = 4000$, section $A = 16\,\mathrm{cm}^{2}$) porte $N = 500$ spires et un entrefer $e = 4\,\mathrm{mm}$. (a) Montrer que $NI =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ et calculer le courant pour $B = 1.2\,\mathrm{T}$. (b) Quelle fraction de $NI$ est dépensée dans l’entrefer ? (c) Définir la réluctance $\mathcal R = \ell/\mu A$ de chaque segment et reformuler (a) comme une « loi d’Ohm » en série pour le flux. (d) Le fer sature vers $1.8\,\mathrm{T}$ : expliquer ce qu’il advient du modèle de circuit — et de votre moteur — au-delà.

**Solution de Exercice 22.10.**

(a) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ : avec l’équivalent $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ contre $e =
4\,\mathrm{mm}$, $NI \approx 3960$ ampères-tours, $I \approx
7.9\,\mathrm{A}$. (b) $4/4.15 \approx 96\,\%$ de l’effort traverse l’entrefer. (c) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{fer}} +
\mathcal R_{\text{gap}})$ avec $\mathcal R = \ell/\mu A$ : la force magnétomotrice $NI$ joue la tension, le flux joue le courant, la réluctance joue la résistance — ici $\mathcal R_{\text{gap}}
\approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx
27\,\mathcal R_{\text{fer}}$. (d) Au-delà de $1.8\,\mathrm{T}$, le $\mu_{\text{r}}$ incrémental du fer s’effondre vers 1 : sa réluctance monte en flèche, un courant supplémentaire n’achète presque plus de flux, et un moteur poussé là cesse de gagner du couple pendant que ses bobinages cuisent.

**Exercice 22.11 ★★★.**

Pertes par [hystérésis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). Un noyau de transformateur (volume $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$) fonctionne à $50\,\mathrm{Hz}$. Sa boucle en acier au silicium enferme $\sim40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ par cycle. (a) Calculer la puissance perdue par [hystérésis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). (b) Le même noyau en acier dur ($\sim6 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$) : la perte, et le verdict. (c) Les courants de Foucault ajoutent une perte $\propto f^2$ : expliquer pourquoi les noyaux sont feuilletés et pourquoi les ferrites prennent le relais aux radiofréquences. (d) Un bit de disque dur doit *garder* son [aimantation](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) contre les coups thermiques pendant dix ans : relier les exigences sur $H_{\text{c}}$ pour la mémoire à celles pour un transformateur, et conclure qu’aucun matériau unique ne peut faire les deux métiers.

**Solution de Exercice 22.11.**

(a) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — acceptable. (b) $1.2\,\mathrm{kW}$ : le noyau rougirait ; l’acier dur est disqualifié du service alternatif par sa vertu même. (c) Les forces électromotrices de Foucault croissent avec l’aire des boucles et avec $f$ ; feuilleter (ou pulvériser, ou employer des ferrites isolantes) hache les boucles et taille dans la perte en $f^2$ — et c’est pourquoi les ferrites règnent au mégahertz. (d) La mémoire veut que la barrière du bit stocké vérifie $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg
k_{\text{B}}T$ pendant une décennie (la limite superparamagnétique), soit un $H_{\text{c}}$ aussi grand que l’écriture le permet ; un transformateur veut $H_{\text{c}} \to 0$ pour une boucle mince. Un seul matériau ne peut siéger aux deux bouts : aimants doux pour les machines, aimants durs pour la mémoire.

**Exercice 22.12 ★★★.**

Le champ démagnétisant. Dans un corps uniformément aimanté sans courant libre, $\oint\vect H\cdot\dd\vect\ell = 0$ force le $\vect H$ intérieur à *s’opposer* à $\vect M$ ($\vect H =
-N_{\text{d}}\vect M$, avec $N_{\text{d}}$ un facteur de forme : $1/3$ pour une sphère, $\approx 0$ le long d’une longue aiguille, $\approx 1$ en travers d’une plaque mince). (a) Justifier les limites de l’aiguille et de la plaque par l’image du courant lié (solénoïde). (b) Pourquoi un aimant trapu se désaimante-t-il partiellement lui-même, tandis qu’une aiguille garde son [aimantation](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) ? (c) Relier aux aiguilles de boussole et aux grains allongés des bandes magnétiques. (d) Une sphère de fer doux est plongée dans un $B_0$ extérieur uniforme : expliquer pourquoi sa réponse sature à $\vect H
\approx 0$ à l’intérieur, soit $M \approx 3B_0/\mu_0$ au plus, si grand que soit $\mu_{\text{r}}$.

**Solution de Exercice 22.12.**

(a) Une longue aiguille aimantée axialement est un long solénoïde de courant lié : à l’intérieur, $H \approx 0$ (tout $B$ vient de $M$). Une plaque mince aimantée en travers de ses faces est le solénoïde le plus court et le plus large possible : son champ de retour intérieur donne $H = -M$. (b) L’aimant trapu travaille en $H = -N_{\text{d}}M$, bien bas sur sa courbe de désaimantation : le mouvement des parois grignote la [rémanence](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) ; une aiguille siège en $H \approx 0$ et garde ce qu’elle a. (c) D’où les *aiguilles* de boussole, et les grains allongés monodomaines des bandes magnétiques et des premiers disques durs — l’anisotropie de forme comme assurance mémoire. (d) La conservation du flux et $\oint\vect H\cdot
\dd\vect\ell = 0$ donnent, à l’intérieur d’une sphère, $H_{\text{int}} =
H_0 - M/3$ ; quand $\mu_{\text{r}}\to\infty$ le fer pousse $H_{\text{int}}\to0$, donc $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$ : la sphère ne peut concentrer le champ que d’un facteur trois, si « bon » que soit le fer.

![Le problème du week-end, à l’œuvre : une bobine à noyau de fer dont le champ aimante la ferraille elle-même — et la lâche sur commande, ce qui est la moitié de la conception que l’hystérésis rend intéressante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-3c2314b40699.jpg)

*Le problème du week-end, à l’œuvre : une bobine à noyau de fer dont le champ aimante la ferraille elle-même — et la lâche sur commande, ce qui est la moitié de la conception que l’[hystérésis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) rend intéressante.*

## 22.6 Problème : la grue de casse

**Problème 22.1.**

*La grue de casse.* Une déchetterie commande un électroaimant de grue : un pot de fer à face plate, d’un mètre de diamètre, qui doit soulever des balles de voitures compressées de deux tonnes, puis — tout aussi important — les *lâcher* sur commande. Vous êtes l’ingénieur de conception.

**Partie I — Pourquoi le fer.**

1. La bobine nue : 400 spires parcourues par $25\,\mathrm{A}$ réparties sur un trajet magnétique de $\sim1\,\mathrm{m}$ . Estimer $B \sim  \mu_0NI/\ell$ sans fer.
2. Expliquer en deux phrases, avec les domaines, pourquoi remplir la bobine de fer multiplie cela par $\sim\mu_{\text{r}}$ .
3. L’ [aimantation](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) du fer sature à $M_{\text{s}} \approx  1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ . Calculer le plafond $\mu_0M_{\text{s}}$ que cela impose au champ des pôles, quoi que fasse la bobine.
4. Chaque atome de fer apporte $\approx 2.2$ [magnétons de Bohr](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/10-le-moment-cinetique-quantique#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic) . Vérification : avec $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , retrouver $M_{\text{s}}$ .
5. Pourquoi les faces polaires doivent-elles être usinées planes et tenues à l’abri de la rouille et des gravillons ? (Penser à [Exemple 22.9](#ex-b3-electromagnetism-in-matter-electromagnet) .)
6. La charge elle-même devient partie du circuit magnétique. Esquisser le trajet du flux : noyau du pot, face nord, balle d’acier, face sud, retour par la culasse.

**Partie II — Le circuit magnétique et la force.**

7. Modéliser le circuit : trajet de fer $\ell = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu_{\text{r}} = 2000$ , et deux entrefers effectifs (contact face–balle) de $e = 1.5\,\mathrm{mm}$ chacun. Écrire le théorème d’Ampère pour $H$ le long de la boucle.
8. Calculer les trois termes de réluctance par unité d’aire ( $\ell/\mu_{\text{r}}$ contre $2e$ ) et montrer que les entrefers millimétriques consomment tout de même l’essentiel de l’effort de la bobine.
9. Avec $NI = 10\,000$ ampères-tours, calculer $B$ dans les entrefers.
10. La pression de levage sur chaque face polaire vaut $B^2/2\mu_0$ (densité d’énergie magnétique libérée par mètre de rapprochement). L’évaluer en $\mathrm{kPa}$ pour votre $B$ .
11. Aire polaire totale $A = 0.12\,\mathrm{m}^{2}$ : calculer la force de levage et la convertir en tonnes.
12. Satisfait-elle la spécification de deux tonnes avec une marge d’un facteur deux ? Sinon, ajuster $NI$ et donner le nouveau courant.
13. Les balles compressées ne touchent les faces que sur un tiers de leur aire environ, avec des entrefers effectifs plus larges. Recalculer la force pour $e = 4\,\mathrm{mm}$ , $A_{\text{eff}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ et commenter pourquoi les capacités nominales sont citées en « plaque plane ».

**Partie III — Se souvenir et oublier.**

14. La déchetterie coupe l’interrupteur pour lâcher une balle — et elle reste accrochée. Nommer le coupable, avec le [cycle d’hystérésis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) .
15. Pourquoi le pot doit-il être en fer *doux* (petit $H_{\text{c}}$ , petit $B_{\text{r}}$ ) plutôt qu’en acier à aimants dur ?
16. Même le fer doux garde un peu de [rémanence](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) . Proposer le remède standard : une brève impulsion de courant *inversé* — quel point de la boucle vise-t-elle ?
17. Certains contrôleurs appliquent plutôt un courant alternatif décroissant. Esquisser ce que fait la trajectoire $B$ – $H$ et pourquoi elle finit désaimantée.
18. La grue manipule aussi des brames chaudes sortant d’un four, à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Le point de Curie du fer vaut $1043\,\mathrm{K}$ : qu’advient-il de la force de levage, et pourquoi ? ( [Théorème 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/21-transitions-de-phase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) .)
19. Un apprenti d’été propose d’économiser du cuivre en doublant l’entrefer et en doublant $NI$ . Utiliser vos formules de la partie II pour expliquer l’asymétrie : qu’est-ce qui est divisé par deux et qu’est-ce qui tient seulement bon ?

**Partie IV — Puissance, chaleur et facture.**

20. La bobine : 400 spires de cuivre, longueur moyenne de spire $2.5\,\mathrm{m}$ , section de fil $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , résistivité $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Calculer sa résistance.
21. À $I = 25\,\mathrm{A}$ : la puissance dissipée, et l’énergie quotidienne pour un poste de huit heures à $60\,\%$ de service.
22. L’énergie magnétique stockée dans les deux entrefers ( $B^2/2\mu_0 \times$ volume) : la calculer et comparer à *une* seconde de dissipation dans la bobine. Où passe tout le reste de l’énergie électrique ?
23. Lâcher la charge ne rend presque rien de l’énergie stockée au réseau. Expliquer, avec l’aire de la boucle et la surtension inductive, pourquoi le contrôleur a besoin d’un chemin de roue libre aux bornes de la bobine.
24. L’alimentation tombe avec une balle en l’air. Que fait la balle, et que retient la [rémanence](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) *seule* ? Justifier la règle de la déchetterie selon laquelle nul ne passe sous un aimant sous tension — et l’argument de vente des grues à secours par batterie.
25. Résumer la conception en quatre lignes : plafond de champ fixé par $M_{\text{s}}$ , force par $B^2A/2\mu_0$ , contrôlabilité par l’ [hystérésis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) du fer doux, coût d’exploitation par $RI^2$ — tout le chapitre suspendu à une grue.

**Solution de Problème 22.1.**

**1.** $B \approx \mu_0NI/\ell = 13\,\mathrm{mT}$ — un champ d’aimant de réfrigérateur pour $250\,\mathrm{W}$ de bobine. **2.** Le faible $H$ de la bobine décroche et fait tourner des domaines dont les courants liés circulent alors au pas de ceux de la bobine : le fer ajoute son propre $\mu_0M \gg \mu_0H$. **3.** $\mu_0M_{\text{s}} = 2.1\,\mathrm{T}$ : aucune bobine ne peut tirer davantage des pôles du fer. **4.** $M = 2.2\mu_{\text{B}}n = 2.2\times9.27 \times 10^{-24}
\times8.5 \times 10^{28} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ — cohérent. **5.** Toute rouille ou gravillon est un entrefer en série supplémentaire à l’endroit précis où la réluctance compte le plus ; un dixième de millimètre de calamine mange mesurablement la force. **6.** Le flux quitte le pôle nord central, franchit l’entrefer de contact pour entrer dans la balle, parcourt l’acier et revient par le pôle sud annulaire extérieur et la culasse — la charge referme le circuit magnétique. **7.** $NI = H_{\text{fer}}\ell + 2H_{\text{gap}}e =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + 2e/\mu_0)$. **8.** Par unité d’aire : $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.6\,\mathrm{mm}$ contre $2e = 3\,\mathrm{mm}$ : les trois millimètres d’air prennent $\sim83\,\%$ des ampères-tours. **9.** La formule linéaire donne $B = \mu_0NI/(\ell/
\mu_{\text{r}} + 2e) \approx 3.5\,\mathrm{T}$ — *au-dessus* du plafond de la question 3 : le pot sature et délivre $B \approx
1.7\,\mathrm{T}$, quoi qu’en peine la bobine. **10.** $B^2/2\mu_0 \approx 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} \approx
1150\,\mathrm{kPa}$ — onze atmosphères de traction. **11.** $F = 1.15 \times 10^{6}\times0.12 \approx 140\,\mathrm{kN}
\approx 14$ tonnes. **12.** Oui : 14 tonnes contre une exigence de 4 tonnes (2 tonnes $\times$ un coefficient de sécurité 2) — la marge existe pour la question 13. **13.** Avec $e = 4\,\mathrm{mm}$ et $A_{\text{eff}} =
0.04\,\mathrm{m}^{2}$ : $B \approx 1.5\,\mathrm{T}$, pression $\approx870\,\mathrm{kPa}$, force $\approx35\,\mathrm{kN} \approx 3.5$ tonnes — la capacité nominale de douze tonnes en « plaque plane » tombe à peine à la spécification sur de la vraie ferraille, et c’est pourquoi la capacité est toujours citée sur plaque rectifiée. **14.** La [rémanence](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) : à la coupure, le fer siège en $B_{\text{r}}$ sur sa boucle — le pot est maintenant un aimant permanent faible, et les charges légères restent accrochées. **15.** La boucle mince du fer doux rend $B_{\text{r}}$ et $H_{\text{c}}$ petits : l’aimant doit *oublier* sur commande ; l’acier dur ferait de la grue un aimant permanent muni d’un interrupteur qui ne sert à rien. **16.** Une impulsion inverse calibrée mène le matériau en $-H_{\text{c}}$, le passage à $B$ nul de la boucle, et libère la charge. **17.** Un balayage alternatif décroissant trace des boucles emboîtées de plus en plus petites qui spiralent vers l’origine : l’état désaimanté — le même démagnétisage qu’on applique aux coques de navires et aux vieux écrans cathodiques. **18.** $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ font $1073\,\mathrm{K}$ $> T_{\text{c}}$ : la brame est *paramagnétique* — $\mu_{\text{r}} \approx 1$, le circuit s’ouvre, la force s’effondre ; les laminoirs à chaud déplacent les brames avec des pinces, non des aimants. **19.** Doubler $e$ divise $B$ par deux et la force par quatre (circuit dominé par l’entrefer) ; doubler $NI$ rétablit les deux — mais $P = RI^2$ quadruple : les entrefers se paient en chaleur dans le cuivre. **20.** $R = \rho L/A = 1.7 \times 10^{-8}\times1000/
1.6 \times 10^{-5} \approx 1.1\,\Omega$. **21.** $P = RI^2 \approx 660\,\mathrm{W}$ ; sur $8\,\text{h}\times0.6$ : $\approx3.2\,\mathrm{kWh}$ par poste — quelques euros d’électricité pour déplacer des centaines de tonnes. **22.** Volume d’entrefer $2Ae = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ à $1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $\approx410\,\mathrm{J}$ — moins d’une seconde d’échauffement de la bobine. En régime établi, la quasi-totalité de l’entrée électrique devient chaleur dans le cuivre ; le champ, une fois bâti, ne coûte que son courant d’entretien. **23.** Ouvrir le circuit force $LI$ brutalement à zéro : la bobine répond par une énorme surtension inductive qui fait étinceler les contacts ; une diode de roue libre (ou une résistance) laisse l’énergie de champ stockée mourir tranquillement en chaleur — et l’aire de la boucle est de toute façon dissipée dans le fer à chaque cycle. **24.** La force de levage réclame du courant : la balle tombe. La [rémanence](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) ne retient qu’une force symbolique — des kilogrammes, non des tonnes. D’où la règle de circulation, et les grues à secours par batterie (ou à aimant permanent et bobine de libération) pour tout ce qui pend au-dessus de personnes. **25.** Plafond : $\mu_0M_{\text{s}} \approx 2\,\mathrm{T}$. Force : $B^2A/2\mu_0$, régie par des millimètres d’entrefer. Contrôle : fer doux, $B_{\text{r}}$ petit, impulsion de démagnétisage pour lâcher. Coût : $RI^2$, un radiateur de l’ordre du kilowatt — le chapitre, suspendu à une grue.