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title: "Milieux continus et élasticité"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/3-milieux-continus-et-elasticite
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# Chapitre 3 — Milieux continus et élasticité

Collez l’oreille à un long rail d’acier pendant qu’un ouvrier le frappe au loin : vous entendez deux chocs — l’un par l’acier, l’autre par l’air, séparés d’une seconde ou plus. La roche, l’acier, l’os et le caoutchouc transmettent tous forces et ondes comme un fluide transmet la pression, mais avec quelque chose qu’aucun fluide n’a : ils résistent aux *changements de forme*, et pas seulement aux changements de volume. Le volume de deuxième année a bâti la mécanique des fluides sur deux idées, la particule de matière et le champ de pression ; ce chapitre les étend aux solides. Le déplacement de chaque particule devient un champ, sa distorsion locale une *déformation*, les forces intérieures une *contrainte*, et entre les deux se tient la carte d’identité du solide, la [loi de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) avec ses deux constantes élastiques. Le gain va du quotidien — pourquoi les câbles s’allongent, pourquoi les bouteilles éclatent, comment un plongeoir fléchit — au planétaire : les séismes envoient à travers la Terre exactement les deux [ondes élastiques](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) que ce chapitre prédit, et leurs temps d’arrivée furent la première auscultation de l’intérieur de notre planète.

## 3.1 La déformation : décrire la distorsion

**Définition 3.1 (Champ de déplacement et tenseur des déformations).**

Quand un solide se déforme, la particule initialement en $\vect r$ va en $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ est le *champ de déplacement*. Pour de petites déformations, la distorsion locale est mesurée par le *tenseur des déformations*, le tableau symétrique

$$
\varepsilon_{ij} = \frac12\Big(
 \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}
\Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .
$$

Une composante diagonale $\varepsilon_{xx}$ est l’allongement relatif du matériau selon $x$ (sans dimension, par exemple $10^{-3}$ pour un câble d’acier en service) ; une composante hors diagonale $\varepsilon_{xy}$ est la moitié de la fermeture de l’angle entre les directions matérielles $x$ et $y$ — un *cisaillement*. La trace est la variation relative de volume, la *dilatation* :

$$
\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .
$$

**Exemple 3.2 (Trois déformations élémentaires).**

[Dilatation](#def-b3-continuum-elasticity-strain) uniforme $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} =
\alpha\,\delta_{ij}$, variation de volume $3\alpha$, aucun cisaillement. Cisaillement simple $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$, toutes les composantes diagonales nulles — la forme change, le volume non. Rotation en bloc $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ identiquement — la partie antisymétrique de $\partial u_i/\partial x_j$, éliminée par la symétrisation, est exactement celle qui fait tourner sans déformer. La déformation ne mesure que la distorsion.

![Le tenseur des déformations ne voit que la distorsion vraie : allongement (composantes diagonales), cisaillement (composantes hors diagonale) — et pas du tout une rotation en bloc.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-aa452eb52c4b.svg)

*Le [tenseur des déformations](#def-b3-continuum-elasticity-strain) ne voit que la distorsion vraie : allongement (composantes diagonales), cisaillement (composantes hors diagonale) — et pas du tout une rotation en bloc.*

## 3.2 La contrainte : décrire les forces intérieures

**Définition 3.3 (Vecteur contrainte et tenseur des contraintes).**

Coupons le solide, en pensée, le long d’une petite surface $\dd S$ de normale $\vect n$ : la matière du côté $+\vect n$ tire sur l’autre côté avec une force $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — le *vecteur contrainte*. Cette force dépend linéairement de $\vect n$ (Cauchy), elle est donc codée par le *tenseur des contraintes* $\sigma_{ij}$ :

$$
\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,
$$

en pascals. $\sigma_{xx}$ est une traction ($> 0$) ou une compression ($< 0$) à travers une face normale à $x$ ; $\sigma_{xy}$ est une force selon $x$ portée par une face normale à $y$ — une contrainte de cisaillement. Un fluide au repos est le cas particulier $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$ : la pression pousse également sur chaque face et n’exerce aucun cisaillement, et c’est pourquoi les fluides s’écoulent — ils ne peuvent porter aucun cisaillement statique.

**Proposition 3.4 (Équilibre et symétrie).**

Dans un solide en équilibre sous une force volumique $\vect f$ (par exemple $\rho\vect g$),

$$
\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0
$$

en tout point intérieur ; et le [tenseur des contraintes](#def-b3-continuum-elasticity-stress) est symétrique, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$.

**Démonstration partielle.** Équilibrons les forces sur un petit cube d’arête $a$ : les [vecteurs contrainte](#def-b3-continuum-elasticity-stress) sur les deux faces normales à $x$ diffèrent de $a\,\partial_x\sigma_{ix}$ par unité d’aire, et de même pour les autres paires ; la force surfacique nette par unité de volume vaut $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$, qui doit compenser $f_i$ — le même bilan que celui qui donnait $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ en statique des fluides au volume de première année. Symétrie : le moment des contraintes de cisaillement autour du centre du cube vaut $(\sigma_{xy} -
\sigma_{yx})a^3$ à l’ordre dominant, tandis que son moment d’inertie varie comme $a^5$ ; une contrainte non symétrique ferait tourner infiniment vite les petits cubes. L’argument continu complet est admis. ∎

![Les trois composantes du vecteur contrainte sur une face d’un cube de matière : une normale (traction ou compression), deux tangentielles (cisaillement). Les neuf composantes sur les trois faces forment le tenseur des contraintes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-7fc88860ff23.svg)

*Les trois composantes du [vecteur contrainte](#def-b3-continuum-elasticity-stress) sur une face d’un cube de matière : une normale (traction ou compression), deux tangentielles (cisaillement). Les neuf composantes sur les trois faces forment le [tenseur des contraintes](#def-b3-continuum-elasticity-stress).*

## 3.3 La loi de Hooke et les constantes élastiques

**Théorème 3.5 (Élasticité linéaire isotrope).**

Pour de petites déformations, un solide isotrope répond linéairement : la contrainte est proportionnelle à la déformation,

$$
\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,
$$

avec deux constantes du matériau, les *coefficients de Lamé* $\lambda$ et $\mu$ ($\mu$ se note aussi $G$, le *module de cisaillement*). Dans l’essai de traction simple — une barre tirée selon $x$, libre sur ses flancs — la même loi prend la forme de l’ingénieur

$$
\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad
\varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,
$$

qui définit le *[module de Young](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $E$ (rigidité à l’allongement) et le *[coefficient de Poisson](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $\nu$ (contraction latérale), avec

$$
\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad
\lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .
$$

C’est le « telle l’extension, telle la force » de Hooke (1678), promu au rang de tenseur. Il vaut jusqu’à une *limite élastique* propre au matériau.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 3.6 (Ordres de grandeur).**

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ pour l’acier, $70\,\mathrm{GPa}$ pour l’aluminium et le verre à vitre, $50\,\mathrm{GPa}$ pour le granite, $15\,\mathrm{GPa}$ pour l’os et le béton, $10\,\mathrm{GPa}$ pour le bois dans le fil, et quelques MPa seulement pour le caoutchouc — cinq ordres de grandeur, l’écart entre un pont et un élastique. $\nu$ est compris entre $0$ (le liège, presque) et $1/2$ (le caoutchouc) : $\nu = 1/2$ signifie une déformation à volume constant, et $\nu \approx 0.3$ est typique des métaux. Une déformation de $10^{-3}$ dans l’acier signifie déjà $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$, proche de la limite d’élasticité des nuances courantes : l’élasticité de tous les jours vit sous le millième.

**Exemple 3.7 (Un câble d’ascenseur).**

Un câble d’acier de $60\,\mathrm{m}$ et de section $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ porte une cabine de $1000\,\mathrm{kg}$ : $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$, $\varepsilon =
\sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$, allongement $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — et le câble se comporte comme un ressort de raideur $k = ES/L =
6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : la formule $k = ES/L$ est la façon dont un milieu continu rend les ressorts du volume de première année.

**Proposition 3.8 (Énergie élastique).**

Un solide déformé emmagasine, par unité de volume, la densité d’énergie

$$
w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij}
\qquad\text{(traction simple~: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 =
\sigma^2/2E\text{)} ,
$$

le $\tfrac12 kx^2$ à trois dimensions.

**Démonstration partielle.** En traction simple, amener la contrainte de $0$ à $\sigma$ fournit le travail par unité de volume $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' =
\int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12
E\varepsilon^2$ — l’aire sous la droite contrainte–déformation, exactement comme pour un ressort. La forme quadratique générale suit en superposant les composantes ; elle est admise. ∎

![À gauche : l’essai de traction définit E (allongement relatif) et (amincissement latéral, exagéré). À droite : la courbe contrainte–déformation d’un métal — élasticité linéaire jusqu’à la limite élastique, puis écoulement plastique irréversible, puis rupture. Ce chapitre vit sur la partie droite.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-153165b8928e.svg)

*À gauche : l’essai de traction définit $E$ (allongement relatif) et $\nu$ (amincissement latéral, exagéré). À droite : la courbe contrainte–déformation d’un métal — élasticité linéaire jusqu’à la limite élastique, puis écoulement plastique irréversible, puis rupture. Ce chapitre vit sur la partie droite.*

**Méthode 3.9 (Résoudre un problème de petite élasticité).**

(1) Identifier la géométrie et le chargement ; deviner quelles composantes de contrainte sont non nulles (barre tirée : seulement $\sigma_{xx}$ ; fil tordu : cisaillement ; enveloppe sous pression : tensions tangentielles). (2) Écrire l’équilibre des forces sur un morceau bien choisi — un demi-cylindre, une tranche, un cube. (3) Passer de la contrainte à la déformation par la [loi de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke), de la déformation au déplacement par intégration. (4) Les énergies par $w = \sigma^2/2E$ (ou $\sigma^2/2G$ en cisaillement). (5) Vérifier toujours que la déformation reste petite et la contrainte sous la limite élastique — sinon la réponse décrit un solide qui n’existe plus.

## 3.4 Les ondes élastiques

**Proposition 3.10 (Les deux sons d’un solide).**

Dans un solide élastique illimité de masse volumique $\rho$, les petites perturbations se propagent sous deux formes indépendantes : les ondes *longitudinales* (P), où la matière oscille selon la direction de propagation par compression et [dilatation](#def-b3-continuum-elasticity-strain), à la vitesse

$$
c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,
$$

et les ondes *transversales* (S), où la matière cisaille de côté, à

$$
c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .
$$

Un fluide a $\mu = 0$ : pas d’[ondes S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) — le cisaillement ne s’y transmet pas — et la vitesse P se réduit à la vitesse du son du volume de deuxième année. Pour $\nu = 1/4$ (roche typique), $\lambda = \mu$ et $c_{\text{P}} =
\sqrt3\,c_{\text{S}}$.

**Démonstration partielle.** Prenons une perturbation plane $\vect u = \vect u(x, t)$. La loi de Newton par unité de volume s’écrit $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (l’équation d’équilibre à laquelle on a rendu l’inertie). Pour la composante longitudinale, la [loi de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) donne $\sigma_{xx} = (\lambda +
2\mu)\,\partial_xu_x$ (les déformations latérales s’annulent dans une onde plane, la matière voisine interdisant tout relâchement latéral), donc $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$ : d’Alembert à la vitesse $c_{\text{P}}$. Pour la composante transversale, $\sigma_{yx} =
2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$, d’où $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$ : vitesse $c_{\text{S}}$. Que toute perturbation se scinde en ces deux familles est admis. ∎

![Les deux ondes élastiques. P : les plans de matière se resserrent et s’écartent selon la direction de marche (onde de compression — elle existe dans les solides, les liquides et les gaz). S : la matière cisaille de côté (elle n’existe que là où le cisaillement est repris : les solides).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-88a58a057950.svg)

*Les deux [ondes élastiques](#prop-b3-continuum-elasticity-waves). P : les plans de matière se resserrent et s’écartent selon la direction de marche (onde de compression — elle existe dans les solides, les liquides et les gaz). S : la matière cisaille de côté (elle n’existe que là où le cisaillement est repris : les solides).*

**Exemple 3.11 (Le rail et le séisme).**

Acier : $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — un coup frappé sur un rail à $2\,\mathrm{km}$ arrive par l’acier en $0.34\,\mathrm{s}$ et par l’air ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en $5.9\,\mathrm{s}$ : deux chocs. Granite ($E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho =
2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) : $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Un séisme s’annonce donc deux fois : une secousse P sèche, puis, quelques secondes plus tard, le tremblement S plus lent et plus fort — et le retard mesure la distance ([Problème 3.1](#pb-b3-continuum-elasticity-1)). Les systèmes d’alerte sismique précoce vivent dans ce retard : l’[onde P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), et le message radio qu’elle déclenche, devancent l’[onde S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) qui fait les dégâts.

**Remarque 3.12 (Cordes, barreaux et son retrouvés).**

Les ondes du volume de deuxième année sont toutes des cas limites de ce chapitre. Un barreau mince, libre de s’amincir latéralement, porte des ondes de compression à $\sqrt{E/\rho}$ (plus lentes que $c_{\text{P}}$ : le relâchement latéral assouplit la réponse) ; une corde tendue porte des ondes transversales à $\sqrt{T/\rho_\ell}$, la tension tenant lieu de rigidité ; un fluide ne garde que $\lambda$ — son module de compressibilité — et l’unique vitesse du son $\sqrt{\lambda/\rho}$.

![Un plongeoir chargé : contraintes et déformations réparties dans un milieu continu, courbé selon le profil cubique de la poutre encastrée — et un ressort sur le point de restituer son énergie élastique.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/img-5763894027e1.jpg)

*Un plongeoir chargé : contraintes et déformations réparties dans un milieu continu, courbé selon le profil cubique de la poutre encastrée — et un ressort sur le point de restituer son [énergie élastique](#prop-b3-continuum-elasticity-energy).*

## 3.5 Exercices

**Exercice 3.1 ★.**

(a) Vérifier les unités : qu’est-ce qu’un pascal en kg, m, s, et quelle est l’unité de la déformation ? (b) Un câble d’acier travaille à $\sigma =
200\,\mathrm{MPa}$ : calculer sa déformation. (c) Un élastique ($E \approx
2\,\mathrm{MPa}$) est étiré au double de sa longueur : quelle « déformation » est-ce, et pourquoi le cadre de ce chapitre ne s’applique-t-il pas vraiment ? (d) Classer par densité d’[énergie élastique](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) emmagasinée à leur contrainte de service : l’acier à $200\,\mathrm{MPa}$, le caoutchouc à $1\,\mathrm{MPa}$.

**Solution de Exercice 3.1.**

(a) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; la déformation est un nombre pur. (b) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$. (c) Doubler la longueur, c’est $\varepsilon = 1$ : mille fois au-delà du « petit », et la réponse du caoutchouc y est fortement non linéaire (et d’une autre origine, entropique) — la [loi de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) n’ouvre que la courbe. (d) $w =
\sigma^2/2E$ : acier $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) =
1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; caoutchouc $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) =
2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — le matériau souple stocke *davantage* par unité de volume à sa contrainte de service, et c’est pourquoi les lance-pierres sont en caoutchouc et non en acier.

**Exercice 3.2 ★.**

Calculer le [tenseur des déformations](#def-b3-continuum-elasticity-strain) de chaque [champ de déplacement](#def-b3-continuum-elasticity-strain) et décrire la distorsion : (a) $\vect u = \alpha(x, y, z)$ ; (b) $\vect u =
(\gamma y, 0, 0)$ ; (c) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ ; (d) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — quelle expérience le réalise ?

**Solution de Exercice 3.2.**

(a) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$ : [dilatation](#def-b3-continuum-elasticity-strain) isotrope, $\delta V/V = 3\alpha$. (b) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} =
\gamma/2$, le reste nul : cisaillement pur, volume inchangé. (c) $\varepsilon_{ij} = 0$ : rotation en bloc, aucune déformation. (d) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$ : l’essai de traction — allongement selon $x$, contraction de Poisson en travers.

**Exercice 3.3 ★.**

La base d’une colonne de granite de hauteur $h$ supporte la contrainte $\sigma
= \rho gh$. (a) L’obtenir à partir de l’équation d’équilibre avec la pesanteur. (b) Le granite s’écrase vers $200\,\mathrm{MPa}$ : quelle est la colonne la plus haute ? (c) L’Everest fait $8.8\,\mathrm{km}$ : commenter. (d) Pourquoi une montagne peut-elle être un peu plus haute qu’une colonne de sa propre roche (penser à la forme) ?

**Solution de Exercice 3.3.**

(a) Avec la seule $\sigma_{zz}(z)$ et le poids : $\partial_z\sigma_{zz} =
\rho g$ (compression comptée positive vers le bas), $\sigma_{zz} = \rho
gh$ à la base. (b) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g =
2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$. (c) L’Everest est à la limite d’écrasement de sa propre base — les montagnes de la Terre sont aussi hautes que la résistance de la roche le permet, pas davantage. (d) Un cône de hauteur $h$ ne charge sa base que de $\rho gh/3$ (le tiers de la colonne : la masse croît avec la section), si bien qu’un tas en forme de montagne peut tenir environ trois fois plus haut qu’une colonne.

**Exercice 3.4 ★.**

Une barre d’acier ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.30$) est étirée de $\varepsilon = 10^{-3}$. (a) Déformation latérale ? (b) Variation relative de volume ? (c) Pour quel $\nu$ le volume ne changerait-il pas du tout, et quel matériau courant en est proche ? (d) Pourquoi $\nu > 1/2$ est-il impossible (penser à une compression hydrostatique) ?

**Solution de Exercice 3.4.**

(a) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$. (b) $\delta V/V = (1 -
2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$. (c) $\nu = 1/2$ : déformation incompressible — le caoutchouc. (d) Pour $\nu > 1/2$ le module de compressibilité $K =
E/3(1 - 2\nu)$ serait négatif : comprimer de tous côtés *augmenterait* le volume, et le matériau libérerait de l’énergie en s’effondrant — aucun solide stable ne le fait.

**Exercice 3.5 ★★.**

Contrainte circonférentielle. Un cylindre à paroi mince (rayon $R$, épaisseur $t \ll
R$) contient une pression $p$. (a) En équilibrant les forces sur un demi-cylindre de longueur unité, montrer que la paroi porte la contrainte tangentielle $\sigma_\theta = pR/t$. (b) Montrer que la contrainte longitudinale (équilibre sur une section droite) vaut $pR/2t$ : un cylindre est deux fois plus sollicité en circonférence qu’en longueur — dans quel sens éclatent les saucisses ? (c) Une bouteille de plongée : $p =
200\,\mathrm{bar}$, $R = 9\,\mathrm{cm}$, $t = 5\,\mathrm{mm}$ : calculer $\sigma_\theta$ et comparer à une limite d’élasticité de l’acier de $700\,\mathrm{MPa}$. (d) Pourquoi les réservoirs haute pression ont-ils des fonds hémisphériques ?

**Solution de Exercice 3.5.**

(a) Sur un demi-cylindre de longueur unité, la pression pousse de $p
\times 2R$ (aire projetée) et les deux parois coupées retiennent par $2\sigma_\theta t$ : $\sigma_\theta = pR/t$. (b) Sur une section droite, $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$ : $\sigma_z = pR/2t$ — la moitié. Une saucisse éclate *dans la longueur* : la contrainte circonférentielle, plus grande, déchire la peau selon l’axe. (c) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times
0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$ : un facteur $2$ sous la limite d’élasticité — d’où les épreuves de pression et les contrôles périodiques. (d) Une sphère porte $pR/2t$ dans toutes les directions : des fonds hémisphériques divisent la contrainte par deux et évitent les angles où des fonds plats la concentreraient.

**Exercice 3.6 ★★.**

Un bloc de caoutchouc ($E = 3.0\,\mathrm{MPa}$, $\nu \approx 0.5$), de base $10
\times 10\,\mathrm{cm}$ et de hauteur $2\,\mathrm{cm}$, est collé entre deux plaques ; la plaque supérieure est poussée latéralement avec $150\,\mathrm{N}$. (a) Calculer $G$. (b) Contrainte de cisaillement et angle de cisaillement $\gamma = \sigma_{xy}/G$ ; déplacement latéral de la plaque supérieure. (c) Pourquoi $\nu \approx 1/2$ pour le caoutchouc (qu’est-ce qui est difficile et qu’est-ce qui est facile pour un enchevêtrement de chaînes polymères) ? (d) De tels blocs de caoutchouc portent des immeubles entiers en zone sismique : quelle propriété de cet appui protège le bâtiment, la rigidité en compression ou la souplesse en cisaillement ?

**Solution de Exercice 3.6.**

(a) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$. (b) $\sigma_{xy} = F/S =
150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$ ; $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$ ; déplacement $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$. (c) Un réseau de caoutchouc change de *forme* par simple réorientation de ses chaînes (facile), mais changer de *volume* demande de les tasser, aussi difficile que comprimer un liquide : $G \ll K$, d’où $\nu \to 1/2$. (d) La souplesse en cisaillement : l’appui laisse le sol trembler horizontalement au-dessous en ne transmettant que peu de force, tout en restant assez rigide en compression pour porter le poids de l’immeuble.

**Exercice 3.7 ★★.**

Une corde d’escalade, de longueur $L = 20\,\mathrm{m}$, de section $S =
80\,\mathrm{mm}^{2}$, de module effectif $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$. (a) Sa raideur $k = ES/L$. (b) Un grimpeur de $80\,\mathrm{kg}$ chute librement de $4\,\mathrm{m}$ avant que la corde n’agisse : en égalant les énergies, trouver l’allongement maximal de la corde (résoudre l’équation du second degré ; négliger en première approche la chute poursuivie pendant le freinage). (c) En déduire la force maximale et la décélération maximale en $g$. (d) Pourquoi une corde ayant retenu une chute dure doit-elle être réformée (où est passée l’énergie, et que dit la courbe contrainte–déformation) ?

**Solution de Exercice 3.7.**

(a) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. (b) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$ : $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$, $x =
1.3\,\mathrm{m}$. (c) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$ ; décélération $F/m
\approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — la raison pour laquelle les cordes sont délibérément élastiques. (d) Une partie de l’énergie absorbée est passée dans la rupture de fibres et des réarrangements plastiques : la corde se trouve désormais sur une courbe contrainte–déformation dégradée, plus raide et plus faible, et la chute suivante serait plus dure des deux points de vue.

**Exercice 3.8 ★★.**

Torsion. Un fil de rayon $a$, de longueur $L$ et de module de cisaillement $G$ est tordu d’un angle $\theta$. (a) Montrer qu’un tube de rayon $r$ à l’intérieur subit l’angle de cisaillement $\gamma(r) = r\theta/L$. (b) Sa contrainte de cisaillement vaut $G\gamma$ : intégrer $r \times$ contrainte sur la section pour obtenir le couple de rappel $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$. (c) Le $a^4$ : diviser le rayon par deux, et de quel facteur chute la rigidité de torsion ? (d) Cette extrême souplesse explique que Cavendish (1798) ait suspendu sa balance à un fil très fin : pour $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$, $L =
1\,\mathrm{m}$, $G = 40\,\mathrm{GPa}$, calculer $C = \pi Ga^4/2L$ et la période avec un fléau de moment d’inertie $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**Solution de Exercice 3.8.**

(a) Le haut d’un tube de rayon $r$ tourne de l’arc $r\theta$ sur la longueur $L$ : $\gamma = r\theta/L$. (b) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\,
2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$. (c) De $2^4 = 16$. (d) $C =
\pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 =
2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ ; $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/
2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — un quart d’heure par oscillation : assez sensible pour sentir la gravité de sphères de plomb.

**Exercice 3.9 ★★.**

(a) À partir de la démonstration en onde plane de [Proposition 3.10](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), calculer $c_{\text{P}}$ et $c_{\text{S}}$ pour l’acier ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.29$, $\rho =
7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). (b) Comparer $c_{\text{P}}$ à la vitesse dans un barreau mince $\sqrt{E/\rho}$ et expliquer l’écart en une phrase. (c) Pour l’eau ($\mu = 0$, module de compressibilité $2.2\,\mathrm{GPa}$) : la vitesse S et la vitesse P. (d) De quel angle le mouvement de la matière dans une [onde P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) diffère-t-il de celui d’une [onde S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), et comment un sismomètre à trois composantes les distingue-t-il ?

**Solution de Exercice 3.9.**

(a) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$, $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu)
= 107\,\mathrm{GPa}$ : $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} =
5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (b) Le barreau mince donne $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : dans le barreau les flancs se bombent librement (relâchement de Poisson), ce qui assouplit la réponse ; dans le massif la matière environnante l’interdit. (c) $c_{\text{S}} = 0$ ; $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — la vitesse du son dans l’eau. (d) La P déplace le sol selon le rayon (presque vertical pour une source profonde), la S en travers : les trois composantes d’un sismomètre séparent les polarisations, et le retard P/S date ensuite la distance.

**Exercice 3.10 ★★★.**

Flexion. Une poutre est courbée à un rayon de courbure $R$ ; ses fibres intérieures raccourcissent, ses fibres extérieures s’allongent, et une *surface neutre* intermédiaire garde sa longueur. (a) Montrer que la fibre située à la distance $y$ de la surface neutre a la déformation $\varepsilon = y/R$, donc la contrainte $Ey/R$. (b) En sommant les moments sur la section, montrer que le moment fléchissant vaut $M = EI/R$ avec $I = \int y^2\,\dd S$ (le *moment quadratique*) ; calculer $I$ pour un rectangle de largeur $b$ et de hauteur $h$. (c) Le $h^3$ : pourquoi une planche fléchie à plat s’affaisse-t-elle visiblement alors que la même planche de chant paraît rigide ? Calculer le rapport pour $b/h = 5$. (d) Pour une poutre encastrée de longueur $L$ chargée par $F$ à son extrémité, la flèche vaut $\delta = FL^3/3EI$ (admis) : estimer $\delta$ pour un plongeoir ($L = 1.8\,\mathrm{m}$, $b = 50\,\mathrm{cm}$, $h = 3.5\,\mathrm{cm}$, bois $E
= 12\,\mathrm{GPa}$) sous un plongeur de $75\,\mathrm{kg}$, et commenter.

**Solution de Exercice 3.10.**

(a) Un arc au rayon $R + y$ a pour longueur $(R + y)\alpha$ contre $R\alpha$ à la surface neutre : $\varepsilon = y/R$, $\sigma =
Ey/R$. (b) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$ ; pour le rectangle $I = bh^3/12$. (c) À plat : $I = bh^3/12$ ; de chant : $hb^3/12$ — rapport $(b/h)^2 = 25$ pour $b/h = 5$ : même bois, vingt-cinq fois plus rigide, par la seule géométrie. (d) $I = 0.50 \times
0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$, $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\delta =
FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx
7\,\mathrm{cm}$ : exactement le moelleux plaisant d’un plongeoir.

**Exercice 3.11 ★★★.**

Flambage. Une colonne élancée (longueur $L$, rigidité de flexion $EI$), articulée à ses deux extrémités, porte une charge axiale $P$. Supposons qu’elle s’incurve latéralement de $y(x)$. (a) Montrer que la charge exerce alors le moment fléchissant $M(x) = -Py(x)$ autour de l’axe déplacé, donc $EI\,y'' = -Py$. (b) Avec $y(0) = y(L) = 0$, montrer qu’une flèche non nulle devient possible pour la première fois à la charge critique d’Euler $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$. (c) Calculer $P_{\text{c}}$ pour un mètre de menuisier ($b = 3\,\mathrm{cm}$, $h = 1.5\,\mathrm{mm}$, $E = 12\,\mathrm{GPa}$) et comparer à la poussée de votre main. (d) Expliquer à partir de $I$ pourquoi les os, le bambou et les cadres de bicyclette sont des *tubes*.

**Solution de Exercice 3.11.**

(a) Dans la configuration fléchie, la charge axiale $P$ agit avec le bras de levier $y(x)$ sur la section en $x$ : $M = -Py$, et $M = EIy''$ donne $EIy'' = -Py$. (b) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ avec $y(L) = 0$ : un $A$ non nul apparaît pour la première fois à $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$, c’est-à-dire $P_{\text{c}} =
\pi^2EI/L^2$ ; au-dessous, la colonne droite est la seule solution ; au-dessus, fléchir ne coûte plus de force. (c) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 =
8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$ : $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times
8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — le poids d’une pomme : un mètre de menuisier flambe sous un doigt. (d) $I$ croît lorsque la matière s’éloigne de l’axe : un tube place toute sa section aux grands $y$, ce qui maximise $I$ (donc $P_{\text{c}}$) à poids de matière donné — le dessin des os, du bambou et des cadres de bicyclette.

**Exercice 3.12 ★★★.**

La vitesse du son dans un solide, à partir des atomes. Modélisons un solide par des chaînes d’atomes de pas $a$, reliés par des « ressorts » de raideur $\kappa$ ; masse atomique $m$. (a) Montrer que l’étirement de la chaîne se ramène à la traction du milieu continu avec $E = \kappa/a$ (compter les ressorts par unité d’aire, l’allongement par ressort). (b) Montrer que $\rho = m/a^3$ et conclure que $c =
\sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$. (c) Estimer $\kappa$ à partir de la profondeur d’une liaison interatomique ($\sim3\,\mathrm{eV}$ sur $\sim
0.1\,\mathrm{nm}$) : $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; avec $a =
2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ et $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$, estimer $c$. (d) Comparer aux vitesses du son mesurées dans les métaux, et conclure de quoi est faite l’élasticité de tous les jours.

**Solution de Exercice 3.12.**

(a) Une chaîne par aire $a^2$ ; un allongement de déformation $\varepsilon$ étire chaque ressort de $\delta = \varepsilon a$, force $\kappa
\varepsilon a$ par chaîne, contrainte $\kappa\varepsilon/a$ : $E =
\kappa/a$. (b) $\rho = m/a^3$, donc $E/\rho = \kappa a^2/m$ et $c =
a\sqrt{\kappa/m}$. (c) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx
5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (d) Pile sur les quelques km/s mesurés dans les métaux : la rigidité de tout ce qui est solide — et la vitesse de toute onde sismique — est celle de la liaison chimique.

## 3.6 Problème : écouter la Terre

**Problème 3.1.**

Problème du week-end — comment les séismes ont révélé le noyau liquide

Un seul séisme fait sonner la planète entière, et les deux [ondes élastiques](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) de ce chapitre, en la traversant, la radiographient. Ce problème suit la physique depuis la [loi de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) dans le granite jusqu’à la découverte, par Oldham en 1906, que la Terre a un noyau — avec l’estimation de sa taille en rayons rectilignes. On prend pour la roche de la croûte et du manteau $E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; rayon terrestre $R_{\text{E}} =
6371\,\mathrm{km}$.

**Partie I — La roche, solide élastique.**

1. Calculer les coefficients de Lamé $\mu$ et $\lambda$ de cette roche, et observer que $\nu = 1/4$ les rend égaux.
2. Calculer $c_{\text{P}}$ et $c_{\text{S}}$ , et vérifier que $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .
3. Un séisme fait glisser deux faces rocheuses de plusieurs mètres en quelques secondes : estimer la déformation relâchée si un glissement de $2\,\mathrm{m}$ détend la roche sur une échelle de $50\,\mathrm{km}$ , ainsi que la contrainte accumulée.
4. À partir de la densité d’énergie $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ , estimer l’ [énergie élastique](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) par mètre cube, puis l’énergie contenue dans un volume de $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ; comparer à une mégatonne ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
5. Pourquoi l’ [onde S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) secoue-t-elle en général les bâtiments plus fort que l’ [onde P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) (penser à la direction du mouvement du sol pour une onde qui arrive d’en bas) ?
6. Dans laquelle des deux ondes le sol change-t-il de volume ?

**Partie II — Les deux arrivées du sismomètre.**

7. Une station enregistre l’arrivée P, puis l’arrivée S $\Delta t$ plus tard. Pour une source à la distance $d$ (assez courte pour des rayons rectilignes), montrer que $$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} -  \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$$
8. Évaluer le coefficient : combien de kilomètres par seconde de retard S–P ?
9. Une station mesure $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : à quelle distance est le séisme ?
10. Une station donne une distance, non un lieu : combien de stations déterminent l’épicentre, et comment, géométriquement ?
11. Les sirènes d’alerte japonaises retentissent quelques secondes avant la forte secousse : pour un séisme à $80\,\mathrm{km}$ sous une ville, quel préavis le retard P–S fournit-il à lui seul ?
12. Les alertes modernes ajoutent la vitesse de la lumière : l’ [onde P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) détectée près de la source est annoncée par radio en avance sur les deux ondes. Pour une ville à $200\,\mathrm{km}$ de l’épicentre, combien de temps après la rupture l’ [onde S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) arrive-t-elle, et quel préavis peut donner un message radio émis à la première arrivée P, à $20\,\mathrm{km}$ de la source ?

**Partie III — Des ondes qui traversent la planète.**

13. Aux pressions du manteau profond, les modules croissent : les vitesses P atteignent $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ à la base du manteau. En prenant une moyenne grossière $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , combien de temps une [onde P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) met-elle à traverser la Terre en diamètre ?
14. Des stations enregistrent des séismes venus de l’autre côté du globe : que dit la seule existence de ces arrivées sur la Terre profonde (est-elle élastique ? fondue de part en part ?) ?
15. Définir l’angle épicentral $\Delta$ (angle au centre de la Terre entre la source et la station). Pour des rayons rectilignes, montrer que la corde vaut $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ .
16. Évaluer la corde et son temps de trajet rectiligne pour $\Delta = 60^\circ$ à la moyenne $c_{\text{P}} \approx  10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
17. Vers 1900, Oldham remarqua que les [ondes S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) sont enregistrées jusqu’à $\Delta \approx 103^\circ$ puis *disparaissent* : plus de S directe au-delà. Quelle propriété d’une région profonde de la Terre tue les [ondes S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) , et quel état de la matière possède cette propriété ?
18. Au-delà de $103^\circ$ les [ondes P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) ne sont pas absentes mais affaiblies, retardées et déplacées (une « zone d’ombre » jusqu’à $\approx 142^\circ$ ) : pourquoi une région liquide retarde-t-elle et réfracte-t-elle les [ondes P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) sans les arrêter ?
19. Conclure en une phrase sur ce qui siège au centre de la Terre.

**Partie IV — Peser le noyau avec une règle.**

20. Un rayon S rectiligne partant de la source rase le noyau si sa distance minimale au centre égale le rayon du noyau $R_{\text{c}}$ . Montrer que ce rayon rasant atteint la surface à l’angle épicentral $\Delta^* =  2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
21. À partir de $\Delta^* = 103^\circ$ , calculer $R_{\text{c}}$ .
22. La valeur moderne est $3480\,\mathrm{km}$ : calculer votre erreur et en expliquer le *signe* — les vrais rayons se recourbent vers la surface à mesure que la vitesse croît avec la profondeur ; dites si les rayons rectilignes surestiment ou sous-estiment le noyau.
23. En 1936 Inge Lehmann trouva de faibles arrivées P *à l’intérieur* de la zone d’ombre : qu’en a-t-elle conclu sur ce qui siège au sein du noyau liquide ?
24. La graine a un rayon de $1220\,\mathrm{km}$ et elle est solide : proposer l’observation ondulatoire qui pourrait confirmer cette solidité (quelle onde y existe-t-il que le noyau externe interdit ?).
25. Résumer le résultat nommé : deux vitesses d’ [ondes élastiques](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) dans la roche ( $5.8$ et $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), une onde manquante au-delà de $103^\circ$ et une règle donnent un noyau liquide de rayon $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — à $15\%$ près de la valeur moderne $3480\,\mathrm{km}$ , mesurée à travers $6000\,\mathrm{km}$ de roche solide.

**Solution de Problème 3.1.**

**1.** $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ ; $\lambda =
E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ : pour $\nu = 1/4$, $\lambda =
\mu$. **2.** $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700}
= 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} =
3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; rapport $\sqrt3$. **3.** $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$ ; $\sigma =
E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — la « chute de contrainte » mesurée des séismes réels vaut bien quelques MPa. **4.** $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; sur $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$ : $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$, environ trois quarts de mégatonne — un grand séisme. **5.** Venue d’en bas, la P déplace le sol verticalement — les bâtiments sont conçus pour porter des charges verticales ; la S le déplace *horizontalement*, direction dans laquelle ils sont les plus faibles. **6.** L’[onde P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) seule : c’est une onde de compression ; l’[onde S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) est du cisaillement pur, à volume constant. **7.** $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$, $t_{\text{S}} =
d/c_{\text{S}}$ : $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$, que l’on inverse comme indiqué. **8.** $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx
7.9\,\mathrm{km}$ par seconde de retard — les « huit kilomètres par seconde » du sismologue de terrain. **9.** $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$. **10.** Trois en général : chaque station connaît un cercle d’épicentres possibles ; deux cercles se coupent en deux points, le troisième tranche. **11.** $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$, $t_{\text{S}} =
80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$ : environ $10\,\mathrm{s}$ de préavis entre la secousse et le tremblement destructeur. **12.** La S arrive à $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$. La P atteint $20\,\mathrm{km}$ à $3.5\,\mathrm{s}$ ; un message radio est pratiquement instantané, la ville peut donc disposer de près d’une minute de préavis — les systèmes actuels obtiennent des dizaines de secondes. **13.** $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$, soit une vingtaine de minutes. **14.** Que des [ondes élastiques](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) la traversent tout court : la Terre profonde n’est pas fondue de part en part — elle transmet et, les [ondes S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) traversant le manteau, elle cisaille même, comme un solide. **15.** Deux rayons et l’angle $\Delta$ entre eux : la corde vaut $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$. **16.** $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$ ; $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$. **17.** Au-delà de $103^\circ$, tout rayon doit traverser une région centrale profonde ; si cette région est *fluide* ($\mu = 0$), elle ne porte aucune onde de cisaillement : les [ondes S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) y meurent. Les fluides sont l’état de la matière qui ne résiste pas au cisaillement. **18.** Un fluide transmet encore la compression : les [ondes P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) traversent le noyau, mais plus lentement — elles se réfractent donc brutalement à sa frontière, et les rayons déviés laissent une ombre annulaire au lieu d’une coupure nette. **19.** Un noyau liquide siège au centre de la Terre. **20.** La distance minimale de la corde au centre vaut $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$ ; raser signifie $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$, c’est-à-dire $\Delta^* =
2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$. **21.** $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx
3970\,\mathrm{km}$. **22.** $+14\%$ de trop. La vitesse croît avec la profondeur, donc les vrais rayons se recourbent vers la surface : un rayon dont le point le plus profond effleure le noyau ressort sous un angle *plus petit* que la corde rectiligne passant à la même profondeur — si bien qu’à partir des $103^\circ$ observés, l’inversion en rayons rectilignes place le point tangent trop haut, et donc surestime le noyau. **23.** Une faible énergie P à l’intérieur de la zone d’ombre signifie que quelque chose, au sein du noyau liquide, y renvoie des rayons : une *graine* distincte (Lehmann, 1936). **24.** Les ondes de cisaillement n’existent que dans les solides : une [onde P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) convertie en onde de cisaillement dans la graine puis reconvertie (la phase dite PKJKP) prouverait sa solidité — sa détection, longtemps cherchée, en est la preuve admise. **25.** Deux vitesses dans la roche ($5.8$ et $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), une onde manquante au-delà de $103^\circ$ et la géométrie de la corde donnent un noyau liquide de $\approx4000\,\mathrm{km}$ — à $15\%$ de la valeur moderne $3480\,\mathrm{km}$ : la [loi de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke), lue à l’échelle planétaire.