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title: "Le formalisme de la mécanique quantique"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique
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# Chapitre 8 — Le formalisme de la mécanique quantique

Prenez trois filtres polarisants. Deux d’entre eux, croisés à $90^\circ$, bloquent complètement la lumière ; glissez le troisième entre eux à $45^\circ$ et la lumière *passe* — ajouter un obstacle ouvre le chemin. Aucune image des filtres comme tamis ne survit à cette expérience ; ce qui survit, c’est l’algèbre linéaire : la polarisation d’un photon est un *vecteur*, chaque filtre la mesure selon un axe et la projette, et les probabilités sont des carrés de composantes. Ce chapitre installe cette algèbre comme le véritable fondement de la mécanique quantique. Les fonctions d’onde des chapitres précédents n’étaient qu’un costume concret d’un corps plus abstrait : les états sont des vecteurs d’un [espace de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state), les [observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) sont des [opérateurs hermitiens](#def-b3-quantum-formalism-observable), les valeurs mesurées sont des [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable), les probabilités sont des carrés de produits scalaires, et l’évolution est engendrée par le [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Cinq postulats, tous déjà à l’œuvre dans tout ce que nous avons calculé — et, une fois énoncés proprement, assez puissants pour traiter des systèmes qu’aucune onde sur une droite ne saurait décrire : la polarisation du photon, le spin de l’électron, et les neutrinos dont l’identité oscille à la traversée de la Terre.

## 8.1 Les états sont des vecteurs

**Définition 8.1 (Espace des états, kets et crochets).**

Les états d’un système quantique forment un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire — un *espace de Hilbert* $\mathcal H$ (la théorie mathématique est développée dans le volume de mathématiques de troisième année). Un état est un vecteur, noté *ket* $\ket\psi$, normé : $\braket\psi\psi = 1$. Le produit scalaire de deux états est le nombre complexe $\braket\varphi\psi$, antilinéaire à gauche, avec $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$. Dans une base orthonormée $\{\ket{e_i}\}$,

$$
\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad
c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad
\sum_i|c_i|^2 = 1 .
$$

La fonction d’onde des chapitres précédents est la famille des composantes de $\ket\psi$ selon la position : $\psi(x) =
\braket{x}{\psi}$ ; rien n’est perdu, et les systèmes à espace d’états *fini* — impensables comme ondes — deviennent descriptibles.

**Exemple 8.2 (La polarisation du photon : un monde à deux dimensions).**

Un photon lancé selon l’axe $z$ porte un état de polarisation dans un [espace de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state) à *deux* dimensions, de base $\ket H$ (horizontale) et $\ket V$ (verticale). Une lumière polarisée sous l’angle $\theta$ est la superposition

$$
\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,
$$

et la polarisation circulaire est la combinaison complexe $(\ket H \pm
\iu\ket V)/\sqrt2$ : que les coefficients soient complexes n’est pas un ornement mais de la physique. Tout système quantique à deux niveaux — spin, molécule d’ammoniac, bit quantique supraconducteur — est ce même espace vectoriel en habits différents.

![Un état de polarisation vu comme un vecteur : les carrés de ses composantes dans la base d’un analyseur sont les probabilités des issues — la géométrie devenue probabilité.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/fig-77936cd4d481.svg)

*Un état de polarisation vu comme un vecteur : les carrés de ses composantes dans la base d’un analyseur sont les probabilités des issues — la géométrie devenue probabilité.*

## 8.2 Les observables sont des opérateurs

**Définition 8.3 (Observables).**

Une *observable* est un opérateur linéaire $\hat A$ sur $\mathcal H$ qui est *hermitien* : $\braket{\varphi}{\hat A\psi} =
\braket{\hat A\varphi}{\psi}$ pour tous les états (en langage matriciel, $A = A^{*\top}$). Ses *vecteurs propres* et ses *valeurs propres*, $\hat A\ket{a} = a\ket{a}$, portent la physique : les $a$ sont les valeurs mesurables. Cas familiers : la position ($\hat x$ : multiplication par $x$), la quantité de mouvement ($\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$), l’énergie ($\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)$) — et, en deux dimensions, toute matrice hermitienne $2\times2$.

**Théorème 8.4 (Pourquoi hermitien).**

Un [opérateur hermitien](#def-b3-quantum-formalism-observable) a des [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) réelles, et ses vecteurs propres de [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) distinctes sont orthogonaux ; sur les espaces de ce livre ses vecteurs propres forment une base orthonormée de $\mathcal H$ (le *théorème spectral*, démontré en dimension finie dans le volume de mathématiques de deuxième année ; pour les opérateurs non bornés $\hat x$, $\hat p$, $\hat H$ l’énoncé complet relève de la théorie spectrale de troisième année et est admis). Les valeurs mesurées doivent être réelles et les issues discernables doivent être orthogonales : l’hermiticité est exactement la condition pour qu’un opérateur représente une mesure.

**Démonstration partielle.** $a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} =
a^*\braket aa$ : $a$ est réel. Pour $\hat A\ket a = a\ket a$, $\hat A\ket b
= b\ket b$ : $a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat
Ab}{a} = b\braket ba$, donc $(a - b)\braket ba = 0$. ∎

**Exemple 8.5 (Une observable à deux niveaux).**

Sur l’espace de polarisation, dans la base $(\ket H, \ket V)$, considérons

$$
\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} :
$$

hermitienne ; [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$ ; vecteurs propres $(\ket H \pm
\ket V)/\sqrt2$ — les polarisations à $\pm45^\circ$. Mesurer $\hat A$ *signifie* demander « diagonale ou antidiagonale ? », et la base propre est le couple des réponses. Chaque polariseur à $45^\circ$ de l’expérience d’ouverture est cette matrice en verre.

## 8.3 Les postulats

**Théorème 8.6 (Les règles de la mécanique quantique).**

*(P1)* L’état d’un système est un [ket](#def-b3-quantum-formalism-state) normé $\ket\psi$ de son [espace de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state). *(P2)* Toute grandeur mesurable est un [opérateur hermitien](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat A$. *(P3)* Les seuls résultats possibles d’une mesure de $\hat A$ sont ses [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable). *(P4)* Sur un état $\ket\psi$, le résultat $a$ survient avec la probabilité $\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2$ ([règle de Born](#thm-b3-quantum-formalism-postulates) ; pour une [valeur propre](#def-b3-quantum-formalism-observable) dégénérée, on somme les carrés des composantes sur son sous-espace propre). La moyenne d’un grand nombre d’essais vaut $\langle\hat A\rangle =
\bra\psi\hat A\ket\psi$. *(P5)* Immédiatement après une mesure donnant $a$, l’état est la projection (normée) de $\ket\psi$ sur le sous-espace propre de $a$ — la *réduction* : la mesure est une interaction qui laisse le système dans l’état conforme à sa propre réponse. *(P6)* Entre deux mesures, l’état évolue unitairement selon l’équation de Schrödinger $\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 8.7 (Les trois polariseurs, calculés).**

Une lumière verticale rencontre un analyseur croisé à $90^\circ$ : $|\braket
HV|^2 = 0$ — extinction. Insérons un polariseur à $45^\circ$ : l’état $\ket V$ le franchit avec la probabilité $|\braket{45^\circ}{V}|^2 =
\tfrac12$ et se *réduit* à $\ket{45^\circ}$ (P5) ; cet état franchit ensuite l’analyseur horizontal avec la probabilité $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$. Transmission nette $\tfrac14$ au lieu de zéro : le filtre du milieu n’« ouvre pas un trou » — il effectue une mesure, et la réduction reprépare le photon. Aucun tamis classique ne fait cela ; une projection ne fait rien d’autre.

![L’expérience des trois polariseurs vue comme trois mesures successives : projeter, réduire, projeter encore. Un filtre supplémentaire augmente la lumière transmise — impossible pour des tamis, automatique pour des projections.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/fig-5ebbec64b04f.svg)

*L’expérience des trois polariseurs vue comme trois mesures successives : projeter, réduire, projeter encore. Un filtre supplémentaire *augmente* la lumière transmise — impossible pour des tamis, automatique pour des projections.*

**Remarque 8.8 (Ce que la réduction ne permet pas).**

La réduction est instantanée dans le formalisme, et les corrélations quantiques entre particules distantes sont réelles et mesurées — mais aucun *message* ne les chevauche : les résultats d’un détecteur, lus seuls, sont indiscernables de tirages à pile ou face, quoi que l’on fasse au loin. Le hasard quantique est aussi irréductible : la [règle de Born](#thm-b3-quantum-formalism-postulates) donne des probabilités même lorsque l’état est connu *complètement* — il n’y a rien de plus à savoir. Les deux énoncés sont des théorèmes du formalisme, vérifiés avec une grande précision ; le malaise qu’ils inspirent est respectable et a nourri un siècle d’expériences, que la mécanique quantique a toutes gagnées.

## 8.4 Commutateurs et indétermination

**Définition 8.9 (Commutateur ; observables compatibles).**

Le *commutateur* de deux opérateurs est $[\hat A, \hat B] = \hat
A\hat B - \hat B\hat A$. L’exemple fondateur, tiré de $\hat p =
-\iu\hbar\,\dd/\dd x$ :

$$
[\hat x, \hat p] = \iu\hbar .
$$

Deux [observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) sont *compatibles* quand $[\hat A, \hat B] = 0$ : elles admettent alors une base propre commune et peuvent être connues simultanément ; mesurer l’une ne perturbe pas un état bien défini pour l’autre. Un ensemble d’[observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) qui commutent dont la base propre commune est unique (un *ECOC*) est ce que signifie « étiqueter complètement un état » — les étiquettes $(n_1, n_2, n_3)$ de la boîte n’étaient rien d’autre.

**Théorème 8.10 (La relation d’indétermination, en général).**

Dans tout état, les écarts types de deux [observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) vérifient

$$
\Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat
B]\rangle\big| .
$$

Pour $\hat x$ et $\hat p$ : $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ — la relation de Heisenberg, désormais théorème d’algèbre linéaire et non plus argument heuristique. L’incompatibilité est quantitative : la taille du [commutateur](#def-b3-quantum-formalism-commutator) fixe le plancher de la finesse conjointe.

**Démonstration partielle.** Posons $\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle$, $\hat\beta = \hat B -
\langle B\rangle$. L’inégalité de Cauchy–Schwarz du volume de mathématiques de troisième année donne $\Delta A^2\Delta B^2 =
\|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge
|\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2$ ; la partie imaginaire de ce produit vaut $\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle$, et $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$. ∎

**Remarque 8.11 (L’ombre classique).**

Divisez par $\iu\hbar$ et faites $\hbar \to 0$ : les [commutateurs](#def-b3-quantum-formalism-commutator) deviennent les [crochets de Poisson](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) du [Chapitre 2](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#ch-b3-hamiltonian-mechanics), $\{x, p\} =
1$ faisant écho à $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$, et les crochets du moment cinétique calculés là reviendront tels quels, en [commutateurs](#def-b3-quantum-formalism-commutator), au [Chapitre 10](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/10-le-moment-cinetique-quantique#ch-b3-quantum-angular-momentum). La règle de Dirac — le crochet classique multiplié par $\iu\hbar$ — est la façon dont le squelette de la mécanique a survécu à la révolution.

## 8.5 Évolution et conservation

**Proposition 8.12 (Évolution des moyennes ; grandeurs conservées).**

Pour une [observable](#def-b3-quantum-formalism-observable) sans dépendance explicite en temps,

$$
\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t}
 = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle .
$$

Une [observable](#def-b3-quantum-formalism-observable) qui commute avec le [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) est conservée — ses probabilités, et non sa seule moyenne, sont figées ; les symétries livrent de nouveau des lois de conservation, cette fois comme des commutations. Les états stationnaires sont les vecteurs propres de $\hat H$, n’évoluant que par la phase $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ ; une superposition de deux niveaux bat à la fréquence de Bohr $(E_2 - E_1)/h$, comme le montraient déjà les puits du volume de deuxième année.

**Démonstration.** Dérivons $\bra\psi\hat A\ket\psi$ et injectons P6 et sa conjuguée :

$$
\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t}
 = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi
 - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi
 = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle .
\qedhere
$$

∎

**Méthode 8.13 (Mécanique quantique matricielle).**

Pour tout problème à nombre fini de niveaux : (1) choisir une base adaptée à la question (les axes de l’analyseur, les états propres de l’énergie) ; (2) écrire les états en vecteurs colonnes, les [observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) en matrices hermitiennes ; (3) diagonaliser ce que l’on mesure — les [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) sont les issues, les carrés des composantes les probabilités ; (4) faire évoluer les états propres de l’énergie par les phases $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ et les réexprimer dans la base de mesure ; (5) après une mesure, repartir de l’état projeté. Tout le [Problème 8.1](#pb-b3-quantum-formalism-1) est cette recette appliquée à un univers à deux niveaux.

![Trois polariseurs sur une paillasse : chacun est une mesure, qui projette l’état de la lumière sur un axe. En croiser deux et rien ne passe ; en glisser un troisième entre eux, en biais, et la lumière revient — les postulats de ce chapitre, joués sur une table.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/img-345c818e9390.jpg)

*Trois polariseurs sur une paillasse : chacun est une mesure, qui projette l’état de la lumière sur un axe. En croiser deux et rien ne passe ; en glisser un troisième entre eux, en biais, et la lumière revient — les postulats de ce chapitre, joués sur une table.*

## 8.6 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Dans une base orthonormée $(\ket1, \ket2)$, soient $\ket\psi = (2\ket1 +
\iu\ket2)/\sqrt5$ et $\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2$. (a) Vérifier les normalisations. (b) Calculer $\braket\varphi\psi$ et $\braket\psi\varphi$. (c) La probabilité de trouver $\ket\psi$ dans l’état $\ket\varphi$. (d) Construire l’état orthogonal à $\ket\psi$ (à une phase près).

**Solution de Exercice 8.1.**

(a) $(4 + 1)/5 = 1$ et $(1 + 1)/2 = 1$. (b) $\braket\varphi\psi =
(2 - \iu)/\sqrt{10}$ ; $\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}$ : conjugués. (c) $|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2$. (d) Résoudre $\braket\psi\chi = 0$ : $\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5$.

**Exercice 8.2 ★.**

Lesquelles de ces matrices sont hermitiennes, et quelles sont les [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) et les vecteurs propres normés de celles qui le sont ?

$$
\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad
\begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad
\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad
\begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} .
$$

**Solution de Exercice 8.2.**

La première : hermitienne ; $\pm1$ avec $(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2$. La deuxième : hermitienne ; $\pm1$ avec $(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2$. La troisième : non hermitienne (la transposée conjuguée diffère). La quatrième : hermitienne ; $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ donne $1$ et $4$, de vecteurs propres $\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3$ et $\big(\ket1 +
(1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3$.

**Exercice 8.3 ★.**

Une lumière polarisée sous l’angle $\alpha$ rencontre un analyseur d’angle $\beta$. (a) Écrire les deux états dans la base $(\ket H, \ket V)$ et calculer la probabilité de transmission. (b) Retrouver la loi de Malus. (c) Pour un flux de $N$ photons, quelle est la variance du nombre transmis ? (d) Une lumière circulaire $(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2$ sur un analyseur linéaire d’angle quelconque : transmission ? Expliquer l’indépendance du résultat vis-à-vis de l’angle.

**Solution de Exercice 8.3.**

(a) $\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha
= \cos(\beta - \alpha)$ : probabilité $\cos^2(\beta - \alpha)$. (b) L’intensité est $\propto$ au nombre de photons : c’est Malus. (c) Chaque photon est une épreuve indépendante : variance $N\mathcal P(1 - \mathcal P)$ — le bruit lui-même atteste les photons. (d) $|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2
= 1/2$ pour tout $\beta$ : la lumière circulaire ne privilégie aucun axe transverse.

**Exercice 8.4 ★.**

(a) Démontrer $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ en agissant sur une fonction d’essai. (b) Calculer $[\hat x^2, \hat p]$ et $[\hat x, \hat p^2]$. (c) Montrer que $[\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A,
\hat C]$. (d) En déduire $[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ et interpréter : quelle opération classique $[\hat x, \cdot\,]$ imite-t-il ?

**Solution de Exercice 8.4.**

(a) $(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') =
\iu\hbar f$. (b) $[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x$ ; $[\hat x,
\hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p$. (c) Ajouter et retrancher $\hat B\hat A
\hat C$. (d) Récurrence avec (c) : $\iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ — $[\hat x, \cdot]$ agit comme $\iu\hbar\,\partial/\partial p$, l’ombre quantique du [crochet de Poisson](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) avec $x$.

**Exercice 8.5 ★★.**

Mesures successives. Un photon part dans l’état $\ket V$. (a) Il rencontre des polariseurs à $45^\circ$ puis $0^\circ$ (horizontal) : calculer la probabilité de survivre aux deux, la réduction intermédiaire étant explicitée. (b) Remplacer le polariseur du milieu par deux à $30^\circ$ et $60^\circ$ : transmission ? (c) Avec $N - 1$ polariseurs intermédiaires progressant par pas de $90^\circ/N$ : montrer que la probabilité de survie vaut $\cos^{2N}(\pi/2N)$ et l’évaluer pour $N = 2, 5, 20$. (d) La limite $N \to \infty$ fait tourner la polarisation *sans* perte : commenter (cette rotation « de Zénon quantique » est utilisée sur de vrais qubits).

**Solution de Exercice 8.5.**

(a) $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$, réduction, puis $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$ : en tout $\tfrac14$. (b) En les prenant dans l’ordre $60^\circ$, $30^\circ$ (trois pas de $30^\circ$) : $(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42$. (c) Chaque pas de $\pi/2N$ passe avec $\cos^2(\pi/2N)$ : survie $[\cos^2(\pi/2N)]^N
= 0.25$, $0.60$, $0.88$ pour $N = 2, 5, 20$. (d) Quand $N \to \infty$ la survie tend vers $1$ : de nombreuses mesures douces pilotent l’état sur $90^\circ$ sans perte — la mesure employée comme un volant.

**Exercice 8.6 ★★.**

Sur l’espace à deux niveaux, $\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0
\end{pmatrix}$, $\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. (a) Calculer $[\hat A, \hat B]$ : compatibles ? (b) L’état est $\ket1$ : donner la statistique des issues d’une mesure de $\hat B$, puis d’une mesure de $\hat A$ *après* qu’une mesure de $\hat B$ a donné $+1$. (c) Mesurer d’abord $\hat A$ (issue $+1$), puis $\hat B$, puis $\hat A$ de nouveau : avec quelle probabilité la dernière mesure de $\hat A$ *contredit*-elle la première ? (d) Qu’aurait impliqué un [commutateur](#def-b3-quantum-formalism-commutator) nul pour (c) ?

**Solution de Exercice 8.6.**

(a) $[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}
\neq 0$ : incompatibles. (b) $\hat B$ sur $\ket1$ : $+1$ avec certitude, sans réduction nécessaire ; $\hat A$ donne ensuite $\pm1$ avec la probabilité $\tfrac12$ chacun. (c) Après $\hat A \to +1$ l’état est $(\ket1 + \ket2)/\sqrt2$ ; $\hat B$ le réduit à $\ket1$ ou $\ket2$ (chacun $\tfrac12$) ; dans les deux cas la mesure finale de $\hat A$ donne $\pm1$ avec la probabilité $\tfrac12$ : contradiction avec la probabilité $\tfrac12$. (d) Des [observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) qui commutent partagent leurs états propres : la mesure intermédiaire ne perturberait pas, et la répétition concorderait avec certitude.

**Exercice 8.7 ★★.**

(a) Pour l’état gaussien de [Exercice 7.1](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/7-lequation-de-schrodinger-a-trois-dimensions#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-1) restreint à une dimension, calculer $\Delta x$ et $\Delta p$ (utiliser la paire de Fourier ou intégrer) et vérifier l’égalité dans la relation de Heisenberg. (b) Quels états saturent le théorème général d’indétermination (énoncer la condition tirée du cas d’égalité de Cauchy–Schwarz) ? (c) Un électron confiné à $\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}$ : échelle d’énergie cinétique minimale ? (d) Même question pour une bille ($10\,\mathrm{g}$) localisée au micron : conclure.

**Solution de Exercice 8.7.**

(a) $\Delta x = \sigma$ et $\Delta p = \hbar/2\sigma$ (la transformée de Fourier d’une gaussienne de largeur $\sigma$ a la largeur $1/2\sigma$ en $k$) : produit exactement $\hbar/2$. (b) Égalité dans Cauchy–Schwarz : $\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi$ avec un rapport imaginaire pur — pour $x, p$ cette équation différentielle n’a que des solutions gaussiennes. (c) $\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E \sim
\Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV}$ — les atomes sont des machines à électronvolts parce que ce sont des boîtes de l’ordre de l’ångström. (d) $\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : rien, jamais.

**Exercice 8.8 ★★.**

(a) À partir de [Proposition 8.12](#prop-b3-quantum-formalism-evolution), retrouver le couple d’Ehrenfest pour $\hat x$ et $\hat p$ avec $\hat H = \hat
p^2/2m + V$. (b) Montrer que la parité $\hat\Pi$ ($\hat\Pi\psi(x) =
\psi(-x)$) est hermitienne, de carré l’identité, et de [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$. (c) Montrer que $[\hat H, \hat\Pi] = 0$ pour un potentiel symétrique et conclure que les niveaux non dégénérés ont une parité déterminée. (d) Quel fait observé sur les niveaux d’un double puits symétrique cela explique-t-il (rappeler le doublet de l’ammoniac du volume de deuxième année) ?

**Solution de Exercice 8.8.**

(a) $[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m$ et $[\hat H, \hat p] =
\iu\hbar V'(\hat x)$ donnent $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle
p\rangle/m$, $\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle$. (b) Un changement de variable dans le produit scalaire montre l’hermiticité ; $\hat\Pi^2 = \mathbb 1$ impose les [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$. (c) $V(-x) =
V(x)$ rend $\hat H$ aveugle à la parité ; un état propre non dégénéré doit alors être aussi état propre de $\hat\Pi$ : pair ou impair. (d) Le doublet quasi dégénéré du double puits symétrique : un état pair, un état impair — la paire d’inversion de l’ammoniac, séparée par effet tunnel, qui rayonne à $24\,\mathrm{GHz}$.

**Exercice 8.9 ★★.**

Un ECOC à l’œuvre. Dans la boîte carrée à deux dimensions, le niveau $E
\propto 5$ est engendré par $\ket{1,2}$ et $\ket{2,1}$. (a) Montrer que l’énergie seule n’étiquette pas les états. (b) Soit $\hat S$ l’échange $x
\leftrightarrow y$ : montrer que $\hat S$ est hermitien, commute avec $\hat
H$, et trouver ses états propres dans le niveau. (c) Vérifier que le couple $(\hat H, \hat S)$ étiquette de façon unique chaque état de ce niveau. (d) Donner la morale générale : une dégénérescence signifie que le jeu d’étiquettes n’était pas encore complet, et la symétrie fournit l’étiquette manquante.

**Solution de Exercice 8.9.**

(a) Les deux états partagent $E$ : annoncer l’énergie laisse deux possibilités. (b) $\hat S$ échange les étiquettes : hermitien, de carré l’identité, il commute avec le $\hat H$ symétrique ; dans le niveau, ses états propres sont $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2$ de [valeurs propres](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$. (c) $(E, +)$ et $(E, -)$ : étiquettes uniques. (d) Une dégénérescence est une adresse incomplète ; la symétrie qui la cause fournit aussi le chiffre manquant.

**Exercice 8.10 ★★★.**

Indétermination énergie–temps, honnêtement. Pour toute [observable](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat A$, définissons le temps d’évolution $\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat
A\rangle/\dd t|$ — le temps qu’il faut à la moyenne pour se déplacer d’un écart type. (a) À partir de [Théorème 8.10](#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty) et de [Proposition 8.12](#prop-b3-quantum-formalism-evolution), démontrer que $\Delta
E\;\tau_A \ge \hbar/2$. (b) Pourquoi n’est-ce *pas* une indétermination entre deux [observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) (qu’est-ce que le temps, dans le formalisme) ? (c) Appliquer à un état atomique excité de durée de vie $10\,\mathrm{ns}$ : largeur de raie. (d) Appliquer à votre montre : à quel point l’énergie d’un système peut-elle être définie si quelque chose y change visiblement chaque seconde ?

**Solution de Exercice 8.10.**

(a) $\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat
A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|$ ; diviser. (b) Le temps est un paramètre de la théorie, non un opérateur : la relation borne la *vitesse* à laquelle toute grandeur mesurable peut évoluer, à dispersion d’énergie donnée. (c) $\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ : une largeur naturelle de quelques mégahertz. (d) Un changement visible par seconde n’exige que $\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J}$ — pour des énergies macroscopiques, aucune contrainte : les montres peuvent battre.

**Exercice 8.11 ★★★.**

Démonstration du théorème d’indétermination. Avec $\hat\alpha, \hat\beta$ comme dans le texte : (a) justifier $\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2$ à l’aide de l’hermiticité ; (b) appliquer Cauchy–Schwarz et scinder $\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}$ en parties hermitienne et antihermitienne, en les identifiant aux moyennes de l’anticommutateur et du [commutateur](#def-b3-quantum-formalism-commutator) ; (c) conclure et dites quand l’égalité a lieu ; (d) montrer que pour $[\hat A, \hat B] = \iu\hbar$ aucun état ne peut être vecteur propre de l’une des deux [observables](#def-b3-quantum-formalism-observable) tout en gardant les deux écarts finis — et réconcilier avec les ondes planes.

**Solution de Exercice 8.11.**

(a) $\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} =
\Delta A^2$ par hermiticité de $\hat\alpha$. (b) $\braket{\hat\alpha
\psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha,
\hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle$ : le premier terme est réel (partie hermitienne), le second imaginaire pur. (c) $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ donne le théorème ; l’égalité demande des vecteurs proportionnels *et* une moyenne d’anticommutateur nulle. (d) Un état propre de $\hat A$ a $\Delta A = 0$, ce qui impose $0 \ge \hbar/2$ : impossible pour des états normalisables. Les ondes planes n’y « parviennent » qu’en étant des idéalisations non normalisables hors de l’[espace de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state).

**Exercice 8.12 ★★★.**

La marmite surveillée. Un système à deux niveaux part dans $\ket1$ et son [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) y entretient une oscillation de type Rabi : après le temps $t$ l’état est $\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2$ (on l’admet). (a) Sans aucune mesure, quand le transfert vers $\ket2$ est-il complet ? (b) Mesurons « dans quel état ? » aux instants $T/N, 2T/N, \dots$ avec $T =
\pi/2\omega$ : montrer que la probabilité de trouver le système *encore* dans $\ket1$ à chaque contrôle vaut $[\cos^2(\pi/2N)]^N$. (c) L’évaluer pour $N = 1, 4, 20, 100$ et montrer qu’elle tend vers $1$ : l’observation fréquente gèle l’évolution (l’effet Zénon quantique, observé sur des ions piégés en 1990). (d) Expliquer en une phrase quel postulat produit ce gel.

**Solution de Exercice 8.12.**

(a) À $\omega t = \pi/2$, c’est-à-dire $t = T$. (b) À chaque contrôle l’état a tourné de $\pi/2N$ ; il est trouvé dans $\ket1$ avec $\cos^2(\pi/2N)$ et *se réduit à nouveau* à $\ket1$ ; les contrôles sont indépendants, d’où le produit. (c) $0$, $0.53$, $0.88$, $0.98$ : assez surveillée, la marmite ne bout jamais. (d) Le postulat de projection (P5) : chaque observation ramène l’évolution à sa ligne de départ.

![Le congrès Solvay de 1927 (photographie de Benjamin Couprie, domaine public) : les personnes qui ont bâti les postulats de ce chapitre, réunies dans une même pièce — et se disputant encore, cette semaine-là, sur le sens de la mesure.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/img-d8bbe6da071f.jpg)

*Le congrès Solvay de 1927 (photographie de Benjamin Couprie, domaine public) : les personnes qui ont bâti les postulats de ce chapitre, réunies dans une même pièce — et se disputant encore, cette semaine-là, sur le sens de la mesure.*

## 8.7 Problème : les neutrinos changent de costume en vol

**Problème 8.1.**

Problème du week-end — oscillations à deux niveaux à travers la Terre

Les neutrinos naissent dans les réactions nucléaires comme états de *saveur* — neutrino électronique $\ket{\nu_e}$ ou neutrino muonique $\ket{\nu_\mu}$ — mais ils *se propagent* comme états propres de l’énergie (de la masse) $\ket{\nu_1},
\ket{\nu_2}$. Les deux bases ne coïncident pas : elles sont tournées l’une par rapport à l’autre d’un *angle de mélange* $\theta$,

$$
\ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} ,
\qquad
\ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} .
$$

La découverte que les neutrinos *oscillent* de ce fait entre saveurs en vol — et ont donc une masse — a valu le prix Nobel 2015. Ce problème obtient l’effet sans rien d’autre que ce chapitre. Un neutrino ultrarelativiste de quantité de mouvement $p$ et de masse $m_i$ a l’énergie $E_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E +
m_i^2c^4/2E$.

**Partie I — Mise en place du formalisme.**

1. Vérifier que si $(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2})$ est orthonormée, $(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu})$ l’est aussi.
2. Pourquoi la base de propagation doit-elle être la base propre de l’ *énergie* , quelle que soit la base de naissance du neutrino ? (Quel postulat régit le vol libre ?)
3. Un neutrino muonique naît à $t = 0$ . Écrire $\ket{\psi(0)}$ dans la base de masse.
4. Écrire $\ket{\psi(t)}$ , chaque composante de masse portant sa phase $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ .
5. Montrer qu’une phase *globale* est sans importance et mettre $\eu^{-\iu E_1t/\hbar}$ en facteur : seule la phase *relative* $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ mène la physique.
6. Exprimer $E_2 - E_1$ en fonction de $\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2$ et de $E$ , pour des neutrinos ultrarelativistes.

**Partie II — La formule d’oscillation.**

7. Calculer l’amplitude $\braket{\nu_e}{\psi(t)}$ .
8. Montrer que la probabilité d’apparition vaut $$\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) =  \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .$$ (Utiliser $2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$.)
9. Vérifier les deux limites de contrôle : $\theta = 0$ et $m_1 = m_2$ . Que prouve donc toute oscillation observée ?
10. Avec $t \approx L/c$, montrer que $$\mathcal P = \sin^2(2\theta)\,  \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,$$ et définir la longueur d’oscillation $L_{\text{osc}} =  4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4$.
11. Montrer que la probabilité de survie vaut $\mathcal P_{\nu_\mu \to  \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e}$ : où l’unitarité a-t-elle servi ?
12. Pourquoi l’oscillation ne mesure-t-elle que $\Delta m^2$ , jamais les masses elles-mêmes ?

**Partie III — Lire les expériences.** Des neutrinos muoniques atmosphériques ($E \approx 1\,\mathrm{GeV}$) pleuvent sur un détecteur par le haut ($L \approx 15\,\mathrm{km}$) et par le bas, à travers la Terre ($L \approx 12\,800\,\mathrm{km}$). Super-Kamiokande (1998) a trouvé le flux venu d’en bas réduit de moitié, celui venu d’en haut intact.

13. Avec $\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , montrer la forme commode $\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\,  \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]}  {E\,[\mathrm{GeV}]}$ .
14. Si l’oscillation doit être *bien développée* à $L =  12\,800\,\mathrm{km}$ mais *négligeable* à $15\,\mathrm{km}$ pour $E = 1\,\mathrm{GeV}$ , encadrer grossièrement $\Delta m^2c^4$ .
15. La valeur mesurée est $\Delta m^2c^4 \approx  2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ : calculer la longueur d’oscillation à $1\,\mathrm{GeV}$ et la confronter aux deux trajets.
16. La réduction par le bas est proche de $1/2$ , non de $0$ : montrer qu’ *en moyennant* $\sin^2$ sur de nombreuses longueurs d’oscillation (et sur les énergies) on obtient $\tfrac12\sin^22\theta$ , et en déduire que le mélange atmosphérique est presque *maximal* ( $\theta \approx 45^\circ$ ).
17. Que donne $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ pour la seule masse la plus lourde si la plus légère est négligeable — et comparer à la masse de l’électron : à quel point les neutrinos sont-ils étrangement légers ?
18. Les antineutrinos de réacteur ont $E \approx 4\,\mathrm{MeV}$ . À l’aide de la même formule en $1.27$ , montrer qu’un trajet d’un à deux kilomètres est accordé à l’écart de $2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ (l’expérience Daya Bay), tandis que $L \approx 180\,\mathrm{km}$ (KamLAND) est accordé au plus petit écart « solaire » $7.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ — vérifier les deux numériquement.

**Partie IV — Ce que cela signifie.**

19. Le Soleil émet des $\nu_e$ ; pendant des décennies les détecteurs n’en comptèrent qu’un tiers de la prédiction. Expliquer le « problème des neutrinos solaires » et sa résolution, en une phrase chacun.
20. Pourquoi les oscillations ont-elles imposé la conclusion que les neutrinos *ont une masse* , contre la comptabilité initiale du modèle standard ?
21. Un système quantique qui maintient sa cohérence de phase sur $12800$ kilomètres : que dit cela de la faiblesse des interactions des neutrinos, et pourquoi le détecteur doit-il être énorme ?
22. La saveur est une [observable](#def-b3-quantum-formalism-observable) : pourquoi son opérateur ne commute-t-il pas avec le [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) libre, et quelle loi de conservation n’est donc *pas* disponible pour la saveur (alors que l’énergie et la quantité de mouvement restent conservées) ?
23. La nature a trois saveurs et trois masses : pourquoi le traitement à deux niveaux décrit-il néanmoins si bien chaque expérience ? (Penser à la hiérarchie des deux $\Delta m^2$ et à celui que chaque trajet résout.)
24. Dans le formalisme de ce chapitre, nommer exactement les ingrédients qui ont produit l’oscillation : quel désaccord de bases, quel postulat, quelle phase.
25. Résumer le résultat nommé : un angle de rotation voisin de $45^\circ$ et un écart $\Delta m^2c^4 =  2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ font disparaître un neutrino muonique du GeV avec une longueur d’oscillation de $\sim1000\,\mathrm{km}$ — de l’algèbre linéaire à deux niveaux, confirmée à travers le corps de la Terre.

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** Une rotation envoie un couple orthonormé sur un couple orthonormé : $\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta +
\sin\theta\cos\theta = 0$. **2.** P6 : le vol libre est engendré par $\hat H$, dont les états propres évoluent de façon autonome par des phases — quelle que soit la base choisie par la production. **3.** $\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1}
+ \cos\theta\ket{\nu_2}$. **4.** $\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar}
\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}$. **5.** Les phases globales disparaissent de tout $|\braket\cdot\cdot|^2$ : on garde $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$. **6.** $E_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E$. **7.** $\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar}
\sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1)$. **8.** $|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu
\Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2)$. **9.** Pas de mélange, ou pas d’écart de masse : pas d’oscillation. Toute oscillation observée prouve $\theta \neq 0$ *et* $m_1 \neq
m_2$ — les neutrinos pèsent. **10.** Substituer $\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE$ ; $L_{\text{osc}}$ rend l’argument égal à $\pi$. **11.** Les deux probabilités de saveur sont des carrés de composantes dans une base orthonormée pour un état normé : leur somme vaut $1$ — l’unitarité de l’évolution a conservé la norme. **12.** Seule la phase *relative* est [observable](#def-b3-quantum-formalism-observable), et elle contient $E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2$ : les masses absolues se compensent. **13.** $\dfrac{L}{4\hbar cE}$ dans les unités indiquées : $10^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times
10^{9}) = 1.27$ par $\mathrm{eV}^{2}$. **14.** Bien développée par le bas : $1.27\,\Delta m^2 \times 12800
\gtrsim 1$, soit $\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ ; négligeable par le haut : $1.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1$, soit $\ll
5 \times 10^{-2}$ : quelque part entre $10^{-4}$ et $10^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}$. **15.** $L_{\text{osc}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx
990\,\mathrm{km}$ à $1\,\mathrm{GeV}$ : les $15\,\mathrm{km}$ sont intacts, les $12\,800\,\mathrm{km}$ font treize longueurs entières — exactement le motif observé. **16.** Sur de nombreuses longueurs et une dispersion d’énergies, $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ : suppression $\tfrac12\sin^22
\theta$ ; la moitié mesurée impose $\sin^22\theta \approx 1$, $\theta \approx 45^\circ$ — la nature a choisi le mélange maximal. **17.** $m_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}$ : dix millions de fois plus léger que l’électron — la matière la plus légère connue, et personne ne sait encore pourquoi. **18.** Daya Bay : $1.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004
\approx 1.2$ — de l’ordre de un, accordé ; KamLAND : $1.27 \times
7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3$ — de l’ordre de un pour l’écart solaire : chaque trajet est un interféromètre réglé sur un $\Delta m^2$. **19.** Le problème : un tiers seulement des $\nu_e$ prédits par le Soleil arrivaient. La résolution : les deux tiers manquants arrivent sous d’autres saveurs, vers lesquelles les $\nu_e$ ont tourné (SNO a compté le total et innocenté le Soleil). **20.** L’oscillation exige $\Delta m^2 \neq 0$ : au moins un neutrino est massif — la première physique de laboratoire au-delà du modèle standard originel. **21.** Une cohérence de phase sur $10^7$ mètres signifie que pratiquement *rien* n’a interagi en chemin : des sections efficaces si petites qu’il faut des kilotonnes d’eau pour en attraper une poignée — d’où les cinquante mille tonnes de Super-Kamiokande. **22.** Les opérateurs de saveur sont diagonaux dans la base de saveur, qui n’est pas la base d’énergie : $[\hat H, \text{saveur}] \neq 0$ — la saveur n’est tout simplement pas une grandeur conservée du vol libre, alors que l’énergie et la quantité de mouvement le sont. **23.** Les deux écarts diffèrent d’un facteur trente : à un $L/E$ donné, une oscillation est active et l’autre est soit gelée soit entièrement moyennée — chaque expérience voit un système effectif à deux niveaux. **24.** Base de production $\neq$ base de propagation (la rotation $\theta$) ; P6 fournit les deux phases ; la [règle de Born](#thm-b3-quantum-formalism-postulates) change la phase relative en probabilité. **25.** $\theta \approx 45^\circ$ et $\Delta m^2c^4 =
2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ donnent à un neutrino muonique du GeV une longueur d’oscillation voisine de $1000\,\mathrm{km}$ : de l’algèbre linéaire à deux niveaux, vérifiée à travers la planète, et un prix Nobel pour la disparition de la moitié d’un flux.