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title: "L’oscillateur harmonique quantique"
book: "Physique universitaire — 3e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/9-loscillateur-harmonique-quantique
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# Chapitre 9 — L’oscillateur harmonique quantique

Presque rien dans la nature n’est exactement un oscillateur harmonique, et presque tout en est un approximativement : tout système écarté d’un équilibre stable — la liaison d’une molécule, un atome dans un cristal, un pont, un mode du champ électromagnétique — ressent une force de rappel proportionnelle à l’écart, parce que tout potentiel régulier est une parabole au fond de son puits. Qui résout une fois l’oscillateur quantique résout donc les petites vibrations du monde entier. Ce chapitre le résout dans le style algébrique devenu la signature de la mécanique quantique : deux [opérateurs d’échelle](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) montent et descendent un escalier parfaitement régulier de niveaux $\big(n +
\tfrac12\big)\hbar\omega$, la demi-marche du bas — l’[énergie de point zéro](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum) — étant un théorème et non une option. Les conséquences vont de la raison pour laquelle l’hélium ne gèle jamais à la façon dont une molécule de dioxyde de carbone, sonnant à son propre $\hbar\omega$, intercepte la chaleur qui quitte la Terre.

## 9.1 L’échelle

**Définition 9.1 (Opérateurs d’échelle).**

Pour $\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2$, introduisons le couple sans dimension et non hermitien

$$
\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x +
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad
\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x -
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .
$$

À partir de $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ :

$$
[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad
\hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad
\hat N = \hat a^\dagger\hat a .
$$

$\hat N$ est hermitien ; ses [valeurs propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) compteront des *quanta*, et $\hat a$, $\hat a^\dagger$ — les opérateurs d’*annihilation* et de *création* — en retireront et en ajouteront un.

**Théorème 9.2 (Le spectre, par la seule algèbre).**

Les [valeurs propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) de $\hat H$ sont exactement

$$
E_n = \Big(n + \tfrac12\Big)\hbar\omega , \qquad n = 0, 1, 2, \dots
$$

— une échelle infinie de marches égales $\hbar\omega$ au-dessus d’un niveau fondamental qui n’est *pas* nul : l’*[énergie de point zéro](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum)* $\tfrac12\hbar\omega$. Les états propres normés $\ket n$ sont reliés par

$$
\hat a\ket n = \sqrt n\,\ket{n - 1} , \qquad
\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1} ,
\qquad
\ket n = \frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\,\ket0 .
$$

**Démonstration.** D’après le [commutateur](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-commutator), $\hat N\hat a = \hat a(\hat N - 1)$ : si $\ket\nu$ a pour $\hat N$ la [valeur propre](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) $\nu$, alors $\hat a\ket\nu$ est un vecteur propre de valeur $\nu - 1$ (ou le vecteur nul). Chaque descente n’est permise que tant que $\nu \ge 0$, puisque $\nu = \braket{\nu}{\hat
N\nu} = \|\hat a\ket\nu\|^2 \ge 0$ ; la descente doit donc s’interrompre, et elle ne s’interrompt que sur un état vérifiant $\hat a\ket{\nu_0}
= 0$, d’où $\nu_0 = 0$. Ainsi $\nu$ parcourt les entiers positifs ou nuls. Les normalisations découlent de $\|\hat a\ket n\|^2 = n$ et de $\|\hat a^\dagger\ket n\|^2 = n + 1$. ∎

![L’échelle de l’oscillateur : des marches égales , gravies par a et descendues par a, reposant sur un plancher situé une demi-marche au-dessus de l’énergie de masse classique.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-d09e9e127826.svg)

*L’échelle de l’oscillateur : des marches égales $\hbar\omega$, gravies par $\hat a^\dagger$ et descendues par $\hat a$, reposant sur un plancher situé une demi-marche au-dessus de l’[énergie de masse](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/5-dynamique-relativiste#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) classique.*

**Proposition 9.3 (Les états dans l’espace).**

L’état fondamental est la gaussienne

$$
\varphi_0(x) = \Big(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Big)^{1/4}
\eu^{-m\omega x^2/2\hbar} ,
$$

obtenue en résolvant l’équation du *premier ordre* $\hat a\varphi_0
= 0$ ; elle sature l’inégalité de Heisenberg, $\Delta x\,\Delta p =
\hbar/2$, avec $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$. L’application répétée de $\hat a^\dagger$ engendre $\varphi_n$ : un polynôme de degré $n$ (à $n$ nœuds) multiplié par la même gaussienne. Pour $n$ grand, $|\varphi_n|^2$ oscille rapidement autour de la distribution classique des temps de séjour, maximale près des points de rebroussement — le principe de correspondance en image.

**Démonstration partielle.** $\hat a\varphi_0 = 0$ s’écrit $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x
\varphi_0$ : la gaussienne, normée. Saturation : la gaussienne est le cas d’égalité de [Théorème 8.10](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty). La structure polynomiale découle de ce que $\hat a^\dagger$ est du premier ordre en $x$ et $\dd/\dd x$ ; l’énoncé sur les grands $n$ est vérifié dans [Exercice 9.12](#exo-b3-harmonic-oscillator-12). ∎

![À gauche : les densités de probabilité les plus basses (décalées verticalement) : une gaussienne sans nœud, puis n nœuds pour _n. À droite : aux grands n la densité quantique oscille autour de la distribution classique, qui s’accumule aux points de rebroussement où la masse oscillante s’attarde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-e33f2603084f.svg)

*À gauche : les densités de probabilité les plus basses (décalées verticalement) : une gaussienne sans nœud, puis $n$ nœuds pour $\varphi_n$. À droite : aux grands $n$ la densité quantique oscille autour de la distribution classique, qui s’accumule aux points de rebroussement où la masse oscillante s’attarde.*

## 9.2 L’énergie de point zéro est réelle

**Remarque 9.4 (Pourquoi le plancher ne peut pas être plus bas).**

Un état d’énergie nulle exigerait $\langle\hat p^2\rangle =
\langle\hat x^2\rangle = 0$ : parfaitement immobile *et* parfaitement centré, ce qu’interdit $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$. L’état fondamental est le meilleur compromis que l’inégalité autorise, et $\tfrac12\hbar\omega$ en est le loyer. Ce n’est pas une constante de comptabilité : le mouvement de point zéro brouille les diagrammes de diffraction des rayons X au zéro absolu ; il donne aux isotopes plus légers des liaisons effectives plus faibles (H$_2$ et D$_2$ se dissocient à des énergies mesurablement différentes depuis le même puits électronique) ; et dans l’hélium il est si violent — atomes légers, attraction faible — que le liquide ne gèle *jamais* sous sa propre pression de vapeur : le seul élément encore liquide au zéro absolu, qui ne se solidifie qu’avec l’aide de 25 atmosphères.

**Exemple 9.5 (Échelles de ℏω\hbar\omegaℏω).**

Liaison du monoxyde de carbone ($\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) : $\hbar\omega =
0.27\,\mathrm{eV}$, dix fois le $k_{\text{B}}T$ ambiant — les vibrations moléculaires sont gelées dans l’air de tous les jours, ce qui explique que les capacités thermiques des gaz diatomiques aient intrigué le dix-neuvième siècle. Un pendule ($\omega = 5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) : $\hbar\omega = 3 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}$, désespérément hors de portée — la limite de correspondance. Un miroir de LIGO de $40\,\mathrm{kg}$, suspendu de façon à osciller à $100\,\mathrm{Hz}$, a comme mode d’oscillateur l’amplitude de point zéro $\Delta x =
\sqrt{\hbar/2m\omega} \approx 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — et l’observatoire résout couramment des déplacements *à* ce plancher quantique : le mouvement de point zéro d’un objet de quarante kilogrammes est désormais une contrainte d’ingénierie ([Exercice 9.3](#exo-b3-harmonic-oscillator-3)).

## 9.3 États cohérents : le visage classique de l’oscillateur quantique

**Définition 9.6 (États cohérents).**

Un *état cohérent* $\ket\alpha$ est un vecteur propre de l’[opérateur d’annihilation](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder), $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$, avec $\alpha$ complexe quelconque. Développé sur l’échelle,

$$
\ket\alpha = \eu^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty
\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,\ket n :
$$

le nombre de quanta suit une loi de Poisson de moyenne $\langle\hat
N\rangle = |\alpha|^2$ et d’écart $\Delta N = |\alpha|$.

**Proposition 9.7 (Pourquoi les lasers sont classiques).**

Un [état cohérent](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) est la gaussienne de l’état fondamental déplacée dans l’[espace des phases](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) ; sous l’évolution de l’oscillateur il *reste* cohérent, $\alpha(t) = \alpha\,\eu^{-\iu\omega t}$ : son centre exécute exactement le mouvement classique, $\langle\hat x\rangle(t) =
x_0\cos\omega t + \cdots$, tandis que ses largeurs restent à jamais minimales, $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ — un paquet d’ondes qui ne s’étale jamais. Les [états cohérents](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) sont la façon dont un oscillateur quantique se fait passer pour un oscillateur classique ; la lumière d’un laser est un [état cohérent](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) d’un mode du champ, son nombre de photons poissonien (le *bruit de grenaille* de tout photodétecteur), son champ oscillant comme Maxwell l’a dit.

**Démonstration partielle.** Le développement s’obtient en écrivant $\ket\alpha = \sum c_n\ket n$ dans $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$ : $c_n = \alpha c_{n-1}/\sqrt
n$. Évolution : chaque $\ket n$ acquiert $\eu^{-\iu(n + 1/2)\omega t}$, ce qui se resomme en un [état cohérent](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) de $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (à une phase globale près). $\langle\hat x\rangle \propto
\operatorname{Re}\alpha(t)$ d’après $\hat x \propto \hat a +
\hat a^\dagger$. Que l’état soit la gaussienne déplacée est admis ici. ∎

![Portrait dans l’espace des phases (à comparer au ) : l’état fondamental est une tache d’indétermination minimale à l’origine ; un état cohérent est la même tache déplacée, tournant à sans se déformer — la meilleure imitation d’une oscillation classique que la mécanique quantique sache produire.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-67dd5dc274c9.svg)

*Portrait dans l’[espace des phases](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) (à comparer au [Chapitre 2](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#ch-b3-hamiltonian-mechanics)) : l’état fondamental est une tache d’indétermination minimale à l’origine ; un [état cohérent](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) est la même tache déplacée, tournant à $\omega$ sans se déformer — la meilleure imitation d’une oscillation classique que la mécanique quantique sache produire.*

**Méthode 9.8 (Algèbre de l’oscillateur).**

(1) Exprimer ce qui est demandé en $\hat a$, $\hat a^\dagger$ : $\hat x
= \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p =
\iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (2) Faire passer les $\hat a$ à droite avec $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ ; utiliser $\hat a\ket0 = 0$. (3) Éléments de matrice : $\hat x$ ne relie que des barreaux voisins — la règle de sélection $\Delta n = \pm1$ de la spectroscopie vibrationnelle. (4) Tout [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) quadratique (oscillateurs couplés, circuits, modes du champ) se diagonalise en échelles indépendantes : trouver d’abord les [modes propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes), puis quantifier chacun. (5) Les nombres d’abord : $\hbar\omega$ comparé à $k_{\text{B}}T$ décide du caractère quantique ou classique du système avant toute algèbre.

## 9.4 Exercices

**Exercice 9.1 ★.**

(a) Vérifier $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ à partir de $[\hat x, \hat p] =
\iu\hbar$. (b) Vérifier $\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a +
\tfrac12)$ par développement direct. (c) Inverser pour exprimer $\hat x$ et $\hat p$. (d) Montrer que $\hat N$ est hermitien et expliquer pourquoi $\hat a$ seul ne saurait être une observable.

**Solution de Exercice 9.1.**

(a) En développant, les termes en $\hat x^2$ et $\hat p^2$ se compensent entre $\hat a\hat a^\dagger$ et $\hat a^\dagger\hat a$, et il ne reste que le terme $(m\omega/2\hbar)(-2\iu/m\omega)[\hat x, \hat p] =
(-\iu/\hbar)(\iu\hbar) = 1$. (b) $\hat a^\dagger\hat a = (m\omega\hat x^2/2\hbar) +
(\hat p^2/2m\hbar\omega) - \tfrac12$ : multiplier par $\hbar\omega$. (c) $\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p
= \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (d) $\hat
N^\dagger = \hat a^\dagger\hat a = \hat N$ ; $\hat a$ n’est pas hermitien, et ses « [valeurs propres](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/8-le-formalisme-de-la-mecanique-quantique#def-b3-quantum-formalism-observable) » $\alpha$ sont complexes — aucun appareil de mesure ne les renvoie.

**Exercice 9.2 ★.**

Sur l’état propre $\ket n$ : (a) montrer que $\langle\hat x\rangle =
\langle\hat p\rangle = 0$ ; (b) calculer $\langle\hat x^2\rangle$ et $\langle\hat p^2\rangle$ ; (c) en déduire $\Delta x\,\Delta p = (n +
\tfrac12)\hbar$ ; (d) vérifier le rapport du viriel $\langle E_k\rangle =
\langle E_p\rangle$.

**Solution de Exercice 9.2.**

(a) $\hat x$ et $\hat p$ décalent $n$ de $\pm1$ : les éléments diagonaux s’annulent. (b) $\langle\hat x^2\rangle = (\hbar/2m\omega)(2n + 1)$, $\langle\hat p^2\rangle = (m\hbar\omega/2)(2n + 1)$ (les termes en $\hat
a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a$). (c) $\Delta x\Delta p
= (n + \tfrac12)\hbar$ : seul l’état fondamental est minimal. (d) Les deux moyennes valent $E_n/2$ : l’équipartition de l’oscillateur classique, niveau par niveau.

**Exercice 9.3 ★.**

Amplitudes de point zéro $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$ : les calculer pour (a) la molécule CO ($\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\omega =
4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), en comparaison de la longueur de liaison $0.11\,\mathrm{nm}$ ; (b) un atome d’hydrogène dans un solide ($m =
1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $\hbar\omega = 0.1\,\mathrm{eV}$) ; (c) un miroir de LIGO ($m = 40\,\mathrm{kg}$, $f = 100\,\mathrm{Hz}$) ; (d) classer les trois en fractions de la taille de leur système et dites qui est « quantique ».

**Solution de Exercice 9.3.**

(a) $\Delta x = 3.4\,\mathrm{pm}$ : trois pour cent de la liaison — une molécule est un objet légèrement flou même à température nulle. (b) $14\,\mathrm{pm}$, plus d’un dixième d’ångström : l’hydrogène est l’atome le plus flou de tout cristal, ce que la diffusion de neutrons voit directement. (c) $4.6 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — vingt-cinq ordres sous la taille du miroir, et pourtant la lecture de LIGO l’atteint. (d) En proportion : molécule $3\%$, hydrogène $\sim15\%$, miroir $\sim10^{-19}$ : « quantique » ne veut pas dire petit mais dépend de $\hbar\omega$ face à tout le reste — et pourtant, avec assez de finesse, même quarante kilogrammes montrent leur plancher.

**Exercice 9.4 ★.**

(a) À l’aide des relations d’échelle, calculer $\bra m\hat x\ket n$ et montrer qu’il s’annule sauf si $m = n \pm 1$. (b) En déduire la règle de sélection vibrationnelle $\Delta n = \pm1$ pour l’absorption de lumière (le couplage est $\propto\hat x$). (c) Pourquoi une molécule hétéronucléaire (CO) absorbe-t-elle l’infrarouge alors que N$_2$ ne le fait pas ? (d) Les molécules réelles montrent de faibles raies « harmoniques » vers $\approx 2\hbar\omega$ : que révèle cela sur le potentiel ?

**Solution de Exercice 9.4.**

(a) $\bra m\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\sqrt n\,
\delta_{m,n-1} + \sqrt{n + 1}\,\delta_{m,n+1})$. (b) L’interaction avec la lumière $\propto\hat x$ ne peut franchir qu’un barreau : $\Delta n =
\pm1$, une fréquence infrarouge par mode. (c) La vibration de CO module un dipôle non nul ; le nuage de charge symétrique de N$_2$ n’en produit aucun quelle que soit l’élongation : inactif dans l’infrarouge. (d) Les harmoniques n’existent que parce que le vrai potentiel n’est pas exactement quadratique : l’anharmonicité mélange les barreaux et autorise faiblement $\Delta n = 2$ — et resserre les barreaux hauts, comme le montrent les spectres réels.

**Exercice 9.5 ★★.**

(a) Résoudre $\hat a\varphi_0 = 0$ comme équation différentielle et normaliser. (b) Engendrer $\varphi_1$ et $\varphi_2$ en appliquant $\hat a^\dagger$. (c) Vérifier $\varphi_1 \perp \varphi_0$ par la seule parité. (d) Tracer les trois densités et vérifier le nombre de nœuds.

**Solution de Exercice 9.5.**

(a) $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x\varphi_0$ : la gaussienne normée du texte. (b) $\varphi_1 \propto x\eu^{-m\omega
x^2/2\hbar}$ ; $\varphi_2 \propto (2m\omega x^2/\hbar -
1)\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}$. (c) $\varphi_0$ paire, $\varphi_1$ impaire : l’intégrande du recouvrement est impaire. (d) Zéro, un, deux nœuds — le théorème d’oscillation en miniature.

**Exercice 9.6 ★★.**

Un avant-goût de Boltzmann. Un ensemble d’oscillateurs identiques à la température $T$ occupe le niveau $n$ avec la probabilité $\propto
\eu^{-E_n/k_{\text{B}}T}$ (volume de deuxième année, facteur de Boltzmann). (a) Montrer que le nombre quantique moyen vaut $\langle n\rangle =
1/(\eu^{\hbar\omega/k_{\text{B}}T} - 1)$. (b) L’évaluer pour la vibration de CO à $300\,\mathrm{K}$ puis à $2000\,\mathrm{K}$. (c) Montrer que l’énergie moyenne tend vers $k_{\text{B}}T$ à haute température (équipartition retrouvée) et vers $\tfrac12\hbar\omega$ à basse. (d) À quelle température une vibration à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (la flexion du dioxyde de carbone) porte-t-elle $\langle n\rangle = 0.1$ ?

**Solution de Exercice 9.6.**

(a) Avec $x = \hbar\omega/k_{\text{B}}T$ : $\langle n\rangle =
\sum n\eu^{-nx}/\sum\eu^{-nx} = 1/(\eu^x - 1)$. (b) CO à $300\,\mathrm{K}$ : $x = 10.4$, $\langle n\rangle \approx 3 \times 10^{-5}$ — gelé ; à $2000\,\mathrm{K}$ : $x = 1.57$, $\langle n\rangle = 0.26$ — le réveil. (c) $\langle E\rangle = \hbar\omega(\langle n\rangle +
\tfrac12) \to k_{\text{B}}T$ pour $x \ll 1$ ; $\to \tfrac12\hbar
\omega$ pour $x \gg 1$. (d) $\eu^x = 11$ : $x = 2.4$, $T =
\hbar\omega/2.4k_{\text{B}} \approx 400\,\mathrm{K}$ — l’atmosphère terrestre maintient la flexion du dioxyde de carbone partiellement allumée.

**Exercice 9.7 ★★.**

Statistique des [états cohérents](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent). (a) À partir du développement de $\ket\alpha$, montrer que $\mathcal P(n)$ est poissonien de moyenne $|\alpha|^2$. (b) Montrer que $\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2$ et $\Delta N = |\alpha|$. (c) Un laser de $1\,\mathrm{mW}$ à $633\,\mathrm{nm}$ : photons par seconde, et fluctuation relative $\Delta N/\langle N\rangle$ en une seconde. (d) Bruit de grenaille : montrer que le rapport bruit sur signal du photocourant décroît comme $1/\sqrt{\langle N\rangle}$ — pourquoi les faisceaux intenses paraissent lisses.

**Solution de Exercice 9.7.**

(a) $\mathcal P(n) = |c_n|^2 = \eu^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!$ : loi de Poisson. (b) Moyenne et variance d’une loi de Poisson valent toutes deux $|\alpha|^2$. (c) $3.2 \times 10^{15}$ photons par seconde ; $\Delta N/\langle N\rangle =
1/\sqrt{\langle N\rangle} \approx 1.8 \times 10^{-8}$. (d) Le photocourant hérite de la dispersion de Poisson : bruit sur signal $\propto 1/\sqrt N$ — le plancher de bruit de grenaille, audible en lumière faible, négligeable en lumière intense.

**Exercice 9.8 ★★.**

Évolution d’un [état cohérent](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent). (a) Appliquer les phases d’évolution au développement et montrer que l’on obtient $\ket{\alpha(t)}$ avec $\alpha(t) =
\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (à une phase globale près). (b) En déduire $\langle\hat x\rangle(t)$ et $\langle\hat p\rangle(t)$ et comparer à la solution classique. (c) Pourquoi un état propre de l’énergie, quoique stationnaire, ne décrit-il *pas* un pendule qui oscille — quelle propriété de l’[état cohérent](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) le fait ? (d) Estimer $|\alpha|$ pour un pendule réel ($10\,\mathrm{g}$, $10\,\mathrm{cm}$ d’amplitude, $1\,\mathrm{Hz}$) et commenter.

**Solution de Exercice 9.8.**

(a) Chaque terme gagne $\eu^{-\iu n\omega t}$ (phase globale mise à part) : la somme est de nouveau cohérente, avec $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$. (b) $\langle\hat x\rangle = \sqrt{2\hbar/m\omega}\,
\operatorname{Re}\,\alpha(t)$ : un pur cosinus à $\omega$, d’amplitude et de phase fixées par $\alpha$ — exactement classique. (c) La densité d’un état propre ne bouge jamais ; le pendule que nous voyons est une superposition cohérente de nombreux barreaux dont les phases conspirent pour osciller. (d) $E
\approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$, $\hbar\omega \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}$ : $n
\sim 3 \times 10^{30}$, $|\alpha| \sim 2 \times 10^{15}$ — le mouvement macroscopique est de la cohérence à nombres quantiques astronomiques.

**Exercice 9.9 ★★.**

Le circuit LC quantique. Une boucle supraconductrice de $L =
10\,\mathrm{nH}$ et $C = 0.4\,\mathrm{pF}$ fait osciller charge et flux comme $x$ et $p$. (a) Sa fréquence de résonance (volume de première année) et le quantum $\hbar\omega$ en $\text{µ}\mathrm{eV}$. (b) Au-dessous de quelle température a-t-on $k_{\text{B}}T \ll \hbar\omega$, de sorte que le circuit siège dans son état fondamental ? (c) Pourquoi les qubits supraconducteurs fonctionnent-ils dans des réfrigérateurs à dilution à $20\,\mathrm{mK}$ ? (d) La fluctuation de tension de point zéro $\Delta V = \Delta q/C$ avec $\Delta q =
\sqrt{\hbar\omega C/2}$ : l’évaluer.

**Solution de Exercice 9.9.**

(a) $\omega = 1/\sqrt{LC} = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f =
2.5\,\mathrm{GHz}$) ; $\hbar\omega = 10\,\text{µ}\mathrm{eV}$. (b) $\hbar\omega/k_{\text{B}} = 0.12\,\mathrm{K}$ : bien au-dessous de $100\,\mathrm{mK}$ environ. (c) À $20\,\mathrm{mK}$, l’excitation thermique vaut $\eu^{-6} \sim 2 \times 10^{-3}$ : le circuit siège dans $\ket0$, prêt à être un qubit — la température ambiante enfouirait le quantum sous $10^3$ quanta thermiques. (d) $\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2} =
5.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (quelques charges élémentaires) ; $\Delta V = \Delta q/C
\approx 1.4\,\text{µ}\mathrm{V}$ de ronflement irréductible.

**Exercice 9.10 ★★★.**

Van der Waals à partir du mouvement de point zéro. Modélisons deux atomes neutres distants de $R$ par deux oscillateurs dipolaires identiques (charge $e$, masse $m$, pulsation $\omega_0$) dont les écarts sont couplés par l’énergie dipolaire $\lambda\,x_1x_2$ avec $\lambda = e^2/2\pi\varepsilon_0R^3$. (a) Montrer que les coordonnées normales $(x_1 \pm x_2)/\sqrt2$ oscillent à $\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1 \pm \lambda/m\omega_0^2}$. (b) L’énergie fondamentale vaut $\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_-)$ : développer au second ordre en $\lambda$ et montrer que l’énergie d’interaction est

$$
\Delta E = -\frac{\hbar\lambda^2}{8m^2\omega_0^3}
\ \propto\ -\frac{1}{R^6} .
$$

(c) Pourquoi cette attraction est-elle universelle — présente entre des atomes dépourvus de tout dipôle permanent ? (d) La loi en $1/R^6$ est la force de van der Waals des corrections de gaz réel du volume de première année : qu’est-ce qui, microscopiquement, « fluctue » — et qu’adviendrait-il de cette force dans un monde où $\hbar = 0$ ?

**Solution de Exercice 9.10.**

(a) En coordonnées normales, le [hamiltonien](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/2-mecanique-hamiltonienne#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) se scinde en deux oscillateurs avec $m\omega_\pm^2 = m\omega_0^2 \pm \lambda$. (b) $\sqrt{1 + u} + \sqrt{1 - u} \approx 2 - u^2/4$ : $\Delta E =
\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_- - 2\omega_0) =
-\hbar\omega_0\lambda^2/8m^2\omega_0^4 =
-\hbar\lambda^2/8m^2\omega_0^3$, et $\lambda \propto 1/R^3$ donne $1/R^6$. (c) Elle n’exige aucun dipôle permanent — seulement les *fluctuations* de point zéro du nuage de charge de chaque atome, que le couplage corrèle de sorte que l’attraction l’emporte sur la répulsion. (d) La grandeur qui fluctue est le dipôle instantané de l’état fondamental ; avec $\hbar = 0$ cet état serait immobile et sans dipôle, et la colle de van der Waals — geckos, gaz liquéfiés, une bonne part de la matière molle — disparaîtrait.

**Exercice 9.11 ★★★.**

Bandes latérales d’un ion piégé. Un ion dans un piège harmonique ($f =
1\,\mathrm{MHz}$) absorbe la lumière d’un laser. Comme l’ion bouge, son spectre d’absorption montre la raie électronique à $\nu_0$ flanquée de raies à $\nu_0 \pm f$ : des transitions qui changent le nombre quantique *de mouvement* de $\mp1$ en même temps que le nombre électronique. (a) Que vaut $\hbar\omega_{\text{piège}}$ en $\mathrm{neV}$, et pourquoi résoudre les bandes latérales demande-t-il une raie très fine ? (b) Exciter la raie $\nu_0 - f$ retire un quantum de mouvement par cycle : expliquer le *refroidissement par bande latérale* jusqu’à l’état fondamental. (c) Une fois $\langle n\rangle \approx
0$, la bande latérale basse disparaît entièrement — pourquoi cette asymétrie prouve-t-elle que l’état fondamental quantique est atteint ? (d) C’est ainsi que l’état fondamental de mouvement d’un atome unique — et, par d’autres moyens, celui des miroirs de LIGO à l’échelle du kilogramme — est certifié : dites quelle « température » l’ion a atteinte pour $f = 1\,\mathrm{MHz}$ et $\langle n\rangle = 0.05$.

**Solution de Exercice 9.11.**

(a) $hf = 4.1\,\mathrm{neV}$ : la raie optique doit être plus fine qu’un mégahertz — seules des transitions « d’horloge » à longue durée de vie conviennent. (b) Un photon de bande latérale rouge excite l’ion électroniquement en *retirant* un quantum de mouvement ; la désexcitation qui suit rend l’énergie électronique à la fréquence porteuse en moyenne : chaque cycle extrait $\hbar\omega_{\text{piège}}$ de mouvement. (c) Depuis $n = 0$ il n’y a plus rien à retirer : la disparition de la bande latérale rouge est un certificat sans bruit de fond de l’état fondamental. (d) $\langle n\rangle = 0.05$ : $T = \hbar\omega/k_{\text{B}}\ln21
\approx 16\,\text{µ}\mathrm{K}$.

**Exercice 9.12 ★★★.**

La limite classique, quantitativement. Un oscillateur classique d’amplitude $A$ passe dans $[x, x + \dd x]$ la fraction $\dd
t/T = \dd x/\pi\sqrt{A^2 - x^2}$. (a) Obtenir cette distribution des temps de séjour. (b) Pour l’état quantique $n$, tirer $A_n$ de $E_n =
\tfrac12 m\omega^2A_n^2$ et comparer la distribution classique au $|\varphi_n|^2$ moyenné localement (qui est donné) : où s’accordent-ils et où doivent-ils différer ? (c) Montrer que l’écart relatif entre niveaux voisins, $\Delta E/E$, s’annule comme $1/n$ : l’énergie devient effectivement continue. (d) Pour le pendule de [Exercice 9.8](#exo-b3-harmonic-oscillator-8)(d), estimer $n$ et $\Delta
E/E$, et conclure l’argument de correspondance en une phrase.

**Solution de Exercice 9.12.**

(a) $\dd t = \dd x/|v|$ avec $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$, sur la demi-période $T/2 = \pi/\omega$. (b) Ils s’accordent en moyenne locale dans la région classiquement permise ; ils doivent différer aux points de rebroussement (divergence classique, pics quantiques finis) et au-delà (queues quantiques dans la région interdite). (c) $\Delta E/E = 1/(n +
\tfrac12)$. (d) $n \sim 3 \times 10^{30}$ : un espacement d’une part sur $10^{30}$ — aucune mesure concevable ne résout l’échelle, et la mécanique paraît continue.

## 9.5 Problème : la molécule qui réchauffe la Terre

**Problème 9.1.**

Problème du week-end — l’échelle quantique du dioxyde de carbone et l’effet de serre

Une molécule de dioxyde de carbone est une chaîne linéaire O=C=O : quelques oscillateurs quantifiés. Que le $\hbar\omega$ de son mode de flexion tombe justement au milieu de la lueur thermique que la Terre émet vers l’espace explique pourquoi ce gaz-trace — quatre molécules sur dix mille — gouverne le climat de la planète. Données : nombre d’onde de flexion $\tilde\nu_2 = 667\,\mathrm{cm}^{-1}$ (l’unité du spectroscopiste : $E = hc\tilde\nu$, $1\,\mathrm{cm}^{-1} =
1.24 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$) ; élongation antisymétrique $\tilde\nu_3 =
2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ ; élongation symétrique $\tilde\nu_1 =
1388\,\mathrm{cm}^{-1}$ ; $k_{\text{B}}T$ à $288\,\mathrm{K}$ vaut $24.8\,\mathrm{meV}$ ; loi de Wien (volume de deuxième année) : $\lambda_{\max}T =
2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$.

**Partie I — Les modes d’une molécule linéaire.**

1. Trois atomes ont neuf [degrés de liberté](https://one-course.com/books/physics/5/fr/chapter/1-mecanique-lagrangienne#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) : combien sont des translations de la molécule entière, combien des rotations (la molécule est *linéaire* ), et combien de vibrations restent-ils ?
2. Décrire les quatre vibrations : élongation symétrique, élongation antisymétrique, et une flexion deux fois dégénérée — pourquoi la flexion vient-elle en double ?
3. La lumière se couple à un *dipôle électrique* vibrant ( [Exercice 9.4](#exo-b3-harmonic-oscillator-4) ). Quels modes de O=C=O modulent le moment dipolaire, et lequel est muet dans l’infrarouge ?
4. Convertir les trois nombres d’onde en longueurs d’onde de photon, et les situer : lesquelles sont dans l’infrarouge thermique ?
5. Pourquoi les deux gaz principaux de l’air, N $_2$ et O $_2$ , n’absorbent-ils pratiquement aucun infrarouge — et avec quelle conséquence pour la transparence de l’atmosphère ?
6. La vapeur d’eau, coudée et dipolaire, absorbe sur une grande part de l’infrarouge : dans quelle « fenêtre » spectrale la flexion du dioxyde de carbone opère-t-elle largement seule (comparer $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ aux fortes bandes de l’eau au-dessous de $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ et au-dessus de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) ?

**Partie II — L’échelle quantique de la flexion.**

7. Calculer $\hbar\omega_2$ en meV, ainsi que l’échelle $E_n$ .
8. Quelle fraction des molécules occupe $n = 1$ à $288\,\mathrm{K}$ (relativement à $n = 0$ , facteur de Boltzmann) ? Et $n = 2$ ?
9. Quelle longueur d’onde de photon provoque $n = 0 \to 1$ ? Pourquoi la *même* longueur d’onde domine-t-elle l’émission ?
10. Justifier, à partir de l’échelle harmonique, qu’une seule longueur d’onde serve toute l’échelle ( $n \to n + 1$ pour tout $n$ ) : quelle propriété de l’espacement des niveaux joue ?
11. La molécule tourne aussi, ce qui ajoute une structure fine : la signature à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ est en réalité une *bande* large d’environ $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Pourquoi la *largeur* de bande importe-t-elle pour un gaz à effet de serre (penser à ce qui arrive une fois le centre de bande opaque) ?
12. Un CO $_2$ vibrationnellement excité dans l’air a bien plus de chances de perdre son quantum par collision que par rayonnement (durée de vie radiative $\sim1\,\mathrm{s}$ , temps entre collisions $\sim10^{-9}\,\mathrm{s}$ ) : où passe réellement l’énergie rayonnante absorbée ?
13. Inversement, l’air à $288\,\mathrm{K}$ entretient une population thermique dans $n = 1$ (question 8) : que fait cette population, qui importe au bilan énergétique ?

**Partie III — Le grand livre radiatif de la planète.**

14. Le Soleil rayonne comme un corps à $5800\,\mathrm{K}$ : calculer son pic de Wien. La flexion du CO $_2$ intercepte-t-elle beaucoup de lumière solaire ?
15. Le sol rayonne comme un corps à $288\,\mathrm{K}$ : calculer son pic de Wien, et situer $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur cette courbe thermique.
16. Expliquer le mécanisme de l’effet de serre en quatre phrases : le soleil entre, l’infrarouge thermique sort, l’interception à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ , la réémission vers le haut *et* vers le bas.
17. La part de la réémission qui s’échappe vers l’espace provient de couches hautes et froides ( $\sim220\,\mathrm{K}$ ) : pourquoi émettre depuis une couche plus froide réduit-il la puissance sortante de la planète à ces longueurs d’onde (rappeler que l’émission thermique croît avec $T$ ) ?
18. Davantage de CO $_2$ pousse la couche émettrice plus haut et plus froid : dites en une phrase pourquoi la surface doit alors se réchauffer pour rééquilibrer les comptes.
19. Le centre de bande est déjà opaque ; l’effet du CO $_2$ ajouté agit dans les *ailes* de la bande, d’où une croissance logarithmique du forçage avec la concentration : relier cela à la question 11.

**Partie IV — Les isotopes : l’empreinte quantique.**

20. La fréquence d’un oscillateur varie comme $\sqrt{k/\mu}$ : pour l’élongation antisymétrique, remplacer le $^{12}$ C par du $^{13}$ C change la masse effective ; la raie observée passe de $2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ à environ $2283\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Vérifier l’ordre de grandeur de ce décalage de $\approx 3\%$ à partir des masses.
21. Des lasers accordés sur ces deux raies comptent séparément le $^{13}$ CO $_2$ et le $^{12}$ CO $_2$ dans un échantillon de gaz : expliquer pourquoi l’échelle quantifiée rend possible une telle détection résolue en isotopes.
22. Les plantes préfèrent l’isotope léger, si bien que le carbone fossile est pauvre en $^{13}$ C : qu’a fait le rapport isotopique mesuré du CO $_2$ atmosphérique à mesure que sa concentration montait — et que prouve cela sur la *source* du gaz ajouté ?
23. La même physique à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ opère sur Vénus ( $96\%$ de CO $_2$ , $90\,\mathrm{bar}$ ) : qu’illustre sa surface à $737\,\mathrm{K}$ ?
24. Mars aussi respire du CO $_2$ presque pur, mais à $6\,\mathrm{mbar}$ , et elle est glaciale : que démontre le trio Vénus–Terre–Mars sur la variable qui contrôle l’intensité de l’effet ?
25. Résumer le résultat nommé : un quantum de $83\,\mathrm{meV}$ — le $\hbar\omega$ d’une molécule triatomique qui se plie — garé à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur le spectre thermique d’une planète à $288\,\mathrm{K}$ , absorbé, thermalisé en quelques nanosecondes puis réémis depuis des altitudes froides, est le mécanisme par lequel $0.04\%$ de l’air fixe la température de la Terre.

**Solution de Problème 9.1.**

**1.** Trois translations ; *deux* rotations (tourner autour de l’axe moléculaire ne déplace rien) ; $9 - 5 = 4$ vibrations. **2.** Des modes d’élongation le long de l’axe (symétrique : les deux O s’écartent ensemble ; antisymétrique : le C fait la navette entre eux) ; la flexion peut se produire dans l’un ou l’autre de deux plans perpendiculaires — même fréquence, dégénérescence double. **3.** L’élongation antisymétrique et les flexions écartent les centres de charge : dipôle oscillant, actif dans l’infrarouge. L’élongation symétrique maintient le dipôle de la molécule nul en permanence : muette dans l’infrarouge. **4.** $15.0$, $4.26$ et $7.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : toutes dans l’infrarouge ; $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ se situe au cœur de l’infrarouge *thermique* des températures terrestres. **5.** Les molécules homonucléaires n’acquièrent jamais de dipôle en vibrant : l’essentiel de l’atmosphère est transparent à l’infrarouge, et tout l’effet de serre repose sur des gaz polyatomiques à l’état de traces. **6.** Entre les bandes de l’eau s’ouvre la fenêtre $8$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; la bande à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ du dioxyde de carbone opère à son bord, là où l’eau ne concurrence que faiblement — le gaz garde une porte que l’eau laisse entrouverte. **7.** $\hbar\omega_2 = 667 \times 1.24 \times 10^{-4} =
82.7\,\mathrm{meV}$ ; $E_n = (n + \tfrac12) \times 82.7\,\mathrm{meV}$. **8.** $\eu^{-82.7/24.8} = \eu^{-3.33} \approx 3.6\%$ dans $n =
1$ ; $0.13\%$ dans $n = 2$ : l’échelle est faiblement, mais en permanence, allumée. **9.** $\lambda = hc/\hbar\omega \to 15.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; le même espacement qui absorbe est celui qui émet — une longueur d’onde dans les deux sens. **10.** L’espacement est constant : chaque pas $n \to n + 1$ coûte le même photon, si bien qu’une seule raie dessert toute la population thermique. **11.** Chaque raie vibrationnelle se scinde en de nombreuses raies de rotation-vibration étalées sur $\sim1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : une fois le centre de bande totalement opaque, seule cette *largeur* offre une absorption neuve — les ailes de la bande sont l’endroit où le gaz supplémentaire agit encore. **12.** Les collisions l’emportent de neuf ordres de grandeur : l’énergie du photon est partagée avec N$_2$ et O$_2$ en quelques nanosecondes — le rayonnement absorbé devient de la *chaleur de l’air*. **13.** Par les mêmes collisions jouées à l’envers, l’air réalimente sans cesse des molécules dans $n = 1$, lesquelles rayonnent à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ dans toutes les directions — y compris vers le *bas* : le ciel lui-même luit dans l’infrarouge au niveau du sol. **14.** $2898/5800 = 0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : le rayonnement solaire culmine dans le visible, loin de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — le dioxyde de carbone laisse entrer le Soleil. **15.** $2898/288 = 10.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : la lueur de la Terre culmine à dix microns, et $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ se trouve sur son large flanc, portant une part substantielle de la puissance sortante. **16.** Le rayonnement solaire entre presque sans entrave et chauffe le sol. Le sol réémet dans l’infrarouge thermique. À $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ce rayonnement est absorbé en quelques mètres et thermalisé. L’air chauffé réémet vers le haut et vers le bas, et la moitié dirigée vers le bas est un revenu supplémentaire pour la surface : elle doit se réchauffer jusqu’à ce que les dépenses égalent les recettes. **17.** L’émission croît fortement avec la température : le rayonnement qui s’échappe d’une altitude à $220\,\mathrm{K}$ emporte bien moins de puissance que ce que la surface aurait envoyé directement — la bande est une zone plus terne du spectre sortant de la planète. **18.** La puissance sortante étant réduite à ensoleillement constant, toute la colonne — surface comprise — doit se réchauffer jusqu’au rééquilibrage des comptes. **19.** Centre saturé, ailes actives : chaque doublement du gaz élargit la région opaque d’un incrément comparable, d’où un forçage à peu près logarithmique — les ailes de la question 11 font le travail. **20.** Le carré de la fréquence d’élongation antisymétrique varie comme $(1/m_{
\text{O}} + 2/m_{\text{C}})$ : le rapport du $^{13}$C au $^{12}$C vaut $\sqrt{0.2163/0.2292} = 0.971$ — une baisse de $2.9\%$, conforme à $2283/2349$. **21.** La quantification donne à chaque isotopologue son propre peigne de raies fines ; un laser posé sur un peigne ne compte qu’un isotope — impossible si l’absorption était un continuum classique. **22.** À mesure que le CO$_2$ montait, sa fraction de $^{13}$C *baissait* (l’effet Suess) : le carbone ajouté est isotopiquement léger — fabriqué par des plantes, longtemps enfoui, c’est-à-dire fossile. L’atmosphère porte la signature de sa source. **23.** Vénus : le même quantum à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$, appliqué à une colonne $200000$ fois plus épaisse, maintient une surface plus chaude qu’un four — le mécanisme n’a aucun plafond intrinsèque. **24.** Mars, au CO$_2$ presque pur et pourtant glaciale, montre que ce sont *la quantité de la colonne et la pression* (qui élargit les raies), et non la fraction du gaz, qui fixent l’intensité. **25.** Un quantum de $83\,\mathrm{meV}$ à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$, absorbé sur le flanc thermique d’une planète à $288\,\mathrm{K}$, thermalisé en quelques nanosecondes, réémis depuis des altitudes froides : l’échelle de l’oscillateur harmonique, pesée face à la loi de Wien, est la machinerie par laquelle quatre molécules sur dix mille gouvernent un climat.