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title: "क्वांटम कोणीय संवेग"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum
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# अध्याय 10 — क्वांटम कोणीय संवेग

किसी रेडियो दूरदर्शी को आकाश के किसी अँधेरे टुकड़े की ओर कीजिए और उसे $115\,\mathrm{GHz}$ पर सुर में लाइए: एक चमकीली, सुई-सी तीखी रेखा प्रकट होती है — कार्बन मोनोऑक्साइड के अणु, परम शून्य से दस केल्विन ऊपर, *घूर्णन* अवस्थाओं की किसी सीढ़ी का एक पायदान उतरते हुए। उनका लुढ़कना, क्वांटम यांत्रिकी की हर घूमती वस्तु की तरह, दो बार क्वांटीकृत है: कोणीय संवेग का परिमाण केवल $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ हो सकता है, और किसी भी चुनी हुई अक्ष के अनुदिश उसका घटक केवल $m\hbar$। यह अध्याय वही दुहरा क्वांटन निकालता है — एक बार बीजगणितीय ढंग से, उन क्रमविनिमेयकों से जो [अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics) के प्वासों कोष्ठकों से उत्तराधिकार में मिले, और एक बार ठोस ढंग से, उन गोलीय संनादियों के रूप में जो हर परमाणु-कक्षक को आकार देते हैं। बीजगणित हमें माँगे से अधिक दे देगा: वह ऐसे अर्ध-पूर्णांक मान भी अनुमत करता है जिन्हें कोई कक्षकीय गति साकार नहीं कर सकती — एक रिक्ति, जिसे प्रकृति यहाँ से दो अध्याय आगे चक्रण से भर देती है। रास्ते में हम अणुओं की घूर्णन-सीढ़ियों से मिलते हैं — वे मिलीमीटर-तरंग रेखाएँ, जिनसे खगोलविद मंदाकिनियों की ठंडी गैस तौलते हैं — और उन चुंबकीय आघूर्णों से भी जिनके द्वारा कोणीय संवेग ने पहली बार अपना विपाटन दिखाया।

## 10.1 घूर्णन का बीजगणित

**परिभाषा 10.1 (कोणीय संवेग के संकारक).**

कक्षकीय कोणीय संवेग वह संकारक $\hat{\vect L} =
\hat{\vect r}\wedge\hat{\vect p}$ है, जिसके घटक $\hat L_z = \hat
x\hat p_y - \hat y\hat p_x$ और चक्रीय हैं। $[\hat x, \hat p_x] =
\iu\hbar$ से:

$$
[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\,\hat L_z
\quad\text{(और चक्रीय)} , \qquad
[\hat L^2, \hat L_z] = 0 :
$$

घटक परस्पर असंगत हैं — किसी भी अवस्था में उनमें से दो तीखे नहीं होते — पर कुल वर्ग उनमें से किसी एक के साथ संगत है: युग्म $(\hat L^2, \hat L_z)$ नामों का मानक चुनाव है। ये [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator) ठीक $\iu\hbar$ गुना वे [प्वासों कोष्ठक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) हैं जो [उदाहरण 2.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ex-b3-hamiltonian-mechanics-brackets) में निकाले गए थे: अर्थात् डिराक का शब्दकोश काम पर।

**प्रमेय 10.2 (वर्णक्रम, केवल बीजगणित से).**

मान लीजिए $\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$ *कोई भी* तीन [हर्मिटीय संकारक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) हैं जो ऊपर के क्रमविनिमय-संबंधों का पालन करते हैं। तब $(\hat J^2, \hat J_z)$ के संयुक्त [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) ये हैं

$$
\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2 , \qquad
\hat J_z:\ m\hbar , \quad m = -j, -j+1, \dots, +j ,
$$

जहाँ $j$ कोई अ-ऋणात्मक *पूर्णांक या अर्ध-पूर्णांक* है: $2j + 1$ मान $m$ के, हर $j$ के लिए। [सोपान संकारक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) $\hat J_\pm = \hat
J_x \pm \iu\hat J_y$, $m$ को $\pm1$ जितना बढ़ाते-घटाते हैं, नियत $j$ पर:

$$
\hat J_\pm\ket{j,m} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1} .
$$

**आंशिक उपपत्ति.** $[\hat J_z, \hat J_\pm] = \pm\hbar\hat J_\pm$: अतः $\hat
J_\pm$ लगाने से $\hat J_z$ का [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm\hbar$ जितना खिसक जाता है, और $\hat J^2$ नियत रहता है (जो $\hat
J_i$ से बनी हर वस्तु के साथ क्रमविनिमेय है)। प्रसामान्य $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \hbar^2[j(j+1) -
m(m\pm1)]$ ($\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat
J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ से निकाला हुआ) अ-ऋणात्मक बना ही रहना चाहिए: अतः सीढ़ी को ऊपर किसी $m_{\max}$ पर समाप्त होना पड़ेगा, जहाँ $m_{\max}(m_{\max}+1) =
j(j+1)$, अर्थात् $m_{\max} = j$, और नीचे $m_{\min} = -j$ पर। $-j$ से $+j$ तक एकांक पगों में चढ़ना $2j$ को अ-ऋणात्मक पूर्णांक होने पर विवश कर देता है। और इस तरह [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) का संकेतन $j(j+1)\hbar^2$ बाद में उचित ठहर जाता है। ∎

**टिप्पणी 10.3 (सूची में एक रिक्ति).**

बीजगणित $j = \tfrac12, \tfrac32, \dots$ की अनुमति देता है — अर्थात् ऐसी सीढ़ियाँ जिनमें पायदानों की संख्या सम हो। कक्षकीय गति, जैसा हम आगे दिखाएँगे, केवल पूर्णांक काम में लाती है। पर प्रकृति कुछ भी बरबाद नहीं करती: इलेक्ट्रॉन स्वयं $j = \tfrac12$ ढोता है, और उसके पीछे कोई कक्षा नहीं ([अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level)); यहाँ निकाला गया बीजगणित, अपरिवर्तित, परमाणु-चुंबकत्व, नाभिकीय चक्रण और क्यूबिट चलाएगा।

## 10.2 कक्षकीय कोणीय संवेग: गोलीय संनादी

**प्रतिज्ञप्ति 10.4 (गोलीय संनादी).**

गोलीय निर्देशांकों में $\hat L_z = -\iu\hbar\,\partial_\varphi$, और गोले पर $(\hat L^2, \hat L_z)$ के संयुक्त अभिलक्षणिक फलन *[गोलीय संनादी](#prop-b3-quantum-angular-momentum-harmonics)* $Y_l^m(\theta, \varphi)$ हैं:

$$
\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m , \qquad
\hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m ,
$$

जहाँ $l = 0, 1, 2, \dots$ *पूर्णांक* है — $\eu^{\iu m\varphi}$ की एकमानता $m$ को पूर्णांक होने पर विवश करती है, और इसलिए $l$ को भी। प्रसामान्यन को छोड़कर, पहले कुछ ये हैं: $Y_0^0 = \text{अचर}$ ($s$ आकार, अर्थात् एक गोला); $Y_1^0 \propto \cos\theta$ और $Y_1^{\pm1}
\propto \sin\theta\,\eu^{\pm\iu\varphi}$ ($p$ आकार, दो पालियाँ); $Y_2^0 \propto 3\cos^2\theta - 1$ और उसके साथी ($d$ कुल)। सम-विषमता: $Y_l^m(-\vect r$ दिशा$) = (-1)^l\,Y_l^m$।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![|Y_lm( )| के ध्रुवीय आरेख (z अक्ष वाले किसी तल में काट; पूरा आकार परिक्रमण से बना पिंड है)। किसी भी विभव से स्वतंत्र ये कोणीय ढाँचे में हर परमाणु को पहनाए जाएँगे।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-7a2289ad71d5.svg)

*$|Y_l^m(\theta)|$ के ध्रुवीय आरेख ($z$ अक्ष वाले किसी तल में काट; पूरा आकार परिक्रमण से बना पिंड है)। किसी भी विभव से स्वतंत्र ये कोणीय ढाँचे [अध्याय 11](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#ch-b3-hydrogen-atom) में हर परमाणु को पहनाए जाएँगे।*

**उदाहरण 10.5 (दृढ़ घूर्णक और उसकी सीढ़ी).**

जड़त्व-आघूर्ण $I$ के साथ लुढ़कते किसी द्विपरमाणुक अणु का $\hat H
= \hat L^2/2I$ होता है: ऊर्जाएँ

$$
E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1) = B\,J(J+1) ,
\qquad J = 0, 1, 2, \dots
$$

जिनमें से हर एक $(2J+1)$ गुना अपह्रासी है। फ़ोटॉन-अवशोषण $\Delta J =
\pm1$ का पालन करता है, अतः अवशोषण-आवृत्तियाँ $\nu_{J+1\leftarrow J} =
2B(J+1)/h$ हैं: अर्थात् *बराबर दूरी* पर रेखाओं की एक कंघी — वही पहचान, जिससे कोई घूर्णन-वर्णक्रम एक ही नज़र में पहचान लिया जाता है। कार्बन मोनोऑक्साइड के लिए $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$: मूल रेखा $115\,\mathrm{GHz}$ पर पड़ती है ($\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$), जो मिलीमीटर रेडियो-खगोलिकी की सबसे काम की रेखा है ([समस्या 10.1](#pb-b3-quantum-angular-momentum-1))।

## 10.3 केंद्रीय विभव, पूरे किए हुए

**प्रमेय 10.6 (किसी भी केंद्रीय विभव में पृथक्करण).**

$V(r)$ के लिए स्थायी अवस्थाएँ इस रूप में ली जा सकती हैं

$$
\psi(\vect r) = \frac{u(r)}{r}\,Y_l^m(\theta, \varphi) ,
$$

जहाँ $u$ एकविमीय [त्रिज्य समीकरण](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) हल करता है

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + \Big[V(r) +
\frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2mr^2}\Big]u = E\,u , \qquad u(0) = 0 .
$$

कोणीय समस्या $Y_l^m$ एक ही बार में, सदा के लिए हल कर देते हैं; और हर $l$ प्रतिकर्षी *[अपकेंद्री रोधिका](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial)* $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ जोड़ देता है — अर्थात् [उदाहरण 1.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#ex-b3-lagrangian-mechanics-central) के प्रभावी विभव का क्वांटम रूप — और दिए गए $l$ का हर स्तर $(2l+1)$ गुना अपह्रासी है, क्योंकि किसी भी केंद्रीय बल को $z$ अक्ष के अभिविन्यास की परवाह नहीं। और [प्रतिज्ञप्ति 7.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) की $s$-तरंग वाली युक्ति इसी प्रमेय की $l = 0$ वाली पंक्ति थी।

**आंशिक उपपत्ति.** लाप्लासीय इस तरह बँटता है: $\Delta = \tfrac1r\partial_r^2(r\,\cdot) -
\hat L^2/\hbar^2r^2$ (स्वीकृत; यह वही कथन है कि $\hat L^2$ $-\hbar^2\Delta$ का कोणीय भाग है)। $\psi = (u/r)Y_l^m$ रखिए और $\hat L^2$ का [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) काम में लाइए: कथित समीकरण मिल जाता है। अपह्रासिता इसलिए है कि $\hat H$ तीनों $\hat
L_i$ के साथ क्रमविनिमेय है, जिनके [सोपान संकारक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) ऊर्जा बदले बिना $m$ बदल देते हैं। ∎

![कूलॉम समस्या के प्रभावी त्रिज्य विभव: अपकेंद्री रोधिका 2l(l+1)/2mr2, l 1 के लिए मूल बिंदु को घेर लेती है। केवल s अवस्थाएँ ही नाभिक को छूती हैं — जिसके परिणाम परमाणु-वर्णक्रमों से लेकर रेडियोसक्रिय इलेक्ट्रॉन-ग्रहण तक फैले हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-ce414b785377.svg)

*कूलॉम समस्या के प्रभावी त्रिज्य विभव: [अपकेंद्री रोधिका](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial) $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$, $l \ge 1$ के लिए मूल बिंदु को घेर लेती है। केवल $s$ अवस्थाएँ ही नाभिक को छूती हैं — जिसके परिणाम परमाणु-वर्णक्रमों से लेकर रेडियोसक्रिय इलेक्ट्रॉन-ग्रहण तक फैले हैं।*

## 10.4 चुंबकीय आघूर्ण: कोणीय संवेग, दिखाई देता हुआ

**प्रतिज्ञप्ति 10.7 (कक्षकीय चुंबकीय आघूर्ण और ज़ीमान प्रभाव).**

आवेश $q$ और द्रव्यमान $m$ का कोई कण, जिसका कक्षकीय कोणीय संवेग $\hat{\vect L}$ हो, यह चुंबकीय आघूर्ण ढोता है

$$
\hat{\vect\mu} = \frac{q}{2m}\,\hat{\vect L} ;
$$

इलेक्ट्रॉन के लिए स्वाभाविक मात्रक *[बोर मैग्नेटॉन](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic)* $\mu_{\text{B}} = e\hbar/2m_{\text{e}} = 5.79 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ है (तुलना कीजिए [अभ्यास 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-5))। क्षेत्र $B\vect e_z$ में ऊर्जा $-\hat{\vect\mu}\cdot\vect B$ हर स्तर को $+m\,\mu_{\text{B}}B$ जितना खिसका देती है (इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक है): दिए गए $l$ का कोई स्तर अपने $2l + 1$ घटकों में बँट जाता है — यही *[ज़ीमान प्रभाव](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic)* है, अर्थात् $m$ के क्वांटन का पहला सीधा प्रदर्शन, और यही कारण है कि $m$ को [चुंबकीय क्वांटम संख्या](#thm-b3-quantum-angular-momentum-spectrum) कहते हैं। $B = 1\,\mathrm{T}$ पर विपाटन $58\,\text{µ}\mathrm{eV}$ है: प्रकाशिक ऊर्जाओं के आगे छोटा, पर वर्णक्रमीय रेखाओं के खिसकाव के रूप में सहज ही सुलझने वाला — और उलटा पढ़ें तो एक चुंबकत्वमापी: सूर्य-प्रकाश की रेखाओं का ज़ीमान विपाटन सूर्य-कलंकों के चुंबकीय क्षेत्र का नक्शा बना देता है।

**आंशिक उपपत्ति.** चिरसम्मत रूप से किसी कक्षा पर आवेश एक धारा-पाश है: $\mu = IA =
(qv/2\pi r)(\pi r^2) = qL/2m$; और संकारक वाला कथन उसे उत्तराधिकार में पाता है (तथा [प्रतिज्ञप्ति 1.16](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-charge) के $\hat{\vect A}$ युग्मन से निकलता है)। ऊर्जा-खिसकाव प्रथम-कोटि विक्षोभ सिद्धांत है, जिसकी झलक यहाँ है और औचित्य [अध्याय 13](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/13-perturbation-theory#ch-b3-perturbation-theory) में। ∎

![l = 2 के लिए “दिक्-क्वांटन”: कोणीय संवेग का सदिश √l(l+1)\, = √6\, लंबा है, पर z अक्ष को केवल पाँच प्रक्षेप m दे सकता है — कभी अपनी पूरी लंबाई नहीं: चूँकि घटक असंगत हैं, इसलिए L कभी ठीक-ठीक किसी अक्ष के अनुदिश नहीं हो सकता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-dd0eb4cbdad3.svg)

*$l = 2$ के लिए “दिक्-क्वांटन”: कोणीय संवेग का सदिश $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt6\,\hbar$ लंबा है, पर $z$ अक्ष को केवल पाँच प्रक्षेप $m\hbar$ दे सकता है — कभी अपनी पूरी लंबाई नहीं: चूँकि घटक असंगत हैं, इसलिए $\vect L$ कभी ठीक-ठीक किसी अक्ष के अनुदिश नहीं हो सकता।*

**विधि 10.8 (कोणीय संवेग, व्यवहार में).**

(1) अवस्थाओं पर $(l, m)$ के नाम लगाइए — या अमूर्त बीजगणित के लिए $(j, m)$ — और कभी एक साथ दो घटक मत माँगिए। (2) आव्यूह-अवयव: सोपान-सूत्र काम में लाइए; $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat
L_-)/2$। (3) केंद्रीय विभव: $Y_l^m$ उद्धृत कीजिए, और केवल [अपकेंद्री रोधिका](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial) वाला [त्रिज्य समीकरण](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) हल कीजिए। (4) घूर्णन-ऊर्जाएँ: $BJ(J+1)$, रेखाएँ $2B(J+1)$ पर — बराबर अंतरालों से $B$, और उससे बंध-लंबाइयाँ निकालिए। (5) चुंबकीय प्रश्न: कोणीय संवेगों को आघूर्णों में बदलिए, $\mu_{\text{B}}$ प्रति $\hbar$ की दर से, और ऊर्जाओं को $\mu_{\text{B}}B$ प्रति एकांक $m$ की दर से।

## 10.5 अभ्यास

**अभ्यास 10.1 ★.**

(क) विहित क्रमविनिमेयकों से $[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\hat L_z$ निकालिए। (ख) दिखाइए कि $[\hat L^2, \hat L_z] = 0$। (ग) दिखाइए कि $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: $\hat L_z$ क्या उत्पन्न करता है? (घ) तीनों घटकों का कोई उभयनिष्ठ अभिलक्षणिक आधार क्यों नहीं होता — सिवाय एक विशेष अवस्था के (कौन-सी)?

**हल — अभ्यास 10.1.**

(क) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat
p_z]$: केवल वे पद बचते हैं जो कोई $\hat z, \hat p_z$ युग्म बाँटते हैं, जिससे $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$ मिलता है। (ख) $[\hat
L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x,
\hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$: चारों पद जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं। (ग) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: $\hat L_z$, $z$ के परितः घूर्णन उत्पन्न करता है — संकारकों के भी और अवस्थाओं के भी। (घ) दो घटकों का एक साथ तीखा होना ([क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator) से) तीसरे के भी तीखे होने पर विवश करता है, और तीनों का मान शून्य होने पर: यह केवल $l = 0$ ही पूरा कर पाता है।

**अभ्यास 10.2 ★.**

$l = 1$ के लिए, आधार $\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\}$ में: (क) $\hat L_z$ का आव्यूह लिखिए; (ख) सोपान-सूत्र से $\hat L_+$ और $\hat L_-$ लिखिए; (ग) $\hat L_x$ जोड़िए और जाँचिए कि उसके [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hbar, 0, -\hbar$ हैं; (घ) $L_x =
+\hbar$ वाली किसी अवस्था को $z$ के अनुदिश नापा जाता है: तीनों परिणामों की प्रायिकताएँ दीजिए।

**हल — अभ्यास 10.2.**

(क) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$। (ख) $\hat L_+ =
\hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}$, और $\hat L_-$ उसका पारित। (ग) $\hat L_x =
\dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0
\end{pmatrix}$: अभिलक्षणिक बहुपद $\lambda(\lambda^2 -
\hbar^2)$। (घ) $L_x = +\hbar$ वाला अभिलक्षणिक सदिश $\tfrac12(1,
\sqrt2, 1)$ है: प्रायिकताएँ $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$, $m =
+1, 0, -1$ के लिए।

**अभ्यास 10.3 ★.**

कार्बन मोनोऑक्साइड: बंध-लंबाई $0.113\,\mathrm{nm}$, समानीत द्रव्यमान $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$। (क) $I$ और $B = \hbar^2/2I$ को $\mathrm{meV}$ में निकालिए। (ख) $J = 1 \leftarrow 0$ रेखा की आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य। (ग) अगली दो रेखाएँ। (घ) कोई खगोलविद कंघी का अंतराल पाँच अंकों तक नापती है: उसे कौन-सी आणविक राशि मिलती है, और कितनी यथार्थता तक?

**हल — अभ्यास 10.3.**

(क) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $B = \hbar^2/2I =
3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$। (ख) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$, $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$। (ग) $231\,\mathrm{GHz}$ और $346\,\mathrm{GHz}$। (घ) अंतराल $B$ देता है, और उससे $I = \mu r_0^2$: अर्थात् प्रकाश-वर्षों दूर के किसी अणु की बंध-लंबाई, मोटे तौर पर अंतराल की आपेक्षिक यथार्थता की आधी तक।

**अभ्यास 10.4 ★.**

कोई कण $l = 2$ की अवस्था में है। (क) $L_z$ नापने के संभव परिणाम सूचीबद्ध कीजिए। (ख) $\vect L$ और $z$ अक्ष के बीच का सबसे छोटा कोण, $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$ से: उसका मान निकालिए। (ग) वह कोण कभी शून्य क्यों नहीं हो सकता? (घ) दिखाइए कि $l \to \infty$ पर न्यूनतम कोण शून्य की ओर जाता है: अर्थात् चिरसम्मत सदिश लौट आते हैं।

**हल — अभ्यास 10.4.**

(क) $m\hbar$, जहाँ $m = -2 \dots 2$। (ख) $\cos\theta = 2/\sqrt6$: $\theta = 35.3^\circ$। (ग) पूर्ण पंक्तिबद्धता $L_x = L_y
= 0$ को $L_z$ के साथ एक ही समय तीखा बना देती — जिसे [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator) मना करते हैं, सिवाय तुच्छ $l = 0$ स्थिति के। (घ) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$: बड़े $l$ के लिए शंकु अक्ष पर सिमट जाता है और चिरसम्मत तीर लौट आता है।

**अभ्यास 10.5 ★★.**

$-\hbar^2\Delta$ का कोणीय भाग $\hat L^2$ है, जहाँ

$$
\hat L^2 = -\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\theta
(\sin\theta\,\partial_\theta) +
\frac{1}{\sin^2\theta}\,\partial_\varphi^2\Big] .
$$

(क) जाँचिए कि $Y_1^0 \propto \cos\theta$ का $\hat L^2$-अभिलक्षणिक मान $2\hbar^2$ है। (ख) $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\,
\eu^{\pm\iu\varphi}$ के लिए भी वही जाँचिए, और उनके $\hat L_z$ [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) भी। (ग) सम-विषमताएँ जाँचिए। (घ) कोई भी समाकल निकाले बिना $\braket{Y_1^0}{Y_1^1} = 0$ क्यों होना ही चाहिए?

**हल — अभ्यास 10.5.**

(क) $\varphi$ पर कोई निर्भरता न होने से संकारक देता है $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta))
= 2\hbar^2\cos\theta$। (ख) वही गणना $\eu^{\pm\iu\varphi}$ गुणक के साथ: [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $2\hbar^2$; और $\hat L_z$ $\pm\hbar$ देता है। (ग) $\cos\theta$ तथा $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu
\varphi}$, $\vect r \to -\vect r$ ($\theta \to \pi
- \theta$, $\varphi \to \varphi + \pi$) पर चिह्न बदल देते हैं: अतः सम-विषमता $-1 = (-1)^1$। (घ) वे हर्मिटीय $\hat L_z$ के भिन्न अभिलक्षणिक मानों वाले अभिलक्षणिक सदिश हैं।

**अभ्यास 10.6 ★★.**

कौन-सी घूर्णन-रेखा सबसे चमकीली है? स्तर $J$ की जनसंख्या $\propto (2J+1)\,\eu^{-BJ(J+1)/k_{\text{B}}T}$ है। (क) दोनों गुणकों की व्याख्या कीजिए। (ख) दिखाइए कि उच्चिष्ठ $J_{\max} \approx
\sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ के पास बैठता है। (ग) $10\,\mathrm{K}$ (किसी अँधेरे बादल) और $300\,\mathrm{K}$ पर CO के लिए: कौन-सी रेखाएँ प्रधान हैं? (घ) उलटकर: $J = 7$ पर शिखर वाली कोई प्रेक्षित CO सीढ़ी कौन-सा ताप बताती है?

**हल — अभ्यास 10.6.**

(क) $2J + 1$ अवस्थाएँ वह स्तर बाँटती हैं (अपह्रासिता); और बोल्ट्समान गुणक उसकी ऊर्जा पर कर लगाता है। (ख) गुणनफल को उच्चिष्ठ कीजिए: $\dd/\dd J = 0$ से $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$, अर्थात् कथित $J_{\max}$। (ग) $10\,\mathrm{K}$ पर: $J_{\max} \approx 0.8$, अतः $J = 1$ प्रधान है और $115\,\mathrm{GHz}$ तथा $230\,\mathrm{GHz}$ की रेखाएँ चमकती हैं; $300\,\mathrm{K}$ पर: $J_{\max} \approx 7$। (घ) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/
k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — अर्थात् एक घूर्णन-तापमापी।

**अभ्यास 10.7 ★★.**

प्रसामान्य [ज़ीमान प्रभाव](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic)। $500\,\mathrm{nm}$ की कोई वर्णक्रमीय रेखा संक्रमण $l = 2 \to l = 1$ से आती है, किसी क्षेत्र $B = 2\,\mathrm{T}$ में; चक्रण की उपेक्षा कीजिए (विशेष “एकक” अवस्थाओं के लिए यह उचित है)। (क) विपाटित स्तरों का रेखाचित्र बनाइए। (ख) चयन-नियम $\Delta m = 0, \pm1$ के साथ दिखाइए कि केवल *तीन* रेखा-स्थान प्रकट होते हैं, $0, \pm\mu_{\text{B}}B/h$ पर। (ग) विपाटन को GHz में और तरंगदैर्घ्य के पिकोमीटरों में निकालिए। (घ) अधिकांश वास्तविक रेखाएँ तीन से अधिक घटकों में बँटती हैं (“विषम” ज़ीमान): कौन-सा छूटा हुआ अवयव, जिसे इलेक्ट्रॉन स्वयं ढोता है, इसका ऐतिहासिक प्रमाण बना?

**हल — अभ्यास 10.7.**

(क) ऊपरी स्तर पाँच में बँटता है और निचला तीन में, और सबका अंतराल वही $\mu_{\text{B}}B$ रहता है। (ख) बराबर अंतरालों के साथ $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ और $\Delta m \in \{0,
\pm1\}$: अतः केवल तीन स्थान। (ग) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$, अतः $B = 2\,\mathrm{T}$ पर विपाटन $28\,\mathrm{GHz}$ है, अर्थात् $\Delta\lambda =
\lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — जो ज़ीमान की 1896 की जालियों से ही सुलझने योग्य था। (घ) स्वयं इलेक्ट्रॉन का चक्रण, अपने विषम गुणक $g \approx
2$ के साथ: “विषम” प्रतिरूप चक्रण के नाम पड़ने से पहले ही उसकी छाप थे ([अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level))।

**अभ्यास 10.8 ★★.**

अपकेंद्री दीवार। हाइड्रोजन ($V = -e^2/4\pi\varepsilon_0r$) के लिए $U_{\text{प्र}}$ लिखिए, $l = 1$ हेतु, $E_{\text{I}}$ और $a_0$ के मात्रकों में। (क) उसका निम्निष्ठ और उसका मान ज्ञात कीजिए। (ख) दिखाइए कि $U_{\text{प्र}} >
0$, जब $r < \dots$ — वह त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसके भीतर रोधिका हावी रहती है। (ग) $|\psi|^2$ की तुलना कीजिए, $r = 0$ के पास, $s$ और $p$ अवस्थाओं के लिए ($u \sim r^{l+1}$, स्वीकृत): कौन-सी अवस्थाएँ नाभिक को “छूती” हैं? (घ) इलेक्ट्रॉन-ग्रहण — किसी नाभिक का अपने ही परमाणु के एक इलेक्ट्रॉन को निगल लेना — मुख्यतः $s$ कोशों से होता है: एक वाक्य में समझाइए।

**हल — अभ्यास 10.8.**

कथित मात्रकों में $U_{\text{प्र}} = -2/x + l(l+1)/x^2$। (क) $l = 1$ के लिए: निम्निष्ठ $x = 2$ पर ($r = 2a_0$), गहराई $-E_{\text{I}}/2$। (ख) $U_{\text{प्र}} > 0$, जब $x < 1$: एक बोर त्रिज्या के भीतर दीवार जीत जाती है। (ग) मूल बिंदु के पास $\psi \sim r^l$: अतः केवल $l = 0$ अवस्थाओं का घनत्व $r = 0$ पर शून्येतर है। (घ) किसी इलेक्ट्रॉन को निगलने के लिए नाभिक *पर* इलेक्ट्रॉन-घनत्व चाहिए: और $s$ इलेक्ट्रॉन, जो अकेले अपकेंद्री दीवार से बिना रुके हैं, वही निगले जाते हैं।

**अभ्यास 10.9 ★★.**

$\ket{l, m}$ पर: (क) दिखाइए कि $\langle\hat L_x\rangle = \langle\hat
L_y\rangle = 0$; (ख) दिखाइए कि $\langle\hat L_x^2\rangle = \langle\hat
L_y^2\rangle = \tfrac12[l(l+1) - m^2]\hbar^2$; (ग) [अनिश्चितता संबंध](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty) $\Delta L_x\,\Delta L_y \ge \tfrac\hbar2
|\langle\hat L_z\rangle|$ को खिंची हुई अवस्था $m = l$ पर जाँचिए; (घ) (क) और (ख) के प्रकाश में चित्र वाले “शंकु” की व्याख्या कीजिए।

**हल — अभ्यास 10.9.**

(क) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$, $m$ बदल देता है: अतः विकर्ण अवयव लुप्त हो जाते हैं। (ख) सममिति से दोनों अनुप्रस्थ वर्ग बराबर हैं, और उनका योग $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$ है। (ग) $m = l$ पर: $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2
\,l\hbar$: अर्थात् समता — खिंची हुई अवस्था उतनी ही पंक्तिबद्ध है जितनी बीजगणित अनुमत करता है। (घ) शंकु: तीखा $L_z$, लुप्त अनुप्रस्थ माध्य, और बराबर अनुप्रस्थ फैलाव — अर्थात् निश्चित लंबाई और निश्चित प्रक्षेप वाला कोई सदिश, जो दिगंश में समान रूप से धुँधला है।

**अभ्यास 10.10 ★★★.**

कंपन–घूर्णन बैंड। किसी द्विपरमाणुक का कोई अवरक्त कंपन-संक्रमण ($\hbar\omega_0$) साथ-साथ $J$ को $\pm1$ जितना बदल देता है। (क) दिखाइए कि अवशोषण-रेखाएँ $h\nu =
\hbar\omega_0 + 2B(J+1)$ पर ($R$ शाखा, $J \to J+1$ से) और $h\nu = \hbar\omega_0 - 2BJ$ पर ($P$ शाखा, $J \to J-1$) पड़ती हैं, $J \ge
1$। (ख) स्वयं $\hbar\omega_0$ पर एक *अंतराल* क्यों है? (ग) बैंड का रेखाचित्र बनाइए: किसी लुप्त केंद्रीय रेखा के दोनों ओर दो कंघियाँ, और हर रेखा की प्रबलता [अभ्यास 10.6](#exo-b3-quantum-angular-momentum-6) के अनुसार। (घ) [समस्या 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1) के $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ बैंड की ठीक यही शरीर-रचना है: उसकी कुल चौड़ाई कौन तय करता है, और इस तरह वे “पंख” भी जो जुड़ी हुई कार्बन डाइऑक्साइड को प्रभावी बनाते हैं?

**हल — अभ्यास 10.10.**

(क) $E_J = BJ(J+1)$ के साथ ऊर्जा का हिसाब: $J \to J + 1$ $2B(J+1)$ जोड़ता है; और $J \to J - 1$, $2BJ$ घटाता है। (ख) $\Delta J = 0$ वर्जित है, और दोनों शाखाएँ $\pm 2B$ से आरंभ होती हैं: अतः शुद्ध कंपन-आवृत्ति पर कुछ नहीं पड़ता। (ग) अंतराल $2B$ की दो कंघियाँ, जिनके बीच एक ख़ाली जगह है, और तीव्रताएँ $J_{\max}$ तक चढ़कर फिर उतरती हैं। (घ) बैंड की चौड़ाई कंघियों का जनसंख्या-युक्त फैलाव है, जो $\sqrt{T}$ की तरह बढ़ता है: और वही तापीय रूप से भरे पंख ठीक वहाँ हैं जहाँ कोई संतृप्त हरितगृह बैंड सोखता रहता है।

**अभ्यास 10.11 ★★★.**

बीजगणित पूरा कीजिए। (क) $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 -
\hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ से $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2$ और सोपान-गुणांक निकालिए। (ख) दिखाइए कि यदि सीढ़ी समाप्त न होती, तो कोई प्रसामान्य ऋणात्मक हो जाता: वह दोषी अवस्था दिखाइए। (ग) निष्कर्ष निकालिए कि $m_{\max} - m_{\min} = 2j$ को कोई अ-ऋणात्मक पूर्णांक होना ही चाहिए, और अनुमत $j$ गिनाइए। (घ) यह तर्क ठीक कहाँ अर्ध-पूर्णांकों को *बाहर करने में विफल* रहता है — और कौन-सी अतिरिक्त माँग (गोले पर एकमानता) उन्हें केवल कक्षकीय गति के लिए बाहर कर देती है?

**हल — अभ्यास 10.11.**

(क) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm
\ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$। (ख) $m = j$ से आगे चढ़ने पर $j(j+1) - j(j+1) = 0$ मिलेगा और उससे एक पग आगे ऋणात्मक प्रसामान्य: अतः शृंखला में वह शीर्ष अवस्था होनी ही चाहिए जो विनष्ट हो जाए। (ग) शीर्ष और तल एकांक पगों की किसी पूर्णांक संख्या से भिन्न हैं: $2j \in
\mathbb N$: अतः $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (घ) बीजगणित कभी तरंग फलनों का उपयोग नहीं करता; केवल यह माँग कि $\eu^{\iu m\varphi}$ वृत्त पर एकमानी हो, $m$ को पूर्णांक होने पर विवश करती है — और यह शर्त कक्षकीय गति को बाँधती है, अंतर्जात (चक्रण) कोणीय संवेगों को अर्ध-पूर्णांक होने के लिए स्वतंत्र छोड़ देती है।

**अभ्यास 10.12 ★★★.**

आइंस्टाइन–दे हास: कोणीय संवेग यांत्रिक है। लोहे का कोई बेलन (त्रिज्या $a = 1.0\,\mathrm{cm}$, घनत्व $\rho = 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) किसी ऐंठन-तंतु से लटका है; उसका चुंबकन उलटने पर प्रति परमाणु लगभग एक $\hbar$ कोणीय संवेग पलट जाता है। (क) संरक्षण से छड़ को प्रतिक्षेप करना ही पड़ेगा: प्रति एकांक आयतन अंतरित कोणीय संवेग निकालिए। (ख) छड़ के जड़त्व-आघूर्ण $\tfrac12 M
a^2$ के साथ दिखाइए कि छड़ $\omega = 2n\hbar/\rho a^2$ पा लेती है, और उसका मान निकालिए। (ग) 1915 के प्रयोग में उलटाव तंतु के अनुनाद पर चलाया गया, ताकि नन्हे धक्के जमा हो सकें: $Q \sim 100$ अनुनादी उलटावों के बाद दोलन-आयाम आँकिए, प्रति धक्का अपना $\omega$ लेकर। (घ) मापा गया आघूर्ण/कोणीय-संवेग अनुपात कक्षकीय भविष्यवाणी $e/2m_{\text{e}}$ से दुगुना निकला: वह दो का गुणक किसकी घोषणा कर रहा था?

**हल — अभ्यास 10.12.**

(क) प्रति एकांक आयतन $n\hbar$। (ख) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2)
= 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/
(7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — एक ही बार में अदृश्य। (ग) तंतु के अनुनाद के साथ ताल में उलटाव करने से $\sim Q$ धक्के जमा हो जाते हैं: $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, अर्थात् सेकंडों के आवर्तकाल पर मिलिरेडियन के झूले — जिन्हें किसी दर्पण और प्रकाश-पुंज से देखा जा सकता है, जैसा आइंस्टाइन और दे हास ने देखा। (घ) मापा गया घूर्णचुंबकीय अनुपात $e/m_{\text{e}}$ निकला, जो कक्षकीय $e/2m_{\text{e}}$ से दुगुना है: लोहे का चुंबकत्व कक्षकीय धाराएँ नहीं, इलेक्ट्रॉन का *चक्रण* है, जिसके $g \approx 2$ को अगले अध्याय समझाते हैं।

## 10.6 समस्या: 2.6 मिलीमीटर पर मंदाकिनियाँ तौलना

**समस्या 10.1.**

सप्ताहांत समस्या — कार्बन मोनोऑक्साइड, रेडियो खगोलिकी और ठंडा ब्रह्मांड

किसी मंदाकिनी का अधिकांश तारा-निर्माता पदार्थ ठंडा आणविक हाइड्रोजन है — और वह अदृश्य है: H$_2$, जो सममित है, न कोई द्विध्रुव रखता है न ठंडे बादलों के तापों पर कोई घूर्णन-रेखाएँ। खगोलिकी का समाधान है उसका वफ़ादार साथी। प्रति $10^{4}$ H$_2$ पर एक CO अणु, अपनी $115\,\mathrm{GHz}$ की सीढ़ी के साथ, आकाश के हर आणविक बादल को जगमगा देता है। आँकड़े: CO के लिए $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ ($B =
0.238\,\mathrm{meV}$); बंध-लंबाई $r_0 = 0.113\,\mathrm{nm}$; समानीत द्रव्यमान $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$; $10\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ $0.862\,\mathrm{meV}$ है।

**भाग I — क्वांटम घूर्णक।**

1. $\hat H = \hat L^2/2I$ से ऊर्जाएँ $E_J$ और उनकी अपह्रासिताएँ दीजिए।
2. CO के लिए $B = \hbar^2/2I$ जाँचिए, $r_0$ और $\mu$ से।
3. चयन-नियम $\Delta J = \pm1$ के साथ अवशोषण-आवृत्तियाँ $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ निकालिए और पहली तीन गिनाइए।
4. रेखाएँ *बराबर दूरी* पर क्यों हैं — और मापा गया अंतराल ( $I$ के द्वारा) खगोलविद को क्या दे देता है?
5. मूल रेखा की तरंगदैर्घ्य निकालिए, और समझाइए कि उसे देखने के लिए ऊँचे, सूखे स्थान क्यों चाहिए (हमारे अपने वायुमंडल में मिलीमीटर तरंगें कौन सोखता है — स्मरण कीजिए [समस्या 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1) के अणु का पड़ोसी, अर्थात् जल)।
6. $1 \to 0$ रेखा का फ़ोटॉन $\hbar$ जितना कोणीय संवेग ढोता है: $\Delta J = \pm1$ केवल अंगूठे का नियम क्यों नहीं, बल्कि एक संरक्षण नियम क्यों है?

**भाग II — CO क्यों और H$_2$ क्यों नहीं।**

7. H $_2$ समनाभिकीय है: बताइए कि वह कोई घूर्णन-द्विध्रुव विकिरण क्यों नहीं करता।
8. H $_2$ *हलका* भी है: H $_2$ का घूर्णन-नियतांक ( $\mu = m_{\text{p}}/2$ , $r_0 = 0.074\,\mathrm{nm}$ ) और उसका पहला सुलभ संक्रमण-ऊर्जा निकालिए; और उसकी तुलना $10\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ से कीजिए: चतुर्ध्रुवी पिछले दरवाज़ों से भी, क्या ठंडा H $_2$ विकिरण कर सकता है?
9. CO का पहला पायदान $2B = 0.48\,\mathrm{meV}$ का पड़ता है, जबकि $k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : क्या सीढ़ी $10\,\mathrm{K}$ पर जीवित है?
10. $10\,\mathrm{K}$ पर जनसंख्या-अनुपात $n_1/n_0$ निकालिए (अपह्रासिता सहित)।
11. $10\,\mathrm{K}$ पर जनसंख्या किस $J$ के पास शिखर पर होती है ( $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ लीजिए)?
12. इस सौदे की शर्त एक वाक्य में बताइए: CO क्या देता है, और CO-से-H $_2$ अनुपात के विषय में क्या मान लेना पड़ता है।

**भाग III — आकाश को पढ़ना।**

13. किसी बादल की रेखा प्रयोगशाला की $115.271\,\mathrm{GHz}$ के बजाय $115.156\,\mathrm{GHz}$ पर पहुँचती है: दृष्टि-रेखा के अनुदिश बादल का वेग और उसकी दिशा निकालिए।
14. वह रेखा भीतरी गतियों $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से डॉप्लर- *चौड़ी* हो जाती है: रेखा-चौड़ाई MHz में निकालिए, और उसकी तुलना $10\,\mathrm{K}$ पर अपेक्षित तापीय चौड़ाई से कीजिए ( $v_{\text{th}} \sim \sqrt{k_{\text{B}}T/m_{\text{CO}}}  \approx 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): चौड़ाई पर किसका प्रभुत्व है?
15. किसी सर्पिल मंदाकिनी की चकती भर CO के डॉप्लर खिसकाव का नक्शा बनाने से उसका घूर्णन-वक्र $v(r)$ मिल जाता है। वे वक्र दृश्य चकती से बहुत परे तक *सपाट* बने रहते हैं: स्मरण कीजिए (वर्ष 1 का खंड, गुरुत्वाकर्षण) कि किसी केंद्र पर संकेंद्रित द्रव्यमान के चारों ओर $v(r)$ को क्या करना चाहिए, और बताइए कि इस सपाटपन का क्या अर्थ है।
16. $2\to1$ रेखा की चमक और $1\to0$ की चमक का अनुपात स्तरों की जनसंख्या नापता है: वह बादल की कौन-सी एक भौतिक राशि दे देता है?
17. ALMA उन मंदाकिनियों में CO सुलझा लेता है जिनका प्रकाश तब चला था जब ब्रह्मांड युवा था; किसी मंदाकिनी से $1 \to 0$ रेखा की प्रेक्षित आवृत्ति, जब वह मंदाकिनी “लाल-विस्थापन $z = 1$ ” पर हो, अपने विराम-मान की आधी आती है — किस आवृत्ति पर, और ( [उदाहरण 4.13](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/4-relativistic-kinematics#ex-b3-relativistic-kinematics-redshift) स्मरण करते हुए) उसे किसने खींचा?
18. मापी गई CO रेखा-ज्योति से खगोलविद बादलों के द्रव्यमान सौर-द्रव्यमानों में बताते हैं: रूपांतरणों की शृंखला गिनाइए (रेखा के फ़ोटॉन $\to$ CO की गिनती $\to$ H $_2$ द्रव्यमान) और उसकी सबसे कमज़ोर कड़ी भी।

**भाग IV — ठंडी नर्सरियाँ।**

19. तारा-निर्माता क्रोड $10\,\mathrm{K}$ पर बैठे हैं: वीन के नियम से उनकी तापीय चमक का शिखर $290\,\text{µ}\mathrm{m}$ के पास होता है — जो हर प्रकाशिक दूरदर्शी के लिए अदृश्य है। एक वाक्य में: ऐसा कोई क्रोड जो *एकमात्र* तापमापी और तराज़ू देता है, वह घूर्णन-सीढ़ी ही क्यों है?
20. स्तर $J = 1$ मूल अवस्था से $5.5\,\mathrm{K}$ (ताप के मात्रकों में) ऊपर पड़ता है: इससे $1\to0$ रेखा ठीक $10\,\mathrm{K}$ वाले परिसर में इतना उत्तम तापमापी क्यों बन जाती है (और, मान लीजिए, $2\,\mathrm{eV}$ $\sim 23\,000\,\mathrm{K}$ की कोई प्रकाशिक रेखा क्यों नहीं)?
21. कोई *ढहता* क्रोड अंततः CO ( $1\to0$ ) में दिखना क्यों बंद कर देता है — सोचिए कि ऊँचा घनत्व और धूल उस रेखा तथा उसके बाहर निकलने के साथ क्या करते हैं।
22. आणविक बादल NH $_3$ , HCN और दर्जनों अन्य अणुओं की रेखाएँ भी दिखाते हैं, जिनमें से हर एक का अपना $B$ और अपना द्विध्रुव है: इस “रासायनिक रेडियो डायल” की समृद्धि खगोलविदों को क्या अलग-अलग करके देखने देती है?
23. पूरा आकाश $2.7\,\mathrm{K}$ पर चमकता है (ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि): जब किसी बादल का अपना ताप $2.7\,\mathrm{K}$ के पास आने लगे, तब उसकी CO रेखाओं के विपर्यास का क्या होता है, और यह इस तापमापी के लिए कठोर फ़र्श क्यों है?
24. किसी मिलीमीटर-थाली को अपना आकार लगभग $\lambda/20$ तक बनाए रखना पड़ता है: $115\,\mathrm{GHz}$ पर वह सहनशीलता निकालिए, और उसकी तुलना उस सहनशीलता से कीजिए जो किसी प्रकाशिक दर्पण ( $500\,\mathrm{nm}$ ) को झेलनी पड़ती है — ALMA की बारह-मीटर थालियाँ खुली हवा में क्यों बन सकीं?
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: सीढ़ी $BJ(J+1)$ , जिसका $B/h =  57.6\,\mathrm{GHz}$ है, और जो दस केल्विन पर जनसंख्या पाती है और $2.6\,\mathrm{mm}$ पर पढ़ी जाती है, वही तरीका है जिससे ठंडे ब्रह्मांड का द्रव्यमान, ताप, वेग और घूर्णन — तथा सर्पिल मंदाकिनियों के चारों ओर श्याम पदार्थ का प्रमाण — नापे जाते हैं।

**हल — समस्या 10.1.**

**1.** $E_J = BJ(J+1)$, अपह्रासिता $2J + 1$। **2.** $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$: अतः $B =
\hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$, अर्थात् $B/h = 57.7\,\mathrm{GHz}$ — वही मापा गया नियतांक। **3.** $115$, $231$, $346\,\mathrm{GHz}$। **4.** $E_{J+1} - E_J = 2B(J+1)$ रैखिक रूप से बढ़ता है: अतः लगातार रेखाएँ अचर $2B$ जितनी भिन्न हैं। अंतराल $I$ देता है, और उससे बंध-लंबाई — अर्थात् रेडियो से की गई संरचनात्मक रसायन-विद्या। **5.** $\lambda = c/\nu = 2.6\,\mathrm{mm}$। वायुमंडलीय जल-वाष्प मिलीमीटर तरंगें लालच से सोख लेती है; अतः अटाकामा, मौना केआ, दक्षिणी ध्रुव — ऊँचे, ठंडे, सूखे। **6.** फ़ोटॉन चक्रण-$1$ का कण है और $\hbar$ ढोता है: कुल कोणीय संवेग का संरक्षण अणु के $J$ को एक एकांक जितना बदलने पर बाध्य कर देता है। **7.** उसका आवेश-वितरण हर घूर्णन-कोण पर सममित रहता है: न कोई दोलायमान द्विध्रुव, न कोई द्विध्रुव-रेखा — अर्थात् पूर्ण छद्मावरण। **8.** $B_{\text{H}_2} = \hbar^2/2\mu r_0^2 \approx
7.6\,\mathrm{meV}$; और सममित अणु के दुर्बल चतुर्ध्रुवी संक्रमणों को $\Delta J = 2$ चाहिए, जिसकी कीमत $6B \approx
46\,\mathrm{meV}$ है — अर्थात् $10\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ से पचास गुना: ठंडा हाइड्रोजन विकिरण कर ही नहीं सकता। **9.** $2B = 0.48\,\mathrm{meV} < k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$: संघट्ट पहले पायदानों को भरे रखते हैं — अर्थात् सीढ़ी ठीक वहीं काम करती है जहाँ बादल रहते हैं। **10.** $n_1/n_0 = 3\,\eu^{-0.478/0.862} = 1.7$: उत्सर्जक स्तर भली-भाँति भरा है। **11.** $J_{\max} \approx \sqrt{0.86/0.48} - 0.5 \approx 0.8$: अतः जनसंख्या का शिखर $J = 1$ पर है। **12.** CO फ़ोटॉन देता है; पर उन्हें कुल गैस-द्रव्यमान में बदलना किसी मानी हुई CO-से-H$_2$ बहुलता पर टिका है — ज्योतिर्मय दूत, पर अंशांकित फिरौती। **13.** $\Delta\nu = 115\,\mathrm{MHz}$: $v = c\,\Delta\nu/\nu
\approx 300\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, और दूर हटता हुआ (आवृत्ति घटी है) — अर्थात् मंदाकिनीय कक्षीय चालें। **14.** $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ $1.5\,\mathrm{MHz}$ तक फैलता है; जबकि $10\,\mathrm{K}$ पर तापीय गति केवल $\sim40\,\mathrm{kHz}$ देती है: अतः चौड़ाई विक्षुब्धता है, ताप नहीं — रेखा-चौड़ाइयाँ किसी बादल का भीतरी मौसम मापती हैं। **15.** किसी केंद्रीय द्रव्यमान के चारों ओर $v \propto 1/\sqrt r$ घटना चाहिए (केप्लर); और मापा गया सपाटपन बताता है कि घिरा हुआ द्रव्यमान त्रिज्या के साथ बढ़ता ही जाता है — अर्थात् ज्योतिर्मय चकती को घेरे हुआ अदृश्य पदार्थ: श्याम पदार्थ। **16.** जनसंख्याओं का अनुपात, अर्थात् गैस का उत्तेजन-ताप। **17.** $57.6\,\mathrm{GHz}$ पर: ब्रह्मांडीय प्रसार ने उड़ान में हर तरंगदैर्घ्य दुगुनी कर दी — वही ब्रह्मांडीय लाल-विस्थापन, जिस पर इस पुस्तक का अंतिम अध्याय लौटता है। **18.** फ़ोटॉन-अभिवाह $\to$ CO ज्योति (जिसके लिए दूरी चाहिए) $\to$ CO की गिनती (उत्तेजन-निदर्श) $\to$ H$_2$ द्रव्यमान (CO-से-H$_2$ का “X-गुणक”: सबसे कमज़ोर कड़ी, जो स्थानिक रूप से अंशांकित होकर सावधानी से बाहर भेजी जाती है)। **19.** $10\,\mathrm{K}$ का कोई क्रोड ऐसा कुछ भी उत्सर्जित नहीं करता जिसे कोई प्रकाशिक दूरदर्शी देख सके; उसकी घूर्णन-रेखाएँ ही एक साथ उसकी अकेली तापमापी, चालमापी और तराज़ू हैं। **20.** कोई तापमापी वहीं सुग्राही होता है जहाँ स्तर-अंतराल $\sim
k_{\text{B}}T$ हो: $5.5\,\mathrm{K}$ का अंतराल $5$–$50$ K भर प्रबल अनुक्रिया करता है, जबकि $2\,\mathrm{eV}$ के किसी प्रकाशिक स्तर पर कुछ भी न बैठा होता। **21.** रेखा संतृप्त हो जाती है (प्रकाशिक रूप से मोटी) और, उससे भी बुरा, सबसे सघन और ठंडी गैस में CO धूल-कणों पर जम जाती है: अतः खगोलविद विरल समस्थानिकियों ($^{13}$CO, C$^{18}$O) और दूसरे अणुओं पर चले जाते हैं। **22.** हर जाति को चमकने के लिए अपना ही घनत्व और ताप चाहिए: अतः वे मिलकर बादल का काट-चित्र बना देते हैं — बाहरी आवरण CO में, सघन क्रोड NH$_3$ और HCN में। **23.** कोई रेखा ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि के विपर्यास में दिखती है; और ज्यों-ज्यों गैस का ताप $2.7\,\mathrm{K}$ के पास आता है, उसका उत्तेजन पृष्ठभूमि के साथ साम्य में आ जाता है और विपर्यास लुप्त हो जाता है: इससे ठंडा कोई बादल इस तरह पढ़ा ही नहीं जा सकता। **24.** $\lambda/20 = 130\,\text{µ}\mathrm{m}$, जबकि प्रकाशिक काम के लिए $25\,\mathrm{nm}$: अर्थात् पाँच हज़ार गुना अधिक क्षमाशील — और इसीलिए बारह-मीटर मिलीमीटर थालियाँ खुले रेगिस्तान में खड़ी रहती हैं, जबकि प्रकाशिक दर्पण गुंबदों में रहते हैं। **25.** सीढ़ी $BJ(J+1)$, जिसका $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ है, जो दस केल्विन पर जीवित रहती है और $2.6\,\mathrm{mm}$ पर पढ़ी जाती है, ठंडे ब्रह्मांड का द्रव्यमान, ताप, विक्षुब्धता और घूर्णन नाप देती है — और उसके सपाट घूर्णन-वक्र श्याम पदार्थ की स्थायी प्रदर्शनी हैं।