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title: "हाइड्रोजन परमाणु"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom
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# अध्याय 11 — हाइड्रोजन परमाणु

ब्रह्मांड के दस में से नौ परमाणु हाइड्रोजन हैं: एक प्रोटॉन, जो एक इलेक्ट्रॉन थामे है, और यही अकेला परमाणु है जिसे भौतिकी ठीक-ठीक हल कर सकती है — तथा वही कुंजी है जिसने बाकी सब खोले। [अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics) की पुरानी क्वांटम सिद्धांत ने उसकी ऊर्जाओं का अनुमान लगाया था; अब वह मशीनरी तैयार है जिससे उन्हें *निकाला* जा सके: कूलॉम विभव पिछले अध्याय के [त्रिज्य समीकरण](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) में जाता है, और बाहर निकलते हैं स्तर $-E_{\text{I}}/n^2$, [बोर त्रिज्या](#thm-b3-hydrogen-atom-levels), रसायन की आवर्त सारणी के कोश और उपकोश, तथा वे वर्णक्रमीय श्रेणियाँ जो खगोलविद हर नीहारिका में पढ़ते हैं। वही हल, फिर से मापित करके, आयनित हीलियम, म्युऑनी परमाणुओं, पॉज़िट्रोनियम, और अर्धचालकों के भीतर इलेक्ट्रॉन–विवर “परमाणुओं” का भी वर्णन करता है; और $n
\approx 100$ तक खींचने पर वह आधे माइक्रोमीटर चौड़े रिडबर्ग परमाणुओं का वर्णन करता है, जिनकी रेडियो-फुसफुसाहटें मंदाकिनी के आयनित बादलों का नक्शा बनाती हैं और जिनकी अन्योन्यक्रियाएँ अब क्वांटम संगणक चलाती हैं।

## 11.1 कूलॉम समस्या, हल की हुई

**प्रमेय 11.1 (हाइड्रोजन के स्तर).**

$V(r) = -e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ के लिए ($k = e^2/4\pi
\varepsilon_0$ लिखिए) बद्ध अवस्थाओं के नाम $(n, l, m)$ हैं, जहाँ

$$
E_n = -\frac{E_{\text{I}}}{n^2} , \qquad
E_{\text{I}} = \frac{m_{\text{e}}k^2}{2\hbar^2} = 13.6\,\mathrm{eV} ,
\qquad n = 1, 2, 3, \dots
$$

और हर $n$ के लिए कक्षकीय संख्याएँ $l = 0, 1, \dots, n-1$ तथा $m = -l, \dots, l$। स्वाभाविक लंबाई [बोर त्रिज्या](#thm-b3-hydrogen-atom-levels) $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 52.9\,\mathrm{pm}$ है; और मूल अवस्था है

$$
\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\;\eu^{-r/a_0} .
$$

ऊर्जा *केवल* $n$ पर निर्भर करती है: $m$ और $l$ गिनने पर स्तर $n$ $n^2$ गुना अपह्रासी है (चक्रण से दुगुना, [अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level)) — अर्थात् उस $(2l+1)$ गुनी अपह्रासिता से कहीं आगे जिसे समदैशिकता समझाती है।

**आंशिक उपपत्ति.** मूल अवस्था के लिए [त्रिज्य समीकरण](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) में $u = Cr\,\eu^{-r/a}$ रखकर देखिए, $l = 0$ के साथ: $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$, अतः $-\tfrac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}u'' - \tfrac kr u = Eu$ के लिए $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ चाहिए ($1/r$ वाले पदों का मिलान) — अर्थात् $a = a_0$ — और $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$। व्यापक हल (लागेर बहुपद, $n - l - 1$ त्रिज्य निस्पंद) स्वीकृत है; उस रचना का हर कदम प्रारंभिक है, पर लंबा। “आकस्मिक” $l$-अपह्रासिता शुद्ध $1/r$ बल के एक चिरसम्मत रहस्य का दर्पण है — केप्लर के दीर्घवृत्त पुरस्सरण नहीं करते, और एक अतिरिक्त संरक्षित सदिश (लाप्लास–रुंगे–लेंज़) नियत दीर्घ अक्ष के अनुदिश संकेत करता है; उसी का क्वांटम रूप भिन्न $l$ को एक ही ऊर्जा से बाँधता है ([अभ्यास 11.12](#exo-b3-hydrogen-atom-12))। ∎

![हाइड्रोजन के स्तर -E_ I/n2, l के अनुसार फैले हुए: किसी एक n के सारे उपकोश एक ही जगह पड़ते हैं (कूलॉम की “दुर्घटना”)। n = 1 पर समाप्त होती नीचे की छलाँगें पराबैंगनी लाइमन श्रेणी बनाती हैं; और n = 2 पर समाप्त होती छलाँगें वह दृश्य बामर श्रेणी, जो नीहारिकाओं को लाल रंग देती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/fig-946e42223935.svg)

*हाइड्रोजन के स्तर $-E_{\text{I}}/n^2$, $l$ के अनुसार फैले हुए: किसी एक $n$ के सारे उपकोश एक ही जगह पड़ते हैं (कूलॉम की “दुर्घटना”)। $n = 1$ पर समाप्त होती नीचे की छलाँगें पराबैंगनी [लाइमन श्रेणी](#prop-b3-hydrogen-atom-series) बनाती हैं; और $n = 2$ पर समाप्त होती छलाँगें वह दृश्य [बामर श्रेणी](#prop-b3-hydrogen-atom-series), जो नीहारिकाओं को लाल रंग देती है।*

## 11.2 इलेक्ट्रॉन कहाँ है

**प्रतिज्ञप्ति 11.2 (त्रिज्य बंटन).**

इलेक्ट्रॉन को $r$ और $r + \dd r$ के बीच पाने की प्रायिकता $P(r)\,\dd r$ है, जहाँ $P(r) = |u(r)|^2$, अर्थात् [प्रमेय 10.6](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial) के प्रसामान्यित त्रिज्य फलन का वर्ग। सबसे निचली अवस्थाओं के लिए: $P_{1s} \propto r^2\eu^{-2r/a_0}$, जिसका शिखर ठीक $r = a_0$ पर है और $\langle r\rangle = \tfrac32 a_0$; $P_{2s}$ दो कूबड़ दिखाता है, जिनके बीच एक गोलीय *निस्पंद* है; और $P_{2p} \propto
r^4\eu^{-r/a_0}$, जिसका शिखर $4a_0$ पर है। व्यापक रूप से $\langle r\rangle
\approx n^2a_0$: अर्थात् उत्तेजन के साथ परमाणु *द्विघाती* रूप से बढ़ते हैं, जबकि उनका बंधन $1/n^2$ की तरह सिकुड़ता है — यही वह उत्तोलन है जो [समस्या 11.1](#pb-b3-hydrogen-atom-1) के रिडबर्ग दानवों के पीछे है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![त्रिज्य प्रायिकता के घनत्व। 1s का शिखर ठीक a_0 पर बैठता है; 2s अवस्था एक गोलीय निस्पंद और नाभिक के पास एक पाली ढोती है — वही “प्रवेशन” जो आवर्त सारणी का क्रम तय करेगा — जबकि 2p, अपकेंद्री रोधिका से घिरा हुआ, दूर ही रहता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/fig-01e4e206a7b5.svg)

*[त्रिज्य प्रायिकता](#prop-b3-hydrogen-atom-radial) के घनत्व। $1s$ का शिखर ठीक $a_0$ पर बैठता है; $2s$ अवस्था एक गोलीय निस्पंद और नाभिक के पास एक पाली ढोती है — वही “प्रवेशन” जो आवर्त सारणी का क्रम तय करेगा — जबकि $2p$, [अपकेंद्री रोधिका](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial) से घिरा हुआ, दूर ही रहता है।*

**उदाहरण 11.3 (आकार पढ़ना).**

मूल अवस्था: $0.1\,\mathrm{nm}$ चौड़ी, $13.6\,\mathrm{eV}$ गहरी — अर्थात् पूरी रसायन-विद्या के पैमाने। $n = 10$ पर: त्रिज्या $\sim5\,\mathrm{nm}$, बंधन $0.136\,\mathrm{eV}$ — ढीली पकड़। $n = 100$ पर: कोई *माइक्रोमीटर* पैमाने का परमाणु, जो $1.4\,\mathrm{meV}$ से बँधा है और जिसे सबसे दुर्बल क्षेत्र भी तोड़ दे — फिर भी अंतरतारकीय दिक् इतना ख़ाली है कि ऐसे परमाणु जी लेते हैं और प्रसारण भी करते हैं ([समस्या 11.1](#pb-b3-hydrogen-atom-1))।

## 11.3 वर्णक्रम

**प्रतिज्ञप्ति 11.4 (श्रेणियाँ और चयन-नियम).**

कोई छलाँग $n' \to n$ यह तरंगदैर्घ्य उत्सर्जित करती है

$$
\frac{1}{\lambda} = R_{\text{H}}\Big(\frac{1}{n^2} -
\frac{1}{n'^2}\Big) , \qquad
R_{\text{H}} = \frac{E_{\text{I}}}{hc} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} ,
$$

और उस पर द्विध्रुव चयन-नियम $\Delta l = \pm1$ लगा है (फ़ोटॉन $\hbar$ ढोता है)। [लाइमन श्रेणी](#prop-b3-hydrogen-atom-series) ($\to n = 1$) $121.6\,\mathrm{nm}$ से दूर पराबैंगनी में पड़ती है; [बामर श्रेणी](#prop-b3-hydrogen-atom-series) ($\to n = 2$) लाल $H\alpha$ रेखा, $656.3\,\mathrm{nm}$, से आरंभ होती है — वही रंग जो उत्सर्जन-नीहारिकाओं और सौर उभारों का है; पाशन तथा बाद की श्रेणियाँ अवरक्त में हट जाती हैं, और $n = 110$ तथा $109$ के बीच वही सूत्र $5.0\,\mathrm{GHz}$ पर उतरता है: हाइड्रोजन पराबैंगनी से लेकर रेडियो डायल तक बोलता है।

**उपपत्ति.** [प्रमेय 11.1](#thm-b3-hydrogen-atom-levels) के साथ ऊर्जा-संरक्षण; और $R_{\text{H}}$ वैसा ही जैसा [समस्या 2.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1) में था, पर अब अभिगृहीत के बजाय निकाला हुआ। ∎

**उदाहरण 11.5 (हाइड्रोजन-सदृश परमाणु: एक हल, अनेक परमाणु).**

प्रोटॉन के आवेश के स्थान पर $Ze$ रखिए और इलेक्ट्रॉन के स्थान पर कोई भी परिक्रमा करता द्रव्यमान $\mu$: तब हर सूत्र इस तरह फिर से मापित होता है

$$
a \to a_0\,\frac{m_{\text{e}}}{\mu}\,\frac1Z , \qquad
E_{\text{I}} \to E_{\text{I}}\,\frac{\mu}{m_{\text{e}}}\,Z^2 .
$$

He$^+$ ($Z = 2$): $54.4\,\mathrm{eV}$। भारी परमाणुओं के भीतरी इलेक्ट्रॉन ($Z \sim 30$): K-कोश की ऊर्जाएँ $\mathrm{keV}$ में — वही अभिलक्षणिक एक्स-किरणें, जिनसे मोज़ली ने तत्वों को क्रम में रखा ([अभ्यास 11.5](#exo-b3-hydrogen-atom-5))। म्युऑनी हाइड्रोजन ($\mu = 207
m_{\text{e}}$): फ़र्मीमीटर-पैमाने का परमाणु, जो स्वयं प्रोटॉन की जाँच करता है। पॉज़िट्रोनियम ($e^+e^-$, $\mu = m_{\text{e}}/2$): आधा बंधन, दुगुना आकार, और छोटा जीवन, जो विनाशन-फ़ोटॉनों में समाप्त होता है। और किसी अर्धचालक में एक इलेक्ट्रॉन तथा एक विवर, अपने छोटे प्रभावी द्रव्यमानों के साथ किसी परिरक्षक परावैद्युत में एक-दूसरे की परिक्रमा करते हुए: अर्थात् कोई *उत्तेजक*, वही परमाणु दस नैनोमीटर और मिलीइलेक्ट्रॉनवोल्ट तक बढ़ा हुआ ([अभ्यास 11.7](#exo-b3-hydrogen-atom-7)) — [हाइड्रोजन परमाणु](#thm-b3-hydrogen-atom-levels) कम, ढाँचा अधिक है।

![एक हल, चार “परमाणु”: द्रव्यमान, आवेश और परावैद्युत परिवेश को फिर से मापित करने भर से हाइड्रोजन प्रोटॉन की जाँच, शुद्ध क्वांटम विद्युत्-गतिकी की परीक्षा, और अर्धचालकों के प्रकाश-उत्सर्जक अर्ध-परमाणु बन जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/fig-6a7cbb91bcaa.svg)

*एक हल, चार “परमाणु”: द्रव्यमान, आवेश और परावैद्युत परिवेश को फिर से मापित करने भर से हाइड्रोजन प्रोटॉन की जाँच, शुद्ध क्वांटम विद्युत्-गतिकी की परीक्षा, और अर्धचालकों के प्रकाश-उत्सर्जक अर्ध-परमाणु बन जाता है।*

**विधि 11.6 (हाइड्रोजन-सदृश तंत्रों के साथ काम करना).**

(1) पहले मापन: $a \propto 1/\mu Z$, $E \propto \mu Z^2$ किसी भी हाइड्रोजन-उत्तर को किसी भी हाइड्रोजन-सदृश उत्तर में बदल देते हैं। (2) आकार: $\langle
r\rangle \sim n^2a$; स्तर $n$ के पास अंतराल: $\dd E/\dd n =
2E_{\text{I}}/n^3$। (3) वर्णक्रम: रिडबर्ग सूत्र और $\Delta l =
\pm1$। (4) प्रवेशन: $s$ अवस्थाएँ नाभिक को अनुभव करती हैं, ऊँचे $l$ वाली अवस्थाएँ बाहर परिक्रमा करती हैं — यही बहु-इलेक्ट्रॉन रसायन का उत्तोलक है। (5) विवेक के लंगर: $13.6\,\mathrm{eV}$, $52.9\,\mathrm{pm}$, $121.6\,\mathrm{nm}$, $656.3\,\mathrm{nm}$ — जीवन भर के लिए याद रखने योग्य चार संख्याएँ।

![कोई हाइड्रोजन विसर्जन-नली और जेब का कोई वर्णक्रमदर्शी: वह गुलाबी चमक, विभाजित होकर, बामर रेखाएँ बन जाती है — वही पूर्णांक छाप, जिसे यह अध्याय कूलॉम विभव से निकालता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/img-76fcd27f8d68.jpg)

*कोई हाइड्रोजन विसर्जन-नली और जेब का कोई वर्णक्रमदर्शी: वह गुलाबी चमक, विभाजित होकर, बामर रेखाएँ बन जाती है — वही पूर्णांक छाप, जिसे यह अध्याय कूलॉम विभव से निकालता है।*

## 11.4 अभ्यास

**अभ्यास 11.1 ★.**

(क) प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $u = Cr\eu^{-r/a_0}$ $l = 0$ वाले [त्रिज्य समीकरण](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) को $E = -E_{\text{I}}$ के साथ हल करता है, बशर्ते $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k$ हो। (ख) उसे प्रसामान्यित कीजिए ($\int_0^\infty
x^2\eu^{-x}\dd x = 2$)। (ग) $a_0$ और $E_{\text{I}}$ की विमाएँ जाँचिए। (घ) $-E_{\text{I}}$ से नीचे कोई अवस्था क्यों नहीं है ([अभ्यास 7.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-12) से तर्क दीजिए)?

**हल — अभ्यास 11.1.**

(क) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$; और $1/r$ वाले पद तब मेल खाते हैं जब $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$, अर्थात् $a = a_0$, और अचर पद $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ देते हैं। (ख) $C =
2/a_0^{3/2}$। (ग) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$; $[mk^2/\hbar^2] =
\mathrm{J}$। (घ) [अभ्यास 7.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-12) का विचरण-तर्क दिखाता है कि $-E_{\text{I}}$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो कोई भी प्रसामान्यित अवस्था पा सकती है: अनिश्चितता सिद्धांत परमाणु के नीचे फ़र्श डाल देता है।

**अभ्यास 11.2 ★.**

निकालिए: (क) लाइमन $\alpha$ की और लाइमन सीमा की तरंगदैर्घ्य; (ख) पहली तीन बामर रेखाएँ और बामर सीमा — इनमें कौन-सी दृश्य हैं, और किन रंगों की? (ग) पाशन श्रेणी का परिसर; (घ) $n = 110 \to 109$ संक्रमण की आवृत्ति।

**हल — अभ्यास 11.2.**

(क) $121.6\,\mathrm{nm}$; सीमा $91.2\,\mathrm{nm}$। (ख) $656.3$ (लाल), $486.1$ (नीला-हरा), $434.0\,\mathrm{nm}$ (बैंगनी); सीमा $364.6\,\mathrm{nm}$ — पहली तीन दृश्य हैं। (ग) $1875\,\mathrm{nm}$ से नीचे $820\,\mathrm{nm}$ तक: निकट अवरक्त। (घ) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$।

**अभ्यास 11.3 ★.**

मूल अवस्था के लिए: (क) $P_{1s}(r)$ का उच्चिष्ठ ज्ञात कीजिए; (ख) $\langle r\rangle$ निकालिए; (ग) इलेक्ट्रॉन को $2a_0$ से परे पाने की प्रायिकता निकालिए ($\int_x^\infty t^2\eu^{-t}\dd t = (x^2 +
2x + 2)\eu^{-x}$); (घ) ठीक $a_0$ त्रिज्या पर की “कक्षा” वाले चित्र क्यों भ्रमित करते हैं?

**हल — अभ्यास 11.3.**

(क) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$, $r = a_0$ पर। (ख) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty
r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32
a_0$। (ग) $x = 4$ के साथ: $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$: अर्थात् चौथाई समय इलेक्ट्रॉन $2a_0$ से परे रहता है। (घ) इलेक्ट्रॉन की कोई त्रिज्या है ही नहीं: $P(r)$ एक बंटन है, जिसका बहुलक, माध्य और लंबी पुच्छें हैं — परमाणु दोगुने के स्तर पर धुँधला है।

**अभ्यास 11.4 ★.**

(क) $(l, m)$ युग्म गिनाइए, $n = 3$ के, और गिनती $n^2 =
9$ जाँचिए। (ख) चक्रण सहित, कोश $n = 1, 2, 3$ में कितनी अवस्थाएँ हैं? (ग) उन्हें आवर्त सारणी की पंक्तियों की लंबाइयों $2, 8, 18$ से मिलाइए। (घ) सोडियम के बाहरी इलेक्ट्रॉन में कौन-सी अपह्रासिता ($m$ वाली, या $l$ वाली) बची रहती है, और दूसरी क्यों टूट जाती है?

**हल — अभ्यास 11.4.**

(क) $l = 0$: एक; $l = 1$: तीन; $l = 2$: पाँच — कुल नौ। (ख) $2$, $8$, $18$। (ग) ठीक पहली तीन पंक्तियों की लंबाइयाँ: आवर्त सारणी इन्हीं कोशों के भरने का लेखा है। (घ) $m$-अपह्रासिता बची रहती है (दिक् अब भी समदैशिक है); जबकि $l$-अपह्रासिता इसलिए टूटती है कि संयोजी इलेक्ट्रॉन को दिखता परिरक्षित विभव अब शुद्ध $1/r$ नहीं रहता — [अभ्यास 11.8](#exo-b3-hydrogen-atom-8)।

**अभ्यास 11.5 ★★.**

मोज़ली की सीढ़ी। किसी तत्व $Z$ का कोई भीतरी (K-कोश) इलेक्ट्रॉन लगभग नंगे नाभिकीय क्षेत्र में चलता है, जिसे केवल दूसरा K इलेक्ट्रॉन परिरक्षित करता है: प्रभावी आवेश $\approx Z - 1$। (क) दिखाइए कि $2p \to 1s$ एक्स-किरण की ऊर्जा लगभग $\tfrac34(Z-1)^2E_{\text{I}}$ है। (ख) ताँबे ($Z = 29$) के लिए मान निकालिए और मापी गई K$\alpha$ $8.05\,\mathrm{keV}$ से तुलना कीजिए। (ग) मोज़ली (1913) ने $\sqrt{\nu}$ को $Z$ के सामने आलेखित किया और सरल रेखाएँ पाईं: इससे परमाणु-क्रमांक के अर्थ के विषय में क्या सिद्ध हुआ? (घ) तब लुप्त तत्व की K$\alpha$ ऊर्जा की भविष्यवाणी कीजिए, $Z = 43$ के लिए।

**हल — अभ्यास 11.5.**

(क) $Z - 1$ के साथ हाइड्रोजन-सदृश: $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 -
\tfrac14)$। (ख) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — जो ताँबे की मापी गई K$\alpha$ से मेल खाता है। (ग) यही कि तत्वों को क्रम में रखने वाला पूर्णांक *नाभिकीय आवेश* है, परमाणु-भार नहीं: और मोज़ली की रेखाओं के अंतराल अनखोजे तत्वों का स्थान बता देते थे। (घ) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — टेक्नेशियम, जो दशकों बाद मिला और सूत्र का पालन कर गया।

**अभ्यास 11.6 ★★.**

पॉज़िट्रोनियम। (क) $\mu = m_{\text{e}}/2$ का औचित्य दीजिए और उसकी बंधन ऊर्जा तथा [बोर त्रिज्या](#thm-b3-hydrogen-atom-levels) दीजिए। (ख) उसकी लाइमन $\alpha$ तरंगदैर्घ्य। (ग) पैरा-पॉज़िट्रोनियम दो फ़ोटॉनों में विनष्ट होता है: उनकी ऊर्जाएँ और आपेक्षिक दिशाएँ ([अध्याय 5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/5-relativistic-dynamics#ch-b3-relativistic-dynamics) से)। (घ) चिकित्सा में ठीक यही छाप रोज़ कहाँ पकड़ी जाती है?

**हल — अभ्यास 11.6.**

(क) दो बराबर द्रव्यमान: $\mu = m_{\text{e}}/2$: बंधन $6.8\,\mathrm{eV}$, त्रिज्या $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$। (ख) $\tfrac34
\times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$: $243\,\mathrm{nm}$। (ग) $511\,\mathrm{keV}$ के दो फ़ोटॉन, आमने-सामने (विराम में संवेग-संरक्षण)। (घ) पॉज़िट्रॉन-उत्सर्जन टोमोग्राफ़ी: $511\,\mathrm{keV}$ के संरेख फ़ोटॉनों का युग्म ही वह संकेत है जिसे हर PET वलय त्रिकोणित करता है।

**अभ्यास 11.7 ★★.**

उत्तेजक। गैलियम आर्सेनाइड में $\varepsilon_{\text{r}} = 12.9$ है और समानीत प्रभावी द्रव्यमान $\mu = 0.058\,m_{\text{e}}$। (क) दिखाइए कि $a_{\text{ex}} = a_0\,\varepsilon_{\text{r}}\,m_{\text{e}}/\mu$ और उसका मान निकालिए। (ख) उत्तेजक की बंधन ऊर्जा। (ग) $a_{\text{ex}}$ की तुलना [समस्या 7.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#pb-b3-schrodinger-three-dimensions-1) की क्वांटम-बिंदु त्रिज्याओं से कीजिए और अंततः यह उचित ठहराइए कि छोटे बिंदुओं में कूलॉम पद की उपेक्षा क्यों की जा सकती है। (घ) उत्तेजक रेखाएँ केवल *शुद्ध, ठंडे* अर्धचालकों में क्यों दिखती हैं ((ख) के आपके उत्तर के सामने $k_{\text{B}}T$)?

**हल — अभ्यास 11.7.**

(क) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$। (ख) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$। (ग) युग्म का स्वाभाविक आकार बिंदु से बड़ा है: अतः अवस्था को दीवार आकार देती है, आकर्षण नहीं — $1/R^2$, $1/R$ को हरा देता है, जैसा कहा गया था। (घ) कमरे के ताप पर $k_{\text{B}}T$ बंधन का पाँच गुना है: अतः युग्म आयनित हो जाते हैं; और उत्तेजक-भौतिकी स्वच्छ क्रिस्टलों में $\sim50\,\mathrm{K}$ से नीचे ही जीती है।

**अभ्यास 11.8 ★★.**

प्रवेशन और क्षारीय धातुएँ। सोडियम एक हाइड्रोजन-सदृश संयोजी इलेक्ट्रॉन है, जो प्रभावी आवेश $+e$ के किसी बंद क्रोड के बाहर है। (क) $3s$, $3p$, $3d$ में से कौन अपूर्ण परिरक्षित नाभिक को सबसे अधिक अनुभव करता है, और क्यों (त्रिज्य चित्र स्मरण कीजिए)? (ख) मापे गए स्तर $E_{3s} = -5.14\,\mathrm{eV}$, $E_{3p} = -3.04\,\mathrm{eV},
E_{3d} = -1.52\,\mathrm{eV}$ हैं: जाँचिए कि $3d$ लगभग हाइड्रोजनी है ($n = 3$) जबकि $3s$ कहीं गहरा, और समझाइए। (ग) $3p \to 3s$ की तरंगदैर्घ्य निकालिए: वह कौन-सा प्रसिद्ध रंग है? (घ) क्षारीय स्तरों को $-E_{\text{I}}/(n - \delta_l)^2$ के रूप में लिखिए और सोडियम के लिए “क्वांटम दोष” $\delta_s$ तथा $\delta_p$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 11.8.**

(क) $3s$: उसकी सबसे भीतरी पाली क्रोड के भीतर तक गोता लगाती है, जहाँ नाभिकीय $+11$ मुश्किल से परिरक्षित है। (ख) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ $3d$ से लगभग ठीक-ठीक मेल खाता है: $3d$ क्रोड के बाहर परिक्रमा करता है और उसे कुल $+1$ दिखता है; जबकि $3s$ (और आंशिक रूप से $3p$) गहरा विभव चख लेते हैं और नीचे बैठ जाते हैं। (ग) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — अर्थात् सड़क-बत्तियों का सोडियम-पीला। (घ) $n_{\text{प्र}} =
\sqrt{13.6/|E|}$: $1.63$ और $2.11$, अतः $\delta_s = 1.37$, $\delta_p = 0.89$।

**अभ्यास 11.9 ★★.**

किसी नीहारिका में कोई प्रोटॉन किसी इलेक्ट्रॉन को $n = 100$ में पकड़ लेता है। (क) यदि इलेक्ट्रॉन लगभग मुक्त आया हो, तो पकड़ के फ़ोटॉन में कितनी ऊर्जा मुक्त होती है? (ख) परमाणु नीचे झरता है, अधिमानतः $\Delta n = 1$ पगों से, ऊँचे $n$ पर: वे फ़ोटॉन किस बैंड में पड़ते हैं? (ग) झरने का अंतिम पग लाइमन $\alpha$ है; और नीहारिकाओं का दृश्य प्रकाश H$\alpha$ से प्रधान रहता है: बताइए कि वह झरने का कौन-सा पग है। (घ) समझाइए कि उत्सर्जन-नीहारिकाएँ *लाल* क्यों चमकती हैं, यद्यपि हाइड्रोजन की सबसे प्रबल रेखा (लाइमन $\alpha$) पराबैंगनी है।

**हल — अभ्यास 11.9.**

(क) लगभग $n = 100$ का बंधन, $\sim1.4\,\mathrm{meV}$, और उस पर इलेक्ट्रॉन की छोटी तापीय ऊर्जा: अर्थात् कोई दूर-अवरक्त/रेडियो फ़ोटॉन। (ख) $\Delta n = 1$ वाले पग, $n \approx 100$ के पास, GHz रेडियो बैंड में पड़ते हैं — वही पुनर्संयोजन रेखाएँ। (ग) H$\alpha$ पग $3 \to
2$ है, जो झरने के अंत के पास है। (घ) लाइमन $\alpha$, यद्यपि सबसे प्रबल है, पराबैंगनी है और मूल-अवस्था हाइड्रोजन से भरी किसी नीहारिका में अनुनादी रूप से प्रकीर्ण होकर फँस जाती है; जबकि H$\alpha$ स्वतंत्र रूप से निकल जाती है और नीहारिका को लाल रंग देती है।

**अभ्यास 11.10 ★★★.**

औसत और विरियल। मूल अवस्था के लिए निकालिए: (क) $\langle 1/r\rangle$, और जाँचिए कि $\langle E_p\rangle = -2E_{\text{I}}
= 2E_1$; (ख) $\langle E_k\rangle = +E_{\text{I}}$, जिससे [अभ्यास 2.4](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4) का विरियल अनुपात जाँचा जाए; (ग) इलेक्ट्रॉन की वर्ग-माध्य-मूल चाल और $v/c$; (घ) उस चुंबकीय क्षेत्र की परिमाण-कोटि, जिसे इलेक्ट्रॉन की गति से *प्रोटॉन* अनुभव करता है (कोई धारा-पाश $ev/2\pi a_0$, दूरी $a_0$ से देखा हुआ) — वही संख्या, जो अतिसूक्ष्म संरचना को चाहिए होगी।

**हल — अभ्यास 11.10.**

(क) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$: अतः $\langle E_p\rangle = -k/a_0 =
-27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$। (ख) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle
E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$: अर्थात् विरियल अनुपात $-\tfrac12$, हर $1/r$ कक्षा का। (ग) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c =
2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (घ) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$, जो $53\,\mathrm{pm}$ पर परिक्रमा करती है: $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx
12\,\mathrm{T}$ — वही विशाल भीतरी क्षेत्र, जिस पर अतिसूक्ष्म संरचना पलेगी।

**अभ्यास 11.11 ★★★.**

सूक्ष्म संरचना कितनी सूक्ष्म है। (क) दिखाइए कि मूल अवस्था का चाल-पैमाना $\langle v^2\rangle^{1/2}/c = \alpha \approx 1/137$ है, और हाइड्रोजन-सदृश $Z$ के लिए: $Z\alpha/n$। (ख) आपेक्षिकीय संशोधन आपेक्षिक कोटि $(v/c)^2$ पर आते हैं: सूक्ष्म-संरचना का पैमाना $\alpha^2E_{\text{I}}$ $\mathrm{meV}$ में आँकिए, और $n = 2$ के लिए विपाटन की कोटि GHz में। (ग) हाइड्रोजन-सदृश यूरेनियम ($Z = 92$) के लिए: $v/c$, $n = 1$ पर — क्या अनापेक्षिकीय विवेचन टिक पाता है? (घ) $Z\alpha \to 1$ ($Z \approx 137$) पर औपचारिक अपसरण भौतिक रूप से किसकी घोषणा करता है?

**हल — अभ्यास 11.11.**

(क) [अभ्यास 11.10](#exo-b3-hydrogen-atom-10)(ग) से $v/c = \alpha$; और मापन: $Z\alpha/n$। (ख) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$; $n = 2$ पर विपाटन दसियों $\text{µ}\mathrm{eV}$ निकलते हैं — अर्थात् कोई $10\,\mathrm{GHz}$, जो रेडियो से मापने योग्य है (और मापे भी गए)। (ग) $Z\alpha =
0.67$: प्रकाश की चाल का दो तिहाई — अतः श्रोडिंगर वाला विवेचन विफल हो जाता है; डिराक का समीकरण मोर्चा सँभाल लेता है। (घ) $Z\alpha \to 1$ पर मूल अवस्था की ऊर्जा औपचारिक रूप से $-2m_{\text{e}}c^2$ के नीचे डूब जाती है: तब निर्वात स्वयं इलेक्ट्रॉन–पॉज़िट्रॉन युग्म छोड़ने लगता — अर्थात् अतिक्रांतिक क्षेत्र, जिन्हें भारी-आयन संघट्टों में खोजा जाता है।

**अभ्यास 11.12 ★★★.**

अनुचित-सी अपह्रासिता। (क) चिरसम्मत यांत्रिकी में दिखाइए कि $V = -k/r$ के लिए कक्षा बंद हो जाती है (कोई पुरस्सरण नहीं), और इसके लिए संरक्षित लाप्लास–रुंगे–लेंज़ सदिश $\vect A = \vect p\wedge\vect
L - mk\,\vect e_r$ का उल्लेख कीजिए — न्यूटन के नियम से $\dd\vect A/\dd t = 0$ जाँचिए। (ख) तर्क दीजिए: दीर्घवृत्त की अक्ष तय करने वाला कोई संरक्षित सदिश घूर्णनों से परे एक अतिरिक्त सममिति है — और अतिरिक्त सममिति का अर्थ अतिरिक्त अपह्रासिता है (स्मरण कीजिए [अभ्यास 8.9](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#exo-b3-quantum-formalism-9))। (ग) विभव में कोई छोटा $1/r^2$ संशोधन जोड़िए और दिखाइए कि दीर्घवृत्त पुरस्सरण करने लगता है: अक्ष घूम जाती है, और $\vect A$ अब संरक्षित नहीं। (घ) जोड़िए: बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में प्रभावी विभव शुद्ध $1/r$ नहीं होता, और $l$-अपह्रासिता टूट जाती है (सोडियम!); जबकि स्वयं हाइड्रोजन में वह छोटा संशोधन आपेक्षिकता देती है — [अभ्यास 11.11](#exo-b3-hydrogen-atom-11) की कौन-सी प्रेक्षित विशेषता वही है?

**हल — अभ्यास 11.12.**

(क) अवकलन कीजिए: $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect
r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$; और दुहरे वज्र-गुणनफल का प्रसार ठीक $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$ देता है: अतः $\dot{\vect A} =
\vect 0$। (ख) कोई संरक्षित अक्ष समदैशिकता से परे की सममिति है; और अपह्रासिता अधूरा नामकरण है, तथा वह अतिरिक्त नाम ($\vect
A$ का क्वांटम चचेरा भाई) $l$ को एक ही $n$ के भीतर जोड़ देता है। (ग) $V = -k/r + \epsilon/r^2$ के साथ प्रभावी कोणीय संवेग खिसक जाता है, कोणीय आवर्तकाल त्रिज्य आवर्तकाल से मेल नहीं खाता, और दीर्घवृत्त की अक्ष $\propto\epsilon$ की दर से घूम जाती है। (घ) स्वयं हाइड्रोजन में $\epsilon$ की भूमिका आपेक्षिकता के संशोधन निभाते हैं: [अभ्यास 11.11](#exo-b3-hydrogen-atom-11) की सूक्ष्म संरचना ठीक वही $l$-अपह्रासिता का टूटना है।

## 11.5 समस्या: दानव परमाणु

**समस्या 11.1.**

सप्ताहांत समस्या — रिडबर्ग परमाणु, मंदाकिनी की रेडियो चमक से क्वांटम संगणकों तक

हाइड्रोजन को $n \approx 100$ तक खींचिए और वह बिलकुल दूसरी ही तरह की वस्तु बन जाता है: माइक्रोमीटरों चौड़ा, मिलीइलेक्ट्रॉनवोल्टों से बँधा, हास्यास्पद रूप से सुग्राही — और हास्यास्पद रूप से उपयोगी भी। यह समस्या हाइड्रोजन के हल को ऊपर की ओर मापित करती है, पहले उन अंतरतारकीय बादलों तक जो सेंटीमीटर तरंगदैर्घ्यों पर प्रसारण करते हैं, फिर उन प्रयोगशाला-सरणियों तक जहाँ ऐसे दानव एक-दूसरे को उलझाकर संसाधक बना देते हैं। आँकड़े: $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$, $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$, $R_{\text{H}}c = 3.29 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $300\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ $25.9\,\mathrm{meV}$ है।

**भाग I — मापन-नियम।**

1. $n$ के साथ चार बुनियादी मापन दीजिए: आकार $\langle  r\rangle$ , बंधन $|E_n|$ , अंतराल $E_{n+1} - E_n$ (बड़े $n$ के लिए), और संगत बोर कक्षा की चिरसम्मत कक्षीय आवृत्ति।
2. दिखाइए कि बड़े $n$ के लिए संक्रमण-आवृत्ति $n+1 \to  n$ $2R_{\text{H}}c/n^3$ की ओर जाती है, और जाँचिए कि वह चिरसम्मत कक्षीय आवृत्ति के बराबर है ( [समस्या 2.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1) का संगतता सिद्धांत, पूरा किया हुआ)।
3. $n = 50$ और $n = 100$ पर आकार और बंधन निकालिए।
4. किसी रिडबर्ग परमाणु का विद्युत् द्विध्रुव $n^2ea_0$ की तरह मापित होता है: $n = 50$ पर उसे डिबाई में निकालिए ( $1\,\text{D} =  3.34 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) और किसी जल-अणु के $1.85\,\mathrm{D}$ से तुलना कीजिए।
5. वह विद्युत् क्षेत्र आँकिए जो $n = 50$ के परमाणु को चीर देता है, $F \sim |E_n|/(e\,\langle r\rangle)$ के रूप में, V/cm में।
6. ऐसे परमाणु साधारण प्रयोगशाला-निर्वात की रसायन-विद्या क्यों नहीं झेल पाते — फिर भी अंतरतारकीय दिक् में ठीक-ठाक जी लेते हैं (संघट्ट-दरों की तुलना कीजिए)?

**भाग II — मंदाकिनी की पुनर्संयोजन रेखाएँ।** आयनित नीहारिकाओं में प्रोटॉन इलेक्ट्रॉनों को ऊँचे $n$ में पकड़ लेते हैं; और झरना “रेडियो पुनर्संयोजन रेखाओं” की एक कंघी विकिरित करता है।

7. $n = 110 \to 109$ संक्रमण (जिसे H109 $\alpha$ कहते हैं) की आवृत्ति निकालिए।
8. वह किस बैंड में पड़ती है, और उसे कैसा दूरदर्शी ग्रहण करता है?
9. H109 $\alpha$ की तरंगदैर्घ्य निकालिए और उसकी तुलना उत्सर्जक परमाणु के आकार से कीजिए: एक तरंगदैर्घ्य में कितने परमाणु समाते हैं?
10. ये रेखाएँ अपनी डॉप्लर चौड़ाई से नीहारिका का ताप नाप देती हैं: $T = 10^{4}\,\mathrm{K}$ पर हाइड्रोजन की तापीय चाल $\sim12.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ है — आंशिक रेखा-चौड़ाई $\Delta\nu/\nu$ और H109 $\alpha$ की चौड़ाई kHz में निकालिए।
11. रेडियो तरंगें उस धूल को पार कर जाती हैं जो प्रकाशिक आकाश को काला कर देती है: इससे पुनर्संयोजन-रेखा वाले खगोलविद क्या नक्शा बना पाते हैं, जो बामर-रेखा वाले नहीं बना पाते?
12. मोटे तौर पर $n \sim 1000$ से ऊपर (परमाणु $0.05$ मिलीमीटर चौड़े!), स्तर दिक् में भी धुँधले होकर सांतत्यक बन जाते हैं: ऐसी अवस्थाओं को चौड़ा करने या नष्ट करने वाले दो प्रभाव बताइए।

**भाग III — प्रयोगशाला में दानव।**

13. लेज़र रूबिडियम परमाणुओं को माइक्रोमीटर-अंतराल वाली प्रकाशिक-चिमटी सरणियों में $n \approx 70$ तक चढ़ा देते हैं। दूरी $R$ पर के ऐसे दो परमाणु अपने प्रेरित द्विध्रुवों से अन्योन्यक्रिया करते हैं (स्मरण कीजिए [अभ्यास 9.10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#exo-b3-harmonic-oscillator-10) ): द्विध्रुव $\propto n^2$ के साथ दिखाइए कि वान डर वाल्स प्रबलता किसी विशाल $n^{11}$ की तरह मापित होती है ( $C_6 \propto d^4/\Delta E$ लीजिए, जहाँ स्तर-अंतराल $\Delta E \propto n^{-3}$ )।
14. “अवरोध”: किसी त्रिज्या $R_{\text{b}}$ के भीतर अन्योन्यक्रिया दुहरी उत्तेजित अवस्था को लेज़र-अनुनाद से बाहर खिसका देती है, अतः *दो* परमाणु एक साथ उत्तेजित नहीं हो सकते। एक वाक्य में समझाइए कि इससे कोई द्वि-क्यूबिट फाटक कैसे बन जाता है।
15. अवरोध-त्रिज्याएँ कई माइक्रोमीटर तक पहुँचती हैं — परमाणुओं के मूल-अवस्था आकार से हज़ारों गुना: यह लंबी पहुँच (रसायन की नैनोमीटर पहुँच से तुलना कीजिए) किसी मापनीय संसाधक को ठीक क्यों चाहिए?
16. $n = 70$ की कोई रिडबर्ग अवस्था $\sim100\,\text{µ}\mathrm{s}$ जीती है, जबकि कोई फाटक $\sim0.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ लेता है: एक जीवनकाल में मोटे तौर पर कितनी संक्रियाएँ समाती हैं, और अकेले जीवनकाल के बजाय वही अनुपात क्यों मायने रखता है?
17. कमरे के ताप का कृष्णिका विकिरण, जिसका शिखर $100\,\mathrm{meV}$ के पास है पर जिसमें नीची ऊर्जा की समृद्ध पुच्छ है, केवल $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ के अंतराल वाले पड़ोसी रिडबर्ग स्तरों के बीच संक्रमण चला देता है: यथार्थ प्रयोगों को परमाणुओं को ठंडे कवचों में क्यों बंद करना पड़ता है?
18. आँकिए कि $300\,\mathrm{K}$ का कोई फ़ोटॉन-कुंड प्रति सेकंड कितने ऐंटेना-जैसे द्विध्रुव संक्रमण ( $\propto n^2$ ) चलाता है, किसी $n = 1$ परमाणु की तुलना में: कौन-सा मापन रिडबर्ग परमाणुओं को सूक्ष्मतरंग और टेराहर्ट्ज़ क्षेत्रों का उत्तम *संवेदक* बना देता है?

**भाग IV — बड़ा चित्र।**

19. एक ही सूत्र, $E_n = -E_{\text{I}}\mu Z^2/m_{\text{e}}n^2$ , हाइड्रोजन-सदृश यूरेनियम ( $Z = 92$ , $n = 1$ ) से लेकर किसी $n = 1000$ रिडबर्ग अवस्था तक बंधन ऊर्जा की कितनी कोटियाँ समेटता है? दोनों सिरे निकालिए।
20. नीचे $l$ वाली अवस्थाओं के विकिरणी जीवनकाल $n^3$ की तरह मापित होते हैं: $1.6\,\mathrm{ns}$ के $2p$ जीवनकाल से किसी $100p$ अवस्था का जीवनकाल आँकिए — और भाग III की कमरे-ताप कृष्णिका समस्या से तुलना कीजिए।
21. CERN में प्रतिहाइड्रोजन के प्रति-परमाणुओं का वर्णक्रम अब $1s \to 2s$ अंतराल पर पंद्रह अंकों तक लिया जाता है: साधारण हाइड्रोजन से मेल किस मूल सममिति की परीक्षा करता है, और इस तुलना के लिए हाइड्रोजन ही सही परमाणु क्यों है?
22. $n \sim 100$ पर इलेक्ट्रॉन की दे ब्रॉग्ली तरंग लगभग किसी चिरसम्मत कक्षा को लपेट लेती है; जबकि $n = 1$ पर कोई कक्षा है ही नहीं: एक वाक्य में बताइए कि चिरसम्मत चित्र कहाँ चालू होता है।
23. रिडबर्ग नियतांक पंद्रह अंकों तक नापे जाते हैं: सारे तंत्रों में हाइड्रोजन ही परमाणु-भौतिकी का स्वाभाविक यथार्थता-लंगर क्यों है?
24. 2012 के नोबेल पुरस्कार (आरोश) में रिडबर्ग परमाणु ऐसे फ़ोटॉन-गणकों की तरह काम में लाए गए जो फ़ोटॉन को नष्ट नहीं करते: भाग I और भाग III के कौन-से दो गुण उन्हें सूक्ष्मतरंग क्षेत्रों की आदर्श अ-विध्वंसक जाँच बनाते हैं?
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: एक ठीक-ठीक हल किए गए परमाणु के $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ और $n^{11}$ मापन हाइड्रोजन को $52.9\,\mathrm{pm}$ से आधे माइक्रोमीटर तक खींच देते हैं, उसकी आवाज़ $121.6\,\mathrm{nm}$ से $6\,\mathrm{cm}$ तक सुर में बाँध देते हैं, और उसे मंदाकिनी का रेडियो प्रकाश-स्तंभ तथा उदासीन-परमाणु क्वांटम संगणकों का द्वि-क्यूबिट फाटक, दोनों बना देते हैं।

**हल — समस्या 11.1.**

**1.** $\langle r\rangle \sim n^2a_0$; $|E_n| =
E_{\text{I}}/n^2$; अंतराल $\approx 2E_{\text{I}}/n^3$; कक्षीय आवृत्ति $\propto 1/n^3$ (बोर कक्षा पर केप्लर)। **2.** $E_{n+1} - E_n \to 2E_{\text{I}}/n^3$, और $h$ गुना चिरसम्मत आवृत्ति $v_n/2\pi r_n$ वही व्यंजक देता है ([समस्या 2.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1) की गणना, मद 20)। **3.** $n = 50$: $132\,\mathrm{nm}$, $5.4\,\mathrm{meV}$; $n = 100$: $0.53\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.4\,\mathrm{meV}$। **4.** $n^2ea_0 = 2.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 6300\,\text{D}$: अर्थात् एक ही परमाणु पर तीन हज़ार जल-अणुओं जितना द्विध्रुव। **5.** $F \sim 5.4 \times 10^{-3}/1.32 \times 10^{-7} \approx
4 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} = 400\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$; और यथार्थ चिरसम्मत-आयनन की देहली उससे लगभग आठ गुना छोटी है ($\sim50\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$): दोनों ही तरह, किसी क्षेत्र की फुसफुसाहट भर। **6.** $\sim\pi n^4a_0^2$ की ज्यामितीय अनुप्रस्थ काटों के साथ, प्रयोगशाला का अति-उच्च निर्वात भी ऐसे परमाणु को माइक्रोसेकंडों में टकरा देता है; जबकि अंतरतारकीय घनत्व ($\sim10^{6}$ कण प्रति $\mathrm{m}^{3}$) उसे दिनों तक छोड़ देते हैं — दिक् बेहतर निर्वात-कक्ष है। **7.** $\nu = R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) =
5.01\,\mathrm{GHz}$। **8.** सेंटीमीटर रेडियो: कोई रेडियो दूरदर्शी — एक बड़ी थाली और एक शांत ग्राही। **9.** $\lambda = 6.0\,\mathrm{cm}$; और $n = 110$ का परमाणु $\sim0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ का है: अर्थात् प्रति तरंगदैर्घ्य एक लाख परमाणु — आराम से “ऐंटेना” परिसर। **10.** $\Delta\nu/\nu \sim v/c = 4.3 \times 10^{-5}$: अर्थात् $5\,\mathrm{GHz}$ पर लगभग $200\,\mathrm{kHz}$ — और मापी गई चौड़ाई नीहारिका का ताप लौटा देती है। **11.** आयनित भीतरी मंदाकिनी: वे HII क्षेत्र, जो उस धूल के पीछे छिपे हैं जो हर बामर फ़ोटॉन बुझा देती है — रेडियो पुनर्संयोजन रेखाओं ने वह सर्पिल संरचना नक्शे पर लाई जो प्रकाशिक खगोलिकी नहीं देख सकी। **12.** पड़ोसी आयनों के सूक्ष्म विद्युत् क्षेत्र (स्टार्क चौड़ीकरण) स्तरों को धुँधला कर देते हैं, और कृष्णिका/ब्रह्मांडीय विकिरण तथा संघट्ट इन नाज़ुक अवस्थाओं को आयनित या $l$-मिश्रित कर देते हैं। **13.** $C_6 \sim d^4/\Delta E \propto (n^2)^4/n^{-3} =
n^{11}$: $n$ को $1$ से $70$ कीजिए और अन्योन्यक्रिया बीस कोटि बढ़ जाती है। **14.** $R_{\text{b}}$ के भीतर युग्म-अवस्था अनुनाद से बाहर खिसक जाती है, अतः एक परमाणु का उत्तेजन उसके पड़ोसी की अनुक्रिया को *प्रतिबंधित* कर देता है: ठीक वही नियंत्रित तर्क, जो किसी द्वि-क्यूबिट फाटक को चाहिए। **15.** माइक्रोमीटर-परास की अन्योन्यक्रियाएँ हर परमाणु को अपनी ही संबोधनीय चिमटी में बैठने देती हैं — परमाणु के मानकों से बहुत दूर, फिर भी प्रबल युग्मित: अर्थात् अन्योन्यक्रिया की परास, प्रकाशिक विभेदन से सुर में। **16.** प्रति जीवनकाल $\sim 200$ फाटक: यही अनुपात प्राप्य निष्ठा की सीमा बाँधता है, और किसी संसाधक की जान कच्चे माइक्रोसेकंडों में नहीं, इसी अनुपात में बसती है। **17.** $300\,\mathrm{K}$ पर फ़ोटॉन-कुंड $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ पर सघन है: वह रिडबर्ग स्तरों को उनके विकिरणी जीवनकालों के भीतर ही फेंट देता और आयनित कर देता है; जबकि ठंडे ($4\,\mathrm{K}$) कवच उन संक्रमणों को भूखा रख देते हैं। **18.** संक्रमण-दरें $d^2 \propto n^4$ की तरह मापित होती हैं: $n =
50$ पर किसी साधारण परमाणु के युग्मन से साठ लाख गुना — और इसीलिए रिडबर्ग परमाणुओं की कोई वाष्प-कोठरी अब अंशांकित सूक्ष्मतरंग और टेराहर्ट्ज़ क्षेत्र-संवेदक है। **19.** $92^2 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 115\,\mathrm{keV}$ से नीचे $13.6/10^6\,\mathrm{eV} = 13.6\,\text{µ}\mathrm{eV}$ तक: एक ही सूत्र से दस कोटियाँ। **20.** चिरसम्मतता वहाँ उगती है जहाँ अंतराल ऊर्जा का लुप्तप्राय अंश बन जाए, $n \gg 1$ — अर्थात् परमाणु की अपनी संगतता-सीमा। **21.** यही अकेला परमाणु है जिसे प्रयोग की यथार्थता तक मूल सिद्धांतों से निकाला जा सकता है: अतः कोई भी बेमेल खोज है, और इसीलिए हाइड्रोजन मूल नियतांकों का लंगर है। **22.** $\tau \approx 1.6\,\mathrm{ns} \times 50^3 =
0.2\,\mathrm{ms}$ — उदार, पर कृष्णिका द्वारा पुनर्वितरण (भाग III) उसमें से खाता रहता है, जो ठंडे कवचों का एक और कारण है। **23.** CPT सममिति — पदार्थ और प्रतिपदार्थ के परमाणुओं की रेखा-दर-रेखा मेल खानी चाहिए; और हाइड्रोजन इसलिए लंगर है कि केवल वहीं सिद्धांत प्रयोग के साथ-साथ पंद्रहवें अंक तक पहुँचता है। **24.** $n^2$ वाला द्विध्रुव परमाणु को किसी एक सूक्ष्मतरंग फ़ोटॉन का क्षेत्र अनुभव करा देता है, जबकि उसका लंबा जीवनकाल और स्तर-संरचना उसे फ़ोटॉन सोखे *बिना* एक मापनीय कला पा लेने देते हैं: अर्थात् क्वांटम अ-विध्वंसक संवेदन। **25.** मापन $n^2$, $n^{-2}$, $n^{-3}$, $n^{11}$ उस एक हल किए गए परमाणु को $52.9\,\mathrm{pm}$ से आधे माइक्रोमीटर तक और $121.6\,\mathrm{nm}$ से $6\,\mathrm{cm}$ तक खींच देते हैं — वही श्रोडिंगर हल, जो मंदाकिनी के HII क्षेत्रों से प्रसारण करता है और चिमटी-सरणियों में द्वि-क्यूबिट फाटक चलाता है।