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title: "चक्रण और द्वि-स्तरीय तंत्र"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/12-spin-and-two-level-systems
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# अध्याय 12 — चक्रण और द्वि-स्तरीय तंत्र

1922 में श्टर्न और गेरलाख ने चाँदी के परमाणुओं का एक पुंज किसी बेढब चुंबक से होकर भेजा, यह अपेक्षा करते हुए कि या तो कोई विक्षेपण नहीं होगा या कोई संतत धब्बा बनेगा। पुंज साफ़-साफ़ *दो* में बँट गया। कोई भी कक्षकीय कोणीय संवेग ऐसा नहीं कर सकता: $2l + 1$ सदा विषम होता है। वे परमाणु एक नई, विशुद्ध क्वांटम संपदा की घोषणा कर रहे थे — *[चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin)*, अर्थात् $j = \tfrac12$ का कोई अंतर्जात कोणीय संवेग, वही अर्ध-पूर्णांक पायदान जिसे [अध्याय 10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#ch-b3-quantum-angular-momentum) का बीजगणित तैयार रखे था और जिसे कक्षाएँ कभी काम में नहीं ला सकती थीं। [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) हर इलेक्ट्रॉन-अवस्था को दुगुना कर देता है (और आवर्त सारणी के पीछे की गिनती पूरी कर देता है), लोहे तथा प्रोटॉन का चुंबकत्व ढोता है, और प्रकृति का सबसे स्वच्छ द्वि-स्तरीय तंत्र है: इस अध्याय की भौतिकी हर अस्पताल का [चुंबकीय अनुनाद](#prop-b3-spin-two-level-rabi) क्रमवीक्षक चलाती है, वह सीज़ियम घड़ी भी जो सेकंड को परिभाषित करती है, वह 21 सेंटीमीटर की फुसफुसाहट भी जिससे मंदाकिनियों का नक्शा बनता है, और क्यूबिट भी।

## 12.1 वह प्रयोग जिसने उसे खोजा

**उदाहरण 12.1 (श्टर्न–गेरलाख).**

किसी *असमांगी* क्षेत्र में कोई चुंबकीय आघूर्ण $\vect\mu$ बल $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ अनुभव करता है: अतः विक्षेपण $\mu_z$ नाप देता है। चिरसम्मत अपेक्षा: आघूर्ण यादृच्छिक दिशाओं में, और एक संतत पंखा। कक्षकीय संवेगों के लिए क्वांटम अपेक्षा: $2l + 1$ धब्बे: एक, तीन, पाँच — सदा विषम। चाँदी के लिए (और हाइड्रोजन के लिए) प्रेक्षित: *दो* धब्बे, सममित, और बीच में कुछ नहीं। नापा गया घटक ठीक दो ही मान लेता है — $j
= \tfrac12$ की छाप, जो कक्षाओं के लिए वर्जित है, और क्वांटन का सीधा प्रदर्शन: यंत्र किसी एक चक्रण-घटक का माप-उपकरण है, और पुंज उसके दो अभिलक्षणिक मानों में बँट जाता है।

![श्टर्न–गेरलाख प्रयोग: कोई असमांगी क्षेत्र विपरीत आघूर्णों को विपरीत दिशाओं में खींच लेता है, और चुंबक को किसी एक चक्रण-घटक का माप-यंत्र बना देता है। चाँदी के परमाणु दो धब्बों पर गिरते हैं — अर्थात् एक द्विमानी प्रेक्ष्य, रंगे हाथों पकड़ा गया।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-36aaebf50372.svg)

*श्टर्न–गेरलाख प्रयोग: कोई असमांगी क्षेत्र विपरीत आघूर्णों को विपरीत दिशाओं में खींच लेता है, और चुंबक को किसी एक चक्रण-घटक का माप-यंत्र बना देता है। चाँदी के परमाणु दो धब्बों पर गिरते हैं — अर्थात् एक द्विमानी प्रेक्ष्य, रंगे हाथों पकड़ा गया।*

**परिभाषा 12.2 (चक्रण एक-बटा-दो).**

इलेक्ट्रॉन (और प्रोटॉन, न्यूट्रॉन तथा क्वार्क) $j = \tfrac12$ का कोई अंतर्जात कोणीय संवेग ढोता है: अर्थात् एक द्विविमीय अवस्था-समष्टि, जिसे $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ फैलाते हैं ($\hat S_z$ की अभिलक्षणिक अवस्थाएँ, $\pm\hbar/2$ के साथ), और जिस पर

$$
\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad
\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\;
\sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\;
\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
$$

— अर्थात् *पाउली आव्यूह*, जो कोणीय संवेग के बीजगणित को उसके सबसे छोटे संभव घर में साकार करते हैं। कोई व्यापक अवस्था $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ एक *स्पिनर* है। इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण है

$$
\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} ,
\qquad g \approx 2 :
$$

अर्थात् प्रति एकांक कोणीय संवेग कक्षकीय दर का दुगुना — वही विषमता, जिसे आइंस्टाइन–दे हास ने नापा था ([अभ्यास 10.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#exo-b3-quantum-angular-momentum-12)) और जिसकी भविष्यवाणी बाद में डिराक का समीकरण करेगा। चक्रण किसी वस्तु का घूमना नहीं है: न कोई त्रिज्या, न कोई “घूमती गेंद” जाँच के आगे टिकती है — वह अंतर्जात है, आवेश की तरह।

**उदाहरण 12.3 (शृंखलाबद्ध श्टर्न–गेरलाख छन्ने).**

$S_z = +\hbar/2$ वाला पुंज छाँटिए और $S_z$ फिर नापिए: सारे परमाणु $+$ ही उत्तर देते हैं। इसके बदले $S_x$ नापिए: आधे-आधे — अर्थात् अवस्था $\ket\uparrow$ ही अध्यारोपण $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ है। अब $S_x = +$ वाला पुंज रखिए और $S_z$ एक बार और नापिए: *फिर* आधे और आधे — $S_x$ की माप ने पहले से तीखे $S_z$ को मिटा दिया। असंगति, संकुचन और [बोर्न का नियम](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#thm-b3-quantum-formalism-postulates) दिखाने के लिए तीन चुंबक बहुत हैं; यह शृंखला परमाणुओं से किया गया [उदाहरण 8.7](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#ex-b3-quantum-formalism-threepolarizers) ही है।

## 12.2 ब्लॉख गोला

**प्रतिज्ञप्ति 12.4 (किसी भी अक्ष के अनुदिश चक्रण).**

एकांक दिशा $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi,
\sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ के लिए संकारक $\vect
n\cdot\hat{\vect\sigma}$ के [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$ हैं, जहाँ

$$
\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow +
\eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .
$$

हर शुद्ध [स्पिनर](#def-b3-spin-two-level-spin) ठीक एक ही दिशा के लिए $\ket{+\vect n}$ है: अतः अवस्था-समष्टि किसी गोले पर प्रतिचित्रित हो जाती है — वही *[ब्लॉख गोला](#prop-b3-spin-two-level-bloch)* — जिसमें लांबिक अवस्थाएँ *प्रतिध्रुवों* पर बैठती हैं (आधे-कोणों पर ध्यान दीजिए: विपरीत दिशाएँ लांबिक हैं, लंबवत दिशाएँ नहीं)। इस गोले के घूर्णन ठीक वही विकास हैं जो कोई चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है: अर्थात् अब तक किए गए हर क्यूबिट-प्रचालन की ज्यामिति।

**आंशिक उपपत्ति.** $2\times2$ आव्यूह $\vect n\cdot\vect\sigma =
\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\
\sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$ का विकर्णन कीजिए: अनुरेख $0$, सारणिक $-1$, [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$; और दिया हुआ [स्पिनर](#def-b3-spin-two-level-spin) प्रतिस्थापन से जाँच लिया जाता है (आधे-कोण की सर्वसमिकाएँ)। प्रतिध्रुव: $\theta \to \pi -
\theta$, $\varphi \to \varphi + \pi$ से $\braket{+\vect
n'}{+\vect n} = 0$ मिलता है। ∎

![ब्लॉख गोला: चक्रण-1/2 की हर अवस्था एक बिंदु है; ध्रुव , हैं, विषुवत्-वृत्त उनके बराबर अध्यारोपण रखता है, और लांबिक अवस्थाएँ प्रतिध्रुवों पर बैठती हैं। चुंबकीय क्षेत्र इस गोले को घुमाते हैं — अर्थात् क्यूबिट का नियंत्रण-पटल।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-2e719abea8a1.svg)

*[ब्लॉख गोला](#prop-b3-spin-two-level-bloch): चक्रण-$\tfrac12$ की हर अवस्था एक बिंदु है; ध्रुव $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ हैं, विषुवत्-वृत्त उनके बराबर अध्यारोपण रखता है, और लांबिक अवस्थाएँ प्रतिध्रुवों पर बैठती हैं। चुंबकीय क्षेत्र इस गोले को घुमाते हैं — अर्थात् क्यूबिट का नियंत्रण-पटल।*

## 12.3 क्षेत्र में चक्रण: पुरस्सरण और अनुनाद

**प्रतिज्ञप्ति 12.5 (लार्मर पुरस्सरण).**

किसी स्थैतिक क्षेत्र $\vect B_0 = B_0\vect e_z$ में [हैमिल्टोनियन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\hat
H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ दोनों स्तरों को $\hbar\omega_0$ जितना विपाटित कर देता है और माध्य [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) को क्षेत्र के परितः *पुरस्सरण* कराता है:

$$
\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} =
\gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad
\omega_0 = |\gamma|B_0 ,
$$

जहाँ [घूर्णचुंबकीय अनुपात](#prop-b3-spin-two-level-larmor) $\gamma$ है ($\mu = \gamma S$)। ब्लॉख सदिश $z$ के परितः $\omega_0$ पर घूमता है, और क्षेत्र से उसका कोण जमा रहता है — ठीक वही चिरसम्मत घूर्णदर्शी वाला चित्र, जो यहाँ इसलिए यथार्थ है कि [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator) रैखिक हैं। इलेक्ट्रॉन के लिए: $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$; और प्रोटॉन के लिए (आघूर्ण $2.79$ नाभिकीय मैग्नेटॉन): $\gamma_p/2\pi =
42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — हर MRI मशीन का नंबर-प्लेट।

**उपपत्ति.** यहाँ [प्रतिज्ञप्ति 8.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#prop-b3-quantum-formalism-evolution) को $\hat H =
-\gamma B_0\hat S_z$ के साथ लगाइए: [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator) देते हैं $\dd\langle\hat
S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$, $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat
S_x\rangle$ और $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$, जो मिलकर कथित सदिश गुणनफल बना देते हैं। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 12.6 (चुंबकीय अनुनाद).**

अब एक छोटा क्षेत्र $B_1$ जोड़िए, जो अनुप्रस्थ तल में आवृत्ति $\omega$ से घूमता हो। उसके साथ घूमते तंत्र में $B_0$ प्रभावी रूप से घटकर $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$ रह जाता है; *अनुनाद पर* ($\omega = \omega_0$) केवल $B_1$ बचता है, और [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) उसी के परितः *राबी आवृत्ति* $\Omega_1 =
|\gamma|B_1$ पर पुरस्सरण करता है: $\ket\uparrow$ से आरंभ करने पर पलट जाने की प्रायिकता है

$$
\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .
$$

$\pi/\Omega_1$ अवधि की कोई स्पंद (कोई “$\pi$ स्पंद”) [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) को उलट देती है; और उसकी आधी (कोई “$\pi/2$ स्पंद”) उसे विषुवत् तल में लिटा देती है, जहाँ वह $\omega_0$ पर पुरस्सरण करता है और फ़ैराडे प्रेरण से अपनी आवृत्ति किसी भी पास की कुंडली में *प्रसारित* कर देता है। अनुनाद से हटने पर फ़्लॉपिंग का आयाम $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 +
(\omega - \omega_0)^2]$ की तरह गिर जाता है: अतः अनुक्रिया तीखे ढंग से चयनी है — एक अनुनाद — और यही चक्रणों को संबोधनीय बनाता है, जाति-दर-जाति और, किसी क्षेत्र-प्रवणता के साथ, स्थान-दर-स्थान ([समस्या 12.1](#pb-b3-spin-two-level-1))।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![बाएँ: राबी दोलन — अनुनाद पर चक्रण पूरा और आवर्ती रूप से पलटता है; अनुनाद से हटने पर केवल आंशिक रूप से और अधिक तेज़ी से। दाएँ: स्पंदों के बीच माध्य चक्रण B_0 के परितः लार्मर आवृत्ति पर पुरस्सरण करता है और अपना स्वर ग्राही कुंडली में गा देता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-8197933e8af3.svg)

*बाएँ: [राबी दोलन](#prop-b3-spin-two-level-rabi) — अनुनाद पर [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) पूरा और आवर्ती रूप से पलटता है; अनुनाद से हटने पर केवल आंशिक रूप से और अधिक तेज़ी से। दाएँ: स्पंदों के बीच माध्य [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) $\vect B_0$ के परितः लार्मर आवृत्ति पर पुरस्सरण करता है और अपना स्वर ग्राही कुंडली में गा देता है।*

**उदाहरण 12.7 (अतिसूक्ष्म संरचना और 21 cm रेखा).**

हाइड्रोजन की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) अपने चुंबकीय आघूर्णों से अन्योन्यक्रिया करते हैं: चारों चक्रण-अवस्थाएँ एक त्रिक और एक एकक में बँट जाती हैं, जिनके बीच केवल $\Delta E =
5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ का अंतर है — वही *अतिसूक्ष्म* विपाटन, $\nu =
1420\,\mathrm{MHz}$, $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$। यह संक्रमण हास्यास्पद रूप से धीमा है (प्रति एक करोड़ वर्ष में एक पलटाव), पर मंदाकिनी में $10^{66}$ [हाइड्रोजन परमाणु](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#thm-b3-hydrogen-atom-levels) हैं: अतः [21 cm रेखा](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) इतनी चमकीली है कि उसने सर्पिल भुजाएँ, चकती का मोड़, और — अपने डॉप्लर खिसकावों से — वे सपाट घूर्णन-वक्र भी नक्शे पर ला दिए जो श्याम पदार्थ का तर्क देते हैं। वही भौतिकी सीज़ियम की मूल अवस्था में स्तरों को ठीक $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ जितना विपाटित करती है: और 1967 से *सेकंड की परिभाषा* गिनकर पूरा किया गया कोई अतिसूक्ष्म चक्रण-पलटाव ही है ([अभ्यास 12.12](#exo-b3-spin-two-level-12))।

**विधि 12.8 (द्वि-स्तरीय कारीगरी).**

(1) किसी भी द्वि-स्तरीय [हैमिल्टोनियन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) को पाउली आव्यूहों में लिखिए: $\hat H =
\epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — तब ब्लॉख सदिश $\vect h$ के परितः $2|\vect h|/\hbar$ पर पुरस्सरण करता है; बाकी सब ज्यामिति है। (2) $\vect n$ के अनुदिश अभिलक्षणिक अवस्थाएँ: आधे-कोण काम में लाइए। (3) अनुनाद की समस्याएँ: घूमते तंत्र में जाइए; अनुनाद पर केवल $B_1$ बचता है। (4) स्पंद: पुरस्सरण का संकेत आरंभ करने के लिए $\pi/2$, उलटने के लिए $\pi$ (और फिर से केंद्रित करने के लिए भी — वही चक्रण-प्रतिध्वनि)। (5) ऊर्जा-पैमाने: इलेक्ट्रॉनों के लिए $\mu_{\text{B}}B$ ($58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$), और नाभिकों के लिए उससे तीन कोटि कम — अर्थात् रेडियो आवृत्तियाँ, केल्विन-मुक्त वर्णक्रममिति।

![कोई MRI क्रमवीक्षक: एक अतिचालक क्षेत्र शरीर के प्रोटॉन-चक्रणों को पंक्तिबद्ध करता है, रेडियो स्पंद उन्हें झुका देते हैं, और उनका लार्मर पुरस्सरण कुंडली-दर-कुंडली पढ़ लिया जाता है — इसी अध्याय की द्वि-स्तरीय भौतिकी, किसी घुटने का चित्र लेती हुई।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/img-8bdbd120f4ce.jpg)

*कोई MRI क्रमवीक्षक: एक अतिचालक क्षेत्र शरीर के प्रोटॉन-चक्रणों को पंक्तिबद्ध करता है, रेडियो स्पंद उन्हें झुका देते हैं, और उनका [लार्मर पुरस्सरण](#prop-b3-spin-two-level-larmor) कुंडली-दर-कुंडली पढ़ लिया जाता है — इसी अध्याय की द्वि-स्तरीय भौतिकी, किसी घुटने का चित्र लेती हुई।*

## 12.4 अभ्यास

**अभ्यास 12.1 ★.**

(क) $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ और $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$ जाँचिए। (ख) उससे $[\hat S_x, \hat S_y]
= \iu\hbar\hat S_z$ निकालिए: अर्थात् दो विमाओं में कोणीय संवेग का बीजगणित। (ग) दिखाइए कि $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ और $j(j+1)$ जाँचिए, $j = \tfrac12$ के लिए। (घ) दिखाइए कि कोई भी $2\times2$ हर्मिटीय आव्यूह $\mathbb 1$ तथा तीनों $\sigma_i$ का वास्तविक संयोजन है।

**हल — अभ्यास 12.1.**

(क) सीधा गुणन। (ख) $[\hat S_x, \hat S_y] =
(\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$। (ग) $\hat S^2 =
(\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$: अर्थात् सचमुच $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$। (घ) $\{\mathbb 1, \sigma_x,
\sigma_y, \sigma_z\}$ हर्मिटीय $2\times2$ आव्यूहों की चारों वास्तविक विमाएँ फैलाते हैं ($a + \vect b\cdot\vect\sigma$, जिसमें $a,
\vect b$ वास्तविक हैं)।

**अभ्यास 12.2 ★.**

(क) $\sigma_x$ और $\sigma_y$ की प्रसामान्यित अभिलक्षणिक अवस्थाएँ ज्ञात कीजिए। (ख) $\ket{+x}$ में तैयार किए गए किसी [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) को $z$ के अनुदिश नापा जाता है: परिणामों की प्रायिकताएँ? (ग) और $y$ के अनुदिश? (घ) दोनों को ब्लॉख चित्र से जाँचिए (कौन-से कोण $\theta, \varphi$?)।

**हल — अभ्यास 12.2.**

(क) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$। (ख) आधे-आधे। (ग) फिर आधे-आधे: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 =
|1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$। (घ) $\ket{+x}$: विषुवत् पर, $\varphi =
0$ पर; और $z$ या $y$ के अनुदिश मापने पर वह $90^\circ$ दूर के ध्रुवों पर प्रक्षिप्त होता है — अतः सदा $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$।

**अभ्यास 12.3 ★.**

तीन शृंखलाबद्ध श्टर्न–गेरलाख चुंबक, जिनकी अक्षें $z$, फिर $\vect n$ (कोण $\theta$ पर, $xz$ तल में), और फिर $z$ हैं; हर बार $+$ वाला पुंज रखा जाता है। (क) दूसरे चुंबक से बचने की प्रायिकता। (ख) तीनों से बचने की। (ग) $\theta = 90^\circ$ पर मान निकालिए और [उदाहरण 12.3](#ex-b3-spin-two-level-chained) से तुलना कीजिए। (घ) किस $\theta$ के लिए तीन-चुंबक उत्तरजीविता अधिकतम है, और वह उत्तर [अभ्यास 8.5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#exo-b3-quantum-formalism-5) की किस बात की गूँज है?

**हल — अभ्यास 12.3.**

(क) $\cos^2(\theta/2)$। (ख) $\cos^2(\theta/2) \times
\cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$। (ग) $\theta = 90^\circ$: $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$, अर्थात् ध्रुवक-शृंखला वाली वही संख्या। (घ) तुच्छ रूप से $\theta = 0$; पर असली सीख यह है कि *कोमल* मध्यवर्ती माप सबसे कम कीमत लेते हैं — [अभ्यास 8.5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#exo-b3-quantum-formalism-5) की छोटे-पग वाली सीमा, जहाँ अनेक छोटे घूर्णन अवस्था को लगभग बिना हानि के पार करा देते हैं।

**अभ्यास 12.4 ★.**

$1\,\mathrm{T}$ के क्षेत्र में स्तर-विपाटन $2|\mu|B$ और अनुनाद-आवृत्ति निकालिए: (क) इलेक्ट्रॉन के लिए ($g = 2$); (ख) प्रोटॉन के लिए ($\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$, $\mu_{\text{N}} =
e\hbar/2m_{\text{p}}$); (ग) दोनों की तुलना $300\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ से कीजिए: कमरे के ताप पर इलेक्ट्रॉन और नाभिकीय [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) कितने ध्रुवित हैं? (घ) अतः ESR और NMR वर्णक्रम के किन बैंडों में रहते हैं?

**हल — अभ्यास 12.4.**

(क) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$: $\nu =
28\,\mathrm{GHz}$। (ख) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B =
0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$: $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$। (ग) $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ के सामने: इलेक्ट्रॉन का ध्रुवण $\sim2 \times 10^{-3}$, प्रोटॉन का $\sim3 \times 10^{-6}$ — अर्थात् तापीय चक्रण-समुदाय लगभग पूरी तरह फेंटे हुए हैं। (घ) ESR: सूक्ष्मतरंगें; NMR: रेडियो — परिमाण की तीन कोटि दूर, पर एक ही भौतिकी।

**अभ्यास 12.5 ★★.**

[लार्मर पुरस्सरण](#prop-b3-spin-two-level-larmor) निकालिए: $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ के साथ, (क) क्रमविनिमेयकों से $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$, $\dd\langle\hat
S_y\rangle/\dd t$, $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ निकालिए; (ख) $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ हल कीजिए, आरंभिक [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) $x$ के अनुदिश लेकर; (ग) दिखाइए कि $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ और $\vect B_0$ से कोण, दोनों अचर हैं; (घ) *ऊर्जा-अभिलक्षणिक अवस्था* वाला चित्र (दो स्थायी स्तर) और *पुरस्सरण* वाला चित्र (एक घूमता सदिश) एक ही भौतिकी का वर्णन क्यों करते हैं — पुरस्सरण कौन-सी अवस्था कर रही है?

**हल — अभ्यास 12.5.**

(क) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat
S_y\rangle$, $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma
B_0\langle\hat S_x\rangle$, $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$। (ख) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$, $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ ($\gamma$ के चिह्न के अनुसार चिह्न)। (ग) दोनों (ख) से स्पष्ट हैं। (घ) अवस्था दोनों ऊर्जा-अभिलक्षणिक अवस्थाओं का *अध्यारोपण* है; उसकी आपेक्षिक कला $\omega_0$ पर आगे बढ़ती है, और वही घूमती कला ही पुरस्सरण *है* — स्थायी स्तर और घूमता सदिश एक ही द्वि-स्तरीय विकास के दो पाठ हैं।

**अभ्यास 12.6 ★★.**

(क) जाँचिए कि [प्रतिज्ञप्ति 12.4](#prop-b3-spin-two-level-bloch) का $\ket{+\vect n}$ वही दावा किया गया अभिलक्षणिक सदिश है। (ख) दिखाइए कि प्रतिध्रुवी अवस्थाएँ लांबिक हैं। (ग) $\sigma_x$ और $\sigma_y$ की अभिलक्षणिक अवस्थाएँ गोले पर कहाँ हैं? (घ) कोई क्यूबिट NOT फाटक $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$ भेजता है: वह गोले का कौन-सा घूर्णन है, और [प्रतिज्ञप्ति 12.6](#prop-b3-spin-two-level-rabi) की कौन-सी स्पंद उसे करती है?

**हल — अभ्यास 12.6.**

(क) प्रतिस्थापन कीजिए और आधे-कोण की सर्वसमिकाएँ काम में लाइए। (ख) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 +
\eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 =
\cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$। (ग) विषुवत् पर, $\varphi = 0, \pi$ ($\sigma_x$) और $\varphi = \pm\pi/2$ ($\sigma_y$) पर। (घ) किसी भी विषुवतीय अक्ष के परितः $180^\circ$ का घूर्णन — [चुंबकीय अनुनाद](#prop-b3-spin-two-level-rabi) की $\pi$ स्पंद ही क्यूबिट का NOT फाटक है।

**अभ्यास 12.7 ★★.**

घूमता तंत्र, ईमानदारी से। $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z
+ B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$ के साथ: (क) समझाइए कि $\omega$ से घूमते तंत्र में जाने पर, $z$ के परितः, $B_0$ का स्थान $B_0 - \omega/\gamma$ ले लेता है और $B_1$ जम जाता है; (ख) अनुनाद पर घूमते तंत्र में ब्लॉख सदिश की गति का वर्णन कीजिए; (ग) $\pi$-स्पंद की अवधि निकालिए, ऐसे किसी प्रोटॉन के लिए जिसका $B_1 =
10\,\text{µ}\mathrm{T}$ हो; (घ) उस स्पंद के दौरान प्रयोगशाला-तंत्र का कोई प्रेक्षक क्या देखता है, उसका रेखाचित्र बनाइए (दो नत्थी घूर्णन)।

**हल — अभ्यास 12.7.**

(क) घूमते तंत्र में चालक ठहरा रहता है, जबकि तंत्र का घूर्णन प्रभावी स्थैतिक क्षेत्र में से $\omega/\gamma$ घटा देता है (वही हिसाब, जो किसी घूमते तंत्र के जड़त्वीय बल का होता है)। (ख) केवल $B_1$ बचता है: ब्लॉख सदिश उस (नियत) अनुप्रस्थ $B_1$ अक्ष के परितः $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ पर पुरस्सरण करता है — अर्थात् स्थिर पलटाव। (ग) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{
MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$। (घ) एक तेज़, सिकुड़ता शंक्वाकार सर्पिल: $z$ के परितः $128\,\mathrm{MHz}$ पर पुरस्सरण, और उसके साथ $426\,\mathrm{Hz}$ पर धीरे-धीरे नीचे झुकाव — ध्रुव से ध्रुव तक हज़ार चक्करों का पेंच।

**अभ्यास 12.8 ★★.**

[21 cm रेखा](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine)। (क) जाँचिए कि $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ से $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ और $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$ मिलते हैं। (ख) उत्तेजित अवस्था $10^{7}\,\mathrm{yr}$ जीती है: वह कितनी रेखा-चौड़ाई है, और प्रेक्षित चौड़ाइयाँ ($\sim$ kHz और उससे ऊपर) विशुद्ध डॉप्लर क्यों हैं? (ग) किसी मंदाकिनी की चकती का किनारा उसके केंद्र के सापेक्ष $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से दूर हटता है: उसकी 21 cm रूपरेखा का आवृत्ति-विस्तार निकालिए। (घ) [21 cm रेखा](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) *उदासीन परमाणविक* गैस का पीछा क्यों करती है, जबकि CO ([समस्या 10.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#pb-b3-quantum-angular-momentum-1)) *आणविक* गैस का — और खगोलविदों को दोनों क्यों चाहिए?

**हल — अभ्यास 12.8.**

(क) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} =
1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$। (ख) $\Delta
\nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$: बिलकुल नगण्य — अतः हर प्रेक्षित चौड़ाई गति है। (ग) $\Delta\nu =
\nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx
2\,\mathrm{MHz}$: अर्थात् किसी घूमती चकती की दो-सींगों वाली रूपरेखा। (घ) 21 cm वहीं बोलती है जहाँ हाइड्रोजन परमाणविक हो (गरम, विरल); जबकि CO वहाँ बोलती है जहाँ हाइड्रोजन युग्मित होकर अदृश्य H$_2$ बन चुका हो (ठंडा, सघन): दोनों मिलकर किसी मंदाकिनी का पूरा अंतरतारकीय माध्यम गिन लेते हैं।

**अभ्यास 12.9 ★★.**

अमोनिया के अणु का नाइट्रोजन H$_3$ तल से होकर सुरंगन करता है: दोनों “छाता” विन्यास मिलकर सममित और प्रतिसममित अवस्थाएँ बनाते हैं, जिनका विपाटन $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ है (वर्ष 2 के खंड का उत्क्रमण-द्विक)। (क) अमोनिया को द्वि-स्तरीय तंत्र मानने का औचित्य दीजिए। (ख) संक्रमण-आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य। (ग) मेसर (1954) में अवस्था-छँटे अणु किसी अनुनादी कोटर को पार करते हुए उस सूक्ष्मतरंग को प्रवर्धित करते हैं: प्रवेश करते पुंज को कौन-सी जनसंख्या-शर्त पूरी करनी चाहिए, और वह तापीय से किस तरह भिन्न है? (घ) अमोनिया-मेसर ने वर्ष 2 के खंड के प्रकाशिक लेज़र से तीन वर्ष पहले क्या दिखा दिया था?

**हल — अभ्यास 12.9.**

(क) दो विन्यास, सुरंगन से युग्मित: नीची ऊर्जा पर समष्टि द्विविमीय है — अमोनिया भेस में चक्रण-$\tfrac12$ ही *है*। (ख) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$, $\lambda =
1.25\,\mathrm{cm}$। (ग) पुंज को *ऊपरी* अवस्था की अधिक जनसंख्या के साथ आना चाहिए (जिसे स्थिरवैद्युत विक्षेपण से छाँटा जाता है) — अर्थात् जनसंख्या-प्रतीपन, जो तापीय रूप से मिल ही नहीं सकता, क्योंकि बोल्ट्समान सदा नीचे वाले स्तर का पक्ष लेता है। (घ) जनसंख्या-प्रतीपन से उद्दीपित प्रवर्धन — अर्थात् लेज़र का कार्यकारी सिद्धांत, जो पहले सूक्ष्मतरंग आवृत्तियों पर दिखा दिया गया।

**अभ्यास 12.10 ★★★.**

चक्रण–कक्षा युग्मन, आँका हुआ। इलेक्ट्रॉन के विराम-तंत्र में नाभिक उसके चारों ओर चक्कर काटता है: अतः इलेक्ट्रॉन किसी चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text
{आं}}$ में बैठा है। (क) [अभ्यास 11.10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-10)(घ) से $B_{\text{आं}} \sim 10\,\mathrm{T}$ लीजिए, हाइड्रोजन के $n = 2$ के लिए, और स्तर-खिसकाव $\mu_{\text{B}}B_{\text{आं}}$ आँकिए: और उसकी तुलना [अभ्यास 11.11](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-11) के सूक्ष्म-संरचना पैमाने से कीजिए। (ख) सोडियम की D रेखा $589\,\mathrm{nm}$ पर $0.6\,\mathrm{nm}$ जितनी विपाटित है: उसे $\mathrm{meV}$ में और किसी आंतरिक क्षेत्र में बदलिए। (ग) विपाटन $Z$ के साथ इतनी तेज़ी से क्यों बढ़ता है (भीतरी क्षेत्र मोटे तौर पर $Z^4$ बटा $n^3$ की तरह मापित होता है)? (घ) अवस्थाओं के नाम कुल $j = l \pm \tfrac12$ से पड़ते हैं: किसी $p$ स्तर की अवस्थाएँ गिनिए और जाँचिए कि कोई खोई नहीं।

**हल — अभ्यास 12.10.**

(क) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — अर्थात् [अभ्यास 11.11](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-11) का $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ वाला पैमाना: सूक्ष्म संरचना [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) का उस गति-जनित क्षेत्र से मिलना ही *है*। (ख) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/
\lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$: अर्थात् आंतरिक क्षेत्र $\Delta E/2\mu_{
\text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$। (ग) भीतरी क्षेत्र $Z^4$ की तरह बढ़ता है (क्षेत्र में नाभिकीय आवेश का घन, और एक बार और कक्षा-त्रिज्या में): अतः भारी परमाणुओं की सूक्ष्म संरचना जेब के वर्णक्रमदर्शी से भी दिख जाती है। (घ) $j = \tfrac32$: चार अवस्थाएँ; $j = \tfrac12$: दो — कुल छह, अर्थात् ठीक $2 \times (2l + 1)$, $l = 1$ के लिए।

**अभ्यास 12.11 ★★★.**

दो [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) साथ-साथ। चक्रण-$\tfrac12$ के दो कणों के लिए कुल [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$ है। (क) दिखाइए कि चारों गुणनफल-अवस्थाएँ फिर से एक *त्रिक* ($S = 1$: $\ket{\uparrow\uparrow}$, $(\ket{\uparrow\downarrow} +
\ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$, $\ket{\downarrow\downarrow}$) और एक *एकक* ($S = 0$: $(\ket{\uparrow\downarrow} -
\ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$) में बँट जाती हैं — $S_z$ की गिनतियाँ जाँचिए और, बीच की दोनों अवस्थाओं के लिए, $\hat S^2$ का प्रभाव भी ($\hat
S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect
S}_2$ और $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat
S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat
S_{2z}$ काम में लाइए)। (ख) चारों में से कौन-सी उलझी हुई है — अर्थात् किसी गुणनफल के रूप में नहीं लिखी जा सकती? (ग) हाइड्रोजन का अतिसूक्ष्म युग्म ([उदाहरण 12.7](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine)) ठीक यही त्रिक/एकक है: कौन ऊर्जा में ऊपर है, यह देखते हुए कि रेखा 21 cm पर *उत्सर्जित* होती है? (घ) एकक के [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) *हर* अक्ष के अनुदिश पूरी तरह प्रति-सहसंबंधित हैं: किसी एक को किसी भी $\vect n$ के अनुदिश नापिए और दूसरा उलटा उत्तर देता है। यह सहसंबंध, चाहे कितना ही चौंकाने वाला हो, कोई संकेत क्यों नहीं भेजता?

**हल — अभ्यास 12.11.**

(क) $S_z$ की गिनतियाँ: $+\hbar, 0, 0, -\hbar$; और सममित संयोजन पर $\hat S^2$ (सोपान-सर्वसमिका से) लगाने पर $2\hbar^2$ ($S = 1$) मिलता है, तथा प्रतिसममित पर $0$ ($S = 0$)। (ख) केवल एकक (और बीच वाली त्रिक-अवस्था) किसी गुणनफल के रूप में नहीं लिखी जा सकती — और एकक ही *वह* अधिकतम उलझा हुआ युग्म है। (ग) उत्सर्जन का अर्थ है कि त्रिक ऊपर है: अर्थात् समांतर-चक्रण वाला विन्यास $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ अधिक ऊर्जावान है। (घ) हर प्रेक्षक अकेले पूरी तरह यादृच्छिक परिणाम देखता है; और सहसंबंध तभी प्रकट होता है जब दोनों सूचियाँ *साथ लाई* जाएँ — किसी की स्थानिक सांख्यिकी नहीं बदलती, अतः कुछ भी संचरित नहीं होता ([टिप्पणी 8.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#rem-b3-quantum-formalism-nosignal) का तर्क)।

**अभ्यास 12.12 ★★★.**

वह घड़ी जो सेकंड परिभाषित करती है। सीज़ियम का मूल-अवस्था अतिसूक्ष्म विपाटन ठीक $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ है (सेकंड की परिभाषा से)। किसी फ़व्वारा-घड़ी में परमाणुओं को एक $\pi/2$ स्पंद मिलती है, वे $T = 0.5\,\mathrm{s}$ तक स्वतंत्र उड़ते हैं, और उन्हें दूसरी $\pi/2$ स्पंद मिलती है; अंतरित अंश $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ की तरह दोलन करता है, जहाँ विचलन $\delta$ है (रैमज़ी झालर — इसे स्वीकार कीजिए)। (क) ब्लॉख की भाषा में समझाइए कि हर $\pi/2$ स्पंद और मुक्त उड़ान क्या करती है। (ख) केंद्रीय झालर की चौड़ाई। (ग) यदि संकेत-से-कोलाहल अनुपात झालर के केंद्र को $10^4$ से बाँटने दे, तो कितनी आंशिक आवृत्ति-यथार्थता मिलती है? (घ) नियत झालर-विभाजन क्षमता पर प्रकाशिक घड़ियाँ (पेटाहर्ट्ज़ संक्रमण) सूक्ष्मतरंग घड़ियों को क्यों हरा देती हैं — और मोटे तौर पर कितने गुना?

**हल — अभ्यास 12.12.**

(क) पहली $\pi/2$ ब्लॉख सदिश को विषुवत् पर लिटा देती है; और $T$ के दौरान वह परमाणु के अपने $\nu_0$ पर पुरस्सरण करता है, जबकि स्थानिक दोलित्र $\nu$ पर घूमता है: संचित कोण-अंतर $2\pi\delta T$ है; और दूसरी $\pi/2$ उस कला को किसी जनसंख्या में बदल देती है — अर्थात् काल में बना एक व्यतिकरणमापी। (ख) $\Delta\delta \sim
1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$। (ग) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx
10^{-14}$ — अर्थात् तीस लाख वर्षों में एक सेकंड। (घ) $10^5$ गुना ऊँचे वाहक पर वही निरपेक्ष झालर-विभाजन आंशिक यथार्थता में $10^5$ जीत लेता है: इसीलिए स्ट्रॉन्शियम और इटर्बियम की प्रकाशिक घड़ियाँ $10^{-18}$ पर हैं, और सेकंड की पुनर्परिभाषा प्रतीक्षा में है।

## 12.5 समस्या: शरीर के भीतर देखना

**समस्या 12.1.**

सप्ताहांत समस्या — चुंबकीय अनुनाद प्रतिबिंबन, चक्रण से क्रमवीक्षण तक

किसी मनुष्य का दो तिहाई जल है; और हर जल-अणु दो प्रोटॉन ढोता है, जिनमें से हर एक चक्रण-$\tfrac12$ का चुंबक है। किसी व्यक्ति को प्रबल क्षेत्र में रखिए, प्रोटॉनों को उनकी लार्मर आवृत्ति पर गुदगुदाइए, और सुनिए: यही [चुंबकीय अनुनाद](#prop-b3-spin-two-level-rabi) प्रतिबिंबन है, अर्थात् चक्रण-भौतिकी, चिकित्सा के रूप में। आँकड़े: $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$; $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$; ऊतक का प्रोटॉन-घनत्व $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$; $310\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ $26.7\,\mathrm{meV}$ है; $h =
4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$।

**भाग I — चुंबक में [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin)।**

1. $3.0\,\mathrm{T}$ पर लार्मर आवृत्ति और फ़ोटॉन की ऊर्जा $h\nu$ eV में निकालिए।
2. प्रोटॉन के दोनों स्तरों के बीच जनसंख्या-असंतुलन निकालिए, $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ ।
3. केवल यही अतिरेक — दस लाख में कुछ भाग — संकेत देता है: ऊतक के प्रति घन सेंटीमीटर कितने “उपयोगी” प्रोटॉन हैं?
4. तापीय ध्रुवण यहाँ इतना दुर्बल क्यों है, जबकि श्टर्न–गेरलाख का पुंज पूरा बँट गया था? (हर प्रयोग क्या नापता है: एक-परमाणु [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) , या कोई तापीय औसत?)
5. $B_0$ दुगुना करने से संकेत का क्या होता है (दो प्रभाव: ध्रुवण, और ऊँची आवृत्ति पर प्रेरित विद्युत्वाहक बल)? अस्पताल बड़े चुंबकों के लिए पैसे क्यों चुकाते हैं?
6. चुंबक अतिचालक है और सदा चालू रहता है: कमरे में पड़ी कोई ढीली इस्पात की ऑक्सीजन-बोतल घातक प्रक्षेप्य क्यों बन जाती है ( [उदाहरण 12.1](#ex-b3-spin-two-level-stern-gerlach) का कौन-सा बल उस पर लगता है)?

**भाग II — स्पंद और प्रतिध्वनियाँ।**

7. कोई अनुप्रस्थ कुंडली अनुनाद पर $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ लगाती है: राबी आवृत्ति और $\pi/2$ तथा $\pi$ स्पंदों की अवधियाँ निकालिए।
8. $\pi/2$ स्पंद के बाद चुंबकन क्या करता है, और फ़ैराडे का नियम ग्राही कुंडली में क्या प्रेरित करता है (किस आवृत्ति पर)?
9. अनुप्रस्थ संकेत काल-नियतांक $T_2$ से क्षीण होता है ( [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) एक-दूसरे के क्षेत्रों और स्थानिक असमांगताओं में विकलित हो जाते हैं); जबकि अनुदैर्घ्य चुंबकन $T_1$ के साथ फिर से बढ़ता है (ऊर्जा ऊतक में बहती है)। प्रारूपिक मान: $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ , $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ । संसक्ति-काल ऊर्जा-शिथिलन काल से बहुत अधिक क्यों नहीं हो सकता (हर ऊर्जा-विनिमयी पलटाव कला के साथ क्या करता है)?
10. चक्रण-प्रतिध्वनि: $\pi/2$ स्पंद और $\tau$ के विलंब के बाद एक $\pi$ स्पंद लगाई जाती है और $2\tau$ पर विकलित [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) फिर पंक्तिबद्ध हो जाते हैं और संकेत लौट आता है। इस युक्ति को किसी दौड़-पथ के उन धावकों से समझाइए जिन्हें मुड़ने को कहा जाता है।
11. यह प्रतिध्वनि कौन-सा क्षय पलट देती है — *स्थैतिक* क्षेत्र-असमांगताओं से हुआ विकलन, या उतार-चढ़ाव करते आणविक क्षेत्रों से हुआ — और केवल वही क्यों?
12. भिन्न ऊतकों के $T_1$ , $T_2$ भिन्न होते हैं (चर्बी: छोटा $T_1$ ; जल/तरल: लंबा; अनेक अर्बुद: अपने आश्रयी ऊतक से लंबा $T_2$ )। एक वाक्य में: स्पंद-अनुक्रम का समय साधने से शिथिलन-काल चित्र के *विपर्यास* में कैसे बदल जाते हैं?

**भाग III — संकेत से चित्र तक।**

13. कोई प्रवणता $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ अध्यारोपित कीजिए, $z$ के अनुदिश: तब लार्मर आवृत्ति स्थान-निर्भर हो जाती है। $\dd\nu/\dd z$ को kHz प्रति मिलीमीटर में निकालिए।
14. केवल बैंड $\nu_0 \pm  1\,\mathrm{kHz}$ रखने वाली कोई गढ़ी हुई रेडियो-आवृत्ति स्पंद शरीर की कौन-सी परत उत्तेजित करती है? (परत-चयन।)
15. पाठ के दौरान $x$ के अनुदिश कोई प्रवणता उस परत के हर स्तंभ से उसकी अपनी आवृत्ति प्रसारित कराती है: ग्रहण किए गए काल-संकेत को किसी स्थानिक रूपरेखा में कौन-सी गणितीय संक्रिया बदल देती है (वर्ष 2 के खंड की फूरिये औज़ार-पेटी स्मरण कीजिए)?
16. पूरे क्रमवीक्षण की सूचना आँकिए: 12 बिट पर कोई $256 \times 256$ चित्र, और यह भी कि उसे पंक्ति-दर-पंक्ति (प्रति पंक्ति एक प्रतिध्वनि, पुनरावृत्ति-काल $\sim T_1$ ) बटोरने से क्रमवीक्षण में मिनट क्यों लग जाते हैं।
17. रोगी को ज़ोर की ठक-ठक सुनाई देती है: यांत्रिक रूप से क्या पीट रहा है (सोचिए कि $3\,\mathrm{T}$ के क्षेत्र में प्रवणता-कुंडलियाँ चालू-बंद हो रही हैं — कौन-सा बल)?
18. एक्स-किरण प्रतिबिंबन इलेक्ट्रॉन-घनत्व का विपर्यास दिखाता है; जबकि MRI प्रोटॉन-घनत्व *और* शिथिलन का: MRI मृदु ऊतक और मस्तिष्क के लिए पसंदीदा औज़ार क्यों है, और वह कितनी आयनकारी मात्रा देता है?

**भाग IV — [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) के दूसरे काम।**

19. रसायनज्ञ वही प्रयोग $10\,\mathrm{ppm}$ विभेदन पर चलाते हैं: इलेक्ट्रॉन-बादल हर नाभिक को थोड़ा परिरक्षित कर देते हैं, और उसका अनुनाद खिसका देते हैं (वही “रासायनिक खिसकाव”)। इससे NMR किसी आणविक छाप में क्यों बदल जाती है?
20. क्रियात्मक MRI सोच का नक्शा बनाती है: विऑक्सीजनित हीमोग्लोबिन अनुचुंबकीय है और स्थानिक $T_2^*$ छोटा कर देता है। तंत्रिकीय सक्रियता से चित्र की चमक तक की शृंखला बताइए।
21. वही लार्मर भौतिकी *इलेक्ट्रॉन* के आघूर्ण के साथ $3\,\mathrm{T}$ पर $84\,\mathrm{GHz}$ पर चलती है: इलेक्ट्रॉन-अनुनाद किसी मनुष्य के भीतर बेकार क्यों है, पर मुक्त मूलकों और दोषों के अध्ययन के लिए बहुमूल्य?
22. मद 1 की फ़ोटॉन-ऊर्जा की तुलना प्रारूपिक रासायनिक बंध-ऊर्जाओं से कीजिए: “अनायनकारी” शब्द का औचित्य दीजिए और $60\,\mathrm{keV}$ की किसी एक्स-किरण फ़ोटॉन से अंतर बताइए।
23. दस भाग-प्रति-दस-लाख का ध्रुवण बढ़ाया जा सकता है: लेज़र-ध्रुवित ज़ेनॉन गैस कोटि-एक ध्रुवण तक पहुँचती है और उसे फेफड़ों की वायु-जगह का चित्र लेने के लिए साँस में लिया जाता है। प्रति नाभिक संकेत मोटे तौर पर कितने गुना बढ़ता है, और गैस का नीचा घनत्व यह युक्ति फिर भी क्यों आवश्यक बना देता है?
24. सिलिकॉन के किसी ट्रांज़िस्टर-जैसे पाश में कोई अकेला इलेक्ट्रॉन-चक्रण अब ठीक इसी अध्याय की स्पंदों से पढ़ा और चलाया जाता है: [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) के वे दो गुण बताइए (उसकी [हिल्बर्ट समष्टि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-state) का आकार; कोलाहल से उसके युग्मन की दुर्बलता) जो उसकी सिफ़ारिश करते हैं।
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: $128\,\mathrm{MHz}$ का कोई चक्रण-पुरस्सरण, दस-भाग-प्रति-दस-लाख का तापीय ध्रुवण, दो शिथिलन-घड़ियाँ और तीन क्षेत्र-प्रवणताएँ किसी जीवित मस्तिष्क का परत-दर-परत चित्र लेने के लिए बहुत हैं — श्टर्न और गेरलाख के दो धब्बे, जो एक अस्पताल बन गए।

**हल — समस्या 12.1.**

**1.** $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$; $h\nu =
5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$। **2.** $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2
\times 0.0267) \approx 10^{-5}$: अर्थात् दस भाग प्रति दस लाख। **3.** $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx
7 \times 10^{17}$ संकेत देने वाले प्रोटॉन प्रति घन सेंटीमीटर — प्रति [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) दुर्बल, पर संख्या में प्रबल। **4.** श्टर्न–गेरलाख ने हर परमाणु को नापा और उसे [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) से बाँट दिया; जबकि MRI $10^{23}$ चक्रणों का *तापीय औसत* सुनती है, और बोल्ट्समान उस औसत को शून्य से माइक्रोवोल्टों के भीतर रखता है। **5.** ध्रुवण $\propto B_0$ और प्रेरित विद्युत्वाहक बल $\propto \omega \propto B_0$: अतः संकेत मोटे तौर पर $\propto B_0^2$ — यही $1.5\,\mathrm{T}$ के सामने $3\,\mathrm{T}$ का, और $7\,\mathrm{T}$ की शोध-मशीनों का तर्क है। **6.** भटकी हुई प्रवणता में कोई लौहचुंबक $F = \mu\,\partial B/\partial z$ अनुभव करता है, जो लोहे के किलोग्रामों तक मापित होता है: अर्थात् किसी दरवाज़े में सैकड़ों न्यूटन प्रकट हो जाते हैं — और यही परिरक्षण तथा जाँच-सूचियों का कारण है। **7.** $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$: अतः $\pi/2$ स्पंद $0.59\,\mathrm{ms}$, और $\pi$ स्पंद $1.2\,\mathrm{ms}$। **8.** वह अनुप्रस्थ तल में $127.7\,\mathrm{MHz}$ पर पुरस्सरण करता है; और घूमते चुंबकन का अभिवाह कुंडली से गुज़रकर (फ़ैराडे) ठीक उसी आवृत्ति पर कोई रेडियो विद्युत्वाहक बल प्रेरित करता है — अर्थात् कच्चा MR संकेत। **9.** हर ऊर्जा-विनिमयी पलटाव पलटे हुए [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) की कला भी यादृच्छिक कर देता है: अतः जो कुछ $T_1$ बनाता है वह $T_2$ में भी योगदान करता है, और विकलन के अपने अलग रास्ते भी हैं — संसक्ति पहले मरती है। **10.** $\tau$ पर हर धावक मुड़ जाता है: जो तेज़ हैं और सबसे आगे हैं, उन्हें अब सबसे अधिक लौटना है; और $2\tau$ पर सब एक साथ आरंभ-रेखा पार करते हैं — विकलन उलट जाता है और प्रतिध्वनि बज उठती है। **11.** केवल *स्थैतिक* भाग: जिस [चक्रण](#def-b3-spin-two-level-spin) ने कोई अचर (चाहे गलत) आवृत्ति बनाए रखी, वह अपनी कला ठीक-ठीक फिर से नाप लेता है; जबकि उतार-चढ़ाव करते आणविक क्षेत्र दोनों अर्धांशों के बीच बदल जाते हैं और उलटते नहीं — उनका क्षय ही सच्चा, ऊतक-विशिष्ट $T_2$ है। **12.** जल्दी और बार-बार नमूना लीजिए (छोटा TR, छोटा TE) तो चर्बी का छोटा $T_1$ चमक उठता है; और देर तक रुककर देर से प्रतिध्वनि लीजिए तो लंबे $T_2$ वाले तरल चमकते हैं: अर्थात् अनुक्रम की घड़ी की सेटिंग ही चुनती है कि कौन-सा शिथिलन-नियतांक चित्र बनाएगा। **13.** $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times
0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$। **14.** वही परत, जहाँ स्थानिक लार्मर आवृत्ति उस बैंड में पड़े: मोटाई $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx
1.2\,\mathrm{mm}$ — अर्थात् एक छाँटी हुई परत। **15.** कोई फूरिये रूपांतर: आवृत्ति स्थान का नाम है, अतः प्रतिध्वनि का वर्णक्रम उस परत का प्रक्षेप ही *है*। **16.** $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$; और $T_1$ की कोटि के हर पुनरावृत्ति-काल में एक ही संकेतित पंक्ति मिलने पर $256$ पंक्तियों में मिनट लग जाते हैं — इसीलिए रोगियों से स्थिर रहने को कहा जाता है। **17.** प्रवणता-कुंडलियाँ $3\,\mathrm{T}$ के भीतर किलोऐंपियर-पैमाने की स्विच होती धाराएँ ढोती हैं: हर स्विच पर लाप्लास बल उन्हें उनके आधारों से पीट देता है — हर क्रमवीक्षण का मशीनगन-सा शोर। **18.** एक्स-किरणें इलेक्ट्रॉन-घनत्व की छाया बनाती हैं — हड्डी बनाम हवा — और आयनकारी मात्रा भी छोड़ जाती हैं; जबकि MRI प्रोटॉन-घनत्व और दो शिथिलन-घड़ियाँ पढ़ती है, जो मृदु ऊतकों में भरपूर भिन्न हैं: मस्तिष्क, उपास्थि और अर्बुद, जो एक्स-किरणों को एक-से लगते हैं, चक्रणों के लिए अलग-अलग हैं — और वह भी शून्य आयनकारी मात्रा पर। **19.** हर रासायनिक परिवेश अपने प्रोटॉन को दस लाख में कुछ भाग जितना परिरक्षित कर देता है: अतः किसी अणु के प्रोटॉन खिसकी हुई रेखाओं की सुलझी कंघी के रूप में हाज़िरी देते हैं — नली में ही संरचना-निर्धारण। **20.** सक्रियता स्थानिक रक्त-प्रवाह और ऑक्सीजनन बढ़ा देती है; अनुचुंबकीय विऑक्सीहीमोग्लोबिन पतला पड़ जाता है; स्थानिक $T_2^*$ लंबा हो जाता है; और वह चित्रांश विचार के कुछ सेकंड बाद चमक उठता है। **21.** $84\,\mathrm{GHz}$ पर ऊतक अपारदर्शी है (मिलीमीटर सूक्ष्मतरंगें त्वचा में मुश्किल से घुसती हैं) और इलेक्ट्रॉन का शिथिलन माइक्रोसेकंडों का है — जीवित शरीर में निराशाजनक, पर पदार्थों तथा मात्रामिति में मुक्त मूलक और दोष गिनने के लिए उत्तम। **22.** $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$, बनाम eV की बंध-ऊर्जाएँ: कुछ भी तोड़ने के लिए एक करोड़ गुना दुर्बल — अर्थात् अनायनकारी; जबकि $60\,\mathrm{keV}$ का एक एक्स-किरण फ़ोटॉन $10^{11}$ गुना अधिक ढोता है। **23.** $10^{-5}$ से कोटि एक तक: अर्थात् प्रति नाभिक $\sim10^5$ का लाभ — और यह आवश्यक इसलिए है कि साँस में ली गई गैस जल के प्रोटॉनों से हज़ारों गुना विरल है। **24.** चक्रण-$\tfrac12$ कोई *पूर्ण* द्वि-स्तरीय तंत्र है (कोई रिसाव-स्तर नहीं), और वह आवेश-कोलाहल से केवल चुंबकीय आघूर्णों के द्वारा दुर्बल रूप से युग्मित है: अर्थात् किसी औद्योगिक पदार्थ में लंबी संसक्ति। **25.** $128\,\mathrm{MHz}$ का पुरस्सरण, $10^{-5}$ का ध्रुवण, दो शिथिलन-घड़ियाँ और तीन प्रवणताएँ: यही चक्रण-भौतिकी किसी जीवित मस्तिष्क का परत-दर-परत चित्र लेती है, वह भी शून्य आयनकारी मात्रा पर — 1922 के चाँदी के दो धब्बे, जो एक अस्पताल-विभाग बन गए।