---
title: "सर्वसम कण"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles
---

# अध्याय 14 — सर्वसम कण

ब्रह्मांड का हर इलेक्ट्रॉन हर दूसरे इलेक्ट्रॉन के ठीक-ठीक, पूर्णतः सर्वसम है — एक टकसाल के दो सिक्कों की तरह मिलता-जुलता नहीं, बल्कि सैद्धांतिक रूप से अभेद्य: न कोई नामपत्र, न खरोंच, न इतिहास किसी एक को चिह्नित कर सकता है। क्वांटम यांत्रिकी इसे गंभीरता से लेती है, और उसके परिणाम संसार चलाते हैं। दो सर्वसम कणों की अदला-बदली से कोई भी प्रेक्ष्य वस्तु बदलनी नहीं चाहिए, और इससे बहु-कण तरंग फलन के पास केवल दो विकल्प बचते हैं: वही रहे (*बोसॉन*) या चिह्न बदल ले (*फ़र्मिऑन*)। अकेले उस ऋण चिह्न से [पाउली का अपवर्जन सिद्धांत](#cor-b3-identical-particles-pauli) निकलता है, कोश-संरचना और पूरी [आवर्त सारणी](#prop-b3-identical-particles-periodic), पैरों तले पदार्थ की कठोरता, और वह दाब जो मरे हुए तारों को थामे रखता है; और धन चिह्न से फ़ोटॉनों की मिलनसारी — अर्थात् लेज़र — तथा तीन अध्याय आगे, बोस–आइंस्टाइन संघनन। भौतिकी में शायद ही कभी एक चिह्न ने इतना बोझ ढोया हो।

## 14.1 सममितीकरण अभिगृहीत

**परिभाषा 14.1 (विनिमय).**

दो सर्वसम कणों के लिए, जिनका अवस्था-समष्टि गुणनफलों $\ket{a}\otimes\ket{b}$ से फैला है (कण 1 $\ket a$ में, कण 2 $\ket b$ में — स्थितियाँ, चक्रण और सब कुछ), *विनिमय संकारक* $\hat P_{12}$ भूमिकाएँ अदल-बदल देता है: $\hat P_{12}\ket a\otimes\ket b =
\ket b\otimes\ket a$। यह हर्मिटीय है, इसका वर्ग तत्समक है, और यह हर उस हैमिल्टनियन से क्रमविनिमेय है जो कणों को सर्वसम मानता है: उसके [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$ संसार के संरक्षित नामपत्र हैं।

**प्रमेय 14.2 (बोसॉन और फ़र्मिऑन).**

सर्वसम कणों की अवस्थाएँ हर विनिमय की अभिलक्षणिक अवस्थाएँ होने के लिए केवल अनुमत नहीं, बल्कि *बाध्य* हैं: कणों के एक वर्ग के लिए पूर्णतः *सममित* — अर्थात् *बोसॉन* — और दूसरे के लिए पूर्णतः *प्रतिसममित* (हर अदला-बदली पर चिह्न-परिवर्तन) — अर्थात् *फ़र्मिऑन*। कोई जाति किस वर्ग की है, यह उसका चक्रण तय करता है (*चक्रण–सांख्यिकी प्रमेय*, जो केवल आपेक्षिकीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सिद्ध होती है और यहाँ मान ली गई है):

$$
\text{पूर्णांक चक्रण} \Rightarrow \text{बोसॉन} , \qquad
\text{अर्ध-पूर्णांक चक्रण} \Rightarrow \text{फ़र्मिऑन} .
$$

फ़ोटॉन, पायॉन और $^4$He परमाणु बोसॉन हैं; इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और $^3$He फ़र्मिऑन हैं। कोई संयुक्त कण अपने अंगों के योग जैसा बरतता है: एक साथ बँधे फ़र्मिऑनों की सम संख्या एक बोसॉन है ($^4$He: 2p + 2n + 2e), और विषम संख्या एक फ़र्मिऑन ($^3$He) — ऐसे परिणामों के साथ, जो दो अलग-अलग द्रव हीलियमों जितने दृश्य हैं।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उपप्रमेय 14.3 (पाउली का अपवर्जन सिद्धांत).**

दो फ़र्मिऑन कभी एक ही एक-कण अवस्था नहीं घेर सकते: प्रतिसममित संयोजन में $\ket a = \ket b$ रखिए, अर्थात् $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$, और शून्य सदिश मिलता है — ऐसी कोई अवस्था है ही नहीं। इलेक्ट्रॉनों (चक्रण $\tfrac12$) के लिए हर कक्षक अधिक से अधिक दो को लेता है, विपरीत चक्रण-प्रक्षेप वाले।

**उदाहरण 14.4 (अलग ढंग की गणना).**

दो अवस्थाओं $a, b$ में दो कण: चिरसम्मत (विभेद्य) गणना चार विन्यास देती है; बोसॉनों के पास तीन हैं ($aa$, $bb$, और *एक* मिश्रित अवस्था); फ़र्मिऑनों के पास ठीक एक (वही मिश्रित, प्रतिसममित वाली)। सांख्यिकीय भौतिकी इन्हीं गणनाओं को जस का तस उत्तराधिकार में लेगी ([अध्याय 19](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics)); और यहीं वे उन्नीसवीं सदी की एक लज्जा घोल देती हैं — एक ही गैस के दो नमूनों के “मिश्रण” की एन्ट्रॉपी ([अभ्यास 14.10](#exo-b3-identical-particles-10))।

## 14.2 आवर्त सारणी

**प्रतिज्ञप्ति 14.5 (कोश, और रसायन क्यों है).**

हाइड्रोजन-सदृश कक्षकों $(n, l, m, m_s)$ को एक-एक इलेक्ट्रॉन से भरिए, पहले सबसे कम ऊर्जा वाले, उस स्तर-क्रम में जो भेदन और परिरक्षण तय करते हैं ($1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$, $4s$, $3d$, …— [अभ्यास 11.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-8))। पाउली का सिद्धांत भरने को *संतृप्त* कर देता है: $2$ इलेक्ट्रॉन पहला कोश बंद करते हैं, $8$ दूसरी और तीसरी पंक्ति, और तत्त्वों की सारणी को उसके आवर्त मिल जाते हैं। रसायन उन्हीं इलेक्ट्रॉनों की भौतिकी है जिन्हें अपवर्जन सिद्धांत ने सबसे बाहर छोड़ दिया: भरे हुए कोश (उत्कृष्ट गैसें) निष्क्रिय हैं; भरे कोश से एक इलेक्ट्रॉन आगे (क्षार धातुएँ) या एक विवर पीछे (हैलोजन) विपरीत ढंगों से क्रियाशील हैं। ऋण चिह्न के बिना हर इलेक्ट्रॉन $1s$ में डूब जाता, हर परमाणु सिकुड़ी हुई हीलियम-सी गेंद होता, और न कोई बंध होता, न अणु, न पछताने के लिए कोई रसायनज्ञ।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![कक्षकों को दो-दो करके भरना: अपवर्जन सिद्धांत सारणी के आवर्त गढ़ता है। ऑक्सीजन के चार 2p इलेक्ट्रॉन हुंड का नियम दिखाते हैं — चक्रण जोड़ा बनाने से पहले संरेखित होकर कक्षकों में फैल जाते हैं, जो विशुद्ध विनिमय-प्रभाव है ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-identical-particles/fig-5971e4bb06fc.svg)

*कक्षकों को दो-दो करके भरना: अपवर्जन सिद्धांत सारणी के आवर्त गढ़ता है। ऑक्सीजन के चार $2p$ इलेक्ट्रॉन हुंड का नियम दिखाते हैं — चक्रण जोड़ा बनाने से पहले संरेखित होकर कक्षकों में फैल जाते हैं, जो विशुद्ध विनिमय-प्रभाव है ([प्रतिज्ञप्ति 14.6](#prop-b3-identical-particles-exchange-force)).*

## 14.3 विनिमय अन्योन्यक्रिया

**प्रतिज्ञप्ति 14.6 (स्थानिक युग्म-अवस्था की सममिति).**

दो इलेक्ट्रॉनों के लिए कुल अवस्था (समष्टि $\times$ चक्रण) प्रतिसममित होनी चाहिए: कोई *एकल* (प्रतिसममित चक्रण, [अभ्यास 12.11](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/12-spin-and-two-level-systems#exo-b3-spin-two-level-11)) स्थानिक तरंग फलन को *सममित* होने पर बाध्य करता है, और कोई *त्रिक* उसे प्रतिसममित। दोनों भौतिक रूप से भिन्न हैं: प्रतिसममित स्थानिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन कभी संपाती नहीं हो सकते ($\psi(\vect r, \vect r) = 0$) और दूर-दूर रहते हैं, जबकि सममित अवस्था उन्हें गुच्छा बनाने देती है। चूँकि निकटता कूलॉम ऊर्जा वसूलती है, चक्रण-विन्यास को एक ऊर्जा-अंतर मिल जाता है — *विनिमय ऊर्जा* — जो स्थिरवैद्युत आकार का है (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट!), जबकि उतना प्रबल कोई चुंबकीय बल है ही नहीं: चक्रण ज्यामिति और प्रतिकर्षण के कारण संरेखित या प्रति-संरेखित होते हैं। यही हुंड के नियम का, हीलियम के दो वर्णक्रमों का, सहसंयोजी बंध का और — किसी क्रिस्टल भर में बढ़ाकर — स्वयं लौहचुंबकत्व का इंजन है ([अध्याय 22](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/22-electromagnetism-in-matter#ch-b3-electromagnetism-in-matter))।

**आंशिक उपपत्ति.** सममिति का हिसाब [प्रमेय 14.2](#thm-b3-identical-particles-postulate) और चक्रण-संयोजन हैं; और संपात पर लुप्त होना $\vect r_1 = \vect r_2$ पर पढ़ी गई प्रतिसममिति है। ऊर्जा-परिणाम प्रतिकर्षण में प्रथम-कोटि [विक्षोभ सिद्धांत](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/13-perturbation-theory#thm-b3-perturbation-theory-corrections) है: सीधा पद दोनों सममितियों में उभयनिष्ठ है, और आड़ा (“विनिमय”) समाकल विपरीत चिह्नों के साथ आता है ([अभ्यास 14.6](#exo-b3-identical-particles-6))। ∎

![युग्म को पृथक्करण x_1 - x_2 पर पाने की प्रायिकता: सममित स्थानिक अवस्था संपर्क पर गुच्छा बनाती है, और प्रतिसममित अवस्था एक “विनिमय विवर” ढोती है — संपात पर ठीक शून्य। इस ज्यामिति को कूलॉम प्रतिकर्षण को खिलाइए, और चक्रण-विन्यासों को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट के ऊर्जा-अंतर मिल जाते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-identical-particles/fig-3a92827209d9.svg)

*युग्म को पृथक्करण $x_1 - x_2$ पर पाने की प्रायिकता: सममित स्थानिक अवस्था संपर्क पर गुच्छा बनाती है, और प्रतिसममित अवस्था एक “विनिमय विवर” ढोती है — संपात पर ठीक शून्य। इस ज्यामिति को कूलॉम प्रतिकर्षण को खिलाइए, और चक्रण-विन्यासों को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट के ऊर्जा-अंतर मिल जाते हैं।*

**उदाहरण 14.7 (एक ही परमाणु में दो हीलियम).**

हीलियम की उत्तेजित अवस्थाएँ $1s\,2s$ दो कुलों में आती हैं, जो शायद ही आपस में मिलती हैं: *पैरा*हीलियम (एकल, सममित समष्टि) और *ऑर्थो*हीलियम (त्रिक, प्रतिसममित समष्टि), जिनमें त्रिक $\approx0.8\,\mathrm{eV}$ *नीचे* पड़ता है — उसका विनिमय विवर कूलॉम प्रतिकर्षण बचा देता है। मूल अवस्था अनिवार्यतः पैरा है ($1s^2$ सममित स्थानिक अवस्था थोपता है); और सबसे नीची ऑर्थो अवस्था, जिसके नीचे क्षय के लिए कोई त्रिक नहीं और जिसके चक्रण-पलटाव वर्जित हैं, घंटों जीती है — एक अर्धस्थायी परमाणु, जो परमाणु-पुंजों में मज़दूर की तरह काम आता है। उन्नीसवीं सदी के वर्णक्रममितिज्ञों ने “दो हीलियम” सूचीबद्ध किए थे; समाधान एक ऋण चिह्न है।

**उदाहरण 14.8 (सहसंयोजी बंध).**

दो हाइड्रोजन परमाणुओं को पास लाइए: दोनों इलेक्ट्रॉन दो परमाणविक कक्षकों का सममित स्थानिक संयोजन (चक्रण एकल) या प्रतिसममित संयोजन (त्रिक) चुन सकते हैं। सममित अवस्था आवेश को प्रोटॉनों के *बीच* ढेर कर देती है, जहाँ वह दोनों को खींचता है: अर्थात् बंधन — H$_2$ का सहसंयोजी बंध, $4.5\,\mathrm{eV}$ गहरा। प्रतिसममित अवस्था मध्य-तल खाली कर देती है: विशुद्ध प्रतिकर्षी। कार्बनिक रसायन की हर पंक्ति सममित रूप से साझा किए गए युग्मित-चक्रण इलेक्ट्रॉनों का हिसाब है — अपवर्जन सिद्धांत, उलटा चलाकर, अणुओं का गोंद है।

## 14.4 बोसॉन: जितने अधिक, उतना अच्छा

**प्रतिज्ञप्ति 14.9 (बोसॉनी संवर्धन).**

जो संक्रमण किसी ऐसी अवस्था में एक बोसॉन जोड़ते हैं जिसमें पहले से $n$ हैं, उनके आयाम $\sqrt{n + 1}$ से और दरें $n + 1$ से बढ़ जाती हैं ([अध्याय 9](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#ch-b3-harmonic-oscillator) का सोपान बीजगणित, चूँकि कोई बोसॉनी मोड दोलक *होता* ही है)। वह “$1$” स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन है; और वह “$n$” *उद्दीपित* उत्सर्जन, जो पहले से मौजूद भीड़ के अनुक्रमानुपाती है: हर लेज़र के पीछे का हिमस्खलन (वर्ष 2 का खंड), जो अब विशुद्ध विनिमय-सममिति निकला। यही सांख्यिकी, तब तक ठंडे किए गए परमाणुओं पर लागू करने पर जब तक उनके तरंग-पुंज अतिव्यापी न हो जाएँ, एक ही क्वांटम अवस्था में भगदड़ की भविष्यवाणी करती है — बोस–आइंस्टाइन संघनन, जो [अध्याय 19](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics) के लिए रखा है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**विधि 14.10 (सर्वसम कणों को बरतना).**

(1) चक्रण से सांख्यिकी तय कीजिए (संयुक्त कणों में फ़र्मिऑनों की संख्या जोड़िए)। (2) दो इलेक्ट्रॉनों के लिए समष्टि $\times$ चक्रण में गुणनखंडित कीजिए, और एकल को सममित समष्टि से तथा त्रिक को प्रतिसममित से जोड़िए। (3) अवस्थाएँ गिनिए, नाम वाले कण कभी नहीं: अधिभोग सूचीबद्ध कीजिए। (4) प्रतिकर्षण वाले ऊर्जा-प्रश्न: सीधा समाकल एक बार, और विनिमय समाकल सममिति के चिह्न के साथ। (5) दो सूत्र याद रखिए — फ़र्मिऑन: प्रति अवस्था अधिक से अधिक एक, और हर एक के चारों ओर एक विनिमय विवर; बोसॉन: अधिभोग से बढ़ी हुई दरें।

![द्रव हीलियम, 4\, K के पास चुपचाप उबलता हुआ: पूर्णतः सर्वसम बोसॉनों का एक तरल। कुछ ही डिग्री नीचे वह अचानक उबलना बंद कर देता है और बिना घर्षण बहने लगता है — अभेद्यता, जो द्रवचालिकी तक पदोन्नत हो गई।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-identical-particles/img-a741e0bac3a7.jpg)

*द्रव हीलियम, $4\,\mathrm{K}$ के पास चुपचाप उबलता हुआ: पूर्णतः सर्वसम बोसॉनों का एक तरल। कुछ ही डिग्री नीचे वह अचानक उबलना बंद कर देता है और बिना घर्षण बहने लगता है — अभेद्यता, जो द्रवचालिकी तक पदोन्नत हो गई।*

## 14.5 अभ्यास

**अभ्यास 14.1 ★.**

(क) दिखाइए कि $\hat P_{12}$ हर्मिटीय है और $\hat P_{12}^2 = \mathbb 1$: उसके संभव [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) क्या हैं? (ख) सर्वसम कणों के लिए दिखाइए कि $[\hat P_{12}, \hat H] =
0$ और निष्कर्ष निकालिए कि सममिति-वर्ग संरक्षित है। (ग) दो सर्वसम कणों की कोई अवस्था बिना किसी सममिति के बस $\ket a\otimes\ket b$ क्यों नहीं “हो” सकती? (घ) वर्गीकृत कीजिए: $^1$H, $^2$H (ड्यूटीरियम), $^4$He, $^3$He, एक हाइड्रोजन अणु, एक फ़ोटॉन।

**हल — अभ्यास 14.1.**

(क) दो बार अदला-बदली कुछ न करने के बराबर है: [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$। (ख) [सर्वसम कण](#def-b3-identical-particles-exchange) $\hat H$ में सममित रूप से आते हैं, अतः $\hat H\hat
P_{12} = \hat P_{12}\hat H$: सममिति-वर्ग कभी नहीं बदलता। (ग) $\ket a\otimes\ket b$ और $\ket b\otimes\ket a$ एक ही भौतिक स्थिति का वर्णन करने वाली *भिन्न* अवस्थाएँ होतीं — एक अप्रेक्ष्य भेद, जिसे संरूपण को ढोना ही नहीं चाहिए। (घ) $^1$H (2 फ़र्मिऑन): बोसॉन; ड्यूटीरियम (3): फ़र्मिऑन; $^4$He: बोसॉन; $^3$He: फ़र्मिऑन; H$_2$ (4): बोसॉन; फ़ोटॉन: बोसॉन।

**अभ्यास 14.2 ★.**

(क) लांबिक कक्षकों $\ket a, \ket b$ से बनी प्रसामान्यित प्रतिसममित अवस्था लिखिए। (ख) दिखाइए कि $a = b$ होने पर वह लुप्त हो जाती है। (ग) $a, b, c$ में तीन फ़र्मिऑनों के लिए: पूर्णतः प्रतिसममित संयोजन लिखिए (छह पद, बदलते चिह्न — एक $3\times3$ सारणिक) और जाँचिए कि एक अदला-बदली उसका चिह्न पलट देती है। (घ) सारणिक-रूप पाउली के सिद्धांत को स्वतः क्यों बना देता है?

**हल — अभ्यास 14.2.**

(क) $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$। (ख) सर्वसमतः शून्य। (ग) छह क्रमचयों पर बदलते चिह्नों वाला योग — कणों के सामने कक्षकों का $3\times3$ सारणिक; दो पंक्तियों की अदला-बदली सारणिक का चिह्न पलट देती है। (घ) जिस सारणिक के दो स्तंभ बराबर हों वह लुप्त हो जाता है: एक ही कक्षक में दो फ़र्मिऑन एक दोहराया हुआ स्तंभ हैं।

**अभ्यास 14.3 ★.**

दो कण तीन लांबिक अवस्थाएँ साझा करते हैं। दो-कण अवस्थाएँ गिनिए: (क) विभेद्य कणों के लिए; (ख) बोसॉनों के लिए; (ग) फ़र्मिऑनों के लिए (चक्रणहीन)। (घ) चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए (ग) दोहराइए: अब कितनी अवस्थाएँ?

**हल — अभ्यास 14.3.**

(क) $3^2 = 9$। (ख) $3$ युगल $+$ $3$ जोड़े $= 6$। (ग) $3$ जोड़े। (घ) छह एक-कण अवस्थाएँ (तीन कक्षक $\times$ दो चक्रण): $\binom62 = 15$।

**अभ्यास 14.4 ★.**

(क) कार्बन, नाइट्रोजन, ऑक्सीजन और नियॉन के मूल विन्यास दीजिए। (ख) हुंड का नियम कहिए और उसे नाइट्रोजन के तीन $2p$ इलेक्ट्रॉनों पर लागू कीजिए। (ग) [प्रतिज्ञप्ति 14.6](#prop-b3-identical-particles-exchange-force) से हुंड के नियम को एक वाक्य में उचित ठहराइए। (घ) किस तत्त्व के भरे कोश उसे ज्ञात सबसे कम क्रियाशील पदार्थ बनाते हैं, और कौन-सा एक अनुपस्थित इलेक्ट्रॉन फ़्लुओरीन को सबसे लालची बनाता है?

**हल — अभ्यास 14.4.**

(क) C: $1s^22s^22p^2$; N: $2p^3$; O: $2p^4$; Ne: $2p^6$। (ख) नाइट्रोजन के तीन $2p$ इलेक्ट्रॉन तीनों कक्षकों को एक-एक करके घेरते हैं, चक्रण समांतर। (ग) समांतर चक्रण प्रतिसममित स्थानिक अवस्था थोपते हैं, जिसका विनिमय विवर कूलॉम प्रतिकर्षण बचाता है — संरेखण स्थिरवैद्युत बचत से खरीदा जाता है। (घ) हीलियम (अपने उत्कृष्ट कुल के साथ); और फ़्लुओरीन, जो नियॉन की बंदी से एक इलेक्ट्रॉन कम है, वह इलेक्ट्रॉन लगभग किसी से भी छीन लेता है।

**अभ्यास 14.5 ★★.**

$E_n = n^2E_1$ स्तरों वाले किसी बक्से में दो अन्योन्यक्रियाहीन कण। (क) दो बोसॉनों की मूल ऊर्जा; दो चक्रणहीन फ़र्मिऑनों की; दो इलेक्ट्रॉनों की। (ख) प्रत्येक का पहला उत्तेजित स्तर। (ग) फ़र्मिऑनी मूल अवस्था अधिक महँगी पड़ती है: यह “फ़र्मी पदोन्नति” भ्रूण रूप में एक दाब है — एक वाक्य में समझाइए कि वह पदार्थ को ढहने से कैसे रोकती है। (घ) व्यापक कीजिए: बक्से में $N$ चक्रणहीन फ़र्मिऑन — दिखाइए कि मूल ऊर्जा $N^3$ की तरह बढ़ती है, $N$ की तरह नहीं।

**हल — अभ्यास 14.5.**

(क) बोसॉन: $2E_1$; चक्रणहीन फ़र्मिऑन: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$; इलेक्ट्रॉन: $2E_1$ (विपरीत चक्रण $n = 1$ साझा करते हैं)। (ख) बोसॉन और इलेक्ट्रॉन: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$; चक्रणहीन फ़र्मिऑन: $E_1 + 9E_1 =
10E_1$। (ग) फ़र्मिऑनों को दबाने से ऊँचे-से-ऊँचे स्तर भरने पड़ते हैं: प्रति दबाव ऊर्जा-लागत एक बहिर्मुखी दाब है, जिसे कोई शीतलन नहीं हटाता — भ्रूण रूप में पदार्थ की असंपीड्यता। (घ) $\sum_{n=1}^N n^2 \approx N^3/3$: फ़र्मी सागर का कुल $N^3$ की तरह बढ़ता है।

**अभ्यास 14.6 ★★.**

लांबिक वास्तविक कक्षकों $\varphi_a, \varphi_b$ और युग्म-अवस्थाओं $\psi_\pm \propto \varphi_a(1)\varphi_b(2) \pm
\varphi_b(1)\varphi_a(2)$ के साथ: (क) दिखाइए कि $\psi_-(\vect r, \vect r) = 0$; (ख) व्युत्पन्न कीजिए $\langle(\vect r_1 - \vect r_2)^2\rangle_\pm =
(\text{उभयनिष्ठ पद}) \mp 2\,|\bra{a}\hat{\vect r}\ket{b}|^2$, और पहचानिए कि कौन-सी सममिति कणों को अधिक दूर रखती है; (ग) किसी प्रतिकर्षी अन्योन्यक्रिया $V(|\vect r_1 - \vect r_2|)$ के लिए $E_+ - E_-$ का चिह्न तर्क से निकालिए; (घ) हीलियम के ऑर्थो–पैरा क्रम से जोड़िए।

**हल — अभ्यास 14.6.**

(क) दोनों पद $\vect r_1 = \vect r_2$ पर कट जाते हैं। (ख) प्रसार करने पर आड़े पद $\mp2|\bra a\hat{\vect r}\ket b|^2$ का योगदान देते हैं: प्रतिसममित अवस्था का माध्य वर्ग पृथक्करण *बड़ा* है। (ग) अधिक दूर होने का अर्थ है कम प्रतिकर्षण ऊर्जा: $E_- <
E_+$। (घ) हीलियम का त्रिक (प्रतिसममित समष्टि) उसी विन्यास के एकल से नीचे पड़ता है — ऑर्थोहीलियम पैराहीलियम के नीचे, बची हुई $0.8\,\mathrm{eV}$ प्रतिकर्षण जितना।

**अभ्यास 14.7 ★★.**

हीलियम की सीढ़ी। (क) मूल अवस्था चक्रण-एकल क्यों होनी ही चाहिए? (ख) $1s2s$ त्रिक $1s2s$ एकल से $0.80\,\mathrm{eV}$ नीचे पड़ता है: इसे विनिमय समाकल के रूप में व्यक्त कीजिए और उसका आकार चुंबकीय चक्रण–चक्रण ऊर्जाओं ($\sim\mu_{\text{B}}^2\mu_0/4\pi
a_0^3$, उसका मान निकालिए) से तुलिए। (ग) $2\,^3S$ अवस्था अर्धस्थायी क्यों है (कौन-से दो चयन-नियम एक साथ टूटने चाहिए)? (घ) उसका मापा गया जीवन $\approx8000\,\mathrm{s}$ है: हाइड्रोजन के $2p$ की $1.6\,\mathrm{ns}$ से तुलिए और ज़िम्मेदारी से चकित होइए।

**हल — अभ्यास 14.7.**

(क) $1s^2$ एक सममित स्थानिक अवस्था है: अतः चक्रणों को प्रतिसममित एकल बनाना ही होगा। (ख) विपाटन $= 2J$: $J \approx
0.4\,\mathrm{eV}$। $a_0$ पर सच्ची चुंबकीय द्विध्रुव–द्विध्रुव ऊर्जा: $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a_0^3 \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ — हज़ार गुना छोटी: वह “चक्रण बल” दरअसल चक्रण का रंग ओढ़े हुए स्थिरवैद्युतिकी है। (ग) $1\,^1S$ तक क्षय के लिए एक चक्रण-पलटाव (एकल–त्रिक) *और* एक $s \to s$ संक्रमण ($\Delta l =
0$) चाहिए: दोहरा वर्जित। (घ) $8000$ s बनाम $1.6\,\mathrm{ns}$: दो चयन-नियमों से बारह कोटियाँ — अर्धस्थायित्व नियमों के ढेर से बनता है, बलों के कमज़ोर पड़ने से नहीं।

**अभ्यास 14.8 ★★.**

ऑर्थो- और पैरा-हाइड्रोजन। H$_2$ के दोनों प्रोटॉन फ़र्मिऑन हैं: *कुल* नाभिकीय-चक्रण $\times$ घूर्णी अवस्था उनके विनिमय में प्रतिसममित होनी चाहिए; और प्रोटॉनों की अदला-बदली आणविक अक्ष भी पलट देती है, जिससे घूर्णी अवस्था $(-1)^J$ से गुणित हो जाती है। (क) दिखाइए कि नाभिकीय त्रिक (ऑर्थो) विषम $J$ के साथ और एकल (पैरा) सम $J$ के साथ जुड़ता है। (ख) उच्च ताप पर चक्रण-बहुलताएँ कौन-सा ऑर्थो:पैरा अनुपात तय करती हैं? (ग) ऑर्थो की सबसे नीची अवस्था ($J = 1$) $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ ऊपर पड़ती है, पैरा के $J = 0$ से, और चक्रण-रूपांतरण में दिन लगते हैं: ताज़े द्रवित हाइड्रोजन की टंकी के भीतर क्या होता है जब ऑर्थो-अंश धीरे-धीरे बदलता है, और द्रवण-संयंत्रों को यह रूपांतरण भंडारण से *पहले* क्यों उत्प्रेरित करना चाहिए? (घ) कौन-सा रोज़मर्रा का निम्नतापिकी ईंधन-कार्यक्रम (रॉकेट!) ठीक इसी समस्या से टकराता है?

**हल — अभ्यास 14.8.**

(क) कुल विनिमय चिह्न $=$ (चक्रण भाग) $\times (-1)^J$ होना चाहिए $-1$: त्रिक (सममित चक्रण) विषम $J$ लेता है, और एकल सम $J$। (ख) बहुलताओं से $3:1$। (ग) 3/4 ऑर्थो-अंश पैरा ($J = 0$) तक शिथिल होता है, और प्रति अणु $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ छोड़ता है — जो द्रव की गुप्त ऊष्मा से *अधिक* है: अनुत्प्रेरित टंकी धीरे-धीरे उबलकर सूख जाती है। संयंत्र द्रवण के दौरान उत्प्रेरक पर ऑर्थो $\to$ पैरा बदल देते हैं। (घ) द्रव हाइड्रोजन की रॉकेटरी — हर प्रक्षेपण-मंच को नाभिकीय-चक्रण सांख्यिकी की एक समस्या विरासत में मिलती है।

**अभ्यास 14.9 ★★.**

बोसॉनी भगदड़। किसी मोड में $n$ फ़ोटॉन हैं; एक और जोड़ने के आव्यूह-अवयव $\sqrt{n+1}$ की तरह बढ़ते हैं। (क) दिखाइए कि उस मोड में उत्सर्जन दरें $n + 1$ की तरह और अवशोषण $n$ की तरह बढ़ते हैं। (ख) किसी ऐसी गुहा में, जहाँ एक मोड $10^{10}$ फ़ोटॉन रखता है और उसके पड़ोसी कोई नहीं, किसी उत्तेजित परमाणु की प्रत्येक में उत्सर्जन-दरें तुलिए। (ग) दो वाक्यों में समझाइए कि इससे लेज़र प्रकाश एक ही मोड में कैसे *बढ़ता* है। (घ) [प्रतिज्ञप्ति 9.7](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#prop-b3-harmonic-oscillator-coherent-motion) में $\sqrt{n+1}$ पहले कहाँ प्रकट हो चुका था?

**हल — अभ्यास 14.9.**

(क) दरें आयाम के वर्ग की तरह चलती हैं: किसी अधिभुक्त मोड में $n + 1$, और उलटी दिशा में $n$। (ख) $10^{10} + 1$ बनाम $1$: भीड़ भरा मोड दस अरब गुने से जीतता है। (ग) पसंदीदा मोड में एक स्वतःस्फूर्त फ़ोटॉन पासा झुका देता है; और हर उद्दीपित फ़ोटॉन $n$ बढ़ाकर झुकाव तीखा करता है: सर्वसम फ़ोटॉनों का हिमस्खलन — एक ही मोड में सिमटती वृद्धि। (घ) $\hat a^\dagger\ket n =
\sqrt{n+1}\,\ket{n+1}$ में: बोसॉनी मोड ही दोलक है, और वह संवर्धन उसका सोपान गुणांक है।

**अभ्यास 14.10 ★★★.**

गिब्स का विरोधाभास, सर्वसमता से सुलझा। आदर्श गैस के दो बराबर आयतन $V$, प्रत्येक में $N$ अणु, समान ताप, जोड़ दिए जाते हैं। (क) यदि गैसें *भिन्न* हों (मान लीजिए आर्गन और नियॉन), तो एन्ट्रॉपी $2Nk_{\text{B}}\ln2$ से बढ़ती है — याद कीजिए क्यों (हर गैस अपना आयतन दुगना करती है)। (ख) यदि वे *वही* गैस हों, तो टोंटी खोलने से कोई स्थूल परिवर्तन नहीं होता: यदि मिश्रण-एन्ट्रॉपी फिर भी प्रकट हो जाए तो कौन-सी बेतुकी बात निकलेगी (टोंटी बंद करके फिर खोलने पर विचार कीजिए)? (ग) दिखाइए कि अणुओं को विभेद्य मानने पर वह मिथ्या एन्ट्रॉपी सचमुच पैदा हो *जाती* है, और अवस्था-गणना को $N!$ से भाग देना — जो केवल इसलिए वैध है कि अणु सर्वसम हैं — उसे हटा देता है। (घ) एक वाक्य में सार: चिरसम्मत सांख्यिकीय भौतिकी चुपचाप एक क्वांटम तथ्य उधार लेती है; अगले अध्याय उसे खुलकर उधार लेंगे।

**हल — अभ्यास 14.10.**

(क) हर गैस दुगने आयतन में फैलती है: प्रति गैस $\Delta S =
Nk_{\text{B}}\ln2$। (ख) टोंटी बंद करके फिर खोलना बिना किसी अवस्था-परिवर्तन के एन्ट्रॉपी गढ़ देता — हिसाब की सतत ठगी। (ग) नाम वाले अणुओं के साथ मिली हुई गैस के पास $\binom{2N}{N}$ अतिरिक्त “किस ओर” नियतन होते हैं, जिनका मोल $2Nk_{\text{B}}\ln2$ है; और सारी अवस्था-गणनाओं को $N!$ से भाग देना — सर्वसम कणों के लिए ईमानदार गणना — ठीक इसी को हटा देता है। (घ) वही $N!$, जिसकी चिरसम्मत भौतिकी को ज़रूरत थी और जिसे वह उचित नहीं ठहरा सकती थी, दूर से देखा गया सममितीकरण अभिगृहीत है।

**अभ्यास 14.11 ★★★.**

पाउली मुर्दों को थामे है। कोई श्वेत वामन लगभग $10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ठूँसता है, अर्थात् इलेक्ट्रॉन घनत्व $n_{\text{e}} \approx
3 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ (प्रति दो न्यूक्लिऑन द्रव्यमान एक इलेक्ट्रॉन)। (क) [अभ्यास 7.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-8) से फ़र्मी ऊर्जा निकालिए — और देखिए कि अनापेक्षिकीय सूत्र तनने लगता है। (ख) $E_{\text{F}}$ की तुलना $k_{\text{B}}T$ से कीजिए, $T = 10^{7}\,\mathrm{K}$ पर: यह श्वेत-तप्त तारा किस अर्थ में *ठंडा* है? (ग) दो वाक्यों में समझाइए कि ऊष्मा नहीं, बल्कि अपवर्जन वह दाब देता है जो गुरुत्व को संतुलित करता है। (घ) द्रव्यमान जोड़ते जाने पर और $E_{\text{F}}$ के आपेक्षिकीय हो जाने पर क्या होना चाहिए — वह किस प्रसिद्ध सीमा की आहट देता है ([अध्याय 27](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/27-astrophysics#ch-b3-astrophysics))?

**हल — अभ्यास 14.11.**

(क) $E_{\text{F}} = \hbar^2(3\pi^2n_{\text{e}})^{2/3}/2m_{\text{e}}
\approx 0.16\,\mathrm{MeV}$ — इलेक्ट्रॉन की [विराम ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/5-relativistic-dynamics#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) का एक तिहाई: तारा आपेक्षिकीय प्रांत के किनारे बैठा है। (ख) $k_{\text{B}}T \approx 0.9\,\mathrm{keV} \ll E_{\text{F}}$: फ़र्मी पैमाने पर वह श्वेत-तप्त तारा गहरे अपह्रासित है — अर्थात् “ठंडा”। (ग) इलेक्ट्रॉन पाउली-शैली में $0.16\,\mathrm{MeV}$ तक चुनते जाते हैं; तारे को दबाने से हर अधिभुक्त स्तर ऊपर उठता है, और वह ऊर्जा-प्रवणता ताप से स्वतंत्र एक दाब है — अपवर्जन, ऊष्मा नहीं, बोझ ढोता है। (घ) आपेक्षिकीय अपह्रासिता दाब-नियम को तब तक नरम करती है जब तक किसी परिमित द्रव्यमान पर गुरुत्व न जीत जाए: चंद्रशेखर सीमा, जो [अध्याय 27](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/27-astrophysics#ch-b3-astrophysics) के लिए रखी है।

**अभ्यास 14.12 ★★★.**

विनिमय से चुंबकों तक। किसी ठोस में दो पड़ोसी इलेक्ट्रॉनों का [प्रतिज्ञप्ति 14.6](#prop-b3-identical-particles-exchange-force) से प्रतिरूप बनाइए: उनकी ऊर्जा $E_{\text{एकल}}$ है या $E_{\text{त्रिक}} =
E_{\text{एकल}} - 2J$, जहाँ विनिमय नियतांक $J$ है। (क) दिखाइए कि यही प्रभावी चक्रण हैमिल्टनियन $\hat H =
-2J\,\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2/\hbar^2$ से पुनः मिलता है ($\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12[\hat S^2 - \hat
S_1^2 - \hat S_2^2]$ का उपयोग कीजिए)। (ख) $J > 0$ के लिए पड़ोसी चक्रण संरेखित होते हैं: ऐसे युग्मों का कोई जालक कौन-सी स्थूल परिघटना पैदा करता है? (ग) क्रमण ताप $k_{\text{B}}T_{\text{C}}
\sim J$ का आकलन $J \approx 0.1\,\mathrm{eV}$ के लिए कीजिए और लोहे के $1043\,\mathrm{K}$ से तुलिए। (घ) कोई *चुंबकीय* द्विध्रुव–द्विध्रुव अन्योन्यक्रिया (उसका आकार [अभ्यास 14.7](#exo-b3-identical-particles-7)ख से याद कीजिए) हज़ार-केल्विन के चुंबक की व्याख्या क्यों नहीं कर सकती — और एक वाक्य में, कौन कर सकती है?

**हल — अभ्यास 14.12.**

(क) $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S^2 -
\tfrac32\hbar^2)$: एकल पर $-\tfrac34\hbar^2$, और त्रिक पर $+\tfrac14\hbar^2$ — कथित हैमिल्टनियन $2J$ का विपाटन फिर से दे देता है। (ख) संरेखित पड़ोसियों का कोई जालक: स्वतःस्फूर्त चुंबकन — अर्थात् लौहचुंबकत्व। (ग) $J/k_{\text{B}}
\approx 1200\,\mathrm{K}$: लोहे का $1043\,\mathrm{K}$ ठीक इसी पैमाने का है। (घ) द्विध्रुव–द्विध्रुव चुंबकत्व $10^{-4}$ eV का है: वह मिलिकेल्विन पर क्रमित होता। लौहचुंबकत्व कूलॉम प्रतिकर्षण है, जो विनिमय-ज्यामिति के ज़रिए चक्रण-विन्यास चुनता है।

## 14.6 समस्या: आवर्त सारणी का तर्क

**समस्या 14.1.**

सप्ताहांत समस्या — तीन क्वांटम नियम पूरा रसायन गढ़ते हैं

किसी भौतिकीविद् को हाइड्रोजन कक्षक $(n, l, m)$, इलेक्ट्रॉन का चक्रण और पाउली का सिद्धांत थमा दीजिए, और [आवर्त सारणी](#prop-b3-identical-particles-periodic) निकल आती है — आवर्त, कुल, आकार, आयनन ऊर्जाओं की ज़िगज़ैग, यहाँ तक कि सोने का रंग भी। यह समस्या उसे गढ़ती है। आँकड़े: हाइड्रोजन-सदृश स्तर $-13.6\,Z_{\text{प्र}}^2/n^2$ eV; मापी गई प्रथम आयनन ऊर्जाएँ (eV): H $13.6$, He $24.6$, Li $5.4$, Be $9.3$, B $8.3$, C $11.3$, N $14.5$, O $13.6$, F $17.4$, Ne $21.6$, Na $5.1$।

**भाग I — तीन नियम।**

1. तीन सामग्रियाँ बताइए: कक्षक-सूची $(n, l, m)$ अपनी अपह्रासिताओं के साथ, चक्रण से दुगुनापन, और अपवर्जन सिद्धांत। $n = 1$ , $2$ , $3$ में कितने इलेक्ट्रॉन समाते हैं?
2. बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में उपकोशों का *ऊर्जा-क्रम* हाइड्रोजन के विशुद्ध- $n$ क्रम से भिन्न क्यों होता है (भेदन और परिरक्षण याद कीजिए, [अभ्यास 11.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-8) )?
3. $4s$ और $3d$ तक भरने का क्रम लिखिए, और Na ( $Z = 11$ ), Cl ( $17$ ), K ( $19$ ), Fe ( $26$ ) के विन्यास दीजिए।
4. पंक्तियों की लंबाई: सारणी के पहले चार आवर्तों के प्रेक्षित $2, 8, 8, 18$ को भरने के क्रम से समझाइए (तीसरी पंक्ति 8 क्यों है, 18 क्यों नहीं?)।
5. कौन-सा एक लक्षण उत्कृष्ट गैसों को रासायनिक रूप से मौन बना देता है?
6. किसी संयोजी इलेक्ट्रॉन को दिखने वाला प्रभावी आवेश $Z_{\text{प्र}}$ परिभाषित कीजिए, और समझाइए कि वह सोडियम के बाहरी इलेक्ट्रॉन के लिए मोटे तौर पर $1$ क्यों है, जबकि हीलियम के इलेक्ट्रॉन प्रत्येक लगभग पूरा $Z = 2$ देखते हैं, एक-दूसरे के परिरक्षण का एक अंश घटाकर।

**भाग II — दूसरी पंक्ति पढ़ना।**

7. आँकड़ों से: आयनन ऊर्जा Li से Ne तक चढ़ती है, पर B और O पर झुक जाती है: दोनों झुकाव पहचानिए।
8. बोरॉन का झुकाव समझाइए (B पर कौन-सा उपकोश खुलता है, और $2p$ को थामना $2s$ से महँगा क्यों है?)।
9. ऑक्सीजन का झुकाव समझाइए (ऑक्सीजन के दो $2p$ इलेक्ट्रॉनों को पहली बार क्या करना पड़ता है, और किस नियम का आराम छिन जाता है?)।
10. हीलियम की आयनन ऊर्जा का भोला आकलन $13.6 \times Z^2 = 54.4\,\mathrm{eV}$ कीजिए: मापा गया $24.6\,\mathrm{eV}$ इतना छोटा क्यों है, और अनुरूपण आपको कौन-सी संख्या $Z_{\text{प्र}} \approx 1.34$ बता रहा है?
11. लीथियम का $5.4\,\mathrm{eV}$ हाइड्रोजन के $13.6\,\mathrm{eV}$ के सामने: कौन-से दो प्रभाव (परिरक्षण; बड़ा $n$ ) मिलकर काम करते हैं?
12. किसी पंक्ति में बाएँ से दाएँ परमाणविक *आकार* क्यों सिकुड़ता है (Li $\to$ Ne), जबकि इलेक्ट्रॉन जोड़े जा रहे हैं?

**भाग III — कुल और बंध।**

13. क्षार धातुएँ: किसी उत्कृष्ट क्रोड के ऊपर एक $s$ इलेक्ट्रॉन — विन्यास से उनके कुल-लक्षण (कम आयनन, $+1$ आयन, जल के साथ प्रचंड रसायन) व्युत्पन्न कीजिए।
14. हैलोजन: किसी $p$ कोश में एक विवर — उनके लक्षण व्युत्पन्न कीजिए (इलेक्ट्रॉन बंधुता, $-1$ आयन, द्विपरमाणुक अणु)।
15. कार्बन के चार: कोई $2s^22p^2$ परमाणु व्यवहार में चतुःसंयोजी क्यों है (कौन-सी निकट-अपह्रासिता उसे पदोन्नति और संकरण करने देती है — [उदाहरण 13.4](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/13-perturbation-theory#ex-b3-perturbation-theory-stark) के स्टार्क संकर याद कीजिए)?
16. [उदाहरण 14.8](#ex-b3-identical-particles-bond) का उपयोग कीजिए: दो बंद-कोश परमाणु (दो हीलियम) *कोई* सहसंयोजी बंध क्यों नहीं बनाते?
17. संक्रमण धातुएँ: $4s$ / $3d$ निकट-अपह्रासिता एक-सी रसायन वाले दस स्तंभ बना देती है: किसी *भीतरी* $d$ कोश को भरने से रसायन इतना कम क्यों बदलता है?
18. केवल विन्यासों से भविष्यवाणी कीजिए कि K, Ca, Sc में से कौन पहले चुंबकत्व-योग्य अयुग्मित $d$ इलेक्ट्रॉन दिखाता है।

**भाग IV — अंगूठे के नियमों से आगे।**

19. हुंड का नियम नाइट्रोजन को तीन समांतर $2p$ चक्रण देता है: यह कौन-सा मापनीय परमाणविक गुण (उसका चुंबकीय आघूर्ण) तय करता है, और इसी अध्याय की कौन-सी क्रियाविधि उस संरेखण की कीमत चुकाती है?
20. सारणी का अस्तित्व ही इलेक्ट्रॉनों की कठोर सर्वसमता माँगता है: “थोड़े-से विभेद्य” इलेक्ट्रॉन पाउली के सिद्धांत और कोश-बंदी का क्या हाल करते?
21. भारी परमाणुओं में भीतरी इलेक्ट्रॉन $Z\alpha c$ से चलते हैं: सोने ( $Z = 79$ ) के लिए $v/c$ का आकलन $1s$ युग्म हेतु कीजिए, और गुणात्मक रूप से बताइए कि आपेक्षिकता $6s$ कक्षक की ऊर्जा का क्या करती है — सोने के रंग और पारे की तरलता की मान्य व्याख्या।
22. $4s$ उपकोश $3d$ से पहले भरता है, फिर भी संक्रमण धातुओं में *पहले* आयनित होता है, और क्रोमियम तथा ताँबा एक $s$ इलेक्ट्रॉन उधार लेकर $3d^5$ और $3d^{10}$ तक पहुँचते हैं: ये विसंगतियाँ दोनों उपकोशों की ऊर्जाओं की निकटता के बारे में क्या कहती हैं?
23. किसी तत्त्व के दो समस्थानिक रासायनिक रूप से लगभग सर्वसम होते हैं: तीन नियमों से बताइए कि रसायन केवल $Z$ की परवाह क्यों करता है और नाभिक के द्रव्यमान की लगभग बिलकुल नहीं?
24. सातवाँ आवर्त $Z \approx 118$ के पास समाप्त होता है और अतिभारी रसायन सारणी के भोले स्तंभ-तर्क से हट जाता है: दोनों प्रतिस्पर्धी पैमाने बताइए (कोश-संरचना बनाम बड़े $Z$ पर आपेक्षिकीय और कूलॉम प्रभाव)।
25. नामित परिणाम का सार दीजिए: कक्षकों की एक सूची, चक्रण से एक दुगुनापन, एक ऋण चिह्न — और नतीजा है आवर्त नियम: पंक्तियाँ $2, 8, 8, 18$ , B और O पर झुकाव, क्रियाशीलों और उत्कृष्टों के कुल, और यह सब $5.1\,\mathrm{eV}$ (Na) से $24.6\,\mathrm{eV}$ (He) तक की आयनन-सीढ़ी में मापा हुआ।

**हल — समस्या 14.1.**

**1.** कक्षक $(n, l, m)$, जिनमें $n^2$ प्रति $n$; चक्रण दुगुना करता है; और पाउली प्रति पूर्ण नामपत्र एक इलेक्ट्रॉन की सीमा बाँधता है: $2$, $8$, $18$। **2.** भीतरी इलेक्ट्रॉन नाभिक को भिन्न $l$ के लिए भिन्न ढंग से परिरक्षित करते हैं: भेदक $s$ कक्षक कम भेदक $p$ और $d$ से नीचे बैठ जाते हैं — ऊर्जा-क्रम $(n, l)$ का अनुसरण करता है, अकेले $n$ का नहीं। **3.** क्रम $1s\,2s\,2p\,3s\,3p\,4s\,3d$; Na: [Ne]$3s^1$; Cl: [Ne]$3s^23p^5$; K: [Ar]$4s^1$; Fe: [Ar]$4s^23d^6$। **4.** पंक्तियाँ हर उत्कृष्ट विन्यास पर बंद होती हैं: $2$ ($1s$), $8$ ($2s2p$), फिर $8$ ($3s3p$ — क्योंकि $3d$ $4s$ से ऊपर पड़ता है और प्रतीक्षा करता है), फिर $18$ ($4s3d4p$)। **5.** एक बंद कोश: अगले कक्षक तक बड़ा अंतराल, देने के लिए कोई सस्ता इलेक्ट्रॉन नहीं, लेने के लिए कोई जगह नहीं। **6.** $Z_{\text{प्र}}$ नाभिकीय आवेश में से भीतरी (और आंशिक रूप से, उसी कोश के) इलेक्ट्रॉनों का परिरक्षण घटाकर मिलता है: सोडियम का संयोजी इलेक्ट्रॉन $11 - 10 \approx 1$ देखता है; और हीलियम के दोनों नंगे $Z = 2$ को बाँटते हैं, प्रत्येक दूसरे को केवल एक तिहाई परिरक्षित करता है। **7.** Li $\to$ Be तक चढ़ती है, B पर गिरती है; N $\to$ O पर गिरती है: यही दोनों झुकाव। **8.** बोरॉन $2p$ खोलता है, जो $2s$ से ऊँचा और कम भेदक है: उसका नया इलेक्ट्रॉन बस हटाने में आसान है। **9.** ऑक्सीजन को पहली बार एक ही $p$ कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन *युग्मित* करने पड़ते हैं: अतिरिक्त प्रतिकर्षण, खोया हुआ विनिमय-स्थायित्व — चौथे $2p$ इलेक्ट्रॉन पर छूट लग जाती है। **10.** हर इलेक्ट्रॉन दूसरे को अपूर्ण रूप से परिरक्षित करता है: अनुरूपण $24.6 = 13.6\,Z_{\text{प्र}}^2$ देता है $Z_{\text{प्र}} =
1.34$ — अर्थात् दो-तिहाई आवेश परिरक्षित। **11.** लगभग पूरा क्रोड-परिरक्षण ($Z_{\text{प्र}}
\approx 1.3$) और बाहरी इलेक्ट्रॉन का $n = 2$: दोनों बंधन-ऊर्जा घटा देते हैं। **12.** जुड़ते इलेक्ट्रॉन *उसी* कोश में जाते हैं और एक-दूसरे को खराब परिरक्षित करते हैं, जबकि $Z$ चढ़ता है: $Z_{\text{प्र}}$ बढ़ता है और पूरा कोश सिकुड़ जाता है — नियॉन लीथियम से छोटा है। **13.** किसी उत्कृष्ट क्रोड के ऊपर एक सस्ता $s$ इलेक्ट्रॉन: आयनन $\sim5\,\mathrm{eV}$, तत्काल $+1$ आयन, प्रचंड इलेक्ट्रॉन-दान — कुल-लक्षण एक ही विन्यास हैं। **14.** किसी $p^6$ बंदी में एक विवर: विशाल इलेक्ट्रॉन बंधुता, $-1$ आयन, और विवरों का युग्मन X$_2$ अणुओं में। **15.** $2s$ और $2p$ पास-पास पड़ते हैं: $2s^22p^2 \to$ चार अर्ध-भरे संकरों तक पदोन्नति कम लागत की है और दो अतिरिक्त बंध खरीद देती है — कार्बन की चतुःसंयोजकता एक भुनाई गई निकट-अपह्रासिता है। **16.** चार इलेक्ट्रॉनों के साथ बंधक *और* प्रतिबंधक दोनों संयोजन भर जाते हैं: लाभ कट जाते हैं, कोई सहसंयोजी बंध नहीं — हीलियम अकेला ही रहता है। **17.** $d$ इलेक्ट्रॉन स्वयं को $4s$ की खाल के भीतर गाड़ लेते हैं: बाहरी रसायन, जिसे $s$ कोश तय करता है, दस तत्त्वों में बहुत कम बदलता है — एक रासायनिक पठार। **18.** स्कैंडियम, [Ar]$4s^23d^1$: पहला अयुग्मित $d$ इलेक्ट्रॉन। **19.** तीन संरेखित चक्रणों का एक चुंबकीय आघूर्ण ($\sim3\mu_{\text{B}}$); और उस संरेखण की कीमत विनिमय चुकाता है — कूलॉम बचत, चुंबकीय बल नहीं। **20.** थोड़े-से विभेद्य इलेक्ट्रॉन सब के सब $1s$ की ओर भीड़ लगा सकते (सममितीकृत अवस्थाओं का ठीक-ठीक कटाव न होने से): कोश रिसने लगते, बंदियाँ धुँधली पड़तीं, और आवर्त नियम घुल जाता। **21.** $v/c \approx Z\alpha = 0.58$: आपेक्षिकीय द्रव्यमान-वृद्धि $6s$ कक्षक को सिकोड़कर स्थायी बनाती है; सोने का $5d \to 6s$ अवशोषण नीले में सरक जाता है (और परावर्तित पीला छोड़ देता है), तथा पारे का कसा हुआ $6s^2$ युग्म इतना कमज़ोर बंध बनाता है कि वह धातु द्रव है। **22.** वे लगभग बराबर चलती हैं: अधिभोग पर निर्भर क्रम, $4s$ का पहले आयनित होना, और Cr तथा Cu की $3d^5$/$3d^{10}$ उधारियाँ — अर्ध-भरे और भरे उपकोश विनिमय-स्थायित्व सस्ते में खरीद लेते हैं। **23.** रसायन इलेक्ट्रॉनों का मामला है, और इलेक्ट्रॉन केवल नाभिकीय *आवेश* अनुभव करते हैं: द्रव्यमान बस नन्हे कंपन (समस्थानिक) खिसकावों से भीतर आता है। **24.** कोश-संरचना (जो उत्कृष्ट-गैस तर्क का पक्ष लेती है) बनाम आपेक्षिकीय स्थायीकरण और $Z\alpha \to 1$ पर निरा कूलॉम तनाव: अतिभारी रसायन उन्हीं की रस्साकशी है। **25.** कक्षकों की एक सूची, एक दुगुनापन, एक ऋण चिह्न: पंक्तियाँ $2, 8, 8, 18$, बोरॉन और ऑक्सीजन पर झुकाव, क्षार से उत्कृष्ट तक के कुल, $5.1\,\mathrm{eV}$ से $24.6\,\mathrm{eV}$ तक की आयनन-सीढ़ी — आवर्त नियम व्युत्पन्न हुआ, रटा नहीं गया।