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title: "सूक्ष्मविहित समुदाय"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble
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# अध्याय 16 — सूक्ष्मविहित समुदाय

वायु के एक घन सेंटीमीटर में $2.5\times10^{19}$ अणु होते हैं। कोई संगणक कभी उनके गति-समीकरण समाकलित नहीं करेगा, और कोई प्रयोग आरंभिक शर्तें नहीं जुटा सकता — फिर भी गैस अद्भुत सरलता के नियम मानती है, और वर्ष 1 के खंड की ऊष्मागतिकी ने उन्हें बिना कभी किसी अणु का नाम लिए वर्णित किया। यह अध्याय वही पुल बनाता है: *सांख्यिकीय भौतिकी*, जो ऊष्मा के नियम यांत्रिकी और ईमानदार गिनती से व्युत्पन्न करती है। पूरी इमारत एक ही अभिगृहीत पर खड़ी है — कोई विलगित तंत्र अपनी ऊर्जा के अनुरूप हर [सूक्ष्म अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) में समान संभावना से मिलता है — जिसे [ल्यूविल की प्रमेय](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) ([अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics)) वैध बनाती है और संख्याओं का निरा आकार शक्तिशाली: जब विन्यास $10^{10^{20}}$ की इकाइयों में गिने जाएँ, तब “अत्यधिक संभावित” और “निश्चित” में कोई भेद नहीं रह जाता, और प्रायिकता कठोर होकर नियम बन जाती है। गिनती से ही निकलते हैं एन्ट्रॉपी, ताप, दाब और दूसरा नियम — और, अध्याय के अंत में, वह कारण भी कि रबड़ का छल्ला पीछे क्यों खींचता है।

## 16.1 सूक्ष्म अवस्थाएँ, स्थूल अवस्थाएँ, और अभिगृहीत

**परिभाषा 16.1 (सूक्ष्म और स्थूल अवस्थाएँ).**

कोई *सूक्ष्म अवस्था* किसी तंत्र का पूरा सूक्ष्म विनिर्देश है — हर कण की हर क्वांटम संख्या (या, चिरसम्मत ढंग से, हर स्थिति और हर संवेग, जो प्रति कण $h^3$ की कला-समष्टि कोठरियों में गिने जाते हैं, [प्रतिज्ञप्ति 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting))। कोई *स्थूल अवस्था* वह है जो ऊष्मागतिकी देख सकती है: ऊर्जा $E$, आयतन $V$, कण संख्या $N$, चुंबकन… और *बहुलता* $\Omega(E, V, N)$ उन सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है जो एक ही स्थूल अवस्था ओढ़े हुए हैं।

**प्रमेय 16.2 (मूल अभिगृहीत).**

संतुलन में कोई विलगित तंत्र अपनी $\Omega(E, V, N)$ सुलभ सूक्ष्म अवस्थाओं में से प्रत्येक में समान प्रायिकता से पाया जाता है। सारी संतुलन सांख्यिकीय भौतिकी इसी एक वाक्य से निकलती है। उसके प्रमाणपत्र: [ल्यूविल की प्रमेय](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) दिखाती है कि ऊर्जा-कोश पर एकसमान वितरण ही वह है जिसे गतिकी बनाए रखती है — कोई प्रवाह कला-समष्टि की प्रायिकता को कभी गुच्छित नहीं करता — और डेढ़ सदी के परिणाम कभी किसी प्रयोग से असहमत नहीं हुए।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 16.3 (NNN सिक्कों का एक चुंबक).**

$N$ स्वतंत्र चक्रण, हर एक ऊपर या नीचे: $2^N$ सूक्ष्म अवस्थाएँ। [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) “$n$ ऊपर” की [बहुलता](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) $\Omega(n) = \binom Nn$ है, जो $n = N/2$ पर अत्यधिक शिखरित है और जिसकी सापेक्ष चौड़ाई $\sim1/\sqrt N$ है। $N = 100$ के लिए: सब-ऊपर वाली अवस्था एक है; और संतुलित [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) में $1 \times 10^{29}$ हैं। $N = 10^{20}$ के लिए ऊपर-अंश में $10^{-8}$ जितने विचलन भी $\eu^{-10^4}$ जैसे गुणकों से दब जाते हैं: तंत्र अपने शिखर पर *है*, और जिसे हम संतुलन कहते हैं वह वही [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) है जिसमें सबसे अधिक सूक्ष्म अवस्थाएँ हैं।

![चक्रण-तंत्र की बहुलता, उसके ऊपर-अंश के सामने, बढ़ते N के लिए: शिखर 1/√ N की तरह तीखा होता जाता है। N 1020 पर वह “वितरण” हर व्यावहारिक प्रयोजन के लिए एक ही मान है — सूक्ष्म लोकतंत्र से निकली स्थूल निश्चितता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/fig-ae491684fdfb.svg)

*चक्रण-तंत्र की [बहुलता](#def-b3-microcanonical-ensemble-states), उसके ऊपर-अंश के सामने, बढ़ते $N$ के लिए: शिखर $1/\sqrt N$ की तरह तीखा होता जाता है। $N \sim
10^{20}$ पर वह “वितरण” हर व्यावहारिक प्रयोजन के लिए एक ही मान है — सूक्ष्म लोकतंत्र से निकली स्थूल निश्चितता।*

## 16.2 एन्ट्रॉपी एक गिनती है

**परिभाषा 16.4 (बोल्ट्ज़मान एन्ट्रॉपी).**

किसी [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) की *सांख्यिकीय एन्ट्रॉपी* है

$$
S = k_{\text{B}}\ln\Omega , \qquad
k_{\text{B}} = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K} .
$$

लघुगणक एन्ट्रॉपी को वहाँ *योज्य* बना देता है जहाँ बहुलताएँ *गुणित* होती हैं: स्वतंत्र तंत्रों के लिए $\Omega = \Omega_1\Omega_2$ और $S = S_1 + S_2$; और बोल्ट्ज़मान का नियतांक इस गिनती को उन्हीं केल्विन-और-जूल इकाइयों पर अंशांकित करता है जिन्हें ऊष्मागतिकी पहले ही चुन चुकी थी। यह $S$, जैसा हम सत्यापित करेंगे, वर्ष 1 के खंड के दूसरे नियम की एन्ट्रॉपी है — अब एक सूक्ष्म अर्थ के साथ: एन्ट्रॉपी लघुगणकीय मुद्रा में यह नापती है कि वह [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) *कितने ढंगों से* साकार हो सकती है।

**प्रतिज्ञप्ति 16.5 (आदर्श गैस की एन्ट्रॉपी).**

किसी बक्से में $N$ सर्वसम परमाणुओं की क्वांटम अवस्थाएँ गिनने पर ([प्रतिज्ञप्ति 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting), [कला समष्टि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) में प्रति परमाणु $h^3$ की एक कोठरी, और सर्वसमता के लिए $N!$ से भाग — [अभ्यास 14.10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-10)) मिलता है

$$
S = Nk_{\text{B}}\Big[\ln\Big(\frac VN\,\frac1{\lambda_T^3}\Big)
 + \frac52\Big] , \qquad
\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T}}
$$

(अर्थात् *[ज़ाकुर–टेट्रोड सूत्र](#prop-b3-microcanonical-ensemble-gas)*; $\lambda_T$, तापीय दे ब्रॉय तरंगदैर्घ्य, ताप $T$ पर किसी परमाणु के तरंग-पुंज का आकार है)। दो उल्लेखनीय जाँचें: यह सूत्र *केवल* $N!$ की कृपा से विस्तीर्ण है; और उसका निरपेक्ष मान — जिसमें $h$ भी है — वास्तविक गैसों की कैलोरीमितीय एन्ट्रॉपियों से मेल खाता है ([अभ्यास 16.11](#exo-b3-microcanonical-ensemble-11)): उन्नीसवीं सदी में मापी गई चिरसम्मत ऊष्मागतिकी प्लांक का नियतांक बिना जाने ही जानती थी।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

## 16.3 ताप गिनती का एक अवकलज है

**प्रमेय 16.6 (संतुलन और ताप).**

दो तंत्रों को ऊर्जा का विनिमय करने दीजिए, जहाँ कुल $E = E_1 + E_2$ स्थिर है। संयुक्त [बहुलता](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) $\Omega_1(E_1)\,\Omega_2(E - E_1)$ उस विभाजन पर अधिकतम है — और अत्यधिक रूप से — जहाँ

$$
\frac{\partial S_1}{\partial E_1} =
\frac{\partial S_2}{\partial E_2} .
$$

परिभाषित कीजिए

$$
\frac1T = \frac{\partial S}{\partial E}\bigg|_{V,N} ,
$$

संतुलन का अर्थ है *तापों की समता*, और ऊर्जा स्वतःस्फूर्त रूप से उच्च $T$ से निम्न $T$ की ओर बहती है, क्योंकि वही दिशा कुल गिनती बढ़ाती है। यही तर्क आयतन और कण-विनिमय पर लगाने से $P/T = \partial S/\partial V$ और $-\mu/T
= \partial S/\partial N$ मिलते हैं: ऊष्मागतिकी की सारी गहन राशियाँ गिनती के अवकलज हैं।

**उपपत्ति.** $\ln\Omega_1 + \ln\Omega_2$ को $E_1$ पर अधिकतम कीजिए: अचरत्व की शर्त वही कथित समता है। तीखापन: शिखर की चौड़ाई $\sim E/\sqrt N$ है ([अभ्यास 16.7](#exo-b3-microcanonical-ensemble-7)), अतः अधिकतम ही प्रेक्षित अवस्था है। यदि $\partial S_1/\partial E_1 >
\partial S_2/\partial E_2$, तो ऊर्जा को 1 के *भीतर* ले जाना $S_{\text{कु}}$ बढ़ाता है: ठंडा पिंड (जिसका $\partial S/\partial E$ बड़ा है) अवशोषित करता है — अर्थात् ऊष्मा का गरम से ठंडे की ओर बहना एक गिनती का कथन है। आदर्श गैस पर जाँच: $S \propto \tfrac32 Nk_{\text{B}}\ln E + \cdots$ देता है $1/T = \tfrac32 Nk_{\text{B}}/E$, अर्थात् $E = \tfrac32
Nk_{\text{B}}T$ — वर्ष 1 के खंड का गति-सिद्धांत वाला परिणाम, विशुद्ध गिनती से पुनः प्राप्त। ∎

![दो तंत्र ऊर्जा बाँटते हुए: बँटवारे के सामने संयुक्त गिनती। संतुलन-विभाजन — अर्थात् बराबर ताप — केवल सबसे संभावित ही नहीं; स्थूल N के लिए वही एकमात्र है जो कभी देखा जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/fig-560d7702571c.svg)

*दो तंत्र ऊर्जा बाँटते हुए: बँटवारे के सामने संयुक्त गिनती। संतुलन-विभाजन — अर्थात् बराबर ताप — केवल सबसे संभावित ही नहीं; स्थूल $N$ के लिए वही एकमात्र है जो कभी देखा जाता है।*

## 16.4 दूसरा नियम, और उससे भी अजीब बातें

**प्रतिज्ञप्ति 16.7 (अनुत्क्रमणीयता अंकगणित है).**

कोई [प्रतिबंध](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) हटाया जाना (कोई दीवार हटी, कोई वाल्व खुला) सुलभ गिनती को केवल बढ़ा ही सकता है: $\Omega$ बढ़ता है, $S$ बढ़ता है — अर्थात् वर्ष 1 के खंड का दूसरा नियम, अब प्रायिकता के कथन के रूप में। उलटाव वर्जित नहीं, पर *छूट पर* हैं: $N$ अणुओं की कोई गैस फिर से बाईं आधी में सिमट आए, इसकी प्रायिकता $2^{-N}$ है, और वायु के एक घन सेंटीमीटर के लिए प्रतीक्षा-काल ब्रह्मांड की आयु से $10^{19}$ अंकों वाले गुणक जितना अधिक है। समय का तीर, इस स्तर पर, वही दिशा है जिसमें गिनतियाँ बढ़ती हैं।

**आंशिक उपपत्ति.** किसी [प्रतिबंध](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) को हटाने से पहले से सुलभ हर [सूक्ष्म अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) सुलभ बनी रहती है और नई भी जुड़ जाती हैं: $\Omega$ घट नहीं सकता। मुक्त प्रसार की गिनती: हर अणु अपना सुलभ आयतन दुगना कर लेता है, $\Omega \to 2^N\Omega$, अतः $\Delta S = Nk_{\text{B}}\ln2$ — ठीक वही ऊष्मागतिकीय परिणाम जो समतापी मुक्त दुगुनेपन का है। ∎

**उदाहरण 16.8 (ऋणात्मक ताप).**

जिस तंत्र की ऊर्जा *ऊपर से परिबद्ध* है — किसी क्षेत्र में $N$ चक्रण, ऊर्जा $-N\epsilon$ से $+N\epsilon$ तक — उसका $\Omega(E)$ पहले चढ़ता है, फिर *गिरता* है: संतुलित बिंदु के आगे ऊर्जा जोड़ना गिनती घटा देता है। वहाँ $\partial S/\partial E < 0$: अर्थात् ताप *ऋणात्मक* है। ऐसी अवस्थाएँ होती हैं (जनसंख्या-प्रतिलोमन — हर लेज़र माध्यम की कार्यशील अवस्था — और क्षेत्र-उलटाव से तैयार किए गए चक्रण-तंत्र), और वे ठंडी नहीं बल्कि *हर धनात्मक ताप से अधिक गरम* हैं: ऊर्जा किसी भी $T < 0$ पिंड से किसी भी $T > 0$ पिंड में बहती है। तापों का ईमानदार क्रम है $+0, \dots, +\infty \equiv -\infty, \dots, -0$: जिसे $1/T$ स्वाभाविक ढंग से क्रमित करता है, उसे $T$ गड़बड़ा देता है ([अभ्यास 16.9](#exo-b3-microcanonical-ensemble-9))।

![द्वि-स्तरीय चक्रण-तंत्र की एन्ट्रॉपी, ऊर्जा के सामने। चढ़ते पार्श्व पर ताप धनात्मक है; शिखर पर वह अनंत से होकर गुज़रता है; और गिरते पार्श्व पर — जहाँ जनसंख्या प्रतिलोमित है — वह ऋणात्मक है, और बाईं ओर की हर चीज़ से अधिक गरम।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/fig-f7da2bd2ce38.svg)

*द्वि-स्तरीय चक्रण-तंत्र की एन्ट्रॉपी, ऊर्जा के सामने। चढ़ते पार्श्व पर ताप धनात्मक है; शिखर पर वह अनंत से होकर गुज़रता है; और गिरते पार्श्व पर — जहाँ जनसंख्या प्रतिलोमित है — वह ऋणात्मक है, और बाईं ओर की हर चीज़ से अधिक गरम।*

**विधि 16.9 (सूक्ष्मविहित कारीगरी).**

(1) सूचीबद्ध कीजिए: यहाँ [सूक्ष्म अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) क्या है, और [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) क्या नियत करती है? (2) $\Omega$ गिनिए — विविक्त इकाइयों के लिए संचय-गणित, और गैसों के लिए $h^{3N}N!$ पर कला-समष्टि का आयतन। (3) लघुगणक जल्दी लीजिए: स्टर्लिंग ($\ln N! \approx N\ln N - N$) गुणनफलों को साधने योग्य योगों में बदल देता है। (4) $S$ का अवकलन कीजिए: $T$ के लिए ऊर्जा-अवकलज, $P$ के लिए आयतन, $\mu$ के लिए संख्या; और तनावों तथा क्षेत्रों के लिए लंबाई या चुंबकन के अवकलज ([समस्या 16.1](#pb-b3-microcanonical-ensemble-1))। (5) शिखर पर भरोसा कीजिए: उतार-चढ़ाव $1/\sqrt N$ से दबे हैं, अतः “सबसे संभावित” की जगह “बराबर” रखिए और किसी से क्षमा मत माँगिए।

![किसी बक्से में मथा गया धुआँ, लेज़र की चादर से कटा हुआ: किसी भी हिसाब-किताब से परे सूक्ष्म गति, और सांख्यिकी का कमान सँभाल लेना — वही क्षण, जब यांत्रिकी की समस्या एन्ट्रॉपी की समस्या बन जाती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/img-1f6f21fcd18d.jpg)

*किसी बक्से में मथा गया धुआँ, लेज़र की चादर से कटा हुआ: किसी भी हिसाब-किताब से परे सूक्ष्म गति, और सांख्यिकी का कमान सँभाल लेना — वही क्षण, जब यांत्रिकी की समस्या एन्ट्रॉपी की समस्या बन जाती है।*

## 16.5 अभ्यास

**अभ्यास 16.1 ★.**

चार चक्रण। (क) स्थूल अवस्थाओं की बहुलताएँ $\Omega(n)$ सूचीबद्ध कीजिए — “$n$ ऊपर” वाली। (ख) अभिगृहीत के अंतर्गत हर [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) की प्रायिकता। (ग) प्रत्येक की एन्ट्रॉपी ($k_{\text{B}}$ की इकाइयों में)। (घ) कौन-सी [स्थूल अवस्था](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) “संतुलन” है, और $N = 4$ पर “तंत्र निश्चित रूप से वहीं है” कितना बुरा सन्निकटन है?

**हल — अभ्यास 16.1.**

(क) $1, 4, 6, 4, 1$। (ख) $16$ पर: $6.25\%$, $25\%$, $37.5\%$, $25\%$, $6.25\%$। (ग) $S/k_{\text{B}} = 0$, $\ln4$, $\ln6$, $\ln4$, $0$। (घ) $n = 2$, जिसके पास प्रायिकता का केवल $37.5\%$ है: अर्थात् $N = 4$ पर “संतुलन” महज़ एक बहुमत है — वह तीखापन, जो ऊष्मागतिकी का लाइसेंस देता है, बड़े $N$ से खरीदा जाता है।

**अभ्यास 16.2 ★.**

व्यवहार में स्टर्लिंग। (क) $\ln N!$ की $N\ln N - N$ से तुलना कीजिए, $N = 10$ और $N = 100$ के लिए ($\ln10! = 15.10$, $\ln100! = 363.7$ लीजिए)। (ख) दिखाइए कि सापेक्ष त्रुटि $\ln N/N$ की तरह घटती है। (ग) स्टर्लिंग से दिखाइए कि $\ln\binom N{N/2} \approx N\ln2 - \tfrac12\ln N +$ नियतांक। (घ) किसी मोल में $\tfrac12\ln N$ छोड़ देना पूरी तरह सुरक्षित क्यों है?

**हल — अभ्यास 16.2.**

(क) $N = 10$: $13.0$ बनाम $15.1$ ($14\%$ की चूक); $N = 100$: $360.5$ बनाम $363.7$ ($0.9\%$)। (ख) उपेक्षित पद है $\tfrac12\ln(2\pi N)$: सापेक्ष त्रुटि $\sim\ln N/N$। (ग) तीनों क्रमगुणितों पर स्टर्लिंग लगाइए। (घ) $N = 10^{23}$ पर छोड़ा गया पद $\sim26$ है, जबकि $N\ln2 \sim 10^{23}$: अग्रणी पद से बाईस कोटियाँ नीचे।

**अभ्यास 16.3 ★.**

(क) दिखाइए कि दो स्वतंत्र तंत्रों के लिए $S = S_1 + S_2$। (ख) किसी तंत्र का $\Omega$ दुगना हो जाता है: $S$ कितना बढ़ता है — और एक कण के लिए वह किस भौतिक कर्म ([प्रतिज्ञप्ति 16.7](#prop-b3-microcanonical-ensemble-second-law)) के तुल्य है? (ग) 52 ताशों की फेंटी हुई गड्डी की एन्ट्रॉपी $k_{\text{B}}$ में और J/K में निकालिए ($\ln52! \approx 156.4$)। (घ) ताश की एन्ट्रॉपी ऊष्मागतिकीय दृष्टि से नगण्य क्यों है, जबकि आणविक एन्ट्रॉपी नहीं?

**हल — अभ्यास 16.3.**

(क) $\ln(\Omega_1\Omega_2) = \ln\Omega_1 + \ln\Omega_2$। (ख) $\Delta S = k_{\text{B}}\ln2$ — अर्थात् एक कण को दुगना आयतन मिला। (ग) $S = 156\,k_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$। (घ) ऊष्मागतिकीय एन्ट्रॉपियाँ $10^{23}$ के गुणक ढोती हैं: पृथ्वी के हर जुआघर की सारी फेंटाई गरम हवा की एक साँस के आगे अदृश्य है।

**अभ्यास 16.4 ★.**

मुक्त प्रसार, जाँचा हुआ। एक मोल निर्वात में अपना आयतन दुगना करता है। (क) गिनती के तर्क से $\Delta S$। (ख) गैस को फिर उसी आधे भाग में देखने की प्रायिकता। (ग) यदि आणविक पुनर्विन्यास का काल $10^{-10}\,\mathrm{s}$ हो, तो ऐसे उतार-चढ़ाव का समय-पैमाना आकलिए — और ब्रह्मांड की आयु ($4 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$) से तुलिए। (घ) दूसरा नियम ठीक किस अर्थ में “केवल” प्रायिकतात्मक है?

**हल — अभ्यास 16.4.**

(क) $\Delta S = N_{\text{A}}k_{\text{B}}\ln2 = R\ln2 =
5.76\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$। (ख) $2^{-N_{\text{A}}} \sim 10^{-1.8\times
10^{23}}$। (ग) हर $10^{-10}\,\mathrm{s}$ पर विन्यासों का नमूना लेते हुए भी अपेक्षित प्रतीक्षा $4 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$ को ऐसे गुणक से बौना कर देती है जिसके *घातांक* में तेईस अंक हैं। (घ) असंभव नहीं — अ-साक्ष्य: नियम सिद्धांततः प्रायिकतात्मक है और हर उस संसार में निरपेक्ष, जिसमें परिमित धैर्य वाले प्रेक्षक हों।

**अभ्यास 16.5 ★★.**

आदर्श-गैस की गिनती। $\Omega \propto \dfrac{V^N}{N!\,h^{3N}}\times$ (संवेग-कोश का आयतन $\propto E^{3N/2}$) से आरंभ करके: (क) दिखाइए कि $S = Nk_{\text{B}}[\ln V +
\tfrac32\ln E] - k_{\text{B}}\ln N! +$ नियतांक। (ख) दिखाइए कि $N!$ के बिना तंत्र दुगना करने पर ($V$ और $N$ दोनों) $S$ दुगना *नहीं* होता — अर्थात् [अभ्यास 14.10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-10) वाली विस्तीर्णता की विफलता। (ग) स्टर्लिंग से परिणाम को इस रूप में रखिए: $S = Nk_{\text{B}}[\ln(V/N) + \tfrac32\ln(E/N)]
+$ नियतांक$\cdot N$। (घ) कौन-से भौतिक निवेशों ने उन दो “नियतांकों” को तय किया जिन्हें इतिहास ने अनिर्धारित छोड़ा था (क्वांटम कोठरी का आकार; कणों की सर्वसमता)?

**हल — अभ्यास 16.5.**

(क) गुणनफल का लघुगणक लीजिए। (ख) $V, N$ दुगना कीजिए, स्थिर $E/N$ पर: $N!$ के बिना $S$ को $N\ln2$ जैसा एक अतिरिक्त आधिक्य मिल जाता है — अर्थात् गिब्स वाली विफलता। (ग) $\ln N!$ पर स्टर्लिंग $V/N$ और $E/N$ वाले संयोजन दे देता है। (घ) प्लांक की कोठरी $h^3$ एन्ट्रॉपी का शून्य तय करती है; और कणों की सर्वसमता $N!$ — दो क्वांटम निवेश, जो चिरसम्मत ऊष्मागतिकी में छिपे बैठे हैं।

**अभ्यास 16.6 ★★.**

अवकलजों से ऊष्मागतिकी। [अभ्यास 16.5](#exo-b3-microcanonical-ensemble-5)(ग) के रूप से: (क) $1/T =
\partial S/\partial E$ निकालिए और $E = \tfrac32 Nk_{\text{B}}T$ पुनः पाइए; (ख) $P/T = \partial S/\partial V$ निकालिए और $PV =
Nk_{\text{B}}T$ पुनः पाइए; (ग) [रुद्धोष्म निश्चर](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) व्युत्पन्न कीजिए: अचर $S$ और $N$ पर दिखाइए कि $VE^{3/2}$ स्थिर है, अर्थात् $TV^{2/3}$ — और उसे वर्ष 1 के खंड के $PV^{5/3}$ से मिलाइए; (घ) बताइए कि क्या हासिल हुआ: कौन-से आनुभविक नियम अभी-अभी गिनती की प्रमेय बन गए।

**हल — अभ्यास 16.6.**

(क) $1/T = \tfrac32 Nk_{\text{B}}/E$। (ख) $P/T =
Nk_{\text{B}}/V$: अर्थात् आदर्श गैस का नियम, गिनती से। (ग) अचर $S$: $\ln(V/N) + \tfrac32\ln(E/N)$ स्थिर, अतः $VE^{3/2}$ अचर; और $E \propto T$ के साथ: $TV^{2/3}$ अचर, जो $PV^{5/3}$ के तुल्य है। (घ) गैस का नियम, ऊर्जा–ताप संबंध और रुद्धोष्म चरघातांक — वर्ष 1 के खंड के तीन आनुभविक स्तंभ — अब प्रमेय हैं।

**अभ्यास 16.7 ★★.**

संतुलन का तीखापन। आदर्श गैस के दो बराबर खंड कुल ऊर्जा $E$ बाँटते हैं। (क) दिखाइए कि $\ln[\Omega_1\Omega_2]$ बराबर बँटवारे पर अधिकतम है। (ख) असंतुलन $x =
(E_1 - E_2)/E$ में द्वितीय कोटि तक प्रसार कीजिए और दिखाइए कि प्रायिकता $\propto\eu^{-3Nx^2/4}$ है (हर खंड की $\tfrac32 N$ स्वातंत्र्य कोटियाँ — गुणकों को ढीला रहने दीजिए)। (ग) $N = 10^{22}$ के लिए: वर्ग-माध्य-मूल असंतुलन। (घ) $300\,\mathrm{K}$ की गैस के लिए वह असंतुलन कितना ताप-अंतर दर्शाता है: क्या कोई तापमापी उसे देख सकता है?

**हल — अभ्यास 16.7.**

(क) सममिति (बराबर खंड)। (ख) हर $\ln\Omega \propto
\tfrac32 N\ln E_i$: बराबर बँटवारे के परितः प्रसार करने पर $x$ में एक गाउसीय मिलता है, जिसका प्रसरण $\sim1/N$ है। (ग) $x_{\text{वमम}} \sim
10^{-11}$। (घ) $\Delta T/T \sim x_{\text{वमम}}$: नैनो-नैनोकेल्विन — उतार-चढ़ाव हैं, पर प्रयोगशाला के पैमाने पर अमापनीय रूप से शांत।

**अभ्यास 16.8 ★★.**

द्वि-स्तरीय (शॉट्की) ठोस: $N$ स्थल, प्रत्येक की ऊर्जा $0$ या $\epsilon$; और $n$ उत्तेजित। (क) $\Omega(n)$ और $S(n)$। (ख) $E =
n\epsilon$ तथा स्टर्लिंग के साथ व्युत्पन्न कीजिए

$$
\frac1T = \frac{k_{\text{B}}}{\epsilon}\,
\ln\frac{N - n}{n} ,
\qquad\text{अतः}\qquad
\frac nN = \frac{1}{\eu^{\epsilon/k_{\text{B}}T} + 1} .
$$

(ग) $E(T)$ और ऊष्माधारिता का रेखाचित्र बनाइए: $k_{\text{B}}T \sim \epsilon/2$ के पास एक उभार (*शॉट्की विषमता*) — $C$ दोनों सिरों पर क्यों लुप्त हो जाता है? (घ) अधिभोग-सूत्र की यह आकृति पहले कहाँ प्रकट हो चुकी है, और कहाँ लौटेगी ([अध्याय 19](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics))?

**हल — अभ्यास 16.8.**

(क) $\Omega = \binom Nn$, $S = k_{\text{B}}\ln\binom Nn$। (ख) $1/T = \partial S/\partial E = (k_{\text{B}}/\epsilon)[\ln(N-n) -
\ln n]$; और $n/N$ के लिए हल कीजिए। (ग) $E(T)$ $0$ से संतृप्ति $N\epsilon/2$ तक चढ़ता है; और $C = \dd E/\dd T$ निम्न $T$ पर (कोई क्वांटम वहन नहीं किया जा सकता) तथा उच्च $T$ पर (दोनों स्तर बराबर भरे, अवशोषित करने को कुछ बचा नहीं) लुप्त हो जाता है: बीच में एक उभार — किसी भी द्वि-स्तरीय जनसंख्या का कैलोरीमितीय चिह्न, जो ठोसों में चुंबकीय अशुद्धियाँ खोजने में काम आता है। (घ) यह तापीय द्वि-स्तरीय अधिभोग है — और $\epsilon \to E - \mu$ के साथ वही अक्षरशः फ़र्मी–डिराक वितरण बनकर लौटेगा।

**अभ्यास 16.9 ★★.**

शून्य से नीचे। [उदाहरण 16.8](#ex-b3-microcanonical-ensemble-negative) वाले चक्रण-तंत्र के लिए, जिसका स्तर-विपाटन $\epsilon$ है: (क) दिखाइए कि $T < 0$ ठीक तभी होता है जब आधे से अधिक चक्रण ऊपर हों (जनसंख्या प्रतिलोमित)। (ख) 60:40 प्रतिलोमन के लिए $T$ निकालिए, जहाँ $\epsilon = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$। (ग) दिखाइए कि ऊर्जा सदा ऋणात्मक-$T$ से धनात्मक-$T$ पिंडों की ओर बहती है ($\partial
S/\partial E$ की तुलना कीजिए)। (घ) अपरिबद्ध ऊर्जा वाला तंत्र (कोई गैस) $T < 0$ तक कभी क्यों नहीं पहुँच सकता?

**हल — अभ्यास 16.9.**

(क) $1/T \propto \ln[(N-n)/n] < 0$ ठीक तभी जब $n > N/2$। (ख) $T = \epsilon/[k_{\text{B}}\ln(2/3)] = -2.9\,\mathrm{K}$। (ग) कोई ऋणात्मक-$T$ पिंड ऊर्जा खोकर एन्ट्रॉपी *कमाता* है, और कोई धनात्मक-$T$ पिंड ऊर्जा पाकर: ऊर्जा जब ऋणात्मक $\to$ धनात्मक बहती है तब दोनों गिनतियाँ बढ़ती हैं — प्रतिलोमित तंत्र सार्वभौमिक दाता है, अर्थात् हर चीज़ से गरम। (घ) अपरिबद्ध ऊर्जा के साथ $\Omega(E)$ कभी पलटता नहीं: $\partial S/\partial E$ किसी भी परिमित ऊर्जा पर धनात्मक बना रहता है।

**अभ्यास 16.10 ★★★.**

मिश्रण, संख्याओं में। दो भिन्न गैसें (प्रत्येक में $N$, आयतन $V$) जोड़ी जाती हैं। (क) गिनकर $\Delta S$ निकालिए। (ख) वही गैस: दिखाइए कि $N!$ सहित $\Delta S = 0$। (ग) हीलियम-3 और हीलियम-4 भिन्न हैं: उन्हें जोड़ने से $2Nk_{\text{B}}\ln2$ सचमुच पैदा होता *है* — फिर भी न कोई ऊष्मा बहती है, न कोई कार्य होता है: एन्ट्रॉपी की वह वृद्धि भौतिक रूप से कहाँ है (उन्हें फिर अलग करने की लागत क्या होती)? (घ) ताप $T$ पर उन्हें फिर अलग करने का न्यूनतम कार्य व्यक्त कीजिए, और उसे चुकाने पर खड़े आधुनिक उद्योग का नाम लीजिए (समस्थानिक पृथक्करण)।

**हल — अभ्यास 16.10.**

(क) हर गैस अपना सुलभ आयतन दुगना कर लेती है: $\Delta S =
2Nk_{\text{B}}\ln2$। (ख) मिली हुई जनसंख्याओं के $N!$ प्रत्यक्ष लाभ को ठीक-ठीक सोख लेते हैं: $\Delta S = 0$। (ग) एन्ट्रॉपी की वृद्धि *छँटाई का खो जाना* है: कोई स्थूल चर हिला नहीं, पर अब फिर से अलग करने में कार्य लगेगा — वृद्धि एक भावी बिल के रूप में जमा है। (घ) $W_{\min} = T\Delta S =
2Nk_{\text{B}}T\ln2$; और समस्थानिक-पृथक्करण संयंत्र (यूरेनियम की अपकेंद्री शृंखलाएँ, हीलियम-3 की वसूली) व्यवहार में इस ऊष्मागतिकीय न्यूनतम से कई गुना चुकाते हैं।

**अभ्यास 16.11 ★★★.**

सारणियाँ $h$ के बारे में जानती थीं। आर्गन ($m =
6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$) के लिए $300\,\mathrm{K}$, $1\,\mathrm{bar}$ पर ज़ाकुर–टेट्रोड ($V/N =
k_{\text{B}}T/P$): (क) $\lambda_T$ निकालिए; (ख) $S/N
k_{\text{B}}$ निकालिए; (ग) कैलोरीमितीय मान $S_{\text{मोलर}} = 154.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ से तुलिए, अर्थात् $S/Nk_{\text{B}}
= 18.6$; (घ) समझाइए कि क्या परखा जा रहा है: 1912 से पहले बर्फ़-कैलोरीमापी से नापी गई किसी संख्या के भीतर कौन-से दो क्वांटम निवेश बैठे हैं?

**हल — अभ्यास 16.11.**

(क) $\lambda_T = 1.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$। (ख) $V/N = k_{\text{B}}T/P =
4.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{m}^{3}$: $V/N\lambda_T^3 = 1.0 \times 10^{7}$, अतः $S/Nk_{\text{B}} = \ln(1.0 \times 10^{7}) + 2.5 = 18.6$। (ग) कैलोरीमितीय $18.6$ पर ठीक बैठा। (घ) निरपेक्ष एन्ट्रॉपी में $h$ है ($\lambda_T$ के ज़रिए) और $N!$ भी: भाप के युग के ऊष्मा-मापन तीन अंकों तक [क्रिया](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) के क्वांटम और परमाणुओं की सर्वसमता की पुष्टि कर देते हैं।

**अभ्यास 16.12 ★★★.**

जो उतार-चढ़ाव आप देख सकते हैं। गैस के किसी छोटे आयतन $v$ में अणुओं की संख्या उतार-चढ़ाव करती है; और सापेक्ष विचलन $\delta$ की प्रायिकता $\propto\eu^{-\bar n\delta^2/2}$ है ($\bar n = Nv/V$ — इस गाउसीय को मान लीजिए, या द्विपद से व्युत्पन्न कीजिए)। (क) $v$ को वायुमंडलीय घनत्व पर $550\,\mathrm{nm}$ भुजा का घन लेकर: $\bar n$ और वर्ग-माध्य-मूल $\delta$। (ख) प्रकाशिक पैमानों पर घनत्व की ये स्थायी कुछ-प्रति-हज़ार वाली लहरें ठीक वही क्यों हैं जो [समस्या 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1) को चाहिए थीं, ताकि हवा प्रकीर्ण भी कर सके? (ग) किस $\bar n$ पर (और इस तरह किस पैमाने पर) उतार-चढ़ाव $10\%$ तक पहुँचेंगे? (घ) एक वाक्य में चक्र पूरा कीजिए: आकाश का नीलापन $\sqrt N$ सांख्यिकी के बारे में एक कथन है।

**हल — अभ्यास 16.12.**

(क) $v = (550\,\mathrm{nm})^3 = 1.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{3}$: $\bar n =
4.2 \times 10^{6}$, $\delta_{\text{वमम}} = 1/\sqrt{\bar n} \approx
5 \times 10^{-4}$। (ख) कोई पूर्णतः एकसमान माध्यम बगल की ओर कुछ भी प्रकीर्ण नहीं करता ([समस्या 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1), भाग III): हर प्रकाशिक कोठरी में ये अपरिहार्य $\sqrt N$ लहरें ठीक वही अव्यवस्था हैं जो आकाश को होने देती हैं। (ग) $\bar n = 100$: $v
\approx (16\,\mathrm{nm})^3$। (घ) आकाश नीला है क्योंकि हवा गिनने योग्य अणुओं से बनी है, जिनकी संख्याएँ $\sqrt N$ की तरह उतार-चढ़ाव करती हैं — आइंस्टाइन ने ठीक इसी से तर्क दिया था कि अणु असली हैं।

## 16.6 समस्या: एन्ट्रॉपी वाली कमानी

**समस्या 16.1.**

सप्ताहांत समस्या — रबड़ पीछे क्यों खींचता है

रबड़ का छल्ला तानिए और वह वापस सिमट आता है — जबकि उसके अणुओं के बंध मुश्किल से विरूपित होते हैं और उसकी आंतरिक ऊर्जा मुश्किल से बदलती है। रबड़ का प्रत्यानयन बल न्यूनतम खोजती ऊर्जा नहीं, बल्कि *अधिकतम खोजती एन्ट्रॉपी* है: क्रियाविधि पर विशुद्ध गिनती की पहली महान विजय, और वही गणित आज एकल-अणु DNA प्रयोगों में चलता है। प्रतिरूप: $N$ दृढ़ कड़ियों की एक शृंखला, जिनमें हर कड़ी की लंबाई $b$ है और हर कड़ी खिंचाव-अक्ष के अनुदिश बाएँ या दाएँ इशारा करती है; और सिरे-से-सिरे विस्तार $x = (n_+ - n_-)\,b$।

**भाग I — विन्यास गिनना।**

1. $n_\pm$ को $N$ और $x$ के पदों में व्यक्त कीजिए, और [बहुलता](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) $\Omega(x)$ लिखिए।
2. $\Omega$ कहाँ अधिकतम है, और वह किसी मुक्त शृंखला के पसंदीदा विस्तार के बारे में क्या कहता है?
3. स्टर्लिंग से, $x \ll Nb$ के लिए दिखाइए: $$S(x) \approx S(0) - \frac{k_{\text{B}}x^2}{2Nb^2} .$$
4. शृंखला की ऊर्जा (इस प्रतिरूप में) $x$ से स्वतंत्र है: किसी भी प्रत्यानयन बल को “एन्ट्रॉपिक” कहना उचित ठहराइए।
5. मुक्त शृंखला का वर्ग-माध्य-मूल विस्तार $b\sqrt N$ है (यादृच्छिक चाल): $N = 10^4$ और $b = 0.5\,\mathrm{nm}$ के लिए कुंडली के आकार की तनी हुई लंबाई $Nb$ से तुलना कीजिए।
6. असली रबड़ ऐसी ही शृंखलाओं का जाल है, जो आड़े-बंधों के बीच फैला रहता है: वल्कनीकरण (अधिक आड़े-बंध) प्रतिरूप का कौन-सा एक प्राचल बदलता है?

**भाग II — गिनती का बल।**

7. ताप $T$ पर रखे किसी तंत्र के लिए, विस्तार $x$ बनाए रखने को आवश्यक तनाव $f = -T\,\partial S/\partial x$ है (अचर ऊर्जा पर $\dd E = T\dd S + f\dd x$ से इसे मान लीजिए): व्युत्पन्न कीजिए $$f = \frac{k_{\text{B}}T\,x}{Nb^2} .$$
8. [हुक का नियम](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) कमानी नियतांक $k =  k_{\text{B}}T/Nb^2$ के साथ उभर आया है: $300\,\mathrm{K}$ पर $N =  10^{4}$ , $b = 0.5\,\mathrm{nm}$ वाली एक शृंखला के लिए उसका मान निकालिए।
9. चौंकाने वाला गुणक है $T$ : स्थिर भार के नीचे रखे किसी रबड़ के छल्ले को *गरम* करने पर क्या करना चाहिए? इस्पात की कमानी से इसका विरोधाभास दिखाइए।
10. किसी एक शृंखला को उसकी पूरी लंबाई की आधी तक तानने का बल आकलिए, और वह बल-पैमाना $k_{\text{B}}T/b$ भी, जिस पर रैखिक प्रतिरूप विफल हो जाता है।
11. $1\,\mathrm{mm}^{2}$ [अनुप्रस्थ काट](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/15-scattering-theory#def-b3-scattering-theory-cross-section) वाले किसी रबड़ के छल्ले में समांतर में $\sim10^{14}$ प्रभावी शृंखलाएँ होती हैं: उसका कमानी नियतांक आकलिए और अनुभव से तुलिए।
12. ग्राम-दर-ग्राम, रबड़ ताप के साथ कड़ा (नरम नहीं) क्यों होता है, जबकि धातुएँ नरम पड़ जाती हैं?

**भाग III — गफ़–जूल की रसोई।**

13. किसी रबड़ के छल्ले को अपने होंठ से लगाकर तेज़ी से (रुद्धोष्म ढंग से) तानिए: वह गरम हो जाता है। एन्ट्रॉपी के बजट से समझाइए: तानना विन्यास-एन्ट्रॉपी *घटाता* है, अतः कुल स्थिर रहते हुए एन्ट्रॉपी (ऊष्मा) को कहाँ जाना चाहिए?
14. उसे तेज़ी से छोड़िए: वह ठंडा हो जाता है। सममित तर्क पूरा कीजिए।
15. किसी भार लटके रबड़ के छल्ले को धीरे-धीरे गरम किया जाता है (बाल सुखाने वाला यंत्र): भार किस ओर चलता है, और यह एन्ट्रॉपिक प्रत्यास्थता का स्वच्छ चिह्न क्यों है?
16. इस्पात की कमानी से प्रति-प्रयोग गढ़िए: इसके बदले क्या होता है, और क्यों (किस प्रकार की प्रत्यास्थता)?
17. एक इंजन: रबड़ की तीलियों वाला कोई पहिया, जिसे एक ओर से गरम किया जाए, लगातार घूमता है। एक चक्र का तर्क बताइए (गरम तीलियाँ सिकुड़ती हैं और पहिये का संतुलन बिगाड़ देती हैं)।
18. वही $f = k_{\text{B}}Tx/Nb^2$ नियम, जो एकल DNA अणुओं पर प्रकाशिक चिमटियों से नापा गया (किसी जीवाणु-जीनोम खंड के लिए $b \approx  100\,\mathrm{nm}$ , $N \approx 500$ ), किस परास के बल देता है? ( $k_{\text{B}}T/b$ निकालिए।) इससे यह प्रतिरूप एक ही अणु पर *सीधे* परखने योग्य क्यों बन गया?

**भाग IV — सार।**

19. शृंखला-प्रतिरूप में न कोई अन्योन्यक्रिया है, न कोई ऊर्जा-पैमाना, फिर भी वह एक बल-नियम देता है: इस अध्याय की सूक्ष्मविहित भाषा में ठीक-ठीक बताइए कि वह बल “कहाँ से आता” है।
20. $T = 0$ पर वह बल क्यों लुप्त हो जाता है — और यह किसी ऐसे संसार में प्रत्यास्थता के स्वभाव के बारे में क्या कहता है जिसमें तापीय हलचल ही न हो?
21. एन्ट्रॉपिक कमानी नियतांक की $T$ -रैखिकता की तुलना आदर्श गैस के दाब की $T$ -रैखिकता से कीजिए: दिखाइए कि दोनों एक ही परिघटना हैं (किसी [प्रतिबंध](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) के सामने विन्यास गिनना), बस अलग-अलग वेश में।
22. गरम किया गया छल्ला भार उठाता है और सचमुच कार्य करता है: ऊर्जा का स्रोत और मार्ग बताइए (सुखाने वाले यंत्र से भीतर ऊष्मा, एन्ट्रॉपी का हिसाब, बाहर कार्य) और पुष्टि कीजिए कि पहला नियम अछूता है।
23. आदर्श शृंखला स्व-परिहार और कड़ी-मुड़ाई की ऊर्जा दोनों की उपेक्षा करती है: असली रबड़ का एक-एक मापा गया लक्षण बताइए जिसे हर चूक छिपा देती है (पूरे विस्तार के पास तीखा कड़ापन; विकृति-प्रेरित क्रिस्टलन और शैथिल्य)।
24. प्रोटीन मुड़ते हैं, झिल्लियाँ थरथराती हैं, बहुलक कुंडलित होते हैं: शरीर के ताप पर $k_{\text{B}}T$ सारे कोमल और सजीव पदार्थ की स्वाभाविक बल-मुद्रा क्यों है (पिकोन्यूटन में $k_{\text{B}}T/\mathrm{nm}$ — निकालिए)?
25. नामित परिणाम का सार दीजिए: $10^4$ अंधी कड़ियों की एक शृंखला, ईमानदारी से गिनी हुई, [हुक का नियम](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) $k =  k_{\text{B}}T/Nb^2$ के साथ देती है, और यह भविष्यवाणी करती है कि रबड़ तानने पर गरम होता है और गरम करने पर भार उठाता है — अर्थात् एन्ट्रॉपी का बल की तरह काम करना, जो साइकिल की भीतरी ट्यूबों से लेकर $\sim0.04\,\mathrm{pN}$ पैमाने पर एकल DNA अणुओं तक सत्यापित है।

**हल — समस्या 16.1.**

**1.** $n_\pm = \tfrac12(N \pm x/b)$; $\Omega =
N!/n_+!\,n_-!$। **2.** $x = 0$ पर: मुक्त शृंखला कुंडलित हो जाती है; और पूरे विस्तार पर $\Omega = 1$। **3.** द्विपद पर स्टर्लिंग, और $x/Nb$ में द्वितीय कोटि तक प्रसार: वही कथित गाउसीय एन्ट्रॉपी। **4.** $E$ के $x$ से स्वतंत्र होने पर छोटे $x$ की ओर कोई भी खिंचाव केवल गिनती से आ सकता है: रचना से ही एन्ट्रॉपिक। **5.** कुंडली $\sim b\sqrt N = 50\,\mathrm{nm}$, जबकि $Nb =
5\,\text{µ}\mathrm{m}$: मुक्त शृंखला अपनी परिरेखा से सौ गुना छोटी है — लगभग पूरी की पूरी मुड़ी-तुड़ी। **6.** $N$, अर्थात् आड़े-बंधों के बीच कड़ियों की संख्या: वल्कनीकरण प्रभावी शृंखलाओं को छोटा कर देता है और जाल को कड़ा। **7.** $f = -T\,\partial S/\partial x =
k_{\text{B}}Tx/Nb^2$। **8.** प्रति शृंखला $k = k_{\text{B}}T/Nb^2 = 4.14 \times 10^{-21}/(10^{4}
\times 2.5 \times 10^{-19}) = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$। **9.** $k \propto T$: स्थिर भार के नीचे गरम करने पर छल्ला कड़ा होकर *सिकुड़ता* है और भार उठा लेता है; जबकि इस्पात की कमानी बस नरम पड़कर ज़रा-सा झूल जाती है। **10.** $f(Nb/2) = k_{\text{B}}T/2b \approx 4\,\mathrm{pN}$; और जैसे ही $f$ $k_{\text{B}}T/b \approx
8\,\mathrm{pN}$ के पास आता है, रैखिक नियम टूट जाता है — वहाँ शृंखला पूरे विस्तार के निकट होती है। **11.** समांतर में $\sim10^{14}$ शृंखलाएँ और किसी सेंटीमीटर के अनुदिश श्रेणी में $\sim10^{5}$ कुंडली-लंबाइयाँ: $k_{\text{छल्ला}} \sim k_{\text{शृंखला}} \times 10^{14}/10^{5}
\sim 10^{2}$–$10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — अर्थात् रबड़ के छल्ले का जाना-पहचाना अहसास। **12.** रबड़ की कड़ाई प्रति विन्यास $k_{\text{B}}T$ *ही* है: जितनी अधिक हलचल, उतनी अधिक वापसी; जबकि धात्विक कड़ाई बंध-ऊर्जा है, जिसे असंनादी हलचल ढीला कर देती है। **13.** तानना विन्यास-गिनती काट देता है; और तेज़ी से किया जाए (बाहर से कोई एन्ट्रॉपी-विनिमय नहीं) तो खोई हुई विन्यास-एन्ट्रॉपी तापीय एन्ट्रॉपी बनकर फिर प्रकट होनी चाहिए: छल्ला गरम हो जाता है — $1\,\mathrm{K}$ के पैमाने पर, जो होंठ से पकड़ा जा सकता है। **14.** छोड़ने पर विन्यास लौट आते हैं; और तापीय खाता अंतर लौटा देता है: वह ठंडा हो जाता है। **15.** भार *ऊपर उठता* है: गरम करने पर सिकुड़ना ही एन्ट्रॉपिक चिह्न है (ऊर्जा-प्रत्यास्थ पदार्थ फैलते हैं)। **16.** इस्पात की कमानी ज़रा-सी लंबी होती है (तापीय प्रसार) और उसका गुणांक गिर जाता है: विपरीत चिह्न — अर्थात् ऊर्जा की प्रत्यास्थता, गिनती की नहीं। **17.** गरम तीलियाँ सिकुड़कर परिधि के द्रव्यमान को ठंडी ओर, केंद्र से हटा देती हैं; गुरुत्व असंतुलित पहिये पर बलाघूर्ण लगाता है; और हर तीली घूमकर दूर जाते ही फिर ढीली पड़ जाती है: एक ऊष्मा-इंजन, जिसका कार्यकारी पदार्थ स्वयं एन्ट्रॉपी है। **18.** $k_{\text{B}}T/b = 4.14 \times 10^{-21}/10^{-7} =
4 \times 10^{-14}\,\mathrm{N} = 0.04\,\mathrm{pN}$: पिकोन्यूटन और उससे भी नीचे — ठीक प्रकाशिक-चिमटी वाला परास, जिससे एक ही DNA अणु का बल–विस्तार नियम बिंदु-दर-बिंदु खींचा जा सका (और मद 23 के परिष्कारों के साथ मिलाया भी जा सका)। **19.** और कहीं से नहीं, बस गिनती से: विस्तार $x$ पर $x - \dd x$ की तुलना में कम सूक्ष्म अवस्थाएँ हैं, और तापीय हलचल शृंखला को बड़ी गिनती की ओर बहा ले जाती है; वह “बल” $T$ गुणा एन्ट्रॉपी-प्रवणता है। **20.** $T = 0$ पर कुछ भी विन्यास नहीं टटोलता: एन्ट्रॉपिक बल उसी हलचल के साथ लुप्त हो जाता है जो उसे चलाती है — प्रत्यास्थता विशुद्ध ऊर्जीय होती, और रबड़ किसी लिथड़े धागे जैसा बरतता। **21.** गैस: $P = T\,\partial S/\partial V$, जहाँ $S \ni
Nk_{\text{B}}\ln V$; शृंखला: $f = -T\,\partial S/\partial x$, उसी गाउसीय गिनती के साथ — दोनों किसी [प्रतिबंध](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) के सामने धकेली गई गिनती हैं, जिसका मोल $T$ है। **22.** सुखाने वाले यंत्र की ऊष्मा छल्ले में जाती है; उसका एक भाग समतापी सिकुड़न में कार्य बन जाता है, और बहीखाता भीतर-बाहर ढोई गई एन्ट्रॉपी से बराबर होता है — एक नन्हा ऊष्मा-इंजन, जिसमें पहला नियम अक्षुण्ण है। **23.** परिमित विस्तारणीयता (पूरे खिंचाव के पास असली बल अपसरित होता है — कृमि-सदृश-शृंखला वाला परिष्कार) और विकृति-प्रेरित क्रिस्टलन (संरेखण शृंखलाओं को क्रमित कर देता है, जिससे आदर्श प्रतिरूप से परे शैथिल्य और ऊष्मा-मोचन मिलते हैं)। **24.** $k_{\text{B}}T/\mathrm{nm} = 4.1\,\mathrm{pN}$: वह बल, जिस पर तापीय ऊर्जा और नैनोमीटर विस्थापन बराबरी पर सौदा करते हैं — आणविक मोटरें, मुड़ते प्रोटीन और तने हुए DNA सब उसी की एक कोटि के भीतर काम करते हैं। **25.** दस हज़ार अंधी कड़ियाँ, गिनी हुई: [हुक का नियम](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) $k = k_{\text{B}}T/Nb^2$ के साथ, तानने पर गरमाहट, गरम हवा से उठते भार, और $0.04\,\mathrm{pN}$ पर आज्ञा मानते एकल अणु — एन्ट्रॉपी, बल की तरह काम करती हुई।