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title: "विहित समुदाय"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 17
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble
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# अध्याय 17 — विहित समुदाय

विलगित तंत्र सिद्धांतकार की कल्पना हैं: असली नमूने तापस्थापियों, कमरों, हवा के सागरों में बैठे रहते हैं — किसी ऐसे भंडार के संपर्क में, जो उनकी ऊर्जा नहीं बल्कि उनका *ताप* नियत करता है। वर्ष 2 के खंड ने इससे निकलते नियम को आनुभविक रूप से देखा था: ऊर्जा $E$ वाली किसी अवस्था की प्रायिकता में गुणक $\eu^{-E/k_{\text{B}}T}$ रहता है। यह अध्याय उस बोल्ट्ज़मान गुणक को [अध्याय 16](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#ch-b3-microcanonical-ensemble) की गिनती से चार पंक्तियों में व्युत्पन्न करता है, और फिर वह मशीन गढ़ता है जो सांख्यिकीय भौतिकी को एक औद्योगिक अनुशासन बना देती है: *[विभाजन फलन](#thm-b3-canonical-ensemble-boltzmann)* $Z$, वह एक योग जिससे ऊर्जा, एन्ट्रॉपी, दाब, ऊष्माधारिता और उतार-चढ़ाव सब अवकलन से झड़ जाते हैं। मशीन की पहली विजयें यहीं सुनाई गई हैं: ऊष्माधारिताएँ कम ताप पर क्यों मर जाती हैं (आइंस्टाइन, 1907 — पदार्थ का पहला क्वांटम सिद्धांत), हाइड्रोजन की ऊष्माधारिता सीढ़ी क्यों चढ़ती है, आकाश चरघातांकी रूप से क्यों पतला होता है — और पेरँ ने, पानी की एक बूँद में सूक्ष्म कणिकाओं को बैठते देखकर, अवोगाद्रो की संख्या कैसे गिनी और परमाणुओं की वास्तविकता की बहस कैसे समाप्त की।

## 17.1 बोल्ट्ज़मान वितरण, व्युत्पन्न

**प्रमेय 17.1 (विहित वितरण).**

कोई तंत्र, जो ताप $T$ पर किसी बड़े भंडार से ऊर्जा का विनिमय करता है, अपनी [सूक्ष्म अवस्था](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#def-b3-microcanonical-ensemble-states) $s$ (ऊर्जा $E_s$) में इस प्रायिकता से रहता है

$$
\mathcal P_s = \frac{\eu^{-E_s/k_{\text{B}}T}}{Z} , \qquad
Z = \sum_s \eu^{-E_s/k_{\text{B}}T}
$$

(आगे से $\beta = 1/k_{\text{B}}T$)। $Z$, अर्थात् *[विभाजन फलन](#thm-b3-canonical-ensemble-boltzmann)*, प्रायिकताओं को प्रसामान्यित करता है — और यह भी निकलता है कि वही तंत्र की पूरी ऊष्मागतिकी अपने भीतर रखता है।

**उपपत्ति.** अवस्था $s$ में बैठा तंत्र भंडार के लिए ऊर्जा $E - E_s$ छोड़ता है: पूरे पर [मूल अभिगृहीत](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#thm-b3-microcanonical-ensemble-postulate) लगाने से $\mathcal P_s
\propto \Omega_{\text{भं}}(E - E_s)$। भंडार की एन्ट्रॉपी, जो विशाल और चिकनी है, उसे प्रथम कोटि तक प्रसारित कीजिए: $S_{\text{भं}}(E - E_s)
= S_{\text{भं}}(E) - E_s\,\partial S_{\text{भं}}/\partial E =
S_{\text{भं}}(E) - E_s/T$, ताप की परिभाषा से। अतः $\Omega_{\text{भं}} \propto \eu^{-E_s/k_{\text{B}}T}$। (ऊँची कोटियाँ भंडार के आकार के साथ मर जाती हैं।) ∎

**प्रतिज्ञप्ति 17.2 (मशीन).**

$Z(T, V, N)$ से:

$$
\langle E\rangle = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} , \qquad
F = -k_{\text{B}}T\ln Z , \qquad
S = -\frac{\partial F}{\partial T} , \qquad
P = -\frac{\partial F}{\partial V} ,
$$

जहाँ $F = \langle E\rangle - TS$ *[मुक्त ऊर्जा](#prop-b3-canonical-ensemble-machine)* है; और ऊष्माधारिता एक *उतार-चढ़ाव* है:

$$
C = \frac{\partial\langle E\rangle}{\partial T}
 = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}
{k_{\text{B}}T^2} .
$$

स्वतंत्र, विभेद्य उप-तंत्रों के लिए $Z = z^N$; और किसी उभयनिष्ठ बक्से में $N$ सर्वसम कणों के लिए $Z = z^N/N!$। स्थिर $T$ और $V$ पर संतुलन $F$ को *न्यूनतम* करता है: प्रकृति ऊर्जा का सौदा एन्ट्रॉपी से विनिमय-दर $T$ पर करती है — पदार्थ की भौतिकी का सबसे उपयोगी एकल सिद्धांत।

**आंशिक उपपत्ति.** $-\partial_\beta\ln Z = \sum E_s\eu^{-\beta E_s}/Z = \langle
E\rangle$; एक और अवकलज $\langle E^2\rangle - \langle
E\rangle^2$ देता है, और शृंखला नियम $\partial_\beta$ को $\partial_T$ में बदल देता है। $F$, $S$, $P$ की पहचान $\dd(-k_{\text{B}}T\ln Z)$ की तुलना ऊष्मागतिकीय $\dd F = -S\dd T - P\dd V$ से करने पर निकलती है; और गुणनखंडन किसी योग का चरघातांकी है। न्यूनतम-सिद्धांत: $F_{\text{तंत्र}}$ का घटना ही $S_{\text{कुल}}$ का बढ़ना है, क्योंकि $\Delta S_{\text{भं}} =
-\Delta E_{\text{तं}}/T$। ∎

![विहित परिस्थिति: कोई छोटा तंत्र किसी विशाल भंडार से ऊर्जा उधार लेता हुआ। हर उधार लिया गया जूल भंडार को 1/T जितनी एन्ट्रॉपी की लागत देता है — और इसी से ऊर्जावान अवस्थाओं पर चरघातांकी छूट।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-canonical-ensemble/fig-fe5820f68381.svg)

*विहित परिस्थिति: कोई छोटा तंत्र किसी विशाल भंडार से ऊर्जा उधार लेता हुआ। हर उधार लिया गया जूल भंडार को $1/T$ जितनी एन्ट्रॉपी की लागत देता है — और इसी से ऊर्जावान अवस्थाओं पर चरघातांकी छूट।*

## 17.2 पहली विजयें

**उदाहरण 17.3 (दो स्तर, दो पंक्तियों में).**

स्तरों $0, \epsilon$ के लिए: $z = 1 + \eu^{-\beta\epsilon}$, जिससे $\langle E\rangle = N\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} + 1)$ — वही परिणाम, जिसकी कीमत सूक्ष्मविहित मार्ग को स्टर्लिंग का एक पन्ना पड़ी थी ([अभ्यास 16.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#exo-b3-microcanonical-ensemble-8))। विहित संरूपण वही सूक्ष्मविहित संरूपण है, जिसका संचय-गणित पहले ही पचा लिया गया हो; और $C(T)$ में शॉट्की उभार एक ही अवकलन से निकल आता है।

**उदाहरण 17.4 (आइंस्टाइन का ठोस, और द्यूलों–प्टी की मृत्यु).**

किसी क्रिस्टल का प्रतिरूप $3N$ क्वांटम दोलकों से बनाइए, जिनकी आवृत्ति $\omega$ हो ([अध्याय 9](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#ch-b3-harmonic-oscillator))। प्रति दोलक,

$$
z = \sum_n\eu^{-\beta\hbar\omega(n + 1/2)}
 = \frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)} , \qquad
\langle E\rangle = \frac{\hbar\omega}{2} +
\frac{\hbar\omega}{\eu^{\beta\hbar\omega} - 1} .
$$

उच्च $T$ पर: प्रति दोलक $\langle E\rangle \to k_{\text{B}}T$, $C \to 3Nk_{\text{B}}$ — अर्थात् वर्ष 1 के खंड का [द्यूलों–प्टी नियम](#ex-b3-canonical-ensemble-einstein), समझाया हुआ। निम्न $T$ पर क्वांटम $\hbar\omega$ अवहनीय हो जाता है और $C$ चरघातांकी रूप से ढह जाता है — जैसा नापा गया, और चिरसम्मत ढंग से अव्याख्येय। आइंस्टाइन का 1907 का वक्र, प्रति तत्त्व एक प्राचल, साधारण पदार्थ पर क्वांटा का पहला प्रयोग था; और हीरा, जिसके बंध कड़े और परमाणु हलके हैं ($\hbar\omega/k_{\text{B}}
\approx 1300\,\mathrm{K}$), कमरे के ताप पर आज भी “जमा हुआ” है — वही विषमता, जिसने अस्सी वर्ष रसायनज्ञों को उलझाए रखा ([अभ्यास 17.6](#exo-b3-canonical-ensemble-6))।

![बाएँ: आइंस्टाइन का ऊष्माधारिता-वक्र — उच्च T पर चिरसम्मत ऊर्जा-समविभाजन फिर से, और _ E = /k_ B से नीचे क्वांटम जमाव। दाएँ: हाइड्रोजन गैस का C_V एक सीढ़ी चढ़ता है, जैसे-जैसे घूर्णन (85\, K के पास) और फिर कंपन (6000\, K के पास, पैमाने से बाहर) पिघलते हैं: हर गति ऊर्जा-समविभाजन में तभी शामिल होती है जब k_ BT उसका क्वांटम चुका सके।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-canonical-ensemble/fig-da974ca9c4ab.svg)

*बाएँ: आइंस्टाइन का ऊष्माधारिता-वक्र — उच्च $T$ पर चिरसम्मत ऊर्जा-समविभाजन फिर से, और $\theta_{\text{E}} = \hbar\omega/k_{\text{B}}$ से नीचे क्वांटम जमाव। दाएँ: हाइड्रोजन गैस का $C_V$ एक सीढ़ी चढ़ता है, जैसे-जैसे घूर्णन ($85\,\mathrm{K}$ के पास) और फिर कंपन ($6000\,\mathrm{K}$ के पास, पैमाने से बाहर) पिघलते हैं: हर गति ऊर्जा-समविभाजन में तभी शामिल होती है जब $k_{\text{B}}T$ उसका क्वांटम चुका सके।*

**प्रमेय 17.5 (ऊर्जा-समविभाजन, अपने लाइसेंस के साथ).**

हर वह निर्देशांक या संवेग, जो ऊर्जा में *द्विघातीय* रूप से आता है, चिरसम्मत (उच्च-ताप) प्रांत में योगदान देता है

$$
\langle\epsilon\rangle = \tfrac12 k_{\text{B}}T
$$

माध्य ऊर्जा में: एकपरमाणुक गैस के परमाणु के लिए $\tfrac32 k_{\text{B}}T$, घूमते द्विपरमाणुक के लिए $\tfrac52$, और किसी दोलक के लिए $3k_{\text{B}}T$। लाइसेंस तब समाप्त होता है जब $k_{\text{B}}T$ उस मोड के स्तर-अंतराल से नीचे गिर जाए: मोड जम जाता है और उसका योगदान लुप्त हो जाता है — अर्थात् उन्नीसवीं सदी के ऊष्माधारिता-कांडों का समाधान, जो ऊपर सीढ़ी के रूप में खींचा गया है।

**आंशिक उपपत्ति.** $\epsilon = ax^2$ के लिए,

$$
\langle\epsilon\rangle
 = \frac{\int ax^2\,\eu^{-\beta ax^2}\dd x}
        {\int\eu^{-\beta ax^2}\dd x}
 = -\partial_\beta\ln\!\int\eu^{-\beta ax^2}\dd x
 = -\partial_\beta\ln\beta^{-1/2} = \frac{1}{2\beta} .
$$

और जमाव [उदाहरण 17.4](#ex-b3-canonical-ensemble-einstein) की गणना है, मोड-दर-मोड। ∎

**उदाहरण 17.6 (गैस, विहित ढंग से).**

किसी बक्से में एक परमाणु: $z = V/\lambda_T^3$ ([प्रतिज्ञप्ति 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) की अवस्था-गणना, बोल्ट्ज़मान से भारित); $N$ सर्वसम परमाणु: $Z = z^N/N!$। तब $F =
-Nk_{\text{B}}T[\ln(V/N\lambda_T^3) + 1]$, और अवकलन $PV = Nk_{\text{B}}T$, ज़ाकुर–टेट्रोड एन्ट्रॉपी तथा $\langle E\rangle = \tfrac32 Nk_{\text{B}}T$ दे देता है — पूरी आदर्श गैस एक गाउसीय समाकल से। किसी अणु की गतिज ऊर्जा पर लगाया गया बोल्ट्ज़मान गुणक वर्ष 1 के खंड का मैक्सवेल चाल-वितरण देता है, अब व्युत्पन्न; और उसकी स्थितिज ऊर्जा $mgh$ पर लगाया जाए तो चरघातांकी वायुमंडल — तथा पानी की एक बूँद में पेरँ की कणिका-सीढ़ी ([समस्या 17.1](#pb-b3-canonical-ensemble-1))।

**विधि 17.7 (विहित कारीगरी).**

(1) *एक* इकाई की अवस्थाएँ और ऊर्जाएँ सूचीबद्ध कीजिए; $z$ निकालिए। (2) गुणनखंडित कीजिए: $Z = z^N$ (या समष्टि साझा करते सर्वसम कणों के लिए $z^N/N!$); और $\ln$ जल्दी लीजिए। (3) अवकलन कीजिए: ऊर्जा के लिए $\beta$, एन्ट्रॉपी के लिए $T$ ($F$ के ज़रिए), दाब के लिए $V$; और $C$ तथा उतार-चढ़ाव के लिए दूसरा अवकलज। (4) दोनों सिरे जाँचिए: उच्च $T$ पर ऊर्जा-समविभाजन लौटना चाहिए, और निम्न $T$ पर $\eu^{-\Delta/k_{\text{B}}T}$ पूँछ के साथ जमाव होना चाहिए। (5) प्रतिस्पर्धाएँ (मुड़ना, बंधन, संरेखण): हर विकल्प के लिए $F = E - TS$ लिखिए और छोटे को जीतने दीजिए — संक्रमण $T \approx \Delta
E/\Delta S$ पर बैठता है।

## 17.3 अभ्यास

**अभ्यास 17.1 ★.**

(क) $\epsilon$ से विपाटित दो स्तरों का जनसंख्या-अनुपात ताप $T$ पर लिखिए। (ख) $2500\,\mathrm{K}$ की किसी लौ में सोडियम परमाणुओं का कितना अंश D रेखा की $2.1\,\mathrm{eV}$ उत्तेजित अवस्था में बैठता है (मूल अपह्रासिता 2, उत्तेजित 6: जनसंख्या-अनुपात $3\eu^{-\beta\epsilon}$)? (ग) फिर भी लौ पीली क्यों धधकती है (प्रति cm$^3$ कितने परमाणु काफ़ी हैं)? (घ) किस ताप पर उत्तेजित अंश $10\%$ तक पहुँचेगा?

**हल — अभ्यास 17.1.**

(क) $\mathcal P_2/\mathcal P_1 = (g_2/g_1)\eu^{-\beta\epsilon}$। (ख) $\beta\epsilon = 2.1/(8.62\times10^{-5} \times 2500) = 9.7$: अंश $3\eu^{-9.7} \approx 2 \times 10^{-4}$। (ग) कोई लौ $\sim10^{15}$ सोडियम परमाणु प्रति cm$^3$ ढोती है: उनमें से $10^{-4}$ भी, हर कुछ नैनोसेकंड में चक्र लगाते हुए, प्रति सेकंड $10^{19}$ पीले फ़ोटॉन उँडेल देते हैं — आँखें चौंधियाने भर। (घ) $3\eu^{-\beta\epsilon} = 0.1$: $T = \epsilon/(k_{\text{B}}\ln30) \approx 7200\,\mathrm{K}$ — यह किसी तारे का प्रकाशमंडल है, कोई लौ नहीं।

**अभ्यास 17.2 ★.**

कोई त्रि-स्तरीय तंत्र: $0, \epsilon, 2\epsilon$। (क) $z$ लिखिए। (ख) $\langle E\rangle$ निकालिए और दोनों ताप-सीमाएँ जाँचिए। (ग) किस $T$ पर बीच का स्तर *निरपेक्ष रूप से* सबसे अधिक आबाद होता है? (घ) दिखाइए कि कोई भी ताप, चाहे कितना भी ऊँचा हो, किसी ऊपरी स्तर को किसी निचले से अधिक आबाद नहीं करता — उसके लिए पिछले अध्याय की कौन-सी संकल्पना चाहिए होगी?

**हल — अभ्यास 17.2.**

(क) $z = 1 + \eu^{-\beta\epsilon} + \eu^{-2\beta\epsilon}$। (ख) $\langle E\rangle = \epsilon(\eu^{-\beta\epsilon} +
2\eu^{-2\beta\epsilon})/z$: $\to 0$ निम्न $T$ पर, और उच्च पर $\to \epsilon$ (माध्य स्तर)। (ग) $\mathcal P_1 = 1/(\eu^{\beta
\epsilon} + 1 + \eu^{-\beta\epsilon})$ $T$ के साथ एकदिष्ट रूप से बढ़ता है और अपने उच्चतम $1/3$ तक केवल $T \to \infty$ पर पहुँचता है। (घ) बोल्ट्ज़मान भार $T > 0$ पर ऊर्जा के साथ केवल घटते हैं; और जनसंख्या-प्रतिलोमन को [उदाहरण 16.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#ex-b3-microcanonical-ensemble-negative) वाले [ऋणात्मक ताप](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#ex-b3-microcanonical-ensemble-negative) चाहिए, जिन तक कोई भंडार पहुँच ही नहीं सकता।

**अभ्यास 17.3 ★.**

समतापी वायुमंडल। (क) स्थितिज ऊर्जा $mgh$ पर बोल्ट्ज़मान गुणक लगाइए और $n(h) = n_0\eu^{-mgh/k_{\text{B}}
T}$ व्युत्पन्न कीजिए। (ख) वायु ($m = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$) के लिए $288\,\mathrm{K}$ पर पैमाना-ऊँचाई निकालिए। (ग) एवरेस्ट के शिखर का दाब, समुद्र-तल के अंश के रूप में। (घ) असली वायुमंडल का ह्रास चरघातांकी के निकट क्यों है, पर ठीक-ठीक चरघातांकी क्यों नहीं (हमने क्या स्थिर मान लिया, जो वस्तुतः स्थिर नहीं है)?

**हल — अभ्यास 17.3.**

(क) $E_p = mgh$ पर बोल्ट्ज़मान गुणक, एकसमान $T$ पर। (ख) $h_0 =
k_{\text{B}}T/mg = 8.4\,\mathrm{km}$। (ग) $\eu^{-8848/8440} \approx
0.35$: एक तिहाई वायुमंडल — इसीलिए शिखर-यात्री ऑक्सीजन ढोते हैं। (घ) असली वायुमंडल समतापी नहीं है: ताप ऊँचाई के साथ गिरता है, अतः प्रोफ़ाइल किसी एक चरघातांकी से हटकर मुड़ जाता है।

**अभ्यास 17.4 ★.**

ऊर्जा-समविभाजन का हिसाब। द्विघातीय पदों को गिनिए और मोलर $C_V$ की भविष्यवाणी कीजिए: (क) आर्गन के लिए; (ख) कमरे के ताप पर N$_2$ के लिए (घूर्णन चालू, कंपन जमा हुआ); (ग) $3000\,\mathrm{K}$ पर N$_2$ के लिए; (घ) किसी क्रिस्टलीय ठोस के लिए (द्यूलों–प्टी)। मापे गए मान $12.5$, $20.8$, $\approx26$, $\approx25\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ कहाँ सहमत हैं, और हर विसंगति क्या सिखाती है?

**हल — अभ्यास 17.4.**

(क) तीन स्थानांतरण: $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, ठीक-ठीक सहमत। (ख) दो घूर्णन जोड़िए: $\tfrac52 R =
20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, जैसा नापा गया: कंपन जमा हुआ है। (ग) $\tfrac72 R = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ की भविष्यवाणी; और मापा गया $\approx26$ दिखाता है कि कंपन केवल आंशिक रूप से पिघला है ($\theta_{\text{कं}}
\approx 3400\,\mathrm{K}$)। (घ) $3R = 24.9\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$: अर्थात् द्यूलों–प्टी, जिसे कमरे के ताप पर अधिकतर धातुएँ मानती हैं और हीरा तोड़ देता है — वही जमाव की कहानी ([अभ्यास 17.6](#exo-b3-canonical-ensemble-6))।

**अभ्यास 17.5 ★★.**

क्वांटम दोलक, विहित ढंग से। (क) $z$ के लिए गुणोत्तर श्रेणी का योग कीजिए। (ख) $\langle E\rangle$ व्युत्पन्न कीजिए और $\langle
n\rangle = 1/(\eu^{\beta\hbar\omega} - 1)$ पहचानिए — अर्थात् [अभ्यास 9.6](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#exo-b3-harmonic-oscillator-6) का परिणाम, अब बिना श्रम के। (ग) $C(T)$ के लिए अवकलन कीजिए और दोनों सीमाएँ सत्यापित कीजिए। (घ) $\langle n\rangle$ का रूप अभी-अभी प्रसिद्ध क्यों होने वाला है ([अध्याय 20](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#ch-b3-photons-phonons))?

**हल — अभ्यास 17.5.**

(क) $z = \eu^{-\beta\hbar\omega/2}/(1 - \eu^{-\beta\hbar\omega})$। (ख) $\langle E\rangle = -\partial_\beta\ln z$ कथित रूप देता है, जहाँ $\langle n\rangle = 1/(\eu^{\beta\hbar\omega} - 1)$। (ग) $C \to k_{\text{B}}$ उच्च $T$ पर; और निम्न पर $C \approx k_{\text{B}}(\beta
\hbar\omega)^2\eu^{-\beta\hbar\omega} \to 0$। (घ) जहाँ $\hbar\omega$ प्रकाश के किसी क्वांटम की ऊर्जा हो, वहाँ $\langle n\rangle$ प्रति मोड तापीय फ़ोटॉन-संख्या है: प्लांक का नियम एक ही अध्याय दूर है।

**अभ्यास 17.6 ★★.**

आइंस्टाइन बनाम आँकड़े। (क) चित्र के सूत्र से: किस $T/\theta_{\text{E}}$ पर $C$ द्यूलों–प्टी के आधे तक गिर जाता है? (ख) हीरा: $\theta_{\text{E}} \approx 1300\,\mathrm{K}$ — $300\,\mathrm{K}$ पर $C/3Nk_{\text{B}}$ निकालिए और उन्नीसवीं सदी की “हीरे की विषमता” समझाइए। (ग) सीसा: $\theta_{\text{E}}
\approx 90\,\mathrm{K}$ — सीसा हमेशा “सुशील” क्यों रहा? (घ) बहुत कम $T$ पर मापन $C \propto T^3$ दिखाते हैं, चरघातांकी नहीं: आइंस्टाइन की कौन-सी मान्यता विफल होती है (सारे दोलक *एक* ही आवृत्ति के), और उसकी मरम्मत किसने की ([अध्याय 20](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#ch-b3-photons-phonons))?

**हल — अभ्यास 17.6.**

(क) संख्यात्मक रूप से, $C = \tfrac12 \times 3Nk_{\text{B}}$ $T/\theta_{\text{E}} \approx 0.34$ के पास। (ख) $\theta_{\text{E}}/T =
4.3$: $C/3Nk_{\text{B}} = 4.3^2\eu^{-4.3}/(1 - \eu^{-4.3})^2
\approx 0.26$ — कमरे के ताप पर हीरे के पास चिरसम्मत ऊष्माधारिता का मुश्किल से एक चौथाई है: वह “विषमता” खुले में खड़ा क्वांटम जमाव है। (ग) $\theta_{\text{E}} = 90\,\mathrm{K}$ सीसे को $300\,\mathrm{K}$ पर गहरे चिरसम्मत प्रांत में रखता है। (घ) एक-आवृत्ति वाली मान्यता: असली ठोसों में मोडों का पूरा वर्णक्रम होता है, जो लंबी-तरंगदैर्घ्य वाली ध्वनि तक जाता है, और जिनके सस्ते क्वांटा $T^3$ नियम देते हैं — डिबाई की मरम्मत, [अध्याय 20](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#ch-b3-photons-phonons) में।

**अभ्यास 17.7 ★★.**

मैक्सवेल की पूँछ और लापता हाइड्रोजन। (क) गतिज ऊर्जा पर बोल्ट्ज़मान गुणक से चाल-वितरण लिखिए और $288\,\mathrm{K}$ पर N$_2$ तथा H$_2$ के लिए सबसे संभावित चाल खोजिए। (ख) पृथ्वी का पलायन वेग $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ है: दोनों गैसों के लिए $mv_{\text{पल}}^2/2k_{\text{B}}T$ निकालिए। (ग) पलायन करता अंश $\eu^{-mv_{\text{पल}}^2/2k_{\text{B}}T}$ की तरह चलता है: दोनों घातांकों की तुलना कीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि भूवैज्ञानिक काल में कौन-सी गैस रिस जाती है। (घ) पृथ्वी के (जहाँ कोई मुक्त H$_2$ नहीं) बनाम बृहस्पति के (अधिकतर H$_2$) वायुमंडलों की प्रेक्षित संरचना से जोड़िए — कौन-से दो प्राचल फ़ैसला पलट देते हैं?

**हल — अभ्यास 17.7.**

(क) यहाँ $f(v) \propto v^2\eu^{-mv^2/2k_{\text{B}}T}$: $v_{\text{p}} =
\sqrt{2k_{\text{B}}T/m}$: N$_2$ के लिए $413\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, और H$_2$ के लिए $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ख) $mv_{\text{पल}}^2/2k_{\text{B}}T
\approx 730$ N$_2$ के लिए, और $52$ H$_2$ के लिए। (ग) $\eu^{-730}$ कभी नहीं है; और $\eu^{-52} \sim 10^{-23}$ प्रति निवास-काल धीमा है — पर तप्त ऊपरी वायुमंडल ($\sim1000\,\mathrm{K}$) हाइड्रोजन का घातांक नरम करके $\sim15$ कर देता है: भूवैज्ञानिक काल में हाइड्रोजन रिस जाता है, और नाइट्रोजन टिका रहता है। (घ) पलायन वेग और बहिर्मंडल का ताप: बृहस्पति का $60\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ कूप हाइड्रोजन तक का घातांक खगोलीय बना देता है — गैस-दानव वही रखते हैं जो छोटे गरम लोक खो देते हैं।

**अभ्यास 17.8 ★★.**

उतार-चढ़ाव और अनुक्रिया की भेंट। (क) सिद्ध कीजिए कि $C = (\langle E^2\rangle -
\langle E\rangle^2)/k_{\text{B}}T^2$, अर्थात् $\ln
Z$ के दो अवकलजों से। (ख) उसे द्वि-स्तरीय तंत्र पर स्पष्ट रूप से सत्यापित कीजिए। (ग) $N$ स्वतंत्र इकाइयों के लिए दिखाइए कि *सापेक्ष* ऊर्जा-उतार-चढ़ाव $1/\sqrt N$ की तरह घटता है। (घ) सार बताइए: किसी तंत्र की ऊष्मा सोखने की तत्परता (एक अनुक्रिया) का उसकी ऊर्जा के डगमगाने (एक उतार-चढ़ाव) से क्या नाता है — सांख्यिकीय भौतिकी का बार-बार लौटता सौदा।

**हल — अभ्यास 17.8.**

(क) $\partial_\beta^2\ln Z = \langle E^2\rangle - \langle
E\rangle^2$, और $C = \partial_T\langle E\rangle =
-k_{\text{B}}\beta^2\partial_\beta\langle E\rangle$। (ख) दोनों पक्ष $Nk_{\text{B}}(\beta\epsilon)^2\eu^{\beta\epsilon}/(
\eu^{\beta\epsilon} + 1)^2$ देते हैं। (ग) $\langle E\rangle \propto N$, और $\Delta E \propto \sqrt N$। (घ) कोई तंत्र गरम किए जाने पर कितनी प्रबलता से अनुक्रिया करता है, यह उतना ही है जितना उसकी ऊर्जा स्वतःस्फूर्त रूप से डगमगाती है — अनुक्रिया और उतार-चढ़ाव उसी एक द्वितीय अवकलज के दो पाठ हैं, और यह ढाँचा (उतार-चढ़ाव–अपव्यय) पूरी भौतिकी में लौटता रहता है।

**अभ्यास 17.9 ★★.**

रसायन की प्रयोगशाला में बोल्ट्ज़मान। अभिक्रिया-दरों में गुणक $\eu^{-E_a/k_{\text{B}}T}$ रहता है (किसी सक्रियण रोधिका $E_a$ को पार करना — आरेनियस)। (क) दिखाइए कि “कमरे के ताप के पास हर $10\,\mathrm{K}$ पर दर दुगनी हो जाती है” वाला अंगूठे का नियम $E_a \approx
0.55\,\mathrm{eV}$ के तुल्य है। (ख) किसी शीतक ($5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) में वह अभिक्रिया कितने गुना धीमी पड़ती है? (ग) ऊँचाई पर अंडा पकाना: $2000\,\mathrm{m}$ के किसी दर्रे पर पानी $93\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर उबलता है — अतिरिक्त पकाने का समय आकलिए। (घ) रसायन पर माध्य ऊर्जा नहीं, बल्कि रोधिका की पूँछ क्यों राज करती है (कौन-से अणु अभिक्रिया करते हैं)?

**हल — अभ्यास 17.9.**

(क) $\ln2 = E_a\,\Delta T/k_{\text{B}}T^2$, जहाँ $\Delta T =
10\,\mathrm{K}$, $T = 298\,\mathrm{K}$: $E_a =
0.693\,k_{\text{B}}T^2/10 \approx 0.55\,\mathrm{eV}$। (ख) $298$ से $278\,\mathrm{K}$ तक: गुणक $\eu^{E_a(1/278 - 1/298)/k_{\text{B}}}
\approx 4.4$ जितना धीमा — इसीलिए शीतक भोजन बचाते हैं। (ग) $373 \to 366\,\mathrm{K}$: दर $\approx1.4$ से गिरती है: ग्यारह मिनट वाले अंडे को पौन घंटा चाहिए। (घ) अभिक्रियाएँ रोधिका से ऊपर वाले अणुओं की चरघातांकी पूँछ जीतती है: ताप ज़रा-सा खिसकाइए और उस पूँछ की जनसंख्या ज़बरदस्त खिसक जाती है — माध्य से शायद ही कुछ फ़र्क पड़ता है।

**अभ्यास 17.10 ★★★.**

दो-अवस्था वाला मुड़ाव। कोई जैव-अणु मुड़ा हुआ है (ऊर्जा $0$, एक ही विन्यास) या खुला (ऊर्जा $\Delta E > 0$, $\Omega_u =
\eu^{\Delta S/k_{\text{B}}}$ विन्यास)। (क) $T$ के सामने मुड़ा हुआ अंश लिखिए। (ख) दिखाइए कि “पिघलने” का मध्यबिंदु $T_{\text{m}} = \Delta E/\Delta S$ है और उसे $F = E -
TS$ की बराबरी के रूप में समझाइए। (ग) $\Delta E = 3.0\,\mathrm{eV}$ और $\Delta S =
100\,k_{\text{B}}$ (किसी छोटे प्रोटीन की सहकारी इकाई) के साथ: $T_{\text{m}}$ और संक्रमण की चौड़ाई निकालिए। (घ) *सहकारिता* (कई संपर्कों का एक साथ टूटना, बड़े $\Delta E$ *और* $\Delta S$) पिघलना तीखा क्यों कर देती है — और DNA तापचक्रण मशीनें (PCR) ठीक इसी का दोहन कैसे करती हैं?

**हल — अभ्यास 17.10.**

(क) $f_{\text{मु}} = 1/(1 + \eu^{-\beta(\Delta E -
T\Delta S)})$, जहाँ खुली अवस्था की एन्ट्रॉपी उसकी [मुक्त ऊर्जा](#prop-b3-canonical-ensemble-machine) में समा गई है। (ख) $T_{\text{m}} = \Delta E/\Delta S$ पर दोनों मुक्त ऊर्जाएँ बराबर हो जाती हैं: आधा-आधा। (ग) $T_{\text{m}} =
4.8 \times 10^{-19}/1.38 \times 10^{-21} = 348\,\mathrm{K}$ ($75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$); चौड़ाई $\delta T \sim k_{\text{B}}T_{\text{m}}^2/\Delta E \approx
3.5\,\mathrm{K}$। (घ) सहकारिता एक साथ टूटते संपर्कों की संख्या से $\Delta E$ और $\Delta S$ दोनों को गुणा कर देती है, जिससे $T_{\text{m}}$ वही रहता है पर चौड़ाई $\propto 1/\Delta E$ सिकुड़ जाती है: DNA की लड़ियाँ दो-एक केल्विन में अलग हो जाती हैं, और यही किसी PCR मशीन को “पिघला” और “जुड़ा” के बीच स्वच्छ चक्र लगाने देता है।

**अभ्यास 17.11 ★★★.**

अनुचुंबकत्व और चुंबकीय शीतलन। $N$ चक्रण $\tfrac12$, आघूर्ण $\mu$, क्षेत्र $B$ में। (क) दिखाइए कि $M = N\mu\tanh(\mu B/k_{\text{B}}T)$ और उसे क्यूरी के नियम $M \approx N\mu^2B/k_{\text{B}}T$ तक प्रसारित कीजिए। (ख) इलेक्ट्रॉन आघूर्णों के लिए संरेखण $\mu B/k_{\text{B}}T$ का मान $B = 1\,\mathrm{T}$, $T = 300\,\mathrm{K}$ पर और $1\,\mathrm{K}$ पर निकालिए। (ग) रुद्धोष्म विचुंबकन: $1\,\mathrm{K}$ पर चुंबकित कीजिए, विलगित कीजिए, $B$ दस गुना घटाइए — दिखाइए कि अचर एन्ट्रॉपी का अर्थ है अचर $\mu B/k_{\text{B}}T$, अतः $T$ दस गुना गिर जाता है। (घ) इस शीतक की तली क्या तय करती है (चक्रणों के बीच अन्योन्यक्रियाएँ — द्विध्रुवीय पैमाना $\mu_0\mu^2/4\pi a^3$ ताप-इकाइयों में आकलिए, $a =
0.5\,\mathrm{nm}$ के लिए)?

**हल — अभ्यास 17.11.**

(क) $z = 2\cosh(\beta\mu B)$; $M = N\mu\tanh(\beta\mu B) \approx
N\mu^2B/k_{\text{B}}T$ छोटे तर्क के लिए: अर्थात् क्यूरी का $1/T$। (ख) $\mu_{\text{B}}B/k_{\text{B}}T$: $300\,\mathrm{K}$ पर $2.2 \times 10^{-3}$; और $1\,\mathrm{K}$ पर $0.67$ — उदासीन से लेकर प्रबल रूप से संरेखित तक। (ग) $S$ केवल $\mu B/k_{\text{B}}T$ पर निर्भर करता है; अतः स्थिर एन्ट्रॉपी पर $B$ घटाना $T$ को उसी अनुपात में नीचे खींचता है: $1\,\mathrm{K} \to
0.1\,\mathrm{K}$। (घ) जब $k_{\text{B}}T$ चक्रण–चक्रण ऊर्जा तक पहुँच जाए, तब एन्ट्रॉपी क्षेत्र के वश में नहीं रहती: $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a^3 \approx 7 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \sim
5\,\mathrm{mK}$ — अर्थात् चिरपरिचित तली (नाभिकीय आघूर्ण, जो हज़ार गुना दुर्बल हैं, उसे माइक्रोकेल्विन तक धकेल देते हैं)।

**अभ्यास 17.12 ★★★.**

घूर्णी सीढ़ी, संख्याओं में। किसी द्विपरमाणुक के घूर्णी स्तर $E_J = BJ(J+1)$ हैं, अपह्रासिता $2J + 1$ ([अध्याय 10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#ch-b3-quantum-angular-momentum))। (क) $z_{\text{घू}}$ लिखिए और दिखाइए कि $k_{\text{B}}T \gg B$ के लिए वह योग समाकल $k_{\text{B}}T/B$ बन जाता है: अर्थात् ऊर्जा-समविभाजन का $k_{\text{B}}$ $C_V$ में फिर से। (ख) $\theta_{\text{घू}} =
B/k_{\text{B}}$ परिभाषित कीजिए और H$_2$ ($B = 7.5\,\mathrm{meV}$) तथा N$_2$ ($B = 0.25\,\mathrm{meV}$) के लिए मान निकालिए: कौन-सी गैस घूर्णी पायदान सुलभ तापों पर दिखाती है? (ग) हाइड्रोजन की पूरी $C_V(T)$ सीढ़ी, अपने तीन चबूतरों और दो चढ़ावों के साथ, खींचिए और दोनों पर संख्याएँ रखिए। (घ) निम्न-$T$ पर H$_2$ का मापा गया व्यवहार [अभ्यास 14.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-8) के 3:1 ऑर्थो–पैरा मिश्रण से और उलझ जाता है: एक वाक्य में बताइए कि नाभिकीय चक्रण-सांख्यिकी किसी गैस की ऊष्माधारिता तक कैसे पहुँच जाती है।

**हल — अभ्यास 17.12.**

(क) $z_{\text{घू}} = \sum_J(2J+1)\eu^{-\beta BJ(J+1)}
\to \int(2J+1)\eu^{-\beta BJ(J+1)}\dd J = k_{\text{B}}T/B$: तब $\langle E\rangle = k_{\text{B}}T$ और $C_{\text{घू}} =
k_{\text{B}}$। (ख) H$_2$: $\theta_{\text{घू}} = 87\,\mathrm{K}$ — पायदान प्रयोगशाला के परास में बैठता है; N$_2$: $2.9\,\mathrm{K}$, जो केवल द्रव हीलियम के पास जमता है, अतः नाइट्रोजन सदा $\tfrac52 R$ दिखाता है। (ग) चबूतरे $\tfrac32 R$ ($\sim50\,\mathrm{K}$ से नीचे), $\tfrac52 R$ ($\sim200$ से $\sim1000\,\mathrm{K}$ तक), और $\tfrac72 R$ की ओर चढ़ान, $\theta_{\text{कं}} \approx
6000\,\mathrm{K}$ के पास। (घ) विषम और सम $J$ भिन्न नाभिकीय चक्रण-जातियों के हैं, जो धीरे-धीरे आपस में बदलती हैं, अतः ठंडे हाइड्रोजन का $C_V$ उसके ऑर्थो–पैरा इतिहास पर निर्भर करता है — नाभिकीय सांख्यिकी, किसी कैलोरीमापी से जाँची हुई।

## 17.4 समस्या: पानी की एक बूँद में अवोगाद्रो को गिनना

**समस्या 17.1.**

सप्ताहांत समस्या — पेरँ की कणिकाएँ और परमाणुओं की वास्तविकता

1908 में जाँ पेरँ ने पानी में रेज़िन की सूक्ष्म कणिकाएँ लटकाईं, उन्हें बैठने दिया, और सूक्ष्मदर्शी के नीचे परत-दर-परत गिना। जो चरघातांकी सीढ़ी उन्हें मिली, वह दृश्य बना हुआ बोल्ट्ज़मान गुणक था — और उसकी पैमाना-ऊँचाई से उन्होंने अवोगाद्रो की संख्या निकाल ली, जिससे अंतिम संशयवादी भी मान गए कि परमाणु हैं। नोबेल पुरस्कार, 1926। आँकड़े: गैंबोज की कणिकाएँ, त्रिज्या $r =
0.212\,\text{µ}\mathrm{m}$, घनत्व $\rho_{\text{g}} =
1207\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; पानी $\rho_{\text{w}} = 999\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; $T = 293\,\mathrm{K}$; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$।

**भाग I — दृश्य बोल्ट्ज़मान गुणक।**

1. जल में किसी कणिका पर गुरुत्व में से उत्प्लावन घटा हुआ लगता है: उसका *प्रभावी* द्रव्यमान $m' = \tfrac43\pi r^3(\rho_{\text{g}}  - \rho_{\text{w}})$ और भार निकालिए।
2. बोल्ट्ज़मान गुणक से संतुलन का सांद्रता-प्रोफ़ाइल $n(h)$ लिखिए।
3. पैमाना-ऊँचाई $h_0 = k_{\text{B}}T/m'g$ आधुनिक $k_{\text{B}}$ के साथ निकालिए।
4. कणिकाओं का आकार इतना सटीक एक-सा क्यों होना चाहिए ( $h_0$ $r$ पर कैसे निर्भर करता है)?
5. $h_0$ की तुलना वायु के अणुओं के लिए उसी सूत्र से कीजिए: कणिकाओं का वायुमंडल माइक्रोमीटर ऊँचा और हवा का किलोमीटर ऊँचा क्यों है?
6. पेरँ ने (एक प्रयोग में) $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ की बराबर दूरी पर चार गहराइयों पर सापेक्ष सांद्रताएँ $100 : 55 : 30 : 17$ गिनीं: जाँचिए कि यह एक चरघातांकी सीढ़ी है और उसकी $h_0$ निकालिए।

**भाग II — अदृश्य को तौलना।**

7. उलटिए: मद 6 की मापी गई $h_0$ और ज्ञात $m'g$ से $k_{\text{B}}$ निकालिए।
8. गैस नियतांक $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ स्थूल रसायन से ज्ञात था: उसे अपने $k_{\text{B}}$ के साथ मिलाकर अवोगाद्रो की संख्या $N_{\text{A}} =  R/k_{\text{B}}$ पाइए।
9. पेरँ के प्रयोगों ने $N_{\text{A}}$ को $5.5$ और $7.2 \times 10^{23}$ के बीच दिया: आधुनिक $6.022 \times 10^{23}$ से तुलिए और उनके सूक्ष्मदर्शी तथा विरामघड़ी को देखते हुए इस उपलब्धि पर टिप्पणी कीजिए।
10. $N_{\text{A}}$ से एक [हाइड्रोजन परमाणु](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#thm-b3-hydrogen-atom-levels) का द्रव्यमान निकालिए — वही संख्या, जो परमाणुवादी एक सदी से चाहते थे।
11. तार्किक ढाँचा समझाइए: कौन-से *स्थूल* मापन ( $R$ ; कणिका का आकार और घनत्व; वह सीढ़ी) मिलकर एक परमाणु तौल देते हैं, जबकि कोई परमाणु कभी देखा ही नहीं गया?
12. कणिकाएँ — हर एक $10^{10}$ परमाणु-द्रव्यमान की — अणुओं जैसी ही बोल्ट्ज़मान सांख्यिकी क्यों मानती हैं ( [प्रमेय 17.1](#thm-b3-canonical-ensemble-boltzmann) की व्युत्पत्ति में आकार की परवाह कौन करता है)?

**भाग III — वह डगमगाहट, जो मुहर लगाती है।**

13. वही कणिकाएँ डगमगाती हैं: ब्राउनी गति के लिए आइंस्टाइन का 1905 का सूत्र $\langle x^2\rangle = 2Dt$ देता है, जहाँ $D =  k_{\text{B}}T/6\pi\eta r$ (पानी: $\eta =  10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ )। पेरँ की कणिकाओं के लिए $D$ निकालिए।
14. एक मिनट में कोई कणिका कितनी दूर भटकती है? क्या पेरँ उसे माइक्रोमीटर नेत्रिका और विरामघड़ी से नाप सकते थे?
15. पेरँ ने $\langle x^2\rangle \propto t$ सत्यापित किया और $k_{\text{B}}$ *फिर से* , स्वतंत्र रूप से निकाला: एक ही संख्या तक पहुँचने वाले दो असंबद्ध मार्गों (एक स्थैतिक सीढ़ी; एक गतिक डगमगाहट) का साक्ष्य-भार इतना अधिक क्यों था?
16. वह डगमगाहट कणिका पर लगाया गया ऊर्जा-समविभाजन है: हर वेग-घटक $\tfrac12 k_{\text{B}}T$ ढोता है। कणिका की वर्ग-माध्य-मूल तापीय चाल आकलिए ( $m \approx  4.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ )।
17. वह चाल कभी सीधे क्यों नहीं दिखती (नैनोमीटरों के बाद मुक्त उड़ान को कौन तोड़ देता है), और उसके बदले क्या दिखता *है* ?
18. बताइए कि इस प्रेक्षण में इस पुस्तक के कौन-से दो अध्याय मिलते हैं: प्रतिकर्ष की यांत्रिकी (वर्ष 2 का खंड, श्यानता) और इस अध्याय की सांख्यिकी।

**भाग IV — क्या तय हुआ।**

19. ऑस्टवाल्ड और माख परमाणुओं को हिसाब की कल्पना मानते थे: एक वाक्य में बताइए कि कणिका-सीढ़ियों से *गिनी गई* $N_{\text{A}}$ ने वह स्थिति क्यों समाप्त कर दी।
20. 1900 के दशक के तीन और मार्ग बताइए, जो उसी $N_{\text{A}}$ पर मिले (आकाश का नीलापन, [अभ्यास 16.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#exo-b3-microcanonical-ensemble-12) ; विद्युत्-अपघटन और इलेक्ट्रॉन का आवेश; रेडियोसक्रियता से हीलियम का उत्पादन) — किसी एक मान से अधिक *अभिसरण* क्यों मायने रखा?
21. पेरँ की सीढ़ी इस अध्याय की किन दो मुद्राओं के बीच का संतुलन है (ऊर्जा नीचे खींचती, एन्ट्रॉपी ऊपर फैलाती), और किस दर पर आँकी गई?
22. इसी भौतिकी के आधुनिक उपयोग: विश्लेषणात्मक अति-अपकेंद्रित्र प्रोटीनों को $10^5g$ पर घुमाकर उनके “वायुमंडल” मापनीय सीढ़ियों में सिकोड़ देते हैं — दिखाइए कि $g$ को $10^5$ से गुणा करना $h_0$ को उसी गुणक से भाग देता है, और किसी प्रोटीन का $h_0$ आकलिए, जिसका प्रभावी द्रव्यमान $10^{-22}\,\mathrm{kg}$ हो, $293\,\mathrm{K}$ और $10^5g$ पर।
23. कणिका की त्रिज्या दुगनी करना $h_0$ को आठ से भाग देता है: $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ गहरे किसी सूक्ष्मदर्शी क्षेत्र के लिए कणिका-आकारों की व्यावहारिक खिड़की “सीढ़ी इतनी ऊँची कि कोई प्रवणता न दिखे” और “सीढ़ी एक कणिका से भी पतली” के बीच बाँधिए।
24. 2019 से SI $k_{\text{B}}$ और $N_{\text{A}}$ को ठीक-ठीक *परिभाषित* करती है: बताइए कि पेरँ-शैली का कोई यथार्थ प्रयोग *आज* क्या नापता है (एक संगति-जाँच, या उपकरण और कणिकाओं का अंशांकन) — और भौतिकी अपरिवर्तित क्यों है।
25. नामित परिणाम का सार दीजिए: $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ की किसी कणिका की सांद्रता हर $\sim35\,\text{µ}\mathrm{m}$ ऊँचाई पर आधी हो जाती है; और $n(h) = n_0\eu^{-m'gh/k_{\text{B}}T}$ से पढ़ने पर उस सीढ़ी ने $N_{\text{A}} \approx 6 \times 10^{23}$ दिया — अर्थात् सूक्ष्मदर्शी के मंच पर पानी की एक बूँद में परमाणु गिने गए, अनुमाने नहीं।

**हल — समस्या 17.1.**

**1.** $V = \tfrac43\pi r^3 = 4.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{3}$: $m' = V
\Delta\rho = 8.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$, भार $m'g = 8.1 \times 10^{-17}\,\mathrm{N}$। **2.** $n(h) = n_0\,\eu^{-m'gh/k_{\text{B}}T}$: अर्थात् वायुदाबमापी नियम, जो सिकुड़कर सूक्ष्मदर्शी की स्लाइड पर आ गया। **3.** $h_0 = k_{\text{B}}T/m'g = 4.04 \times 10^{-21}/8.1 \times 10^{-17}
\approx 50\,\text{µ}\mathrm{m}$। **4.** $h_0 \propto 1/r^3$: त्रिज्या में $10\%$ का फैलाव पैमाना-ऊँचाई में $30\%$ का फैलाव है — बहु-आकारी कणिकाएँ सीढ़ी को लुगदी बना देती हैं। पेरँ ने महीनों बार-बार अपकेंद्रण करके छँटाई की। **5.** वही सूत्र, पर द्रव्यमान $10^{10}$ गुना अलग: कणिकाओं का “वायुमंडल” $10^{10}$ गुना उथला है — किलोमीटर सिकुड़कर दसियों माइक्रोमीटर हो जाते हैं, और ठीक यही उसे सूक्ष्मदर्शी के नीचे पूरा का पूरा देखने योग्य बनाता है। **6.** लगातार अनुपात $0.55$, $0.55$, $0.57$: गिनती की त्रुटि के भीतर अचर — अर्थात् चरघातांकी। $h_0 =
30\,\text{µ}\mathrm{m}/\ln(100/55) \approx 50\,\text{µ}\mathrm{m}$। **7.** $k_{\text{B}} = m'g\,h_0/T = 8.1 \times 10^{-17} \times
5.0 \times 10^{-5}/293 \approx 1.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$। **8.** $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}} \approx
6.0 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$। **9.** यहाँ (आदर्शीकृत आँकड़ों के साथ) कुछ ही प्रतिशत के भीतर; पेरँ के असली प्रयोग आधुनिक मान के चारों ओर $\pm15\%$ बिखरे थे — हाथ से गिनी कणिकाओं के लिए चकित करने वाला, और कोटि के लिए पूर्णतः निर्णायक। **10.** $m_{\text{H}} = 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}/N_{\text{A}} =
1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$। **11.** स्थूल रसायन $R$ देता है; प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शिकी और तुलाई $m'$ देती हैं; और गिनती सीढ़ी: मेज़ पर के तीन मापन मिलकर उस परमाणु का द्रव्यमान त्रिकोणित कर देते हैं, जिसे कोई देख नहीं सकता। **12.** कुछ नहीं: व्युत्पत्ति ने केवल “कोई तंत्र, जो किसी भंडार से ऊर्जा का विनिमय करे” का उपयोग किया — बोल्ट्ज़मान का गुणक आकार-अंधा है, और ठीक यही पेरँ ने सत्यापित किया। **13.** $D = k_{\text{B}}T/6\pi\eta r =
4.04 \times 10^{-21}/4.0 \times 10^{-9} \approx 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$। **14.** प्रति मिनट $\sqrt{2Dt} = \sqrt{1.2 \times 10^{-10}} \approx
11\,\text{µ}\mathrm{m}$: नेत्रिका के अंशांकित जाल और धैर्य से आराम से मापने योग्य। **15.** दो स्वतंत्र परिघटनाएँ, दो स्वतंत्र सूत्र, एक ही संख्या: स्थैतिक सीढ़ी और गतिक डगमगाहट की सहमति ने संयोग के लिए कोई कोना नहीं छोड़ा — आणविक परिकल्पना ने दोनों की भविष्यवाणी की थी। **16.** प्रति घटक $\sqrt{k_{\text{B}}T/m} = \sqrt{4.04 \times 10^{-21}/
4.8 \times 10^{-17}} \approx 9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$। **17.** कणिका पर प्रति सेकंड $10^{19}$ चोटें पड़ती हैं और वह नैनोमीटरों के भीतर अपना वेग भूल जाती है: प्रक्षेप्य उड़ान अप्रेक्ष्य है, और आँख जो देखती है वह उसका समाकल है — वही विसरणी यादृच्छिक चाल। **18.** स्टोक्स प्रतिकर्ष (वर्ष 2 के खंड के तरलों की श्यानता) $6\pi\eta r$ देता है; और [विहित समुदाय](#thm-b3-canonical-ensemble-boltzmann) $k_{\text{B}}T$: आइंस्टाइन का $D$ उन्हीं का भागफल है — एक ही भिन्न में यांत्रिकी और सांख्यिकी। **19.** किसी कल्पना को गिना नहीं जा सकता: जैसे ही $N_{\text{A}}$ दो मापी गई संख्याओं का अनुपात बन गया, त्रुटि-सीमाओं समेत, परमाणु प्रयोग की वस्तुएँ हो गए — ऑस्टवाल्ड ने 1909 में छपकर हार मानी। **20.** आकाश-नीला प्रकीर्णन, मापे गए इलेक्ट्रॉन-आवेश के साथ विद्युत्-अपघटन, रेडियम से जमा हुआ हीलियम: चार असंबद्ध भौतिक वाहिकाओं का एक ही $6\times10^{23}$ पर मिलना उस संख्या को किसी सिद्धांत का नहीं, प्रकृति का गुण बना गया। **21.** गुरुत्वीय ऊर्जा कणिकाओं को नीचे खींचती, विन्यास-एन्ट्रॉपी उन्हें ऊपर फैलाती, और सौदा दर $T$ पर: वह सीढ़ी $F = E - TS$ का न्यूनतम *ही* है। **22.** $h_0 \propto 1/g$: $10^5g$ पर प्रोटीन के लिए $h_0 = k_{\text{B}}T/(m'\times10^5g) = 4.04 \times 10^{-21}/
9.8 \times 10^{-17} \approx 40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — अर्थात् अवसादन संतुलन, यानी पेरँ का प्रयोग, जो जैवरसायन विभागों में रोज़ चलता है। **23.** “बहुत ऊँची” ($h_0 \gg$ क्षेत्र की गहराई: कोई दृश्य प्रवणता नहीं) से लेकर “बहुत पतली” ($h_0 \lesssim r$) तक: उपयोगी त्रिज्याएँ मोटे तौर पर $0.1$–$0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ फैली हैं — पेरँ का चुनाव भाग्य नहीं, अभिकल्पना था। **24.** अब जब $k_{\text{B}}$ परिभाषा से ही यथार्थ है, वही प्रयोग कणिकाओं का (उनके आकार या घनत्व का) अंशांकन करता है या व्यवस्था की जाँच: भौतिकी — बोल्ट्ज़मान की सीढ़ी — अछूती है; बस यह बदला है कि कौन-सी राशि अज्ञात मानी जाती है। **25.** $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ की किसी कणिका की जनसंख्या हर $\sim35\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर आधी हो जाती है; और $n_0\eu^{-m'gh/k_{\text{B}}
T}$ से पढ़ने पर उस सीढ़ी ने $N_{\text{A}} \approx 6 \times 10^{23}$ लौटाया: अवोगाद्रो की संख्या कणिका-दर-कणिका गिनी गई — और परमाणु की बहस सूक्ष्मदर्शी के मंच पर बंद हो गई।