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title: "हैमिल्टोनियन यांत्रिकी"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics
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# अध्याय 2 — हैमिल्टोनियन यांत्रिकी

किसी लोलक के हज़ार छायाचित्र लीजिए और हर चित्र के लिए उसका कोण उसके कोणीय संवेग के सामने आलेखित कीजिए: बिंदु एक बंद वक्र पर बैठ जाते हैं, और लोलक की हर संभव गति ऐसा ही एक वक्र है — छोटे झूले नत्थी अंडाकारों पर, पूरे चक्कर ऊपर-नीचे की लहरदार रेखाओं पर, और उनके बीच एक अकेला आड़ा-तिरछा वक्र, जो दोनों परिसरों को अलग करता है। यही चित्र, अर्थात् *[कला चित्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait)*, उस पुनर्रचना का हृदय है जो हैमिल्टन ने 1833 में यांत्रिकी को दी: किसी तंत्र की अवस्था निर्देशांकों *और* संवेगों की समष्टि का एक बिंदु है, उसका विकास उस समष्टि में एक प्रवाह है, और वह प्रवाह एक ही फलन से, अर्थात् ऊर्जा से, दो सुंदर सममित प्रथम-कोटि समीकरणों के द्वारा उत्पन्न होता है। इसका पुरस्कार आसान गणना नहीं — वहाँ प्रायः लाग्रांज ही जीतता है — बल्कि सही *ज्यामिति* है: प्रवाह कला-समष्टि का आयतन संरक्षित रखता है, जिस पर आगे सांख्यिकीय भौतिकी खड़ी होगी; और उसका बीजगणितीय ढाँचा, [प्वासों कोष्ठक](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson), ठीक वही है जिसे क्वांटम यांत्रिकी क्रमविनिमेयक तक उठा देगी। यह अध्याय वस्तुओं की यांत्रिकी और बीसवीं सदी की भौतिकी के बीच का कब्ज़ा है।

## 2.1 लाग्रांज से हैमिल्टन तक

**परिभाषा 2.1 (हैमिल्टोनियन और विहित समीकरण).**

[लाग्रांजियन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $L(q, \dot q, t)$ वाले किसी तंत्र के लिए वेगों को संवेगों $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ के पदों में व्यक्त कीजिए और *हैमिल्टोनियन* को लजांद्र रूपांतर के रूप में इस तरह परिभाषित कीजिए

$$
H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,
$$

यह निर्देशांकों और *संवेगों* का फलन है। $2n$-विमीय समष्टि, अर्थात् $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ की समष्टि, ही *कला समष्टि* है; उसका एक बिंदु — अर्थात् एक *अवस्था* — तंत्र का पूरा भविष्य और पूरा भूत [प्रमेय 2.2](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-canonical) के *विहित समीकरणों* के द्वारा नियत कर देता है।

**प्रमेय 2.2 (हैमिल्टन के समीकरण).**

[ऑयलर–लाग्रांज समीकरण](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) इन $2n$ प्रथम-कोटि समीकरणों के तुल्य हैं

$$
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .
$$

**उपपत्ति.** $H = \sum p_i\dot q_i - L$ का $(q, p, t)$ के फलन के रूप में अवकलन कीजिए: $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum(
\partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) -
\partial_tL\,\dd t$। $\dd\dot q_i$ वाले पद $p_i$ की परिभाषा से कट जाते हैं — लजांद्र रूपांतर का सारा मर्म यही है — और बचता है $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) -
\partial_tL\,\dd t$। आंशिक अवकलज पढ़ लेने पर: $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ और $\partial H/\partial q_i =
-\partial L/\partial q_i$, जो ऑयलर–लाग्रांज से $-\dot p_i$ है। (साथ ही $\partial_tH = -\partial_tL$।) ∎

**प्रतिज्ञप्ति 2.3 (HHH है क्या).**

$H$ पिछले अध्याय के [ऊर्जा फलन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ से मेल खाता है: किसी गति के अनुदिश $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$, अतः जब भी $H$ में स्पष्ट काल-निर्भरता न हो, वह संरक्षित रहता है; और जब गतिज ऊर्जा वेगों में द्विघात हो तथा [प्रतिबंध](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) समय-निरपेक्ष हों, तब $H = E_k + E_p$, अर्थात् यांत्रिक ऊर्जा — अब चरों $(q, p)$ में लिखी हुई।

**उपपत्ति.** $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot
p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H -
\partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$: विहित समीकरणों की सममिति योग को सर्वसमतः शून्य कर देती है। $E_k + E_p$ के साथ तादात्म्य [प्रतिज्ञप्ति 1.14](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) है। ∎

**उदाहरण 2.4 (दो हैमिल्टोनियन).**

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: $p = m\dot x$, अतः

$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;
$$

[विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$ वही परिचित युग्म हैं। लोलक: $p = m\ell^2\dot\theta$ और

$$
H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .
$$

दोनों स्थितियों में $H$ ऊर्जा है, हर गति पर अचर: गतियाँ $H$ के वे तलवक्र ही *हैं* जो $(q,p)$ तल में हैं।

**विधि 2.5 (हैमिल्टोनियन विधि).**

(1) $L$ से संवेग $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ निकालिए और $\dot q_i$ के लिए उलटिए। (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$, जो केवल $(q, p)$ में व्यक्त हो — किसी स्वाभाविक तंत्र के लिए वह बस $E_k + E_p$ है, जिसमें $E_k$ संवेगों में लिखा गया हो। (3) [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) लिखिए। (4) $H$ के तलवक्र खींचिए: एक [स्वातंत्र्य कोटि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) के लिए वही प्रक्षेप-पथ हैं, और पूरी गुणात्मक गति — दोलन, घूर्णन, साम्यावस्थाएँ, [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) — बिना कुछ हल किए ही पढ़ी जा सकती है।

## 2.2 कला समष्टि

**परिभाषा 2.6 (कला चित्र, स्थिर बिंदु, पृथक्कारी वक्र).**

किसी तंत्र का *कला चित्र* [कला समष्टि](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) में उसके प्रक्षेप-पथों का कुल है। *स्थिर बिंदु* वह अवस्था है जहाँ दोनों [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) लुप्त हो जाते हैं — अर्थात् साम्यावस्था: विभव का निम्निष्ठ एक *केंद्र* की तरह दिखता है, जिसके चारों ओर बंद वक्र होते हैं, और उच्चिष्ठ एक *काठी बिंदु* की तरह, जिससे होकर एक *पृथक्कारी वक्र* गुज़रता है — वह प्रक्षेप-पथ जो [कला समष्टि](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) को गुणात्मक रूप से भिन्न गति के क्षेत्रों में बाँट देता है।

**उदाहरण 2.7 (लोलक का कला चित्र).**

$H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$ के लिए: $(0, 0)$ के चारों ओर बंद अंडाकार — *आंदोलन*, अर्थात् साधारण झूले; बड़े $|p|$ पर लहरदार वक्र — *घूर्णन*, जब लोलक शीर्ष के ऊपर से घूम जाता है; और $\theta = \pm\pi$ के काठी बिंदुओं से होकर [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), जिसकी ऊर्जा $E = +mg\ell$ है और जिस पर लोलक को शीर्ष तक पहुँचने में अनंत समय लगता है। [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) पर की अवस्था वह झूला है जिसे *ठीक* उतना ही ज़ोर दिया गया है कि वह उलटी स्थिति तक बिना कुछ बचाए पहुँच जाए।

![लोलक का कला चित्र: H के तलवक्र। बंद अंडाकार (झूले) केंद्र के चारों ओर दक्षिणावर्त परिक्रमा करते हैं; पृथक्कारी वक्र के ऊपर और नीचे लोलक घूमता है। ± 180 पर के काठी बिंदु उलटी साम्यावस्था हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-dbe5a3c08343.svg)

*लोलक का [कला चित्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait): $H$ के तलवक्र। बंद अंडाकार (झूले) केंद्र के चारों ओर दक्षिणावर्त परिक्रमा करते हैं; [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) के ऊपर और नीचे लोलक घूमता है। $\pm 180^\circ$ पर के काठी बिंदु उलटी साम्यावस्था हैं।*

**प्रमेय 2.8 (ल्यूविल की प्रमेय).**

[हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) प्रवाह कला-समष्टि का आयतन बनाए रखता है: यदि प्रारंभिक अवस्थाओं का कोई क्षेत्र विहित समीकरणों के साथ बहा ले जाया जाए, तो उसका आयतन (एक [स्वातंत्र्य कोटि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) के लिए उसका क्षेत्रफल) कभी नहीं बदलता — उसका आकार चाहे जो बन जाए।

**उपपत्ति.** [कला समष्टि](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) में प्रवाह का वेग-क्षेत्र $(\dot q_i, \dot p_i) =
(\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$ है। उसका अपसरण है

$$
\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i}
 + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big)
 = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}
 - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :
$$

प्रवाह असंपीड्य है, और असंपीड्य प्रवाह आयतनों को अपरिवर्तित ले जाता है, ठीक वैसे ही जैसे वर्ष 2 के खंड के तरलों में। (शून्य अपसरण से संरक्षित आयतन तक का औपचारिक कदम वहीं सिद्ध की गई परिवहन प्रमेय है।) ∎

**टिप्पणी 2.9 (ल्यूविल क्यों महत्वपूर्ण है).**

न्यूटन की रचना में कुछ भी यह संकेत नहीं देता कि कुछ असंपीड्य है। [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) चित्र में यह स्वतःसिद्ध है — और यही सांख्यिकीय भौतिकी की अनुज्ञप्ति है: जब हम $10^{23}$ अणुओं की गैस का वर्णन [कला समष्टि](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) में बिंदुओं के बादल से करते हैं, तब [ल्यूविल की प्रमेय](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) कहती है कि वह बादल किसी असंपीड्य तरल की तरह बहता है, इसलिए “किसी कला-समष्टि आयतन में अवस्थाओं की संख्या” ऐसी राशि है जिसे गतिकी स्वयं न बना सकती है न मिटा सकती है। इसी खंड में आगे आने वाला सांख्यिकीय भौतिकी का सूक्ष्मविहित अभिगृहीत ठीक इसी पर टिका है।

![ल्यूविल की प्रमेय: प्रवाह प्रारंभिक अवस्थाओं के किसी क्षेत्र को विरूपित करता है — कभी अपरूपित करके, कभी घुमाकर — पर उसका क्षेत्रफल ठीक-ठीक संरक्षित रहता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-a27e38f30efe.svg)

*[ल्यूविल की प्रमेय](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville): प्रवाह प्रारंभिक अवस्थाओं के किसी क्षेत्र को विरूपित करता है — कभी अपरूपित करके, कभी घुमाकर — पर उसका क्षेत्रफल ठीक-ठीक संरक्षित रहता है।*

## 2.3 प्वासों कोष्ठक

**परिभाषा 2.10 (प्वासों कोष्ठक).**

[कला समष्टि](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) पर के दो फलनों $f(q, p, t)$ और $g(q, p, t)$ का *प्वासों कोष्ठक* है

$$
\{f, g\} = \sum_i\Big(
 \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .
$$

यह प्रतिसममित है, हर कोटि में रैखिक है, गुणनफल-नियम $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ का पालन करता है, और स्वयं निर्देशांकों के लिए *विहित संबंध* संतुष्ट करता है

$$
\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad
\{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .
$$

**प्रमेय 2.11 (विकास एक कोष्ठक के रूप में).**

किसी भी गति के अनुदिश,

$$
\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .
$$

विशेष रूप से, स्पष्ट काल-निर्भरता रहित कोई राशि तभी और केवल तभी संरक्षित है जब [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) के साथ उसका कोष्ठक लुप्त हो; और स्वयं [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\dot q_i = \{q_i, H\}$, $\dot p_i
= \{p_i, H\}$ हैं: [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) काल-विकास को *उत्पन्न* करता है।

**उपपत्ति.** शृंखला-नियम और [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) मिलकर इस तरह देते हैं: $\dd f/\dd t = \sum(
\partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf =
\sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\,
\partial_{q_i}H) + \partial_tf$। ∎

**उदाहरण 2.12 (कोणीय संवेग के कोष्ठक).**

एक कण के लिए $L_z = xp_y - yp_x$ और उसके चक्रीय साथी। विहित संबंधों से सीधी गणना देती है

$$
\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad
\{L_y, L_z\} = L_x , \qquad
\{L_z, L_x\} = L_y ,
$$

और $\{L^2, L_z\} = 0$: कोणीय संवेग के घटक आपस में “क्रमविनिमेय” नहीं हैं, पर हर घटक कुल वर्ग के साथ क्रमविनिमेय है। इन संबंधों का आकार याद रखिए — ये अक्षरशः लौटेंगे, क्वांटम यांत्रिकी में क्रमविनिमेयकों के रूप में, जहाँ ये परमाणु-संरचना के विषय में सब कुछ तय करते हैं।

**टिप्पणी 2.13 (क्वांटम यांत्रिकी का द्वार).**

डिराक ने 1925 में देखा कि पूरी क्वांटम यांत्रिकी इस तरह मिल जाती है: [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) यांत्रिकी का बीजगणित रखिए और [प्वासों कोष्ठक](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) के स्थान पर संकारकों का क्रमविनिमेयक, जिसे $\iu\hbar$ से भाग दिया गया हो, रख दीजिए: $\{q, p\} = 1$, $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ बन जाता है, संरक्षण अब भी “$H$ के साथ कोष्ठक लुप्त होना” है, और काल-विकास अब भी [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) से उत्पन्न होता है। चिरसम्मत सिद्धांत अपनी हड्डियों में क्वांटम सिद्धांत का ढाँचा लिए चलता है; क्वांटम यांत्रिकी के अध्याय इस संगति को स्पष्ट कर देंगे।

## 2.4 क्रिया और रुद्धोष्म निश्चर

**परिभाषा 2.14 (क्रिया चर).**

किसी बंद कला-प्रक्षेप-पथ पर दोलन करते एक-स्वातंत्र्य-कोटि तंत्र के लिए *[क्रिया](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) चर* वह घिरा हुआ क्षेत्रफल है जिसे $2\pi$ से भाग दिया गया हो:

$$
I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .
$$

**प्रतिज्ञप्ति 2.15 (हरात्मक दोलक की क्रिया).**

$H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ के लिए, ऊर्जा $E$ पर, प्रक्षेप-पथ $\sqrt{2E/m\omega^2}$ और $\sqrt{2mE}$ अर्ध-अक्षों वाला दीर्घवृत्त है, जो क्षेत्रफल $2\pi E/\omega$ घेरता है: अतः

$$
I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,
$$

और दोलन-आवृत्ति $\partial E/\partial I = \omega$ है, जैसा उसे होना चाहिए।

**उपपत्ति.** दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} =
2\pi E/\omega$। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 2.16 (रुद्धोष्म निश्चरता).**

यदि तंत्र का कोई प्राचल (कोई लंबाई, कोई दृढ़ता, कोई क्षेत्र) *धीरे-धीरे* बदला जाए — अनेक दोलन-आवर्तकालों में — तो ऊर्जा बदलती है, आवृत्ति बदलती है, पर [क्रिया](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ बहुत अच्छे सन्निकटन में अचर रहती है: $I$ एक *[रुद्धोष्म निश्चर](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)* है। धीरे-धीरे बदले गए दोलक के लिए इस प्रकार $E/\omega$ संरक्षित रहता है: स्प्रिंग को धीरे-धीरे कड़ा करके $\omega$ दुगुना कीजिए, ऊर्जा भी उसके साथ दुगुनी हो जाती है।

**आंशिक उपपत्ति.** धीरे-धीरे बदलते $\omega(t)$ वाले दोलक के लिए: एक आवर्तकाल में बदलते प्राचल द्वारा किया गया कार्य औसत लेकर निकाला जा सकता है; वह गणना ([अभ्यास 2.11](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-11) में निर्देशित) अग्रणी कोटि पर $\dot E/E = \dot\omega/\omega$ देती है, अर्थात् $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$। किसी भी धीरे-धीरे विरूपित होते दोलनशील तंत्र के लिए व्यापक कथन स्वीकृत है — यही कारण है कि ग्रहों की कक्षाएँ मंद विक्षोभों को झेल जाती हैं, और यही नीचे की “पुरानी क्वांटम सिद्धांत” का आरंभ-बिंदु है। ∎

![रुद्धोष्म निश्चरता। बाएँ: ज्यों-ज्यों धीरे-धीरे दुगुना किया जाता है, कला-दीर्घवृत्त अचर क्षेत्रफल पर आकार बदलता है, अतः E = I दुगुना हो जाता है। दाएँ: झूलते लोलक की डोरी खींचना झूले में ठीक उसी अनुपात में ऊर्जा भरता है जो I = E/ को अचर रखे।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-24867d5dc16d.svg)

*रुद्धोष्म निश्चरता। बाएँ: ज्यों-ज्यों $\omega$ धीरे-धीरे दुगुना किया जाता है, कला-दीर्घवृत्त अचर क्षेत्रफल पर आकार बदलता है, अतः $E = \omega I$ दुगुना हो जाता है। दाएँ: झूलते लोलक की डोरी खींचना झूले में ठीक उसी अनुपात में ऊर्जा भरता है जो $I = E/\omega$ को अचर रखे।*

**टिप्पणी 2.17 (पुरानी क्वांटम सिद्धांत).**

परमाणुओं की ऊर्जाएँ विविक्त क्यों होती हैं? पहला मात्रात्मक उत्तर (बोर 1913, ज़ोमरफ़ेल्ट 1915) इसी अध्याय की भाषा में लिखा गया था: सभी चिरसम्मत गतियों में से प्रकृति उन्हीं को रखती है जिनका क्रिया-समाकल प्लांक के नियतांक का पूर्ण गुणज हो,

$$
\oint p\,\dd q = nh .
$$

हरात्मक दोलक पर लगाने से यह $E_n = n\hbar\omega$ देता है (केवल सच्चे $\big(n + \tfrac12\big)\hbar
\omega$ का आधा छूट जाता है); किसी संदूक में बंद कण पर लगाने से यह वर्ष 2 के खंड के स्तर *ठीक-ठीक* देता है; हाइड्रोजन परमाणु पर ([समस्या 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1)) यह मापे गए वर्णक्रम को चार अंकों तक देता है। नियम मात्रात्मक रूप से सही था और वैचारिक रूप से अस्थायी — और चूँकि [क्रिया](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) एक [रुद्धोष्म निश्चर](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) है, इसलिए क्वांटम संख्या $n$ मंद विक्षोभों के अंतर्गत नहीं बदलती, और इसी से ऐसा नियम काम कर सका। सच्चा सिद्धांत यहाँ से पाँच अध्याय आगे शुरू होता है।

![स्ट्रोब-प्रकाश में देखा गया लोलक: स्थितियाँ पलट-बिंदुओं के पास भीड़ लगा देती हैं, जहाँ गोलक ठहरता है, और तल पर फैल जाती हैं, जहाँ वह जल्दी में रहता है — यह उसी कला-समष्टि चित्र का छायाचित्र है जिसे यह अध्याय समीकरणों से खींचता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/img-7e511e05d49a.jpg)

*स्ट्रोब-प्रकाश में देखा गया लोलक: स्थितियाँ पलट-बिंदुओं के पास भीड़ लगा देती हैं, जहाँ गोलक ठहरता है, और तल पर फैल जाती हैं, जहाँ वह जल्दी में रहता है — यह उसी कला-समष्टि चित्र का छायाचित्र है जिसे यह अध्याय समीकरणों से खींचता है।*

## 2.5 अभ्यास

**अभ्यास 2.1 ★.**

स्प्रिंग पर द्रव्यमान के लिए: (क) $H$ को $L$ से बनाइए और जाँचिए कि $H =
E_k + E_p$; (ख) [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) लिखिए और जाँचिए कि वे $\ddot x = -\omega^2x$ की पुनरुत्पत्ति करते हैं; (ग) दिखाइए कि प्रक्षेप-पथ $(x, p)$ तल में दीर्घवृत्त हैं, और ऊर्जा $E$ पर उनके अर्ध-अक्ष दीजिए; (घ) किस अर्थ में निरूपक बिंदु दक्षिणावर्त चलता है?

**हल — अभ्यास 2.1.**

(क) $p = m\dot x$, $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k +
E_p$। (ख) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$, अतः $\ddot x = -(k/m)x$। (ग) $H = E$ वह दीर्घवृत्त $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$ है जिसके अर्ध-अक्ष $\sqrt{2E/k}$ और $\sqrt{2mE}$ हैं। (घ) दाहिने छोर के बिंदु पर ($x > 0$, $p = 0$) $\dot p = -kx < 0$: बिंदु नीचे की ओर चलता है — सदा दक्षिणावर्त।

**अभ्यास 2.2 ★.**

पिछले अध्याय के घूमते वलय पर मनके के लिए $L =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta +
mgR\cos\theta$ है। (क) $p$ और $H$ निकालिए। (ख) क्या $H$ संरक्षित है? क्या वह यांत्रिक ऊर्जा है? (ग) $H$ के तलवक्र $\omega^2 < g/R$ और $\omega^2 > g/R$ के लिए खींचिए, उसी अध्याय के प्रभावी विभव की सहायता से। (घ) द्रुत स्थिति में केंद्र, काठी बिंदु और [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) पहचानिए।

**हल — अभ्यास 2.2.**

(क) $p = mR^2\dot\theta$; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2
\sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{प्र}}(\theta)$। (ख) संरक्षित ($H$ में स्पष्ट $t$ नहीं है), पर वह $h$ है, यांत्रिक ऊर्जा नहीं: मोटर का कार्य उसमें से गायब है। (ग) तलवक्र $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{प्र}})}$ हैं: मंद घूर्णन के लिए $(0, 0)$ के चारों ओर अंडाकार और $\theta = \pi$ के काठी बिंदु से होकर एक [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait); द्रुत घूर्णन के लिए $(\pm\theta_{\text{सा}}, 0)$ के चारों ओर अंडाकारों के दो कुल। (घ) द्रुत स्थिति: केंद्र $\pm\theta_{\text{सा}}$ पर; काठी बिंदु $\theta = 0$ *और* $\theta =
\pi$ पर; $\theta = 0$ से होकर एक अष्टाकार [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) गुज़रता है जो दोनों केंद्रों को घेरता है ([लघु दोलन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) तल को लाँघ जाते हैं), और $\pi$ से होकर बाहरी [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), जिससे परे मनका शीर्ष के ऊपर से परिक्रमा करता है।

**अभ्यास 2.3 ★.**

कोई गेंद फर्श पर प्रत्यास्थ रूप से उछलती है, $H = p^2/2m + mgz$ ($z >
0$)। (क) एक उड़ान का और फिर पूरी उछल-कूद का कला-प्रक्षेप-पथ खींचिए। (ख) प्रत्यास्थ उछाल निरूपक बिंदु के साथ क्या करता है? (ग) अधिकतम ऊँचाई $z_{\max}$ के लिए घिरा क्षेत्रफल और [क्रिया](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ निकालिए। (घ) बोर–ज़ोमरफ़ेल्ट नियम $\oint p\,\dd z = nh$ किसी उछलते न्यूट्रॉन ($m =
1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) पर लगाने से क्वांटीकृत उछाल-ऊँचाइयाँ मिलती हैं: सबसे नीची का आकलन कीजिए, और 2002 के गुरुत्वीय क्वांटम-अवस्था प्रयोग में मापी गई $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ से तुलना कीजिए।

**हल — अभ्यास 2.3.**

(क) एक उड़ान चाप $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ है — एक परवलय, जो अपनी बगल पर लेटा है और जिस पर $(0, +p_0)$ से $(z_{\max}, 0)$ तक और वापस $(0, -p_0)$ तक चला जाता है। (ख) उछाल $(0, -p_0)$ को $(0, +p_0)$ पर भेज देता है: एक ऊर्ध्वाधर खंड, जो पाश बंद कर देता है। (ग) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z =
\tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$, और $I$ उसे $2\pi$ से भाग देने पर। (घ) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$: किसी न्यूट्रॉन के लिए $z_1 =
(6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — ठीक वही कोटि: ग्रेनोबल के प्रयोग में सबसे नीची गुरुत्वीय क्वांटम अवस्था $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ के पास मिली (सच्चे तरंग फलनों के साथ यथार्थ विवेचन $14\,\text{µ}\mathrm{m}$ देता है)।

**अभ्यास 2.4 ★.**

केवल विहित संबंधों से निकालिए: (क) $\{x^2, p\}$; (ख) $\{xp, H\}$, जहाँ $H = p^2/2m + E_p(x)$, और दोनों पदों की व्याख्या कीजिए (यही कोष्ठक *विरियल प्रमेय* चलाता है); (ग) $\{L_z, x\}$ और $\{L_z, p_x\}$; (घ) दिखाइए कि यदि $\{f, H\} = 0$ और $\{g, H\} = 0$ हो तो $\{f, g\}$ भी संरक्षित है (याकोबी सर्वसमिका का उपयोग कीजिए, जो स्वीकृत है: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$)।

**हल — अभ्यास 2.4.**

(क) $\{x^2, p\} = 2x$। (ख) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k -
x\,E_p'$: किसी बद्ध गति पर $\dd(xp)/\dd t$ का समय-औसत लुप्त हो जाता है, अतः $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — विरियल प्रमेय ($E_p \propto x^2$ के लिए: $\langle E_k\rangle = \langle
E_p\rangle$; $\propto -1/r$ के लिए: $2\langle E_k\rangle = -\langle
E_p\rangle$)। (ग) $\{L_z, x\} = y$, $\{L_z, p_x\} = p_y$: $L_z$ स्थितियों और संवेगों, दोनों के घूर्णन उत्पन्न करता है। (घ) $h
= H$ के साथ याकोबी: $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$।

**अभ्यास 2.5 ★★.**

अपने [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) के निकट लोलक। (क) [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) की ऊर्जा और उस पर अधिकतम $|p|$ दीजिए। (ख) दिखाइए कि [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) पर $p =
\pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ है, जहाँ $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$। (ग) $\dot\theta = p/m\ell^2$ का उपयोग करके दिखाइए कि $\theta$ से शीर्ष तक का समय लघुगणकीय रूप से अपसरित होता है। (घ) [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) से ज़रा नीचे छोड़ा गया कोई वास्तविक लोलक उलटी स्थिति के पास एक लंबे क्षण तक टिका रहता है और फिर लौटता है — इसका संबंध (ग) से जोड़िए, और हर काठी बिंदु के पास दिखने वाले मंदन से भी।

**हल — अभ्यास 2.5.**

(क) $E_{\text{पृ}} = mg\ell$ (उलटी विराम-स्थिति की ऊर्जा); तल पर अधिकतम $|p| = 2m\ell^2\omega_0$। (ख) $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$ से। (ग) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ पृथक हो जाता है: $\omega_0t =
\ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$, जो $\theta \to \pi$ पर अपसरित होता है: शीर्ष के पास पहुँचा जाता है, पर वहाँ कभी पहुँचा नहीं जाता। (घ) [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) से ज़रा नीचे गति उसी की छाया बनकर चलती है: लोलक काठी बिंदु के पड़ोस में रेंगता है, ठहरता है — वही लघुगणक — और अंततः लौट पड़ता है; हर काठी बिंदु प्रक्षेप-पथों को लघुगणकीय रूप से धीमा करता है, और इसीलिए ठीक-ठीक न सधी छड़ गिरने से पहले झिझकती-सी लगती है।

**अभ्यास 2.6 ★★.**

चुंबकीय क्षेत्र में किसी आवेशित कण का $H = (\vect p -
q\vect A)^2/2m$ है, जहाँ $\vect p$ पिछले अध्याय का विहित संवेग है। (क) $\vect A = \tfrac12
B(-y, x, 0)$ के लिए [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) लिखिए और जाँचिए कि वे साइक्लोट्रॉन गति देते हैं। (ख) दिखाइए कि $H =
\tfrac12 m\vect v^{\,2}$: चुंबकीय क्षेत्र कोई कार्य नहीं करता। (ग) दोनों संरक्षित राशियों $\pi_x = p_x - \tfrac12
qBy$ और $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ का कोष्ठक निकालिए (पहले जाँचिए कि प्रत्येक संरक्षित है), और दिखाइए कि $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$: दो संरक्षित राशियाँ जिनका कोष्ठक एक अचर है। (घ) [अभ्यास 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(घ) का उपयोग करके समझाइए कि उनसे किसी तीसरी स्वतंत्र संरक्षित राशि की अपेक्षा क्यों नहीं थी।

**हल — अभ्यास 2.6.**

(क) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ और $\dot p_x =
-\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect
A$ इत्यादि; $\vect p$ हटाने पर $m\ddot x = qB\dot y$, $m\ddot y = -qB\dot x$ फिर से मिल जाते हैं। (ख) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12
m\vect v^{\,2}$: केवल गतिज ऊर्जा — और वह अचर, क्योंकि चुंबकीय बल $\vect v$ के लंबवत है। (ग) $m\dot x = p_x +
\tfrac12 qBy$ के साथ: $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$, जिसका संरक्षण गति का पहला समीकरण ही है (इसी तरह $\pi_y$); कोष्ठक में केवल दो पद बचते हैं: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12
qB$ और $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$, कुल $-qB$। ($\pi_x/qB$ और $\pi_y/qB$ चिह्नों को छोड़ दें तो वृत्त के मार्गदर्शक केंद्र के निर्देशांक हैं।) (घ) [अभ्यास 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(घ) से दो संरक्षित राशियों का कोष्ठक संरक्षित है — यहाँ वह अचर $-qB$ है, जो तुच्छ रूप से संरक्षित है और कुछ नया नहीं सिखाता: कोई तीसरी राशि प्रकट नहीं होती।

**अभ्यास 2.7 ★★.**

ल्यूविल, हाथ से। (क) स्वतंत्र कण के लिए प्रवाह $q \to q +
pt/m$, $p \to p$ है: दिखाइए कि कोई आयत उसी क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज बन जाता है। (ख) हरात्मक दोलक के लिए दिखाइए कि प्रवाह एक घूर्णन है (उपयुक्त मात्रकों में) और निष्कर्ष निकालिए। (ग) *अवमंदित* दोलक $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$ के लिए $(x, v)$ तल में प्रवाह का अपसरण लिखिए और दिखाइए कि क्षेत्रफल $\eu^{-\gamma t}$ की तरह सिकुड़ते हैं: अवमंदन [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) नहीं है। (घ) खोया हुआ क्षेत्रफल भौतिक रूप से कहाँ “जाता” है?

**हल — अभ्यास 2.7.**

(क) प्रतिचित्रण $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ एक अपरूपण है: आयत का आधार और ऊँचाई अपरिवर्तित रहते हैं, क्षेत्रफल भी (सारणिक $1$)। (ख) चरों $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ में प्रवाह दर $\omega$ का दृढ़ घूर्णन है; घूर्णन क्षेत्रफल बनाए रखते हैं, और चर-परिवर्तन का सारणिक $1$ है। (ग) वेग-क्षेत्र $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ का अपसरण $-\gamma$ है: कोई भी क्षेत्रफल $\eu^{-\gamma t}$ की तरह सिकुड़ता है और मूल बिंदु पर सर्पिल होकर गिरता है — किसी [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) प्रवाह के लिए यह असंभव है। (घ) वह उपेक्षित स्वातंत्र्य कोटियों में चला जाता है: वायु के अणु और तार के फ़ोनॉन, जिनका कला-समष्टि आयतन कम से कम उतना ही बढ़ता है — यही दूसरे नियम का बीज है।

**अभ्यास 2.8 ★★.**

किसी केंद्रीय विभव में समतलीय गति, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m
+ E_p(r)$। (क) चारों [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) लिखिए। (ख) दिखाइए कि $\{
p_\varphi, H\} = 0$ और संरक्षण नियम पहचानिए। (ग) इसे किसी प्रभावी विभव वाले एकविमीय त्रिज्य [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) तक घटाइए। (घ) $E_p = -k/r$ के लिए दिए गए $p_\varphi$ पर वृत्ताकार कक्षा का स्थान बताइए और उसकी ऊर्जा दीजिए — जिसका क्वांटन [समस्या 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1) में होगा।

**हल — अभ्यास 2.8.**

(क) $\dot r = p_r/m$, $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$, $\dot p_r =
p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$, $\dot p_\varphi = 0$। (ख) $H$ में $\varphi$ नहीं है: $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi =
0$; कोणीय संवेग का संरक्षण। (ग) $H_{\text{त्रि}} = p_r^2/2m +
U_{\text{प्र}}(r)$, जहाँ $U_{\text{प्र}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$। (घ) $U_{\text{प्र}}' = 0$: $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$, और $E =
U_{\text{प्र}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$।

**अभ्यास 2.9 ★★.**

(क) विहित संबंधों से $\{L_x, L_y\} = L_z$ जाँचिए। (ख) चक्रीय क्रमचय से शेष दोनों कोष्ठक निकालिए। (ग) दिखाइए कि $\{L^2, L_z\} = 0$। (घ) कोई दृढ़ पिंड स्वतंत्र रूप से घूमता है: $H =
L^2/2J$ (गोलीय सममित जड़त्व) लेकर दिखाइए कि तीनों $L_i$ संरक्षित हैं; और असमान जड़त्व-आघूर्णों वाले पिंड के लिए क्या होगा (कोष्ठकों से गुणात्मक उत्तर दीजिए)?

**हल — अभ्यास 2.9.**

(क) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$: केवल शून्येतर विहित कोष्ठक $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z,
p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$ देते हैं। (ख) चक्रीय पुनर्नामकरण $x \to y \to z \to
x$ से शेष दोनों मिल जाते हैं। (ग) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} +
2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$। (घ) $H = L^2/2J$ के लिए हर $\{L_i, H\} = 0$: $\vect L$ नियत। $H = \sum L_i^2/2J_i$ के साथ, जहाँ $J_i$ असमान हों: $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — केवल $L^2$ और $H$ बचते हैं, और पिंड लुढ़कने लगता है (वर्ष 2 के खंड के दृढ़-पिंड अध्याय की टेनिस-रैकेट प्रमेय यहीं रहती है)।

**अभ्यास 2.10 ★★★.**

पुराने क्वांटम स्तर। (क) दिखाइए कि $\oint p\,\dd q = nh$ को हरात्मक दोलक पर लगाने से $E_n = n\hbar\omega$ मिलता है, इसके लिए [प्रतिज्ञप्ति 2.15](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-sho-action) का उपयोग कीजिए। (ख) उसे लंबाई $a$ के संदूक में बंद कण पर लगाइए और ठीक-ठीक $E_n =
n^2h^2/8ma^2$ पुनः प्राप्त कीजिए। (ग) किसी द्विपरमाणुक अणु को दृढ़ता $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ और समानीत द्रव्यमान $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (कार्बन मोनोऑक्साइड) वाले दोलक के रूप में लेकर $\hbar\omega$ को eV में और $n = 1 \to 0$ उत्सर्जन की तरंगदैर्घ्य निकालिए; वह किस वर्णक्रमीय परिसर में पड़ती है? (घ) सच्चे स्तर $(n + \tfrac12)\hbar\omega$ हैं: क्या छूटा हुआ आधा *उत्सर्जित* तरंगदैर्घ्यों को बदलता है? कौन-सा प्रयोग शून्य-बिंदु वाले आधे को पकड़ता है?

**हल — अभ्यास 2.10.**

(क) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ से $E_n =
n\hbar\omega$। (ख) अचर $|p|$ पर आना-जाना: $2pa = nh$, $p =
nh/2a$, $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — ठीक वही अनंत कूप जो वर्ष 2 के खंड में था। (ग) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$, $\lambda = hc/
\hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: मध्य-अवरक्त (CO का मूल बैंड, जिससे अंतरिक्ष में गैस का पता लगाया जाता है)। (घ) नहीं: स्तरों के अंतर उभयनिष्ठ आधे से नहीं बदलते। शून्य-बिंदु ऊर्जा उन तुलनाओं में दिखती है जो निरपेक्ष स्तर पर निर्भर हैं — वियोजन ऊर्जाओं के समस्थानिक विस्थापन (H$_2$ बनाम D$_2$), या वे कंपन जो क्रिस्टलों में परम शून्य पर भी बने रहते हैं।

**अभ्यास 2.11 ★★★.**

$E/\omega$ की रुद्धोष्म निश्चरता, व्युत्पन्न। ऐसी स्प्रिंग पर द्रव्यमान जिसकी दृढ़ता $k(t)$ धीरे-धीरे बढ़ती है। (क) दिखाइए कि यथार्थ गति के अनुदिश $\dot E = \tfrac12\dot k\,
x^2$। (ख) नियत $k$ पर एक आवर्तकाल का औसत लीजिए: $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ का उपयोग करके दिखाइए कि $\langle\dot E\rangle
= \dot k\,E/2k$। (ग) निष्कर्ष निकालिए कि $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln
\omega$, अतः $E/\omega$ अचर है। (घ) आयाम $\theta_0 = 5^\circ$ से झूलते किसी लोलक की डोरी $1.0\,\mathrm{m}$ से $0.5\,\mathrm{m}$ तक धीरे-धीरे छोटी की जाती है: नया आयाम और वह गुणक ज्ञात कीजिए जिससे उसकी ऊर्जा बढ़ी, और बताइए कि ऊर्जा कहाँ से आई।

**हल — अभ्यास 2.11.**

(क) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$, अतः किसी गति के अनुदिश $\dot E =
\partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$। (ख) लगभग नियत $k$ पर एक आवर्तकाल में $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, अतः $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$। (ग) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln
k$; और चूँकि $\omega = \sqrt{k/m}$, इसलिए $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ भी: $E/\omega$ निश्चर है। (घ) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ $\sqrt2$ गुना बढ़ता है, अतः $E$ भी $\sqrt2 \approx 1.41$ गुना। $E = \tfrac12
mg\ell\theta_0^2$ के साथ $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$: $\theta_0' =
5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$। ऊर्जा वही देता है जो डोरी खींचता है: तनाव औसतन $mg\cos\theta$ से अधिक रहता है (अपकेंद्री पद), अतः खींचने से झूले पर कुल धनात्मक कार्य होता है।

**अभ्यास 2.12 ★★★.**

लोलक के [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) के भीतर का क्षेत्रफल क्वांटम अवस्थाओं की एक संख्या है। (क) दिखाइए कि [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) के चारों ओर $\oint p\,\dd\theta$ $16m\ell^2\omega_0$ के बराबर है। (ख) बोर–ज़ोमरफ़ेल्ट नियम से [पृथक्कारी वक्र](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) से नीची ऊर्जाओं वाली क्वांटम अवस्थाओं की संख्या $N \approx
16m\ell^2\omega_0/h$ है: $10\,\mathrm{cm}$ की डोरी पर एक ग्राम के द्रव्यमान के लिए उसका मान निकालिए। (ग) अमोनिया जैसे आणविक दोलक के लिए उसका मान निकालिए: $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$, $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$। (घ) निष्कर्ष निकालिए: उस यांत्रिकी की, जिसे $\hbar$ चाहिए, और उसकी जिसे नहीं चाहिए, सीमा कहाँ है?

**हल — अभ्यास 2.12.**

(क) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0
\cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2)
\big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$। (ख) $\omega_0 =
9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 =
1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, अर्थात् $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ अवस्थाएँ: किसी प्रयोगशाला-लोलक की क्वांटम कणिकामयता किसी भी प्रेक्षणीय वस्तु से तीस कोटि नीचे है। (ग) $16 \times 10^{-26} \times
10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, अर्थात् $N \approx
240$: किसी आणविक आंदोलन में केवल कुछ सौ क्वांटम अवस्थाएँ होती हैं, और उसके निचले स्तर वर्णक्रममापी से अलग-अलग सुलझा लिए जाते हैं। (घ) सीमा वहाँ है जहाँ गति के कला-समष्टि क्षेत्रफल $h$ के कुछ ही गुने हों: अणु और उससे नीचे सब क्वांटम हैं; जो कुछ दिखाई देता है, वह चिरसम्मत है।

## 2.6 समस्या: पुरानी क्वांटम सिद्धांत और हाइड्रोजन परमाणु

**समस्या 2.1.**

सप्ताहांत समस्या — कला समष्टि का क्वांटन, रिडबर्ग का तौल

1913 में बोर ने हाइड्रोजन का वर्णक्रम ग्रह-यांत्रिकी और एक क्वांटम नियम से निकाला; ज़ोमरफ़ेल्ट ने पहचाना कि वह नियम कला-समष्टि के क्षेत्रफल के विषय में एक कथन है। यह समस्या उनकी गणना को इस अध्याय के औज़ारों से फिर से खड़ा करती है। आँकड़े: $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $1/4\pi\varepsilon_0 =
8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$ लिखिए।

**भाग I — केप्लर [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)।** कोई इलेक्ट्रॉन किसी नियत प्रोटॉन के चारों ओर समतल में चलता है।

1. प्रोटॉन को नियत मानने का औचित्य दीजिए (द्रव्यमान-अनुपात), और [हैमिल्टोनियन](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} +  \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ लिखिए।
2. चारों [विहित समीकरण](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) लिखिए।
3. दिखाइए कि $p_\varphi$ संरक्षित है और उसे नाम दीजिए।
4. त्रिज्य गति को प्रभावी विभव $U_{\text{प्र}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ तक घटाइए और उसका रेखाचित्र बनाइए।
5. वृत्ताकार कक्षा का स्थान बताइए: $r_{\text{c}} =  p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ ।
6. दिखाइए कि उसकी ऊर्जा $E = -k/2r_{\text{c}} =  -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ है, और जाँचिए कि वह स्थितिज ऊर्जा की आधी है (वर्ष 1 के खंड की गुरुत्वीय कक्षाओं वाला विरियल अनुपात)।

**भाग II — चिरसम्मत कक्षा।**

7. त्रिज्या $r$ की वृत्ताकार कक्षा के लिए चाल $v$ और कक्षीय आवृत्ति $f_{\text{कक्ष}}$ को $r$ के फलनों के रूप में ज्ञात कीजिए।
8. परमाणु के आकार की कक्षा, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : $v$ (और $v/c$ ), $f_{\text{कक्ष}}$ , तथा ऊर्जा eV में निकालिए।
9. उस कक्षा का कोणीय संवेग $p_\varphi$ निकालिए और उसकी तुलना $\hbar = h/2\pi$ से कीजिए: यह निकटता क्या सुझाती है?
10. चिरसम्मत रूप से, परिक्रमा करता इलेक्ट्रॉन एक दोलायमान द्विध्रुव है और $f_{\text{कक्ष}}$ पर विकिरण करता है (वर्ष 2 का खंड); उसकी ऊर्जा लगभग $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ में क्षीण हो जाती है। बताइए कि इससे परमाणुओं के विषय में कौन-सी दो घातक भविष्यवाणियाँ निकलती हैं, और इसके बदले क्या देखा जाता है।
11. देखे गए वर्णक्रमों की कौन-सी विशेषता (विविक्त रेखाएँ, संयोजन नियम $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) ने विविक्त ऊर्जा- *स्तरों* का सुझाव दिया?
12. समझाइए कि ऐसी राशि के लिए, जो नियत सार्वत्रिक मान लेती हो, *[रुद्धोष्म निश्चर](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)* ही स्वाभाविक उम्मीदवार क्यों है ( [प्रतिज्ञप्ति 2.16](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) स्मरण कीजिए)।

**भाग III — क्वांटन।** वृत्ताकार कक्षा की कोणीय गति पर ज़ोमरफ़ेल्ट का नियम लगाइए: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$, $n = 1, 2, 3, \dots$

13. दिखाइए कि यह नियम $p_\varphi = n\hbar$ बन जाता है।
14. अनुमत त्रिज्याएँ $r_n = n^2a_0$ निकालिए, जहाँ $a_0 =  \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , और $a_0$ का मान निकालिए।
15. अनुमत ऊर्जाएँ $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ निकालिए, जहाँ $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , और $E_{\text{I}}$ को जूल तथा eV में निकालिए।
16. पहली कक्षा पर चाल निकालिए और जाँचिए कि $v_1/c =  k/\hbar c \approx 1/137$ (सूक्ष्म-संरचना नियतांक)।
17. कोई फ़ोटॉन किसी संक्रमण की ऊर्जा ले जाता है: रिडबर्ग सूत्र और $R_H = E_{\text{I}}/hc$ का मान निकालिए; मापे गए $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ से तुलना कीजिए।
18. संक्रमणों $2 \to 1$ , $3 \to 2$ और $\infty \to 2$ की तरंगदैर्घ्य निकालिए; इनमें कौन-सी दृश्य है, और किस रंग की?
19. आयनित हीलियम आयन He $^+$ नाभिकीय आवेश $2e$ वाला हाइड्रोजन है: $a_0$ और $E_{\text{I}}$ किस तरह मापित होते हैं, और उसकी $2 \to 1$ रेखा कहाँ पड़ती है?

**भाग IV — आमना-सामना।**

20. कक्षीय आवृत्ति $f_{\text{कक्ष}}(n)$ और संक्रमण-आवृत्ति $\nu_{n \to n-1}$ को $n = 2$ , $10$ , $100$ के लिए निकालिए, और दिखाइए कि उनका अनुपात $1$ की ओर जाता है, ज्यों-ज्यों $n$ बढ़ता है।
21. यही बोर का *संगतता सिद्धांत* है: उसे एक वाक्य में बताइए।
22. नियम $p_\varphi = n\hbar$ का आरंभ $n = 1$ से होता है: वृत्ताकार कक्षा के लिए $n = 0$ का क्या असंगत अर्थ होता?
23. क्वांटम यांत्रिकी $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ को ठीक-ठीक रखेगी, फिर भी कक्षाओं को छोड़ देगी: दो ऐसे मापनीय तथ्य बताइए जिन्हें कक्षा-चित्र गलत बताता है (मूल अवस्था के कोणीय संवेग का मान; समान $n$ और भिन्न आकारों वाली अवस्थाओं का अस्तित्व)।
24. म्युऑन $207$ गुना भारी इलेक्ट्रॉन है: म्युऑनी हाइड्रोजन के लिए $a_0^\mu$ और $E_{\text{I}}^\mu$ निकालिए, और समझाइए कि म्युऑनी परमाणु *नाभिक* की जाँच क्यों करते हैं।
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: एक [रुद्धोष्म निश्चर](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) , जिसे $h$ की पूर्ण संख्याओं के बराबर रखा जाए, $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ और हाइड्रोजन का वर्णक्रम चार अंकों तक दे देता है — और सच्चे सिद्धांत को उसके दो केंद्रीय नियतांक सौंप देता है।

**हल — समस्या 2.1.**

**1.** $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$: प्रोटॉन 1836 गुना कम चलता है; $H$ कक्षा के तल में, जैसा कहा गया है। **2.** $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$, $\dot\varphi =
p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$, $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 -
k/r^2$, $\dot p_\varphi = 0$। **3.** $\varphi$ का $H$ में कहीं नाम नहीं: $p_\varphi$, अर्थात् कोणीय संवेग, संरक्षित है। **4.** $U_{\text{प्र}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$: छोटे $r$ पर प्रतिकर्षी दीवार, बड़े $r$ पर कूलॉम पुच्छ, और बीच में एक निम्निष्ठ। **5.** $U_{\text{प्र}}' = 0$, $r_{\text{c}} =
p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ पर। **6.** $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} =
-m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$: किसी भी वृत्ताकार $1/r$ कक्षा का विरियल अनुपात। **7.** $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$: $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$, $f_{\text{कक्ष}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$। **8.** $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$: $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($v/c =
0.0075$), $f_{\text{कक्ष}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $E = -k/2r =
-2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$। **9.** $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx
\hbar$: कोई परमाणु-कक्षा $\hbar$ की कोटि का कोणीय संवेग वहन करती है — प्लांक का नियतांक परमाणु के आकारों में गुँथा हुआ है। **10.** हर परमाणु को $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$ में ढह जाना चाहिए, और उसका प्रकाश संतत रूप से छोटी तरंगदैर्घ्यों की ओर बहता जाना चाहिए। प्रेक्षण: परमाणु शाश्वत हैं और तीखी, नियत रेखाएँ उत्सर्जित करते हैं। **11.** $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ हर प्रेक्षित आवृत्ति को पदों के *अंतर* के रूप में लिखता है: ऊर्जा नियत स्तरों $-hcR_H/n^2$ के बीच विनिमित होती है। **12.** सार्वत्रिक मानों से बँधी कोई राशि तब नहीं खिसकनी चाहिए जब परमाणु को हल्के से विक्षुब्ध किया जाए (क्षेत्र, संघट्ट, मंद परिवर्तन); [रुद्धोष्म निश्चर](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) ठीक वही है जो मंद विक्षोभ के अंतर्गत नियत रहता है — अतः [क्रिया](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) का ही क्वांटन कीजिए। **13.** कक्षा पर $p_\varphi$ अचर है: $\oint
p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$, अर्थात् $p_\varphi =
n\hbar$। **14.** $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$, $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$। **15.** $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$, $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} =
13.6\,\mathrm{eV}$। **16.** $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_1/c = k/\hbar c =
1/137$: सूक्ष्म-संरचना नियतांक $\alpha$, जो नापता है कि परमाणु कितना अनापेक्षिकीय है। **17.** $h\nu = E_{n'} - E_n$ से $1/\lambda =
(E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$: $R_H = E_{\text{I}}/hc =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$, जो मापे गए $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ से हमारे नियतांकों की यथार्थता तक मेल खाता है। **18.** $2 \to 1$: $122\,\mathrm{nm}$ (दूर पराबैंगनी, लाइमन $\alpha$); $3 \to 2$: $656\,\mathrm{nm}$, वह दृश्य लाल रेखा जो उत्सर्जन-नीहारिकाओं को रंग देती है; $\infty \to 2$: $365\,\mathrm{nm}$, बामर श्रेणी का निकट-पराबैंगनी किनारा। **19.** $k \to 2k$: त्रिज्याएँ $2$ गुना घटती हैं, $E_{\text{I}} \to
4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$; $2 \to 1$ रेखा $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$ पर, अर्थात् चरम पराबैंगनी में पड़ती है। **20.** $f_{\text{कक्ष}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$। अनुपात $\nu/f_{\text{कक्ष}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$: $3$ ($n = 2$ पर), $1.17$ ($n = 10$ पर), $1.015$ ($n = 100$ पर)। **21.** बड़ी क्वांटम संख्याओं की सीमा में क्वांटम भविष्यवाणियों को चिरसम्मत भविष्यवाणियों में मिल जाना चाहिए — यहाँ विकिरित आवृत्ति को कक्षीय आवृत्ति में। **22.** $n = 0$ का अर्थ है $p_\varphi = 0$: शून्य त्रिज्या की “वृत्ताकार कक्षा”, अर्थात् इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन पर — ऐसी कोई गति है ही नहीं। **23.** मापे गए हाइड्रोजन की मूल अवस्था का कोणीय संवेग *शून्य* है ($\hbar$ नहीं), और समान $n$ बाँटती कई भिन्न अवस्थाएँ हैं (रसायन के $s$, $p$, $d$ आकार) — किसी एक वृत्ताकार कक्षा के लिए दोनों असंभव हैं। **24.** $a_0 \propto 1/m$: $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (एक्स-किरणें)। म्युऑन दो सौ गुना अधिक पास परिक्रमा करता है — भारी तत्वों में आंशिक रूप से नाभिकीय आवेश के *भीतर* — अतः उसके स्तर नाभिकीय त्रिज्याएँ नापते हैं (और उन्होंने प्रोटॉन के आकार की आधुनिक पहेली को तीखा कर दिया)। **25.** $nh$ के बराबर रखा गया एक [रुद्धोष्म निश्चर](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) $a_0 =
52.9\,\mathrm{pm}$, $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$, $R_H =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ दे देता है — वे संख्याएँ जिन्हें [अध्याय 11](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/11-the-hydrogen-atom#ch-b3-hydrogen-atom) का पूरा क्वांटम सिद्धांत अपरिवर्तित रखेगा, यद्यपि उन्हें उत्पन्न करने वाली कक्षाओं का स्थान ले लेगा।