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title: "प्रावस्था संक्रमण"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/21-phase-transitions
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# अध्याय 21 — प्रावस्था संक्रमण

पानी को एक अंश गरम कीजिए, कुछ खास नहीं होता — जब तक कि किसी एक तीखे ढंग से परिभाषित ताप पर वह द्रव स्वयं को चीरकर वाष्प न बना ले। लोहे को $1043\,\mathrm{K}$ से नीचे ठंडा कीजिए और, बिना किसी संघटन-परिवर्तन के, वह स्वतःस्फूर्त रूप से चुंबकित हो जाता है। किसी एक अणु या किसी एक चक्रण में इन क्रांतियों की कोई घोषणा नहीं होती: वे *सामूहिक* हैं — $10^{23}$ कर्ता, जिनमें से हर एक कुछ ही पड़ोसियों से अन्योन्यक्रिया करता है, और सब मिलकर अपने समाज की प्रावस्था एक ही साथ बदल डालते हैं। वर्ष 1 के खंड ने संक्रमणों की सूची बनाई थी; यह अध्याय पिछले पाँच अध्यायों के औज़ारों से उनकी क्रियाविधि समझाता है: मुक्त-ऊर्जा की होड़, [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order), सममिति का भंग, और वह चकित करने वाली खोज कि किसी [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) के पास सूक्ष्म ब्योरे मायने रखना बंद कर देते हैं — कोई चुंबक और कोई उबलता तरल एक ही [क्रांतिक चरघातांक](#prop-b3-phase-transitions-landau) साझा करते हैं। इस अध्याय के विचार आज प्रेशर कुकर से लेकर अतिचालकों तक और [अध्याय 26](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/26-particle-physics#ch-b3-particle-physics) के हिग्स क्षेत्र तक चलते हैं।

## 21.1 क्रम-प्राचल और मुक्त-ऊर्जा की होड़

**परिभाषा 21.1 (प्रावस्थाएँ और क्रम-प्राचल).**

कोई *प्रावस्था संक्रमण* किसी तंत्र की संतुलन-अवस्था का वह अ-चिकना परिवर्तन है, जो तब होता है जब कोई नियंत्रण-प्राचल ($T$, $P$, $B$) किसी सीमा को पार करे। उसका हिसाबी है *क्रम-प्राचल*: वह राशि जो अव्यवस्थित प्रावस्था में शून्य और व्यवस्थित में अशून्य होती है — किसी लौहचुंबक का चुंबकन $m$, किसी तरल का घनत्व-अंतर $\rho_{\text{द्र}} - \rho_{\text{गै}}$, या [अध्याय 19](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics) का संघनित अंश। संक्रमण दो तरह के होते हैं: *प्रथम-कोटि* (क्रम-प्राचल छलाँग लगाता है; गुप्त ऊष्मा; प्रावस्थाएँ साथ रहती हैं — उबलना, गलना) और *सतत* (क्रम-प्राचल शून्य से बढ़ता है; कोई गुप्त ऊष्मा नहीं; उन्मत्त उतार-चढ़ाव — क्यूरी बिंदु, [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw), अतितरल हीलियम)। जब व्यवस्थित अवस्था को तुल्य विकल्पों में से *चुनना* ही पड़े — किसी चुंबक के उत्तर को कहीं तो इशारा करना ही है — तब वह संक्रमण उस *सममिति को भंग* करता है, जिसका आधारभूत नियम आदर करते हैं: यही विषय, सबसे ऊँचे दाँव पर, हिग्स क्रियाविधि के साथ लौटेगा। हर स्थिति के पीछे का इंजन [मुक्त ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) $F = E - TS$ है ([प्रतिज्ञप्ति 17.2](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine)): ऊर्जा व्यवस्था चाहती है, एन्ट्रॉपी अव्यवस्था, और $T$ विनिमय-दर तय करता है — प्रावस्था-सीमाएँ वहीं हैं जहाँ बहीखाता बराबर बैठ जाए।

## 21.2 द्रव–गैस संक्रमण: फ़ान डेर वाल्स

**प्रतिज्ञप्ति 21.2 (फ़ान डेर वाल्स के समतापी).**

वर्ष 1 के खंड का वास्तविक-गैस समीकरण,

$$
\Big(P + \frac{aN^2}{V^2}\Big)(V - Nb) = Nk_{\text{B}}T ,
$$

आकर्षण ($a$) और कठोर क्रोड ($b$) को समेटे है। किसी क्रांतिक ताप $T_{\text{c}} = 8a/27bk_{\text{B}}$ के ऊपर उसके समतापी एकदिष्ट हैं: एक ही तरल प्रावस्था। उसके नीचे उनमें एक फंदा उभर आता है, जिसमें एक यांत्रिक रूप से *अस्थायी* खंड होता है ($\partial P/\partial V >
0$): वहाँ तरल सह-अस्तित्व वाले द्रव और गैस में बँट जाता है, और वह भी उस दाब पर जो रासायनिक विभवों की समता तय करती है (मैक्सवेल का समान-क्षेत्रफल नियम)। सह-अस्तित्व का क्षेत्र [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) ($P_{\text{c}}, V_{\text{c}}, T_{\text{c}}$) पर बंद होता है, जहाँ द्रव और गैस *अभेद्य* हो जाते हैं: उसके पास पहुँचने पर घनत्व-अंतर लुप्त होता है, संपीड्यता अपसरित होती है, और घनत्व के उतार-चढ़ाव प्रकाशिक आकार तक बढ़ जाते हैं — [समस्या 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1) वाली क्रांतिक दुग्धाभा।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![अपचित इकाइयों में फ़ान डेर वाल्स समतापी। T_ c के ऊपर: एक ही तरल। नीचे: फंदे का अस्थायी मध्य भाग बिंदुदार गुंबद के भीतर सपाट दो-प्रावस्था सह-अस्तित्व से बदल जाता है। गुंबद की चोटी पर द्रव और गैस मिल जाते हैं — वही क्रांतिक बिंदु, जहाँ उतार-चढ़ाव तरल को दूधिया कर देते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/fig-0e2a1f143170.svg)

*अपचित इकाइयों में फ़ान डेर वाल्स समतापी। $T_{\text{c}}$ के ऊपर: एक ही तरल। नीचे: फंदे का अस्थायी मध्य भाग बिंदुदार गुंबद के भीतर सपाट दो-प्रावस्था सह-अस्तित्व से बदल जाता है। गुंबद की चोटी पर द्रव और गैस मिल जाते हैं — वही [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw), जहाँ उतार-चढ़ाव तरल को दूधिया कर देते हैं।*

**प्रतिज्ञप्ति 21.3 (क्लॉसियस–क्लापेरों).**

किसी भी प्रथम-कोटि सह-अस्तित्व रेखा पर दोनों ओर रासायनिक विभवों की समता ([परिभाषा 18.2](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#def-b3-grand-canonical-mu)) उस रेखा की ढाल को यह बना देती है

$$
\frac{\dd P}{\dd T} = \frac{L}{T\,\Delta v} ,
$$

जहाँ $L$ गुप्त ऊष्मा है और $\Delta v$ प्रति कण आयतन-परिवर्तन (या प्रति किलोग्राम, संगति के साथ)। सह-अस्तित्व रेखाओं के बारे में सब कुछ इसी एक सूत्र में है: पानी की उबलने वाली रेखा $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ के पास $\approx3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ की दर से चढ़ती है (प्रेशर कुकर, ऊँचाई पर पकाना — [समस्या 21.1](#pb-b3-phase-transitions-1)); और पानी की *गलन* रेखा पीछे की ओर झुकती है ($\Delta v < 0$: बर्फ़ तैरती है), अतः दाब बर्फ़ पिघला देता है — पदार्थों में एक दुर्लभ बात, जिसके परिणाम हिमनदों से लेकर स्केटिंग के मैदानों तक हैं।

**उपपत्ति.** उस रेखा पर $\mu_1(T, P) = \mu_2(T, P)$; अब उसके अनुदिश चलिए: $-s_1\dd T + v_1\dd P = -s_2\dd T + v_2\dd P$ (प्रति कण, और $\dd\mu = -s\,\dd T + v\,\dd P$ का उपयोग करके)। $\dd P/\dd T$ के लिए हल कीजिए और $L = T(s_2 - s_1)$ काम में लीजिए। ∎

## 21.3 लौहचुंबक: माध्य-क्षेत्र सिद्धांत

**प्रमेय 21.4 (माध्य-क्षेत्र आइज़िंग संक्रमण).**

किसी चुंबक का प्रतिरूप किसी जालक पर चक्रणों $s_i = \pm1$ से बनाइए, जिनमें पड़ोसी विनिमय ऊर्जा $-J\,s_is_j$ से युग्मित हों ([अभ्यास 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-12)), और हर चक्रण के $q$ पड़ोसी हों। हर चक्रण के पड़ोसियों को उनके औसत $m =
\langle s\rangle$ से बदल दीजिए (यही *माध्य-क्षेत्र* सन्निकटन है): तब कोई चक्रण प्रभावी क्षेत्र $qJm$ में बैठता है, और [अभ्यास 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-11) स्व-संगति की शर्त दे देता है

$$
m = \tanh\!\Big(\frac{T_{\text{c}}}{T}\,m\Big) , \qquad
k_{\text{B}}T_{\text{c}} = qJ .
$$

$T_{\text{c}}$ के ऊपर एकमात्र हल $m = 0$ है; उसके नीचे दो सममित हल $\pm m(T)$ प्रकट होते हैं और वही स्थायी होते हैं: चुंबक को चुंबकित होना *ही पड़ता* है, और वह दिशा यादृच्छिक ढंग से चुनता है — अर्थात् स्वतःस्फूर्त [सममिति-भंग](#def-b3-phase-transitions-order)। $T_{\text{c}}$ के पास $m \propto
(T_{\text{c}} - T)^{1/2}$, और उसके ऊपर प्रवृत्ति क्यूरी–वाइस नियम $\chi \propto 1/(T - T_{\text{c}})$ मानती है: संक्रमण पर अपसारी — अर्थात् असीम रूप से आज्ञाकारी चुंबक।

**आंशिक उपपत्ति.** क्षेत्र $B_{\text{प्र}} = qJm/\mu$ में बैठे किसी चक्रण का $\langle s\rangle =
\tanh(\beta qJm)$ होता है; और $\langle s\rangle = m$ माँगने पर कथित समीकरण मिलता है। आलेखीय रूप से: रेखा $y = m$ वक्र $y =
\tanh(T_{\text{c}}m/T)$ को केवल मूल बिंदु पर काटती है, जब वक्र की आरंभिक ढाल $T_{\text{c}}/T < 1$ हो, और $\pm m^* \neq 0$ पर भी, जब $T < T_{\text{c}}$ हो। $\tanh$ का प्रसार छोटे $m$ के लिए $m^2 = 3(1 - T/T_{\text{c}})$ देता है, यानी वही वर्गमूल-वृद्धि; और कोई छोटा लगाया गया क्षेत्र जोड़कर वैसा ही प्रसार करने पर क्यूरी–वाइस ([अभ्यास 21.6](#exo-b3-phase-transitions-6))। ∎

![बाएँ: स्व-संगति m = (T_ cm/T) — T_ c से नीचे वक्र की आरंभिक ढाल एक से अधिक हो जाती है और कोई अशून्य कटान m* मौजूद रहता है। दाएँ: उससे निकलता स्वतःस्फूर्त चुंबकन, जो क्यूरी बिंदु से नीचे वर्गमूल की तरह चढ़ता है और उसके ऊपर सर्वथा शून्य है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/fig-66de804bc33d.svg)

*बाएँ: स्व-संगति $m = \tanh(T_{\text{c}}m/T)$ — $T_{\text{c}}$ से नीचे वक्र की आरंभिक ढाल एक से अधिक हो जाती है और कोई अशून्य कटान $m^*$ मौजूद रहता है। दाएँ: उससे निकलता स्वतःस्फूर्त चुंबकन, जो क्यूरी बिंदु से नीचे वर्गमूल की तरह चढ़ता है और उसके ऊपर सर्वथा शून्य है।*

## 21.4 लांडाउ की दृष्टि और सार्वभौमिकता

**प्रतिज्ञप्ति 21.5 (लांडाउ सिद्धांत).**

किसी सतत संक्रमण के पास [मुक्त ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) को छोटे [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) में प्रसारित कीजिए, और केवल वही रखिए जिसकी सममिति अनुमति देती है (यहाँ $m \to -m$):

$$
F(m) = a\,(T - T_{\text{c}})\,m^2 + b\,m^4 , \qquad a, b > 0 .
$$

$T_{\text{c}}$ के ऊपर: $m = 0$ पर एक ही कूप। नीचे: मूल बिंदु चोटी बन जाता है और $m = \pm
\sqrt{a(T_{\text{c}} - T)/2b}$ पर दो सममित कूप प्रकट होते हैं — वही वर्गमूल, जो माध्य-क्षेत्र से मिला था, अब केवल सममिति से। इसीलिए बेहद भिन्न तंत्र अपने क्रांतिक बिंदुओं के पास एक जैसा बरतते हैं: *सार्वभौमिकता*। मापे गए चरघातांक (उदाहरण के लिए $m \propto |T -
T_{\text{c}}|^\beta$, जहाँ तरलों *और* एक-अक्षीय चुंबकों दोनों के लिए $\beta \approx 0.33$) माध्य-क्षेत्र वाले $1/2$ से भिन्न हैं, क्योंकि $T_{\text{c}}$ के पास उतार-चढ़ाव हर पैमाने पर कहर ढाते हैं — और उन्हें साधने वाले पुनर्प्रसामान्यन समूह (विल्सन, नोबेल 1982) ने दिखाया कि चरघातांक केवल विमीयता और सममिति तय करती हैं, सूक्ष्म ब्योरे कभी नहीं। दोहरे-कूप वाले चित्र का अपना करियर चुंबकों से आगे भी है: [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) को समष्टि भरते किसी क्षेत्र की भूमिका दे दीजिए, और उसका [सममिति-भंग](#def-b3-phase-transitions-order) करता कूप ही हिग्स क्रियाविधि है ([अध्याय 26](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/26-particle-physics#ch-b3-particle-physics))।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![लांडाउ की मुक्त ऊर्जा: T_ c से होकर ठंडा होना एक कूप को दो में बदल देता है। तंत्र को उनमें से किसी एक में लुढ़कना ही पड़ता है — सममिति से तुल्य, पर वास्तव में भिन्न: स्वतःस्फूर्त सममिति-भंग, चुंबकों से लेकर हिग्स क्षेत्र तक।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/fig-0e45f2eae393.svg)

*लांडाउ की [मुक्त ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine): $T_{\text{c}}$ से होकर ठंडा होना एक कूप को दो में बदल देता है। तंत्र को उनमें से किसी एक में लुढ़कना ही पड़ता है — सममिति से तुल्य, पर वास्तव में भिन्न: स्वतःस्फूर्त [सममिति-भंग](#def-b3-phase-transitions-order), चुंबकों से लेकर हिग्स क्षेत्र तक।*

**विधि 21.6 (किसी संक्रमण को पढ़ना).**

(1) [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) पहचानिए और यह भी कि वह छलाँग लगाता है (प्रथम-कोटि: गुप्त ऊष्मा, सह-अस्तित्व, शैथिल्य, नाभिकन) या सतत रूप से बढ़ता है ([क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw): अपसरण, दुग्धाभा, सार्वभौमिकता)। (2) प्रथम-कोटि रेखाएँ: ढाल के लिए क्लॉसियस–क्लापेरों; सह-अस्तित्व के लिए $\mu$-समता। (3) सतत: पहले माध्य-क्षेत्र ($\tanh$ या लांडाउ) से प्रावस्था-आरेख की आकृति; उसकी *सांस्थिति* पर भरोसा कीजिए, उसके चरघातांकों पर नहीं। (4) $T_{\text{c}}$ से नीचे वह चुनाव याद रखिए: भंग हुई सममिति का अर्थ है प्रांत, दोष और इतिहास-निर्भरता। (5) आकलन: $k_{\text{B}}T_{\text{c}} \sim$ (प्रति पड़ोसी युग्मन) $\times$ (पड़ोसियों की संख्या)।

![क्रॉस किए गए ध्रुवकों के बीच कोई द्रव क्रिस्टल: एक क्रम-प्राचल (आणविक अक्ष) उन दोषों के बीच घूमता हुआ, जहाँ ब्रुशें मिलती हैं। द्रव और ठोस के बीच पदार्थ की प्रावस्थाएँ — और अधिकांश परदों का कार्यकारी पदार्थ।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/img-3207d5a25729.jpg)

*क्रॉस किए गए ध्रुवकों के बीच कोई द्रव क्रिस्टल: एक [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) (आणविक अक्ष) उन दोषों के बीच घूमता हुआ, जहाँ ब्रुशें मिलती हैं। द्रव और ठोस के बीच पदार्थ की प्रावस्थाएँ — और अधिकांश परदों का कार्यकारी पदार्थ।*

## 21.5 अभ्यास

**अभ्यास 21.1 ★.**

वर्गीकृत कीजिए (प्रथम-कोटि या सतत), और [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) तथा भंग हुई सममिति, यदि कोई हो, बताइए: (क) $1\,\mathrm{atm}$ पर उबलना; (ख) क्यूरी बिंदु; (ग) अतितरल $\lambda$ बिंदु; (घ) *ठीक* [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) पर उबलना।

**हल — अभ्यास 21.1.**

(क) प्रथम-कोटि: घनत्व छलाँग लगाता है, गुप्त ऊष्मा बहती है; और द्रव तथा गैस के बीच कोई सममिति भिन्न नहीं है — इसीलिए उनकी रेखा *समाप्त* हो सकती है। (ख) सतत; [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) $m$; और ऊपर–नीचे (तथा घूर्णी) सममिति भंग होती है। (ग) सतत; संघनित का स्थूल तरंग फलन (एक कला-कोण भंग होता है)। (घ) सतत: [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) पर वह छलाँग सिकुड़कर शून्य हो चुकी है — वही एक उबलना, जिसमें कोई गुप्त ऊष्मा नहीं।

**अभ्यास 21.2 ★.**

गुप्त ऊष्माएँ, एन्ट्रॉपी के रूप में। (क) पानी: $373\,\mathrm{K}$ पर $L_{\text{वा}} =
2.26 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: प्रति अणु $\Delta S$ को $k_{\text{B}}$ की इकाइयों में निकालिए। (ख) वही गलन के लिए ($273\,\mathrm{K}$ पर $L_{\text{गल}} = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$)। (ग) अधिकांश द्रव $\Delta S \approx 10$–$11\,k_{\text{B}}$ के साथ वाष्पित होते हैं (ट्राउटन का नियम): वह संख्या मोटे तौर पर क्या गिनती है (किस आयतन-अनुपात का $\ln$)? (घ) गलन की एन्ट्रॉपी-छलाँग उबलने वाली से इतनी छोटी क्यों है?

**हल — अभ्यास 21.2.**

(क) प्रति अणु $Lm_{\text{w}}/Tk_{\text{B}} = 13\,k_{\text{B}}$। (ख) $2.7\,k_{\text{B}}$। (ग) मोटे तौर पर प्रति अणु हज़ार गुने आयतन-लाभ का $k_{\text{B}}\ln$ ($\ln1000 \approx 7$) और साथ में मुक्त हुए अभिविन्यास: यही ट्राउटन का लगभग-सार्वभौमिक दस-सा है। (घ) गलन अभिविन्यास और स्थिति को बहुत थोड़ा ही मुक्त करता है — अणु ठँसे ही रहते हैं; बड़ी एन्ट्रॉपी-खरीद तो वाष्प का आयतन है।

**अभ्यास 21.3 ★.**

फ़ान डेर वाल्स के क्रांतिक नियतांक ($V_{\text{c}} = 3Nb$, $k_{\text{B}}T_{\text{c}} = 8a/27b$, $P_{\text{c}} = a/27b^2$ — मान लीजिए)। (क) दिखाइए कि $P_{\text{c}}V_{\text{c}}/Nk_{\text{B}}T_{\text{
c}} = 3/8$, जो इस प्रतिरूप की एक सार्वभौमिक संख्या है; और मापे गए मान $0.29$ के पास गुच्छित हैं — टिप्पणी कीजिए। (ख) CO$_2$ के लिए ($T_{\text{c}} = 304\,\mathrm{K}$, $P_{\text{c}} = 73.8\,\mathrm{bar}$): $a$ और $b$ निकालिए। (ग) $b$ से आणविक व्यास आकलिए। (घ) कमरे के ताप पर CO$_2$ दाब के नीचे द्रवित हो जाती है, जबकि कमरे के ताप की N$_2$ ($T_{\text{c}} =
126\,\mathrm{K}$) कभी नहीं — क्यों?

**हल — अभ्यास 21.3.**

(क) पदार्थ चाहे जो हो, $3/8$ — यही प्रतिरूप का संगत अवस्थाओं वाला नियम है; और असली तरलों का $0.29$ दिखाता है कि [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) के पास, जहाँ सहसंबंध राज करते हैं, फ़ान डेर वाल्स एक व्यंग्यचित्र है। (ख) $b =
k_{\text{B}}T_{\text{c}}/8P_{\text{c}} = 7.1 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$; $a =
27b^2P_{\text{c}} = 1.0 \times 10^{-48}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{3}$। (ग) $b^{1/3} \approx
0.41\,\mathrm{nm}$ — अर्थात् आणविक आकार, किसी भाप-सारणी से निकाला हुआ। (घ) केवल दाब से द्रवण के लिए $T <
T_{\text{c}}$ चाहिए: कमरे के ताप पर CO$_2$ के लिए सच, और N$_2$ के लिए झूठ — इसीलिए CO$_2$ के सिलेंडरों में द्रव होता है, और नाइट्रोजन के सिलेंडरों में केवल संपीडित गैस।

**अभ्यास 21.4 ★.**

[क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order), झटपट: एक-एक बताइए (क) किसी लौहचुंबक के लिए; (ख) द्रव–गैस संक्रमण के लिए; (ग) [बोस–आइंस्टाइन संघनन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/19-quantum-statistics#thm-b3-quantum-statistics-bec) के लिए; (घ) किसी प्रति-लौहचुंबक के लिए (दो उप-जालक — कौन-सी राशि क्रमित होती है, जबकि कुल चुंबकन शून्य ही रहता है?)।

**हल — अभ्यास 21.4.**

(क) $m$। (ख) $\rho_{\text{द्र}} - \rho_{\text{गै}}$। (ग) संघनित का आयाम $\psi_0$ (अपनी कला के साथ)। (घ) *प्रत्यावर्ती* चुंबकन — अर्थात् दोनों उप-जालकों के आघूर्णों का अंतर।

**अभ्यास 21.5 ★★.**

माध्य-क्षेत्र, हाथ से। (क) $m = \tanh(\beta qJm)$ व्युत्पन्न कीजिए, अपने $q$ पड़ोसियों के औसत क्षेत्र में बैठे किसी चक्रण से। (ख) दिखाइए कि कोई अशून्य हल ठीक तभी है जब $T < qJ/k_{\text{B}}$। (ग) तीसरी कोटि तक प्रसार कीजिए और $m(T) \approx \sqrt{3(1 -
T/T_{\text{c}})}$ व्युत्पन्न कीजिए। (घ) लोहा: $T_{\text{c}} = 1043\,\mathrm{K}$, $q =
8$: $J$ को eV में निकालिए और [अभ्यास 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-12) के विनिमय-पैमाने से जाँचिए।

**हल — अभ्यास 21.5.**

(क) $B_{\text{प्र}} \propto qJm$ में एक चक्रण: $\langle s\rangle =
\tanh(\beta qJm)$; और स्व-संगति फंदा बंद कर देती है। (ख) कोई अशून्य कटान तभी है जब आरंभिक ढाल $\beta qJ > 1$ हो। (ग) $m =
\beta qJm - \tfrac13(\beta qJm)^3$ देता है $m^2 = 3(1 -
T/T_{\text{c}})$, $T_{\text{c}}$ के पास। (घ) प्रति बंध $J =
k_{\text{B}}T_{\text{c}}/q \approx 11\,\mathrm{meV}$ — अर्थात् [अभ्यास 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-12) वाला इलेक्ट्रॉन-वोल्ट-श्रेणी का विनिमय, आठ पड़ोसियों में बँटा हुआ: स्थिरवैद्युतिकी, न कि चुंबकत्व, लोहे के क्यूरी बिंदु को हज़ार केल्विन तक चढ़ा देती है।

**अभ्यास 21.6 ★★.**

क्यूरी–वाइस। कोई छोटा क्षेत्र जोड़िए: $m = \tanh[\beta(qJm + \mu B)]$। (क) $T_{\text{c}}$ के ऊपर रैखिकीकरण कीजिए और $\chi = \partial
m/\partial B \propto 1/(T - T_{\text{c}})$ व्युत्पन्न कीजिए। (ख) मुक्त-चक्रण वाले क्यूरी नियम से तुलिए: हर स्थिति में $1/\chi$ को $T$ के सामने आलेखित करने पर क्या मिलता है, और अंतःखंड लौहचुंबकीय युग्मन की पहचान कैसे करता है? (ग) निकल की $1/\chi$ रेखा $631\,\mathrm{K}$ पर शून्य छूती है: व्याख्या कीजिए। (घ) किसी प्रति-लौहचुंबक के लिए अंतःखंड *ऋणात्मक* होता है: वह $J$ के कौन-से चिह्न की चुगली करता है?

**हल — अभ्यास 21.6.**

(क) रैखिकीकरण करने पर $m = \beta(qJm + \mu B)$: $\chi =
\mu\beta/(1 - T_{\text{c}}/T) \propto 1/(T - T_{\text{c}})$। (ख) दोनों सीधी $1/\chi$ रेखाएँ देते हैं; मुक्त-चक्रण वाली रेखा मूल बिंदु से गुज़रती है, और लौहचुंबक वाली अक्ष को $+T_{\text{c}}$ पर काटती है: वह अंतःखंड *ही* युग्मन की पहचान है। (ग) निकल $631\,\mathrm{K}$ पर क्रमित होता है: उसकी उच्च-ताप प्रवृत्ति पहले ही उस क्यूरी बिंदु की घोषणा कर देती है, जिस तक वह पहुँचेगा। (घ) ऋणात्मक अंतःखंड का अर्थ है $J < 0$: पड़ोसी प्रति-संरेखण पसंद करते हैं — यानी प्रतीक्षारत कोई प्रति-लौहचुंबक।

**अभ्यास 21.7 ★★.**

क्लॉसियस–क्लापेरों काम पर। (क) $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर पानी ($\Delta v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$): $\dd P/\dd T$ निकालिए। (ख) $\dd\ln P/\dd T = Lm_{\text{w}}/k_{\text{B}}T^2$ का उपयोग करके $P = 0.7\,\mathrm{atm}$ (किसी $3000\,\mathrm{m}$ की चोटी) पर उबलने का ताप आकलिए। (ग) गलन: $\Delta v = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ और $L = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ के साथ $\dd T/\dd P$ निकालिए, और वह दाब भी जो बर्फ़ का गलनांक $5\,\mathrm{K}$ नीचे लाए। (घ) $30\,\mathrm{mm}^{2}$ के फलक पर कोई $70\,\mathrm{kg}$ का स्केटर: दाब और उससे होता गलनांक-खिसकाव — क्या दाब-गलन स्केटिंग समझा देता है? (क्या समझाता है: घर्षण और सतही पूर्व-गलन।)

**हल — अभ्यास 21.7.**

(क) $\dd P/\dd T = L/T\Delta v = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$। (ख) $\ln(0.7) = -4900(1/T - 1/373)$: $T \approx 363\,\mathrm{K} =
90\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। (ग) $\dd T/\dd P = T\Delta v/L =
-7.4 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa}$: पाँच केल्विन के लिए $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ चाहिए — यानी लगभग सात सौ वायुमंडल। (घ) स्केटर का $\sim2 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ केवल $-1.7$ K खरीदता है: किसी ठंडे मैदान पर दाब-गलन विफल हो जाता है; और चिकनी फ़िल्म घर्षण से हुए तापन तथा बर्फ़ की अपनी पूर्व-गली सतही परत से बनती है।

**अभ्यास 21.8 ★★.**

लांडाउ की गणनाएँ। (क) $F = a(T - T_{\text{c}})m^2 +
bm^4$ को $T_{\text{c}}$ से नीचे न्यूनतम कीजिए। (ख) न्यूनतम पर $F$ निकालिए और दिखाइए कि संक्रमण पर ऊष्माधारिता में एक परिमित *छलाँग* $\Delta C =
a^2T_{\text{c}}/2b$ है। (ग) $C(T)$ का रेखाचित्र बनाइए: माध्य-क्षेत्र की सीढ़ी बनाम हीलियम के $\lambda$ बिंदु का मापा गया लगभग-लघुगणकीय शिखर — असली उतार-चढ़ाव उसमें क्या जोड़ते हैं? (घ) कोई क्षेत्र-पद $-hm$ जोड़िए: दिखाइए कि संक्रमण गोल पड़ जाता है — सममिति को भंग होने के लिए यथार्थ होना ही चाहिए।

**हल — अभ्यास 21.8.**

(क) $m^2 = a(T_{\text{c}} - T)/2b$। (ख) $F_{\min} =
-a^2(T_{\text{c}} - T)^2/4b$: $C = -T\partial^2F/\partial T^2$ संक्रमण पर $a^2T_{\text{c}}/2b$ जितनी छलाँग लगाता है। (ग) माध्य-क्षेत्र: एक स्वच्छ सीढ़ी; जबकि हीलियम का मापा गया $\lambda$-आकार का, लगभग-लघुगणकीय शिखर वही उतार-चढ़ाव हैं जिन्हें लांडाउ अनदेखा करता है — और उसी आकृति ने उस संक्रमण को नाम दिया। (घ) $-hm$ के साथ सममिति पहले से भंग है: $m$ कभी ठीक शून्य नहीं होता और हर विचित्रता गोल पड़ जाती है — स्वतःस्फूर्त भंग को एक निष्पक्ष चुनाव चाहिए।

**अभ्यास 21.9 ★★.**

नाभिकन। किसी अतिसंतृप्त वाष्प में त्रिज्या $r$ की कोई बूँद पिंडीय [मुक्त ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) $-\tfrac43\pi r^3\,n\,\delta\mu$ कमाती है पर पृष्ठ तनाव $4\pi r^2\sigma$ चुकाती है। (क) दिखाइए कि रोधिका $r^* = 2\sigma/n\,\delta\mu$ पर शिखर बनाती है। (ख) समझाइए: स्वच्छ अतिसंतृप्त वाष्प और अतितप्त द्रव क्यों बने रहते हैं (अर्धस्थायित्व), और धूल, आयन तथा खरोंचें क्या दे देती हैं? (ग) मेघ-कक्ष ([अध्याय 26](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/26-particle-physics#ch-b3-particle-physics) के पूर्वज संसूचक) और बुलबुला-कक्ष इसी भौतिकी *पर* चलते हैं: गुज़रते कण की आयन-पगडंडी क्या भूमिका निभाती है? (घ) प्रयोगशाला के फ़्लास्कों में “उबाल-कंकड़” क्यों डाले जाते हैं?

**हल — अभ्यास 21.9.**

(क) $\dd/\dd r$ लीजिए: $4\pi r^2\sigma - \tfrac43\pi r^3n\delta\mu = 0$ $r^* = 2\sigma/n\delta\mu$ पर। (ख) छोटे भ्रूण सिकुड़ जाते हैं (पृष्ठ जीतता है): कोई स्वच्छ प्रावस्था अर्धस्थायी रूप से तब तक ठहर सकती है जब तक कोई उतार-चढ़ाव रोधिका पार न कर ले; और धूल, आयन तथा खरोंचें बनी-बनाई सतहें देकर उसे घटा देती हैं। (ग) आयन-पगडंडी कण के पथ के अनुदिश बूँदें (मेघ-कक्ष) या बुलबुले (बुलबुला-कक्ष) बो देती है: वह पगडंडी उत्प्रेरित नाभिकन की एक रेखा *ही* है। (घ) उनके छिद्र पहले से बुलबुले बो देते हैं, जिससे अतितापन और बिना बोए फ़्लास्क की प्रचंड “उछाल” रुक जाती है।

**अभ्यास 21.10 ★★★.**

एक विमा में कोई संक्रमण नहीं। एक-विमीय आइज़िंग शृंखला लीजिए, जिसमें $N$ चक्रण सब ऊपर हों, और एक “प्रांत-दीवार” डालिए (किसी बंध के आगे सारे चक्रण पलट दिए गए)। (क) उस दीवार की ऊर्जा-लागत: $2J$, जो स्थिति से स्वतंत्र है। (ख) एन्ट्रॉपी का लाभ: वह दीवार $\sim N$ बंधों में से किसी पर भी बैठ सकती है — $\Delta S = k_{\text{B}}\ln N$। (ग) दिखाइए कि $\Delta F = 2J - k_{\text{B}}T\ln N < 0$ किसी भी $T > 0$ के लिए, बड़े $N$ पर: दीवारें सदा फैलती जाती हैं, और दीर्घ-परास क्रम असंभव है — अर्थात् एक-विमीय [आइज़िंग प्रतिरूप](#thm-b3-phase-transitions-meanfield) का $T_{\text{c}} = 0$ है। (घ) दो विमाओं में कोई दीवार लंबाई $\ell$ की एक रेखा है, जिसकी लागत $2J\ell$ है पर जिसके $\sim3^\ell$ आकार हैं: आकलन दोहराइए और दिखाइए कि किसी परिमित $T_{\text{c}}$ से नीचे क्रम *बचा रहता* है — यही पाइर्ल्स का तर्क है, जो ओन्सागर के यथार्थ $2.269\,J/k_{\text{B}}$ के पीछे है।

**हल — अभ्यास 21.10.**

(क) केवल वह एक टूटा बंध: $2J$, चाहे वह कहीं भी बैठे। (ख) $k_{\text{B}}\ln N$ स्थान। (ग) $\Delta F = 2J -
k_{\text{B}}T\ln N \to -\infty$: किसी भी धनात्मक ताप पर दीवारें घुस आती हैं और क्रम मर जाता है — $T_{\text{c}}(1\text{D}) = 0$। (घ) लंबाई-$\ell$ वाली किसी दीवार की लागत $2J\ell$ है, जबकि एन्ट्रॉपी $\sim k_{\text{B}}\ell\ln3$: अतः $T < 2J/k_{\text{B}}\ln3 \approx
1.8\,J/k_{\text{B}}$ के लिए लंबी दीवारें दब जाती हैं और क्रम बचा रहता है — ओन्सागर के यथार्थ $2.27\,J/k_{\text{B}}$ के बगल में सही परिमाण।

**अभ्यास 21.11 ★★★.**

सार्वभौमिकता की जाँच। माध्य-क्षेत्र $\beta = 1/2$, $\gamma
= 1$ ($\chi \sim |t|^{-\gamma}$), $\delta = 3$ ($m \sim h^{1/3}$, $T_{\text{c}}$ पर) की भविष्यवाणी करता है। जबकि द्रव–गैस [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) *और* त्रिविमीय एक-अक्षीय चुंबक, दोनों के लिए मापा गया: $\beta
\approx 0.326$, $\gamma \approx 1.237$, $\delta \approx 4.79$। (क) किसी तरल की किसी चुंबक से तुलना करना उचित ही क्यों है (उनके [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) क्या साझा करते हैं — एक ही चिह्न-चुनाव)? (ख) माध्य-क्षेत्र $T_{\text{c}}$ के पास विफल क्यों होता है (क्या अपसरित होता है, जिससे उतार-चढ़ावों की उपेक्षा अवैध हो जाती है)? (ग) ऊँची विमाओं में वह *कम* विफल क्यों होता है (पड़ोसियों की संख्या बनाम उतार-चढ़ाव की पहुँच; चार विमाओं के ऊपर माध्य-क्षेत्र यथार्थ हो जाता है)? (घ) दो वाक्यों में पुनर्प्रसामान्यन समूह का सार बताइए: पैमाने-दर-पैमाने किसका औसत लिया जा रहा है, और उस औसत से केवल सममिति और विमा ही क्यों बचती हैं।

**हल — अभ्यास 21.11.**

(क) दोनों [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) एक-एक वास्तविक संख्या हैं, जो कोई चिह्न चुनती है (ऊपर/नीचे; क्रांतिक घनत्व के परितः द्रव/गैस): यानी वही सममिति-वर्ग। (ख) सहसंबंध-लंबाई अपसरित हो जाती है: हर चक्रण का “माध्य क्षेत्र” ठीक उतना ही डगमगाता है जितना वह स्वयं, और पड़ोसियों को औसतों से बदलना असंभव हो जाता है। (ग) अधिक पड़ोसी बेहतर औसत देते हैं; चार विमाओं के ऊपर उतार-चढ़ावों की पहुँच औसतन सुधार से धीमी बढ़ती है, और माध्य-क्षेत्र यथार्थ हो जाता है। (घ) पुनर्प्रसामान्यन समूह सबसे छोटे पैमानों का औसत बार-बार निकालता जाता है, और एक ही सममिति तथा विमा के हर सूक्ष्म प्रतिरूप को एक ही [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) तक बहा ले जाता है; चरघातांक उसी [स्थिर बिंदु](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) के गुण हैं — और इसीलिए भाप तथा चुंबक दशमलव तक साझा करते हैं।

**अभ्यास 21.12 ★★★.**

चुंबकों से हिग्स तक। [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) को किसी क्षेत्र $\phi(\vect r)$ तक पदोन्नत कीजिए, जिसका लांडाउ ऊर्जा घनत्व $\alpha(T -
T_{\text{c}})\phi^2 + b\phi^4$ हो, साथ में एक प्रवणता-पद। (क) $T_{\text{c}}$ से नीचे वह क्षेत्र $\pm\phi_0$ पर बैठता है: कूप के *अनुदिश* छोटे दोलनों में एक प्रत्यानयन वक्रता होती है — $F''(\phi_0)$ निकालिए और क्षेत्र की भाषा में उसकी व्याख्या किसी *द्रव्यमान* के रूप में कीजिए। (ख) किसी *सम्मिश्र* [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) के लिए (न्यूनतमों का एक वृत्त — “मेक्सिकन टोप”), किनारे के *चारों ओर* के दोलनों की कोई स्थितिज ऊर्जा नहीं लगती: यानी एक द्रव्यमानहीन मोड — उसके संघनित-पदार्थ समरूपों के नाम लीजिए (चक्रण-तरंगें, अतितरल फ़ोनॉन)। (ग) विद्युत्दुर्बल सिद्धांत में स्वयं निर्वात ऐसे ही [सममिति-भंग](#def-b3-phase-transitions-order) वाले कूप में बैठा है; कण उस क्षेत्र के अशून्य मान से द्रव्यमान पाते हैं, और त्रिज्य दोलन *ही* हिग्स बोसॉन है: हर अवयव को (क)–(ख) पर मानचित्रित कीजिए। (घ) एक वाक्य में: यहाँ संघनित-पदार्थ भौतिकी ने कण भौतिकी को क्या सिखाया (ऐंडरसन के ज़रिए [सममिति-भंग](#def-b3-phase-transitions-order) का निर्यात)?

**हल — अभ्यास 21.12.**

(क) $\phi_0^2 = \alpha(T_{\text{c}} - T)/2b$ के साथ: $F''(\phi_0) =
4\alpha(T_{\text{c}} - T) > 0$ — त्रिज्य दिशा के अनुदिश दोलनों में एक कड़ाई होती है, अर्थात् (क्षेत्र की भाषा में) एक द्रव्यमान, जो कूप के गहराते जाने के साथ बढ़ता है। (ख) किसी वृत्ताकार किनारे के चारों ओर विभव सपाट है: यानी शून्य-कड़ाई वाला, द्रव्यमानहीन मोड — वही गोल्डस्टोन मोड, जो चुंबकों में चक्रण-तरंगों और अतितरलों में फ़ोनॉनों के रूप में साकार होते हैं। (ग) निर्वात का $\phi_0 \neq 0$ ही वह संघनित है; कणों के द्रव्यमान $\phi_0$ से युग्मन हैं; और त्रिज्य दोलन हिग्स बोसॉन है, जो $125\,\mathrm{GeV}$ पर मिला। (घ) कि भंग हुई सममिति, संघनित तथा द्रव्यमानी/द्रव्यमानहीन मोड पहले प्रयोगशाला की आम बातें थीं: कण भौतिकी ने एक ठोस-अवस्था वाला विचार आयात किया।

![भाप छोड़ता एक प्रेशर कुकर: भीतर के दो वायुमंडल द्रव–वाष्प सह-अस्तित्व रेखा को 121\, C तक खिसका देते हैं — क्लॉसियस और क्लापेरों, रात का खाना तेज़ी से पकाते हुए।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/img-e2092620232b.jpg)

*भाप छोड़ता एक प्रेशर कुकर: भीतर के दो वायुमंडल द्रव–वाष्प सह-अस्तित्व रेखा को $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक खिसका देते हैं — क्लॉसियस और क्लापेरों, रात का खाना तेज़ी से पकाते हुए।*

## 21.6 समस्या: रसोई का प्रावस्था-आरेख

**समस्या 21.1.**

सप्ताहांत समस्या — प्रेशर कुकर, पहाड़ी चाय, और उबलने का अंत

पानी का प्रावस्था-आरेख हर चूल्हे के ऊपर टँगा रहता है, बिना ध्यान खींचे। यह समस्या क्लॉसियस–क्लापेरों को हाथ में लेकर उसकी तीनों रेखाओं पर चलती है — प्रेशर कुकर पकाने का समय आधा क्यों कर देता है, से लेकर ऊँचाई पर चाय क्यों निराश करती है, और उस अजीब संसार तक जहाँ [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) के आगे उबलना ही समाप्त हो जाता है। आँकड़े: $L_{\text{वा}}
= 2.26 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, $L_{\text{गल}} = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$; $373\,\mathrm{K}$, $1\,\mathrm{atm}$ पर जल-वाष्प: $\Delta v_{\text{वा}}
= 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; गलन: $\Delta v = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; आणविक द्रव्यमान $m_{\text{w}} = 3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$; [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw): $T_{\text{c}} = 647\,\mathrm{K}$, $P_{\text{c}} = 221\,\mathrm{bar}$।

**भाग I — उबलने की रेखा।**

1. किसी दिए गए दाब पर “उबलना” किससे परिभाषित होता है (कौन-से दो [रासायनिक विभव](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#thm-b3-grand-canonical-distribution) बराबर होते हैं)?
2. $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर वाष्पन रेखा की ढाल $\dd P/\dd T$ निकालिए।
3. कोई प्रेशर कुकर $2\,\mathrm{atm}$ रखता है: ढाल को समाकलित कीजिए (या चरघातांकी रूप को $Lm_{\text{w}}/  k_{\text{B}} \approx 4900\,\mathrm{K}$ के साथ काम में लीजिए) और उसके उबलने का ताप खोजिए।
4. [अभ्यास 17.9](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/17-the-canonical-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-9) के आरेनियस-रसोई नियम (हर $10\,\mathrm{K}$ पर दर दुगनी) के साथ खुले बर्तन में पकाने की तुलना में तेज़ी का आकलन कीजिए।
5. ला पाज़ में ( $3600\,\mathrm{m}$ , $P \approx 0.65\,\mathrm{atm}$ ): उबलने का ताप, और चाय क्यों खराब बनती है।
6. नमक डालने से क्वथनांक क्यों चढ़ जाता है (विलेय किसका $\mu$ घटाता है — [अभ्यास 18.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-8) याद कीजिए)?

**भाग II — गलन की रेखा।**

7. गलन के लिए $\dd T/\dd P$ निकालिए और उसका चिह्न देखिए।
8. रोज़ का कौन-सा प्रेक्षण $\Delta v < 0$ को समेटे है (आपके गिलास में बर्फ़ क्या करती है), और वह विषमता पदार्थों में इतनी दुर्लभ क्यों है?
9. $300\,\mathrm{m}$ मोटा कोई हिमनद: उसके तल पर दाब और गलनांक का अवनमन — क्या तली का दाब-गलन हिमनद के बहाव के लिए मायने रखता है?
10. [अभ्यास 21.7](#exo-b3-phase-transitions-7) (घ) के स्केटर पर फिर से लौटिए: फलक को वस्तुतः चिकना कौन बनाता है?
11. यदि बर्फ़ डूबती (धनात्मक ढाल, लगभग हर दूसरे ठोस की तरह), तो सर्दियाँ झीलों और उनकी मछलियों का क्या करतीं — परिणामों की शृंखला बताइए।
12. वह ऋणात्मक ढाल ऊँचे दाब पर समाप्त हो जाती है, जहाँ बर्फ़ के दूसरे क्रिस्टल-रूप कमान ले लेते हैं (बर्फ़ III, V, VI): एक ही सरल अणु की एक दर्जन बर्फ़ों का होना उसके मुक्त-ऊर्जा भूदृश्य के बारे में क्या कहता है?

**भाग III — रेखा का अंत।**

13. उबलने की रेखा ( $T_{\text{c}},  P_{\text{c}}$ ) पर समाप्त होती है: उस अंत के पास पहुँचने पर गुप्त ऊष्मा और घनत्व-अंतर का क्या होता है?
14. [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) के आगे पानी को “द्रव-सरीखे” से “गैस-सरीखे” तक बिना *किसी* संक्रमण के ले जाया जा सकता है: $(P, T)$ तल में उस पथ का वर्णन कीजिए।
15. [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) के पास पहुँचने पर तरल दूधिया हो जाता है: इस दुग्धाभा को [अभ्यास 16.12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#exo-b3-microcanonical-ensemble-12) और [समस्या 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1) से जोड़िए।
16. अतिक्रांतिक CO $_2$ ( $T_{\text{c}} = 304\,\mathrm{K}$ , $P_{\text{c}} = 74\,\mathrm{bar}$ ) द्रव की तरह घोलती है और गैस की तरह भीतर घुसती है: उस औद्योगिक उपयोग का नाम लीजिए जो कॉफ़ी से कैफ़ीन हटाता है, और यह भी कि वह विलायक कोई अवशेष क्यों नहीं छोड़ता।
17. अतिक्रांतिक पानी ( $221\,\mathrm{bar}$ से ऊपर बिजलीघरों के बॉयलरों में): उबलना — बुलबुले, फ़िल्में, जलना — मिटा देना बॉयलर अभियंताओं को क्यों भाता है?
18. गहरे समुद्र के तापजलीय छिद्र $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ का पानी उगलते हैं, जो उबलता नहीं: स्थानीय दाब ( $3\,\mathrm{km}$ पर $\sim300\,\mathrm{bar}$ ) और प्रावस्था-आरेख के सामने जाँचिए।

**भाग IV — पूरा नक्शा पढ़ना।**

19. शब्दों में पानी का $(P, T)$ आरेख खींचिए: तीनों रेखाएँ, त्रिक बिंदु ( $0.01\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $611\,\mathrm{Pa}$ ), और [क्रांतिक बिंदु](#prop-b3-phase-transitions-vdw) ।
20. $611\,\mathrm{Pa}$ से नीचे बर्फ़ बिना गले ऊर्ध्वपातित हो जाती है: कौन-सा उपकरण (हिम-शुष्कन) और किस ग्रह की ध्रुवीय टोपियाँ (मंगल, CO $_2$ और H $_2$ O) इसी तथ्य पर जीते हैं?
21. पानी का त्रिक बिंदु — जो 2019 तक परिभाषा से ठीक $273.16\,\mathrm{K}$ था — इतना अच्छा ताप-मानक क्यों था (कितनी सह-अस्तित्व वाली प्रावस्थाएँ कितनी स्वातंत्र्य कोटियाँ बाँध देती हैं)?
22. नक्शे की हर रेखा एक प्रथम-कोटि संक्रमण है; केवल उसका अंत-बिंदु क्रांतिक है: इस भेद को [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) और गुप्त ऊष्मा से फिर कहिए।
23. आर्द्र हवा की ओस-रेखा वही भौतिकी उलटी चलाई हुई है: ओस, कुहरा और ठंडी खिड़की पर सुबह की धुंध को एक $\mu$ -कटान वाले वाक्य से समझाइए।
24. हर बर्तन का ढक्कन एक प्रयोग है: उस पर बूँदें संघनित होती हैं और वापस बरसती हैं — उस लघु जलचक्र के दोनों [प्रावस्था संक्रमण](#def-b3-phase-transitions-order) पहचानिए, और वह गुप्त-ऊष्मा की फेरी भी, जिससे ढका बर्तन जल्दी उबलता है।
25. नामित परिणाम का सार दीजिए: एक ही ढाल-सूत्र, $\dd P/  \dd T = L/T\Delta v$ , प्रेशर कुकर के $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , पहाड़ की $88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ वाली चाय, अपनी गलन-रेखा पर उलटी चढ़ती तैरती बर्फ़, और उस अतिक्रांतिक केतली को समझा देता है जहाँ उबलना $647\,\mathrm{K}, 221\,\mathrm{bar}$ पर समाप्त हो जाता है।

**हल — समस्या 21.1.**

**1.** $\mu_{\text{द्रव}}(T, P) = \mu_{\text{वाष्प}}(T,
P)$: उबलना सह-अस्तित्व है, दाब-दर-दाब। **2.** $3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$। **3.** $\ln2 = 4900(1/373 - 1/T)$: $T \approx 394\,\mathrm{K} =
121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। **4.** “प्रति दस पर दुगना” के हिसाब से इक्कीस अंश: लगभग चार गुना तेज़ — यही प्रेशर कुकर का पूरा कारोबारी तर्क है। **5.** $\ln0.65$: $T \approx 361\,\mathrm{K} =
88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — बारह अंश कम पर चाय के टैनिन ठीक से नहीं निकलते। **6.** विलेय *द्रव* का $\mu$ घटा देता है ([अभ्यास 18.8](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-8)); और तब वाष्प से मिलान के लिए अधिक ताप चाहिए: यही क्वथनांक का उन्नयन है। **7.** $\dd T/\dd P = -7.4 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa}$: ऋणात्मक — दाब बर्फ़ को *पिघला* देता है। **8.** बर्फ़ तैरती है: ठोस ही कम सघन प्रावस्था है, और यही वह विषमता ($\Delta v < 0$) है जो रेखा को पीछे झुका देती है — दुर्लभ, क्योंकि अधिकांश ठोस अपने पिघले रूप से अधिक कसकर ठँसते हैं। **9.** $P = \rho gh \approx 2.7\,\mathrm{MPa}$: केवल $-0.2$ K — फिर भी भूतापीय ऊष्मा के साथ मिलकर वह तली का पिघला पानी बनाए रखता है, जो हिमनद की तेज़ फिसलन का चिकनाई-द्रव है। **10.** घर्षण से तापन और पूर्व-गली सतही फ़िल्म; और दाब वाला मिथक इसलिए टिका है कि ढाल का चिह्न असली है — बस उसका परिमाण बहुत छोटा है। **11.** बर्फ़ डूब जाती और झीलें तली से ऊपर तक जमकर ठोस ढेले बन जातीं; न कोई विद्युत्रोधी ढक्कन, न कोई द्रव शरणस्थली, न मीठे पानी में जाड़ा काटता कोई जीवन। **12.** एक दर्जन क्रिस्टलीय बर्फ़ों का अर्थ है ऐसा मुक्त-ऊर्जा भूदृश्य जिसमें कई लगभग-बराबर ठँसाइयाँ हैं: एक मुड़ा हुआ अणु, और अनेक समझौते — बहुरूपता एक नियम के रूप में। **13.** दोनों सतत रूप से सिकुड़कर शून्य हो जाते हैं: अंत-बिंदु पर दोनों प्रावस्थाएँ मिल जाती हैं और प्रथम-कोटि रेखा किसी सतत बिंदु के रूप में मर जाती है। **14.** $P > P_{\text{c}}$ पर $T > T_{\text{c}}$ तक गरम कीजिए, फिर दाब घटाइए: द्रव से गैस, और कभी कोई अर्धचंद्राकार सतह नहीं — पहाड़ के ऊपर से नहीं, उसके चारों ओर से। **15.** संपीड्यता अपसरित हो जाती है, अतः $\sqrt N$ वाले घनत्व-उतार-चढ़ाव प्रकाशिक पैमानों तक बढ़ जाते हैं और प्रकाश को ज़ोर से प्रकीर्ण करते हैं: वह तरल स्वयं अपना बादल बन जाता है। **16.** अतिक्रांतिक CO$_2$ बीजों से कैफ़ीन खींच लेती है; और भाप छोड़ने पर वह $T_{\text{c}}$–$P_{\text{c}}$ से नीचे आ जाती है और वह “विलायक” पूरा का पूरा उड़ जाता है। **17.** $221\,\mathrm{bar}$ के ऊपर कोई द्रव–वाष्प अंतरापृष्ठ है ही नहीं: न बुलबुले, न फ़िल्म-उबाल, न जलने का संकट — ऊष्मा एक ही चिकने तरल में बहती है। **18.** $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ $T_{\text{c}} =
374\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से अधिक है: $300\,\mathrm{bar}$ पर छिद्र का पानी अतिक्रांतिक है — उबलना दबाया नहीं गया, वह *अपरिभाषित* है। **19.** त्रिक बिंदु ($0.01\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $611\,\mathrm{Pa}$) पर मिलती तीन रेखाएँ; ($647\,\mathrm{K}$, $221\,\mathrm{bar}$) पर अपने अंत तक चढ़ती वाष्पन रेखा; बाईं ओर झुकती गलन रेखा; और त्रिक बिंदु से नीचे ऊर्ध्वपातन। **20.** हिम-शुष्कन $611\,\mathrm{Pa}$ से नीचे काम करता है, जहाँ बर्फ़ ऊर्ध्वपातित होती है; और मंगल की टोपियाँ इसी कारण ऋतु-दर-ऋतु ऊर्ध्वपातित होती हैं। **21.** तीन सह-अस्तित्व वाली प्रावस्थाएँ शून्य स्वतंत्रताएँ छोड़ती हैं (गिब्स): वह अवस्था एक ही बिंदु है — तापमिति का सपना, और इसीलिए उसने लंबे समय तक केल्विन को परिभाषित किया। **22.** किसी रेखा पर [क्रम-प्राचल](#def-b3-phase-transitions-order) (घनत्व) छलाँग लगाता है और गुप्त ऊष्मा बहती है; जबकि अंत-बिंदु पर वह छलाँग सिकुड़कर शून्य हो जाती है और उसकी जगह उतार-चढ़ाव ले लेते हैं। **23.** जहाँ कोई ठंडी सतह स्थानीय वाष्प का $\mu$ द्रव वाले से ऊपर खींच दे, वहाँ पानी को संघनित होना ही पड़ता है: ओस, कुहरा और धुँधली खिड़कियाँ दिखते हुए $\mu$-कटान हैं। **24.** सतह पर वाष्पन (द्रव $\to$ वाष्प), और ढक्कन पर संघनन (वाष्प $\to$ द्रव): ऊपर ढोई गई गुप्त ऊष्मा रसोई के बजाय बर्तन में ही लौट आती है — ढक्कन ऊष्मा का फंदा बंद कर देता है। **25.** $\dd P/\dd T = L/T\Delta v$: दो वायुमंडल के नीचे $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ला पाज़ में $88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, पीछे की ओर चलती एक गलन रेखा, और स्वयं उबलने का ($647\,\mathrm{K}$, $221\,\mathrm{bar}$) पर दम तोड़ देना — यानी रसोई का नक्शा।