---
title: "क्रिस्टलीय ठोस"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/23-crystalline-solids
---

# अध्याय 23 — क्रिस्टलीय ठोस

नमक के दाने नन्हे घन होते हैं। हिमकण छह शाखाओं पर अड़े रहते हैं। कोई जौहरी किसी हीरे को कुछ ही तलों के अनुदिश स्वच्छ ढंग से चीर सकता है, और किसी और के नहीं। तीनों एक ही रहस्य कबूल करते हैं: उनकी सतहों के नीचे परमाणु ऐसी क़तारों में चिने हैं जो अरबों बार, एक-सी दोहराई जाती हैं — अर्थात् कोई *[क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice)*। यह अध्याय उसी क्रम को पढ़ना सीखता है। एक्स-किरणें उसे नापती हैं (और रास्ते में अवोगाद्रो की संख्या भी नाप गईं); सरल स्थिरवैद्युतिकी और [अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#ch-b3-identical-particles) के क्वांटम बंध समझाते हैं कि वह ढेर आपस में क्यों टिका है; और उसी ढेर को कँपाने पर वर्ष 2 के खंड की ध्वनि-तरंगें तथा [अध्याय 20](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#ch-b3-photons-phonons) के फ़ोनॉन मूल सिद्धांतों से पुनः निकल आते हैं। अगला अध्याय इसी ढाँचे में इलेक्ट्रॉन उँडेलेगा; यहाँ हम उसे खड़ा करते हैं।

## 23.1 जालक, कोष्ठिकाएँ, और संरचनाएँ

**परिभाषा 23.1 (जालक और आधार).**

कोई *क्रिस्टल* एक दोहराता हुआ विन्यास है: कोई *जालक* (गणितीय बिंदुओं की वह ग्रिड, $\vect r = n_1\vect a_1 + n_2\vect a_2
+ n_3\vect a_3$, जहाँ $n_i$ पूर्णांक हैं), जिसे किसी *आधार* से सजाया गया हो (वह परमाणु या समूह, जो हर बिंदु पर एक-सा टँगा है)। $\vect a_1, \vect a_2, \vect a_3$ से फैला समांतर षट्फलक एक *एकक कोष्ठिका* है; और उसकी कोर $a$ *जालक नियतांक* है, जो कुछ $\text{Å}$ का होता है। तीन घनीय चिनाइयाँ इस पाठ्यक्रम का अधिकांश ढोती हैं: *सरल घनीय* (बिंदु घन के कोनों पर — दुर्लभ: प्रति कोष्ठिका एक परमाणु); *अंतःकेंद्रित घनीय* (BCC: कोने $+$ केंद्र, प्रति कोष्ठिका 2 परमाणु — लोहा, क्रोमियम); और *फलक-केंद्रित घनीय* (FCC: कोने $+$ फलक-केंद्र, प्रति कोष्ठिका 4 परमाणु — ताँबा, ऐलुमिनियम, चाँदी, सोना: सबसे सघन घनीय चिनाई, जो समष्टि का 74 % भर देती है)। हीरा दो-परमाणु आधार वाला FCC है; और सेंधा नमक सोडियम–क्लोरीन युग्म वाला FCC।

![तीनों घनीय जालक। कोने के परमाणु आठ कोष्ठिकाओं में बँटते हैं, फलक के परमाणु दो में, और पिंड-केंद्र एक ही में: उन्हें गिनिए और कोष्ठिकाओं में क्रमशः 1, 2 और 4 परमाणु मिलते हैं — वही हिसाब, जो इस अध्याय की हर घनत्व-गणना के पीछे है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-crystalline-solids/fig-1c76bbe305aa.svg)

*तीनों घनीय [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice)। कोने के परमाणु आठ कोष्ठिकाओं में बँटते हैं, फलक के परमाणु दो में, और पिंड-केंद्र एक ही में: उन्हें गिनिए और कोष्ठिकाओं में क्रमशः 1, 2 और 4 परमाणु मिलते हैं — वही हिसाब, जो इस अध्याय की हर घनत्व-गणना के पीछे है।*

**उदाहरण 23.2 (किसी एकक कोष्ठिका को तौलना).**

ताँबा FCC है, जिसका $a = 3.61\,\text{Å}$ है। उसकी कोष्ठिका में $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ मोलर द्रव्यमान वाले 4 परमाणु हैं, अतः

$$
\rho = \frac{4M/N_{\text{A}}}{a^3}
= \frac{4\times1.055 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}}{4.71 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}}
\approx 8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} ,
$$

यानी पुस्तिका वाला मान। इसी अंकगणित को उलटा चलाइए, तो कोई मापा गया $a$ और मेज़ पर नापा गया घनत्व $N_{\text{A}}$ दे देते हैं — वही रास्ता, जिससे एक्स-किरणों ने पहली बार परमाणु गिने ([अभ्यास 23.6](#exo-b3-crystalline-solids-6))।

## 23.2 ढेर को देखना: एक्स-किरण विवर्तन

**प्रतिज्ञप्ति 23.3 (ब्रैग का नियम).**

किसी [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) में समांतर परमाणविक तलों के कुल होते हैं। तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का कोई एकवर्णी एक्स-किरण पुंज, जो अंतराल $d$ वाले किसी कुल पर स्पर्शी कोण $\theta$ से टकराए, केवल तभी प्रबलता से परावर्तित होता है जब क्रमिक तलों से आती तरंगें कला में मिलें:

$$
2d\sin\theta = n\lambda , \qquad n = 1, 2, \dots
$$

किसी घनीय [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) में जिस कुल के *[मिलर सूचकांक](#prop-b3-crystalline-solids-bragg)* $(hkl)$ हों — यानी वे तल, जो कोष्ठिका की कोरों को $h$, $k$, $l$ भागों में काटते हैं — उसका अंतराल $d = a/\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}$ होता है, अतः परावर्तन-कोणों का प्रतिरूप [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) के प्रकार और उसके नियतांक, दोनों की उँगली-छाप ले लेता है: दो सूत्रों में क्रिस्टलिकी।

**उपपत्ति.** निचले तल से परावर्तित किरण $2d
\sin\theta$ का अतिरिक्त पथ तय करती है (गहराई $d$ वाले समकोण त्रिभुज की दो स्पर्शी भुजाएँ)। संपोषी व्यतिकरण के लिए वह तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या होनी चाहिए। घनीय $(hkl)$ कुलों का अंतराल-सूत्र समतल ज्यामिति है: क्रमिक तल घन की कोर $a$ को $a/h$ के अंतरालों पर काटते हैं, $x$ के अनुदिश, इत्यादि, जिससे कथित $d$ मिलता है। ∎

![ब्रैग परावर्तन। क्रमिक तलों से छूकर जाती तरंगों के पथ में 2d का अंतर होता है; और केवल वही कोण परावर्तित करते हैं जो इसे तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या बनाएँ — क्रिस्टल घुमाइए, कौंधें दर्ज कीजिए, और वास्तुकला पढ़ लीजिए।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-crystalline-solids/fig-53486939f805.svg)

*ब्रैग परावर्तन। क्रमिक तलों से छूकर जाती तरंगों के पथ में $2d\sin\theta$ का अंतर होता है; और केवल वही कोण परावर्तित करते हैं जो इसे तरंगदैर्घ्यों की पूर्ण संख्या बनाएँ — [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) घुमाइए, कौंधें दर्ज कीजिए, और वास्तुकला पढ़ लीजिए।*

## 23.3 इसे जोड़े कौन रखता है

**प्रतिज्ञप्ति 23.4 (आयनी संसंजन: माडेलुंग योग).**

*[संसंजन ऊर्जा](#prop-b3-crystalline-solids-madelung)* वह है जो किसी [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) को तोड़कर दूर-दूर के परमाणुओं (या आयनों) में बदलने में लगती है। सेंधा नमक में आवेश $\pm e$ का हर आयन एकांतर पड़ोसियों के बीच बैठा है; और प्रति आयन-युग्म पूरे [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) की कूलॉम ऊर्जा जोड़ने पर मिलता है

$$
U = -\alpha\,\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} ,
\qquad \alpha_{\text{NaCl}} = 1.7476 ,
$$

जहाँ $r_0$ निकटतम-पड़ोसी दूरी है और $\alpha$ *[माडेलुंग नियतांक](#prop-b3-crystalline-solids-madelung)* — यानी पूरे [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) की ज्यामिति, एक ही संख्या में निचुड़ी हुई (उस श्रेणी को फैलते उदासीन कोशों में जोड़ना पड़ता है; पद-दर-पद वह अपसरित होती है)। $r_0 =
2.82\,\text{Å}$ के साथ यह प्रति युग्म $8.9\,\mathrm{eV}$ देता है; क्वांटम कठोर-क्रोड प्रतिकर्षण $\sim12\,\%$ लौटा देता है, और उत्तर मापे गए $7.9\,\mathrm{eV}$ के कुछ ही प्रतिशत भीतर आ बैठता है ([अभ्यास 23.7](#exo-b3-crystalline-solids-7))।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 23.5 (बंधों की चौकड़ी).**

सारे [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) चार गोंदों से बनते हैं। *आयनी* (NaCl): पहले इलेक्ट्रॉन-अंतरण, फिर माडेलुंग की स्थिरवैद्युतिकी — कठोर, भंगुर, पारदर्शी विद्युत्रोधी। *सहसंयोजी* (हीरा, सिलिकॉन): [अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#ch-b3-identical-particles) के दिशिक बंधों में साझा किए गए युग्म — सबसे कड़े। *धात्विक* (ताँबा): विस्थानीकृत इलेक्ट्रॉनों में नहाए आयन — अगले अध्याय का विषय, और तन्य इसलिए कि उस गोंद को परवाह ही नहीं कि कौन-सा आयन कहाँ है। *फ़ान डेर वाल्स* (ठोस आर्गन, आणविक [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice)): डगमगाते द्विध्रुवों का $\sim r^{-6}$ आकर्षण, क्वांटम कठोर-क्रोड प्रतिकर्षण के सामने, और दोनों लेनार्ड–जोन्स विभव $U = 4\epsilon[(\sigma/r)^{12} - (\sigma/r)^6]$ में बँधे — दुर्बल ($\epsilon \sim 0.01\,\mathrm{eV}$), और इसीलिए उत्कृष्ट-गैस ठोस परम शून्य से दसियों केल्विन ऊपर ही पिघल जाते हैं ([अभ्यास 23.8](#exo-b3-crystalline-solids-8))।

![लेनार्ड–जोन्स विभव। डगमगाते द्विध्रुवों का r-6 आकर्षण अतिव्यापी कोशों के तीखे क्वांटम प्रतिकर्षण से मिलता है; परमाणु r_0 पर कूप में बैठ जाते हैं, और क्रिस्टल की कड़ाई तथा गलनांक, दोनों उसी आकृति से पढ़े जाते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-crystalline-solids/fig-f96a546a0acd.svg)

*लेनार्ड–जोन्स विभव। डगमगाते द्विध्रुवों का $r^{-6}$ आकर्षण अतिव्यापी कोशों के तीखे क्वांटम प्रतिकर्षण से मिलता है; परमाणु $r_0$ पर कूप में बैठ जाते हैं, और [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) की कड़ाई तथा गलनांक, दोनों उसी आकृति से पढ़े जाते हैं।*

## 23.4 ढेर कँपता है: विक्षेपण

**प्रमेय 23.6 (एकपरमाणुक शृंखला का विक्षेपण).**

किसी [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) की क़तार का प्रतिरूप द्रव्यमानों $m$ से बनाइए, जो अंतराल $a$ पर रखे हों और कमानियों $K$ से जुड़े हों (यानी बंध की कड़ाई — ऊपर के चित्रों की वक्रता)। तरंगें $u_n = A\eu^{\iu(kna - \omega t)}$ न्यूटन के नियम $m\ddot u_n = K(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)$ में खोजने पर मिलता है

$$
\omega(k) = 2\sqrt{\frac{K}{m}}\,\Big|\sin\frac{ka}{2}\Big| .
$$

लंबी तरंगदैर्घ्य पर ($ka \ll 1$) यह ध्वनि है, $\omega = vk$, जहाँ $v = a\sqrt{K/m}$ — परमाणविक कमानियों से किलोमीटर प्रति सेकंड। पर वह वक्र *मुड़ता* है: क्षेत्र-किनारे $k = \pi/a$ पर (तरंगदैर्घ्य $2a$, पड़ोसी विपरीत कला में) समूह वेग लुप्त हो जाता है — वह तरंग उसी [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) से ब्रैग-परावर्तित हो जाती है जो उसे ढो रहा है — और उससे ऊँची कोई आवृत्ति संचरित होती ही नहीं: कोई [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) टेराहर्ट्ज़ कटाव वाला निम्न-पारक छननी है। ये क्वांटित तरंगें ही वे फ़ोनॉन हैं जिन्हें [अध्याय 20](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#ch-b3-photons-phonons) पहले ही गिन चुका है; और इस वक्र का रैखिक भाग ठीक वही है जिसे [डिबाई प्रतिरूप](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#thm-b3-photons-phonons-debye) ने रखा था।

**उपपत्ति.** गति के समीकरण में वह तरंग रखने पर: $-m\omega^2 =
K(\eu^{\iu ka} + \eu^{-\iu ka} - 2) = -2K(1 - \cos ka) =
-4K\sin^2(ka/2)$। ∎

![परमाणविक शृंखला का विक्षेपण। लंबी तरंगें रैखिक ध्वनि-शाखा पर सवारी करती हैं; k = π/a पर पड़ोसी परमाणु विपरीत कला में धड़कते हैं, तरंग ठहर जाती है, और वर्णक्रम 1013\, Hz के पास चोटी छू लेता है। प्रति कोष्ठिका दो परमाणुओं वाले क्रिस्टल किसी वर्जित अंतराल के ऊपर एक दूसरी, प्रकाशिक शाखा जोड़ देते हैं — और इसीलिए नमक अवरक्त प्रकाश सोखता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-crystalline-solids/fig-28c2c15b9601.svg)

*परमाणविक शृंखला का विक्षेपण। लंबी तरंगें रैखिक ध्वनि-शाखा पर सवारी करती हैं; $k = \pi/a$ पर पड़ोसी परमाणु विपरीत कला में धड़कते हैं, तरंग ठहर जाती है, और वर्णक्रम $10^{13}\,\mathrm{Hz}$ के पास चोटी छू लेता है। प्रति कोष्ठिका दो परमाणुओं वाले [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) किसी वर्जित अंतराल के ऊपर एक दूसरी, *प्रकाशिक* शाखा जोड़ देते हैं — और इसीलिए नमक अवरक्त प्रकाश सोखता है।*

![पाइराइट के क्रिस्टल: घन, जिन्हें भूविज्ञान ने उगाया है, हाथों ने काटा नहीं। उनके फलक (100) जालक तल हैं — परमाणविक क्रम, जो 1023 बार दोहराकर मनुष्य के पैमाने पर उभर आया है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-crystalline-solids/img-3d7601dece51.jpg)

*पाइराइट के [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice): घन, जिन्हें भूविज्ञान ने उगाया है, हाथों ने काटा नहीं। उनके फलक (100) [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) तल हैं — परमाणविक क्रम, जो $10^{23}$ बार दोहराकर मनुष्य के पैमाने पर उभर आया है।*

## 23.5 अभ्यास

**अभ्यास 23.1 ★.**

कोष्ठिका का हिसाब। (क) परमाणु-गणनाएँ सत्यापित कीजिए: SC 1, BCC 2, FCC 4. (ख) BCC में परमाणु घन-विकर्ण के अनुदिश छूते हैं: परमाणविक त्रिज्या को $a$ के पदों में व्यक्त कीजिए। (ग) FCC के लिए भी वही, जहाँ वे किसी फलक-विकर्ण के अनुदिश छूते हैं। (घ) संकुलन-अंश निकालिए ($\pi\sqrt3/8 \approx 0.68$ और $\pi/\sqrt{18} \approx 0.74$) और बताइए कि जब बंधन दिशा-अंधा हो तब धातुएँ कौन-सी संरचना पसंद करती हैं।

**हल — अभ्यास 23.1.**

(क) SC: $8\times\tfrac18 = 1$; BCC: $8\times\tfrac18 + 1 = 2$; FCC: $8\times\tfrac18 + 6\times\tfrac12 = 4$। (ख) विकर्ण $a\sqrt3 = 4r$: $r = a\sqrt3/4$। (ग) फलक-विकर्ण $a\sqrt2 = 4r$: $r = a\sqrt2/4$। (घ) $0.68$ और $0.74$: दिशा-अंधा धात्विक बंधन अधिकतम संकुलन चाहता है, और इसीलिए ताँबे, ऐलुमिनियम, चाँदी तथा सोने की FCC (या उतनी ही सघन षट्कोणीय) संरचनाएँ।

**अभ्यास 23.2 ★.**

संख्याओं में ताँबा। FCC, $a = 3.61\,\text{Å}$, $M =
63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$। निकालिए: (क) निकटतम-पड़ोसी दूरी; (ख) निकटतम पड़ोसियों की संख्या; (ग) घनत्व; (घ) अंतर्संयोजी तार के $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ के किसी घन में परमाणुओं की संख्या।

**हल — अभ्यास 23.2.**

(क) $a/\sqrt2 = 2.55\,\text{Å}$। (ख) 12 — यानी सघन-संकुलन का समन्वय। (ग) $8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ([उदाहरण 23.2](#ex-b3-crystalline-solids-density))। (घ) $n = 4/a^3 =
8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, अतः किसी घन माइक्रोमीटर में $8.5\times10^{10}$ परमाणु होते हैं — और इसीलिए चिप की धातुकर्मिकी सांख्यिकी है, बढ़ईगीरी नहीं।

**अभ्यास 23.3 ★.**

पहले ब्रैग कोण। ताँबे की K$\alpha$ एक्स-किरणें ($\lambda = 1.54\,\text{Å}$) अंतराल $d = 2.82\,\text{Å}$ वाले NaCl तलों से टकराती हैं। (क) प्रथम-कोटि कोण $\theta_1$ खोजिए। (ख) कितनी कोटियाँ हैं? (ग) किसी भी परावर्तन के लिए $\lambda \le 2d$ क्यों चाहिए — और दृश्य प्रकाश निराशाजनक क्यों है? (घ) $\theta_1$ का क्या होता है, यदि [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) को इतना गरम किया जाए कि $d$ 1 % फैल जाए?

**हल — अभ्यास 23.3.**

(क) $\sin\theta_1 = \lambda/2d = 0.273$: $\theta_1 =
15.8^\circ$। (ख) $n \le 2d/\lambda = 3.66$: तीन कोटियाँ। (ग) $\sin\theta \le 1$ के कारण $n\lambda \le 2d$ होना ही चाहिए; और दृश्य प्रकाश की $\lambda \sim 5000\,\text{Å}$ हज़ार गुना लंबी है — कोई क्रिस्टल-तल अंतराल उसे विवर्तित नहीं कर सकता। (घ) $\sin\theta$ 1 % गिरता है: $\theta_1 \to 15.7^\circ$। कोई विवर्तनमापी एक बढ़िया तापमापी है — और यही खिसकाव वह तरीक़ा है जिससे तापीय प्रसार परमाणविक पैमाने पर नापा जाता है।

**अभ्यास 23.4 ★.**

मिलर अंतराल। नियतांक $a$ वाले किसी घनीय [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) के लिए: (क) $d = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ का उपयोग करके कुलों (100), (110), (111) को अंतराल के अनुसार क्रम में रखिए। (ख) कौन-सा सबसे छोटे ब्रैग कोण पर परावर्तित करता है? (ग) हीरा अपने सबसे चौड़े-अंतराल वाले, सबसे कमज़ोर जुड़े तलों के अनुदिश चिरता है: कौन-सा कुल? (घ) कोई चूर्ण नमूना (बहुत-से यादृच्छिक कण) ब्रैग बिंदुओं को शंकुओं में क्यों बदल देता है?

**हल — अभ्यास 23.4.**

(क) $d_{100} = a > d_{110} = a/\sqrt2 > d_{111} = a/\sqrt3$। (ख) सबसे बड़ा $d$, सबसे छोटा कोण: (100)। (ग) अष्टफलकीय (111) कुल — हीरे की संरचना में उसकी चादरें जोड़ों में मिलकर प्रबल रूप से बँधी दोहरी परतें बनाती हैं, जिनके बीच चौड़े, विरल रूप से बँधे अंतराल होते हैं: वही चिराई का तल। (घ) हर कण उसी $\theta$ पर परावर्तित करता है पर किसी यादृच्छिक दिगंश में: परावर्तित किरणें $2\theta$ अर्ध-कोण के शंकुओं में फैल जाती हैं, जो संसूचक को वलयों में काटते हैं।

**अभ्यास 23.5 ★★.**

जाँच-कण चुनना। (क) किसी भी विवर्तन-जाँच का $\lambda \sim 1\,\text{Å}$ क्यों होना चाहिए? (ख) एक्स-किरण फ़ोटॉन: वह कितनी ऊर्जा है? (ग) इलेक्ट्रॉन: वर्ष 2 के खंड की पदार्थ-तरंगों वाले $\lambda = h/p$ से, कौन-सी त्वरक वोल्टता $0.05\,\text{Å}$ देती है? (घ) $300\,\mathrm{K}$ पर तापीय न्यूट्रॉन: दिखाइए कि $\lambda = h/\sqrt{3mk_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$, और एक कारण दीजिए कि न्यूट्रॉन पुंज वह क्यों देखते हैं जो एक्स-किरणें चूक जाती हैं (संकेत: एक्स-किरणें इलेक्ट्रॉनों से प्रकीर्ण होती हैं)।

**हल — अभ्यास 23.5.**

(क) व्यतिकरण को $\lambda$ की कोटि के पथ-अंतर चाहिए; और अंतराल आंगस्ट्रॉम के हैं, अतः $\lambda$ को भी वही होना चाहिए। (ख) $E =
hc/\lambda \approx 8\,\mathrm{keV}$। (ग) $p = h/\lambda$, $V =
p^2/2m_{\text{e}}e \approx 60\,\mathrm{kV}$ (आपेक्षिकता कुछ प्रतिशत छाँट देती है) — यानी किसी इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की कार्यकारी वोल्टता। (घ) $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx
1.5\,\text{Å}$: कमरे के ताप के न्यूट्रॉन जन्म से ही विवर्तन-योग्य हैं। वे नाभिकों से प्रकीर्ण होते हैं, इलेक्ट्रॉन-मेघों से नहीं — अतः वे हाइड्रोजन साफ़ देखते हैं और एक चुंबकीय आघूर्ण भी ढोते हैं जो चुंबकीय क्रम मानचित्रित कर देता है; और दोनों ही एक्स-किरणों के लिए लगभग अदृश्य हैं।

**अभ्यास 23.6 ★★.**

मापपट्टी से परमाणु गिनना। NaCl: घनत्व $\rho = 2165\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, मोलर द्रव्यमान $58.44\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, मापा गया [जालक नियतांक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) $a = 5.64\,\text{Å}$ (प्रति कोष्ठिका 4 सोडियम–क्लोरीन युग्म)। (क) $\rho = 4M/N_{\text{A}}a^3$ लिखिए। (ख) $N_{\text{A}}$ के लिए हल कीजिए और मान निकालिए। (ग) $a$ में 0.1 % की त्रुटि आगे बढ़ाइए: $N_{\text{A}}$ में कितनी बड़ी त्रुटि? (घ) टिप्पणी: 2019 में किलोग्राम की पुनर्परिभाषा आंशिक रूप से इसी [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) मार्ग से हुई (सिलिकॉन का एक गोला) — यह विधि लगभग निर्दोष [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) क्यों माँगती है?

**हल — अभ्यास 23.6.**

(क) आयतन $a^3$ की प्रति कोष्ठिका चार युग्म। (ख) $N_{\text{A}} =
4M/\rho a^3 = 4\times0.05844/(2165\times1.794 \times 10^{-28}\,)
\approx 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$। (ग) $N_{\text{A}} \propto
a^{-3}$: $a$ में 0.1 % की त्रुटि $N_{\text{A}}$ में 0.3 % है। (घ) यह विधि परमाणु इस मान्यता पर गिनती है कि हर कोष्ठिका भरी और एक-सी है: रिक्तियाँ, अशुद्धियाँ और पच्चीकारी-सीमाएँ, सब गिनती बिगाड़ देती हैं — और इसीलिए किलोग्राम की पुनर्परिभाषा के वे कट्टर हद तक निर्दोष सिलिकॉन गोले।

**अभ्यास 23.7 ★★.**

माडेलुंग का बहीखाता। (क) अंतराल $r_0$ पर एकांतर आवेशों की अनंत NaCl क़तार के लिए दिखाइए कि प्रति आयन ऊर्जा $-(e^2/4\pi\varepsilon_0r_0)\times2\ln2$ है — अतः एक-विमीय [माडेलुंग नियतांक](#prop-b3-crystalline-solids-madelung) $2\ln2 \approx 1.386$ है। (ख) $\alpha = 1.7476$ और $r_0 = 2.82\,\text{Å}$ के साथ $U$ का मान निकालिए। (ग) बोर्न प्रतिकर्षण $r^{-9}$ की तरह चलता है: $U(r) = -A/r + B/r^9$ को न्यूनतम करने पर शुद्ध बंधन $U(r_0)(1 - 1/9)$ निकलता है — वह आकलन फिर से कीजिए। (घ) मापे गए प्रति युग्म $7.9\,\mathrm{eV}$ से तुलिए और टिप्पणी कीजिए कि दो-पदी प्रतिरूप ने क्या कमाया।

**हल — अभ्यास 23.7.**

(क) हर आयन $2\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}/n = 2\ln2$ देखता है, वह भी $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0$ की इकाइयों में (गुणक 2: दोनों ओर), और वह आकर्षी है। (ख) $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0 = 5.11\,\mathrm{eV}$; $\times1.7476 =
8.93\,\mathrm{eV}$। (ग) न्यूनतमीकरण आकर्षण का $1/9$ खा जाता है: $U = 8.93\times\tfrac89 = 7.94\,\mathrm{eV}$। (घ) $7.9\,\mathrm{eV}$ के एक प्रतिशत भीतर: बिंदु-आवेश [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) और एक ही कड़ाई-चरघातांक किसी आयनी ठोस का पूरा बजट समझा देते हैं — और क्वांटम यांत्रिकी $r_0$ तथा उस चरघातांक के भीतर छिपी रहती है।

**अभ्यास 23.8 ★★.**

लेनार्ड–जोन्स आर्गन। $\epsilon = 0.0104\,\mathrm{eV}$, $\sigma =
3.40\,\text{Å}$। (क) न्यूनतम $r_0 = 2^{1/6}
\sigma$ खोजिए और ठोस आर्गन के मापे गए $3.76\,\text{Å}$ से तुलिए। (ख) $k_{\text{B}}T_{\text{m}} \sim \epsilon/2$ से गलनांक आकलिए और $84\,\mathrm{K}$ से तुलिए। (ग) हीलियम का नन्हा द्रव्यमान और उथला कूप उसे परम शून्य पर भी द्रव क्यों रखते हैं ([अध्याय 19](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics))? (घ) फ़ान डेर वाल्स ठोस नरम और वाष्पशील क्यों हैं, जबकि हीरा, जिसके बंध तीन सौ गुना गहरे हैं, हर चीज़ पर खरोंच डाल देता है?

**हल — अभ्यास 23.8.**

(क) $r_0 = 2^{1/6}\times3.40 = 3.82\,\text{Å}$, जो मापे गए $3.76\,\text{Å}$ से 1.5 % ऊपर है (हर परमाणु अपने बारह पड़ोसियों को भी अनुभव करता है, जिससे कूप कस जाता है)। (ख) $T_{\text{m}} \sim \epsilon/2k_{\text{B}} \approx 60\,\mathrm{K}$: $84\,\mathrm{K}$ के लिए सही पैमाना। (ग) हीलियम की [शून्य-बिंदु ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum) $\hbar\omega/2$ इतने उथले कूप में स्वयं उसी कूप की टक्कर में आ जाती है: [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) खुद को हिलाकर बिखेर देता है, और हीलियम $T = 0$ पर भी द्रव रहता है, जब तक उसे दबाया न जाए। (घ) प्रति बंध गहराई $\sim0.01\,\mathrm{eV}$ बनाम सहसंयोजी $\sim3.6\,\mathrm{eV}$: ऊर्जा में तीन सौ गुना ही पाले से हीरे तक की पूरी दूरी है।

**अभ्यास 23.9 ★★.**

ध्वनि से कमानियाँ। (क) [प्रमेय 23.6](#thm-b3-crystalline-solids-dispersion) से ध्वनि-चाल $v = a\sqrt{K/m}$ व्युत्पन्न कीजिए। (ख) कोई बंध-कमानी मोटे तौर पर $K \approx
Ea$ होती है, जहाँ $E$ यंग गुणांक है: किसी तनी हुई कोष्ठिका के विमीय विश्लेषण से इसे उचित ठहराइए। (ग) ताँबे ($E = 1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$, अंतरापरमाणविक $a = 2.55\,\text{Å}$, $m =
1.05 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$) के लिए: $K$ और $v$ आकलिए, और मापे गए $\sim4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से तुलिए। (घ) कड़े, हलके [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) (हीरा) सबसे तेज़ ध्वनि और सबसे ऊँचे डिबाई ताप, दोनों क्यों ढोते हैं?

**हल — अभ्यास 23.9.**

(क) $ka \ll 1$: $\omega \approx 2\sqrt{K/m}\,(ka/2) =
a\sqrt{K/m}\,k$। (ख) किसी कोष्ठिका को $\delta$ जितना तानिए: प्रतिबल $\sim
K\delta/a^2$, विकृति $\delta/a$, अतः $E \sim K/a$, अर्थात् $K \sim
Ea$। (ग) $K \approx 31\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $v = a\sqrt{K/m} \approx
4400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — मापे गए $4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से 10 % भीतर, और वह भी यंग गुणांक से अटकल लगाई किसी कमानी से। (घ) $v = a\sqrt{K/m}$: कड़े बंध ऊपर, हलके परमाणु ऊपर — हीरा दोनों को अधिकतम करता है, और इसीलिए $18\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की ध्वनि तथा $\Theta_{\text{D}} \approx
2200\,\mathrm{K}$।

**अभ्यास 23.10 ★★★.**

क्षेत्र-किनारे का जीवन। (क) दिखाइए कि समूह वेग $\dd\omega/\dd k$ $k = \pi/a$ पर लुप्त हो जाता है। (ख) वहाँ परमाणविक विस्थापन लिखिए ($u_n \propto (-1)^n$) और उस गति का वर्णन कीजिए। (ग) व्याख्या कीजिए: तरंगदैर्घ्य $2a$ स्वयं उसी शृंखला पर ब्रैग की शर्त पूरी करती है — वह तरंग अपना ही विवर्तन-प्रयोग है। (घ) [अभ्यास 23.9](#exo-b3-crystalline-solids-9) की ताँबे वाली संख्याओं के लिए कटाव-आवृत्ति $\omega_{\text{अधि}} = 2\sqrt{K/m}$ का मान निकालिए और उसे विद्युत्-चुंबकीय वर्णक्रम के पैमाने पर रखिए।

**हल — अभ्यास 23.10.**

(क) $\dd\omega/\dd k \propto \cos(ka/2) = 0$, $k = \pi/a$ पर। (ख) $u_n \propto (-1)^n$: हर परमाणु अपने दोनों पड़ोसियों से विपरीत कला में — यानी कोई अप्रगामी तरंग, जिसमें ऊर्जा वहीं छलकती रहती है। (ग) $\lambda = 2a$ के साथ, क्रमिक परमाणुओं से पीछे को प्रकीर्ण तरंगों के पथ में ठीक एक तरंगदैर्घ्य का अंतर होता है: यानी स्वयं उसी शृंखला पर ब्रैग की शर्त। [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) अपने ही कंपन को परावर्तित कर देता है, आगे और पीछे जाती तरंगें उस अप्रगामी प्रतिरूप में जकड़ जाती हैं, और चलती तरंग आगे नहीं बढ़ पाती। (घ) $\omega_{\text{अधि}} = 2\sqrt{K/m} \approx
3.4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, अर्थात् $\sim5\,\mathrm{THz}$: यानी दूर अवरक्त — [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) के कंपन और अवरक्त प्रकाश एक ही सप्तक में मिलते हैं, और यही तथ्य अगले अभ्यास के पीछे है।

**अभ्यास 23.11 ★★★.**

प्रति कोष्ठिका दो परमाणु। किसी द्विपरमाणुक शृंखला में (द्रव्यमान $m \ne M$) विक्षेपण दो शाखाओं में बँट जाता है — एक *ध्वनिक* (पड़ोसी एक ताल में: ध्वनि) और एक *प्रकाशिक* (दोनों [उप-जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) एक-दूसरे के विरुद्ध धड़कते हुए) — और बीच में एक वर्जित अंतराल। (क) किसी आयनी [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) में प्रकाशिक मोड सीधे प्रकाश से युग्मित क्यों हो सकता है? (ख) NaCl के लिए उसकी आवृत्ति आकलिए ($K \approx
25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, सोडियम–क्लोरीन युग्म का अपचित द्रव्यमान) और संगत तरंगदैर्घ्य भी। (ग) इससे समझाइए कि नमक, जो दृश्य में पारदर्शी है, दूर अवरक्त में अपारदर्शी क्यों है (रेस्टश्ट्राहलन)। (घ) एकपरमाणुक शृंखला के लिए ऐसा कोई अंतराल क्यों नहीं होता?

**हल — अभ्यास 23.11.**

(क) प्रकाशिक मोड में $+$ और $-$ [उप-जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) उलटी दिशाओं में चलते हैं: यानी कोई दोलनशील विद्युत् द्विध्रुव, और प्रकाश-तरंग ठीक उसी को पकड़ती है। (ख) $\omega \approx \sqrt{2K/\mu}$, जहाँ $\mu =
2.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$: $\omega \approx 4.7 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\lambda = 2\pi c/\omega \approx 40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — यानी दूर अवरक्त (नमक का मापा गया रेस्टश्ट्राहलन बैंड $61\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर बैठता है: दो-कमानी प्रतिरूप से सही सप्तक)। (ग) उस बैंड पर [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) की अपनी अनुनाद तरंग को सोख लेती और फिर परावर्तित कर देती है: पारदर्शी नमक दर्पण जैसा अपारदर्शी हो जाता है। (घ) प्रति कोष्ठिका एक परमाणु का अर्थ है कि टकराने को कोई दूसरा [उप-जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) ही नहीं: एक ही शाखा, कोई अंतराल नहीं।

**अभ्यास 23.12 ★★★.**

डिबाई को फिर से गढ़ना। [अध्याय 20](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#ch-b3-photons-phonons) के [डिबाई प्रतिरूप](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/20-photons-and-phonons#thm-b3-photons-phonons-debye) ने केवल $\omega = vk$ रखा था, वह भी मोड-गणना पर बैठते किसी कटाव तक: $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3}$। (क) मोड-गणना उचित ठहराइए: $N$ परमाणु, $3N$ मोड। (ख) ताँबे ($n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, माध्य ध्वनि-चाल $v \approx 2700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) के लिए $k_{\text{D}}$ और $\Theta_{\text{D}} =
\hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}}$ निकालिए; और कैलोरीमितीय $343\,\mathrm{K}$ से तुलिए। (ग) असली विक्षेपण का कौन-सा लक्षण (इसी अध्याय का चित्र) डिबाई की सीधी रेखा चूक जाती है, और वह किन तापों पर मायने रखता है? (घ) एक वाक्य में समझाइए कि $\Theta_{\text{D}}$ और [अभ्यास 23.10](#exo-b3-crystalline-solids-10) का क्षेत्र-किनारा कटाव दो वेशों में एक ही भौतिकी क्यों हैं।

**हल — अभ्यास 23.12.**

(क) $N$ परमाणु $\times$ 3 विस्थापन-दिशाएँ = $3N$ दोलक, अतः रैखिक वर्णक्रम तभी काट दिया जाता है जब वह $3N$ मोड गिन चुके: और वही $k_{\text{D}}$ परिभाषित करता है। (ख) $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3} = 1.7 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\Theta_{\text{D}} = \hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}} \approx
350\,\mathrm{K}$ — यानी कैलोरीमितीय $343\,\mathrm{K}$, वह भी एक ध्वनि-चाल और एक घनत्व से। (ग) वह सीधी रेखा क्षेत्र-किनारे का चपटापन चूक जाती है: डिबाई ऊँची आवृत्तियाँ अधिक गिन लेता है, अतः मध्यवर्ती तापों पर अनुरूपण तनने लगता है; जबकि $T^3$ नियम (केवल लंबी तरंगें) सुरक्षित है। (घ) दोनों यही कहते हैं कि वर्णक्रम तब समाप्त होता है जब तरंगदैर्घ्य परमाणविक अंतराल तक पहुँच जाए — प्रति परमाणु एक मोड, जो कभी कटाव तरंग-सदिश के वेश में आता है और कभी कटाव-ताप के।

## 23.6 समस्या: संग्रहालय की बुरादा-फ़ाइल

**समस्या 23.1.**

*संग्रहालय की बुरादा-फ़ाइल।* कोई समुद्री संग्रहालय अठारहवीं सदी के किसी जहाज़-मलबे से जंग लगी एक ईंट निकालता है और आपकी प्रयोगशाला को उसके कुछ मिलीग्राम बुरादे भेजता है: बहुमूल्य धातु, पर कौन-सी? आपका चूर्ण विवर्तनमापी ताँबे की K$\alpha$ एक्स-किरणें काम में लेता है, $\lambda = 1.5406\,\text{Å}$। विक्षेपण-कोण $2\theta$ को बहाते हुए संसूचक $2\theta =
38.1^\circ$, $44.3^\circ$, $64.4^\circ$ और $77.5^\circ$ पर प्रबल वलय पाता है।

**भाग I — वलय पढ़ना।**

1. [ब्रैग का नियम](#prop-b3-crystalline-solids-bragg) बताइए और एक-एक वाक्य में समझाइए कि एकवर्णी प्रकाश और चूर्ण के यादृच्छिक ढंग से अभिविन्यस्त कणों की भूमिका क्या है।
2. चारों वलयों को $\theta$ में बदलिए और हर एक के लिए $\sin^2\theta$ निकालिए।
3. किसी घनीय [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) के लिए दिखाइए कि [ब्रैग का नियम](#prop-b3-crystalline-solids-bragg) $\sin^2\theta = (\lambda^2/4a^2)(h^2 + k^2 + l^2)$ देता है।
4. अपने चारों $\sin^2\theta$ मानों को सबसे छोटे से भाग दीजिए: दिखाइए कि अनुपात $1 : 1.33 : 2.67 : 3.67$ के पास हैं, अर्थात् $3 : 4 : 8 : 11$ को 3 से भाग देकर।
5. FCC [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) केवल तभी परावर्तित करते हैं जब $h, k, l$ सब सम या सब विषम हों: जाँचिए कि $(111)$ , $(200)$ , $(220)$ , $(311)$ — योग 3, 4, 8, 11 — बैठते हैं, और यह भी कि लापता योग (1, 2, 5, 6, 7) सरल घनीय के सामने FCC की पुष्टि करते हैं।
6. कोई BCC धातु (अनुमत योग 2, 4, 6, 8, …) अलग उँगली-छाप क्यों दिखाती है — और निरपेक्ष कोणों के बजाय यही सम-विषम का खेल मज़बूत पहचानकर्ता क्यों है?
7. समझाइए कि कणों के बढ़ने पर वलय तीखे क्यों होते जाते हैं: पाँच-परमाणु चौड़ा कोई क्रिस्टलिका ब्रैग परावर्तन का क्या करता है?

**भाग II — धातु का नाम।**

8. हर वलय से [जालक नियतांक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) $a$ निकालिए, वह भी $a = \lambda\sqrt{h^2+k^2+l^2}/2\sin\theta$ के ज़रिए।
9. अपने चारों मानों का औसत लीजिए और $a$ तीन सार्थक अंकों तक दीजिए।
10. प्रति FCC कोष्ठिका 4 परमाणुओं के साथ घनत्व को $a$ और मोलर द्रव्यमान $M$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
11. बहुमूल्य FCC उम्मीदवार: चाँदी ( $M = 107.9\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $\rho = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ), सोना ( $197.0$ , $19.3$ ), प्लैटिनम ( $195.1$ , $21.4$ )। वह घनत्व निकालिए जिसकी भविष्यवाणी आपका $a$ हर उम्मीदवार $M$ के लिए करता है, और उस ईंट को पहचानिए।
12. सोने का [जालक नियतांक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) $4.08\,\text{Å}$ है — जो चाँदी वाले से लगभग एक-सा है। फिर भी इस समस्या का कौन-सा एक मापन उन्हें अलग कर देता है, और वह उस संयोग से अछूता क्यों है?
13. संग्रहालय पूरी ईंट पर कोई अ-विनाशी जाँच माँगता है। एक सुझाइए (आर्किमिडीज़ से घनत्व चलेगा) और उसे अपने सूक्ष्म उत्तर से मिलाइए।

**भाग III — गति में [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice)।**

14. गरम चाँदी कँपती है: हर परमाणु अपने स्थल के चारों ओर $\langle x^2\rangle \propto T$ के साथ खड़खड़ाता है (बंध की कमानियों पर ऊर्जा-समविभाजन)। इससे ब्रैग वलय चौड़े *क्यों नहीं* होते?
15. हाँ, वे कमज़ोर ज़रूर *पड़ते* हैं: विस्थापित परमाणुओं से प्रकीर्ण तरंगें ताल खो देती हैं। गुणात्मक रूप से बताइए कि $T$ बढ़ने पर तीव्रता कैसे बरतनी चाहिए (डिबाई–वालर प्रभाव)।
16. चाँदी की बंध-कमानी आकलिए: $K \approx Ea$ , जहाँ $E = 8.3 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ और निकटतम-पड़ोसी $a = 2.89\,\text{Å}$ ।
17. $m = 1.79 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ के साथ ध्वनि-चाल का पैमाना $v = a\sqrt{K/m}$ निकालिए और चाँदी के मापे गए $\sim2700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से तुलिए।
18. $300\,\mathrm{K}$ पर वर्ग-माध्य-मूल तापीय विस्थापन $\tfrac12K\langle x^2\rangle \sim  \tfrac32k_{\text{B}}T$ से आकलिए और उसकी तुलना बंध-लंबाई से कीजिए: वह कितना अंश है?
19. लिंडेमान का नियम किसी [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) को तब पिघला देता है जब वह अंश $\sim10\,\%$ तक पहुँच जाए: $1235\,\mathrm{K}$ पर पिघलती चाँदी के साथ संगति जाँचिए।

**भाग IV — ईंट से आगे।**

20. क्रोमियम BCC है, $a = 2.88\,\text{Å}$ : उन्हीं एक्स-किरणों के नीचे उसके पहले वलय (कुल (110)) का $2\theta$ बताइए।
21. इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी सतहों और पतली पन्नियों से विवर्तन क्यों लेते हैं, जबकि एक्स-किरणें और न्यूट्रॉन पिंड की जाँच करते हैं? (एक वाक्य में कि हर एक पदार्थ से कितनी प्रबलता से युग्मित होता है।)
22. 1952 में किसी खींचे हुए तंतु के विवर्तन-छायाचित्र ने — धुँधले बिंदुओं का एक X-आकार का प्रतिरूप — किसी कुंडली के अनुदिश चिनी हुई $3.4\,\text{Å}$ की पुनरावृत्ति उजागर की: कौन-सा अणु, और वहाँ विवर्तन क्यों सफल हुआ जहाँ सूक्ष्मदर्शी नहीं हो सके?
23. ढलाई-घर एक परख-टुकड़ा पिघलाता है: बताइए कि द्रव के विवर्तन-प्रतिरूप में वे तीखे वलय क्या बन जाते हैं, और यह किसी द्रव के बचाए रखे क्रम के बारे में क्या कहता है।
24. कोई अर्ध-क्रिस्टल पंचगुनी सममिति के साथ तीखे बिंदु विवर्तित करता है — जो किसी भी दोहराते [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) के लिए असंभव है। फिर भी उसका तीखा प्रतिरूप उसके क्रम के बारे में क्या प्रमाणित कर देता है?
25. तीन पंक्तियों में पहचान का सार दीजिए: वलय-अनुपात $\to$ FCC; $a = 4.09\,\text{Å}$ $+$ घनत्व $\to$ चाँदी; और स्वयं [क्रिस्टल](#def-b3-crystalline-solids-lattice) के कंपन $\to$ यह कि संग्रहालय को आपसे उसे पिघलाकर एक्स-किरणित करने को नहीं कहना चाहिए।

**हल — समस्या 23.1.**

**1.** $2d\sin\theta = n\lambda$। एकवर्णी: एक ही $\lambda$ हर वलय-कोण को एक ही अंतराल पर मानचित्रित कर देती है। चूर्ण: यादृच्छिक कणों में से कुछ सदा परावर्तन के लिए सधे रहते हैं — हर कुल एक साथ बोल उठता है। **2.** यहाँ $\theta = 19.05^\circ, 22.15^\circ, 32.2^\circ,
38.75^\circ$; और $\sin^2\theta = 0.107, 0.142, 0.284, 0.392$। **3.** $d = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ को ब्रैग में रखिए ($n = 1$): $\sin^2\theta = (\lambda^2/4a^2)(h^2+k^2+l^2)$। **4.** अनुपात $1 : 1.33 : 2.67 : 3.68$; और 3 गुना करने पर: $3.0 : 4.0 : 8.0 : 11.0$। **5.** सब-विषम $(111)$ तथा सब-सम $(200)$, $(220)$, $(311)$ ठीक 3, 4, 8, 11 देते हैं; और अनुपस्थित 1, 2, 5, 6, 7 सरल घनीय को बाहर कर देते हैं, जिसका प्रतिरूप उन्हें दिखाता। **6.** BCC के अनुमत सम योग अनुपात $1:2:3:4$ देते हैं — यानी एक अलग ताल। और अनुपात इस सबके बावजूद बचे रहते हैं कि $a$ पता न हो, तरंगदैर्घ्य खिसक जाए, या नमूना ठीक न सधा हो: सम-विषम ज्यामिति है, अंशांकन नहीं। **7.** थोड़े-से तल एक भोथरा व्यतिकरण-अधिकतम बनाते हैं, जैसे पाँच झिर्रियों वाला कोई ग्रेटिंग: वलय की चौड़ाई $\sim$ क्रिस्टलिका के आकार का व्युत्क्रम (शेरर संबंध) — अतः तीखे वलय अच्छे उगे कणों का प्रमाण हैं। **8.** $a = \lambda\sqrt{h^2+k^2+l^2}/2\sin\theta = 4.088,
4.086, 4.089, 4.082\,\text{Å}$। **9.** $a \approx 4.09\,\text{Å}$। **10.** $\rho = 4M/N_{\text{A}}a^3$। **11.** $4/N_{\text{A}}a^3 = 9.74 \times 10^{4}\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$: चाँदी $\to 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (चाँदी के पुस्तिका-मान से मेल), सोना $\to 19.2$ (सोने से मेल!), प्लैटिनम $\to 19.0$ (प्लैटिनम के 21.4 का खंडन — उसका सच्चा $a$ $3.92\,\text{Å}$ है)। प्लैटिनम बाहर; और चाँदी तथा सोना, दोनों बचे रहते हैं, क्योंकि उनके [जालक नियतांक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) लगभग ठीक-ठीक मिलते हैं। **12.** द्रव्यमान पर आधारित कोई मापन: घनत्व (या बस मोलर द्रव्यमान)। चाँदी और सोना $a$ में 0.2 % तक साझा करते हैं, पर उनके परमाणविक द्रव्यमान 1.8 गुने से भिन्न हैं — और [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) का कोई संयोग उस खाई को नहीं पाट सकता। **13.** ईंट पर आर्किमिडीज़: $10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ के पास $\to$ चाँदी, जो उस जंग से भी संगत है (चाँदी काली पड़ती है; सोना चमकता हुआ ही निकलता)। सूक्ष्म कोष्ठिका-द्रव्यमान और स्थूल तुलाई सहमत हैं — वही $\rho = 4M/N_{\text{A}}a^3$, दोनों दिशाओं में पढ़ा हुआ। **14.** परमाणु अपनी *अचल औसत स्थितियों* के आसपास खड़खड़ाते हैं: वह माध्य [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice), जो वलय-कोण तय करता है, अक्षुण्ण है; और यादृच्छिक विस्थापन केवल तीव्रता का बँटवारा बदलते हैं। **15.** तीव्रता $T$ के साथ चिकनाई से गिरती है (एक $\exp(-q^2\langle x^2\rangle)$ जैसा डिबाई–वालर गुणक), और खोया प्रकाश वलयों के बीच विसरित पृष्ठभूमि बनकर फिर प्रकट हो जाता है। **16.** $K \approx Ea = 8.3 \times 10^{10}\,\times
2.89 \times 10^{-10}\, \approx 24\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$। **17.** $v = a\sqrt{K/m} \approx 3300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — मापे गए $2700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से 20 % भीतर। **18.** $\langle x^2\rangle = 3k_{\text{B}}T/K$: वर्ग-माध्य-मूल $\approx0.23\,\text{Å}$, यानी कमरे के ताप पर ही बंध-लंबाई का लगभग 8 %। **19.** 10 % वाला निशान $\sim500\,\mathrm{K}$ तक ले जाता है, जबकि असली $1235\,\mathrm{K}$ है: सही कोटि, पर दो-सा गुणक चूक — हमारा एक-कमानी वाला $K$ बहुत नरम है, और लिंडेमान कोई नियम नहीं, बस एक मापन-नियम है। सीख फिर भी टिकी रहती है: गलन तभी है जब तापीय खड़खड़ाहट स्वयं [जालक](#def-b3-crystalline-solids-lattice) की टक्कर में आ जाए। **20.** $d_{110} = a/\sqrt2 = 2.04\,\text{Å}$: $\sin\theta = 0.378$, $2\theta \approx 44.5^\circ$। **21.** युग्मन की प्रबलता: इलेक्ट्रॉन (आवेशित) नैनोमीटरों में प्रकीर्ण हो जाते हैं — अतः सतहें और पन्नियाँ; एक्स-किरणें माइक्रोमीटरों में — अतः पिंडीय चूर्ण; और न्यूट्रॉन सेंटीमीटरों में — अतः पूरे इंजन-पुर्ज़े। **22.** वे वलय ढहकर एक-दो चौड़े प्रभामंडल बन जाते हैं: द्रव लघु-परास क्रम (पसंदीदा पड़ोसी-दूरी) बचाए रखता है, पर दीर्घ-परास पंजी कोई नहीं — तीखे व्यतिकरण के लिए कुछ आवर्ती बचा ही नहीं। **23.** DNA — फ़ोटो 51। विवर्तन उन पुनरावृत्ति-दूरियों को पढ़ लेता है जो किसी भी प्रकाश-सूक्ष्मदर्शी की पहुँच से कहीं नीचे हैं; उस X प्रतिरूप ने कुंडली की चुगली की, और $3.4\,\text{Å}$ की धुँधली रेखा ने उसकी चिनी हुई सीढ़ियों की। **24.** कि वह संरचना नियतिवादी ढंग से क्रमित है (अर्ध-आवर्ती — क्रमित, पर दोहराए बिना): तीखे बिंदुओं को दीर्घ-परास कला-संसक्ति चाहिए, आवर्तिता नहीं — और यही वह खोज है जिसने स्वयं क्रिस्टलिकी की क्रिस्टल-परिभाषा चौड़ी कर दी। **25.** अनुपात $3:4:8:11 \to$ FCC; $a = 4.09\,\text{Å}$ $+$ घनत्व $\to$ चाँदी, न सोना न प्लैटिनम; और चूँकि गरम करना वलयों को फीका करता है और पिघलाना उन्हें मिटा देता है, इसलिए ईंट को ठंडा ही एक्स-किरणित कीजिए — संग्रहालय की चाँदी, व्यतिकरण से प्रमाणित।