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title: "आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/4-relativistic-kinematics
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# अध्याय 4 — आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी

ऊपरी वायुमंडल से टकराती ब्रह्मांडीय किरणें पंद्रह किलोमीटर की ऊँचाई पर म्युऑन बनाती हैं — ऐसे अस्थायी कण जो औसतन दो माइक्रोसेकंड जीते हैं। लगभग प्रकाश की चाल पर दो माइक्रोसेकंड का अर्थ है छह सौ मीटर; फिर भी समुद्र-तल पर लगे म्युऑन-संसूचक लगातार टिकटिकाते रहते हैं, और उन कणों को गिनते हैं जो अपनी नियत पहुँच से बीस गुना दूर तक चले आए हैं। इस विरोधाभास का समाधान कण-भौतिकी का कोई ब्योरा नहीं, बल्कि उन धारणाओं का पुनर्विचार है जो सारी भौतिकी के नीचे बैठी हैं: चलते म्युऑन के लिए समय हमसे भिन्न ढंग से बीतता है, और उसकी गति के अनुदिश दूरियाँ सिकुड़ जाती हैं। यह अध्याय वही पुनर्विचार — विशिष्ट आपेक्षिकता (आइंस्टाइन, 1905) — अपने दो अभिगृहीतों से खड़ा करता है: भौतिकी के नियम हर [जड़त्वीय निर्देश तंत्र](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) में एक-से हैं, और निर्वात में प्रकाश की चाल उन सबमें एक-सी है। बाकी सब कुछ ईमानदार शुद्धगतिकी से निकलता है: [लोरेंत्स रूपांतरण](#thm-b3-relativistic-kinematics-lorentz) में स्थान का काल के साथ उलझ जाना, काल का प्रसार, लंबाइयों का संकुचन, वेग जोड़ने का नया नियम, और वह ज्यामिति — दिक्-काल और उसका निश्चर अंतराल — जिसमें यह सब उतना ही स्वाभाविक हो जाता है जितने घूर्णन।

## 4.1 निरपेक्ष काल के विरुद्ध दो अभिगृहीत

**टिप्पणी 4.1 (संघर्ष कहाँ से आता है).**

यांत्रिकी के पास सदा एक आपेक्षिकता-सिद्धांत रहा है: शांति से चलते किसी जहाज़ के भीतर गेंदों और लोलकों का कोई प्रयोग उसकी गति नहीं बताता (गैलीलियो), और न्यूटन के नियम हर *[जड़त्वीय निर्देश तंत्र](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates)* में सही रहते हैं, अर्थात् उन तंत्रों में जो एक-दूसरे के सापेक्ष अचर वेग से चल रहे हों। पर वर्ष 2 के खंड का विद्युत्चुंबकत्व प्रकृति के नियतांकों से प्रकाश के लिए एक निश्चित चाल निकाल देता है, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, और यह बताए बिना कि उसे नापता कौन है — और प्रयोग सहमत हैं: चलती पृथ्वी पर पहुँचते तारे के प्रकाश की चाल, जो ऋतुओं भर नापी गई, कभी नहीं बदलती (माइकेलसन और मॉर्ली, 1887, और उसके बाद हर उत्तराधिकारी)। गैलीलियन शुद्धगतिकी, जिसमें वेग जुड़ते हैं, ऐसी चाल को पचा नहीं सकती जो सबके लिए एक-सी हो। कुछ न कुछ छोड़ना ही पड़ेगा, और वह है हमारी यह मान्यता कि काल और [समकालिकता](#def-b3-relativistic-kinematics-event) निरपेक्ष हैं।

**प्रमेय 4.2 (विशिष्ट आपेक्षिकता के अभिगृहीत).**

*(i) आपेक्षिकता:* भौतिकी के नियम हर [जड़त्वीय निर्देश तंत्र](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) में एक ही रूप लेते हैं; कोई भी प्रयोग विराम को एकसमान गति से अलग नहीं करता। *(ii) प्रकाश:* निर्वात में प्रकाश हर [जड़त्वीय निर्देश तंत्र](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) में एक ही चाल $c$ से संचरित होता है, चाहे स्रोत या प्रेक्षक की गति कुछ भी हो।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**परिभाषा 4.3 (घटनाएँ और समकालिकता).**

*घटना* एक बिंदुवत् घटित होना है: एक निश्चित स्थान *और* एक निश्चित क्षण — कोई चिनगारी, संसूचक की एक टिक, कोई क्षय। हर [जड़त्वीय निर्देश तंत्र](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) किसी घटना को उसके निर्देशांक $(t, x, y, z)$ देता है, और इसके लिए तंत्र में विराम पर रखे पैमाने तथा उसमें फैली समकालित घड़ियाँ काम में लाता है। दो घटनाएँ *किसी तंत्र में समकालिक* तब कहलाती हैं जब उस तंत्र की घड़ियाँ उन्हें एक ही $t$ देती हैं — और अभिगृहीतों का पहला शिकार यही है कि यह धारणा तंत्र पर निर्भर करती है।

**उदाहरण 4.4 (रेलगाड़ी और बिजली की दो कड़कें).**

बिजली किसी तेज़ रेलगाड़ी के दोनों सिरों पर गिरती है और गाड़ी तथा पटरी, दोनों पर निशान छोड़ जाती है। ज़मीन पर खड़ी उस प्रेक्षिका के लिए, जो दोनों निशानों के ठीक बीच है, दोनों चमकें साथ पहुँचती हैं: उसके लिए कड़कें समकालिक थीं। पर गाड़ी के मध्यबिंदु पर बैठा यात्री एक चमक की ओर बढ़ रहा है और दूसरी से दूर हट रहा है; उसके तंत्र में भी प्रकाश $c$ से ही चलता है, अतः आगे वाली चमक उस तक पहले पहुँचती है — और चूँकि वह *गाड़ी पर* के दोनों निशानों से बराबर दूरी पर बैठा है, इसलिए उसे यह निष्कर्ष निकालना ही पड़ेगा कि आगे वाली कड़क *पहले* हुई। दोनों में से कोई गलत नहीं: अलग-अलग स्थानों की घटनाओं की [समकालिकता](#def-b3-relativistic-kinematics-event) संसार का तथ्य नहीं, तंत्र का तथ्य है। हर आपेक्षिकीय “विरोधाभास” यहीं घुल जाता है।

![दो कड़कें, जो गाड़ी और पटरी दोनों पर निशान लगाती हैं। ज़मीन पर की प्रेक्षिका, जो निशानों के ठीक बीच है, दोनों चमकें साथ पाती है: उसके लिए समकालिक। यात्री चमक B की ओर दौड़ रहा है; वह उस तक पहले पहुँचती है, और — अपने तंत्र में निशानों से बराबर दूरी पर होने के कारण — वह निष्कर्ष निकालता है कि B पहले गिरी। समकालिकता आपेक्षिक है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/fig-f54cb2a39bb6.svg)

*दो कड़कें, जो गाड़ी और पटरी दोनों पर निशान लगाती हैं। ज़मीन पर की प्रेक्षिका, जो निशानों के ठीक बीच है, दोनों चमकें साथ पाती है: उसके लिए समकालिक। यात्री चमक B की ओर दौड़ रहा है; वह उस तक पहले पहुँचती है, और — अपने तंत्र में निशानों से बराबर दूरी पर होने के कारण — वह निष्कर्ष निकालता है कि B पहले गिरी। [समकालिकता](#def-b3-relativistic-kinematics-event) आपेक्षिक है।*

## 4.2 लोरेंत्स रूपांतरण

**प्रमेय 4.5 (लोरेंत्स रूपांतरण).**

मान लीजिए तंत्र $\mathcal R'$ वेग $v$ से $x$ अक्ष के अनुदिश चलता है — तंत्र $\mathcal R$ के अक्ष के — और $t = t' = 0$ पर दोनों के मूल बिंदु मिलते हैं। कोई [घटना](#def-b3-relativistic-kinematics-event) $(t, x)$, जो $\mathcal R$ की है, $\mathcal R'$ में ये निर्देशांक रखती है

$$
x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad
t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,
$$

जहाँ $y' = y$, $z' = z$; प्रतिलोम रूपांतरण वही है, बस $v \to -v$। $v \ll c$ के लिए $\gamma \to 1$ और गैलीलियो के $x' = x - vt$, $t' = t$ लौट आते हैं। गुणक $\gamma \ge 1$ — रोज़मर्रा की चालों पर मुश्किल से $1$, फिर $1.15$ ($c/2$ पर), $7.1$ ($0.99c$ पर) — इस अध्याय के हर आपेक्षिकीय प्रभाव को नापता है।

**आंशिक उपपत्ति.** स्थान और काल की एकरूपता रूपांतरण को रैखिक होने पर विवश करती है; तंत्रों के बीच सममिति और आपेक्षिकता का अभिगृहीत उसे $x' = \gamma(x - vt)$, $x = \gamma(x' + vt')$ तक घटा देते हैं, जिसमें एक ही अज्ञात फलन $\gamma(v)$ बचता है। उभयनिष्ठ मूल बिंदु से छूटी किसी प्रकाश-चमक का पीछा कीजिए: अभिगृहीत (ii) $x = ct$ *और* $x' = ct'$ दोनों की माँग करता है। प्रतिस्थापन से $ct' = \gamma t(c - v)$ और $ct = \gamma t'(c + v)$; दोनों समीकरणों को गुणा करने पर $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$, जो कथित $\gamma$ ही है। दोनों रैखिक संबंधों के बीच से $x'$ हटाने पर काल का सूत्र मिल जाता है। (“प्रकाश सहमत है” से “पूरा रूपांतरण नियत है” तक का कदम — अनुप्रस्थ दिशाओं में कोई अवशिष्ट खिंचाव या पुनर्मापन नहीं — उन सममिति-तर्कों का उपयोग करता है जिनका ब्योरा [अभ्यास 4.11](#exo-b3-relativistic-kinematics-11) में है।) ∎

**प्रतिज्ञप्ति 4.6 (काल-प्रसार).**

$\mathcal R'$ में विराम पर रखी कोई घड़ी — जो नियत $x'$ पर टिकटिकाती है — $\mathcal R$ से धीमी चलती दिखती है: उसकी दो टिकों के बीच, जिनके बीच *[निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)* $\Delta\tau$ हो (अर्थात् उस तंत्र का काल जिसमें घड़ी विराम में है), तंत्र $\mathcal R$ यह नापता है

$$
\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .
$$

चलती घड़ियाँ धीमी चलती हैं — सारी की सारी, जैविक हों, परमाणविक हों या अवपरमाणविक, क्योंकि जो प्रसारित होता है वह काल ही है, कोई तंत्र-रचना नहीं।

**उपपत्ति.** एक ही $x'$ पर दो टिकें: प्रतिलोम रूपांतरण देता है $\Delta t
= \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$, क्योंकि $\Delta x' = 0$। प्रकाश-घड़ी वाला चित्र ([अभ्यास 4.2](#exo-b3-relativistic-kinematics-2)) वही $\gamma$ केवल पाइथागोरस से दे देता है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 4.7 (लंबाई-संकुचन).**

*[निज लंबाई](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction)* $L_0$ (अर्थात् अपने विराम-तंत्र में लंबाई) वाली कोई छड़, जो लंबाई के अनुदिश $v$ से चल रही हो, प्रयोगशाला में यह नापी जाती है

$$
L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .
$$

अनुप्रस्थ विमाएँ अपरिवर्तित रहती हैं। किसी चलती छड़ को नापने का अर्थ है उसके दोनों सिरों का स्थान *प्रयोगशाला के एक ही क्षण पर* तय करना — और चूँकि [समकालिकता](#def-b3-relativistic-kinematics-event) तंत्र-निर्भर है, इसलिए लंबाई भी।

**उपपत्ति.** दोनों सिरों पर एक ही प्रयोगशाला-काल $t$ पर निशान लगाइए: रूपांतरण देता है $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$, जहाँ $\Delta t = 0$, और $\Delta x' = L_0$: अतः $\Delta x = L_0/\gamma$। ∎

![प्रकाश-घड़ी: दो दर्पणों के बीच उछलता एक फ़ोटॉन। जिस तंत्र में घड़ी चलती है, वहाँ से देखने पर फ़ोटॉन उसी चाल c पर एक लंबा, तिरछा पथ तय करता है: टिक में अधिक समय लगता है, t = \,, केवल पाइथागोरस से।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/fig-4cc34e2a7d41.svg)

*प्रकाश-घड़ी: दो दर्पणों के बीच उछलता एक फ़ोटॉन। जिस तंत्र में घड़ी चलती है, वहाँ से देखने पर फ़ोटॉन उसी चाल $c$ पर एक लंबा, तिरछा पथ तय करता है: टिक में अधिक समय लगता है, $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$, केवल पाइथागोरस से।*

**उदाहरण 4.8 (म्युऑन, दो बार समझाया गया).**

$v = 0.995c$ पर किसी म्युऑन का $\gamma = 10$ होता है। हमारे तंत्र में उसकी भीतरी घड़ी दस गुना धीमी चलती है: उसके निज जीवन के दो माइक्रोसेकंड खिंचकर बीस हो जाते हैं, और वह छह सौ मीटर के बजाय छह किलोमीटर तय करता है। म्युऑन के तंत्र में उसका जीवन वही साधारण $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ है — पर उसकी ओर दौड़ता पहाड़ दस गुना संकुचित होकर भीतर समा जाता है। दोनों तंत्र उस एक भौतिक तथ्य पर सहमत हैं कि *म्युऑन संसूचक तक पहुँचता है या नहीं*: आपेक्षिकता काल और लंबाइयों को फिर से बाँट देती है, परिणामों को कभी नहीं ([समस्या 4.1](#pb-b3-relativistic-kinematics-1))।

**विधि 4.9 (प्रभावों को सीधा रखना).**

(1) *घटनाएँ* पहचानिए (उत्सर्जन, आगमन, टिक, क्षय), “वस्तुएँ” नहीं। (2) [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) $\Delta\tau$ उस अकेली घड़ी का है जो दोनों घटनाओं पर उपस्थित हो: हर दूसरा तंत्र उससे अधिक नापता है, $\gamma\Delta\tau$। (3) [निज लंबाई](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) $L_0$ छड़ के विराम-तंत्र की है: हर दूसरा तंत्र उससे कम नापता है, $L_0/\gamma$। (4) जब “विरोधाभास” सामने आए, तो वे दो स्थान-पृथक् घटनाएँ ढूँढ़िए जिन्हें चुपचाप समकालिक कहा जा रहा है, और पूछिए: किस तंत्र में? (5) सीमा $v/c \to 0$ जाँचिए, और याद रखिए कि छोटी चालों पर $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ होता है — यही रोज़मर्रा के आपेक्षिकीय संशोधनों का आकार है।

## 4.3 वेगों का संयोजन; डॉप्लर

**प्रतिज्ञप्ति 4.10 (वेगों का आपेक्षिकीय संयोजन).**

यदि कोई पिंड $u'$ से $x'$ के अनुदिश चले, तंत्र $\mathcal R'$ में, और वह तंत्र स्वयं $v$ से चले, $\mathcal R$ के सापेक्ष, तो $\mathcal R$ $u' + v$ नहीं, बल्कि यह नापता है

$$
u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .
$$

रोज़मर्रा की चालों पर हर $1$ होता है और गैलीलियो लौट आता है; $u' = c$ के लिए सूत्र $u = c$ देता है, चाहे $v$ कुछ भी हो — प्रकाश सबके लिए $c$ पर है, जैसा गढ़ा ही गया था; और $c$ से नीची चालों का कोई भी संयोजन कभी $c$ तक नहीं पहुँचता।

**उपपत्ति.** प्रतिलोम रूपांतरण के साथ $u = \dd x/\dd t$: $\dd x =
\gamma(\dd x' + v\,\dd t')$, $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$; भाग दीजिए। ∎

**उदाहरण 4.11 (फ़्रेनेल का गुणांक, समझाया गया).**

ठहरे जल में प्रकाश $c/n$ से चलता है। $v$ से बहते जल में फ़िज़ो ने (1851) यह पहेली नापी: $c/n + v(1 - 1/n^2)$, न कि पूरा घसीटा $c/n + v$। $u' = c/n$ को $v$ के साथ संयोजित कीजिए:

$$
u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc}
\approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big)
\approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,
$$

$v/c$ में प्रथम कोटि तक। उन्नीसवीं सदी का एक मेज़ पर किया गया परिणाम, जो तब अस्पष्ट था, [वेग-संयोजन](#prop-b3-relativistic-kinematics-addition) का नियम ही है, प्रथम कोटि पर पढ़ा हुआ — उन्हीं शांत पुष्टियों में से एक, जिन्हें आइंस्टाइन ने 1905 में गिनाया।

**प्रतिज्ञप्ति 4.12 (अनुदैर्घ्य डॉप्लर प्रभाव).**

निज आवृत्ति $f_0$ का कोई स्रोत, जो दृष्टि-रेखा के अनुदिश चाल $v = \beta c$ से दूर हट रहा हो, इस आवृत्ति पर ग्रहण किया जाता है

$$
f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}
\qquad
\text{(निकट आते हुए: } \beta \to -\beta\text{)} .
$$

दो प्रभाव मिलकर काम करते हैं: आगमन-कालों का चिरसम्मत खिंचाव, क्योंकि हर शिखर और दूर से चलता है, तथा स्रोत की घड़ी का आपेक्षिकीय मंदन — वही $\gamma$, जो $90^\circ$ पर भी बचा रहता है (*अनुप्रस्थ* डॉप्लर प्रभाव, अर्थात् शुद्ध काल-प्रसार)।

**उपपत्ति.** ग्राही के तंत्र में स्रोत हर $\gamma/f_0$ पर शिखर छोड़ता है (प्रसार), और हर शिखर $v\gamma/f_0$ अधिक दूरी से चलता है, अतः शिखर हर $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/
(1-\beta)}\,/f_0$ पर पहुँचते हैं। ∎

**उदाहरण 4.13 (मंदाकिनियों का दूर हटना).**

$656.3\,\mathrm{nm}$ पर उत्सर्जित हाइड्रोजन-रेखा किसी दूर की मंदाकिनी से $689\,\mathrm{nm}$ पर पहुँचती है: $f/f_0 = 0.953$, अतः $\beta \approx 0.048$ — मंदाकिनी $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से दूर हट रही है। पूरे आकाश पर लगाकर इसी एक सूत्र ने वर्णक्रमों को फैलते ब्रह्मांड का नक्शा बना दिया; इस पुस्तक का अंतिम अध्याय वह कहानी आगे बढ़ाता है।

## 4.4 दिक्-काल और निश्चर अंतराल

**प्रमेय 4.14 (निश्चर अंतराल).**

किन्हीं दो घटनाओं के लिए यह संयोजन

$$
\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2
$$

हर [जड़त्वीय निर्देश तंत्र](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) में एक ही मान रखता है — वही राशि जिसे आपेक्षिकता संरक्षित रखती है, जबकि काल और लंबाइयाँ लचकती रहती हैं। उसका चिह्न युग्म का वर्गीकरण कर देता है: *काल-सदृश* ($\Delta s^2 > 0$): कोई तंत्र दोनों घटनाओं को एक ही स्थान पर ले आता है, और $\Delta s/c$ उनके बीच का [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) है; *दिक्-सदृश* ($\Delta s^2 < 0$): कोई तंत्र उन्हें समकालिक बना देता है, और कोई संकेत उन्हें जोड़ नहीं सकता; *प्रकाश-सदृश* ($\Delta s^2 = 0$): उन्हें केवल प्रकाश जोड़ता है।

**उपपत्ति.** [लोरेंत्स रूपांतरण](#thm-b3-relativistic-kinematics-lorentz) का सीधा प्रतिस्थापन: $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2
\big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$। वर्गीकरण के लिए: घटनाओं को एक ही स्थान पर लाने के लिए चाल $v = \Delta x/\Delta t$ का तंत्र चाहिए, जो तभी संभव है जब $|\Delta x| <
c\,|\Delta t|$ (काल-सदृश); उन्हें समकालिक बनाने के लिए $v =
c^2\Delta t/\Delta x$ चाहिए, जो तभी संभव है जब $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (दिक्-सदृश)। ∎

**टिप्पणी 4.15 (कार्यकारणता की एक ज्यामिति है).**

हर [घटना](#def-b3-relativistic-kinematics-event) से होकर उसका *[प्रकाश शंकु](#rem-b3-relativistic-kinematics-causality)* जाता है: वे घटनाएँ जिन्हें वह प्रभावित कर सकती है (भविष्य-शंकु), वे जो उसे प्रभावित कर चुकी हो सकती हैं (भूत-शंकु), और दिक्-सदृश “अन्यत्र”, जो कार्यकारणता से कटा हुआ है। चूँकि किसी दिक्-सदृश युग्म का क्रम तंत्र-निर्भर है — कुछ तंत्र A को B से पहले देखते हैं, कुछ B को A से पहले — इसलिए प्रकाश से तेज़ कोई भी संकेत किसी प्रेक्षक को अपने कारण से पहले प्रभाव देख लेने देता। आपेक्षिकता की चाल-सीमा इंजनों की बात नहीं; वह एक संगत इतिहास की कीमत है।

![एक घटना (मूल बिंदु पर का बिंदु) के चारों ओर दिक्-काल। उसका प्रकाश शंकु उसे अलग कर देता है कि वह किसे प्रभावित कर सकती है (भविष्य), कौन उसे प्रभावित कर चुकी हो सकती है (भूत), और दिक्-सदृश अन्यत्र। भौतिक विश्वरेखाएँ 45 से अधिक खड़ी रहती हैं — सदा शंकु के भीतर।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/fig-c1b80144ef03.svg)

*एक [घटना](#def-b3-relativistic-kinematics-event) (मूल बिंदु पर का बिंदु) के चारों ओर दिक्-काल। उसका [प्रकाश शंकु](#rem-b3-relativistic-kinematics-causality) उसे अलग कर देता है कि वह किसे प्रभावित कर सकती है (भविष्य), कौन उसे प्रभावित कर चुकी हो सकती है (भूत), और दिक्-सदृश अन्यत्र। भौतिक विश्वरेखाएँ $45^\circ$ से अधिक खड़ी रहती हैं — सदा शंकु के भीतर।*

**उदाहरण 4.16 (यात्रा पर गया जुड़वाँ).**

एक जुड़वाँ $8$ प्रकाश-वर्ष दूर के किसी तारे तक $0.8c$ से उड़ता है ($\gamma = 5/3$) और लौट आता है। पृथ्वी का काल: $2 \times 8/0.8 =
20\,\mathrm{yr}$। यात्री का [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation): $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — आठ वर्ष छोटा, और इसमें कोई विरोधाभास नहीं: दोनों जुड़वाँओं की स्थितियाँ सममित *नहीं* हैं, क्योंकि एक विश्वरेखा सीधी है (आरंभ से अंत तक जड़त्वीय) और दूसरी में मोड़ पर एक गाँठ है। दो नियत घटनाओं के बीच सीधी विश्वरेखा वही है जिसका [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) *सबसे लंबा* होता है — दिक्-काल की ज्यामिति में चक्कर लगाने वाला कम जीता है। यह प्रभाव नियमित रूप से नापा जाता है: विश्व भर उड़ाई गई परमाणु घड़ियाँ अपनी घर पर रुकी बहनों से ठीक उतने ही नैनोसेकंड असहमत रहती हैं जितनों की भविष्यवाणी थी ([समस्या 4.1](#pb-b3-relativistic-kinematics-1))।

![ऊँचाई पर स्थित एक ब्रह्मांडीय-किरण केंद्र। जिन म्युऑनों को वह गिनता है, वे दस किलोमीटर ऊपर जन्मे थे और उस तक केवल इसलिए पहुँचते हैं कि चलती घड़ियाँ धीमी चलती हैं — काल-प्रसार, जिसे पर्वत-शिखरों पर हर रात नापा जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/img-5e341bdadaa0.jpg)

*ऊँचाई पर स्थित एक ब्रह्मांडीय-किरण केंद्र। जिन म्युऑनों को वह गिनता है, वे दस किलोमीटर ऊपर जन्मे थे और उस तक केवल इसलिए पहुँचते हैं कि चलती घड़ियाँ धीमी चलती हैं — काल-प्रसार, जिसे पर्वत-शिखरों पर हर रात नापा जाता है।*

## 4.5 अभ्यास

**अभ्यास 4.1 ★.**

$\gamma$ निकालिए, $v/c = 0.1$, $0.5$, $0.9$, $0.99$, $0.999$ के लिए। अंतरिक्ष केंद्र ($7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$) के लिए छोटी-चाल सन्निकटन से $\gamma - 1$ निकालिए, और यह भी कि उसका दल छह महीने के अभियान में ज़मीन पर की घड़ी के सापेक्ष कितना समय “कमाता” है (या खोता है?), गुरुत्व की उपेक्षा करते हुए।

**हल — अभ्यास 4.1.**

$\gamma = 1.005$, $1.155$, $2.294$, $7.09$, $22.4$। अंतरिक्ष केंद्र: $\beta =
2.57 \times 10^{-5}$, $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$; छह महीनों ($1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$) में दल की घड़ी $\approx5\,\mathrm{ms}$ *धीमी* रह जाती है (केवल वेग का प्रभाव; केंद्र की नीची ऊँचाई पर गुरुत्वीय प्रभाव इसे घटाता तो है, पर उलटता नहीं)।

**अभ्यास 4.2 ★.**

चित्र वाली प्रकाश-घड़ी: (क) विराम में घड़ी की टिक $\Delta\tau =
2d/c$ लिखिए ($d$ दर्पणों का अंतराल); (ख) उस तंत्र में, जहाँ वह $v$ से चलती है, पाइथागोरस से $\Delta t =
\gamma\Delta\tau$ निकालिए; (ग) तर्क के लिए यह आवश्यक क्यों है कि अनुप्रस्थ दूरी $d$ दोनों तंत्रों में एक ही हो? (घ) वह तर्क दीजिए (एक-दूसरे के पास से गुज़रते दो सर्वसम पैमाने) जिससे अनुप्रस्थ लंबाइयाँ बदल ही नहीं सकतीं।

**हल — अभ्यास 4.2.**

(क) $\Delta\tau = 2d/c$। (ख) हर अर्ध-टिक में फ़ोटॉन कर्ण तय करता है: $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$, जहाँ $d =
c\Delta\tau/2$; हल कीजिए: $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$। (ग) यदि $d$ गति के साथ बदलता, तो पाइथागोरस वाला कदम गलत होता। (घ) दो सर्वसम पैमाने एक-दूसरे के पास से गुज़रें, और हर एक की नोक पर एक कूँची लगी हो जो दूसरे की ओर हो। यदि गति अनुप्रस्थ लंबाइयों को संकुचित करती, तो हर तंत्र यह भविष्यवाणी करता कि उसका अपना पैमाना दूसरे की नोक से *परे* निशान लगाता है — एक ही गुज़रने की [घटना](#def-b3-relativistic-kinematics-event) पर, एक ही कूँची-स्पर्श के विषय में, दो परस्पर विरोधी तथ्य। किसी एक [घटना](#def-b3-relativistic-kinematics-event) पर विरोधाभास की अनुमति नहीं है: अनुप्रस्थ लंबाइयाँ बदल ही नहीं सकतीं।

**अभ्यास 4.3 ★.**

कोई म्युऑन $15\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर $v = 0.999c$ के साथ बनता है। (क) उसका $\gamma$ और हमारे तंत्र में उसका औसत जीवन। (ख) वह औसतन कितनी दूरी तय करता है। (ग) उसके तंत्र में वायुमंडल की मोटाई। (घ) ऐसे म्युऑनों का कितना अंश ज़मीन तक पहुँचता है, आपेक्षिकता के साथ और उसके बिना (क्षय-नियम $\eu^{-t/\tau}$, $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$)?

**हल — अभ्यास 4.3.**

$\gamma = 22.4$। (क) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$। (ख) $v\gamma
\tau = 14.8\,\mathrm{km}$। (ग) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$। (घ) प्रयोगशाला में उड़ान-काल $50\,\text{µ}\mathrm{s}$: आपेक्षिकता के बिना $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — कोई नहीं; आपेक्षिकता के साथ [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ है, और अंश $\eu^{-1}
\approx 0.37$।

**अभ्यास 4.4 ★.**

$x$ अक्ष पर दो घटनाएँ: A, $(t = 0, x = 0)$ पर; B, $(t =
2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$ पर। (क) $\Delta s^2$ निकालिए: काल-सदृश या दिक्-सदृश? (ख) क्या A, B का कारण हो सकती है? (ग) उस तंत्र की चाल ज्ञात कीजिए जिसमें A और B एक ही स्थान पर घटती हैं, तथा वहाँ उनके बीच का [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)। (घ) वही तीन प्रश्न, जब B $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ पर हो — अब कौन-सा तंत्र है, और कौन-सा नहीं?

**हल — अभ्यास 4.4.**

(क) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$, $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$: $\Delta s^2
= (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$, काल-सदृश। (ख) हाँ: $\Delta x/\Delta t = c/2$ पर चलता कोई संकेत काफ़ी है। (ग) वही तंत्र-चाल, $v =
0.5c$; [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c =
1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$। (घ) अब $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$: दिक्-सदृश; कोई कार्यकारण संबंध संभव नहीं; कोई तंत्र उन्हें एक ही स्थान पर नहीं लाता, पर $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ वाला तंत्र उन्हें समकालिक बना देता है।

**अभ्यास 4.5 ★★.**

संचालन-उपग्रह $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर परिक्रमा करते हैं। (क) $\gamma -
1$ निकालिए। (ख) केवल काल-प्रसार से किसी उपग्रह की घड़ी प्रतिदिन ज़मीन की घड़ी से कितना पिछड़ जाती है? (ग) स्थान-निर्धारण संकेतों का समय $c$ पर नापकर होता है: बिना संशोधन के एक दिन के विशिष्ट-आपेक्षिकीय खिसकाव से कितनी स्थान-त्रुटि बनेगी? (घ) पूरा संशोधन (गुरुत्व सहित, अंतिम अध्याय की भावना में) प्रतिदिन $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ है, अर्थात् गुरुत्वीय नील-विस्थापन काल-प्रसार पर *भारी* पड़ता है: यह चिह्न आपको बताता है कि $20\,200\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर कौन-सा प्रभाव बड़ा है?

**हल — अभ्यास 4.5.**

(क) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$: $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$। (ख) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ प्रतिदिन। (ग) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — संचालन एक ही दिन में मर जाता। (घ) कुल $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ का अर्थ है कि गुरुत्वीय नील-विस्थापन ($+45.7$) शुद्धगतिक मंदन ($-7.2$) पर भारी पड़ता है: $20\,200\,\mathrm{km}$ पर पृथ्वी के विभव में ऊँचे बैठना किसी घड़ी को कक्षीय चाल के धीमा करने से अधिक तेज़ कर देता है।

**अभ्यास 4.6 ★★.**

(क) $0.8c$ पर चलता कोई यान अपने सापेक्ष $0.8c$ से आगे कोई खोजी छोड़ता है: हमारे लिए खोजी की चाल? (ख) दो यान एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं, हमारे तंत्र में हर एक $0.9c$ पर: उनकी आपेक्षिक चाल? (ग) संयोजन-नियम से दिखाइए कि $u' < c$ और $v < c$ से $u < c$ निकलता है (व्यंजक $c - u$ का गुणनखंडन कीजिए)। (घ) चंद्रमा के मुख पर घुमाया गया कोई लेज़र-सूचक ऐसा धब्बा बना सकता है जो $c$ से तेज़ चले: इससे कोई नियम क्यों नहीं टूटता?

**हल — अभ्यास 4.6.**

(क) $1.6c/1.64 = 0.976c$। (ख) $1.8c/1.81 = 0.994c$। (ग) $c - u =
\dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$: दोनों गुणनखंड धनात्मक, अतः $u < c$। (घ) धब्बा कोई वस्तु नहीं, चलता हुआ *प्रतिरूप* है: चंद्रमा के मुख के एक बिंदु से अगले तक न पदार्थ जाता है, न ऊर्जा, न सूचना — हर फ़ोटॉन चंद्रमा की ओर $c$ से ही गया।

**अभ्यास 4.7 ★★.**

$589.0\,\mathrm{nm}$ का सोडियम-द्विक किसी तारे से $575.0\,\mathrm{nm}$ पर पहुँचता है। (क) निकट आ रहा है या दूर हट रहा है? किस चाल से? (ख) किस चाल पर दृश्य प्रकाश ($550\,\mathrm{nm}$) निकट अवरक्त ($1100\,\mathrm{nm}$) में खिसक जाएगा? (ग) $\beta \ll 1$ के लिए दिखाइए कि $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$, और $600\,\mathrm{nm}$ पर प्रति $\text{Å}$ km/s में अंगूठे का नियम दीजिए। (घ) नियत दूरी पर चक्कर काटता कोई स्रोत बिना किसी त्रिज्य गति के भी विस्थापन दिखाता है: वह कौन-सा प्रभाव है, और $\beta$ में किस कोटि का?

**हल — अभ्यास 4.7.**

(क) छोटी तरंगदैर्घ्य: निकट आ रहा है। $f/f_0 = 589/575 = 1.024$; $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$: $\beta = 0.024$, अर्थात् लगभग $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$। (ख) अनुपात $2$: $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$, $\beta =
0.6$। (ग) वर्गमूल का प्रसार करने पर $\Delta\lambda/\lambda \approx
\beta$; $600\,\mathrm{nm}$ पर $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ से $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$: प्रति ऐंग्स्ट्रॉम लगभग $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — खगोलविद की सहज गणना। (घ) अनुप्रस्थ डॉप्लर प्रभाव: शुद्ध काल-प्रसार, कोटि $\beta^2$ का — केवल परमाणविक यथार्थता से ही नापा जा सकता है।

**अभ्यास 4.8 ★★.**

बल्ली और खलिहान। कोई $20\,\mathrm{m}$ की बल्ली $\gamma = 2$ पर दो दरवाज़ों वाले $10\,\mathrm{m}$ के खलिहान की ओर ले जाई जाती है। (क) खलिहान-तंत्र में बल्ली की लंबाई: क्या वह समा जाती है? (ख) दौड़ने वाले के तंत्र में *खलिहान* $5\,\mathrm{m}$ लंबा है: दोनों सही कैसे हो सकते हैं? दोनों घटनाएँ पहचानिए (“अगला दरवाज़ा बंद”, “पिछला दरवाज़ा खुला”) और दोनों तंत्रों में उनका काल-क्रम तुलिए। (ग) खलिहान में समकालिक बंद होने के लिए हर तंत्र में इन घटनाओं के बीच का समय निकालिए। (घ) एक वाक्य में सार बताइए (“विरोधाभास” ने कौन-सी मौन मान्यता बनाई थी?)।

**हल — अभ्यास 4.8.**

(क) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$: बस-बस समा जाती है, और दोनों दरवाज़े एक साथ बंद किए जा सकते हैं (खलिहान-तंत्र)। (ख) दौड़ने वाले के तंत्र में घटनाएँ “अगला दरवाज़ा बंद होता है” और “पिछला दरवाज़ा खुलता है” समकालिक *नहीं* हैं: निकास पहले खुल जाता है और तब प्रवेश बंद होता है, और $20\,\mathrm{m}$ की बल्ली $5\,\mathrm{m}$ के खलिहान में से बिना कभी बंद हुए निकल जाती है। (ग) खलिहान-तंत्र: $\Delta t = 0$, जबकि $\Delta x =
10\,\mathrm{m}$। दौड़ने वाले का तंत्र: $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 =
2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$। (घ) “बल्ली बंद है” चुपचाप यह दावा करता है कि दो अलग-अलग स्थानों की घटनाएँ (दोनों दरवाज़ों का बंद होना) समकालिक हैं — जो तंत्र-निर्भर कथन है, तथ्य नहीं।

**अभ्यास 4.9 ★★.**

$100\,\mathrm{m}$ [निज लंबाई](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) का कोई राकेट किसी अंतरिक्ष केंद्र के पास से $0.6c$ पर गुज़रता है। (क) नाक के गुज़रने और पूँछ के गुज़रने के बीच केंद्र की घड़ी कितना समय लेती है? (ख) वही प्रश्न राकेट पर की उस घड़ी के लिए जो केंद्र ([निज लंबाई](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) $300\,\mathrm{m}$) को गुज़रते देख रही है। (ग) केंद्र $80\,\mathrm{m}$ की दूरी पर दो जोड़ने वाले पंजे एक साथ (अपने तंत्र में) छोड़ता है: राकेट के लिए दोनों छोड़ने के बीच कितना समय है, और कौन-सा पहले छूटता है? (घ) पंजों की घटनाओं के युग्म के लिए जाँचिए कि दोनों तंत्रों में $\Delta s^2$ सहमत है।

**हल — अभ्यास 4.9.**

$\gamma = 1.25$, $0.6c$ पर। (क) चलती लंबाई $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$, $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर: $444\,\mathrm{ns}$। (ख) $240/1.8 \times 10^{8} =
1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$। (ग) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 =
200\,\mathrm{ns}$; $t' = \gamma(t - vx/c^2)$ से, बड़े $x$ वाला पंजा — अर्थात् आगे वाला — राकेट के लिए *पहले* छूटता है। (घ) केंद्र: $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$। राकेट: $\Delta
x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$, $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$: $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — निश्चर।

**अभ्यास 4.10 ★★★.**

जुड़वाँ, पूरे विस्तार से। स्टेला $8\,\mathrm{ly}$ दूर के तारे तक (पृथ्वी-तंत्र में) $0.8c$ से उड़ती है और $0.8c$ से लौटती है; टेरा रुकी रहती है। (क) हर जुड़वाँ का बीता समय निकालिए। (ख) स्टेला के बाहर-जाते तंत्र में तारा कितनी दूर है, और बाहर-जाते चरण में उसे कितना समय लगता है? (ग) मोड़ से ठीक पहले और ठीक बाद स्टेला “पृथ्वी पर अभी का समय” क्या निकालती है ($vx/c^2$ पद काम में लाइए)? दिखाइए कि गाँठ पर उसका हिसाब वर्षों जितना उछल जाता है — और यही उछाल दोनों योगों को मिला देता है। (घ) समझाइए कि स्टेला की ओर से कोई सममित तर्क क्यों नहीं चलाया जा सकता।

**हल — अभ्यास 4.10.**

(क) टेरा: $20\,\mathrm{yr}$; स्टेला: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$। (ख) दूरी संकुचित होकर $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$ रह जाती है, जो $4.8/0.8
= 6\,\mathrm{yr}$ में तय होती है, उसके अपने काल में — और यह पूरी यात्रा के $12\,\mathrm{yr}$ से संगत है। (ग) मोड़ की [घटना](#def-b3-relativistic-kinematics-event) $(t =
10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$ के साथ [समकालिकता](#def-b3-relativistic-kinematics-event): बाहर-जाता तंत्र पृथ्वी की घड़ी को $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$ देता है; लौटता तंत्र $10 +
6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$। उसका “पृथ्वी पर अभी” गाँठ पर $12.8\,\mathrm{yr}$ जितना उछल जाता है; और उसका बहीखाता $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$ टेरा से ठीक-ठीक मेल खाता है। (घ) स्टेला *दो* जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में रहती है, जो एक ऐसे त्वरण से जुड़े हैं जिसे वह अनुभव कर सकती है; टेरा एक ही में रहती है। प्रस्थान और पुनर्मिलन की घटनाओं के बीच सीधी विश्वरेखा सबसे लंबा [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) ढोती है; और मुड़ी हुई केवल स्टेला की है।

**अभ्यास 4.11 ★★★.**

लोरेंत्स को ईमानदारी से निकालना। (क) एकरूपता से तर्क दीजिए कि रूपांतरण रैखिक होना ही चाहिए। (ख) $x' = \gamma(x - vt)$ मानकर और, आपेक्षिकता-सिद्धांत से, $x = \gamma(x' + vt')$ मानकर, प्रकाश का उपयोग किए बिना $t'$ को $t$ और $x$ के पदों में निकालिए। (ग) दिखाइए कि $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ की माँग $\gamma$ को उसके कथित मान पर बाँध देती है। (घ) तर्क ने ठीक कहाँ-कहाँ किस अभिगृहीत का उपयोग किया?

**हल — अभ्यास 4.11.**

(क) यदि प्रतिचित्रण अरैखिक होता, तो कोई एकसमान गति दूसरे तंत्र में एकसमान न दिखती, और इससे समांगी दिक् तथा काल के बिंदु आपस में अलग पहचाने जाने लगते। (ख) एक संबंध को दूसरे में रखने पर: $t' = \gamma t +
(1 - \gamma^2)x/\gamma v$। (ग) $x = ct$, $x' = ct'$ रखने पर: $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$, जिसका हल $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$ है। (घ) आपेक्षिकता ने दोनों दिशाओं के लिए वही $\gamma$ दिया (कोई अधिमान्य तंत्र नहीं); और प्रकाश के अभिगृहीत ने बचे हुए स्वतंत्र फलन को निश्चित $\gamma(v)$ बना दिया।

**अभ्यास 4.12 ★★★.**

वेगता। $\varphi$ को $\tanh\varphi = \beta$ से परिभाषित कीजिए। (क) दिखाइए कि [लोरेंत्स रूपांतरण](#thm-b3-relativistic-kinematics-lorentz) $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$, $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$ बन जाता है: किसी काल्पनिक कोण से किया गया “घूर्णन”, जो $c^2t^2 - x^2$ को वैसे ही बनाए रखता है जैसे घूर्णन $x^2 + y^2$ को। (ख) दिखाइए कि वेगों का संयोजन *वेगताओं को जोड़ता* है: $\varphi =
\varphi_1 + \varphi_2$, और $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$ से संयोजन-नियम पुनः प्राप्त कीजिए। (ग) कोई राकेट अपने ही तंत्र में $g$ से त्वरित होता है: यह स्वीकार करते हुए कि उसकी वेगता $\dd\varphi = g\,
\dd\tau/c$ की तरह बढ़ती है, $\beta(\tau)$ ज्ञात कीजिए, और यह भी कि $0.99c$ तक पहुँचने में उसे कितना [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) लगता है। (घ) वेगता सदा क्यों बढ़ सकती है, जबकि $\beta$ नहीं?

**हल — अभ्यास 4.12.**

(क) यहाँ $\cosh\varphi = \gamma$, $\sinh\varphi = \gamma\beta$ के साथ रूपांतरण ठीक वही अतिपरवलयिक घूर्णन है जो कहा गया, और $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ से $c^2t^2 - x^2$ बचा रहता है। (ख) वेगताओं के योग के लिए $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 +
\tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$: ठीक वही संयोजन-नियम — वेग नहीं जुड़ते, वेगताएँ जुड़ती हैं। (ग) $\varphi = g\tau/c$, अतः $\beta = \tanh(g\tau/c)$; $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ से $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ वर्ष यान-काल। (घ) $\varphi$ सारी वास्तविक संख्याओं पर फैलता है, जबकि $\tanh\varphi$ $1$ पर संतृप्त हो जाता है: कोई सदा त्वरित हो सकता है और रैखिक रूप से वेगता कमा सकता है, जबकि चाल केवल $c$ की ओर रेंगती रहती है।

![अल्बर्ट आइंस्टाइन (छायाचित्र: ऑरेन जैक टर्नर, 1947, सार्वजनिक अधिकार-क्षेत्र)। 1905 के आपेक्षिकता-शोधपत्र ने शुद्धगतिकी को दो अभिगृहीतों से फिर से खड़ा किया — यह अध्याय, लगभग अपरिवर्तित, वही शोधपत्र है, अभ्यासों के साथ।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/img-db70820f67b4.jpg)

*अल्बर्ट आइंस्टाइन (छायाचित्र: ऑरेन जैक टर्नर, 1947, सार्वजनिक अधिकार-क्षेत्र)। 1905 के आपेक्षिकता-शोधपत्र ने शुद्धगतिकी को दो अभिगृहीतों से फिर से खड़ा किया — यह अध्याय, लगभग अपरिवर्तित, वही शोधपत्र है, अभ्यासों के साथ।*

## 4.6 समस्या: आकाश में हुआ प्रयोग

**समस्या 4.1.**

सप्ताहांत समस्या — म्युऑन, पर्वत की घड़ियाँ और यह प्रमाण कि काल प्रसारित होता है

काल-प्रसार की सबसे स्वच्छ आरंभिक परीक्षा में कोई प्रयोगशाला-उपकरण काम नहीं आया: प्रकृति हज़ारों की संख्या में आपेक्षिकीय घड़ियाँ देती है, जो हर पर्वत पर बरसती रहती हैं। यह समस्या फ़्रिश–स्मिथ प्रयोग (1963) को फिर से खड़ा करती है, और फिर वही भौतिकी विमानों और संचालन-उपग्रहों तक ले आती है। आँकड़े: म्युऑन का औसत निज जीवन $\tau =
2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$; क्षय चरघातांकी है, और म्युऑनों का $\eu^{-t/\tau}$ अंश [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) $t$ तक बचता है; $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; माउंट वाशिंगटन: दोनों संसूचकों के बीच ऊँचाई का अंतर $h =
1907\,\mathrm{m}$।

**भाग I — आकाश से बरसती घड़ियाँ।**

1. ब्रह्मांडीय प्रोटॉन वायुमंडल में ऊँचाई पर नाभिकों से टकराते हैं और उनका मलबा लगभग $15\,\mathrm{km}$ ऊपर म्युऑनों में क्षय हो जाता है। सर्वसम अस्थायी कणों की कोई जनसंख्या *घड़ी* क्यों है?
2. $c\tau$ निकालिए, अर्थात् म्युऑन के औसत जीवन की प्राकृतिक पहुँच।
3. आपेक्षिकता के बिना, $15\,\mathrm{km}$ पर जन्मे और लगभग $c$ से चलते म्युऑनों का कितना अंश ज़मीन तक पहुँचता? (चरघातांक दीजिए; संख्या स्वयं बेतुकी है।)
4. समुद्र-तल के संसूचक म्युऑन बहुतायत से गिनते हैं: विरोधाभास एक वाक्य में बताइए।
5. समुद्र-तल का अभिवाह लगभग एक म्युऑन प्रति वर्ग सेंटीमीटर प्रति मिनट है: आकलन कीजिए कि हर सेकंड आपकी फैली हथेली से कितने म्युऑन गुज़रते हैं, और दो धड़कनों के बीच आपके शरीर से कितने।
6. प्रयोग ने $0.995c$ चाल वाले म्युऑन छाँटे: उनका $\gamma$ निकालिए।
7. फ़्रिश और स्मिथ ने पर्वत-शिखर पर प्रति घंटा $563 \pm 10$ म्युऑन गिने। $15\,\mathrm{km}$ वाली जन्म-कहानी पर भरोसा करने के बजाय *एक ही* वर्षा को दो ऊँचाइयों पर क्यों नापा जाए?

**भाग II — पर्वत पर की गई माप।**

8. $0.995c$ पर $1907\,\mathrm{m}$ की यात्रा में पर्वत-तंत्र में कितना समय लगता है?
9. काल-प्रसार के बिना उस यात्रा में कितना अंश बचता है, और नीचे के संसूचक तक प्रति घंटा कितने पहुँचने चाहिए?
10. काल-प्रसार के साथ, यात्रा के दौरान म्युऑन के लिए कितना *निज* काल बीतता है?
11. आपेक्षिकता के साथ बचने वाले अंश और प्रति घंटा गिनती की भविष्यवाणी कीजिए।
12. नीचे की मापी गई गिनती प्रति घंटा $408 \pm 9$ थी। दोनों भविष्यवाणियों की आँकड़ों से तुलना कीजिए, और बताइए कि पर्वत से भेंट के बाद कौन-सा सिद्धांत बचता है।
13. मापे गए अनुपात $408/563$ से *प्रायोगिक* प्रसार-गुणक निकालिए और उसकी तुलना $\gamma = 10$ से कीजिए। (म्युऑन चट्टान-जैसे आवरण में थोड़ा धीमे पड़ जाते हैं, अतः प्रभावी $\gamma$ पर्वत-शिखर के मान से कुछ नीचे रहता है — फ़्रिश और स्मिथ को $8.8 \pm  0.8$ मिला।)

**भाग III — म्युऑन की अपनी कहानी।**

14. म्युऑन के तंत्र में माउंट वाशिंगटन कितना ऊँचा है?
15. पर्वत को बहकर गुज़र जाने में कितना समय लगता है, और उतने समय में म्युऑनों का कितना अंश क्षय हो जाता है? जाँचिए कि यह भाग II की भविष्यवाणी से मेल खाता है।
16. दोनों तंत्र इस पर असहमत हैं कि प्रसारित क्या हुआ (हमारा काल? उसका पर्वत?), फिर भी गिनती पर सहमत हैं: गिनती किस प्रकार की राशि है, और सभी तंत्रों को उस पर सहमत क्यों होना ही चाहिए?
17. शिखर पर जन्म और तल पर आगमन के बीच अंतराल $\Delta s^2$ पर्वत-तंत्र में निकालिए, और जाँचिए कि $\Delta s/c$ भाग II वाले म्युऑन के [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) के बराबर है।
18. कोई संशयी कहता है: “शायद क्षय-दर ऊँचाई से बदलती हो, चाल से नहीं।” मापी गई $\gamma$ -निर्भरता (धीमे म्युऑन कम प्रसारित होते हैं) कौन-सा नियंत्रण देती है?
19. आधुनिक संचयन-वलय म्युऑनों को $\gamma = 29.3$ पर रोके रखते हैं और जीवनकाल $10^{-3}$ तक नापते हैं: उन्हें क्या मिलता है, और वृत्ताकार कक्षा इस परीक्षा में क्या जोड़ती है (म्युऑन कौन-सा जुड़वाँ है)?

**भाग IV — धरती पर लौटकर: विमान और उपग्रह।**

20. कोई यात्री-विमान $40\,\mathrm{h}$ की विश्व-परिक्रमा उड़ान में $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है। $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ से उसकी घड़ी का विशिष्ट-आपेक्षिकीय पिछड़ाव नैनोसेकंड में निकालिए।
21. सीज़ियम घड़ियाँ नैनोसेकंड सहज ही सुलझा लेती हैं; 1971 की उड़ानों ने भविष्यवाणी की पुष्टि की (एक बार गुरुत्व का उलटा धक्का, जो ऊँचाई पर बड़ा है, जोड़ लेने पर)। दोनों प्रभावों को अलग करने के लिए *दोनों* दिशाओं में — पूर्व और पश्चिम — उड़ना क्यों आवश्यक है?
22. कोई संचालन-उपग्रह ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) प्रतिदिन कितना विशिष्ट-आपेक्षिकीय घड़ी-पिछड़ाव जमा करता है, माइक्रोसेकंड में?
23. बिना संशोधन के अकेले उस खिसकाव का *एक सप्ताह* कितने किलोमीटर की दूरी-त्रुटि बनाएगा?
24. पूरा संचालन-संशोधन, गुरुत्व सहित प्रतिदिन $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ , उपग्रह की घड़ियों में प्रक्षेपण से पहले ही गढ़ दिया जाता है: यदि ऐसा न होता, तो कोई मार्गदर्शक कुछ ही घंटों में क्या देखता?
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: एक पर्वत, दो गणक और $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ की घड़ियों ने 1963 में $\gamma \approx 9$ पर काल-प्रसार को $10\%$ के भीतर नाप लिया — और वही भौतिकी हर उस फ़ोन में, हर सेकंड, संशोधित की जाती है जो जानता है कि वह कहाँ है।

**हल — समस्या 4.1.**

**1.** सारे म्युऑन कड़ाई से सर्वसम हैं और नियत सांख्यिकीय दर से क्षय होते हैं: किसी जनसंख्या का बचा हुआ अंश बीते [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) को उतनी ही निश्चयता से नापता है जितना कोई घड़ी की सुई। **2.** $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, =
660\,\mathrm{m}$। **3.** $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$: अंश $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$। **4.** जो कण एक किलोमीटर से अधिक चल “नहीं सकते”, वे पंद्रह किलोमीटर पार करके भारी संख्या में आ पहुँचते हैं। **5.** हथेली $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$: प्रति सेकंड दो-एक म्युऑन; शरीर की क्षैतिज काट $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$: दो धड़कनों के बीच लगभग पंद्रह — आपेक्षिकता सब पर, सदा बरसती रहती है। **6.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$। **7.** *एक ही* छँटी जनसंख्या की दो गिनतियों की, ज्ञात ऊँचाई-अंतर पर, तुलना करने से यह हर मान्यता हट जाती है कि म्युऑन कहाँ और कितने जन्मते हैं। **8.** $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$। **9.** $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$: प्रति घंटा लगभग $31$। **10.** $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$। **11.** $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$: प्रति घंटा लगभग $420$। **12.** मापा गया $408 \pm 9$: आपेक्षिकता का $\approx 420$ संसूचकों के अवशोषक में म्युऑनों के थोड़े मंदन के भीतर मेल खाता है; चिरसम्मत भौतिकी का $31$ तेरह गुना दूर है। पर्वत निर्णय कर देता है। **13.** $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{निज}}/\tau}$: $t_{\text{निज}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$, अतः $\gamma_{\exp} =
6.39/0.71 = 9.0$ — ठीक फ़्रिश और स्मिथ के $8.8 \pm 0.8$ के भीतर। **14.** $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$। **15.** $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$: वही $25\%$ क्षय — उसी गिनती का म्युऑन वाला हिसाब। **16.** टिकों की गिनती स्थानिक संपाती घटनाओं का समुच्चय है; घटनाएँ और उनकी गिनतियाँ तंत्र-निश्चर हैं — तंत्र काल और लंबाइयों पर असहमत हो सकते हैं, इस पर कभी नहीं कि किसी गणक ने क्या पढ़ा। **17.** $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 -
(1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$: $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — वही [निज काल](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation), जो पर्वत-तंत्र छोड़े बिना ही निकाल लिया गया। **18.** तब क्षय-दरें हर चाल के लिए एक-सी ही ऊँचाई पर निर्भर होतीं; इसके बदले बचाव $\gamma$ का पीछा करता है — धीमी छँटाइयाँ कम प्रसारित होती हैं, ठीक वैसे ही जैसे $\gamma(v)$ कहता है। **19.** $\gamma\tau$ जितने जीवनकाल, हज़ार में एक भाग तक (म्युऑन संचयन-वलय); और वलय म्युऑन को सदा त्वरित रहने वाला यात्री बना देता है — “यात्रा पर गया जुड़वाँ” तब भी छोटा रहता है जब यात्रा एक अंतहीन मोड़ ही हो। **20.** $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$: $\Delta t = \tfrac12\beta^2
\times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$। **21.** विमान की चाल घूमती पृथ्वी की चाल में जुड़ती या घटती है, जबकि ऊँचाई का (गुरुत्वीय) प्रभाव दोनों ओर एक-सा रहता है: पूर्व और पश्चिम की उड़ानें दोनों योगदानों को साफ़-साफ़ अलग कर देती हैं (1971 का परिणाम दोनों से मेल खाया)। **22.** [अभ्यास 4.5](#exo-b3-relativistic-kinematics-5) से: प्रतिदिन $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$। **23.** $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx
15\,\mathrm{km}.$ **24.** स्थान कुछ ही घंटों में सैकड़ों मीटर और एक दिन में किलोमीटरों तक खिसक जाते — संचालन पहली ही सुबह दिखाई देने लायक टूट जाता। **25.** 1963 में एक पर्वत, दो गणक और $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ की घड़ियों ने $\gamma_{\exp} = 9.0$ नापा, भविष्यवाणी किए गए $10$ के सामने (मंदन सहित, $8.8 \pm 0.8$): काल-प्रसार $10\%$ के भीतर पुष्ट हुआ — और वही भौतिकी आपके सिर के ऊपर के हर संचालन-उपग्रह में, हर सेकंड, चुपचाप संशोधित की जाती है।