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title: "आपेक्षिकीय गतिकी"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/5-relativistic-dynamics
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# अध्याय 5 — आपेक्षिकीय गतिकी

1964 में विलियम बर्टोत्सी ने किसी रैखिक त्वरक में दौड़ते इलेक्ट्रॉनों की फ़िल्म बनाई: हर स्पंद को एक मापी हुई ऊर्जा दी गई, और $8.4\,\mathrm{m}$ की उड़ान पर उसकी चाल नापी गई। न्यूटन की भविष्यवाणी थी कि $15\,\mathrm{MeV}$ के इलेक्ट्रॉन प्रकाश की चाल से आठ गुना तेज़ उड़ेंगे; पर विरामघड़ी ने $0.9999c$ बताया और आगे बढ़ने से इनकार कर दिया, चाहे इलेक्ट्रॉनों को कितना ही ज़ोर से धकेला गया। पिछले अध्याय में शुद्धगतिकी ने हमें बताया कि $c$ एक सीमा है; अब गतिकी को यह समझाना है कि उस धक्के का क्या होता है — जब चाल बढ़नी बंद हो जाए, तब कार्य कहाँ जाता है। उत्तर यांत्रिकी को एक नए संवेग और एक नई ऊर्जा के चारों ओर फिर से गढ़ देता है, और दोनों भौतिकी के सबसे प्रसिद्ध समीकरण में जुड़ जाते हैं: संचित ऊर्जा ही द्रव्यमान है, और द्रव्यमान वहीं बसी ऊर्जा, $E = mc^2$। यह अध्याय वह गतिकी खड़ी करता है, फिर उसे वहाँ काम पर लगाता है जहाँ वह रोज़ जीती है — रेडियोसक्रिय क्षय, कण-संघट्ट, और वे त्वरक जो गति को नए पदार्थ में बदल देते हैं।

## 5.1 संवेग और ऊर्जा, फिर से गढ़े हुए

**टिप्पणी 5.1 (mv→m\vect vmv को क्यों जाना पड़ा).**

चिरसम्मत संवेग $m\vect v$ हर तंत्र में संरक्षित रहता है *यदि* वेग गैलीलियो की रीति से रूपांतरित हों। वे नहीं होते ([प्रतिज्ञप्ति 4.10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/4-relativistic-kinematics#prop-b3-relativistic-kinematics-addition)): जो संघट्ट किसी एक तंत्र में $\sum m\vect v$ संरक्षित रखता है, वह दूसरे में नहीं रखता, अतः पुराना संवेग प्रकृति का नियम हो ही नहीं सकता — अधिक से अधिक किसी नियम की मंद-चाल छाया। मरम्मत यह है कि वेग को कण की *अपनी* घड़ी से नापा जाए: $\dd\vect r/\dd\tau =
\gamma\,\vect v$ स्वच्छ रूप से रूपांतरित होता है, और $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ सभी तंत्रों में एक साथ संरक्षित निकलता है।

**परिभाषा 5.2 (आपेक्षिकीय संवेग और ऊर्जा).**

द्रव्यमान $m$ और वेग $\vect v$ का कोई कण ($\gamma = 1/\sqrt{1 -
v^2/c^2}$) यह संवेग और यह ऊर्जा वहन करता है

$$
\vect p = \gamma m\vect v , \qquad
E = \gamma mc^2 .
$$

विराम में $E_0 = mc^2$: यही *विराम ऊर्जा* है। गतिज ऊर्जा वह है जो गति जोड़ती है, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$, जो $v
\ll c$ के लिए घटकर परिचित $\tfrac12 mv^2$ रह जाती है ($\gamma$ का प्रसार कीजिए)। हर विलगित प्रक्रिया में कुल $\vect p$ और कुल $E$ — विराम ऊर्जाएँ सहित — संरक्षित रहते हैं।

**प्रमेय 5.3 (ऊर्जा–संवेग संबंध).**

किसी भी कण के लिए,

$$
E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 ,
\qquad
\vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :
$$

संयोजन $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ का मान हर तंत्र में एक ही रहता है — ऊर्जा और संवेग के लिए वह वही है जो काल और दिक् के लिए अंतराल है। दो परिसर: नीची चाल पर $E \approx mc^2 + p^2/2m$; और ऊँची ऊर्जा पर ($E \gg mc^2$) $E \approx pc$ तथा $v \to c$: और ज़ोर से धकेलने से ऊर्जा और संवेग बढ़ते हैं, चाल लगभग नहीं।

**उपपत्ति.** $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$; और $pc^2/E =
\gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$। तंत्र-निश्चरता इसलिए निकलती है कि $m$ और $c$ तंत्र-निरपेक्ष हैं। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 5.4 (द्रव्यमानहीन कण).**

शून्य द्रव्यमान वाले कण का $E = pc$ होता है और वह हर तंत्र में ठीक $c$ से चलता है; उसे धीमा नहीं किया जा सकता, केवल लाल-विस्थापित। फ़ोटॉन इसका मानक उदाहरण है: $E = h\nu$ और $p = h\nu/c = h/\lambda$ — वर्ष 1 के खंड के प्लांक–आइंस्टाइन संबंध, जिन्हें अब यांत्रिकी के $m = 0$ वाले कोने के रूप में देखा जाता है।

**उपपत्ति.** [प्रमेय 5.3](#thm-b3-relativistic-dynamics-relation) में $m = 0$ रखिए: $E = pc$ और $v = pc^2/E = c$। ∎

![बाएँ: बर्टोत्सी का “परम चाल” प्रयोग — नापी गई इलेक्ट्रॉन-चालें (बिंदु) आपेक्षिकीय वक्र का अनुसरण करती हैं और c पर संतृप्त हो जाती हैं, जबकि न्यूटन की रेखा उससे परे निकल जाती है। दाएँ: ऊर्जा–संवेग अतिपरवलय; p = 0 पर उसका अंतःखंड विराम ऊर्जा है, और उसका अनंतस्पर्शी फ़ोटॉन का E = pc।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/fig-c39a3c7011a4.svg)

*बाएँ: बर्टोत्सी का “परम चाल” प्रयोग — नापी गई इलेक्ट्रॉन-चालें (बिंदु) आपेक्षिकीय वक्र का अनुसरण करती हैं और $c$ पर संतृप्त हो जाती हैं, जबकि न्यूटन की रेखा उससे परे निकल जाती है। दाएँ: ऊर्जा–संवेग अतिपरवलय; $p = 0$ पर उसका अंतःखंड [विराम ऊर्जा](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) है, और उसका अनंतस्पर्शी फ़ोटॉन का $E = pc$।*

**उदाहरण 5.5 (परिमाण की कोटियाँ).**

कण-भौतिकी ऊर्जा को इलेक्ट्रॉनवोल्ट में और द्रव्यमानों को $\mathrm{MeV}/c^2$ में गिनती है: इलेक्ट्रॉन $0.511$, प्रोटॉन $938.3$, म्युऑन $105.7$, पायॉन $139.6$। $1\,\mathrm{MeV}$ गतिज ऊर्जा वाले किसी इलेक्ट्रॉन का $\gamma =
2.96$ और $v = 0.94c$ होता है — अर्थात् वह पहले से ही पूरी तरह आपेक्षिकीय है, और इसीलिए इलेक्ट्रॉनिकी चिरसम्मत बनी रहती है ($\mathrm{eV}$) जबकि नाभिकीय भौतिकी नहीं ($\mathrm{MeV}$)। $6.8\,\mathrm{TeV}$ के किसी LHC प्रोटॉन का $\gamma = 7250$ है और वह किसी फ़ोटॉन से केवल $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पीछे रहता है।

## 5.2 द्रव्यमान वहीं बसी ऊर्जा है

**प्रमेय 5.6 (द्रव्यमान–ऊर्जा तुल्यता).**

किसी पिंड का द्रव्यमान उसकी अंतर्वस्तु की कुल ऊर्जा है, जिसे $c^2$ से भाग दिया गया हो और उसके विराम-तंत्र में नापा गया हो: पिंड को गरम कीजिए, उसकी स्प्रिंग कसिए, उसके परमाणु उत्तेजित कीजिए — वह $\Delta E/c^2$ जितना भारी हो जाएगा; उसके भागों को बाँध दीजिए और वह बंधन ऊर्जा को $c^2$ से भाग देने जितना *हलका* हो जाएगा — यही *[द्रव्यमान क्षति](#thm-b3-relativistic-dynamics-emc2)* है। और उलटे, [विराम ऊर्जा](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) मुक्त भी की जा सकती है: जब भी अंतिम द्रव्यमानों का योग आरंभिक से कम हो, तब अंतर $\Delta m\,c^2$ गतिज ऊर्जा या विकिरण के रूप में निकल आता है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 5.7 (c2c^2c2 का बहीखाता).**

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: द्रव्यमान का एक ग्राम अंतर $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ है, अर्थात् किसी छोटे नगर की एक दिन की ऊर्जा। रासायनिक बंध (प्रति अणु कुछ eV) द्रव्यमानों को $10^{10}$ में एक भाग जितना खिसकाते हैं — सदा के लिए अतौल्य, और इसीलिए रसायन ने कभी ध्यान नहीं दिया। नाभिकीय बंधन उन्हें लगभग $1\%$ जितना खिसका देता है: हीलियम अपने चार हाइड्रोजन अवयवों से $0.7\%$ हलका है, और वही लुप्त अंश, सूर्य से प्रकाश के रूप में बहता हुआ, उसे हर सेकंड $\Delta m = L_\odot/c^2 =
4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ का पड़ता है — चालीस लाख टन धूप। विनाशन पूरा हिसाब चुका देता है: किसी पॉज़िट्रॉन से मिलता इलेक्ट्रॉन $511\,\mathrm{keV}$ के दो फ़ोटॉनों के सिवा कुछ नहीं छोड़ता, और यही वह संकेत है जिससे PET क्रमवीक्षक किसी जीवित मस्तिष्क को देखते हैं।

**टिप्पणी 5.8 (“परिवर्तन” का अर्थ क्या है).**

कोई भी भौतिक वस्तु ऊर्जा में “बदल” नहीं जाती: कुल ऊर्जा तो शुरू से संरक्षित थी। जो बदलता है वह उसका *निवास* है — [विराम ऊर्जा](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) से, जो तौल में आती है, गतिज ऊर्जा और विकिरण तक, जो उड़ जाते हैं। $E = mc^2$ का गहरा कथन यह है कि जड़त्व स्वयं एक ऊर्जा-अंतर्वस्तु है: गरम गैस से भरा संदूक उसी ठंडे संदूक से अधिक त्वरण का प्रतिरोध करता है।

## 5.3 संघट्ट और क्षय

**परिभाषा 5.9 (चतुःसंवेग और निश्चर द्रव्यमान).**

किसी कण की ऊर्जा और संवेग को उसके *चतुःसंवेग* $P = (E/c, \vect p)$ में बाँध दीजिए। कणों के किसी निकाय के लिए घटकवार जोड़िए: $E_{\text{कुल}} = \sum E_i$, $\vect p_{\text{कुल}} = \sum\vect p_i$। निकाय का *निश्चर द्रव्यमान* $M$ इस तरह परिभाषित है

$$
M^2c^4 = E_{\text{कुल}}^2 - \|\vect p_{\text{कुल}}\|^2c^2 :
$$

यह हर तंत्र में एक ही संख्या है, और उस *संवेग-केंद्र तंत्र* की कुल ऊर्जा ($c^2$ से भाग देने पर) के बराबर है जिसमें $\vect p_{\text{कुल}} = \vect 0$ हो। ध्यान दीजिए कि जब भी भाग एक-दूसरे के सापेक्ष चलते हैं, तब $M$ उनके द्रव्यमानों के योग से अधिक होता है — अलग-अलग उड़ते दो फ़ोटॉनों का $M > 0$ होता है, यद्यपि हर एक द्रव्यमानहीन है।

**विधि 5.10 (किसी आपेक्षिकीय संघट्ट को हल करना).**

(1) [चतुःसंवेग](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) का संरक्षण लिखिए: $E$ और $\vect p$ साथ-साथ, कभी अकेला नहीं। (2) जिस भी बंडल की सुविधा हो, उसका निश्चर $E^2 - p^2c^2$ निकालिए — उसका मान सबसे आसान तंत्र में निकाला जा सकता है और किसी भी दूसरे में काम में लाया जा सकता है। (3) देहलियाँ: कोई अभिक्रिया तब संभव है जब आरंभिक अवस्था का [निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) अंतिम अवस्था के विराम-द्रव्यमानों के योग तक पहुँच जाए। (4) विराम में क्षय: उत्पादों के संवेग विपरीत और बराबर होते हैं; ऊर्जाएँ केवल द्रव्यमानों से निकल आती हैं। (5) चालों में बदलना, यदि पूछा जाए, तो सबसे अंत में ही, $v = pc^2/E$ से।

**उदाहरण 5.11 (पायॉन की छाप).**

विराम में कोई आवेशित पायॉन क्षय होता है, $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (न्यूट्रिनो व्यावहारिक रूप से द्रव्यमानहीन)। संवेग-संरक्षण उत्पादों को बराबर $p$ के साथ आमने-सामने भेज देता है; ऊर्जा-संरक्षण कहता है $m_\pi c^2 =
\sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$। हल करने पर:

$$
pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,
$$

अर्थात् विराम में क्षय होते किसी पायॉन से निकला हर म्युऑन ठीक $4.1\,\mathrm{MeV}$ गतिज ऊर्जा के साथ जन्मता है — एक एकऊर्जीय रेखा, और उसका प्रेक्षण (पॉवेल, 1947) ही वह तरीका था जिससे पायॉन का द्रव्यमान पहली बार तौला गया। द्वि-पिंड क्षय सदा ऐसी रेखाएँ देते हैं; त्रि-पिंड क्षय उन्हें वर्णक्रमों में फैला देते हैं, और ठीक इसी से नाभिकीय $\beta$ क्षय में न्यूट्रिनो का पहला संदेह हुआ था।

**प्रतिज्ञप्ति 5.12 (देहलियाँ: नियत लक्ष्य का अत्याचार).**

नए कण बनाने के लिए केवल *संवेग-केंद्र* की ऊर्जा $Mc^2$ उपलब्ध होती है। ऊर्जा $E$ का कोई पुंज, जो विराम में रखे द्रव्यमान $m_{\text{t}}$ के लक्ष्य से टकराए, यह देता है

$$
M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 +
2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :
$$

उपयोगी ऊर्जा केवल $\sqrt E$ की तरह बढ़ती है — बाकी मलबे को आगे धकेलने में बरबाद हो जाती है। आमने-सामने टकराते दो सर्वसम पुंज $Mc^2 = 2E$ देते हैं: पूरा का पूरा उपयोगी। यही एक सूत्र है जिसके कारण सीमांत की मशीनें संघट्टक हैं ([समस्या 5.1](#pb-b3-relativistic-dynamics-1))।

**उपपत्ति.** प्रयोगशाला में $E_{\text{कुल}}^2 - p_{\text{कुल}}^2c^2$ का मान निकालिए: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$, जहाँ $p$ पुंज का संवेग है; प्रसार कीजिए और $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$ काम में लाइए। संघट्टक के लिए $\vect p_{\text{कुल}} = \vect 0$ और $Mc^2 = E_{\text{कुल}}$। ∎

![गति से पदार्थ बनाना: नियत लक्ष्य पर संवेग-संरक्षण उत्पादों को उड़ते रहने पर विवश कर देता है, और उपयोगी संवेग-केंद्र ऊर्जा केवल √ E की तरह बढ़ती है; आमने-सामने के संघट्ट में वह पूरी 2E होती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/fig-65c2b2e6f7a7.svg)

*गति से पदार्थ बनाना: नियत लक्ष्य पर संवेग-संरक्षण उत्पादों को उड़ते रहने पर विवश कर देता है, और उपयोगी संवेग-केंद्र ऊर्जा केवल $\sqrt E$ की तरह बढ़ती है; आमने-सामने के संघट्ट में वह पूरी $2E$ होती है।*

## 5.4 बल और मशीनें

**प्रतिज्ञप्ति 5.13 (आपेक्षिकीय गति-समीकरण).**

न्यूटन का नियम इस रूप में बचा रहता है

$$
\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)}
{\dd t} , \qquad
\frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .
$$

कोई चुंबकीय क्षेत्र, जो सदा $\vect v$ के लंबवत रहता है, ऊर्जा नहीं बदलता और प्रक्षेप-पथ को इस त्रिज्या के वृत्त में मोड़ देता है

$$
r = \frac{p}{qB}
$$

— वही सूत्र जो वर्ष 1 के खंड में था, पर आपेक्षिकीय $p$ के साथ। पर परिक्रमण-आवृत्ति $qB/\gamma m$ अब कण की ऊर्जा बढ़ने के साथ *घटती* है: साइक्लोट्रॉन का नियत-आवृत्ति धक्का MeV पैमाने के पास ताल से बाहर हो जाता है, और उच्च-ऊर्जा मशीनें — *सिंक्रोट्रॉन* — इसके बदले अपना क्षेत्र और अपनी आवृत्ति $\gamma$ के साथ ताल में बढ़ाती जाती हैं, और पुंज को एक ही वलय पर रखे रहती हैं।

**आंशिक उपपत्ति.** बल-नियम नए संवेग के अनुरूप गतिकी की परिभाषा ही है ($\dd E/\dd t$, $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ से निकलता है: $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$)। वृत्त के लिए: $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$, जबकि $|\vect p|$ अचर है, का अर्थ है कि संवेग-सदिश $qvB/p$ दर से घूमता है, अतः त्रिज्या $v/(qvB/p) = p/qB$ है। ∎

**उदाहरण 5.14 (LHC को किसी अभ्यास की तरह पढ़ना).**

$E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ के प्रोटॉन, $B = 8.3\,\mathrm{T}$ के द्विध्रुवों में: $p \approx E/c$ (अति-आपेक्षिकीय), अतः $r = p/qB =
2.7\,\mathrm{km}$ — और सचमुच वलय की चुंबकीय मोड़-त्रिज्या $2.8\,\mathrm{km}$ है, क्योंकि $27\,\mathrm{km}$ की परिधि का अधिकांश चुंबक ही है। आमने-सामने के संघट्ट $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$ देते हैं; नियत लक्ष्य पर उतना पाने के लिए $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx
10^{17}\,\mathrm{eV}$ का पुंज चाहिए — अब तक बनी किसी भी मशीन की पहुँच से सौ गुना अधिक। आधुनिक ऊर्जा-सीमांत प्रबल चुंबकों ने नहीं, संघट्टक के सूत्र ने खरीदा है।

![कुहरा-कक्ष को पार करते आवेशित कण। ऐसे ही चिह्न — चुंबकीय क्षेत्रों में मुड़ते हुए, युग्मों में प्रकट होते हुए — ने E = mc2 को सूत्र से रोज़ के बहीखाते में बदल दिया: पॉज़िट्रॉन की खोज ऐसे ही किसी छायाचित्र पर हुई थी।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/img-3dff948dc296.jpg)

*कुहरा-कक्ष को पार करते आवेशित कण। ऐसे ही चिह्न — चुंबकीय क्षेत्रों में मुड़ते हुए, युग्मों में प्रकट होते हुए — ने $E = mc^2$ को सूत्र से रोज़ के बहीखाते में बदल दिया: पॉज़िट्रॉन की खोज ऐसे ही किसी छायाचित्र पर हुई थी।*

## 5.5 अभ्यास

**अभ्यास 5.1 ★.**

कोई इलेक्ट्रॉन ($mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$) $0.99c$ से चलता है। $\gamma$, उसका संवेग $\mathrm{MeV}/c$ में, तथा उसकी कुल और गतिज ऊर्जाएँ निकालिए। वही प्रश्न $1\,\mathrm{GeV}$ गतिज ऊर्जा वाले किसी प्रोटॉन ($mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$) के लिए।

**हल — अभ्यास 5.1.**

इलेक्ट्रॉन: $\gamma = 7.09$; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$, अतः $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$, $E_k =
3.11\,\mathrm{MeV}$। प्रोटॉन: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$, $\gamma
= 2.07$, $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$, $\beta =
pc/E = 0.875$।

**अभ्यास 5.2 ★.**

(क) एक ग्राम पदार्थ में कितनी ऊर्जा सोई हुई है? (ख) हिरोशिमा के विस्फोट ने लगभग $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ मुक्त की: वह कितना द्रव्यमान-अंतर है? (ग) सूर्य $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ विकिरित करता है: वह प्रति सेकंड कितना द्रव्यमान छोड़ता है, और दस अरब वर्षों में अपने $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ का कितना अंश? (घ) आपके फ़ोन की बैटरी $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ संचित रखती है: चार्ज किया हुआ फ़ोन कितना भारी होता है?

**हल — अभ्यास 5.2.**

(क) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$। (ख) $6 \times 10^{13}/
9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — बम ने एक ग्राम से भी कम बदला। (ग) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ($3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$) में: $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$, अर्थात् सूर्य का लगभग $0.07\%$। (घ) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx
0.6\,\mathrm{ng}$ — सच्चा, और सदा के लिए अतौल्य।

**अभ्यास 5.3 ★.**

(क) $5\,\mathrm{mW}$ के किसी लेज़र-सूचक का पुंज प्रति सेकंड कितना संवेग ले जाता है, और सूचक को कितना बल अनुभव होता है? (ख) धूप ($1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) पूर्णतः परावर्तक $100\,\mathrm{m}^{2}$ की किसी सौर-पाल पर कितना बल लगाती है? (ग) विराम से चलकर $10\,\mathrm{kg}$ का कोई पाल-यान एक महीने बाद कितनी तेज़ी से चल रहा होगा? (घ) किसी धूमकेतु की धूल-पूँछ सूर्य से दूर की ओर क्यों संकेत करती है?

**हल — अभ्यास 5.3.**

(क) प्रति सेकंड $p = P/c$: प्रतिक्षेप का बल $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$। (ख) परावर्तन अंतरण दुगुना कर देता है: $F = 2\Phi A/c =
2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$। (ग) $a
\approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ के बाद: $v \approx
240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — आरंभ धीमा, पर इंजन कभी सूखता नहीं। (घ) धूप का संवेग (सौर पवन के साथ) धूल को लगातार बाहर की ओर धकेलता है: पूँछ सूर्य से दूर की ओर बहती है, धूमकेतु के पीछे-पीछे नहीं।

**अभ्यास 5.4 ★.**

मात्रकों का अभ्यास। (क) दिखाइए कि $\mathrm{MeV}/c^2$ द्रव्यमान का मात्रक है, और इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान किलोग्राम में बदलिए। (ख) $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ में $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ कितना है? (ग) किसी [निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) का वर्ग $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ निकलता है ($c = 1$ मात्रकों में): वह कितनी संवेग-केंद्र ऊर्जा है? (घ) कण-भौतिक $c = 1$ क्यों रखते हैं, और SI संख्याएँ पाने के लिए पाठक को क्या फिर से डालना पड़ता है?

**हल — अभ्यास 5.4.**

(क) $m = E_0/c^2$: $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} =
9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$। (ख) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} =
5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ग) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ की संवेग-केंद्र ऊर्जा। (घ) $c = 1$ के साथ ऊर्जा, संवेग और द्रव्यमान एक ही मात्रक बाँट लेते हैं और हर सूत्र अपने $c$ झाड़ देता है; SI पर लौटने के लिए $c$ की वही अकेली घात फिर डालिए जो विमाएँ ठीक कर दे।

**अभ्यास 5.5 ★★.**

बर्टोत्सी के इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जाएँ $0.5$, $1$, $4.5$ और $15\,\mathrm{MeV}$ थीं। (क) हर एक के लिए न्यूटन की भविष्यवाणी $v^2 = 2E_k/m$ निकालिए, $c^2$ के मात्रकों में। (ख) आपेक्षिकीय $v^2/c^2$ निकालिए। (ग) $15\,\mathrm{MeV}$ पर $8.4\,\mathrm{m}$ का उसका उड़ान-काल: घड़ी ने क्या पढ़ा, और न्यूटन ने क्या भविष्यवाणी की होती? (घ) इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा कैलोरीमिति से भी नापी गई थी — टकराने पर उनकी ऊष्मा से: वही कदम इस प्रयोग का असली मर्म क्यों था?

**हल — अभ्यास 5.5.**

(क) $2E_k/mc^2$: $1.96$, $3.9$, $17.6$, $59$ — पहले के बाद सब बेतुका। (ख) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$: $0.74$, $0.89$, $0.990$, $0.9989$। (ग) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$; न्यूटन का $7.7c$ $3.7\,\mathrm{ns}$ पढ़वाता। (घ) कैलोरीमापी ने सिद्ध किया कि इलेक्ट्रॉन सचमुच पूरी $15\,\mathrm{MeV}$ लक्ष्य तक ले गए: ऊर्जा पूरी की पूरी वहाँ थी, फिर भी चाल बढ़नी बंद हो चुकी थी — अब कार्य संवेग और ऊर्जा खरीदता है, वेग नहीं।

**अभ्यास 5.6 ★★.**

आवेशित पायॉन विराम में क्षय होता है: $\pi^+ \to \mu^+\nu$, $m_\pi c^2 =
139.6\,\mathrm{MeV}$, $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$, $m_\nu \approx 0$। (क) दिखाइए कि $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ और उसका मान निकालिए। (ख) म्युऑन की गतिज ऊर्जा और चाल। (ग) न्यूट्रिनो की ऊर्जा। (घ) $\gamma_\pi = 50$ पर उड़ते हुए क्षय में, क्षय-म्युऑन की अधिकतम और न्यूनतम प्रयोगशाला-ऊर्जाएँ क्या हैं (आगे और पीछे की ओर क्षय)?

**हल — अभ्यास 5.6.**

(क) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$; मूल को अलग करके वर्ग कीजिए: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 =
(139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$। (ख) $E_\mu =
\sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$: $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$, $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$। (ग) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$। (घ) संवर्धन: $E_{\text{प्रय}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$, जहाँ $\beta
\approx 1$: $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ और $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$ के बीच।

**अभ्यास 5.7 ★★.**

[निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum), काम पर। (क) $200\,\mathrm{MeV}$ के दो फ़ोटॉन एक-दूसरे से $60^\circ$ पर उड़ते हैं: युग्म का [निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) निकालिए। (ख) कोई उदासीन पायॉन ($m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$) दो फ़ोटॉनों में क्षय होता है: हर तंत्र में उस फ़ोटॉन-युग्म का [निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) क्या है? (ग) समझाइए कि कोई प्रयोग किसी कण को उसके क्षय-उत्पादों के निश्चर-द्रव्यमान बंटन में एक उभार के रूप में कैसे “खोजता” है। (घ) बराबर ऊर्जा के दो फ़ोटॉन ठीक समांतर उड़ते हैं: [निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum)? इससे किसी प्रकाश-पुंज के विराम-तंत्र के विषय में क्या पता चलता है?

**हल — अभ्यास 5.7.**

(क) दो द्रव्यमानहीन क्वांटों के लिए $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) =
2 \times 200^2 \times \tfrac12$: $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$। (ख) ठीक $m_{\pi^0}$ — [निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) कण का द्रव्यमान ही है, हर तंत्र में। (ग) घटना के हर फ़ोटॉन-युग्म के लिए $M$ निकालिए: यादृच्छिक युग्म चिकनाई से फैल जाते हैं, जबकि किसी कण की सच्ची पुत्रियाँ उसके द्रव्यमान पर ढेर हो जाती हैं — वही उभार। (घ) $\theta = 0$: $M = 0$; प्रकाश के किसी समांतर पुंज का कोई विराम-तंत्र नहीं — वह अपने हर फ़ोटॉन की तरह, समूचा ही $c$ से चलता है।

**अभ्यास 5.8 ★★.**

LHC का बहीखाता ($E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ के प्रोटॉन)। (क) $\gamma$, और चाल की कमी $c - v$ ($c - v \approx c/2\gamma^2$ काम में लाइए)। (ख) $27\,\mathrm{km}$ के वलय पर परिक्रमण-आवृत्ति और प्रति सेकंड चक्करों की संख्या। (ग) $3 \times 10^{14}$ प्रोटॉनों के पुंज की संचित ऊर्जा, TNT ($4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$) के किलोग्रामों में। (घ) दोनों पुंजों की गतिज ऊर्जा का द्रव्यमान-तुल्य, माइक्रोग्राम में — वह पदार्थ जो अभी बनने वाला है।

**हल — अभ्यास 5.8.**

(क) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$; $c - v \approx
c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ख) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 =
11.1\,\mathrm{kHz}$: प्रति सेकंड ग्यारह हज़ार चक्कर। (ग) $3 \times 10^{14}
\times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ TNT — और वह भी बाल जितने पतले पुंज में। (घ) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx
7\,\text{µ}\mathrm{g}$: बनने वाले पदार्थ का कार्यकारी भंडार।

**अभ्यास 5.9 ★★.**

टकराते फ़ोटॉन। (क) दिखाइए कि निर्वात में कोई अकेला फ़ोटॉन किसी इलेक्ट्रॉन–पॉज़िट्रॉन युग्म में क्षय नहीं हो सकता, चाहे कितना ही ऊर्जावान हो (निश्चर काम में लाइए)। (ख) ऊर्जा $\epsilon$ के किसी दूसरे फ़ोटॉन से आमने-सामने टकराने पर दिखाइए कि युग्म-सृजन के लिए $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ चाहिए। (ग) किसी $511\,\mathrm{keV}$ फ़ोटॉन को कैसा साथी चाहिए? $50\,\mathrm{keV}$ की किसी एक्स-किरण को? (घ) ब्रह्मांड तारों के प्रकाश और ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि से भरा है: (ख) अंतर-मंदाकिनीय दिक् में TeV $\gamma$-किरणों की पहुँच के विषय में क्या भविष्यवाणी करता है?

**हल — अभ्यास 5.9.**

(क) किसी फ़ोटॉन का [निश्चर द्रव्यमान](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) $0$ है; किसी $e^+e^-$ युग्म का कम से कम $2m_{\text{e}}c^2$। किसी विलगित क्षय में निश्चर बदल नहीं सकता: अतः वर्जित। (समतुल्य रूप से: किसी भी तंत्र में संवेग संतुलित नहीं हो सकता।) (ख) आमने-सामने $M^2c^4 = 4E\epsilon$; युग्म-सृजन के लिए $Mc^2 \ge
2m_{\text{e}}c^2$ चाहिए, अर्थात् $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$। (ग) कोई दूसरा $511\,\mathrm{keV}$ फ़ोटॉन; और $50\,\mathrm{keV}$ के लिए $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$ का साथी। (घ) कोई TeV फ़ोटॉन साधारण तारों के प्रकाश पर $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ की देहली पा लेता है: आकाश स्वयं ब्रह्मांडीय दूरियों पर TeV $\gamma$-किरणें सोख लेता है — ब्रह्मांड हर ऊर्जा पर पारदर्शी नहीं है।

**अभ्यास 5.10 ★★★.**

कॉम्पटन, चतुःसंवेगों से। तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का कोई फ़ोटॉन विराम में रखे किसी इलेक्ट्रॉन से टकराकर कोण $\theta$ पर प्रकीर्ण होता है। (क) [चतुःसंवेग](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) का संरक्षण लिखिए और अंतिम इलेक्ट्रॉन के निश्चर को अलग कीजिए। (ख) यह निकालिए

$$
\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .
$$

(ग) $h/m_{\text{e}}c$ और अधिकतम विस्थापन का मान निकालिए; यह प्रभाव दृश्य प्रकाश के साथ अदृश्य क्यों है पर एक्स-किरणों के लिए निर्णायक? (घ) कॉम्पटन की 1923 की माप ने प्रकाश के विषय में क्या स्थापित किया जो प्रकाश-विद्युत् प्रभाव ने नहीं किया था?

**हल — अभ्यास 5.10.**

(क) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$; दोनों पक्षों का वर्ग कीजिए (निश्चर): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\!
\cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$। (ख) $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$, $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ और $P_\gamma\!\cdot\!
P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$ के साथ: $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$, जो तरंगदैर्घ्यों में ($E = hc/\lambda$) कथित विस्थापन बन जाता है। (ग) $h/m_{\text{e}}c =
2.43\,\mathrm{pm}$, और अधिक से अधिक $4.9\,\mathrm{pm}$: दृश्य प्रकाश का $10^5$ में एक भाग (अदृश्य), पर $100\,\mathrm{pm}$ की किसी एक्स-किरण का कई प्रतिशत (मापनीय)। (घ) यही कि कोई फ़ोटॉन बिलियर्ड-गेंद की तरह टकराता है — और संवेग $h/\lambda$ *अलग-अलग* घटनाओं में विनिमित करता है, न कि केवल ऊर्जा को ढेरों में।

**अभ्यास 5.11 ★★★.**

ब्रह्मांडीय-किरण वर्णक्रम का अंत। ब्रह्मांड प्रारूपिक ऊर्जा $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ के सूक्ष्मतरंग फ़ोटॉनों में नहाया है। ऊर्जा $E$ का कोई प्रोटॉन, जो उनमें से एक से आमने-सामने टकराए, $\Delta$ अनुनाद ($m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$) तक उत्तेजित हो सकता है और हर बार ऊर्जा खो देता है। (क) दिखाइए कि देहली-शर्त लगभग $4E\epsilon =
(m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$ है। (ख) देहली $E$ निकालिए। (ग) उससे ऊपर ब्रह्मांड लगभग $100\,\mathrm{Mly}$ से परे प्रोटॉनों के लिए अपारदर्शी है: यह प्रेक्षित ब्रह्मांडीय-किरण वर्णक्रम के विषय में क्या भविष्यवाणी करता है (ग्राइसेन–ज़ात्सेपिन–कुज़मिन कटाव)? (घ) $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ की ब्रह्मांडीय किरणें दर्ज हुई हैं — “हे भगवान” कण: उनका अस्तित्व उनके स्रोतों से क्या माँग करता है?

**हल — अभ्यास 5.11.**

(क) आमने-सामने $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ (प्रोटॉन अति-आपेक्षिकीय); देहली $M = m_\Delta$ पर। (ख) $E =
(1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV})
\approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ औसत फ़ोटॉन के लिए — सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि की तापीय पुच्छ प्रभावी कटाव को $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ तक ले आती है। (ग) कटाव से ऊपर के प्रोटॉन $\Delta$ को ऊर्जा दे बैठते हैं, $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$ के भीतर ही: दूर के स्रोतों के लिए वर्णक्रम $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ के पास समाप्त हो जाना चाहिए — वही प्रेक्षित GZK दमन। (घ) उनके स्रोतों को असाधारण त्वरक भी होना चाहिए और ब्रह्मांडीय रूप से *पास* भी — हमारे महागुच्छ के भीतर — और यही एक कारण है कि उनका उद्गम आज भी खोजा जा रहा है।

**अभ्यास 5.12 ★★★.**

फ़ोटॉन-राकेट। आरंभिक द्रव्यमान $m_{\text{i}}$ का कोई राकेट अपना निकास एक सँकरे प्रकाश-पुंज के रूप में छोड़ता है और चाल $\beta c$ तक पहुँचता है। (क) आरंभ और अंत के बीच ऊर्जा और संवेग संरक्षित करके दिखाइए कि

$$
\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} =
\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,
$$

अर्थात् वेगता का चरघातांक — सर्वोत्तम संभव निकास के साथ आपेक्षिकीय त्सियोल्कोव्स्की समीकरण। (ख) $0.9c$ तक पहुँचने के लिए द्रव्यमान-अनुपात? और $0.9c$ तक पहुँचकर गंतव्य पर *रुकने* के लिए? (ग) पुंज कहीं से बनाना ही होगा: पूर्ण दक्षता पर पदार्थ–प्रतिपदार्थ विनाशन से, एकतरफ़ा $0.9c$ यात्रा के लिए प्रति किलोग्राम पेलोड कितने किलोग्राम प्रतिपदार्थ चाहिए? (घ) विश्व का प्रतिप्रोटॉन-उत्पादन प्रति वर्ष नैनोग्रामों में है: फ़ोटॉन-राकेटों पर एक वाक्य में निष्कर्ष दीजिए।

**हल — अभ्यास 5.12.**

(क) ऊर्जा: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$; संवेग: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$। $E_\ell$ हटाइए: $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} =
m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$। (ख) $\sqrt{19} = 4.4$; त्वरण *और* मंदन दोनों करने पर वह वर्ग हो जाता है: $19$। (ग) खपा हुआ द्रव्यमान $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ विनष्ट किया गया ईंधन होना चाहिए, जिसका आधा प्रतिपदार्थ: प्रति किलोग्राम पहुँचाए गए भार पर $1.7\,\mathrm{kg}$ प्रतिपदार्थ (एकतरफ़ा, बिना मंदन के)। (घ) विश्व-उत्पादन प्रति वर्ष नैनोग्रामों में होने के कारण फ़ोटॉन-राकेट अंकगणित ही रहते हैं, अभियांत्रिकी नहीं।

![प्रतिपदार्थ की खोज (कार्ल एंडरसन, 1932, सार्वजनिक अधिकार-क्षेत्र): कुहरा-कक्ष की सीसे की पट्टिका से ऊपर चढ़ता एक अकेला पॉज़िट्रॉन, जो इलेक्ट्रॉन के लिए उलटी दिशा में और प्रोटॉन के लिए बहुत कसकर मुड़ा हुआ है — E = mc2 का बहीखाता उलटी दिशा में चलता हुआ पकड़ा गया।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/img-b683dc787f01.jpg)

*प्रतिपदार्थ की खोज (कार्ल एंडरसन, 1932, सार्वजनिक अधिकार-क्षेत्र): कुहरा-कक्ष की सीसे की पट्टिका से ऊपर चढ़ता एक अकेला पॉज़िट्रॉन, जो इलेक्ट्रॉन के लिए उलटी दिशा में और प्रोटॉन के लिए बहुत कसकर मुड़ा हुआ है — $E = mc^2$ का बहीखाता उलटी दिशा में चलता हुआ पकड़ा गया।*

## 5.6 समस्या: पदार्थ बनाना — प्रतिप्रोटॉन और बेवाट्रॉन

**समस्या 5.1.**

सप्ताहांत समस्या — संवेग-संरक्षण ने प्रतिसंसार का मोल कैसे तय किया

1931 से डिराक के समीकरण यह माँग कर रहे थे कि प्रोटॉन का कोई विपरीत आवेश वाला दर्पण-जुड़वाँ हो। एक बनाने का अर्थ था उसकी [विराम ऊर्जा](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) को पुंज-ऊर्जा से खरीदना — और उसका मोल संवेग-संरक्षण ने तय किया। यह समस्या वह मोल आँकती है, उसे चुकाने वाली मशीन का अभिकल्प करती है, और 1955 की खोज का पीछा करती है। आँकड़े: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$; आवेश और *बैरिऑन संख्या* (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन $+1$, प्रतिप्रोटॉन $-1$) हर अभिक्रिया में संरक्षित रहते हैं।

**भाग I — [चतुःसंवेग](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) की औज़ार-पेटी।**

1. एक कण के लिए $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ दिखाइए, $E$ और $\vect p$ की परिभाषाओं से।
2. किसी निकाय के लिए $E_{\text{कुल}}^2 -  p_{\text{कुल}}^2c^2$ सभी तंत्रों में एक ही क्यों है, और संवेग-केंद्र तंत्र में वह किसके बराबर है?
3. ऊर्जा $E$ का कोई प्रोटॉन-पुंज विराम में रखे प्रोटॉन से टकराता है: दिखाइए कि $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ ।
4. दोनों सीमाएँ जाँचिए: नीची ऊर्जा पर $Mc^2 \to  2m_{\text{p}}c^2$ ; ऊँची ऊर्जा पर $Mc^2 \approx  \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — वही वर्गमूल-नियम।
5. कोई अभिक्रिया तभी अनुमत है जब $Mc^2$ उत्पादों के विराम-द्रव्यमानों के योग तक पहुँच जाए, और देहली पर सारे उत्पाद संवेग-केंद्र तंत्र में विराम में हों: इस अंतिम उपवाक्य का औचित्य दीजिए।
6. नियत लक्ष्य पर प्रयोगशाला में उत्पादों की गतिज ऊर्जा कण-सृजन के लिए कभी वापस क्यों नहीं पाई जा सकती?

**भाग II — प्रतिप्रोटॉन का मोल।**

7. $p + p$ संघट्टों में प्रतिप्रोटॉन $\bar p$ बनाने वाली सबसे सस्ती अभिक्रिया को एक *अतिरिक्त* प्रोटॉन भी बनाना पड़ता है: उसे लिखिए, और आवेश तथा बैरिऑन संख्या से औचित्य दीजिए।
8. दिखाइए कि देहली के लिए $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ चाहिए।
9. आवश्यक पुंज-ऊर्जा $E = 7m_{\text{p}}c^2$ और गतिज ऊर्जा $T = 6m_{\text{p}}c^2$ निकालिए; $T$ का मान निकालिए।
10. देहली पर पुंज की गतिज ऊर्जा का कितना अंश सचमुच नया विराम-द्रव्यमान बना (उसमें से $2m_{\text{p}}c^2$ )? शेष कहाँ है?
11. आमने-सामने के किसी $p$ – $p$ संघट्टक में उसी अभिक्रिया को *प्रति पुंज* कितनी गतिज ऊर्जा चाहिए? दोनों अभिकल्पों की तुलना कीजिए।
12. 1954 में कोई संघट्टक नहीं था (पुंज इतने विरल थे कि आपस में टकरा ही नहीं पाते): किस व्यावहारिक तथ्य ने नियत-लक्ष्य वाला चुनाव कराया, और पुंज-ऊर्जा में उसकी क्या कीमत पड़ी?

**भाग III — बेवाट्रॉन का अभिकल्प।** बर्कली में बनी मशीन $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ तक पहुँची — देहली से आराम से ऊपर — और उसके द्विध्रुव-क्षेत्र $B =
1.56\,\mathrm{T}$ थे।

13. शिखर ऊर्जा पर पुंज की कुल ऊर्जा और संवेग निकालिए।
14. मोड़-त्रिज्या $r = p/qB$ निकालिए और मशीन के $15.2\,\mathrm{m}$ से तुलना कीजिए।
15. प्रोटॉन की चाल और $2\pi r$ के वलय पर परिक्रमण-आवृत्ति निकालिए।
16. अंतःक्षेपण पर प्रोटॉन $10\,\mathrm{MeV}$ गतिज ऊर्जा के साथ आते हैं: उनकी चाल निकालिए, और समझाइए कि हर चक्र में त्वरक-आवृत्ति को *झाड़ू* की तरह क्यों बदलना पड़ता था ( $E$ बढ़ने के साथ कौन-सी दो राशियाँ बदलती हैं?)।
17. प्रति चक्कर लगभग $1.5\,\mathrm{kV}$ मिलने पर, एक त्वरण-चक्र में कितने चक्कर लगते हैं और कितना समय?
18. नाम “बेवाट्रॉन” BeV से आया, अर्थात् अरब इलेक्ट्रॉनवोल्ट: एक पंक्ति में बताइए कि कौन-सी भौतिकी ने अभिकल्प का आँकड़ा $6$ और कुछ BeV तय किया।

**भाग IV — खोज, 1955।**

19. कोई चुंबक हर संभावित कण को एक वृत्त पर मोड़ता है: समझाइए कि इससे कणों की छँटाई *संवेग* से होती है ( $r = p/qB$ ), ऊर्जा या चाल से नहीं — और संवेग से छँटा पुंज फिर भी जातियाँ क्यों मिलाए रखता है।
20. ताँबे के लक्ष्य पर पड़ता पुंज ऋणात्मक पायॉनों ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ) की बाढ़ बनाता था, जिनमें कुछ प्रतिप्रोटॉन छिपे रहते थे। वर्णक्रममापी ने संवेग $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ के ऋणात्मक कण छाँटे: उस संवेग पर किसी प्रतिप्रोटॉन की और किसी पायॉन की चाल निकालिए।
21. $12\,\mathrm{m}$ के उड़ान-पथ पर दोनों उड़ान-काल निकालिए: इस खोज को कितनी काल-विभेदन क्षमता चाहिए थी?
22. एक दूसरी, स्वतंत्र पहचान चेरेनकोव गणकों से हुई, जो केवल किसी चाल-देहली से ऊपर ही चलते हैं: किस कण को उन्हें चलाने के लिए सजाया गया था, और किसी खोज के लिए बहुलता क्यों महत्वपूर्ण है?
23. चेंबरलेन और सेग्रे ने प्रति $44\,000$ पायॉनों पर लगभग एक प्रतिप्रोटॉन गिना: देहली वाले तर्क ने यह क्यों सुनिश्चित कर रखा था कि देहली से ऊपर भी दर बहुत छोटी ही रहेगी?
24. कोई प्रतिप्रोटॉन अंततः किसी प्रोटॉन से मिलकर विनष्ट हो जाता है: प्रति घटना कितनी ऊर्जा मुक्त होती है, और प्रायः किस रूप में?
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: [चतुःसंवेग](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) के संरक्षण ने प्रतिप्रोटॉन का मोल नियत लक्ष्य पर $T = 6m_{\text{p}}c^2 =  5.6\,\mathrm{GeV}$ ठहराया; $6.2\,\mathrm{GeV}$ के, $15\,\mathrm{m}$ के किसी सिंक्रोट्रॉन ने वह चुकाया, और प्रतिसंसार प्रयोगशाला का तथ्य बन गया — 1959 का नोबेल पुरस्कार।

**हल — समस्या 5.1.**

**1.** $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$। **2.** $E_{\text{कुल}}$ और $\vect p_{\text{कुल}}$ ठीक वैसे ही रूपांतरित होते हैं जैसे किसी एक कण के $E$ और $\vect p$ (वे योग ही हैं), अतः वही बीजगणित एक निश्चर देता है; और जहाँ $\vect p_{\text{कुल}} = \vect 0$ हो, वहाँ वह कुल ऊर्जा का वर्ग है: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$। **3.** $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 +
2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$। **4.** $E \to m_{\text{p}}c^2$ से $M = 2m_{\text{p}}$; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ से $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$। **5.** उत्पादों की कोई भी आपेक्षिक गति CM तंत्र में उनके विराम-द्रव्यमानों के ऊपर गतिज ऊर्जा जोड़ देती है; न्यूनतम $Mc^2$ — अर्थात् देहली — उन सबको आपेक्षिक विराम में छोड़ देता है। **6.** प्रयोगशाला का संवेग $\vect p_{\text{कुल}} \neq \vect 0$ संघट्ट के बाद भी बचा रहना चाहिए: उत्पाद चलने को अभिशप्त हैं, और उनकी गतिज ऊर्जा द्रव्यमान बनाने से बंद हो जाती है। **7.** $p + p \to p + p + p + \bar p$: आवेश $+2 \to +2$; बैरिऑन संख्या $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$। अकेला $\bar p$ बनाना, या पूरे एक अतिरिक्त बैरिऑन से कम कुछ भी, दोनों में से एक को तोड़ देता है। **8.** आपेक्षिक विराम में चार प्रोटॉन-द्रव्यमान: $Mc^2 =
4m_{\text{p}}c^2$। **9.** $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 +
2Em_{\text{p}}c^2$: $E = 7m_{\text{p}}c^2$, $T = 6m_{\text{p}}c^2 =
5.63\,\mathrm{GeV}$। **10.** नया विराम-द्रव्यमान $2m_{\text{p}}c^2$, कुल $T =
6m_{\text{p}}c^2$ में से — अर्थात् एक तिहाई; शेष दो तिहाई उत्पादों की गतिज ऊर्जा बनकर आगे उड़ जाते हैं, और संवेग-संरक्षण उन्हें बचाए रखता है। **11.** आमने-सामने $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) =
4m_{\text{p}}c^2$: $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ प्रति पुंज — नियत-लक्ष्य वाले पुंज से छह गुना कम, और कुल गतिज ऊर्जा में बारह गुना कम। **12.** 1950 के दशक के पुंज इतने विरल थे कि आपस में उपयोगी ढंग से टकरा ही नहीं सकते थे; कोई ठोस लक्ष्य प्रति घन सेंटीमीटर $10^{22}$ प्रोटॉन देता है। कीमत: $5.6\,\mathrm{GeV}$, न कि $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$। **13.** $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$; $pc =
\sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$। **14.** $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} =
3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — ठीक वैसी ही जैसी मशीन बनी। **15.** $\beta = pc/E = 0.991$; कक्षा $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$: $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$। **16.** $10\,\mathrm{MeV}$ पर $\beta = 0.145$: $f =
0.46\,\mathrm{MHz}$। ऊर्जा चढ़ने के साथ चाल (अतः $f$) और संवेग (अतः नियत त्रिज्या पर आवश्यक क्षेत्र) दोनों बदलते हैं: क्षेत्र और रेडियो-आवृत्ति को साथ-साथ चढ़ाना पड़ता है — यही सिंक्रोट्रॉन की परिभाषक युक्ति है। **17.** $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ चक्कर; औसतन मेगाहर्ट्ज़ कोटि की आवृत्ति पर, एक त्वरण-चक्र लगभग एक से दो सेकंड का। **18.** प्रतिप्रोटॉन की देहली $T = 6m_{\text{p}}c^2 =
5.6\,\mathrm{GeV}$, और उस पर कुछ गुंजाइश: इस समस्या का हिसाब ही अक्षरशः वह है जिसके लिए मशीन की ऊर्जा — और नाम — चुने गए। **19.** $r = p/qB$ में कोई द्रव्यमान नहीं है: चुंबक बराबर संवेगों को बराबर मोड़ता है, कण चाहे कोई भी हो — अतः छँटा हुआ पुंज तब भी पायॉन, केऑन और (कभी-कभार) प्रतिप्रोटॉन मिलाए रखता है, सबको $1.19\,\mathrm{GeV}/c$ पर। **20.** $\bar p$: $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} =
1.51\,\mathrm{GeV}$, $\beta = 0.79$। $\pi^-$: $E = \sqrt{1.19^2 +
0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$, $\beta = 0.993$। **21.** $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$; $t_\pi =
40\,\mathrm{ns}$: $11\,\mathrm{ns}$ के इस अंतर के लिए नैनोसेकंड की काल-गणना चाहिए थी — जो 1955 में बस-बस उपलब्ध थी। **22.** गणक इस तरह लगाए गए थे कि वे तेज़ पायॉनों पर चल पड़ें और धीमे प्रतिप्रोटॉनों पर चुप रहें (एक वेग-निषेध); और $1$-में-$44000$ वाली सुई के लिए केवल दो स्वतंत्र पहचानें (उड़ान-काल *और* चेरेनकोव देहली) ही संयोग से बने झूठे संकेत हटा सकती थीं। **23.** देहली से ज़रा ही ऊपर उत्पाद लगभग आपेक्षिक विराम में जन्मते हैं: अभिक्रिया के पास लगभग कोई [कला समष्टि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) नहीं होती, जबकि पायॉन-उत्पादन, *अपनी* देहली से बहुत ऊपर, भरपूर होता है — दुर्लभता की गारंटी उसी शुद्धगतिकी ने दी जिसने मोल तय किया था। **24.** प्रति विनाशन $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$, और प्रायः कुछ पायॉनों के रूप में, जो आगे चलकर फ़ोटॉनों, म्युऑनों और न्यूट्रिनो में क्षय हो जाते हैं। **25.** [चतुःसंवेग](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) के संरक्षण ने प्रतिप्रोटॉन का मोल नियत लक्ष्य पर $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ ठहराया; $6.2\,\mathrm{GeV}$ के, $15.1\,\mathrm{m}$ के बेवाट्रॉन ने वह चुकाया; उड़ान-काल और चेरेनकोव निषेध ने $44000$ ढोंगियों में एक प्रतिसंसार-कण ढूँढ़ निकाला — और 1959 के नोबेल पुरस्कार ने इस बहीखाते पर मुहर लगा दी।