---
title: "सहचर विद्युत्चुंबकत्व"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/6-covariant-electromagnetism
---

# अध्याय 6 — सहचर विद्युत्चुंबकत्व

कोई ताँबे का तार दस ऐंपियर ढोता है। उसके इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड मिलीमीटर के दसवें भाग जितना अपवाहित होते हैं — घोंघे से भी धीमे — और तार अद्भुत यथार्थता तक विद्युत्-उदासीन रहता है। फिर भी उसके साथ-साथ चलता कोई आवेश एक मापने योग्य खिंचाव अनुभव करता है। उसी आवेश के अपने तंत्र से देखने पर “चुंबकीय” व्याख्या भाप बन जाती है: आवेश विराम में है, और विराम में रखा आवेश कोई चुंबकीय बल अनुभव करता ही नहीं। उस तंत्र में उसे जो खींचता है, वह एक *विद्युत्* क्षेत्र है — जिसे स्वयं आपेक्षिकता ने बुला लिया, क्योंकि लंबाई-संकुचन तार के आवेश की दोनों धाराओं को $10^{24}$ में एक भाग जितना असंतुलित कर देता है। चुंबकत्व वही विद्युत् है, जिसे किसी चलती सीट से देखा गया हो। यह अध्याय वर्ष 2 के खंड के विद्युत्चुंबकत्व को पिछले तीन अध्यायों की भाषा में फिर से लिखता है: आवेश और विभव के लिए [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector), एक प्रतिसममित प्रदिश जो $\vect E$ और $\vect B$ को साथ बाँधे रखता है, और मैक्सवेल के चार समीकरण दो पंक्तियों में सिमटते हुए, जो हर [जड़त्वीय निर्देश तंत्र](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/4-relativistic-kinematics#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) में एक-सी पढ़ी जाती हैं। सुंदरता से आगे, इसका लाभ काम की भौतिकी है: क्षेत्र कैसे रूपांतरित होते हैं, किसी तेज़ आवेश का क्षेत्र चपटा होकर पूए-सा क्यों हो जाता है, और किसी आपेक्षिकीय इलेक्ट्रॉन का प्रकाश आगे की ओर अग्रदीप की तरह क्यों बहता है — यही उन सिंक्रोट्रॉन प्रकाश-स्रोतों का सिद्धांत है जो आज प्रोटीनों और बैटरियों का एक्स-किरण चित्र लेते हैं।

## 6.1 आवेश और धारा के लिए चतुःसदिश

**परिभाषा 6.1 (चतुःसदिश).**

*चतुःसदिश* एक चतुष्क $a^\mu = (a^0, \vect a)$ है, $\mu =
0, 1, 2, 3$, जिसके घटक किसी संवर्धन के अंतर्गत ठीक वैसे मिलते हैं जैसे $(ct,
\vect r)$ के मिलते हैं:

$$
a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad
a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad
a'^{2,3} = a^{2,3}
$$

जब संवर्धन $\beta c$ पर $x$ के अनुदिश हो। किन्हीं दो चतुःसदिशों से निश्चर अदिश गुणनफल $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$ मिलता है, जो हर तंत्र में एक ही संख्या है — वही ढाँचा जो $c^2t^2 - x^2$ और $E^2 - p^2c^2$ के पीछे है। स्थिति $(ct, \vect r)$ और [चतुःसंवेग](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/5-relativistic-dynamics#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) $(E/c, \vect p)$, ये दो हमारे पास हैं; विद्युत्चुंबकत्व अब तीन और देता है: धारा, विभव और तरंग-सदिश।

**प्रतिज्ञप्ति 6.2 (चतुःधारा और आवेश-संरक्षण).**

आवेश-घनत्व $\rho$ और धारा-घनत्व $\vect\jmath$ मिलकर चतुःधारा बनाते हैं

$$
J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) :
$$

निज घनत्व $\rho_0$ का कोई आवेश-बादल, जो $\vect u$ से चलता हो, उसका $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ होता है — घनत्व $\gamma_u$ गुना बढ़ जाता है, क्योंकि बादल का आयतन संकुचित होता है, जबकि आवेश स्वयं निश्चर है (एक निर्णायक प्रायोगिक तथ्य: तेज़ भीतरी इलेक्ट्रॉनों वाले परमाणु ठीक-ठीक उदासीन बने रहते हैं)। आवेश-संरक्षण यह निश्चर कथन है

$$
\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} +
\operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,
$$

अर्थात् वर्ष 2 के खंड का सांतत्य समीकरण, जो अब दिखने में भी सभी प्रेक्षकों के लिए एक ही नियम है।

**आंशिक उपपत्ति.** चलता बादल: निज आयतन $V_0$ का कोई संदूक आवेश $\rho_0
V_0$ रखता है; प्रयोगशाला में संदूक संकुचित होकर $V_0/\gamma_u$ रह जाता है, अतः $\rho =
\gamma_u\rho_0$, और धारा-घनत्व की परिभाषा से $\vect\jmath = \rho\vect u$। फिर $(\rho c, \vect\jmath)$ इसलिए [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) की तरह रूपांतरित होता है कि वह $\rho_0/c$ गुना चतुर्वेग $\gamma_u(c, \vect u)$ है, जो रचना से ही [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) है। आवेश की निश्चरता एक प्रायोगिक निवेश है। ∎

## 6.2 दोनों क्षेत्रों के लिए एक ही प्रदिश

**परिभाषा 6.3 (चतुःविभव और क्षेत्र प्रदिश).**

वर्ष 2 के खंड के विभव मिलकर चतुःविभव बनाते हैं

$$
A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) ,
$$

और मापने योग्य क्षेत्र $\vect E = -\vect\nabla V -
\partial_t\vect A$, $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ एक ही प्रतिसममित सारणी के छह स्वतंत्र घटक हैं, अर्थात् *विद्युत्चुंबकीय क्षेत्र प्रदिश* के

$$
F^{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix} .
$$

$\vect E$ और $\vect B$ दो क्षेत्र नहीं, एक ही वस्तु के छह मुख हैं; और किस मुख को कोई प्रेक्षक “विद्युत्” कहेगा, यह प्रेक्षक की गति पर निर्भर करता है।

**प्रमेय 6.4 (मैक्सवेल, सहचर रूप में).**

वर्ष 2 के खंड के चारों मैक्सवेल समीकरण दो तंत्र-निरपेक्ष कथनों का घटक-रूप हैं: स्रोत वाला युग्म (गाउस तथा ऐंपियर–मैक्सवेल) है

$$
\sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu ,
$$

और स्रोतहीन युग्म वह सर्वसमिका है जो सुनिश्चित करती है कि $F$ किसी [चतुःविभव](#def-b3-covariant-electromagnetism-tensor) से व्युत्पन्न है। लोरेंत्स बल $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ है — बल-नियम, चुंबकीय भाग सहित, एक ही पंक्ति में। चूँकि हर समीकरण के दोनों पक्ष एक ही तरह रूपांतरित होते हैं, *मैक्सवेल के सिद्धांत को आपेक्षिकीय बनने के लिए किसी संशोधन की आवश्यकता नहीं*: वह आपेक्षिकता का पहला पूरा हुआ टुकड़ा था, जो 1865 में जन्मा।

**आंशिक उपपत्ति.** $\nu = 0$ घटक का प्रसार कीजिए: $\sum_i\partial_i(E_i/c) =
\mu_0\rho c$, अर्थात् $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ ($c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$ काम में लाते हुए)। $\nu = 1$ घटक $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y)
= \mu_0 j_x$ बटोरता है: अर्थात् ऐंपियर–मैक्सवेल का $x$ घटक। शेष घटक वही ढाँचा दोहराते हैं; और स्रोतहीन युग्म $A^\mu$ के आड़े-तिरछे दूसरे अवकलजों की समता है (जाँच [अभ्यास 6.3](#exo-b3-covariant-electromagnetism-3) में)। $F^{\mu\nu}$ किसी (द्वि-सूचकांक) प्रदिश की तरह रूपांतरित होता है — हर सूचकांक किसी [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) की तरह — यह स्वीकृत है; उसके परिणाम अगली प्रतिज्ञप्ति हैं। ∎

## 6.3 क्षेत्र किस तरह रूपांतरित होते हैं

**प्रतिज्ञप्ति 6.5 (क्षेत्र रूपांतरण).**

वेग $\vect v = v\,\vect e_x$ पर संवर्धन के लिए: गति के *अनुदिश* घटक अछूते रहते हैं, और अनुप्रस्थ घटक आपस में मिल जाते हैं,

$$
E'_x = E_x , \qquad
E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad
E'_z = \gamma(E_z + vB_y) ,
$$

$$
B'_x = B_x , \qquad
B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad
B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) .
$$

संक्षेप में, संवर्धन के अनुप्रस्थ: $\vect E' = \gamma(\vect E +
\vect v\wedge\vect B)_\perp$ और $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect
v\wedge\vect E/c^2)_\perp$। किसी एक तंत्र का शुद्ध $\vect B$ दूसरे में $\vect
E$ और $\vect B$ होता है: दोनों क्षेत्र एक ही परिघटना हैं।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 6.6 (उदासीन तार से चुंबकत्व).**

कोई उदासीन तार धारा ढोता है: धनात्मक जालक विराम में, इलेक्ट्रॉन अपवाहित। साथ-साथ चलते किसी परीक्षण-आवेश के लिए उसके तंत्र में संवर्धन कीजिए: दोनों आवेश-धाराएँ *भिन्न-भिन्न* संकुचित होती हैं (उनके वेग अलग हैं), तार पर कुल रेखीय आवेश $\lambda' =
-\gamma vI/c^2$ आ जाता है, और उसका त्रिज्य विद्युत् क्षेत्र आवेश को ठीक उतने ही बल से खींचता है जिसे प्रयोगशाला ने $q\vect v\wedge\vect B$ कहा था। चुंबकत्व वही है जो आपेक्षिकता का द्वितीय-कोटि पद $v u/c^2$ तब दिखता है जब प्रति मीटर $10^{28}$ मूल आवेश मिलकर षड्यंत्र करें: हर प्रभाव अद्भुत रूप से छोटा है, पर तार उससे भी अधिक यथार्थता तक उदासीन है, अतः वह नन्हा असंतुलन ही पूरी कहानी है ([समस्या 6.1](#pb-b3-covariant-electromagnetism-1))।

![एक ही बल, दो हिसाब। प्रयोगशाला: उदासीन तार की धारा B बनाती है, और चलता आवेश q v B अनुभव करता है। आवेश का तंत्र: अब धनात्मक जालक चलता और संकुचित होता है, और इलेक्ट्रॉन (वहाँ धीमे) फैल जाते हैं; तार पर कुल आवेश आ जाता है और उसका E' ही खींचता है। वही प्रयोग, वही परिणाम।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-f31a43aae07c.svg)

*एक ही बल, दो हिसाब। प्रयोगशाला: उदासीन तार की धारा $\vect B$ बनाती है, और चलता आवेश $q\vect v\wedge\vect B$ अनुभव करता है। आवेश का तंत्र: अब धनात्मक जालक चलता और संकुचित होता है, और इलेक्ट्रॉन (वहाँ धीमे) फैल जाते हैं; तार पर कुल आवेश आ जाता है और उसका $\vect E'$ ही खींचता है। वही प्रयोग, वही परिणाम।*

**उदाहरण 6.7 (तेज़ आवेश का चपटा क्षेत्र).**

किसी आवेश के कूलॉम क्षेत्र को उस तंत्र में रूपांतरित कीजिए जिसमें वह $\gamma \gg 1$ से चलता है: अनुदैर्घ्य क्षेत्र अपरिवर्तित रहता है, जबकि अनुप्रस्थ क्षेत्र $\gamma$ गुना हो जाता है। कभी गोलीय रहा क्षेत्र चपटा होकर आवेश से गुज़रते तल के चारों ओर $\sim 1/\gamma$ खुलाव-कोण की चकती बन जाता है — और गति के अनुप्रस्थ, उसके साथ एक चुंबकीय वलय $B' = vE'/c^2$ भी। किसी स्थिर प्रेक्षक के लिए किसी LHC प्रोटॉन का गुज़रना ($\gamma \approx 7000$) लगभग परस्पर लंबवत $\vect E$ और $\vect B$ का एक उप-पिकोसेकंड थप्पड़ है: लगभग प्रकाश की एक स्पंद — और यही कारण है कि तेज़ पुंज पदार्थ से वैसे ही बात करते हैं जैसे फ़ोटॉन।

![किसी बिंदु-आवेश का विद्युत् क्षेत्र, विराम में और ऊँची चाल पर: संवर्धन अनुप्रस्थ घटकों को गुना कर देता है और अनुदैर्घ्य घटकों को छोड़ देता है, जिससे क्षेत्र गति के लंबवत किसी चकती में निचुड़ जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-5325dec0dc2a.svg)

*किसी बिंदु-आवेश का विद्युत् क्षेत्र, विराम में और ऊँची चाल पर: संवर्धन अनुप्रस्थ घटकों को $\gamma$ गुना कर देता है और अनुदैर्घ्य घटकों को छोड़ देता है, जिससे क्षेत्र गति के लंबवत किसी चकती में निचुड़ जाता है।*

## 6.4 निश्चर, प्रकाश और अग्रदीप प्रभाव

**प्रतिज्ञप्ति 6.8 (दो क्षेत्र-निश्चर).**

$F^{\mu\nu}$ से ठीक दो स्वतंत्र अदिश बनाए जा सकते हैं:

$$
E^2 - c^2B^2
\qquad\text{और}\qquad
\vect E\cdot\vect B ,
$$

जो हर [जड़त्वीय निर्देश तंत्र](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/4-relativistic-kinematics#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) में एक ही हैं। परिणाम: यदि कहीं $E > cB$ हो ($\vect E\cdot\vect B = 0$ के साथ), तो कोई तंत्र वहाँ शुद्ध विद्युत् क्षेत्र देखता है; यदि $E < cB$ हो, तो कोई तंत्र शुद्ध चुंबकीय देखता है; और किसी समतल प्रकाश-तरंग के, जिसमें $E = cB$ और $\vect E\perp\vect B$ हो, *दोनों* निश्चर शून्य हैं — वह हर तंत्र में प्रकाश ही है: कोई संवर्धन उसे स्थैतिक क्षेत्र नहीं बना सकता, केवल लाल-विस्थापित कर सकता है। किसी प्रकाश-तरंग को पकड़ा नहीं जा सकता; आइंस्टाइन का किशोर प्रश्न दो निश्चरों में अपना उत्तर आप दे देता है।

**आंशिक उपपत्ति.** [प्रतिज्ञप्ति 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform) के सीधे प्रतिस्थापन से मानक संवर्धन के अंतर्गत निश्चरता जाँचिए ([अभ्यास 6.6](#exo-b3-covariant-electromagnetism-6)); कोई तीसरा स्वतंत्र निश्चर नहीं है — यह स्वीकृत है। तरंग के लिए: $E = cB$ और लंबकोणता दोनों को शून्य कर देती हैं; और जिस तंत्र में स्थैतिक क्षेत्र होता, उसमें कोई निश्चर शून्येतर चाहिए होता। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 6.9 (चतुःतरंग-सदिश, डॉप्लर और विपथन).**

किसी समतल तरंग की आवृत्ति और दिशा मिलकर वह अशून्य-रहित [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) बनाती हैं जो $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ है, $\|\vect k\| = \omega/c$। उसे रूपांतरित करने पर एक साथ [अध्याय 4](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/4-relativistic-kinematics#ch-b3-relativistic-kinematics) का आपेक्षिकीय डॉप्लर सूत्र और दिशाओं का *विपथन* मिल जाते हैं:

$$
\cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} .
$$

उलटा पढ़िए: जो स्रोत अपने विराम-तंत्र में समदैशिक विकिरण करता है, वह प्रयोगशाला में अपना आधा प्रकाश आगे के शंकु $\theta
\lesssim 1/\gamma$ में भेज देता है: यही *[अग्रदीप प्रभाव](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector)* है। किसी संचयन-वलय में $\gamma \sim 10^4$ पर चक्कर काटता इलेक्ट्रॉन वलय के चारों ओर एक्स-किरणों का $0.1\,\mathrm{mrad}$ का खोजी-दीप घुमाता है — वही सिंक्रोट्रॉन प्रकाश, जो प्रोटीन-क्रिस्टलिकी की किरण-रेखाएँ भरता है।

**आंशिक उपपत्ति.** कला $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ घटनाओं से गुज़रते तरंग-शिखर गिनती है — अर्थात् एक निश्चर — अतः $k^\mu$ को [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) की तरह ही रूपांतरित होना चाहिए। $(\omega/c, k\cos\theta,
k\sin\theta, 0)$ पर संवर्धन लगाइए: काल-घटक डॉप्लर देता है, और दिक्-घटकों का अनुपात विपथन का सूत्र। $\theta' =
90^\circ$ रखने पर (अर्थात् स्रोत-तंत्र की बगल वाली किरण): $\cos\theta =
\beta$, अर्थात् $\theta \approx 1/\gamma$, जब $\gamma \gg 1$ हो — आधा गोला आगे के शंकु में मुड़ जाता है। ∎

![विपथन किसी तेज़ स्रोत के विकिरण को अर्ध-कोण 1/ के आगे वाले शंकु में मोड़ देता है: यही अग्रदीप प्रभाव है, और सिंक्रोट्रॉन प्रकाश-स्रोतों का कार्यकारी सिद्धांत भी।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-d945936ff62d.svg)

*विपथन किसी तेज़ स्रोत के विकिरण को अर्ध-कोण $\sim 1/\gamma$ के आगे वाले शंकु में मोड़ देता है: यही [अग्रदीप प्रभाव](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector) है, और सिंक्रोट्रॉन प्रकाश-स्रोतों का कार्यकारी सिद्धांत भी।*

**विधि 6.10 (सहचर ढंग से काम करना).**

(1) खेल में लगे [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) पहचानिए ($x^\mu$, $P^\mu$, $J^\mu$, $A^\mu$, $k^\mu$) और घटकों के बजाय उनके निश्चर गुणनफलों को वरीयता दीजिए। (2) क्षेत्र रूपांतरित करने के लिए उन्हें संवर्धन के अनुदिश और अनुप्रस्थ घटकों में बाँटिए और [प्रतिज्ञप्ति 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform) लगाइए। (3) पहले और बाद में दोनों निश्चर जाँचिए — इस विषय का सबसे तेज़ त्रुटि-संसूचक। (4) जब कोई चुंबकीय समस्या रहस्यमय लगे, तो आवेश के साथ सवार हो जाइए: उसके तंत्र में केवल $\vect E'$ काम करता है। (5) मैक्सवेल पर भरोसा रखिए: समीकरणों को कभी आपेक्षिकीय “संशोधन” नहीं चाहिए, केवल आपेक्षिकीय पाठ।

![कोई ध्रुवज्योति: सौर पवन के आवेश, जिन्हें पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र ध्रुवीय वायुमंडल में मोड़ लाया है। जिसे कोई प्रेक्षक चुंबकीय मोड़ना कहता है, उसे दूसरा विद्युत् त्वरण कहता है — इस अध्याय के रूपांतरणों के अंतर्गत क्षेत्र आपस में मिल जाते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/img-f5d604651824.jpg)

*कोई ध्रुवज्योति: सौर पवन के आवेश, जिन्हें पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र ध्रुवीय वायुमंडल में मोड़ लाया है। जिसे कोई प्रेक्षक चुंबकीय मोड़ना कहता है, उसे दूसरा विद्युत् त्वरण कहता है — इस अध्याय के रूपांतरणों के अंतर्गत क्षेत्र आपस में मिल जाते हैं।*

## 6.5 अभ्यास

**अभ्यास 6.1 ★.**

(क) $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (किसी $a_0$ के मात्रकों में) का $\beta =
0.6$ से संवर्धन कीजिए: $a'^\mu$ निकालिए और जाँचिए कि $a\cdot a$ अपरिवर्तित है। (ख) दिखाइए कि दो चतुःसदिशों का योग [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) होता है। (ग) क्या किसी कण का $(c,
\vect v)$ [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) है? और $\gamma(c, \vect v)$? (घ) “विद्युत् क्षेत्र” अकेला किसी [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) का भाग क्यों नहीं है?

**हल — अभ्यास 6.1.**

(क) $\gamma = 1.25$: $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$, $a'^1 = 1.25(3 -
3) = 0$; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$। (ख) रूपांतरण रैखिक है, अतः वह योगों पर बँट जाता है। (ग) $(c, \vect v)$: नहीं — उसका “काल” घटक सभी कणों के लिए एक ही है, जबकि मिश्रण कुछ और माँगता है; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$: हाँ, यह किसी [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) को निश्चर $\dd\tau$ से भाग देने पर मिलता है। (घ) $\vect E$ के तीन घटक $\vect B$ के घटकों से मिलते हैं, किसी अदिश से नहीं: क्षेत्र किसी द्वि-सूचकांक प्रदिश को भरते हैं, [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) को नहीं।

**अभ्यास 6.2 ★.**

$1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ काट का कोई ताँबे का तार $10\,\mathrm{A}$ ढोता है; चालन-इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$। (क) अपवाह-चाल निकालिए। (ख) इलेक्ट्रॉन-तरल के लिए और जालक के लिए $J^\mu$ लिखिए। (ग) हर एक के लिए सांतत्य समीकरण जाँचिए। (घ) तार उदासीन है: पूरे तार के लिए $J^\mu$ क्या है, और कौन-सा घटक बचता है?

**हल — अभ्यास 6.2.**

(क) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times
1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ख) जालक: $(nec, \vect 0)$; इलेक्ट्रॉन: $(-nec, -ne\vect u)$ — उनका धारा-घनत्व $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ उनके अपवाह के विरुद्ध संकेत करता है, और वही पारंपरिक धारा की दिशा *है*। (ग) दोनों स्थिर और एकसमान हैं: हर पद लुप्त हो जाता है। (घ) कुल: $(0, \vect\jmath)$, जहाँ $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — अर्थात् बिना आवेश की शुद्ध धारा, वही विन्यास जो तार की आपेक्षिकता को सूक्ष्म बना देता है।

**अभ्यास 6.3 ★.**

(क) आव्यूह से पढ़िए कि $F^{\mu\nu}$ के कौन-से घटक $E_y$ और $B_x$ देते हैं। (ख) $F^{\mu\nu}$ लिखिए: किसी शुद्ध एकसमान क्षेत्र $\vect B = B\vect e_z$ के लिए, और किसी समतल तरंग के क्षेत्र के लिए ($\vect E = E\vect e_y$, $\vect B = (E/c)\vect e_z$)। (ग) घटकों पर जाँचिए कि $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu
A^\mu$, $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ की पुनरुत्पत्ति करता है, $\mu\nu = 12$ के लिए। (घ) $F$ को प्रतिसममित क्यों होना ही चाहिए, ताकि बल $qF^{\mu\nu}u_\nu$ कण के अपने तंत्र में कोई कार्य न करे?

**हल — अभ्यास 6.3.**

(क) $E_y$: $F^{20} = E_y/c$; $B_x$: $F^{32} = B_x$। (ख) $\vect B
= B\vect e_z$ के लिए केवल $F^{12} = -B$ और $F^{21} = +B$; तरंग के लिए $F^{20} = E/c$, $F^{12} = -E/c$ (और उनके प्रतिसममित साथी)। (ग) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y +
\partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$: आव्यूह से मेल खाता है। (घ) कण की ऊर्जा-परिवर्तन-दर $\propto F^{0\nu}u_\nu$ है; विराम-तंत्र में $u_\nu = (c, \vect 0)$ और प्रतिसममिति $F^{00} = 0$ कर देती है: ऐसा बल जो विराम में रखे किसी कण पर कभी कार्य नहीं कर सकता — यही चुंबकीय भाग का परिभाषक गुण है।

**अभ्यास 6.4 ★.**

विराम में रखा कोई समांतर-पट्टिका संधारित्र $\vect E = E_0\vect e_y$ रखता है, और $\vect B$ कोई नहीं। किसी ऐसे तंत्र में $\vect E'$ और $\vect B'$ दीजिए जो (क) $\vect e_y$ के अनुदिश चलता हो (पट्टिकाओं के लंबवत); (ख) $\vect
e_x$ के अनुदिश (पट्टिकाओं के समांतर), और प्रकट होते $\vect B'$ की व्याख्या चलते पृष्ठ-आवेशों के क्षेत्र के रूप में कीजिए; (ग) स्थिति (ख) में निश्चर जाँचिए; (घ) स्थिति (ख) में पट्टिकाएँ भी संकुचित होती हैं: कौन-सी राशियाँ ($\sigma$? $E'$? पट्टिकाओं का अंतराल?) बदलती हैं, और किसके अनुरूप?

**हल — अभ्यास 6.4.**

(क) क्षेत्र के अनुदिश संवर्धन: अनुदैर्घ्य घटक अपरिवर्तित, $\vect
E' = E_0\vect e_y$, $\vect B' = \vect 0$। (ख) $\vect
e_x$ के अनुदिश संवर्धन: $E'_y = \gamma E_0$, $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — अब पट्टिकाएँ पृष्ठ-धाराओं $\pm\sigma'v$ की तरह बहती हैं, और दो विपरीत धारा-चादरें ठीक ऐसा ही क्षेत्र घेरती हैं। (ग) $E'^2 - c^2B'^2 =
\gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$: दोनों सुरक्षित। (घ) पट्टिकाएँ $x$ के अनुदिश संकुचित होती हैं, अतः $\sigma' =
\gamma\sigma$, जो $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma
E_0$ के अनुरूप है; और अंतराल, जो संवर्धन के अनुप्रस्थ है, अछूता रहता है।

**अभ्यास 6.5 ★★.**

गति-जनित विद्युत्वाहक बल, एकीकृत। कोई चालक छड़ पटरियों पर $\vect v$ से किसी एकसमान $\vect B$ को पार करती हुई सरकती है। (क) प्रयोगशाला का हिसाब: कौन-सा बल इलेक्ट्रॉनों को छड़ के अनुदिश चलाता है, और कितना विद्युत्वाहक बल बनता है? (ख) छड़-तंत्र का हिसाब: कौन-सा क्षेत्र उन्हें चलाता है, और वह [प्रतिज्ञप्ति 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform) में कहाँ से आता है? (ग) दिखाइए कि दोनों बल $v/c$ की कोटि पर सहमत हैं। (घ) वर्ष 1 के खंड का फ़ैराडे का अभिवाह-नियम “चलता परिपथ” और “बदलता क्षेत्र” दोनों स्थितियों को एक ही सूत्र से ढक लेता था: आपेक्षिकता क्या कहती है कि वह एकीकरण चलना ही क्यों था?

**हल — अभ्यास 6.5.**

(क) चुंबकीय बल $-e\vect v\wedge\vect B$ इलेक्ट्रॉनों को छड़ के अनुदिश धकेलता है: विद्युत्वाहक बल $= vBL$। (ख) छड़ के तंत्र में छड़ विराम में है — स्थिर आवेशों पर कोई चुंबकीय बल नहीं — पर रूपांतरण $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$ दे देता है: एक ईमानदार विद्युत् क्षेत्र ही चलाता है। (ग) $E'L = \gamma vBL
\approx vBL$, $v/c$ की कोटि पर। (घ) उसे चलना ही था, क्योंकि “गति-जनित” और “परिणामित्र” वाले विद्युत्वाहक बल एक ही परिघटना हैं, जिसे दो तंत्रों में पढ़ा गया है: अभिवाह-नियम 1831 के कपड़ों में सहचरता ही है — आइंस्टाइन का 1905 का शोधपत्र ठीक इसी चुंबक-और-चालक असममिति से आरंभ होता है।

**अभ्यास 6.6 ★★.**

(क) [प्रतिज्ञप्ति 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform) का उपयोग करके सीधी गणना से जाँचिए कि $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$, जब संवर्धन $x$ के अनुदिश हो। (ख) $\vect E'\cdot\vect B' = \vect
E\cdot\vect B$ जाँचिए। (ग) किसी क्षेत्र में $\vect E$ और $\vect B$ परस्पर लंबवत हैं और $E = 2cB$: वह तंत्र ज्ञात कीजिए जिसमें शुद्ध विद्युत् क्षेत्र हो (दिशा और चाल)। (घ) किसी समतल प्रकाश-तरंग के क्षेत्र को कोई तंत्र शुद्ध विद्युत् या शुद्ध चुंबकीय क्यों नहीं बना सकता?

**हल — अभ्यास 6.6.**

(क) $x$ घटक अछूते रहते हैं; अनुप्रस्थ घटकों के लिए $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 +
(E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$; मिश्रित पद कट जाते हैं और वर्ग मिलकर अरूपांतरित संयोजन का $\gamma^2(1 -
\beta^2) = 1$ गुना बटोर लेते हैं। (ख) $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$ पर वही हिसाब। (ग) $E^2 - c^2B^2 =
3c^2B^2 > 0$: $\vect E\wedge\vect B$ के अनुदिश $v = c^2B/E =
c/2$ पर संवर्धन कीजिए; वहाँ $B' = 0$ और बचा हुआ क्षेत्र $E' = E/\gamma =
\sqrt3\,cB$ है — जिसका वर्ग निश्चर देता है, जैसा उसे देना ही चाहिए। (घ) किसी प्रकाश-तरंग के दोनों निश्चर शून्य हैं: हर तंत्र को $E' = cB' \perp$ ही फिर से देना पड़ेगा, कभी कोई शुद्ध क्षेत्र नहीं।

**अभ्यास 6.7 ★★.**

आड़े-तिरछे क्षेत्र। प्रयोगशाला में $\vect E = E\vect e_y$ और $\vect B =
B\vect e_z$, जहाँ $E < cB$। (क) दिखाइए कि $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ से चलता तंत्र शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र देखता है। (ख) विराम से छोड़े गए किसी आवेश की गति का वर्णन कीजिए, पहले उस तंत्र से देखकर और फिर प्रयोगशाला में लौटकर ($v_{\text{d}}$ से अपवाहित होता एक चक्रज)। (ग) वर्ष 1 के खंड का वेग-छन्ना चाल $E/B$ के कणों को बिना विक्षेपित किए जाने देता था: (क) से उसे एक पंक्ति में फिर निकालिए। (घ) जब $E > cB$ हो तब गुणात्मक रूप से क्या होता है — और अपवाह-तंत्र वाली युक्ति तब असंभव क्यों है?

**हल — अभ्यास 6.7.**

(क) $v_{\text{d}} = E/B$ के साथ: $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) =
0$; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$: शुद्ध, और थोड़ा क्षीण चुंबकीय क्षेत्र। (ख) वहाँ: $qB'/\gamma m$ पर एक वृत्त; और प्रयोगशाला में लौटकर: वही वृत्त और उस पर एकसमान अपवाह — अर्थात् दोनों क्षेत्रों के लंबवत $E/B$ से रेंगता एक चक्रज, जो मैग्नेट्रॉन में आवेशों का प्रक्षेप-पथ है। (ग) ठीक $v_{\text{d}}$ से चलता कोई कण अपवाह-तंत्र में विराम में है, जहाँ अकेला क्षेत्र चुंबकीय है और उसे कुछ अनुभव नहीं होता: अविक्षेपित। (घ) $E > cB$ के लिए आवश्यक अपवाह $c$ से अधिक हो जाता है: ऐसा कोई तंत्र नहीं; उसके बदले शुद्ध-$E$ वाला तंत्र होता है (पिछला अभ्यास) और आवेश क्षेत्र के अनुदिश बिना किसी सीमा के त्वरित होता जाता है।

**अभ्यास 6.8 ★★.**

चतुःतरंग-सदिश $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$। (क) दिखाइए कि कला की निश्चरता माँगना $k^\mu$ को [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) की तरह रूपांतरित होने पर विवश कर देता है। (ख) उसके काल-घटक से अनुदैर्घ्य डॉप्लर सूत्र निकालिए। (ग) विपथन का सूत्र निकालिए। (घ) तारों के प्रकाश का विपथन: पृथ्वी $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से परिक्रमा करती है; किसी तारे की आभासी स्थिति एक वर्ष में कितने कोण पर घूम जाती है? (ब्रैडली ने 1728 में $20.5''$ नापा — यह पहला सीधा प्रमाण कि पृथ्वी चलती है।)

**हल — अभ्यास 6.8.**

(क) कला $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ शिखर-पार करने की घटनाएँ गिनती है, जो एक निश्चर संख्या है; वह $k^\mu x_\mu$ के बराबर है, और सभी $x^\mu$ के लिए उस गुणनफल की निश्चरता $k^\mu$ को [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) की तरह रूपांतरित होने पर विवश कर देती है। (ख) $\omega'/c = \gamma(\omega/c -
\beta k_x)$, जहाँ $k_x = (\omega/c)\cos\theta$; और $\theta = 0$ के लिए $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$। (ग) $\cos\theta' =
k'_x/(\omega'/c)$: वही कथित सूत्र। (घ) $\beta = 10^{-4}$: $20.5''$; एक वर्ष में आभासी स्थिति उसी कोणीय अर्ध-अक्ष का दीर्घवृत्त बना देती है — ब्रैडली का विपथन।

**अभ्यास 6.9 ★★.**

कोई आवेश $q$ अचर $\vect v = v\vect e_x$ से चलता है, $\gamma \gg
1$। (क) कूलॉम के क्षेत्र का रूपांतरण करके दिखाइए कि आवेश से गुज़रते अनुप्रस्थ तल में क्षेत्र संवर्धित होकर $\gamma
q/4\pi\varepsilon_0b^2$ हो जाता है, दूरी $b$ पर, जबकि ठीक आगे और पीछे वह $1/\gamma^2$ जितना कुचल जाता है। (ख) दिखाइए कि दूरी $b$ पर का कोई स्थिर प्रेक्षक $\sim b/\gamma v$ अवधि की एक क्षेत्र-स्पंद देखता है। (ग) $b = 1\,\mathrm{cm}$ पर गुज़रते किसी LHC प्रोटॉन के लिए: शिखर क्षेत्र और स्पंद-अवधि। (घ) यह स्पंद ठीक किस अर्थ में “लगभग प्रकाश” है? ($E' \approx cB'$ और निश्चर जाँचिए।)

**हल — अभ्यास 6.9.**

(क) विराम-तंत्र में कूलॉम; संवर्धन अनुप्रस्थ घटकों को $\gamma$ गुना कर देता है (अनुप्रस्थ तल पर $E'_\perp = \gamma
q/4\pi\varepsilon_0b^2$), जबकि गति के अनुदिश क्षेत्र, जिसे आगे या पीछे प्रयोगशाला-दूरी $r$ पर आँका जाए, विराम-तंत्र की दूरी $\gamma r$ पर जाता है: अर्थात् $1/\gamma^2$ जितना घटा हुआ। (ख) कोणीय चौड़ाई $1/\gamma$ का यह पूआ $v$ से गुज़र जाता है: अवधि $\sim (b/\gamma)/v$। (ग) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx
0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, जो $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$ तक टिकती है। (घ) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ और दोनों निश्चर $O(1/\gamma^2)$ हैं: स्थानिक रूप से किसी प्रकाश-स्पंद से अभेद्य — और यही तेज़ आवेशों के संघट्टों के “तुल्य फ़ोटॉन” वर्णन का आधार है।

**अभ्यास 6.10 ★★★.**

किसी प्रकाश-तरंग का पीछा। किसी समतल तरंग के $\vect E = E_0\vect e_y
\cos(\omega(t - x/c))$, $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t -
x/c))$ हैं। कोई प्रेक्षक उसका पीछा $\beta$ से करता है। (क) क्षेत्रों का रूपांतरण कीजिए: दिखाइए कि $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ और $B'_0 = E'_0/c$। (ख) दिखाइए कि आवृत्ति भी उसी गुणक से रूपांतरित होती है: तरंग तरंग ही रहती है, लाल-विस्थापित, और सदा $E' = cB'$ के साथ। (ग) तरंग के ऊर्जा-घनत्व ($E^2$ के अनुक्रमानुपाती) और फ़ोटॉनों की संख्या का क्या होता है? (घ) निष्कर्ष निकालिए: “किसी प्रकाश-पुंज के साथ-साथ सवारी” के लिए क्या चाहिए होता, और कौन-सा निश्चर उसे मना करता है?

**हल — अभ्यास 6.10.**

(क) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) =
E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$, और उसी बीजगणित से $B'_z = E'_y/c$। (ख) कला भी उसी डॉप्लर गुणक से रूपांतरित होती है: वही अशून्य तरंग, अधिक लाल और अधिक क्षीण। (ग) ऊर्जा-घनत्व डॉप्लर गुणक के वर्ग जितना घटता है; फ़ोटॉनों की संख्या अपरिवर्तित रहती है — पूरा गुणक हर फ़ोटॉन का $h\nu$ ढोता है। (घ) “साथ-साथ सवारी” का अर्थ है कि वह गुणक $\to 0$ हो जाए, जब $\beta \to 1$ हो: पर तरंग कभी स्थैतिक नहीं होती, क्योंकि उसके निश्चर शून्य हैं — ऐसा कोई तंत्र है ही नहीं जिसमें प्रकाश ठहरा हो, और यहीं से इस पुस्तक की आपेक्षिकता आरंभ हुई थी।

**अभ्यास 6.11 ★★★.**

सिंक्रोट्रॉन प्रकाश और वृत्ताकार इलेक्ट्रॉन-मशीनों की मृत्यु। त्रिज्या $r$ के वृत्त पर कोई अति-आपेक्षिकीय आवेश शक्ति $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ विकिरित करता है (स्वीकृत — वर्ष 2 के खंड का लार्मर सूत्र, संवर्धित)। (क) दिखाइए कि प्रति चक्कर खोई ऊर्जा $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$ है। (ख) LEP: $r = 3.1\,\mathrm{km}$ पर $100\,\mathrm{GeV}$ के इलेक्ट्रॉन: $\gamma$ और प्रति चक्कर $\Delta E$ निकालिए — हर चक्कर पर पुंज-ऊर्जा का कितना अंश फिर से खरीदना पड़ता है? (ग) LHC: उसी सुरंग में $6.8\,\mathrm{TeV}$ के प्रोटॉन: प्रति चक्कर $\Delta E$ निकालिए और तुलना कीजिए। (घ) $\gamma^4 =
(E/mc^2)^4$ गुणक की सहायता से समझाइए कि इलेक्ट्रॉनों का उत्तराधिकारी कोई *रैखिक* संघट्टक या कहीं बड़ा वलय क्यों है, और प्रोटॉन-वलय क्यों बचे रहते हैं।

**हल — अभ्यास 6.11.**

(क) प्रति चक्कर $\Delta E = P \times 2\pi r/c$: वही कथित परिणाम। (ख) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$: प्रति चक्कर $\Delta E \approx
2.9\,\mathrm{GeV}$ — अर्थात् पुंज-ऊर्जा का तीन प्रतिशत हर चक्कर पर फिर से भरा जाता था; LEP के क्लाइस्ट्रॉन पृथ्वी के सबसे बड़े रेडियो प्रेषित्र थे। (ग) प्रोटॉन: $\gamma = 7250$, और $\gamma^4$ $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$ गुना छोटा: प्रति चक्कर लगभग $5\,\mathrm{keV}$ — नगण्य। (घ) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$: समान ऊर्जा पर इलेक्ट्रॉन $10^{13}$ गुना अधिक विकिरित करता है; अतः रैखिक संघट्टक (एक ही बार विकिरण, प्रति चक्कर नहीं) या इलेक्ट्रॉनों के लिए विशाल वलय, जबकि प्रोटॉन-वलय $27\,\mathrm{km}$ तक सुख से मापित होते हैं।

**अभ्यास 6.12 ★★★.**

आपेक्षिकीय साइक्लोट्रॉन। किसी एकसमान $\vect B$ में कोई आवेश, आपेक्षिकीय चाल पर। (क) $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect
B$ से, $E$ के अचर रहते, दिखाइए कि कक्षा एक वृत्त है, जिस पर $\omega = qB/\gamma m$ से चला जाता है: साइक्लोट्रॉन-आवृत्ति ऊर्जा के साथ घटती है। (ख) कोई चिरसम्मत साइक्लोट्रॉन नियत $\omega_0 = qB/m$ पर धकेलता है: दिखाइए कि $N$ चक्करों के बाद, जबकि $\gamma - 1$ रैखिक रूप से अपने अंतिम मान $\Gamma$ तक बढ़े, संचित कला-सर्पण किसी RF आवर्तकाल के चौथाई तक तब पहुँचता है जब $\Gamma \approx 1/2N$; $N = 100$ चक्करों के लिए वह प्रोटॉन की कितनी गतिज ऊर्जा है, और चिरसम्मत साइक्लोट्रॉनों की ऐतिहासिक अधिकतम सीमा (कोई $20\,\mathrm{MeV}$, अतिरिक्त गुंजाइश और वोल्टता से खरीदी गई) से उसकी तुलना कैसी है? (ग) दो इलाज हैं: आवृत्ति को ढालना (सिंक्रोसाइक्लोट्रॉन), या $B(r)$ को इस तरह गढ़ना कि वह $\gamma$ की तरह बढ़े (समकालिक साइक्लोट्रॉन): हर एक को एक वाक्य में समझाइए। (घ) PSI का समकालिक साइक्लोट्रॉन $590\,\mathrm{MeV}$ के प्रोटॉन देता है: उसका नेमि-क्षेत्र केंद्रीय क्षेत्र से कितने गुना अधिक है?

**हल — अभ्यास 6.12.**

(क) $|\vect p|$ अचर है (कोई कार्य नहीं); $\dot{\vect p} = q\vect
v\wedge\vect B$, $\vect p$ को $qvB/p = qB/\gamma m$ दर से घुमाता है। (ख) प्रति चक्कर सर्पण $2\pi(\gamma - 1)$; और $\gamma - 1$ के रैखिक रूप से $\Gamma$ तक बढ़ने पर कुल सर्पण $\approx \pi N\Gamma$; चौथाई आवर्तकाल $\pi/2$ है: अतः $\Gamma \approx 1/2N$। $N = 100$ के लिए $\Gamma =
5 \times 10^{-3}$, $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — ठीक वही पैमाना; असली मशीनों ने ऊँची डी-वोल्टता से (कम चक्करों में) उसे $\sim20\,\mathrm{MeV}$ तक खींचा। (ग) सिंक्रोसाइक्लोट्रॉन: हर स्पंद के दौरान RF को नीचे की ओर ढालिए, ताकि वह $qB/\gamma m$ का पीछा करे। समकालिक साइक्लोट्रॉन: $B(r)$ को $\propto\gamma(r)$ बढ़ने दीजिए, ताकि अनुपात कभी न बदले और पुंज संतत बना रहे। (घ) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$: नेमि का क्षेत्र केंद्रीय क्षेत्र से उतने ही गुना अधिक होना चाहिए।

## 6.6 समस्या: घोंघे की चाल पर चुंबकत्व

**समस्या 6.1.**

सप्ताहांत समस्या — $10^{-24}$ का असंतुलन हर मोटर कैसे चलाता है

इलेक्ट्रॉन किसी लैंप की डोरी में शहद के रेंगने से भी धीमे अपवाहित होते हैं, और उस अपवाह के लिए $v^2/c^2$ मात्र $10^{-24}$ है — फिर भी उससे बनता चुंबकीय बल कबाड़खानों में कारें उठा लेता है। यह समस्या किसी सीधे तार और किसी चलते आवेश का पूरा दो-तंत्र हिसाब करती है, और हर विद्युत्चुंबक में छिपी आपेक्षिकता ढूँढ़ निकालती है। आँकड़े: ताँबे का तार, काट $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$, धारा $I = 10\,\mathrm{A}$, चालन-इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$; परीक्षण-आवेश $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$, दूरी $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ पर, तार के समांतर $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता हुआ (कोई आयन-पुंज चाल, ताकि संख्याएँ दिखती रहें); $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$।

**भाग I — प्रयोगशाला-तंत्र का हिसाब।**

1. इलेक्ट्रॉनों की अपवाह-चाल $u$ , और $u^2/c^2$ निकालिए।
2. तार का निदर्शन दो अध्यारोपित रेखीय आवेशों से कीजिए: जालक विराम में $+\lambda$ , और इलेक्ट्रॉन $-\lambda$ , जो $u$ से अपवाहित हों, तथा $I = \lambda u$ । $\lambda$ निकालिए।
3. आवेश की स्थिति पर $B$ और उस पर लगता चुंबकीय बल $F = qvB$ निकालिए — दिशा सहित, जब $v$ पारंपरिक धारा $I$ के समांतर हो (स्मरण रहे: समांतर धाराएँ आकर्षित करती हैं)।
4. प्रयोगशाला में कोई *विद्युत्* बल क्यों नहीं है?
5. यदि उसी तार पर प्रति मीटर केवल एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन जितना कुल आवेश होता, तो उसका विद्युत् क्षेत्र $q$ पर जो बल लगाता, उसकी तुलना प्रश्न 3 के चुंबकीय बल से कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि चुंबकत्व को श्रेय देने से पहले “उदासीन” को कितनी यथार्थता से नापना पड़ेगा।
6. $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ का आवेश: क्या प्रश्न 3 का बल मापने योग्य है? (रेत के एक कण के भार $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ से तुलना कीजिए।)

**भाग II — सीट बदलना।** परीक्षण-आवेश के तंत्र में संवर्धन कीजिए (तार के अनुदिश चाल $v$)।

7. उस तंत्र में जालक का और इलेक्ट्रॉनों का वेग क्या है (इलेक्ट्रॉन $I$ के विपरीत अपवाहित होते हैं, अतः इस संवर्धन में चाल पा जाते हैं — उन्हें ठीक से संयोजित कीजिए)?
8. तार की काट पर समाकलित करने पर प्रति एकांक लंबाई चतुःधारा $(c\lambda_{\text{कुल}}, I, 0, 0)$ है, जहाँ यहाँ $\lambda_{\text{कुल}} = 0$ है। उसका रूपांतरण कीजिए और दिखाइए कि नए तंत्र में तार का रेखीय आवेश यह है $$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$$
9. $\lambda'$ का मान निकालिए, प्रति मीटर कूलॉम में और प्रति मीटर इलेक्ट्रॉन-आवेशों में। कौन-सी धारा सघन हुई, और क्यों (चाहें तो हर धारा को अलग-अलग संकुचित कीजिए)?
10. आवेश पर विद्युत् क्षेत्र $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ और उस पर विद्युत् बल $qE'$ निकालिए।
11. $qE'$ की तुलना भाग I के प्रयोगशाला वाले $qvB$ से कीजिए, और बचे हुए गुणक $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ को समझाइए (किस [चतुःसदिश](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) का रूपांतरण-नियम इन बलों को जोड़ता है?)।
12. इस तंत्र में एक चुंबकीय क्षेत्र भी है (तार अब भी धारा ढोता है): वह यहाँ कोई बल क्यों नहीं लगाता?

**भाग III — संख्याओं का सार।**

13. आपेक्षिक असंतुलन $|\lambda'|/\lambda$ निकालिए और उसे $\gamma_v vu/c^2$ के रूप में लिखिए।
14. तार के आवेश के $10^{-19}$ कोटि का प्रभाव कोई स्थूल बल कैसे बना सकता है? (वह किस विशाल संख्या से गुणा होता है?)
15. $1\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर $10\,\mathrm{A}$ वाले दो समांतर तार: प्रति मीटर बल निकालिए, और उसे परिभाषा-कोटि के मान $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ न्यूटन प्रति मीटर से जाँचिए।
16. कोई विद्युत्चुंबक इसी कहानी के दस हज़ार फेरे है: $10\,\mathrm{A}$ ढोती प्रति मीटर $10^{4}\,$ फेरों की कुंडली का क्षेत्र आँकिए (वर्ष 1 के खंड का परिनालिका सूत्र), और वह प्रति वर्ग सेंटीमीटर लोहे पर जो बल लगाती है, वह भी ( $\sim B^2/2\mu_0$ )।
17. यदि आपेक्षिकता बंद कर दी जाए (रूपांतरण में $c \to \infty$ ), तो $\lambda'$ का, $B$ के बल का, तथा मोटरों और कबाड़खाने के चुंबकों का क्या बचता?
18. तार के पास *विराम* में रखा परीक्षण-आवेश कुछ भी क्यों अनुभव नहीं करता, यद्यपि इलेक्ट्रॉन उसके पास से बहते रहते हैं? (कौन-सा निरसन उसकी रक्षा करता है, और किस यथार्थता तक?)

**भाग IV — तार से आगे।**

19. वर्ष 2 के खंड ने चुंबकीय क्षेत्र ऐंपियर के नियम से निकाले थे, और धाराओं को दिए हुए स्रोत माना था। यह अध्याय उस हिसाब में क्या जोड़ता है — इस समस्या से देखने पर चुंबकीय क्षेत्र *है* क्या?
20. लोहे के चुंबकों के पास कोई बैटरी नहीं होती: स्थायी चुंबकत्व में धारा की भूमिका कौन निभाता है (एक वाक्य में; ईमानदार सूक्ष्मदर्शीय उत्तर क्वांटम है और पाँच अध्याय आगे प्रतीक्षा करता है)?
21. निर्वात में कोई अकेला इलेक्ट्रॉन-पुंज (कोई जालक नहीं): क्या साथ-साथ चलता कोई प्रेक्षक उसे प्रयोगशाला के प्रेक्षक से अधिक आकर्षित होता देखता है या अधिक प्रतिकर्षित? पुंज के अपने सिकुड़ने के दोनों तंत्रों वाले हिसाब मिलाइए।
22. अंतिम बात को संख्याओं में लाइए: दिखाइए कि साथ-साथ $\beta$ से चलते समान आवेश वाले दो समांतर पुंज कुल बल (विद्युत् प्रतिकर्षण ऋण चुंबकीय आकर्षण) से प्रतिकर्षित होते हैं, जो अपने विराम-मान से ठीक $1/\gamma^2$ जितना घटा हुआ है — और बताइए कि किस तंत्र का हिसाब इस गुणक को स्पष्ट कर देता है।
23. किसी लैंप की ऊर्जा लगभग $c$ से पहुँचती है, जबकि उसके इलेक्ट्रॉन प्रति घंटा एक मीटर अपवाहित होते हैं: डोरी के अनुदिश ऊर्जा वास्तव में कौन ले जाता है (वर्ष 2 के खंड का पॉयंटिंग सदिश स्मरण कीजिए)?
24. इस समस्या के इलेक्ट्रॉनों और किसी पैदल चलते परीक्षण-आवेश के लिए $vu/c^2$ आँकिए ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): वहाँ भी बल किसी दिक्सूचक सुई से प्रथम कोटि पर मापा जा सकता है — किसने धारा से दिक्सूचक का विक्षेपण दिखाया, और किस वर्ष?
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: कोई उदासीन $10\,\mathrm{A}$ तार, $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती सीट से देखने पर, $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ का आपेक्षिकीय आवेश ढोता है — और लंबाई-संकुचन की वही $10^{-24}$ कोटि की हिसाब-त्रुटि, $10^{28}$ इलेक्ट्रॉनों से गुणा होकर, प्रयोगशाला का पूरा चुंबकीय बल है।

**हल — समस्या 6.1.**

**1.** $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $u^2/c^2 =
6 \times 10^{-24}$। **2.** $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — हर धारा में प्रति मीटर चौदह किलोकूलॉम। **3.** $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$; $F = qvB =
10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, और दिशा तार की *ओर* (समांतर धाराएँ आकर्षित करती हैं)। **4.** दोनों रेखीय आवेश ठीक-ठीक कट जाते हैं: $\lambda_{\text{कुल}}
= 0$, अतः शून्य कोटि पर कोई क्षेत्र नहीं। **5.** प्रति मीटर एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन: $E = 2k\lambda_1/d =
2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, बल $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — चुंबकीय बल से $10^8$ गुना छोटा। तार प्रति मीटर दस करोड़ भटके इलेक्ट्रॉन छिपा सकता है, तब कहीं स्थिरवैद्युतिकी चुंबकत्व की बराबरी करेगी: अतः बल को $\vect B$ का श्रेय देना सुरक्षित है। **6.** $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ रेत के बीस कणों के भार जितना है: सहज ही मापने योग्य। **7.** जालक: $-v$। इलेक्ट्रॉन ($u$ से अपवाहित, $I$ के विपरीत, अर्थात् संवर्धन के विपरीत): चाल $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — जालक से अधिक तेज़। **8.** $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{कुल}} - vI/c^2) =
-\gamma_v vI/c^2$। **9.** $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} =
-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$: प्रति मीटर लगभग $7 \times 10^7$ अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन। इस तंत्र में तेज़ चलती इलेक्ट्रॉन-धारा ही सघन है — हर धारा अपने ही $\gamma$ से संकुचित होती है। **10.** $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times
1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, जो तार की ओर संकेत करता है; बल $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, आकर्षक। **11.** $qvB$ के ठीक बराबर, बस गुणक $\gamma_v = 1 +
5.6 \times 10^{-8}$ जितना: और यही किसी अनुप्रस्थ बल (चतुर्बल) का रूपांतरण-नियम है, $F_{\text{विराम}} = \gamma F_{\text{प्रय}}$। **12.** तार अब भी (और बड़ी) धारा ढोता है, अतः $\vect
B' \neq 0$ — पर हमारा आवेश यहाँ विराम में है, और चुंबकीय क्षेत्र केवल चलते आवेशों को पकड़ता है। **13.** $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$। **14.** वह प्रति मीटर $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ मूल आवेशों से गुणा होता है: $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22}
\approx 7 \times 10^{7}$ इलेक्ट्रॉन प्रति मीटर — अर्थात् स्थूल। पदार्थ इतना विशाल रूप से आवेशित है कि उसकी उदासीनता उस्तरे की धार है; और आपेक्षिकता उस धार को झुका देती है। **15.** $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 =
2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — वही सूत्र जो कभी ऐंपियर को *परिभाषित* करता था। **16.** $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times
10 = 0.13\,\mathrm{T}$; चुंबकीय दाब $B^2/2\mu_0 \approx
6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$: पूरी की पूरी कारें समाकलित आपेक्षिकता पर लटकी रहती हैं। **17.** $c \to \infty$ करने से $\lambda'$ मर जाता है, और उसके साथ वह बल, क्षेत्र का चुंबकीय भाग, मोटरें, डायनमो और कबाड़खाने की क्रेनें भी: चुंबकत्व का कोई अनापेक्षिकीय अस्तित्व है ही नहीं। **18.** विराम में आवेश प्रयोगशाला का उदासीन तार देखता है: दोनों धाराएँ उतनी ही यथार्थता तक कट जाती हैं जितनी यथार्थता से पदार्थ उदासीन है — जो प्रयोगों से अद्भुत यथार्थता तक ज्ञात है — और कोई बल नहीं लगता। **19.** यही कि “दिए हुए स्रोत” वाला चित्र किसी एक तंत्र की एक ही प्रदिश की फाँक थी: $\vect B$ विद्युत्चुंबकीय क्षेत्र का वह टुकड़ा है जिसे किसी प्रेक्षक की गति आवेशों के बजाय धाराओं के खाते में डाल देती है। **20.** इलेक्ट्रॉन का चक्रण: हर इलेक्ट्रॉन स्वयं एक मूल चुंबक है (एक अंतर्जात, क्वांटम “धारा”), और लोहा वह पदार्थ है जिसमें ये पंक्तिबद्ध हो जाते हैं — [अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level) और [अध्याय 22](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/22-electromagnetism-in-matter#ch-b3-electromagnetism-in-matter) इसे आगे बढ़ाते हैं। **21.** पुंज के विराम-तंत्र में प्रतिकर्षण शुद्ध कूलॉमी और *अधिकतम* है; प्रयोगशाला में समांतर धाराओं का चुंबकीय आकर्षण उसे लगभग काट देता है। इसमें कोई विरोधाभास नहीं: प्रयोगशाला का अनुप्रस्थ बल विराम-तंत्र वाले बल को $\gamma$ से भाग देने पर मिलता है, और धीमी गतिकी (काल-प्रसार) हिसाब पूरा कर देती है। **22.** प्रयोगशाला में कुल बल $= qE_{\text{प्रय}} - qvB_{\text{प्रय}} =
(1 - \beta^2)qE_{\text{प्रय}} = F_{\text{कूलॉम}}/\gamma^2$, रूपांतरण के अनुसार; और विराम-तंत्र में गुणक पारदर्शी है: शुद्ध स्थिरवैद्युतिकी, जिसका फैलाव प्रसारित काल से देखा जा रहा है। **23.** पॉयंटिंग सदिश: ऊर्जा चालकों के चारों ओर के *क्षेत्रों* में से लगभग $c$ पर बहती है, और इलेक्ट्रॉन उसे केवल सँभालते हैं; डोरी का ताँबा मार्गदर्शक है, नली नहीं। **24.** $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — और फिर भी ओर्स्टेड ने 1820 में किसी तार के पास अपने दिक्सूचक को घूमते देखा: $10^{22}$ आवेशों का गुणक किसी के नाम रखने से एक सदी पहले ही काम पर लगा हुआ था। **25.** कोई उदासीन $10\,\mathrm{A}$ तार, $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से देखने पर, $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ ढोता है: लंबाई-संकुचन का $10^{-16}$ का हिसाब-भेद, प्रति मीटर $10^{23}$ आवेशों से गुणा होकर, चुंबकीय बल *है* — सारा चुंबकत्व घोंघे की चाल पर परखी गई आपेक्षिकता ही है।