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title: "त्रिविमा में श्रोडिंगर समीकरण"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions
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# अध्याय 7 — त्रिविमा में श्रोडिंगर समीकरण

किसी आधुनिक दूरदर्शन का पर्दा ऐसे क्रिस्टलों से चमकता है जो इतने छोटे हैं कि उनका *आकार* ही उनका रंग तय कर देता है: कैडमियम-सेलेनाइड का चार नैनोमीटर का कण लाल चमकता है, और वही पदार्थ दो नैनोमीटर पर नीला-हरा। रसायन में कुछ भी भिन्न नहीं — केवल इलेक्ट्रॉनों को बाँधने वाले संदूक का आकार। वर्ष 2 के खंड का अंत एकविमीय क्वांटम यांत्रिकी पर हुआ था: किसी रेखा पर तरंग फलन, कूप, रोधिकाएँ और सुरंगन। पर इलेक्ट्रॉन तीन विमाओं में रहते हैं, और रेखा से दिक् तक का कदम सचमुच नई भौतिकी लाता है: प्रायिकता दिक् में किसी धारा की तरह बहती है, किसी संदूक की ऊर्जाएँ ऐसी *अपह्रासिताओं* के साथ जमा होती हैं जो उसकी सममिति खोल देती हैं, अवस्थाओं को *गिनना* पड़ता है — वही गिनती जो आगे चलकर पूरी सांख्यिकीय भौतिकी चलाएगी — और गोलीय समस्याएँ, अपने सरलतम रूप में, त्रिज्या पर के किसी छद्म एकविमीय समीकरण तक घट जाती हैं। यह अध्याय वे कदम उठाता है, और उसके केंद्र में हैं किसी दूरदर्शन का क्वांटम बिंदु और प्रकृति का सबसे हलका नाभिक।

## 7.1 दिक् में तरंग फलन

**परिभाषा 7.1 (त्रिविमा में तरंग फलन और प्रायिकता).**

किसी कण की अवस्था एक सम्मिश्र क्षेत्र $\psi(\vect r, t)$ है, जिसके साथ बोर्न का नियम है

$$
\dd\mathcal P = |\psi(\vect r, t)|^2\,\dd^3r , \qquad
\int|\psi|^2\,\dd^3r = 1 ,
$$

और उसका विकास श्रोडिंगर समीकरण है, जिसमें दूसरे अवकलज के स्थान पर लाप्लासीय आ जाता है:

$$
\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}
 = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi + V(\vect r)\,\psi ,
\qquad
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} .
$$

वर्ष 2 के खंड ने जो कुछ स्थापित किया था, वह अक्षरशः बचा रहता है: रैखिकता और अध्यारोपण, स्थायी अवस्थाएँ $\varphi(\vect r)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}$, जिनके साथ $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\varphi + V\varphi = E\varphi$, और संवेग संकारक, जो अब प्रवणता $\hat{\vect p} =
-\iu\hbar\vect\nabla$ है।

**प्रतिज्ञप्ति 7.2 (प्रायिकता बहती है: धारा).**

घनत्व $\rho = |\psi|^2$ किसी सांतत्य समीकरण का पालन करता है,

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,
\qquad
\vect\jmath = \frac{\hbar}{m}\,
\operatorname{Im}\big(\psi^*\vect\nabla\psi\big) :
$$

प्रायिकता स्थानिक रूप से संरक्षित है, और धारा $\vect\jmath$ उसे ढोती है — किसी समतल तरंग $A\eu^{\iu\vect k\cdot\vect r}$ के लिए $\vect\jmath = |A|^2\hbar\vect k/m = \rho\vect v$, अर्थात् एक एकसमान प्रवाह; और किसी भी वास्तविक-मान वाले $\varphi$ के लिए $\vect\jmath = \vect 0$: बद्ध स्थायी अवस्थाएँ कोई कुल प्रवाह नहीं ढोतीं।

**उपपत्ति.** जैसे एक विमा में: समीकरण और उसके संयुग्मी से $\partial_t(\psi^*\psi)$; विभव वाले पद कट जाते हैं, और अपसरण के लिए गुणनफल-नियम से $(\iu\hbar/2m)
(\psi^*\Delta\psi - \psi\Delta\psi^*) =
-\operatorname{div}\big[(\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\vect\nabla
\psi)\big]$। ∎

![प्रायिकता धारा: कोई चलती तरंग अपने घनत्व को किसी तरल की तरह ढोती है; जबकि कोई वास्तविक (बद्ध, स्थायी) तरंग फलन ठहरा रहता है — परमाणु का इलेक्ट्रॉन-बादल तब तक परिक्रमा नहीं करता जब तक अवस्था सम्मिश्र न हो।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/fig-3fac1daa87d6.svg)

*[प्रायिकता धारा](#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-current): कोई चलती तरंग अपने घनत्व को किसी तरल की तरह ढोती है; जबकि कोई वास्तविक (बद्ध, स्थायी) तरंग फलन ठहरा रहता है — परमाणु का इलेक्ट्रॉन-बादल तब तक परिक्रमा नहीं करता जब तक अवस्था सम्मिश्र न हो।*

## 7.2 संदूक, अपह्रासिता और अवस्थाओं की गिनती

**प्रमेय 7.3 (चरों का पृथक्करण).**

यदि विभव $V = V_1(x) + V_2(y) + V_3(z)$ की तरह बँट जाए, तो स्थायी अवस्थाएँ गुणनफलों के रूप में ली जा सकती हैं, $\varphi(\vect r) = \varphi_1(x)\,\varphi_2(y)\,\varphi_3(z)$, जहाँ हर गुणनखंड अपनी ही एकविमीय समस्या हल करता है, और ऊर्जाएँ *जुड़ जाती* हैं: $E = E_1 + E_2 + E_3$। ऐसी स्थितियों में तीन विमाएँ एक ही विमा तीन बार हैं।

**उपपत्ति.** गुणनफल को स्थायी समीकरण में रखिए और $\varphi$ से भाग दीजिए: तब एक-एक चर वाले तीन व्यंजकों का योग अचर $E$ के बराबर है, अतः हर एक अलग-अलग अचर है। और हर अवस्था ऐसे गुणनफलों का अध्यारोपण है — यह एकविमीय हलों की पूर्णता है, जो स्वीकृत है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 7.4 (घनाकार संदूक और उसकी अपह्रासिताएँ).**

भुजा $a$ के किसी अभेद्य दीवारों वाले संदूक में अवस्थाएँ तीन धनात्मक पूर्णांकों से अनुक्रमित होती हैं,

$$
\varphi_{n_1n_2n_3} \propto
\sin\frac{n_1\pi x}{a}\sin\frac{n_2\pi y}{a}\sin\frac{n_3\pi z}{a} ,
\qquad
E = \frac{h^2}{8ma^2}\,(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2) .
$$

अब भिन्न अवस्थाएँ ऊर्जाएँ बाँटती हैं: स्तर $(2,1,1)$ तीन प्रतियों में आता है, क्योंकि $(1,2,1)$ और $(1,1,2)$ उसी $E$ की भौतिक रूप से भिन्न अवस्थाएँ हैं। ऐसी *अपह्रासिता* सममिति का चिह्न है — यहाँ संदूक के तीनों अक्षों की परस्पर बदलनीयता; संदूक को ज़रा दबा दीजिए और वह त्रिक फूट जाता है।

**उपपत्ति.** वर्ष 2 के खंड के तीन अनंत कूपों के साथ पृथक्करण; ऊर्जाएँ जुड़ जाती हैं। ∎

![घनाकार संदूक के सबसे निचले स्तर: ऊर्जाएँ h2/8ma2 के मात्रकों में, अपनी क्वांटम संख्याओं के साथ। असमान n_i के क्रमचय अपह्रासी त्रिक और षट्क देते हैं — यही घनीय सममिति की छाप है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/fig-52e9e6af0dc5.svg)

*घनाकार संदूक के सबसे निचले स्तर: ऊर्जाएँ $h^2/8ma^2$ के मात्रकों में, अपनी क्वांटम संख्याओं के साथ। असमान $n_i$ के क्रमचय अपह्रासी त्रिक और षट्क देते हैं — यही घनीय सममिति की छाप है।*

**प्रतिज्ञप्ति 7.5 (अवस्थाएँ गिनना).**

$E$ से नीची ऊर्जा वाली संदूक-अवस्थाओं की संख्या, बड़े $E$ के लिए, है

$$
N(E) \approx \frac{V}{6\pi^2}\Big(\frac{2mE}{\hbar^2}\Big)^{3/2} ,
\qquad V = a^3 :
$$

अर्थात् आयतन के और $E^{3/2}$ के अनुक्रमानुपाती। समतुल्य रूप से, [कला समष्टि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) प्रति आयतन $h^3$ पर एक क्वांटम अवस्था रखती है — अर्थात् [अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics) की बोर–ज़ोमरफ़ेल्ट कोष्ठिका, जो अब निकाल ली गई। यही एक गिनती इस खंड में आगे आने वाली सांख्यिकीय भौतिकी और ठोस-अवस्था भौतिकी का कच्चा माल है: धातुओं में इलेक्ट्रॉन, कोटरों में फ़ोटॉन, और गरम पिंडों की चमक — सब यहीं से आरंभ होते हैं।

**उपपत्ति.** अवस्थाएँ धनात्मक अष्टांश में जालक-बिंदु $(n_1, n_2, n_3)$ हैं; $E \le E_{\max}$ उन्हीं को रखता है जो त्रिज्या $R =
\sqrt{8ma^2E/h^2}$ के गोले के भीतर हों। बड़े $R$ के लिए गिनती अष्टांश का आयतन $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi R^3$ है; प्रतिस्थापन कीजिए। (कला-समष्टि वाला रूप: $N = \tfrac{V\cdot\frac43\pi p^3}{h^3}$, जहाँ $p = \sqrt{2mE}$ — वही संख्या।) ∎

**उदाहरण 7.6 (कोई धातु, पहला आकलन).**

ताँबा लगभग प्रति परमाणु एक गतिशील इलेक्ट्रॉन देता है, $n =
8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$। संदूक की अवस्थाओं को दो-दो इलेक्ट्रॉन (चक्रण, [अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level)) से उस ऊर्जा तक भरने पर, जो उन सबको समा ले, गिनती उलटने पर $E_{\text{F}}
\approx 7\,\mathrm{eV}$ मिलता है — तापीय हलचल ($k_{\text{B}}T \approx 25\,\mathrm{meV}$) की तुलना में विशाल ऊर्जा: कमरे के ताप पर भी किसी धातु के इलेक्ट्रॉन गहरे अर्थ में क्वांटम भीड़ हैं। पूरी कहानी [अध्याय 24](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/24-electrons-in-solids#ch-b3-electrons-in-solids) है।

**उदाहरण 7.7 (समदैशिक दोलक).**

$V = \tfrac12 m\omega^2r^2 = \tfrac12 m\omega^2(x^2 + y^2 +
z^2)$ के लिए पृथक्करण देता है $E = (n_x + n_y + n_z + \tfrac32)\hbar\omega$: अर्थात् स्तर $\tfrac32, \tfrac52, \tfrac72\hbar\omega\ldots$, जिनकी अपह्रासिताएँ $1, 3, 6, 10, \dots$ हैं — और वे, संदूक के अनियमित ढाँचे के विपरीत, पूरी नियमितता से बढ़ती हैं। अक्ष-क्रमचय जितना समझा सके, उससे अधिक अपह्रासिता किसी *बड़ी* छिपी सममिति का संकेत है; हाइड्रोजन परमाणु यह करतब शानदार ढंग से दोहराएगा। चक्रण-युग्मित कणों से भरने पर ये दोलक-कोश $2,
8, 20, \dots$ रखते हैं — अर्थात् नाभिकीय भौतिकी की “जादुई संख्याओं” का पहला सन्निकटन ([अध्याय 25](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/25-nuclear-physics#ch-b3-nuclear-physics))।

## 7.3 गोलीय समस्याएँ: s-तरंग की युक्ति

**प्रतिज्ञप्ति 7.8 (गोलीय सममित अवस्थाएँ).**

किसी केंद्रीय विभव $V(r)$ के लिए ऐसी अवस्थाएँ खोजिए जो केवल $r$ पर निर्भर हों (अर्थात् *s अवस्थाएँ*; कोणीय संरचना वाली व्यापक स्थिति [अध्याय 10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#ch-b3-quantum-angular-momentum) की प्रतीक्षा करती है)। $\varphi(r) = u(r)/r$ लिखने पर फलन $u$ इसका पालन करता है

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + V(r)\,u = E\,u ,
\qquad u(0) = 0 :
$$

अर्थात् *ठीक-ठीक* किसी अर्ध-रेखा पर का एकविमीय श्रोडिंगर समीकरण, जिसमें मूल बिंदु पर एक दीवार है। वर्ष 2 के खंड का हर एकविमीय औज़ार — कूप, मिलान, सुरंगन — गोलीय समस्याओं पर अक्षरशः लागू होता है, बस एक प्रतिस्थापन की कीमत पर।

**उपपत्ति.** $\varphi(r)$ के लिए लाप्लासीय घटकर $\Delta\varphi =
\tfrac1r(r\varphi)'' = u''/r$ रह जाता है; इसे रखिए और $r$ से गुणा कीजिए। शर्त $u(0) = 0$ मूल बिंदु पर $\varphi = u/r$ को परिमित रखती है; और प्रसामान्यन $\int_0^\infty|u|^2\dd r$ का $4\pi$ गुना है — $u$ सचमुच एक एकविमीय तरंग फलन है। ∎

**उदाहरण 7.9 (ड्यूटेरॉन: बस-बस एक नाभिक).**

ड्यूटेरॉन — एक प्रोटॉन, एक न्यूट्रॉन — सबसे सरल नाभिक है: बंधन ऊर्जा $B = 2.2\,\mathrm{MeV}$, जो नाभिकीय पैमानों के आगे नन्ही है। निदर्शन के लिए आपेक्षिक गति (समानीत द्रव्यमान $m_{\text{p}}/2$) को परास $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ और गहराई $V_0$ के किसी गोलीय कूप में रखिए: तब $u$ का समीकरण परिमित एकविमीय कूप है। भीतरी और बाहरी हलों का मिलान *किसी भी* बद्ध अवस्था के लिए न्यूनतम गहराई $V_0 > \pi^2\hbar^2/8\mu R^2
\approx 23\,\mathrm{MeV}$ माँगता है, और $B = 2.2\,\mathrm{MeV}$ की पुनरुत्पत्ति के लिए $V_0 \approx 35\,\mathrm{MeV}$ चाहिए ([अभ्यास 7.10](#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-10)): प्रबल बल ड्यूटेरॉन को केवल दस प्रतिशत की गुंजाइश से बाँधता है। तरंग फलन कूप से बहुत बाहर तक रिसता है — न्यूक्लिऑन-युग्म अपना अधिकांश समय बल की पहुँच से परे बिताता है — और कोई दूसरी बद्ध अवस्था नहीं है: प्रकृति के दूसरे सबसे सरल नाभिक, हीलियम, को तीसरा न्यूक्लिऑन चाहिए।

![गोलीय-कूप निदर्श में ड्यूटेरॉन का त्रिज्य तरंग फलन u(r): कूप के भीतर मुश्किल से एक चौथाई दोलन समाता है, और अवस्था ऐसी पुच्छ के सहारे जीती है जो बल की परास से कहीं दूर तक पहुँचती है — एक ऐसा नाभिक जो 35\, MeV गहरे कूप में केवल 2.2\, MeV से बँधा है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/fig-55248f4cf84d.svg)

*गोलीय-कूप निदर्श में ड्यूटेरॉन का त्रिज्य तरंग फलन $u(r)$: कूप के भीतर मुश्किल से एक चौथाई दोलन समाता है, और अवस्था ऐसी पुच्छ के सहारे जीती है जो बल की परास से कहीं दूर तक पहुँचती है — एक ऐसा नाभिक जो $35\,\mathrm{MeV}$ गहरे कूप में केवल $2.2\,\mathrm{MeV}$ से बँधा है।*

**विधि 7.10 (त्रिविमीय समस्याएँ).**

(1) क्या विभव योज्य है ($V_1 + V_2 + V_3$)? तो पृथक कीजिए; ऊर्जाएँ जुड़ेंगी; और सममिति से अपह्रासिताएँ बटोरिए। (2) केंद्रीय विभव, गोलीय अवस्था? तो $\varphi = u/r$ रखिए और $u(0) = 0$ के साथ हर एकविमीय परिणाम फिर से काम में लाइए। (3) अवस्थाएँ गिनने के लिए $\vect n$ की समष्टि में सोचिए, या [कला समष्टि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) में प्रति $h^3$ एक अवस्था पर (प्रति चक्रण-अवस्था)। (4) धाराएँ: जब कोई प्रवाह या अभिवाह मायने रखे तब $\vect\jmath$ निकालिए; याद रखिए, वास्तविक तरंग फलन $=$ कोई धारा नहीं। (5) पहले आकलन: प्रति दिशा परिरोध-ऊर्जा $\sim h^2/8mL^2$ ही क्वांटम बिंदुओं से लेकर नाभिकों तक के पैमाने किसी समीकरण के हल होने से पहले तय कर देती है।

![पराबैंगनी प्रकाश में क्वांटम बिंदु: वही अर्धचालक, उत्तरोत्तर छोटे क्रिस्टलों में, लाल से नीले तक चमकता हुआ। रंग इसी अध्याय की संदूक-में-कण ऊर्जाओं से तय होता है — वह परिरोध जिसे आप देख सकते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/img-e8c2bbe5802d.jpg)

*पराबैंगनी प्रकाश में क्वांटम बिंदु: वही अर्धचालक, उत्तरोत्तर छोटे क्रिस्टलों में, लाल से नीले तक चमकता हुआ। रंग इसी अध्याय की संदूक-में-कण ऊर्जाओं से तय होता है — वह परिरोध जिसे आप देख सकते हैं।*

## 7.4 अभ्यास

**अभ्यास 7.1 ★.**

गाउसीय अवस्था $\psi(\vect r) = A\,\eu^{-r^2/4\sigma^2}$। (क) प्रसामान्यन कीजिए ($\int_0^\infty x^2\eu^{-x^2}\dd x = \sqrt\pi/4$)। (ख) $\langle r^2\rangle$ और $\Delta x$ निकालिए (समदैशिकता सहायक है)। (ग) इस अवस्था के लिए $\vect\jmath$ क्या है, और क्यों? (घ) उसे $\eu^{\iu\vect k_0\cdot\vect r}$ से गुणा कीजिए: अब $\langle\vect
p\rangle$ और $\vect\jmath$ क्या हैं?

**हल — अभ्यास 7.1.**

(क) $\int|\psi|^2\dd^3r = |A|^2\,4\pi\int_0^\infty r^2\eu^{-r^2/2
\sigma^2}\dd r = |A|^2(2\pi\sigma^2)^{3/2}$: अतः $A = (2\pi\sigma^2)^{
-3/4}$। (ख) समदैशिकता से $\langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle =
3\sigma^2$, अतः $\Delta x = \sigma$। (ग) $\vect\jmath = \vect 0$: तरंग फलन वास्तविक है। (घ) $\langle\vect p\rangle = \hbar\vect k_0$ और $\vect\jmath = \rho\,\hbar\vect k_0/m$: वही बादल, अब अपवाहित होता हुआ।

**अभ्यास 7.2 ★.**

घनाकार संदूक के लिए $E = 15$ तक ($h^2/8ma^2$ के मात्रकों में) सारे स्तर उनकी अपह्रासिताओं सहित सूचीबद्ध कीजिए। फिर दिखाइए कि स्तर $27$ क्रमचयों से *परे* अपह्रासी है: उसकी क्वांटम संख्याओं के दोनों कुल ढूँढ़िए, और बताइए कि ऐसी “आकस्मिक” अपह्रासिता घनीय सममिति से क्यों नहीं निकलती।

**हल — अभ्यास 7.2.**

$3\,(1)$, $6\,(3)$, $9\,(3)$, $11\,(3)$, $12\,(1)$, $14\,(6)$ — और फिर $17$ तक कुछ नहीं। स्तर $27$: $(3,3,3)$ तथा $(5,1,1)$ के क्रमचय — कुल चार अवस्थाएँ, क्योंकि $27 = 9+9+9 = 25+1+1$। घनीय सममिति केवल अक्ष बदलती है, और कोई क्रमचय $(3,3,3)$ को $(5,1,1)$ से नहीं जोड़ता: यह संयोग अंकगणितीय है (तीन वर्गों के योग के रूप में दो निरूपण), ज्यामितीय नहीं।

**अभ्यास 7.3 ★.**

इनके लिए धारा $\vect\jmath$ निकालिए: (क) समतल तरंग $A\eu^{\iu kx}$; (ख) अप्रगामी तरंग $A\sin kx$; (ग) अध्यारोपण $A(\eu^{\iu kx} + r\,\eu^{-\iu kx})$, जहाँ $r$ वास्तविक — परिणाम की व्याख्या आपाती ऋण परावर्तित अभिवाह के रूप में कीजिए; (घ) अवस्था $A\,\eu^{\iu m\varphi}$, त्रिज्या $b$ के किसी वलय पर (वहाँ $|\vect\nabla|
= (1/b)\partial_\varphi$ लीजिए): एक ऐसी धारा जो सदा परिक्रमा करती रहती है।

**हल — अभ्यास 7.3.**

(क) $\vect\jmath = |A|^2\hbar k/m\,\vect e_x$। (ख) शून्य: वास्तविक फलन। (ग) $j = (|A|^2\hbar k/m)(1 - r^2)$: आपाती अभिवाह ऋण परावर्तित अभिवाह — मिश्रित पद कट जाते हैं। (घ) $j = \rho\,\hbar
m/Mb$, जहाँ $\rho = 1/2\pi$ (प्रति एकांक कोण): एक स्थायी परिचालन, जो सतत धाराओं का सूक्ष्मदर्शीय पूर्वज है।

**अभ्यास 7.4 ★.**

कोई क्वांटम-बिंदु क्रिस्टलिका किसी इलेक्ट्रॉन–विवर युग्म को बाँधती है, जिसका प्रभावी द्रव्यमान $\mu = 0.10\,m_{\text{e}}$ है; उससे उत्सर्जित फ़ोटॉन की ऊर्जा पिंड-अंतराल $E_{\text{g}} = 1.74\,\mathrm{eV}$ और किसी गोलीय संदूक की परिरोध-ऊर्जा $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ का योग है। (क) $R = 3\,\mathrm{nm}$ पर परिरोध-ऊर्जा निकालिए। (ख) उत्सर्जित तरंगदैर्घ्य। (ग) बिंदु के सिकुड़ने पर रंग किस ओर जाता है? (घ) पिंड कैडमियम सेलेनाइड (बड़ा $R$) एक ही नियत रंग क्यों दिखाता है?

**हल — अभ्यास 7.4.**

गुणांक $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$ है। (क) $R = 3\,\mathrm{nm}$ पर: $0.42\,\mathrm{eV}$। (ख) $E = 2.16\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 1240/2.16 = 575\,\mathrm{nm}$, अर्थात् पीला-हरा। (ग) छोटा $R$, बड़ी $E$: नीले की ओर। (घ) पिंड में परिरोध-पद लुप्त हो जाता है: नियत अंतराल $1.74\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 713\,\mathrm{nm}$, और नमूना कोई भी हो, वही गहरा लाल।

**अभ्यास 7.5 ★★.**

किसी वलय पर एक कण (त्रिज्या $b$, निर्देशांक $\varphi$): स्थायी अवस्थाएँ $\psi_m = \eu^{\iu m\varphi}/\sqrt{2\pi}$ हैं। (क) $m$ को पूर्णांक क्यों होना ही चाहिए? (ख) दिखाइए कि $E_m = \hbar^2m^2/2mb^2$ — दोनों $m$ से सावधान: $E_m = \hbar^2 m^2/2Mb^2$ लिखिए, द्रव्यमान $M$ के लिए — और ध्यान दीजिए कि $m \neq 0$ वाला हर स्तर द्विगुण अपह्रासी है: कौन-सी सममिति $+m$ को $-m$ के साथ जोड़ती है? (ग) $\psi_m$ की धारा निकालिए, और यदि कण आवेश $q$ ढोता हो तो उससे जुड़ा “कक्षकीय” चुंबकीय आघूर्ण भी। (घ) बेंज़ीन के छह गतिशील इलेक्ट्रॉन $b \approx 1.4\,\text{Å}$ के वलय पर रहते हैं: पहले अनुमत उत्तेजन ($m = \pm1 \to \pm2$) की फ़ोटॉन-ऊर्जा आँकिए और $180\,\mathrm{nm}$ के पास बेंज़ीन के पराबैंगनी अवशोषण से तुलना कीजिए — एक वलय, और कोई रसायन नहीं।

**हल — अभ्यास 7.5.**

(क) एकमानता: $\psi(\varphi + 2\pi) = \psi(\varphi)$ से $\eu^{2\pi\iu m} = 1$। (ख) $E_m = \hbar^2m^2/2Mb^2$; अवस्थाएँ $\pm
m$ विपरीत दिशाओं में परिक्रमा करती हैं और दर्पण-परावर्तन (या काल-प्रतीपन) से आपस में बदल जाती हैं — यह वलय की एक सममिति है, और इसीलिए अपह्रासिता। (ग) धारा-पाश $I = q\hbar m/2\pi Mb^2$ चुंबकीय आघूर्ण $\mu = I\pi b^2 = m\,q\hbar/2M$ ढोता है — जो $q\hbar/2M$ के पगों में क्वांटीकृत है, अर्थात् [अध्याय 10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/10-quantum-angular-momentum#ch-b3-quantum-angular-momentum) वाला बोर-मैग्नेटॉन ढाँचा। (घ) $\hbar^2/2m_{\text{e}}b^2 = 1.9\,\mathrm{eV}$; छह इलेक्ट्रॉन $m = 0, \pm1$ भर देते हैं, और पहला उत्तेजन $\pm1 \to \pm2$ $(4-1) \times 1.9 \approx 5.8\,\mathrm{eV}$ का पड़ता है, अर्थात् $\lambda \approx
210\,\mathrm{nm}$ — केवल एक वलय से, और कुछ नहीं, ठीक वही पराबैंगनी पड़ोस।

**अभ्यास 7.6 ★★.**

समदैशिक दोलक की अपह्रासिताएँ। (क) दिखाइए कि $n_x + n_y + n_z = n$ वाले त्रिकों की संख्या $(n+1)(n+2)/2$ है। (ख) $n = 0$ से $3$ तक कोश-जनसंख्याएँ सूचीबद्ध कीजिए, चक्रण के लिए दुगुनी करके। (ग) दिखाइए कि संचयी भरन $2, 8, 20, 40, \dots$ हैं: पहली तीन नाभिकीय भौतिकी की “जादुई” अतिरिक्त-स्थायी न्यूक्लिऑन संख्याओं से मेल खाती हैं — $40$ पर विफलता (सच्चा जादू: $28$, $50$) नाभिकीय विभव के विषय में क्या सुझाती है? (घ) संदूक का अनियमित स्तर-ढाँचा, दोलक के विपरीत, कोई प्रबल कोश-संरचना क्यों नहीं बनाता?

**हल — अभ्यास 7.6.**

(क) $n_x = 0..n$ और $n_y = 0..n - n_x$ चुनिए: $\sum_{n_x}(n - n_x
+ 1) = (n+1)(n+2)/2$। (ख) चक्रण सहित: $2, 6, 12, 20$; संचयी $2,
8, 20, 40$। (ग) $2$, $8$, $20$ जादुई हैं; और उसके आगे की विफलता बताती है कि नाभिकीय कूप हरात्मक नहीं है — उसका तल अधिक चपटा है, और सबसे बढ़कर उसमें प्रबल चक्रण–कक्षा युग्मन है, जो कोशों को फिर से $28, 50, 82$ पर बाँट देता है। (घ) कोश-संरचना के लिए स्तरों का *गुच्छित* होना और उनके बीच अंतराल होना चाहिए; संदूक के स्तर अनियमित ढंग से फैले हैं और उनमें कोई बड़ा अंतराल नहीं, अतः नाभिक-जैसा स्थायित्व-ढाँचा उभरता ही नहीं।

**अभ्यास 7.7 ★★.**

अनंत गोलीय कूप (त्रिज्या $R$): $s$-तरंग की युक्ति से, (क) स्तर $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$ और तरंग फलन $u_n$ ज्ञात कीजिए; (ख) $E_1$ निकालिए, किसी न्यूक्लिऑन ($Mc^2 =
939\,\mathrm{MeV}$) के लिए, $R = 5\,\mathrm{fm}$ में ($\hbar c =
197.3\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ लीजिए); (ग) मध्यम नाभिकों में कुछ MeV के मापे गए न्यूक्लिऑन स्तर-अंतरालों से तुलना कीजिए; (घ) मूल अवस्था में कण के मिलने की सबसे अधिक संभावना कहाँ है — $|u_1|^2$ का उच्चिष्ठ निकालिए, और एकविमीय संदूक के $|\varphi|^2$ वाले उत्तर से उसकी तुलना कीजिए।

**हल — अभ्यास 7.7.**

(क) $u_n = \sqrt{2/R}\sin(n\pi r/R)$, $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$। (ख) $E_1 = \pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939 \times
25) = 8.2\,\mathrm{MeV}$। (ग) ठीक वही पैमाना: नाभिकों में न्यूक्लिऑन MeV के अंतराल वाली क्वांटम अवस्थाएँ हैं, जैसा उनके वर्णक्रम दिखाते हैं। (घ) $|u_1|^2$ का उच्चिष्ठ $r = R/2$ पर है: त्रिज्य प्रायिकता आधी दूरी पर सबसे बड़ी होती है (आयतन-अवयव का $r^2$, जो $u = r\varphi$ में छिपा है, उच्चिष्ठ को केंद्र से हटा देता है), जबकि एकविमीय संदूक का $|\varphi|^2$ केंद्र पर उच्चिष्ठ होता है।

**अभ्यास 7.8 ★★.**

किसी धातु में इलेक्ट्रॉन गिनना। (क) [प्रतिज्ञप्ति 7.5](#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) से, दो चक्रण-अवस्थाओं के साथ, दिखाइए कि $N$ इलेक्ट्रॉन, आयतन $V$ में भरने पर, फ़र्मी ऊर्जा तक पहुँचा देते हैं

$$
E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}\,(3\pi^2n)^{2/3} ,
\qquad n = N/V .
$$

(ख) ताँबे के लिए मान निकालिए। (ग) संगत फ़र्मी चाल और ताप $E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ निकालिए। (घ) एक वाक्य में: सारे इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में क्यों नहीं बैठ जाते, और कौन-सा सिद्धांत (यहाँ झलक, और [अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#ch-b3-identical-particles) में सिद्ध) उन्हें मना करता है?

**हल — अभ्यास 7.8.**

(क) $N = 2N_{\text{अव}}(E_{\text{F}})$ रखिए और गिनती उलटिए। (ख) ताँबा: $E_{\text{F}} = 7.1\,\mathrm{eV}$। (ग) $v_{\text{F}} =
\sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$। (घ) इलेक्ट्रॉन सर्वसम फ़र्मिऑन हैं: पाउली का अपवर्जन सिद्धांत ([अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/14-identical-particles#ch-b3-identical-particles)) प्रति कक्षक-अवस्था अधिक से अधिक दो की अनुमति देता है, अतः पूरी भीड़ को इलेक्ट्रॉनवोल्ट ऊर्जाओं तक चढ़ना पड़ता है।

**अभ्यास 7.9 ★★.**

किसी गोलीय कूप की न्यूनतम गहराई। परिमित कूप के लिए ($-V_0$, जब $r < R$), $s$-तरंग की मूल अवस्था का भीतर $u = \sin kr$ है और बाहर $\eu^{-\kappa r}$। (क) $k$ और $\kappa$ तथा मिलान-शर्त $k\cot kR = -\kappa$ लिखिए। (ख) दिखाइए कि कोई बद्ध अवस्था पहली बार तब प्रकट होती है जब $kR = \pi/2$ हो, ठीक $E = 0$ पर, जिससे $V_{0,\min} = \pi^2\hbar^2/8MR^2$। (ग) ड्यूटेरॉन के लिए मान निकालिए ($M \to \mu = m_{\text{p}}/2$, $R = 2.1\,\mathrm{fm}$)। (घ) एक विमा से तुलना कीजिए, जहाँ सबसे उथला कूप भी बाँध लेता है: दीवार $u(0) = 0$ भौतिक रूप से क्या बदल देती है?

**हल — अभ्यास 7.9.**

(क) $k = \sqrt{2M(V_0 - |E|)}/\hbar$, $\kappa = \sqrt{2M|E|}/\hbar$; $u'/u$ की $R$ पर संततता से $k\cot kR = -\kappa$ मिलता है। (ख) जैसे-जैसे $|E|
\to 0$, वैसे-वैसे $\kappa \to 0$: अतः $\cot kR = 0$, $kR = \pi/2$, और तब $V_0 =
\hbar^2k^2/2M = \pi^2\hbar^2/8MR^2$। (ग) $\mu c^2 =
469\,\mathrm{MeV}$, $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ के साथ: $V_{0,\min} = 23\,\mathrm{MeV}$। (घ) दीवार $u(0) = 0$ त्रिविमीय $s$ अवस्था को किसी *विषम* एकविमीय अवस्था का तुल्य बना देती है, जिसे कूप के भीतर चौथाई तरंग समानी ही पड़ती है: उथला कूप वह नहीं कर पाता, जबकि एक विमा में निस्पंद-रहित सम अवस्था सदा बँध जाती है।

**अभ्यास 7.10 ★★★.**

ड्यूटेरॉन, हल किया हुआ। $\mu c^2 = 469\,\mathrm{MeV}$, $R =
2.1\,\mathrm{fm}$, $B = 2.22\,\mathrm{MeV}$ के साथ: (क) $\kappa$ को $B$ से निकालिए, और पुच्छ की लंबाई $1/\kappa$ भी; (ख) मिलान-शर्त लिखिए और दिखाइए कि वह $\cot kR = -\kappa/k$ बन जाती है, जहाँ $k$, $V_0 - B$ से तय होता है; (ग) $V_0$ के लिए हल कीजिए (पुनरावृत्ति कीजिए: $kR \approx 0.6\pi$ से आरंभ) और $V_0$ निकटतम MeV तक दीजिए; (घ) यह प्रायिकता निकालिए कि न्यूक्लिऑन $R$ से अधिक दूर हैं (पुच्छ का समाकलन कीजिए), और “ऐसा नाभिक जो अधिकतर अपने ही बल के बाहर रहता है” पर टिप्पणी कीजिए।

**हल — अभ्यास 7.10.**

(क) $\kappa = \sqrt{2\mu c^2B}/\hbar c = \sqrt{2 \times 469 \times
2.22}/197.3 = 0.231\,\mathrm{fm}^{-1}$: पुच्छ की लंबाई $1/\kappa =
4.3\,\mathrm{fm}$, अर्थात् बल की परास से दुगुनी। (ख) $k =
\sqrt{2\mu(V_0 - B)}/\hbar$ और $\cot kR = -\kappa/k$। (ग) पुनरावृत्ति से: $kR = 1.83$, $k = 0.87\,\mathrm{fm}^{-1}$, $V_0 - B = (\hbar ck)^2/\mu
c^2\cdot\tfrac12 \approx 31\,\mathrm{MeV}$: अतः $V_0 \approx 34\,\mathrm{MeV}$। (घ) भीतर: $\int_0^R\sin^2kr\,\dd r \approx 1.19\,\mathrm{fm}$; बाहर: $\sin^2(kR)/2\kappa \approx 2.0\,\mathrm{fm}$: अर्थात् प्रायिकता का लगभग $63\%$ कूप से *परे* है — ड्यूटेरॉन अधिकतर उसी क्षेत्र में रहता है जहाँ उसका बंधन-बल पहले ही चुक चुका है, अर्थात् एक शुद्ध क्वांटम प्रभामंडल।

**अभ्यास 7.11 ★★★.**

त्रिविमा में एरेनफ़ेस्ट और सांतत्य। (क) सांतत्य समीकरण से $\dd\langle\vect r\rangle/\dd t = \langle\vect p\rangle/m$ सिद्ध कीजिए ($\vect r\,\partial_t\rho$ का खंडशः समाकलन कीजिए)। (ख) $\dd\langle\vect p\rangle/\dd t =
-\langle\vect\nabla V\rangle$ सिद्ध कीजिए। (ग) $V$ पर किस शर्त के अंतर्गत $\langle\vect r\rangle$ ठीक-ठीक चिरसम्मत प्रक्षेप-पथ का अनुसरण करता है? (घ) ऐसी कोई ठोस स्थिति दीजिए जहाँ वह ऐसा नहीं करता (मान लीजिए द्विझिर्री विभव से बँटा कोई पुंज) और समझाइए कि तब औसत किसका वर्णन करता है।

**हल — अभ्यास 7.11.**

(क) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\,\partial_t\rho\,\dd^3r =
-\int x\operatorname{div}\vect\jmath\,\dd^3r = \int j_x\,\dd^3r =
\langle p_x\rangle/m$ (खंडशः, और सीमा-पद लुप्त होते हुए)। (ख) $\langle\vect p\rangle = -\iu\hbar\int\psi^*\vect\nabla
\psi$ का अवकलन कीजिए, समीकरण दो बार काम में लाइए; गतिज पद खंडशः कट जाते हैं, और $-\int|\psi|^2\vect\nabla V$ बचता है। (ग) $V$ अधिक से अधिक द्विघात हो: तब $\langle\vect\nabla V(\vect r)\rangle = \vect\nabla V(\langle
\vect r\rangle)$ ठीक-ठीक। (घ) किसी द्विझिर्री के पीछे पुंज दो पालियों में बँट जाता है; $\langle\vect r\rangle$ सममिति-अक्ष पर सरकता रहता है, जहाँ कण लगभग कभी नहीं गिरता: औसत उस समुदाय के केंद्रक का वर्णन करता है, किसी के प्रक्षेप-पथ का नहीं।

**अभ्यास 7.12 ★★★.**

परमाणु ढहते क्यों नहीं। हाइड्रोजन की मूल अवस्था का निदर्शन परीक्षण-फलन $\psi \propto \eu^{-r/a}$ से कीजिए, जहाँ $a$ समायोज्य है। (क) $\langle E_k\rangle = \hbar^2/2m_{\text{e}}a^2$ और $\langle E_p\rangle = -e^2/4\pi\varepsilon_0a$ स्वीकार करते हुए, हर एक के मापन का उद्गम समझाइए। (ख) $E(a)$ को न्यूनतम कीजिए और दिखाइए कि इष्टतम मान बोर त्रिज्या है, जिस पर $E = -13.6\,\mathrm{eV}$। (ग) $a$ को इष्टतम से नीचे घटाने पर ऊर्जा *बढ़ती* क्यों है, यद्यपि विभव और गहरा हो जाता है? (घ) वही तर्क, जिसमें $1/r$ के स्थान पर इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच का गुरुत्वीय आकर्षण हो: “गुरुत्वीय बोर त्रिज्या” ज्ञात कीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि गुरुत्व कोई परमाणु क्यों नहीं बनाता।

**हल — अभ्यास 7.12.**

(क) गतिज: $1/a$ पैमाने की प्रवणताएँ $\hbar^2/2m_{\text{e}}
a^2$ देती हैं; स्थितिज: बादल $\sim a$ दूरियों पर बैठा है, जिससे $-ke^2/a$ (यथार्थ गुणांक संयोग से $1$ निकलते हैं)। (ख) $\dd E/\dd
a = 0$, $a = \hbar^2/m_{\text{e}}ke^2 = a_0$ पर; $E(a_0) =
-ke^2/2a_0 = -13.6\,\mathrm{eV}$। (ग) $a_0$ से नीचे गतिज कीमत $1/a^2$ की तरह बढ़ती है, जो $-1/a$ के लाभ से तेज़ है: स्थानीकरण पर अनिश्चितता सिद्धांत कर लगाता है, और परमाणु ठीक बराबरी वाले आकार पर तैरता रहता है। (घ) $ke^2$ के स्थान पर $Gm_{\text{e}}m_{\text{p}} =
1.0 \times 10^{-67}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ रखिए: $a_{\text{गुरु}} = \hbar^2/m_{\text{e}}G
m_{\text{e}}m_{\text{p}} \approx 1.2 \times 10^{29}\,\mathrm{m}$ — प्रेक्षणीय ब्रह्मांड से भी बड़ा: गुरुत्व इतना दुर्बल है कि कोई क्वांटम कक्षा बंद नहीं कर सकता, और परमाणुओं के बदले तारे बनाता है।

## 7.5 समस्या: किसी क्वांटम बिंदु का रंग

**समस्या 7.1.**

सप्ताहांत समस्या — नैनोमीटर गिनकर प्रकाश गढ़ना

रसायन का 2023 का नोबेल पुरस्कार क्वांटम बिंदुओं की खोज और संश्लेषण को मिला: ऐसी क्रिस्टलिकाएँ, जो इतनी छोटी हैं कि इस अध्याय की संदूक-में-कण ऊर्जाएँ ही उनका रंग तय कर देती हैं, और जो अब दूरदर्शन के पर्दों में चमकती हैं तथा जीवित कोशिकाओं में अणुओं पर चिह्न लगाती हैं। यह समस्या श्रोडिंगर समीकरण से किसी बिंदु-प्रदर्शक का अभिकल्प करती है। निदर्श: प्रकाशिक रूप से सक्रिय इलेक्ट्रॉन–विवर युग्म, प्रभावी द्रव्यमान $\mu = 0.10\,m_{\text{e}}$ ($m_{\text{e}}c^2 = 511\,\mathrm{keV}$), त्रिज्या $R$ के किसी गोले में बद्ध; उत्सर्जित फ़ोटॉन की ऊर्जा

$$
E(R) = E_{\text{g}} + \frac{\pi^2\hbar^2}{2\mu R^2} ,
$$

जिसमें पिंड बैंड-अंतराल $E_{\text{g}} = 1.74\,\mathrm{eV}$ (कैडमियम सेलेनाइड)। $\hbar c = 197.3\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$, $hc =
1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ लीजिए।

**भाग I — सूत्र की भौतिकी।**

1. पद $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ कहाँ से आता है? उसे $s$ -तरंग प्रतिस्थापन से अनंत गोलीय कूप के मूल स्तर के रूप में निकालिए।
2. परिरोध उत्सर्जित ऊर्जा को सदा *बढ़ाता* ही क्यों है, कभी घटाता क्यों नहीं?
3. $R = 10$ , $4$ , $2$ और $1\,\mathrm{nm}$ के लिए परिरोध-ऊर्जा निकालिए, और वह आकार पहचानिए जिस पर वह $E_{\text{g}}$ का छोटा संशोधन नहीं रह जाती।
4. निदर्श इलेक्ट्रॉन–विवर आकर्षण की उपेक्षा करता है। उसे जोड़ने पर उत्सर्जन किस दिशा में खिसकता, और यह उपेक्षा *छोटे* बिंदुओं के लिए बेहतर क्यों है ( $1/R^2$ और $1/R$ के मापन की तुलना कीजिए)?
5. पिंड कैडमियम सेलेनाइड किस तरंगदैर्घ्य पर उत्सर्जित करता है? वह वर्णक्रम के किस भाग में पड़ती है?
6. बिंदुओं के घोल का गिलास *एक ही* शुद्ध रंग में क्यों चमकता है, यद्यपि उसमें $10^{15}$ बिंदु हैं? संश्लेषण का कौन-सा गुण प्रमाणित हो रहा है?

**भाग II — रंग-पट्टिका का अभिकल्प।** किसी प्रदर्शक को लाल $630\,\mathrm{nm}$, हरा $530\,\mathrm{nm}$, नीला $460\,\mathrm{nm}$ चाहिए।

7. हर तरंगदैर्घ्य को फ़ोटॉन-ऊर्जा में बदलिए।
8. हर रंग के लिए आवश्यक परिरोध-ऊर्जा और बिंदु की त्रिज्या निकालिए।
9. सारणी बनाइए: हर बिंदु मोटे तौर पर कितने परमाणु चौड़ा है (जालक-अंतराल $\approx 0.6\,\mathrm{nm}$ )?
10. कैडमियम-सेलेनाइड बिंदुओं के लिए नीला सबसे कठिन सिद्ध होता है: अपनी त्रिज्याओं से समझाइए क्यों ( $R$ के सिकुड़ने पर सहनशीलता का क्या होता है?)।
11. दिखाइए कि उत्सर्जित ऊर्जा की आकार के प्रति सुग्राहिता $$\frac{\dd E}{\dd R} = -\frac{\pi^2\hbar^2}{\mu R^3} ,$$ है, और हरे बिंदु की त्रिज्या पर उसका मान $\mathrm{meV}$ प्रति नैनोमीटर में निकालिए।
12. किसी बैच की त्रिज्या $\pm5\%$ तक बदलती है: हरे उत्सर्जन का तरंगदैर्घ्य-फैलाव निकालिए, और उसकी तुलना उस $\sim25\,\mathrm{nm}$ रेखा-चौड़ाई से कीजिए जिसे कोई अच्छा प्रदर्शक सह लेता है।
13. क्वांटम-बिंदु प्रदर्शकों को ऐसी रसायन-विद्या की प्रतीक्षा क्यों करनी पड़ी जो *परमाणु-पैमाने* पर आकार नियंत्रित कर सके — और वह नोबेल-कोटि की उपलब्धि क्यों है?

**भाग III — अधिक चमकीले, अधिक शुद्ध, अधिक विचित्र।**

14. आधुनिक सेट बिंदुओं को रंग-परिवर्तक की तरह काम में लाते हैं: कोई नीला प्रकाश-डायोड लाल और हरे बिंदुओं को प्रकाशित करता है। पंप-फ़ोटॉन की ऊर्जा को बिंदु की उत्सर्जन-ऊर्जा से अधिक क्यों होना चाहिए, और वह अंतर कहाँ जाता है?
15. जब $630\,\mathrm{nm}$ का लाल फ़ोटॉन उत्सर्जित होता है, तब $460\,\mathrm{nm}$ के पंप-फ़ोटॉन की ऊर्जा का कितना अंश ऊष्मा बनकर खोता है, निकालिए।
16. कोई बिंदु अनेक तरंगदैर्घ्यों पर *अवशोषित* भी कर सकता है पर *उत्सर्जित* एक ही पर करता है: स्तर-संरचना से समझाइए कि अवशोषण चौड़े बैंड का और उत्सर्जन सँकरा क्यों है।
17. जीवविज्ञानी प्रोटीनों पर कई आकारों के बिंदुओं से चिह्न लगाते हैं और उन्हें एक ही पराबैंगनी दीप से उत्तेजित करते हैं: बिंदुओं का कौन-सा गुण एक दीप को पर्याप्त बना देता है, जबकि कार्बनिक रंजकों को प्रति रंग एक लेज़र चाहिए?
18. लाल बिंदु में परमाणुओं की संख्या आँकिए ( $4/3\pi R^3$ , परमाणु का आयतन $\sim(0.3\,\mathrm{nm})^3$ ): इतने आकार की और विविक्त स्तरों वाली किसी वस्तु के लिए “कृत्रिम परमाणु” उचित नाम है?
19. एक वाक्य में: इस कृत्रिम परमाणु में “नाभिक” की भूमिका कौन निभाता है — इलेक्ट्रॉन को कौन थामे रखता है?

**भाग IV — भौतिकी भर में परिरोध।**

20. वही आकलन $E_1 \sim \pi^2\hbar^2/2MR^2$ , $R = 3\,\mathrm{fm}$ में किसी न्यूक्लिऑन पर लगाने से कौन-सा ऊर्जा-पैमाना देता है? (इसीलिए नाभिकीय भौतिकी MeV में बोलती है।)
21. नाभिक के आकार में बद्ध किसी इलेक्ट्रॉन पर लगाने से वह कौन-सी निंदनीय ऊर्जा देता है — और इससे नाभिक के “भीतर” इलेक्ट्रॉनों के विषय में क्या तर्क बनता है (वही तर्क, जिसने कभी बीटा क्षय का एक सिद्धांत मार डाला था)?
22. $2\,\mathrm{m}$ के कमरे में आप ( $70\,\mathrm{kg}$ ) पर लगाने पर: परिरोध-ऊर्जा निकालिए और निष्कर्ष दीजिए।
23. सूत्र को उलटिए: किस परिरोध-आकार पर किसी *इलेक्ट्रॉन* की परिरोध-ऊर्जा उसकी [विराम ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/5-relativistic-dynamics#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) $m_{\text{e}}c^2$ तक पहुँच जाती है — और कौन-सी नई भौतिकी (कण-युग्मों का सृजन, [अध्याय 5](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/5-relativistic-dynamics#ch-b3-relativistic-dynamics) ) चेतावनी देती है कि तब एक-कण श्रोडिंगर समीकरण अपनी गहराई से बाहर है?
24. व्यापक मापन-नियम बताइए: परिरोध-ऊर्जा बनाम द्रव्यमान और बनाम आकार।
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: एक ही सूत्र, $E_{\text{g}} + \pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ , $4.0$ , $2.5$ और $2.0\,\mathrm{nm}$ की त्रिज्याओं को लाल, हरे और नीले में बदल देता है — नैनोमीटर गिनकर गढ़ा गया रंग, जो किसी भी इलेक्ट्रॉनिकी की दुकान में बिकता है।

**हल — समस्या 7.1.**

**1.** $s$-तरंग: $u = rR$ गोले के भीतर मुक्त एकविमीय समीकरण का पालन करता है, जहाँ $u(0) = u(R) = 0$: अतः $u \propto \sin(\pi r/R)$, और ऊर्जा $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$। **2.** किसी संदूक की मूल ऊर्जा धनात्मक होती है और संदूक के सिकुड़ने के साथ बढ़ती है — स्थानीकरण की कीमत सदा गतिज ऊर्जा है (अनिश्चितता सिद्धांत); वह अंतराल में केवल जुड़ ही सकती है। **3.** $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$ के साथ: $0.04$, $0.24$, $0.94$, $3.8\,\mathrm{eV}$ — $R \approx 2\,\mathrm{nm}$ पर संशोधन स्वयं अंतराल की बराबरी करने लगता है। **4.** आकर्षण युग्म की ऊर्जा घटाता है: उत्सर्जन लाल की ओर खिसकता है। वह $1/R$ की तरह मापित होता है, जबकि परिरोध $1/R^2$ की तरह: छोटे बिंदुओं के लिए संदूक-पद जीत जाता है और उपेक्षा बेहतर हो जाती है। **5.** $1240/1.74 = 713\,\mathrm{nm}$: दृष्टि के लाल किनारे पर। **6.** $10^{15}$ उत्सर्जकों से एक ही रंग प्रमाणित करता है कि संश्लेषण ने उन सबको *एक ही आकार* का बनाया — एकविस्तारिता, वही रसायन-कौशल जो इस भौतिकी के पीछे है। **7.** $1.97$, $2.34$, $2.70\,\mathrm{eV}$। **8.** परिरोध $0.23$, $0.60$, $0.96\,\mathrm{eV}$: और $R =
\sqrt{3.76/\Delta E}$ से $4.0$, $2.5$, $2.0\,\mathrm{nm}$। **9.** व्यास $8.1$, $5.0$, $4.0\,\mathrm{nm}$: अर्थात् मोटे तौर पर $13$, $8$ और $7$ जालक-अंतराल चौड़े। **10.** नीला बिंदु सबसे छोटा है, और वहीं $E$ की $R$ पर निर्भरता सबसे तीखी है: एक जालक-तल की भी त्रुटि रंग को सबसे अधिक खिसका देती है — छोटे बिंदु सबसे कम क्षमाशील हैं। **11.** अवकलन कीजिए: $\dd E/\dd R = -2\Delta E_{\text{परि}}/R
= -\pi^2\hbar^2/\mu R^3$; $R = 2.5\,\mathrm{nm}$ पर: $2 \times 0.60/2.5
= 0.48\,\mathrm{eV}/\mathrm{nm} = 480\,\mathrm{meV}/\mathrm{nm}$। **12.** $\pm 5\% = \pm0.125\,\mathrm{nm}$: $\Delta E = \pm
60\,\mathrm{meV}$, अर्थात् $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta E/hc \approx
\pm14\,\mathrm{nm}$ — अर्थात् $\sim28\,\mathrm{nm}$ का फैलाव, ठीक प्रदर्शक की सहनशीलता पर: पाँच प्रतिशत स्वीकार्य रसायन की *सीमा* है। **13.** क्योंकि रंग की शुद्धता के लिए $10^{15}$ कणों में एक-एक जालक-तल के स्तर तक आकार-नियंत्रण चाहिए — वही नियंत्रित वृद्धि, जो एकिमोव, ब्रूस और बावेंडी ने साधी और जिसे 2023 की नोबेल समिति ने उद्धृत किया। **14.** कोई बिंदु केवल अपने ही (न्यूनतम) अंतराल पर उत्सर्जित कर सकता है; अवशोषण के लिए कम से कम उतनी ऊर्जा चाहिए, अतः पंप को अधिक नीला होना ही चाहिए। अतिरेक जालक-कंपनों में ढल जाता है: ऊष्मा। **15.** हर पंप-फ़ोटॉन की ऊर्जा का $1 - 460/630 = 27\%$ पर्दे को गरम करता है। **16.** उत्सर्जक स्तर के ऊपर बिंदु का वर्णक्रम सघन है (अनेक संदूक-अवस्थाएँ): अवशोषण किसी चौड़े बैंड पर सफल होता है; फिर उत्तेजन लुढ़ककर निम्नतम उत्तेजित अवस्था तक आ जाता है, और उत्सर्जन उसी अकेले स्तर से होता है: अतः सँकरा। **17.** सारे बिंदु वही पराबैंगनी सहर्ष सोख लेते हैं (चौड़ा बैंड), जबकि हर आकार अपना ही रंग उत्सर्जित करता है: एक दीप, अनेक चिह्न — रंजक-रसायन का ठीक उलटा। **18.** $\tfrac43\pi(4.0)^3/(0.3)^3 \approx 10^{4}$ परमाणु: दस हज़ार परमाणु, जो विविक्त, हाइड्रोजन-जैसे स्तरों का एक ही समुच्चय बाँटते हैं — “कृत्रिम परमाणु” नाम कमाया हुआ है। **19.** क्रिस्टल की सीमा: अर्धचालक-कण की परिरोधक दीवार वही भूमिका निभाती है जो नाभिक का आकर्षण निभाता, अर्थात् वह इलेक्ट्रॉन को थामती और क्वांटीकृत करती है। **20.** $\pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939
\times 9) \approx 23\,\mathrm{MeV}$: नाभिकीय भौतिकी MeV में इसलिए बोलती है कि फ़र्मीमीटर के संदूक ऐसा ही बोलते हैं। **21.** किसी इलेक्ट्रॉन के लिए संदूक वाला आकलन आपेक्षिकीय हो जाता है; ईमानदारी से, $E \sim \pi\hbar c/R \approx 200\,\mathrm{MeV}$ — फिर भी बीटा-इलेक्ट्रॉन कुछ MeV के साथ निकलते हैं: अतः इलेक्ट्रॉन नाभिकों के अवयव हो ही नहीं सकते — वही तर्क, जिसने पुराने नाभिक-इलेक्ट्रॉन निदर्श को दफ़ना दिया और न्यूट्रिनो की कल्पना की भूमि तैयार की। **22.** $\pi^2\hbar^2/2ML^2 \approx 2 \times 10^{-70}\,\mathrm{J}$: तापीय कोलाहल से उनतालीस कोटि नीचे — लोग क्वांटम रूप से बद्ध नहीं हैं। **23.** $\pi^2\hbar^2/2m_{\text{e}}R^2 = m_{\text{e}}c^2$, $R = \pi\hbar/\sqrt2\,m_{\text{e}}c \approx 0.9\,\mathrm{pm}$ पर, अर्थात् कॉम्पटन पैमाने पर: वहाँ परिरोध-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन–पॉज़िट्रॉन युग्म बनाने के लिए पर्याप्त हो जाती है और एक-कण समीकरण क्वांटम क्षेत्र-सिद्धांत को गद्दी सौंप देता है। **24.** $E_{\text{परि}} \propto 1/MR^2$: हलके कण और छोटे संदूक अधिक क्वांटम होते हैं — एक ही सूत्र में। **25.** $E_{\text{g}} + \pi^2\hbar^2/2\mu R^2$, $4.0 \to$ लाल, $2.5 \to$ हरा, $2.0\,\mathrm{nm} \to$ नीला भेज देता है: वही संदूक-में-कण, जिसे रसायनज्ञों ने नैनोमीटर तक सुर में बाँधा है, दुकान की खिड़की जगमगाता है — परिरोध का क्वांटन उपभोक्ता-इलेक्ट्रॉनिकी बना हुआ।