---
title: "क्वांटम हरात्मक दोलक"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3"
subject: physics
language: hi
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator
---

# अध्याय 9 — क्वांटम हरात्मक दोलक

प्रकृति में लगभग कुछ भी ठीक-ठीक हरात्मक दोलक नहीं है, और लगभग सब कुछ लगभग वही है: स्थायी साम्य से ज़रा हटाया गया कोई भी तंत्र — किसी अणु का बंध, किसी क्रिस्टल में कोई परमाणु, कोई पुल, विद्युत्चुंबकीय क्षेत्र की कोई विधा — विस्थापन के अनुक्रमानुपाती प्रत्यानयन बल अनुभव करता है, क्योंकि हर चिकना विभव अपने कूप के तल पर एक परवलय होता है। जो एक बार क्वांटम दोलक हल कर लेता है, वह इस तरह पूरे संसार के लघु कंपन हल कर लेता है। यह अध्याय उसे उसी बीजगणितीय शैली में हल करता है जो क्वांटम यांत्रिकी की पहचान बन चुकी है: दो [सोपान संकारक](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) स्तरों की एक पूरी तरह समान सीढ़ी $\big(n +
\tfrac12\big)\hbar\omega$ पर चढ़ते और उतरते हैं, और तल पर का वह आधा पग — [शून्य-बिंदु ऊर्जा](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum) — कोई विकल्प नहीं, एक प्रमेय है। इसके परिणाम इस बात तक पहुँचते हैं कि हीलियम कभी जमता क्यों नहीं और कोई कार्बन डाइऑक्साइड अणु, अपनी ही $\hbar\omega$ पर बजता हुआ, पृथ्वी की बाहर जाती ऊष्मा को कैसे रोक लेता है।

## 9.1 सीढ़ी

**परिभाषा 9.1 (सोपान संकारक).**

$\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2$ के लिए यह विमाहीन, अ-हर्मिटीय युग्म लीजिए

$$
\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x +
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad
\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x -
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .
$$

$[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ से:

$$
[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad
\hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad
\hat N = \hat a^\dagger\hat a .
$$

$\hat N$ हर्मिटीय है; उसके [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) *क्वांटा* गिनेंगे, और $\hat a$, $\hat a^\dagger$ — अर्थात् *विनाशन* और *सृजन* संकारक — एक-एक क्वांटम हटाएँगे और जोड़ेंगे।

**प्रमेय 9.2 (वर्णक्रम, केवल बीजगणित से).**

$\hat H$ के [अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) ठीक ये हैं

$$
E_n = \Big(n + \tfrac12\Big)\hbar\omega , \qquad n = 0, 1, 2, \dots
$$

— अर्थात् बराबर पगों $\hbar\omega$ की एक अनंत सीढ़ी, जो ऐसी मूल अवस्था पर खड़ी है जो शून्य *नहीं* है: यही *[शून्य-बिंदु ऊर्जा](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum)* $\tfrac12\hbar\omega$ है। प्रसामान्यित अभिलक्षणिक अवस्थाएँ $\ket n$ इनसे जुड़ी हैं

$$
\hat a\ket n = \sqrt n\,\ket{n - 1} , \qquad
\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1} ,
\qquad
\ket n = \frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\,\ket0 .
$$

**उपपत्ति.** [क्रमविनिमेयक](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator) से $\hat N\hat a = \hat a(\hat N - 1)$: अतः यदि $\ket\nu$ का $\hat N$-अभिलक्षणिक मान $\nu$ हो, तो $\hat a\ket\nu$ $\nu - 1$ वाला अभिलक्षणिक सदिश है (या शून्य सदिश)। हर उतार तभी तक अनुमत है जब तक $\nu \ge 0$, क्योंकि $\nu = \braket{\nu}{\hat
N\nu} = \|\hat a\ket\nu\|^2 \ge 0$; अतः उतार को कभी न कभी रुकना ही पड़ेगा, और वह केवल ऐसी अवस्था पर रुकता है जिसके लिए $\hat a\ket{\nu_0}
= 0$, जिससे $\nu_0 = 0$। अतः $\nu$ अ-ऋणात्मक पूर्णांकों पर चलता है। प्रसामान्यन $\|\hat a\ket n\|^2 = n$ और $\|\hat a^\dagger\ket n\|^2 = n + 1$ से निकलते हैं। ∎

![दोलक की सीढ़ी: बराबर पग , जिन पर a चढ़ता है और a उतरता है, और जो चिरसम्मत विराम ऊर्जा से आधा पग ऊपर के फ़र्श पर खड़ी है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-d09e9e127826.svg)

*दोलक की सीढ़ी: बराबर पग $\hbar\omega$, जिन पर $\hat a^\dagger$ चढ़ता है और $\hat a$ उतरता है, और जो चिरसम्मत [विराम ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/5-relativistic-dynamics#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) से आधा पग ऊपर के फ़र्श पर खड़ी है।*

**प्रतिज्ञप्ति 9.3 (अवस्थाएँ, दिक् में).**

मूल अवस्था यह गाउसीय है

$$
\varphi_0(x) = \Big(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Big)^{1/4}
\eu^{-m\omega x^2/2\hbar} ,
$$

जो *प्रथम-कोटि* समीकरण $\hat a\varphi_0
= 0$ हल करने से मिलती है; वह हाइज़ेनबर्ग की असमिका को संतृप्त कर देती है, $\Delta x\,\Delta p =
\hbar/2$, जहाँ $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$। बार-बार $\hat a^\dagger$ लगाने से $\varphi_n$ बनते हैं: घात $n$ का कोई बहुपद ($n$ निस्पंदों के साथ) गुणा वही गाउसीय। बड़े $n$ के लिए $|\varphi_n|^2$ चिरसम्मत ठहराव-काल बंटन के चारों ओर तेज़ी से दोलन करता है, और पलट-बिंदुओं के पास सबसे बड़ा होता है — अर्थात् संगतता सिद्धांत, एक चित्र में।

**आंशिक उपपत्ति.** $\hat a\varphi_0 = 0$ का अर्थ है $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x
\varphi_0$: अर्थात् वही गाउसीय, प्रसामान्यित। संतृप्ति: गाउसीय ही [प्रमेय 8.10](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty) की समता-स्थिति है। बहुपद वाली संरचना इससे निकलती है कि $\hat a^\dagger$, $x$ और $\dd/\dd x$ में प्रथम कोटि का है; और बड़े $n$ वाला कथन [अभ्यास 9.12](#exo-b3-harmonic-oscillator-12) में जाँचा गया है। ∎

![बाएँ: सबसे नीचे के प्रायिकता-घनत्व (ऊर्ध्वाधर रूप से खिसकाकर दिखाए गए): पहले निस्पंद-रहित गाउसीय, फिर n निस्पंद, _n के लिए। दाएँ: बड़े n पर क्वांटम घनत्व चिरसम्मत बंटन के चारों ओर दोलन करता है, और वह बंटन उन पलट-बिंदुओं पर ढेर हो जाता है जहाँ दोलन करता द्रव्यमान ठहरता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-d9b0acf9e208.svg)

*बाएँ: सबसे नीचे के प्रायिकता-घनत्व (ऊर्ध्वाधर रूप से खिसकाकर दिखाए गए): पहले निस्पंद-रहित गाउसीय, फिर $n$ निस्पंद, $\varphi_n$ के लिए। दाएँ: बड़े $n$ पर क्वांटम घनत्व चिरसम्मत बंटन के चारों ओर दोलन करता है, और वह बंटन उन पलट-बिंदुओं पर ढेर हो जाता है जहाँ दोलन करता द्रव्यमान ठहरता है।*

## 9.2 शून्य-बिंदु ऊर्जा वास्तविक है

**टिप्पणी 9.4 (फ़र्श और नीचा क्यों नहीं हो सकता).**

शून्य ऊर्जा वाली किसी अवस्था के लिए $\langle\hat p^2\rangle =
\langle\hat x^2\rangle = 0$ चाहिए होता: पूरी तरह ठहरी *और* पूरी तरह केंद्रित, जिसे $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ मना करता है। मूल अवस्था वही सर्वोत्तम समझौता है जो यह असमिका देती है, और $\tfrac12\hbar\omega$ उसका किराया है। यह कोई हिसाबी नियतांक नहीं है: शून्य-बिंदु गति परम शून्य पर भी एक्स-किरण विवर्तन के प्रतिरूप धुँधले कर देती है; वह हलके समस्थानिकों को दुर्बल प्रभावी बंध देती है (H$_2$ और D$_2$ एक ही इलेक्ट्रॉनिक कूप से मापने योग्य रूप से भिन्न ऊर्जाओं पर वियोजित होते हैं); और हीलियम में वह इतनी प्रचंड है — हलके परमाणु, दुर्बल आकर्षण — कि द्रव अपने ही वाष्प-दाब के अंतर्गत *कभी* नहीं जमता: यही अकेला तत्व है जो परम शून्य पर भी द्रव रहता है, और केवल 25 वायुमंडल की सहायता से जमता है।

**उदाहरण 9.5 (ℏω\hbar\omegaℏω के पैमाने).**

कार्बन मोनोऑक्साइड का बंध ($\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): $\hbar\omega =
0.27\,\mathrm{eV}$, अर्थात् कमरे के ताप के $k_{\text{B}}T$ से दस गुना — रोज़मर्रा की हवा में आणविक कंपन जमे रहते हैं, और इसीलिए द्विपरमाणुक ऊष्मा धारिताओं ने उन्नीसवीं सदी को उलझाए रखा। कोई लोलक ($\omega = 5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): $\hbar\omega = 3 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}$, जो विभेदन से निराशाजनक रूप से परे है — अर्थात् संगतता की सीमा। कोई $40\,\mathrm{kg}$ का LIGO दर्पण, जो इस तरह लटकाया गया हो कि $100\,\mathrm{Hz}$ पर झूले, दोलक-विधा के रूप में शून्य-बिंदु आयाम $\Delta x =
\sqrt{\hbar/2m\omega} \approx 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ रखता है — और वह वेधशाला इस क्वांटम फ़र्श *पर* के विस्थापन नियमित रूप से सुलझा लेती है: चालीस किलोग्राम की किसी वस्तु की शून्य-बिंदु गति अब एक अभियांत्रिक [प्रतिबंध](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) है ([अभ्यास 9.3](#exo-b3-harmonic-oscillator-3))।

## 9.3 संसक्त अवस्थाएँ: क्वांटम दोलक का चिरसम्मत चेहरा

**परिभाषा 9.6 (संसक्त अवस्थाएँ).**

*संसक्त अवस्था* $\ket\alpha$ [विनाशन संकारक](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) का अभिलक्षणिक सदिश है, $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$, जहाँ $\alpha$ कोई भी सम्मिश्र संख्या है। सीढ़ी पर प्रसार करने पर,

$$
\ket\alpha = \eu^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty
\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,\ket n :
$$

क्वांटम गिनती प्वासों-बंटित है, जिसका माध्य $\langle\hat
N\rangle = |\alpha|^2$ और फैलाव $\Delta N = |\alpha|$ है।

**प्रतिज्ञप्ति 9.7 (लेज़र चिरसम्मत क्यों हैं).**

कोई [संसक्त अवस्था](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) [कला समष्टि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) में खिसकाई गई मूल-अवस्था वाली गाउसीय ही है; दोलक के विकास के अंतर्गत वह संसक्त *बनी रहती* है, $\alpha(t) = \alpha\,\eu^{-\iu\omega t}$: उसका केंद्र ठीक चिरसम्मत गति करता है, $\langle\hat x\rangle(t) =
x_0\cos\omega t + \cdots$, जबकि उसकी चौड़ाइयाँ सदा न्यूनतम $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ बनी रहती हैं — ऐसा तरंग-पुंज जो कभी फैलता ही नहीं। संसक्त अवस्थाएँ वही तरीका हैं जिससे कोई क्वांटम दोलक किसी चिरसम्मत दोलक का स्वाँग भरता है; किसी लेज़र का प्रकाश किसी क्षेत्र-विधा की [संसक्त अवस्था](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) है, जिसकी फ़ोटॉन-संख्या प्वासोंी है (हर प्रकाश-संसूचक का *छर्रा कोलाहल*), और जिसका क्षेत्र वैसे ही दोलन करता है जैसा मैक्सवेल ने कहा था।

**आंशिक उपपत्ति.** प्रसार इस तरह निकलता है: $\ket\alpha = \sum c_n\ket n$ को $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$ में रखिए: $c_n = \alpha c_{n-1}/\sqrt
n$। विकास: हर $\ket n$ को $\eu^{-\iu(n + 1/2)\omega t}$ मिलता है, जो फिर से $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ की [संसक्त अवस्था](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) में जुड़ जाता है (वैश्विक कला को छोड़कर)। $\langle\hat x\rangle \propto
\operatorname{Re}\alpha(t)$, क्योंकि $\hat x \propto \hat a +
\hat a^\dagger$। यह कि वह अवस्था खिसकाई हुई गाउसीय है, यहाँ स्वीकृत है। ∎

![कला-समष्टि का चित्र (तुलना कीजिए ): मूल अवस्था मूल बिंदु पर न्यूनतम अनिश्चितता का धब्बा है; और संसक्त अवस्था वही धब्बा है, बस खिसका हुआ, जो पर बिना विरूपित हुए चक्कर काटता है — किसी चिरसम्मत दोलन की क्वांटम यांत्रिकी वाली सर्वोत्तम नकल।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-92bce063dca0.svg)

*कला-समष्टि का चित्र (तुलना कीजिए [अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics)): मूल अवस्था मूल बिंदु पर न्यूनतम अनिश्चितता का धब्बा है; और [संसक्त अवस्था](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) वही धब्बा है, बस खिसका हुआ, जो $\omega$ पर बिना विरूपित हुए चक्कर काटता है — किसी चिरसम्मत दोलन की क्वांटम यांत्रिकी वाली सर्वोत्तम नकल।*

**विधि 9.8 (दोलक-बीजगणित).**

(1) जो भी पूछा जाए उसे $\hat a$, $\hat a^\dagger$ में व्यक्त कीजिए: $\hat x
= \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p =
\iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$। (2) $\hat a$ को दाईं ओर सरकाइए, $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ से; और $\hat a\ket0 = 0$ काम में लाइए। (3) आव्यूह-अवयव: $\hat x$ केवल पड़ोसी पायदान जोड़ता है — अर्थात् कंपन-वर्णक्रममापी का चयन-नियम $\Delta n = \pm1$। (4) कोई भी द्विघात [हैमिल्टोनियन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) (युग्मित दोलक, परिपथ, क्षेत्र-विधाएँ) स्वतंत्र सीढ़ियों में विकर्णित हो जाता है: पहले प्रसामान्य विधाएँ ज्ञात कीजिए, फिर हर एक का क्वांटन कीजिए। (5) पहले संख्याएँ: $\hbar\omega$, $k_{\text{B}}T$ के सामने, ही किसी बीजगणित से पहले तय कर देता है कि तंत्र क्वांटम है या चिरसम्मत।

## 9.4 अभ्यास

**अभ्यास 9.1 ★.**

(क) $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ जाँचिए, $[\hat x, \hat p] =
\iu\hbar$ से। (ख) सीधे प्रसार से $\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a +
\tfrac12)$ जाँचिए। (ग) उलटकर $\hat x$ और $\hat p$ व्यक्त कीजिए। (घ) दिखाइए कि $\hat N$ हर्मिटीय है और समझाइए कि अकेला $\hat a$ कोई प्रेक्ष्य क्यों नहीं हो सकता।

**हल — अभ्यास 9.1.**

(क) प्रसार करने पर $\hat x^2$ और $\hat p^2$ वाले पद $\hat a\hat a^\dagger$ तथा $\hat a^\dagger\hat a$ के बीच कट जाते हैं, और बचता है $(m\omega/2\hbar)(-2\iu/m\omega)[\hat x, \hat p] =
(-\iu/\hbar)(\iu\hbar) = 1$। (ख) $\hat a^\dagger\hat a = (m\omega\hat x^2/2\hbar) +
(\hat p^2/2m\hbar\omega) - \tfrac12$: अब $\hbar\omega$ से गुणा कीजिए। (ग) $\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p
= \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$। (घ) $\hat
N^\dagger = \hat a^\dagger\hat a = \hat N$; $\hat a$ हर्मिटीय नहीं है, और उसके “[अभिलक्षणिक मान](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable)” $\alpha$ सम्मिश्र हैं — कोई भी माप-यंत्र उन्हें नहीं लौटाता।

**अभ्यास 9.2 ★.**

अभिलक्षणिक अवस्था $\ket n$ पर: (क) दिखाइए कि $\langle\hat x\rangle =
\langle\hat p\rangle = 0$; (ख) $\langle\hat x^2\rangle$ और $\langle\hat p^2\rangle$ निकालिए; (ग) $\Delta x\,\Delta p = (n +
\tfrac12)\hbar$ निकालिए; (घ) विरियल अनुपात $\langle E_k\rangle =
\langle E_p\rangle$ जाँचिए।

**हल — अभ्यास 9.2.**

(क) $\hat x$ और $\hat p$, $n$ को $\pm1$ जितना खिसकाते हैं: अतः विकर्ण अवयव लुप्त हो जाते हैं। (ख) $\langle\hat x^2\rangle = (\hbar/2m\omega)(2n + 1)$, $\langle\hat p^2\rangle = (m\hbar\omega/2)(2n + 1)$ ($\hat
a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a$ वाले पद)। (ग) $\Delta x\Delta p
= (n + \tfrac12)\hbar$: केवल मूल अवस्था ही न्यूनतम है। (घ) दोनों औसत $E_n/2$ के बराबर हैं: अर्थात् चिरसम्मत दोलक का ऊर्जा-समविभाजन, स्तर-दर-स्तर।

**अभ्यास 9.3 ★.**

शून्य-बिंदु आयाम $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$ निकालिए: (क) CO अणु के लिए ($\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\omega =
4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), और उसकी तुलना बंध-लंबाई $0.11\,\mathrm{nm}$ से कीजिए; (ख) किसी ठोस में हाइड्रोजन परमाणु के लिए ($m =
1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $\hbar\omega = 0.1\,\mathrm{eV}$); (ग) किसी LIGO दर्पण के लिए ($m = 40\,\mathrm{kg}$, $f = 100\,\mathrm{Hz}$); (घ) तीनों को अपने-अपने तंत्र के आकार के अंशों के रूप में क्रम दीजिए और टिप्पणी कीजिए कि “क्वांटम” कौन है।

**हल — अभ्यास 9.3.**

(क) $\Delta x = 3.4\,\mathrm{pm}$: अर्थात् बंध का तीन प्रतिशत — कोई अणु परम शून्य पर भी ज़रा धुँधली वस्तु है। (ख) $14\,\mathrm{pm}$, अर्थात् एक ऐंग्स्ट्रॉम के दसवें भाग से भी अधिक: हाइड्रोजन किसी भी क्रिस्टल का सबसे धुँधला परमाणु है, जिसे न्यूट्रॉन प्रकीर्णन सीधे देख लेता है। (ग) $4.6 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — दर्पण के आकार से पच्चीस कोटि नीचे, फिर भी LIGO का पाठक वहाँ तक पहुँचता है। (घ) आंशिक रूप से: अणु $3\%$, हाइड्रोजन $\sim15\%$, दर्पण $\sim10^{-19}$: “क्वांटम” होना छोटे होने की बात नहीं, बल्कि बाकी सब के सामने $\hbar\omega$ की बात है — और फिर भी, पर्याप्त कौशल से चालीस किलोग्राम भी अपना फ़र्श दिखा देते हैं।

**अभ्यास 9.4 ★.**

(क) सोपान-संबंधों से $\bra m\hat x\ket n$ निकालिए और दिखाइए कि वह $m = n \pm 1$ को छोड़कर लुप्त हो जाता है। (ख) प्रकाश के अवशोषण के लिए कंपन-चयन नियम $\Delta n = \pm1$ निकालिए (युग्मन $\propto\hat x$ है)। (ग) कोई विषम-नाभिकीय अणु (CO) अवरक्त प्रकाश क्यों सोखता है, जबकि N$_2$ नहीं? (घ) वास्तविक अणु $\approx 2\hbar\omega$ पर दुर्बल “अधिस्वरक” रेखाएँ दिखाते हैं: इससे विभव के विषय में क्या पता चलता है?

**हल — अभ्यास 9.4.**

(क) $\bra m\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\sqrt n\,
\delta_{m,n-1} + \sqrt{n + 1}\,\delta_{m,n+1})$। (ख) प्रकाश के साथ अन्योन्यक्रिया $\propto\hat x$ केवल एक पायदान चढ़ा-उतार सकती है: $\Delta n =
\pm1$, अर्थात् प्रति विधा एक अवरक्त आवृत्ति। (ग) CO का कंपन शून्येतर द्विध्रुव माडुलित करता है; N$_2$ का सममित आवेश-बादल किसी भी खिंचाव पर कोई द्विध्रुव नहीं बनाता: अतः अवरक्त-निष्क्रिय। (घ) अधिस्वरक केवल इसलिए हैं कि सच्चा विभव ठीक-ठीक द्विघात नहीं है: अ-हरात्मकता पायदानों को मिला देती है और $\Delta n = 2$ को दुर्बल रूप से अनुमत कर देती है — और ऊँचे पायदानों को पास खिसका देती है, जैसा वास्तविक वर्णक्रम दिखाते हैं।

**अभ्यास 9.5 ★★.**

(क) $\hat a\varphi_0 = 0$ को अवकल समीकरण की तरह हल कीजिए और प्रसामान्यित कीजिए। (ख) $\varphi_1$ और $\varphi_2$ बनाइए, $\hat a^\dagger$ लगाकर। (ग) केवल सम-विषमता से जाँचिए कि $\varphi_1 \perp \varphi_0$। (घ) तीनों घनत्वों का रेखाचित्र बनाइए और निस्पंदों की गिनती जाँचिए।

**हल — अभ्यास 9.5.**

(क) $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x\varphi_0$: अर्थात् पाठ वाली प्रसामान्यित गाउसीय। (ख) $\varphi_1 \propto x\eu^{-m\omega
x^2/2\hbar}$; $\varphi_2 \propto (2m\omega x^2/\hbar -
1)\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}$। (ग) $\varphi_0$ सम, $\varphi_1$ विषम: अतः अध्यारोपण-समाकल्य विषम है। (घ) शून्य, एक, दो निस्पंद — लघु रूप में दोलन-प्रमेय।

**अभ्यास 9.6 ★★.**

बोल्ट्समान की झलक। ताप $T$ पर सर्वसम दोलकों का कोई संग्रह स्तर $n$ पर प्रायिकता $\propto
\eu^{-E_n/k_{\text{B}}T}$ से रहता है (वर्ष 2 का खंड, बोल्ट्समान गुणक)। (क) दिखाइए कि माध्य क्वांटम संख्या $\langle n\rangle =
1/(\eu^{\hbar\omega/k_{\text{B}}T} - 1)$ है। (ख) CO के कंपन के लिए $300\,\mathrm{K}$ और $2000\,\mathrm{K}$ पर मान निकालिए। (ग) दिखाइए कि माध्य ऊर्जा ऊँचे ताप पर $k_{\text{B}}T$ की ओर जाती है (ऊर्जा-समविभाजन पुनः प्राप्त) और नीचे ताप पर $\tfrac12\hbar\omega$ की ओर। (घ) किस ताप पर $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ का कोई कंपन (कार्बन डाइऑक्साइड का नमन) $\langle n\rangle = 0.1$ रखता है?

**हल — अभ्यास 9.6.**

(क) $x = \hbar\omega/k_{\text{B}}T$ के साथ: $\langle n\rangle =
\sum n\eu^{-nx}/\sum\eu^{-nx} = 1/(\eu^x - 1)$। (ख) $300\,\mathrm{K}$ पर CO: $x = 10.4$, $\langle n\rangle \approx 3 \times 10^{-5}$ — जमा हुआ; $2000\,\mathrm{K}$ पर: $x = 1.57$, $\langle n\rangle = 0.26$ — जागता हुआ। (ग) $\langle E\rangle = \hbar\omega(\langle n\rangle +
\tfrac12) \to k_{\text{B}}T$, $x \ll 1$ के लिए; और $\to \tfrac12\hbar
\omega$, $x \gg 1$ के लिए। (घ) $\eu^x = 11$: $x = 2.4$, $T =
\hbar\omega/2.4k_{\text{B}} \approx 400\,\mathrm{K}$ — पृथ्वी का वायुमंडल कार्बन डाइऑक्साइड के नमन को आंशिक रूप से जलाए रखता है।

**अभ्यास 9.7 ★★.**

संसक्त-अवस्था की सांख्यिकी। (क) $\ket\alpha$ के प्रसार से दिखाइए कि $\mathcal P(n)$ प्वासों है, जिसका माध्य $|\alpha|^2$ है। (ख) दिखाइए कि $\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2$ और $\Delta N = |\alpha|$। (ग) $633\,\mathrm{nm}$ पर $1\,\mathrm{mW}$ का कोई लेज़र: प्रति सेकंड फ़ोटॉन, और एक सेकंड में आपेक्षिक उतार-चढ़ाव $\Delta N/\langle N\rangle$। (घ) छर्रा कोलाहल: दिखाइए कि प्रकाश-धारा का कोलाहल-से-संकेत अनुपात $1/\sqrt{\langle N\rangle}$ की तरह घटता है — अतः चमकीले पुंज चिकने क्यों दिखते हैं।

**हल — अभ्यास 9.7.**

(क) $\mathcal P(n) = |c_n|^2 = \eu^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!$: अर्थात् प्वासों। (ख) प्वासों का माध्य और प्रसरण दोनों $|\alpha|^2$ हैं। (ग) प्रति सेकंड $3.2 \times 10^{15}$ फ़ोटॉन; $\Delta N/\langle N\rangle =
1/\sqrt{\langle N\rangle} \approx 1.8 \times 10^{-8}$। (घ) प्रकाश-धारा प्वासों फैलाव उत्तराधिकार में पाती है: कोलाहल बटा संकेत $\propto 1/\sqrt N$ — अर्थात् छर्रा-कोलाहल का फ़र्श, जो मंद प्रकाश में सुनाई देता है और चमकीले में नगण्य रहता है।

**अभ्यास 9.8 ★★.**

किसी [संसक्त अवस्था](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) का विकास। (क) प्रसार पर विकास-कलाएँ लगाइए और $\ket{\alpha(t)}$ दिखाइए, जहाँ $\alpha(t) =
\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (किसी वैश्विक कला को छोड़कर)। (ख) $\langle\hat x\rangle(t)$ और $\langle\hat p\rangle(t)$ निकालिए और चिरसम्मत हल से तुलना कीजिए। (ग) कोई ऊर्जा-अभिलक्षणिक अवस्था स्थायी होते हुए भी किसी झूलते लोलक का वर्णन *क्यों नहीं* करती — और [संसक्त अवस्था](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) की कौन-सी विशेषता करती है? (घ) किसी वास्तविक लोलक ($10\,\mathrm{g}$, $10\,\mathrm{cm}$ आयाम, $1\,\mathrm{Hz}$) के लिए $|\alpha|$ आँकिए और टिप्पणी कीजिए।

**हल — अभ्यास 9.8.**

(क) हर पद $\eu^{-\iu n\omega t}$ पा लेता है (वैश्विक कला अलग रखकर): अतः योग फिर से संसक्त है, $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ के साथ। (ख) $\langle\hat x\rangle = \sqrt{2\hbar/m\omega}\,
\operatorname{Re}\,\alpha(t)$: अर्थात् $\omega$ पर एक शुद्ध कोज्या, जिसका आयाम और कला $\alpha$ तय करता है — ठीक चिरसम्मत। (ग) किसी अभिलक्षणिक अवस्था का घनत्व कभी चलता ही नहीं; जो लोलक हम देखते हैं वह अनेक पायदानों का ऐसा संसक्त अध्यारोपण है जिनकी कलाएँ मिलकर झूलना बनाती हैं। (घ) $E
\approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$, $\hbar\omega \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}$: अतः $n
\sim 3 \times 10^{30}$, $|\alpha| \sim 2 \times 10^{15}$ — स्थूल गति खगोलीय क्वांटम संख्याओं वाली संसक्ति है।

**अभ्यास 9.9 ★★.**

क्वांटम LC परिपथ। कोई अतिचालक पाश, जिसमें $L =
10\,\mathrm{nH}$ और $C = 0.4\,\mathrm{pF}$ है, आवेश और अभिवाह को $x$ और $p$ की तरह दोलित करता है। (क) उसकी अनुनाद-आवृत्ति (वर्ष 1 का खंड) और क्वांटम $\hbar\omega$, $\text{µ}\mathrm{eV}$ में। (ख) किस ताप से नीचे $k_{\text{B}}T \ll \hbar\omega$ होता है, ताकि परिपथ अपनी मूल अवस्था में बैठा रहे? (ग) अतिचालक क्यूबिट $20\,\mathrm{mK}$ पर तनुकरण-प्रशीतकों में क्यों चलाए जाते हैं? (घ) शून्य-बिंदु वोल्टता का उतार-चढ़ाव $\Delta V = \Delta q/C$, जहाँ $\Delta q =
\sqrt{\hbar\omega C/2}$: उसका मान निकालिए।

**हल — अभ्यास 9.9.**

(क) $\omega = 1/\sqrt{LC} = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f =
2.5\,\mathrm{GHz}$); $\hbar\omega = 10\,\text{µ}\mathrm{eV}$। (ख) $\hbar\omega/k_{\text{B}} = 0.12\,\mathrm{K}$: अर्थात् लगभग $100\,\mathrm{mK}$ से भी अच्छी तरह नीचे। (ग) $20\,\mathrm{mK}$ पर तापीय उत्तेजन $\eu^{-6} \sim 2 \times 10^{-3}$: परिपथ $\ket0$ में बैठा रहता है और क्यूबिट बनने को तैयार — कमरे का ताप उस क्वांटम को $10^3$ तापीय क्वांटा के नीचे दफ़ना देता। (घ) $\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2} =
5.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (कुछ इलेक्ट्रॉन-आवेश); $\Delta V = \Delta q/C
\approx 1.4\,\text{µ}\mathrm{V}$ की अपह्रास्य गुनगुनाहट।

**अभ्यास 9.10 ★★★.**

शून्य-बिंदु गति से वान डर वाल्स। दूरी $R$ पर दो उदासीन परमाणुओं का निदर्शन दो सर्वसम द्विध्रुव-दोलकों (आवेश $e$, द्रव्यमान $m$, आवृत्ति $\omega_0$) से कीजिए, जिनके विस्थापन द्विध्रुव-ऊर्जा $\lambda\,x_1x_2$ से युग्मित हों, जहाँ $\lambda = e^2/2\pi\varepsilon_0R^3$। (क) दिखाइए कि प्रसामान्य निर्देशांक $(x_1 \pm x_2)/\sqrt2$ $\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1 \pm \lambda/m\omega_0^2}$ पर दोलन करते हैं। (ख) मूल ऊर्जा $\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_-)$ है: उसे $\lambda$ में द्वितीय कोटि तक प्रसारित कीजिए और दिखाइए कि अन्योन्यक्रिया-ऊर्जा यह है

$$
\Delta E = -\frac{\hbar\lambda^2}{8m^2\omega_0^3}
\ \propto\ -\frac{1}{R^6} .
$$

(ग) यह आकर्षण सार्वत्रिक क्यों है — उन परमाणुओं के बीच भी उपस्थित, जिनके कोई स्थायी द्विध्रुव हैं ही नहीं? (घ) $1/R^6$ नियम वर्ष 1 के खंड के वास्तविक-गैस संशोधनों का वान डर वाल्स बल है: सूक्ष्मदर्शीय दृष्टि से “उतार-चढ़ाव” किसमें हो रहा है — और $\hbar = 0$ वाले संसार में इस बल का क्या होता?

**हल — अभ्यास 9.10.**

(क) प्रसामान्य निर्देशांकों में [हैमिल्टोनियन](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) दो दोलकों में बँट जाता है, जिनके लिए $m\omega_\pm^2 = m\omega_0^2 \pm \lambda$। (ख) $\sqrt{1 + u} + \sqrt{1 - u} \approx 2 - u^2/4$: अतः $\Delta E =
\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_- - 2\omega_0) =
-\hbar\omega_0\lambda^2/8m^2\omega_0^4 =
-\hbar\lambda^2/8m^2\omega_0^3$, और $\lambda \propto 1/R^3$ से $1/R^6$ मिलता है। (ग) उसे किसी स्थायी द्विध्रुव की आवश्यकता नहीं — केवल हर परमाणु के आवेश-बादल के शून्य-बिंदु *उतार-चढ़ाव* चाहिए, जिन्हें युग्मन इस तरह सहसंबंधित कर देता है कि आकर्षण प्रतिकर्षण पर भारी पड़े। (घ) जो राशि उतार-चढ़ाव करती है, वह मूल अवस्था का तात्क्षणिक द्विध्रुव है; और $\hbar = 0$ पर मूल अवस्था निश्चल तथा द्विध्रुव-रहित होती, और वान डर वाल्स की गोंद — छिपकलियाँ, द्रवीकृत गैसें, मृदु पदार्थ का बड़ा भाग — लुप्त हो जाती।

**अभ्यास 9.11 ★★★.**

किसी बद्ध आयन के पार्श्वबैंड। किसी हरात्मक पाश में कोई आयन ($f =
1\,\mathrm{MHz}$) लेज़र-प्रकाश सोखता है। चूँकि आयन चलता है, उसके अवशोषण-वर्णक्रम में $\nu_0$ पर की इलेक्ट्रॉनिक रेखा के दोनों ओर $\nu_0 \pm f$ पर रेखाएँ दिखती हैं: वे संक्रमण, जो इलेक्ट्रॉनिक क्वांटम संख्या के साथ-साथ *गति की* क्वांटम संख्या भी $\mp1$ जितनी बदल देते हैं। (क) $\hbar\omega_{\text{पाश}}$, $\mathrm{neV}$ में क्या है, और पार्श्वबैंड सुलझाने के लिए बहुत सँकरी रेखा क्यों चाहिए? (ख) $\nu_0 - f$ रेखा चलाने से प्रति चक्र गति का एक क्वांटम हट जाता है: मूल अवस्था तक *पार्श्वबैंड शीतलन* समझाइए। (ग) जब एक बार $\langle n\rangle \approx
0$ हो जाए, तब नीचे वाला पार्श्वबैंड पूरी तरह लुप्त हो जाता है — यह असममिति क्वांटम मूल अवस्था तक पहुँचने का प्रमाण क्यों है? (घ) इसी तरह किसी अकेले परमाणु की — और दूसरे उपायों से, किलोग्राम-पैमाने के LIGO दर्पणों की — गति की मूल अवस्था प्रमाणित की जाती है: बताइए कि $f = 1\,\mathrm{MHz}$ और $\langle n\rangle = 0.05$ के लिए आयन किस “ताप” तक पहुँचा है।

**हल — अभ्यास 9.11.**

(क) $hf = 4.1\,\mathrm{neV}$: अतः प्रकाशिक रेखा को किसी मेगाहर्ट्ज़ से भी सँकरा होना चाहिए — केवल दीर्घजीवी “घड़ी” संक्रमण ही चलेंगे। (ख) कोई लाल-पार्श्वबैंड फ़ोटॉन आयन को इलेक्ट्रॉनिक रूप से ऊपर उठाता है और गति का एक क्वांटम *हटा* देता है; बाद का क्षय औसतन इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा वाहक-आवृत्ति पर लौटा देता है: अतः हर चक्र गति का $\hbar\omega_{\text{पाश}}$ जितना निकाल लेता है। (ग) $n = 0$ से हटाने को कुछ बचता ही नहीं: अतः लाल पार्श्वबैंड का लुप्त हो जाना मूल अवस्था का पृष्ठभूमि-रहित प्रमाणपत्र है। (घ) $\langle n\rangle = 0.05$: $T = \hbar\omega/k_{\text{B}}\ln21
\approx 16\,\text{µ}\mathrm{K}$।

**अभ्यास 9.12 ★★★.**

चिरसम्मत सीमा, संख्याओं में। आयाम $A$ का कोई चिरसम्मत दोलक $[x, x + \dd x]$ में अंश $\dd
t/T = \dd x/\pi\sqrt{A^2 - x^2}$ जितना समय बिताता है। (क) यह ठहराव-काल बंटन निकालिए। (ख) क्वांटम अवस्था $n$ के लिए $A_n$ लीजिए, $E_n =
\tfrac12 m\omega^2A_n^2$ से, और चिरसम्मत बंटन की तुलना (दिए हुए) स्थानिक रूप से औसत किए गए $|\varphi_n|^2$ से कीजिए: वे कहाँ सहमत होते हैं और कहाँ उन्हें भिन्न होना ही पड़ेगा? (ग) दिखाइए कि पड़ोसी स्तरों के बीच का आंशिक अंतराल $\Delta E/E$, $1/n$ की तरह लुप्त हो जाता है: अतः ऊर्जा प्रभावी रूप से संतत हो जाती है। (घ) [अभ्यास 9.8](#exo-b3-harmonic-oscillator-8)(घ) के लोलक के लिए $n$ और $\Delta
E/E$ आँकिए, और संगतता के तर्क का निष्कर्ष एक वाक्य में दीजिए।

**हल — अभ्यास 9.12.**

(क) $\dd t = \dd x/|v|$, जहाँ $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$, और अर्ध-आवर्तकाल $T/2 = \pi/\omega$ पर। (ख) चिरसम्मत रूप से अनुमत क्षेत्र में वे स्थानिक औसतों पर सहमत होते हैं; और उन्हें पलट-बिंदुओं पर भिन्न होना ही पड़ेगा (चिरसम्मत अपसरण, क्वांटम परिमित शिखर) तथा उनसे परे भी (वर्जित क्षेत्र में क्वांटम पुच्छ)। (ग) $\Delta E/E = 1/(n +
\tfrac12)$। (घ) $n \sim 3 \times 10^{30}$: अंतराल $10^{30}$ में एक भाग — कोई भी कल्पनीय माप सीढ़ी को नहीं सुलझा सकता, और यांत्रिकी संतत दिखने लगती है।

## 9.5 समस्या: वह अणु जो पृथ्वी को गरम रखता है

**समस्या 9.1.**

सप्ताहांत समस्या — कार्बन डाइऑक्साइड की क्वांटम सीढ़ी और हरितगृह प्रभाव

कोई कार्बन डाइऑक्साइड अणु एक रैखिक O=C=O शृंखला है: अर्थात् कुछ क्वांटीकृत दोलक। उसकी नमन-विधा का $\hbar\omega$ संयोग से ठीक पृथ्वी की बाहर जाती तापीय चमक के बीच में पड़ता है, और इसीलिए यह अल्प गैस — दस हज़ार में चार अणु — ग्रह की जलवायु चलाती है। आँकड़े: नमन का तरंग-संख्यांक $\tilde\nu_2 = 667\,\mathrm{cm}^{-1}$ (वर्णक्रममापी का मात्रक: $E = hc\tilde\nu$, $1\,\mathrm{cm}^{-1} =
1.24 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$); असममित खिंचाव $\tilde\nu_3 =
2349\,\mathrm{cm}^{-1}$; सममित खिंचाव $\tilde\nu_1 =
1388\,\mathrm{cm}^{-1}$; $k_{\text{B}}T$, $288\,\mathrm{K}$ पर, $24.8\,\mathrm{meV}$ है; वीन का नियम (वर्ष 2 का खंड): $\lambda_{\max}T =
2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$।

**भाग I — किसी रैखिक अणु की विधाएँ।**

1. तीन परमाणुओं की नौ [स्वातंत्र्य कोटि](https://one-course.com/books/physics/5/hi/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) होती हैं: उनमें कितनी पूरे अणु के स्थानांतरण हैं, कितनी घूर्णन (अणु *रैखिक* है), और कितने कंपन बचते हैं?
2. चारों कंपनों का वर्णन कीजिए: सममित खिंचाव, असममित खिंचाव, और एक द्विगुण अपह्रासी नमन — नमन दो बार क्यों आता है?
3. प्रकाश किसी कंपमान *विद्युत् द्विध्रुव* से युग्मित होता है ( [अभ्यास 9.4](#exo-b3-harmonic-oscillator-4) )। O=C=O की कौन-सी विधाएँ द्विध्रुव-आघूर्ण को माडुलित करती हैं, और कौन-सी अवरक्त-मौन है?
4. तीनों तरंग-संख्यांकों को फ़ोटॉन-तरंगदैर्घ्यों में बदलिए, और उन्हें रखिए: इनमें से कौन-सी तापीय अवरक्त में हैं?
5. हवा की दोनों मुख्य गैसें, N $_2$ और O $_2$ , लगभग कोई अवरक्त क्यों नहीं सोखतीं — और वायुमंडल की पारदर्शिता पर उसका क्या परिणाम होता है?
6. जल-वाष्प, जो मुड़ा हुआ और द्विध्रुवी है, अवरक्त के बड़े भाग पर सोखता है: कार्बन डाइऑक्साइड का नमन किस वर्णक्रमीय “खिड़की” में लगभग अकेला काम करता है ( $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ की तुलना $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ से नीचे और $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ से ऊपर के जल के प्रबल बैंडों से कीजिए)?

**भाग II — नमन की क्वांटम सीढ़ी।**

7. $\hbar\omega_2$ को $\mathrm{meV}$ में और सीढ़ी $E_n$ निकालिए।
8. $288\,\mathrm{K}$ पर अणुओं का कितना अंश $n = 1$ पर रहता है ( $n = 0$ के सापेक्ष, बोल्ट्समान गुणक)? और $n = 2$ पर?
9. कौन-सी फ़ोटॉन-तरंगदैर्घ्य $n = 0 \to 1$ चलाती है? *वही* तरंगदैर्घ्य उत्सर्जन में भी प्रधान क्यों है?
10. हरात्मक सीढ़ी से औचित्य दीजिए कि एक ही तरंगदैर्घ्य पूरी सीढ़ी के काम आती है ( $n \to n + 1$ , हर $n$ के लिए): इसमें स्तर-अंतराल का कौन-सा गुण काम कर रहा है?
11. अणु घूमता भी है, जिससे सूक्ष्म संरचना जुड़ जाती है: $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ वाली विशेषता सचमुच लगभग $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ चौड़ा एक *बैंड* है। किसी हरितगृह गैस के लिए बैंड की *चौड़ाई* क्यों मायने रखती है (सोचिए कि बैंड का केंद्र अपारदर्शी हो जाने पर क्या होता है)?
12. हवा में कंपन से उत्तेजित कोई CO $_2$ अपना क्वांटम विकिरित करने की तुलना में संघट्ट से खोने की कहीं अधिक संभावना रखता है (विकिरणी जीवनकाल $\sim1\,\mathrm{s}$ , संघट्ट-काल $\sim10^{-9}\,\mathrm{s}$ ): सोखी हुई विकिरण-ऊर्जा वास्तव में कहाँ जाती है?
13. और उलटे, $288\,\mathrm{K}$ की हवा $n = 1$ में एक तापीय जनसंख्या बनाए रखती है (प्रश्न 8): वह जनसंख्या ऐसा क्या करती है जो ऊर्जा-बजट के लिए मायने रखता है?

**भाग III — ग्रह का विकिरण-बहीखाता।**

14. सूर्य $5800\,\mathrm{K}$ के पिंड की तरह विकिरित करता है: उसका वीन शिखर निकालिए। क्या CO $_2$ का नमन बहुत सूर्य-प्रकाश रोकता है?
15. भूमि $288\,\mathrm{K}$ के पिंड की तरह विकिरित करती है: उसका वीन शिखर निकालिए, और उस तापीय वक्र पर $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ का स्थान बताइए।
16. हरितगृह क्रियाविधि चार वाक्यों में समझाइए: सूर्य-प्रकाश भीतर, तापीय अवरक्त बाहर, $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर रोक, और ऊपर *तथा* नीचे, दोनों ओर पुनः उत्सर्जन।
17. जो पुनः उत्सर्जन अंतरिक्ष तक बच निकलता है, वह ऊँची और ठंडी परतों ( $\sim220\,\mathrm{K}$ ) से आता है: किसी ठंडी परत से उत्सर्जन उन तरंगदैर्घ्यों पर ग्रह की बाहर जाती शक्ति क्यों घटा देता है (याद रखिए कि तापीय उत्सर्जन $T$ के साथ बढ़ता है)?
18. अधिक CO $_2$ उत्सर्जक परत को और ऊपर तथा और ठंडा कर देती है: एक वाक्य में बताइए कि तब बहीखाता फिर से संतुलित करने के लिए पृष्ठ को गरम क्यों होना पड़ता है।
19. बैंड का केंद्र पहले से ही अपारदर्शी है; जुड़ी हुई CO $_2$ का प्रभाव बैंड के *पंखों* में काम करता है, जिससे प्रणोदन सांद्रता के साथ लघुगणकीय रूप से बढ़ता है: इसे प्रश्न 11 से जोड़िए।

**भाग IV — समस्थानिक: क्वांटम छाप।**

20. किसी दोलक की आवृत्ति $\sqrt{k/\mu}$ की तरह मापित होती है: असममित खिंचाव के लिए $^{12}$ C के स्थान पर $^{13}$ C रखने से प्रभावी द्रव्यमान बदल जाता है; और प्रेक्षित रेखा $2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ से खिसककर लगभग $2283\,\mathrm{cm}^{-1}$ पर आ जाती है। द्रव्यमानों से इस $\approx 3\%$ खिसकाव की परिमाण-कोटि जाँचिए।
21. इन दोनों रेखाओं पर सधे लेज़र किसी गैस-नमूने में $^{13}$ CO $_2$ और $^{12}$ CO $_2$ अलग-अलग गिन लेते हैं: समझाइए कि क्वांटीकृत सीढ़ी ऐसा समस्थानिक-विभेदी संसूचन संभव ही कैसे बनाती है।
22. पौधे हलके समस्थानिक को पसंद करते हैं, अतः जीवाश्म कार्बन में $^{13}$ C कम होता है: वायुमंडलीय CO $_2$ की सांद्रता बढ़ने के साथ उसके मापे गए समस्थानिक अनुपात ने क्या किया — और उससे जुड़ी हुई गैस के *स्रोत* के विषय में क्या सिद्ध होता है?
23. वही $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ वाली भौतिकी शुक्र पर भी काम करती है ( $96\%$ CO $_2$ , $90\,\mathrm{bar}$ ): उसका $737\,\mathrm{K}$ पृष्ठ क्या दिखाता है?
24. मंगल भी लगभग शुद्ध CO $_2$ में साँस लेता है, पर $6\,\mathrm{mbar}$ पर, और वह ठिठुरता रहता है: शुक्र–पृथ्वी–मंगल की यह तिकड़ी इस विषय में क्या दिखाती है कि प्रभाव की प्रबलता कौन-सा चर तय करता है?
25. नामित परिणाम का सार लिखिए: $83\,\mathrm{meV}$ का एक क्वांटम — किसी नमन करते त्रिपरमाणुक का $\hbar\omega$ — जो $288\,\mathrm{K}$ के किसी ग्रह के तापीय वर्णक्रम पर $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर खड़ा है, सोखा जाता है, नैनोसेकंडों में तापीकृत होता है और ठंडी ऊँचाइयों से फिर उत्सर्जित होता है — यही वह क्रियाविधि है जिससे हवा का $0.04\%$ पृथ्वी का ताप तय कर देता है।

**हल — समस्या 9.1.**

**1.** तीन स्थानांतरण; *दो* घूर्णन (आणविक अक्ष के परितः घुमाने से कुछ नहीं हिलता); और $9 - 5 = 4$ कंपन। **2.** अक्ष के अनुदिश खिंचाव-विधाएँ (सममित: दोनों O साथ-साथ बाहर; असममित: C उनके बीच झूलता है); और नमन दो लंबवत तलों में से किसी में भी हो सकता है — वही आवृत्ति, अतः द्विगुण अपह्रासिता। **3.** असममित खिंचाव और नमन आवेश-केंद्रों को अलग कर देते हैं: अर्थात् दोलायमान द्विध्रुव, और अवरक्त-सक्रिय। सममित खिंचाव अणु का द्विध्रुव आद्यंत शून्य रखता है: अवरक्त-मौन। **4.** $15.0$, $4.26$ और $7.2\,\text{µ}\mathrm{m}$: सभी अवरक्त में; और $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ पार्थिव तापों के *तापीय* अवरक्त में गहरे बैठती है। **5.** समनाभिकीय अणु कंपन करते हुए कभी कोई द्विध्रुव नहीं पाते: अतः थोक वायुमंडल अवरक्त के प्रति पारदर्शी है, और पूरा हरितगृह अल्प बहुपरमाणुक गैसों पर टिका है। **6.** जल के बैंडों के बीच $8$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$ की खिड़की है; और कार्बन डाइऑक्साइड का $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ बैंड उसके किनारे पर काम करता है, जहाँ जल दुर्बल प्रतिस्पर्धा करता है — यह गैस वही द्वार सँभालती है जिसे जल अधखुला छोड़ देता है। **7.** $\hbar\omega_2 = 667 \times 1.24 \times 10^{-4} =
82.7\,\mathrm{meV}$; $E_n = (n + \tfrac12) \times 82.7\,\mathrm{meV}$। **8.** $\eu^{-82.7/24.8} = \eu^{-3.33} \approx 3.6\%$, $n =
1$ में; और $0.13\%$, $n = 2$ में: सीढ़ी हलके से, पर स्थायी रूप से जली रहती है। **9.** $\lambda = hc/\hbar\omega \to 15.0\,\text{µ}\mathrm{m}$; और जो अंतराल सोखता है, वही उत्सर्जित भी करता है — एक ही तरंगदैर्घ्य, दोनों ओर। **10.** बराबर अंतराल: हर पग $n \to n + 1$ की कीमत वही फ़ोटॉन है, अतः एक ही रेखा पूरी तापीय जनसंख्या के काम आती है। **11.** हर कंपन-रेखा अनेक घूर्णन-कंपन रेखाओं में बँट जाती है, जो $\sim1\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर फैली रहती हैं: एक बार बैंड का केंद्र पूरी तरह अपारदर्शी हो जाए, तो केवल यही *चौड़ाई* नया अवशोषण देती है — अतिरिक्त गैस बैंड के पंखों में ही काम करती है। **12.** संघट्ट नौ कोटि से जीत जाते हैं: फ़ोटॉन की ऊर्जा नैनोसेकंडों में N$_2$ और O$_2$ के साथ बँट जाती है — अर्थात् सोखा हुआ विकिरण *हवा की ऊष्मा* बन जाता है। **13.** उन्हीं संघट्टों को उलटा चलाइए: हवा अणुओं को $n = 1$ में भरती रहती है, और वे सभी दिशाओं में — *नीचे* की ओर भी — $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ विकिरित करते हैं: आकाश स्वयं ज़मीन पर अवरक्त में चमकता है। **14.** $2898/5800 = 0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$: सूर्य-प्रकाश का शिखर दृश्य में है, $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ से बहुत दूर — अतः कार्बन डाइऑक्साइड सूर्य को भीतर आने देती है। **15.** $2898/288 = 10.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: पृथ्वी की चमक का शिखर दस माइक्रोन पर है, और $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ उसके चौड़े कंधे पर पड़ती है, जो बाहर जाती शक्ति का बड़ा हिस्सा ढोता है। **16.** सूर्य-प्रकाश अधिकतर बिना रुके भीतर आता है और भूमि को गरम करता है। भूमि तापीय अवरक्त में फिर से उत्सर्जित करती है। $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर वह विकिरण कुछ ही मीटरों में सोख लिया जाता है और तापीकृत हो जाता है। गरम हुई हवा ऊपर और नीचे, दोनों ओर उत्सर्जित करती है, और नीचे वाला आधा पृष्ठ की अतिरिक्त आय है: अतः पृष्ठ को तब तक गरम होना पड़ता है जब तक व्यय आय के बराबर न हो जाए। **17.** उत्सर्जन ताप के साथ तेज़ी से बढ़ता है: $220\,\mathrm{K}$ की ऊँचाई से बच निकलता विकिरण उससे कहीं कम शक्ति ढोता है जितनी पृष्ठ ने सीधे भेजी होती — यह बैंड ग्रह के बाहर जाते वर्णक्रम में एक मंद धब्बा है। **18.** सूर्य-प्रकाश नियत रहते हुए बाहर जाती शक्ति घट जाने पर पूरे स्तंभ को — पृष्ठ सहित — तब तक गरम होना पड़ता है जब तक बहीखाता फिर से न मिल जाए। **19.** केंद्र संतृप्त, पंख सक्रिय: गैस के हर दुगुने होने पर अपारदर्शी क्षेत्र लगभग उतना ही और चौड़ा हो जाता है, अतः प्रणोदन मोटे तौर पर लघुगणकीय होता है — और काम प्रश्न 11 वाले पंख ही करते हैं। **20.** असममित-खिंचाव आवृत्ति का वर्ग $(1/m_{
\text{O}} + 2/m_{\text{C}})$ की तरह चलता है: $^{13}$C का अनुपात, $^{12}$C के सामने, $\sqrt{0.2163/0.2292} = 0.971$ है — अर्थात् $2.9\%$ की गिरावट, जो $2283/2349$ से मेल खाती है। **21.** क्वांटन हर समस्थानिकी को उसकी अपनी तीखी रेखाओं की कंघी दे देता है; और किसी एक कंघी पर सधा लेज़र केवल एक ही समस्थानिक गिनता है — यदि अवशोषण चिरसम्मत सांतत्य होता तो यह असंभव था। **22.** ज्यों-ज्यों CO$_2$ बढ़ी, उसका $^{13}$C अंश *घटा* (ज़ूस प्रभाव): अर्थात् जुड़ा हुआ कार्बन समस्थानिकी रूप से हलका है — पौधों का बनाया, बहुत पहले दबा हुआ, यानी जीवाश्म। वायुमंडल अपने स्रोत की छाप ढो रहा है। **23.** शुक्र: वही $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ वाला क्वांटम, $200000$ गुना स्तंभ पर लगकर, किसी तंदूर से भी गरम पृष्ठ बनाए रखता है — इस क्रियाविधि की कोई अंतर्निहित छत नहीं है। **24.** मंगल, जो लगभग शुद्ध CO$_2$ में है और फिर भी ठिठुरता है, दिखाता है कि प्रबलता *स्तंभ की मात्रा और दाब* तय करते हैं (जो रेखाओं को चौड़ा करता है), गैस का अंश नहीं। **25.** $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर $83\,\mathrm{meV}$ का एक क्वांटम, जो $288\,\mathrm{K}$ के किसी ग्रह के तापीय कंधे पर सोखा जाता है, नैनोसेकंडों में तापीकृत होता है और ठंडी ऊँचाइयों से फिर उत्सर्जित होता है: हरात्मक दोलक की सीढ़ी, वीन के नियम के सामने तौली हुई, वही मशीनरी है जिससे दस हज़ार में चार अणु किसी जलवायु पर शासन करते हैं।