---
title: "Mekanika Lagrange"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange
---

# Bab 1 — Mekanika Lagrange

Cobalah menuliskan hukum Newton untuk sebuah bandul ganda: dua gaya tegangan, tak satu pun diketahui lebih dahulu, keduanya berubah arah setiap saat, dan empat persamaan skalar yang harus diurai hanya untuk mengetahui bagaimana dua sudut berkembang. Lakukanlah hal yang sama untuk manik pada gelang yang berputar, untaian pegas terkopel, atau lengan robot. Gaya yang menahan sebuah sistem tetap utuh — batang, rel, engsel — tidak melakukan usaha sedikit pun, namun cara Newton memaksa kita membawanya dalam setiap perhitungan. Bab ini menyajikan perumusan ulang yang diterbitkan Lagrange pada 1788: gambarkanlah sistemnya dengan sedikit koordinat yang memang dapat berubah, tuliskanlah satu fungsi tunggal $L = E_k - E_p$, dan satu resep menghasilkan persamaan geraknya dalam koordinat apa pun, dengan setiap batang dan rel sudah tersingkir lebih dahulu. Lebih dari itu, perumusan baru ini menampakkan apa yang disembunyikan perumusan Newton: setiap simetri $L$ melahirkan satu besaran kekal — momentum dari keseragaman ruang, energi dari keseragaman waktu — hasil karya Emmy Noether yang kini menjadi asas penata fisika jauh melampaui mekanika.

## 1.1 Dari gaya ke koordinat

**Definisi 1.1 (Kendala, derajat kebebasan, koordinat rampatan).**

Yang disebut *kendala* adalah syarat geometris yang dikenakan pada kedudukan sebuah sistem — manik tetap berada pada kawatnya, batang sebuah bandul mempertahankan panjang tetap, dua roda pada satu as berputar bersama. Kendala yang dapat dinyatakan sebagai persamaan $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ di antara koordinatnya (dan mungkin juga waktu) disebut *holonomik*. Banyaknya cara bebas yang masih tersisa bagi konfigurasinya untuk berubah adalah jumlah *derajat kebebasan* $n$; setiap himpunan $n$ besaran bebas $q_1, \dots, q_n$ yang menetapkan konfigurasinya secara lengkap merupakan satu himpunan *koordinat rampatan* — sudut, panjang, atau campuran keduanya sesuka kita. Turunan waktunya $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ adalah *kecepatan rampatan*.

**Contoh 1.2 (Menghitung derajat kebebasan).**

Sebuah titik pada meja: $n = 2$. Bandul bidang berpanjang tetap: satu sudut, $n = 1$. Bandul ganda: dua sudut, $n = 1 + 1 = 2$. Manik pada gelang tegar: satu sudut, $n = 1$ — sekalipun gelangnya sendiri dipaksa berputar, karena putaran yang dikenakan itu tidak menambah kebebasan. Benda tegar yang bebas di ruang: tiga koordinat pusatnya ditambah tiga sudut, $n = 6$. Gas berisi $N$ molekul bebas (titik): $n = 3N$. Setiap [kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) holonomik menghapus satu [derajat kebebasan](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): dua titik yang dihubungkan sebuah batang mempunyai $3 + 3 - 1 = 5$.

![Koordinat rampatan: setiap sistem digambarkan oleh sudut yang memang dapat berubah, bukan oleh koordinat Kartesius massanya. Tegangan batang dan gaya normal gelangnya tak pernah muncul.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-15357c259898.svg)

*[Koordinat rampatan](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): setiap sistem digambarkan oleh sudut yang memang dapat berubah, bukan oleh koordinat Kartesius massanya. Tegangan batang dan gaya normal gelangnya tak pernah muncul.*

## 1.2 Asas aksi terkecil

**Definisi 1.3 (Lagrangian dan aksi).**

Yang disebut *Lagrangian* sebuah sistem mekanis yang gayanya diturunkan dari energi potensial $E_p$ adalah fungsi koordinat, kecepatan, dan mungkin juga waktu

$$
L(q, \dot q, t) = E_k - E_p ,
$$

yaitu energi kinetik *dikurangi* energi potensial, keduanya dinyatakan dalam [koordinat rampatan](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates). Yang disebut *aksi* sebuah gerak terbayangkan $q(t)$ antara dua ujung tetap $q(t_1)$ dan $q(t_2)$ adalah bilangan

$$
S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L\big(q(t), \dot q(t), t\big)\,\dd t .
$$

$S$ adalah sebuah *fungsional*: ia melahap seluruh lintasan dan mengembalikan satu bilangan, dalam joule-sekon — satuan tetapan Planck.

**Teorema 1.4 (Asas Hamilton dan persamaan Euler–Lagrange).**

Di antara semua gerak terbayangkan yang menghubungkan dua ujung yang sama dalam selang waktu yang sama, gerak yang sesungguhnya adalah gerak yang membuat [aksinya](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) *stasioner* (*asas Hamilton*, atau asas *[aksi terkecil](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*). Setara dengan itu, geraknya memenuhi *[persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*

$$
\frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}
 - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 ,
\qquad i = 1, \dots, n :
$$

satu persamaan orde dua untuk tiap [derajat kebebasan](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates), dalam koordinat apa pun yang dipilih.

**Bukti.** Ubahlah bentuk lintasannya: $q_i(t) \to q_i(t) + \delta q_i(t)$ dengan $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$. Sampai orde pertama,

$$
\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\delta q_i
 + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\delta\dot q_i\Big)\dd t
 = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}
 - \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Big)\delta q_i\,\dd t ,
$$

setelah suku keduanya diintegralkan parsial ($\delta\dot q_i =
\dd(\delta q_i)/\dd t$) dan suku batasnya dibuang, karena suku itu lenyap di kedua ujung yang tetap. Jika $\delta S = 0$ untuk *setiap* perubahan bentuk, kurungnya harus lenyap pada setiap saat dan untuk tiap $i$ — seandainya ia positif di suatu tempat, sebuah tonjolan $\delta q_i$ yang terpusat di sana akan memberi $\delta S \neq 0$. Kebalikannya terbaca pada baris yang sama. ∎

![Asas Hamilton: di antara semua lintasan berujung dan berdurasi sama, lintasan yang sesungguhnya membuat S = ∈t L\, t stasioner — perubahan bentuk q orde pertama mengubah S hanya pada orde kedua.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-c62b96959ec5.svg)

*Asas Hamilton: di antara semua lintasan berujung dan berdurasi sama, lintasan yang sesungguhnya membuat $S = \int L\,\dd t$ stasioner — perubahan bentuk $\delta q$ orde pertama mengubah $S$ hanya pada orde kedua.*

**Proposisi 1.5 (Newton diperoleh kembali).**

Untuk sebuah partikel dalam koordinat Kartesius, $L = \tfrac12 m(\dot x^2 +
\dot y^2 + \dot z^2) - E_p(x,y,z)$, dan [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) berbunyi $m\ddot x = -\partial E_p/\partial x$ dan serupa untuk $y$, $z$: tepat $m\vect a = \vect F$. Mekanika [Lagrangian](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) dan mekanika Newton sepakat di mana pun keduanya berlaku; bentuk yang baru sekadar bertahan terhadap penggantian koordinat, yang tidak dialami persamaan komponen Newton.

**Bukti.** $\partial L/\partial\dot x = m\dot x$, $\partial L/\partial x =
-\partial E_p/\partial x$; [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) berbunyi $\dd(m\dot x)/\dd t + \partial E_p/\partial x = 0$. ∎

**Catatan 1.6 (Mengapa gaya kendala lenyap).**

Tegangan sebuah batang dan gaya normal sebuah rel bekerja tegak lurus terhadap setiap perpindahan yang diizinkan [kendalanya](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): keduanya tidak melakukan usaha dalam gerak apa pun yang selaras dengan [kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) itu. Karena [aksinya](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) dibangun dari energi yang dihitung hanya pada gerak semacam itu, gaya tersebut tak pernah masuk ke dalam $L$ — di situlah keajaiban praktis metode ini. Pembenaran umumnya (asas usaha maya d’Alembert) diterima tanpa bukti di sini; untuk setiap sistem dalam buku ini resep di bawah dapat diperiksa langsung terhadap Newton, sebagaimana mulai dilakukan [Proposisi 1.5](#prop-b3-lagrangian-mechanics-newton). Jika gaya [kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) itu sendiri yang dicari — akankah batangnya patah? — kita kembali kepada Newton hanya untuk gaya itu, dengan geraknya sudah diketahui.

**Metode 1.7 (Resep Lagrange).**

(1) Hitunglah [derajat kebebasannya](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) dan pilihlah koordinat $q_i$ — sudut untuk rotasi, absis sepanjang rel. (2) Nyatakanlah kedudukannya $\vect r(q_i, t)$, turunkanlah untuk memperoleh kecepatannya, lalu tuliskanlah $E_k$; tuliskan pula $E_p$. (3) $L = E_k - E_p$, dengan membuang tetapan aditif apa pun. (4) Satu [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) untuk tiap koordinat. (5) Sebelum menyelesaikannya, panenlah besaran kekalnya: [koordinat siklik](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) ([Definisi 1.10](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum)) dan [fungsi energi](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) ([Proposisi 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (6) Periksalah limitnya: sudut kecil, rotasi yang dimatikan, kasus khusus yang sudah dikenal.

**Contoh 1.8 (Bandul, dalam tiga baris).**

Satu koordinat $\theta$; $\vect v = \ell\dot\theta\,\vect e_\theta$, sehingga $E_k = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2$ dan $E_p = -mg\ell\cos\theta$. Lalu $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$, dan $\dd(m\ell^2\dot\theta)/\dd t = -mg\ell\sin\theta$:

$$
\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta ,
$$

persamaan yang dalam jilid Tahun 1 diperoleh dari momen gaya berat — dengan tegangannya tak pernah disebut.

**Contoh 1.9 (Manik pada gelang yang berputar).**

Sebuah manik bermassa $m$ meluncur pada gelang lingkaran tegak berjejari $R$ yang dipaksa berputar terhadap diameter tegaknya pada $\omega$ tetap ([Contoh 1.2](#ex-b3-lagrangian-mechanics-counting)). Satu koordinat, yaitu sudut kutub $\theta$ dari titik terbawah. Kecepatan maniknya mempunyai komponen $R\dot\theta$ sepanjang gelang dan $\omega R\sin\theta$ akibat rotasi yang dikenakan, tegak lurus terhadapnya:

$$
L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
 + mgR\cos\theta ,
\qquad
mR^2\ddot\theta = m\omega^2R^2\sin\theta\cos\theta - mgR\sin\theta .
$$

Kesetimbangan tercapai ketika $\ddot\theta = 0$: di titik terbawah $\theta = 0$ (dan di puncak, yang selalu goyah), dan, bila $\omega^2 > g/R$, sepasang kesetimbangan baru $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$. Menuliskan persamaannya sebagai $mR^2\ddot\theta = -\dd U_{\text{eff}}/\dd\theta$ dengan *energi potensial efektif*

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = -mgR\cos\theta
 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
$$

membuat geometrinya tampak: di bawah laju kritis $\omega_{\text{c}} = \sqrt{g/R}$ titik terbawahnya adalah sebuah sumur; di atas laju itu, titik terbawahnya berubah menjadi puncak dan maniknya menetap di lereng, memanjat makin tinggi ketika gelangnya berputar makin cepat — asas governor sentrifugal yang dahulu mengatur mesin uap.

![Potensial efektif manik pada gelang yang berputar. Ketika melewati √g/R, sumur tunggal di titik terbawah terbelah menjadi dua sumur setangkup: sudut kesetimbangannya naik seiring laju putarnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-daaf9b50969e.svg)

*Potensial efektif manik pada gelang yang berputar. Ketika $\omega$ melewati $\sqrt{g/R}$, sumur tunggal di titik terbawah terbelah menjadi dua sumur setangkup: sudut kesetimbangannya naik seiring laju putarnya.*

## 1.3 Simetri dan hukum kekekalan

**Definisi 1.10 (Momentum rampatan, koordinat siklik).**

Yang disebut *momentum rampatan* yang konjugat terhadap koordinat $q_i$ adalah

$$
p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .
$$

Untuk koordinat Kartesius ia adalah momentum biasa $m\dot x$; untuk sebuah sudut ia adalah momentum sudut. Koordinat yang tidak muncul dalam $L$ (walaupun kecepatannya muncul) disebut *siklik*.

**Proposisi 1.11 (Koordinat siklik melahirkan hukum kekekalan).**

Jika $q_i$ siklik, momentum konjugatnya kekal: $\partial L/\partial q_i = 0$ mengakibatkan $\dd p_i/\dd t = 0$. Memilih koordinat sedemikian sehingga sebanyak mungkin di antaranya siklik adalah langkah paling ampuh dalam menyelesaikan soal mekanika.

**Bukti.** Langsung dari [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) untuk $q_i$. ∎

**Contoh 1.12 (Gaya sentral, selesai dengan sekali pandang).**

Sebuah partikel dalam potensial sentral $E_p(r)$, dalam koordinat polar pada bidang geraknya:

$$
L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .
$$

$\varphi$ siklik, sehingga $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — yaitu momentum sudutnya — kekal: itulah hukum luasan Kepler, yang dalam jilid Tahun 1 diturunkan dari persamaan momen gaya, dan di sini muncul sebelum satu persamaan pun diselesaikan. Persamaan radial yang tersisa adalah $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$, yakni gerak satu dimensi dalam potensial efektif $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ pada jilid tersebut.

**Teorema 1.13 (Teorema Noether).**

Setiap simetri kontinu [Lagrangian](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) bersesuaian dengan satu besaran kekal. Tepatnya: jika pergeseran $q_i \to q_i + \varepsilon\,K_i(q)$ membiarkan $L$ tak berubah sampai orde pertama dalam $\varepsilon$ untuk semua gerak, maka

$$
Q = \sum_i p_i\,K_i(q)
$$

tetap sepanjang setiap gerak yang sesungguhnya. Keseragaman ruang (invariansi terhadap translasi) melahirkan momentum; keisotropan ruang (invariansi terhadap rotasi) melahirkan momentum sudut; keseragaman waktu melahirkan energi ([Proposisi 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)).

**Bukti.** Invariansi sampai orde pertama berarti $0 = \delta L = \sum_i\big(\partial_{q_i}L\,K_i +
\partial_{\dot q_i}L\,\dot K_i\big)\varepsilon$. Pada gerak yang sesungguhnya, $\partial_{q_i}L = \dot p_i$ menurut Euler–Lagrange, sehingga kurungnya menjadi $\sum_i(\dot p_iK_i + p_i\dot K_i) = \dd Q/\dd t$. [Koordinat siklik](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) adalah kasus khusus $K_i = \delta_{ij}$. Kasus pergeseran waktu menuntut perhitungan tersendiri pada [Proposisi 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy); teorema selengkapnya, untuk transformasi yang juga mengubah $t$ atau mengubah $L$ sebesar suatu turunan total, dibuktikan dalam kuliah mekanika analitis dan diterima tanpa bukti di sini dalam keumuman itu. ∎

**Proposisi 1.14 (Fungsi energi).**

Sepanjang gerak apa pun, *[fungsi energi](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)*

$$
h = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L
\qquad\text{memenuhi}\qquad
\frac{\dd h}{\dd t} = -\frac{\partial L}{\partial t} .
$$

Jika $L$ tidak bergantung secara eksplisit pada waktu, $h$ kekal. Jika selain itu hubungan $\vect r(q)$ antara kedudukan dan koordinat tidak melibatkan waktu — tanpa rotasi yang dikenakan, tanpa tumpuan yang bergerak — maka $E_k$ merupakan bentuk kuadrat dalam $\dot q_i$ dan $h = E_k + E_p$: yakni energi mekaniknya. Dengan [kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) yang bergantung waktu, $h$ tetap kekal apabila $\partial L/\partial t = 0$, tetapi ia *bukan* energinya: motor yang memaksakan [kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) itu bertukar usaha dengan sistemnya.

**Bukti.** $\dd h/\dd t = \sum_i(\ddot q_ip_i + \dot q_i\dot p_i) -
\sum_i(\partial_{q_i}L\,\dot q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\ddot q_i) -
\partial_tL$. Suku $\ddot q_i$ saling meniadakan; [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) mengubah $\dot p_i$ menjadi $\partial_{q_i}L$, sehingga pasangan berikutnya pun hilang; tersisa $-\partial_tL$. Jika $E_k = \tfrac12\sum a_{jk}(q)\dot
q_j\dot q_k$, identitas Euler untuk bentuk kuadrat memberikan $\sum\dot
q_i\,\partial E_k/\partial\dot q_i = 2E_k$, sehingga $h = 2E_k - (E_k - E_p)
= E_k + E_p$. ∎

**Contoh 1.15 (Gelang yang berputar mempertahankan hhh, bukan EEE).**

Untuk manik pada [Contoh 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop), $L$ tidak memuat $t$ secara eksplisit, sehingga $h = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}
(\theta)$ kekal — tetapi energi mekaniknya $E = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$ tidak: $E = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ berubah ketika maniknya meluncur. Selisihnya adalah usaha motor yang menjaga $\omega$ tetap sementara jarak manik dari sumbunya berubah.

## 1.4 Partikel bermuatan dan osilasi kecil

**Proposisi 1.16 (Lagrangian sebuah partikel bermuatan).**

Dalam medan elektromagnetik yang digambarkan oleh potensial $V$ dan $\vect A$ (dengan $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ dan $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$, seperti dalam jilid Tahun 2), [Lagrangian](#def-b3-lagrangian-mechanics-action)

$$
L = \tfrac12 m\vect v^{\,2} - qV + q\,\vect v\cdot\vect A
$$

menghasilkan, lewat [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange), tepat gaya Lorentz $m\dot{\vect v} = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. Gaya magnetiknya, yang tidak melakukan usaha dan tidak diturunkan dari energi potensial biasa, masuk melalui suku yang linear dalam kecepatan; momentum konjugatnya menjadi $\vect p = m\vect v + q\vect A$, tidak lagi $m\vect v$ saja.

**Bukti.** Untuk komponen $x$: $p_x = m\dot x + qA_x$, dan $\partial_xL = -q\,\partial_xV + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. [Persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) memberikan $m\ddot x = -q\,\partial_xV -
q\,\dd A_x/\dd t + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. Sepanjang geraknya $\dd A_x/\dd t = \partial_tA_x + (\vect v\cdot\vect\nabla)A_x$, sehingga $m\ddot x = qE_x + q\big[\vect v\cdot\partial_x\vect A - (\vect v\cdot
\vect\nabla)A_x\big]$, dan kurungnya adalah komponen $x$ dari $\vect
v\wedge(\vect\nabla\wedge\vect A) = \vect v\wedge\vect B$ — jabarkanlah keduanya untuk memeriksanya. ∎

**Proposisi 1.17 (Osilasi kecil dan ragam normal).**

Di dekat kesetimbangan mantap $q^{\text{eq}}$, jabarkanlah $L$ sampai orde dua dalam simpangan $u_i = q_i - q_i^{\text{eq}}$: $L \approx \tfrac12\sum m_{ij}\dot u_i\dot u_j -
\tfrac12\sum k_{ij}u_iu_j$ dengan matriks setangkup yang tetap. Persamaan geraknya linear, dan setiap gerak merupakan superposisi *[ragam normal](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes)*: osilasi kolektif $u_i(t) = a_i\cos(\Omega t
+ \phi)$ yang di dalamnya semua koordinat bergetar pada satu frekuensi bersama, dengan amplitudo dan frekuensinya memenuhi $\sum_j(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij})\,a_j = 0$ — sebuah soal nilai eigen matriks, dengan $n$ ragam untuk $n$ [derajat kebebasan](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates).

**Bukti.** Suku linearnya lenyap di titik kesetimbangan; [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) bagi $L$ yang kuadratik berbunyi $\sum_jm_{ij}\ddot u_j = -\sum_jk_{ij}u_j$. Memasukkan osilasi cobaan memberikan sistem linear yang dinyatakan tadi, yang mempunyai vektor amplitudo tak nol hanya bila $\det(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij}) = 0$: ada $n$ nilai $\Omega^2$, semuanya positif pada kesetimbangan mantap. Bahwa gerak umumnya merupakan superposisi ragam-ragamnya adalah pendiagonalan sepasang bentuk kuadrat, hasil aljabar linear dalam jilid matematika Tahun 2; kelengkapannya diterima tanpa bukti. ∎

**Contoh 1.18 (Dua bandul yang dikopel pegas).**

Dua bandul yang sama (massa $m$, panjang $\ell$), bandulannya dihubungkan pegas berkekakuan $k$ yang kendur ketika keduanya menggantung tegak. Untuk sudut kecil,

$$
L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta_1^2 + \dot\theta_2^2)
 - \tfrac12 mg\ell(\theta_1^2 + \theta_2^2)
 - \tfrac12 k\ell^2(\theta_2 - \theta_1)^2 .
$$

Simetrinya menyarankan gabungan $s = \theta_1 + \theta_2$ dan $d =
\theta_1 - \theta_2$, yang menguraikan kedua persamaannya: *ragam sefase* ($\theta_1 = \theta_2$, pegas tak berperan) pada $\Omega_1 =
\sqrt{g/\ell}$, dan *ragam berlawanan* ($\theta_1 = -\theta_2$, pegas teregang dua kali lipat) pada $\Omega_2 = \sqrt{g/\ell + 2k/m}$. Simpangkanlah satu bandul saja — campuran setara dari kedua ragam — dan energinya berpindah seluruhnya dari bandul yang satu ke yang lain lalu kembali lagi, pada frekuensi layang $(\Omega_2 - \Omega_1)/2\pi$: itulah peragaan bandul terkopel, sekaligus mekanisme di balik setiap pemindahan energi resonan, dari rangkaian tertala hingga getaran molekul.

![Kedua ragam normal bandul terkopel. Dalam ragam sefase pegasnya tak pernah teregang dan frekuensinya sama dengan frekuensi bandul bebas; dalam ragam berlawanan tiap bandulan merasakan pegas yang berlipat dua.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-62b0d770ef31.svg)

*Kedua [ragam normal](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) bandul terkopel. Dalam ragam sefase pegasnya tak pernah teregang dan frekuensinya sama dengan frekuensi bandul bebas; dalam ragam berlawanan tiap bandulan merasakan pegas yang berlipat dua.*

![Bandul ganda yang jejaknya direkam dengan pajanan panjang: dua koordinat, satu Lagrangian, dan gerak yang tak dapat diramalkan rumus mana pun untuk waktu lama — perangkat aksi terkecil dalam bab ini menuliskan persamaannya; kekacauan membuat penyelesaiannya tetap rendah hati.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-8fd84e34147d.jpg)

*Bandul ganda yang jejaknya direkam dengan pajanan panjang: dua koordinat, satu [Lagrangian](#def-b3-lagrangian-mechanics-action), dan gerak yang tak dapat diramalkan rumus mana pun untuk waktu lama — perangkat [aksi terkecil](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) dalam bab ini menuliskan persamaannya; kekacauan membuat penyelesaiannya tetap rendah hati.*

## 1.5 Latihan

**Latihan 1.1 ★.**

Hitunglah [derajat kebebasannya](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) dan usulkanlah [koordinat rampatan](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): (a) sebuah partikel di dalam mangkuk yang tetap; (b) sebuah silinder yang menggelinding tanpa selip menuruni bidang miring yang tetap; (c) sebuah bandul ganda yang poros atasnya meluncur pada rel mendatar; (d) sebuah halter (dua massa, batang tegar) di ruang bebas; (e) dua manik pada satu kawat lingkaran yang tetap. [Kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) mana dalam daftar ini yang menghubungkan kecepatan alih-alih kedudukan, dan mengapa ia toh dapat diintegralkan menjadi [kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) holonomik?

**Solusi Latihan 1.1.**

(a) 2 (dua sudut pada permukaan mangkuknya). (b) 1: absis $x$ sepanjang lerengnya, sedangkan sudut putarnya terikat padanya oleh gelindingan, $x =
R\phi$. (c) 3: $X$, $\theta_1$, $\theta_2$. (d) 5: tiga untuk pusatnya, dua untuk arah batangnya. (e) 2: satu sudut masing-masing. Syarat menggelinding itu adalah hubungan antara *kecepatan*, $\dot x =
R\dot\phi$; pada soal bidang ini ia langsung terintegralkan menjadi $x = R\phi +
\text{const}$, jadi holonomik. (Untuk bola yang menggelinding pada sebuah bidang syarat itu tidak terintegralkan, dan mekanika [Lagrangian](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) memerlukan perluasan.)

**Latihan 1.2 ★.**

Untuk bandul bidang ([Contoh 1.8](#ex-b3-lagrangian-mechanics-pendulum)): (a) periksalah dimensi $L$ dan dimensi $p_\theta =
\partial L/\partial\dot\theta$; (b) kenalilah makna fisis $p_\theta$; (c) turunkanlah periode sudut kecilnya; (d) hitunglah [aksi](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $S$ satu [osilasi kecil](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) penuh beramplitudo $\theta_0$ — lalu jelaskanlah jawabannya sebelum menghitung (berapakah rata-rata waktu dari $E_k - E_p$ untuk osilasi harmonik?).

**Solusi Latihan 1.2.**

(a) $[L] = \mathrm{J}$; $[p_\theta] = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — sebuah momentum sudut, karena $\theta$ tak berdimensi. (b) $p_\theta =
m\ell^2\dot\theta$ adalah momentum sudut bandulannya terhadap porosnya. (c) $\ddot\theta = -(g/\ell)\theta$ memberikan $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$. (d) Dengan $E_p$ diukur dari kesetimbangannya, osilasi harmonik mempunyai rata-rata waktu energi kinetik dan energi potensial yang sama, sehingga $\langle
L\rangle = 0$ dan $S = 0$ selama satu periode penuh — perhitungannya membenarkan hal itu: $S = \int_0^T\tfrac12 m\ell^2\theta_0^2[\omega^2\sin^2
\omega t - (g/\ell)\cos^2\omega t]\,\dd t = 0$ karena $\omega^2 =
g/\ell$.

**Latihan 1.3 ★.**

Sebuah mesin Atwood: massa $m_1$ dan $m_2$ tergantung pada tali ideal yang melewati katrol tak bermassa. (a) Pilihlah satu koordinat dan tuliskanlah $L$. (b) Carilah percepatannya. (c) Perlakuan Newton memerlukan tegangan talinya — ke manakah tegangan itu pergi? (d) Bagaimana caranya memperoleh kembali tegangan itu setelah geraknya diketahui?

**Solusi Latihan 1.3.**

(a) Misalkan $x$ adalah turunnya $m_1$ (sehingga $m_2$ naik sebesar $x$): $L =
\tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx$. (b) $(m_1 + m_2)\ddot x =
(m_1 - m_2)g$: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)$. (c) Tegangannya bekerja pada kedua ujung tali yang tak mulur: pada perpindahan yang diizinkan mana pun usahanya saling meniadakan, sehingga ia tak pernah masuk ke $L$. (d) Newton pada $m_1$ saja: $T =
m_1(g - a) = 2m_1m_2g/(m_1 + m_2)$.

**Latihan 1.4 ★.**

Sebuah partikel bebas dalam koordinat silinder: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 +
r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2)$. (a) Koordinat mana yang siklik, dan apa saja momentum kekalnya? (b) Mengapa $p_r$ *tidak* kekal padahal tak ada gaya yang bekerja? (c) Tuliskanlah [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) untuk $r$ dan tafsirkanlah suku $mr\dot\varphi^2$. (d) Periksalah bahwa garis lurus yang ditempuh dengan kelajuan tetap memenuhinya.

**Solusi Latihan 1.4.**

(a) $\varphi$ dan $z$: $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ (momentum sudut terhadap sumbunya) dan $p_z = m\dot z$ kekal. (b) $r$ muncul dalam $L$ lewat $r^2\dot\varphi^2$, sehingga ia tidak siklik: $\dot p_r =
mr\dot\varphi^2 \neq 0$. Tak ada yang keliru — $p_r = m\dot r$ adalah komponen radial sebuah vektor tetap $\vect p$, dan komponen sepanjang arah yang *berputar* tak harus tetap. (c) $m\ddot r =
mr\dot\varphi^2$: itulah suku sentrifugal, harga yang dibayar karena memakai koordinat yang terikat pada arah yang berputar. (d) Untuk garis berjarak $b$ yang dilalui dengan kelajuan $v$: $r = \sqrt{b^2 + v^2t^2}$, $r^2\dot\varphi = bv$; lalu $\ddot r = b^2v^2/r^3 = r(bv/r^2)^2 = r\dot\varphi^2$.

**Latihan 1.5 ★★.**

Sebuah balok bermassa $m$ meluncur pada permukaan tanpa gesekan (bersudut $\alpha$) sebuah baji bermassa $M$, yang sendirinya bebas meluncur di lantai tanpa gesekan. (a) Pilihlah dua koordinat: absis baji $X$ dan jarak balok $s$ menuruni permukaan itu; tuliskanlah $L$. (b) Koordinat mana yang siklik, dan hukum kekekalan apa yang dinyatakannya? (c) Carilah kedua percepatannya. (d) Periksalah limit $M \to \infty$ dan $\alpha \to
90^\circ$.

**Solusi Latihan 1.5.**

(a) Kedudukan baloknya $(X + s\cos\alpha,\ -s\sin\alpha)$, sehingga

$$
L = \tfrac12 M\dot X^2 + \tfrac12 m\big(\dot X^2 +
2\dot X\dot s\cos\alpha + \dot s^2\big) + mgs\sin\alpha .
$$

(b) $X$ siklik: $P = (M + m)\dot X + m\dot s\cos\alpha$ kekal — yaitu momentum mendatar totalnya, karena tak ada gaya mendatar dari luar yang bekerja. (c) Persamaan untuk $s$ adalah $\ddot s + \ddot
X\cos\alpha = g\sin\alpha$; dengan $\ddot X = -m\ddot s\cos\alpha/(M +
m)$ dari (b),

$$
\ddot s = \frac{(M + m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha} , \qquad
\ddot X = -\frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha} .
$$

(d) $M \to \infty$: $\ddot s \to g\sin\alpha$, yakni bidang miring yang tetap; $\alpha \to 90^\circ$: $\ddot s \to g$, $\ddot X \to 0$ — jatuh bebas sepanjang permukaan tegak, dengan bajinya tak terdorong.

**Latihan 1.6 ★★.**

Bandul bola: sebuah bandulan pada batang sepanjang $\ell$, bebas dalam kedua sudutnya ($\theta$ dari arah tegak ke bawah, $\varphi$ mengelilinginya). (a) Tuliskanlah $L$. (b) Kenalilah [koordinat sikliknya](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) dan $p_\varphi$ yang kekal. (c) Reduksilah gerak $\theta$ menjadi gerak dalam potensial efektif lalu sketsalah potensial itu. (d) Untuk gerak kerucut $\theta =
\theta_0$, perolehlah kembali hubungan bandul kerucut $\cos\theta_0 =
g/\ell\omega^2$ dari jilid Tahun 1.

**Solusi Latihan 1.6.**

(a) $L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2) +
mg\ell\cos\theta$. (b) $\varphi$ siklik: $p_\varphi =
m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$, yaitu momentum sudut tegaknya. (c) Dengan melenyapkan $\dot\varphi$, $\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 +
U_{\text{eff}}(\theta)$ kekal dengan

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = \frac{p_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta}
 - mg\ell\cos\theta :
$$

sebuah dinding di $\theta = 0$ dan $\theta = \pi$ (untuk $p_\varphi \neq 0$) dengan satu minimum di antaranya — bandulannya berangguk di antara dua lingkaran. (d) Di titik minimumnya, $\dot\theta = 0$ dengan $\theta = \theta_0$ tetap: $p_\varphi^2\cos\theta_0/m\ell^2\sin^3\theta_0 = mg\ell\sin\theta_0$; memasukkan $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta_0\,\omega$ memberikan $\ell\omega^2\cos\theta_0 = g$.

**Latihan 1.7 ★★.**

Sebuah bandul (massa $m$, panjang $\ell$) tergantung pada kereta bermassa $M$ yang bebas menggelinding di rel mendatar. (a) Dengan koordinat $X$ (kereta) dan $\theta$, tuliskanlah $L$. (b) Apa yang kekal, dan mengapa secara fisis? (c) Linearkanlah untuk $\theta$ kecil dan tunjukkanlah bahwa frekuensi osilasinya $\Omega = \sqrt{(1 + m/M)\,g/\ell}$. (d) Jelaskanlah limit $M \to
\infty$ dan $M \to 0$ — mengapa kereta yang ringan justru *menaikkan* frekuensinya?

**Solusi Latihan 1.7.**

(a) Bandulannya di $(X + \ell\sin\theta,\ -\ell\cos\theta)$:

$$
L = \tfrac12(M + m)\dot X^2 + m\ell\cos\theta\,\dot X\dot\theta
 + \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta .
$$

(b) $X$ siklik: $(M + m)\dot X + m\ell\cos\theta\,\dot\theta$ kekal — yaitu momentum mendatar seluruh sistemnya (relnya hanya mendorong ke arah tegak). (c) Untuk sudut kecil: $(M + m)\ddot X +
m\ell\ddot\theta = 0$ dan $\ell\ddot\theta + \ddot X + g\theta = 0$; dengan melenyapkan $\ddot X$, $\ell\ddot\theta\,[1 - m/(M + m)] = -g\theta$, sehingga $\Omega^2 = (M + m)g/M\ell = (1 + m/M)\,g/\ell$. (d) $M \to \infty$: porosnya tetap, $\Omega^2 = g/\ell$. Untuk $M$ kecil: keretanya terhentak berlawanan arah dengan bandulannya, dan ayunan poros terhadap bandulan terjadi di sekitar sebuah titik di antara keduanya (pusat massanya yang tetap), sehingga bandul efektifnya memendek — karena itulah frekuensinya lebih tinggi, dan membesar tanpa batas ketika $M \to 0$.

**Latihan 1.8 ★★.**

Sebuah partikel bermuatan $q$ dalam medan seragam $\vect B = B\vect e_z$, yang digambarkan oleh $\vect A = \tfrac12\vect B\wedge\vect r$. (a) Tuliskanlah $L$ dalam koordinat Kartesius. (b) Turunkanlah persamaan geraknya dan periksalah bahwa persamaan itu menggambarkan lingkaran siklotron pada $\omega_{\text{c}} = qB/m$. (c) Hitunglah momentum konjugat $p_x$, $p_y$: apakah keduanya $m\dot x$, $m\dot y$? Apakah keduanya kekal? (d) Tunjukkanlah bahwa $L$ yang dituliskan dalam koordinat silinder mempunyai $\varphi$ siklik, dan kenalilah $p_\varphi$ kekal untuk lingkaran yang berpusat pada sumbunya.

**Solusi Latihan 1.8.**

(a) $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$: $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qB(x\dot y -
y\dot x)$. (b) Persamaan untuk $x$: $\dd(m\dot x - \tfrac12 qBy)/\dd t =
\tfrac12 qB\dot y$, yakni $m\ddot x = qB\dot y$; serupa $m\ddot y =
-qB\dot x$: gerak melingkar pada $\omega_{\text{c}} = qB/m$, dengan $\dot z$ tetap. (c) $p_x = m\dot x - \tfrac12 qBy \neq m\dot x$; baik $x$ maupun $y$ tidak siklik ($\partial L/\partial x = \tfrac12 qB\dot y$), sehingga tak satu pun momentumnya kekal — hanya gabungan seperti $m\dot x -
qBy$ yang kekal (periksalah: turunannya lenyap). (d) Dalam koordinat silinder $A_\varphi = \tfrac12 Br$: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2) + \tfrac12
qBr^2\dot\varphi$; $\varphi$ siklik, $p_\varphi = mr^2\dot\varphi +
\tfrac12 qBr^2$. Pada lingkaran berjejari $R$ yang berpusat di sumbunya, $\dot\varphi = -\omega_{\text{c}}$, sehingga $p_\varphi = -qBR^2 + \tfrac12
qBR^2 = -\tfrac12 qBR^2$.

**Latihan 1.9 ★★.**

Untuk manik pada gelang yang berputar ([Contoh 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop)): (a) hitunglah [fungsi energi](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ dan periksalah kekekalannya lewat persamaan gerak; (b) hitunglah energi mekanik $E$ dan tunjukkanlah $E - h =
m\omega^2R^2\sin^2\theta$; (c) carilah daya yang diserahkan motornya sebagai fungsi $\theta$ dan $\dot\theta$; (d) carilah frekuensi [osilasi kecil](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) di sekitar kesetimbangan miringnya ketika $\omega^2 > g/R$, lalu tunjukkanlah bahwa frekuensi itu lenyap ketika $\omega^2 \to g/R$ — perlambatan yang menandakan terbelahnya sumur.

**Solusi Latihan 1.9.**

(a) $h = \dot\theta\,\partial L/\partial\dot\theta - L = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}$; $\dd h/\dd t =
\dot\theta\,[mR^2\ddot\theta + U_{\text{eff}}'(\theta)] = 0$ menurut persamaan geraknya. (b) $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12
m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = h +
m\omega^2R^2\sin^2\theta$. (c) $P = \dd E/\dd t =
m\omega^2R^2\sin2\theta\,\dot\theta$: positif selama maniknya memanjat menjauhi sumbu (motornya bekerja melawan kelembaman manik itu), negatif dalam perjalanan kembali. (d) $U_{\text{eff}}'' = mgR\cos\theta -
m\omega^2R^2\cos2\theta$; pada $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$ nilainya $m\omega^2R^2\sin^2\theta_{\text{eq}}$, sehingga $\omega_{\text{osc}} = \omega\sin\theta_{\text{eq}} = \omega\sqrt{1 -
(g/\omega^2R)^2} \to 0$ ketika $\omega^2 \to g/R$: gaya pemulihnya mendatar tepat ketika kedua sumurnya menyatu.

**Latihan 1.10 ★★★.**

Bandul ganda yang kedua bagiannya sama ($m_1 = m_2 = m$, $\ell_1 = \ell_2 = \ell$). (a) Tunjukkanlah bahwa untuk sudut kecil $L = \tfrac12 m\ell^2(2\dot\theta_1^2 +
2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(2
\theta_1^2 + \theta_2^2)$. (b) Tuliskanlah kedua persamaan geraknya. (c) Carilah frekuensi normalnya $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\,g/\ell$ dan bentuk tiap ragamnya ($\theta_2 = \pm\sqrt2\,\theta_1$). (d) Pada amplitudo besar sistem ini menjadi contoh baku kekacauan: jelaskanlah dalam beberapa baris apa yang meruntuhkan analisis sudut kecil, dan mengapa tak ada hukum kekekalan yang hilang.

**Solusi Latihan 1.10.**

(a) Kedudukannya $x_2 = \ell(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$, dan seterusnya; dengan mempertahankan suku kuadratik, suku kecepatan silangnya adalah $m\ell^2\dot\theta_1\dot\theta_2$, yang memberikan $L$ seperti dinyatakan. (b) Persamaan geraknya adalah $2\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -2\omega_0^2\theta_1$ dan $\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -\omega_0^2\theta_2$, dengan $\omega_0^2 = g/\ell$. (c) Memasukkan $\theta_i = a_i\cos\Omega t$: $\det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\Omega^2 & -\Omega^2\\ -\Omega^2 &
\omega_0^2 - \Omega^2\end{pmatrix} = \Omega^4 - 4\omega_0^2\Omega^2 +
2\omega_0^4 = 0$, sehingga $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\omega_0^2$; baris keduanya memberikan $a_2/a_1 = \Omega^2/(\omega_0^2 - \Omega^2) =
\pm\sqrt2$: kedua bandulan searah (ragam lambat), kedua bandulan berlawanan (ragam cepat). (d) Pada amplitudo besar, kopling $\sin$ dan $\cos$ membuat persamaannya taklinear; penyelesaiannya tak lagi dapat disuperposisikan, dan syarat awal yang berdekatan memisah secara eksponensial (kekacauan). Energinya tetap kekal secara persis — $L$ tidak memuat waktu secara eksplisit — kekacauan berbicara tentang keterramalan, bukan tentang kekekalan.

**Latihan 1.11 ★★★.**

*Brakistokron.* Sebuah manik meluncur tanpa gesekan dari keadaan diam di titik asal, menuruni kurva $y(x)$ ($y$ ke bawah) menuju titik $(a, b)$. (a) Dengan kekekalan energi, tunjukkanlah bahwa waktu turunnya adalah $T =
\int_0^a\sqrt{(1 + y'^2)/2gy}\,\dd x$ — sebuah fungsional, dengan $x$ berperan sebagai waktu. (b) Integrannya $F(y, y')$ tidak memuat $x$ secara eksplisit: tunjukkanlah bahwa $h = y'\,\partial F/\partial y' - F$ tetap sepanjang kurva optimalnya (perhitungan yang sama seperti [Proposisi 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (c) Simpulkanlah $y(1 + y'^2) =
2r$ untuk suatu tetapan $r$, dan periksalah bahwa sikloid $x = r(\phi -
\sin\phi)$, $y = r(1 - \cos\phi)$ memenuhinya. (d) Tunjukkanlah bahwa turunnya manik ke dasar satu lengkung memakan waktu $\pi\sqrt{r/g}$, lalu bandingkanlah dengan peluncur lurus ke titik yang sama.

**Solusi Latihan 1.11.**

(a) $v = \sqrt{2gy}$ dan $\dd s = \sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ memberikan fungsionalnya. (b) Perhitungan pada [Proposisi 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) dengan $x$ sebagai waktu: $\dd
h/\dd x = -\partial F/\partial x = 0$. (c) $h = -1/\sqrt{2gy(1 +
y'^2)}$, sehingga $y(1 + y'^2) = 2r$. Untuk sikloidnya, $y' =
\sin\phi/(1 - \cos\phi)$ dan $1 + y'^2 = 2/(1 - \cos\phi)$, jadi $y(1 + y'^2) = 2r$. (d) $\dd t = \dd s/v = \sqrt{r/g}\,\dd\phi$ (seluruh kebergantungan pada $\phi$ saling meniadakan), sehingga dasarnya ($\phi = \pi$) tercapai dalam $\pi\sqrt{r/g}$ — berapa pun titik awalnya: sikloid sekaligus tautokron. Peluncur lurus menuju $(\pi r, 2r)$ memakan $\sqrt{\pi^2
+ 4}\,\sqrt{r/g} \approx 3.72\sqrt{r/g}$, sekitar $18\%$ lebih lama daripada $\pi\sqrt{r/g}$.

**Latihan 1.12 ★★★.**

*Fermat sebagai [aksi terkecil](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange).* Cahaya dalam medium berindeks $n(y)$ menempuh perjalanan antara dua titik dalam waktu terkecil (jilid Tahun 2). (a) Tunjukkanlah bahwa waktu tempuh sepanjang $y(x)$ adalah $T = \tfrac1c\int n(y)\sqrt{1 +
y'^2}\,\dd x$. (b) Karena integrannya tidak memuat $x$ secara eksplisit, pakailah $h$ kekal dari latihan sebelumnya untuk menunjukkan $n(y)\big/\sqrt{1 +
y'^2} = \text{const}$, dan periksalah bahwa ini adalah hukum Snellius $n\sin i =
\text{const}$ bagi sinar yang diukur dari arah tegak. (c) Di atas jalan yang panas indeksnya bertambah terhadap ketinggian sebagai $n(y) \approx n_0(1 + \beta y)$; tunjukkanlah bahwa sinar yang hampir mendatar membelok dengan jari-jari kelengkungan $R \approx
1/\beta$. (d) Dengan $\beta = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$, dari jarak berapa seorang pengemudi yang matanya $1.2\,\mathrm{m}$ di atas jalan melihat fatamorgana “air” di atasnya?

**Solusi Latihan 1.12.**

(a) $\dd t = \dd s/(c/n)$. (b) $h = -n(y)/\sqrt{1 + y'^2}$ kekal; $1/\sqrt{1 + y'^2} = \cos\theta$ ($\theta$ adalah sudut kemiringannya) $= \sin i$ untuk $i$ yang diukur dari arah tegak: $n\sin i = \text{const}$ — hukum Snellius, yang diterapkan secara sinambung. (c) Untuk sinar yang hampir mendatar, $n\cos\theta \approx \text{const}$ dengan $\theta$ kecil memberikan $\theta\,\dd\theta = \dd n/n \approx \beta\,\dd y$; karena $\dd y =
\theta\,\dd x$, kelengkungannya adalah $\dd\theta/\dd x = \beta$, yakni $R =
1/\beta \approx 83\,\mathrm{km}$, dengan pembelokan *ke atas* (menuju $n$ yang lebih besar). (d) Sinar dari mata, yang menyinggung jalan setelah melengkung dengan jari-jari $R$, menyentuhnya pada $d = \sqrt{2hR} = \sqrt{2 \times 1.2 \times
8.3e4} \approx 450\,\mathrm{m}$: di luar jarak itu jalannya sendiri tidak terlihat — yang tampak adalah langit yang dibiaskan ke atas, “air” yang berkilauan.

![Bandul Foucault di Panteon, Paris. Koordinat rampatan, sebuah kendala, dan kerangka yang berputar perlahan: rotasi ruangannya muncul dalam persamaan geraknya — dan pergeseran bidang ayunnya memungkinkan sebuah ruang bawah tanah mengukur putaran Bumi. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-d1d827b23d7c.jpg)

*Bandul Foucault di Panteon, Paris. [Koordinat rampatan](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates), sebuah [kendala](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates), dan kerangka yang berputar perlahan: rotasi ruangannya muncul dalam persamaan geraknya — dan pergeseran bidang ayunnya memungkinkan sebuah ruang bawah tanah mengukur putaran Bumi. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.*

## 1.6 Soal: Sapu yang berdiri terbalik

**Soal 1.1.**

Soal akhir pekan — bandul terbalik Kapitza

Sebuah bandul tegar dapat berdiri mantap *di atas* porosnya jika porosnya digoyang naik-turun cukup cepat — penemuan yang dianalisis Kapitza pada 1951, cukup memukau hingga tampak seperti sulap, sekaligus asas yang dipakai medan listrik berosilasi untuk memerangkap ion tunggal. Bandulnya kita modelkan sebagai massa titik $m$ di ujung batang tegar tak bermassa sepanjang $\ell = 40\,\mathrm{cm}$; $\theta$ adalah sudut dari arah tegak *ke bawah*; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Bagian I — Bandul tegar.** Porosnya mula-mula ditahan tetap.

1. Tuliskanlah [Lagrangian](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) dan persamaan geraknya.
2. Berikanlah frekuensi $f_0$ [osilasi kecil](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) di sekitar $\theta =  0$ , beserta nilainya.
3. Tunjukkanlah bahwa di sini $h = E$ , lalu pakailah kekekalannya untuk mencari kelajuan lontar minimum bandulannya, di titik terbawah, yang membawanya sampai ke puncak.
4. Linearkanlah persamaannya di dekat $\theta = \pi$ (ambil $\theta = \pi +  \epsilon$ ) dan tunjukkanlah $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : seberapa cepat kemiringan awal sebesar satu milideraja tumbuh? Berikanlah waktu yang diperlukannya untuk tumbuh sebesar faktor $e$ .
5. Sapu yang diseimbangkan di ujung jari jatuh dalam waktu sekitar satu sekon, namun tak pernah berdiri sendiri: nyatakanlah dalam satu kalimat apa yang dikatakan persamaan terlinearkan itu tentang kesetimbangan $\theta = \pi$ .

**Bagian II — Menggoyang porosnya.** Porosnya kini berosilasi tegak, dengan ketinggian $y_{\text{s}}(t) =
a\cos\Omega t$ dan $a = 2.0\,\mathrm{cm}$, sedangkan $\Omega$ dapat diatur.

6. Tuliskanlah koordinat bandulannya dan tunjukkanlah $\vect v^{\,2} = \ell^2\dot\theta^2 -  2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta +  a^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ .
7. Tunjukkanlah bahwa dua [Lagrangian](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) yang berbeda sebesar suatu turunan waktu total $\dd F(q,t)/\dd t$ memberikan [persamaan Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) yang sama.
8. Dengan kebebasan itu, sederhanakanlah [Lagrangiannya](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) menjadi $L = \tfrac12 m  \ell^2\dot\theta^2 - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta +  mg\ell\cos\theta$ . (Petunjuk: $\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ bergabung dengan suku $\cos(\Omega t)\cos\theta$ menjadi sebuah turunan total; suku yang hanya memuat $t$ boleh dibuang.)
9. Turunkanlah persamaan geraknya $$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta  + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos(\Omega t)\sin\theta .$$ Tafsirkanlah suku keduanya sebagai berat yang digantikan oleh $g +  \ddot y_{\text{s}}$: bandulnya hidup di dalam lift.
10. Apakah [fungsi energi](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ masih kekal sekarang? Apakah energinya kekal? Apa yang memompa energi masuk dan keluar?
11. Dalam rezim Kapitza $a \ll \ell$ dan $\Omega \gg \omega_0 =  \sqrt{g/\ell}$ : periksalah keduanya untuk $a = 2\,\mathrm{cm}$ , $\ell =  40\,\mathrm{cm}$ , $\Omega/2\pi = 40\,\mathrm{Hz}$ , lalu jelaskanlah secara fisis mengapa bandulannya kemudian tak dapat mengikuti goyangan itu.

**Bagian III — Memisahkan yang cepat dari yang lambat.** Carilah geraknya dalam bentuk $\theta(t) = \Theta(t) + \xi(t)$: hanyutan lambat $\Theta$ ditambah riak kecil $\xi$ pada frekuensi goyangannya.

12. Dengan mempertahankan hanya suku terbesar di tiap ruas, tunjukkanlah bahwa riaknya memenuhi $\ddot\xi \approx +(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)  \sin\Theta$ , dengan $\Theta$ dibekukan pada skala waktu goyangan.
13. Simpulkanlah $\xi(t) = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ , lalu periksalah bahwa amplitudonya kecil, berorde $a/\ell$ .
14. Jabarkanlah $\sin\theta = \sin(\Theta + \xi)$ sampai orde pertama dalam $\xi$ lalu masukkanlah ke persamaan geraknya.
15. Rata-ratakanlah atas satu periode goyangan, dengan $\Theta$ ditahan tetap: dengan $\langle\cos\Omega t\rangle = 0$ dan $\langle\cos^2\Omega t\rangle = \tfrac12$, tunjukkanlah $$\ddot\Theta = -\frac{g}{\ell}\sin\Theta  - \frac{a^2\Omega^2}{2\ell^2}\sin\Theta\cos\Theta .$$
16. Tunjukkanlah bahwa ini adalah gerak dalam potensial efektif $$U_{\text{eff}}(\Theta) = mg\ell\Big({-\cos\Theta}  + \frac{a^2\Omega^2}{4g\ell}\sin^2\Theta\Big) .$$
17. Bandingkanlah dengan manik pada gelang yang berputar ( [Contoh 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) ): matematikanya sama, tanda suku barunya berlawanan — apa yang dilakukan goyangan itu terhadap kesetimbangan *terbawah* , yang tidak dilakukan rotasi tadi?
18. Sketsalah $U_{\text{eff}}$ untuk goyangan lambat dan untuk goyangan cepat, lalu uraikanlah setiap kesetimbangan beserta kemantapannya pada masing-masing kasus.

**Bagian IV — Sapunya berdiri.**

19. Dengan menjabarkan $U_{\text{eff}}$ di dekat $\Theta = \pi$, tunjukkanlah bahwa kedudukan terbaliknya mantap tepat ketika $$a^2\Omega^2 > 2g\ell .$$
20. Hitunglah frekuensi goyangan kritis $f_{\text{c}} =  \Omega_{\text{c}}/2\pi$ bagi bandul kita, serta kelajuan puncak porosnya $a\Omega_{\text{c}}$ dan percepatan $a\Omega_{\text{c}}^2$ (dalam satuan $g$ ) yang dituntutnya.
21. Pada $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , carilah frekuensi ayunan lambat bandul yang berdiri itu di sekitar $\Theta = \pi$ , beserta nilainya; periksalah bahwa frekuensi itu memang lambat dibandingkan goyangannya.
22. Masih pada $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , berapakah amplitudo riak $\xi$ ketika $\Theta$ sedikit menyimpang dari $\pi$ , dalam derajat, untuk $a/\ell = 0.05$ ? Akankah sebuah foto membongkar sulapnya?
23. Seberapa jauh dari arah tegak sapunya boleh miring dan masih kembali? Tunjukkanlah bahwa sumur berdirinya membentang sepanjang $|\Theta - \pi| <  \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ , lalu hitunglah nilainya pada $\Omega =  2\Omega_{\text{c}}$ .
24. Seorang pemain sulap yang menyeimbangkan sapu di ujung jari yang diam juga menjaganya tetap tegak — lewat mekanisme yang sama sekali berbeda yang mana? Sebutkanlah ciri bandul Kapitza yang tidak memerlukan umpan balik.
25. Ringkaslah hasil bernama itu: poros yang digoyang dengan amplitudo $2\,\mathrm{cm}$ pada $45\,\mathrm{Hz}$ — dua kali frekuensi kritisnya — menahan bandul sepanjang $40\,\mathrm{cm}$ dalam keadaan terbalik, di dalam sumur yang mencapai sekitar $75^\circ$ dari arah tegak, sambil berayun lembut pada sekitar $1.4\,\mathrm{Hz}$ . Di bagian fisika manakah perangkap rata-rata yang sama dipakai untuk menahan satu partikel bermuatan?

**Solusi Soal 1.1.**

**1.** $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$; $\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta$. **2.** $f_0 = \sqrt{g/\ell}/2\pi = 0.79\,\mathrm{Hz}$. **3.** Gantungannya tetap, sehingga $h = E = \tfrac12
m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$; dari dasar ke puncak $\tfrac12
mv^2 = 2mg\ell$: $v = 2\sqrt{g\ell} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **4.** $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$: $\epsilon \propto
\eu^{t/\tau}$ dengan $\tau = \sqrt{\ell/g} = 0.20\,\mathrm{s}$. **5.** Kesetimbangan terbaliknya ada, tetapi goyah secara eksponensial: kemiringan sekecil apa pun berlipat $e$ setiap $0.2\,\mathrm{s}$. **6.** Bandulannya di $(\ell\sin\theta,\ a\cos\Omega t - \ell\cos\theta)$; turunkan lalu kuadratkan: diperoleh $\vect v^{\,2}$ seperti dinyatakan, dengan suku silang $-2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$. **7.** Jika $L' = L + \dd F(q,t)/\dd t$, [aksinya](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) berubah sebesar $F(q_2, t_2) - F(q_1, t_1)$, yang tetap terhadap variasi dengan ujung tetap: lintasan stasionernya sama, persamaannya pun sama. **8.** Suku silangnya adalah $-ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,
\dot\theta = \dd[ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\cos\theta]/\dd t -
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta$; dengan membuang turunan totalnya dan suku yang hanya memuat $t$ ($\tfrac12 ma^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ dan $-mga\cos\Omega t$) tersisalah $L$ seperti dinyatakan. **9.** $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta +
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\sin\theta$. Karena $\ddot y_{\text{s}} =
-a\Omega^2\cos\Omega t$, ini adalah $\ddot\theta =
-[(g + \ddot y_{\text{s}})/\ell]\sin\theta$: dalam kerangka porosnya, gravitasi semunya berosilasi. **10.** $L$ kini bergantung secara eksplisit pada $t$: $h$ tidak kekal, begitu pula $E$ — penggoyangnya memasok dan menarik kembali energi lewat porosnya. **11.** $a/\ell = 0.05$; $\Omega = 251\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ berbanding $\omega_0 = 4.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: nisbahnya $51$. Dalam satu periode goyangan ($25\,\mathrm{ms}$) gravitasi hampir tidak mengubah $\dot\theta$: bandulannya terlalu lamban untuk mengikutinya, dan hanya bergetar kecil. **12.** $\ddot\xi$ adalah turunan terbesar ($\propto\Omega^2$) dan goyangannya suku gaya terbesar: $\ddot\xi =
(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$. **13.** Mengintegralkan dua kali pada $\Theta$ tetap: $\xi =
-(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$, dengan amplitudo paling besar $a/\ell =
0.05$: getaran sebesar dua derajat. **14.** $\sin\theta \approx \sin\Theta + \xi\cos\Theta$, sehingga

$$
\ddot\Theta + \ddot\xi = -\frac{g}{\ell}(\sin\Theta + \xi\cos\Theta)
 + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos\Omega t\,(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) .
$$

**15.** Setelah dirata-ratakan, $\ddot\xi$ lenyap, dan $\langle\cos\Omega t\rangle$ dan $\langle\xi\rangle$ pun lenyap; suku silang yang bertahan adalah $(a\Omega^2/\ell)\cos\Theta\,\langle\xi\cos\Omega t\rangle =
-(a^2\Omega^2/2\ell^2)\sin\Theta\cos\Theta$, yang memberikan persamaan untuk $\Theta$ seperti dinyatakan. **16.** $\ddot\Theta = -(1/m\ell^2)\,U_{\text{eff}}'(\Theta)$ dengan $U_{\text{eff}} = mg\ell[-\cos\Theta + (a^2\Omega^2/4g\ell)
\sin^2\Theta]$ — turunkanlah untuk memeriksanya. **17.** Suku $\sin^2$ yang sama seperti pada gelangnya, tetapi bertanda *berlawanan*: rotasi menggali sumur di kedua sisi dan hanya dapat mendatarkan dasarnya; goyangan tegak justru memperkokoh sumur dasarnya dan menggali sumur baru di *puncak*. **18.** Goyangan lambat ($a^2\Omega^2 < 2g\ell$): minimum di $\Theta =
0$, maksimum di $\pi$ — tak ada yang baru. Goyangan cepat: minimum di $0$ *dan* di $\pi$, dipisahkan oleh maksimum di $\cos\Theta^* =
-2g\ell/a^2\Omega^2$; baik bandul yang menggantung maupun yang berdiri berosilasi secara mantap. **19.** Di dekat $\pi$, dengan $\Theta = \pi + \epsilon$: $\ddot\epsilon = [g/\ell - a^2\Omega^2/2\ell^2]\,\epsilon$; kemantapan menuntut kurungnya negatif: $a^2\Omega^2 > 2g\ell$. **20.** $\Omega_{\text{c}} = \sqrt{2g\ell}/a = 140\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $f_{\text{c}} = 22\,\mathrm{Hz}$; kelajuan puncaknya $a\Omega_{\text{c}} =
2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, percepatan puncaknya $a\Omega_{\text{c}}^2 =
392\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 40g$. **21.** $\omega_{\text{lambat}} = \sqrt{a^2\Omega^2/2\ell^2 -
g/\ell}$; pada $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$, $a^2\Omega^2 = 8g\ell$ sehingga $\omega_{\text{lambat}} = \sqrt{3g/\ell} = 8.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $1.4\,\mathrm{Hz}$, tiga puluh kali lebih lambat daripada goyangan $45\,\mathrm{Hz}$. **22.** $\xi_{\max} = (a/\ell)\sin\Theta$: pada kemiringan $10^\circ$ dari arah tegak, $\xi_{\max} = 0.05\sin170^\circ = 8.7\,\mathrm{mrad}
\approx 0.5^\circ$ — sebuah foto biasa memperlihatkan sapu yang berdiri diam. **23.** Sumur berdirinya mencapai maksimum yang mengapitnya: $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$; pada $\Omega =
2\Omega_{\text{c}}$, $\arccos\tfrac14 = 75^\circ$ — sumur yang luar biasa pemaaf. **24.** Pemain sulapnya memakai umpan balik: matanya mengukur kemiringan, tangannya bergerak menyamping untuk meniadakannya. Pemantapan Kapitza bersifat lingkar terbuka — goyangannya tidak pernah tahu di mana bandulnya berada. **25.** Digoyang pada $45\,\mathrm{Hz}$ dengan amplitudo $2\,\mathrm{cm}$, bandul $40\,\mathrm{cm}$ itu berdiri terbalik dalam sumur $75^\circ$, sambil berayun pada $1.4\,\mathrm{Hz}$. Potensial efektif rata-rata waktu yang sama, dibuat dengan medan kuadrupol listrik berosilasi alih-alih poros yang digoyang, mengurung ion tunggal dalam perangkap Paul — tulang punggung jam atom dan komputasi kuantum ion terperangkap.