---
title: "Momentum Sudut Kuantum"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/10-momentum-sudut-kuantum
---

# Bab 10 — Momentum Sudut Kuantum

Arahkanlah teleskop radio ke sepetak langit yang gelap lalu talalah pada $115\,\mathrm{GHz}$: muncul sebuah garis terang setajam jarum — yakni molekul karbon monoksida, sepuluh kelvin di atas nol mutlak, yang menuruni satu anak tangga dari tangga keadaan *rotasi*. Jungkir baliknya, seperti segala sesuatu yang berputar dalam mekanika kuantum, terkuantumkan dua kali: besar momentum sudutnya hanya boleh $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$, dan komponennya sepanjang sumbu mana pun yang dipilih hanya boleh $m\hbar$. Bab ini menurunkan kuantisasi ganda itu — sekali secara aljabar, dari [komutator](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-commutator) yang diwarisi dari [kurung Poisson](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/2-mekanika-hamilton#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) pada [Bab 2](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/2-mekanika-hamilton#ch-b3-hamiltonian-mechanics), dan sekali secara nyata, sebagai [harmonik bola](#prop-b3-quantum-angular-momentum-harmonics) yang membentuk tiap orbital atom. Aljabarnya akan menyerahkan lebih daripada yang kita minta: ia mengizinkan nilai setengah bulat yang tak dapat diwujudkan gerak orbital mana pun, sebuah kekosongan yang diisi alam dua bab dari sini dengan spin. Di perjalanannya kita bertemu tangga rotasi molekul — garis gelombang milimeter yang dipakai para astronom untuk menimbang gas dingin galaksi — dan momen magnetik yang lewatnya momentum sudut pertama kali menampakkan diri dalam keadaan terbelah.

## 10.1 Aljabar rotasi

**Definisi 10.1 (Operator momentum sudut).**

Momentum sudut orbital adalah operator $\hat{\vect L} =
\hat{\vect r}\wedge\hat{\vect p}$, dengan komponen $\hat L_z = \hat
x\hat p_y - \hat y\hat p_x$ beserta pasangan sikliknya. Dari $[\hat x, \hat p_x] =
\iu\hbar$:

$$
[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\,\hat L_z
\quad\text{(dan siklik)} , \qquad
[\hat L^2, \hat L_z] = 0 :
$$

komponennya saling tak serasi — tak ada keadaan yang mempunyai dua di antaranya tajam — tetapi kuadrat totalnya serasi dengan salah satu di antaranya: pasangan $(\hat L^2, \hat L_z)$ adalah pilihan baku bagi labelnya. [Komutator](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-commutator) ini tepat $\iu\hbar$ kali [kurung Poisson](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/2-mekanika-hamilton#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) yang dihitung dalam [Contoh 2.12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/2-mekanika-hamilton#ex-b3-hamiltonian-mechanics-brackets): yakni kamus Dirac yang sedang bekerja.

**Teorema 10.2 (Spektrumnya, hanya dari aljabarnya).**

Misalkan $\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$ adalah tiga [operator Hermitian](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) *sembarang* yang memenuhi hubungan komutasi di atas. Maka [nilai eigen](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) bersama $(\hat J^2, \hat J_z)$ adalah

$$
\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2 , \qquad
\hat J_z:\ m\hbar , \quad m = -j, -j+1, \dots, +j ,
$$

dengan $j$ adalah *bilangan bulat atau setengah bulat* yang tak negatif: ada $2j + 1$ nilai $m$ untuk tiap $j$. [Operator tangga](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) $\hat J_\pm = \hat
J_x \pm \iu\hat J_y$ melangkahkan $m$ sebesar $\pm1$ pada $j$ tetap:

$$
\hat J_\pm\ket{j,m} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1} .
$$

**Bukti sebagian.** $[\hat J_z, \hat J_\pm] = \pm\hbar\hat J_\pm$: mengenakan $\hat
J_\pm$ menggeser [nilai eigen](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat J_z$ sebesar $\pm\hbar$, pada $\hat J^2$ tetap (yang berkomutasi dengan segala yang dibangun dari $\hat
J_i$). Normanya $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \hbar^2[j(j+1) -
m(m\pm1)]$ (yang dihitung dari $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat
J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$) harus tetap tak negatif: tangganya karena itu harus berhenti di atas pada suatu $m_{\max}$ dengan $m_{\max}(m_{\max}+1) =
j(j+1)$, yakni $m_{\max} = j$, dan di bawah pada $m_{\min} = -j$. Memanjat dari $-j$ ke $+j$ dalam langkah satuan memaksa $2j$ menjadi bilangan bulat tak negatif. Penulisan [nilai eigennya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) $j(j+1)\hbar^2$ dengan demikian dibenarkan setelah kejadiannya. ∎

**Catatan 10.3 (Sebuah kekosongan dalam katalognya).**

Aljabarnya mengizinkan $j = \tfrac12, \tfrac32, \dots$ — yakni tangga dengan anak tangga berjumlah genap. Gerak orbital, seperti akan kita tunjukkan berikut ini, hanya memakai bilangan bulat. Namun alam tak membuang apa pun: elektron itu sendiri membawa $j = \tfrac12$, tanpa orbit di belakangnya ([Bab 12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/12-spin-dan-sistem-dua-aras#ch-b3-spin-two-level)); aljabar yang diturunkan di sini, tanpa perubahan, akan menjalankan kemagnetan atom, spin inti dan kubit.

## 10.2 Momentum sudut orbital: harmonik bola

**Proposisi 10.4 (Harmonik bola).**

Dalam koordinat bola $\hat L_z = -\iu\hbar\,\partial_\varphi$, dan fungsi eigen bersama $(\hat L^2, \hat L_z)$ pada bolanya adalah *[harmonik bola](#prop-b3-quantum-angular-momentum-harmonics)* $Y_l^m(\theta, \varphi)$:

$$
\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m , \qquad
\hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m ,
$$

dengan $l = 0, 1, 2, \dots$ *bilangan bulat* — ketunggalan nilai $\eu^{\iu m\varphi}$ memaksa $m$ bulat, sehingga $l$ pun bulat. Beberapa yang pertama, kecuali penormalannya: $Y_0^0 = \text{const}$ (bentuk $s$, sebuah bola); $Y_1^0 \propto \cos\theta$ dan $Y_1^{\pm1}
\propto \sin\theta\,\eu^{\pm\iu\varphi}$ (bentuk $p$, dua cuping); $Y_2^0 \propto 3\cos^2\theta - 1$ beserta pasangannya (keluarga $d$). Paritasnya: $Y_l^m(-\vect r$ arah$) = (-1)^l\,Y_l^m$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Diagram polar |Y_lm( )| (penampang pada bidang yang memuat sumbu z; bentuk lengkapnya adalah benda putarnya). Kerangka sudut ini, yang tak bergantung pada potensial apa pun, akan mendandani tiap atom dalam .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-b9aba673766e.svg)

*Diagram polar $|Y_l^m(\theta)|$ (penampang pada bidang yang memuat sumbu $z$; bentuk lengkapnya adalah benda putarnya). Kerangka sudut ini, yang tak bergantung pada potensial apa pun, akan mendandani tiap atom dalam [Bab 11](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/11-atom-hidrogen#ch-b3-hydrogen-atom).*

**Contoh 10.5 (Rotor tegar dan tangganya).**

Molekul dwiatom yang berjungkir balik dengan momen kelembaman $I$ mempunyai $\hat H
= \hat L^2/2I$: energinya

$$
E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1) = B\,J(J+1) ,
\qquad J = 0, 1, 2, \dots
$$

masing-masing berdegenerasi $(2J+1)$ kali. Serapan fotonnya memenuhi $\Delta J =
\pm1$, sehingga frekuensi serapannya $\nu_{J+1\leftarrow J} =
2B(J+1)/h$: sebuah sisir garis yang *berjarak sama* — yakni ciri yang membuat spektrum rotasi dikenali dengan sekali pandang. Untuk karbon monoksida, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$: garis dasarnya jatuh pada $115\,\mathrm{GHz}$ ($\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$), yakni garis andalan astronomi radio milimeter ([Soal 10.1](#pb-b3-quantum-angular-momentum-1)).

## 10.3 Potensial sentral, dilengkapi

**Teorema 10.6 (Pemisahan dalam potensial sentral apa pun).**

Untuk $V(r)$, keadaan stasionernya dapat diambil sebagai

$$
\psi(\vect r) = \frac{u(r)}{r}\,Y_l^m(\theta, \varphi) ,
$$

dengan $u$ menyelesaikan [persamaan radial](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) satu dimensi

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + \Big[V(r) +
\frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2mr^2}\Big]u = E\,u , \qquad u(0) = 0 .
$$

Soal sudutnya diselesaikan sekali untuk selamanya oleh $Y_l^m$; tiap $l$ menambahkan *[penghalang sentrifugal](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial)* yang menolak $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ — yakni versi kuantum potensial efektif pada [Contoh 1.12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#ex-b3-lagrangian-mechanics-central) — dan tiap aras dengan $l$ tertentu berdegenerasi $(2l+1)$ kali, karena tak ada gaya sentral yang peduli pada arah sumbu $z$. Muslihat gelombang $s$ pada [Proposisi 7.8](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) adalah baris $l = 0$ teorema ini.

**Bukti sebagian.** Laplaciannya terbelah sebagai $\Delta = \tfrac1r\partial_r^2(r\,\cdot) -
\hat L^2/\hbar^2r^2$ (diterima tanpa bukti; itulah pernyataan bahwa $\hat L^2$ merupakan bagian sudut $-\hbar^2\Delta$). Masukkanlah $\psi = (u/r)Y_l^m$ lalu pakailah [nilai eigen](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat L^2$: diperolehlah persamaan yang dinyatakan itu. Degenerasinya menyusul karena $\hat H$ berkomutasi dengan ketiga $\hat
L_i$, yang [operator tangganya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) menggeser $m$ tanpa mengubah energinya. ∎

![Potensial radial efektif soal Coulomb: penghalang sentrifugal 2l(l+1)/2mr2 menembok titik asalnya untuk l 1. Hanya keadaan s yang menyentuh intinya — dengan akibat mulai dari spektrum atom sampai penangkapan elektron radioaktif.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-e90e9d47ee89.svg)

*Potensial radial efektif soal Coulomb: [penghalang sentrifugal](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial) $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ menembok titik asalnya untuk $l \ge 1$. Hanya keadaan $s$ yang menyentuh intinya — dengan akibat mulai dari spektrum atom sampai penangkapan elektron radioaktif.*

## 10.4 Momen magnetik: momentum sudut yang menjadi kasat mata

**Proposisi 10.7 (Momen magnetik orbital dan efek Zeeman).**

Sebuah partikel bermuatan $q$ dan bermassa $m$ dengan momentum sudut orbital $\hat{\vect L}$ membawa momen magnetik

$$
\hat{\vect\mu} = \frac{q}{2m}\,\hat{\vect L} ;
$$

untuk elektron, satuan wajarnya adalah *[magneton Bohr](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic)* $\mu_{\text{B}} = e\hbar/2m_{\text{e}} = 5.79 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ (bandingkanlah [Latihan 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-5)). Dalam medan $B\vect e_z$ energi $-\hat{\vect\mu}\cdot\vect B$ menggeser tiap arasnya sebesar $+m\,\mu_{\text{B}}B$ (muatan elektronnya negatif): sebuah aras dengan $l$ tertentu terbelah menjadi $2l + 1$ komponennya — yakni *[efek Zeeman](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic)*, peragaan langsung pertama kuantisasi $m$, sekaligus alasan $m$ disebut [bilangan kuantum magnetik](#thm-b3-quantum-angular-momentum-spectrum). Pada $B = 1\,\mathrm{T}$ pembelahannya $58\,\text{µ}\mathrm{eV}$: kecil dibandingkan energi optis, namun mudah dipilah sebagai pergeseran garis spektrum — dan, dibaca terbalik, ia sebuah magnetometer: pembelahan Zeeman garis sinar matahari memetakan medan magnet bintik matahari.

**Bukti sebagian.** Secara klasik, orbit sebuah muatan adalah lingkar arus: $\mu = IA = (qv/2\pi r)(\pi r^2) = qL/2m$; pernyataan operatornya mewarisinya (dan menyusul dari kopling $\hat{\vect A}$ pada [Proposisi 1.16](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#prop-b3-lagrangian-mechanics-charge)). Pergeseran energinya adalah teori gangguan orde pertama, yang dipratayangkan di sini dan dibenarkan dalam [Bab 13](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/13-teori-gangguan#ch-b3-perturbation-theory). ∎

![“Kuantisasi ruang” untuk l = 2: vektor momentum sudutnya berpanjang √l(l+1)\, = √6\, tetapi hanya dapat menawarkan kepada sumbu z kelima proyeksi m — tak pernah panjang penuhnya: karena komponennya tak serasi, L tak pernah dapat terletak tepat sepanjang sumbu mana pun.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-dd0eb4cbdad3.svg)

*“Kuantisasi ruang” untuk $l = 2$: vektor momentum sudutnya berpanjang $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt6\,\hbar$ tetapi hanya dapat menawarkan kepada sumbu $z$ kelima proyeksi $m\hbar$ — tak pernah panjang penuhnya: karena komponennya tak serasi, $\vect L$ tak pernah dapat terletak tepat sepanjang sumbu mana pun.*

**Metode 10.8 (Momentum sudut dalam praktik).**

(1) Labelilah keadaannya dengan $(l, m)$ — atau $(j, m)$ untuk aljabar abstraknya — dan jangan pernah menanyakan dua komponennya sekaligus. (2) Unsur matriksnya: pakailah rumus tangganya; $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat
L_-)/2$. (3) Potensial sentral: kutiplah $Y_l^m$, lalu selesaikanlah hanya [persamaan radialnya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) beserta [penghalang sentrifugalnya](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial). (4) Energi rotasinya: $BJ(J+1)$, dengan garis pada $2B(J+1)$ — tariklah $B$, sehingga diperoleh panjang ikatannya, dari jaraknya yang sama. (5) Pertanyaan magnetik: ubahlah momentum sudutnya menjadi momen sebesar $\mu_{\text{B}}$ tiap $\hbar$, dan energinya sebesar $\mu_{\text{B}}B$ tiap satuan $m$.

## 10.5 Latihan

**Latihan 10.1 ★.**

(a) Turunkanlah $[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\hat L_z$ dari [komutator](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-commutator) kanoniknya. (b) Tunjukkanlah $[\hat L^2, \hat L_z] = 0$. (c) Tunjukkanlah $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: apa yang dibangkitkan $\hat L_z$? (d) Mengapa ketiga komponennya tidak mempunyai basis eigen bersama — kecuali untuk satu keadaan tertentu (yang mana)?

**Solusi Latihan 10.1.**

(a) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat
p_z]$: hanya suku yang berbagi pasangan $\hat z, \hat p_z$ yang bertahan, sehingga memberikan $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$. (b) $[\hat
L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x,
\hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$: keempat sukunya saling meniadakan berpasangan. (c) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: $\hat L_z$ membangkitkan rotasi terhadap $z$ — baik pada operatornya maupun pada keadaannya. (d) Ketajaman bersama dua komponennya memaksa (lewat [komutatornya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-commutator)) ketajaman komponen ketiganya dengan nilai nol bagi ketiganya: hanya $l = 0$ yang mencapainya.

**Latihan 10.2 ★.**

Untuk $l = 1$, dalam basis $\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\}$: (a) tuliskanlah matriks $\hat L_z$; (b) pakailah rumus tangganya untuk menuliskan $\hat L_+$ dan $\hat L_-$; (c) susunlah $\hat L_x$ lalu periksalah bahwa [nilai eigennya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hbar, 0, -\hbar$; (d) keadaan dengan $L_x =
+\hbar$ diukur sepanjang $z$: berikanlah peluang ketiga hasilnya.

**Solusi Latihan 10.2.**

(a) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$. (b) $\hat L_+ =
\hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}$, dan $\hat L_-$ adalah transposnya. (c) $\hat L_x =
\dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0
\end{pmatrix}$: polinomial cirinya $\lambda(\lambda^2 -
\hbar^2)$. (d) Vektor eigen $L_x = +\hbar$ adalah $\tfrac12(1,
\sqrt2, 1)$: peluangnya $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ untuk $m =
+1, 0, -1$.

**Latihan 10.3 ★.**

Karbon monoksida: panjang ikatannya $0.113\,\mathrm{nm}$, massa tereduksinya $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. (a) Hitunglah $I$ dan $B = \hbar^2/2I$ dalam meV. (b) Berapa frekuensi dan panjang gelombang garis $J = 1 \leftarrow 0$? (c) Berapa dua garis berikutnya? (d) Seorang astronom mengukur jarak sisirnya sampai lima angka: besaran molekul apa yang diperolehnya, dan sampai ketelitian berapa?

**Solusi Latihan 10.3.**

(a) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $B = \hbar^2/2I =
3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$. (b) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$, $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$. (c) $231\,\mathrm{GHz}$ dan $346\,\mathrm{GHz}$. (d) Jaraknya memberikan $B$, sehingga $I = \mu r_0^2$: yakni panjang ikatan sebuah molekul bertahun-tahun cahaya jauhnya, sampai kira-kira separuh ketelitian nisbi jaraknya.

**Latihan 10.4 ★.**

Sebuah partikel berada dalam keadaan $l = 2$. (a) Daftarkanlah hasil yang mungkin dari pengukuran $L_z$. (b) Berapa sudut terkecil antara $\vect L$ dan sumbu $z$, dengan memakai $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$? (c) Mengapa sudutnya tak pernah dapat nol? (d) Tunjukkanlah bahwa sudut minimumnya menuju nol ketika $l \to \infty$: vektor klasiknya diperoleh kembali.

**Solusi Latihan 10.4.**

(a) $m\hbar$ dengan $m = -2 \dots 2$. (b) $\cos\theta = 2/\sqrt6$: $\theta = 35.3^\circ$. (c) Kesejajaran sempurna akan membuat $L_x = L_y
= 0$ tajam bersama $L_z$ — yang dilarang [komutatornya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-commutator) kecuali dalam kasus sepele $l = 0$. (d) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$: untuk $l$ besar kerucutnya menutup ke sumbunya dan anak panah klasiknya kembali.

**Latihan 10.5 ★★.**

Bagian sudut $-\hbar^2\Delta$ adalah $\hat L^2$, dengan

$$
\hat L^2 = -\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\theta
(\sin\theta\,\partial_\theta) +
\frac{1}{\sin^2\theta}\,\partial_\varphi^2\Big] .
$$

(a) Periksalah bahwa $Y_1^0 \propto \cos\theta$ mempunyai [nilai eigen](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat L^2$ sebesar $2\hbar^2$. (b) Periksalah $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\,
\eu^{\pm\iu\varphi}$ demikian pula, beserta [nilai eigen](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat L_z$-nya. (c) Periksalah paritasnya. (d) Mengapa $\braket{Y_1^0}{Y_1^1} = 0$ tanpa menghitung integral apa pun?

**Solusi Latihan 10.5.**

(a) Tanpa kebergantungan pada $\varphi$, operatornya memberikan $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta))
= 2\hbar^2\cos\theta$. (b) Perhitungan yang sama dengan faktor $\eu^{\pm\iu\varphi}$: [nilai eigennya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) $2\hbar^2$; $\hat L_z$ memberikan $\pm\hbar$. (c) $\cos\theta$ dan $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu
\varphi}$ berganti tanda di bawah $\vect r \to -\vect r$ ($\theta \to \pi
- \theta$, $\varphi \to \varphi + \pi$): paritasnya $-1 = (-1)^1$. (d) Keduanya vektor eigen $\hat L_z$ yang Hermitian dengan [nilai eigen](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) yang berbeda.

**Latihan 10.6 ★★.**

Garis rotasi manakah yang paling terang? Populasi aras $J$ adalah $\propto (2J+1)\,\eu^{-BJ(J+1)/k_{\text{B}}T}$. (a) Jelaskanlah kedua faktornya. (b) Tunjukkanlah bahwa maksimumnya terletak di dekat $J_{\max} \approx
\sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$. (c) Untuk CO pada $10\,\mathrm{K}$ (awan gelap) dan pada $300\,\mathrm{K}$: garis mana yang menguasainya? (d) Sebaliknya: tangga CO teramati yang memuncak pada $J = 7$ membocorkan suhu berapa?

**Solusi Latihan 10.6.**

(a) Sebanyak $2J + 1$ keadaan berbagi arasnya (degenerasinya); faktor Boltzmannnya memajaki energinya. (b) Maksimumkanlah hasil kalinya: $\dd/\dd J = 0$ memberikan $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$, yakni $J_{\max}$ yang dinyatakan itu. (c) Pada $10\,\mathrm{K}$: $J_{\max} \approx 0.8$, sehingga $J = 1$ menguasainya dan garis $115\,\mathrm{GHz}$ serta $230\,\mathrm{GHz}$ bersinar; pada $300\,\mathrm{K}$: $J_{\max} \approx 7$. (d) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/
k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — sebuah termometer rotasi.

**Latihan 10.7 ★★.**

[Efek Zeeman](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic) normal. Sebuah garis spektrum pada $500\,\mathrm{nm}$ berasal dari transisi $l = 2 \to l = 1$ dalam medan $B = 2\,\mathrm{T}$; abaikanlah spinnya (berlaku untuk keadaan “singlet” khusus). (a) Sketsalah aras yang terbelah itu. (b) Dengan kaidah pemilihan $\Delta m = 0, \pm1$, tunjukkanlah bahwa hanya *tiga* kedudukan garis yang muncul, pada $0, \pm\mu_{\text{B}}B/h$. (c) Hitunglah pembelahannya dalam GHz dan dalam pikometer panjang gelombang. (d) Sebagian besar garis nyata terbelah menjadi lebih dari tiga komponen (Zeeman “anomali”): bahan yang hilang apa, yang dibawa elektron itu sendiri, yang secara historis dibuktikannya?

**Solusi Latihan 10.7.**

(a) Aras atasnya terbelah menjadi lima, aras bawahnya menjadi tiga, semuanya dengan jarak yang sama $\mu_{\text{B}}B$. (b) Dengan jarak yang sama, $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ dan $\Delta m \in \{0,
\pm1\}$: hanya tiga kedudukan. (c) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$, sehingga pada $B = 2\,\mathrm{T}$ pembelahannya $28\,\mathrm{GHz}$, yakni $\Delta\lambda =
\lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — dapat dipilah sejak kisi difraksi Zeeman pada 1896. (d) Spin elektron itu sendiri, dengan faktor anomalinya $g \approx
2$: pola “anomali” itu adalah sidik jari spin sebelum spin diberi nama ([Bab 12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/12-spin-dan-sistem-dua-aras#ch-b3-spin-two-level)).

**Latihan 10.8 ★★.**

Dinding sentrifugal. Untuk hidrogen ($V = -e^2/4\pi\varepsilon_0r$), tuliskanlah $U_{\text{eff}}$ untuk $l = 1$ dalam satuan $E_{\text{I}}$ dan $a_0$. (a) Tentukanlah minimumnya beserta nilainya. (b) Tunjukkanlah $U_{\text{eff}} >
0$ untuk $r < \dots$ — carilah jejari yang di dalamnya penghalangnya menguasai. (c) Bandingkanlah $|\psi|^2$ di dekat $r = 0$ untuk keadaan $s$ dan $p$ ($u \sim r^{l+1}$, diterima tanpa bukti): keadaan mana yang “menyentuh” intinya? (d) Penangkapan elektron — sebuah inti yang menelan salah satu elektron atomnya — berlangsung nyaris seluruhnya dari kulit $s$: jelaskanlah dalam satu kalimat.

**Solusi Latihan 10.8.**

Dalam satuan yang dinyatakan itu $U_{\text{eff}} = -2/x + l(l+1)/x^2$. (a) Untuk $l = 1$: minimumnya pada $x = 2$ ($r = 2a_0$), dengan kedalaman $-E_{\text{I}}/2$. (b) $U_{\text{eff}} > 0$ untuk $x < 1$: di dalam satu jejari Bohr dindingnya menang. (c) $\psi \sim r^l$ di dekat titik asalnya: hanya keadaan $l = 0$ yang berkerapatan tak nol pada $r = 0$. (d) Menangkap sebuah elektron menuntut kerapatan elektron *tepat pada* intinya: elektron $s$-lah, yang sendirian tak terhalang dinding sentrifugalnya, yang tertelan.

**Latihan 10.9 ★★.**

Pada $\ket{l, m}$: (a) tunjukkanlah $\langle\hat L_x\rangle = \langle\hat
L_y\rangle = 0$; (b) tunjukkanlah $\langle\hat L_x^2\rangle = \langle\hat
L_y^2\rangle = \tfrac12[l(l+1) - m^2]\hbar^2$; (c) periksalah [hubungan ketaktentuan](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty) $\Delta L_x\,\Delta L_y \ge \tfrac\hbar2
|\langle\hat L_z\rangle|$ pada keadaan teregang $m = l$; (d) tafsirkanlah gambaran “kerucut” pada gambarnya dalam terang (a) dan (b).

**Solusi Latihan 10.9.**

(a) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ mengubah $m$: unsur diagonalnya lenyap. (b) Menurut simetrinya kedua kuadrat melintangnya sama, dan jumlahnya adalah $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$. (c) Pada $m = l$: $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2
\,l\hbar$: kesamaannya tercapai — keadaan teregangnya sesejajar yang diizinkan aljabarnya. (d) Kerucutnya: $L_z$ tajam, rata-rata melintangnya lenyap, rentang melintangnya sama — yakni vektor berpanjang dan berproyeksi tertentu, yang terkabur merata pada azimutnya.

**Latihan 10.10 ★★★.**

Pita getaran–rotasi. Sebuah transisi getaran inframerah ($\hbar\omega_0$) sebuah molekul dwiatom mengubah $J$ sebesar $\pm1$ secara serentak. (a) Tunjukkanlah bahwa garis serapannya jatuh pada $h\nu =
\hbar\omega_0 + 2B(J+1)$ (cabang $R$, dari $J \to J+1$) dan $h\nu = \hbar\omega_0 - 2BJ$ (cabang $P$, $J \to J-1$), $J \ge
1$. (b) Mengapa ada *celah* tepat pada $\hbar\omega_0$? (c) Sketsalah pitanya: dua sisir yang mengapit satu garis pusat yang hilang, dengan kekuatan tiap garisnya mengikuti [Latihan 10.6](#exo-b3-quantum-angular-momentum-6). (d) Pita $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada [Soal 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#pb-b3-harmonic-oscillator-1) mempunyai anatomi persis seperti ini: apa yang menetapkan lebar keseluruhannya, dan karenanya “sayap” yang membuat karbon dioksida tambahan berdaya guna?

**Solusi Latihan 10.10.**

(a) Pembukuan energi dengan $E_J = BJ(J+1)$: $J \to J + 1$ menambahkan $2B(J+1)$; $J \to J - 1$ mengurangi $2BJ$. (b) $\Delta J = 0$ terlarang, dan kedua cabangnya bermula pada $\pm 2B$: tak ada yang jatuh pada frekuensi getaran murninya. (c) Dua sisir berjarak $2B$ yang mengapit sebuah celah, dengan keterangannya naik sampai $J_{\max}$ lalu turun. (d) Lebar pitanya adalah rentang sisirnya yang terisi, yang tumbuh sebagai $\sqrt{T}$: sayap yang terisi secara termal itulah tempat pita rumah kaca yang jenuh tetap menyerap.

**Latihan 10.11 ★★★.**

Menuntaskan aljabarnya. (a) Dari $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 -
\hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$, hitunglah $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2$ beserta koefisien tangganya. (b) Tunjukkanlah bahwa jika tangganya gagal berhenti, suatu norma akan menjadi negatif: tunjukkanlah keadaan yang melanggarnya. (c) Simpulkanlah bahwa $m_{\max} - m_{\min} = 2j$ haruslah bilangan bulat tak negatif lalu daftarkanlah $j$ yang diizinkan. (d) Di manakah tepatnya argumen itu *gagal* menyingkirkan nilai setengah bulat — dan syarat tambahan yang mana (ketunggalan nilai pada bolanya) yang menyingkirkannya hanya bagi gerak orbital?

**Solusi Latihan 10.11.**

(a) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm
\ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$. (b) Memanjat melewati $m = j$ akan memberikan $j(j+1) - j(j+1) = 0$ lalu norma negatif satu langkah berikutnya: rantainya harus memuat keadaan puncak yang termusnahkan. (c) Puncak dan dasarnya berbeda sebanyak bilangan bulat langkah satuan: $2j \in
\mathbb N$: $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (d) Aljabarnya sama sekali tidak memakai fungsi gelombang; hanya tuntutan agar $\eu^{\iu m\varphi}$ bernilai tunggal pada lingkarannya yang memaksa $m$ bulat — yakni syarat yang mengikat gerak orbital sambil membiarkan momentum sudut hakiki (spin) bebas menjadi setengah bulat.

**Latihan 10.12 ★★★.**

Einstein–de Haas: momentum sudut itu mekanis. Sebuah silinder besi (jejari $a = 1.0\,\mathrm{cm}$, massa jenis $\rho = 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{atom}/\mathrm{m}^{3}$) tergantung pada serat puntir; membalikkan kemagnetannya membalikkan sekitar satu $\hbar$ momentum sudut tiap atomnya. (a) Menurut kekekalannya, batangnya harus terhentak: hitunglah momentum sudut tiap satuan volume yang dipindahkan. (b) Dengan momen kelembaman batangnya $\tfrac12 M
a^2$, tunjukkanlah bahwa batangnya memperoleh $\omega = 2n\hbar/\rho a^2$ lalu hitunglah. (c) Percobaan 1915 menggerakkan pembalikannya pada resonansi seratnya agar hentakan mungilnya menumpuk: perkirakanlah amplitudo osilasinya setelah $Q \sim 100$ pembalikan resonan, dengan memakai $\omega$ tiap hentakan yang Anda peroleh. (d) Nisbah terukur momen terhadap momentum sudutnya ternyata dua kali ramalan orbitalnya $e/2m_{\text{e}}$: faktor dua itu mengumumkan apa?

**Solusi Latihan 10.12.**

(a) $n\hbar$ tiap satuan volume. (b) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2)
= 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/
(7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — tak terlihat dalam sekali jepret. (c) Membalikkannya seirama dengan resonansi seratnya menumpuk $\sim Q$ hentakan: $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, yakni ayunan berskala miliradian dengan periode beberapa sekon — terlihat dengan sebuah cermin dan seberkas cahaya, sebagaimana dilihat Einstein dan de Haas. (d) Nisbah giromagnetik terukurnya adalah $e/m_{\text{e}}$, dua kali nilai orbitalnya $e/2m_{\text{e}}$: kemagnetan besi bukanlah arus orbital melainkan *spin* elektron, yang $g \approx 2$-nya dijelaskan bab berikutnya.

## 10.6 Soal: Menimbang galaksi pada 2,6 milimeter

**Soal 10.1.**

Soal akhir pekan — karbon monoksida, astronomi radio dan semesta yang dingin

Sebagian besar materi pembuat bintang sebuah galaksi adalah hidrogen molekul yang dingin — dan ia tak terlihat: H$_2$ yang setangkup tidak mempunyai dipol dan tidak mempunyai garis rotasi pada suhu awan yang dingin. Penyelesaian astronomi adalah pendampingnya yang setia. Satu molekul CO tiap $10^{4}$ H$_2$, dengan tangga $115\,\mathrm{GHz}$-nya, menyalakan setiap awan molekul di langit. Data: untuk CO, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ ($B =
0.238\,\mathrm{meV}$); panjang ikatannya $r_0 = 0.113\,\mathrm{nm}$; massa tereduksinya $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$; $k_{\text{B}}T$ pada $10\,\mathrm{K}$ adalah $0.862\,\mathrm{meV}$.

**Bagian I — Rotor kuantumnya.**

1. Dari $\hat H = \hat L^2/2I$ , berikanlah energinya $E_J$ beserta degenerasinya.
2. Periksalah $B = \hbar^2/2I$ untuk CO dari $r_0$ dan $\mu$ .
3. Dengan kaidah pemilihan $\Delta J = \pm1$ , turunkanlah frekuensi serapannya $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ lalu daftarkanlah tiga yang pertama.
4. Mengapa garisnya *berjarak sama* — dan apa yang diserahkan jarak terukurnya kepada astronom (lewat $I$ )?
5. Hitunglah panjang gelombang garis dasarnya, lalu jelaskanlah mengapa mengamatinya memerlukan tempat yang tinggi dan kering (apa yang menyerap gelombang milimeter di atmosfer kita sendiri — ingatlah tetangga molekul pada [Soal 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#pb-b3-harmonic-oscillator-1) , yaitu air)?
6. Foton garis $1 \to 0$ membawa $\hbar$ momentum sudut: mengapa $\Delta J = \pm1$ bukan sekadar patokan kasar melainkan sebuah hukum kekekalan?

**Bagian II — Mengapa CO dan bukan H$_2$.**

7. H $_2$ beratom sejenis: nyatakanlah mengapa ia sama sekali tidak memancarkan radiasi dipol rotasi.
8. H $_2$ juga *ringan* : hitunglah tetapan rotasi H $_2$ ( $\mu = m_{\text{p}}/2$ , $r_0 = 0.074\,\mathrm{nm}$ ) beserta energi transisi terjangkau pertamanya; bandingkanlah dengan $k_{\text{B}}T$ pada $10\,\mathrm{K}$ : bahkan lewat pintu belakang kuadrupol, dapatkah H $_2$ yang dingin memancar?
9. Anak tangga pertama CO berharga $2B = 0.48\,\mathrm{meV}$ berbanding $k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : apakah tangganya hidup pada $10\,\mathrm{K}$ ?
10. Hitunglah nisbah populasinya $n_1/n_0$ pada $10\,\mathrm{K}$ (termasuk degenerasinya).
11. Di dekat $J$ berapa populasinya memuncak pada $10\,\mathrm{K}$ (pakailah $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ )?
12. Ringkaslah dalam satu kalimat perjanjian dagangnya: apa yang disediakan CO, dan apa yang harus dianggap tentang nisbah CO terhadap H $_2$ .

**Bagian III — Membaca langitnya.**

13. Garis sebuah awan tiba pada $115.156\,\mathrm{GHz}$ alih-alih $115.271\,\mathrm{GHz}$ di laboratorium: hitunglah kecepatan awannya sepanjang garis pandang, beserta arahnya.
14. Garisnya *melebar* secara Doppler oleh gerak internalnya sebesar $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : hitunglah lebar garisnya dalam MHz, lalu bandingkanlah dengan lebar termal yang diharapkan pada $10\,\mathrm{K}$ ( $v_{\text{th}} \sim \sqrt{k_{\text{B}}T/m_{\text{CO}}}  \approx 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): apa yang menguasai pelebarannya?
15. Memetakan pergeseran Doppler CO melintasi cakram sebuah galaksi spiral menghasilkan kurva rotasinya $v(r)$ . Kurvanya tetap *datar* jauh melampaui cakram tampaknya: ingatlah (jilid Tahun 1, gravitasi) apa yang seharusnya dilakukan $v(r)$ di sekitar massa yang terpusat, lalu nyatakanlah apa yang disiratkan kedatarannya.
16. Nisbah keterangan garis $2\to1$ terhadap garis $1\to0$ mengukur populasi arasnya: besaran fisis tunggal apa dari awan itu yang diserahkannya?
17. ALMA memilah CO dalam galaksi yang cahayanya berangkat ketika semesta masih muda; frekuensi teramati garis $1 \to 0$ dari sebuah galaksi pada “pergeseran merah $z = 1$ ” tiba pada separuh nilai diamnya — pada frekuensi berapa, dan (dengan mengingat [Contoh 4.13](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#ex-b3-relativistic-kinematics-redshift) ) apa yang meregangkannya?
18. Dari luminositas garis CO yang terukur, para astronom menyebutkan massa awan dalam satuan massa matahari: daftarkanlah rantai konversinya (foton garis $\to$ cacah CO $\to$ massa H $_2$ ) beserta mata rantainya yang terlemah.

**Bagian IV — Ruang bayi yang dingin.**

19. Teras pembentuk bintang berada pada $10\,\mathrm{K}$ : menurut hukum Wien pijar termalnya memuncak di dekat $290\,\text{µ}\mathrm{m}$ — tak terlihat oleh teleskop optis mana pun. Dalam satu kalimat: mengapa tangga rotasinya merupakan *satu-satunya* termometer dan penggaris yang ditawarkan teras semacam itu?
20. Aras $J = 1$ terletak $5.5\,\mathrm{K}$ (dalam satuan suhu) di atas keadaan dasarnya: mengapa hal itu menjadikan garis $1\to0$ termometer yang sangat halus justru pada rezim $10\,\mathrm{K}$ (alih-alih, misalnya, sebuah garis optis pada $2\,\mathrm{eV}$ $\sim 23\,000\,\mathrm{K}$ )?
21. Mengapa teras yang *meruntuh* akhirnya tidak lagi terlihat dalam CO ( $1\to0$ ) — tinjaulah apa yang dilakukan kerapatan tinggi dan debu terhadap garisnya dan terhadap lolosnya.
22. Awan molekul juga menunjukkan garis NH $_3$ , HCN, dan berpuluh lainnya, masing-masing dengan $B$ dan dipolnya sendiri: apa yang dapat diurai para astronom berkat kekayaan “pemutar gelombang radio kimia” ini?
23. Seluruh langit berpijar pada $2.7\,\mathrm{K}$ (latar gelombang mikro kosmik): apa yang terjadi pada ketegasan garis CO sebuah awan ketika suhu awannya sendiri mendekati $2.7\,\mathrm{K}$ , dan mengapa hal itu merupakan lantai yang keras bagi termometer ini?
24. Cakram milimeter harus mempertahankan bentuknya sampai sekitar $\lambda/20$ : hitunglah kelonggaran itu pada $115\,\mathrm{GHz}$ , lalu bandingkanlah dengan kelonggaran yang harus dipenuhi cermin optis ( $500\,\mathrm{nm}$ ) — mengapa cakram dua belas meter milik ALMA dapat dibangun di ruang terbuka?
25. Ringkaslah hasil bernama itu: sebuah tangga $BJ(J+1)$ dengan $B/h =  57.6\,\mathrm{GHz}$ , yang terisi pada sepuluh kelvin dan dibaca pada $2.6\,\mathrm{mm}$ , adalah cara massa, suhu, kecepatan dan rotasi semesta yang dingin — beserta bukti adanya materi gelap di sekitar galaksi spiral — diukur.

**Solusi Soal 10.1.**

**1.** $E_J = BJ(J+1)$, dengan degenerasi $2J + 1$. **2.** $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$: $B =
\hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$, yakni $B/h = 57.7\,\mathrm{GHz}$ — tepat tetapan yang terukur. **3.** $115$, $231$, $346\,\mathrm{GHz}$. **4.** $E_{J+1} - E_J = 2B(J+1)$ tumbuh secara linear: garis berurutan berbeda sebesar tetapan $2B$. Jaraknya memberikan $I$, sehingga diperoleh panjang ikatannya — kimia struktur lewat radio. **5.** $\lambda = c/\nu = 2.6\,\mathrm{mm}$. Uap air atmosfer menyerap gelombang milimeter dengan rakus; karena itulah Atacama, Mauna Kea, Kutub Selatan — tinggi, dingin, kering. **6.** Fotonnya partikel berspin $1$ yang membawa $\hbar$: kekekalan momentum sudut total mewajibkan $J$ molekulnya berubah satu satuan. **7.** Sebaran muatannya setangkup pada tiap sudut putarnya: tanpa dipol berosilasi, tanpa garis dipol — penyamaran yang sempurna. **8.** $B_{\text{H}_2} = \hbar^2/2\mu r_0^2 \approx
7.6\,\mathrm{meV}$; transisi kuadrupol lemah molekul setangkupnya menuntut $\Delta J = 2$, yang berharga $6B \approx
46\,\mathrm{meV}$ — lima puluh kali $k_{\text{B}}T$ pada $10\,\mathrm{K}$: hidrogen yang dingin sama sekali tidak dapat memancar. **9.** $2B = 0.48\,\mathrm{meV} < k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$: tumbukan menjaga anak tangga pertamanya tetap terisi — tangganya bekerja tepat di tempat awannya hidup. **10.** $n_1/n_0 = 3\,\eu^{-0.478/0.862} = 1.7$: aras pemancarnya terisi dengan baik. **11.** $J_{\max} \approx \sqrt{0.86/0.48} - 0.5 \approx 0.8$: populasinya memuncak pada $J = 1$. **12.** CO menyerahkan fotonnya; mengubahnya menjadi massa gas total bersandar pada kelimpahan CO terhadap H$_2$ yang dianggap — pembawa pesan yang bercahaya, dengan tebusan yang harus dikalibrasi. **13.** $\Delta\nu = 115\,\mathrm{MHz}$: $v = c\,\Delta\nu/\nu
\approx 300\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, menjauh (frekuensinya turun) — yakni laju orbit galaksi. **14.** $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ membentang $1.5\,\mathrm{MHz}$; gerak termalnya pada $10\,\mathrm{K}$ hanya memberikan $\sim40\,\mathrm{kHz}$: lebarnya adalah turbulensi, bukan suhu — lebar garisnya memetakan cuaca internal sebuah awan. **15.** Di sekitar massa yang terpusat $v \propto 1/\sqrt r$ seharusnya turun (Kepler); kedataran yang terukur berarti massa yang terlingkupinya terus tumbuh seiring jejarinya — yaitu materi tak terlihat yang menyelubungi cakram bercahayanya: yakni materi gelap. **16.** Nisbah populasinya, yakni suhu eksitasi gasnya. **17.** Pada $57.6\,\mathrm{GHz}$: pengembangan kosmis telah melipatduakan tiap panjang gelombang selama perjalanannya — yakni pergeseran merah kosmologis yang dibahas kembali pada bab terakhir buku ini. **18.** Fluks foton $\to$ luminositas CO (memerlukan jaraknya) $\to$ cacah CO (memerlukan model eksitasi) $\to$ massa H$_2$ (yakni “faktor X” CO terhadap H$_2$: mata rantai terlemahnya, yang dikalibrasi secara setempat lalu diekspor dengan hati-hati). **19.** Teras $10\,\mathrm{K}$ tidak memancarkan apa pun yang dapat dilihat teleskop optis; garis rotasinya sekaligus menjadi satu-satunya termometer, pengukur laju dan penggarisnya. **20.** Sebuah termometer peka di tempat jarak arasnya $\sim
k_{\text{B}}T$: jarak $5.5\,\mathrm{K}$ menanggapi dengan kuat sepanjang $5$–$50$ K, sedangkan aras optis $2\,\mathrm{eV}$ sama sekali tidak akan terisi. **21.** Garisnya menjenuh (tebal secara optis) dan, lebih buruk lagi, CO membeku ke butiran debu dalam gas yang paling rapat dan paling dingin: para astronom lalu beralih ke isotopolog yang lebih langka ($^{13}$CO, C$^{18}$O) dan ke molekul lainnya. **22.** Tiap jenisnya memerlukan kerapatan dan suhunya sendiri agar bersinar: bersama-sama mereka mentomografi awannya — selubung luarnya lewat CO, teras rapatnya lewat NH$_3$ dan HCN. **23.** Sebuah garis terlihat karena tegas terhadap latar kosmisnya; ketika suhu gasnya mendekati $2.7\,\mathrm{K}$, eksitasinya menyetimbangkan diri dengan latarnya dan ketegasannya lenyap: awan yang lebih dingin tak dapat dibaca dengan cara ini. **24.** $\lambda/20 = 130\,\text{µ}\mathrm{m}$ berbanding $25\,\mathrm{nm}$ untuk kerja optis: lima ribu kali lebih pemaaf — itulah sebabnya cakram milimeter dua belas meter berdiri di gurun terbuka sedangkan cermin optis tinggal di dalam kubah. **25.** Sebuah tangga $BJ(J+1)$ dengan $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$, yang hidup pada sepuluh kelvin dan dibaca pada $2.6\,\mathrm{mm}$, mengukur massa, suhu, turbulensi dan rotasi semesta yang dingin — dan kurva rotasinya yang datar adalah pameran tetap bagi materi gelap.