---
title: "Teori Gangguan"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/13-teori-gangguan
---

# Bab 13 — Teori Gangguan

Hanya segelintir soal kuantum yang larut secara eksak: kotak, osilator, hidrogen, dan sistem dua aras. Selebihnya — sebuah atom dalam medan, ikatan sebuah molekul yang mengeras, sebuah aras yang disenggol tetangganya — adalah salah satu kerangka terselesaikan itu yang mengenakan satu suku tambahan yang kecil. [Teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) adalah seni memperlakukan suku tambahan itu sebagaimana adanya: sebuah koreksi, yang dihitung orde demi orde dalam kekecilannya. Kaidah orde pertamanya adalah sebuah rata-rata satu baris; kaidah orde keduanya menjelaskan mengapa aras saling *menolak*, mengapa tiap atom dapat terpolarisasi, dan mengapa tarikan van der Waals bersifat semesta; ragam berdegenerasinya menangani kasus peka tempat aras yang nyaris sama tertata ulang seluruhnya; dan bentuk bergantung waktunya — yakni kaidah emas Fermi — adalah persamaan di balik setiap garis serapan, laju peluruhan, dan penampang lintang hamburan yang diukur di laboratorium. Sebagai ganjaran yang mengalir, bab ini berakhir dengan menghitung warna langit.

## 13.1 Pergeseran kecil: teori tak berdegenerasi

**Teorema 13.1 (Koreksi perturbatif).**

Misalkan $\hat H = \hat H_0 + \hat V$ dengan $\hat H_0$ sudah terselesaikan ($\hat H_0\ket n = E_n\ket n$, spektrumnya tak berdegenerasi) dan $\hat V$ kecil. Maka, orde demi orde dalam $\hat V$,

$$
E_n' = E_n + \bra n\hat V\ket n
 + \sum_{m \neq n}\frac{|\bra m\hat V\ket n|^2}{E_n - E_m}
 + \cdots
$$

dan keadaannya memperoleh campuran $\ket{n'} = \ket n + \sum_{m\neq
n}\dfrac{\bra m\hat V\ket n}{E_n - E_m}\,\ket m + \cdots$ *Orde pertama*: pergeserannya hanyalah rata-rata gangguannya dalam keadaan yang belum terganggu. *Orde kedua*: kopling ke aras lain mendorong $E_n$ *menjauhi* aras itu — tiap $m$ di atasnya mendorong ke bawah, tiap yang di bawahnya mendorong ke atas — sehingga pergeseran orde kedua keadaan dasarnya selalu negatif. Keabsahannya: bagian percampurannya $|\bra m\hat V\ket n/(E_n - E_m)|$ haruslah kecil.

**Bukti sebagian.** Jabarkanlah $E' = E + \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots$ dan $\ket{\psi} =
\ket n + \ket{\psi_1} + \cdots$ dalam pangkat $\hat V$, masukkanlah ke $(\hat H_0 + \hat V)\ket\psi = E'\ket\psi$, lalu cocokkanlah ordenya. Memproyeksikan persamaan orde pertamanya pada $\bra n$ memberikan $\epsilon_1 =
\bra n\hat V\ket n$; memproyeksikannya pada $\bra m$ ($m \neq n$) memberikan koefisien campurannya; membawa koefisien itu ke persamaan orde keduanya lalu memproyeksikannya pada $\bra n$ lagi memberikan $\epsilon_2$. Pernyataan tandanya bagi keadaan dasar: tiap penyebut $E_0 - E_m$ negatif sedangkan pembilangnya kuadrat. ∎

**Proposisi 13.2 (Sebuah gangguan yang berjawaban eksak).**

Sebuah osilator bermuatan $q$ dalam medan seragam $\mathcal E$ mempunyai $\hat V = -q\mathcal E\hat x$. Melengkapkan kuadratnya menyelesaikannya secara eksak: potensialnya tetap parabola yang sama, hanya tergeser, dengan semua arasnya turun sebesar $q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$. [Teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) harus sepakat — dan memang sepakat: orde pertamanya lenyap ($\langle\hat
x\rangle_n = 0$), dan jumlahan orde keduanya, yang di dalamnya $\hat x$ hanya mengopel $n$ ke $n \pm 1$, memberikan tepat $-q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$ untuk tiap arasnya ([Latihan 13.2](#exo-b3-perturbation-theory-2)). Satu kasus terselesaikan, yang diperiksa lewat kedua jalan, adalah kalibrasi terbaik yang dapat dimiliki sebuah metode.

**Bukti.** Kedua unsur matriksnya beserta penyebutnya memberikan

$$
\frac{|\bra{n+1}\hat x\ket{n}|^2}{-\hbar\omega}
 + \frac{|\bra{n-1}\hat x\ket n|^2}{+\hbar\omega}
 = \frac{\hbar}{2m\omega}\,\frac{-(n+1) + n}{\hbar\omega}
 = -\frac{1}{2m\omega^2} ;
$$

kalikanlah dengan $q^2\mathcal E^2$. ∎

![Tolakan aras: dua aras terkopel tak pernah berpotongan — ketika koplingnya (atau sebuah parameter yang menyapu energi telanjangnya) berubah, energi eksaknya ±√ 2 + v2 saling menghindar. Rumus orde keduanya adalah sayap jauh hiperbola ini; “perpotongan terhindar” di pusatnyalah tempat teori gangguan menyerahkan tugasnya kepada pendiagonalan eksak.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-5f8c7739c71a.svg)

*Tolakan aras: dua aras terkopel tak pernah berpotongan — ketika koplingnya (atau sebuah parameter yang menyapu energi telanjangnya) berubah, energi eksaknya $\pm\sqrt{\Delta^2 + v^2}$ saling menghindar. Rumus orde keduanya adalah sayap jauh hiperbola ini; “perpotongan terhindar” di pusatnyalah tempat [teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) menyerahkan tugasnya kepada pendiagonalan eksak.*

## 13.2 Ketika arasnya berdegenerasi

**Teorema 13.3 (Teori gangguan berdegenerasi).**

Jika $E_n$ berdegenerasi, rumus di atas membagi dengan nol — gangguannya boleh jadi menata ulang keadaan berdegenerasinya seluruhnya, dan penawarnya adalah membiarkannya berbuat demikian: *diagonalkanlah $\hat V$ yang dibatasi pada subruang berdegenerasinya*. [Nilai eigennya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) adalah pergeseran orde pertamanya; vektor eigennya adalah keadaan orde nol yang benar, yakni gabungan yang dipilih gangguannya sendiri.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 13.4 (Efek Stark linear).**

Aras $n = 2$ hidrogen memuat keadaan $2s$ dan $2p$ yang berdegenerasi. Dalam medan $\mathcal E\vect e_z$, $\hat V = e\mathcal E\hat z$ mengopel $2s$ ke $2p_0$ dengan $\bra{2s}\hat z\ket{2p_0} = -3a_0$: mendiagonalkan blok $2\times2$-nya memberikan pergeseran

$$
\Delta E = \pm\,3e a_0\mathcal E ,
$$

yang *linear* dalam medannya — sedangkan keadaan dasarnya yang tak berdegenerasi hanya bergeser secara kuadratik. Pada $\mathcal E = 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: $\pm
1.6\,\mathrm{meV}$, yakni pembelahan yang mudah dipilah. Keadaan yang melakukan pembelahannya adalah $(\ket{2s} \mp \ket{2p_0})/\sqrt2$ — yakni hibrida berdipol listrik tetap, yang hanya mungkin karena degenerasinya membiarkan atomnya bebas terpolarisasi pada orde nol. (Hibridisasi $s$–$p$ yang sama, yang digerakkan tetangga alih-alih medan, adalah kimia karbon tiap molekul organik.)

![Efek Stark linear pada kulit n = 2 hidrogen: medannya menghibridkan 2s dan 2p_0 yang berdegenerasi menjadi keadaan berdipol tetap yang bergeser sebesar ±3ea_0 E, sambil membiarkan 2p_±1 tak tersentuh pada orde pertama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-428c787b135e.svg)

*[Efek Stark](#ex-b3-perturbation-theory-stark) linear pada kulit $n = 2$ hidrogen: medannya menghibridkan $2s$ dan $2p_0$ yang berdegenerasi menjadi keadaan berdipol tetap yang bergeser sebesar $\pm3ea_0\mathcal E$, sambil membiarkan $2p_{\pm1}$ tak tersentuh pada orde pertama.*

## 13.3 Transisi: kaidah emasnya

**Teorema 13.5 (Gangguan bergantung waktu).**

Nyalakanlah $\hat V(t) = \hat V\cos\omega t$ pada $t = 0$. Sampai orde pertama, peluang menemukan sistemnya dalam $\ket f$ pada waktu $t$, setelah bermula dalam $\ket i$, adalah

$$
\mathcal P_{i\to f}(t) = \frac{|\bra f\hat V\ket i|^2}{4\hbar^2}\;
\frac{\sin^2\!\big[(\omega_{fi} - \omega)\,t/2\big]}
{\big[(\omega_{fi} - \omega)/2\big]^2} ,
\qquad \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar} :
$$

yakni sebuah resonansi yang memuncak tajam pada $\hbar\omega = E_f - E_i$ — serapan ketika $E_f > E_i$, dan *pancaran terangsang* bagi suku pasangannya dengan $E_f < E_i$. Ketika keadaan akhirnya membentuk kontinum berkerapatan $\rho(E)$, pertumbuhan puncaknya menjadi sebuah *laju* yang tetap:

$$
\Gamma_{i\to f} = \frac{2\pi}{\hbar}\,
|\bra f\hat V\ket i|^2\,\rho(E_f)
$$

— yakni *kaidah emas Fermi*, rumus induk laju peluruhan, koefisien serapan dan penampang lintang.

**Bukti sebagian.** Amplitudo orde pertamanya: $c_f(t) = -\tfrac{\iu}{\hbar}\int_0^t\bra
f\hat V(t')\ket i\,\eu^{\iu\omega_{fi}t'}\dd t'$; mempertahankan eksponensial yang dekat resonansinya lalu mengintegralkannya memberikan bentuk $\sin^2$ yang dinyatakan itu. Untuk kontinumnya: sebagai fungsi pelencengannya $x$, faktor resonansinya bertinggi $t^2$ dan berlebar $\sim 2\pi/t$ — sehingga berluas $2\pi t$ — maka menjumlahkannya pada kontinum yang mulus menggantikannya dengan $2\pi t\,\rho$: peluangnya linear dalam $t$, yakni sebuah laju. ∎

![Kiri: peluang transisi orde pertama terhadap pelencengannya — sebuah resonansi yang makin sempit dan makin tinggi, yang luasnya tumbuh linear terhadap waktu. Kanan: menuju sebuah kontinum, pertumbuhan linear itu menjadi laju peluruhan yang tetap: yakni kaidah emasnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-bde4c24e7838.svg)

*Kiri: peluang transisi orde pertama terhadap pelencengannya — sebuah resonansi yang makin sempit dan makin tinggi, yang luasnya tumbuh linear terhadap waktu. Kanan: menuju sebuah kontinum, pertumbuhan linear itu menjadi laju peluruhan yang tetap: yakni kaidah emasnya.*

**Contoh 13.6 (Apa yang dijalankan kaidah emas).**

Kaidah pemilihan: sebuah transisi terjadi hanya jika unsur matriksnya $\bra f\hat V\ket i$ bertahan — untuk cahaya, $\hat V \propto \hat
z$, yang paritas dan momentum sudutnya membunuh segalanya kecuali $\Delta l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$: yakni kaidah yang dipanggil sejak [Bab 10](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/10-momentum-sudut-kuantum#ch-b3-quantum-angular-momentum), yang kini menjadi teorema. Lajunya: peluruhan spontan keadaan $2p$ hidrogen terhitung $1.6\,\mathrm{ns}$ ([Latihan 13.8](#exo-b3-perturbation-theory-8)); transisi maser amonia, dengan $\omega^3$ gelombang mikronya, memakan waktu berbulan — $\omega^3$ dalam laju radiasinya itulah sebabnya garis radio ([Contoh 12.7](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/12-spin-dan-sistem-dua-aras#ex-b3-spin-two-level-hyperfine)) hidup berjuta tahun sedangkan garis ultraungu berkelebat dalam nanosekon. Spektrum serapan, pengionan foto, peluruhan beta inti ([Bab 25](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/25-fisika-inti#ch-b3-nuclear-physics)), penampang lintang hamburan ([Bab 15](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/15-teori-hamburan#ch-b3-scattering-theory)): semuanya adalah satu rumus ini dengan unsur matriks dan cacah keadaan yang berbeda.

**Metode 13.7 (Memilih perkakas perturbatif yang tepat).**

(1) Pertanyaan statis, aras tak berdegenerasi: rata-ratakanlah $\hat V$ (orde pertama); jika hasilnya lenyap karena simetrinya, pakailah orde kedua — harapkanlah tolakan aras. (2) Aras berdegenerasi: diagonalkanlah $\hat V$ dalam blok berdegenerasinya lebih dahulu; gabungan yang selaras simetrinyalah yang melakukan pembelahannya. (3) Laju transisi: kaidah emas — satu unsur matriks, satu [kerapatan keadaan](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting); periksalah kaidah pemilihannya sebelum menghitung apa pun. (4) Ujilah selalu penjabarannya: bagian percampurannya $|V_{mn}/(E_n - E_m)| \ll 1$, kalau tidak diagonalkanlah secara eksak (rumus dua arasnya). (5) Limit terselesaikan yang eksak (osilator dalam medan) adalah kalibrasi cuma-cuma: pakailah.

![Senja sebagai teori gangguan: molekul udara menghamburkan cahaya biru jauh lebih mudah daripada cahaya merah (yakni 4 kerabat kaidah emas bab ini), sehingga lintasan panjang di cakrawala menyaring birunya lalu mengirimkannya ke langit siang orang lain.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/img-e8ce01ebd30d.jpg)

*Senja sebagai [teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections): molekul udara menghamburkan cahaya biru jauh lebih mudah daripada cahaya merah (yakni $\omega^4$ kerabat kaidah emas bab ini), sehingga lintasan panjang di cakrawala menyaring birunya lalu mengirimkannya ke langit siang orang lain.*

## 13.4 Latihan

**Latihan 13.1 ★.**

Sebuah partikel dalam kotak $[0, a]$ merasakan potensial tambahan $V(x) =
\lambda x/a$. (a) Hitunglah pergeseran orde pertama tiap arasnya (pakailah $\langle x\rangle = a/2$ dalam keadaan kotak mana pun — berilah alasannya). (b) Mengapa pergeserannya sama untuk semua arasnya di sini? (c) Berapa perubahan orde pertama *jarak arasnya*, dan mengapa pengukuran frekuensi transisi dapat sama sekali melewatkan gangguan ini? (d) Kapan orde pertamanya berhenti dapat dipercaya?

**Solusi Latihan 13.1.**

(a) Tiap $|\varphi_n|^2$ setangkup terhadap $a/2$, sehingga $\langle
x\rangle = a/2$ dan $\Delta E_n = \lambda/2$ untuk semua $n$. (b) Simetrinya, bukan dinamikanya. (c) Pergeseran yang sama saling meniadakan dalam tiap selisihnya: spektroskopi, yang mengukur jarak arasnya, tidak melihat apa pun pada orde pertama. (d) Ketika $\lambda$ menyaingi jarak arasnya, percampuran keadaan yang diabaikannya (orde kedua) menjadi berperan.

**Latihan 13.2 ★.**

Kerjakanlah perhitungan orde kedua pada [Proposisi 13.2](#prop-b3-perturbation-theory-oscillator-field) selengkapnya: unsur matriks $\hat x$, kedua sukunya, peniadaan $n$-nya, dan kesesuaian eksaknya dengan melengkapkan kuadratnya. Mengapa koreksi orde pertama *keadaannya* tidak lenyap walaupun koreksi energinya lenyap?

**Solusi Latihan 13.2.**

$\bra{n\pm1}\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,\sqrt{n + \tfrac12
\pm \tfrac12}$; kedua suku orde keduanya memberikan

$$
\frac{q^2\mathcal E^2\hbar}{2m\omega}\Big[\frac{n+1}{-\hbar\omega}
+ \frac{n}{\hbar\omega}\Big] = -\frac{q^2\mathcal E^2}{2m\omega^2} ,
$$

yang tidak bergantung pada $n$ — yakni jawaban eksaknya. Keadaannya *memang* terkoreksi pada orde pertama (campuran $n \pm 1$ menggeser fungsi gelombangnya menyamping); hanya bagian orde pertama energinya yang lenyap, karena paritasnya.

**Latihan 13.3 ★.**

[Hamiltonian](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/2-mekanika-hamilton#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) dua aras $\begin{pmatrix}E_1 & v\\ v &
E_2\end{pmatrix}$, $E_1 < E_2$, dengan $v$ real. (a) Carilah [nilai eigen](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#def-b3-quantum-formalism-observable) eksaknya. (b) Jabarkanlah untuk $|v| \ll E_2 - E_1$ lalu kenalilah rumus orde keduanya. (c) Tunjukkanlah bahwa arasnya saling menolak: celahnya selalu melampaui $E_2 - E_1$. (d) Pada $E_1 = E_2$: apa yang diberikan [teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections), apa yang diberikan jawaban eksaknya, dan teorema mana dalam bab ini yang mendamaikan keduanya?

**Solusi Latihan 13.3.**

(a) $E_\pm = \bar E \pm \sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2}$ dengan $\Delta =
E_2 - E_1$. (b) $E_- \approx E_1 - v^2/\Delta$, $E_+ \approx E_2 +
v^2/\Delta$: yakni rumus orde keduanya, suku demi suku. (c) Celahnya $2\sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2} \ge \Delta$, dengan kesamaannya hanya pada $v =
0$. (d) Penjabarannya membesar tanpa batas; jawaban eksaknya memberikan $\pm|v|$ — yang persis diresepkan oleh pendiagonalan $\hat V$ dalam blok berdegenerasinya ([Teorema 13.3](#thm-b3-perturbation-theory-degenerate)).

**Latihan 13.4 ★.**

Untuk [Teorema 13.1](#thm-b3-perturbation-theory-corrections): (a) tunjukkanlah bahwa koreksi keadaan orde pertamanya ortogonal terhadap $\ket n$; (b) tunjukkanlah bahwa koefisien campuran $\ket m$ adalah $V_{mn}/(E_n - E_m)$ lalu nyatakanlah patokan keabsahannya; (c) sebuah aras yang berjarak $1\,\mathrm{eV}$ dari tetangga terdekatnya terkopel dengannya sebesar $0.1\,\mathrm{eV}$: perkirakanlah peluang campurannya; (d) hal yang sama dengan celah $10\,\mathrm{meV}$ — perkakas mana yang seharusnya menggantikan penjabarannya?

**Solusi Latihan 13.4.**

(a) Penjabarannya memberi $\ket n$ koefisien $1$; penormalan sampai orde pertama memaksa koreksinya masuk ke komplemen ortogonalnya. (b) Dari proyeksinya pada $\bra m$; percampuran yang kecil menuntut $|V_{mn}| \ll |E_n - E_m|$. (c) $(0.1)^2 = 1\%$. (d) $(0.1/0.01)^2 = 100$: tak masuk akal — diagonalkanlah blok dua arasnya secara eksak.

**Latihan 13.5 ★★.**

Ikatan yang anharmonik. Tambahkanlah $\hat V = \beta\hat x^3 + \gamma\hat x^4$ pada osilatornya. (a) Tunjukkanlah bahwa suku $x^3$-nya tidak menggeser aras mana pun pada orde pertama (paritas). (b) Tunjukkanlah bahwa suku $x^4$-nya memberikan $\Delta E_n =
3\gamma(\hbar/2m\omega)^2(2n^2 + 2n + 1)$ (jabarkanlah $\hat x^4$ dalam [operator tangga](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#def-b3-harmonic-oscillator-ladder); hanya suku yang “berimbang” yang bertahan). (c) Untuk ikatan sungguhan $\gamma$ efektifnya negatif (sumurnya melunak ke arah luar): tunjukkanlah bahwa jarak arasnya lalu *menyusut* seiring $n$. (d) Ciri teramati manakah dari spektrum molekul ([Latihan 9.4](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#exo-b3-harmonic-oscillator-4)) yang dihasilkannya kembali?

**Solusi Latihan 13.5.**

(a) $\hat x^3$ ganjil: rata-ratanya dalam keadaan eigen paritas mana pun lenyap. (b) Menuliskan $\hat x^4 \propto (\hat a + \hat
a^\dagger)^4$ lalu mempertahankan keenam suku dengan penaikan dan penurunan yang sama banyak memberikan $\langle(\hat a + \hat a^\dagger)^4\rangle_n = 6n^2
+ 6n + 3$: yakni pergeseran yang dinyatakan itu. (c) Dengan $\gamma < 0$ pergeserannya menjadi makin negatif seperti $n^2$: jarak aras berurutannya $E_{n+1} - E_n$ menurun secara linear dalam $n$. (d) Anak tangga tangga getaran sungguhan yang saling mendekat — nada atasnya sedikit kurang dari kelipatan nada dasarnya, dan adanya batas disosiasi yang berhingga.

**Latihan 13.6 ★★.**

Dalam kotak persegi berdimensi dua, pasangan berdegenerasi $\ket{1,2},
\ket{2,1}$ diganggu oleh $\hat V = \lambda\,xy$. (a) Jelaskanlah mengapa teori tak berdegenerasinya gagal. (b) Hitunglah matriks $2\times2$ $\hat V$ dalam pasangan itu (integralnya terfaktorkan; $\int_0^a
x\sin(\pi x/a)\sin(2\pi x/a)\dd x = -8a^2/9\pi^2$). (c) Carilah pembelahannya beserta keadaan orde nolnya yang benar. (d) Bandingkanlah dengan analisis simetri pada [Latihan 8.9](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/8-formalisme-mekanika-kuantum#exo-b3-quantum-formalism-9): jawaban mana yang diberikan simetrinya secara cuma-cuma?

**Solusi Latihan 13.6.**

(a) Pasangannya berdegenerasi: penyebutnya lenyap. (b) Unsur diagonalnya $\lambda(a/2)^2$; unsur taksdiagonalnya $\lambda c^2$ dengan $c =
-8a^2/9\pi^2$ — integralnya terfaktorkan menjadi kedua bagian satu dimensinya. (c) Pergeserannya $\lambda[(a/2)^2 \pm
(8a^2/9\pi^2)^2/a^2\cdot a^2]$ — yakni $\lambda a^2(\tfrac14 \pm
64/81\pi^4)$ — dengan keadaan eigennya $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/
\sqrt2$. (d) Simetrinya sudah menamai keadaan eigennya lebih dahulu (yakni gabungan yang genap dan yang ganjil terhadap penukarannya); gangguannya hanya dapat memilih keduanya, dan memang itulah yang dilakukannya.

**Latihan 13.7 ★★.**

[Efek Stark](#ex-b3-perturbation-theory-stark), linear dan kuadratik. (a) Dengan memakai [Contoh 13.4](#ex-b3-perturbation-theory-stark), hitunglah pembelahan $n = 2$ pada $\mathcal E = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (b) Mengapa keadaan dasarnya *tidak* menunjukkan pergeseran linear (dua alasan: paritasnya, dan tak adanya pasangan berdegenerasi)? (c) Pergeseran kuadratiknya mendefinisikan keterpolarisasiannya, $\Delta E = -\tfrac12\alpha\mathcal E^2$: perkirakanlah $\alpha \sim e^2a_0^2/E_{\text{I}}$ lalu hitunglah dalam satuan $a_0^3$ (jawaban eksaknya adalah $4.5\,a_0^3 \times
4\pi\varepsilon_0$). (d) Sifat materi sehari-hari yang mana — yakni tanggapan dielektriknya — yang benih atomnya baru saja Anda hitung?

**Solusi Latihan 13.7.**

(a) $3ea_0\mathcal E = 3 \times 5.29 \times 10^{-11} \times 2.5 \times 10^{6}
= 0.40\,\mathrm{meV}$ ke tiap arah. (b) $\bra{100}\hat z\ket{100} = 0$ karena paritasnya, dan tak ada pasangan berdegenerasi yang dapat dihibridkan dengannya. (c) $\alpha \sim 2e^2a_0^2/E_{\text{I}} \to \alpha/4\pi\varepsilon_0
\sim 2a_0^3$, yakni orde yang tepat di samping nilai eksaknya $4.5\,a_0^3$. (d) Tetapan dielektriknya: $\varepsilon_{\text{r}}$ tiap kapasitor adalah atom yang menjawab medan lewat penyerahan orde kedua ini persis.

**Latihan 13.8 ★★.**

Pancaran spontan (dengan satu masukan yang diterima tanpa bukti): sebuah keadaan tereksitasi meluruh dengan $A = \omega^3|d_{fi}|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3$, dengan unsur matriks jenis $d_{fi} = e\bra f\hat z\ket i$ menetapkan dipolnya. (a) Untuk hidrogen $2p \to 1s$: dengan $|d| \approx 0.74\,
ea_0$ dan $\lambda = 121.6\,\mathrm{nm}$, hitunglah $A$ beserta umurnya. (b) Skalakanlah ke garis D natrium. (c) Skalakanlah ke transisi hiperhalus 21 cm ($|d| \to$ sebuah momen magnetik, dengan lajunya turun lagi sebesar faktor sekitar $\alpha^2$; terimalah $A \approx
2.9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$): periksalah “sepuluh juta tahun”-nya. (d) Dari $\omega^3$-nya: mengapa garis ultraungu cepat, garis radio abadi, dan mengapa hal itu membuat [garis 21 cm](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/12-spin-dan-sistem-dua-aras#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) *dapat diramalkan* namun nyaris tak terdeteksi di laboratorium?

**Solusi Latihan 13.8.**

(a) $A = \omega^3|d|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3 \approx
6 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$: $\tau = 1.6\,\mathrm{ns}$. (b) $\omega$ lebih kecil sebesar $4.8$: $\omega^3$ sebesar $110$; dengan dipolnya yang agak lebih besar, garis D-nya keluar pada $\sim16\,\mathrm{ns}$ — sesuai pengukurannya. (c) $1/A = 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} \approx 11$ juta tahun. (d) $\omega^3$ membentang $10^{20}$ antara ultraungu dan radio: kilatan UU yang cepat, kesabaran radio yang berskala geologi — sehingga [garis 21 cm](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/12-spin-dan-sistem-dua-aras#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) diramalkan (van de Hulst, 1944) dari teori lalu dicari di langit, tempat $10^{66}$ atom mengimbangi kesabarannya.

**Latihan 13.9 ★★.**

Kaidah pemilihan sebagai integral. (a) Tunjukkanlah $\bra{100}\hat z\ket{200} =
0$ lewat paritasnya. (b) Tunjukkanlah $\bra{100}\hat z\ket{21m} = 0$ kecuali bila $m =
0$ (integral $\varphi$-nya). (c) Nyatakanlah kaidah yang dihasilkannya $\Delta
l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$ beserta pembacaan fisisnya (spin fotonnya). (d) Keadaan $2s$ tak dapat mencapai $1s$ lewat jalur dipol mana pun: apa yang diramalkannya bagi umurnya, dan jalur “terlarang” dua foton apa yang sesungguhnya ditempuh alam?

**Solusi Latihan 13.9.**

(a) Kedua keadaannya genap dikalikan $\hat z$ yang ganjil: integrannya ganjil. (b) Integral $\varphi$-nya $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu m\varphi}\dd\varphi$ lenyap kecuali bila $m = 0$. (c) Fotonnya membawa satu $\hbar$ dan paritas ganjil: $l$ harus berubah satu, dan $m$ paling banyak satu. (d) Dengan tiap pintu satu foton tertutup, $2s$ hidup $\sim0.12\,\mathrm{s}$ — delapan orde melampaui $2p$ — lalu meluruh lewat pemancaran serentak *dua* foton, yakni kontinum lemah yang memang teramati dalam nebula planet.

**Latihan 13.10 ★★★.**

Keterpolarisasian, secara jujur. Pergeseran orde kedua keadaan dasar hidrogen dalam sebuah medan adalah $\Delta E = -e^2\mathcal E^2\sum_{m\neq
0}|\bra m\hat z\ket 0|^2/(E_m - E_0)$. (a) Batasilah jumlahannya dengan mengganti tiap penyebutnya dengan celah terkecilnya $E_2 - E_1 =
\tfrac34 E_{\text{I}}$ dan memakai hubungan ketertutupannya $\sum_m|\bra
m\hat z\ket0|^2 = \langle z^2\rangle_0 = a_0^2$: perolehlah $\alpha
\le \tfrac{16}3\,a_0^3$ (dalam satuan bergaya Gauss $4\pi\varepsilon_0$). (b) Bandingkanlah dengan nilai eksaknya $\tfrac92 a_0^3$. (c) Dari $\alpha$, perkirakanlah indeks bias gas hidrogen pada kerapatan atmosfer ($n - 1 \approx N\alpha/2\varepsilon_0
\cdot e^2\dots$ — pakailah $n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2
\varepsilon_0$) lalu bandingkanlah dengan nilai terukur $1.3 \times 10^{-4}$. (d) Nyatakanlah dalam satu kalimat rantai atom $\to$ keterpolarisasian $\to$ pembiasan yang akan ditunggangi Bagian II soal akhir pekannya.

**Solusi Latihan 13.10.**

(a) Mengganti penyebutnya dengan yang terkecil, $\tfrac34
E_{\text{I}}$, lalu memakai ketertutupannya: $\alpha/4\pi\varepsilon_0 \le
2\,a_0^2\,(2E_{\text{I}})\,/\,(\tfrac34 E_{\text{I}})\cdot\tfrac12
= \tfrac{16}3\,a_0^3$. (b) Nilai eksaknya $4.5\,a_0^3$ berada di bawah batasnya, sebagaimana seharusnya. (c) $n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2\varepsilon_0
\approx 10^{-4}$ berbanding nilai terukur $1.3 \times 10^{-4}$: kelunakan orde kedua atomnya *memang* pembiasan gasnya. (d) Satu jumlahan unsur matriks menetapkan bagaimana sebuah atom menyerah kepada medan, dan penyerahan kolektif $10^{25}$ atom tiap meter kubik membelokkan cahayanya: [teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) $\to$ keterpolarisasian $\to$ optika.

**Latihan 13.11 ★★★.**

Perpotongan terhindar dan sapuan lambat. Sebuah sistem dua aras mempunyai energi telanjang $\pm\lambda t$ yang berpotongan pada $t = 0$, terkopel oleh $v$. (a) Sketsalah aras eksaknya terhadap $t$: sebuah perpotongan terhindar bercelah $2|v|$. (b) Jika sapuannya *lambat*, sistemnya mengikuti kurva bawahnya (teorema adiabatik, diterima tanpa bukti): keadaan apa yang akhirnya ditempatinya? (c) Patokan Landau–Zener membandingkan waktu sapuan melintasi daerah celahnya, $\sim v/\lambda$, dengan jam internalnya $\hbar/v$: berikanlah syarat pengikutan adiabatiknya. (d) Dua kegunaannya: keadaan sebuah kubit yang dipindahkan lewat kicauan lambat; sebuah tumbukan atom yang melompatkan muatan antarinti — jelaskanlah salah satunya dalam dua kalimat.

**Solusi Latihan 13.11.**

(a) Dua cabang hiperbola, dengan pendekatan terdekatnya $2|v|$ pada $t = 0$. (b) Dalam keadaan yang mengikuti kurva bawahnya secara sinambung — keadaan “diabatik” awalnya sudah bertukar watak: yakni pemindahan sepenuhnya. (c) Waktu perlintasannya $\sim v/\lambda$ yang panjang terhadap $\hbar/v$: adiabatik ketika $v^2/\hbar\lambda \gg 1$. (d) Kubit: sapukanlah medan kendalinya secara lambat melewati perpotongan terhindarnya dan populasinya akan menunggangi cabang bawahnya dari satu keadaan basis ke keadaan basis lainnya — yakni pemindahan yang tahan terhadap galat pewaktuan, yang dipakai sehari-hari dalam penyiapan keadaan secara adiabatik.

**Latihan 13.12 ★★★.**

Orde kedua itu pesimis, beserta teorema lainnya. (a) Buktikanlah bahwa koreksi orde kedua bagi keadaan *dasar* selalu negatif. (b) Simpulkanlah (dengan [Latihan 9.10](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#exo-b3-harmonic-oscillator-10)) mengapa gaya van der Waals selalu bersifat menarik antara atom dalam keadaan dasar. (c) Tunjukkanlah bahwa teori orde pertama *menaksir terlalu besar* tiap energi keadaan dasar: ia merupakan batas variasi (hitunglah $\bra{\psi_0}\hat
H\ket{\psi_0}$ dengan keadaan tak terganggunya sebagai fungsi coba). (d) Sebuah pemeriksaan taat asas atas [Contoh 13.4](#ex-b3-perturbation-theory-stark): mengapa [efek Stark](#ex-b3-perturbation-theory-stark) *linear* bukan pelanggaran atas (a)?

**Solusi Latihan 13.12.**

(a) Tiap suku jumlahannya berupa kuadrat dibagi penyebut yang negatif. (b) Efek antaratom terdepan dua atom dalam keadaan dasar berorde dua dalam kopling dipol–dipolnya: negatif — jadi selalu menarik, bagi pasangan jenis apa pun. (c) $\bra{\psi_0}\hat H\ket{
\psi_0} = E_0 + \bra{\psi_0}\hat V\ket{\psi_0}$ adalah energi sebuah keadaan coba, sehingga $\ge$ energi dasar yang sebenarnya: orde pertamanya hanya dapat melampaui. (d) Keadaan $n = 2$ yang terbelah Stark adalah keadaan tereksitasi; teoremanya berkenaan dengan keadaan dasar yang sebenarnya, yang pergeseran linearnya lenyap — jadi tak ada pertentangan.

## 13.5 Soal: Warna langit

**Soal 13.1.**

Soal akhir pekan — hamburan Rayleigh dari atom yang terganggu

Mengapa langit siang berwarna biru, senjanya merah, dan awannya putih? Jawaban lengkapnya adalah sebuah rantai lewat bab ini: gelombang cahaya mengganggu tiap molekul udara; dipol imbasannya memancar ulang (yakni radiasi dipol jilid Tahun 2); dan interferensinya memutuskan apa yang bertahan. Data: keterpolarisasian molekul udara $\alpha/4\pi\varepsilon_0 \approx 2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$; kerapatan cacahnya $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; rentang tampaknya $450$–$700\,\mathrm{nm}$.

**Bagian I — Molekul yang terganggu.**

1. Sebuah medan statis $\mathcal E$ menggeser keadaan dasar sebuah molekul sebesar $-\tfrac12\alpha\mathcal E^2$ : kaitkanlah pernyataan ini dengan [teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) orde kedua (rumus yang mana, dan mengapa negatif?).
2. $\alpha$ yang sama memberikan dipol imbasannya $p =  \alpha\mathcal E$ : untuk medan sinar matahari $\mathcal E \sim  800\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , hitunglah dipol imbasan satu molekul nitrogen lalu bandingkanlah dengan $ea_0$ .
3. Mengapa medan optisnya (berfrekuensi $5 \times 10^{14}$ Hz) boleh diperlakukan dengan keterpolarisasian *statis* bagi molekul yang transisi elektroniknya terletak di ultraungu? (Bandingkanlah $\hbar\omega$ dengan celahnya; inilah limit jauh di luar resonansi bagi penyebut kaidah emasnya.)
4. Sebuah dipol berosilasi $p_0\cos\omega t$ memancarkan daya rata-rata $P = p_0^2\omega^4/12\pi\varepsilon_0c^3$ (jilid Tahun 2). Digabungkan dengan $p_0 = \alpha\mathcal  E_0$ : bagaimana daya hamburannya bergantung pada $\omega$ pada penyinaran yang tetap?
5. Hitunglah nisbah daya hamburannya pada $450\,\mathrm{nm}$ dan $700\,\mathrm{nm}$ .
6. Dalam satu kalimat: mengapa langitnya biru dan bukan ungu (dua bahan: spektrum Matahari yang menurun ke arah ungu, dan kepekaan mata)?

**Bagian II — Dari satu molekul ke langit.**

7. Penampang lintang hamburannya diperoleh sebagai $\sigma =  \dfrac{8\pi}{3}\Big(\dfrac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0}  \Big)^2\dfrac{\omega^4}{c^4}$ : periksalah dimensinya lalu hitunglah pada $550\,\mathrm{nm}$ .
8. Panjang pelemahannya adalah $\ell = 1/N\sigma$ : hitunglah pada $550\,\mathrm{nm}$ lalu bandingkanlah dengan tebal atmosfernya ( $\sim8\,\mathrm{km}$ setara pada kerapatan permukaan laut).
9. Pada $450\,\mathrm{nm}$ berbanding $700\,\mathrm{nm}$ , berapa bagian seberkas sinar matahari tegak yang terhamburkan keluar? (Pakailah $1 -  \eu^{-L/\ell}$ dengan $L = 8\,\mathrm{km}$ .)
10. Pada senja lintasannya tiga puluh kali lebih panjang: hitunglah kembali kebertahanan birunya lalu jelaskanlah warna Matahari yang rendah — dan warna cahaya yang memerahkan Bulan dalam gerhana bulan.
11. Mengapa cahaya langit *terpolarisasi* pada $90^\circ$ dari Matahari (ingatlah pola radiasi dipolnya: tak ada pancaran sepanjang sumbu dipolnya)?
12. Lebah dan orang Viking konon bernavigasi dengan polarisasi ini: apa yang dilakukan hari yang mendung terhadapnya, dan mengapa?

**Bagian III — Mengapa langitnya tidak lebih terang.**

13. Sebuah paradoks: dalam medium yang benar-benar seragam, riak gelombang dari unsur volume yang bertetangga berinterferensi merusak ke arah samping, sehingga *tak ada* cahaya yang akan terhambur sama sekali (hanya pembiasan yang bertahan). Apa yang sesungguhnya merusak keseragaman udara — apa yang tersebar secara acak?
14. Fluktuasi kerapatan sebuah gas ideal membuat keterangan hamburan molekul yang saling bebas *dijumlahkan* : nyatakanlah mengapa kebebasannya (kedudukan acak, jarak berskala panjang gelombang) membunuh interferensi merusaknya.
15. Dari $\ell$ Anda pada $550\,\mathrm{nm}$ : berapa bagian sinar matahari yang dihamburkan satu atmosfer di hari cerah — apakah bilangannya cocok dengan keterangan langit sehari-hari dibandingkan Matahari?
16. Sebutir titik awan ( $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) memuat $\sim10^{12}$ molekul dalam satu panjang gelombang: riak gelombangnya berjumlah secara *terpadu* . Bagaimana daya hamburannya lalu berskala terhadap cacah molekulnya, dan mengapa pemilihan warna $\omega^4$ -nya lenyap (semua panjang gelombangnya terhambur kuat): berwarna apakah awannya?
17. Susu, kabut dan cat putih berwarna putih karena alasan yang sama: nyatakanlah kaidah umumnya — penghambur yang kecil terhadap $\lambda$ mewarnai cahayanya, penghambur yang besar terhadap $\lambda$ memutihkannya.
18. Opalesensi kritis: di dekat titik kritis sebuah zat cair (bab perubahan fase jilid Tahun 1, dan [Bab 21](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/21-peralihan-fase#ch-b3-phase-transitions) di depan), fluktuasi kerapatannya tumbuh sampai skala optis dan fluidanya menjadi seperti susu: kaitkanlah dengan butir 13.

**Bagian IV — Rantainya, dilengkapi.**

19. Riak gelombang yang terhambur ke depan *tidak* saling meniadakan: ia berinterferensi dengan berkasnya lalu memperlambat fasenya — yakni indeks biasnya. Dengan memakai $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ (dengan $\alpha$ dalam SI), hitunglah $n - 1$ untuk udara lalu bandingkanlah dengan nilai terukur $2.9 \times 10^{-4}$ .
20. Satu tetapan $\alpha$ , yang dihitung dengan [teori gangguan](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) orde kedua, dengan demikian menetapkan tiga gejala sekaligus: sebutkanlah ketiganya (pergeseran dalam medan statis; birunya langit; pembelokan cahaya dalam udara).
21. Serapan ozon, aerosol dan hamburan berganda merumitkan langit yang sebenarnya: sebutkanlah satu hal teramati bagi masing-masingnya (warna senja; cakrawala yang seperti susu; keterangan sisa langit di zenit setelah matahari terbenam).
22. Mengapa Bulan, yang tanpa udara, mempunyai langit siang yang *hitam* — dan apa yang karenanya dibenarkan tiap foto dari permukaannya tentang asal usul langit kita?
23. Langit siang Mars berwarna karamel dan senjanya *biru* : udaranya yang tipis menghamburkan sedikit, dan butiran debu mikrometer yang melayanglah yang melakukan pekerjaannya. Dengan memakai kaidah butir 18, jelaskanlah bagaimana debunya membalikkan logika warnanya.
24. Untuk sinar-X, $\hbar\omega$ jauh melampaui tiap transisi molekul: elektronnya menanggapi seolah-olah bebas dan hamburannya (Thomson) kehilangan $\omega^4$ -nya. Apa yang terjadi pada mekanisme “biru langit” dalam rezim itu — dan mengapa tanggapan yang rata itu justru yang menjadikan sinar-X penyelidik kerapatan elektron yang bersih?
25. Ringkaslah hasil bernama itu: keterpolarisasian $2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$ , yang dikuadratkan lalu dikalikan $\omega^4$ , memberikan panjang hamburan berskala $60\,\mathrm{km}$ pada warna hijau — cukup panjang sehingga langit siangnya lembut, cukup pendek sehingga senjanya memerah dan langitnya biru, dengan pola polarisasi sebuah hutan dipol yang digerakkan.

**Solusi Soal 13.1.**

**1.** $\hat V = e\mathcal E\hat z$ tidak mempunyai rata-rata orde pertama (paritas); jumlahan orde keduanya, yang semua penyebutnya negatif bagi keadaan dasar, memberikan $-\tfrac12\alpha\mathcal E^2$ dengan $\alpha$ adalah keterpolarisasiannya — negatif karena arasnya tertolak dari atas. **2.** $\alpha_{\text{SI}} = 4\pi\varepsilon_0 \times
2.2 \times 10^{-30} = 2.4 \times 10^{-40}\,\mathrm{F}\,\mathrm{m}^{2}$: $p = 2 \times 10^{-37}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}
\approx 2 \times 10^{-8}\,ea_0$ — seperseratus juta dipol atom, tiap molekulnya. **3.** $\hbar\omega \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ berbanding celah ultraungunya $\gtrsim10\,\mathrm{eV}$: penyebut perturbatifnya nyaris tidak merasakan penggeraknya, sehingga $\alpha$ statisnya sudah memadai. **4.** $p_0 = \alpha\mathcal E_0$ rata terhadap frekuensinya, sehingga $P
\propto \omega^4$: yakni hukum Rayleigh. **5.** $(700/450)^4 = 5.9$: cahaya biru terhambur enam kali lebih banyak daripada merah. **6.** Matahari memancarkan lebih sedikit ungu daripada biru dan kepekaan mata terhadap ungu buruk: langit yang terhambur memuncak, *bagi kita*, pada biru. **7.** $[\alpha/4\pi\varepsilon_0] = \mathrm{m}^{3}$ dan $\omega^4/c^4 = \mathrm{m}^{-4}$: hasilnya sebuah luas. Pada $550\,\mathrm{nm}$: $\sigma \approx 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$. **8.** $\ell = 1/N\sigma \approx 58\,\mathrm{km}$: setebal beberapa atmosfer — udara *hampir* tembus pandang. **9.** Biru ($\ell \approx 26\,\mathrm{km}$): $1 -
\eu^{-8/26} = 26\%$ terhambur; merah ($\ell \approx 150\,\mathrm{km}$): $5\%$. Langitnya dibangun dari selisih itu. **10.** Sepanjang $\sim240\,\mathrm{km}$ lintasan matahari rendahnya, birunya bertahan $\eu^{-9} \sim 10^{-4}$ sedangkan merahnya menyimpan $\sim20\%$: Matahari terbenam merah — dan merah yang sama, yang dibiaskan cincin senja Bumi, mewarnai Bulan yang gerhana menjadi tembaga. **11.** Sebuah dipol tidak memancarkan apa pun sepanjang sumbunya sendiri: pada hamburan $90^\circ$, komponen osilasi molekulnya sepanjang garis pandang tidak dapat menyumbang, dan cahaya yang bertahan terpolarisasi tegak lurus terhadap bidang Matahari–molekul–mata. **12.** Awan memaksakan hamburan berganda, yang mengacak geometrinya: kompas polarisasinya mati di bawah langit mendung — dan itulah yang menjadikan penggunaannya oleh orang Viking sebuah prestasi. **13.** *Kedudukan* molekulnya: udara adalah gas acak, dengan kerapatannya berfluktuasi pada tiap skala — materi yang tertata sempurna (idealnya sebuah kristal) hanya menghamburkan ke dalam berkas biasnya. **14.** Penghambur yang acak dan terpisah pada skala panjang gelombang berjumlah dengan fase acak: suku silangnya merata-rata habis dan keterangannya berjumlah — persekongkolan merusaknya menuntut keteraturan, dan ketakteraturan membatalkannya. **15.** $1 - \eu^{-8/58} \approx 13\%$ sinar matahari memberi makan kubah birunya — selaras dengan langit yang ribuan kali lebih redup daripada cakram matahari namun cukup terang untuk membaca. **16.** Di dalam sebutir titiknya riak gelombangnya menjumlahkan *amplitudo*: dayanya $\propto N^2$, yang luar biasa besar dan nyaris buta panjang gelombang (titiknya jauh lebih besar daripada $\lambda$): awan menghamburkan segalanya — jadi putih. **17.** Penghambur di bawah panjang gelombang memilih warnanya ($\omega^4$); penghambur di atas panjang gelombang memantulkan secara geometris lalu memutihkannya: susu, kabut, cat, salju. **18.** Di dekat titik kritisnya fluktuasi kerapatannya sendiri tumbuh sampai berukuran optis: fluidanya menjadi awannya sendiri — yakni opalesensi kritis, mekanisme Rayleigh yang dikuatkan sampai kelegapan. **19.** $n - 1 = 2.5 \times 10^{25} \times 2.4 \times 10^{-40}/(2 \times
8.85 \times 10^{-12}) \approx 3.4 \times 10^{-4}$, berbanding nilai terukur $2.9 \times 10^{-4}$: riak gelombang ke depannya, yang terpadu dengan berkasnya, memperlambat fasenya. **20.** Pergeseran Stark sebuah aras; birunya langit; dan pembiasan (beserta fatamorgana dan lensa udara) cahaya — satu $\alpha$, tiga gejala. **21.** Serapan ozon mewarnai senja di zenit menjadi biru; aerosol memutihkan cakrawalanya; cahaya yang terhambur berganda menjaga langit tetap sedikit bercahaya setelah matahari terbenam. **22.** Tanpa udara, tanpa dipol: Matahari menyala dalam langit yang hitam — sehingga membuktikan lewat ketiadaan bahwa kubah biru kita adalah sinar matahari yang terhambur, bukan sifat “angkasa” yang berpijar. **23.** Butiran debu Mars besar terhadap $\lambda$: butiran itu menghamburkan cahaya merah secara berdaya guna ke segala arah (sehingga mewarnai langitnya) sambil mendifraksikan biru paling kuat *ke depan* — sehingga langitnya karamel dan lingkar cahaya di sekitar Matahari yang terbenam berwarna biru: ukuran butirannya membalikkan logika butir 18. **24.** Hamburan Thomson rata terhadap frekuensinya: tanpa pemilihan warna, tanpa biru — tetapi tanggapan yang sekadar sebanding dengan *kerapatan elektron* justru itulah yang diinginkan kristalografi dan radiografi dari sebuah penyelidik. **25.** Satu tetapan orde kedua, $2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$, yang dikuadratkan lalu dibobot $\omega^4$, menghasilkan panjang hamburan cahaya hijau $\sim60\,\mathrm{km}$: cukup tembus pandang untuk siang hari, cukup menghambur untuk sebuah kubah biru, terpolarisasi bagaikan sebuah ladang dipol yang digerakkan, dan memerahkan tiap senja tepat pada waktunya.