---
title: "Mekanika Hamilton"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/2-mekanika-hamilton
---

# Bab 2 — Mekanika Hamilton

Potretlah sebuah bandul seribu kali lalu gambarlah, untuk tiap jepretan, sudutnya terhadap momentum sudutnya: titik-titiknya jatuh pada sebuah kurva tertutup, dan setiap gerak yang mungkin dari bandul itu adalah satu kurva semacam itu — ayunan kecil pada oval yang bersarang, putaran penuh pada garis bergelombang di atas dan di bawahnya, dan di antara keduanya satu kurva bersilang yang memisahkan kedua rezim itu. Gambaran ini, yang disebut *[potret fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait)*, adalah inti perumusan ulang yang diberikan Hamilton kepada mekanika pada 1833: keadaan sebuah sistem adalah sebuah titik dalam ruang koordinat *dan* momentum, perkembangannya adalah aliran dalam ruang itu, dan aliran itu dibangkitkan oleh satu fungsi tunggal, yaitu energinya, lewat dua persamaan orde satu yang indah setangkupnya. Ganjarannya bukan perhitungan yang lebih mudah — Lagrange biasanya menang di situ — melainkan *geometri* yang tepat: alirannya mempertahankan volume [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), yang kelak menjadi landasan fisika statistik; dan kerangka aljabarnya, yaitu [kurung Poisson](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson), persis itulah yang kelak diangkat mekanika kuantum menjadi komutator. Bab ini adalah engsel antara mekanika benda dan fisika abad kedua puluh.

## 2.1 Dari Lagrange ke Hamilton

**Definisi 2.1 (Hamiltonian dan persamaan kanonik).**

Untuk sistem dengan [Lagrangian](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $L(q, \dot q, t)$, nyatakanlah kecepatannya dalam momentum $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ lalu definisikanlah *Hamiltonian* sebagai transformasi Legendre

$$
H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,
$$

yaitu fungsi koordinat dan *momentum*. Ruang berdimensi $2n$ yang beranggotakan $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ adalah *ruang fase*; satu titik di dalamnya — satu *keadaan* — menentukan seluruh masa depan dan masa lalu sistemnya lewat *persamaan kanonik* pada [Teorema 2.2](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-canonical).

**Teorema 2.2 (Persamaan Hamilton).**

[Persamaan Euler–Lagrange](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) setara dengan $2n$ persamaan orde satu berikut

$$
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .
$$

**Bukti.** Turunkanlah $H = \sum p_i\dot q_i - L$ sebagai fungsi $(q, p, t)$: $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum(
\partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. Suku $\dd\dot q_i$ saling meniadakan karena definisi $p_i$ — justru itulah maksud transformasi Legendre — sehingga tersisa $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. Membaca turunan parsialnya: $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ dan $\partial H/\partial q_i =
-\partial L/\partial q_i$, yang menurut Euler–Lagrange sama dengan $-\dot p_i$. (Juga $\partial_tH = -\partial_tL$.) ∎

**Proposisi 2.3 (Apakah HHH itu).**

$H$ berimpit dengan [fungsi energi](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ pada bab sebelumnya: sepanjang sebuah gerak, $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$, sehingga $H$ kekal setiap kali ia tidak bergantung waktu secara eksplisit; dan bila energi kinetiknya kuadratik dalam kecepatan dengan [kendala](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) yang bebas waktu, $H = E_k + E_p$, yakni energi mekaniknya — kini ditulis dalam variabel $(q, p)$.

**Bukti.** $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot
p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H -
\partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$: kesetangkupan [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) membuat jumlahannya lenyap secara identik. Penyamaan dengan $E_k + E_p$ adalah [Proposisi 1.14](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy). ∎

**Contoh 2.4 (Dua Hamiltonian).**

Massa pada pegas: $p = m\dot x$, sehingga

$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;
$$

[persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$ adalah pasangan yang sudah dikenal. Bandul: $p = m\ell^2\dot\theta$ dan

$$
H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .
$$

Pada kedua kasus $H$ adalah energinya, tetap pada tiap gerak: gerak itu *adalah* kurva aras $H$ pada bidang $(q,p)$.

**Metode 2.5 (Resep Hamilton).**

(1) Dari $L$, hitunglah momentum $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ lalu baliklah untuk memperoleh $\dot q_i$. (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$, dinyatakan hanya dalam $(q, p)$ — untuk sistem yang wajar cukuplah $E_k + E_p$ dengan $E_k$ ditulis ulang dalam momentum. (3) Tuliskanlah [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (4) Gambarlah kurva aras $H$: untuk satu [derajat kebebasan](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) kurva itulah lintasannya, dan seluruh gerak kualitatifnya — osilasi, rotasi, kesetimbangan, [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) — terbaca tanpa menyelesaikan apa pun.

## 2.2 Ruang fase

**Definisi 2.6 (Potret fase, titik tetap, separatriks).**

Yang disebut *potret fase* sebuah sistem adalah keluarga lintasannya di [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Yang disebut *titik tetap* adalah keadaan yang membuat kedua [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) lenyap — yakni sebuah kesetimbangan: minimum potensialnya muncul sebagai *pusat* yang dikelilingi kurva tertutup, maksimumnya sebagai *pelana* yang dilalui sebuah *separatriks*, yaitu lintasan yang membagi [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) menjadi daerah-daerah dengan gerak yang berbeda secara kualitatif.

**Contoh 2.7 (Potret fase bandul).**

Untuk $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$: oval tertutup mengelilingi $(0, 0)$ — *librasi*, yakni ayunan biasa; kurva bergelombang pada $|p|$ besar — *rotasi*, yakni bandul yang berputar melewati puncaknya; dan lewat pelana di $\theta = \pm\pi$ terdapat [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), dengan energi $E = +mg\ell$, yang membuat bandulnya memerlukan waktu tak hingga untuk mencapai puncak. Keadaan pada [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) adalah ayunan yang dilontarkan *tepat* cukup kuat untuk tiba di kedudukan terbalik tanpa sisa sedikit pun.

![Potret fase bandul: kurva aras H. Oval tertutup (ayunan) beredar searah jarum jam mengelilingi pusatnya; di atas dan di bawah separatriks, bandulnya berputar. Pelana di ± 180 adalah kesetimbangan terbaliknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-dd869ea0e47f.svg)

*[Potret fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) bandul: kurva aras $H$. Oval tertutup (ayunan) beredar searah jarum jam mengelilingi pusatnya; di atas dan di bawah [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), bandulnya berputar. Pelana di $\pm 180^\circ$ adalah kesetimbangan terbaliknya.*

**Teorema 2.8 (Teorema Liouville).**

Aliran Hamilton mempertahankan volume [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): jika sebuah daerah keadaan awal terbawa oleh [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), volumenya (luasnya, untuk satu [derajat kebebasan](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates)) tak pernah berubah — apa pun bentuk yang kemudian dimilikinya.

**Bukti.** Aliran di [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) mempunyai medan kecepatan $(\dot q_i, \dot p_i) =
(\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$. Divergensinya adalah

$$
\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i}
 + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big)
 = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}
 - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :
$$

alirannya tak termampatkan, dan aliran tak termampatkan mengangkut volume tanpa mengubahnya, seperti pada fluida dalam jilid Tahun 2. (Langkah formal dari divergensi nol ke volume yang kekal adalah teorema pengangkutan yang dibuktikan di sana.) ∎

**Catatan 2.9 (Mengapa Liouville penting).**

Tak ada satu pun dalam perumusan Newton yang menyiratkan bahwa sesuatu bersifat tak termampatkan. Dalam gambaran Hamilton hal itu otomatis — dan itulah izin bagi fisika statistik: ketika kita menggambarkan gas berisi $10^{23}$ molekul dengan segumpal titik di [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), teorema Liouville mengatakan bahwa gumpalan itu mengalir bagaikan fluida tak termampatkan, sehingga “banyaknya keadaan dalam suatu volume [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)” menjadi besaran yang tak dapat diciptakan atau dimusnahkan oleh dinamikanya sendiri. Postulat mikrokanonik fisika statistik, di bagian selanjutnya jilid ini, berdiri tepat di atasnya.

![Teorema Liouville: alirannya mengubah bentuk sebuah daerah keadaan awal — menggesernya, memutarnya — tetapi luasnya kekal secara persis.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-7a9f42ec226b.svg)

*Teorema Liouville: alirannya mengubah bentuk sebuah daerah keadaan awal — menggesernya, memutarnya — tetapi luasnya kekal secara persis.*

## 2.3 Kurung Poisson

**Definisi 2.10 (Kurung Poisson).**

Yang disebut *kurung Poisson* dua fungsi $f(q, p, t)$ dan $g(q, p, t)$ pada [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) adalah

$$
\{f, g\} = \sum_i\Big(
 \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .
$$

Kurung ini antisetangkup, linear dalam tiap argumennya, memenuhi aturan hasil kali $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$, dan bagi koordinatnya sendiri memenuhi *hubungan kanonik*

$$
\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad
\{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .
$$

**Teorema 2.11 (Perkembangan sebagai kurung).**

Sepanjang gerak apa pun,

$$
\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .
$$

Khususnya, besaran yang tidak bergantung waktu secara eksplisit kekal jika dan hanya jika kurungnya dengan [Hamiltonian](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) lenyap; dan [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) sendiri berbunyi $\dot q_i = \{q_i, H\}$, $\dot p_i
= \{p_i, H\}$: [Hamiltonian](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) *membangkitkan* perkembangan waktu.

**Bukti.** Aturan rantai ditambah [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): $\dd f/\dd t = \sum(
\partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf =
\sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\,
\partial_{q_i}H) + \partial_tf$. ∎

**Contoh 2.12 (Kurung momentum sudut).**

Untuk satu partikel, $L_z = xp_y - yp_x$ beserta pasangan sikliknya. Perhitungan langsung dari hubungan kanoniknya memberikan

$$
\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad
\{L_y, L_z\} = L_x , \qquad
\{L_z, L_x\} = L_y ,
$$

dan $\{L^2, L_z\} = 0$: komponen momentum sudut tidak saling “berkomutasi”, tetapi masing-masingnya berkomutasi dengan kuadrat totalnya. Ingatlah bentuk hubungan ini — semuanya akan kembali, kata demi kata, sebagai komutator dalam mekanika kuantum, tempat hubungan itu menentukan segala hal tentang struktur atom.

**Catatan 2.13 (Pintu menuju mekanika kuantum).**

Dirac mengamati pada 1925 bahwa seluruh mekanika kuantum diperoleh dengan mempertahankan aljabar mekanika Hamilton dan menggantikan [kurung Poisson](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) dengan komutator operator yang dibagi $\iu\hbar$: $\{q, p\} = 1$ menjadi $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$, kekekalan tetap berarti “kurungnya dengan $H$ lenyap”, dan perkembangan waktu tetap dibangkitkan oleh [Hamiltonian](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Teori klasik mengandung, jauh di dalam tulangnya, kerangka teori kuantum; bab tentang mekanika kuantum akan membuat kesesuaian ini gamblang.

## 2.4 Aksi dan invarian adiabatik

**Definisi 2.14 (Variabel aksi).**

Untuk sistem berderajat kebebasan satu yang berosilasi pada lintasan fase tertutup, yang disebut *variabel [aksi](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-action)* adalah luas yang dilingkupinya dibagi $2\pi$:

$$
I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .
$$

**Proposisi 2.15 (Aksi osilator harmonik).**

Untuk $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ pada energi $E$, lintasannya adalah elips dengan setengah sumbu $\sqrt{2E/m\omega^2}$ dan $\sqrt{2mE}$, yang melingkupi luas $2\pi E/\omega$: karena itu

$$
I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,
$$

dan frekuensi osilasinya $\partial E/\partial I = \omega$, sebagaimana seharusnya.

**Bukti.** Luas sebuah elips, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} =
2\pi E/\omega$. ∎

**Proposisi 2.16 (Keinvarianan adiabatik).**

Jika sebuah parameter sistemnya (panjang, kekakuan, medan) diubah secara *perlahan* — sepanjang banyak periode osilasi — energinya berubah, frekuensinya berubah, tetapi [aksi](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ tetap dengan hampiran yang sangat baik: $I$ adalah sebuah *[invarian adiabatik](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)*. Untuk osilator yang diubah perlahan, $E/\omega$ dengan demikian kekal: keraskanlah pegasnya perlahan hingga $\omega$ berlipat dua, dan energinya pun berlipat dua.

**Bukti sebagian.** Untuk osilator dengan $\omega(t)$ yang berubah perlahan: sepanjang satu periode, usaha yang dilakukan parameter yang berubah itu dapat dihitung dengan perata-rataan; perhitungannya (dituntun dalam [Latihan 2.11](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-11)) memberikan $\dot E/E = \dot\omega/\omega$, yakni $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ pada orde terdepan. Pernyataan umumnya, untuk sembarang sistem berosilasi yang diubah perlahan, diterima tanpa bukti — itulah sebabnya orbit planet bertahan terhadap gangguan lambat, sekaligus titik tolak “teori kuantum lama” di bawah ini. ∎

![Keinvarianan adiabatik. Kiri: ketika diperbesar dua kali secara perlahan, elips fasenya berubah bentuk pada luas tetap, sehingga E = I berlipat dua. Kanan: menarik naik tali bandul yang berayun memasok energi ke ayunannya tepat dalam perbandingan yang menjaga I = E/ tetap.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-85ce23e27528.svg)

*Keinvarianan adiabatik. Kiri: ketika $\omega$ diperbesar dua kali secara perlahan, elips fasenya berubah bentuk pada luas tetap, sehingga $E = \omega I$ berlipat dua. Kanan: menarik naik tali bandul yang berayun memasok energi ke ayunannya tepat dalam perbandingan yang menjaga $I = E/\omega$ tetap.*

**Catatan 2.17 (Teori kuantum lama).**

Mengapa atom mempunyai energi yang diskret? Jawaban kuantitatif yang pertama (Bohr 1913, Sommerfeld 1915) ditulis dalam bahasa bab ini: di antara semua gerak klasik, alam mempertahankan gerak yang integral [aksinya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-action) merupakan kelipatan bulat tetapan Planck,

$$
\oint p\,\dd q = nh .
$$

Diterapkan pada osilator harmonik, aturan ini memberikan $E_n = n\hbar\omega$ (hanya kehilangan setengah dari $\big(n + \tfrac12\big)\hbar
\omega$ yang sebenarnya); diterapkan pada partikel dalam kotak ia memberikan *tepat* tingkat energi jilid Tahun 2; diterapkan pada atom hidrogen ([Soal 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1)) ia memberikan spektrum terukur sampai empat angka. Aturan itu benar secara kuantitatif namun sementara secara konseptual — dan karena [aksi](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-action) merupakan [invarian adiabatik](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic), bilangan kuantum $n$ tidak berubah di bawah gangguan lambat, dan itulah sebabnya aturan semacam itu dapat bekerja sama sekali. Teori yang sebenarnya bermula lima bab dari sini.

![Bandul yang disorot stroboskop: kedudukannya berdesakan di dekat titik balik, tempat bandulannya berlama-lama, dan merenggang di dasarnya, tempat ia bergegas — sebuah foto potret ruang fase yang digambar bab ini dengan persamaan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/img-7e511e05d49a.jpg)

*Bandul yang disorot stroboskop: kedudukannya berdesakan di dekat titik balik, tempat bandulannya berlama-lama, dan merenggang di dasarnya, tempat ia bergegas — sebuah foto potret [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) yang digambar bab ini dengan persamaan.*

## 2.5 Latihan

**Latihan 2.1 ★.**

Untuk massa pada pegas: (a) susunlah $H$ dari $L$ lalu periksalah $H =
E_k + E_p$; (b) tuliskanlah [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) dan periksalah bahwa persamaan itu menghasilkan kembali $\ddot x = -\omega^2x$; (c) tunjukkanlah bahwa lintasannya berupa elips pada bidang $(x, p)$ lalu berikanlah setengah sumbunya pada energi $E$; (d) dalam pengertian apa titik wakilnya bergerak searah jarum jam?

**Solusi Latihan 2.1.**

(a) $p = m\dot x$, $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k +
E_p$. (b) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$, sehingga $\ddot x = -(k/m)x$. (c) $H = E$ adalah elips $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$: setengah sumbunya $\sqrt{2E/k}$ dan $\sqrt{2mE}$. (d) Di titik paling kanan ($x > 0$, $p = 0$), $\dot p = -kx < 0$: titiknya bergerak ke bawah — searah jarum jam, selalu.

**Latihan 2.2 ★.**

Manik pada gelang berputar dari bab sebelumnya mempunyai $L =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta +
mgR\cos\theta$. (a) Hitunglah $p$ dan $H$. (b) Apakah $H$ kekal? Apakah ia energi mekaniknya? (c) Sketsalah kurva aras $H$ untuk $\omega^2 < g/R$ dan $\omega^2 > g/R$, dengan memakai potensial efektif pada bab tersebut. (d) Kenalilah pusat, pelana dan [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) pada kasus cepatnya.

**Solusi Latihan 2.2.**

(a) $p = mR^2\dot\theta$; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2
\sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{eff}}(\theta)$. (b) Kekal ($H$ tidak memuat $t$ secara eksplisit), tetapi ia adalah $h$, bukan energi mekaniknya: usaha motornya tidak ada di dalamnya. (c) Kurva arasnya adalah $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{eff}})}$: untuk rotasi lambat, oval mengelilingi $(0, 0)$ dan sebuah [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) lewat pelana di $\theta = \pi$; untuk rotasi cepat, dua keluarga oval mengelilingi $(\pm\theta_{\text{eq}}, 0)$. (d) Kasus cepat: pusat di $\pm\theta_{\text{eq}}$; pelana di $\theta = 0$ *dan* $\theta =
\pi$; lewat $\theta = 0$ melintas [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) berbentuk angka delapan yang melingkupi kedua pusatnya ([osilasi kecil](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) melompati dasarnya), dan lewat $\pi$ melintas [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) luar, di luar mana maniknya beredar melewati puncak.

**Latihan 2.3 ★.**

Sebuah bola memantul secara elastis di lantai, $H = p^2/2m + mgz$ ($z >
0$). (a) Gambarlah lintasan fase untuk satu penerbangan dan untuk seluruh gerak pantulannya. (b) Apa yang dilakukan pantulan elastis itu terhadap titik wakilnya? (c) Hitunglah luas yang dilingkupinya untuk ketinggian maksimum $z_{\max}$, beserta [aksi](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$. (d) Aturan Bohr–Sommerfeld $\oint p\,\dd z = nh$ yang diterapkan pada neutron yang memantul ($m =
1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) memberikan ketinggian pantulan terkuantumkan: perkirakanlah yang terendah, lalu bandingkanlah dengan $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ yang terukur dalam percobaan keadaan kuantum gravitasi pada 2002.

**Solusi Latihan 2.3.**

(a) Satu penerbangan adalah busur $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — sebuah parabola yang terbaring pada sisinya, ditempuh dari $(0, +p_0)$ naik ke $(z_{\max}, 0)$ lalu turun kembali ke $(0, -p_0)$. (b) Pantulannya memetakan $(0, -p_0)$ ke $(0, +p_0)$: sebuah ruas tegak yang menutup lingkarnya. (c) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z =
\tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$, dan $I$ adalah nilai itu dibagi $2\pi$. (d) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$: untuk neutron, $z_1 =
(6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — orde yang tepat: percobaan di Grenoble menemukan keadaan kuantum gravitasi terendah di sekitar $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (perlakuan eksaknya, dengan fungsi gelombang yang sebenarnya, memberikan $14\,\text{µ}\mathrm{m}$).

**Latihan 2.4 ★.**

Hanya dari hubungan kanoniknya, hitunglah (a) $\{x^2, p\}$; (b) $\{xp, H\}$ untuk $H = p^2/2m + E_p(x)$, lalu tafsirkanlah kedua sukunya (kurung inilah yang menggerakkan *teorema virial*); (c) $\{L_z, x\}$ dan $\{L_z, p_x\}$; (d) tunjukkanlah bahwa jika $\{f, H\} = 0$ dan $\{g, H\} = 0$ maka $\{f, g\}$ juga kekal (pakailah identitas Jacobi, yang diterima tanpa bukti: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$).

**Solusi Latihan 2.4.**

(a) $\{x^2, p\} = 2x$. (b) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k -
x\,E_p'$: pada gerak terikat, rata-rata waktu $\dd(xp)/\dd t$ lenyap, sehingga $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — itulah teorema virial (untuk $E_p \propto x^2$: $\langle E_k\rangle = \langle
E_p\rangle$; untuk $\propto -1/r$: $2\langle E_k\rangle = -\langle
E_p\rangle$). (c) $\{L_z, x\} = y$, $\{L_z, p_x\} = p_y$: $L_z$ membangkitkan rotasi baik pada kedudukan maupun pada momentum. (d) Jacobi dengan $h
= H$: $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$.

**Latihan 2.5 ★★.**

Bandul di dekat separatriksnya. (a) Berikanlah energi separatriksnya dan nilai $|p|$ maksimum padanya. (b) Tunjukkanlah bahwa pada [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) $p =
\pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ dengan $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$. (c) Dengan memakai $\dot\theta = p/m\ell^2$, tunjukkanlah bahwa waktu untuk pergi dari $\theta$ ke puncaknya membesar secara logaritmik. (d) Bandul nyata yang dilepaskan sedikit di bawah separatriksnya menggantung lama di dekat kedudukan terbalik sebelum berayun kembali — kaitkanlah hal ini dengan (c), dan dengan perlambatan yang terlihat di dekat setiap pelana.

**Solusi Latihan 2.5.**

(a) $E_{\text{sep}} = mg\ell$ (energi kedudukan diam terbaliknya); nilai maksimum $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ di dasarnya. (b) Dari $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$. (c) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ terpisahkan: $\omega_0t =
\ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$, yang membesar tanpa batas ketika $\theta \to \pi$: puncaknya didekati tetapi tak pernah dicapai. (d) Sedikit di bawah separatriksnya, geraknya membayangi [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) itu: bandulnya merayap masuk ke persekitaran pelananya, berlama-lama — itulah logaritmanya — lalu akhirnya jatuh kembali; setiap titik pelana memperlambat lintasan secara logaritmik, dan itulah sebabnya tongkat yang diseimbangkan tidak sempurna tampak ragu sejenak sebelum jatuh.

**Latihan 2.6 ★★.**

Partikel bermuatan dalam medan magnet mempunyai $H = (\vect p -
q\vect A)^2/2m$ dengan $\vect p$ adalah momentum kanonik pada bab sebelumnya. (a) Tuliskanlah [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) untuk $\vect A = \tfrac12
B(-y, x, 0)$ lalu periksalah bahwa persamaan itu memberikan gerak siklotron. (b) Tunjukkanlah $H =
\tfrac12 m\vect v^{\,2}$: medan magnetnya tidak melakukan usaha. (c) Hitunglah kurung dua besaran kekal $\pi_x = p_x - \tfrac12
qBy$ dan $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (periksalah lebih dahulu bahwa masing-masingnya kekal), lalu tunjukkanlah $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$: dua besaran kekal yang kurungnya sebuah tetapan. (d) Pakailah [Latihan 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d) untuk menjelaskan mengapa tak ada besaran kekal bebas ketiga yang dapat diharapkan dari keduanya.

**Solusi Latihan 2.6.**

(a) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ dan $\dot p_x =
-\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect
A$, dan seterusnya; dengan melenyapkan $\vect p$ diperoleh kembali $m\ddot x = qB\dot y$, $m\ddot y = -qB\dot x$. (b) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12
m\vect v^{\,2}$: hanya energi kinetik — yang tetap, karena gaya magnetiknya tegak lurus terhadap $\vect v$. (c) Dengan $m\dot x = p_x +
\tfrac12 qBy$: $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$, yang kekekalannya adalah persamaan gerak pertama (begitu pula $\pi_y$); dalam kurungnya hanya dua suku yang bertahan: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12
qB$ dan $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$, jumlahnya $-qB$. ($\pi_x/qB$ dan $\pi_y/qB$ adalah, sampai pada tandanya, koordinat pusat pemandu lingkarannya.) (d) Menurut [Latihan 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d), kurung dua besaran kekal juga kekal — di sini kurung itu adalah tetapan $-qB$, yang kekal secara sepele dan tidak mengajarkan hal baru: tak ada besaran ketiga yang muncul.

**Latihan 2.7 ★★.**

Liouville, dengan tangan. (a) Untuk partikel bebas, alirannya $q \to q +
pt/m$, $p \to p$: tunjukkanlah bahwa sebuah persegi panjang menjadi jajargenjang dengan luas yang sama. (b) Untuk osilator harmonik, tunjukkanlah bahwa alirannya sebuah rotasi (dalam satuan yang sesuai) lalu simpulkanlah. (c) Untuk osilator *teredam* $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$, tuliskanlah divergensi alirannya pada bidang $(x, v)$ lalu tunjukkanlah bahwa luasnya menyusut sebagai $\eu^{-\gamma t}$: peredaman bukanlah gerak Hamilton. (d) Ke manakah luas yang hilang itu “pergi” secara fisis?

**Solusi Latihan 2.7.**

(a) Pemetaan $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ adalah geseran: alas dan tinggi persegi panjangnya tidak berubah, luasnya pun tidak (determinan $1$). (b) Dalam variabel $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ alirannya adalah rotasi tegar berlaju $\omega$; rotasi mempertahankan luas, dan penggantian variabelnya berdeterminan $1$. (c) Medan kecepatan $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ berdivergensi $-\gamma$: luas apa pun menyusut sebagai $\eu^{-\gamma t}$, membentuk spiral menuju titik asal — mustahil bagi aliran Hamilton. (d) Ke dalam [derajat kebebasan](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) yang diabaikan: molekul udara dan fonon kawatnya, yang volume [ruang fasenya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) tumbuh setidaknya sebanyak itu — benih hukum kedua.

**Latihan 2.8 ★★.**

Gerak bidang dalam potensial sentral, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m
+ E_p(r)$. (a) Tuliskanlah keempat [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (b) Tunjukkanlah $\{
p_\varphi, H\} = 0$ lalu kenalilah hukum kekekalannya. (c) Reduksilah menjadi [Hamiltonian](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) radial satu dimensi dengan sebuah potensial efektif. (d) Untuk $E_p = -k/r$, tentukanlah orbit lingkarannya pada $p_\varphi$ tertentu lalu berikanlah energinya — yang akan dikuantumkan dalam [Soal 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1).

**Solusi Latihan 2.8.**

(a) $\dot r = p_r/m$, $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$, $\dot p_r =
p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$, $\dot p_\varphi = 0$. (b) $H$ tidak memuat $\varphi$: $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi =
0$; itulah kekekalan momentum sudut. (c) $H_{\text{rad}} = p_r^2/2m +
U_{\text{eff}}(r)$ dengan $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$. (d) $U_{\text{eff}}' = 0$: $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$, dan $E =
U_{\text{eff}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$.

**Latihan 2.9 ★★.**

(a) Periksalah $\{L_x, L_y\} = L_z$ dari hubungan kanoniknya. (b) Simpulkanlah kedua kurung lainnya lewat permutasi siklik. (c) Tunjukkanlah $\{L^2, L_z\} = 0$. (d) Sebuah benda tegar berputar bebas: dengan mengambil $H =
L^2/2J$ (kelembaman bersimetri bola), tunjukkanlah bahwa ketiga $L_i$ kekal; bagaimana halnya benda dengan momen kelembaman yang tidak sama (jawablah secara kualitatif dari kurungnya)?

**Solusi Latihan 2.9.**

(a) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$: satu-satunya kurung kanonik yang tidak lenyap memberikan $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z,
p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$. (b) Penamaan ulang siklik $x \to y \to z \to
x$ memberikan dua kurung lainnya. (c) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} +
2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$. (d) Untuk $H = L^2/2J$, tiap $\{L_i, H\} = 0$: $\vect L$ tetap. Dengan $H = \sum L_i^2/2J_i$ dan $J_i$ yang tidak sama: $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — hanya $L^2$ dan $H$ yang bertahan, dan bendanya berjungkir (teorema raket tenis pada bab benda tegar jilid Tahun 2 hidup di sini).

**Latihan 2.10 ★★★.**

Tingkat energi kuantum lama. (a) Tunjukkanlah bahwa $\oint p\,\dd q = nh$ yang diterapkan pada osilator harmonik memberikan $E_n = n\hbar\omega$, dengan memakai [Proposisi 2.15](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-sho-action). (b) Terapkanlah pada partikel dalam kotak sepanjang $a$ lalu perolehlah kembali secara tepat $E_n =
n^2h^2/8ma^2$. (c) Untuk molekul dwiatom yang dimodelkan sebagai osilator berkekakuan $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ dan bermassa tereduksi $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (karbon monoksida), hitunglah $\hbar\omega$ dalam eV serta panjang gelombang pancaran $n = 1 \to 0$; ia jatuh pada daerah spektrum yang mana? (d) Tingkat energi yang sebenarnya adalah $(n + \tfrac12)\hbar\omega$: apakah setengah yang hilang itu mengubah panjang gelombang yang *dipancarkan*? Percobaan apa yang memang mendeteksi setengah titik nol itu?

**Solusi Latihan 2.10.**

(a) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ memberikan $E_n =
n\hbar\omega$. (b) Bolak-balik pada $|p|$ tetap: $2pa = nh$, $p =
nh/2a$, $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — tepat sumur tak hingga pada jilid Tahun 2. (c) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$, $\lambda = hc/
\hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: inframerah tengah (pita dasar CO, yang dipakai untuk melacak gas di angkasa). (d) Tidak: selisih tingkat energinya tidak berubah oleh setengah yang sama itu. Energi titik nolnya tampak dalam perbandingan yang bergantung pada tingkat mutlaknya — pergeseran isotop energi disosiasi (H$_2$ lawan D$_2$), atau getaran yang bertahan pada nol mutlak dalam kristal.

**Latihan 2.11 ★★★.**

Keinvarianan adiabatik $E/\omega$, diturunkan. Sebuah massa pada pegas yang kekakuannya $k(t)$ tumbuh perlahan. (a) Tunjukkanlah $\dot E = \tfrac12\dot k\,
x^2$ sepanjang gerak eksaknya. (b) Rata-ratakanlah atas satu periode pada $k$ tetap: dengan memakai $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, tunjukkanlah $\langle\dot E\rangle
= \dot k\,E/2k$. (c) Simpulkanlah $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln
\omega$, sehingga $E/\omega$ tetap. (d) Sebuah bandul yang berayun dengan amplitudo $\theta_0 = 5^\circ$ talinya dipendekkan perlahan dari $1.0\,\mathrm{m}$ menjadi $0.5\,\mathrm{m}$: carilah amplitudo barunya dan faktor pertumbuhan energinya, lalu katakanlah dari mana energi itu datang.

**Solusi Latihan 2.11.**

(a) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$, sehingga sepanjang sebuah gerak $\dot E =
\partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$. (b) Sepanjang satu periode pada $k$ yang praktis tetap, $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, sehingga $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$. (c) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln
k$; karena $\omega = \sqrt{k/m}$, berlaku pula $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$: jadi $E/\omega$ invarian. (d) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ tumbuh sebesar $\sqrt2$, sehingga $E$ tumbuh sebesar $\sqrt2 \approx 1.41$. Dengan $E = \tfrac12
mg\ell\theta_0^2$, $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$: $\theta_0' =
5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$. Energinya dipasok oleh siapa pun yang menarik talinya: tegangannya melampaui $mg\cos\theta$ secara rata-rata (suku sentrifugal), sehingga penarikan itu melakukan usaha positif neto pada ayunannya.

**Latihan 2.12 ★★★.**

Luas di dalam [separatriks](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) bandul adalah cacah keadaan kuantum. (a) Tunjukkanlah bahwa $\oint p\,\dd\theta$ mengelilingi separatriksnya sama dengan $16m\ell^2\omega_0$. (b) Menurut aturan Bohr–Sommerfeld, banyaknya keadaan kuantum berenergi di bawah separatriksnya adalah $N \approx
16m\ell^2\omega_0/h$: hitunglah nilainya untuk massa satu gram pada tali sepanjang $10\,\mathrm{cm}$. (c) Hitunglah nilainya untuk osilator molekul mirip amonia: $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$, $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (d) Simpulkanlah: di manakah batas antara mekanika yang memerlukan $\hbar$ dan mekanika yang tidak?

**Solusi Latihan 2.12.**

(a) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0
\cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2)
\big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$. (b) $\omega_0 =
9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 =
1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, yakni $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ keadaan: kekasaran kuantum sebuah bandul laboratorium berada tiga puluh orde besar di bawah apa pun yang teramati. (c) $16 \times 10^{-26} \times
10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, yakni $N \approx
240$: librasi molekul hanya memuat beberapa ratus keadaan kuantum, dan tingkat rendahnya terpilah satu per satu oleh spektroskopi. (d) Batasnya terletak di tempat luas [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) geraknya merupakan kelipatan sederhana $h$: molekul dan yang lebih kecil bersifat kuantum; apa pun yang tampak mata bersifat klasik.

## 2.6 Soal: Teori kuantum lama dan atom hidrogen

**Soal 2.1.**

Soal akhir pekan — mengkuantumkan ruang fase, menimbang Rydberg

Pada 1913 Bohr menghitung spektrum hidrogen dari mekanika planet ditambah satu aturan kuantum; Sommerfeld mengenali aturan itu sebagai pernyataan tentang luas [ruang fase](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Soal ini membangun kembali perhitungan mereka dengan perkakas bab ini. Data: $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $1/4\pi\varepsilon_0 =
8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tuliskanlah $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$.

**Bagian I — [Hamiltonian](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) Kepler.** Sebuah elektron bergerak pada bidang mengelilingi proton yang tetap.

1. Berilah alasan mengapa protonnya boleh dianggap tetap (nisbah massa), lalu tuliskanlah [Hamiltonian](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} +  \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ .
2. Tuliskanlah keempat [persamaan kanoniknya](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) .
3. Tunjukkanlah bahwa $p_\varphi$ kekal lalu namailah.
4. Reduksilah gerak radialnya ke potensial efektif $U_{\text{eff}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ lalu sketsalah.
5. Tentukanlah orbit lingkarannya: $r_{\text{c}} =  p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
6. Tunjukkanlah bahwa energinya $E = -k/2r_{\text{c}} =  -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ , lalu periksalah bahwa nilainya setengah energi potensialnya (nisbah virial pada orbit gravitasi jilid Tahun 1).

**Bagian II — Orbit klasiknya.**

7. Untuk orbit lingkaran berjejari $r$ , carilah kelajuan $v$ dan frekuensi orbit $f_{\text{orb}}$ sebagai fungsi $r$ .
8. Untuk orbit seukuran atom, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : hitunglah $v$ (beserta $v/c$ ), $f_{\text{orb}}$ , dan energinya dalam eV.
9. Hitunglah momentum sudut $p_\varphi$ orbit itu lalu bandingkanlah dengan $\hbar = h/2\pi$ : apa yang disarankan oleh kedekatannya?
10. Secara klasik, elektron yang mengorbit adalah dipol berosilasi dan memancarkan radiasi (jilid Tahun 2) pada $f_{\text{orb}}$ ; energinya meluruh dalam sekitar $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ . Nyatakanlah dua ramalan fatal yang ditimbulkannya bagi atom, dan apa yang teramati sebagai gantinya.
11. Ciri manakah dari spektrum teramati (garis diskret, aturan gabungan $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) yang menyarankan adanya *tingkat* energi yang diskret?
12. Jelaskanlah mengapa sebuah *[invarian adiabatik](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)* adalah calon yang wajar bagi besaran yang mengambil nilai semesta yang tetap (ingatlah [Proposisi 2.16](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) ).

**Bagian III — Kuantisasi.** Kenakanlah aturan Sommerfeld pada gerak sudut orbit lingkarannya: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$, $n = 1, 2, 3, \dots$

13. Tunjukkanlah bahwa aturan itu berbunyi $p_\varphi = n\hbar$ .
14. Simpulkanlah jejari yang diizinkan $r_n = n^2a_0$ dengan $a_0 =  \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , lalu hitunglah $a_0$ .
15. Simpulkanlah energi yang diizinkan $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ dengan $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , lalu hitunglah $E_{\text{I}}$ dalam joule dan dalam eV.
16. Hitunglah kelajuan pada orbit pertamanya lalu periksalah $v_1/c =  k/\hbar c \approx 1/137$ (tetapan struktur halus).
17. Sebuah foton membawa energi sebuah transisi: turunkanlah rumus Rydberg dan nilai $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ; bandingkanlah dengan $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ yang terukur.
18. Hitunglah panjang gelombang transisi $2 \to 1$ , $3 \to 2$ dan $\infty \to 2$ ; yang manakah tampak, dan apa warnanya?
19. Ion helium terionkan He $^+$ adalah hidrogen dengan muatan inti $2e$ : bagaimana $a_0$ dan $E_{\text{I}}$ berskala, dan di manakah garis $2 \to 1$ -nya jatuh?

**Bagian IV — Perhadapan.**

20. Hitunglah frekuensi orbit $f_{\text{orb}}(n)$ dan frekuensi transisi $\nu_{n \to n-1}$ untuk $n = 2$ , $10$ , $100$ , lalu tunjukkanlah bahwa nisbahnya menuju $1$ ketika $n$ membesar.
21. Inilah *asas korespondensi* Bohr: nyatakanlah dalam satu kalimat.
22. Aturan $p_\varphi = n\hbar$ bermula pada $n = 1$ : kemustahilan apa yang akan berarti $n = 0$ bagi orbit lingkaran?
23. Mekanika kuantum akan mempertahankan $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ secara persis, namun membuang orbitnya: sebutkanlah dua fakta terukur yang salah diramalkan gambaran orbit itu (besar momentum sudut keadaan dasarnya; keberadaan keadaan dengan $n$ sama tetapi berbeda bentuk).
24. Muon adalah elektron yang $207$ kali lebih berat: untuk hidrogen muonik, hitunglah $a_0^\mu$ dan $E_{\text{I}}^\mu$ , lalu jelaskanlah mengapa atom muonik menyelidiki *intinya* .
25. Ringkaslah hasil bernama itu: satu [invarian adiabatik](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) , yang disamakan dengan kelipatan bulat $h$ , menghasilkan $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ dan spektrum hidrogen sampai empat angka — sekaligus menyerahkan kepada teori yang sebenarnya dua tetapan pusatnya.

**Solusi Soal 2.1.**

**1.** $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$: protonnya bergerak 1836 kali lebih sedikit; $H$ seperti dinyatakan, pada bidang orbitnya. **2.** $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$, $\dot\varphi =
p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$, $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 -
k/r^2$, $\dot p_\varphi = 0$. **3.** $\varphi$ tidak muncul dalam $H$: $p_\varphi$, yaitu momentum sudutnya, kekal. **4.** $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$: dinding tolak pada $r$ kecil, ekor Coulomb pada $r$ besar, satu minimum di antaranya. **5.** $U_{\text{eff}}' = 0$ pada $r_{\text{c}} =
p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$. **6.** $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} =
-m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$: itulah nisbah virial setiap orbit lingkaran $1/r$. **7.** $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$: $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$, $f_{\text{orb}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$. **8.** $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$: $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($v/c =
0.0075$), $f_{\text{orb}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $E = -k/2r =
-2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$. **9.** $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx
\hbar$: orbit atom membawa momentum sudut berorde $\hbar$ — tetapan Planck sudah terbangun ke dalam ukuran atom. **10.** Setiap atom seharusnya runtuh dalam $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$, dengan cahayanya menyapu sinambung ke panjang gelombang yang lebih pendek. Yang teramati: atom bersifat abadi dan memancarkan garis yang tajam dan tetap. **11.** $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ menuliskan setiap frekuensi teramati sebagai *selisih* suku: energinya dipertukarkan antara tingkat tetap $-hcR_H/n^2$. **12.** Besaran yang terkunci pada nilai semesta tidak boleh menghanyut ketika atomnya diganggu lembut (medan, tumbukan, perubahan lambat); [invarian adiabatik](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) justru merupakan besaran yang tetap di bawah gangguan lambat — jadi kuantumkanlah [aksinya](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/1-mekanika-lagrange#def-b3-lagrangian-mechanics-action). **13.** $p_\varphi$ tetap sepanjang orbitnya: $\oint
p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$, yakni $p_\varphi =
n\hbar$. **14.** $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$, $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$. **15.** $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$, $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} =
13.6\,\mathrm{eV}$. **16.** $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_1/c = k/\hbar c =
1/137$: itulah tetapan struktur halus $\alpha$, yang mengukur seberapa tidak relativistik atomnya. **17.** $h\nu = E_{n'} - E_n$ memberikan $1/\lambda =
(E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$: $R_H = E_{\text{I}}/hc =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$, yang cocok dengan $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ terukur sampai ketelitian tetapan yang kita pakai. **18.** $2 \to 1$: $122\,\mathrm{nm}$ (ultraungu jauh, Lyman $\alpha$); $3 \to 2$: $656\,\mathrm{nm}$, garis merah tampak yang mewarnai nebula pancaran; $\infty \to 2$: $365\,\mathrm{nm}$, tepi ultraungu dekat deret Balmer. **19.** $k \to 2k$: jejarinya menyusut sebesar $2$, $E_{\text{I}} \to
4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$; garis $2 \to 1$-nya jatuh pada $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$, di daerah ultraungu ekstrem. **20.** $f_{\text{orb}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$. Nisbahnya $\nu/f_{\text{orb}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$: $3$ pada $n = 2$, $1.17$ pada $n = 10$, $1.015$ pada $n = 100$. **21.** Pada limit bilangan kuantum besar, ramalan kuantum harus melebur menjadi ramalan klasik — di sini, frekuensi yang dipancarkan melebur menjadi frekuensi orbitnya. **22.** $n = 0$ berarti $p_\varphi = 0$: sebuah “orbit lingkaran” berjejari nol, dengan elektron berada pada protonnya — gerak semacam itu tidak ada. **23.** Hidrogen yang terukur mempunyai keadaan dasar dengan momentum sudut *nol* (bukan $\hbar$), dan beberapa keadaan berbeda yang berbagi $n$ yang sama (bentuk $s$, $p$, $d$ dalam kimia) — keduanya mustahil bagi satu orbit lingkaran. **24.** $a_0 \propto 1/m$: $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (sinar-X). Muonnya mengorbit dua ratus kali lebih dekat — sebagian *di dalam* muatan intinya untuk unsur berat — sehingga tingkat energinya mengukur jejari inti (dan mempertajam teka-teki modern tentang ukuran proton). **25.** Satu [invarian adiabatik](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) yang disamakan dengan $nh$ menghasilkan $a_0 =
52.9\,\mathrm{pm}$, $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$, $R_H =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — bilangan yang akan dipertahankan tanpa perubahan oleh teori kuantum penuh pada [Bab 11](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/11-atom-hidrogen#ch-b3-hydrogen-atom), sementara orbit yang menghasilkannya dibuang.