---
title: "Foton dan Fonon"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/20-foton-dan-fonon
---

# Bab 20 — Foton dan Fonon

Teori kuantum lahir dari pokok bahasan bab ini. Pada 1900 spektrum benda berpijar menolak menaati fisika klasik — lebih buruk lagi, fisika klasik meramalkan energi *takhingga* pada panjang gelombang pendek, yakni “bencana ultraungu” — dan penawar Planck yang lahir dari keputusasaan, yaitu energi dalam bungkusan $h\nu$, ternyata menjadi kunci induk abad itu. Dengan permesinan yang kini sudah terangkai — pencacahan ragam dari [Bab 7](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#ch-b3-schrodinger-three-dimensions), termodinamika osilator dari [Bab 17](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/17-ensembel-kanonik#ch-b3-canonical-ensemble) — [hukum Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck) memakan setengah halaman: yakni gas foton, satu osilator terisi Bose tiap ragam rongganya. Setengah halaman yang sama, dengan bunyi menggantikan cahaya, adalah teori zat padat Debye beserta kapasitas kalor $T^3$ yang terlewatkan model Einstein. Dan yang mengisi tiap sentimeter kubik alam semesta adalah adikarya pokok bahasan ini: latar gelombang mikro kosmik ber-2,725 kelvin, benda hitam paling sempurna yang pernah terukur — yakni radiasi termal alam semesta muda itu sendiri, yang masih terus tiba.

## 20.1 Hukum Planck, diturunkan

**Teorema 20.1 (Spektrum benda hitam).**

Sebuah rongga bersuhu $T$ menyangga ragam elektromagnetik — yakni gelombang tegak yang dicacah persis seperti dalam [Proposisi 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting), dua kali untuk pengutubannya:

$$
g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .
$$

Tiap ragamnya adalah osilator kuantum yang menahan, pada kesetimbangan, $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ foton ([Latihan 17.5](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/17-ensembel-kanonik#exo-b3-canonical-ensemble-5); setara dengan boson pada $\mu =
0$). Energi tiap volume dan tiap frekuensinya karena itu adalah

$$
u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,
\frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :
$$

yakni *[hukum Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck)* (1900). Akibatnya, semuanya sebagaimana terukur: puncaknya pada $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (yakni hukum pergeseran Wien jilid Tahun 2, yang kini diturunkan); fluks total dari permukaan hitam $\Phi = \sigma T^4$ dengan

$$
\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2}
 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}
$$

(yakni Stefan–Boltzmann, dengan tetapannya kini dibangun dari $h$, $c$, $k_{\text{B}}$); dan kerapatan fotonnya $n_\gamma \approx
2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ tiap meter kubik.

**Bukti sebagian.** Kalikanlah cacah ragamnya dengan $h\nu\,\bar n$. Integral energi totalnya, dengan $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ dan $\int_0^\infty
x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (diterima tanpa bukti), memberikan $u_{\text{tot}}
= aT^4$ dan, dengan faktor fluks bakunya $c/4$, memberikan $\sigma$ yang dinyatakan itu. Hukum Wien adalah pemaksimuman [Latihan 20.1](#exo-b3-photons-phonons-1). Pada frekuensi rendah ($h\nu \ll
k_{\text{B}}T$) tiap ragamnya mengangkut $k_{\text{B}}T$ — yakni Rayleigh–Jeans, yang benar untuk radio, tetapi bencana bila dirambatkan ke seluruh $\nu$: pemenggalan Planck adalah izin ekipartisi ([Teorema 17.5](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/17-ensembel-kanonik#thm-b3-canonical-ensemble-equipartition)) yang dicabut ragam demi ragam. ∎

![Spektrum Planck pada tiga suhu (masing-masing diskalakan ke tinggi yang sebanding: luas sebenarnya tumbuh sebagai T4). Garis Rayleigh–Jeans klasiknya mengikuti sisi frekuensi rendahnya lalu membubung menuju bencana ultraungu; pungutan h Planck menutup ragam frekuensi tingginya lalu membelokkan kurvanya ke bawah.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/fig-4c216e84a5b0.svg)

*Spektrum Planck pada tiga suhu (masing-masing diskalakan ke tinggi yang sebanding: luas sebenarnya tumbuh sebagai $T^4$). Garis Rayleigh–Jeans klasiknya mengikuti sisi frekuensi rendahnya lalu membubung menuju bencana ultraungu; pungutan $h\nu$ Planck menutup ragam frekuensi tingginya lalu membelokkan kurvanya ke bawah.*

**Contoh 20.2 (Tiga termometer).**

Matahari ($T = 5800\,\mathrm{K}$): puncaknya pada $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — mata kita berevolusi tepat pada maksimumnya. Sebuah tubuh pada $310\,\mathrm{K}$: puncaknya di dekat $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, yang memancarkan $\sigma T^4 \approx
520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dari tiap meter persegi kulitnya (untunglah, ruangannya memancar balik; [Latihan 20.2](#exo-b3-photons-phonons-2)). Alam semesta ($T =
2.725\,\mathrm{K}$): puncaknya di dekat $1.9\,\mathrm{mm}$ dalam bentuk frekuensinya ($160\,\mathrm{GHz}$), $411$ foton tiap sentimeter kubik — yakni latar gelombang mikro kosmik, contoh agung bab ini ([Soal 20.1](#pb-b3-photons-phonons-1)).

**Proposisi 20.3 (Termodinamika cahaya).**

Gas foton memiliki kerapatan energi $u = aT^4$ ($a =
4\sigma/c$), tekanan

$$
P = \frac u3 ,
$$

kerapatan entropi $\tfrac43 aT^3$, dan cacah foton $\propto T^3$. Akibatnya: kotak berisi radiasi yang memuai secara adiabatik mendingin sebagai $T \propto 1/L$ — foton alam semesta yang memuai mendingin dari $3000$ K menjadi $2.725$ K hari ini lewat faktor rentang $\approx1100$ sambil *mempertahankan* spektrum Planck yang sempurna; dan dalam bintang masif pertumbuhan $T^4$ membuat tekanan radiasi menyaingi tekanan gasnya, sehingga menetapkan batas atas massa bintang ([Bab 27](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/27-astrofisika#ch-b3-astrophysics)).

**Bukti sebagian.** $P = u/3$: gas partikel yang isotrop pada laju $c$ menyerahkan sepertiga kerapatan energinya sebagai tekanan (yakni faktor $\langle
\cos^2\theta\rangle = 1/3$, seperti dalam teori kinetik jilid Tahun 1). Entropinya dari $\dd U = T\dd S - P\dd V$ yang dikenakan pada $U =
aT^4V$. Secara adiabatik: $S \propto T^3V$ yang tetap memberikan $T \propto
V^{-1/3}$. ∎

## 20.2 Fonon: penuntasan Debye

**Teorema 20.4 (Model Debye).**

Getaran sebuah kristal adalah gelombang lenting yang terkuantumkan persis seperti cahaya: yakni *fonon*, dengan tiga pengutuban pada laju bunyi $c_{\text{s}}$, dicacah seperti foton tetapi dengan totalnya dibatasi pada $3N$ ragam — yakni batas yang mendefinisikan *suhu Debye*

$$
k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}
(6\pi^2n)^{1/3} .
$$

Kapasitas kalornya menyisip di antara kedua hukum klasiknya:

$$
C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}})
\qquad\text{(Dulong--Petit)} ,
\qquad
C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}}
\Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3
\;(T \ll \theta_{\text{D}}) :
$$

yakni hukum $T^3$ yang dituntut kalorimetri suhu rendah dan yang tak dapat diberikan frekuensi tunggal Einstein ([Latihan 17.6](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/17-ensembel-kanonik#exo-b3-canonical-ensemble-6)). Alasannya sama seperti untuk cahaya: sedingin apa pun kristalnya, selalu ada kuanta bunyi berpanjang gelombang besar yang semurah-murahnya, dan pencacahannya yang mirip foton memberikan $T^3$ yang mirip foton pula.

**Bukti sebagian.** Ulangilah perhitungan fotonnya dengan $c \to c_{\text{s}}$, tiga pengutuban, dan total ragam $\int g\,\dd\nu = 3N$ yang menetapkan pemenggalannya. Pada $T \ll \theta_{\text{D}}$ pemenggalannya tak terlihat dan integral energi $T^4$-nya memberikan $C \propto T^3$; pada $T$ tinggi tiap ragam dari $3N$ ragamnya mengangkut $k_{\text{B}}T$. Integral penyisipan lengkapnya diterima tanpa bukti. ∎

![Kapasitas kalor sebuah kristal: kedua modelnya mencapai Dulong–Petit, tetapi pada suhu rendah kurva frekuensi tunggal Einstein mati secara eksponensial sedangkan fonon berpanjang gelombang besar Debye yang murah menopang T3 yang terukur — daerah T rendahnya adalah “fisika foton” murni dengan bunyi.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/fig-9e6bf036512b.svg)

*Kapasitas kalor sebuah kristal: kedua modelnya mencapai Dulong–Petit, tetapi pada suhu rendah kurva frekuensi tunggal Einstein mati secara eksponensial sedangkan fonon berpanjang gelombang besar Debye yang murah menopang $T^3$ yang terukur — daerah $T$ rendahnya adalah “fisika foton” murni dengan bunyi.*

**Contoh 20.5 (Fonon adalah partikel sungguhan).**

Fonon menghamburkan neutron dan sinar-X dengan kekekalan energi dan momentum (kristal) — kurva pencaran terukur $\omega(\vect k)$ [Bab 23](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/23-zat-padat-kristal#ch-b3-crystalline-solids) adalah spektroskopinya. Mereka mengangkut kalor: hantaran termal sebuah penyekat adalah $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ sebuah gas fonon, dan intan — kaku, ringan, murni — menghantar lima kali lebih baik daripada tembaga pada suhu ruang hanya lewat fonon ([Latihan 20.12](#exo-b3-photons-phonons-12)). Dan mereka mati pada suhu rendah sebagai $T^3$, dan karena itulah para insinyur kriogenik berbicara tentang kristal yang menjadi “sunyi secara akustik”.

**Metode 20.6 (Keterampilan gas radiasi).**

(1) Cacahlah ragamnya ($\propto\nu^2$ tiap pengutubannya dalam tiga dimensi); isilah dengan $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$; lalu integralkanlah — harapkanlah energi $T^4$ serta cacah dan kapasitas $T^3$. (2) Puncaknya lewat Wien; totalnya lewat Stefan; nilai klasik $k_{\text{B}}T$ tiap ragamnya hanya di bawah $h\nu \sim k_{\text{B}}T$. (3) Untuk zat padat, batasilah ragamnya pada $3N$ ($\theta_{\text{D}}$); bentuk Einstein untuk ragam cabang optiknya, bentuk Debye untuk yang akustik. (4) Radiasi adiabatik: $T \propto
V^{-1/3}$. (5) Periksalah kedua tetapan andalannya: $\lambda_{
\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ dan $\sigma =
5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$.

![Sebuah rumah lewat kamera termal: tiap permukaannya memancarkan spektrum Planck-nya, dan kameranya membaca suhu langsung dari inframerahnya — yakni Stefan, Boltzmann dan Wien yang mengaudit tagihan pemanas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/img-b9332d96002e.jpg)

*Sebuah rumah lewat kamera termal: tiap permukaannya memancarkan spektrum Planck-nya, dan kameranya membaca suhu langsung dari inframerahnya — yakni Stefan, Boltzmann dan Wien yang mengaudit tagihan pemanas.*

## 20.3 Latihan

**Latihan 20.1 ★.**

(a) Dari [hukum Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck) dalam bentuk panjang gelombang, tunjukkanlah bahwa puncaknya menaati $\lambda_{\max}T = \text{tetapan}$ (persamaan melampaui aljabarnya boleh dikutip: $x = 4.965$). (b) Hitunglah panjang gelombang puncak untuk Matahari, sebuah filamen $2700\,\mathrm{K}$, sebuah tubuh $310\,\mathrm{K}$ dan langit $2.725\,\mathrm{K}$. (c) Yang mana dari keempatnya yang tercuplik dengan baik oleh mata manusia, dan berapa bagian keluaran sebuah filamen yang kasat mata (perkirakan: kecil)? (d) Mengapa “kamera inframerah” adalah perkakas yang tepat untuk manusia dan bangunan?

**Solusi Latihan 20.1.**

(a) Menetapkan $\dd u/\dd\lambda = 0$ memberikan $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$, $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$: $\lambda_{\max}T =
hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$. (b) $0.50$, $1.07$, $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan $1.06\,\mathrm{mm}$. (c) Hanya milik Matahari; sebuah filamen memuncak dalam inframerah dekat lalu menyerahkan hanya beberapa persen dayanya sebagai cahaya — yakni ketakhematan yang memensiunkannya. (d) Manusia dan bangunan “bersinar” pada sepuluh mikron: pencitra termal adalah kamera bagi puncak yang kedua.

**Latihan 20.2 ★.**

Anggaran radiatif. (a) Seseorang ($1.7\,\mathrm{m}^{2}$, kulit $306\,\mathrm{K}$) dalam ruangan $293\,\mathrm{K}$: daya radiasi bersihnya $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$. (b) Bandingkanlah dengan metabolisme $100\,\mathrm{W}$ tubuhnya: mengapa kita menahannya (pakaian, dan ruangan yang memancar balik)? (c) Bumi menyerap sinar matahari pada $\pi
R^2$ lalu memancar pada $4\pi R^2$: turunkanlah $T_{\text{eff}}
= [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ dengan $\Phi_\odot =
1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, albedo $A = 0.30$, lalu hitunglah. (d) Rata-rata permukaan terukurnya adalah $288\,\mathrm{K}$: sebutkanlah mekanisme selisih $33\,\mathrm{K}$ itu ([Soal 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#pb-b3-harmonic-oscillator-1)).

**Solusi Latihan 20.2.**

(a) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$. (b) Fluks balik ruangannya sudah termuat di dalam selisihnya; pakaian menyisipkan permukaan perantara yang hangat — radiasi adalah buku besar dua arah. (c) $T_{\text{eff}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} =
255\,\mathrm{K}$. (d) Bonus $33\,\mathrm{K}$-nya adalah gejala rumah kaca: yakni selimut inframerah [Soal 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#pb-b3-harmonic-oscillator-1), yang dikuantitatifkan dalam [Latihan 20.9](#exo-b3-photons-phonons-9).

**Latihan 20.3 ★.**

Mencacah foton. (a) Dengan $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ tiap meter kubik: hitunglah kerapatan foton latar $2.725\,\mathrm{K}$. (b) Sinar matahari di Bumi: dari $\Phi_\odot$ dan energi foton rata-rata $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$, hitunglah fluks fotonnya tiap meter persegi tiap detik. (c) Sebuah bola lampu pijar $60\,\mathrm{W}$ (5% kasat mata): berapa foton kasat mata tiap detiknya. (d) Mengapa “pencacahan foton” menjadi hal biasa bagi para astronom tetapi mustahil bagi pemanas?

**Solusi Latihan 20.3.**

(a) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} =
411$ tiap cm$^3$. (b) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx
6 \times 10^{21}$ foton tiap meter persegi tiap detik. (c) $3\,\mathrm{W}/
3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ tiap detik. (d) Isyarat astronomi tiba satu foton pada satu waktu — yakni laju yang dapat dipilah sebuah pencacah; nilai $10^{22}$ tiap detik sebuah pemanas adalah kesinambungan bagi pendeteksi mana pun.

**Latihan 20.4 ★.**

Bencana dan ekornya. (a) Tunjukkanlah bahwa ekipartisi klasik ($k_{\text{B}}T$ tiap ragamnya) memberikan $u(\nu) =
8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$, yang menyebar bila diintegralkan. (b) Di manakah [hukum Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck) menyusut menjadi bentuk itu? (c) Para astronom radio mengukur CMB pada $1.4\,\mathrm{GHz}$: periksalah $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ di sana lalu benarkanlah kebiasaan “suhu antena” mereka yang mengutip keamatan dalam kelvin. (d) Pada puncak CMB $160\,\mathrm{GHz}$, hitunglah $h\nu/k_{\text{B}}T$: apakah puncaknya bersifat klasik?

**Solusi Latihan 20.4.**

(a) $k_{\text{B}}T$ tiap ragamnya dikalikan cacah ragam $\nu^2$-nya: setelah diintegralkan, takhingga — yakni bencananya. (b) Untuk $h\nu \ll
k_{\text{B}}T$. (c) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$: jauh di dalam ekor klasiknya, tempat keamatan $\propto T$ — sehingga muncullah “suhu kecerlangan” dalam kelvin. (d) $2.8$: puncaknya berada di tempat diskon kuantum Planck bekerja penuh.

**Latihan 20.5 ★★.**

Tekanan radiasi. (a) Turunkanlah $P = u/3$ dari keisotropannya (atau terimalah faktor kinetiknya) lalu hitunglah tekanan sinar matahari pada orbit Bumi; bandingkanlah dengan tekanan atmosfer. (b) Di dalam Matahari ($T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$): hitunglah $P_{\text{rad}} =
aT^4/3$ lalu bandingkanlah dengan tekanan gasnya $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$. (c) Tekanan radiasi tumbuh sebagai $T^4$, tekanan gas sebagai $T$: tunjukkanlah mengapa bintang yang cukup masif (sehingga lebih panas) menjadi dikuasai radiasi dan tak mantap — yakni langit-langit Eddington di dekat $\sim100\,M_\odot$. (d) Laser: sebuah berkas $1\,\mathrm{kW}$ yang difokuskan untuk mendorong — gayanya berapa? Mengapa “berkas penarik” tetap tinggal dalam film sedangkan *penjepit* optik (gradien, pikonewton) merupakan perkakas nyata?

**Solusi Latihan 20.5.**

(a) Untuk berkas matahari yang terarah $P \approx \Phi/c =
4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$: sebelas orde di bawah atmosfernya — layar surya berhasil hanya karena antariksa mengurangkan segala sisanya. (b) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$: kurang dari satu bagian dalam seribu tekanan gasnya — Matahari ditopang gas. (c) $P_{\text{rad}}/P_{\text{gas}} \propto T^3/n$: bintang yang lebih masif membakar lebih panas, dan banjir $T^4$-nya akhirnya menyaingi cengkeraman gravitasi pada gasnya — ketakmantapan yang berkilau membatasi bintang di dekat $\sim100\,M_\odot$. (d) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$: berkas penarik tetap tinggal dalam fiksi; penjepit optik memakai *gradien* medan pada benda mikroskopis, tempat pikonewton berkuasa ([Soal 16.1](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/16-ensembel-mikrokanonik#pb-b3-microcanonical-ensemble-1)).

**Latihan 20.6 ★★.**

Rentangan alam semesta. CMB dipancarkan pada penggabungan kembali ($T \approx 3000\,\mathrm{K}$, wilayah [Latihan 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/18-ensembel-kanonik-besar#exo-b3-grand-canonical-12)) lalu tiba pada $2.725\,\mathrm{K}$. (a) Dari $T \propto
1/a$, carilah faktor rentang semua panjang sejak pemancarannya. (b) Tunjukkanlah bahwa spektrum Planck tetap Planck di bawah perentangan seragam tiap panjang gelombangnya (apa yang terjadi pada $T$?). (c) Puncak yang dipancarkan (cahaya jingga yang kasat mata!) tiba di mana? (d) Mengapa langitnya karena itu gelap bagi mata tetapi berkobar bagi sebuah penerima gelombang mikro?

**Solusi Latihan 20.6.**

(a) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$. (b) $\lambda$ tiap ragamnya terentang oleh faktor yang sama: bentuk $\nu^3$-nya memetakan dirinya sendiri dengan $T \to T/(1+z)$ — kurva Planck tak dapat dibuat bukan-Planck oleh pemuaian. (c) Puncak merah tua $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$-nya tiba pada $1.06\,\mathrm{mm}$. (d) Langit yang sama itu kosong pada $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan jenuh pada satu milimeter: kegelapan adalah pernyataan tentang panjang gelombang.

**Latihan 20.7 ★★.**

Suhu Debye dari bunyi. (a) Hitunglah $\theta_{\text{D}} =
\hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ untuk tembaga ($c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $n =
8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) lalu bandingkanlah dengan nilai kalorimetrinya $343\,\mathrm{K}$. (b) Intan: $c_{\text{s}} \approx
13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$: hitunglah lalu bandingkanlah dengan $\approx2200\,\mathrm{K}$. (c) Timbal: lunak dan berat — jelaskanlah $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$-nya dalam satu kalimat. (d) Nyatakanlah aturan yang menghubungkan kekakuan sebuah zat padat, massa atomnya dan suhu pembekuan kuantumnya.

**Solusi Latihan 20.7.**

(a) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ berbanding nilai kecocokannya $343\,\mathrm{K}$: skalanya tepat (perata-rataan yang benar atas laju membujur dan melintangnya menutup selisihnya). (b) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — cocok: intan adalah perkara yang ekstrem. (c) Laju bunyi yang rendah (lunak) dan atom yang berat sama-sama menekan $\theta_{\text{D}}$ ke bawah: kisi timbal bersifat klasik nyaris seketika. (d) $\theta_{\text{D}} \propto
c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ secara kasar: yang kaku dan ringan membeku belakangan, yang lunak dan berat membeku lebih awal.

**Latihan 20.8 ★★.**

Tembaga pada satu kelvin. (a) Dengan memakai $C = \gamma T + \beta T^3$ dengan $\gamma$ dari [Contoh 19.3](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/19-statistika-kuantum#ex-b3-quantum-statistics-heat) dan koefisien $T^3$ Debye untuk $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$: hitunglah kedua sukunya tiap molnya pada $1\,\mathrm{K}$. (b) Yang mana yang menang, dan seberapa banyak? (c) Pada suhu berapa keduanya berpotongan? (d) Mengapa rezim ini menjadi jendela ahli kalorimetri menuju [kerapatan keadaan](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) elektroniknya?

**Solusi Latihan 20.8.**

(a) Elektroniknya: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ memberikan $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$; kisinya: $1944R\dots$ — suku $T^3$ Debyenya memberikan $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$. (b) Elektronnya, sebesar satu orde. (c) Di dekat $3\,\mathrm{K}$ ([Latihan 19.5](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/19-statistika-kuantum#exo-b3-quantum-statistics-5)). (d) Di bawah perpindahannya, titik potong $C/T$ terukurnya adalah $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$: yakni sebuah percobaan bertermometer dan berpemanas yang membaca [kerapatan keadaan](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/7-persamaan-schrodinger-dalam-tiga-dimensi#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) permukaan Ferminya.

**Latihan 20.9 ★★.**

Rumah kaca satu lapis. Misalkanlah permukaannya (bersuhu $T_s$) duduk di bawah satu lapis atmosfer tipis (bersuhu $T_a$) yang tembus sinar matahari tetapi kedap inframerah termal. (a) Tuliskanlah kesetimbangan energi bagi lapisnya (yang menyerap $\sigma T_s^4$, memancar $2\sigma T_a^4$) dan bagi permukaannya (yang menyerap sinar matahari $S$ ditambah $\sigma T_a^4$). (b) Tunjukkanlah $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{eff}}$ dengan $\sigma T_{\text{eff}}^4 = S$. (c) Dengan $T_{\text{eff}} =
255\,\mathrm{K}$: hitunglah $T_s$ lalu bandingkanlah dengan $288\,\mathrm{K}$ (atmosfer yang sebenarnya adalah selimut sebagian dan berlapis banyak). (d) Kaitkanlah dengan [Soal 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#pb-b3-harmonic-oscillator-1): fisika molekuler mana yang membuat lapisnya kedap dalam inframerah namun tembus dalam cahaya tampak?

**Solusi Latihan 20.9.**

(a) Lapisnya: menyerap $\sigma T_s^4$, memancarkan $2\sigma T_a^4$ (dari kedua mukanya): $T_s^4 = 2T_a^4$. Permukaannya: $S + \sigma T_a^4 = \sigma
T_s^4$. (b) Lenyapkanlah $T_a$: $S = \tfrac12\sigma T_s^4$, yakni $T_s = 2^{1/4}T_{\text{eff}}$. (c) $1.19 \times 255 =
303\,\mathrm{K}$ — melampaui nilai sebenarnya $288\,\mathrm{K}$ karena selimut yang sebenarnya bersifat sebagian dan berlapis. (d) Kuanta getaran gas jejak triatomik: tembus pada $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, kedap pada $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — yakni molekul [Soal 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/9-osilator-harmonik-kuantum#pb-b3-harmonic-oscillator-1).

**Latihan 20.10 ★★★.**

Tetapan Stefan dari awal. (a) Rangkailah $u_{\text{tot}} =
\int u(\nu)\dd\nu$ dengan $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ dan $\pi^4/15$ yang diberikan, sehingga diperoleh $u = aT^4$ dengan $a =
8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$. (b) Fluks dari sebuah permukaan hitam adalah $c\,u/4$ (terimalah seperempat geometrinya): bentuklah $\sigma$ lalu hitunglah secara bilangan dari $h$, $c$, $k_{\text{B}}$. (c) Bandingkanlah dengan $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$. (d) Pembalikan sejarah: Planck mencocokkan hukumnya pada spektrum lalu menarik *keduanya*, $h$ dan $k_{\text{B}}$ (sehingga juga bilangan Avogadro) pada 1900 — nyatakanlah mengapa kurva benda hitam memancang dua tetapan sekaligus.

**Solusi Latihan 20.10.**

(a) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x
= 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$. (b–c) $\sigma = ac/4 =
2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — dari tiga tetapan, tepat sasaran. (d) *Bentuk* kurvanya menetapkan $h/k_{\text{B}}$ (lewat $h\nu/k_{\text{B}}T$) dan *skala* mutlaknya menetapkan $k_{\text{B}}^4/h^3$: dua persamaan, dua tetapan — Planck membaca $h$ *dan* $N_{\text{A}} =
R/k_{\text{B}}$ dari satu pencocokan, bertahun-tahun sebelum butiran Perrin.

**Latihan 20.11 ★★★.**

Koefisien A dan B Einstein (1917). Atom dua aras (berenergi $0,
h\nu_0$; berpopulasi $N_1, N_2$) duduk dalam radiasi berkerapatan spektral $u(\nu_0)$. Laju serapannya: $B_{12}uN_1$; pancaran terangsang: $B_{21}uN_2$; pancaran spontan: $AN_2$. (a) Tuliskanlah kesetimbangannya. (b) Tuntutlah agar nisbah Boltzmann $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ dan $u$ Planck berlaku serentak untuk *semua* $T$: turunkanlah $B_{12} = B_{21}$ dan

$$
\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .
$$

(c) Tafsirkanlah: mengapa kesetimbangan termal *memaksa* pancaran spontan untuk ada, sekaligus menetapkan lajunya dari laju terangsangnya? (d) Faktor $\nu^3$-nya: kaitkanlah dengan umur [Latihan 13.8](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/13-teori-gangguan#exo-b3-perturbation-theory-8) dan dengan mengapa pelaseran sukar pada frekuensi sinar-X.

**Solusi Latihan 20.11.**

(a) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$. (b) Selesaikanlah untuk $u$: $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$; mencocokkan bentuk Planck untuk semua $T$ memaksa $B_{12} = B_{21}$ dan $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$. (c) Tanpa $A$, tak ada kesetimbangan yang mungkin melawan [hukum Planck](#thm-b3-photons-phonons-planck): kesetimbangannya sendiri menuntut agar atom yang tereksitasi meluruh tanpa disuruh, pada laju yang terikat pada laju terangsangnya — Einstein meramalkan pancaran spontan dari termodinamika, sedasawarsa sebelum mekanika kuantum menurunkannya. (d) $A \propto
\nu^3$: keadaan ultraungu meluruh dalam nanodetik ([Latihan 13.8](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/13-teori-gangguan#exo-b3-perturbation-theory-8)), sehingga pembalikan populasinya menjadi mahal secara merusak pada panjang gelombang pendek — yakni masalah laser sinar-X.

**Latihan 20.12 ★★★.**

Intan, jalan tol fonon. Hantaran termal sebuah penyekat: $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ tiap volumenya, dengan $\ell$ sebagai lintasan bebas rata-rata fononnya. (a) Untuk intan pada $300\,\mathrm{K}$ ($C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$, yakni sebagian beku; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\ell
\approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$): hitunglah $\kappa$ lalu bandingkanlah dengan nilai tembaga $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$. (b) Mengapa $\ell$ begitu panjang dalam intan (kaku, ringan, bersih secara isotop — apa yang menghamburkan fonon?). (c) Intan yang dimurnikan isotopnya nyaris melipatduakan $\kappa$: apa yang disingkapkannya tentang hamburan fonon oleh ketakteraturan massa isotop? (d) Dua kegunaan: penyebar kalor dalam elektronika; dan mengapa sebutir intan terasa dingin di bibir — jelaskanlah rasa itu.

**Solusi Latihan 20.12.**

(a) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4}
\times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$: lima kali tembaga. (b) Kaku dan ringan berarti fonon yang cepat; kisi yang murni, sempurna dan ringan menawarkan sedikit sekali yang dapat menghamburkannya — $\ell$ mencapai ribuan tetapan kisi. (c) Bahkan selisih massa atom $^{13}$C menghamburkan fonon secara terukur: ketakteraturan isotop adalah hambatan yang sejati, yang disingkirkan lewat pemurnian. (d) Penyebar kalor di bawah cip daya; dan kalor bibirnya melesat pergi begitu cepat sehingga intan yang asli terasa dingin secara mengejutkan — uji sentuh sang pandai permata adalah sebuah pengukuran fonon.

![Seluruh langit dalam gelombang mikro (NASA/WMAP, ranah publik): radiasi Planck 2.7\, K latar kosmiknya, yang dipetakan. Belang-belangnya sebesar satu bagian dalam 105 — yakni benih galaksi, yang tercetak pada benda hitam bab ini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/img-df25742b16c5.jpg)

*Seluruh langit dalam gelombang mikro (NASA/WMAP, ranah publik): radiasi Planck $2.7\,\mathrm{K}$ latar kosmiknya, yang dipetakan. Belang-belangnya sebesar satu bagian dalam $10^5$ — yakni benih galaksi, yang tercetak pada benda hitam bab ini.*

## 20.4 Soal: Cahaya tertua

**Soal 20.1.**

Soal akhir pekan — membaca latar gelombang mikro kosmik

Arahkanlah penerima gelombang milimeter mana pun ke petak langit mana pun dan ia melaporkan isyarat yang sama: yakni spektrum Planck pada $T =
2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$, yang lebih licin daripada tanur mana pun yang pernah dibangun manusia. Inilah kilatan penggabungan kembali alam semesta ([Latihan 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/18-ensembel-kanonik-besar#exo-b3-grand-canonical-12)), yang terentang seribu seratus kali, dan ia membawa sensus jagat raya. Data: $T_0 =
2.725\,\mathrm{K}$; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$; $u = aT^4$, $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$; kerapatan barion hari ini $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$; kerapatan genting $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

**Bagian I — Spektrumnya.**

1. Hitunglah panjang gelombang puncak (Wien) CMB beserta kerapatan fotonnya tiap sentimeter kubik.
2. Hitunglah kerapatan energinya, dalam $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ dan dalam $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ , beserta bagian setara massanya terhadap kerapatan gentingnya.
3. Spektrum COBE (1990) cocok dengan Planck sampai beberapa bagian dalam $10^4$ — hadirinnya bertepuk tangan bagi grafiknya. Mengapa spektrum *termal yang sempurna* dari langit kosong begitu sukar dijelaskan oleh apa pun kecuali masa lalu yang panas dan rapat?
4. Pada pemancarannya foton yang sama membentuk benda hitam $3000\,\mathrm{K}$ : periksalah faktor rentangnya $1 + z =  T_{\text{dahulu}}/T_0$ .
5. Mengapa alam semesta menjadi tembus cahaya persis pada suhu itu (ingatlah kembali kesetimbangan mana dari [Bab 18](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/18-ensembel-kanonik-besar#ch-b3-grand-canonical) yang padam)?
6. Langit malam itu gelap (yakni paradoks Olbers dalam astronomi lama): dalam arti persis apa ia sebenarnya *terang* — pada panjang gelombang dan suhu berapa?

**Bagian II — Sensusnya.**

7. Hitunglah nisbah foton terhadap barionnya $\eta^{-1} =  n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
8. Bilangan itu — sekitar dua miliar foton tiap protonnya — adalah salah satu data mendasar kosmologi: nyatakanlah apa yang diukurnya tentang ketaksetangkupan materi–antimateri (ingatlah kembali [Latihan 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/18-ensembel-kanonik-besar#exo-b3-grand-canonical-12) : fotonnya sebagian besar adalah hasil pemusnahan).
9. Bandingkanlah kerapatan energi CMB dengan kerapatan cahaya bintang ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ yang dirata-ratakan atas alam semesta): cahaya mana yang menguasai jagat raya?
10. CMB melampaui, dalam cacah foton, segala yang pernah dipancarkan bintang: mengapa hal ini membuat alam semesta dini “dikuasai radiasi”, dan apa yang mengambil alih kemudian (penskalaan $T^4$ lawan $T^3$ terhadap $a^{-3}$ materinya)?
11. Perkirakanlah zaman kesetaraan materi–radiasinya: dengan kerapatan radiasi berskala sebagai $(1+z)^4$ dan materi sebagai $(1+z)^3$ , dan dengan nisbah hari ini $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ , carilah $z_{\text{eq}}$ .
12. Neutrino tersapih lebih awal lalu mendingin sedikit lebih banyak (mereka melewatkan pemanasan ulang pemusnahan $e^+e^-$ [Latihan 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/18-ensembel-kanonik-besar#exo-b3-grand-canonical-12) ): ramalannya adalah $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — hitunglah, lalu kagumilah ramalan tentang laut neutrino $1.95\,\mathrm{K}$ yang belum pernah terdeteksi langsung oleh siapa pun.

**Bagian III — Ketakisotropannya.**

13. CMB lebih panas $3.4\,\mathrm{mK}$ pada satu arah dan lebih dingin pada arah berlawanannya: tafsirkanlah lewat fisika Doppler [Bab 4](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#ch-b3-relativistic-kinematics) lalu tariklah kecepatan kita ( $\Delta T/T = v/c$ ).
14. Setelah dwikutub itu disingkirkan, riak sebesar $\Delta T/T \sim  10^{-5}$ tersisa (COBE 1992, lalu WMAP, Planck): apa yang dipetakannya pada $z = 1100$ ?
15. Benih kerapatan $10^{-5}$ itu tumbuh menjadi galaksi: mengapa gravitasi menguatkan kelebihan kerapatan (ketakmantapan yang mana), dan mengapa pertumbuhannya memerlukan kesetaraan materi–radiasi untuk mulai sungguh-sungguh?
16. Ukuran riak terkuatnya (kira-kira satu derajat di langit) adalah panjang gelombang akustik — yakni bunyi dalam plasma foton–barion (gas bab ini ditambah gelombang [Bab 3](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/3-mekanika-kontinum-dan-elastisitas#ch-b3-continuum-elasticity) !): apa yang menetapkan skalanya (yakni jarak tempuh bunyi sebelum penggabungan kembalinya)?
17. Mengukur sudut itu terhadap skala fisis yang diketahui menriangulasi geometri alam semesta: nyatakanlah hasilnya (datar, sampai ketelitian persen).
18. Ekakutub $2.7\,\mathrm{K}$ , dwikutub $3\,\mathrm{mK}$ , riak $10^{-5}$ : urutkanlah apa yang diajarkan masing-masing (masa lalu yang panas; gerak kita; benih dan geometri segalanya).

**Bagian IV — Pusakanya.**

19. Penzias dan Wilson menemukan isyaratnya pada 1965 sebagai derau antena yang tak tersingkirkan (setelah mengusir merpatinya): mengapa kelebihan yang *isotrop* dan tak bergantung musim pada $3\,\mathrm{K}$ tak terjelaskan sebagai sumber lokal atau galaksi mana pun?
20. Kira-kira $1\%$ semut televisi analog yang tak tersetel adalah isyarat ini: renungkanlah dalam satu kalimat.
21. CMB melewati gugus galaksi lalu sedikit tertendang ke frekuensi yang lebih tinggi oleh elektron panas (yakni gejala Sunyaev–Zel’dovich): mengapa hal ini membuat gugusnya terlihat sebagai *bayangan* pada frekuensi rendah, dan apa keutamaan khusus bayangan semacam itu (tak bergantung pada jaraknya)?
22. Perbatasan hari ini memburu pengutuban CMB untuk mencari cap gelombang gravitasi purba: bab mana saja dalam buku ini yang akan dinikahkan oleh penemuan itu (pengutuban [Bab 6](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/6-elektromagnetisme-kovarian#ch-b3-covariant-electromagnetism) , gelombang gravitasi)?
23. Hitunglah fluks foton CMB yang menembus tubuh Anda ( $n_\gamma c/4$ tiap satuan luasnya, dengan tampang lintang tubuh $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): berapa banyak peninggalan Dentuman Besar yang melintasi Anda tiap detik?
24. CMB memilih satu kerangka diam (yakni kerangka tempat dwikutubnya lenyap): jelaskanlah mengapa hal ini *tidak* bertentangan dengan kenisbian — kerangka macam apa yang diistimewakan oleh kandungan materinya dan bukan oleh hukumnya?
25. Ringkaslah hasil bernama itu: sebuah kurva Planck ber- $2.725$ kelvin yang mengisi langit — $411$ foton tiap sentimeter kubik, dua miliar tiap barionnya, dengan puncak pada $160\,\mathrm{GHz}$ — adalah kuitansi termal permulaan yang panas: yakni fisika statistik sebagai batu fondasi kosmologi.

**Solusi Soal 20.1.**

**1.** $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$; $411$ foton tiap cm$^3$. **2.** $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx
0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$; setara massanya $u/c^2 \approx
4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: kira-kira $5\times10^{-5}$ kerapatan gentingnya. **3.** Spektrum termal menuntut agar pemancarnya dan radiasinya sudah setimbang — yakni mustahil bagi kumpulan bintang, debu atau plasma mana pun yang ditambahkan sepanjang garis pandang yang berbeda; hanya alam semesta yang *dahulu sendirinya* merupakan rongga kedap yang panas yang cocok. **4.** $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$. **5.** Kesetimbangan Saha menyeberang ke atom netral: elektron bebasnya lenyap, hamburan Thomsonnya berhenti, dan fotonnya sejak itu terbang tanpa tersentuh. **6.** Terang pada panjang gelombang milimeter, pada $2.725\,\mathrm{K}$: langit Olbers *memang* berkobar — pergeseran merahnya memindahkan kobaran itu ke luar cahaya tampak. **7.** $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ foton tiap barionnya. **8.** Fotonnya adalah abu pemusnahan materi–antimateri; barionnya adalah kelebihan satu tiap semiliar yang selamat: $\eta$ mengukur ketaksetangkupan purba itu — yang masih tak terjelaskan. **9.** $4.2 \times 10^{-14}\,$ berbanding $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: cahaya peninggalannya mengalahkan, dalam kerapatan energi, segala yang pernah dipancarkan bintang. **10.** Radiasi mengencer sebagai $a^{-4}$ (cacahnya $a^{-3}$, tiap fotonnya terentang $a^{-1}$), materi sebagai $a^{-3}$: pada awalnya radiasi berkuasa; materi menyusul pada kesetaraannya, lalu membiarkan strukturnya tumbuh. **11.** $1 + z_{\text{eq}} \approx 3400$. **12.** $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 =
1.95\,\mathrm{K}$: yakni latar neutrino kosmik yang diramalkan, cek tak tertagih paling berani dalam fisika termal. **13.** $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3}
\approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: yakni gerak Tata Surya menembus kerangka peninggalannya. **14.** Riak suhu (dan karenanya kerapatan serta kecepatan) alam semesta pada usia 380.000 tahun: yakni sebuah foto benihnya. **15.** Petak yang berkelebihan kerapatan menarik lebih kuat lalu tumbuh (yakni ketakmantapan gravitasi); sebelum kesetaraannya, tekanan radiasi memantulkannya kembali — pertumbuhannya menunggu materi berkuasa. **16.** Yakni jarak yang ditempuh bunyi ($c/\sqrt3$ dalam fluida foton–barion) sampai penggabungan kembalinya — yakni cakrawala bunyi, sebuah penggaris akustik yang terkubur di langit. **17.** Sudutnya cocok dengan geometri alam semesta yang datar sampai kira-kira satu persen: garis sejajar, secara kosmik, tetap sejajar. **18.** Ekakutubnya: permulaan yang panas. Dwikutubnya: gerak kita $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Riaknya: asal-usul struktur dan geometri ruang — tiap tempat desimalnya sebuah penemuan. **19.** Ia sama pada tiap arahnya, siang dan malam, musim panas dan musim dingin, bebas merpati: tak ada yang lokal, galaksi atau instrumental yang seisotrop itu — hanya langit itu sendiri. **20.** Sebuah desis pada tiap pesawat yang tak tersetel: Dentuman Besar selama ini tayang di televisi. **21.** Elektron gugus yang panas menendang foton CMB naik ke frekuensi yang lebih tinggi lewat gejala Compton: di bawah perpindahannya gugusnya menyingkirkan foton — yakni siluet yang kedalamannya tak bergantung jarak, sehingga survei dapat menemukan gugus pada pergeseran merah berapa pun. **22.** Gelombang gravitasi purba akan memuntir pengutuban CMB menjadi “ragam B”: yakni gelombang kenisbian yang dibaca dalam cahaya terhambur Thomson — dua benang buku ini yang tersimpul. **23.** $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$: kira-kira $10^{16}$ foton Dentuman Besar melintasi Anda tiap detik, tanpa terasa. **24.** Ia adalah kerangka yang dipilih oleh *kandungannya* (yakni tempat radiasinya isotrop), bukan oleh hukumnya: kenisbian hanya melarang kerangka yang diistimewakan hukum — bergerak menembus CMB dapat dideteksi, bergerak menembus ruang-waktu tidak. **25.** Sebuah kurva Planck $2.725\,\mathrm{K}$ pada tiap garis pandang — $411$ foton tiap sentimeter kubik, $10^9$ tiap barionnya, riak sebesar $10^{-5}$: yakni benda hitam fisika statistik, yang dinaikkan menjadi dokumen fondasi kosmologi.