---
title: "Elektromagnetisme dalam Materi"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/22-elektromagnetisme-dalam-materi
---

# Bab 22 — Elektromagnetisme dalam Materi

Selipkanlah selembar plastik di antara pelat kapasitor bermuatan dan tegangannya turun, seolah-olah muatan muncul entah dari mana. Lilitkanlah kumparan mengelilingi sebuah paku besi dan medan magnetnya tumbuh seribu kali lipat. Lepaskanlah magnet hiasan dari lemari es dan ia *mengingat* ke arah mana ia dimagnetkan — selama berpuluh tahun, tanpa catu daya. Jilid Tahun 2 menangani medan dalam materi secara borongan, dengan menyembunyikan bahannya di dalam sebuah indeks bias; bab ini membuka bahannya. Rencananya sama untuk kelistrikan dan untuk kemagnetan: materi adalah kerumunan dwikutub mikroskopis; jumlahkanlah menjadi sebuah kerapatan ($\vect P$ atau $\vect M$); ciptakanlah medan bantu ($\vect D$ atau $\vect H$) yang hanya melihat muatan dan arus yang kita kendalikan; lalu turunlah ke skala mikroskopisnya — tempat spin [Bab 12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/12-spin-dan-sistem-dua-aras#ch-b3-spin-two-level), faktor Boltzmann [Bab 17](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/17-ensembel-kanonik#ch-b3-canonical-ensemble) dan peralihan medan rata-rata [Bab 21](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/21-peralihan-fase#ch-b3-phase-transitions) mengambil alih — untuk menghitung apa yang dilakukan bahannya. Bab ini berakhir di tempat rongsokan, dengan merancang elektromagnet yang mengangkat mobil.

## 22.1 Pengutuban dan medan pergeseran

**Definisi 22.1 (Pengutuban dan muatan terikat).**

Sebuah *dielektrik* adalah penyekat yang molekulnya memperoleh (atau sudah memiliki) momen dwikutub listrik. Tanggapan bahannya diringkas oleh *pengutuban* $\vect P$: yakni momen dwikutub tiap satuan volumenya, $\vect P = n\langle\vect p\rangle$ untuk $n$ molekul tiap satuan volumenya. Balok yang terkutub membawa *muatan terikat* — yang tak bebas pergi, tetapi sepenuhnya nyata: yakni kerapatan permukaan $\sigma_{\text{b}} = \vect P\cdot\vect n$ tempat pengutubannya bertemu permukaannya, dan kerapatan volume $\rho_{\text{b}} =
-\nabla\cdot\vect P$ di mana pun ia tak seragam. Lempeng yang terkutub seragam persis setara dengan dua lembar muatan $\pm P$ pada kedua mukanya: seluruh kepala dan ekor dwikutub di dalamnya saling meniadakan.

**Proposisi 22.2 (Medan pergeseran).**

Muatan totalnya adalah yang bebas ditambah yang terikat; hukum Gauss dengan $\rho =
\rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}}$ tertata ulang menjadi hukum bagi *[pergeseran listrik](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)* $\vect D = \varepsilon_0\vect E +
\vect P$:

$$
\nabla\cdot\vect D = \rho_{\text{f}} :
$$

Sumber $\vect D$ hanyalah muatan bebasnya — yakni muatan pada pelat dan kawat kita. Dalam [dielektrik](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) *lelurus* tanggapannya sebanding, $\vect P = \varepsilon_0\chi_{\text{e}}\vect E$, sehingga $\vect D = \varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}\vect E$ dengan $\varepsilon_{\text{r}} = 1 + \chi_{\text{e}}$ sebagai *[permitivitas nisbi](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)*: udara $1.0006$, polietilena $2.3$, kaca $\sim 5$, air yang luar biasa besar $80$. Di antara pelat kapasitor yang ditahan pada muatan tetap, $\vect D$ tak berubah oleh [dielektriknya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation), sehingga $\vect E =
\vect D/\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}$ *turun* sebesar $\varepsilon_{\text{r}}$: muatan permukaan terikatnya berhadapan dengan muatan bebasnya lalu meniadakan sebagian besar medannya. Kapasitansinya dikalikan $\varepsilon_{\text{r}}$ — yakni seluruh industri kapasitor dalam satu huruf Yunani.

**Bukti.** $\nabla\cdot(\varepsilon_0\vect E) = \rho_{\text{f}} +
\rho_{\text{b}} = \rho_{\text{f}} - \nabla\cdot\vect P$; pindahkanlah suku [pengutubannya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) ke ruas kiri. ∎

![Lempeng dielektrik di antara pelat bermuatan. Medannya menyearahkan dwikutub molekulnya; muatan di dalamnya saling meniadakan berpasangan, lalu menyisakan lembar terikat _ b pada kedua mukanya — yang melawan muatan bebasnya lalu menyusutkan medan di dalamnya dari E_0 menjadi E = E_0/ _ r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-1725ef140772.svg)

*Lempeng [dielektrik](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) di antara pelat bermuatan. Medannya menyearahkan dwikutub molekulnya; muatan di dalamnya saling meniadakan berpasangan, lalu menyisakan lembar terikat $\mp\sigma_{\text{b}}$ pada kedua mukanya — yang melawan muatan bebasnya lalu menyusutkan medan di dalamnya dari $\vect E_0$ menjadi $\vect E = \vect E_0/\varepsilon_{\text{r}}$.*

## 22.2 Dari mana permitivitas datang

**Proposisi 22.3 (Pengutuban terimbas dan Clausius–Mossotti).**

Sebuah atom dalam medan $\vect E_{\text{loc}}$ merentang menjadi dwikutub $\vect p = \alpha\vect E_{\text{loc}}$, dengan $\alpha$ sebagai *keterkutuban* (berdimensi: $\varepsilon_0\times$volume — kira-kira $\varepsilon_0$ dikalikan volume atomnya). Dalam gas encer $E_{\text{loc}} \approx E$ dan $\chi_{\text{e}} =
n\alpha/\varepsilon_0$ bernilai kecil. Dalam medium yang rapat tiap molekulnya juga merasakan tetangganya yang terkutub: mengukir rongga bola kecil di sekelilingnya memberikan $\vect E_{\text{loc}} = \vect E + \vect
P/3\varepsilon_0$, dan ketaatasasan dirinya menghasilkan *[hubungan Clausius–Mossotti](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti)*

$$
\frac{\varepsilon_{\text{r}} - 1}{\varepsilon_{\text{r}} + 2}
= \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0} :
$$

ukurlah kerentanan uapnya yang mungil lalu ramalkanlah kerentanan cairannya — ia berhasil sampai beberapa persen untuk cairan takkutub.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 22.4.**

Medan rongga $\vect P/3\varepsilon_0$ adalah hasil bola yang terkutub seragam, yang dikutip di sini tanpa bukti; penurunan nilai batasnya yang jujur termasuk dalam kuliah elektrodinamika tersendiri. Segala hal lainnya di atas hanyalah pembukuan.

**Proposisi 22.5 (Molekul berkutub: fungsi Langevin).**

Molekul dengan dwikutub *tetap* $p$ (air: $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) tak perlu direntangkan — hanya disearahkan, melawan kegelisahan termalnya. Rata-rata kanonik [Bab 17](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/17-ensembel-kanonik#ch-b3-canonical-ensemble) atas arahnya, dengan energi $-pE\cos\theta$, memberikan

$$
\langle\cos\theta\rangle = L(x) = \coth x - \frac1x ,
\qquad x = \frac{pE}{k_{\text{B}}T} ,
$$

yakni *[fungsi Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin)*: lurus ($L \approx x/3$) pada $x$ kecil, lalu menjenuh pada $1$ ketika medannya menang telak. Dalam rezim lelurusnya $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ — yakni hukum Curie listrik, yang turun sebagai $1/T$: panaskanlah cairan berkutub dan permitivitasnya *turun*, yakni tanda pengenal yang membedakan dwikutub tetap dari dwikutub terimbas. Untuk air pada suhu ruang ini meramalkan $\chi_{\text{e}} \sim 12$ — orde besarnya tepat, dengan kerja sama ikatan hidrogen mendorong nilai sebenarnya menjadi $80$.

**Bukti sebagian.** $Z = \int_0^\pi \eu^{x\cos\theta}\,2\pi\sin\theta\,\dd\theta \propto
\sinh x/x$, dan $\langle\cos\theta\rangle = \dd\ln Z/\dd x = \coth x
- 1/x$. Menjabarkan $\coth x = 1/x + x/3 - \dots$ untuk $x$ kecil memberikan $L \approx x/3$, sehingga $P = np\langle\cos\theta\rangle =
np^2E/3k_{\text{B}}T$. ∎

![Fungsi Langevin. Medan biasa hidup jauh di bawah dalam rezim lelurusnya (x 10-3 bahkan pada medan dadalnya): penyearahan penuh dwikutub air akan memerlukan E 7 × 108\, V/ m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-324d42a069e8.svg)

*[Fungsi Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin). Medan biasa hidup jauh di bawah dalam rezim lelurusnya ($x \sim 10^{-3}$ bahkan pada medan dadalnya): penyearahan penuh dwikutub air akan memerlukan $E \sim 7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.*

## 22.3 Magnetisasi dan medan $H$

**Definisi 22.6 (Magnetisasi, arus terikat, dan H).**

Kisah magnetnya berjalan sejajar. Materi penuh dengan gelung arus mikroskopis — elektron yang mengorbit dan berputar, masing-masing sebuah dwikutub magnet $\vect\mu$; kerapatannya adalah *magnetisasi* $\vect M = n\langle\vect\mu\rangle$. Balok yang termagnet seragam setara dengan *arus permukaan terikat* yang beredar mengelilingi sisinya (gelung di dalamnya saling meniadakan berpasangan; sebatang magnet *adalah* solenoida arus terikat). Dengan membelah arusnya menjadi yang bebas dan yang terikat, hukum Ampère tertata ulang di sekitar medan bantu

$$
\vect H = \frac{\vect B}{\mu_0} - \vect M , \qquad
\oint \vect H\cdot\dd\vect\ell = I_{\text{bebas}} :
$$

$\vect H$ bersumber dari arus dalam kawat kita (bersatuan $\mathrm{A}/\mathrm{m}$), sedangkan $\vect B$ menyimpan fisikanya — gaya, fluks, induksi. Medium lelurus memiliki $\vect M = \chi_{\text{m}}\vect H$ dan $\vect B = \mu_0(1 + \chi_{\text{m}})\vect H =
\mu_0\mu_{\text{r}}\vect H$.

**Catatan 22.7 (Tiga watak magnet).**

Bahan menjawab $\vect H$ dengan tiga cara. *Diamagnet* ($\chi_{\text{m}} \sim -10^{-5}$: air, tembaga, grafit) menanggapi seperti hukum Lenz yang dibuat abadi: medan terapannya mengusik tiap orbit elektronnya sedemikian rupa sehingga melawannya — lemah, semesta, tak bergantung suhu, dan ditolak magnet (seekor katak pernah dilayangkan dengan cara ini dalam lubang $16\,\mathrm{T}$). *Paramagnet* ($\chi_{\text{m}} \sim +10^{-5}$ sampai $10^{-3}$: aluminium, O$_2$) memiliki momen tetap — yakni spin tak berpasangan dari [Bab 14](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/14-partikel-identik#ch-b3-identical-particles) — yang menyearah seperti dwikutub Langevin: $\chi_{\text{m}} = \mu_0 n\mu^2/3k_{\text{B}}T$, yakni hukum Curie $1/T$ (versi kuantum dua arasnya adalah [Latihan 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/17-ensembel-kanonik#exo-b3-canonical-ensemble-11)). *Feromagnet* (besi, kobalt, nikel: $\mu_{\text{r}}$ dalam ribuan) adalah paramagnet yang spinnya juga saling berbicara — yakni gandengan pertukaran [Latihan 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/14-partikel-identik#exo-b3-identical-particles-12) — dan di bawah [suhu Curie](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/21-peralihan-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) mereka menyearah *secara spontan*: [Teorema 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/21-peralihan-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield), yang kini dipekerjakan.

## 22.4 Feromagnetisme dalam kerja: ranah dan histeresis

**Definisi 22.8 (Ranah dan histeresis).**

Bongkahan besi mentah *tidak* termagnet: ia pecah menjadi *ranah*, yakni daerah berskala mikron yang masing-masing termagnet penuh tetapi menunjuk ke arah berbeda, sehingga medan di luarnya (beserta ongkos energinya) nyaris meniadakan diri. Medan terapan $\vect H$ menggerakkan dinding ranahnya — ranah yang menguntungkan tumbuh — lalu memutar seluruh ranahnya sampai sejajar. Dindingnya tersangkut pada cacat, sehingga prosesnya taktermampatbalikkan: sapulah $H$ naik dan turun dan $B(H)$ menjejak sebuah gelung, yakni *daur histeresis*nya. Matikanlah arusnya dan medan *teringat* $B_{\text{r}}$ bertahan; meniadakannya memerlukan medan *koersif* kebalikannya $H_{\text{c}}$. Luas yang dilingkupi gelungnya adalah energi yang terlesap tiap daur dan tiap satuan volumenya. Bahan *lunak* (baja silikon, ferit: gelung tipis, $H_{\text{c}}$ kecil) membuat teras trafo dan motor; bahan *keras* (alniko, Nd$_2$Fe$_{14}$B: gelung gemuk, $H_{\text{c}}$ raksasa) membuat magnet tetap — dan ingatan magnetik: magnet lemari es dan cakram keras adalah gelung histeresis yang menolak lupa.

![Ranah. Kiri: feromagnet perawan menyembunyikan magnetisasinya dalam daerah yang saling meniadakan. Kanan: medan terapannya menumbuhkan lalu memutarnya menjadi satu balok termagnet tunggal — lewat lompatan dinding taktermampatbalikkan yang memberi besi ingatannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-fad00d492403.svg)

*Ranah. Kiri: feromagnet perawan menyembunyikan [magnetisasinya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) dalam daerah yang saling meniadakan. Kanan: medan terapannya menumbuhkan lalu memutarnya menjadi satu balok termagnet tunggal — lewat lompatan dinding taktermampatbalikkan yang memberi besi ingatannya.*

![Daur histeresis. Dari keadaan perawan (putus-putus), medannya menggiring B sampai jenuh; mengembalikan H ke nol menyisakan keteringatan B_ r, dan hanya medan koersif -H_ c yang menghapusnya. Luas gelung = kalor tiap daur tiap satuan volumenya: gelung tipis untuk trafo, gelung gemuk untuk magnet tetap.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-4bc841a34a1a.svg)

*[Daur histeresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). Dari keadaan perawan (putus-putus), medannya menggiring $B$ sampai jenuh; mengembalikan $H$ ke nol menyisakan [keteringatan](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) $B_{\text{r}}$, dan hanya medan koersif $-H_{\text{c}}$ yang menghapusnya. Luas gelung = kalor tiap daur tiap satuan volumenya: gelung tipis untuk trafo, gelung gemuk untuk magnet tetap.*

**Contoh 22.9 (Elektromagnet berteras besi).**

Lilitkanlah $N$ lilitan berarus $I$ mengelilingi cincin besi ($\mu_{\text{r}}
\sim 5000$) dengan celah udara kecil $e$. Hukum Ampère untuk $\vect H$ mengelilingi gelungnya: $H_{\text{besi}}\ell + H_{\text{celah}}e = NI$, dan kesinambungan fluksnya membuat $B$ sama, sehingga

$$
B\Big(\frac{\ell}{\mu_0\mu_{\text{r}}} + \frac{e}{\mu_0}\Big) = NI .
$$

Dengan $\ell = 1\,\mathrm{m}$ dan $e = 1\,\mathrm{cm}$, suku celahnya lima puluh kali suku besinya: nyaris seluruh upaya kumparannya dihabiskan untuk mendorong medan menyeberangi satu sentimeter udara. Itulah rangkaian magnetnya dalam satu baris — besi adalah penghantar fluks yang nyaris sempurna, udara adalah hambatannya — dan karena itulah motor, relai dan pengangkat rongsokan menjaga celah udaranya setipis mungkin ([Soal 22.1](#pb-b3-electromagnetism-in-matter-1)).

![Ferofluida di atas magnet yang tersembunyi: magnetisasi cairannya membuat energi medannya lebih murah daripada gravitasi dan tegangan permukaan, lalu permukaannya melekuk menjadi kisi paku — yakni M, yang dibuat kasat mata.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-e2d2cf27d26a.jpg)

*Ferofluida di atas magnet yang tersembunyi: [magnetisasi](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) cairannya membuat energi medannya lebih murah daripada gravitasi dan tegangan permukaan, lalu permukaannya melekuk menjadi kisi paku — yakni $\vect M$, yang dibuat kasat mata.*

## 22.5 Latihan

**Latihan 22.1 ★.**

Pembukuan [muatan terikat](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Sebuah lempeng setebal $d$ terkutub seragam sepanjang normalnya, dengan besar $P$. (a) Berikanlah kerapatan [muatan terikat](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) pada tiap mukanya. (b) Tunjukkanlah bahwa medan *di dalamnya* akibat lembar itu adalah $E = P/\varepsilon_0$, yang melawan $\vect P$. (c) Berapakah $\vect D$ di dalamnya, tanpa muatan bebas di mana pun? (d) Sebatang elektret (dengan $\vect P$ yang dibekukan) adalah padanan listrik benda magnet yang mana?

**Solusi Latihan 22.1.**

(a) $+P$ pada muka yang ditunjuk $\vect P$, $-P$ pada muka lainnya. (b) Dua lembar takhingga $\pm P$ menghasilkan $P/\varepsilon_0$ di antaranya, yang terarah dari $+$ ke $-$, yakni *melawan* $\vect P$. (c) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — sebagaimana seharusnya: tanpa muatan bebas, dan komponen normal $\vect D$ bersinambung dari vakum di luarnya. (d) Sebatang magnet: yakni kerapatan dwikutub yang dibekukan, dengan medan yang ditopang sumber terikatnya sendiri.

**Latihan 22.2 ★.**

Kapasitor berdielektrik. Sebuah kapasitor pelat sejajar ($C_0 = 100\,\mathrm{pF}$) diisi sampai $12\,\mathrm{V}$ lalu diputus hubungannya. Sebuah lempeng ber-$\varepsilon_{\text{r}} = 4$ mengisinya. Carilah (a) kapasitansi barunya; (b) tegangan barunya; (c) energinya sebelum dan sesudah — ke mana perginya selisihnya? (d) Ulangilah (b)–(c) dengan baterainya tetap terhubung.

**Solusi Latihan 22.2.**

(a) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$. (b) $Q =
1.2\,\mathrm{nC}$ terperangkap: $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$. (c) $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ sebelumnya, $1.8\,\mathrm{nJ}$ sesudahnya: $5.4\,\mathrm{nJ}$ yang hilang menjadi kerja mekanis — medan pinggirnya *menarik lempengnya masuk*. (d) Dengan baterai terhubung: $V$ tetap $12\,\mathrm{V}$, $Q$ menjadi empat kali lipat, energinya naik menjadi $28.8\,\mathrm{nJ}$ — baterainya membayar energi medan barunya sekaligus tarikannya.

**Latihan 22.3 ★.**

Kebun binatang kerentanan. Golongkanlah (dia-, para-, atau feromagnetik) lalu benarkanlah dari struktur elektroniknya bila Anda bisa: air ($\chi_{\text{m}} = -9\times10^{-6}$), aluminium ($+2.2\times10^{-5}$), oksigen cair ($+3.5\times10^{-3}$ — mengapa O$_2$ bersifat magnet sama sekali?), nikel ($\mu_{\text{r}} \sim 600$ pada medan kecil). Yang mana dari keempatnya yang akan ditarik magnet kuat secara kasat mata, dan yang mana yang ditolaknya sedikit sekali?

**Solusi Latihan 22.3.**

Air: diamagnetik — semua elektronnya berpasangan, hanya ada perlawanan terimbas Larmor. Aluminium: paramagnetik (yakni spin elektron hantarannya). Oksigen cair: paramagnetik kuat — O$_2$ membawa *dua elektron tak berpasangan* (yakni pengisian menurut kaidah Hund pada orbital antiikatannya, [Bab 14](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/14-partikel-identik#ch-b3-identical-particles)); ia melekat secara kasat mata di antara kutub magnetnya. Nikel: feromagnetik. Magnetnya secara kasat mata menarik nikel dan oksigen cair, dan menolak air sedikit sekali — yakni lesung yang dibuat magnet kuat pada permukaan air.

**Latihan 22.4 ★.**

$B$, $H$, $M$. Sebuah solenoida panjang ($n = 2000$ lilitan tiap meternya, $I = 1.5\,\mathrm{A}$) diisi besi, dan $B = 1.6\,\mathrm{T}$ terukur. Hitunglah (a) $H$; (b) $M$; (c) penguatannya $B/\mu_0H$; (d) arus permukaan terikat tiap meternya yang setara dengan $M$ — bandingkanlah dengan $nI$ kumparannya sendiri.

**Solusi Latihan 22.4.**

(a) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (b) $M = B/\mu_0 - H =
1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (c) $B/\mu_0H \approx 420$. (d) Arus lembar terikat yang setara adalah $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ tiap meternya — empat ratus kali $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ kumparannya sendiri: besinya melakukan hampir seluruh pekerjaannya.

**Latihan 22.5 ★★.**

Kabel sesumbu, yang tersekat. Sebuah saluran sesumbu (berjejari dalam $a$, luar $b$) mengangkut muatan bebas $\lambda$ tiap satuan panjang pada terasnya, dengan [dielektrik](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) $\varepsilon_{\text{r}}$ di antaranya. (a) Carilah $\vect D(r)$ dari kesetangkupannya. (b) Simpulkanlah $\vect E$ dan $\vect P$. (c) Hitunglah kerapatan [muatan terikatnya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) pada $r = a$ dan $r = b$ lalu periksalah bahwa jumlahnya nol tiap satuan panjangnya. (d) Tunjukkanlah bahwa kapasitansi tiap satuan panjangnya dikalikan $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Solusi Latihan 22.5.**

(a) Permukaan Gauss berbentuk silinder hanya melingkupi muatan bebasnya: $D = \lambda/2\pi r$, secara radial. (b) $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$, $P =
(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$. (c) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$: tiap satuan panjangnya $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$; pada $r = b$, $+P(b)$: tiap satuan panjangnya $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — jumlahnya nol, sebagaimana harusnya [muatan terikat](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). (d) $V = \int E\,\dd r =
(\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$, sehingga $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$: yakni dikalikan $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Latihan 22.6 ★★.**

Clausius–Mossotti dalam kerja. Argon berwujud gas pada $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$ memiliki $\varepsilon_{\text{r}} = 1.00052$. (a) Tariklah $\alpha/\varepsilon_0$ (yakni sebuah volume) lalu bandingkanlah dengan volume atomnya. (b) Argon cair memiliki $n = 2.1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: ramalkanlah $\varepsilon_{\text{r}}$ dari Clausius–Mossotti (terukur: 1.53). (c) Mengapa nilai naifnya $\chi = n\alpha/\varepsilon_0$ melampaui sasarannya dengan lebih ringan di sini daripada untuk air? (d) Untuk molekul yang mana seluruh skemanya pasti gagal, dan apa penggantinya?

**Solusi Latihan 22.6.**

(a) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, sehingga $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — yakni volume bola berjejari $\approx1.7\,\text{Å}$: keterkutuban *adalah* volume atom, dalam satuan $\varepsilon_0$. (b) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$, sehingga $(\varepsilon_{\text{r}} -
1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ memberikan $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — tepat pada nilai terukurnya. (c) Koreksi medan setempatnya berpengaruh 15 % di sini; argon bersifat takkutub, sehingga tak ada sumbangan arah yang dapat lepas kendali. (d) Molekul berkutub (air, HCl): dwikutub tetapnya menguasai lalu saling berinteraksi; teori Langevin–Debye (dan, untuk cairan rapat, Onsager) menggantikan penalaran rongga yang sederhana itu.

**Latihan 22.7 ★★.**

Permitivitas raksasa air. (a) Dari [Proposisi 22.5](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin), hitunglah $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ untuk air ($n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$, $T = 300\,\mathrm{K}$). (b) Perkirakanlah medan yang diperlukan untuk $x = 1$ (yakni penjenuhan yang serius) lalu bandingkanlah dengan kekuatan [dielektrik](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) air $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (c) Oven gelombang mikro berjalan pada $2.45\,\mathrm{GHz}$: mengapa tanggapan dwikutub berputar yang *merugi* memanaskan makanan, dan mengapa es memanas jauh lebih lambat daripada air cair? (d) Ramalkanlah tanda $\dd\varepsilon_{\text{r}}/\dd T$ untuk air dan untuk argon.

**Solusi Latihan 22.7.**

(a) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx
11.5$. (b) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — sepuluh kali medan dadalnya: air selalu bekerja jauh di dalam rezim lelurusnya. (c) Pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ dwikutubnya nyaris mengimbangi tetapi tertinggal: bagian tanggapannya yang berbeda fase melakukan kerja bersih pada airnya tiap daur — yakni pemanasan [dielektrik](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Dalam es molekulnya terkunci pada kisinya; pengenduran putarnya duduk pada kilohertz, sehingga pada gigahertz es nyaris tak menyerap (daur pencairan berdenyut lembut, lalu membiarkan air lelehannya yang memanaskan). (d) Air: negatif (yakni tanggapan arah $1/T$); argon: pada dasarnya nol — keterkutuban terimbas tak peduli pada suhu.

**Latihan 22.8 ★★.**

Diamagnetisme yang diperkirakan. Perlakukanlah elektron atom sebagai muatan pada cincin berjejari $r$; medan terapan $B$ mengubah frekuensi sudutnya sebesar geseran Larmor $\Delta\omega = eB/2m_{\text{e}}$. (a) Tunjukkanlah bahwa momen terimbasnya adalah $\Delta\mu = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ (yang melawan $B$). (b) Dengan merata-ratakan arahnya lalu menjumlahkan $Z$ elektron tiap atomnya, orang memperoleh $\chi_{\text{m}} = -\mu_0ne^2Z\langle
r^2\rangle/6m_{\text{e}}$: hitunglah untuk air ($n =
3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ molekul, $Z = 10$, $\langle r^2\rangle
\approx (0.7\,\text{Å})^2$) lalu bandingkanlah dengan nilai terukur $-9\times10^{-6}$. (c) Mengapa diamagnetisme tak bergantung suhu sedangkan paramagnetisme bergantung? (d) Mengapa bahkan seekor katak melayang dalam $16\,\mathrm{T}$, dan mengapa medan magnetnya harus *tak seragam*?

**Solusi Latihan 22.8.**

(a) Geseran Larmornya mengubah arus yang beredar sebesar $\Delta I
= -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$, sehingga $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$, yang melawan $\vect B$ ke arah mana pun elektronnya mengorbit — yakni hukum Lenz pada skala atom. (b) Dengan bilangan yang dinyatakan itu, $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$: nilai terukurnya $-9\times10^{-6}$, dari sebuah model cincin. (c) Momen terimbasnya berasal dari pengubahan bentuk orbitnya, bukan dari persaingan Boltzmann antara penyearahan dan ketakteraturan — tanpa $T$ di mana pun. (d) Air bersifat diamagnetik, sehingga kataknya terdorong ke arah medan yang lemah; kerapatan gayanya $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ lenyap dalam medan yang seragam — pelayangannya memerlukan $B\,\dd B/\dd z$ yang cukup besar untuk mengimbangi $\rho g$, sehingga diperlukan lubang $16\,\mathrm{T}$ itu.

**Latihan 22.9 ★★.**

Paramagnetisme Curie dan pendinginan. Sebuah garam membawa $n =
2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ ion bermomen $\mu \approx \mu_{\text{B}}$. (a) Hitunglah $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ pada $300\,\mathrm{K}$ dan pada $1\,\mathrm{K}$. (b) Pada suhu berapa $\chi_{\text{m}}$ akan mencapai $1$ — dan fisika apa (yang diabaikan di sini) yang menyela lebih dahulu pada sebagian besar garam? (c) Penyahmagnetan adiabatik: magnetkanlah pada $1\,\mathrm{K}$, kucilkanlah, lalu singkirkanlah medannya perlahan — jelaskanlah dengan entropi spin [Bab 16](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/16-ensembel-mikrokanonik#ch-b3-microcanonical-ensemble) mengapa cuplikannya mendingin. (d) Mengapa metodenya memerlukan *para*magnet dan bukan feromagnet?

**Solusi Latihan 22.9.**

(a) $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T
\approx 1.7\times10^{-5}$ pada $300\,\mathrm{K}$, $5\times10^{-3}$ pada $1\,\mathrm{K}$. (b) Dengan ekstrapolasi, $\chi \to 1$ di dekat $5\,\mathrm{mK}$ — tetapi gandengan dwikutub dan pertukarannya menata (atau membekukan) garam yang sebenarnya lebih dahulu: hukum Curie adalah hukum suhu tinggi. (c) Setelah dimagnetkan pada $1\,\mathrm{K}$, entropi spinnya diperas keluar ke dalam rendamannya; setelah dikucilkan, $S$ tetap, dan menurunkan $B$ membiarkan spinnya menuntut kembali $k_{\text{B}}\ln 2$ miliknya masing-masing — energinya datang dari kisinya, yang suhunya turun (milikelvin dalam praktiknya). (d) Spin sebuah feromagnet menata dirinya sendiri di bawah $T_{\text{c}}$: entropinya tak lagi dikendalikan medan, dan histeresisnya akan melesapkan energi dan bukan mendinginkan.

**Latihan 22.10 ★★★.**

Rangkaian magnetnya. Sebuah torus besi ($\ell = 60\,\mathrm{cm}$, $\mu_{\text{r}} = 4000$, bertampang $A = 16\,\mathrm{cm}^{2}$) membawa $N = 500$ lilitan dan celah $e = 4\,\mathrm{mm}$. (a) Tunjukkanlah $NI =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ lalu hitunglah arusnya untuk $B = 1.2\,\mathrm{T}$. (b) Berapa bagian dari $NI$ yang dihabiskan pada celahnya? (c) Definisikanlah keengganan $\mathcal R = \ell/\mu A$ tiap ruasnya lalu nyatakanlah kembali (a) sebagai “hukum Ohm” seri bagi fluksnya. (d) Besinya menjenuh di dekat $1.8\,\mathrm{T}$: jelaskanlah apa yang terjadi pada model rangkaiannya — dan pada motor Anda — di baliknya.

**Solusi Latihan 22.10.**

(a) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$: dengan setara $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ berbanding $e =
4\,\mathrm{mm}$, $NI \approx 3960$ amper-lilitan, $I \approx
7.9\,\mathrm{A}$. (b) $4/4.15 \approx 96\,\%$ upayanya menyeberangi celahnya. (c) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{besi}} +
\mathcal R_{\text{celah}})$ dengan $\mathcal R = \ell/\mu A$: gaya gerak magnet $NI$ berperan sebagai tegangan, fluksnya sebagai arus, keengganannya sebagai hambatan — di sini $\mathcal R_{\text{celah}}
\approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx
27\,\mathcal R_{\text{besi}}$. (d) Melewati $1.8\,\mathrm{T}$, $\mu_{\text{r}}$ tambahan besinya runtuh menuju 1: keengganannya membubung, arus tambahannya nyaris tak membeli fluks tambahan, dan motor yang didorong ke sana berhenti memperoleh torsi sementara lilitannya matang.

**Latihan 22.11 ★★★.**

Rugi [histeresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). Sebuah teras trafo (bervolume $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$) berjalan pada $50\,\mathrm{Hz}$. Gelung baja silikonnya melingkupi $\sim40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ tiap daurnya. (a) Hitunglah rugi daya histeresisnya. (b) Teras yang sama dari baja keras ($\sim6 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$): hitunglah ruginya, lalu berilah putusan. (c) Arus pusar menambahkan rugi $\propto f^2$: jelaskanlah mengapa terasnya dilaminasi dan mengapa ferit mengambil alih pada frekuensi radio. (d) Sebuah bit cakram keras harus *menyimpan* [magnetisasinya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) melawan tendangan termal selama sepuluh tahun: kaitkanlah tuntutan atas $H_{\text{c}}$ untuk ingatan dengan tuntutan untuk sebuah trafo, lalu simpulkanlah bahwa tak ada satu bahan pun yang dapat melakukan kedua tugasnya.

**Solusi Latihan 22.11.**

(a) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — dapat diterima. (b) $1.2\,\mathrm{kW}$: terasnya akan berpijar; baja keras didiskualifikasi dari tugas arus bolak-balik justru oleh keutamaannya sendiri. (c) Gaya gerak listrik pusarnya berskala dengan luas gelungnya dan $f$; melaminasi (atau membubukkan, atau memakai ferit yang menyekat) mencincang gelungnya, lalu memangkas rugi $f^2$-nya — karena itulah ferit menguasai jangkauan megahertz. (d) Ingatan menginginkan penghalang bit tersimpannya $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg
k_{\text{B}}T$ selama sedasawarsa (yakni batas superparamagnetiknya), yakni $H_{\text{c}}$ sebesar mungkin selama masih dapat ditulisi; sebuah trafo menginginkan $H_{\text{c}} \to 0$ demi gelung yang tipis. Satu bahan tak dapat duduk pada kedua ujungnya: magnet lunak untuk mesin, magnet keras untuk ingatan.

**Latihan 22.12 ★★★.**

Medan penyahmagnetnya. Di dalam benda yang termagnet seragam tanpa arus bebas, $\oint\vect H\cdot\dd\vect\ell = 0$ memaksa $\vect H$ di dalamnya untuk *melawan* $\vect M$ ($\vect H =
-N_{\text{d}}\vect M$, dengan $N_{\text{d}}$ sebagai faktor bentuk: $1/3$ untuk bola, $\approx 0$ sepanjang jarum yang panjang, $\approx 1$ melintasi pelat tipis). (a) Benarkanlah limit jarum dan pelatnya dengan gambaran arus terikat (solenoida). (b) Mengapa magnet yang pendek gempal menyahmagnetkan dirinya sebagian sedangkan sebuah jarum menyimpan [magnetisasinya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation)? (c) Kaitkanlah dengan jarum kompas dan dengan butiran memanjang pita magnetik. (d) Sebuah bola besi lunak duduk dalam $B_0$ luar yang seragam: jelaskanlah mengapa tanggapannya menjenuh pada $\vect H
\approx 0$ di dalamnya, yakni $M \approx 3B_0/\mu_0$ paling banyak, sebesar apa pun $\mu_{\text{r}}$-nya.

**Solusi Latihan 22.12.**

(a) Jarum panjang yang termagnet sepanjang sumbunya adalah solenoida panjang berarus terikat: di dalamnya, $H \approx 0$ (seluruh $B$ datang dari $M$). Pelat tipis yang termagnet melintasi mukanya adalah solenoida terpendek dan tergemuk yang mungkin: medan baliknya di dalam memberikan $H = -M$. (b) Magnet yang pendek gempal bekerja pada $H = -N_{\text{d}}M$, jauh menuruni kurva penyahmagnetannya: gerak dindingnya menggerogoti [keteringatannya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis); sebuah jarum duduk pada $H \approx 0$ lalu menyimpan apa yang dimilikinya. (c) Karena itulah ada *jarum* kompas, dan butiran seranah tunggal yang memanjang pada pita magnetik dan cakram keras awal — yakni ketaksamaan arah bentuk sebagai asuransi ingatan. (d) Kekekalan fluks dan $\oint\vect H\cdot
\dd\vect\ell = 0$ memberikan bagian dalam sebuah bola $H_{\text{dalam}} =
H_0 - M/3$; ketika $\mu_{\text{r}}\to\infty$ besinya menggiring $H_{\text{dalam}}\to0$, sehingga $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$: bolanya hanya dapat memusatkan medannya tiga kali lipat, sebaik apa pun besinya.

![Soal akhir pekannya, dalam kerja: sebuah kumparan berteras besi yang medannya memagnetkan rongsokannya sendiri — lalu melepaskannya atas perintah, dan itulah separuh rancangan yang dibuat menarik oleh histeresis.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-3c2314b40699.jpg)

*Soal akhir pekannya, dalam kerja: sebuah kumparan berteras besi yang medannya memagnetkan rongsokannya sendiri — lalu melepaskannya atas perintah, dan itulah separuh rancangan yang dibuat menarik oleh [histeresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis).*

## 22.6 Soal: Pengangkat rongsokan

**Soal 22.1.**

*Pengangkat rongsokan.* Sebuah tempat daur ulang memesan sebuah elektromagnet derek: yakni periuk besi bermuka datar, bergaris tengah satu meter, yang harus mengangkat bal mobil rongsok seberat dua ton, lalu — sama pentingnya — *menjatuhkannya* atas perintah. Anda perancangnya.

**Bagian I — Mengapa besi.**

1. Kumparan telanjangnya: 400 lilitan berarus $25\,\mathrm{A}$ yang tersebar pada lintasan magnet sepanjang $\sim1\,\mathrm{m}$ . Perkirakanlah $B \sim  \mu_0NI/\ell$ tanpa besi.
2. Jelaskanlah dalam dua kalimat, dengan ranah, mengapa mengisi kumparannya dengan besi mengalikannya dengan $\sim\mu_{\text{r}}$ .
3. [Magnetisasi](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) besi menjenuh pada $M_{\text{s}} \approx  1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ . Hitunglah langit-langit $\mu_0M_{\text{s}}$ yang dikenakannya pada medan kutubnya, apa pun yang dilakukan kumparannya.
4. Tiap atom besi menyumbang $\approx 2.2$ [magneton Bohr](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/10-momentum-sudut-kuantum#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic) . Periksalah: dengan $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , perolehlah kembali $M_{\text{s}}$ .
5. Mengapa muka kutubnya harus dimesin rata dan dijaga bebas dari karat dan kerikil? (Ingatlah [Contoh 22.9](#ex-b3-electromagnetism-in-matter-electromagnet) .)
6. Bebannya sendiri menjadi bagian rangkaian magnetnya. Sketsalah lintasan fluksnya: teras periuknya, muka utaranya, bal bajanya, muka selatannya, lalu kembali menembus kuk.

**Bagian II — Rangkaian magnet dan gayanya.**

7. Modelkanlah rangkaiannya: lintasan besi $\ell = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu_{\text{r}} = 2000$ , dan dua celah udara efektif (sentuhan muka dengan bal) masing-masing $e = 1.5\,\mathrm{mm}$ . Tuliskanlah hukum Ampère untuk $H$ mengelilingi gelungnya.
8. Hitunglah ketiga suku keengganannya tiap satuan luas ( $\ell/\mu_{\text{r}}$ berbanding $2e$ ) lalu tunjukkanlah bahwa celah milimeternya tetap memakan sebagian besar upaya kumparannya.
9. Dengan $NI = 10\,000$ amper-lilitan, hitunglah $B$ dalam celahnya.
10. Tekanan angkat pada tiap muka kutubnya adalah $B^2/2\mu_0$ (yakni kerapatan energi magnet yang terlepas tiap meter pendekatannya). Hitunglah dalam $\mathrm{kPa}$ untuk $B$ Anda.
11. Luas muka kutub totalnya $A = 0.12\,\mathrm{m}^{2}$ : hitunglah gaya angkatnya lalu ubahlah ke ton.
12. Apakah ia memenuhi spesifikasi dua ton dengan marjin dua kali lipat? Jika tidak, sesuaikanlah $NI$ lalu nyatakanlah arus barunya.
13. Bal yang terhimpit menyentuh mukanya barangkali pada sepertiga luasnya, dengan celah efektif yang lebih lebar. Hitunglah ulang gayanya untuk $e = 4\,\mathrm{mm}$ , $A_{\text{eff}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ lalu berilah ulasan mengapa daya angkat terpasangnya mengutip kapasitas “pelat datar”.

**Bagian III — Mengingat dan melupakan.**

14. Tempat rongsokannya membalik sakelarnya untuk menjatuhkan sebuah bal — dan balnya tetap menggantung. Sebutkanlah biang keladinya, dengan gelung histeresisnya.
15. Mengapa periuknya harus dari besi *lunak* (dengan $H_{\text{c}}$ kecil, $B_{\text{r}}$ kecil) dan bukan dari baja magnet yang keras?
16. Bahkan besi lunak menyimpan sedikit [keteringatan](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) . Usulkanlah penawar bakunya: yakni denyut arus *terbalik* yang singkat — titik gelung yang mana yang dibidiknya?
17. Sebagian pengendali justru mengenakan arus bolak-balik yang meluruh. Sketsalah apa yang dilakukan lintasan $B$ – $H$ -nya dan mengapa ia berakhir tersahmagnetkan.
18. Dereknya juga menangani lempeng panas langsung dari tanur, pada $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Titik Curie besi adalah $1043\,\mathrm{K}$ : apa yang terjadi pada gaya angkatnya, dan mengapa? ( [Teorema 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/21-peralihan-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) .)
19. Seorang magang musim panas mengusulkan penghematan tembaga dengan melipatduakan celahnya dan melipatduakan $NI$ . Pakailah rumus Bagian II Anda untuk menjelaskan ketaksetangkupannya: yang mana yang terbagi dua dan yang mana yang sekadar bertahan?

**Bagian IV — Daya, kalor, dan tagihannya.**

20. Kumparannya: 400 lilitan tembaga, panjang lilitan rata-rata $2.5\,\mathrm{m}$ , tampang kawat $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , hambatan jenis $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Hitunglah hambatannya.
21. Pada $I = 25\,\mathrm{A}$ : hitunglah daya yang terlesap, dan energi hariannya untuk giliran kerja delapan jam pada tugas $60\,\%$ .
22. Energi magnet yang tersimpan dalam kedua celahnya ( $B^2/2\mu_0 \times$ volume): hitunglah lalu bandingkanlah dengan satu *detik* pelesapan kumparannya. Ke mana perginya seluruh sisa energi listriknya?
23. Menjatuhkan bebannya nyaris tak mengembalikan energi tersimpan apa pun ke jaringan. Jelaskanlah, dengan luas gelungnya dan lonjakan induktifnya, mengapa pengendalinya memerlukan lintasan roda bebas (flyback) melintasi kumparannya.
24. Dayanya padam ketika sebuah bal melayang di udara. Apa yang dilakukan balnya, dan apa yang ditahan [keteringatannya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) *sendirian* ? Benarkanlah aturan tempat rongsokan bahwa tak seorang pun berjalan di bawah magnet yang bertenaga — beserta bujukan penjualan pengangkat bercadangan baterai.
25. Ringkaslah rancangannya dalam empat baris: langit-langit medannya ditetapkan $M_{\text{s}}$ , gayanya oleh $B^2A/2\mu_0$ , keterkendaliannya oleh [histeresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) besi lunak, dan ongkos pengoperasiannya oleh $RI^2$ — yakni seluruh bab yang tergantung pada satu derek.

**Solusi Soal 22.1.**

**1.** $B \approx \mu_0NI/\ell = 13\,\mathrm{mT}$ — yakni medan sekelas magnet lemari es dari kumparan $250\,\mathrm{W}$. **2.** $H$ kumparannya yang kecil melepaskan sangkutan lalu memutar ranah yang arus terikatnya kemudian beredar seirama dengan arus kumparannya: besinya menambahkan $\mu_0M \gg \mu_0H$ miliknya sendiri. **3.** $\mu_0M_{\text{s}} = 2.1\,\mathrm{T}$: tak ada kumparan yang dapat menarik lebih banyak dari kutub besinya. **4.** $M = 2.2\mu_{\text{B}}n = 2.2\times9.27 \times 10^{-24}
\times8.5 \times 10^{28} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ — taat asas. **5.** Karat atau kerikil apa pun adalah celah udara seri tambahan di satu tempat yang keengganannya paling berarti; sepersepuluh milimeter kerak sudah memakan gayanya secara terukur. **6.** Fluksnya meninggalkan kutub utara pusatnya, menyeberangi celah sentuhnya ke dalam balnya, berjalan menembus bajanya, lalu kembali menembus kutub selatan cincin luarnya dan kuknya — bebannya menutup rangkaian magnetnya. **7.** $NI = H_{\text{besi}}\ell + 2H_{\text{celah}}e =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + 2e/\mu_0)$. **8.** Tiap satuan luasnya: $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.6\,\mathrm{mm}$ berbanding $2e = 3\,\mathrm{mm}$: tiga milimeter udaranya mengambil $\sim83\,\%$ amper-lilitannya. **9.** Rumus lelurusnya memberikan $B = \mu_0NI/(\ell/
\mu_{\text{r}} + 2e) \approx 3.5\,\mathrm{T}$ — *di atas* langit-langit butir 3: periuknya menjenuh lalu menyerahkan $B \approx
1.7\,\mathrm{T}$, sekeras apa pun kumparannya berusaha. **10.** $B^2/2\mu_0 \approx 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} \approx
1150\,\mathrm{kPa}$ — yakni sebelas atmosfer tarikan. **11.** $F = 1.15 \times 10^{6}\times0.12 \approx 140\,\mathrm{kN}
\approx 14$ ton. **12.** Ya: 14 ton berbanding tuntutan 4 ton (2 ton $\times$ faktor keselamatan 2) — marjinnya ada demi butir 13. **13.** Dengan $e = 4\,\mathrm{mm}$ dan $A_{\text{eff}} =
0.04\,\mathrm{m}^{2}$: $B \approx 1.5\,\mathrm{T}$, tekanannya $\approx870\,\mathrm{kPa}$, gayanya $\approx35\,\mathrm{kN} \approx 3.5$ ton — peringkat “pelat datar” dua belas tonnya menyusut menjadi nyaris pas spesifikasinya pada rongsokan yang sebenarnya, dan karena itulah kapasitasnya selalu dikutip pada pelat rata. **14.** [Keteringatan](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis): matikanlah dan besinya duduk pada $B_{\text{r}}$ pada gelungnya — periuknya kini menjadi magnet tetap yang lemah, sehingga beban ringan tetap menggantung. **15.** Gelung tipis besi lunak membuat $B_{\text{r}}$ dan $H_{\text{c}}$-nya kecil: magnetnya harus *lupa* atas perintah; baja keras akan mengubah pengangkatnya menjadi magnet tetap dengan sakelar yang tak berbuat apa-apa. **16.** Denyut balik yang terkalibrasi menggiring bahannya ke $-H_{\text{c}}$, yakni perpotongan $B$ nol gelungnya, lalu melepaskan bebannya. **17.** Sapuan arus bolak-balik yang meluruh menjejak gelung bersarang yang kian mengecil dan berpusar menuju titik asalnya: yakni keadaan tersahmagnetkan — yaitu penyahmagnetan yang sama yang dipakai pada lambung kapal dan layar tabung sinar katode lama. **18.** $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ adalah $1073\,\mathrm{K}$ $> T_{\text{c}}$: lempengnya bersifat *paramagnetik* — $\mu_{\text{r}} \approx 1$, rangkaiannya terbuka, gayanya runtuh; pabrik canai panas memindahkan lempeng dengan penjepit, bukan dengan magnet. **19.** Melipatduakan $e$ membagi dua $B$ lalu membagi empat gayanya (pada rangkaian yang dikuasai celahnya); melipatduakan $NI$ memulihkan keduanya — tetapi $P = RI^2$ menjadi empat kali lipat: celah dibayar dengan kalor tembaga. **20.** $R = \rho L/A = 1.7 \times 10^{-8}\times1000/
1.6 \times 10^{-5} \approx 1.1\,\Omega$. **21.** $P = RI^2 \approx 660\,\mathrm{W}$; selama $8\,\text{jam}\times0.6$: $\approx3.2\,\mathrm{kWh}$ tiap gilirannya — yakni listrik seharga beberapa euro untuk memindahkan ratusan ton. **22.** Volume celahnya $2Ae = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ pada $1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $\approx410\,\mathrm{J}$ — kurang dari satu detik pemanasan kumparannya. Pada keadaan tunak, pada dasarnya seluruh masukan listriknya menjadi kalor tembaga; medannya, setelah terbangun, hanya berongkos arus pemeliharaannya. **23.** Membuka rangkaiannya memaksa $LI$ menjadi nol secara mendadak: kumparannya menjawab dengan lonjakan induktif raksasa yang membusurkan sentuhannya; sebuah dioda roda bebas (atau hambatan) membiarkan energi medan tersimpannya mati dengan tenang sebagai kalor — dan luas gelungnya toh terlesap dalam besinya tiap daur. **24.** Gaya angkatnya memerlukan arus: balnya jatuh. [Keteringatannya](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) hanya menahan gaya yang sekadar tanda — kilogram, bukan ton. Karena itulah ada aturan lorong jalannya, dan pengangkat bercadangan baterai (atau bermagnet tetap ditambah kumparan pelepas) untuk apa pun yang menggantung di atas orang. **25.** Langit-langitnya: $\mu_0M_{\text{s}} \approx 2\,\mathrm{T}$. Gayanya: $B^2A/2\mu_0$, yang diperintah milimeter celah udaranya. Kendalinya: besi lunak, $B_{\text{r}}$ kecil, denyut penyahmagnetan untuk menjatuhkan. Ongkosnya: $RI^2$, yakni pemanas berskala kilowatt — yakni babnya, yang tergantung pada sebuah derek.