---
title: "Dinamika Relativistik"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/5-dinamika-relativistik
---

# Bab 5 — Dinamika Relativistik

Pada 1964 William Bertozzi merekam elektron yang melesat menuruni pemercepat linear: tiap semburannya diberi energi terukur, dan lajunya dicatat sepanjang $8.4\,\mathrm{m}$ penerbangan. Newton meramalkan bahwa elektron $15\,\mathrm{MeV}$ seharusnya terbang delapan kali laju cahaya; pencatat waktunya mengatakan $0.9999c$ dan menolak melampauinya, sekeras apa pun elektronnya didorong. Kinematika mengatakan kepada kita pada bab lalu bahwa $c$ adalah sebuah batas; dinamika kini harus menjelaskan apa yang terjadi pada dorongannya — ke mana usahanya pergi ketika lajunya tidak lagi tumbuh. Jawabannya menata ulang mekanika di sekitar momentum baru dan energi baru, yang disatukan dalam persamaan paling termasyhur dalam fisika: energi yang tersimpan adalah massa, dan massa adalah energi yang bermukim, $E = mc^2$. Bab ini membangun dinamikanya, lalu mempekerjakannya di tempat ia hidup sehari-hari — peluruhan radioaktif, tumbukan partikel, dan pemercepat yang mengubah gerak menjadi materi baru.

## 5.1 Momentum dan energi, dibangun ulang

**Catatan 5.1 (Mengapa mv→m\vect vmv harus pergi).**

Momentum klasik $m\vect v$ kekal dalam setiap kerangka *jika* kecepatannya bertransformasi menurut Galileo. Kenyataannya tidak ([Proposisi 4.10](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#prop-b3-relativistic-kinematics-addition)): tumbukan yang mengekalkan $\sum m\vect v$ dalam satu kerangka gagal mengekalkannya dalam kerangka lain, sehingga momentum lama itu tidak dapat menjadi hukum alam — paling banter bayangannya pada laju rendah. Perbaikannya adalah mengukur kecepatannya dengan jam partikel itu *sendiri*: $\dd\vect r/\dd\tau =
\gamma\,\vect v$ bertransformasi dengan rapi, dan $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ ternyata kekal dalam semua kerangka sekaligus.

**Definisi 5.2 (Momentum dan energi relativistik).**

Partikel bermassa $m$ dan berkecepatan $\vect v$ ($\gamma = 1/\sqrt{1 -
v^2/c^2}$) membawa momentum dan energi

$$
\vect p = \gamma m\vect v , \qquad
E = \gamma mc^2 .
$$

Dalam keadaan diam, $E_0 = mc^2$: itulah *energi diam*. Energi kinetiknya adalah tambahan dari geraknya, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$, yang untuk $v
\ll c$ menyusut menjadi $\tfrac12 mv^2$ yang sudah dikenal (jabarkanlah $\gamma$). Dalam setiap proses terkucil, $\vect p$ total dan $E$ total — termasuk energi diamnya — kekal.

**Teorema 5.3 (Hubungan energi–momentum).**

Untuk sembarang partikel,

$$
E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 ,
\qquad
\vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :
$$

gabungan $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ bernilai sama dalam setiap kerangka — ia bagi energi dan momentum sebagaimana selang bagi waktu dan ruang. Dua rezimnya: pada laju rendah, $E \approx mc^2 + p^2/2m$; pada energi tinggi ($E \gg mc^2$), $E \approx pc$ dan $v \to c$: mendorong lebih keras menambah energi dan momentum, hampir tak menambah laju.

**Bukti.** $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$; dan $pc^2/E =
\gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$. Keinvariannya terhadap kerangka menyusul karena $m$ dan $c$ tidak bergantung kerangka. ∎

**Proposisi 5.4 (Partikel tak bermassa).**

Partikel bermassa nol mempunyai $E = pc$ dan bergerak tepat pada $c$ dalam setiap kerangka; ia tidak dapat diperlambat, hanya digeser merah. Foton adalah kasus bakunya: $E = h\nu$ dan $p = h\nu/c = h/\lambda$ — yakni hubungan Planck–Einstein pada jilid Tahun 1, yang kini terlihat sebagai sudut $m = 0$ dari mekanika.

**Bukti.** Ambillah $m = 0$ dalam [Teorema 5.3](#thm-b3-relativistic-dynamics-relation): $E = pc$ dan $v = pc^2/E = c$. ∎

![Kiri: percobaan “laju pamungkas” Bertozzi — laju elektron yang terukur (titik) mengikuti kurva relativistiknya dan jenuh pada c, sementara garis Newton berlayar melewatinya. Kanan: hiperbola energi–momentum; simpangannya pada p = 0 adalah energi diam, dan asimtotnya adalah E = pc milik foton.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/fig-0f6b2796f900.svg)

*Kiri: percobaan “laju pamungkas” Bertozzi — laju elektron yang terukur (titik) mengikuti kurva relativistiknya dan jenuh pada $c$, sementara garis Newton berlayar melewatinya. Kanan: hiperbola energi–momentum; simpangannya pada $p = 0$ adalah [energi diam](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy), dan asimtotnya adalah $E = pc$ milik foton.*

**Contoh 5.5 (Orde besar).**

Fisika partikel menghitung energi dalam elektronvolt dan massa dalam $\mathrm{MeV}/c^2$: elektron $0.511$, proton $938.3$, muon $105.7$, pion $139.6$. Elektron berenergi kinetik $1\,\mathrm{MeV}$ mempunyai $\gamma =
2.96$ dan $v = 0.94c$ — sudah sepenuhnya relativistik, dan itulah sebabnya elektronika tetap klasik ($\mathrm{eV}$) sedangkan fisika inti tidak ($\mathrm{MeV}$). Proton LHC $6.8\,\mathrm{TeV}$ mempunyai $\gamma = 7250$ dan tertinggal dari foton hanya $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 5.2 Massa adalah energi yang bermukim

**Teorema 5.6 (Kesetaraan massa–energi).**

Massa sebuah benda adalah energi total isinya, dibagi $c^2$, yang diukur dalam kerangka diamnya: panaskanlah sebuah benda, putarlah pegasnya, eksitasikanlah atomnya, dan beratnya bertambah sebesar $\Delta E/c^2$; ikatkanlah bagiannya menjadi satu dan beratnya *berkurang* sebesar energi ikat dibagi $c^2$ — yakni *[defek massa](#thm-b3-relativistic-dynamics-emc2)*. Sebaliknya, [energi diam](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) dapat dilepaskan: setiap kali jumlah massa akhirnya kurang dari jumlah massa awalnya, selisih $\Delta m\,c^2$ muncul sebagai energi kinetik atau radiasi.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 5.7 (Pembukuan c2c^2c2).**

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: selisih massa satu gram setara dengan $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$, yaitu energi sebuah kota kecil selama sehari. Ikatan kimia (beberapa eV per molekul) menggeser massa sebesar satu per $10^{10}$ — selamanya tak tertimbang, dan itulah sebabnya kimia tak pernah menyadarinya. Ikatan inti menggesernya hampir $1\%$: helium berbobot $0.7\%$ lebih ringan daripada empat bahan hidrogennya, dan bagian yang hilang itu, yang mengalir dari Matahari sebagai cahaya, merugikannya $\Delta m = L_\odot/c^2 =
4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ tiap sekon — empat juta ton sinar matahari. Pemusnahan melunasi seluruh rekeningnya: elektron yang bertemu positron tak meninggalkan apa pun selain dua foton $511\,\mathrm{keV}$, yakni isyarat yang dipakai pemindai PET untuk mengamati otak yang hidup.

**Catatan 5.8 (Apa arti “perubahan” itu).**

Tak ada materi yang “berubah menjadi” energi: energi totalnya kekal sejak semula. Yang berubah adalah *tempat mukimnya* — dari [energi diam](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy), yang berbobot, menjadi energi kinetik dan radiasi, yang terbang. Pernyataan mendalam $E = mc^2$ adalah bahwa kelembaman itu sendiri merupakan kandungan energi: sekotak gas panas melawan percepatan lebih kuat daripada kotak yang sama dalam keadaan dingin.

## 5.3 Tumbukan dan peluruhan

**Definisi 5.9 (Momentum-empat dan massa invarian).**

Bungkuslah energi dan momentum sebuah partikel menjadi *momentum-empat*nya $P = (E/c, \vect p)$. Untuk sistem partikel, jumlahkanlah komponen demi komponen: $E_{\text{tot}} = \sum E_i$, $\vect p_{\text{tot}} = \sum\vect p_i$. Yang disebut *massa invarian* $M$ sistemnya didefinisikan oleh

$$
M^2c^4 = E_{\text{tot}}^2 - \|\vect p_{\text{tot}}\|^2c^2 :
$$

bilangan yang sama dalam setiap kerangka, dan sama dengan energi total (dibagi $c^2$) dalam *kerangka pusat momentum* tempat $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$. Perhatikan bahwa $M$ melebihi jumlah massa bagiannya setiap kali bagian itu bergerak satu terhadap yang lain — dua foton yang terbang saling menjauh mempunyai $M > 0$ walaupun masing-masingnya tak bermassa.

**Metode 5.10 (Menyelesaikan tumbukan relativistik).**

(1) Tuliskanlah kekekalan [momentum-empat](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum): $E$ dan $\vect p$ bersama, tak pernah salah satunya saja. (2) Hitunglah invarian $E^2 - p^2c^2$ bungkusan mana pun yang paling nyaman — ia dapat dihitung dalam kerangka yang paling mudah lalu dipakai dalam kerangka lain mana pun. (3) Ambang: sebuah reaksi mungkin terjadi bila [massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) keadaan awalnya mencapai jumlah massa diam keadaan akhirnya. (4) Peluruhan dalam keadaan diam: momentum hasilnya berlawanan dan sama besar; energinya menyusul hanya dari massanya. (5) Barulah pada akhir sekali, jika diminta, ubahlah menjadi laju lewat $v = pc^2/E$.

**Contoh 5.11 (Sidik jari pion).**

Pion bermuatan yang diam meluruh, $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (neutrinonya praktis tak bermassa). Kekekalan momentum membuat hasilnya saling membelakangi dengan $p$ yang sama; kekekalan energi berbunyi $m_\pi c^2 =
\sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$. Penyelesaiannya:

$$
pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,
$$

sehingga setiap muon dari pion yang meluruh dalam keadaan diam lahir dengan energi kinetik tepat $4.1\,\mathrm{MeV}$ — sebuah garis berenergi tunggal, dan pengamatannya (Powell, 1947) adalah cara massa pion pertama kali ditimbang. Peluruhan dua benda selalu menghasilkan garis semacam itu; peluruhan tiga benda mengaburkannya menjadi spektrum, dan justru itulah cara neutrino pertama kali dicurigai dalam peluruhan $\beta$ inti.

**Proposisi 5.12 (Ambang: kelaliman sasaran diam).**

Untuk menciptakan partikel baru, hanya energi *pusat momentum* $Mc^2$ yang tersedia. Berkas berenergi $E$ yang menghantam sasaran bermassa $m_{\text{t}}$ yang diam menghasilkan

$$
M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 +
2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :
$$

energi yang berguna hanya tumbuh sebagai $\sqrt E$ — sisanya terbuang untuk mendorong serpihannya ke depan. Dua berkas serupa yang bertumbukan berhadapan menghasilkan $Mc^2 = 2E$: seluruhnya berguna. Satu rumus inilah sebabnya mesin di garis depan berupa penumbuk ([Soal 5.1](#pb-b3-relativistic-dynamics-1)).

**Bukti.** Hitunglah $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ di laboratorium: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$ dengan $p$ momentum berkasnya; jabarkanlah lalu pakailah $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$. Untuk penumbuknya, $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ dan $Mc^2 = E_{\text{tot}}$. ∎

![Membuat materi dari gerak: pada sasaran diam, kekekalan momentum memaksa hasilnya terus terbang, dan energi pusat momentum yang berguna hanya tumbuh sebagai √ E; pada tumbukan berhadapan, seluruh 2E tersedia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/fig-bdcc0ac8902e.svg)

*Membuat materi dari gerak: pada sasaran diam, kekekalan momentum memaksa hasilnya terus terbang, dan energi pusat momentum yang berguna hanya tumbuh sebagai $\sqrt E$; pada tumbukan berhadapan, seluruh $2E$ tersedia.*

## 5.4 Gaya dan mesinnya

**Proposisi 5.13 (Persamaan gerak relativistik).**

Hukum Newton bertahan dalam bentuk

$$
\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)}
{\dd t} , \qquad
\frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .
$$

Medan magnet, yang selamanya tegak lurus terhadap $\vect v$, tidak mengubah energi dan melenturkan lintasannya menjadi lingkaran berjejari

$$
r = \frac{p}{qB}
$$

— rumus yang sama seperti dalam jilid Tahun 1, dengan $p$ yang relativistik. Tetapi frekuensi peredarannya $qB/\gamma m$ kini *turun* ketika partikelnya memperoleh energi: dorongan berfrekuensi tetap sebuah siklotron kehilangan langkah di sekitar skala MeV, dan mesin berenergi tinggi — yaitu *sinkrotron* — justru menaikkan medan dan frekuensinya seirama dengan $\gamma$, sehingga berkasnya tetap pada satu cincin.

**Bukti sebagian.** Hukum gayanya adalah definisi dinamika yang taat asas dengan momentum barunya ($\dd E/\dd t$ menyusul dari $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$: $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$). Untuk lingkarannya: $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ dengan $|\vect p|$ tetap berarti vektor momentumnya berputar dengan laju $qvB/p$, sehingga jejarinya $v/(qvB/p) = p/qB$. ∎

**Contoh 5.14 (Membaca LHC seperti sebuah latihan).**

Proton berenergi $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ dalam dipol $B = 8.3\,\mathrm{T}$: $p \approx E/c$ (ultrarelativistik), sehingga $r = p/qB =
2.7\,\mathrm{km}$ — dan memang jejari lentur magnetik cincinnya $2.8\,\mathrm{km}$, dengan keliling $27\,\mathrm{km}$ yang sebagian besar berupa magnet. Tumbukan berhadapannya menyediakan $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$; untuk mencapainya pada sasaran diam diperlukan berkas sebesar $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx
10^{17}\,\mathrm{eV}$ — seratus kali jangkauan mesin mana pun yang pernah dibangun. Rumus penumbuk itulah, bukan magnet yang lebih kuat, yang membeli garis depan energi modern.

![Partikel bermuatan yang melintasi kamar kabut. Jejak seperti ini — yang melingkar dalam medan magnet, yang muncul berpasangan — mengubah E = mc2 dari sebuah rumus menjadi pembukuan sehari-hari: positron ditemukan pada foto semacam itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/img-3dff948dc296.jpg)

*Partikel bermuatan yang melintasi kamar kabut. Jejak seperti ini — yang melingkar dalam medan magnet, yang muncul berpasangan — mengubah $E = mc^2$ dari sebuah rumus menjadi pembukuan sehari-hari: positron ditemukan pada foto semacam itu.*

## 5.5 Latihan

**Latihan 5.1 ★.**

Sebuah elektron ($mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$) bergerak pada $0.99c$. Hitunglah $\gamma$, momentumnya dalam $\mathrm{MeV}/c$, energi total dan energi kinetiknya. Pertanyaan yang sama untuk proton ($mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$) berenergi kinetik $1\,\mathrm{GeV}$.

**Solusi Latihan 5.1.**

Elektron: $\gamma = 7.09$; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$, sehingga $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$, $E_k =
3.11\,\mathrm{MeV}$. Proton: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$, $\gamma
= 2.07$, $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$, $\beta =
pc/E = 0.875$.

**Latihan 5.2 ★.**

(a) Berapa energi yang tertidur dalam satu gram materi? (b) Ledakan Hiroshima melepaskan sekitar $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$: selisih massa sebesar apakah itu? (c) Matahari memancarkan $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$: berapa massa yang dilepaskannya tiap sekon, dan berapa bagian dari $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$-nya dalam sepuluh miliar tahun? (d) Baterai telepon Anda menyimpan $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$: seberapa lebih berat telepon yang terisi penuh?

**Solusi Latihan 5.2.**

(a) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$. (b) $6 \times 10^{13}/
9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — bomnya mengubah kurang dari satu gram. (c) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; selama $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ($3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$): $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$, sekitar $0.07\%$ Matahari. (d) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx
0.6\,\mathrm{ng}$ — nyata, dan selamanya tak tertimbang.

**Latihan 5.3 ★.**

(a) Berapa momentum yang dibawa berkas penunjuk laser $5\,\mathrm{mW}$ tiap sekon, dan berapa gaya yang dirasakan penunjuk itu? (b) Berapa gaya yang dikerahkan sinar matahari ($1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) pada layar surya $100\,\mathrm{m}^{2}$ yang memantul sempurna? (c) Dari keadaan diam, seberapa cepat wahana berlayar $10\,\mathrm{kg}$ bergerak setelah sebulan? (d) Mengapa ekor debu komet menunjuk menjauhi Matahari?

**Solusi Latihan 5.3.**

(a) $p = P/c$ tiap sekon: gaya $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ berupa hentakan balik. (b) Pemantulan melipatduakan pemindahannya: $F = 2\Phi A/c =
2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$. (c) $a
\approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; setelah $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $v \approx
240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lambat pada awalnya, tetapi mesinnya tak pernah kehabisan bahan bakar. (d) Momentum sinar matahari (bersama angin surya) mendorong debunya terus-menerus ke luar: ekornya mengalir menjauhi Matahari, bukan tertinggal di belakang kometnya.

**Latihan 5.4 ★.**

Berlatih dengan satuan. (a) Tunjukkanlah bahwa $\mathrm{MeV}/c^2$ adalah satuan massa lalu ubahlah massa elektron ke kilogram. (b) Berapa $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ dalam $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$? (c) Sebuah kuadrat [massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) diperoleh sebagai $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (dalam satuan $c = 1$): energi pusat momentum sebesar apakah itu? (d) Mengapa fisikawan partikel mengambil $c = 1$, dan apa yang harus dimasukkan kembali oleh pembaca untuk memperoleh bilangan SI?

**Solusi Latihan 5.4.**

(a) $m = E_0/c^2$: $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} =
9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$. (b) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} =
5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ energi pusat momentum. (d) Dengan $c = 1$, energi, momentum dan massa berbagi satu satuan dan tiap rumus melepaskan $c$-nya; untuk kembali ke SI, masukkanlah kembali pangkat $c$ tunggal yang membetulkan dimensinya.

**Latihan 5.5 ★★.**

Elektron Bertozzi berenergi kinetik $0.5$, $1$, $4.5$ dan $15\,\mathrm{MeV}$. (a) Hitunglah ramalan Newton $v^2 = 2E_k/m$ untuk masing-masingnya, dalam satuan $c^2$. (b) Hitunglah $v^2/c^2$ relativistiknya. (c) Waktu terbangnya sepanjang $8.4\,\mathrm{m}$ pada $15\,\mathrm{MeV}$: berapa yang terbaca pada jamnya, dan berapa yang akan diramalkan Newton? (d) Energi elektronnya juga diukur secara kalorimetrik — lewat kalor yang ditimbulkannya saat menumbuk: mengapa langkah itu merupakan inti sebenarnya percobaan tersebut?

**Solusi Latihan 5.5.**

(a) $2E_k/mc^2$: $1.96$, $3.9$, $17.6$, $59$ — mustahil setelah nilai yang pertama. (b) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$: $0.74$, $0.89$, $0.990$, $0.9989$. (c) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$; nilai Newton $7.7c$ akan terbaca $3.7\,\mathrm{ns}$. (d) Kalorimeternya membuktikan bahwa elektronnya sungguh membawa seluruh $15\,\mathrm{MeV}$ ke dalam sasarannya: energinya memang ada di sana, namun lajunya sudah berhenti tumbuh — usaha kini membeli momentum dan energi, bukan kecepatan.

**Latihan 5.6 ★★.**

Pion bermuatan meluruh dalam keadaan diam: $\pi^+ \to \mu^+\nu$, $m_\pi c^2 =
139.6\,\mathrm{MeV}$, $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$, $m_\nu \approx 0$. (a) Tunjukkanlah $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ lalu hitunglah. (b) Berapa energi kinetik dan laju muonnya? (c) Berapa energi neutrinonya? (d) Dalam keadaan terbang pada $\gamma_\pi = 50$, berapa energi laboratorium maksimum dan minimum muon peluruhannya (peluruhan ke depan dan ke belakang)?

**Solusi Latihan 5.6.**

(a) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$; kucilkanlah akarnya lalu kuadratkan: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 =
(139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$. (b) $E_\mu =
\sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$: $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$, $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$. (c) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$. (d) Dengan mendorongnya: $E_{\text{lab}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ dengan $\beta
\approx 1$: antara $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ dan $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$.

**Latihan 5.7 ★★.**

[Massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) dalam kerja. (a) Dua foton $200\,\mathrm{MeV}$ terbang membentuk sudut $60^\circ$ satu terhadap yang lain: hitunglah [massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) pasangannya. (b) Pion netral ($m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$) meluruh menjadi dua foton: berapa [massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) pasangan fotonnya, dalam setiap kerangka? (c) Jelaskanlah bagaimana sebuah percobaan “menemukan” sebuah partikel sebagai tonjolan pada sebaran [massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) hasil peluruhannya. (d) Dua foton berenergi sama terbang tepat sejajar: berapa [massa invariannya](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum)? Apa yang dikatakan hal ini tentang kerangka diam sebuah berkas cahaya?

**Solusi Latihan 5.7.**

(a) Untuk dua kuantum tak bermassa, $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) =
2 \times 200^2 \times \tfrac12$: $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$. (b) Tepat $m_{\pi^0}$ — [massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) adalah massa partikelnya, dalam setiap kerangka. (c) Hitunglah $M$ untuk tiap pasangan foton dalam peristiwanya: pasangan acak tersebar mulus, sedangkan anak sejati sebuah partikel menumpuk pada massanya — itulah tonjolannya. (d) $\theta = 0$: $M = 0$; berkas cahaya sejajar tidak mempunyai kerangka diam — ia bergerak dengan $c$ sebagai satu kesatuan, seperti tiap fotonnya.

**Latihan 5.8 ★★.**

Pembukuan LHC (proton $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$). (a) Berapa $\gamma$, dan berapa kekurangan lajunya $c - v$ (pakailah $c - v \approx c/2\gamma^2$)? (b) Berapa frekuensi peredarannya pada cincin $27\,\mathrm{km}$ dan berapa putaran tiap sekon? (c) Berapa energi tersimpan berkas berisi $3 \times 10^{14}$ proton, dalam kilogram TNT ($4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$)? (d) Berapa setara massa energi kinetik kedua berkasnya, dalam mikrogram — yaitu materi yang segera dibuat.

**Solusi Latihan 5.8.**

(a) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$; $c - v \approx
c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 =
11.1\,\mathrm{kHz}$: sebelas ribu putaran tiap sekon. (c) $3 \times 10^{14}
\times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ TNT — dalam berkas setipis rambut. (d) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx
7\,\text{µ}\mathrm{g}$: persediaan kerja materi yang akan dibuat.

**Latihan 5.9 ★★.**

Menumbukkan foton. (a) Tunjukkanlah bahwa satu foton dalam vakum tidak dapat meluruh menjadi pasangan elektron–positron, seberapa pun besar energinya (pakailah invariannya). (b) Terhadap foton kedua berenergi $\epsilon$ secara berhadapan, tunjukkanlah bahwa penciptaan pasangannya menuntut $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$. (c) Foton $511\,\mathrm{keV}$ memerlukan pasangan seperti apa? Bagaimana halnya sinar-X $50\,\mathrm{keV}$? (d) Semesta dipenuhi cahaya bintang dan latar gelombang mikro kosmik: apa yang diramalkan (b) tentang jangkauan sinar $\gamma$ berenergi TeV melintasi ruang antargalaksi?

**Solusi Latihan 5.9.**

(a) [Massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) sebuah foton adalah $0$; [massa invarian](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) pasangan $e^+e^-$ paling sedikit $2m_{\text{e}}c^2$. Invariannya tidak dapat berubah dalam peluruhan terkucil: terlarang. (Setara dengan itu: tak ada kerangka yang membuat momentumnya setimbang.) (b) Berhadapan, $M^2c^4 = 4E\epsilon$; penciptaan pasangannya menuntut $Mc^2 \ge
2m_{\text{e}}c^2$, yakni $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$. (c) Foton $511\,\mathrm{keV}$ yang lain; untuk $50\,\mathrm{keV}$, pasangan sebesar $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$. (d) Foton TeV memenuhi ambang $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ pada cahaya bintang biasa: langit itu sendiri menyerap sinar $\gamma$ TeV pada jarak kosmologis — semesta tidak tembus pandang pada semua energi.

**Latihan 5.10 ★★★.**

Compton, lewat [momentum-empat](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum). Sebuah foton berpanjang gelombang $\lambda$ menghantam elektron yang diam lalu terhambur pada sudut $\theta$. (a) Tuliskanlah kekekalan [momentum-empatnya](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) lalu kucilkanlah invarian elektron akhirnya. (b) Turunkanlah

$$
\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .
$$

(c) Hitunglah $h/m_{\text{e}}c$ dan pergeseran maksimumnya; mengapa efeknya tak terlihat dengan cahaya tampak tetapi menentukan bagi sinar-X? (d) Apa yang ditetapkan pengukuran Compton pada 1923 tentang cahaya, yang belum ditetapkan efek fotolistrik?

**Solusi Latihan 5.10.**

(a) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$; kuadratkanlah kedua ruasnya (invarian): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\!
\cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$. (b) Dengan $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$, $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ dan $P_\gamma\!\cdot\!
P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$: $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$, yang dalam panjang gelombang ($E = hc/\lambda$) merupakan pergeseran yang dinyatakan itu. (c) $h/m_{\text{e}}c =
2.43\,\mathrm{pm}$, paling besar $4.9\,\mathrm{pm}$: satu per $10^5$ dari cahaya tampak (tak terlihat), beberapa persen dari sinar-X $100\,\mathrm{pm}$ (terukur). (d) Bahwa sebuah foton menumbuk bagaikan bola bilyar — membawa momentum $h/\lambda$ yang dipertukarkan dalam peristiwa *perorangan*, bukan sekadar energi dalam bongkahan.

**Latihan 5.11 ★★★.**

Ujung spektrum sinar kosmik. Semesta mandi dalam foton gelombang mikro berenergi khas $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$. Proton berenergi $E$ yang menghantam satu foton secara berhadapan dapat tereksitasi ke resonansi $\Delta$ ($m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$), sambil kehilangan energi tiap kali. (a) Tunjukkanlah bahwa syarat ambangnya kira-kira $4E\epsilon =
(m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$. (b) Hitunglah ambang $E$-nya. (c) Di atasnya, semesta menjadi legap bagi proton di luar sekitar $100\,\mathrm{Mly}$: apa yang diramalkan hal ini bagi spektrum sinar kosmik yang teramati (pemenggalan Greisen–Zatsepin–Kuzmin)? (d) Sinar kosmik berenergi $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ pernah terekam — partikel “Oh-My-God”: apa yang dituntut keberadaannya dari sumbernya?

**Solusi Latihan 5.11.**

(a) $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ secara berhadapan (dengan protonnya ultrarelativistik); ambangnya pada $M = m_\Delta$. (b) $E =
(1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV})
\approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ untuk foton rata-ratanya — ekor termal latar gelombang mikro menurunkan pemenggalan efektifnya menjadi $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$. (c) Proton di atas pemenggalannya kehilangan energi kepada $\Delta$ dalam $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$: spektrumnya seharusnya berakhir di dekat $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ bagi sumber yang jauh — yakni penekanan GZK yang teramati. (d) Sumbernya haruslah sekaligus pemercepat luar biasa dan *dekat* secara kosmis — di dalam supergugus kita — dan itulah sebagian sebabnya asal usulnya masih diburu.

**Latihan 5.12 ★★★.**

Roket foton. Sebuah roket bermassa awal $m_{\text{i}}$ memancarkan buangannya sebagai berkas cahaya terkolimasi lalu mencapai laju $\beta c$. (a) Dengan mengekalkan energi dan momentum antara awal dan akhirnya, tunjukkanlah

$$
\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} =
\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,
$$

yakni eksponensial rapiditasnya — persamaan Tsiolkovsky relativistik dengan buangan sebaik-baiknya. (b) Berapa nisbah massanya untuk mencapai $0.9c$? Dan untuk mencapai $0.9c$ lalu *berhenti* di tujuan? (c) Berkasnya harus dibuat dengan cara tertentu: dengan pemusnahan materi–antimateri berefisiensi sempurna, berapa kilogram antimateri per kilogram muatan untuk perjalanan sekali jalan $0.9c$? (d) Produksi antiproton sedunia hanya beberapa nanogram tiap tahun: simpulkanlah, dalam satu kalimat, tentang roket foton.

**Solusi Latihan 5.12.**

(a) Energi: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$; momentum: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$. Lenyapkanlah $E_\ell$: $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} =
m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$. (b) $\sqrt{19} = 4.4$; mempercepat *dan* mengerem mengkuadratkannya: $19$. (c) Massa yang dihabiskan $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ haruslah bahan bakar yang dimusnahkan, separuhnya antimateri: $1.7\,\mathrm{kg}$ antimateri tiap kilogram yang diantarkan (sekali jalan, tanpa pengereman). (d) Dengan produksi sedunia beberapa nanogram tiap tahun, roket foton tetap menjadi hitungan di atas kertas, bukan rekayasa.

![Penemuan antimateri (Carl D. Anderson, 1932, domain publik): sebuah positron tunggal yang memanjat menembus pelat timbal kamar kabut, melengkung ke arah yang salah bagi elektron dan terlalu rapat bagi proton — pembukuan E = mc2 yang tertangkap berjalan terbalik.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/img-b683dc787f01.jpg)

*Penemuan antimateri (Carl D. Anderson, 1932, domain publik): sebuah positron tunggal yang memanjat menembus pelat timbal kamar kabut, melengkung ke arah yang salah bagi elektron dan terlalu rapat bagi proton — pembukuan $E = mc^2$ yang tertangkap berjalan terbalik.*

## 5.6 Soal: Membuat materi — antiproton dan Bevatron

**Soal 5.1.**

Soal akhir pekan — bagaimana kekekalan momentum menetapkan harga antidunia

Persamaan Dirac menuntut, sejak 1931, bahwa proton mempunyai saudara kembar cermin bermuatan berlawanan. Membuat satu berarti membeli [energi diamnya](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) dengan energi berkas — dan kekekalan momentum menetapkan harganya. Soal ini menetapkan harga itu, merancang mesin yang membayarnya, lalu mengikuti penemuan 1955. Data: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$; muatan dan *bilangan barion* (proton dan neutron $+1$, antiproton $-1$) kekal dalam setiap reaksi.

**Bagian I — Perkakas [momentum-empat](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum).**

1. Untuk satu partikel, tunjukkanlah $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ dari definisi $E$ dan $\vect p$ .
2. Untuk sebuah sistem, mengapa $E_{\text{tot}}^2 -  p_{\text{tot}}^2c^2$ sama dalam semua kerangka, dan sama dengan apakah ia dalam kerangka pusat momentum?
3. Berkas proton berenergi $E$ menghantam proton yang diam: tunjukkanlah $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
4. Periksalah kedua limitnya: pada energi rendah $Mc^2 \to  2m_{\text{p}}c^2$ ; pada energi tinggi $Mc^2 \approx  \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — yakni hukum akar kuadratnya.
5. Sebuah reaksi hanya diizinkan jika $Mc^2$ mencapai jumlah massa diam hasilnya, dengan semua hasilnya diam dalam kerangka pusat momentum pada ambangnya: berilah alasan bagi anak kalimat terakhir ini.
6. Mengapa energi kinetik hasilnya di laboratorium tidak pernah dapat diambil kembali untuk penciptaan partikel pada sasaran diam?

**Bagian II — Menetapkan harga antiproton.**

7. Dalam tumbukan $p + p$ , reaksi termurah yang membuat sebuah antiproton $\bar p$ harus juga membuat sebuah proton *tambahan* : tuliskanlah, lalu berilah alasan dengan muatan dan bilangan barionnya.
8. Tunjukkanlah bahwa ambangnya menuntut $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ .
9. Simpulkanlah energi berkas yang diperlukan $E = 7m_{\text{p}}c^2$ dan energi kinetik $T = 6m_{\text{p}}c^2$ ; hitunglah $T$ .
10. Pada ambangnya, berapa bagian energi kinetik berkasnya yang sungguh-sungguh menjadi massa diam baru ( $2m_{\text{p}}c^2$ di antaranya)? Di manakah sisanya?
11. Pada penumbuk $p$ – $p$ berhadapan, berapa energi kinetik *tiap berkas* yang dituntut reaksi yang sama? Bandingkanlah kedua rancangan itu.
12. Pada 1954 belum ada penumbuk (berkasnya terlalu tipis untuk saling menghantam): fakta praktis apa yang memaksa pilihan sasaran diam, dan berapa harganya dalam energi berkas?

**Bagian III — Merancang Bevatron.** Mesin yang dibangun di Berkeley mencapai $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — cukup nyaman di atas ambangnya — dengan medan dipol $B =
1.56\,\mathrm{T}$.

13. Hitunglah energi total dan momentum berkasnya pada energi puncaknya.
14. Hitunglah jejari lenturnya $r = p/qB$ lalu bandingkanlah dengan $15.2\,\mathrm{m}$ milik mesin itu.
15. Hitunglah laju protonnya dan frekuensi peredarannya pada cincin $2\pi r$ .
16. Pada penyuntikannya protonnya tiba dengan energi kinetik $10\,\mathrm{MeV}$ : hitunglah lajunya, lalu jelaskanlah mengapa frekuensi pemercepatnya harus *menyapu* sepanjang tiap daurnya (dua besaran mana yang berubah ketika $E$ tumbuh?).
17. Dengan perolehan sekitar $1.5\,\mathrm{kV}$ tiap putaran, berapa putaran dan berapa lama satu daur pemercepatannya berlangsung?
18. Nama “Bevatron” berasal dari BeV, yakni miliaran elektronvolt: nyatakanlah dalam satu baris fisika apa yang menetapkan angka rancangan $6$ BeV lebih sedikit itu.

**Bagian IV — Penemuannya, 1955.**

19. Sebuah magnet melenturkan tiap calonnya pada sebuah lingkaran: jelaskanlah mengapa hal ini memilih partikel menurut *momentum* nya ( $r = p/qB$ ), bukan menurut energi atau lajunya — dan mengapa berkas terpilih menurut momentum tetap mencampur berbagai jenis.
20. Berkas pada sasaran tembaga menghasilkan curahan pion negatif ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ) yang di antaranya bersembunyi beberapa antiproton. Spektrometernya memilih partikel negatif bermomentum $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : hitunglah laju sebuah antiproton dan laju sebuah pion pada momentum itu.
21. Sepanjang lintasan terbang $12\,\mathrm{m}$ , hitunglah kedua waktu terbangnya: resolusi waktu sebesar apa yang dituntut penemuan itu?
22. Sidik kedua yang bebas memakai pencacah Cerenkov, yang hanya menyala di atas suatu ambang laju: partikel mana yang diatur agar menyalakannya, dan mengapa keberlebihan itu penting bagi sebuah penemuan?
23. Chamberlain dan Segrè menghitung sekitar satu antiproton tiap $44\,000$ pion: mengapa argumen ambangnya menjamin lajunya akan sangat kecil bahkan di atas ambang?
24. Sebuah antiproton akhirnya bertemu proton lalu saling memusnahkan: berapa energi yang dilepaskan tiap peristiwa, dan menjadi apa, lazimnya?
25. Ringkaslah hasil bernama itu: kekekalan [momentum-empat](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) menetapkan harga antiproton pada $T = 6m_{\text{p}}c^2 =  5.6\,\mathrm{GeV}$ di sasaran diam; sebuah sinkrotron $6.2\,\mathrm{GeV}$ berjejari $15\,\mathrm{m}$ membayarnya, dan antidunia menjadi fakta laboratorium — Hadiah Nobel 1959.

**Solusi Soal 5.1.**

**1.** $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$. **2.** $E_{\text{tot}}$ dan $\vect p_{\text{tot}}$ bertransformasi seperti $E$ dan $\vect p$ satu partikel (keduanya jumlahan), sehingga aljabar yang sama memberikan sebuah invarian; di tempat $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ ia menjadi kuadrat energi totalnya: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$. **3.** $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 +
2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$. **4.** $E \to m_{\text{p}}c^2$ memberikan $M = 2m_{\text{p}}$; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ memberikan $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$. **5.** Gerak nisbi apa pun di antara hasilnya menambahkan energi kinetik dalam kerangka pusat momentum di atas massa diamnya; $Mc^2$ minimum — yakni ambangnya — membuat semuanya diam satu terhadap yang lain. **6.** Momentum laboratorium $\vect p_{\text{tot}} \neq \vect 0$ harus bertahan melewati tumbukannya: hasilnya terhukum untuk bergerak, dan energi kinetiknya terkunci dari pembuatan massa. **7.** $p + p \to p + p + p + \bar p$: muatannya $+2 \to +2$; bilangan barionnya $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$. Membuat $\bar p$ sendiri, atau dengan apa pun yang kurang dari satu barion tambahan penuh, melanggar salah satu dari keduanya. **8.** Empat massa proton yang saling diam: $Mc^2 =
4m_{\text{p}}c^2$. **9.** $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 +
2Em_{\text{p}}c^2$: $E = 7m_{\text{p}}c^2$, $T = 6m_{\text{p}}c^2 =
5.63\,\mathrm{GeV}$. **10.** Massa diam barunya: $2m_{\text{p}}c^2$ dari $T =
6m_{\text{p}}c^2$ — sepertiganya; dua pertiga lainnya terbang terus sebagai energi kinetik hasilnya, yang dilindungi kekekalan momentum. **11.** Secara berhadapan, $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) =
4m_{\text{p}}c^2$: $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ tiap berkas — enam kali lebih kecil daripada berkas sasaran diam, dan dua belas kali lebih kecil dalam energi kinetik totalnya. **12.** Berkas pada masa itu jauh terlalu renggang untuk bertumbukan satu sama lain secara berguna; sasaran padat menyediakan $10^{22}$ proton tiap sentimeter kubik. Harganya: $5.6\,\mathrm{GeV}$ alih-alih $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$. **13.** $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$; $pc =
\sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$. **14.** $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} =
3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — persis mesin sebagaimana dibangun. **15.** $\beta = pc/E = 0.991$; orbitnya $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$: $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$. **16.** Pada $10\,\mathrm{MeV}$, $\beta = 0.145$: $f =
0.46\,\mathrm{MHz}$. Ketika energinya memanjat, lajunya (sehingga $f$) dan momentumnya (sehingga medan yang diperlukan pada jejari tetap) sama-sama berubah: medan dan frekuensi radionya harus naik bersama — yakni muslihat yang mendefinisikan sinkrotron. **17.** $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ putaran; pada frekuensi rata-rata berskala megahertz, satu daur pemercepatannya berorde satu sampai dua sekon. **18.** Ambang antiproton $T = 6m_{\text{p}}c^2 =
5.6\,\mathrm{GeV}$, ditambah kelonggarannya: pembukuan soal ini secara harfiah adalah alasan pemilihan energi — dan nama — mesin itu. **19.** $r = p/qB$ tidak memuat massa: magnetnya melenturkan momentum yang sama secara sama, partikel apa pun itu — sehingga berkas terpilihnya tetap mencampur pion, kaon dan (jarang) antiproton, semuanya pada $1.19\,\mathrm{GeV}/c$. **20.** $\bar p$: $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} =
1.51\,\mathrm{GeV}$, $\beta = 0.79$. $\pi^-$: $E = \sqrt{1.19^2 +
0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$, $\beta = 0.993$. **21.** $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$; $t_\pi =
40\,\mathrm{ns}$: selisih $11\,\mathrm{ns}$ menuntut pewaktuan berskala nanosekon — yang tersedia, tepat pas, pada 1955. **22.** Pencacahnya diatur agar menyala bagi pion yang cepat dan tetap gelap bagi antiproton yang lambat (veto kecepatan); dengan perbandingan $1$ berbanding $44000$, hanya dua sidik yang saling bebas (waktu terbang *dan* ambang Cerenkov) yang dapat menyingkirkan kebetulan palsu. **23.** Tepat di atas ambangnya hasilnya lahir hampir dalam keadaan saling diam: reaksinya nyaris tak mempunyai [ruang fase](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/2-mekanika-hamilton#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), sedangkan produksi pion, yang jauh di atas ambang*nya* sendiri, melimpah — kelangkaannya dijamin oleh kinematika yang sama yang menetapkan harganya. **24.** $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ tiap pemusnahan, lazimnya menjadi segenggam pion yang meluruh lebih lanjut menjadi foton, muon dan neutrino. **25.** Kekekalan [momentum-empat](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) menetapkan harga antiproton pada $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ di sasaran diam; Bevatron $6.2\,\mathrm{GeV}$ berjejari $15.1\,\mathrm{m}$ membayarnya; waktu terbang dan veto Cerenkov menemukan satu partikel antidunia tiap $44000$ penipu — dan Hadiah Nobel 1959 mengesahkan pembukuannya.