---
title: "Elektromagnetisme Kovarian"
book: "Fisika Universitas — Tahun 3"
subject: physics
language: id
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/6-elektromagnetisme-kovarian
---

# Bab 6 — Elektromagnetisme Kovarian

Sebuah kawat tembaga mengalirkan arus sepuluh ampere. Elektronnya menghanyut sepersepuluh milimeter tiap sekon — lebih lambat daripada siput — dan kawat itu netral secara listrik sampai ketelitian yang menakjubkan. Namun muatan yang bergerak di sampingnya merasakan tarikan yang terukur. Dilihat dari kerangka muatan itu sendiri, penjelasan “magnetik”nya menguap: muatannya diam, dan muatan yang diam sama sekali tidak merasakan gaya magnetik. Yang menariknya, dalam kerangka itu, adalah medan *listrik* — yang dipanggil oleh kerelatifan itu sendiri, karena [pengerutan panjang](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) menimbulkan ketakseimbangan sebesar satu per $10^{24}$ di antara kedua arus muatan dalam kawatnya. Kemagnetan adalah kelistrikan yang dilihat dari tempat duduk yang bergerak. Bab ini menuliskan kembali elektromagnetisme jilid Tahun 2 dalam bahasa tiga bab sebelumnya: [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) untuk muatan dan potensial, satu tensor antisetangkup yang menyatukan $\vect E$ dan $\vect B$, serta empat persamaan Maxwell yang mengerut menjadi dua baris yang berbunyi sama dalam setiap [kerangka inersial](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates). Di luar keanggunannya, hasilnya adalah fisika yang bekerja: bagaimana medan bertransformasi, mengapa medan muatan yang cepat memipih menjadi cakram, dan mengapa cahaya elektron relativistik menyapu ke depan bagai lampu sorot — yakni asas sumber cahaya sinkrotron yang hari ini menyinari protein dan baterai dengan sinar-X.

## 6.1 Vektor-empat untuk muatan dan arus

**Definisi 6.1 (Vektor-empat).**

Yang disebut *vektor-empat* adalah rangkap empat $a^\mu = (a^0, \vect a)$, $\mu =
0, 1, 2, 3$, yang komponennya bercampur di bawah sebuah dorongan persis sebagaimana $(ct,
\vect r)$ bercampur:

$$
a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad
a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad
a'^{2,3} = a^{2,3}
$$

untuk dorongan sebesar $\beta c$ sepanjang $x$. Sembarang dua vektor-empat memberikan hasil kali skalar invarian $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$, yakni bilangan yang sama dalam setiap kerangka — itulah pola di balik $c^2t^2 - x^2$ dan $E^2 - p^2c^2$. Kedudukan $(ct, \vect r)$ dan [momentum-empat](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/5-dinamika-relativistik#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) $(E/c, \vect p)$ adalah dua yang sudah kita miliki; elektromagnetisme kini memasok tiga lagi: arus, potensial, dan vektor gelombang.

**Proposisi 6.2 (Arus-empat dan kekekalan muatan).**

Kerapatan muatan $\rho$ dan kerapatan arus $\vect\jmath$ membentuk arus-empat

$$
J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) :
$$

awan muatan berkerapatan diri $\rho_0$ yang bergerak dengan $\vect u$ mempunyai $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ — kerapatannya tumbuh sebesar $\gamma_u$ karena volume awannya terkerut, sedangkan muatannya sendiri invarian (sebuah fakta percobaan yang menentukan: atom dengan elektron dalam yang cepat tetap netral secara tepat). Kekekalan muatan adalah pernyataan invarian

$$
\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} +
\operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,
$$

yakni persamaan kesinambungan jilid Tahun 2, yang kini tampak jelas sebagai hukum yang sama bagi semua pengamat.

**Bukti sebagian.** Awan yang bergerak: sebuah kotak bervolume diri $V_0$ memuat muatan $\rho_0
V_0$; di laboratorium kotaknya terkerut menjadi $V_0/\gamma_u$, sehingga $\rho =
\gamma_u\rho_0$, dan $\vect\jmath = \rho\vect u$ menurut definisi kerapatan arus. Bahwa $(\rho c, \vect\jmath)$ lalu bertransformasi sebagai [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) menyusul karena ia sama dengan $\rho_0/c$ kali kecepatan-empat $\gamma_u(c, \vect u)$, yang menurut konstruksinya sudah berupa [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). Keinvarianan muatan adalah masukan percobaan. ∎

## 6.2 Satu tensor untuk kedua medan

**Definisi 6.3 (Potensial-empat dan tensor medan).**

Potensial jilid Tahun 2 tersusun menjadi potensial-empat

$$
A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) ,
$$

dan medan terukurnya $\vect E = -\vect\nabla V -
\partial_t\vect A$, $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ merupakan enam komponen bebas dari satu susunan antisetangkup, yakni *tensor medan elektromagnetik*

$$
F^{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix} .
$$

$\vect E$ dan $\vect B$ bukanlah dua medan melainkan enam muka satu benda; muka mana yang disebut seorang pengamat “listrik” bergantung pada gerak pengamat itu.

**Teorema 6.4 (Maxwell, secara kovarian).**

Keempat persamaan Maxwell jilid Tahun 2 adalah bentuk komponen dua pernyataan yang tidak bergantung kerangka: pasangan bersumbernya (Gauss dan Ampère–Maxwell) adalah

$$
\sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu ,
$$

dan pasangan tanpa sumbernya (tak ada monopol, Faraday) adalah identitas yang menjamin bahwa $F$ diturunkan dari sebuah [potensial-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-tensor). Gaya Lorentznya adalah $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ — hukum gayanya, termasuk yang magnetik, dalam satu baris. Karena kedua ruas tiap persamaannya bertransformasi secara serupa, *teori Maxwell tidak memerlukan koreksi apa pun agar menjadi relativistik*: ia adalah bagian kerelatifan yang pertama kali selesai, yang lahir pada 1865.

**Bukti sebagian.** Jabarkanlah komponen $\nu = 0$: $\sum_i\partial_i(E_i/c) =
\mu_0\rho c$, yakni $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (dengan memakai $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$). Komponen $\nu = 1$ menghimpun $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y)
= \mu_0 j_x$: yakni komponen $x$ Ampère–Maxwell. Komponen lainnya mengulangi pola yang sama; pasangan tanpa sumbernya adalah kesamaan turunan kedua bersilang $A^\mu$ (yang diperiksa dalam [Latihan 6.3](#exo-b3-covariant-electromagnetism-3)). Bahwa $F^{\mu\nu}$ bertransformasi sebagai tensor (berindeks dua) — tiap indeksnya seperti [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) — diterima tanpa bukti; akibatnya adalah proposisi berikutnya. ∎

## 6.3 Bagaimana medannya bertransformasi

**Proposisi 6.5 (Transformasi medan).**

Untuk dorongan berkecepatan $\vect v = v\,\vect e_x$: komponen yang *searah* geraknya tak tersentuh, sedangkan yang melintang bercampur,

$$
E'_x = E_x , \qquad
E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad
E'_z = \gamma(E_z + vB_y) ,
$$

$$
B'_x = B_x , \qquad
B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad
B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) .
$$

Secara ringkas, melintang terhadap dorongannya: $\vect E' = \gamma(\vect E +
\vect v\wedge\vect B)_\perp$ dan $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect
v\wedge\vect E/c^2)_\perp$. Medan $\vect B$ murni dalam satu kerangka menjadi $\vect
E$ dan $\vect B$ dalam kerangka lain: kedua medan itu satu gejala.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 6.6 (Kemagnetan dari kawat netral).**

Sebuah kawat netral mengalirkan arus: kisi positifnya diam, elektronnya menghanyut. Untuk muatan uji yang bergerak di sampingnya, berpindahlah ke kerangkanya: kedua arus muatannya terkerut secara *berbeda* (keduanya berkecepatan berbeda), kawatnya memperoleh muatan garis neto $\lambda' =
-\gamma vI/c^2$, dan medan listrik radialnya menarik muatannya dengan gaya yang tepat sama dengan yang disebut laboratorium $q\vect v\wedge\vect B$. Kemagnetan adalah wujud suku orde kedua $v u/c^2$ dalam kerelatifan ketika $10^{28}$ muatan dasar tiap meter bersekongkol: tiap efeknya sangat kecil, tetapi kawatnya netral dengan ketelitian yang bahkan lebih tinggi, sehingga ketakseimbangan mungil itu adalah seluruh ceritanya ([Soal 6.1](#pb-b3-covariant-electromagnetism-1)).

![Satu gaya, dua pembukuan. Laboratorium: arus kawat netralnya membuat B, dan muatan yang bergerak merasakan q v B. Kerangka muatannya: kisi positifnya kini bergerak dan terkerut, elektronnya (yang di sana lebih lambat) merenggang; kawatnya bermuatan neto dan E'-nyalah yang menarik. Percobaan yang sama, hasil yang sama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-1e4c2b48bb60.svg)

*Satu gaya, dua pembukuan. Laboratorium: arus kawat netralnya membuat $\vect B$, dan muatan yang bergerak merasakan $q\vect v\wedge\vect B$. Kerangka muatannya: kisi positifnya kini bergerak dan terkerut, elektronnya (yang di sana lebih lambat) merenggang; kawatnya bermuatan neto dan $\vect E'$-nyalah yang menarik. Percobaan yang sama, hasil yang sama.*

**Contoh 6.7 (Medan memipih sebuah muatan cepat).**

Transformasikanlah medan Coulomb sebuah muatan ke kerangka tempat ia bergerak pada $\gamma \gg 1$: medan longitudinalnya tak berubah sedangkan yang melintang dikalikan $\gamma$. Medan yang tadinya bulat memipih menjadi cakram bersudut bukaan $\sim 1/\gamma$ di sekitar bidang yang melalui muatannya — disertai, melintang terhadap geraknya, sebuah cincin magnetik $B' = vE'/c^2$. Bagi pengamat yang diam, lewatnya proton LHC ($\gamma \approx 7000$) adalah tamparan $\vect E$ dan $\vect B$ yang nyaris bersilangan selama kurang dari satu pikosekon: hampir sebuah pulsa cahaya — itulah sebabnya berkas cepat berbicara kepada materi sebagaimana foton berbicara.

![Medan listrik sebuah muatan titik, dalam keadaan diam dan pada laju tinggi: dorongannya mengalikan komponen melintangnya dengan dan membiarkan komponen longitudinalnya, sehingga medannya terperas menjadi cakram yang tegak lurus terhadap geraknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-3e92b3531eb3.svg)

*Medan listrik sebuah muatan titik, dalam keadaan diam dan pada laju tinggi: dorongannya mengalikan komponen melintangnya dengan $\gamma$ dan membiarkan komponen longitudinalnya, sehingga medannya terperas menjadi cakram yang tegak lurus terhadap geraknya.*

## 6.4 Invarian, cahaya, dan efek lampu sorot

**Proposisi 6.8 (Kedua invarian medan).**

Dari $F^{\mu\nu}$ hanya dapat dibangun tepat dua skalar bebas:

$$
E^2 - c^2B^2
\qquad\text{dan}\qquad
\vect E\cdot\vect B ,
$$

yang sama dalam setiap [kerangka inersial](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates). Akibatnya: jika $E > cB$ di suatu tempat (dengan $\vect E\cdot\vect B = 0$), ada kerangka yang melihat medan listrik murni di sana; jika $E < cB$, ada kerangka yang melihatnya magnetik murni; dan gelombang cahaya bidang, dengan $E = cB$ dan $\vect E\perp\vect B$, mempunyai *kedua* invariannya nol — ia tetap cahaya dalam setiap kerangka: tak ada dorongan yang dapat mengubahnya menjadi medan statis, hanya menggesernya ke merah. Kita tidak dapat menyusul gelombang cahaya; pertanyaan Einstein semasa remaja terjawab sendiri lewat dua invarian.

**Bukti sebagian.** Periksalah keinvariannya di bawah dorongan bakunya dengan penyulihan langsung [Proposisi 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform) ([Latihan 6.6](#exo-b3-covariant-electromagnetism-6)); bahwa tak ada invarian bebas ketiga diterima tanpa bukti. Untuk gelombangnya: $E = cB$ dan keortogonalannya membuat keduanya nol; kerangka dengan medan statis akan menuntut invarian yang tak nol. ∎

**Proposisi 6.9 (Vektor gelombang-empat, Doppler dan aberasi).**

Frekuensi dan arah gelombang bidang membentuk [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) null $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$, $\|\vect k\| = \omega/c$. Mentransformasikannya langsung memberikan rumus Doppler relativistik [Bab 4](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#ch-b3-relativistic-kinematics) sekaligus *aberasi* arahnya:

$$
\cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} .
$$

Dibaca terbalik, sumber yang memancar isotropik dalam kerangka diamnya memancarkan, di laboratorium, separuh cahayanya ke dalam kerucut depan $\theta
\lesssim 1/\gamma$: itulah *[efek lampu sorot](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector)*. Elektron yang beredar pada $\gamma \sim 10^4$ dalam cincin penyimpan menyapukan lampu sorot sinar-X selebar $0.1\,\mathrm{mrad}$ mengelilingi cincinnya — yakni cahaya sinkrotron yang mengisi jalur berkas kristalografi protein.

**Bukti sebagian.** Fasenya $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ menghitung puncak gelombang yang melewati peristiwa — sebuah invarian — sehingga $k^\mu$ harus bertransformasi sebagai [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). Kenakanlah dorongannya pada $(\omega/c, k\cos\theta,
k\sin\theta, 0)$: komponen waktunya memberikan Doppler, dan nisbah komponen ruangnya memberikan rumus aberasinya. Dengan mengambil $\theta' =
90^\circ$ (sinar menyamping dalam kerangka sumbernya): $\cos\theta =
\beta$, yakni $\theta \approx 1/\gamma$ untuk $\gamma \gg 1$ — separuh bolanya terlipat ke dalam kerucut depan. ∎

![Aberasi melipat radiasi sumber yang cepat ke dalam kerucut depan bersetengah sudut 1/: itulah efek lampu sorot, sekaligus asas kerja sumber cahaya sinkrotron.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-bb352daf9033.svg)

*Aberasi melipat radiasi sumber yang cepat ke dalam kerucut depan bersetengah sudut $\sim 1/\gamma$: itulah [efek lampu sorot](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector), sekaligus asas kerja sumber cahaya sinkrotron.*

**Metode 6.10 (Bekerja secara kovarian).**

(1) Kenalilah [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) yang berperan ($x^\mu$, $P^\mu$, $J^\mu$, $A^\mu$, $k^\mu$) lalu utamakanlah hasil kali invariannya daripada komponennya. (2) Untuk mentransformasikan medan, pisahkanlah menjadi komponen searah dan melintang terhadap dorongannya lalu kenakanlah [Proposisi 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform). (3) Periksalah kedua invariannya sebelum dan sesudahnya — itulah pendeteksi galat tercepat dalam pokok bahasan ini. (4) Ketika soal magnetik tampak membingungkan, menumpanglah bersama muatannya: dalam kerangkanya hanya $\vect E'$ yang bekerja. (5) Percayailah Maxwell: persamaannya tak pernah memerlukan “koreksi” relativistik, hanya pembacaan relativistik.

![Aurora: muatan angin surya yang dikemudikan medan magnet Bumi ke dalam atmosfer kutub. Apa yang disebut seorang pengamat sebagai kemudi magnetik, disebut pengamat lain sebagai percepatan listrik — medannya bercampur di bawah transformasi bab ini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/img-f5d604651824.jpg)

*Aurora: muatan angin surya yang dikemudikan medan magnet Bumi ke dalam atmosfer kutub. Apa yang disebut seorang pengamat sebagai kemudi magnetik, disebut pengamat lain sebagai percepatan listrik — medannya bercampur di bawah transformasi bab ini.*

## 6.5 Latihan

**Latihan 6.1 ★.**

(a) Doronglah $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (dalam satuan $a_0$ tertentu) sebesar $\beta =
0.6$: hitunglah $a'^\mu$ lalu periksalah bahwa $a\cdot a$ tak berubah. (b) Tunjukkanlah bahwa jumlah dua [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) adalah [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). (c) Apakah $(c,
\vect v)$ sebuah partikel merupakan [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector)? Dan $\gamma(c, \vect v)$? (d) Mengapa “medan listrik” saja bukan bagian [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) mana pun?

**Solusi Latihan 6.1.**

(a) $\gamma = 1.25$: $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$, $a'^1 = 1.25(3 -
3) = 0$; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$. (b) Transformasinya linear, sehingga ia terdistribusi pada penjumlahan. (c) $(c, \vect v)$: tidak — komponen “waktu”nya sama bagi semua partikel padahal percampurannya menuntut sebaliknya; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$: ya, yakni [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) yang dibagi invarian $\dd\tau$. (d) Ketiga komponen $\vect E$ bercampur dengan komponen $\vect B$, bukan dengan skalar mana pun: kedua medannya mengisi tensor berindeks dua, bukan sebuah [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector).

**Latihan 6.2 ★.**

Kawat tembaga berpenampang $1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ mengalirkan $10\,\mathrm{A}$; kerapatan elektron hantarannya $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Hitunglah laju hanyutnya. (b) Tuliskanlah $J^\mu$ untuk fluida elektronnya dan untuk kisinya. (c) Periksalah persamaan kesinambungannya untuk masing-masing. (d) Kawatnya netral: berapa $J^\mu$ untuk kawat seluruhnya, dan komponen mana yang bertahan?

**Solusi Latihan 6.2.**

(a) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times
1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Kisi: $(nec, \vect 0)$; elektron: $(-nec, -ne\vect u)$ — kerapatan arusnya $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ menunjuk berlawanan dengan hanyutannya, dan itulah *justru* arah arus konvensionalnya. (c) Keduanya statis dan seragam: tiap sukunya lenyap. (d) Totalnya: $(0, \vect\jmath)$ dengan $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — yakni arus murni tanpa muatan, yaitu susunan yang membuat kerelatifan kawat itu halus.

**Latihan 6.3 ★.**

(a) Dari matriks $F^{\mu\nu}$, bacalah komponen mana yang memberikan $E_y$ dan $B_x$. (b) Tuliskanlah $F^{\mu\nu}$ untuk medan seragam murni $\vect B = B\vect e_z$, dan untuk medan gelombang bidang ($\vect E = E\vect e_y$, $\vect B = (E/c)\vect e_z$). (c) Periksalah pada komponennya bahwa $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu
A^\mu$ menghasilkan kembali $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ untuk $\mu\nu = 12$. (d) Mengapa $F$ harus antisetangkup agar gaya $qF^{\mu\nu}u_\nu$ tidak melakukan usaha dalam kerangka partikelnya sendiri?

**Solusi Latihan 6.3.**

(a) $E_y$: $F^{20} = E_y/c$; $B_x$: $F^{32} = B_x$. (b) Untuk $\vect B
= B\vect e_z$, hanya $F^{12} = -B$ dan $F^{21} = +B$; untuk gelombangnya, $F^{20} = E/c$, $F^{12} = -E/c$ (beserta pasangan antisetangkupnya). (c) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y +
\partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$: cocok dengan matriksnya. (d) Laju perubahan energi partikelnya $\propto F^{0\nu}u_\nu$; dalam kerangka diamnya $u_\nu = (c, \vect 0)$ dan keantisetangkupannya membuat $F^{00} = 0$: sebuah gaya yang tak pernah dapat melakukan usaha pada partikel yang diam — yakni sifat yang mendefinisikan bagian magnetiknya.

**Latihan 6.4 ★.**

Sebuah kapasitor pelat sejajar yang diam menyimpan $\vect E = E_0\vect e_y$, tanpa $\vect B$. Berikanlah $\vect E'$ dan $\vect B'$ dalam kerangka yang bergerak (a) sepanjang $\vect e_y$ (tegak lurus pelatnya); (b) sepanjang $\vect
e_x$ (sejajar pelatnya), lalu tafsirkanlah $\vect B'$ yang muncul sebagai medan muatan permukaan yang bergerak; (c) periksalah invariannya pada kasus (b); (d) pada kasus (b), pelatnya juga terkerut: besaran mana ($\sigma$? $E'$? jarak antarpelatnya?) yang berubah, dan selaras dengan apa?

**Solusi Latihan 6.4.**

(a) Dorongan searah medannya: komponen longitudinalnya tak berubah, $\vect
E' = E_0\vect e_y$, $\vect B' = \vect 0$. (b) Dorongan sepanjang $\vect
e_x$: $E'_y = \gamma E_0$, $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — pelatnya kini mengalir sebagai arus permukaan $\pm\sigma'v$, dan dua lembar arus berlawanan melingkupi persis medan semacam itu. (c) $E'^2 - c^2B'^2 =
\gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$: keduanya terpelihara. (d) Pelatnya terkerut sepanjang $x$, sehingga $\sigma' =
\gamma\sigma$, selaras dengan $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma
E_0$; jarak antarpelatnya, yang melintang terhadap dorongannya, tak tersentuh.

**Latihan 6.5 ★★.**

Ggl gerak yang disatukan. Sebuah batang penghantar meluncur dengan $\vect v$ pada rel melintasi $\vect B$ yang seragam. (a) Pembukuan laboratorium: gaya mana yang menggerakkan elektronnya sepanjang batangnya, dan berapa ggl yang dihasilkannya? (b) Pembukuan kerangka batangnya: medan apa yang menggerakkannya, dan dari mana ia datang dalam [Proposisi 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform)? (c) Tunjukkanlah bahwa kedua ggl itu sesuai pada orde $v/c$. (d) Aturan fluks Faraday jilid Tahun 1 mencakup kasus “rangkaian bergerak” dan “medan berubah” dengan satu rumus: apa kata kerelatifan tentang mengapa penyatuan itu memang harus bekerja?

**Solusi Latihan 6.5.**

(a) Gaya magnetik $-e\vect v\wedge\vect B$ mendorong elektronnya sepanjang batangnya: ggl $= vBL$. (b) Dalam kerangka batangnya, batangnya diam — tak ada gaya magnetik pada muatan yang diam — tetapi transformasinya menyerahkan $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$: sebuah medan listrik sejati yang menjadi penggeraknya. (c) $E'L = \gamma vBL
\approx vBL$ pada orde $v/c$. (d) Ia memang harus bekerja karena ggl “gerak” dan ggl “transformator” merupakan satu gejala yang dibaca dalam dua kerangka: aturan fluksnya adalah kovariansi yang mengenakan pakaian 1831 — makalah Einstein 1905 dibuka tepat dengan ketaksetangkupan magnet-dan-penghantar ini.

**Latihan 6.6 ★★.**

(a) Dengan memakai [Proposisi 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform), periksalah lewat perhitungan langsung bahwa $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$ untuk dorongan sepanjang $x$. (b) Periksalah $\vect E'\cdot\vect B' = \vect
E\cdot\vect B$. (c) Sebuah daerah memuat $\vect E$ dan $\vect B$ yang tegak lurus dengan $E = 2cB$: carilah kerangka dengan medan listrik murni (arah dan lajunya). (d) Mengapa tak ada kerangka yang dapat membuat medan gelombang cahaya bidang menjadi listrik murni atau magnetik murni?

**Solusi Latihan 6.6.**

(a) Komponen $x$-nya tak tersentuh; untuk yang melintang, $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 +
(E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$; suku silangnya saling meniadakan dan kuadratnya menghimpun $\gamma^2(1 -
\beta^2) = 1$ kali gabungan yang belum ditransformasikan. (b) Pembukuan yang sama pada $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$. (c) $E^2 - c^2B^2 =
3c^2B^2 > 0$: doronglah sepanjang $\vect E\wedge\vect B$ pada $v = c^2B/E =
c/2$; di sana $B' = 0$ dan medan yang bertahan adalah $E' = E/\gamma =
\sqrt3\,cB$ — yang kuadratnya sama dengan invariannya, sebagaimana seharusnya. (d) Gelombang cahaya mempunyai kedua invariannya nol: kerangka mana pun harus menghasilkan kembali $E' = cB' \perp$, tak pernah medan murni.

**Latihan 6.7 ★★.**

Medan bersilang. Di laboratorium, $\vect E = E\vect e_y$ dan $\vect B =
B\vect e_z$ dengan $E < cB$. (a) Tunjukkanlah bahwa kerangka yang bergerak pada $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ melihat medan magnetik murni. (b) Perikanlah gerak muatan yang dilepaskan dalam keadaan diam, dilihat dari kerangka itu dan kembali di laboratorium (sikloid yang menghanyut pada $v_{\text{d}}$). (c) Penapis kecepatan jilid Tahun 1 meloloskan partikel berlaju $E/B$ tanpa pembelokan: turunkanlah kembali hal itu dalam satu baris dari (a). (d) Apa yang terjadi, secara kualitatif, ketika $E > cB$ — dan mengapa muslihat kerangka hanyutnya lalu menjadi mustahil?

**Solusi Latihan 6.7.**

(a) Dengan $v_{\text{d}} = E/B$: $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) =
0$; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$: medan magnetik murni yang sedikit melemah. (b) Di sana: sebuah lingkaran pada $qB'/\gamma m$; kembali di laboratorium: lingkaran itu ditambah hanyutan seragamnya — yakni sikloid yang merayap pada $E/B$ tegak lurus terhadap kedua medannya, yaitu lintasan muatan dalam magnetron. (c) Partikel yang bergerak tepat pada $v_{\text{d}}$ diam dalam kerangka hanyutnya, tempat satu-satunya medan bersifat magnetik dan ia tak merasakan apa pun: tanpa pembelokan. (d) Untuk $E > cB$ hanyutan yang dituntutnya melebihi $c$: tak ada kerangka semacam itu; sebaliknya kerangka ber-$E$ murni ada (latihan sebelumnya) dan muatannya dipercepat tanpa batas sepanjang medannya.

**Latihan 6.8 ★★.**

Vektor gelombang-empat $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$. (a) Tunjukkanlah bahwa menuntut fasenya invarian memaksa $k^\mu$ bertransformasi sebagai [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). (b) Turunkanlah rumus Doppler longitudinalnya dari komponen waktunya. (c) Turunkanlah rumus aberasinya. (d) Aberasi cahaya bintang: Bumi mengorbit pada $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; melalui sudut berapa kedudukan semu sebuah bintang menyapu sepanjang setahun? (Bradley mengukur $20.5''$ pada 1728 — bukti langsung pertama bahwa Bumi bergerak.)

**Solusi Latihan 6.8.**

(a) Fasenya $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ menghitung peristiwa perlintasan puncak gelombang, yakni bilangan invarian; ia sama dengan $k^\mu x_\mu$, dan keinvarianan hasil kalinya untuk semua $x^\mu$ memaksa $k^\mu$ bertransformasi secara [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector). (b) $\omega'/c = \gamma(\omega/c -
\beta k_x)$ dengan $k_x = (\omega/c)\cos\theta$; untuk $\theta = 0$, $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$. (c) $\cos\theta' =
k'_x/(\omega'/c)$: yakni rumus yang dinyatakan itu. (d) $\beta = 10^{-4}$: $20.5''$; sepanjang setahun kedudukan semunya menyapu elips dengan setengah sumbu sudut sebesar itu — yakni aberasi Bradley.

**Latihan 6.9 ★★.**

Sebuah muatan $q$ bergerak dengan $\vect v = v\vect e_x$ tetap, $\gamma \gg
1$. (a) Dengan mentransformasikan medan Coulombnya, tunjukkanlah bahwa pada bidang melintang yang melalui muatannya medannya terdorong menjadi $\gamma
q/4\pi\varepsilon_0b^2$ pada jarak $b$, sedangkan tepat di depan dan di belakangnya ia terhimpit sebesar $1/\gamma^2$. (b) Tunjukkanlah bahwa pengamat diam pada jarak $b$ melihat pulsa medan berdurasi $\sim b/\gamma v$. (c) Untuk proton LHC yang lewat pada $b = 1\,\mathrm{cm}$: berapa medan puncaknya dan durasi pulsanya? (d) Dalam pengertian apa tepatnya pulsa ini “hampir cahaya”? (Periksalah $E' \approx cB'$ dan invariannya.)

**Solusi Latihan 6.9.**

(a) Dalam kerangka diamnya, Coulomb; dorongannya mengalikan komponen melintangnya dengan $\gamma$ (pada bidang melintangnya, $E'_\perp = \gamma
q/4\pi\varepsilon_0b^2$) sedangkan medan searah geraknya, yang dihitung di depan atau di belakangnya pada jarak laboratorium $r$, memetakan ke jarak kerangka diam $\gamma r$: berkurang sebesar $1/\gamma^2$. (b) Cakramnya yang selebar sudut $1/\gamma$ menyapu lewat pada $v$: durasinya $\sim (b/\gamma)/v$. (c) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx
0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, yang berlangsung $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$. (d) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ dan kedua invariannya berorde $O(1/\gamma^2)$: secara setempat tak terbedakan dari pulsa cahaya — itulah dasar pemerian “foton setara” bagi tumbukan muatan cepat.

**Latihan 6.10 ★★★.**

Mengejar gelombang cahaya. Sebuah gelombang bidang mempunyai $\vect E = E_0\vect e_y
\cos(\omega(t - x/c))$, $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t -
x/c))$. Seorang pengamat mengejarnya pada $\beta$. (a) Transformasikanlah medannya: tunjukkanlah $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ dan $B'_0 = E'_0/c$. (b) Tunjukkanlah bahwa frekuensinya bertransformasi dengan faktor yang sama: gelombangnya tetap gelombang, tergeser merah, dengan $E' = cB'$ selalu. (c) Apa yang terjadi pada kerapatan energi gelombangnya (sebanding dengan $E^2$) dan pada cacah fotonnya? (d) Simpulkanlah: apa yang dituntut oleh “menumpang di samping berkas cahaya”, dan invarian mana yang melarangnya?

**Solusi Latihan 6.10.**

(a) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) =
E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$, dan $B'_z = E'_y/c$ lewat aljabar yang sama. (b) Fasenya bertransformasi dengan faktor Doppler yang sama: gelombang null yang sama, lebih merah dan lebih lemah. (c) Kerapatan energinya turun sebesar kuadrat faktor Dopplernya; cacah fotonnya tak berubah — $h\nu$ tiap fotonlah yang membawa seluruh faktornya. (d) “Menumpang di sampingnya” berarti faktornya $\to 0$ ketika $\beta \to 1$: gelombangnya tak pernah menjadi statis karena invariannya nol — tak ada kerangka yang membuat cahaya berhenti, dan di situlah kerelatifan buku ini bermula.

**Latihan 6.11 ★★★.**

Cahaya sinkrotron dan matinya mesin elektron melingkar. Sebuah muatan ultrarelativistik pada lingkaran berjejari $r$ memancarkan daya $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ (diterima tanpa bukti — rumus Larmor jilid Tahun 2, yang didorong). (a) Tunjukkanlah bahwa energi yang hilang tiap putaran adalah $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$. (b) LEP: elektron pada $100\,\mathrm{GeV}$ dengan $r = 3.1\,\mathrm{km}$: hitunglah $\gamma$ dan $\Delta E$ tiap putaran — berapa bagian energi berkasnya yang harus dibeli ulang tiap putaran? (c) LHC: proton pada $6.8\,\mathrm{TeV}$, dalam terowongan yang sama: hitunglah $\Delta E$ tiap putaran lalu bandingkanlah. (d) Jelaskanlah, dengan faktor $\gamma^4 =
(E/mc^2)^4$, mengapa penerus mesin elektron itu berupa penumbuk *linear* atau cincin yang jauh lebih besar, dan mengapa cincin proton bertahan.

**Solusi Latihan 6.11.**

(a) Tiap putaran, $\Delta E = P \times 2\pi r/c$: yakni hasil yang dinyatakan itu. (b) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$: $\Delta E \approx
2.9\,\mathrm{GeV}$ tiap putaran — tiga persen energi berkasnya disuntikkan ulang tiap putaran; klystron LEP adalah pemancar radio terbesar di Bumi. (c) Proton: $\gamma = 7250$, dengan $\gamma^4$ lebih kecil sebesar $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$: sekitar $5\,\mathrm{keV}$ tiap putaran — dapat diabaikan. (d) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$: pada energi yang sama elektron memancar $10^{13}$ kali lebih banyak; karena itu penumbuk linear (memancar sekali, bukan tiap putaran) atau cincin raksasa bagi elektron, sedangkan cincin proton berskala dengan nyaman sampai $27\,\mathrm{km}$.

**Latihan 6.12 ★★★.**

Siklotron relativistik. Sebuah muatan dalam $\vect B$ yang seragam, pada laju relativistik. (a) Dari $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect
B$ dengan $E$ tetap, tunjukkanlah bahwa orbitnya berupa lingkaran yang ditempuh pada $\omega = qB/\gamma m$: frekuensi siklotronnya turun seiring energinya. (b) Siklotron klasik mendorong pada $\omega_0 = qB/m$ yang tetap: tunjukkanlah bahwa setelah $N$ putaran dengan $\gamma - 1$ tumbuh secara linear sampai nilai akhirnya $\Gamma$, selisih fase yang terkumpul mencapai seperempat periode RF ketika $\Gamma \approx 1/2N$; untuk $N = 100$ putaran, energi kinetik proton sebesar apakah itu, dan bagaimana perbandingannya dengan langit-langit sejarah siklotron klasik (sekitar $20\,\mathrm{MeV}$, yang dibeli dengan kelonggaran dan tegangan tambahan)? (c) Ada dua penawarnya: menaikkan frekuensinya (sinkrosiklotron) atau membentuk $B(r)$ agar tumbuh seperti $\gamma$ (siklotron isokron): jelaskanlah masing-masing dalam satu kalimat. (d) Siklotron isokron PSI menghasilkan proton $590\,\mathrm{MeV}$: sebesar faktor berapa medannya di tepi melebihi medan pusatnya?

**Solusi Latihan 6.12.**

(a) $|\vect p|$ tetap (tanpa usaha); $\dot{\vect p} = q\vect
v\wedge\vect B$ memutar $\vect p$ dengan laju $qvB/p = qB/\gamma m$. (b) Selisihnya tiap putaran $2\pi(\gamma - 1)$; dengan $\gamma - 1$ tumbuh secara linear sampai $\Gamma$, selisih totalnya $\approx \pi N\Gamma$; seperempat periodenya $\pi/2$: $\Gamma \approx 1/2N$. Untuk $N = 100$: $\Gamma =
5 \times 10^{-3}$, $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — skala yang tepat; mesin sungguhan meregangkannya sampai $\sim20\,\mathrm{MeV}$ dengan tegangan dee yang tinggi (putaran lebih sedikit). (c) Sinkrosiklotron: sapukanlah RF-nya turun sepanjang tiap pulsanya agar mengikuti $qB/\gamma m$. Siklotron isokron: biarkanlah $B(r)$ tumbuh $\propto\gamma(r)$ sehingga nisbahnya tak pernah berubah dan berkasnya tetap sinambung. (d) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$: medan di tepinya harus melebihi medan pusatnya sebesar faktor itu.

## 6.6 Soal: Kemagnetan pada kecepatan siput

**Soal 6.1.**

Soal akhir pekan — bagaimana ketakseimbangan $10^{-24}$ menjalankan tiap motor

Elektron menghanyut melalui kabel lampu lebih lambat daripada madu merambat, dan $v^2/c^2$ bagi hanyutan itu bernilai $10^{-24}$ — namun gaya magnetik yang dihasilkannya mengangkat mobil di tempat rongsokan. Soal ini melakukan pembukuan dua kerangka selengkapnya untuk kawat lurus dan muatan yang bergerak, lalu menemukan kerelatifan bersembunyi dalam tiap elektromagnet. Data: kawat tembaga, penampang $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$, arus $I = 10\,\mathrm{A}$, kerapatan elektron hantaran $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$; muatan uji $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$ pada jarak $d = 1.0\,\mathrm{cm}$, yang bergerak sejajar kawatnya pada $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (laju berkas ion, agar bilangannya tetap terlihat); $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$.

**Bagian I — Pembukuan kerangka laboratorium.**

1. Hitunglah laju hanyut elektronnya $u$ , beserta $u^2/c^2$ .
2. Modelkanlah kawatnya sebagai dua muatan garis yang bertumpang tindih: kisi $+\lambda$ yang diam dan elektron $-\lambda$ yang menghanyut pada $u$ , dengan $I = \lambda u$ . Hitunglah $\lambda$ .
3. Hitunglah $B$ pada kedudukan muatannya dan gaya magnetik $F = qvB$ padanya — termasuk arahnya, untuk $v$ yang sejajar arus konvensional $I$ (ingatlah: arus sejajar saling menarik).
4. Mengapa tak ada gaya *listrik* di laboratorium?
5. Berapa medan listrik kawat yang sama jika ia membawa muatan neto sebesar satu elektron berlebih tiap meter: bandingkanlah gaya yang akan dikerahkannya pada $q$ dengan gaya magnetik pada pertanyaan 3, lalu simpulkanlah seberapa teliti “netral” harus diukur sebelum kemagnetan boleh dinisbahkan.
6. Muatan $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ pada $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : apakah gaya pada pertanyaan 3 terukur? (Bandingkanlah dengan berat sebutir pasir, $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ .)

**Bagian II — Berpindah tempat duduk.** Berpindahlah ke kerangka muatan ujinya (berlaju $v$ sepanjang kawatnya).

7. Dalam kerangka itu, berapa kecepatan kisinya dan kecepatan elektronnya (yang menghanyut berlawanan dengan $I$ , sehingga bertambah laju pada dorongan ini — gabungkanlah dengan benar)?
8. Diintegralkan pada penampang kawatnya, arus-empat tiap satuan panjangnya adalah $(c\lambda_{\text{tot}}, I, 0, 0)$ dengan $\lambda_{\text{tot}} = 0$ di sini. Transformasikanlah lalu tunjukkanlah bahwa muatan garis kawatnya dalam kerangka barunya adalah $$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$$
9. Hitunglah $\lambda'$ , dalam coulomb tiap meter dan dalam muatan elektron tiap meter. Arus yang mana yang menjadi lebih rapat, dan mengapa (kerutkanlah tiap arusnya sendiri-sendiri jika Anda mau)?
10. Hitunglah medan listrik $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ pada muatannya, beserta gaya listrik $qE'$ padanya.
11. Bandingkanlah $qE'$ dengan $qvB$ laboratorium pada Bagian I, lalu jelaskanlah faktor sisa $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ (hukum transformasi [vektor-empat](#def-b3-covariant-electromagnetism-fourvector) manakah yang mengaitkan kedua gayanya?).
12. Dalam kerangka ini ada pula medan magnet (kawatnya tetap mengalirkan arus): mengapa medan itu tidak mengerahkan gaya di sini?

**Bagian III — Pelajaran dari bilangannya.**

13. Ketakseimbangan nisbinya $|\lambda'|/\lambda$ : hitunglah lalu tuliskanlah sebagai $\gamma_v vu/c^2$ .
14. Bagaimana efek berorde $10^{-19}$ dari muatan kawatnya dapat menghasilkan gaya makroskopis? (Bilangan raksasa apa yang dikalikannya?)
15. Dua kawat sejajar yang masing-masing mengalirkan $10\,\mathrm{A}$ pada jarak $1\,\mathrm{cm}$ : hitunglah gaya tiap meternya, lalu periksalah terhadap nilai bermutu definisi $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ newton tiap meter.
16. Sebuah elektromagnet adalah sepuluh ribu lilitan cerita ini: perkirakanlah medan kumparan berlilitan $10^{4}\,$ tiap meter yang mengalirkan $10\,\mathrm{A}$ (rumus solenoida jilid Tahun 1), beserta gaya tiap sentimeter persegi yang dikerahkannya pada besi ( $\sim B^2/2\mu_0$ ).
17. Seandainya kerelatifan dimatikan ( $c \to \infty$ dalam transformasinya), apa yang akan tersisa dari $\lambda'$ , dari gaya $B$ , dari motor dan magnet tempat rongsokan?
18. Mengapa muatan uji yang *diam* di dekat kawatnya tidak merasakan apa pun, walaupun elektronnya mengalir melewatinya? (Peniadaan yang mana yang melindunginya, dan sampai ketelitian berapa?)

**Bagian IV — Melampaui kawatnya.**

19. Jilid Tahun 2 menurunkan medan magnet dari hukum Ampère dengan arus sebagai sumber yang diberikan. Apa yang ditambahkan bab ini pada pembukuan itu — *apakah* medan magnet itu, dilihat dari soal ini?
20. Magnet besi tidak mempunyai baterai: apa yang berperan sebagai arus dalam kemagnetan tetap (satu kalimat; jawaban mikroskopis yang jujur bersifat kuantum dan menunggu lima bab lagi)?
21. Sebuah berkas elektron tunggal dalam vakum (tanpa kisi): apakah pengamat yang ikut bergerak melihatnya menarik atau menolak dirinya sendiri lebih kuat daripada yang dilihat pengamat laboratorium? Damaikanlah pembukuan kedua kerangka tentang pencekikan diri sebuah berkas.
22. Buatlah butir terakhir itu kuantitatif: tunjukkanlah bahwa dua berkas sejajar bermuatan sejenis yang bergerak bersama pada $\beta$ saling menolak dengan gaya neto (tolakan listrik dikurangi tarikan magnetik) yang berkurang tepat sebesar $1/\gamma^2$ dari nilai diamnya — lalu katakanlah pembukuan kerangka mana yang membuat faktor itu gamblang.
23. Energi untuk sebuah lampu tiba dengan laju hampir $c$ sedangkan elektronnya menghanyut satu meter tiap jam: apa yang sesungguhnya membawa energi sepanjang kabelnya (ingatlah vektor Poynting jilid Tahun 2)?
24. Perkirakanlah $vu/c^2$ untuk elektron pada soal ini dan muatan uji seorang pejalan kaki ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): bahkan di sana, gayanya terukur pada orde pertama dengan jarum kompas — siapakah yang memperagakan arus membelokkan kompas, dan pada tahun berapa?
25. Ringkaslah hasil bernama itu: kawat netral $10\,\mathrm{A}$ , yang dipandang dari tempat duduk yang bergerak pada $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , membawa muatan relativistik $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — dan galat pembukuan berorde $10^{-24}$ dari [pengerutan panjang](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) itu, dikalikan $10^{28}$ elektron, adalah seluruh gaya magnetik di laboratorium.

**Solusi Soal 6.1.**

**1.** $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $u^2/c^2 =
6 \times 10^{-24}$. **2.** $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — empat belas kilocoulomb tiap meter pada tiap arusnya. **3.** $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$; $F = qvB =
10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, yang terarah *menuju* kawatnya (arus sejajar saling menarik). **4.** Kedua muatan garisnya saling meniadakan secara tepat: $\lambda_{\text{tot}}
= 0$, tanpa medan pada orde nol. **5.** Satu elektron berlebih tiap meter: $E = 2k\lambda_1/d =
2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, dengan gaya $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — $10^8$ kali lebih kecil daripada gaya magnetiknya. Kawatnya dapat menyembunyikan seratus juta elektron liar tiap meter sebelum elektrostatika menyaingi kemagnetan: menisbahkan gayanya kepada $\vect B$ aman dilakukan. **6.** $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ setara dua puluh berat butir pasir: mudah diukur. **7.** Kisi: $-v$. Elektron (yang menghanyut pada $u$ berlawanan dengan $I$, yakni berlawanan dengan dorongannya): berlaju $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — lebih cepat daripada kisinya. **8.** $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{tot}} - vI/c^2) =
-\gamma_v vI/c^2$. **9.** $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} =
-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$: sekitar $7 \times 10^7$ elektron berlebih tiap meter. Arus elektronnya, yang lebih cepat dalam kerangka ini, adalah yang lebih rapat — tiap arus terkerut oleh $\gamma$-nya sendiri. **10.** $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times
1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, yang menunjuk ke kawatnya; gayanya $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, bersifat menarik. **11.** Serupa dengan $qvB$ sampai pada faktor $\gamma_v = 1 +
5.6 \times 10^{-8}$: tepat hukum transformasi gaya melintang (gaya-empat), $F_{\text{diam}} = \gamma F_{\text{lab}}$. **12.** Kawatnya tetap mengalirkan arus (yang lebih besar), sehingga $\vect
B' \neq 0$ — tetapi muatan kita diam di sini, dan medan magnet hanya mencengkeram muatan yang bergerak. **13.** $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$. **14.** Ia mengalikan $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ muatan dasar tiap meter: $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22}
\approx 7 \times 10^{7}$ elektron tiap meter — makroskopis. Materi begitu sangat bermuatan sehingga kenetralannya setipis mata pisau; kerelatifan memiringkan pisau itu. **15.** $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 =
2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — rumus yang dahulu *mendefinisikan* ampere. **16.** $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times
10 = 0.13\,\mathrm{T}$; tekanan magnetiknya $B^2/2\mu_0 \approx
6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$: mobil utuh tergantung pada kerelatifan yang terintegralkan. **17.** $c \to \infty$ membunuh $\lambda'$, dan bersamanya gayanya, bagian magnetik medannya, motor, dinamo dan derek tempat rongsokan: kemagnetan tidak mempunyai keberadaan yang tak relativistik. **18.** Dalam keadaan diam muatannya melihat kawat netral laboratorium: kedua arusnya saling meniadakan sampai ketelitian kenetralan materi — yang dikenal secara percobaan sampai ketelitian yang menakjubkan — sehingga tak ada gaya yang bekerja. **19.** Bahwa gambaran “sumber yang diberikan” itu adalah irisan satu tensor tunggal menurut satu kerangka: $\vect B$ adalah bagian medan elektromagnetik yang dinisbahkan gerak seorang pengamat kepada arus, bukan kepada muatan. **20.** Spin elektron: tiap elektron adalah magnet dasar (sebuah “arus” kuantum yang hakiki), dan besi adalah materi yang di dalamnya semuanya searah — [Bab 12](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/12-spin-dan-sistem-dua-aras#ch-b3-spin-two-level) dan [Bab 22](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/22-elektromagnetisme-dalam-materi#ch-b3-electromagnetism-in-matter) membahasnya. **21.** Dalam kerangka diam berkasnya tolakannya murni Coulomb dan *maksimum*; di laboratorium, tarikan magnetik arus sejajarnya hampir meniadakannya. Tak ada pertentangan: gaya melintang laboratorium adalah gaya kerangka diamnya dibagi $\gamma$, dan dinamika yang lebih lambat ([pemuluran waktu](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)) melengkapi pembukuannya. **22.** Gaya neto laboratoriumnya $= qE_{\text{lab}} - qvB_{\text{lab}} =
(1 - \beta^2)qE_{\text{lab}} = F_{\text{Coulomb}}/\gamma^2$ menurut transformasinya; dalam kerangka diamnya faktor itu gamblang: elektrostatika murni, dengan pemuaiannya disaksikan lewat waktu yang memulur. **23.** Vektor Poynting: energinya mengalir melalui *medan* di sekeliling penghantarnya dengan laju hampir $c$, sedangkan elektronnya sekadar mengaturnya; tembaga kabelnya adalah pemandu, bukan pipa. **24.** $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — namun Ørsted melihat kompasnya berayun di samping sebuah kawat pada 1820: pengali $10^{22}$ muatan sudah bekerja seabad sebelum siapa pun dapat menamainya. **25.** Kawat netral $10\,\mathrm{A}$, yang dipandang dari $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, membawa $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$: selisih pembukuan $10^{-16}$ dari [pengerutan panjang](https://one-course.com/books/physics/5/id/chapter/4-kinematika-relativistik#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction), dikalikan $10^{23}$ muatan tiap meter, *itulah* gaya magnetiknya — seluruh kemagnetan adalah kerelatifan yang diaudit pada kecepatan siput.