---
title: "Lagrangiaanse mechanica"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 3"
subject: physics
language: nl
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica
---

# Hoofdstuk 1 — Lagrangiaanse mechanica

Probeer de wet van Newton op te schrijven voor een dubbele slinger: twee spankrachten, geen van beide vooraf bekend, beide op elk ogenblik van richting veranderend, en vier scalaire vergelijkingen om te ontwarren, alleen al om te weten hoe twee hoeken evolueren. Doe nu hetzelfde voor een kraal op een draaiende hoepel, een keten van gekoppelde veren, een robotarm. De krachten die een stelsel bijeenhouden — staven, rails, scharnieren — verrichten geen arbeid, en toch dwingt de methode van Newton ons ze door elke berekening mee te slepen. Dit hoofdstuk presenteert de herformulering die Lagrange in 1788 publiceerde: beschrijf het stelsel met de weinige coördinaten die werkelijk kunnen veranderen, schrijf één enkele functie $L = E_k - E_p$ op, en één recept levert de bewegingsvergelijkingen in willekeurige coördinaten, met elke staaf en elke rail al weggewerkt. Beter nog, de nieuwe formulering maakt zichtbaar wat die van Newton verbergt: elke symmetrie van $L$ levert een behouden grootheid — de impuls uit de homogeniteit van de ruimte, de energie uit die van de tijd — een resultaat van Emmy Noether dat ver buiten de mechanica het ordenende beginsel van de natuurkunde is geworden.

## 1.1 Van krachten naar coördinaten

**Definitie 1.1 (Dwangvoorwaarden, vrijheidsgraden, gegeneraliseerde coördinaten).**

Een *dwangvoorwaarde* is een meetkundige voorwaarde die aan de posities van een stelsel wordt opgelegd — een kraal blijft op zijn draad, de staaf van een slinger houdt een vaste lengte, twee wielen van één as draaien samen. Een dwangvoorwaarde die als een vergelijking $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ tussen de coördinaten (en eventueel de tijd) te schrijven is, heet *holonoom*. Het aantal onafhankelijke manieren waarop de configuratie nog kan variëren is het aantal *vrijheidsgraden* $n$; elk stel van $n$ onafhankelijke grootheden $q_1, \dots, q_n$ dat de configuratie volledig vastlegt is een stel *gegeneraliseerde coördinaten* — hoeken, lengten of een willekeurige handige mengeling. Hun tijdsafgeleiden $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ heten de *gegeneraliseerde snelheden*.

**Voorbeeld 1.2 (Vrijheidsgraden tellen).**

Een punt op een tafel: $n = 2$. Een vlakke slinger met vaste lengte: één hoek, $n = 1$. Een dubbele slinger: twee hoeken, $n = 1 + 1 = 2$. Een kraal op een starre hoepel: één hoek, $n = 1$ — ook wanneer de hoepel zelf gedwongen wordt te draaien, want de opgelegde rotatie voegt geen vrijheid toe. Een star lichaam dat vrij in de ruimte beweegt: drie coördinaten van zijn zwaartepunt plus drie hoeken, $n = 6$. Een gas van $N$ vrije moleculen (punten): $n = 3N$. Elke holonome [dwangvoorwaarde](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) neemt één vrijheidsgraad weg: twee punten verbonden door een staaf hebben $3 + 3 - 1 = 5$.

![Gegeneraliseerde coördinaten: elk stelsel wordt beschreven door de hoeken die werkelijk kunnen veranderen, niet door de cartesische coördinaten van zijn massa’s. De spankrachten in de staven en de normaalkracht van de hoepel komen er nooit in voor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-2bb8c8591fc5.svg)

*[Gegeneraliseerde coördinaten](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): elk stelsel wordt beschreven door de hoeken die werkelijk kunnen veranderen, niet door de cartesische coördinaten van zijn massa’s. De spankrachten in de staven en de normaalkracht van de hoepel komen er nooit in voor.*

## 1.2 Het beginsel van de kleinste actie

**Definitie 1.3 (Lagrangiaan en actie).**

De *lagrangiaan* van een mechanisch stelsel waarvan de krachten afleidbaar zijn uit een potentiële energie $E_p$ is de functie van de coördinaten, de snelheden en eventueel de tijd

$$
L(q, \dot q, t) = E_k - E_p ,
$$

de kinetische energie *min* de potentiële, beide uitgedrukt in de [gegeneraliseerde coördinaten](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates). De *actie* van een denkbare beweging $q(t)$ tussen vaste eindpunten $q(t_1)$ en $q(t_2)$ is het getal

$$
S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L\big(q(t), \dot q(t), t\big)\,\dd t .
$$

$S$ is een *functionaal*: hij verslindt een heel pad en geeft één getal terug, in joulesecondes — de eenheid van de constante van Planck.

**Stelling 1.4 (Beginsel van Hamilton en de vergelijkingen van Euler–Lagrange).**

Van alle denkbare bewegingen die dezelfde twee eindpunten in dezelfde tijd verbinden, is de werkelijke beweging die welke de [actie](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) *stationair* maakt (het *[beginsel van Hamilton](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*, of het beginsel van de *[kleinste actie](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*). Gelijkwaardig: de beweging voldoet aan de *[vergelijkingen van Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*

$$
\frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}
 - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 ,
\qquad i = 1, \dots, n :
$$

één tweede-ordevergelijking per vrijheidsgraad, in welke coördinaten dan ook gekozen zijn.

**Bewijs.** Vervorm het pad: $q_i(t) \to q_i(t) + \delta q_i(t)$ met $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$. Tot op eerste orde geldt

$$
\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\delta q_i
 + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\delta\dot q_i\Big)\dd t
 = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}
 - \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Big)\delta q_i\,\dd t ,
$$

na partiële integratie van de tweede term ($\delta\dot q_i =
\dd(\delta q_i)/\dd t$) en het weglaten van de randterm, die op de vaste eindpunten verdwijnt. Is $\delta S = 0$ voor *elke* vervorming, dan moet het haakje op elk ogenblik en voor elke $i$ nul zijn — was het ergens positief, dan gaf een daar geconcentreerde bult $\delta q_i$ een $\delta S \neq 0$. Het omgekeerde leest men van dezelfde regel af. ∎

![Het beginsel van Hamilton: van alle paden met dezelfde eindpunten en dezelfde duur maakt het werkelijke pad S = ∈t L\, t stationair — vervormingen q van eerste orde veranderen S pas in tweede orde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-d85d9fd7c178.svg)

*Het [beginsel van Hamilton](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange): van alle paden met dezelfde eindpunten en dezelfde duur maakt het werkelijke pad $S = \int L\,\dd t$ stationair — vervormingen $\delta q$ van eerste orde veranderen $S$ pas in tweede orde.*

**Propositie 1.5 (Newton teruggevonden).**

Voor een deeltje in cartesische coördinaten is $L = \tfrac12 m(\dot x^2 +
\dot y^2 + \dot z^2) - E_p(x,y,z)$, en de [vergelijkingen van Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) luiden $m\ddot x = -\partial E_p/\partial x$ en zo ook voor $y$ en $z$: precies $m\vect a = \vect F$. De lagrangiaanse en de newtoniaanse mechanica stemmen overeen waar beide gelden; de nieuwe vorm overleeft eenvoudigweg een verandering van coördinaten, wat Newtons componentvergelijkingen niet doen.

**Bewijs.** $\partial L/\partial\dot x = m\dot x$, $\partial L/\partial x =
-\partial E_p/\partial x$; de vergelijking van Euler–Lagrange luidt $\dd(m\dot x)/\dd t + \partial E_p/\partial x = 0$. ∎

**Opmerking 1.6 (Waarom de dwangkrachten verdwijnen).**

De spankracht van een staaf, de normaalkracht van een rail, staan loodrecht op elke verplaatsing die de [dwangvoorwaarde](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) toelaat: zij verrichten geen arbeid in enige beweging die met de voorwaarde verenigbaar is. Omdat de [actie](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) is opgebouwd uit energieën die alleen op zulke bewegingen worden geëvalueerd, komen deze krachten nooit in $L$ voor — dat is het praktische wonder van de methode. De algemene rechtvaardiging (het beginsel van de virtuele arbeid van d’Alembert) wordt hier aangenomen; voor elk stelsel in dit boek kan het recept hieronder rechtstreeks tegen Newton worden getoetst, zoals [Propositie 1.5](#prop-b3-lagrangian-mechanics-newton) begon te doen. Wil men een dwangkracht zelf kennen — knapt de staaf? — dan keert men voor die ene kracht naar Newton terug, met de beweging al bekend.

**Methode 1.7 (Het lagrangiaanse recept).**

(1) Tel de [vrijheidsgraden](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) en kies coördinaten $q_i$ — hoeken voor rotaties, abscissen langs rails. (2) Druk de posities $\vect r(q_i, t)$ uit, differentieer naar de tijd om de snelheden te krijgen en schrijf $E_k$; schrijf $E_p$. (3) $L = E_k - E_p$, waarbij elke additieve constante mag vervallen. (4) Eén vergelijking van Euler–Lagrange per coördinaat. (5) Oogst vóór het oplossen de behouden grootheden: cyclische coördinaten ([Definitie 1.10](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum)) en de [energiefunctie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) ([Propositie 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (6) Toets de limieten: kleine hoeken, uitgeschakelde rotatie, bekende bijzondere gevallen.

**Voorbeeld 1.8 (De slinger, in drie regels).**

Eén coördinaat $\theta$; $\vect v = \ell\dot\theta\,\vect e_\theta$, dus $E_k = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2$ en $E_p = -mg\ell\cos\theta$. Dan is $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$, en $\dd(m\ell^2\dot\theta)/\dd t = -mg\ell\sin\theta$:

$$
\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta ,
$$

de vergelijking die het volume van jaar 1 uit het moment van de zwaartekracht verkreeg — met de spankracht nooit genoemd.

**Voorbeeld 1.9 (Kraal op een draaiende hoepel).**

Een kraal met massa $m$ glijdt op een verticale cirkelvormige hoepel met straal $R$ die gedwongen wordt met constante $\omega$ om zijn verticale middellijn te draaien ([Voorbeeld 1.2](#ex-b3-lagrangian-mechanics-counting)). Eén coördinaat, de poolhoek $\theta$ vanaf het laagste punt. De snelheid van de kraal heeft een component $R\dot\theta$ langs de hoepel en, loodrecht daarop, een component $\omega R\sin\theta$ door de opgelegde rotatie:

$$
L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
 + mgR\cos\theta ,
\qquad
mR^2\ddot\theta = m\omega^2R^2\sin\theta\cos\theta - mgR\sin\theta .
$$

Evenwichten waar $\ddot\theta = 0$: het laagste punt $\theta = 0$ (en het hoogste, altijd onstabiel), en, zodra $\omega^2 > g/R$, een nieuw paar $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$. Schrijven we de vergelijking als $mR^2\ddot\theta = -\dd U_{\text{eff}}/\dd\theta$ met de *effectieve potentiële energie*

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = -mgR\cos\theta
 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
$$

dan wordt de meetkunde zichtbaar: onder de kritische draaisnelheid $\omega_{\text{c}} = \sqrt{g/R}$ is het laagste punt een put; erboven wordt het een top en gaat de kraal op de helling liggen, steeds hoger naarmate de hoepel sneller draait — het beginsel van de centrifugaalregulateur die stoommachines regelde.

![De effectieve potentiaal van de kraal op de draaiende hoepel. Zodra de waarde √g/R passeert, splitst de enkele put onderaan in twee symmetrische putten: de evenwichtshoek stijgt met de draaisnelheid.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-f0fdeb542a6f.svg)

*De effectieve potentiaal van de kraal op de draaiende hoepel. Zodra $\omega$ de waarde $\sqrt{g/R}$ passeert, splitst de enkele put onderaan in twee symmetrische putten: de evenwichtshoek stijgt met de draaisnelheid.*

## 1.3 Symmetrieën en behoudswetten

**Definitie 1.10 (Gegeneraliseerde impuls, cyclische coördinaat).**

De *gegeneraliseerde impuls* geconjugeerd aan de coördinaat $q_i$ is

$$
p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .
$$

Voor een cartesische coördinaat is dat de gewone impuls $m\dot x$; voor een hoek is het een impulsmoment. Een coördinaat die niet in $L$ voorkomt (al komt haar snelheid er wel in voor) heet *cyclisch*.

**Propositie 1.11 (Cyclische coördinaten geven behoudswetten).**

Is $q_i$ cyclisch, dan blijft de geconjugeerde impuls behouden: $\partial L/\partial q_i = 0$ geeft $\dd p_i/\dd t = 0$. Coördinaten zó kiezen dat er zo veel mogelijk cyclisch zijn is de meest doeltreffende stap bij het oplossen van een mechanicavraagstuk.

**Bewijs.** Onmiddellijk uit de vergelijking van Euler–Lagrange voor $q_i$. ∎

**Voorbeeld 1.12 (Centrale kracht, opgelost door kijken).**

Een deeltje in een centrale potentiaal $E_p(r)$, in poolcoördinaten in zijn bewegingsvlak:

$$
L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .
$$

$\varphi$ is cyclisch, dus $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — het impulsmoment — blijft behouden: de perkenwet van Kepler, die het volume van jaar 1 uit de momentvergelijking afleidde, valt hier vanzelf uit vóór er ook maar één vergelijking is opgelost. De overblijvende radiale vergelijking is $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$, dat wil zeggen de eendimensionale beweging in de effectieve potentiaal $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ van dat volume.

**Stelling 1.13 (Stelling van Noether).**

Bij elke continue symmetrie van de [lagrangiaan](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) hoort een behouden grootheid. Nauwkeurig: laat de verschuiving $q_i \to q_i + \varepsilon\,K_i(q)$ de $L$ tot op eerste orde in $\varepsilon$ onveranderd voor alle bewegingen, dan is

$$
Q = \sum_i p_i\,K_i(q)
$$

constant langs elke werkelijke beweging. De homogeniteit van de ruimte (invariantie onder translatie) levert de impuls; de isotropie van de ruimte (invariantie onder rotatie) levert het impulsmoment; de homogeniteit van de tijd levert de energie ([Propositie 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)).

**Bewijs.** Invariantie tot op eerste orde betekent $0 = \delta L = \sum_i\big(\partial_{q_i}L\,K_i +
\partial_{\dot q_i}L\,\dot K_i\big)\varepsilon$. Op een werkelijke beweging is $\partial_{q_i}L = \dot p_i$ volgens Euler–Lagrange, dus het haakje is $\sum_i(\dot p_iK_i + p_i\dot K_i) = \dd Q/\dd t$. Een [cyclische coördinaat](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) is het bijzondere geval $K_i = \delta_{ij}$. Het geval van de tijdverschuiving vergt de aparte berekening van [Propositie 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy); de volledige stelling, voor transformaties die ook $t$ veranderen of $L$ met een totale afgeleide wijzigen, wordt in colleges over analytische mechanica bewezen en hier in die algemeenheid aangenomen. ∎

**Propositie 1.14 (De energiefunctie).**

Langs elke beweging voldoet de *[energiefunctie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)*

$$
h = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L
\qquad\text{aan}\qquad
\frac{\dd h}{\dd t} = -\frac{\partial L}{\partial t} .
$$

Hangt $L$ niet expliciet van de tijd af, dan blijft $h$ behouden. Bevatten bovendien de betrekkingen $\vect r(q)$ tussen posities en coördinaten de tijd niet — geen opgelegde rotatie, geen bewegende ophanging — dan is $E_k$ een kwadratische vorm in de $\dot q_i$ en geldt $h = E_k + E_p$: de mechanische energie. Bij een tijdafhankelijke [dwangvoorwaarde](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) blijft $h$ nog steeds behouden zodra $\partial L/\partial t = 0$, maar het is *niet* de energie: de motor die de [dwangvoorwaarde](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) afdwingt wisselt arbeid met het stelsel uit.

**Bewijs.** $\dd h/\dd t = \sum_i(\ddot q_ip_i + \dot q_i\dot p_i) -
\sum_i(\partial_{q_i}L\,\dot q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\ddot q_i) -
\partial_tL$. De termen in $\ddot q_i$ vallen weg; de [vergelijkingen van Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) maken van $\dot p_i$ een $\partial_{q_i}L$, wat het volgende paar wegstreept; $-\partial_tL$ blijft over. Is $E_k = \tfrac12\sum a_{jk}(q)\dot
q_j\dot q_k$, dan geeft de identiteit van Euler voor kwadratische vormen $\sum\dot
q_i\,\partial E_k/\partial\dot q_i = 2E_k$, dus $h = 2E_k - (E_k - E_p)
= E_k + E_p$. ∎

**Voorbeeld 1.15 (De draaiende hoepel bewaart hhh, niet EEE).**

Voor de kraal van [Voorbeeld 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) bevat $L$ geen expliciete $t$, dus $h = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}
(\theta)$ blijft behouden — maar de mechanische energie $E = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$ niet: $E = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ verandert terwijl de kraal glijdt. Het verschil is de arbeid van de motor die $\omega$ constant houdt terwijl de afstand van de kraal tot de as verandert.

## 1.4 Geladen deeltjes en kleine trillingen

**Propositie 1.16 (Lagrangiaan van een geladen deeltje).**

In een elektromagnetisch veld beschreven door de potentialen $V$ en $\vect A$ (met $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ en $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$, zoals in het volume van jaar 2) levert de [lagrangiaan](#def-b3-lagrangian-mechanics-action)

$$
L = \tfrac12 m\vect v^{\,2} - qV + q\,\vect v\cdot\vect A
$$

via de [vergelijkingen van Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) precies de lorentzkracht $m\dot{\vect v} = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. De magnetische kracht, die geen arbeid verricht en uit geen gewone potentiële energie volgt, komt binnen via een term lineair in de snelheid; de geconjugeerde impuls wordt $\vect p = m\vect v + q\vect A$, niet langer $m\vect v$ alleen.

**Bewijs.** Voor de $x$-component: $p_x = m\dot x + qA_x$, en $\partial_xL = -q\,\partial_xV + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. De vergelijking van Euler–Lagrange geeft $m\ddot x = -q\,\partial_xV -
q\,\dd A_x/\dd t + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. Langs de beweging is $\dd A_x/\dd t = \partial_tA_x + (\vect v\cdot\vect\nabla)A_x$, dus $m\ddot x = qE_x + q\big[\vect v\cdot\partial_x\vect A - (\vect v\cdot
\vect\nabla)A_x\big]$, en het haakje is de $x$-component van $\vect
v\wedge(\vect\nabla\wedge\vect A) = \vect v\wedge\vect B$ — werk beide uit ter controle. ∎

**Propositie 1.17 (Kleine trillingen en eigentrillingen).**

Nabij een stabiel evenwicht $q^{\text{eq}}$ ontwikkelen we $L$ tot op tweede orde in de uitwijkingen $u_i = q_i - q_i^{\text{eq}}$: $L \approx \tfrac12\sum m_{ij}\dot u_i\dot u_j -
\tfrac12\sum k_{ij}u_iu_j$ met constante symmetrische matrices. De bewegingsvergelijkingen zijn lineair, en elke beweging is een superpositie van *[eigentrillingen](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes)*: collectieve trillingen $u_i(t) = a_i\cos(\Omega t
+ \phi)$ waarin alle coördinaten met één gemeenschappelijke frequentie meebewegen, terwijl de amplitudes en de frequenties voldoen aan $\sum_j(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij})\,a_j = 0$ — een eigenwaardevraagstuk voor matrices, met $n$ modi voor $n$ [vrijheidsgraden](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates).

**Bewijs.** Lineaire termen verdwijnen in een evenwicht; de [vergelijkingen van Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) van de kwadratische $L$ luiden $\sum_jm_{ij}\ddot u_j = -\sum_jk_{ij}u_j$. Invullen van de proeftrilling geeft het genoemde lineaire stelsel, dat pas een amplitudevector ongelijk nul heeft wanneer $\det(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij}) = 0$: $n$ waarden van $\Omega^2$, alle positief in een stabiel evenwicht. Dat de algemene beweging een superpositie van de modi is, is de simultane diagonalisatie van twee kwadratische vormen, een resultaat uit de lineaire algebra van het wiskundevolume van jaar 2; de volledigheid wordt aangenomen. ∎

**Voorbeeld 1.18 (Twee slingers gekoppeld door een veer).**

Twee gelijke slingers (massa $m$, lengte $\ell$), met hun gewichten verbonden door een veer met veerconstante $k$ die ontspannen is als beide recht naar beneden hangen. Voor kleine hoeken geldt

$$
L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta_1^2 + \dot\theta_2^2)
 - \tfrac12 mg\ell(\theta_1^2 + \theta_2^2)
 - \tfrac12 k\ell^2(\theta_2 - \theta_1)^2 .
$$

De symmetrie suggereert de combinaties $s = \theta_1 + \theta_2$ en $d =
\theta_1 - \theta_2$, die de vergelijkingen ontkoppelen: de *modus in fase* ($\theta_1 = \theta_2$, veer werkloos) bij $\Omega_1 =
\sqrt{g/\ell}$, en de *modus in tegenfase* ($\theta_1 = -\theta_2$, veer dubbel gerekt) bij $\Omega_2 = \sqrt{g/\ell + 2k/m}$. Zet één slinger alleen in beweging — een gelijke menging van de twee modi — en de energie verhuist volledig van de ene slinger naar de andere en terug, met de zweeffrequentie $(\Omega_2 - \Omega_1)/2\pi$: de demonstratie met gekoppelde slingers, en het mechanisme achter elke resonante energieoverdracht, van afgestemde kringen tot moleculaire trillingen.

![De twee eigentrillingen van de gekoppelde slingers. In fase rekt de veer nooit uit en is de frequentie die van de vrije slinger; in tegenfase voelt elk gewicht de veer verdubbeld.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-e8e8b94ea031.svg)

*De twee [eigentrillingen](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) van de gekoppelde slingers. In fase rekt de veer nooit uit en is de frequentie die van de vrije slinger; in tegenfase voelt elk gewicht de veer verdubbeld.*

![Een dubbele slinger vastgelegd met een lange belichtingstijd: twee coördinaten, één lagrangiaan, en een beweging die geen formule lang vooruit voorspelt — het apparaat van de kleinste actie uit dit hoofdstuk schrijft de vergelijkingen; de chaos houdt hun oplossingen bescheiden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-8fd84e34147d.jpg)

*Een dubbele slinger vastgelegd met een lange belichtingstijd: twee coördinaten, één [lagrangiaan](#def-b3-lagrangian-mechanics-action), en een beweging die geen formule lang vooruit voorspelt — het apparaat van de [kleinste actie](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) uit dit hoofdstuk schrijft de vergelijkingen; de chaos houdt hun oplossingen bescheiden.*

## 1.5 Opgaven

**Oefening 1.1 ★.**

Tel de [vrijheidsgraden](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) en stel [gegeneraliseerde coördinaten](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) voor: (a) een deeltje aan de binnenkant van een vaste schaal; (b) een cilinder die zonder slippen langs een vast hellend vlak rolt; (c) een dubbele slinger waarvan het bovenste draaipunt over een horizontale rail schuift; (d) een halter (twee massa’s, starre staaf) in de ruimte; (e) twee kralen op dezelfde vaste cirkelvormige draad. Welke [dwangvoorwaarde](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) in deze lijst betreft snelheden in plaats van posities, en waarom is zij toch tot een holonome te integreren?

**Oplossing van Oefening 1.1.**

(a) 2 (twee hoeken op het oppervlak van de schaal). (b) 1: de abscis $x$ langs de helling, want de draaihoek ligt door het rollen aan haar vast, $x =
R\phi$. (c) 3: $X$, $\theta_1$, $\theta_2$. (d) 5: drie voor het middelpunt, twee voor de richting van de staaf. (e) 2: elk één hoek. De rolvoorwaarde is een betrekking tussen *snelheden*, $\dot x =
R\dot\phi$; in dit vlakke vraagstuk is zij meteen te integreren tot $x = R\phi +
\text{const}$, en dus holonoom. (Voor een bal die op een vlak rolt is zij niet integreerbaar, en heeft de lagrangiaanse mechanica een uitbreiding nodig.)

**Oefening 1.2 ★.**

Voor de vlakke slinger ([Voorbeeld 1.8](#ex-b3-lagrangian-mechanics-pendulum)): (a) controleer de dimensies van $L$ en van $p_\theta =
\partial L/\partial\dot\theta$; (b) benoem $p_\theta$ natuurkundig; (c) leid de periode voor kleine hoeken af; (d) bereken de [actie](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $S$ van één volledige kleine trilling met amplitude $\theta_0$ — en verklaar het antwoord vóór u rekent (wat is het tijdgemiddelde van $E_k - E_p$ voor een harmonische trilling?).

**Oplossing van Oefening 1.2.**

(a) $[L] = \mathrm{J}$; $[p_\theta] = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — een impulsmoment, want $\theta$ is dimensieloos. (b) $p_\theta =
m\ell^2\dot\theta$ is het impulsmoment van het gewicht om het draaipunt. (c) $\ddot\theta = -(g/\ell)\theta$ geeft $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$. (d) Met $E_p$ gemeten vanaf het evenwicht heeft een harmonische trilling gelijke tijdgemiddelde kinetische en potentiële energie, dus $\langle
L\rangle = 0$ en $S = 0$ over een hele periode — de berekening bevestigt het: $S = \int_0^T\tfrac12 m\ell^2\theta_0^2[\omega^2\sin^2
\omega t - (g/\ell)\cos^2\omega t]\,\dd t = 0$ omdat $\omega^2 =
g/\ell$.

**Oefening 1.3 ★.**

Een machine van Atwood: de massa’s $m_1$ en $m_2$ hangen aan een ideaal koord over een massaloze katrol. (a) Kies één coördinaat en schrijf $L$. (b) Bepaal de versnelling. (c) De aanpak van Newton had de spankracht nodig — waar is die gebleven? (d) Hoe zou u de spankracht terugvinden zodra de beweging bekend is?

**Oplossing van Oefening 1.3.**

(a) Zij $x$ de daling van $m_1$ (zodat $m_2$ met $x$ stijgt): $L =
\tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx$. (b) $(m_1 + m_2)\ddot x =
(m_1 - m_2)g$: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)$. (c) De spankracht grijpt aan beide uiteinden van een onrekbaar koord aan: in elke toegelaten verplaatsing heffen haar arbeiden elkaar op, dus komt zij nooit in $L$ voor. (d) Newton op $m_1$ alleen: $T =
m_1(g - a) = 2m_1m_2g/(m_1 + m_2)$.

**Oefening 1.4 ★.**

Een vrij deeltje in cilindercoördinaten: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 +
r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2)$. (a) Welke coördinaten zijn cyclisch, en welke impulsen blijven behouden? (b) Waarom blijft $p_r$ *niet* behouden, hoewel er geen kracht werkt? (c) Schrijf de vergelijking van Euler–Lagrange voor $r$ op en duid de term $mr\dot\varphi^2$. (d) Ga na dat een rechte lijn met constante snelheid eraan voldoet.

**Oplossing van Oefening 1.4.**

(a) $\varphi$ en $z$: $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ (het impulsmoment om de as) en $p_z = m\dot z$ blijven behouden. (b) $r$ komt in $L$ voor via $r^2\dot\varphi^2$ en is dus niet cyclisch: $\dot p_r =
mr\dot\varphi^2 \neq 0$. Daar is niets mis mee — $p_r = m\dot r$ is de radiale component van een constante vector $\vect p$, en een component langs een *draaiende* richting hoeft niet constant te zijn. (c) $m\ddot r =
mr\dot\varphi^2$: de centrifugale term, de prijs van coördinaten die aan draaiende richtingen vastzitten. (d) Voor een lijn op afstand $b$ met snelheid $v$ doorlopen: $r = \sqrt{b^2 + v^2t^2}$, $r^2\dot\varphi = bv$; dan is $\ddot r = b^2v^2/r^3 = r(bv/r^2)^2 = r\dot\varphi^2$.

**Oefening 1.5 ★★.**

Een blok met massa $m$ glijdt over het wrijvingsloze vlak (hoek $\alpha$) van een wig met massa $M$, die zelf vrij over een wrijvingsloze vloer kan schuiven. (a) Kies twee coördinaten: de abscis $X$ van de wig en de afstand $s$ die het blok langs het vlak heeft afgelegd; schrijf $L$. (b) Welke coördinaat is cyclisch, en welke behoudswet drukt zij uit? (c) Bepaal de twee versnellingen. (d) Toets de limieten $M \to \infty$ en $\alpha \to
90^\circ$.

**Oplossing van Oefening 1.5.**

(a) Positie van het blok $(X + s\cos\alpha,\ -s\sin\alpha)$, dus

$$
L = \tfrac12 M\dot X^2 + \tfrac12 m\big(\dot X^2 +
2\dot X\dot s\cos\alpha + \dot s^2\big) + mgs\sin\alpha .
$$

(b) $X$ is cyclisch: $P = (M + m)\dot X + m\dot s\cos\alpha$ blijft behouden — de totale horizontale impuls, want er werkt geen uitwendige horizontale kracht. (c) De vergelijking voor $s$ luidt $\ddot s + \ddot
X\cos\alpha = g\sin\alpha$; met $\ddot X = -m\ddot s\cos\alpha/(M +
m)$ uit (b),

$$
\ddot s = \frac{(M + m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha} , \qquad
\ddot X = -\frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha} .
$$

(d) $M \to \infty$: $\ddot s \to g\sin\alpha$, het vaste hellend vlak; $\alpha \to 90^\circ$: $\ddot s \to g$, $\ddot X \to 0$ — vrije val langs een verticale wand, zonder duw tegen de wig.

**Oefening 1.6 ★★.**

De bolslinger: een gewicht aan een staaf met lengte $\ell$, vrij in beide hoeken ($\theta$ vanaf de neerwaartse verticaal, $\varphi$ eromheen). (a) Schrijf $L$. (b) Benoem de [cyclische coördinaat](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) en de behouden $p_\varphi$. (c) Herleid de beweging van $\theta$ tot een effectieve potentiaal en schets die. (d) Vind voor de kegelbeweging $\theta =
\theta_0$ de betrekking $\cos\theta_0 =
g/\ell\omega^2$ van de kegelslinger uit het volume van jaar 1 terug.

**Oplossing van Oefening 1.6.**

(a) $L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2) +
mg\ell\cos\theta$. (b) $\varphi$ is cyclisch: $p_\varphi =
m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$, het verticale impulsmoment. (c) Na eliminatie van $\dot\varphi$ blijft $\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 +
U_{\text{eff}}(\theta)$ behouden, met

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = \frac{p_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta}
 - mg\ell\cos\theta :
$$

een wand bij $\theta = 0$ en $\theta = \pi$ (voor $p_\varphi \neq 0$) met één minimum ertussen — het gewicht nutateert tussen twee cirkels. (d) In het minimum is $\dot\theta = 0$ met $\theta = \theta_0$ constant: $p_\varphi^2\cos\theta_0/m\ell^2\sin^3\theta_0 = mg\ell\sin\theta_0$; invullen van $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta_0\,\omega$ geeft $\ell\omega^2\cos\theta_0 = g$.

**Oefening 1.7 ★★.**

Een slinger (massa $m$, lengte $\ell$) hangt aan een wagentje met massa $M$ dat vrij over een horizontale rail rolt. (a) Schrijf met de coördinaten $X$ (wagentje) en $\theta$ de [lagrangiaan](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $L$ op. (b) Wat blijft behouden, en waarom natuurkundig? (c) Lineariseer voor kleine $\theta$ en toon aan dat de trillingsfrequentie $\Omega = \sqrt{(1 + m/M)\,g/\ell}$ bedraagt. (d) Verklaar de limieten $M \to
\infty$ en $M \to 0$ — waarom *verhoogt* een licht wagentje de frequentie?

**Oplossing van Oefening 1.7.**

(a) Gewicht in $(X + \ell\sin\theta,\ -\ell\cos\theta)$:

$$
L = \tfrac12(M + m)\dot X^2 + m\ell\cos\theta\,\dot X\dot\theta
 + \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta .
$$

(b) $X$ is cyclisch: $(M + m)\dot X + m\ell\cos\theta\,\dot\theta$ blijft behouden — de horizontale impuls van het hele stelsel (de rail duwt alleen verticaal). (c) Kleine hoeken: $(M + m)\ddot X +
m\ell\ddot\theta = 0$ en $\ell\ddot\theta + \ddot X + g\theta = 0$; na eliminatie van $\ddot X$ is $\ell\ddot\theta\,[1 - m/(M + m)] = -g\theta$, dus $\Omega^2 = (M + m)g/M\ell = (1 + m/M)\,g/\ell$. (d) $M \to \infty$: het vaste draaipunt, $\Omega^2 = g/\ell$. Kleine $M$: het wagentje wijkt tegengesteld aan het gewicht terug, de slingerbeweging verloopt om een punt tussen beide (het vaste massamiddelpunt), wat de effectieve slinger verkort — vandaar de hogere frequentie, die divergeert als $M \to 0$.

**Oefening 1.8 ★★.**

Een deeltje met lading $q$ in een uniform veld $\vect B = B\vect e_z$, beschreven door $\vect A = \tfrac12\vect B\wedge\vect r$. (a) Schrijf $L$ in cartesische coördinaten. (b) Leid de bewegingsvergelijkingen af en ga na dat zij de cyclotroncirkel bij $\omega_{\text{c}} = qB/m$ beschrijven. (c) Bereken de geconjugeerde impulsen $p_x$ en $p_y$: zijn zij $m\dot x$ en $m\dot y$? Blijven zij behouden? (d) Toon aan dat $L$ in cilindercoördinaten $\varphi$ cyclisch heeft, en benoem de behouden $p_\varphi$ voor een cirkel met de as als middelpunt.

**Oplossing van Oefening 1.8.**

(a) $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$: $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qB(x\dot y -
y\dot x)$. (b) De vergelijking voor $x$: $\dd(m\dot x - \tfrac12 qBy)/\dd t =
\tfrac12 qB\dot y$, dat wil zeggen $m\ddot x = qB\dot y$; evenzo $m\ddot y =
-qB\dot x$: cirkelbeweging bij $\omega_{\text{c}} = qB/m$, met $\dot z$ constant. (c) $p_x = m\dot x - \tfrac12 qBy \neq m\dot x$; noch $x$ noch $y$ is cyclisch ($\partial L/\partial x = \tfrac12 qB\dot y$), dus blijft geen van beide impulsen behouden — alleen combinaties als $m\dot x -
qBy$ (ga na dat de afgeleide ervan verdwijnt). (d) In cilindercoördinaten is $A_\varphi = \tfrac12 Br$: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2) + \tfrac12
qBr^2\dot\varphi$; $\varphi$ is cyclisch, $p_\varphi = mr^2\dot\varphi +
\tfrac12 qBr^2$. Op een cirkel met straal $R$ rond de as is $\dot\varphi = -\omega_{\text{c}}$, dus $p_\varphi = -qBR^2 + \tfrac12
qBR^2 = -\tfrac12 qBR^2$.

**Oefening 1.9 ★★.**

Voor de kraal op de draaiende hoepel ([Voorbeeld 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop)): (a) bereken de [energiefunctie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ en ga met de bewegingsvergelijking na dat zij behouden blijft; (b) bereken de mechanische energie $E$ en toon aan dat $E - h =
m\omega^2R^2\sin^2\theta$; (c) bepaal het vermogen dat de motor levert als functie van $\theta$ en $\dot\theta$; (d) bepaal de frequentie van [kleine trillingen](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) om het gekantelde evenwicht wanneer $\omega^2 > g/R$, en toon aan dat zij naar nul gaat als $\omega^2 \to g/R$ — de vertraging die de splitsing van de put aankondigt.

**Oplossing van Oefening 1.9.**

(a) $h = \dot\theta\,\partial L/\partial\dot\theta - L = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}$; $\dd h/\dd t =
\dot\theta\,[mR^2\ddot\theta + U_{\text{eff}}'(\theta)] = 0$ volgens de bewegingsvergelijking. (b) $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12
m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = h +
m\omega^2R^2\sin^2\theta$. (c) $P = \dd E/\dd t =
m\omega^2R^2\sin2\theta\,\dot\theta$: positief zolang de kraal van de as weg klimt (de motor werkt tegen de traagheid van de kraal in), negatief op de terugweg. (d) $U_{\text{eff}}'' = mgR\cos\theta -
m\omega^2R^2\cos2\theta$; bij $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$ is dit $m\omega^2R^2\sin^2\theta_{\text{eq}}$, dus $\omega_{\text{osc}} = \omega\sin\theta_{\text{eq}} = \omega\sqrt{1 -
(g/\omega^2R)^2} \to 0$ als $\omega^2 \to g/R$: de terugdrijvende kracht vervlakt precies wanneer de putten samenvloeien.

**Oefening 1.10 ★★★.**

De gelijkbenige dubbele slinger ($m_1 = m_2 = m$, $\ell_1 = \ell_2 = \ell$). (a) Toon aan dat voor kleine hoeken $L = \tfrac12 m\ell^2(2\dot\theta_1^2 +
2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(2
\theta_1^2 + \theta_2^2)$. (b) Schrijf de twee bewegingsvergelijkingen op. (c) Bepaal de eigenfrequenties $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\,g/\ell$ en de vorm van elke modus ($\theta_2 = \pm\sqrt2\,\theta_1$). (d) Bij grote amplitude is dit stelsel een standaardvoorbeeld van chaos: leg in enkele regels uit wat de analyse voor kleine hoeken breekt, en waarom er geen enkele behoudswet verloren gaat.

**Oplossing van Oefening 1.10.**

(a) Posities $x_2 = \ell(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$ enzovoort; houden we de kwadratische termen, dan is de gemengde snelheidsterm $m\ell^2\dot\theta_1\dot\theta_2$, wat de vermelde $L$ geeft. (b) $2\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -2\omega_0^2\theta_1$ en $\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -\omega_0^2\theta_2$, met $\omega_0^2
= g/\ell$. (c) Invullen van $\theta_i = a_i\cos\Omega t$: $\det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\Omega^2 & -\Omega^2\\ -\Omega^2 &
\omega_0^2 - \Omega^2\end{pmatrix} = \Omega^4 - 4\omega_0^2\Omega^2 +
2\omega_0^4 = 0$, dus $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\omega_0^2$; de tweede regel geeft $a_2/a_1 = \Omega^2/(\omega_0^2 - \Omega^2) =
\pm\sqrt2$: de gewichten samen (trage modus), de gewichten tegengesteld (snelle modus). (d) Bij grote amplitude maken de koppelingen in $\sin$ en $\cos$ de vergelijkingen niet-lineair; oplossingen zijn niet meer superponeerbaar, en naburige begincondities lopen exponentieel uiteen (chaos). De energie blijft nog steeds exact behouden — $L$ bevat de tijd niet expliciet — chaos gaat over voorspelbaarheid, niet over behoud.

**Oefening 1.11 ★★★.**

*De brachistochroon.* Een kraal glijdt zonder wrijving vanuit rust in de oorsprong langs een kromme $y(x)$ ($y$ naar beneden) naar een punt $(a, b)$. (a) Toon met behoud van energie aan dat de daaltijd $T =
\int_0^a\sqrt{(1 + y'^2)/2gy}\,\dd x$ bedraagt — een functionaal, waarin $x$ de rol van de tijd speelt. (b) De integrand $F(y, y')$ bevat geen expliciete $x$: toon aan dat $h = y'\,\partial F/\partial y' - F$ constant is langs de optimale kromme (dezelfde berekening als in [Propositie 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (c) Leid $y(1 + y'^2) =
2r$ af voor een constante $r$, en ga na dat de cycloïde $x = r(\phi -
\sin\phi)$, $y = r(1 - \cos\phi)$ eraan voldoet. (d) Toon aan dat de kraal er $\pi\sqrt{r/g}$ over doet om de onderkant van één boog te bereiken, en vergelijk met de rechte glijbaan naar hetzelfde punt.

**Oplossing van Oefening 1.11.**

(a) $v = \sqrt{2gy}$ en $\dd s = \sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ leveren de functionaal. (b) De berekening van [Propositie 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) met $x$ in de rol van de tijd: $\dd
h/\dd x = -\partial F/\partial x = 0$. (c) $h = -1/\sqrt{2gy(1 +
y'^2)}$, dus $y(1 + y'^2) = 2r$. Voor de cycloïde is $y' =
\sin\phi/(1 - \cos\phi)$ en $1 + y'^2 = 2/(1 - \cos\phi)$, dus $y(1 + y'^2) = 2r$. (d) $\dd t = \dd s/v = \sqrt{r/g}\,\dd\phi$ (alle afhankelijkheid van $\phi$ valt weg), dus wordt het laagste punt ($\phi = \pi$) bereikt in $\pi\sqrt{r/g}$ — vanaf welk beginpunt ook: de cycloïde is tevens de tautochroon. De rechte glijbaan naar $(\pi r, 2r)$ kost $\sqrt{\pi^2
+ 4}\,\sqrt{r/g} \approx 3.72\sqrt{r/g}$, zo’n $18\%$ meer dan $\pi\sqrt{r/g}$.

**Oefening 1.12 ★★★.**

*Fermat als [kleinste actie](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange).* Licht in een middenstof met index $n(y)$ legt de weg tussen twee punten in de kortste tijd af (volume van jaar 2). (a) Toon aan dat de looptijd langs $y(x)$ gelijk is aan $T = \tfrac1c\int n(y)\sqrt{1 +
y'^2}\,\dd x$. (b) Omdat de integrand geen expliciete $x$ bevat, gebruikt u de behouden $h$ van de vorige opgave om aan te tonen dat $n(y)\big/\sqrt{1 +
y'^2} = \text{const}$, en ga na dat dit de wet van Snellius $n\sin i =
\text{const}$ is voor een straal gemeten vanaf de verticaal. (c) Boven een heet wegdek groeit de index met de hoogte als $n(y) \approx n_0(1 + \beta y)$; toon aan dat een bijna horizontale straal buigt met kromtestraal $R \approx
1/\beta$. (d) Vanaf welke afstand ziet een bestuurder met de ogen op $1.2\,\mathrm{m}$ boven het wegdek de “waterplas” als luchtspiegeling, met $\beta = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$?

**Oplossing van Oefening 1.12.**

(a) $\dd t = \dd s/(c/n)$. (b) $h = -n(y)/\sqrt{1 + y'^2}$ blijft behouden; $1/\sqrt{1 + y'^2} = \cos\theta$ (met $\theta$ de hellingshoek) $= \sin i$ voor $i$ vanaf de verticaal: $n\sin i = \text{const}$ — de wet van Snellius, continu toegepast. (c) Voor een bijna horizontale straal geeft $n\cos\theta \approx \text{const}$ met kleine $\theta$ dat $\theta\,\dd\theta = \dd n/n \approx \beta\,\dd y$; omdat $\dd y =
\theta\,\dd x$, is de kromming $\dd\theta/\dd x = \beta$, dus $R =
1/\beta \approx 83\,\mathrm{km}$, met een buiging *omhoog* (naar grotere $n$). (d) Een straal vanuit het oog die na die kromming met straal $R$ rakend aan het wegdek loopt, raakt het op $d = \sqrt{2hR} = \sqrt{2 \times 1.2 \times
8.3e4} \approx 450\,\mathrm{m}$: verder dan die afstand ziet men het wegdek zelf niet — men ziet omhoog gebroken hemel, de glinsterende “waterplas”.

![De slinger van Foucault in het Panthéon te Parijs. Gegeneraliseerde coördinaten, een dwangvoorwaarde en een langzaam draaiend assenstelsel: de rotatie van de zaal duikt op in de bewegingsvergelijkingen — en de drift van het slingervlak laat een kelder de omwenteling van de aarde meten. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-d1d827b23d7c.jpg)

*De slinger van Foucault in het Panthéon te Parijs. [Gegeneraliseerde coördinaten](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates), een [dwangvoorwaarde](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) en een langzaam draaiend assenstelsel: de rotatie van de zaal duikt op in de bewegingsvergelijkingen — en de drift van het slingervlak laat een kelder de omwenteling van de aarde meten. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.*

## 1.6 Vraagstuk: De bezem die op zijn kop blijft staan

**Probleem 1.1.**

Weekendvraagstuk — De omgekeerde slinger van Kapitza

Een starre slinger kan stabiel *boven* zijn draaipunt staan wanneer dat draaipunt snel genoeg op en neer wordt geschud — een verschijnsel dat Kapitza in 1951 analyseerde, opvallend genoeg om op een goocheltruc te lijken, en het beginsel waarmee oscillerende elektrische velden losse ionen vangen. We modelleren de slinger als een puntmassa $m$ aan het uiteinde van een massaloze starre staaf met lengte $\ell = 40\,\mathrm{cm}$; $\theta$ is de hoek vanaf de *neerwaartse* verticaal en $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Deel I — De starre slinger.** Het draaipunt wordt eerst vastgehouden.

1. Schrijf de [lagrangiaan](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) en de bewegingsvergelijking op.
2. Geef de frequentie $f_0$ van [kleine trillingen](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) om $\theta =  0$ , en haar waarde.
3. Toon aan dat hier $h = E$ geldt, en gebruik het behoud ervan om de minimale beginsnelheid van het gewicht onderaan te vinden die het tot de top brengt.
4. Lineariseer de vergelijking nabij $\theta = \pi$ (stel $\theta = \pi +  \epsilon$ ) en toon aan dat $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : hoe snel groeit een aanvankelijke helling van een milligraad? Geef de tijd waarin zij met een factor $e$ groeit.
5. Een bezem op een vingertop valt in ongeveer een seconde om en blijft toch nooit alleen staan: zeg in één zin wat de gelineariseerde vergelijking over het evenwicht $\theta = \pi$ zegt.

**Deel II — Het draaipunt geschud.** Het draaipunt trilt nu verticaal, met hoogte $y_{\text{s}}(t) =
a\cos\Omega t$, waarbij $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ en $\Omega$ instelbaar is.

6. Schrijf de coördinaten van het gewicht op en toon aan dat $\vect v^{\,2} = \ell^2\dot\theta^2 -  2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta +  a^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ .
7. Toon aan dat twee lagrangianen die een totale tijdsafgeleide $\dd F(q,t)/\dd t$ verschillen, dezelfde [vergelijkingen van Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) geven.
8. Herleid de [lagrangiaan](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) met deze vrijheid tot $L = \tfrac12 m  \ell^2\dot\theta^2 - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta +  mg\ell\cos\theta$ . (Aanwijzing: $\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ vormt samen met een term $\cos(\Omega t)\cos\theta$ een totale afgeleide; termen die alleen van $t$ afhangen mogen vervallen.)
9. Leid de bewegingsvergelijking af $$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta  + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos(\Omega t)\sin\theta .$$ Duid de tweede term als het vervangen van de zwaartekracht door $g +  \ddot y_{\text{s}}$: de slinger zit in een lift.
10. Blijft de [energiefunctie](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ nu behouden? En de energie? Wat pompt er energie in en uit?
11. In het regime van Kapitza geldt $a \ll \ell$ en $\Omega \gg \omega_0 =  \sqrt{g/\ell}$ : ga dit na voor $a = 2\,\mathrm{cm}$ , $\ell =  40\,\mathrm{cm}$ en $\Omega/2\pi = 40\,\mathrm{Hz}$ , en leg natuurkundig uit waarom het gewicht de aandrijving dan niet kan volgen.

**Deel III — Snel en traag gescheiden.** Zoek de beweging als $\theta(t) = \Theta(t) + \xi(t)$: een trage drift $\Theta$ plus een kleine rimpel $\xi$ op de aandrijffrequentie.

12. Toon aan, door aan weerszijden alleen de grootste term te houden, dat de rimpel voldoet aan $\ddot\xi \approx +(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)  \sin\Theta$ , met $\Theta$ bevroren op de tijdschaal van de aandrijving.
13. Leid $\xi(t) = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ af en ga na dat de amplitude ervan klein is, van de orde $a/\ell$ .
14. Ontwikkel $\sin\theta = \sin(\Theta + \xi)$ tot op eerste orde in $\xi$ en vul dit in de bewegingsvergelijking in.
15. Middel over één aandrijfperiode, met $\Theta$ vastgehouden: toon met $\langle\cos\Omega t\rangle = 0$ en $\langle\cos^2\Omega t\rangle = \tfrac12$ aan dat $$\ddot\Theta = -\frac{g}{\ell}\sin\Theta  - \frac{a^2\Omega^2}{2\ell^2}\sin\Theta\cos\Theta .$$
16. Toon aan dat dit een beweging in de effectieve potentiaal is $$U_{\text{eff}}(\Theta) = mg\ell\Big({-\cos\Theta}  + \frac{a^2\Omega^2}{4g\ell}\sin^2\Theta\Big) .$$
17. Vergelijk met de kraal op de draaiende hoepel ( [Voorbeeld 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) ): dezelfde wiskunde, maar het tegengestelde teken van de nieuwe term — wat doet het schudden met het *onderste* evenwicht dat de rotatie niet deed?
18. Schets $U_{\text{eff}}$ voor trage en voor snelle aandrijving, en beschrijf in elk geval elk evenwicht en zijn stabiliteit.

**Deel IV — De bezem gaat staan.**

19. Ontwikkel $U_{\text{eff}}$ nabij $\Theta = \pi$ en toon aan dat de omgekeerde stand precies stabiel is wanneer $$a^2\Omega^2 > 2g\ell .$$
20. Bereken de kritische aandrijffrequentie $f_{\text{c}} =  \Omega_{\text{c}}/2\pi$ voor onze slinger, en de piekwaarden van de snelheid $a\Omega_{\text{c}}$ en de versnelling $a\Omega_{\text{c}}^2$ (in eenheden van $g$ ) die zij van het draaipunt eist.
21. Bepaal bij $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ de frequentie van het trage wiegen van de staande slinger om $\Theta = \pi$ , en haar waarde; ga na dat zij inderdaad traag is vergeleken met de aandrijving.
22. Nog steeds bij $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ : hoe groot is de rimpelamplitude $\xi$ in graden bij een $\Theta$ iets naast $\pi$ , voor $a/\ell = 0.05$ ? Zou een foto de truc verraden?
23. Hoever mag de bezem uit de verticaal hellen en toch terugkeren? Toon aan dat de staande put zich uitstrekt over $|\Theta - \pi| <  \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ , en evalueer dit bij $\Omega =  2\Omega_{\text{c}}$ .
24. Een jongleur die een bezem op een stilstaande vingertop balanceert houdt hem ook overeind — met welk geheel ander mechanisme? Noem het kenmerk van de slinger van Kapitza dat geen terugkoppeling nodig heeft.
25. Vat het genoemde resultaat samen: een draaipunt dat met amplitude $2\,\mathrm{cm}$ bij $45\,\mathrm{Hz}$ wordt geschud — tweemaal de kritische frequentie — houdt een slinger van $40\,\mathrm{cm}$ ondersteboven, in een put die tot zo’n $75^\circ$ uit de verticaal reikt en die zachtjes wiegt bij ongeveer $1.4\,\mathrm{Hz}$ . Waar in de natuurkunde wordt dezelfde uitgemiddelde vangst gebruikt om één geladen deeltje vast te houden?

**Oplossing van Probleem 1.1.**

**1.** $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$; $\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta$. **2.** $f_0 = \sqrt{g/\ell}/2\pi = 0.79\,\mathrm{Hz}$. **3.** De ophanging staat vast, dus $h = E = \tfrac12
m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$; van onder naar boven geldt $\tfrac12
mv^2 = 2mg\ell$: $v = 2\sqrt{g\ell} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **4.** $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$: $\epsilon \propto
\eu^{t/\tau}$ met $\tau = \sqrt{\ell/g} = 0.20\,\mathrm{s}$. **5.** Het omgekeerde evenwicht bestaat, maar is exponentieel onstabiel: elke helling, hoe klein ook, vermenigvuldigt zich elke $0.2\,\mathrm{s}$ met $e$. **6.** Gewicht in $(\ell\sin\theta,\ a\cos\Omega t - \ell\cos\theta)$; differentiëren en kwadrateren geeft de vermelde $\vect v^{\,2}$, met de gemengde term $-2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$. **7.** Is $L' = L + \dd F(q,t)/\dd t$, dan verandert de [actie](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) met $F(q_2, t_2) - F(q_1, t_1)$, een constante onder variaties met vaste eindpunten: dezelfde stationaire paden, dezelfde vergelijkingen. **8.** De gemengde term is $-ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,
\dot\theta = \dd[ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\cos\theta]/\dd t -
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta$; laten we de totale afgeleide en de termen in $t$ alleen vallen ($\tfrac12 ma^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ en $-mga\cos\Omega t$), dan blijft de vermelde $L$ over. **9.** $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta +
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\sin\theta$. Omdat $\ddot y_{\text{s}} =
-a\Omega^2\cos\Omega t$, is dit $\ddot\theta =
-[(g + \ddot y_{\text{s}})/\ell]\sin\theta$: in het assenstelsel van het draaipunt trilt de schijnbare zwaartekracht. **10.** $L$ hangt nu expliciet van $t$ af: $h$ blijft niet behouden en $E$ evenmin — de schudder voert via het draaipunt energie aan en af. **11.** $a/\ell = 0.05$; $\Omega = 251\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ tegen $\omega_0 = 4.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: verhouding $51$. In één aandrijfperiode ($25\,\mathrm{ms}$) verandert de zwaartekracht $\dot\theta$ nauwelijks: het gewicht is te traag om te volgen en trilt alleen mee. **12.** $\ddot\xi$ is de grootste afgeleide ($\propto\Omega^2$) en de aandrijving de grootste krachtterm: $\ddot\xi =
(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$. **13.** Tweemaal integreren bij vaste $\Theta$: $\xi =
-(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$, met een amplitude van hoogstens $a/\ell =
0.05$: een trilling van twee graden. **14.** $\sin\theta \approx \sin\Theta + \xi\cos\Theta$, dus

$$
\ddot\Theta + \ddot\xi = -\frac{g}{\ell}(\sin\Theta + \xi\cos\Theta)
 + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos\Omega t\,(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) .
$$

**15.** Middelen doodt $\ddot\xi$, $\langle\cos\Omega t\rangle$ en $\langle\xi\rangle$; de overlevende gemengde term is $(a\Omega^2/\ell)\cos\Theta\,\langle\xi\cos\Omega t\rangle =
-(a^2\Omega^2/2\ell^2)\sin\Theta\cos\Theta$, wat de vermelde vergelijking voor $\Theta$ geeft. **16.** $\ddot\Theta = -(1/m\ell^2)\,U_{\text{eff}}'(\Theta)$ met $U_{\text{eff}} = mg\ell[-\cos\Theta + (a^2\Omega^2/4g\ell)
\sin^2\Theta]$ — differentieer ter controle. **17.** Dezelfde term in $\sin^2$ als bij de hoepel, maar met het *tegengestelde* teken: de rotatie groef putten op de flanken en kon de bodem alleen vlakker maken; het verticale schudden maakt de put onderaan juist stijver en graaft een nieuwe put *bovenaan*. **18.** Trage aandrijving ($a^2\Omega^2 < 2g\ell$): minimum bij $\Theta =
0$, maximum bij $\pi$ — niets nieuws. Snelle aandrijving: minima bij $0$ *en* $\pi$, gescheiden door maxima bij $\cos\Theta^* =
-2g\ell/a^2\Omega^2$; zowel de hangende als de staande slinger trilt stabiel. **19.** Nabij $\pi$, met $\Theta = \pi + \epsilon$: $\ddot\epsilon = [g/\ell - a^2\Omega^2/2\ell^2]\,\epsilon$; stabiliteit vergt een negatief haakje: $a^2\Omega^2 > 2g\ell$. **20.** $\Omega_{\text{c}} = \sqrt{2g\ell}/a = 140\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $f_{\text{c}} = 22\,\mathrm{Hz}$; pieksnelheid $a\Omega_{\text{c}} =
2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, piekversnelling $a\Omega_{\text{c}}^2 =
392\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 40g$. **21.** $\omega_{\text{traag}} = \sqrt{a^2\Omega^2/2\ell^2 -
g/\ell}$; bij $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ is $a^2\Omega^2 = 8g\ell$, dus $\omega_{\text{traag}} = \sqrt{3g/\ell} = 8.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $1.4\,\mathrm{Hz}$, dertig keer trager dan de aandrijving van $45\,\mathrm{Hz}$. **22.** $\xi_{\max} = (a/\ell)\sin\Theta$: bij $10^\circ$ uit de verticaal is $\xi_{\max} = 0.05\sin170^\circ = 8.7\,\mathrm{mrad}
\approx 0.5^\circ$ — op een gewone foto staat de bezem doodstil. **23.** De staande put reikt tot de flankerende maxima: $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$; bij $\Omega =
2\Omega_{\text{c}}$ is $\arccos\tfrac14 = 75^\circ$ — een opmerkelijk vergevingsgezinde put. **24.** De jongleur gebruikt terugkoppeling: de ogen meten de helling, de hand versnelt zijwaarts om haar op te heffen. De stabilisatie van Kapitza werkt in open lus — de aandrijving weet nooit waar de slinger staat. **25.** Geschud met $45\,\mathrm{Hz}$ en een amplitude van $2\,\mathrm{cm}$ staat de slinger van $40\,\mathrm{cm}$ omgekeerd in een put van $75^\circ$ en wiegt hij met $1.4\,\mathrm{Hz}$. Dezelfde uitgemiddelde effectieve potentiaal, gemaakt met een oscillerend elektrisch quadrupoolveld in plaats van een geschud draaipunt, sluit losse ionen op in de val van Paul — het werkpaard van atoomklokken en van kwantumcomputers met gevangen ionen.