---
title: "Verstrooiingstheorie"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 3"
subject: physics
language: nl
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/15-verstrooiingstheorie
---

# Hoofdstuk 15 — Verstrooiingstheorie

Vrijwel alles wat we over het kleine weten is geleerd door er iets tegenaan te gooien en te kijken wat er terugkaatst. Rutherford ontdekte de atoomkern door lichtflitsen van alfadeeltjes op een scherm van zinksulfide te tellen; vijftig jaar later vond dezelfde proef, met elektronen van hogere energie uitgevoerd, quarks in het proton; daartussen en sindsdien is elke [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) in de kernfysica, de deeltjesfysica, de atoomfysica en de fysica van de gecondenseerde materie door de theorie van dit hoofdstuk gelezen. De taal is de *[werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section)* — een effectief trefoppervlak; het kwantumobject is de *[verstrooiingsamplitude](#thm-b3-scattering-theory-amplitude)*, wier [bornbenadering](#thm-b3-scattering-theory-born) iets onvergetelijks zegt: een uitgesmeerd trefdeeltje wordt in de fourierruimte afgetast, hoek voor hoek. Bij lage energie nemen de [partiële golven](#thm-b3-scattering-theory-partial) het over en storten zij elke ingewikkelde potentiaal in tot één getal — de [verstrooiingslengte](#thm-b3-scattering-theory-partial) — waarmee vandaag ultrakoude kwantumgassen worden afgestemd; en waar een projectiel in een quasigebonden toestand kan blijven hangen, piekt de [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) in resonanties, de spectroscopie van het anders onzichtbare.

## 15.1 Werkzame doorsneden

**Definitie 15.1 (Werkzame doorsnede).**

Stuur een uniforme bundel met flux $\Phi$ (deeltjes per eenheid van oppervlak per seconde) op één trefdeeltje af. Het tempo waarmee projectielen in de ruimtehoek $\dd\Omega$ rond de richting $(\theta,
\varphi)$ verstrooien definieert de *differentiële werkzame doorsnede*,

$$
\dd\dot N = \Phi\,\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\,\dd\Omega ,
$$

en haar integraal $\sigma = \int(\dd\sigma/\dd\Omega)\,\dd\Omega$ is de *totale werkzame doorsnede*: het oppervlak dat het trefdeeltje effectief aanbiedt. Voor een dunne plak met $n$ trefdeeltjes per eenheid van volume verzwakt een bundel als $\eu^{-n\sigma x}$: werkzame doorsneden worden gemeten door te tellen wat eruit komt. Eenheden: de kernfysica gebruikt de *barn*, $1\,\mathrm{b} = 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ — ongeveer de meetkundige afmeting van een uraniumkern, “zo groot als een schuur” voor een neutron.

![De verstrooiingsproef: een vlakke golf erin, een bolgolf eruit, en een detector onder de hoek die telt. Het hoekpatroon van de tellingen is de natuurkunde van het trefdeeltje.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-c4133a29e4ff.svg)

*De verstrooiingsproef: een vlakke golf erin, een bolgolf eruit, en een detector onder de hoek $\theta$ die telt. Het hoekpatroon van de tellingen is de natuurkunde van het trefdeeltje.*

## 15.2 De amplitude en de bornbenadering

**Stelling 15.2 (Verstrooiingstoestanden en de amplitude).**

Voor een deeltje met energie $E = \hbar^2k^2/2m$ dat een gelokaliseerde potentiaal $V(\vect r)$ ontmoet, gedraagt de stationaire verstrooiingstoestand zich op grote afstand als

$$
\psi(\vect r) \;\longrightarrow\;
\eu^{\iu kz} + f(\theta)\,\frac{\eu^{\iu kr}}{r} ,
$$

een invallende vlakke golf plus een uitgaande bolgolf gemoduleerd door de *[verstrooiingsamplitude](#thm-b3-scattering-theory-amplitude)* $f(\theta)$ (een lengte), en

$$
\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = |f(\theta)|^2 .
$$

**Gedeeltelijk bewijs.** Door de afname als $1/r$ blijft de uitgaande flux door elke grote bol eindig; berekenen we de waarschijnlijkheidsstromen ([Propositie 7.2](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/7-de-schrodingervergelijking-in-drie-dimensies#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-current)) van de twee termen, dan is de uitgaande radiale stroom per ruimtehoek $(\hbar k/m)|f|^2$ tegen de invallende flux $\hbar k/m$: de verhouding is de definitie van $\dd\sigma/\dd\Omega$. Dat er oplossingen met deze asymptotische vorm bestaan, wordt aangenomen. ∎

**Stelling 15.3 (Bornbenadering).**

Voor een zwakke potentiaal (of een snel projectiel) geeft de [storingsrekening](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/13-storingsrekening#thm-b3-perturbation-theory-corrections) van eerste orde in $V$

$$
f(\theta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}
\int V(\vect r)\,\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}\,\dd^3r ,
\qquad
\vect q = \vect k - \vect k' , \quad
q = 2k\sin\frac\theta2 :
$$

is de amplitude, op constanten na, de *fouriergetransformeerde van de potentiaal* geëvalueerd bij de [impulsoverdracht](#thm-b3-scattering-theory-born) $\hbar\vect q$. Verstrooiingsproeven zijn fourieranalysatoren van de materie: kleine hoeken lezen lange golflengten (grove structuur), grote hoeken het fijne detail — de diepste reden waarom “hogere energie” “kleinere afstanden” betekent.

**Gedeeltelijk bewijs.** Dit is de [gouden regel van Fermi](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/13-storingsrekening#thm-b3-perturbation-theory-golden) ([Stelling 13.5](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/13-storingsrekening#thm-b3-perturbation-theory-golden)) uitgevoerd tussen vlakke golven $\ket{\vect k} \to \ket{\vect k'}$: het matrixelement is $\int V\eu^{\iu(\vect k - \vect k')\cdot\vect r}\dd^3r$, de dichtheid van de eindtoestanden levert de kinematische factoren, en de (aangenomen) boekhouding voegt ze tot $f$ samen. De elasticiteit geeft $|\vect k'| = |\vect k|$, waaruit $q = 2k\sin(\theta/2)$ volgt via de gelijkbenige driehoek van $\vect k, \vect k'$. ∎

**Voorbeeld 15.4 (Van Yukawa naar Rutherford).**

Voor de afgeschermde coulombpotentiaal $V = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi
\varepsilon_0 r}\,\eu^{-r/a}$ is de bornintegraal elementair ([Oefening 15.5](#exo-b3-scattering-theory-5)) en luidt zij, wanneer de afschermingsstraal $a \to \infty$,

$$
\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} =
\Big(\frac{Q_1Q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\Big)^2
\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} :
$$

de *[werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) van Rutherford*. Door een toeval dat uniek is voor $1/r$ stemmen de klassieke berekening, de [bornbenadering](#thm-b3-scattering-theory-born) en het exacte kwantumantwoord alle overeen — en daarom kreeg Rutherford, die in 1911 klassiek rekende, de juiste formule, en uit haar verificatie flits voor flits de atoomkern ([Probleem 15.1](#pb-b3-scattering-theory-1)).

## 15.3 Partiële golven en de verstrooiingslengte

**Stelling 15.5 (Faseverschuivingen).**

Ontbind de verstrooiingstoestand voor een centrale potentiaal over de impulsmomenten: elke partiële golf $l$ verlaat het gebied van de potentiaal met haar radiale trilling over een fase $\delta_l(k)$ *verschoven* — aantrekking haalt haar naar voren, afstoting vertraagt haar — en de waarneembare amplitude stelt zich weer samen als

$$
f(\theta) = \frac1k\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\,\eu^{\iu\delta_l}
\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta) , \qquad
\sigma = \frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l .
$$

Bij lage energie zegt de klassieke intuïtie ($l \sim kb$ voor botsingsparameter $b$) dat alleen $l = 0$ doordringt: de verstrooiing wordt isotroop en één getal regeert,

$$
f \to -a , \qquad \sigma \to 4\pi a^2 ,
$$

waarin $a = -\lim_{k\to0}\delta_0/k$ de *[verstrooiingslengte](#thm-b3-scattering-theory-partial)* is. Hoe ingewikkeld het van binnen ook is, bij lage energie *is* een trefdeeltje zijn [verstrooiingslengte](#thm-b3-scattering-theory-partial) — de grote vereenvoudiging waarop de fysica van koude atomen draait.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![Een partiële golf verlaat het wisselwerkingsgebied met haar trilling verschoven: de faseverschuiving _0. Alles wat een detector over een centrale potentiaal bij één energie kan weten, is de lijst van deze verschuivingen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-be56515dfd3e.svg)

*Een partiële golf verlaat het wisselwerkingsgebied met haar trilling verschoven: de [faseverschuiving](#thm-b3-scattering-theory-partial) $\delta_0$. Alles wat een detector over een centrale potentiaal bij één energie kan weten, is de lijst van deze verschuivingen.*

**Voorbeeld 15.6 (Neutron ontmoet proton).**

Trage neutronen verstrooien aan protonen met $\sigma \approx
20.4\,\mathrm{b}$ — een oppervlak veertig keer de meetkundige afmeting van het deuteron. De verklaring: de botsing bij lage energie is zuivere $s$-golf met twee spinkanalen, waarvan de gemeten [verstrooiingslengten](#thm-b3-scattering-theory-partial), $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ (triplet) en $a_{\text{s}} =
-23.7\,\mathrm{fm}$ (singlet), beide veel groter zijn dan het bereik van de kracht van $2\,\mathrm{fm}$. Een grote $|a|$ betekent een toestand *bijna* bij energie nul: het nauwelijks gebonden deuteron van het triplet ([Voorbeeld 7.9](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/7-de-schrodingervergelijking-in-drie-dimensies#ex-b3-schrodinger-three-dimensions-deuteron)), en in de singlet een “virtuele” partner die net niet bindt — diens falen staat geschreven in $a_{\text{s}} < 0$. Een raadsel van twintig barn, opgelost door twee bijna-gebonden toestanden ([Oefening 15.7](#exo-b3-scattering-theory-7)).

## 15.4 Resonanties

**Propositie 15.7 (Breit-wignerresonanties).**

Kan het projectiel tijdelijk in een quasigebonden toestand met energie $E_{\text{R}}$ en levensduur $\tau = \hbar/\Gamma$ worden ingevangen, dan zwiept de bijbehorende [faseverschuiving](#thm-b3-scattering-theory-partial) door $\pi/2$ heen en piekt de partiële [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section):

$$
\sigma_l(E) \approx \frac{4\pi}{k^2}\,(2l+1)\,
\frac{\Gamma^2/4}{(E - E_{\text{R}})^2 + \Gamma^2/4} ,
$$

een lorentzpiek met breedte $\Gamma$ tot aan het plafond dat de golf kan halen (de “unitariteitsgrens” $4\pi(2l+1)/k^2$). Achterstevoren gelezen *is* een resonantie in een [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) de ontdekking van een toestand: haar plaats is een energieniveau, haar breedte een levensduur. De meeste van de deeltjesdierentuin uit [Hoofdstuk 26](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/26-deeltjesfysica#ch-b3-particle-physics) is als precies zulke bulten ontdekt.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![Twee gezichten van de faseverschuiving. Links: een quasigebonden toestand zwiept door π/2 — een breit-wignerpiek waarvan de breedte een levensduur is. Rechts: het ramsauer-townsendeffect — in argon passeert _0 nabij 1\, eV de waarde π en wordt het atoom vrijwel doorzichtig voor elektronen: destructieve interferentie als antiresonantie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-14aa853f7767.svg)

*Twee gezichten van de [faseverschuiving](#thm-b3-scattering-theory-partial). Links: een quasigebonden toestand zwiept $\delta$ door $\pi/2$ — een breit-wignerpiek waarvan de breedte een levensduur is. Rechts: het ramsauer-townsendeffect — in argon passeert $\delta_0$ nabij $1\,\mathrm{eV}$ de waarde $\pi$ en wordt het atoom vrijwel doorzichtig voor elektronen: destructieve interferentie als antiresonantie.*

**Methode 15.8 (Een verstrooiingsvraagstuk lezen).**

(1) Eerst de kinematica: $k$, en het toegankelijke bereik van $q$: $0 \le q
\le 2k$ — welke structuurschalen zijn zichtbaar? (2) Snel en zwak: Born — fouriertransformeer de potentiaal; ga de kleinheid na. (3) Traag: [partiële golven](#thm-b3-scattering-theory-partial), meestal alleen $s$; denk in [verstrooiingslengte](#thm-b3-scattering-theory-partial) en verwacht $\sigma = 4\pi a^2$ (bij identieke bosonen: $8\pi a^2$). (4) Pieken in $\sigma(E)$: pas Breit–Wigner aan, meld een niveau en een levensduur; dalen: een fase die $\pi$ passeert. (5) Uitgebreide trefdeeltjes: vermenigvuldig de puntamplitude met de vormfactor — de fouriergetransformeerde van de dichtheid ([Oefening 15.12](#exo-b3-scattering-theory-12)).

![Het eerste verstrooiingslaboratorium: een koperen microscoop gericht op een scherm van zinksulfide, dat één zwakke groene flits per aankomend -deeltje telt. Uit zulke tellingen, hoek voor hoek, woog Rutherford de kern van het atoom.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/img-340462bc646f.jpg)

*Het eerste verstrooiingslaboratorium: een koperen microscoop gericht op een scherm van zinksulfide, dat één zwakke groene flits per aankomend $\alpha$-deeltje telt. Uit zulke tellingen, hoek voor hoek, woog Rutherford de kern van het atoom.*

## 15.5 Opgaven

**Oefening 15.1 ★.**

Een protonbundel van $1\,\text{µ}\mathrm{A}$ ($6.2 \times 10^{12}$ protonen/s) met een doorsnede van $1\,\mathrm{cm}^{2}$ doorkruist een gouden folie van $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($n =
5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$). (a) De trefdichtheid per oppervlak. (b) Welk deel van de bundel verstrooit bij $\sigma = 10\,\mathrm{b}$ per kern? (c) Het tempo in een detector met ruimtehoek $10^{-3}\,\mathrm{sr}$ als de verstrooiing isotroop was. (d) Waarom is een “[werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section)” een welgedefinieerde eigenschap van het *drietal* (projectiel, trefdeeltje, energie) en niet van het trefdeeltje alleen?

**Oplossing van Oefening 15.1.**

(a) $nt = 5.9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) $nt\sigma = 5.9 \times 10^{22}
\times 10^{-27} = 5.9 \times 10^{-5}$. (c) Verstrooiingstempo $6.2 \times 10^{12} \times 5.9 \times 10^{-5} = 3.7 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$; in $10^{-3}/4\pi$ van de bol: $2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (d) Het “oppervlak” codeert de wisselwerking en de golflengte: dezelfde gouden kern biedt alfadeeltjes, elektronen en neutronen verschillende oppervlakken aan, en bij verschillende energieën andere.

**Oefening 15.2 ★.**

Klassieke harde bollen met stralen $R_1, R_2$: (a) toon aan dat $\sigma =
\pi(R_1 + R_2)^2$. (b) Voor luchtmoleculen ($R \approx
0.15\,\mathrm{nm}$, $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$) de gemiddelde vrije weglengte $1/n\sigma$: reken haar uit en vergelijk met de waarde uit de kinetische gastheorie van het volume van jaar 1. (c) Waarom vertoont een klassieke harde bol geen hoekstructuur ($\dd\sigma/\dd\Omega$ constant — neem aan of leid af)? (d) Welk kenmerk van de *kwantummechanische* verstrooiing aan een harde bol ([Oefening 15.6](#exo-b3-scattering-theory-6)) heeft geen klassieke tegenhanger?

**Oplossing van Oefening 15.2.**

(a) Middelpunten dichter bij elkaar dan $R_1 + R_2$ botsen: $\sigma = \pi(R_1 +
R_2)^2$. (b) $\sigma \approx 2.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$: $\ell = 1/n\sigma
\approx 0.14\,\text{µ}\mathrm{m}$ — de schaal uit de kinetische gastheorie (de $\sqrt2$ van de relatieve beweging verfijnt haar). (c) Een harde bol weerkaatst elke ring van botsingsparameters gelijkmatig over de hoek: isotroop in de klassieke limiet. (d) De [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) met een factor vier bij lage energie — zuivere golfbuiging, waar geen klassieke schaduwlogica tegen bestand is.

**Oefening 15.3 ★.**

[Impulsoverdracht](#thm-b3-scattering-theory-born). (a) Teken de driehoek van $\vect k$ en $\vect k'$ en leid $q = 2k\sin(\theta/2)$ af. (b) Voor alfadeeltjes van $5.5\,\mathrm{MeV}$ ($k = 1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$): het bereik van $q$ over $\theta \in
[0, \pi]$, en de kleinste oplosbare structuur $\sim 1/q_{\max}$. (c) Voor elektronen van $500\,\mathrm{MeV}$ ($k \approx E/\hbar c$): hetzelfde. (d) Lees de moraal af die de bundelenergie met het oplossend vermogen verbindt.

**Oplossing van Oefening 15.3.**

(a) Gelijkbenige driehoek met tophoek $\theta$: $q =
2k\sin(\theta/2)$. (b) $q$ loopt van $0$ tot $2k = 2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$: structuren tot $\sim5 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ zijn in beginsel gecodeerd (de coulombbarrière houdt alfadeeltjes in de praktijk buiten). (c) $k = E/\hbar c = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$: resolutie $\sim2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ — binnen in het proton. (d) Resolutie $\sim 1/q_{\max} \sim \hbar/p$: energie kopen is een kortere liniaal kopen.

**Oefening 15.4 ★.**

Uit [Stelling 15.2](#thm-b3-scattering-theory-amplitude): (a) ga na dat $|f|^2$ de dimensies van een oppervlak per ruimtehoek heeft; (b) toon aan dat de verstrooide flux door een bol $\Phi\sigma$ is; (c) waarom moet $f$ in het algemeen complex zijn (welke behoudswet bewaakt haar fase)? (d) Formuleer de optische stelling $\sigma_{\text{tot}} =
(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0)$ en haar betekenis (de voorwaartse golf moet precies zijn uitgedund met wat er wegverstrooit).

**Oplossing van Oefening 15.4.**

(a) $f$ is een lengte; $|f|^2$ een oppervlak — per steradiaal, per constructie. (b) Integreer $(\hbar k/m)|f|^2/r^2$ over de bol: $\Phi\sigma$. (c) Behoud van waarschijnlijkheid: de uitgaande golf moet *destructief* met de voorwaartse bundel interfereren om te betalen voor wat er wegverstrooit; die boekhouding zit in de fase van $f$. (d) De optische stelling formuleert precies die schaduwcontrole: de totale verwijdering $=$ het interferentietekort in voorwaartse richting.

**Oefening 15.5 ★★.**

Born voor Yukawa. Met $V(r) = \dfrac{g\,\eu^{-\mu r}}{r}$: (a) voer de bornintegraal uit (eerst het hoekdeel, dan $\int_0^
\infty\sin(qr)\eu^{-\mu r}\dd r$) om $f = -\dfrac{2mg}
{\hbar^2(q^2 + \mu^2)}$ te krijgen. (b) Laat $\mu \to 0$ gaan met $g =
Q_1Q_2/4\pi\varepsilon_0$ en vind Rutherford terug. (c) Waarom divergeert de *totale* [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) van Rutherford, en welk natuurkundig ingrediënt (de afscherming door de atomaire elektronen) herstelt een eindig antwoord? (d) In de deeltjesfysica modelleert de yukawavorm met $\mu =
m_\pi c/\hbar$ de kernkracht: bereken haar bereik $1/\mu$ voor $m_\pi c^2 = 140\,\mathrm{MeV}$.

**Oplossing van Oefening 15.5.**

(a) De hoekintegraal geeft $4\pi\sin(qr)/qr$; omdat vervolgens $\int_0^\infty\eu^{-\mu r}\sin(qr)\,\dd r = q/(q^2 + \mu^2)$, vindt men $f = -2mg/\hbar^2(q^2 + \mu^2)$. (b) $\mu \to 0$: $|f|^2 =
(2mg/\hbar^2q^2)^2$; met $q = 2k\sin(\theta/2)$ en $E =
\hbar^2k^2/2m$ is dat de formule van Rutherford. (c) De divergentie bij $\theta \to
0$ integreert naar oneindig: elk passerend deeltje wordt door de kracht met oneindig bereik een beetje afgebogen; in materie schermen de atomaire elektronen de kern voorbij $\sim10^{-10}\,\mathrm{m}$ af en snijden zij de divergentie af. (d) $\hbar/m_\pi c = 197.3/140 = 1.4\,\mathrm{fm}$ — het bereik van de kernkracht, uit de massa van het pion voorspeld.

**Oefening 15.6 ★★.**

De kwantummechanische harde bol (straal $a$), $s$-golf: buiten is $u_0 =
\sin(kr + \delta_0)$ met $u_0(a) = 0$. (a) Toon aan dat $\delta_0 = -ka$. (b) Toon aan dat $\sigma \to 4\pi a^2$ als $k \to 0$: *vier* keer de meetkundige schaduw. (c) Geef de golfverklaring van die factor (buiging kent bij lange golflengte geen scherpe schaduw). (d) Bij hoge energie gaat het antwoord naar $2\pi a^2$ — nog steeds tweemaal de meetkundige waarde (schaduwbuiging): waarom nooit eenvoudigweg $\pi a^2$?

**Oplossing van Oefening 15.6.**

(a) $\sin(ka + \delta_0) = 0$ met de kleinste keuze: $\delta_0
= -ka$. (b) $\sigma = (4\pi/k^2)\sin^2(ka) \to 4\pi a^2$. (c) Bij $\lambda \gg a$ voelt de golf de bol als een puntdefect en bouwt zij zich er door buiging helemaal omheen weer op — “schaduw” is een begrip voor korte golflengten, en het golfantwoord telt het volledige boloppervlak $4\pi a^2$. (d) Ook bij korte golflengten vergt het wegnemen van een schijf golf dat de buiging haar opvult — de schaduw zelf verstrooit ($\pi a^2$ aan blokkering $+$ $\pi a^2$ aan schaduwbuiging).

**Oefening 15.7 ★★.**

De twintig barn van waterstof. Trage ongepolariseerde neutronen op protonen bemonsteren het tripletkanaal met gewicht $3/4$ en de singlet met $1/4$: $\sigma = \pi(3a_{\text{t}}^2 +
a_{\text{s}}^2)$. (a) Reken dit uit met $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ en $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$ en vergelijk met de gemeten $20.4\,\mathrm{b}$. (b) Welk kanaal overheerst, ondanks zijn kleinere statistische gewicht? (c) Breng de grootte en het teken van $a_{\text{t}}$ in verband met de bijna nul zijnde binding van het deuteron; wat zegt $a_{\text{s}} < 0$ over het singletstelsel? (d) Waarom is water zo’n doeltreffende moderator van reactorneutronen — en waarom doet deze [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) daarvoor ertoe?

**Oplossing van Oefening 15.7.**

(a) $\pi(3 \times 5.4^2 + 23.7^2)\,\mathrm{fm}^{2} = \pi \times 649
\,\mathrm{fm}^{2} = 20.4\,\mathrm{b}$ — de gemeten waarde. (b) De singlet: haar enorme $|a_{\text{s}}|$ weegt zwaarder dan haar gewicht $1/4$. (c) $a_{\text{t}}$ groot en positief: een echte gebonden toestand (het deuteron) net onder de drempel; $a_{\text{s}}$ groot en *negatief*: een “virtueel” niveau net erboven — bijna een tweede deuteron dat de natuur weigerde te binden. (d) De kernen van waterstof zijn voor neutronen de best in impuls aangepaste partners (gelijke massa’s), en twintig barn elastische verstrooiing per proton maakt water tot een voortreffelijk compacte moderator.

**Oefening 15.8 ★★.**

Ramsauer–Townsend. Modelleer het argonatoom voor een binnenkomend elektron als een aantrekkende blokput met bereik $R =
0.2\,\mathrm{nm}$. (a) Binnen is het golfgetal $K =
\sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar$: het aansluiten kan de buitengolf met precies $\delta_0 = \pi$ laten uittreden — wat is dan de [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) in $s$-golf? (b) Waarom wordt het atoom bij die energie vrijwel onzichtbaar, hoewel de put sterk is? (c) Schat de $V_0$ die de doorzichtigheid nabij $E = 1\,\mathrm{eV}$ legt (laat de put een halve golflengte bevatten: $KR \approx \pi$). (d) Waarom vertonen helium en neon het effect *niet* bij vergelijkbare energieën (hun putten zijn te ondiep opdat $\delta_0$ de waarde $\pi$ haalt) — en wat bewijst het loutere bestaan van het effect over materiegolven?

**Oplossing van Oefening 15.8.**

(a) $\sigma_0 = (4\pi/k^2)\sin^2\pi = 0$: de $s$-golf treedt precies zo uit alsof er geen atoom was. (b) De golf is *binnen* sterk vervormd, maar komt met een geheel aantal extra halve golven naar buiten: geen waarneembare faseafwijking, geen verstrooiing — destructieve interferentie van de verstrooide golfjes. (c) $KR
\approx \pi$ met $E \ll V_0$: $V_0 \approx \pi^2\hbar^2/2mR^2
\approx 9\,\mathrm{eV}$ — een put op atomaire schaal. (d) Hun ondiepere putten winden de fase bij energieën van enkele eV nooit tot $\pi$ op. Het effect is klassiek niet na te bootsen: een doorzichtig venster in een sterke aantrekking bestaat alleen voor golven.

**Oefening 15.9 ★★.**

Voor een zuivere amplitude in $s$-golf, $f = \eu^{\iu\delta_0}\sin\delta_0/
k$: (a) bereken $\sigma$; (b) bereken $(4\pi/k)\operatorname{Im}
f(0)$ en ga de optische stelling na; (c) toon aan dat de maximale [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) in $s$-golf $4\pi/k^2$ is (de unitariteitsgrens) en reken haar in barn uit voor thermische neutronen ($k = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$); (d) waarom kan een resonantie $\sigma_0$ nooit voorbij dat plafond duwen, hoe sterk de wisselwerking ook is?

**Oplossing van Oefening 15.9.**

(a) $\sigma = 4\pi\sin^2\delta_0/k^2$. (b) $\operatorname{Im}f(0)
= \sin^2\delta_0/k$: $(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0) = \sigma$ — nagegaan. (c) $\sin^2\delta_0 \le 1$: plafond $4\pi/k^2 \approx
1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2} = 10^{8}$ barn voor thermische neutronen — ruimte te over, zelfs boven de monsterlijkste slikkers (de miljoenen barn van xenon-135). (d) Het plafond is de unitariteit: een golf kan niet meer flux wegnemen dan de interferentie toestaat; sterkte verzadigt de sinus, maar overtreft hem nooit.

**Oefening 15.10 ★★★.**

Een neutronresonantie. Uranium-238 vertoont een beroemde resonantie voor neutronen bij $E_{\text{R}} = 6.67\,\mathrm{eV}$ met totale breedte $\Gamma = 27\,\mathrm{meV}$. (a) Bereken de levensduur van de resonantie. (b) Bereken $4\pi/k^2$ bij die energie in barn en vergelijk met de gemeten piek van $\sim2 \times 10^{4}\,\mathrm{b}$ (het verschil is de vertakkingsfactor tussen het elastische en het invangkanaal — geef commentaar). (c) De breedte in temperatuureenheden: waarom doet de dopplerverbreding van deze resonantie met de brandstoftemperatuur ertoe voor de stabiliteit van een reactor (welk teken van terugkoppeling)? (d) In twee zinnen: hoe maken zulke resonanties $^{238}$U tot een neutronenslikker in het epithermische bereik, en waarom staat dat centraal in het ontwerp van reactoren?

**Oplossing van Oefening 15.10.**

(a) $\tau = \hbar/\Gamma = 6.58 \times 10^{-16}/0.027 =
2.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — lang op kernfysische tijdschalen: een samengestelde kern die haar ontstaan “vergeet”. (b) $4\pi/k^2 \approx
3.9 \times 10^{5}$ b; de waargenomen $2.3 \times 10^{4}$ b is het plafond maal de vertakkingsfractie van het ingangskanaal ($\Gamma_n/\Gamma
\sim 0.06$) — resonanties verkopen kaartjes per partiële breedte. (c) $\Gamma/k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$: de brandstof verwarmen verbreedt de resonantie via doppler, zodat er tijdens het afremmen meer neutronen worden gevangen — de absorptie groeit met de temperatuur, een prompte *negatieve* terugkoppeling die in het uranium zelf is ingebouwd. (d) Tussen thermische en snelle energieën verslindt het resonantiewoud van $^{238}$U neutronen; de brandstofgeometrie en de moderatoren zijn ontworpen om neutronen er langs te loodsen, en zijn dopplerterugkoppeling is een pijler van de reactorveiligheid.

**Oefening 15.11 ★★★.**

Koude atomen leven op één getal. (a) Voor identieke bosonen is de [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section) bij lage energie $8\pi a^2$ (constructieve verwisselingsinterferentie — neem aan): reken haar uit voor rubidium met $a =
100\,a_0$. (b) Ga bij $T = 100\,\mathrm{nK}$ na dat $ka \ll 1$ (bereken $k$ uit $k_{\text{B}}T = \hbar^2k^2/2m$, met $m =
1.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$): het gas vergeet werkelijk alles behalve $a$. (c) Nabij een “Feshbach”-resonantie sleept een magneetveld een moleculair niveau door energie nul, en divergeert $a$ en wisselt zij van teken, precies als in [Voorbeeld 15.6](#ex-b3-scattering-theory-np): wat gebeurt er dan naar believen met de wisselwerkingen van het gas? (d) Waarom is die afstembaarheid — de sterkte van de wisselwerking op een knop — het droominstrument van een natuurkundige (noem één toepassing: moleculen maken, sterk gekoppelde materie simuleren, condensaten laten instorten)?

**Oplossing van Oefening 15.11.**

(a) $a = 5.3\,\mathrm{nm}$: $\sigma = 8\pi a^2 = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}^{2}$. (b) $k = \sqrt{2mk_{\text{B}}T}/\hbar \approx 6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}$: $ka \approx 0.03 \ll 1$. (c) Het gas is instelbaar van ideaal ($a \approx 0$) via sterk afstotend tot aantrekkend en onstabiel — de wisselwerking als knop op het paneel. (d) Over de resonantie heen vegen paart atomen tot moleculen; bij $a \to
\infty$ wordt het gas even sterk gekoppeld als de materie van een neutronenster, op tafelformaat — kwantumsimulatie per [verstrooiingslengte](#thm-b3-scattering-theory-partial).

**Oefening 15.12 ★★★.**

Vormfactoren: ladingswolken wegen. Voor een uitgebreide ladingsdichtheid $\rho(\vect r)$ vermenigvuldigt de bornamplitude het puntantwoord met $F(q) = \int\rho(\vect r)\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}
\dd^3r/Q$. (a) Toon aan dat $F(0) = 1$. (b) Ontwikkel voor kleine $q$: $F
\approx 1 - q^2\langle r^2\rangle/6$: de afname bij kleine $q$ meten weegt $\langle r^2\rangle$. (c) Verstrooiing van elektronen aan protonen past $\sqrt{\langle r^2\rangle} \approx 0.84\,\mathrm{fm}$ aan: welke onafhankelijke meting uit [Probleem 11.1](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/11-het-waterstofatoom#pb-b3-hydrogen-atom-1) (muonische waterstof) controleert haar, en waarom werd hun historische onenigheid (“het raadsel van de protonstraal”) zo serieus genomen? (d) Bij $q \gg 1/r_{\text{p}}$ stort de elastische vormfactor in maar blijft er harde verstrooiing aan *puntvormige bouwstenen* over: zeg in één zin wat de diep-inelastische versie van Rutherfords proef in 1968 binnen in het proton vond.

**Oplossing van Oefening 15.12.**

(a) $F(0) = \int\rho/Q = 1$. (b) Ontwikkel de exponentiële functie; de lineaire term middelt weg en de kwadratische geeft $-q^2\langle r^2\rangle/6$. (c) De lambverschuiving van muonische waterstof ([Probleem 11.1](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/11-het-waterstofatoom#pb-b3-hydrogen-atom-1)) weegt dezelfde $\langle r^2\rangle$ langs een volstrekt andere weg; hun onenigheid op het niveau van $4\%$ (0.877 tegen $0.841\,\mathrm{fm}$) betekende ofwel subtiele systematiek ofwel nieuwe natuurkunde — vandaar een decennium van hermetingen (grotendeels systematiek, zo bleek). (d) Het proton is een zachte wolk met harde korrels erin: quarks — het argument van Rutherford, één niveau dieper.

## 15.6 Vraagstuk: De flitsentellers die de atoomkern vonden

**Probleem 15.1.**

Weekendvraagstuk — rutherfordverstrooiing, van meetkunde tot quarks

In 1909 zaten Geiger en Marsden in het donker scintillatieflitsen te tellen: alfadeeltjes door gouden folie geschoten, waarvan er enkele bijna recht terugkaatsten — “alsof een granaat op vloeipapier was teruggestuit”. Rutherfords analyse van die tellingen schiep in 1911 het kernatoom. Dit vraagstuk bouwt haar opnieuw op. Gegevens: de alfa-energie $E =
5.5\,\mathrm{MeV}$, lading $z = 2$; goud $Z = 79$, foliedikte $t
= 0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{atoms}/\mathrm{m}^{3}$; $k_C =
1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$.

**Deel I — Eén alfa, één kern.**

1. Schat in het krentenbroodmodel (de lading over het atoom uitgesmeerd, $10^{-10}\,\mathrm{m}$ ) de grootste afbuiging die één atoom een alfadeeltje van $5.5\,\mathrm{MeV}$ zou kunnen geven (het veld van een uitgesmeerde bol: $\theta \sim$ kracht $\times$ tijd / impuls $\sim 2Zze^2k_C/(E\cdot10^{-10}\,\mathrm{m})$ in radialen). Zou enige opeenstapeling van zulke schoppen alfadeeltjes achteruit kunnen sturen?
2. Laat de lading nu een punt zijn. Schrijf de kleinste naderingsafstand $d_0$ voor een frontale botsing op (alle kinetische energie in coulombenergie) en reken haar uit.
3. Wat impliceert een meetbaar tempo van bijna achterwaartse verstrooiing dus *onmiddellijk* over hoe geconcentreerd de positieve lading van het atoom is?
4. Voor een algemene botsingsparameter $b$ geeft de klassieke baan $\tan(\theta/2) = d_0/2b$ (aangenomen — de hyperbool uit het zwaartekrachthoofdstuk van het volume van jaar 1, met afstoting): toets haar limieten bij $b \to 0$ en $b \to  \infty$ .
5. Bereken de botsingsparameter die een alfadeeltje over meer dan $90^\circ$ verstrooit, en de fractie van de alfadeeltjes die de folie passeren en binnen die afstand van een kern komen ( $n t\,\pi  b^2$ ).
6. Geiger en Marsden vonden ongeveer 1 op 8000 alfadeeltjes voorbij $90^\circ$ afgebogen: vergelijk.

**Deel II — De [werkzame doorsnede](#def-b3-scattering-theory-cross-section).**

7. Alfadeeltjes met een botsingsparameter in $[b, b + \dd b]$ verstrooien in $[\theta, \theta + \dd\theta]$: leid uit $\dd\sigma =  2\pi b\,|\dd b|$ en de baanbetrekking af dat $$\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} =  \Big(\frac{d_0}{4}\Big)^2\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} .$$
8. Ga na dat dit overeenkomt met het born- of kwantumantwoord van [Voorbeeld 15.4](#ex-b3-scattering-theory-rutherford) (herschrijf $d_0$ in termen van $E$ ).
9. Reken $\dd\sigma/\dd\Omega$ uit bij $\theta = 30^\circ$ , $60^\circ$ en $120^\circ$ (in barn per steradiaal).
10. De tellingen van Geiger en Marsden uit 1913 schalen bij vaste meetkunde als $1{:}\,\sin^{-4}(\theta/2)$ : bereken de voorspelde verhouding van de tellingen tussen $30^\circ$ en $120^\circ$ en merk op dat hun gegevens zulke verhoudingen over vijf ordes van grootte in tempo volgden.
11. Waarom laat de $Z^2$ van dezelfde formule de proef de kernlading *wegen* — en hoe hielpen zulke aanpassingen $Z$ (goud: 79) als atoomnummer vast te leggen?
12. De $1/E^2$ : wat gebeurt er met het hele hoekpatroon wanneer de alfa-energie wordt verdubbeld?

**Deel III — De afmeting van de kern.**

13. De kleinste nadering onder de hoek $\theta$ is $d(\theta) =  \tfrac{d_0}2[1 + 1/\sin(\theta/2)]$ (aangenomen). Reken haar uit voor $\theta = 180^\circ$ en $60{}^{\circ}$ .
14. Zolang $d(\theta)$ de kernstraal overtreft geldt de formule voor een puntlading: welke bovengrens voor de afmeting van de gouden kern legden Rutherfords geverifieerde punten bij $180^\circ$ vast?
15. Bij projectielen met hogere energie *zakken* de tellingen onder grote hoek onder Rutherford: wat signaleert die afwijking (welke nieuwe kracht, op welke afstand)?
16. Moderne elektronverstrooiing geeft kernstralen $R  \approx r_0A^{1/3}$ met $r_0 = 1.2\,\mathrm{fm}$ : reken die uit voor goud ( $A = 197$ ) en vergelijk met uw grens.
17. De $A^{1/3}$ : wat zegt zij over de dichtheid van kernmaterie (constant? groeiend?) — een feit waarop [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#ch-b3-nuclear-physics) zal voortbouwen.
18. Waarom stierf het (voor lading blinde) krentenbroodmodel aan *deze* proef en niet aan de spectroscopie?

**Deel IV — De kleinkinderen van Rutherford.**

19. Geef de exacte vertaaltabel tussen 1911 en 1968: alfadeeltje $\to$ elektronenbundel, goudatoom $\to$ proton, kern $\to$ quarks — wat speelde bij SLAC de rol van de “onverwachte gebeurtenissen onder grote hoek”?
20. Waarom zijn *elektronen* de zuiverdere sonde (welke complicatie van de verstrooiing van alfadeeltjes aan kernen hebben zij niet)?
21. In borntaal: elastische verstrooiing bij grote $q$ meet het instorten van de vormfactor (een zachte wolk), terwijl de diep-inelastische tempo’s groot en vrijwel puntvormig bleven: formuleer de getrokken conclusie.
22. Een eeuw in drie regels: geef (bundelenergie, opgeloste afstand) voor de alfadeeltjes van 1911 ( $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$ ), SLAC in 1968 ( $20\,\mathrm{GeV}$ , $\sim10^{-16}\,\mathrm{m}$ ) en de LHC (de schaal van de TeV, $\sim10^{-19}\,\mathrm{m}$ ) — met de regel “resolutie $\sim \hbar c/(qc)$ ”.
23. Neutronen, zonder lading, verstrooien alleen aan kernen (en aan magnetische momenten): noem twee dingen die de neutronenverstrooiing daardoor in materialen in kaart brengt die röntgenstralen slecht zien (lichte atomen zoals waterstof; magnetische ordening).
24. [Werkzame doorsneden](#def-b3-scattering-theory-cross-section) voor ontdekkingen aan de LHC worden in *femtobarn* gemeten ( $10^{-43}\,\mathrm{m}^{2}$ ): van de barn naar de femtobarn is vijftien ordes van grootte — wat zegt dat over hoe zeldzaam de interessante botsingen zijn, en waarom is luminositeit (de geleverde flux) even kostbaar als energie?
25. Vat het genoemde resultaat samen: een wet in $\sin^{-4}(\theta/2)$ , flits voor flits geverifieerd, stopte $99.98\%$ van de massa van het atoom in een volume van $10^{-14}$ van zijn afmeting — en dezelfde proef, telkens harder herhaald, is nooit opgehouden de volgende laag te vinden.

**Oplossing van Probleem 15.1.**

**1.** $\theta \sim 8 \times 10^{-4}$ rad per atoom; zelfs een toevalspad door $10^4$ atoomlagen hoopt maar enkele graden op: achterwaartse verstrooiing is in het krentenbrood onmogelijk. **2.** $E = k_CzZe^2/d_0$: $d_0 = k_CzZe^2/E =
4.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ — veertig femtometer. **3.** Dat de volledige positieve lading binnen $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ zit: tienduizend keer kleiner dan het atoom. **4.** $b \to 0$: $\theta \to 180^\circ$; $b \to \infty$: $\theta \to 0$ — frontale terugkaatsingen, verre scheerbewegingen. **5.** $\theta > 90^\circ$ vergt $b < d_0/2 =
2.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$: fractie $nt\,\pi b^2 \approx 3 \times 10^{-5}$ — één alfadeeltje op dertigduizend voor deze folie. **6.** Dezelfde orde als de één op achtduizend van Geiger en Marsden (hun folies waren dikker): de “onmogelijke” terugkaatsingen komen precies zo vaak voor als een puntkern eist. **7.** $\dd\sigma = 2\pi b|\dd b|$ met $b =
(d_0/2)\cot(\theta/2)$: $|\dd b/\dd\theta| = (d_0/4)/\sin^2(
\theta/2)$, en $\dd\Omega = 2\pi\sin\theta\,\dd\theta$; bij het samenvoegen laten de opheffingen met $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ de uitdrukking $(d_0/4)^2\sin^{-4}(\theta/2)$ over. **8.** $d_0/4 = k_CzZe^2/4E = Q_1Q_2/16\pi\varepsilon_0E$: het bornresultaat — het toeval van de $1/r$. **9.** $(d_0/4)^2 = 1.06\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$: $236$, $17$ en $1.9\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$ bij $30^\circ$, $60^\circ$ en $120^\circ$. **10.** $(\sin60^\circ/\sin15^\circ)^4 \approx 125$: hun tellingen volgden zulke verhoudingen over vijf decaden in tempo — de wet, geen tendens. **11.** Het tempo schaalt bij vaste meetkunde als $Z^2$: folies vergelijken ijkt de kernlading zelf, wat de vereenzelviging van $Z$ met het atoomnummer voedde. **12.** Elk tempo zakt met een factor vier; de *vorm* van het hoekpatroon blijft onaangeroerd — een zuivere experimentele handtekening van de $1/E^2$. **13.** $d(180^\circ) = d_0 = 41\,\mathrm{fm}$; $d(60^\circ) =
(d_0/2)(1 + 2) = 62\,\mathrm{fm}$. **14.** De formule hield stand bij de grootste hoeken: de gouden kern is kleiner dan $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$. **15.** Het projectiel begint de kern te raken: de kortdragende *sterke* kracht (en de absorptie) zet bij afstanden van femtometers in — de afwijking meet de rand van de kern. **16.** $R = 1.2 \times 197^{1/3} = 7.0\,\mathrm{fm}$ — ruimschoots binnen de grens van Rutherford. **17.** Volume $\propto A$: kernmaterie heeft een vaste dichtheid ($\sim2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) — kernen zijn druppels van een onsamendrukbare vloeistof, het beginbeeld van [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#ch-b3-nuclear-physics). **18.** De spectroscopie ondervroeg de elektronen; alleen een projectiel dat het atoom binnendringt kon getuigen waar de *positieve* lading en de massa zitten. **19.** Elektronen van $20$ GeV die onder onwaarschijnlijk grote hoeken verstrooiden en veel energie verloren — te veel harde gebeurtenissen voor een zacht proton: de terugkaatsing van Rutherford, opnieuw opgevoerd. **20.** Elektronen voelen geen sterke kracht en hebben geen bekende substructuur: een puntsonde die alleen lading afleest, zonder de eigen samengesteldheid van het alfadeeltje. **21.** Het instorten van de elastische vormfactor zegt dat het proton een ijle wolk is; het voortduren van harde *inelastische* verstrooiing zegt dat die wolk puntvormige bouwstenen bevat — quarks (partonen). **22.** 1911: $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$; SLAC: $\hbar c/q \sim
0.2\,\mathrm{fm} = 2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$; LHC: $\sim2 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}$ — vijf ordes van grootte aan liniaal in één eeuw. **23.** Waterstofposities (in ijs, polymeren, eiwitten) en magnetische structuren (antiferromagneten, spinspiralen) — beide vrijwel onzichtbaar voor röntgenstralen, beide dagelijks werk voor neutronen. **24.** De processen die het ontdekken waard zijn komen eens per $10^{15}$ gewone ontmoetingen voor: alleen een kolossale luminositeit maakt van femtobarn gebeurtenissen per jaar — een botser ontwerpen is rekenkunde met [werkzame doorsneden](#def-b3-scattering-theory-cross-section). **25.** Een wet in $\sin^{-4}(\theta/2)$, flits voor flits gecontroleerd, perste de massa van het atoom in $10^{-14}$ van zijn volume; bij steeds grotere $q$ uitgevoerd vond dezelfde proef de afmeting van de kern, daarna haar bouwstenen, en zij zoekt nog steeds.