---
title: "Hamiltoniaanse mechanica"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 3"
subject: physics
language: nl
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica
---

# Hoofdstuk 2 — Hamiltoniaanse mechanica

Fotografeer een slinger duizend keer en zet voor elke opname zijn hoek uit tegen zijn impulsmoment: de punten vallen op een gesloten kromme, en elke mogelijke beweging van de slinger is zo’n kromme — kleine uitslagen op geneste ovalen, hele omwentelingen op golvende lijnen erboven en eronder, en daartussen één enkele gekruiste kromme die de twee regimes scheidt. Dit beeld, het *[faseportret](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait)*, is het hart van de herformulering die Hamilton de mechanica in 1833 gaf: de toestand van een stelsel is een punt in de ruimte van coördinaten *en* impulsen, zijn evolutie is een stroming in die ruimte, en die stroming wordt door één enkele functie voortgebracht, de energie, via twee prachtig symmetrische eerste-ordevergelijkingen. De beloning is niet dat het rekenen makkelijker wordt — daarin wint Lagrange meestal — maar dat de *meetkunde* klopt: de stroming behoudt het volume in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), waarop de statistische fysica gebouwd zal worden; en haar algebraïsche skelet, het [poissonhaakje](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson), is precies wat de kwantummechanica tot commutator zal verheffen. Dit hoofdstuk is het scharnier tussen de mechanica van de dingen en de natuurkunde van de twintigste eeuw.

## 2.1 Van Lagrange naar Hamilton

**Definitie 2.1 (Hamiltoniaan en canonieke vergelijkingen).**

Druk voor een stelsel met [lagrangiaan](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $L(q, \dot q, t)$ de snelheden uit in de impulsen $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ en definieer de *hamiltoniaan* als de legendretransformatie

$$
H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,
$$

een functie van de coördinaten en de *impulsen*. De $2n$-dimensionale ruimte van de $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ is de *faseruimte*; één punt daarvan — één *toestand* — bepaalt de hele toekomst en het hele verleden van het stelsel via de *canonieke vergelijkingen* van [Stelling 2.2](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-canonical).

**Stelling 2.2 (Vergelijkingen van Hamilton).**

De [vergelijkingen van Euler–Lagrange](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) zijn gelijkwaardig met de $2n$ eerste-ordevergelijkingen

$$
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .
$$

**Bewijs.** Differentieer $H = \sum p_i\dot q_i - L$ als functie van $(q, p, t)$: $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum(
\partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. De termen in $\dd\dot q_i$ vallen weg door de definitie van $p_i$ — daar is de legendretransformatie voor bedoeld — zodat $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) -
\partial_tL\,\dd t$ overblijft. De partiële afgeleiden lezen we eraf: $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ en $\partial H/\partial q_i =
-\partial L/\partial q_i$, wat volgens Euler–Lagrange gelijk is aan $-\dot p_i$. (Ook geldt $\partial_tH = -\partial_tL$.) ∎

**Propositie 2.3 (Wat HHH is).**

$H$ valt samen met de [energiefunctie](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ van het vorige hoofdstuk: langs een beweging is $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$, dus blijft $H$ behouden zodra hij niet expliciet van de tijd afhangt; en is de kinetische energie kwadratisch in de snelheden bij tijdonafhankelijke [dwangvoorwaarden](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates), dan is $H = E_k + E_p$, de mechanische energie — nu geschreven in de variabelen $(q, p)$.

**Bewijs.** $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot
p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H -
\partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$: door de symmetrie van de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) valt de som identiek weg. De identificatie met $E_k + E_p$ is [Propositie 1.14](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy). ∎

**Voorbeeld 2.4 (Twee hamiltonianen).**

Massa aan een veer: $p = m\dot x$, dus

$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;
$$

de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$ zijn het vertrouwde paar. Slinger: $p = m\ell^2\dot\theta$ en

$$
H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .
$$

In beide gevallen is $H$ de energie, constant op elke beweging: de bewegingen *zijn* de niveaukrommen van $H$ in het $(q,p)$-vlak.

**Methode 2.5 (Het hamiltoniaanse recept).**

(1) Bereken uit $L$ de impulsen $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ en keer om naar de $\dot q_i$. (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$, uitsluitend uitgedrukt in $(q, p)$ — voor een natuurlijk stelsel eenvoudigweg $E_k + E_p$ met $E_k$ herschreven in de impulsen. (3) Schrijf de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) op. (4) Teken de niveaukrommen van $H$: bij één vrijheidsgraad zijn dat de banen, en de hele kwalitatieve beweging — trillingen, omwentelingen, evenwichten, separatrices — leest men eraf zonder iets op te lossen.

## 2.2 De faseruimte

**Definitie 2.6 (Faseportret, vaste punten, separatrix).**

Het *faseportret* van een stelsel is de familie van zijn banen in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Een *vast punt* is een toestand waarin beide [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) nul zijn — een evenwicht: een minimum van de potentiaal verschijnt als een *centrum* omringd door gesloten krommen, een maximum als een *zadelpunt* waardoor een *separatrix* loopt, de baan die de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) in gebieden van kwalitatief verschillende beweging verdeelt.

**Voorbeeld 2.7 (Het faseportret van de slinger).**

Voor $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$: gesloten ovalen rond $(0, 0)$ — *libraties*, de gewone uitslagen; golvende krommen bij grote $|p|$ — *omwentelingen*, waarbij de slinger over de top draait; en door de zadelpunten bij $\theta = \pm\pi$ de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), met energie $E = +mg\ell$, waarop de slinger oneindig lang doet over het bereiken van de top. Een toestand op de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) is de uitslag die *precies* hard genoeg is aangezet om de omgekeerde stand te halen, zonder iets over.

![Het faseportret van de slinger: niveaukrommen van H. Gesloten ovalen (uitslagen) doorlopen het centrum met de wijzers van de klok mee; boven en onder de separatrix draait de slinger rond. De zadelpunten bij ± 180 zijn het omgekeerde evenwicht.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-47375b7cc9f3.svg)

*Het [faseportret](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) van de slinger: niveaukrommen van $H$. Gesloten ovalen (uitslagen) doorlopen het centrum met de wijzers van de klok mee; boven en onder de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) draait de slinger rond. De zadelpunten bij $\pm 180^\circ$ zijn het omgekeerde evenwicht.*

**Stelling 2.8 (Stelling van Liouville).**

De hamiltoniaanse stroming behoudt het volume in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): wordt een gebied van begintoestanden door de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) meegevoerd, dan verandert zijn volume (bij één vrijheidsgraad zijn oppervlakte) nooit — welke vorm het ook aanneemt.

**Bewijs.** De stroming in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) heeft het snelheidsveld $(\dot q_i, \dot p_i) =
(\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$. De divergentie ervan is

$$
\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i}
 + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big)
 = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}
 - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :
$$

de stroming is onsamendrukbaar, en een onsamendrukbare stroming voert volumes onveranderd mee, net als bij de vloeistoffen van het volume van jaar 2. (De formele stap van nuldivergentie naar behouden volume is de transportstelling die daar bewezen is.) ∎

**Opmerking 2.9 (Waarom Liouville ertoe doet).**

Niets in de formulering van Newton doet vermoeden dat er iets onsamendrukbaar is. In het hamiltoniaanse beeld gaat het vanzelf — en het is de vrijbrief voor de statistische fysica: beschrijven we een gas van $10^{23}$ moleculen door een wolk punten in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), dan zegt de [stelling van Liouville](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) dat die wolk als een onsamendrukbare vloeistof stroomt, zodat het “aantal toestanden in een volume van de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)” een grootheid is die de dynamica zelf niet kan scheppen of vernietigen. Het microkanonieke postulaat van de statistische fysica, verderop in dit volume, staat precies hierop.

![De stelling van Liouville: de stroming vervormt een gebied van begintoestanden — schuift het scheef, draait het — maar de oppervlakte ervan blijft exact behouden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-6bd223a6fd7e.svg)

*De [stelling van Liouville](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville): de stroming vervormt een gebied van begintoestanden — schuift het scheef, draait het — maar de oppervlakte ervan blijft exact behouden.*

## 2.3 Poissonhaakjes

**Definitie 2.10 (Poissonhaakje).**

Het *poissonhaakje* van twee functies $f(q, p, t)$ en $g(q, p, t)$ op de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) is

$$
\{f, g\} = \sum_i\Big(
 \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .
$$

Het is antisymmetrisch, lineair in elk argument, voldoet aan de productregel $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ en voldoet voor de coördinaten zelf aan de *canonieke betrekkingen*

$$
\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad
\{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .
$$

**Stelling 2.11 (Evolutie als haakje).**

Langs elke beweging geldt

$$
\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .
$$

In het bijzonder blijft een grootheid zonder expliciete tijdsafhankelijkheid behouden dan en slechts dan als haar haakje met de [hamiltoniaan](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) nul is; en de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) zelf luiden $\dot q_i = \{q_i, H\}$, $\dot p_i
= \{p_i, H\}$: de [hamiltoniaan](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) *brengt* de tijdsevolutie voort.

**Bewijs.** Kettingregel plus de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): $\dd f/\dd t = \sum(
\partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf =
\sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\,
\partial_{q_i}H) + \partial_tf$. ∎

**Voorbeeld 2.12 (Haakjes van het impulsmoment).**

Voor één deeltje is $L_z = xp_y - yp_x$, met zijn cyclische tegenhangers. Een rechtstreekse berekening uit de canonieke betrekkingen geeft

$$
\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad
\{L_y, L_z\} = L_x , \qquad
\{L_z, L_x\} = L_y ,
$$

en $\{L^2, L_z\} = 0$: de componenten van het impulsmoment “commuteren” niet met elkaar, maar elk ervan commuteert wel met het totale kwadraat. Onthoud de vorm van deze betrekkingen — zij keren letterlijk terug als commutatoren in de kwantummechanica, waar zij alles over de bouw van het atoom bepalen.

**Opmerking 2.13 (De deur naar de kwantummechanica).**

Dirac merkte in 1925 op dat de hele kwantummechanica ontstaat door de algebra van de hamiltoniaanse mechanica te behouden en het [poissonhaakje](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) te vervangen door de commutator van operatoren gedeeld door $\iu\hbar$: $\{q, p\} = 1$ wordt $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$, behoud blijft “het haakje met $H$ is nul”, en de tijdsevolutie wordt nog steeds door de [hamiltoniaan](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) voortgebracht. De klassieke theorie draagt het skelet van de kwantumtheorie in haar botten; de hoofdstukken over kwantummechanica zullen die overeenkomst expliciet maken.

## 2.4 Actie en adiabatische invarianten

**Definitie 2.14 (Actievariabele).**

Voor een stelsel met één vrijheidsgraad dat op een gesloten fasebaan trilt, is de *actievariabele* de omsloten oppervlakte gedeeld door $2\pi$:

$$
I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .
$$

**Propositie 2.15 (Actie van de harmonische oscillator).**

Voor $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ bij energie $E$ is de baan een ellips met halve assen $\sqrt{2E/m\omega^2}$ en $\sqrt{2mE}$, die de oppervlakte $2\pi E/\omega$ omsluit; dus

$$
I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,
$$

en de trillingsfrequentie is $\partial E/\partial I = \omega$, zoals het hoort.

**Bewijs.** De oppervlakte van een ellips, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} =
2\pi E/\omega$. ∎

**Propositie 2.16 (Adiabatische invariantie).**

Wordt een parameter van het stelsel (een lengte, een veerconstante, een veld) *langzaam* veranderd — over vele trillingsperioden —, dan verandert de energie en verandert de frequentie, maar blijft de [actie](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ in uitstekende benadering constant: $I$ is een *[adiabatische invariant](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)*. Voor de langzaam gewijzigde oscillator blijft dus $E/\omega$ behouden: verstijf de veer langzaam tot $\omega$ verdubbelt, en de energie verdubbelt mee.

**Gedeeltelijk bewijs.** Voor de oscillator met langzaam veranderende $\omega(t)$: de arbeid die de veranderende parameter over één periode verricht laat zich door middelen berekenen; de berekening (begeleid in [Oefening 2.11](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-11)) geeft $\dot E/E = \dot\omega/\omega$, dat wil zeggen $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ in laagste orde. De algemene uitspraak, voor elk langzaam vervormd trillend stelsel, wordt aangenomen — zij is de reden dat planeetbanen langzame storingen overleven, en het uitgangspunt van de “oude kwantumtheorie” hieronder. ∎

![Adiabatische invariantie. Links: wordt langzaam verdubbeld, dan verandert de fase-ellips van vorm bij gelijkblijvende oppervlakte, zodat E = I verdubbelt. Rechts: het ophijsen van het koord van een slingerende slinger voert precies zoveel energie toe dat I = E/ vast blijft.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-b0f416b55832.svg)

*Adiabatische invariantie. Links: wordt $\omega$ langzaam verdubbeld, dan verandert de fase-ellips van vorm bij gelijkblijvende oppervlakte, zodat $E = \omega I$ verdubbelt. Rechts: het ophijsen van het koord van een slingerende slinger voert precies zoveel energie toe dat $I = E/\omega$ vast blijft.*

**Opmerking 2.17 (De oude kwantumtheorie).**

Waarom hebben atomen discrete energieën? Het eerste kwantitatieve antwoord (Bohr 1913, Sommerfeld 1915) was geschreven in de taal van dit hoofdstuk: van alle klassieke bewegingen houdt de natuur die waarvan de actie-integraal een heel aantal keer de constante van Planck bedraagt,

$$
\oint p\,\dd q = nh .
$$

Toegepast op de harmonische oscillator geeft dit $E_n = n\hbar\omega$ (alleen de helft van de ware $\big(n + \tfrac12\big)\hbar
\omega$ ontbreekt); toegepast op een deeltje in een doos geeft het *exact* de niveaus van het volume van jaar 2; toegepast op het waterstofatoom ([Probleem 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1)) geeft het het gemeten spectrum tot op vier cijfers. De regel was kwantitatief juist en begripsmatig voorlopig — en omdat de [actie](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#def-b3-lagrangian-mechanics-action) een [adiabatische invariant](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) is, verandert het kwantumgetal $n$ niet onder langzame storingen, wat de enige reden is dat zo’n regel überhaupt kon werken. De echte theorie begint vijf hoofdstukken verderop.

![Een slinger onder stroboscooplicht: de standen dringen samen bij de keerpunten, waar het gewicht talmt, en waaieren uiteen onderaan, waar het zich haast — een foto van het faseportret dat dit hoofdstuk met vergelijkingen tekent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/img-7e511e05d49a.jpg)

*Een slinger onder stroboscooplicht: de standen dringen samen bij de keerpunten, waar het gewicht talmt, en waaieren uiteen onderaan, waar het zich haast — een foto van het [faseportret](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) dat dit hoofdstuk met vergelijkingen tekent.*

## 2.5 Opgaven

**Oefening 2.1 ★.**

Voor de massa aan een veer: (a) construeer $H$ uit $L$ en ga na dat $H =
E_k + E_p$; (b) schrijf de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) op en controleer dat zij $\ddot x = -\omega^2x$ opleveren; (c) toon aan dat de banen ellipsen zijn in het $(x, p)$-vlak en geef hun halve assen bij energie $E$; (d) in welke zin beweegt het beeldpunt met de wijzers van de klok mee?

**Oplossing van Oefening 2.1.**

(a) $p = m\dot x$, $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k +
E_p$. (b) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$, dus $\ddot x = -(k/m)x$. (c) $H = E$ is de ellips $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$: halve assen $\sqrt{2E/k}$ en $\sqrt{2mE}$. (d) In het meest rechtse punt ($x > 0$, $p = 0$) is $\dot p = -kx < 0$: het punt daalt — dus altijd met de wijzers van de klok mee.

**Oefening 2.2 ★.**

De kraal op de draaiende hoepel van het vorige hoofdstuk heeft $L =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta +
mgR\cos\theta$. (a) Bereken $p$ en $H$. (b) Blijft $H$ behouden? Is het de mechanische energie? (c) Schets de niveaukrommen van $H$ voor $\omega^2 < g/R$ en $\omega^2 > g/R$ met behulp van de effectieve potentiaal van dat hoofdstuk. (d) Benoem de centra, de zadelpunten en de separatrices in het snelle geval.

**Oplossing van Oefening 2.2.**

(a) $p = mR^2\dot\theta$; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2
\sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{eff}}(\theta)$. (b) Behouden ($H$ bevat geen expliciete $t$), maar het is $h$, niet de mechanische energie: de arbeid van de motor ontbreekt erin. (c) De niveaukrommen zijn $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{eff}})}$: bij trage rotatie ovalen rond $(0, 0)$ en een [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) door het zadelpunt bij $\theta = \pi$; bij snelle rotatie twee families ovalen rond $(\pm\theta_{\text{eq}}, 0)$. (d) Snel geval: centra bij $\pm\theta_{\text{eq}}$; zadelpunten bij $\theta = 0$ *en* $\theta =
\pi$; door $\theta = 0$ loopt een achtvormige [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) die de twee centra omsluit ([kleine trillingen](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) springen over de bodem heen), en door $\pi$ de buitenste [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) waarboven de kraal over de top blijft rondgaan.

**Oefening 2.3 ★.**

Een bal stuitert elastisch op de vloer, $H = p^2/2m + mgz$ ($z >
0$). (a) Teken de fasebaan voor één vlucht en voor de hele stuiterende beweging. (b) Wat doet de elastische stuit met het beeldpunt? (c) Bereken de omsloten oppervlakte bij maximale hoogte $z_{\max}$, en de [actie](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$. (d) De regel van Bohr–Sommerfeld $\oint p\,\dd z = nh$ toegepast op een stuiterend neutron ($m =
1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) geeft gekwantiseerde stuithoogtes: schat de laagste, en vergelijk met de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ die in het experiment met zwaartekrachtstoestanden van 2002 werd gemeten.

**Oplossing van Oefening 2.3.**

(a) Eén vlucht is de boog $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — een parabool die op haar zij ligt, doorlopen van $(0, +p_0)$ omhoog naar $(z_{\max}, 0)$ en weer omlaag naar $(0, -p_0)$. (b) De stuit beeldt $(0, -p_0)$ af op $(0, +p_0)$: een verticaal segment dat de lus sluit. (c) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z =
\tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$, en $I$ is dat gedeeld door $2\pi$. (d) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$: voor een neutron is $z_1 =
(6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — de juiste orde: het experiment in Grenoble vond de laagste zwaartekrachtstoestand nabij $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (de exacte behandeling, met de ware golffuncties, geeft $14\,\text{µ}\mathrm{m}$).

**Oefening 2.4 ★.**

Bereken uitsluitend uit de canonieke betrekkingen (a) $\{x^2, p\}$; (b) $\{xp, H\}$ voor $H = p^2/2m + E_p(x)$, en duid de twee termen (dit haakje drijft de *viriaalstelling* aan); (c) $\{L_z, x\}$ en $\{L_z, p_x\}$; (d) toon aan dat uit $\{f, H\} = 0$ en $\{g, H\} = 0$ volgt dat ook $\{f, g\}$ behouden blijft (gebruik de identiteit van Jacobi, aangenomen: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$).

**Oplossing van Oefening 2.4.**

(a) $\{x^2, p\} = 2x$. (b) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k -
x\,E_p'$: op een gebonden beweging is het tijdgemiddelde van $\dd(xp)/\dd t$ nul, dus $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — de viriaalstelling (voor $E_p \propto x^2$: $\langle E_k\rangle = \langle
E_p\rangle$; voor $\propto -1/r$: $2\langle E_k\rangle = -\langle
E_p\rangle$). (c) $\{L_z, x\} = y$, $\{L_z, p_x\} = p_y$: $L_z$ brengt rotaties van zowel posities als impulsen voort. (d) Jacobi met $h
= H$: $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$.

**Oefening 2.5 ★★.**

De slinger nabij zijn [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait). (a) Geef de energie van de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) en de maximale $|p|$ erop. (b) Toon aan dat op de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) $p =
\pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ met $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$. (c) Toon met $\dot\theta = p/m\ell^2$ aan dat de tijd om van $\theta$ naar de top te gaan logaritmisch divergeert. (d) Een echte slinger die net onder de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) wordt losgelaten blijft lang bij de omgekeerde stand hangen voordat hij terugzwaait — breng dit in verband met (c) en met de vertraging die men nabij elk zadelpunt ziet.

**Oplossing van Oefening 2.5.**

(a) $E_{\text{sep}} = mg\ell$ (de energie van de omgekeerde ruststand); maximale $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ onderaan. (b) Uit $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$. (c) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ is te scheiden: $\omega_0t =
\ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$, wat divergeert als $\theta \to \pi$: de top wordt benaderd maar nooit bereikt. (d) Net onder de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) schaduwt de beweging haar: de slinger kruipt de omgeving van het zadelpunt in, talmt — de logaritme — en valt ten slotte terug; elk zadelpunt vertraagt banen logaritmisch, en daarom lijkt een niet helemaal perfect gebalanceerde stok te aarzelen voordat hij valt.

**Oefening 2.6 ★★.**

Een geladen deeltje in een magnetisch veld heeft $H = (\vect p -
q\vect A)^2/2m$, met $\vect p$ de canonieke impuls van het vorige hoofdstuk. (a) Schrijf de [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) op voor $\vect A = \tfrac12
B(-y, x, 0)$ en ga na dat zij de cyclotronbeweging geven. (b) Toon aan dat $H =
\tfrac12 m\vect v^{\,2}$: het magneetveld verricht geen arbeid. (c) Bereken het haakje van de twee behouden grootheden $\pi_x = p_x - \tfrac12
qBy$ en $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (ga eerst na dat elk van beide behouden blijft) en toon aan dat $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$: twee behouden grootheden waarvan het haakje een constante is. (d) Leg met [Oefening 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d) uit waarom er van hen geen derde onafhankelijke behouden grootheid te verwachten viel.

**Oplossing van Oefening 2.6.**

(a) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ en $\dot p_x =
-\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect
A$, enzovoort; eliminatie van $\vect p$ levert weer $m\ddot x = qB\dot y$, $m\ddot y = -qB\dot x$. (b) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12
m\vect v^{\,2}$: uitsluitend kinetische energie — constant, want de magnetische kracht staat loodrecht op $\vect v$. (c) Met $m\dot x = p_x +
\tfrac12 qBy$: $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$, waarvan het behoud de eerste bewegingsvergelijking is (zo ook $\pi_y$); in het haakje overleven maar twee termen: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12
qB$ en $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$, samen $-qB$. ($\pi_x/qB$ en $\pi_y/qB$ zijn, op tekens na, de coördinaten van het geleidingscentrum van de cirkel.) (d) Volgens [Oefening 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d) blijft het haakje van twee behouden grootheden behouden — hier is dat de constante $-qB$, die triviaal behouden blijft en niets nieuws leert: er verschijnt geen derde grootheid.

**Oefening 2.7 ★★.**

Liouville met de hand. (a) Voor het vrije deeltje is de stroming $q \to q +
pt/m$, $p \to p$: toon aan dat een rechthoek een parallellogram met dezelfde oppervlakte wordt. (b) Toon voor de harmonische oscillator aan dat de stroming een rotatie is (in geschikte eenheden) en trek de conclusie. (c) Schrijf voor de *gedempte* oscillator $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$ de divergentie van de stroming in het $(x, v)$-vlak op en toon aan dat oppervlakten als $\eu^{-\gamma t}$ krimpen: demping is niet [hamiltoniaans](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (d) Waar “gaat” de verloren oppervlakte natuurkundig heen?

**Oplossing van Oefening 2.7.**

(a) De afbeelding $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ is een afschuiving: grondzijde en hoogte van de rechthoek blijven gelijk, en de oppervlakte ook (determinant $1$). (b) In de variabelen $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ is de stroming een starre rotatie met snelheid $\omega$; rotaties behouden oppervlakte, en de variabelenwissel heeft determinant $1$. (c) Het snelheidsveld $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ heeft divergentie $-\gamma$: elke oppervlakte krimpt als $\eu^{-\gamma t}$ en spiraliseert naar de oorsprong — onmogelijk voor een hamiltoniaanse stroming. (d) Naar de verwaarloosde [vrijheidsgraden](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): de luchtmoleculen en de fononen van de draad, wier volume in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) minstens evenveel groeit — de kiem van de tweede hoofdwet.

**Oefening 2.8 ★★.**

Vlakke beweging in een centrale potentiaal, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m
+ E_p(r)$. (a) Schrijf de vier [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) op. (b) Toon aan dat $\{
p_\varphi, H\} = 0$ en benoem de behoudswet. (c) Herleid tot een eendimensionale radiale [hamiltoniaan](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) met een effectieve potentiaal. (d) Bepaal voor $E_p = -k/r$ de cirkelbaan bij gegeven $p_\varphi$ en geef haar energie — die in [Probleem 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1) gekwantiseerd wordt.

**Oplossing van Oefening 2.8.**

(a) $\dot r = p_r/m$, $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$, $\dot p_r =
p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$, $\dot p_\varphi = 0$. (b) $H$ bevat $\varphi$ niet: $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi =
0$; behoud van impulsmoment. (c) $H_{\text{rad}} = p_r^2/2m +
U_{\text{eff}}(r)$ met $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$. (d) $U_{\text{eff}}' = 0$: $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$, en $E =
U_{\text{eff}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$.

**Oefening 2.9 ★★.**

(a) Ga $\{L_x, L_y\} = L_z$ na uit de canonieke betrekkingen. (b) Leid de andere twee haakjes af door cyclische verwisseling. (c) Toon aan dat $\{L^2, L_z\} = 0$. (d) Een star lichaam draait vrij: toon met $H =
L^2/2J$ (bolsymmetrische traagheid) aan dat alle drie de $L_i$ behouden blijven; en bij een lichaam met ongelijke traagheidsmomenten (antwoord kwalitatief vanuit de haakjes)?

**Oplossing van Oefening 2.9.**

(a) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$: alleen de niet-verdwijnende canonieke haakjes leveren $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z,
p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$. (b) Cyclisch hernoemen $x \to y \to z \to
x$ geeft de andere twee. (c) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} +
2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$. (d) Voor $H = L^2/2J$ is elk $\{L_i, H\} = 0$: $\vect L$ ligt vast. Met $H = \sum L_i^2/2J_i$ en ongelijke $J_i$ geldt $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — alleen $L^2$ en $H$ overleven, en het lichaam tuimelt (de tennisracketstelling uit het hoofdstuk over starre lichamen van het volume van jaar 2 leeft hier voort).

**Oefening 2.10 ★★★.**

Niveaus van de oude kwantumtheorie. (a) Toon met [Propositie 2.15](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-sho-action) aan dat $\oint p\,\dd q = nh$ toegepast op de harmonische oscillator $E_n = n\hbar\omega$ geeft. (b) Pas de regel toe op het deeltje in een doos met lengte $a$ en vind exact $E_n =
n^2h^2/8ma^2$ terug. (c) Bereken voor een tweeatomig molecuul gemodelleerd als een oscillator met veerconstante $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ en gereduceerde massa $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (koolstofmonoxide) de waarde van $\hbar\omega$ in eV en de golflengte van de emissie $n = 1 \to 0$; in welk deel van het spectrum valt zij? (d) De ware niveaus zijn $(n + \tfrac12)\hbar\omega$: verandert de ontbrekende helft de *uitgezonden* golflengten? Welk experiment meet die nulpuntshelft wel?

**Oplossing van Oefening 2.10.**

(a) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ geeft $E_n =
n\hbar\omega$. (b) Heen en weer bij constante $|p|$: $2pa = nh$, $p =
nh/2a$, $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — precies de oneindige put van het volume van jaar 2. (c) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$, $\lambda = hc/
\hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: midden-infrarood (de grondtoonband van CO, waarmee men het gas in de ruimte opspoort). (d) Nee: verschillen tussen niveaus veranderen niet door de gemeenschappelijke helft. De nulpuntsenergie toont zich in vergelijkingen die van het absolute niveau afhangen — isotoopverschuivingen van dissociatie-energieën (H$_2$ tegen D$_2$), of trillingen die bij het absolute nulpunt in kristallen blijven bestaan.

**Oefening 2.11 ★★★.**

Adiabatische invariantie van $E/\omega$, afgeleid. Een massa aan een veer waarvan de veerconstante $k(t)$ langzaam groeit. (a) Toon aan dat langs de exacte beweging $\dot E = \tfrac12\dot k\,
x^2$. (b) Middel over één periode bij vaste $k$: toon met $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ aan dat $\langle\dot E\rangle
= \dot k\,E/2k$. (c) Concludeer $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln
\omega$, dus $E/\omega$ constant. (d) Van een slinger die met amplitude $\theta_0 = 5^\circ$ zwaait wordt het koord langzaam ingekort van $1.0\,\mathrm{m}$ tot $0.5\,\mathrm{m}$: bepaal de nieuwe amplitude en de factor waarmee de energie groeide, en zeg waar die energie vandaan kwam.

**Oplossing van Oefening 2.11.**

(a) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$, dus langs een beweging is $\dot E =
\partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$. (b) Over één periode bij vrijwel vaste $k$ is $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, dus $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$. (c) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln
k$; omdat $\omega = \sqrt{k/m}$, is ook $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$: $E/\omega$ is invariant. (d) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ groeit met $\sqrt2$, dus groeit $E$ met $\sqrt2 \approx 1.41$. Met $E = \tfrac12
mg\ell\theta_0^2$ is $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$: $\theta_0' =
5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$. De energie wordt geleverd door wie aan het koord trekt: de spankracht overtreft gemiddeld $mg\cos\theta$ (centrifugale term), dus verricht het ophijsen netto positieve arbeid op de slingering.

**Oefening 2.12 ★★★.**

De oppervlakte binnen de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) van de slinger is een aantal kwantumtoestanden. (a) Toon aan dat $\oint p\,\dd\theta$ langs de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) gelijk is aan $16m\ell^2\omega_0$. (b) Volgens de regel van Bohr–Sommerfeld is het aantal kwantumtoestanden met energieën onder de [separatrix](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) $N \approx
16m\ell^2\omega_0/h$: bereken dit voor een massa van een gram aan een koord van $10\,\mathrm{cm}$. (c) Bereken het voor een moleculaire oscillator van het type ammoniak: $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$, $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (d) Concludeer: waar ligt de grens tussen mechanica die $\hbar$ nodig heeft en mechanica die dat niet heeft?

**Oplossing van Oefening 2.12.**

(a) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0
\cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2)
\big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$. (b) $\omega_0 =
9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 =
1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, dus $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ toestanden: de kwantumkorreligheid van een slinger op het lab ligt dertig ordes van grootte onder alles wat waarneembaar is. (c) $16 \times 10^{-26} \times
10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, dus $N \approx
240$: een moleculaire libratie bevat maar een paar honderd kwantumtoestanden, en haar laagste niveaus worden door spectroscopie stuk voor stuk opgelost. (d) De grens ligt waar de oppervlakten in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) een bescheiden veelvoud van $h$ zijn: moleculen en kleiner zijn kwantum, alles wat zichtbaar is klassiek.

## 2.6 Vraagstuk: De oude kwantumtheorie en het waterstofatoom

**Probleem 2.1.**

Weekendvraagstuk — de faseruimte kwantiseren, de Rydbergconstante wegen

In 1913 berekende Bohr het spectrum van waterstof uit planetaire mechanica plus één kwantumregel; Sommerfeld herkende die regel als een uitspraak over oppervlakte in de [faseruimte](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Dit vraagstuk bouwt hun berekening opnieuw op met het gereedschap van dit hoofdstuk. Gegevens: $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $1/4\pi\varepsilon_0 =
8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Schrijf $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$.

**Deel I — De [hamiltoniaan](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) van Kepler.** Een elektron beweegt in het vlak om een vast proton.

1. Rechtvaardig dat het proton als vast wordt behandeld (massaverhouding) en schrijf de [hamiltoniaan](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} +  \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ op.
2. Schrijf de vier [canonieke vergelijkingen](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) op.
3. Toon aan dat $p_\varphi$ behouden blijft en benoem het.
4. Herleid de radiale beweging tot de effectieve potentiaal $U_{\text{eff}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ en schets die.
5. Bepaal de cirkelbaan: $r_{\text{c}} =  p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
6. Toon aan dat haar energie $E = -k/2r_{\text{c}} =  -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ bedraagt, en ga na dat dit de helft van de potentiële energie is (de viriaalverhouding van de zwaartekrachtbanen uit het volume van jaar 1).

**Deel II — De klassieke baan.**

7. Bepaal voor een cirkelbaan met straal $r$ de snelheid $v$ en de omloopfrequentie $f_{\text{orb}}$ als functies van $r$ .
8. Voor een baan van atomaire afmeting, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : bereken $v$ (en $v/c$ ), $f_{\text{orb}}$ en de energie in eV.
9. Bereken het impulsmoment $p_\varphi$ van die baan en vergelijk het met $\hbar = h/2\pi$ : wat doet de nabijheid vermoeden?
10. Klassiek is een omlopend elektron een trillende dipool die straalt (volume van jaar 2) bij $f_{\text{orb}}$ ; zijn energie vervalt in ongeveer $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ . Noem de twee fatale voorspellingen die dit voor atomen doet, en wat er in plaats daarvan wordt waargenomen.
11. Welk kenmerk van de waargenomen spectra (discrete lijnen, de combinatieregel $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) deed discrete energie *niveaus* vermoeden?
12. Leg uit waarom een *[adiabatische invariant](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)* de natuurlijke kandidaat is voor een grootheid die vaste universele waarden aanneemt (denk aan [Propositie 2.16](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) ).

**Deel III — Kwantisering.** Leg de regel van Sommerfeld op aan de hoekbeweging van de cirkelbaan: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$, $n = 1, 2, 3, \dots$

13. Toon aan dat de regel $p_\varphi = n\hbar$ luidt.
14. Leid de toegestane stralen $r_n = n^2a_0$ af met $a_0 =  \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , en bereken $a_0$ .
15. Leid de toegestane energieën $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ af met $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , en bereken $E_{\text{I}}$ in joule en in eV.
16. Bereken de snelheid op de eerste baan en ga na dat $v_1/c =  k/\hbar c \approx 1/137$ (de fijnstructuurconstante).
17. Een foton draagt de energie van een overgang: leid de formule van Rydberg af en de waarde van $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ; vergelijk met de gemeten $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
18. Bereken de golflengten van de overgangen $2 \to 1$ , $3 \to 2$ en $\infty \to 2$ ; welke is zichtbaar, en welke kleur?
19. Het geïoniseerde heliumion He $^+$ is waterstof met kernlading $2e$ : hoe schalen $a_0$ en $E_{\text{I}}$ , en waar valt zijn lijn $2 \to 1$ ?

**Deel IV — De confrontatie.**

20. Bereken de omloopfrequentie $f_{\text{orb}}(n)$ en de overgangsfrequentie $\nu_{n \to n-1}$ voor $n = 2$ , $10$ en $100$ , en toon aan dat hun verhouding naar $1$ gaat als $n$ groeit.
21. Dit is het *correspondentiebeginsel* van Bohr: formuleer het in één zin.
22. De regel $p_\varphi = n\hbar$ begint bij $n = 1$ : welke ongerijmdheid zou $n = 0$ voor een cirkelbaan betekenen?
23. De kwantummechanica zal $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ exact behouden en toch de banen verwerpen: noem twee meetbare feiten die het baanbeeld verkeerd voorspelt (de grootte van het impulsmoment van de grondtoestand; het bestaan van toestanden met dezelfde $n$ en verschillende vorm).
24. Het muon is een elektron dat $207$ keer zwaarder is: bereken voor muonisch waterstof $a_0^\mu$ en $E_{\text{I}}^\mu$ , en leg uit waarom muonische atomen de *kern* aftasten.
25. Vat het genoemde resultaat samen: één [adiabatische invariant](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) , gelijkgesteld aan hele veelvouden van $h$ , levert $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ en het waterstofspectrum tot op vier cijfers — en geeft de ware theorie haar twee centrale constanten in handen.

**Oplossing van Probleem 2.1.**

**1.** $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$: het proton beweegt 1836 keer minder; $H$ zoals gegeven, in het vlak van de baan. **2.** $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$, $\dot\varphi =
p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$, $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 -
k/r^2$, $\dot p_\varphi = 0$. **3.** $\varphi$ ontbreekt in $H$: $p_\varphi$, het impulsmoment, blijft behouden. **4.** $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$: afstotende wand bij kleine $r$, coulombstaart bij grote $r$, één minimum ertussen. **5.** $U_{\text{eff}}' = 0$ bij $r_{\text{c}} =
p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$. **6.** $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} =
-m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$: de viriaalverhouding van elke cirkelbaan in $1/r$. **7.** $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$: $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$, $f_{\text{orb}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$. **8.** $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$: $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($v/c =
0.0075$), $f_{\text{orb}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $E = -k/2r =
-2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$. **9.** $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx
\hbar$: een atomaire baan draagt een impulsmoment van de orde $\hbar$ — de constante van Planck zit in de afmetingen van atomen ingebakken. **10.** Elk atoom zou binnen $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$ moeten instorten, terwijl zijn licht continu naar kortere golflengten schuift. Waargenomen: atomen zijn eeuwig en zenden scherpe, vaste lijnen uit. **11.** $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ schrijft elke waargenomen frequentie als een *verschil* van termen: energie wordt uitgewisseld tussen vaste niveaus $-hcR_H/n^2$. **12.** Een grootheid die op universele waarden vastligt mag niet verlopen wanneer het atoom zacht wordt gestoord (velden, botsingen, langzame veranderingen); een [adiabatische invariant](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) is precies wat onder langzame storing vast blijft — dus kwantiseer de [actie](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#def-b3-lagrangian-mechanics-action). **13.** $p_\varphi$ is constant op de baan: $\oint
p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$, dus $p_\varphi =
n\hbar$. **14.** $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$, $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$. **15.** $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$, $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} =
13.6\,\mathrm{eV}$. **16.** $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_1/c = k/\hbar c =
1/137$: de fijnstructuurconstante $\alpha$, die meet hoe niet-relativistisch het atoom is. **17.** $h\nu = E_{n'} - E_n$ geeft $1/\lambda =
(E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$: $R_H = E_{\text{I}}/hc =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$, in overeenstemming met de gemeten $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ tot op de nauwkeurigheid van onze constanten. **18.** $2 \to 1$: $122\,\mathrm{nm}$ (ver ultraviolet, Lyman $\alpha$); $3 \to 2$: $656\,\mathrm{nm}$, de zichtbare rode lijn die emissienevels kleurt; $\infty \to 2$: $365\,\mathrm{nm}$, de rand van de balmerreeks in het nabije ultraviolet. **19.** $k \to 2k$: de stralen krimpen met een factor $2$, $E_{\text{I}} \to
4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$; de lijn $2 \to 1$ valt bij $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$, in het extreme ultraviolet. **20.** $f_{\text{orb}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$. De verhouding $\nu/f_{\text{orb}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$ is $3$ bij $n = 2$, $1.17$ bij $n = 10$ en $1.015$ bij $n = 100$. **21.** In de limiet van grote kwantumgetallen moeten de kwantumvoorspellingen in de klassieke overgaan — hier de uitgestraalde frequentie in de omloopfrequentie. **22.** $n = 0$ betekent $p_\varphi = 0$: een “cirkelbaan” met straal nul, het elektron op het proton — zo’n beweging bestaat niet. **23.** Gemeten waterstof heeft een grondtoestand met impulsmoment *nul* (niet $\hbar$), en verscheidene verschillende toestanden met dezelfde $n$ (de vormen $s$, $p$ en $d$ uit de scheikunde) — beide onmogelijk voor één enkele cirkelbaan. **24.** $a_0 \propto 1/m$: $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (röntgenstraling). Het muon draait tweehonderd keer dichterbij — bij zware elementen deels *binnen* de kernlading — zodat zijn niveaus kernstralen meten (en het moderne raadsel van de protongrootte hebben aangescherpt). **25.** Eén [adiabatische invariant](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) gelijkgesteld aan $nh$ levert $a_0 =
52.9\,\mathrm{pm}$, $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ en $R_H =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — getallen die de volledige kwantumtheorie van [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/11-het-waterstofatoom#ch-b3-hydrogen-atom) ongewijzigd zal laten, terwijl zij de banen die ze voortbrachten vervangt.