---
title: "Elektromagnetisme in materie"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 3"
subject: physics
language: nl
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/22-elektromagnetisme-in-materie
---

# Hoofdstuk 22 — Elektromagnetisme in materie

Schuif een plaat plastic tussen de platen van een geladen condensator en de spanning zakt, alsof er uit het niets lading is verschenen. Wikkel een spoel om een ijzeren spijker en haar magneetveld wordt duizend keer zo groot. Trek een siermagneet van de koelkast en hij *onthoudt* in welke richting hij gemagnetiseerd is — decennialang, zonder voeding. Het deel van jaar 2 behandelde velden in materie in het groot en verstopte het materiaal in een brekingsindex; dit hoofdstuk maakt het materiaal open. Het plan is voor de elektriciteit en voor het magnetisme hetzelfde: materie is een menigte microscopische dipolen; tel ze op tot een dichtheid ($\vect P$ of $\vect M$); verzin een hulpveld ($\vect D$ of $\vect H$) dat alleen de ladingen en stromen ziet die wij beheersen; daal dan af naar de microscopische schaal — waar de spins van [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/12-spin-en-stelsels-met-twee-niveaus#ch-b3-spin-two-level), de boltzmannfactor van [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/17-het-kanonieke-ensemble#ch-b3-canonical-ensemble) en de gemiddeldeveldovergang van [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#ch-b3-phase-transitions) het overnemen — om te berekenen wat het materiaal doet. Het hoofdstuk eindigt op het schrootterrein, met het ontwerp van de elektromagneet die auto’s optilt.

## 22.1 Polarisatie en het verschuivingsveld

**Definitie 22.1 (Polarisatie en gebonden ladingen).**

Een *diëlektricum* is een isolator waarvan de moleculen elektrische dipoolmomenten verwerven (of al bezitten). Het antwoord van het materiaal wordt samengevat door de *polarisatie* $\vect P$: het dipoolmoment per volume-eenheid, $\vect P = n\langle\vect p\rangle$ voor $n$ moleculen per volume-eenheid. Een gepolariseerd blok draagt *gebonden ladingen* — niet vrij om te vertrekken, maar volkomen echt: een oppervlaktedichtheid $\sigma_{\text{b}} = \vect P\cdot\vect n$ waar de polarisatie het oppervlak ontmoet, en een volumedichtheid $\rho_{\text{b}} =
-\nabla\cdot\vect P$ overal waar zij niet uniform is. Een uniform gepolariseerde plaat is precies gelijkwaardig aan twee ladingsvlakken $\pm P$ op haar zijden: alle koppen en staarten van de dipolen binnenin heffen elkaar op.

**Propositie 22.2 (Het verschuivingsveld).**

De totale lading is vrij plus gebonden; de wet van Gauss met $\rho =
\rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}}$ herschikt zich tot een wet voor de *[elektrische verschuiving](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)* $\vect D = \varepsilon_0\vect E +
\vect P$:

$$
\nabla\cdot\vect D = \rho_{\text{f}} :
$$

de bronnen van $\vect D$ zijn alleen de vrije ladingen — die op onze platen en draden. In een *lineair* [diëlektricum](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) is het antwoord evenredig, $\vect P = \varepsilon_0\chi_{\text{e}}\vect E$, dus $\vect D = \varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}\vect E$ met $\varepsilon_{\text{r}} = 1 + \chi_{\text{e}}$ de *[relatieve permittiviteit](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)*: lucht $1.0006$, polyetheen $2.3$, glas $\sim 5$, water een enorme $80$. Tussen condensatorplaten die op vaste lading worden gehouden, verandert het [diëlektricum](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) $\vect D$ niet, zodat $\vect E =
\vect D/\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}$ met een factor $\varepsilon_{\text{r}}$ *zakt*: de gebonden oppervlakteladingen staan tegenover de vrije en heffen het grootste deel van hun veld op. De capaciteit wordt vermenigvuldigd met $\varepsilon_{\text{r}}$ — de hele condensatorindustrie in één Griekse letter.

**Bewijs.** $\nabla\cdot(\varepsilon_0\vect E) = \rho_{\text{f}} +
\rho_{\text{b}} = \rho_{\text{f}} - \nabla\cdot\vect P$; breng de polarisatieterm naar links. ∎

![Een diëlektrische plaat tussen geladen platen. Het veld richt de moleculaire dipolen; hun ladingen binnenin heffen elkaar paarsgewijs op en laten gebonden vlakken _ b op de zijden achter — die de vrije lading tegenwerken en het inwendige veld van E_0 verkleinen tot E = E_0/ _ r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-1725ef140772.svg)

*Een diëlektrische plaat tussen geladen platen. Het veld richt de moleculaire dipolen; hun ladingen binnenin heffen elkaar paarsgewijs op en laten gebonden vlakken $\mp\sigma_{\text{b}}$ op de zijden achter — die de vrije lading tegenwerken en het inwendige veld van $\vect E_0$ verkleinen tot $\vect E = \vect E_0/\varepsilon_{\text{r}}$.*

## 22.2 Waar de permittiviteit vandaan komt

**Propositie 22.3 (Geïnduceerde polarisatie en Clausius–Mossotti).**

Een atoom in een veld $\vect E_{\text{loc}}$ rekt uit tot een dipool $\vect p = \alpha\vect E_{\text{loc}}$, met $\alpha$ de *polariseerbaarheid* (dimensie: $\varepsilon_0\times$volume — ruwweg $\varepsilon_0$ maal het atomaire volume). In een ijl gas is $E_{\text{loc}} \approx E$ en is $\chi_{\text{e}} =
n\alpha/\varepsilon_0$ klein. In een dicht medium voelt elk molecuul ook zijn gepolariseerde buren: een kleine bolvormige holte eromheen uitsnijden geeft $\vect E_{\text{loc}} = \vect E + \vect
P/3\varepsilon_0$, en zelfconsistentie levert de *[relatie van Clausius–Mossotti](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti)*

$$
\frac{\varepsilon_{\text{r}} - 1}{\varepsilon_{\text{r}} + 2}
= \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0} :
$$

meet de piepkleine susceptibiliteit van een damp en voorspel die van de vloeistof — voor niet-polaire vloeistoffen klopt het tot op enkele procenten.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 22.4.**

Het holteveld $\vect P/3\varepsilon_0$ is het resultaat voor de uniform gepolariseerde bol, dat hier zonder bewijs wordt aangehaald; de eerlijke afleiding met randvoorwaarden hoort in een aparte cursus elektrodynamica. Al het overige hierboven is boekhouding.

**Propositie 22.5 (Polaire moleculen: de langevinfunctie).**

Een molecuul met een *permanente* dipool $p$ (water: $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) hoeft niet uitgerekt te worden — alleen gericht, tegen de thermische onrust in. Het canonieke gemiddelde van [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/17-het-kanonieke-ensemble#ch-b3-canonical-ensemble) over de oriëntaties, met energie $-pE\cos\theta$, geeft

$$
\langle\cos\theta\rangle = L(x) = \coth x - \frac1x ,
\qquad x = \frac{pE}{k_{\text{B}}T} ,
$$

de *[langevinfunctie](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin)*: lineair ($L \approx x/3$) bij kleine $x$, verzadigend bij $1$ wanneer het veld het volledig wint. In het lineaire regime is $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ — een elektrische curiewet, die als $1/T$ afneemt: verwarm een polaire vloeistof en haar permittiviteit *zakt*, het kenmerk dat permanente van geïnduceerde dipolen onderscheidt. Voor water bij kamertemperatuur voorspelt dit $\chi_{\text{e}} \sim 12$ — de juiste ordegrootte, waarbij de samenwerking van waterstofbruggen de werkelijke waarde tot $80$ opdrijft.

**Gedeeltelijk bewijs.** $Z = \int_0^\pi \eu^{x\cos\theta}\,2\pi\sin\theta\,\dd\theta \propto
\sinh x/x$, en $\langle\cos\theta\rangle = \dd\ln Z/\dd x = \coth x
- 1/x$. Ontwikkelen van $\coth x = 1/x + x/3 - \dots$ voor kleine $x$ geeft $L \approx x/3$, dus $P = np\langle\cos\theta\rangle =
np^2E/3k_{\text{B}}T$. ∎

![De langevinfunctie. Gewone velden leven diep beneden in het lineaire regime (x 10-3 zelfs bij doorslagvelden): het volledig richten van de dipolen van water zou E 7 × 108\, V/ m vergen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-09a2a1942bb5.svg)

*De [langevinfunctie](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin). Gewone velden leven diep beneden in het lineaire regime ($x \sim 10^{-3}$ zelfs bij doorslagvelden): het volledig richten van de dipolen van water zou $E \sim 7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ vergen.*

## 22.3 Magnetisatie en het veld $H$

**Definitie 22.6 (Magnetisatie, gebonden stromen en H).**

Het magnetische verhaal loopt parallel. Materie zit vol microscopische stroomlussen — elektronen die banen doorlopen en om hun as draaien, elk een magnetische dipool $\vect\mu$; hun dichtheid is de *magnetisatie* $\vect M = n\langle\vect\mu\rangle$. Een uniform gemagnetiseerd blok is gelijkwaardig aan een *gebonden oppervlaktestroom* die om zijn zijkanten loopt (de lussen binnenin heffen elkaar paarsgewijs op; een staafmagneet *is* een solenoïde van gebonden stroom). Als u de stromen in vrije en gebonden splitst, herschikt de wet van Ampère zich rond het hulpveld

$$
\vect H = \frac{\vect B}{\mu_0} - \vect M , \qquad
\oint \vect H\cdot\dd\vect\ell = I_{\text{vrij}} :
$$

$\vect H$ wordt gevoed door de stromen in onze draden (eenheden $\mathrm{A}/\mathrm{m}$), terwijl $\vect B$ de fysica behoudt — krachten, flux, inductie. Lineaire media hebben $\vect M = \chi_{\text{m}}\vect H$ en $\vect B = \mu_0(1 + \chi_{\text{m}})\vect H =
\mu_0\mu_{\text{r}}\vect H$.

**Opmerking 22.7 (Drie magnetische karakters).**

Materialen antwoorden op $\vect H$ op drie manieren. *Diamagneten* ($\chi_{\text{m}} \sim -10^{-5}$: water, koper, grafiet) reageren als de wet van Lenz die permanent is gemaakt: het aangelegde veld verstoort elke elektronbaan zó dat zij het tegenwerkt — zwak, universeel, temperatuuronafhankelijk, en afgestoten door magneten (een kikker is op deze manier in een boring van $16\,\mathrm{T}$ laten zweven). *Paramagneten* ($\chi_{\text{m}} \sim +10^{-5}$ tot $10^{-3}$: aluminium, O$_2$) bezitten permanente momenten — ongepaarde spins uit [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/14-identieke-deeltjes#ch-b3-identical-particles) — die zich richten als de dipolen van Langevin: $\chi_{\text{m}} = \mu_0 n\mu^2/3k_{\text{B}}T$, een curiewet in $1/T$ (de kwantummechanische tweeniveauversie is [Oefening 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/17-het-kanonieke-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-11)). *Ferromagneten* (ijzer, kobalt, nikkel: $\mu_{\text{r}}$ in de duizenden) zijn paramagneten waarvan de spins ook met elkaar praten — de uitwisselingskoppeling van [Oefening 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/14-identieke-deeltjes#exo-b3-identical-particles-12) — en onder de [curietemperatuur](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#thm-b3-phase-transitions-meanfield) richten zij zich *spontaan*: [Stelling 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#thm-b3-phase-transitions-meanfield), nu aan het werk gezet.

## 22.4 Ferromagnetisme aan het werk: domeinen en hysterese

**Definitie 22.8 (Domeinen en hysterese).**

Een ruwe klomp ijzer is *niet* gemagnetiseerd: hij valt uiteen in *domeinen*, gebieden op micronschaal die elk volledig gemagnetiseerd zijn maar verschillend gericht, zodat het uitwendige veld (en de energieprijs ervan) vrijwel wegvalt. Een aangelegde $\vect H$ verplaatst de domeinwanden — de gunstige domeinen groeien — en draait daarna hele domeinen op één lijn. Wanden blijven aan defecten haken, zodat het proces onomkeerbaar is: laat $H$ op en neer gaan en $B(H)$ tekent een lus, de *hysteresecyclus*. Schakel de stroom uit en er blijft een *remanent* veld $B_{\text{r}}$ over; het opheffen ervan vergt het tegengestelde *coërcitieve* veld $H_{\text{c}}$. Het door de lus omsloten oppervlak is de energie die per cyclus en per volume-eenheid wordt gedissipeerd. *Zachte* materialen (siliciumstaal, ferrieten: dunne lus, kleine $H_{\text{c}}$) leveren de kernen van transformatoren en motoren; *harde* (alnico, Nd$_2$Fe$_{14}$B: dikke lus, enorme $H_{\text{c}}$) leveren permanente magneten — en magnetisch geheugen: de koelkastmagneet en de harde schijf zijn hysteresekrommen die weigeren te vergeten.

![Domeinen. Links: een maagdelijke ferromagneet verbergt zijn magnetisatie in gebieden die elkaar opheffen. Rechts: het aangelegde veld laat ze groeien en draait ze tot één gemagnetiseerd blok — via onomkeerbare wandsprongen die ijzer zijn geheugen geven.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-62bfb3bf7853.svg)

*Domeinen. Links: een maagdelijke ferromagneet verbergt zijn [magnetisatie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) in gebieden die elkaar opheffen. Rechts: het aangelegde veld laat ze groeien en draait ze tot één gemagnetiseerd blok — via onomkeerbare wandsprongen die ijzer zijn geheugen geven.*

![De hysteresecyclus. Vanuit de maagdelijke toestand (gestreept) drijft het veld B naar verzadiging; H naar nul terugbrengen laat de remanentie B_ r achter, en alleen het coërcitieve veld -H_ c wist haar uit. Lusoppervlak = warmte per cyclus per volume-eenheid: dunne lussen voor transformatoren, dikke lussen voor permanente magneten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-1c730fd98a24.svg)

*De [hysteresecyclus](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). Vanuit de maagdelijke toestand (gestreept) drijft het veld $B$ naar verzadiging; $H$ naar nul terugbrengen laat de [remanentie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) $B_{\text{r}}$ achter, en alleen het coërcitieve veld $-H_{\text{c}}$ wist haar uit. Lusoppervlak = warmte per cyclus per volume-eenheid: dunne lussen voor transformatoren, dikke lussen voor permanente magneten.*

**Voorbeeld 22.9 (De elektromagneet met ijzeren kern).**

Wikkel $N$ windingen die $I$ voeren om een ijzeren ring ($\mu_{\text{r}}
\sim 5000$) met een kleine luchtspleet $e$. De wet van Ampère voor $\vect H$ rond de lus: $H_{\text{ijzer}}\ell + H_{\text{spleet}}e = NI$, en de continuïteit van de flux maakt $B$ gemeenschappelijk, dus

$$
B\Big(\frac{\ell}{\mu_0\mu_{\text{r}}} + \frac{e}{\mu_0}\Big) = NI .
$$

Met $\ell = 1\,\mathrm{m}$ en $e = 1\,\mathrm{cm}$ is de spleetterm vijftig keer de ijzerterm: bijna alle moeite van de spoel gaat op aan het veld door één centimeter lucht duwen. Dat is het magnetische circuit in één regel — ijzer is een bijna perfecte geleider van flux, lucht de weerstand — en daarom houden motoren, relais en schroothijsers hun luchtspleten meedogenloos dun ([Probleem 22.1](#pb-b3-electromagnetism-in-matter-1)).

![Een ferrovloeistof boven een verborgen magneet: de magnetisatie van de vloeistof maakt veldenergie goedkoper dan zwaartekracht en oppervlaktespanning, en het oppervlak knikt tot een rooster van pieken — M, zichtbaar gemaakt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-e2d2cf27d26a.jpg)

*Een ferrovloeistof boven een verborgen magneet: de [magnetisatie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) van de vloeistof maakt veldenergie goedkoper dan zwaartekracht en oppervlaktespanning, en het oppervlak knikt tot een rooster van pieken — $\vect M$, zichtbaar gemaakt.*

## 22.5 Opgaven

**Oefening 22.1 ★.**

Boekhouden met [gebonden lading](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Een plaat met dikte $d$ is uniform gepolariseerd langs haar normaal, met grootte $P$. (a) Geef de gebonden ladingsdichtheden op elk vlak. (b) Toon aan dat het veld *binnenin* ten gevolge van die vlakken $E = P/\varepsilon_0$ is, tegengesteld aan $\vect P$. (c) Wat is $\vect D$ binnenin, als er nergens vrije lading is? (d) Een staafelektreet (ingevroren $\vect P$) is de elektrische tegenhanger van welk magnetisch voorwerp?

**Oplossing van Oefening 22.1.**

(a) $+P$ op het vlak waar $\vect P$ naartoe wijst, $-P$ op het andere. (b) Twee oneindige vlakken $\pm P$ leveren $P/\varepsilon_0$ ertussen, gericht van $+$ naar $-$, dat wil zeggen *tegen* $\vect P$ in. (c) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — zoals het moet: geen vrije lading, en de normale component van $\vect D$ sluit continu aan op het vacuüm buiten. (d) Een staafmagneet: ingevroren dipooldichtheid, met een veld dat door zijn eigen gebonden bronnen in stand wordt gehouden.

**Oefening 22.2 ★.**

Condensator met [diëlektricum](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Een vlakkeplaatcondensator ($C_0 = 100\,\mathrm{pF}$) wordt tot $12\,\mathrm{V}$ geladen en losgekoppeld. Een plaat met $\varepsilon_{\text{r}} = 4$ vult hem. Bepaal (a) de nieuwe capaciteit; (b) de nieuwe spanning; (c) de energie voor en na — waar is het verschil gebleven? (d) Herhaal (b)–(c) met de batterij aangesloten.

**Oplossing van Oefening 22.2.**

(a) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$. (b) $Q =
1.2\,\mathrm{nC}$ zit gevangen: $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$. (c) $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ ervoor, $1.8\,\mathrm{nJ}$ erna: de ontbrekende $5.4\,\mathrm{nJ}$ werd mechanische arbeid — het randveld *trekt de plaat naar binnen*. (d) Met batterij aangesloten: $V$ blijft $12\,\mathrm{V}$, $Q$ verviervoudigt, de energie stijgt tot $28.8\,\mathrm{nJ}$ — de batterij betaalt zowel de nieuwe veldenergie als het trekken.

**Oefening 22.3 ★.**

De dierentuin van de susceptibiliteiten. Classificeer (dia-, para- of ferromagnetisch) en onderbouw waar u kunt vanuit de elektronenstructuur: water ($\chi_{\text{m}} = -9\times10^{-6}$), aluminium ($+2.2\times10^{-5}$), vloeibare zuurstof ($+3.5\times10^{-3}$ — waarom is O$_2$ überhaupt magnetisch?), nikkel ($\mu_{\text{r}} \sim 600$ bij klein veld). Welke van de vier zou een sterke magneet zichtbaar aantrekken, en welke ietwat afstoten?

**Oplossing van Oefening 22.3.**

Water: diamagnetisch — alle elektronen gepaard, alleen door Larmor geïnduceerde tegenwerking. Aluminium: paramagnetisch (de spins van de geleidingselektronen). Vloeibare zuurstof: sterk paramagnetisch — O$_2$ draagt *twee ongepaarde* elektronen (vulling volgens de regel van Hund van zijn antibindende orbitalen, [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/14-identieke-deeltjes#ch-b3-identical-particles)); zij blijft zichtbaar tussen magneetpolen hangen. Nikkel: ferromagnetisch. De magneet trekt zichtbaar nikkel en vloeibare zuurstof aan en stoot water ietwat af — de kuil die een sterke magneet in een wateroppervlak maakt.

**Oefening 22.4 ★.**

$B$, $H$, $M$. Een lange solenoïde ($n = 2000$ windingen per meter, $I = 1.5\,\mathrm{A}$) wordt met ijzer gevuld, en er wordt $B = 1.6\,\mathrm{T}$ gemeten. Bereken (a) $H$; (b) $M$; (c) de versterking $B/\mu_0H$; (d) de gebonden oppervlaktestroom per meter die gelijkwaardig is aan $M$ — vergelijk die met de $nI$ van de spoel zelf.

**Oplossing van Oefening 22.4.**

(a) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (b) $M = B/\mu_0 - H =
1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (c) $B/\mu_0H \approx 420$. (d) De gelijkwaardige gebonden vlakstroom is $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ per meter — vierhonderd keer de $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ van de spoel zelf: het ijzer doet vrijwel al het werk.

**Oefening 22.5 ★★.**

Coaxkabel, geïsoleerd. Een coaxlijn (binnenstraal $a$, buiten $b$) draagt vrije lading $\lambda$ per lengte-eenheid op de kern, met [diëlektricum](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) $\varepsilon_{\text{r}}$ ertussen. (a) Bepaal $\vect D(r)$ uit de symmetrie. (b) Leid $\vect E$ en $\vect P$ af. (c) Bereken de gebonden ladingsdichtheden bij $r = a$ en $r = b$ en controleer dat ze per lengte-eenheid tot nul optellen. (d) Toon aan dat de capaciteit per lengte-eenheid met $\varepsilon_{\text{r}}$ wordt vermenigvuldigd.

**Oplossing van Oefening 22.5.**

(a) Een cilindrisch gaussoppervlak omsluit alleen vrije lading: $D = \lambda/2\pi r$, radiaal. (b) $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$, $P =
(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$. (c) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$: per lengte-eenheid $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$; bij $r = b$ is het $+P(b)$: per lengte-eenheid $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — som nul, zoals [gebonden lading](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) moet. (d) $V = \int E\,\dd r =
(\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$, dus $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$: vermenigvuldigd met $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Oefening 22.6 ★★.**

Clausius–Mossotti aan het werk. Gasvormig argon bij $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$ heeft $\varepsilon_{\text{r}} = 1.00052$. (a) Haal $\alpha/\varepsilon_0$ eruit (een volume) en vergelijk met het atomaire volume. (b) Vloeibaar argon heeft $n = 2.1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: voorspel $\varepsilon_{\text{r}}$ met Clausius–Mossotti (gemeten: 1.53). (c) Waarom schiet de naïeve $\chi = n\alpha/\varepsilon_0$ hier minder ver door dan voor water? (d) Voor welke moleculen moet het hele schema falen, en wat komt ervoor in de plaats?

**Oplossing van Oefening 22.6.**

(a) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, dus $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — het volume van een bol met straal $\approx1.7\,\text{Å}$: polariseerbaarheid *is* atomair volume, in eenheden van $\varepsilon_0$. (b) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$, dus $(\varepsilon_{\text{r}} -
1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ geeft $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — precies de gemeten waarde. (c) De correctie voor het lokale veld is hier een effect van 15 %; argon is niet-polair, dus er is geen oriëntatiebijdrage die kan ontsporen. (d) Polaire moleculen (water, HCl): permanente dipolen overheersen en werken op elkaar in; de theorie van Langevin–Debye (en, voor dichte vloeistoffen, Onsager) komt in de plaats van het eenvoudige holteargument.

**Oefening 22.7 ★★.**

De reusachtige permittiviteit van water. (a) Bereken uit [Propositie 22.5](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ voor water ($n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$, $T = 300\,\mathrm{K}$). (b) Schat het veld dat voor $x = 1$ nodig is (serieuze verzadiging) en vergelijk het met de doorslagsterkte van water $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (c) Magnetrons draaien op $2.45\,\mathrm{GHz}$: waarom verwarmt een *verliesgevend* antwoord van draaiende dipolen voedsel, en waarom warmt ijs veel langzamer op dan vloeibaar water? (d) Voorspel het teken van $\dd\varepsilon_{\text{r}}/\dd T$ voor water en voor argon.

**Oplossing van Oefening 22.7.**

(a) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx
11.5$. (b) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — tien keer het doorslagveld: water werkt altijd diep in het lineaire regime. (c) Bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ houden de dipolen het bijna bij maar lopen ze achter: het deel van het antwoord dat uit fase is verricht elke cyclus netto arbeid op het water — diëlektrische verhitting. In ijs zitten de moleculen aan het rooster vast; hun rotatierelaxatie ligt bij kilohertz, zodat ijs bij gigahertz nauwelijks absorbeert (ontdooiprogramma’s pulseren zachtjes en laten gesmolten water het verwarmen doen). (d) Water: negatief (oriëntatieantwoord in $1/T$); argon: in wezen nul — geïnduceerde polariseerbaarheid trekt zich niets van de temperatuur aan.

**Oefening 22.8 ★★.**

Diamagnetisme geschat. Behandel een atomair elektron als een lading op een ring met straal $r$; een aangelegde $B$ verandert zijn hoekfrequentie met de larmorverschuiving $\Delta\omega = eB/2m_{\text{e}}$. (a) Toon aan dat het geïnduceerde moment $\Delta\mu = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ is (tegengesteld aan $B$). (b) Middelen over de oriëntaties en optellen over $Z$ elektronen per atoom geeft $\chi_{\text{m}} = -\mu_0ne^2Z\langle
r^2\rangle/6m_{\text{e}}$: evalueer dat voor water ($n =
3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ moleculen, $Z = 10$, $\langle r^2\rangle
\approx (0.7\,\text{Å})^2$) en vergelijk met de gemeten $-9\times10^{-6}$. (c) Waarom is diamagnetisme temperatuuronafhankelijk en paramagnetisme niet? (d) Waarom zweeft zelfs een kikker in $16\,\mathrm{T}$, en waarom moet het veld van de magneet *niet-uniform* zijn?

**Oplossing van Oefening 22.8.**

(a) De larmorverschuiving verandert de rondgaande stroom met $\Delta I
= -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$, dus $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$, tegengesteld aan $\vect B$, welke kant het elektron ook rondgaat — de wet van Lenz op atomaire schaal. (b) Met de gegeven getallen is $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$: de gemeten $-9\times10^{-6}$, uit een ringmodel. (c) Het geïnduceerde moment komt van vervorming van de baan, niet van een boltzmannwedstrijd tussen richting en wanorde — nergens een $T$. (d) Water is diamagnetisch, dus de kikker wordt naar zwak veld geduwd; de krachtdichtheid $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ verdwijnt in een uniform veld — zweven vergt een $B\,\dd B/\dd z$ die groot genoeg is om $\rho g$ in evenwicht te houden, vandaar de boring van $16\,\mathrm{T}$.

**Oefening 22.9 ★★.**

Curieparamagnetisme en koeling. Een zout draagt $n =
2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ ionen met moment $\mu \approx \mu_{\text{B}}$. (a) Bereken $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ bij $300\,\mathrm{K}$ en bij $1\,\mathrm{K}$. (b) Bij welke temperatuur zou $\chi_{\text{m}}$ de waarde $1$ bereiken — en welke (hier verwaarloosde) fysica komt er in de meeste zouten eerder tussen? (c) Adiabatische demagnetisatie: magnetiseer bij $1\,\mathrm{K}$, isoleer, en haal het veld dan langzaam weg — verklaar met de spinentropie van [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/16-het-microkanonieke-ensemble#ch-b3-microcanonical-ensemble) waarom het monster afkoelt. (d) Waarom heeft de methode een *para*magneet nodig en geen ferromagneet?

**Oplossing van Oefening 22.9.**

(a) $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T
\approx 1.7\times10^{-5}$ bij $300\,\mathrm{K}$, $5\times10^{-3}$ bij $1\,\mathrm{K}$. (b) Geëxtrapoleerd gaat $\chi \to 1$ rond $5\,\mathrm{mK}$ — maar dipool- en uitwisselingskoppelingen ordenen (of bevriezen) echte zouten eerder: de wet van Curie is een wet voor hoge temperaturen. (c) Gemagnetiseerd bij $1\,\mathrm{K}$ wordt de spinentropie het bad in geperst; geïsoleerd ligt $S$ vast, en $B$ verlagen laat de spins elk hun $k_{\text{B}}\ln 2$ terugvorderen — de energie komt van het rooster, waarvan de temperatuur daalt (in de praktijk millikelvins). (d) De spins van een ferromagneet ordenen zichzelf onder $T_{\text{c}}$: hun entropie is niet langer met het veld te regelen, en de [hysterese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) zou dissiperen in plaats van koelen.

**Oefening 22.10 ★★★.**

Het magnetische circuit. Een ijzeren torus ($\ell = 60\,\mathrm{cm}$, $\mu_{\text{r}} = 4000$, doorsnede $A = 16\,\mathrm{cm}^{2}$) draagt $N = 500$ windingen en een spleet $e = 4\,\mathrm{mm}$. (a) Toon aan dat $NI =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ en bereken de stroom voor $B = 1.2\,\mathrm{T}$. (b) Welk deel van $NI$ gaat op aan de spleet? (c) Definieer de reluctantie $\mathcal R = \ell/\mu A$ van elk segment en herformuleer (a) als een “wet van Ohm” in serie voor de flux. (d) Het ijzer verzadigt rond $1.8\,\mathrm{T}$: leg uit wat er met het circuitmodel — en met uw motor — gebeurt daarvoorbij.

**Oplossing van Oefening 22.10.**

(a) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$: met een equivalent van $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ tegenover $e =
4\,\mathrm{mm}$ wordt $NI \approx 3960$ ampèrewindingen, $I \approx
7.9\,\mathrm{A}$. (b) $4/4.15 \approx 96\,\%$ van de moeite gaat de spleet over. (c) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{ijzer}} +
\mathcal R_{\text{spleet}})$ met $\mathcal R = \ell/\mu A$: de magnetomotorische kracht $NI$ speelt spanning, de flux speelt stroom, de reluctantie speelt weerstand — hier is $\mathcal R_{\text{spleet}}
\approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx
27\,\mathcal R_{\text{ijzer}}$. (d) Voorbij $1.8\,\mathrm{T}$ zakt de incrementele $\mu_{\text{r}}$ van het ijzer richting 1: zijn reluctantie schiet omhoog, extra stroom koopt vrijwel geen extra flux, en een motor die daar overheen wordt geduwd wint geen koppel meer terwijl zijn wikkelingen gaar koken.

**Oefening 22.11 ★★★.**

Hystereseverliezen. Een transformatorkern (volume $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$) draait op $50\,\mathrm{Hz}$. Zijn lus van siliciumstaal omsluit $\sim40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ per cyclus. (a) Bereken het hysteresevermogen dat verloren gaat. (b) Dezelfde kern in hard staal ($\sim6 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$): het verlies, en het oordeel. (c) Wervelstromen voegen een verlies $\propto f^2$ toe: leg uit waarom kernen gelamelleerd zijn en waarom ferrieten het bij radiofrequenties overnemen. (d) Een bit op een harde schijf moet zijn [magnetisatie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) tien jaar lang tegen thermische duwtjes *vasthouden*: leg de eisen aan $H_{\text{c}}$ voor geheugen naast die voor een transformator, en concludeer dat geen enkel materiaal beide taken aankan.

**Oplossing van Oefening 22.11.**

(a) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — aanvaardbaar. (b) $1.2\,\mathrm{kW}$: de kern zou gloeien; hard staal diskwalificeert zichzelf voor wisselstroom door zijn eigen deugd. (c) Wervel-EMK’s schalen met lusoppervlak en $f$; lamelleren (of poederen, of isolerende ferrieten gebruiken) hakt de lussen door en snijdt het verlies in $f^2$ weg — en daarom bezitten ferrieten het megahertzbereik. (d) Geheugen wil dat de barrière van het opgeslagen bit $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg
k_{\text{B}}T$ blijft voor een decennium (de superparamagnetische grens), dat wil zeggen $H_{\text{c}}$ zo groot als beschrijfbaar is; een transformator wil $H_{\text{c}} \to 0$ voor een dunne lus. Eén materiaal kan niet aan beide uiteinden zitten: zachte magneten voor machines, harde voor geheugen.

**Oefening 22.12 ★★★.**

Het demagnetiserende veld. Binnen een uniform gemagnetiseerd lichaam zonder vrije stroom dwingt $\oint\vect H\cdot\dd\vect\ell = 0$ de $\vect H$ binnenin om $\vect M$ *tegen* te werken ($\vect H =
-N_{\text{d}}\vect M$, met $N_{\text{d}}$ een vormfactor: $1/3$ voor een bol, $\approx 0$ langs een lange naald, $\approx 1$ dwars op een dunne plaat). (a) Onderbouw de limieten voor naald en plaat met het beeld van de gebonden stroom (de solenoïde). (b) Waarom demagnetiseert een gedrongen magneet zichzelf gedeeltelijk terwijl een naald zijn [magnetisatie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) behoudt? (c) Leg het verband met kompasnaalden en met de langgerekte korrels van magneetband. (d) Een bol van zacht ijzer bevindt zich in een uniform uitwendig $B_0$: leg uit waarom haar antwoord binnenin verzadigt bij $\vect H
\approx 0$, dat wil zeggen $M \approx 3B_0/\mu_0$ hoogstens, hoe groot $\mu_{\text{r}}$ ook is.

**Oplossing van Oefening 22.12.**

(a) Een lange, axiaal gemagnetiseerde naald is een lange solenoïde van gebonden stroom: binnenin is $H \approx 0$ (alle $B$ komt van $M$). Een dunne plaat die dwars op haar vlakken is gemagnetiseerd, is de kortste, dikste solenoïde die er is: haar inwendige retourveld geeft $H = -M$. (b) De gedrongen magneet werkt bij $H = -N_{\text{d}}M$, ver op zijn demagnetisatiekromme: wandbeweging knabbelt de [remanentie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) weg; een naald zit bij $H \approx 0$ en houdt wat zij heeft. (c) Vandaar kompas*naalden* en de langgerekte eendomeinkorrels van magneetband en vroege harde schijven — vormanisotropie als geheugenverzekering. (d) Fluxbehoud en $\oint\vect H\cdot
\dd\vect\ell = 0$ geven binnen een bol $H_{\text{in}} =
H_0 - M/3$; als $\mu_{\text{r}}\to\infty$ drijft het ijzer $H_{\text{in}}\to0$, dus $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$: de bol kan het veld maar drievoudig concentreren, hoe “goed” het ijzer ook is.

![Het weekendvraagstuk, aan het werk: een spoel met ijzeren kern waarvan het veld het schroot zelf magnetiseert — en op commando loslaat, wat de helft van het ontwerp is die hysterese interessant maakt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-3c2314b40699.jpg)

*Het weekendvraagstuk, aan het werk: een spoel met ijzeren kern waarvan het veld het schroot zelf magnetiseert — en op commando loslaat, wat de helft van het ontwerp is die [hysterese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) interessant maakt.*

## 22.6 Vraagstuk: De schroothijser

**Probleem 22.1.**

*De schroothijser.* Een recyclingterrein bestelt een kraanelektromagneet: een ijzeren pot met een vlakke kop, een meter breed, die balen geplette auto’s van twee ton moet optillen en ze dan — even belangrijk — op commando *moet laten vallen*. Jij bent de ontwerpingenieur.

**Deel I — Waarom ijzer.**

1. De kale spoel: 400 windingen die $25\,\mathrm{A}$ voeren, verdeeld over een magnetisch pad van $\sim1\,\mathrm{m}$ . Schat $B \sim  \mu_0NI/\ell$ zonder ijzer.
2. Leg in twee zinnen met domeinen uit waarom het vullen van de spoel met ijzer dit met $\sim\mu_{\text{r}}$ vermenigvuldigt.
3. De [magnetisatie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) van ijzer verzadigt bij $M_{\text{s}} \approx  1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ . Bereken het plafond $\mu_0M_{\text{s}}$ dat dit aan het poolveld oplegt, wat de spoel ook doet.
4. Elk ijzeratoom draagt $\approx 2.2$ [bohrmagnetonen](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/10-kwantummechanisch-impulsmoment#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic) bij. Controleer: haal met $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ de waarde van $M_{\text{s}}$ terug.
5. Waarom moeten de poolvlakken vlak zijn afgewerkt en vrij van roest en gruis worden gehouden? (Denk aan [Voorbeeld 22.9](#ex-b3-electromagnetism-in-matter-electromagnet) .)
6. De last zelf wordt deel van het magnetische circuit. Schets het fluxpad: potkern, noordvlak, stalen baal, zuidvlak, en terug door het juk.

**Deel II — Het magnetische circuit en de kracht.**

7. Modelleer het circuit: ijzerpad $\ell = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu_{\text{r}} = 2000$ , en twee effectieve luchtspleten (contact vlak–baal) van elk $e = 1.5\,\mathrm{mm}$ . Schrijf de wet van Ampère voor $H$ rond de lus op.
8. Bereken de drie reluctantietermen per oppervlakte-eenheid ( $\ell/\mu_{\text{r}}$ tegenover $2e$ ) en toon aan dat de millimeterspleten nog altijd het meeste van de spoel vergen.
9. Bereken met $NI = 10\,000$ ampèrewindingen de waarde van $B$ in de spleten.
10. De hijsdruk op elk poolvlak is $B^2/2\mu_0$ (de magnetische energiedichtheid die per meter nadering vrijkomt). Evalueer die in $\mathrm{kPa}$ voor uw $B$ .
11. Totaal poolvlakoppervlak $A = 0.12\,\mathrm{m}^{2}$ : bereken de hijskracht en reken die om naar tonnen.
12. Voldoet hij aan de specificatie van twee ton met een marge van een factor twee? Zo niet, pas $NI$ aan en geef de nieuwe stroom.
13. Geplette balen raken de vlakken op misschien een derde van hun oppervlak, met bredere effectieve spleten. Bereken de kracht opnieuw voor $e = 4\,\mathrm{mm}$ , $A_{\text{eff}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ en licht toe waarom nominale hijsvermogens de capaciteit “voor vlakke plaat” vermelden.

**Deel III — Onthouden en vergeten.**

14. Het terrein zet de schakelaar om om een baal te laten vallen — en die blijft hangen. Noem de boosdoener, met de hysteresekromme erbij.
15. Waarom moet de pot van *zacht* ijzer zijn (kleine $H_{\text{c}}$ , kleine $B_{\text{r}}$ ) en niet van hard magneetstaal?
16. Zelfs zacht ijzer houdt wat [remanentie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) over. Stel de standaardremedie voor: een korte *omgekeerde* stroompuls — op welk punt van de lus mikt die?
17. Sommige regelaars leggen in plaats daarvan een uitdovende wisselstroom aan. Schets wat het $B$ – $H$ -traject doet en waarom het gedemagnetiseerd eindigt.
18. De kraan hanteert ook hete platen recht uit een oven, op $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Het curiepunt van ijzer is $1043\,\mathrm{K}$ : wat gebeurt er met de hijskracht, en waarom? ( [Stelling 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#thm-b3-phase-transitions-meanfield) .)
19. Een zomerstagiair stelt voor koper te besparen door de spleet te verdubbelen en $NI$ te verdubbelen. Gebruik uw formules uit deel II om de asymmetrie uit te leggen: wat halveert er en wat blijft slechts gelijk?

**Deel IV — Vermogen, warmte en de rekening.**

20. De spoel: 400 windingen koper, gemiddelde windinglengte $2.5\,\mathrm{m}$ , draaddoorsnede $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , soortelijke weerstand $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Bereken haar weerstand.
21. Bij $I = 25\,\mathrm{A}$ : het gedissipeerde vermogen, en de dagelijkse energie voor een dienst van acht uur bij $60\,\%$ inschakelduur.
22. De magnetische energie die in de twee spleten is opgeslagen ( $B^2/2\mu_0 \times$ volume): bereken die en vergelijk haar met één *seconde* spoeldissipatie. Waar gaat al de rest van de elektrische energie heen?
23. Bij het laten vallen van de last komt vrijwel niets van de opgeslagen energie op het net terug. Leg met het lusoppervlak en de inductieve piek uit waarom de regelaar een vrijloopdiode (flyback) over de spoel nodig heeft.
24. De stroom valt uit met een baal in de lucht. Wat doet de baal, en wat houdt de [remanentie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) *alleen* vast? Onderbouw de terreinregel dat niemand onder een bekrachtigde magneet doorloopt — en het verkoopargument voor hijsers met accunoodvoeding.
25. Vat het ontwerp in vier regels samen: het veldplafond gezet door $M_{\text{s}}$ , de kracht door $B^2A/2\mu_0$ , de regelbaarheid door de [hysterese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) van zacht ijzer, de bedrijfskosten door $RI^2$ — het hele hoofdstuk hangend aan één kraan.

**Oplossing van Probleem 22.1.**

**1.** $B \approx \mu_0NI/\ell = 13\,\mathrm{mT}$ — een koelkastmagneetveld uit $250\,\mathrm{W}$ spoelvermogen. **2.** De kleine $H$ van de spoel maakt domeinen los en draait ze, waarna hun gebonden stromen in de pas met die van de spoel rondgaan: het ijzer voegt zijn eigen $\mu_0M \gg \mu_0H$ toe. **3.** $\mu_0M_{\text{s}} = 2.1\,\mathrm{T}$: geen spoel haalt meer uit de polen van ijzer. **4.** $M = 2.2\mu_{\text{B}}n = 2.2\times9.27 \times 10^{-24}
\times8.5 \times 10^{28} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ — consistent. **5.** Elke roest of gruis is een extra luchtspleet in serie op de ene plek waar reluctantie het meest telt; een tiende millimeter walshuid vreet merkbaar aan de kracht. **6.** De flux verlaat de centrale noordpool, steekt de contactspleet over de baal in, loopt door het staal, en keert terug door de buitenste ringvormige zuidpool en het juk — de last sluit het magnetische circuit. **7.** $NI = H_{\text{ijzer}}\ell + 2H_{\text{spleet}}e =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + 2e/\mu_0)$. **8.** Per oppervlakte-eenheid: $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.6\,\mathrm{mm}$ tegenover $2e = 3\,\mathrm{mm}$: de drie millimeter lucht nemen $\sim83\,\%$ van de ampèrewindingen. **9.** De lineaire formule geeft $B = \mu_0NI/(\ell/
\mu_{\text{r}} + 2e) \approx 3.5\,\mathrm{T}$ — *boven* het plafond uit vraag 3: de pot verzadigt en levert $B \approx
1.7\,\mathrm{T}$, hoe de spoel zich ook inspant. **10.** $B^2/2\mu_0 \approx 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} \approx
1150\,\mathrm{kPa}$ — elf atmosfeer trekkracht. **11.** $F = 1.15 \times 10^{6}\times0.12 \approx 140\,\mathrm{kN}
\approx 14$ ton. **12.** Ja: 14 ton tegenover een eis van 4 ton (2 ton $\times$ veiligheidsfactor 2) — de marge bestaat omwille van vraag 13. **13.** Met $e = 4\,\mathrm{mm}$ en $A_{\text{eff}} =
0.04\,\mathrm{m}^{2}$: $B \approx 1.5\,\mathrm{T}$, druk $\approx870\,\mathrm{kPa}$, kracht $\approx35\,\mathrm{kN} \approx 3.5$ ton — de nominale twaalf ton “voor vlakke plaat” krimpt op echt schroot tot amper de specificatie, en daarom wordt de capaciteit altijd op geslepen plaat opgegeven. **14.** [Remanentie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis): schakel uit en het ijzer blijft bij $B_{\text{r}}$ op zijn lus staan — de pot is nu een zwakke permanente magneet, en lichte lasten blijven hangen. **15.** De dunne lus van zacht ijzer maakt $B_{\text{r}}$ en $H_{\text{c}}$ klein: de magneet moet op commando *vergeten*; hard staal zou de hijser in een permanente magneet veranderen met een schakelaar die niets doet. **16.** Een geijkte tegenpuls drijft het materiaal naar $-H_{\text{c}}$, het nulpunt van $B$ op de lus, en laat de last los. **17.** Een uitdovende wisselstroom tekent steeds kleinere geneste lussen die naar de oorsprong spiralen: de gedemagnetiseerde toestand — hetzelfde degaussen dat op scheepsrompen en oude beeldbuizen wordt gebruikt. **18.** $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is $1073\,\mathrm{K}$ $> T_{\text{c}}$: de plaat is *paramagnetisch* — $\mu_{\text{r}} \approx 1$, het circuit gaat open, de kracht stort in; warme walserijen verplaatsen platen met tangen, niet met magneten. **19.** $e$ verdubbelen halveert $B$ en brengt de kracht op een kwart (circuit dat door de spleet wordt bepaald); $NI$ verdubbelen herstelt beide — maar $P = RI^2$ verviervoudigt: spleten worden in koperwarmte betaald. **20.** $R = \rho L/A = 1.7 \times 10^{-8}\times1000/
1.6 \times 10^{-5} \approx 1.1\,\Omega$. **21.** $P = RI^2 \approx 660\,\mathrm{W}$; over $8\,\text{h}\times0.6$: $\approx3.2\,\mathrm{kWh}$ per dienst — een paar euro stroom om honderden tonnen te verplaatsen. **22.** Spleetvolume $2Ae = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ bij $1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $\approx410\,\mathrm{J}$ — minder dan één seconde spoelverwarming. In de stationaire toestand wordt vrijwel alle elektrische toevoer koperwarmte; het veld kost, eenmaal opgebouwd, alleen zijn onderhoudsstroom. **23.** Het circuit openen dwingt $LI$ abrupt naar nul: de spoel antwoordt met een enorme inductieve piek die de contacten laat vonken; een vrijloopdiode (of weerstand) laat de opgeslagen veldenergie rustig als warmte wegsterven — en het oppervlak van de lus wordt hoe dan ook elke cyclus in het ijzer gedissipeerd. **24.** De hijskracht heeft stroom nodig: de baal valt. De [remanentie](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) houdt slechts een symbolische kracht over — kilo’s, geen tonnen. Vandaar de regel over de looppaden, en hijsers met accunoodvoeding (of met permanente magneet plus losspoel) voor alles wat boven mensen bungelt. **25.** Plafond: $\mu_0M_{\text{s}} \approx 2\,\mathrm{T}$. Kracht: $B^2A/2\mu_0$, geregeerd door millimeters luchtspleet. Beheersing: zacht ijzer, kleine $B_{\text{r}}$, degausspuls om te lossen. Kosten: $RI^2$, een verwarmingselement van kilowattformaat — het hoofdstuk, hangend aan een kraan.