---
title: "Deeltjesfysica"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 3"
subject: physics
language: nl
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/26-deeltjesfysica
---

# Hoofdstuk 26 — Deeltjesfysica

Ontdoe de materie laag voor laag van haar structuur — moleculen, atomen, kernen, nucleonen — en het pellen houdt abrupt op bij een korte lijst: zes *[quarks](#def-b3-particle-physics-zoo)*, zes *[leptonen](#def-b3-particle-physics-zoo)*, een handvol krachtdragers, en één verlegen scalair die in 2012 werd gevonden. Alles wat u ooit hebt aangeraakt is drie posten van die lijst; de rest leefde in de eerste microseconde van het heelal en leeft weer even, overal waar $E = mc^2$ volledig wordt betaald — botsingen van kosmische straling en versnellerringen. Dit hoofdstuk maakt de inventaris op: de deeltjes, de vier wisselwerkingen die ze bewegen, de behoudswetten (de noetherstromen van [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#ch-b3-lagrangian-mechanics), die nu de subatomaire boekhouding voeren), en de detectoren die het allemaal fotograferen. Het eindigt op uw eigen zolder, met het tellen van muonen die tien kilometer hoger zijn gemaakt.

## 26.1 De inventaris

**Definitie 26.1 (Leptonen, quarks, hadronen).**

De bouwstenen van de materie zijn fermionen met spin $\tfrac12$ ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/12-spin-en-stelsels-met-twee-niveaus#ch-b3-spin-two-level), [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/14-identieke-deeltjes#ch-b3-identical-particles)) in twee families van zes. *Leptonen* voelen de sterke kracht niet: het elektron, het muon en de tau (lading $-e$, elk zwaarder dan de vorige) en hun drie neutrino’s — vrijwel massaloos, vrijwel niet te detecteren. *Quarks* komen in zes smaken — up, down, strange, charm, bottom, top — met ladingen $+\tfrac23e$ (u, c, t) en $-\tfrac13e$ (d, s, b), en zij worden nooit alleen gezien: *opsluiting* bindt ze tot *hadronen* — *baryonen* van drie quarks (proton $=$ uud, neutron $=$ udd) en *mesonen* van een quark en een antiquark (pion, kaon). Elk deeltje heeft een *antideeltje* met dezelfde massa en tegengestelde ladingen ([Oefening 26.8](#exo-b3-particle-physics-8)). Gewone materie gebruikt alleen de eerste generatie — u, d, e, $\nu_{\text{e}}$; de twee zwaardere kopieën verschillen, voor zover iemand weet, alleen in massa. “Wie heeft dat besteld?” vraagt de fysica nog steeds.

![De bezetting van het standaardmodel (ladingen in eenheden van e). Eén kolom ervan bouwt elk atoom; de andere twee zijn dure echo’s. De zwaartekracht, bij deze massa’s onmetelijk zwak, heeft geen plaats aan tafel — de beroemdste vacature van het model.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-particle-physics/fig-dce21c420370.svg)

*De bezetting van het standaardmodel (ladingen in eenheden van $e$). Eén kolom ervan bouwt elk atoom; de andere twee zijn dure echo’s. De zwaartekracht, bij deze massa’s onmetelijk zwak, heeft geen plaats aan tafel — de beroemdste vacature van het model.*

**Opmerking 26.2 (Vier wisselwerkingen).**

Elk proces is een van de vier krachten aan het werk, elk gedragen door zijn boson. De *sterke* kracht (gluonen) grijpt [quarks](#def-b3-particle-physics-zoo) met een potentiaal die met de afstand *groeit* — trek twee [quarks](#def-b3-particle-physics-zoo) uit elkaar en het uitgerekte veld knapt tot een vers quark-antiquarkpaar ([Oefening 26.1](#exo-b3-particle-physics-1)): vandaar de opsluiting, en een restant ervan lijmt kernen ([Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#ch-b3-nuclear-physics)). Het *elektromagnetisme* (het foton, massaloos: oneindige dracht) drijft de chemie en het licht. De *zwakke* kracht (W en Z, massief met $\approx80$–$91\,\mathrm{GeV}$: dracht $10^{-3}\,\mathrm{fm}$, vandaar “zwak”) is de enige die van smaak verandert — $\beta$-verval is een [d-quark](#def-b3-particle-physics-zoo) dat een u wordt ([Propositie 26.3](#prop-b3-particle-physics-conservation)) — en de enige kracht waarop neutrino’s antwoorden. De *zwaartekracht* is tussen twee protonen $10^{36}$ keer zwakker dan het elektromagnetisme en speelt in het laboratorium geen rol — en toch zal zij, onafgeschermd en van lange dracht, heel [Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/27-astrofysica#ch-b3-astrophysics) beheersen. Het elektromagnetisme en de zwakke kracht verenigen zich bij hoge energie tot één *elektrozwakke* wisselwerking — bij onze koude energieën uiteengedreven door de [symmetriebreking](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#def-b3-phase-transitions-order) van het higgsveld ([Oefening 26.9](#exo-b3-particle-physics-9)).

## 26.2 De boekhouding: behoudswetten

**Propositie 26.3 (Behoudswetten van deeltjesreacties).**

Een reactie vindt alleen plaats als de boeken kloppen. Altijd behouden: energie en impuls ([Hoofdstuk 5](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/5-relativistische-dynamica#ch-b3-relativistic-dynamics)), impulsmoment en elektrische lading — met telkens het theorema van Noether ([Stelling 1.13](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/1-lagrangiaanse-mechanica#thm-b3-lagrangian-mechanics-noether)) als onderbouwing. Behouden in elke tot nu toe waargenomen reactie: het *[baryongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation)* $B$ ([baryonen](#def-b3-particle-physics-zoo) $+1$, antibaryonen $-1$) en het *[leptongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation)* $L$ (per familie, tot op uitstekende nauwkeurigheid). Zo heeft het proton, het lichtste [baryon](#def-b3-particle-physics-zoo), nergens om naartoe te vervallen — de stabiliteit van de materie is een boekhoudstelling — en moet $\beta$-verval een antineutrino meesturen:

$$
\text{n} \;\to\; \text{p} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}
\qquad (\text{quarkniveau: } \text{d} \to \text{u} +
\text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}) ,
$$

wat $L$ in evenwicht brengt (en het continue energiespectrum van het elektron verklaart, dat de fysica bijna haar geloof in energiebehoud kostte voordat Pauli het neutrino uitvond om het te redden). Smaken (strangeness, charm) worden door sterke en elektromagnetische processen behouden maar *door de zwakke gebroken*: vreemde deeltjes worden overvloedig in paren geboren en sterven dan langzaam en alleen — de kloof van $10^{13}$ tussen sterke levensduren van $10^{-23}\,\mathrm{s}$ en zwakke van $10^{-10}\,\mathrm{s}$ is de vingerafdruk van de kracht die het verval ondertekende.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![-verval, ingezoomd tot op het quarkniveau: één d-quark wordt een u door een virtuele W- uit te zenden, die zich als elektron plus antineutrino materialiseert. Alle boeken kloppen: lading -1/3 = +2/3 - 1 + 0, baryongetal, leptongetal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-particle-physics/fig-f032a0c9d028.svg)

*$\beta$-verval, ingezoomd tot op het quarkniveau: één [d-quark](#def-b3-particle-physics-zoo) wordt een u door een virtuele W$^-$ uit te zenden, die zich als elektron plus antineutrino materialiseert. Alle boeken kloppen: lading $-\tfrac13 = +\tfrac23 - 1 + 0$, [baryongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation), [leptongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation).*

## 26.3 Deeltjes maken en zien

**Opmerking 26.4 (Versnellers en detectoren).**

Twee redenen om te versnellen: *oplossend vermogen* — een sonde ziet geen detail fijner dan haar golflengte $\lambda = h/p$ ([Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/23-kristallijne-vaste-stoffen#ch-b3-crystalline-solids) gebruikte ångströms; femtometers kosten $\mathrm{GeV}$’s) — en *schepping*: botsingsenergie wordt nieuwe massa, en twee bundels frontaal laten botsen besteedt haar helemaal (een vast trefplaatje verspilt het meeste ervan aan het meevoeren van het puin: [Oefening 26.4](#exo-b3-particle-physics-4)). Ringvormige botsers laten dezelfde deeltjes telkens opnieuw door dezelfde versnelspleet gaan terwijl magneten ze sturen — ten koste van synchrotronstraling $\propto\gamma^4$, en daarom laat de ring die de higgs vond zware protonen botsen en geen vederlichte elektronen. Rond het kruispunt liggen uienlagen, die elk één vraag stellen: een *spoorzoeker* buigt geladen banen in een magneet (impuls); een elektromagnetische *calorimeter* slikt elektronen en fotonen (energie); een hadronische slikt pionen en protonen; en alleen muonen slaan door tot de buitenste kamers — identiteit naar begraafdiepte. Neutrino’s vertrekken als ontbrekende impuls: de boekhouding detecteert wat niets kan tegenhouden.

![Een botsingsdetector in doorsnede. Elke soort schrijft haar handtekening: geladen sporen krommen in het veld van de spoorzoeker; elektronen en fotonen sterven in de binnenste calorimeter, hadronen in de buitenste; alleen muonen bereiken de verste kamers; en wat ongezien ontsnapt — het neutrino — wordt van de ontbrekende impuls afgelezen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-particle-physics/fig-32f83358c33c.svg)

*Een botsingsdetector in doorsnede. Elke soort schrijft haar handtekening: geladen sporen krommen in het veld van de spoorzoeker; elektronen en fotonen sterven in de binnenste calorimeter, [hadronen](#def-b3-particle-physics-zoo) in de buitenste; alleen muonen bereiken de verste kamers; en wat ongezien ontsnapt — het neutrino — wordt van de ontbrekende impuls afgelezen.*

**Opmerking 26.5 (De higgs, en het open grootboek).**

De symmetrie van het standaardmodel verbiedt kale massa’s voor zijn deeltjes; het *higgsveld*, dat de hele ruimte vult met een condensaat dat van nul verschilt — de keuze uit de dubbele put van [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#ch-b3-phase-transitions), verheven tot het vacuüm zelf — breekt de symmetrie en verleent massa’s via zijn koppelingen: hoe zwaarder het deeltje, hoe steviger de greep. Zijn eigen kwantum, het [higgsdeeltje](#rem-b3-particle-physics-higgs) ($125\,\mathrm{GeV}$, gevonden in 2012), maakte de tabel af. Het open grootboek is langer: neutrino’s oscilleren tussen smaken en moeten dus massa hebben die het model nooit heeft opgeschreven ([Oefening 26.10](#exo-b3-particle-physics-10)); sterrenstelsels draaien alsof ze worden vastgehouden door vijf keer meer materie dan er straalt ([Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/27-astrofysica#ch-b3-astrophysics)); en het heelal bevat materie maar vrijwel geen antimaterie, een asymmetrie waarvoor de piepkleine CP-schending van het model nog niet kan betalen. De lijst is het lesprogramma van wat er ook volgt.

![Een beeld uit een bellenvat: geladen sporen die in een magneetveld krullen, met elektronen en positronen die tegengesteld spiraliseren terwijl ze energie verliezen. Decennialang werd de deeltjesfysica beeldje voor beeldje van zulke film afgelezen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-particle-physics/img-14537583c610.jpg)

*Een beeld uit een bellenvat: geladen sporen die in een magneetveld krullen, met elektronen en positronen die tegengesteld spiraliseren terwijl ze energie verliezen. Decennialang werd de deeltjesfysica beeldje voor beeldje van zulke film afgelezen.*

## 26.4 Opgaven

**Oefening 26.1 ★.**

Quarkrekenwerk. (a) Controleer de ladingen van p $=$ uud en n $=$ udd. (b) Het pion $\pi^+$ is $\text{u}\bar{\text{d}}$: controleer zijn lading. (c) Stel quarkinhouden voor voor $\pi^-$ en voor de $\Delta^{++}$ (lading $+2e$). (d) Waarom levert een [quark](#def-b3-particle-physics-zoo) uit een proton trekken een regen van [mesonen](#def-b3-particle-physics-zoo) op in plaats van een vrij [quark](#def-b3-particle-physics-zoo)?

**Oplossing van Oefening 26.1.**

(a) uud: $\tfrac23 + \tfrac23 - \tfrac13 = +1$; udd: $\tfrac23 -
\tfrac13 - \tfrac13 = 0$. (b) $\tfrac23 + \tfrac13 = +1$ (de antidown draagt $+\tfrac13$). (c) $\pi^- =
\bar{\text{u}}\text{d}$; $\Delta^{++} =$ uuu ($3\times\tfrac23 =
+2$ — de toestand waarvan de statistiek mede de uitvinding van kleur afdwong). (d) Het uitgerekte gluonveld slaat energie op $\propto$ lengte; lang voordat een [quark](#def-b3-particle-physics-zoo) vrij is, overstijgt de opgeslagen energie $2m_{\text{q}}c^2$ en knapt het touwtje tot een vers paar: u trekt er een [meson](#def-b3-particle-physics-zoo) uit, nooit een kaal [quark](#def-b3-particle-physics-zoo).

**Oefening 26.2 ★.**

Sorteren. Geef voor elk van e$^-$, $\nu_\mu$, $\pi^+$, p, n, $\mu^-$ aan: (a) [lepton](#def-b3-particle-physics-zoo), [baryon](#def-b3-particle-physics-zoo) of [meson](#def-b3-particle-physics-zoo)? (b) welke voelen de sterke kracht? (c) welke zijn in isolatie stabiel? (d) welke kan een magneetveld niet afbuigen?

**Oplossing van Oefening 26.2.**

(a) [Leptonen](#def-b3-particle-physics-zoo): e$^-$, $\nu_\mu$, $\mu^-$; [baryonen](#def-b3-particle-physics-zoo): p, n; [meson](#def-b3-particle-physics-zoo): $\pi^+$. (b) Alleen de [hadronen](#def-b3-particle-physics-zoo): $\pi^+$, p, n. (c) Alleen stabiel: e$^-$, p en de neutrino’s (het vrije neutron leeft vijftien minuten; $\mu$ en $\pi$ sterven in microseconden en minder). (d) De neutrale: $\nu_\mu$ en n.

**Oefening 26.3 ★.**

Toegestaan of verboden? Beoordeel en noem de geschonden wet indien van toepassing: (a) $\text{n} \to \text{p} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}$; (b) $\text{p} \to \text{n} + \text{e}^+ + \nu_{\text{e}}$ (voor een *vrij* proton); (c) $\text{p} \to \text{e}^+ + \gamma$; (d) $\mu^- \to \text{e}^- + \gamma$.

**Oplossing van Oefening 26.3.**

(a) Toegestaan — gewoon $\beta^-$-verval (het vrije neutron doet het, $T_{1/2} \approx 10\,\mathrm{min}$). (b) Verboden door de energie: de producten wegen meer dan het vrije proton (in een kern kan de [bindingsenergie](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#prop-b3-nuclear-physics-binding) betalen, en gebonden $\beta^+$-verval komt voor). (c) Verboden: het [baryongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation) gaat van $1 \to 0$ (en het [leptongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation) van $0 \to -1$). (d) Verboden door het [leptongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation) per *familie*: muonheid zou verdwijnen en elektronheid verschijnen — nooit waargenomen, en juist daarom opgejaagd.

**Oefening 26.4 ★.**

De prijs van de schepping. Een paar proton-antiproton maken vanuit een protonbundel op een waterstoftrefplaatje vergt (volgens het argument met [invariante massa](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/5-relativistische-dynamica#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) uit [Hoofdstuk 5](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/5-relativistische-dynamica#ch-b3-relativistic-dynamics)) een kinetische bundelenergie van $6m_{\text{p}}c^2$. (a) Evalueer die in GeV. (b) Welke kinetische energie van twee bundels volstaat in een botser voor hetzelfde paar? (c) Bereken de verhouding van de “verspilling” en leg uit waar de energie bij een vast trefplaatje heen gaat. (d) Waarom had de machine die in 1955 het antiproton ontdekte $\sim6\,\mathrm{GeV}$ nodig?

**Oplossing van Oefening 26.4.**

(a) $6\times0.938 \approx 5.6\,\mathrm{GeV}$. (b) Een kinetische energie $m_{\text{p}}c^2 \approx 0.94\,\mathrm{GeV}$ per bundel ($\sqrt s = 4m_{\text{p}}c^2$ frontaal). (c) Ongeveer $3:1$: impulsbehoud veroordeelt het meeste van de energie op een vast trefplaatje tot nutteloze voorwaartse beweging van het puin — frontale bundels besteden alles. (d) De machine van 1955 was ontworpen om net boven de drempel van $5.6\,\mathrm{GeV}$ te komen: versnellerbegrotingen worden in [invariante massa](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/5-relativistische-dynamica#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) geschreven, en het antiproton kwam op tijd.

**Oefening 26.5 ★★.**

Het muon, twee keer. Het muon ($m = 106\,\mathrm{MeV}$, $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$) is de zware tweeling van het elektron. (a) Welke afstand is $c\tau$? (b) Kosmische muonen die op $15\,\mathrm{km}$ worden geboren bereiken de grond: welke $\gamma$ eist dat overleven, en welke energie is dat? (c) Beschrijf hetzelfde overleven vanuit het eigen stelsel van het muon. (d) Waarom vervalt het muon tot een elektron maar nooit tot een proton, en waarom is zijn verval naar deeltjesmaatstaven *traag*?

**Oplossing van Oefening 26.5.**

(a) $c\tau = 660\,\mathrm{m}$. (b) Een opgerekt bereik van ${\sim}15\,\mathrm{km}$ vergt $\gamma \sim 23$: $E = \gamma
m_\mu c^2 \sim 2.4\,\mathrm{GeV}$ — precies de kosmische schaal. (c) In zijn eigen stelsel leeft het muon zijn gewone $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ terwijl de atmosfeer voorbijraast, samengetrokken tot ${\sim}650\,\mathrm{m}$: hetzelfde overleven, een ander grootboek. (d) Het [baryongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation): er is geen [baryon](#def-b3-particle-physics-zoo) licht genoeg, en het muon is een [lepton](#def-b3-particle-physics-zoo); zijn verval moet van smaak veranderen, en dat doet alleen de zwakke kracht — vandaar statige microseconden in plaats van yoctoseconden van de sterke kracht.

**Oefening 26.6 ★★.**

Binnen in het $\beta$-verval. (a) Schrijf het neutronverval op quarkniveau op en controleer alle behouden grootheden. (b) Het energiespectrum van het uitgezonden elektron is continu tot een eindpunt: leg uit hoe dit ooit het energiebehoud bedreigde en hoe Pauli’s neutrino het redde. (c) Het W-boson weegt $80.4\,\mathrm{GeV}$: schat de dracht van de zwakke kracht $\hbar/m_{\text{W}}c$ ($\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$). (d) Gebruik die dracht om in één zin uit te leggen waarom de “zwakke” kracht bij lage energie zwak is en toch elektrozwak-sterk bij hoge.

**Oplossing van Oefening 26.6.**

(a) $\text{d} \to \text{u} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}$: lading $-\tfrac13 = \tfrac23 - 1 + 0$; [baryongetal](#prop-b3-particle-physics-conservation) $\tfrac13 = \tfrac13$; elektronfamiliegetal $0 = 1 - 1$. (b) Een tweelichamenverval legt de energie van het elektron vast; het waargenomen *continuüm* betekende dat óf het energiebehoud faalde (Bohr overwoog het) óf een derde, onzichtbaar lichaam het budget deelde — Pauli’s neutrino, vijfentwintig jaar later gedetecteerd. (c) $\hbar/m_{\text{W}}c = 197/80400 \approx
2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{fm}$ — een duizendste van een proton. (d) Bij lage energie moet de wisselwerking een gat overbruggen dat haar zware mediator absurd kort maakt, dus zijn de amplitudes piepklein; rond $100\,\mathrm{GeV}$ is de W betaalbaar en toont de “zwakke” kracht haar ware elektrozwakke sterkte.

**Oefening 26.7 ★★.**

Vreemde boekhouding. Kaonen en $\Lambda$-hyperonen dragen een smaak, *strangeness*, die door de sterke kracht wordt behouden maar niet door de zwakke. (a) Leg uit waarom botsingen van kosmische straling vreemde deeltjes alleen in paren voortbrengen. (b) De $\Lambda$ leeft $2.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ — vergelijk met de $10^{-23}\,\mathrm{s}$ van sterke vervallen en concludeer welke kracht hem doodt. (c) Welke verhouding van tijdschalen scheidt de twee, en met welke alledaagse verhouding is die vergelijkbaar (één seconde tegenover wat)? (d) Hoe dwong dit “vreemde” gedrag — overvloedige geboorte, aarzelende dood — de uitvinding van een nieuw kwantumgetal af?

**Oplossing van Oefening 26.7.**

(a) De sterke kracht behoudt strangeness, dus kan zij $+1$ en $-1$ alleen samen maken: een kaon met zijn hyperon. (b) Dertien ordegrootten te traag voor de sterke kracht: de zwakke kracht, de enige breker van smaak, tekent de overlijdensakte. (c) $10^{13}$: één seconde tegenover driehonderdduizend jaar. (d) De overvloedige geboorte zei “sterk”; de aarzelende dood zei “niet sterk” — alleen een nieuw behouden getal, door de sterke kracht in paren gemaakt en door de zwakke gebroken, verzoent de twee: de boekhouding *was* de ontdekking.

**Oefening 26.8 ★★.**

Antimaterie, verzilverd. (a) Waarom moet $\text{e}^+ + \text{e}^- \to \gamma$ (één foton) verboden zijn, terwijl twee fotonen prima kunnen? (b) Bereken de energie die vrijkomt bij het annihileren van één gram antimaterie met één gram materie, en vergelijk die met de kilogram gespleten uranium van [Oefening 25.9](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#exo-b3-nuclear-physics-9). (c) PET-scanners ([Oefening 25.12](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#exo-b3-nuclear-physics-12)) draaien op positronen: waar komen de positronen van de geneeskunde vandaan? (d) Antiprotonen maken kost $\sim10^{6}$ keer hun [rustenergie](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/5-relativistische-dynamica#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) aan stopcontactvermogen: becommentarieer antimaterie als brandstof.

**Oplossing van Oefening 26.8.**

(a) In het ruststelsel van het paar is de totale impuls nul: één foton kan nooit impuls nul hebben, twee rug aan rug wel — het behoud schrijft de meetkunde van PET. (b) $E = mc^2 =
0.002\times(3\times10^8)^2 = 1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$: twee gram annihilatie overtreft een gespleten kilogram uranium. (c) Uit $\beta^+$-isotopen uit een cyclotron — $^{18}$F, ingebouwd in glucose: de eigen chemie van het lichaam plaatst de positronbron in de hongerigste cellen. (d) Een brandstof die een miljoen keer haar opbrengst kost, zonder natuurlijke mijnen: antimaterie is een detectorijking en een motor voor verhalenvertellers, geen energiebron.

**Oefening 26.9 ★★★.**

De higgs als [faseovergang](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#def-b3-phase-transitions-order). (a) Herformuleer in de taal van [Oefening 21.12](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#exo-b3-phase-transitions-12) wat het betekent dat het vacuüm in een symmetriebrekende put zit. (b) Waarom krijgen de W en de Z massa terwijl het foton massaloos blijft (welk deel van de symmetrie overleeft)? (c) Het [higgsdeeltje](#rem-b3-particle-physics-higgs) is de radiale trilling van het veld: wat speelt die rol in de magneet van [Stelling 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#thm-b3-phase-transitions-meanfield)? (d) Boven $\sim10^{15}\,\mathrm{K}$ wordt de symmetrie hersteld: waar en wanneer was het heelal voor het laatst zo heet ([Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/27-astrofysica#ch-b3-astrophysics))?

**Oplossing van Oefening 26.9.**

(a) De higgspotentiaal is een dubbele put (een Mexicaanse hoed): het symmetrische punt $\phi = 0$ is een top, en het vacuüm is de rand in gerold — de grondtoestand van het heelal brak zijn eigen symmetrie, precies als de magneet die het noorden kiest. (b) De keuze breekt maar een deel van de symmetrie: de combinatie die overleeft is het elektromagnetisme, zodat zijn drager — het foton — massa nul houdt, terwijl W en Z, dragers van de gebroken richtingen, de bijbehorende stijfheid als massa opeten. (c) De radiale trilling van de [ordeparameter](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/21-faseovergangen#def-b3-phase-transitions-order) — in de magneet de fluctuatie van $|m|$ rond zijn evenwichtswaarde vlak bij $T_{\text{c}}$. (d) In de eerste $10^{-11}$ seconde van het heelal ([Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/27-astrofysica#ch-b3-astrophysics)): boven de elektrozwakke temperatuur was elk deeltje massaloos en waren de twee krachten één.

**Oefening 26.10 ★★★.**

Neutrino’s bij de miljard. (a) De Zon maakt twee neutrino’s per cyclus $4\text{p} \to {}^4\text{He}$ ($26.7\,\mathrm{MeV}$): bereken uit de zonneconstante $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de neutrinoflux bij de aarde. (b) Hoeveel steken er uw duimnagel ($1\,\mathrm{cm}^{2}$) per seconde over, en hoeveel zullen er ruwweg in een mensenleven met uw lichaam wisselwerken (neem een wisselwerkingskans van de orde $10^{-22}$ per meter vlees per neutrino als gegeven)? (c) Vroege detectoren vingen maar een derde van de voorspelde $\nu_{\text{e}}$: geef de oplossing (oscillaties) en haar structurele gevolg voor het standaardmodel. (d) Waarom woont een neutrinodetector onder een berg?

**Oplossing van Oefening 26.10.**

(a) Elke $26.7\,\mathrm{MeV}$ $= 4.28 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ levert twee neutrino’s: flux $= 2\times1360/4.28\times10^{-12} \approx
6.4 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Door een duimnagel: $6\times10^{10}$ per seconde. Passages in een mensenleven door uw lichaam van ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ en $0.3\,\mathrm{m}$ dik gedurende ${\sim}2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: ongeveer $5\times10^{22}$, maal $10^{-22}\,\mathrm{m}^{-1}\times0.3\,\mathrm{m}$: van de orde één — één zonneneutrino zal u in uw hele leven aanraken. (c) De ontbrekende $\nu_{\text{e}}$ waren onderweg naar $\nu_\mu$ en $\nu_\tau$ geoscilleerd; oscillatie vergt massaverschillen, dus hebben neutrino’s massa — de eerste laboratoriumbarst in het standaardmodel met massaloze neutrino’s. (d) De berg filtert al het *andere* weg: alleen neutrino’s komen erdoor, zodat kilometers rots van de luidruchtigste hemel het stilste laboratorium maken.

**Oefening 26.11 ★★★.**

Machinegetallen. LHC-protonen: elk $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$. (a) Bereken $\gamma$ en $1 - v/c \approx 1/2\gamma^2$. (b) Welke golflengte $\lambda \approx hc/E$ tast structuur af, en vergelijk die met de straal van $0.8\,\mathrm{fm}$ van het proton. (c) Frontale botsingsenergie: $13.6\,\mathrm{TeV}$ — hoeveel protonrustmassa’s zou die kunnen scheppen? (d) Het synchrotronverlies schaalt als $\gamma^4$: bereken de verhouding van $\gamma$ voor elektron en proton bij vaste energie en onderbouw protonen voor de ring en elektronen voor precisiemachines.

**Oplossing van Oefening 26.11.**

(a) $\gamma = 6.8\times10^{12}/9.38\times10^{8} \approx 7250$: $1 - v/c \approx 1/2\gamma^2 \approx 10^{-8}$ — drie meter per seconde onder het licht. (b) $\lambda \approx hc/E \approx
3 \times 10^{-5}\,\mathrm{fm}$: een dertigduizendste van een protonstraal — [quark](#def-b3-particle-physics-zoo)gebied. (c) $13.6\,\text{TeV}/938\,\text{MeV} \approx
14500$ protonmassa’s — als alles omzetbaar was. (d) Bij vaste energie is $\gamma_{\text{e}}/\gamma_{\text{p}} =
m_{\text{p}}/m_{\text{e}} \approx 1836$, dus zijn de elektronverliezen $1836^4 \sim 10^{13}$ maal erger: protonen voor ringen met brute kracht, elektronen (schoon, puntvormig) voor precisie bij lagere energie.

**Oefening 26.12 ★★★.**

Boodschappers van de rand. De kosmische straling met de hoogste energie ooit geregistreerd droeg $\sim3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ — één enkel proton. (a) Reken om naar joule en noem een macroscopisch voorwerp met die kinetische energie. (b) Bereken zijn $\gamma$, en de breedte van het Melkwegstelsel ($\sim10^{5}$ lichtjaar) in zijn eigen stelsel. (c) Boven $\sim5 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ verstrooien protonen aan de kosmische achtergrondstraling ([Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/20-fotonen-en-fononen#ch-b3-photons-phonons)) — leg kwalitatief uit waarom het heelal ondoorzichtig voor ze is. (d) Waarom leren zulke energieën, ver voorbij elke versneller, ons toch minder dan de LHC doet? (Denk aan flux en beheersing.)

**Oplossing van Oefening 26.12.**

(a) $3\times10^{20}\times1.6\times10^{-19} \approx 48\,\mathrm{J}$: een hard geserveerde tennisbal — in één proton. (b) $\gamma \approx
3\times10^{11}$; de $10^{5}$ lichtjaar van het Melkwegstelsel krimpen tot ${\sim}10$ licht*seconden*: het steekt de Melkweg volgens zijn eigen klok in seconden over. (c) In het stelsel van het proton komen de zachtmoedige microgolven van de CMB blauwverschoven aan als $\gamma$-stralen die energiek genoeg zijn om er pionen af te slaan: boven de drempel is het heelal zelf een absorbeerder, en zulke protonen moeten van dichtbij komen. (d) Eén zo’n deeltje per vierkante kilometer per eeuw, van onbekende soort, door niemand gericht: de $10^{9}$ botsingen per seconde van de LHC, met bekende bundels bij bekende energie, kopen statistiek en beheersing die geen kosmisch geschenk kan evenaren.

![De CMS-detector in aanbouw (foto: Julian Williams, vrij gebruik): de uienlagen van de cilinder, van voren, vóór het sluiten — een uitvoering van vijftienduizend ton van de laatste figuur van dit hoofdstuk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-particle-physics/img-a27c7df91ea1.jpg)

*De CMS-detector in aanbouw (foto: Julian Williams, vrij gebruik): de uienlagen van de cilinder, van voren, vóór het sluiten — een uitvoering van vijftienduizend ton van de laatste figuur van dit hoofdstuk.*

## 26.5 Vraagstuk: De muontelescoop op zolder

**Probleem 26.1.**

*De muontelescoop op zolder.* Voor de wetenschapsbeurs bouwt u een telescoop voor kosmische straling: twee scintillatorplaten van $20\times20$ $\mathrm{cm}$, de ene $30\,\mathrm{cm}$ boven de andere, elk uitgelezen door een fotomultiplicator, in coïncidentie geschakeld — alleen een telling als *beide* binnen $100\,\mathrm{ns}$ afgaan. Muonflux op zeeniveau door een horizontaal oppervlak: ongeveer 1 per $\mathrm{cm}^{2}$ per minuut.

**Deel I — De hemel tellen.**

1. Waar beginnen uw muonen? Volg de keten: primair proton, hogere atmosfeer, pionen, muonen — en noem welke kracht elke stap beheerst.
2. Waarom bereiken de pionen zelf vrijwel nooit de grond ( $\tau_\pi = 26\,\mathrm{ns}$ ), terwijl hun dochtermuonen dat wel doen?
3. Voorspel het tempo van één plaat uit de gegeven flux.
4. De plaat alleen klikt in werkelijkheid veel vaker — elektronische ruis en omgevingsradioactiviteit ( [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#ch-b3-nuclear-physics) ). Leg uit hoe de coïncidentie van twee platen daar bijna alles van doodt.
5. Welk tempo aan toevallige coïncidenties leveren twee onafhankelijke ruisbronnen van $100\,\mathrm{Hz}$ in een venster van $100\,\mathrm{ns}$ op ( $R_{\text{acc}} = R_1R_2\Delta t$ )? Vergelijk met het echte muontempo.
6. Je coïncidentietempo bezinkt rond 100 per minuut — ruim onder de 400 van één plaat. Verklaar: welke muonen laat de meetkunde van twee platen toe?
7. Kantel de telescoop: het tempo daalt ruwweg als $\cos^2\theta$ van de zenithoek. Geef de fysische reden (wat groeit er met $\theta$ ?).

**Deel II — Relativiteit, op zolder geverifieerd.**

8. Muonen: $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Bereken $c\tau$ en concludeer wat een *klassiek* muon dat op $15\,\mathrm{km}$ wordt geboren zou kunnen.
9. Jouw muonen hebben gemiddeld $E \approx 4\,\mathrm{GeV}$ ( $m_\mu c^2 = 106\,\mathrm{MeV}$ ): bereken $\gamma$ .
10. De opgerekte levensduur, en het bijbehorende bereik: klopt het zoldertempo nu?
11. Vertel het overleven opnieuw vanuit het stelsel van het muon ( [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/4-relativistische-kinematica#ch-b3-relativistic-kinematics) ).
12. Bereken voor $\gamma = 38$ de overlevende fractie vanaf $15\,\mathrm{km}$ ( $t_{\text{eigen}} = L/\gamma v$ , overleving $\eu^{-t/\tau}$ ).
13. Jouw telescoop is dus *welk* klassiek experiment, met schoolonderdelen nagebouwd? Zeg wat een nulresultaat (klassiek verval) voor uw teller zou hebben voorspeld.

**Deel III — Wat een muon is.**

14. Plaats het muon in de tabel van het standaardmodel: familie, generatie, lading, spin.
15. Het vervalt: $\mu^- \to \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}} +  \nu_\mu$ . Controleer de lading en beide leptonfamiliegetallen.
16. Waarom is het energiespectrum van het vervalelektron continu, en wat is zijn eindpunt ( $\approx m_\mu c^2/2$ )?
17. Waarom is $\mu^- \to \text{e}^- + \gamma$ — nooit waargenomen — zo interessant voor de experimenten van vandaag? (Wat zou de ontdekking ervan breken?)
18. Een muon dat in uw plaat tot stilstand komt vervalt in rust: beschrijf de vertraagde tweede flits en hoe die u $\tau$ rechtstreeks aanreikt.
19. Muonen zijn “zware elektronen”: geef één gevolg voor atomen — wat gebeurt er met de [bohrstraal](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/11-het-waterstofatoom#thm-b3-hydrogen-atom-levels) van muonische waterstof ( [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/11-het-waterstofatoom#ch-b3-hydrogen-atom) ), geschaald met $m_\mu/m_{\text{e}} \approx 207$ ?

**Deel IV — De keten op.**

20. Een primair proton van $10^{15}\,\mathrm{eV}$ brengt een lawine van miljoenen voort. Schat de gemiddelde energie per lawinedeeltje als $10^{6}$ deeltjes haar delen.
21. Grote observatoria vervangen uw platen door honderden watertanks die kilometers uit elkaar staan en op *cherenkovlicht* letten ( [Probleem 25.1](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/25-kernfysica#pb-b3-nuclear-physics-1) ): wat doen muonen in het water, en waarom staan de tanks *ver uit elkaar* ?
22. Jouw scintillator met fotomultiplicator werkt op hetzelfde principe als de calorimeters bij de grote botsers: verwoord dat gedeelde principe in één zin (deeltje $\to$ licht $\to$ elektronen $\to$ tellen).
23. Ooit deden foto’s van bellenvaten het zien: geladen sporen die in een magneetveld krullen. Welke twee grootheden geeft de krul u, en welk deeltje laat helemaal geen spoor na?
24. De recordkosmische straling van [Oefening 26.12](#exo-b3-particle-physics-12) sloeg in met de energie van een geserveerde tennisbal in één proton. Wat zegt haar bestaan over de versnellers van de natuur tegenover de onze?
25. Vat de posterpresentatie in vier regels samen: geboren uit een proton tien kilometer hoog, bezorgd door tijddilatatie, herkend aan twee gelijktijdige flitsen, en verklaard door een tabel met twaalf plaatsen.

**Oplossing van Probleem 26.1.**

**1.** Een primair proton (vaak $\mathrm{GeV}$–$\mathrm{TeV}$) treft hoog in de lucht een kern (sterke kracht) en spuit pionen rond; de geladen pionen vervallen door de zwakke kracht tot muonen en neutrino’s; de muonen, die maar zachtjes ioniseren (elektromagnetisch), snellen naar de grond. **2.** $c\tau_\pi \approx 8\,\mathrm{m}$: zelfs een grote $\gamma$ koopt pionen maar honderden meters, en zij sterven ook door [sterke wisselwerkingen](#rem-b3-particle-physics-forces) in de lucht; het muon, dat geen sterke kracht voelt en $85\times$ langer leeft, is degene die reist. **3.** $400\,\mathrm{cm}^{2}\times1\,\text{min}^{-1} = 400$ per minuut — ongeveer 7 per seconde. **4.** Ruisflitsen en plaatselijke radioactiviteit laten één plaat willekeurig afgaan; *beide* binnen $100\,\mathrm{ns}$ laten afgaan vergt één deeltje dat het paar doorkruist — meetkunde als filter. **5.** $R_{\text{acc}} = R_1R_2\Delta t = 100\times100
\times10^{-7} = 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ — één valse telling per kwartier tegenover honderd muonen per minuut: verwaarloosbaar. **6.** Alleen muonen binnen de kegel die beide platen rijgt (vrijwel verticaal, binnen ${\sim}30$–$40^\circ$) worden toegelaten: het paar meet een richting en niet alleen een tempo — en dat maakt het een *telescoop*. **7.** Schuine muonen doorkruisen meer atmosfeer: meer energieverlies en meer [eigentijd](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/4-relativistische-kinematica#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) onderweg, dus overleven er minder — ruwweg de wet $\cos^2\theta$ die uw gekantelde metingen tekenen. **8.** $c\tau = 660\,\mathrm{m}$: een klassiek muon vanaf $15\,\mathrm{km}$ overleeft met kans $\eu^{-15000/660} \approx 10^{-10}$ — de zolder zou één muon per decennium tellen. **9.** $\gamma = 4000/106 \approx 38$. **10.** Opgerekte levensduur $\gamma\tau \approx
84\,\text{µ}\mathrm{s}$: bereik ${\sim}25\,\mathrm{km}$ — het zoldertempo is precies wat de relativiteitstheorie voorspelt. **11.** In het stelsel van het muon is de levensduur de gewone $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$, maar is de atmosfeer samengetrokken tot $15000/38 \approx 400\,\mathrm{m}$: overgestoken met tijd over. **12.** $t_{\text{eigen}} \approx 15000/(38\times3\times
10^8) = 1.3\,\text{µ}\mathrm{s}$: overleving $\eu^{-1.3/2.2} \approx
0.55$ — de helft komt aan, en uw teller is hun volkstelling. **13.** De klassieke muonexperimenten op de berg tegenover die op zeeniveau (Rossi–Hall, en Frisch–Smith op film): het klassieke verval voorspelt vrijwel nul tellingen; uw honderden per minuut zijn de speciale relativiteitstheorie, boven de isolatie geverifieerd. **14.** Een geladen [lepton](#def-b3-particle-physics-zoo) van de tweede generatie: lading $-e$, spin $\tfrac12$, massa $106\,\mathrm{MeV}$ — de zware tweeling van het elektron. **15.** Lading: $-1 = -1 + 0 + 0$; elektronfamilie: $0 = 1 + (-1) + 0$; muonfamilie: $1 = 0 + 0 + 1$. Alle boeken kloppen. **16.** Drie lichamen delen het budget in alle verhoudingen, zodat het spectrum van het elektron continu is; het houdt op wanneer de twee neutrino’s samen tegen het elektron in terugstoten: ongeveer $m_\mu c^2/2 \approx 53\,\mathrm{MeV}$. **17.** Het zou het leptonfamiliegetal breken — het ene boek dat het standaardmodel sluitend houdt zonder te weten waarom. Het vinden ervan zou de neef in de geladen sector van de neutrino-oscillaties zijn: gegarandeerd nieuwe fysica, en daarom jagen experimenten er tot op één deel op $10^{13}$ op. **18.** De binnenkomst van het muon geeft één flits; microseconden later geeft zijn vervalelektron een tweede in dezelfde plaat. Het histogram van de vertragingen is een exponentiële waarvan de helling $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ *is*: een levensduur op een plank gemeten. **19.** Alle bohrformules schalen met de massa: de baan van muonische waterstof krimpt met $207$ tot ${\sim}250\,\mathrm{fm}$ — zo diep binnen de elektronenwolk dat het muon de grootte van het proton voelt: muonische atomen zijn protonmeetlatten. **20.** $10^{15}/10^{6} = 10^{9}\,\mathrm{eV}$: ongeveer een GeV per deeltje — uw zoldermuonen zijn doorsnee lawineburgers. **21.** Relativistische muonen lopen het licht in water voorbij en gloeien cherenkovblauw in de fotomultiplicatoren van de tank. De voetafdruk van een lawine van $10^{20}\,\mathrm{eV}$ beslaat vele vierkante kilometers, zodat schaars geplaatste tanks haar bemonsteren als regendruppels in emmers. **22.** Een deeltje zet energie af in een medium dat haar in licht omzet, een fotomultiplicator zet het licht om in elektronen, en de elektronica telt ze: elke calorimeter van zolder tot botser is deze zin. **23.** De straal van de krul geeft de impuls, haar draaizin geeft het teken van de lading; het foton, het neutron en het neutrino — neutraal — laten geen spoor na, alleen hun schulden in de boekhouding. **24.** De natuur versnelt afzonderlijke protonen tien miljoen keer voorbij de LHC — vernederend — maar wel met één per vierkante kilometer per eeuw: onze machines ruilen piekenergie in voor $10^{9}$ beheerste botsingen per seconde. **25.** Geboren uit een proton tien kilometer hoog; levend bezorgd door tijddilatatie ($\gamma \approx 38$, met de helft die overleeft); herkend aan twee flitsen honderd nanoseconde uit elkaar; en volledig verklaard door een tabel met twaalf plaatsen en vier krachten.