---
title: "Continuümmechanica en elasticiteit"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 3"
subject: physics
language: nl
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/3-continuummechanica-en-elasticiteit
---

# Hoofdstuk 3 — Continuümmechanica en elasticiteit

Druk uw oor tegen een lange stalen rail terwijl een werkman er ver weg op slaat: u hoort twee klappen — één door het staal, één door de lucht, een seconde of meer uit elkaar. Gesteente, staal, bot en rubber dragen krachten en golven zoals een vloeistof druk draagt, maar met iets wat geen enkele vloeistof heeft: zij weerstaan *vormveranderingen*, niet alleen volumeveranderingen. Het volume van jaar 2 bouwde de mechanica van vloeistoffen op twee ideeën, het materiële deeltje en het drukveld; dit hoofdstuk breidt ze uit naar vaste stoffen. De verplaatsing van elk deeltje wordt een veld, de plaatselijke vervorming een *rek*, de inwendige krachten een *spanning*, en daartussen staat het identiteitsbewijs van de vaste stof: de [wet van Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) met haar twee elastische constanten. De opbrengst loopt van het alledaagse — waarom kabels uitrekken, waarom flessen barsten, hoe een duikplank doorbuigt — tot het planetaire: aardbevingen sturen precies de twee soorten elastische golf door de aarde die dit hoofdstuk voorspelt, en hun aankomsttijden waren de eerste peiling ooit van het binnenste van onze planeet.

## 3.1 Rek: de vervorming beschrijven

**Definitie 3.1 (Verplaatsingsveld en rektensor).**

Vervormt een vaste stof, dan verplaatst het deeltje dat aanvankelijk in $\vect r$ zat zich naar $\vect r + \vect u(\vect r)$: $\vect u$ is het *verplaatsingsveld*. Bij kleine vervormingen wordt de plaatselijke vervorming gemeten door de *rektensor*, het symmetrische schema

$$
\varepsilon_{ij} = \frac12\Big(
 \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}
\Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .
$$

Een diagonaalcomponent $\varepsilon_{xx}$ is de relatieve verlenging van het materiaal langs $x$ (dimensieloos, bijvoorbeeld $10^{-3}$ voor een stalen kabel in bedrijf); een niet-diagonale component $\varepsilon_{xy}$ is de helft van de vernauwing van de hoek tussen de materiaalrichtingen $x$ en $y$ — een *afschuiving*. Het spoor is de relatieve volumeverandering, de *volumerek*:

$$
\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .
$$

**Voorbeeld 3.2 (Drie elementaire vervormingen).**

Uniforme uitzetting $\vect u = \alpha\vect r$: $\varepsilon_{ij} =
\alpha\,\delta_{ij}$, volumeverandering $3\alpha$, geen afschuiving. Zuivere afschuiving $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$: $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$, alle diagonaalcomponenten nul — de vorm verandert, het volume niet. Starre rotatie $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$: $\varepsilon_{ij} = 0$ identiek — het antisymmetrische deel van $\partial u_i/\partial x_j$, dat de symmetrisatie weggooit, is precies het deel dat draait zonder te vervormen. De rek meet uitsluitend vervorming.

![De rektensor ziet alleen werkelijke vervorming: rekken (diagonaalcomponenten), afschuiven (niet-diagonale componenten) — en een starre rotatie in het geheel niet.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-b3134fdf04e3.svg)

*De [rektensor](#def-b3-continuum-elasticity-strain) ziet alleen werkelijke vervorming: rekken (diagonaalcomponenten), afschuiven (niet-diagonale componenten) — en een starre rotatie in het geheel niet.*

## 3.2 Spanning: de inwendige krachten beschrijven

**Definitie 3.3 (Trekvector en spanningstensor).**

Snijd de vaste stof in gedachten door langs een klein oppervlak $\dd S$ met normaal $\vect n$: het materiaal aan de kant van $+\vect n$ trekt aan de andere kant met een kracht $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — de *trekvector*. Die kracht hangt lineair van $\vect n$ af (Cauchy) en wordt dus vastgelegd door de *spanningstensor* $\sigma_{ij}$:

$$
\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,
$$

in pascal. $\sigma_{xx}$ is een trek ($> 0$: trekspanning) of een duw ($< 0$: druk) over een vlak met normaal $x$; $\sigma_{xy}$ is een kracht langs $x$ gedragen door een vlak met normaal $y$ — een schuifspanning. Een vloeistof in rust is het bijzondere geval $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$: de druk duwt op elk vlak even hard en schuift op geen enkel, en daarom stromen vloeistoffen — zij kunnen geen statische afschuiving dragen.

**Propositie 3.4 (Evenwicht en symmetrie).**

In een vaste stof in evenwicht onder een volumekracht $\vect f$ per eenheid van volume (bijvoorbeeld $\rho\vect g$) geldt

$$
\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0
$$

in elk inwendig punt; en de [spanningstensor](#def-b3-continuum-elasticity-stress) is symmetrisch, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$.

**Gedeeltelijk bewijs.** Breng de krachten op een klein kubusje met ribbe $a$ in evenwicht: de [trekvectoren](#def-b3-continuum-elasticity-stress) op de twee vlakken met normaal $x$ verschillen per eenheid van oppervlak $a\,\partial_x\sigma_{ix}$, en zo ook voor de andere paren; de netto oppervlaktekracht per eenheid van volume is $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$, die $f_i$ moet opheffen — dezelfde boekhouding die in de vloeistofstatica van het volume van jaar 1 $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ opleverde. Symmetrie: het moment van de schuifspanningen om het middelpunt van het kubusje is in laagste orde $(\sigma_{xy} -
\sigma_{yx})a^3$, terwijl zijn traagheidsmoment als $a^5$ schaalt; een asymmetrische spanning zou kleine kubusjes oneindig snel doen tollen. Het volledige continuümargument wordt aangenomen. ∎

![De drie componenten van de trekvector op één vlak van een materiaalkubusje: één normale (trek of druk), twee tangentiële (afschuiving). De negen componenten over de drie vlakken vormen de spanningstensor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-d1d6045b717e.svg)

*De drie componenten van de [trekvector](#def-b3-continuum-elasticity-stress) op één vlak van een materiaalkubusje: één normale (trek of druk), twee tangentiële (afschuiving). De negen componenten over de drie vlakken vormen de [spanningstensor](#def-b3-continuum-elasticity-stress).*

## 3.3 De wet van Hooke en de elastische constanten

**Stelling 3.5 (Lineaire isotrope elasticiteit).**

Bij kleine rekken reageert een isotrope vaste stof lineair: de spanning is evenredig met de rek,

$$
\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,
$$

met twee materiaalconstanten, de *coëfficiënten van Lamé* $\lambda$ en $\mu$ ($\mu$ wordt ook $G$ geschreven, de *glijdingsmodulus*). In de eenvoudige trekproef — een staaf getrokken langs $x$, vrij aan haar zijkanten — neemt dezelfde wet de vorm van de ingenieur aan

$$
\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad
\varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,
$$

en definieert daarmee de *[elasticiteitsmodulus](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $E$ (stijfheid tegen rekken) en de *[constante van Poisson](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $\nu$ (dwarscontractie), met

$$
\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad
\lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .
$$

Dit is Hookes “zoals de verlenging, zo de kracht” (1678), verheven tot tensor. Zij geldt tot aan een materiaalafhankelijke *elasticiteitsgrens*.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 3.6 (Ordes van grootte).**

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ voor staal, $70\,\mathrm{GPa}$ voor aluminium en vensterglas, $50\,\mathrm{GPa}$ voor graniet, $15\,\mathrm{GPa}$ voor bot en beton, $10\,\mathrm{GPa}$ voor hout in de vezelrichting, en slechts enkele MPa voor rubber — vijf ordes van grootte, de afstand tussen een brug en een elastiekje. $\nu$ ligt tussen $0$ (kurk, bijna) en $1/2$ (rubber): $\nu = 1/2$ betekent vervorming met behoud van volume, en $\nu \approx 0.3$ is typisch voor metalen. Een rek van $10^{-3}$ in staal betekent al $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$, dicht bij de vloeigrens van gewone soorten: alledaagse elasticiteit speelt zich onder één duizendste af.

**Voorbeeld 3.7 (Een liftkabel).**

Een stalen kabel van $60\,\mathrm{m}$ met doorsnede $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ draagt een cabine van $1000\,\mathrm{kg}$: $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$, $\varepsilon =
\sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$, verlenging $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — en de kabel gedraagt zich als een veer met veerconstante $k = ES/L =
6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$: de formule $k = ES/L$ is hoe een continuüm de veren van het volume van jaar 1 teruggeeft.

**Propositie 3.8 (Elastische energie).**

Een gerekte vaste stof slaat per eenheid van volume de energiedichtheid

$$
w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij}
\qquad\text{(zuivere trek: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 =
\sigma^2/2E\text{)} ,
$$

op, de driedimensionale $\tfrac12 kx^2$.

**Gedeeltelijk bewijs.** Bij zuivere trek verricht het opvoeren van de spanning van $0$ tot $\sigma$ per eenheid van volume de arbeid $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' =
\int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12
E\varepsilon^2$ — de oppervlakte onder de spanning–rekrechte, precies als bij een veer. De algemene kwadratische vorm volgt door de componenten te superponeren; aangenomen. ∎

![Links: de trekproef definieert E (relatieve verlenging) en (dwarsversmalling, overdreven weergegeven). Rechts: de spanning–rekkromme van een metaal — lineaire elasticiteit tot aan de elasticiteitsgrens, dan onomkeerbaar plastisch vloeien, dan breuk. Dit hoofdstuk speelt zich op het rechte stuk af.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-abcf44152737.svg)

*Links: de trekproef definieert $E$ (relatieve verlenging) en $\nu$ (dwarsversmalling, overdreven weergegeven). Rechts: de spanning–rekkromme van een metaal — lineaire elasticiteit tot aan de elasticiteitsgrens, dan onomkeerbaar plastisch vloeien, dan breuk. Dit hoofdstuk speelt zich op het rechte stuk af.*

**Methode 3.9 (Vraagstukken over kleine elasticiteit oplossen).**

(1) Benoem de meetkunde en de belasting; raad welke spanningscomponenten ongelijk nul zijn (een getrokken staaf: alleen $\sigma_{xx}$; een gedraaide draad: afschuiving; een schaal onder druk: tangentiële trekspanningen). (2) Stel het krachtenevenwicht op voor een goed gekozen stuk — een halve cilinder, een plakje, een kubusje. (3) Zet spanning om in rek met de [wet van Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke), en rek in verplaatsing door te integreren. (4) Energieën via $w = \sigma^2/2E$ (of $\sigma^2/2G$ bij afschuiving). (5) Ga altijd na dat de rek klein blijft en de spanning onder de elasticiteitsgrens — anders beschrijft het antwoord een vaste stof die niet meer bestaat.

## 3.4 Elastische golven

**Propositie 3.10 (De twee geluiden van een vaste stof).**

In een onbegrensde elastische vaste stof met dichtheid $\rho$ planten kleine verstoringen zich voort als twee onafhankelijke soorten golf: *longitudinale* golven (P), waarin de materie langs de voortplantingsrichting trilt door samendrukking en uitzetting, met snelheid

$$
c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,
$$

en *transversale* golven (S), waarin de materie zijdelings afschuift, met

$$
c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .
$$

Een vloeistof heeft $\mu = 0$: geen S-golven — afschuiving kan niet worden doorgegeven — en de P-snelheid herleidt zich tot de geluidssnelheid van het volume van jaar 2. Voor $\nu = 1/4$ (typisch gesteente) is $\lambda = \mu$ en $c_{\text{P}} =
\sqrt3\,c_{\text{S}}$.

**Gedeeltelijk bewijs.** Neem een vlakke verstoring $\vect u = \vect u(x, t)$. De wet van Newton per eenheid van volume luidt $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (de evenwichtsvergelijking met de traagheid terug). Voor de longitudinale component geeft de [wet van Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) $\sigma_{xx} = (\lambda +
2\mu)\,\partial_xu_x$ (de dwarsrekken verdwijnen in een vlakke golf, omdat de omringende materie zijdelings uitwijken verbiedt), dus $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$: d’Alembert met snelheid $c_{\text{P}}$. Voor de transversale component is $\sigma_{yx} =
2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$, waaruit $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$: snelheid $c_{\text{S}}$. Dat een algemene verstoring in deze twee families uiteenvalt, wordt aangenomen. ∎

![De twee elastische golven. P: vlakken materie dringen samen en waaieren uiteen langs de looprichting (drukgolf — bestaat in vaste stoffen, vloeistoffen en gassen). S: de materie schuift zijdelings af (bestaat alleen waar afschuiving weerstand ondervindt: vaste stoffen).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-1b2ff19d5920.svg)

*De twee [elastische golven](#prop-b3-continuum-elasticity-waves). P: vlakken materie dringen samen en waaieren uiteen langs de looprichting (drukgolf — bestaat in vaste stoffen, vloeistoffen en gassen). S: de materie schuift zijdelings af (bestaat alleen waar afschuiving weerstand ondervindt: vaste stoffen).*

**Voorbeeld 3.11 (De rail en de aardbeving).**

Staal: $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — een klap op een rail $2\,\mathrm{km}$ verderop komt door het staal in $0.34\,\mathrm{s}$ aan en door de lucht ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) in $5.9\,\mathrm{s}$: twee klappen. Graniet ($E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho =
2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Een aardbeving kondigt zich dus tweemaal aan: een scherpe P-schok, en seconden later het tragere, sterkere S-beven — en de vertraging meet de afstand ([Probleem 3.1](#pb-b3-continuum-elasticity-1)). Waarschuwingssystemen voor aardbevingen leven binnen die vertraging: de [P-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), en het radiobericht dat zij afvuurt, zijn de [S-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) die de schade aanricht te snel af.

**Opmerking 3.12 (Snaren, staven en geluid teruggevonden).**

De golven van het volume van jaar 2 zijn alle limietgevallen van dit hoofdstuk. Een dunne staaf, vrij om zijdelings te versmallen, draagt drukgolven met $\sqrt{E/\rho}$ (trager dan $c_{\text{P}}$: het zijdelings uitwijken maakt de reactie zachter); een gespannen snaar draagt transversale golven met $\sqrt{T/\rho_\ell}$, waarin de spankracht de rol van de stijfheid speelt; een vloeistof houdt alleen $\lambda$ over — haar compressiemodulus — en de enkele geluidssnelheid $\sqrt{\lambda/\rho}$.

![Een belaste duikplank: spanning en rek verdeeld over een continuüm, gebogen tot het kubische doorbuigingsprofiel van de uitkragende balk — en een veer die haar elastische energie zo dadelijk teruggeeft.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/img-5763894027e1.jpg)

*Een belaste duikplank: spanning en rek verdeeld over een continuüm, gebogen tot het kubische doorbuigingsprofiel van de uitkragende balk — en een veer die haar [elastische energie](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) zo dadelijk teruggeeft.*

## 3.5 Opgaven

**Oefening 3.1 ★.**

(a) Controleer de eenheden: wat is een pascal uitgedrukt in kg, m en s, en wat is de eenheid van rek? (b) Een stalen kabel werkt bij $\sigma =
200\,\mathrm{MPa}$: bereken zijn rek. (c) Een elastiekje ($E \approx
2\,\mathrm{MPa}$) wordt tot tweemaal zijn lengte uitgerekt: welke “rek” is dat, en waarom is het kader van dit hoofdstuk daar eigenlijk niet op van toepassing? (d) Rangschik naar opgeslagen elastische energiedichtheid bij hun werkspanning: staal bij $200\,\mathrm{MPa}$, rubber bij $1\,\mathrm{MPa}$.

**Oplossing van Oefening 3.1.**

(a) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$; rek is een zuiver getal. (b) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$. (c) De lengte verdubbelen is $\varepsilon = 1$: duizend keer voorbij “klein”, en de reactie van rubber is daar sterk niet-lineair (en van een andere, entropische oorsprong) — de [wet van Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) opent de kromme slechts. (d) $w =
\sigma^2/2E$: staal $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) =
1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; rubber $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) =
2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — het zachte materiaal slaat bij werkspanning *meer* per eenheid van volume op, en daarom zijn katapulten van rubber en niet van staal.

**Oefening 3.2 ★.**

Bereken de [rektensor](#def-b3-continuum-elasticity-strain) van elk [verplaatsingsveld](#def-b3-continuum-elasticity-strain) en beschrijf de vervorming: (a) $\vect u = \alpha(x, y, z)$; (b) $\vect u =
(\gamma y, 0, 0)$; (c) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$; (d) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — welke proef verwezenlijkt dat laatste?

**Oplossing van Oefening 3.2.**

(a) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$: isotrope uitzetting, $\delta V/V = 3\alpha$. (b) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} =
\gamma/2$, de rest nul: zuivere afschuiving, volume onveranderd. (c) $\varepsilon_{ij} = 0$: starre rotatie, geen vervorming. (d) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$: de trekproef — rek langs $x$, poissoncontractie dwars daarop.

**Oefening 3.3 ★.**

De voet van een granieten zuil met hoogte $h$ draagt de spanning $\sigma
= \rho gh$. (a) Leid dit af uit de evenwichtsvergelijking met zwaartekracht. (b) Graniet verbrijzelt bij ongeveer $200\,\mathrm{MPa}$: hoe hoog kan de zuil hoogstens zijn? (c) De Mount Everest is $8.8\,\mathrm{km}$ hoog: geef commentaar. (d) Waarom kan een berg iets hoger zijn dan een zuil van zijn eigen gesteente (denk aan de vorm)?

**Oplossing van Oefening 3.3.**

(a) Met alleen $\sigma_{zz}(z)$ en het gewicht: $\partial_z\sigma_{zz} =
\rho g$ (met druk positief naar beneden), $\sigma_{zz} = \rho
gh$ aan de voet. (b) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g =
2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$. (c) De Mount Everest zit op de verbrijzelingsgrens van zijn eigen voet — de bergen van de aarde zijn zo hoog als de sterkte van gesteente toelaat, en niet hoger. (d) Een kegel met hoogte $h$ belast zijn grondvlak met slechts $\rho gh/3$ (een derde van de zuil: de massa groeit mee met de doorsnede), zodat een bergvormige stapel ongeveer drie keer zo hoog kan staan als een zuil.

**Oefening 3.4 ★.**

Een stalen staaf ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.30$) wordt met $\varepsilon = 10^{-3}$ gerekt. (a) Dwarsrek? (b) Relatieve volumeverandering? (c) Voor welke $\nu$ zou het volume in het geheel niet veranderen, en welk alledaags materiaal komt daarbij in de buurt? (d) Waarom is $\nu > 1/2$ onmogelijk (denk aan hydrostatische samendrukking)?

**Oplossing van Oefening 3.4.**

(a) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$. (b) $\delta V/V = (1 -
2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$. (c) $\nu = 1/2$: onsamendrukbare vervorming — rubber. (d) Voor $\nu > 1/2$ zou de compressiemodulus $K =
E/3(1 - 2\nu)$ negatief zijn: van alle kanten samendrukken zou het volume doen *groeien*, en het materiaal zou energie vrijmaken door in te storten — geen stabiele vaste stof kan dat.

**Oefening 3.5 ★★.**

Ringspanning. Een dunwandige cilinder (straal $R$, wanddikte $t \ll
R$) houdt een druk $p$ vast. (a) Toon met een krachtenevenwicht op een halve cilinder van eenheidslengte aan dat de wand de tangentiële spanning $\sigma_\theta = pR/t$ draagt. (b) Toon aan dat de langsspanning (evenwicht op een dwarsdoorsnede) $pR/2t$ is: een cilinder wordt in de omtrek tweemaal zo zwaar belast als in de lengte — in welke richting barsten worstjes open? (c) Een duikfles: $p =
200\,\mathrm{bar}$, $R = 9\,\mathrm{cm}$, $t = 5\,\mathrm{mm}$: bereken $\sigma_\theta$ en vergelijk met een vloeigrens van staal van $700\,\mathrm{MPa}$. (d) Waarom hebben tanks voor hoge druk halfbolvormige einden?

**Oplossing van Oefening 3.5.**

(a) Op een halve cilinder van eenheidslengte duwt de druk met $p
\times 2R$ (geprojecteerd oppervlak), terwijl de twee doorgesneden wanden met $2\sigma_\theta t$ terugtrekken: $\sigma_\theta = pR/t$. (b) Op een dwarsdoorsnede geldt $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$: $\sigma_z = pR/2t$ — de helft. Een worstje barst *in de lengte* open: de grotere ringspanning scheurt het vel langs de as. (c) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times
0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$: een factor $2$ onder de vloeigrens — en daarom worden flessen beproefd en gekeurd. (d) Een bol draagt $pR/2t$ in elke richting: halfbolvormige einden halveren de spanning en vermijden de hoeken waar vlakke einden haar zouden opstapelen.

**Oefening 3.6 ★★.**

Een rubberblok ($E = 3.0\,\mathrm{MPa}$, $\nu \approx 0.5$), grondvlak $10
\times 10\,\mathrm{cm}$, hoogte $2\,\mathrm{cm}$, is tussen twee platen gelijmd; de bovenste plaat wordt met $150\,\mathrm{N}$ zijwaarts geduwd. (a) Bereken $G$. (b) Schuifspanning en schuifhoek $\gamma = \sigma_{xy}/G$; de zijwaartse verplaatsing van de bovenplaat. (c) Waarom is $\nu \approx 1/2$ voor rubber (wat is moeilijk en wat is makkelijk voor een kluwen polymeerketens)? (d) Zulke rubberblokken dragen in aardbevingsgebieden hele gebouwen: welke eigenschap van deze oplegging beschermt het gebouw, de stijfheid onder druk of de zachtheid bij afschuiving?

**Oplossing van Oefening 3.6.**

(a) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$. (b) $\sigma_{xy} = F/S =
150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$; $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$; verplaatsing $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$. (c) Een rubbernetwerk verandert van *vorm* door zijn ketens louter anders te richten (makkelijk), maar van *volume* veranderen betekent de ketens dichter opeen pakken, even moeilijk als een vloeistof samendrukken: $G \ll K$, dus $\nu \to 1/2$. (d) De zachtheid bij afschuiving: de oplegging laat de bodem er horizontaal onder schudden en geeft daarbij weinig kracht door, maar blijft onder druk stijf genoeg om het gewicht van het gebouw te dragen.

**Oefening 3.7 ★★.**

Een klimtouw, lengte $L = 20\,\mathrm{m}$, doorsnede $S =
80\,\mathrm{mm}^{2}$, effectieve modulus $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$. (a) De veerconstante $k = ES/L$. (b) Een klimmer van $80\,\mathrm{kg}$ valt $4\,\mathrm{m}$ vrij voordat het touw aangrijpt: bepaal met het energiebehoud de maximale uitrekking van het touw (los de vierkantsvergelijking op; verwaarloos bij een eerste poging de val die tijdens het afremmen doorgaat). (c) Leid daaruit de piekkracht en de piekvertraging in $g$ af. (d) Waarom moet een touw dat een harde val heeft opgevangen uit de omloop worden genomen (waar is de energie gebleven, en wat zegt de spanning–rekkromme)?

**Oplossing van Oefening 3.7.**

(a) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. (b) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$: $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$, $x =
1.3\,\mathrm{m}$. (c) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$; vertraging $F/m
\approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — de reden dat touwen met opzet rekbaar worden gemaakt. (d) Een deel van de opgenomen energie ging naar het breken van vezels en plastische herschikking: het touw zit nu op een aangetaste spanning–rekkromme, stijver en zwakker, en de volgende val zou in beide opzichten harder aankomen.

**Oefening 3.8 ★★.**

Torsie. Een draad met straal $a$, lengte $L$ en glijdingsmodulus $G$ wordt over een hoek $\theta$ verdraaid. (a) Toon aan dat een buisje met straal $r$ erbinnen de schuifhoek $\gamma(r) = r\theta/L$ ondergaat. (b) Zijn schuifspanning is $G\gamma$: integreer $r \times$ spanning over de doorsnede om het terugdrijvende moment $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ te krijgen. (c) De $a^4$: halveer de straal, en met welke factor daalt de torsiestijfheid? (d) Die extreme zachtheid is de reden dat Cavendish (1798) zijn balans aan een fijne draad ophing: bereken voor $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$, $L =
1\,\mathrm{m}$ en $G = 40\,\mathrm{GPa}$ de waarde van $C = \pi Ga^4/2L$ en de periode bij een staaf met traagheidsmoment $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**Oplossing van Oefening 3.8.**

(a) De top van een buisje met straal $r$ draait over de boog $r\theta$ over de lengte $L$: $\gamma = r\theta/L$. (b) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\,
2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$. (c) Met $2^4 = 16$. (d) $C =
\pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 =
2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$; $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/
2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — een kwartier per slingering: gevoelig genoeg om de zwaartekracht van loden bollen te voelen.

**Oefening 3.9 ★★.**

(a) Bereken met de afleiding voor vlakke golven uit [Propositie 3.10](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) de waarden van $c_{\text{P}}$ en $c_{\text{S}}$ voor staal ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.29$, $\rho =
7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). (b) Vergelijk $c_{\text{P}}$ met de snelheid $\sqrt{E/\rho}$ in een dunne staaf en verklaar het verschil in één zin. (c) Voor water ($\mu = 0$, compressiemodulus $2.2\,\mathrm{GPa}$): de S-snelheid en de P-snelheid. (d) Onder welke hoek verschilt de materiebeweging van een [P-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) van die van een [S-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), en hoe houdt een seismometer met drie componenten ze uit elkaar?

**Oplossing van Oefening 3.9.**

(a) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$, $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu)
= 107\,\mathrm{GPa}$: $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} =
5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (b) De dunne staaf geeft $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: in de staaf mogen de zijkanten vrij uitpuilen (poissonontspanning), wat de reactie zachter maakt; in het volle materiaal verbiedt de omringende materie dat. (c) $c_{\text{S}} = 0$; $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — de geluidssnelheid van water. (d) P beweegt de bodem langs de straal (bijna verticaal bij een diepe bron), S dwars daarop: de drie componenten van een seismometer scheiden de polarisaties, en de P/S-vertraging dateert vervolgens de afstand.

**Oefening 3.10 ★★★.**

Buiging. Een balk wordt tot een kromtestraal $R$ gebogen; zijn binnenste vezels korten in, zijn buitenste rekken uit, en een *neutraal vlak* ertussen houdt zijn lengte. (a) Toon aan dat de vezel op afstand $y$ van het neutrale vlak de rek $\varepsilon = y/R$ heeft, en dus de spanning $Ey/R$. (b) Toon door de momenten over de doorsnede te sommeren aan dat het buigend moment $M = EI/R$ bedraagt met $I = \int y^2\,\dd S$ (het *tweede oppervlaktemoment*); bereken $I$ voor een rechthoek met breedte $b$ en hoogte $h$. (c) De $h^3$: waarom zakt een plank die plat ligt zichtbaar door, terwijl dezelfde plank op zijn kant stijf aanvoelt? Bereken de verhouding voor $b/h = 5$. (d) Voor een uitkragende balk met lengte $L$ die aan haar tip met $F$ wordt belast is de doorbuiging aan de tip $\delta = FL^3/3EI$ (aangenomen): schat $\delta$ voor een duikplank ($L = 1.8\,\mathrm{m}$, $b = 50\,\mathrm{cm}$, $h = 3.5\,\mathrm{cm}$, hout $E
= 12\,\mathrm{GPa}$) onder een duiker van $75\,\mathrm{kg}$, en geef commentaar.

**Oplossing van Oefening 3.10.**

(a) Een boog op straal $R + y$ heeft lengte $(R + y)\alpha$ tegen $R\alpha$ op het neutrale vlak: $\varepsilon = y/R$, $\sigma =
Ey/R$. (b) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$; voor de rechthoek is $I = bh^3/12$. (c) Plat: $I = bh^3/12$; op zijn kant: $hb^3/12$ — verhouding $(b/h)^2 = 25$ voor $b/h = 5$: hetzelfde hout, vijfentwintig keer stijver, louter door de meetkunde. (d) $I = 0.50 \times
0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$, $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$; $\delta =
FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx
7\,\mathrm{cm}$: precies de prettige veerkracht van een duikplank.

**Oefening 3.11 ★★★.**

Knik. Een slanke zuil (lengte $L$, buigstijfheid $EI$), aan beide uiteinden scharnierend, draagt een axiale last $P$. Neem aan dat zij zijwaarts uitwijkt over $y(x)$. (a) Toon aan dat de last dan om de verplaatste as het buigend moment $M(x) = -Py(x)$ uitoefent, zodat $EI\,y'' = -Py$. (b) Toon met $y(0) = y(L) = 0$ aan dat een uitwijking ongelijk nul pas mogelijk wordt bij de kritische last van Euler $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$. (c) Bereken $P_{\text{c}}$ voor een meetlat ($b = 3\,\mathrm{cm}$, $h = 1.5\,\mathrm{mm}$, $E = 12\,\mathrm{GPa}$) en vergelijk met de duw van uw hand. (d) Verklaar uit $I$ waarom botten, bamboe en fietsframes *buizen* zijn.

**Oplossing van Oefening 3.11.**

(a) In de uitgeweken stand werkt de axiale last $P$ met arm $y(x)$ om de doorsnede in $x$: $M = -Py$, en $M = EIy''$ geeft $EIy'' = -Py$. (b) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ met $y(L) = 0$: een $A$ ongelijk nul is pas mogelijk bij $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$, dus $P_{\text{c}} =
\pi^2EI/L^2$; daaronder is de rechte zuil de enige oplossing, daarboven kost uitwijken geen kracht. (c) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 =
8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$: $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times
8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — het gewicht van een appel: een meetlat knikt onder één vinger. (d) $I$ groeit naarmate materiaal verder van de as ligt: een buis legt haar hele doorsnede bij grote $y$ en maximaliseert zo $I$ (en dus $P_{\text{c}}$) bij gegeven materiaalgewicht — het ontwerp van botten, bamboe en fietsframes.

**Oefening 3.12 ★★★.**

De geluidssnelheid in een vaste stof, vanuit de atomen. Modelleer een vaste stof als ketens van atomen met afstand $a$, verbonden door “veren” met veerconstante $\kappa$; de atoommassa is $m$. (a) Toon aan dat het rekken van de keten overeenkomt met trek in een continuüm met $E = \kappa/a$ (tel de veren per eenheid van oppervlak en de rek per veer). (b) Toon aan dat $\rho = m/a^3$ en concludeer $c =
\sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$. (c) Schat $\kappa$ uit de diepte van een interatomaire binding ($\sim3\,\mathrm{eV}$ over $\sim
0.1\,\mathrm{nm}$): $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; met $a =
2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ en $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$: schat $c$. (d) Vergelijk met gemeten geluidssnelheden in metalen en concludeer waarvan alledaagse elasticiteit gemaakt is.

**Oplossing van Oefening 3.12.**

(a) Eén keten per oppervlak $a^2$; rekken met rek $\varepsilon$ rekt elke veer met $\delta = \varepsilon a$, geeft een kracht $\kappa
\varepsilon a$ per keten en een spanning $\kappa\varepsilon/a$: $E =
\kappa/a$. (b) $\rho = m/a^3$, dus $E/\rho = \kappa a^2/m$ en $c =
a\sqrt{\kappa/m}$. (c) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx
5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (d) Precies de gemeten paar km/s van metalen: de stijfheid van alles wat vast is — en de snelheid van elke aardbevingsgolf — is de stijfheid van de chemische binding.

## 3.6 Vraagstuk: Naar de aarde luisteren

**Probleem 3.1.**

Weekendvraagstuk — hoe aardbevingen de vloeibare kern verrieden

Eén aardbeving laat de hele planeet meetrillen, en de twee [elastische golven](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) van dit hoofdstuk doorlichten haar op hun tocht. Dit vraagstuk volgt de natuurkunde van de [wet van Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) in graniet tot Oldhams ontdekking uit 1906 dat de aarde een kern heeft — met de schatting van haar afmeting uit rechte stralen. Neem voor het gesteente van korst en mantel $E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; de straal van de aarde is $R_{\text{E}} =
6371\,\mathrm{km}$.

**Deel I — Gesteente als elastische vaste stof.**

1. Bereken de coëfficiënten van Lamé $\mu$ en $\lambda$ van dit gesteente, en merk op dat $\nu = 1/4$ ze gelijk maakt.
2. Bereken $c_{\text{P}}$ en $c_{\text{S}}$ , en ga $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ na.
3. Bij een aardbeving verschuiven twee gesteentevlakken in seconden over meters: schat de vrijgekomen rek als een verschuiving van $2\,\mathrm{m}$ het gesteente over een schaal van $50\,\mathrm{km}$ ontspant, en de spanning die was opgebouwd.
4. Schat uit de energiedichtheid $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ de [elastische energie](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) per kubieke meter, en vervolgens de energie in een volume van $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ; vergelijk met een megaton ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
5. Waarom schudt de [S-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) gebouwen doorgaans harder door dan de [P-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) (denk aan de richting van de bodembeweging bij een golf die van onderen aankomt)?
6. In welke van de twee golven verandert de bodem van volume?

**Deel II — De twee aankomsten van de seismometer.**

7. Een station registreert de P-aankomst en $\Delta t$ later de S-aankomst. Toon voor een bron op afstand $d$ (klein genoeg voor rechte stralen) aan dat $$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} -  \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$$
8. Bereken de coëfficiënt: hoeveel kilometer per seconde S–P-vertraging?
9. Een station meet $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : hoe ver weg ligt de aardbeving?
10. Eén station geeft een afstand, geen plaats: hoeveel stations bepalen het epicentrum, en hoe, meetkundig?
11. De Japanse waarschuwingssirenes loeien seconden voor het zware schudden: hoeveel waarschuwing levert de P–S-vertraging zelf bij een beving $80\,\mathrm{km}$ onder een stad?
12. Moderne waarschuwingen voegen de lichtsnelheid toe: de [P-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) die dicht bij de bron wordt opgemerkt, wordt beide golven per radio vooruitgestuurd. Hoe lang na de breuk komt voor een stad $200\,\mathrm{km}$ van het epicentrum de [S-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) aan, en welke waarschuwing kan een radiobericht geven dat bij de eerste P-aankomst $20\,\mathrm{km}$ van de bron wordt verzonden?

**Deel III — Golven die de planeet doorkruisen.**

13. Bij de drukken van de diepe mantel groeien de moduli: de P-snelheden bereiken $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ aan de voet van de mantel. Hoe lang doet een [P-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) er met een ruw gemiddelde $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ over om de aarde diametraal te doorkruisen?
14. Stations registreren bevingen van de andere kant van de wereld: wat zegt het loutere bestaan van die aankomsten over de diepe aarde (is zij elastisch? door en door gesmolten?)?
15. Definieer de epicentrale hoek $\Delta$ (de hoek in het middelpunt van de aarde tussen bron en station). Toon voor rechte stralen aan dat de koorde $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ lang is.
16. Bereken de koorde en haar looptijd langs een rechte straal voor $\Delta = 60^\circ$ bij het gemiddelde $c_{\text{P}} \approx  10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
17. Omstreeks 1900 merkte Oldham op dat S-golven tot $\Delta \approx 103^\circ$ worden geregistreerd en dan *verdwijnen* : er is geen directe S meer voorbij die hoek. Welke eigenschap van een gebied diep in de aarde doodt S-golven, en welke aggregatietoestand heeft die eigenschap?
18. Voorbij $103^\circ$ zijn P-golven niet afwezig maar verzwakt, vertraagd en verplaatst (een “schaduwzone” tot $\approx 142^\circ$ ): waarom vertraagt en breekt een vloeibaar gebied P-golven wel, maar houdt het ze niet tegen?
19. Concludeer in één zin wat er in het middelpunt van de aarde zit.

**Deel IV — De kern wegen met een liniaal.**

20. Een rechte S-straal die de bron verlaat scheert langs de kern wanneer haar kleinste afstand tot het middelpunt gelijk is aan de kernstraal $R_{\text{c}}$ . Toon aan dat deze scherende straal het oppervlak bereikt bij de epicentrale hoek $\Delta^* =  2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
21. Uit $\Delta^* = 103^\circ$ : bereken $R_{\text{c}}$ .
22. De moderne waarde is $3480\,\mathrm{km}$ : bereken uw fout en verklaar haar *teken* : echte stralen buigen naar het oppervlak terug omdat de snelheid met de diepte groeit — beredeneer of rechte stralen de kern te groot of te klein schatten.
23. In 1936 vond Inge Lehmann zwakke P-aankomsten *binnen* de schaduwzone: wat concludeerde zij dat er binnen de vloeibare kern zit?
24. De straal van de binnenkern is $1220\,\mathrm{km}$ en zij is vast: stel de golfwaarneming voor die de vastheid zou kunnen bevestigen (welke golf bestaat daar die de buitenkern verbiedt?).
25. Vat het genoemde resultaat samen: twee elastische golfsnelheden in gesteente ( $5.8$ en $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), één ontbrekende golf voorbij $103^\circ$ en een liniaal geven een vloeibare kern met straal $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — binnen $15\%$ van de moderne $3480\,\mathrm{km}$ , gemeten dwars door $6000\,\mathrm{km}$ vast gesteente.

**Oplossing van Probleem 3.1.**

**1.** $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$; $\lambda =
E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$: voor $\nu = 1/4$ is $\lambda =
\mu$. **2.** $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700}
= 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} =
3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; verhouding $\sqrt3$. **3.** $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$; $\sigma =
E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — de gemeten “spanningsval” van echte aardbevingen bedraagt inderdaad een paar MPa. **4.** $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; over $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$: $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$, ongeveer driekwart megaton — een zware aardbeving. **5.** Van onderen beweegt P de bodem verticaal — gebouwen zijn gebouwd om verticale lasten te dragen; S beweegt hem *horizontaal*, de richting waarin gebouwen het zwakst zijn. **6.** Alleen de [P-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves): dat is een drukgolf; de [S-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) is zuivere afschuiving, bij constant volume. **7.** $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$, $t_{\text{S}} =
d/c_{\text{S}}$: $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$, omgekeerd zoals aangegeven. **8.** $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx
7.9\,\mathrm{km}$ per seconde vertraging — de “acht kilometer per seconde” van de seismoloog in het veld. **9.** $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$. **10.** Drie (in het algemeen): elk station kent een cirkel van mogelijke epicentra; twee cirkels snijden elkaar in twee punten, en het derde beslist. **11.** $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$, $t_{\text{S}} =
80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$: ongeveer $10\,\mathrm{s}$ waarschuwing tussen de schok en het verwoestende schudden. **12.** S komt aan op $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$. De P bereikt $20\,\mathrm{km}$ na $3.5\,\mathrm{s}$; een radiobericht is praktisch ogenblikkelijk, dus kan de stad bijna een minuut waarschuwing krijgen — huidige systemen halen tientallen seconden. **13.** $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$, zo’n twintig minuten. **14.** Dat [elastische golven](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) haar überhaupt doorkruisen: de diepe aarde is niet door en door gesmolten — zij geleidt, en (bij S-golven door de mantel) schuift zelfs af als een vaste stof. **15.** Twee stralen en de hoek $\Delta$ ertussen: de koorde is $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$. **16.** $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$; $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$. **17.** Voorbij $103^\circ$ moet elke straal door een diep centraal gebied; is dat gebied *vloeibaar* ($\mu = 0$), dan draagt het geen schuifgolf: de S-golven sterven daar. Vloeistoffen zijn de aggregatietoestand die geen afschuiving kan weerstaan. **18.** Een vloeistof draagt nog wel samendrukking: P-golven doorkruisen de kern, maar trager — zij breken dus scherp aan haar rand, en de gebogen stralen laten een ringvormige schaduw achter in plaats van een scherpe snede. **19.** In het middelpunt van de aarde zit een vloeibare kern. **20.** De kleinste afstand van de koorde tot het middelpunt is $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$; scheren betekent $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$, dus $\Delta^* =
2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$. **21.** $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx
3970\,\mathrm{km}$. **22.** $+14\%$ te groot. De snelheid groeit met de diepte, dus buigen echte stralen naar het oppervlak terug: een straal waarvan het diepste punt de kern net raakt komt onder een *kleinere* hoek boven dan de rechte koorde door dezelfde diepte — dus legt de omkering met rechte stralen het raakpunt vanuit de waargenomen $103^\circ$ te ondiep, en overschat zij de kern. **23.** Zwakke P-energie binnen de schaduw betekent dat iets binnen de vloeibare kern stralen weer naar buiten buigt: een afzonderlijke *binnenkern* (Lehmann, 1936). **24.** Schuifgolven bestaan alleen in vaste stoffen: een [P-golf](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) die in de binnenkern in een schuifgolf overgaat en weer terug (de fase die PKJKP heet) zou haar vastheid bewijzen — de detectie ervan, lang gezocht, is het aanvaarde bewijs. **25.** Twee snelheden in gesteente ($5.8$ en $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), één ontbrekende golf voorbij $103^\circ$ en de meetkunde van de koorde geven een vloeibare kern van $\approx4000\,\mathrm{km}$ — binnen $15\%$ van de moderne $3480\,\mathrm{km}$: de [wet van Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke), op planetaire schaal gelezen.