---
title: "Het formalisme van de kwantummechanica"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 3"
subject: physics
language: nl
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/8-het-formalisme-van-de-kwantummechanica
---

# Hoofdstuk 8 — Het formalisme van de kwantummechanica

Neem drie polarisatiefilters. Twee ervan, gekruist onder $90^\circ$, houden het licht volledig tegen; schuif het derde er onder $45^\circ$ tussen en het licht komt er *doorheen* — een obstakel toevoegen opent de weg. Geen enkel beeld van filters als zeven overleeft deze proef; wat wel overleeft is lineaire algebra: de polarisatie van een foton is een *vector*, elk filter meet haar langs een as en projecteert haar, en de kansen zijn gekwadrateerde componenten. Dit hoofdstuk installeert die algebra als de eigenlijke grondslag van de kwantummechanica. De golffuncties van de vorige hoofdstukken waren één concreet kostuum van een abstracter lichaam: toestanden zijn vectoren in een [hilbertruimte](#def-b3-quantum-formalism-state), [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) zijn [hermitische operatoren](#def-b3-quantum-formalism-observable), gemeten waarden zijn [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable), kansen zijn gekwadrateerde scalaire producten, en de evolutie wordt door de [hamiltoniaan](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) voortgebracht. Vijf postulaten, die alle al aan het werk waren in alles wat we hebben berekend — en die, eenmaal netjes geformuleerd, krachtig genoeg zijn voor stelsels die geen golf op een lijn kan beschrijven: de polarisatie van het foton, de spin van het elektron, en de neutrino’s waarvan de identiteit dwars door de aarde heen oscilleert.

## 8.1 Toestanden zijn vectoren

**Definitie 8.1 (Toestandsruimte, kets en haakjes).**

De toestanden van een kwantumstelsel vormen een complexe vectorruimte met een inproduct — een *hilbertruimte* $\mathcal H$ (de wiskunde ervan wordt in het wiskundevolume van jaar 3 ontwikkeld). Een toestand is een vector, geschreven als een *ket* $\ket\psi$, genormeerd: $\braket\psi\psi = 1$. Het inproduct van twee toestanden is het complexe getal $\braket\varphi\psi$, toegevoegd-lineair in het eerste vak, met $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$. In een orthonormale basis $\{\ket{e_i}\}$ geldt

$$
\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad
c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad
\sum_i|c_i|^2 = 1 .
$$

De golffunctie van de vorige hoofdstukken is de familie componenten van $\ket\psi$ langs de positie: $\psi(x) =
\braket{x}{\psi}$; er gaat niets verloren, en stelsels met *eindige* toestandsruimten — als golf ondenkbaar — worden beschrijfbaar.

**Voorbeeld 8.2 (De polarisatie van het foton: een tweedimensionale wereld).**

Een foton dat langs de $z$-as loopt draagt een polarisatietoestand in een *twee*dimensionale [hilbertruimte](#def-b3-quantum-formalism-state), met basis $\ket H$ (horizontaal) en $\ket V$ (verticaal). Licht dat onder een hoek $\theta$ is gepolariseerd is de superpositie

$$
\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,
$$

en circulaire polarisatie is de complexe combinatie $(\ket H \pm
\iu\ket V)/\sqrt2$: dat de coëfficiënten complex zijn is geen versiering maar natuurkunde. Elk kwantumstelsel met twee niveaus — spin, het ammoniakmolecuul, een supergeleidende qubit — is dezelfde vectorruimte in andere kleren.

![Een polarisatietoestand als vector: haar gekwadrateerde componenten op de basis van een analysator zijn de kansen op de uitkomsten — meetkunde die kans wordt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/fig-0b4cf785fabf.svg)

*Een polarisatietoestand als vector: haar gekwadrateerde componenten op de basis van een analysator zijn de kansen op de uitkomsten — meetkunde die kans wordt.*

## 8.2 Observabelen zijn operatoren

**Definitie 8.3 (Observabelen).**

Een *observabele* is een lineaire operator $\hat A$ op $\mathcal H$ die *hermitisch* is: $\braket{\varphi}{\hat A\psi} =
\braket{\hat A\varphi}{\psi}$ voor alle toestanden (in matrixtaal $A = A^{*\top}$). Haar *eigenvectoren* en *eigenwaarden*, $\hat A\ket{a} = a\ket{a}$, dragen de natuurkunde: de $a$ zijn de mogelijke gemeten waarden. Vertrouwde gevallen: de positie ($\hat x$: vermenigvuldigen met $x$), de impuls ($\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$), de energie ($\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)$) — en, in twee dimensies, elke hermitische $2\times2$-matrix.

**Stelling 8.4 (Waarom hermitisch).**

Een [hermitische operator](#def-b3-quantum-formalism-observable) heeft reële [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable), en eigenvectoren bij verschillende [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable) staan loodrecht op elkaar; op de ruimten van dit boek vormen haar eigenvectoren een orthonormale basis van $\mathcal H$ (de *spectraalstelling*, in eindige dimensie bewezen in het wiskundevolume van jaar 2; voor de onbegrensde operatoren $\hat x$, $\hat p$ en $\hat H$ hoort de volledige uitspraak bij de spectraaltheorie van jaar 3 en wordt zij aangenomen). Gemeten waarden moeten reëel zijn en onderscheidbare uitkomsten moeten loodrecht staan: hermiticiteit is precies de voorwaarde waaronder een operator een meting kan voorstellen.

**Gedeeltelijk bewijs.** $a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} =
a^*\braket aa$: $a$ is reëel. Voor $\hat A\ket a = a\ket a$ en $\hat A\ket b
= b\ket b$ geldt $a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat
Ab}{a} = b\braket ba$, dus $(a - b)\braket ba = 0$. ∎

**Voorbeeld 8.5 (Een observabele met twee niveaus).**

Beschouw op de polarisatieruimte, in de basis $(\ket H, \ket V)$, de matrix

$$
\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} :
$$

hermitisch; [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$; eigenvectoren $(\ket H \pm
\ket V)/\sqrt2$ — de polarisaties onder $\pm45^\circ$. $\hat A$ meten *betekent* vragen “diagonaal of antidiagonaal?”, en de eigenbasis is het antwoordenpaar op die vraag. Elke polarisator van $45^\circ$ in de openingsproef is deze matrix in glas.

## 8.3 De postulaten

**Stelling 8.6 (De regels van de kwantummechanica).**

*(P1)* De toestand van een stelsel is een genormeerde [ket](#def-b3-quantum-formalism-state) $\ket\psi$ in zijn [hilbertruimte](#def-b3-quantum-formalism-state). *(P2)* Elke meetbare grootheid is een [hermitische operator](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat A$. *(P3)* De enige mogelijke uitkomsten van een meting van $\hat A$ zijn haar [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable). *(P4)* Op een toestand $\ket\psi$ treedt de uitkomst $a$ op met kans $\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2$ (de [regel van Born](#thm-b3-quantum-formalism-postulates); bij een ontaarde [eigenwaarde](#def-b3-quantum-formalism-observable) telt men de gekwadrateerde componenten over haar eigenruimte op). Het gemiddelde van vele proeven is $\langle\hat A\rangle =
\bra\psi\hat A\ket\psi$. *(P5)* Onmiddellijk na een meting die $a$ opleverde is de toestand de (genormeerde) projectie van $\ket\psi$ op de eigenruimte bij $a$ — de *ineenstorting*: meten is een wisselwerking die het stelsel achterlaat in de toestand die bij zijn eigen antwoord past. *(P6)* Tussen metingen evolueert de toestand unitair volgens de schrödingervergelijking $\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 8.7 (De drie polarisatoren, doorgerekend).**

Verticaal licht treft een analysator die er onder $90^\circ$ op staat: $|\braket
HV|^2 = 0$ — uitdoving. Voeg een polarisator van $45^\circ$ toe: de toestand $\ket V$ passeert die met kans $|\braket{45^\circ}{V}|^2 =
\tfrac12$ en *stort in* tot $\ket{45^\circ}$ (P5); die toestand passeert vervolgens de horizontale analysator met kans $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$. De netto doorlating is $\tfrac14$ in plaats van nul: het middelste filter “maakt geen gat” — het voert een meting uit, en de ineenstorting bereidt het foton opnieuw. Geen enkele klassieke zeef doet dit; een projectie doet niets anders.

![De proef met drie polarisatoren als drie opeenvolgende metingen: projecteren, ineenstorten, opnieuw projecteren. Een extra filter verhoogt het doorgelaten licht — onmogelijk voor zeven, vanzelfsprekend voor projecties.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/fig-3af62d84bb24.svg)

*De proef met drie polarisatoren als drie opeenvolgende metingen: projecteren, ineenstorten, opnieuw projecteren. Een extra filter *verhoogt* het doorgelaten licht — onmogelijk voor zeven, vanzelfsprekend voor projecties.*

**Opmerking 8.8 (Wat de ineenstorting niet toelaat).**

De ineenstorting is in het formalisme ogenblikkelijk, en kwantumcorrelaties tussen ver uiteenliggende deeltjes zijn echt en gemeten — maar er rijdt geen *bericht* op mee: de uitkomsten bij één detector zijn, op zichzelf gelezen, niet van muntworpen te onderscheiden, wat men ver weg ook doet. Ook is de kwantumtoevalligheid onherleidbaar: de [regel van Born](#thm-b3-quantum-formalism-postulates) geeft kansen zelfs wanneer de toestand *volledig* bekend is — er valt niets meer te weten. Beide uitspraken zijn stellingen van het formalisme, tot op hoge precisie getoetst; onbehagen erover is respectabel en heeft een eeuw van proeven aangedreven, die de kwantummechanica alle heeft gewonnen.

## 8.4 Commutatoren en onzekerheid

**Definitie 8.9 (Commutator; verenigbare observabelen).**

De *commutator* van twee operatoren is $[\hat A, \hat B] = \hat
A\hat B - \hat B\hat A$. Het stichtende voorbeeld, uit $\hat p =
-\iu\hbar\,\dd/\dd x$:

$$
[\hat x, \hat p] = \iu\hbar .
$$

Twee [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) heten *verenigbaar* wanneer $[\hat A, \hat B] = 0$: zij laten dan een gemeenschappelijke eigenbasis toe en kunnen gelijktijdig bekend zijn; de een meten verstoort een toestand die scherp is in de ander niet. Een stel commuterende [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) waarvan de gemeenschappelijke eigenbasis uniek is (een *VSCO*) is wat “een toestand volledig etiketteren” betekent — de etiketten $(n_1, n_2, n_3)$ van de doos waren precies dat.

**Stelling 8.10 (De onzekerheidsrelatie, in het algemeen).**

In elke toestand voldoen de standaardafwijkingen van twee [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) aan

$$
\Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat
B]\rangle\big| .
$$

Voor $\hat x$ en $\hat p$: $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ — de relatie van Heisenberg, nu een stelling uit de lineaire algebra in plaats van een vuistregel. Onverenigbaarheid is kwantitatief: de grootte van de [commutator](#def-b3-quantum-formalism-commutator) legt de bodem onder de gezamenlijke scherpte.

**Gedeeltelijk bewijs.** Zij $\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle$ en $\hat\beta = \hat B -
\langle B\rangle$. De ongelijkheid van Cauchy–Schwarz uit het wiskundevolume van jaar 3 geeft $\Delta A^2\Delta B^2 =
\|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge
|\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2$; het imaginaire deel van dat product is $\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle$, en $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$. ∎

**Opmerking 8.11 (De klassieke schaduw).**

Deel door $\iu\hbar$ en laat $\hbar \to 0$: [commutatoren](#def-b3-quantum-formalism-commutator) worden de [poissonhaakjes](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) van [Hoofdstuk 2](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica#ch-b3-hamiltonian-mechanics), waarbij $\{x, p\} =
1$ het $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ weerklinkt, en de daar berekende haakjes van het impulsmoment zullen ongewijzigd als [commutatoren](#def-b3-quantum-formalism-commutator) terugkeren in [Hoofdstuk 10](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/10-kwantummechanisch-impulsmoment#ch-b3-quantum-angular-momentum). De regel van Dirac — het klassieke haakje maal $\iu\hbar$ — is hoe het skelet van de mechanica de omwenteling overleefde.

## 8.5 Evolutie en behoud

**Propositie 8.12 (Evolutie van gemiddelden; behouden grootheden).**

Voor een [observabele](#def-b3-quantum-formalism-observable) zonder expliciete tijdsafhankelijkheid geldt

$$
\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t}
 = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle .
$$

Een [observabele](#def-b3-quantum-formalism-observable) die met de [hamiltoniaan](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) commuteert blijft behouden — haar kansen liggen vast, niet alleen haar gemiddelde; symmetrieën leveren opnieuw behoudswetten, nu in de vorm van commutatie. Stationaire toestanden zijn de eigenvectoren van $\hat H$, die alleen via de fase $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ evolueren; een superpositie van twee niveaus zweeft met de bohrfrequentie $(E_2 - E_1)/h$, zoals de putten van het volume van jaar 2 al lieten zien.

**Bewijs.** Differentieer $\bra\psi\hat A\ket\psi$ en vul P6 en haar toegevoegde in:

$$
\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t}
 = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi
 - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi
 = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle .
\qedhere
$$

∎

**Methode 8.13 (Kwantummechanica met matrices).**

Voor elk vraagstuk met eindig veel niveaus: (1) kies een basis die bij de vraag past (de assen van de analysator, de energie-eigentoestanden); (2) schrijf toestanden als kolomvectoren en [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) als hermitische matrices; (3) diagonaliseer wat gemeten wordt — de [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable) zijn de uitkomsten, de gekwadrateerde componenten de kansen; (4) laat energie-eigentoestanden evolueren met de fasen $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ en druk ze opnieuw uit in de meetbasis; (5) begin na een meting opnieuw vanuit de geprojecteerde toestand. Het hele [Probleem 8.1](#pb-b3-quantum-formalism-1) is dit recept, uitgevoerd op een heelal met twee niveaus.

![Drie polarisatoren op een bank: elk is een meting die de toestand van het licht op een as projecteert. Kruis er twee en er komt niets door; schuif er een derde onder een hoek tussen en het licht keert terug — de postulaten van dit hoofdstuk, op tafel uitgevoerd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/img-345c818e9390.jpg)

*Drie polarisatoren op een bank: elk is een meting die de toestand van het licht op een as projecteert. Kruis er twee en er komt niets door; schuif er een derde onder een hoek tussen en het licht keert terug — de postulaten van dit hoofdstuk, op tafel uitgevoerd.*

## 8.6 Opgaven

**Oefening 8.1 ★.**

Zij in een orthonormale basis $(\ket1, \ket2)$ gegeven $\ket\psi = (2\ket1 +
\iu\ket2)/\sqrt5$ en $\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2$. (a) Controleer de normeringen. (b) Bereken $\braket\varphi\psi$ en $\braket\psi\varphi$. (c) De kans om $\ket\psi$ in de toestand $\ket\varphi$ aan te treffen. (d) Construeer de toestand die loodrecht op $\ket\psi$ staat (op een fase na).

**Oplossing van Oefening 8.1.**

(a) $(4 + 1)/5 = 1$ en $(1 + 1)/2 = 1$. (b) $\braket\varphi\psi =
(2 - \iu)/\sqrt{10}$; $\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}$: toegevoegden. (c) $|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2$. (d) Los $\braket\psi\chi = 0$ op: $\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5$.

**Oefening 8.2 ★.**

Welke van deze matrices zijn hermitisch, en wat zijn de [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable) en genormeerde eigenvectoren van die welke het zijn?

$$
\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad
\begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad
\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad
\begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} .
$$

**Oplossing van Oefening 8.2.**

De eerste: hermitisch; $\pm1$ met $(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2$. De tweede: hermitisch; $\pm1$ met $(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2$. De derde: niet hermitisch (de getransponeerd-toegevoegde verschilt). De vierde: hermitisch; $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ geeft $1$ en $4$, met eigenvectoren $\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3$ en $\big(\ket1 +
(1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3$.

**Oefening 8.3 ★.**

Licht dat onder een hoek $\alpha$ is gepolariseerd treft een analysator onder een hoek $\beta$. (a) Schrijf beide toestanden in de basis $(\ket H, \ket V)$ en bereken de doorlaatkans. (b) Vind de wet van Malus terug. (c) Wat is voor een stroom van $N$ fotonen de variantie van het doorgelaten aantal? (d) Circulair licht $(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2$ op een lineaire analysator onder een willekeurige hoek: doorlating? Verklaar waarom het antwoord niet van de hoek afhangt.

**Oplossing van Oefening 8.3.**

(a) $\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha
= \cos(\beta - \alpha)$: kans $\cos^2(\beta - \alpha)$. (b) De intensiteit is $\propto$ het aantal fotonen: Malus. (c) Elk foton is een onafhankelijke trekking: variantie $N\mathcal P(1 - \mathcal P)$ — de ruis zelf bewijst de fotonen. (d) $|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2
= 1/2$ voor elke $\beta$: circulair licht wijst geen dwarsas aan.

**Oefening 8.4 ★.**

(a) Bewijs $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ door op een testfunctie te werken. (b) Bereken $[\hat x^2, \hat p]$ en $[\hat x, \hat p^2]$. (c) Toon aan dat $[\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A,
\hat C]$. (d) Leid $[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ af en duid dit: welke klassieke bewerking bootst $[\hat x, \cdot\,]$ na?

**Oplossing van Oefening 8.4.**

(a) $(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') =
\iu\hbar f$. (b) $[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x$; $[\hat x,
\hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p$. (c) Tel $\hat B\hat A
\hat C$ erbij op en trek het er weer af. (d) Inductie met (c): $\iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ — $[\hat x, \cdot]$ werkt als $\iu\hbar\,\partial/\partial p$, de kwantumschaduw van het [poissonhaakje](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) met $x$.

**Oefening 8.5 ★★.**

Opeenvolgende metingen. Een foton begint als $\ket V$. (a) Het treft polarisatoren onder $45^\circ$ en daarna $0^\circ$ (horizontaal): bereken de kans dat het beide overleeft, met de tussenliggende ineenstorting expliciet gemaakt. (b) Vervang de middelste polarisator door twee onder $30^\circ$ en $60^\circ$: doorlating? (c) Met $N - 1$ tussenliggende polarisatoren in stappen van $90^\circ/N$: toon aan dat de overlevingskans $\cos^{2N}(\pi/2N)$ is en reken haar uit voor $N = 2, 5, 20$. (d) De limiet $N \to \infty$ draait de polarisatie *zonder* verlies: geef commentaar (deze “kwantumzeno”-rotatie wordt op echte qubits gebruikt).

**Oplossing van Oefening 8.5.**

(a) $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$, ineenstorting, dan $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$: samen $\tfrac14$. (b) Nemen we ze in de volgorde $60^\circ$, $30^\circ$ (drie stappen van $30^\circ$): $(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42$. (c) Elke stap van $\pi/2N$ wordt met $\cos^2(\pi/2N)$ doorgelaten: de overleving is $[\cos^2(\pi/2N)]^N
= 0.25$, $0.60$ en $0.88$ voor $N = 2, 5, 20$. (d) Als $N \to \infty$ gaat de overleving naar $1$: vele zachte metingen sturen de toestand zonder verlies over $90^\circ$ — meten gebruikt als stuurwiel.

**Oefening 8.6 ★★.**

Op de ruimte met twee niveaus is $\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0
\end{pmatrix}$ en $\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. (a) Bereken $[\hat A, \hat B]$: verenigbaar? (b) De toestand is $\ket1$: geef de uitkomststatistiek van een meting van $\hat B$, en vervolgens van een meting van $\hat A$ *nadat* een meting van $\hat B$ de waarde $+1$ gaf. (c) Meet eerst $\hat A$ (uitkomst $+1$), dan $\hat B$, dan opnieuw $\hat A$: met welke kans *weerspreekt* de laatste $\hat A$ de eerste? (d) Wat zou een [commutator](#def-b3-quantum-formalism-commutator) nul voor (c) hebben betekend?

**Oplossing van Oefening 8.6.**

(a) $[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}
\neq 0$: onverenigbaar. (b) $\hat B$ op $\ket1$: met zekerheid $+1$, zonder dat er iets instort; $\hat A$ geeft daarna $\pm1$, elk met kans $\tfrac12$. (c) Na $\hat A \to +1$ is de toestand $(\ket1 + \ket2)/\sqrt2$; $\hat B$ laat haar instorten tot $\ket1$ of $\ket2$ (elk $\tfrac12$); hoe dan ook geeft de laatste $\hat A$ $\pm1$ met kans $\tfrac12$: tegenspraak met kans $\tfrac12$. (d) Commuterende [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) delen eigentoestanden: de middelste meting zou niets verstoren, en de herhaling zou met zekerheid overeenstemmen.

**Oefening 8.7 ★★.**

(a) Bereken voor de gaussische toestand van [Oefening 7.1](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/7-de-schrodingervergelijking-in-drie-dimensies#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-1), beperkt tot één dimensie, $\Delta x$ en $\Delta p$ (gebruik het fourierpaar of integreer) en ga na dat de relatie van Heisenberg met gelijkheid geldt. (b) Welke toestanden verzadigen de algemene onzekerheidsstelling (formuleer de voorwaarde uit het gelijkheidsgeval van Cauchy–Schwarz)? (c) Een elektron opgesloten tot $\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}$: welke schaal heeft de minimale kinetische energie? (d) Hetzelfde voor een knikker ($10\,\mathrm{g}$) tot op een micron gelokaliseerd: trek uw conclusie.

**Oplossing van Oefening 8.7.**

(a) $\Delta x = \sigma$ en $\Delta p = \hbar/2\sigma$ (de fouriergetransformeerde van een gaussfunctie met breedte $\sigma$ heeft breedte $1/2\sigma$ in $k$): het product is precies $\hbar/2$. (b) Gelijkheid in Cauchy–Schwarz: $\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi$ met zuiver imaginaire verhouding — voor $x, p$ heeft die differentiaalvergelijking uitsluitend gaussische oplossingen. (c) $\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E \sim
\Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV}$ — atomen zijn machines van elektronvolts omdat zij dozen van een ångström zijn. (d) $\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: nooit iets.

**Oefening 8.8 ★★.**

(a) Vind uit [Propositie 8.12](#prop-b3-quantum-formalism-evolution) het paar van Ehrenfest voor $\hat x$ en $\hat p$ terug met $\hat H = \hat
p^2/2m + V$. (b) Toon aan dat de pariteit $\hat\Pi$ ($\hat\Pi\psi(x) =
\psi(-x)$) hermitisch is, tot de identiteit kwadrateert en de [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$ heeft. (c) Toon aan dat $[\hat H, \hat\Pi] = 0$ voor een symmetrische potentiaal en concludeer dat niet-ontaarde niveaus een bepaalde pariteit hebben. (d) Welk waargenomen feit over de niveaus van een symmetrische dubbele put verklaart dit (denk aan het ammoniakdoublet uit het volume van jaar 2)?

**Oplossing van Oefening 8.8.**

(a) $[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m$ en $[\hat H, \hat p] =
\iu\hbar V'(\hat x)$ geven $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle
p\rangle/m$ en $\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle$. (b) Een variabelenwissel in het inproduct toont de hermiticiteit; $\hat\Pi^2 = \mathbb 1$ dwingt de [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$ af. (c) $V(-x) =
V(x)$ maakt $\hat H$ blind voor pariteit; een niet-ontaarde eigentoestand moet dan ook eigentoestand van $\hat\Pi$ zijn: even of oneven. (d) Het bijna ontaarde doublet van de symmetrische dubbele put: één even en één oneven toestand — het inversiepaar van ammoniak, door tunneling gesplitst en stralend bij $24\,\mathrm{GHz}$.

**Oefening 8.9 ★★.**

Een VSCO aan het werk. In de vierkante tweedimensionale doos wordt het niveau $E
\propto 5$ opgespannen door $\ket{1,2}$ en $\ket{2,1}$. (a) Toon aan dat de energie alleen de toestanden niet etiketteert. (b) Laat $\hat S$ $x
\leftrightarrow y$ verwisselen: toon aan dat $\hat S$ hermitisch is, met $\hat
H$ commuteert, en bepaal haar eigentoestanden binnen het niveau. (c) Ga na dat het paar $(\hat H, \hat S)$ elke toestand van dit niveau uniek etiketteert. (d) Geef de algemene moraal: ontaarding betekent dat het stel etiketten nog niet volledig was, en de symmetrie levert het ontbrekende etiket.

**Oplossing van Oefening 8.9.**

(a) Beide toestanden delen $E$: de energie noemen laat twee mogelijkheden open. (b) $\hat S$ verwisselt de etiketten: hermitisch, kwadrateert tot de identiteit en commuteert met de symmetrische $\hat H$; binnen het niveau zijn haar eigentoestanden $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2$ met [eigenwaarden](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$. (c) $(E, +)$ en $(E, -)$: unieke etiketten. (d) Een ontaarding is een onvolledig adres; de symmetrie die haar veroorzaakt levert ook het ontbrekende cijfer.

**Oefening 8.10 ★★★.**

Onzekerheid tussen energie en tijd, eerlijk. Definieer voor elke [observabele](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat A$ de evolutietijd $\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat
A\rangle/\dd t|$ — de tijd waarin het gemiddelde één standaardafwijking opschuift. (a) Bewijs $\Delta
E\;\tau_A \ge \hbar/2$ uit [Stelling 8.10](#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty) en [Propositie 8.12](#prop-b3-quantum-formalism-evolution). (b) Waarom is dit *geen* onzekerheid tussen twee [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) (wat is de tijd in het formalisme)? (c) Pas het toe op een aangeslagen atomaire toestand met levensduur $10\,\mathrm{ns}$: lijnbreedte. (d) Pas het toe op uw polshorloge: hoe scherp kan de energie van een stelsel zijn als er zichtbaar elke seconde iets in verandert?

**Oplossing van Oefening 8.10.**

(a) $\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat
A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|$; deel. (b) De tijd is een parameter van de theorie, geen operator: de relatie begrenst hoe *snel* iets meetbaars kan evolueren, gegeven de energiespreiding. (c) $\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$: een natuurlijke lijnbreedte van enkele megahertz. (d) Een zichtbare verandering per seconde vergt slechts $\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J}$ — voor macroscopische energieën in het geheel geen beperking: horloges mogen tikken.

**Oefening 8.11 ★★★.**

Bewijs van de onzekerheidsstelling. Met $\hat\alpha, \hat\beta$ als in de tekst: (a) rechtvaardig $\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2$ met de hermiticiteit; (b) pas Cauchy–Schwarz toe en splits $\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}$ in een hermitisch en een antihermitisch deel, en vereenzelvig die met de gemiddelden van de anticommutator en de [commutator](#def-b3-quantum-formalism-commutator); (c) concludeer en zeg wanneer de gelijkheid geldt; (d) toon aan dat voor $[\hat A, \hat B] = \iu\hbar$ geen enkele toestand eigenvector van een van beide [observabelen](#def-b3-quantum-formalism-observable) kan zijn terwijl beide afwijkingen eindig blijven — en verzoen dit met vlakke golven.

**Oplossing van Oefening 8.11.**

(a) $\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} =
\Delta A^2$ wegens de hermiticiteit van $\hat\alpha$. (b) $\braket{\hat\alpha
\psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha,
\hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle$: de eerste term is reëel (het hermitische deel), de tweede zuiver imaginair. (c) $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ geeft de stelling; gelijkheid vergt evenredige vectoren *en* een verdwijnend gemiddelde van de anticommutator. (d) Een eigentoestand van $\hat A$ heeft $\Delta A = 0$, wat $0 \ge \hbar/2$ afdwingt: onmogelijk voor normeerbare toestanden. Vlakke golven “halen” het alleen door niet-normeerbare idealisaties buiten de [hilbertruimte](#def-b3-quantum-formalism-state) te zijn.

**Oefening 8.12 ★★★.**

De bewaakte pan. Een stelsel met twee niveaus begint in $\ket1$ en zijn [hamiltoniaan](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) drijft een rabi-achtige oscillatie: na een tijd $t$ is de toestand $\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2$ (neem dit als gegeven). (a) Wanneer is de overdracht naar $\ket2$ zonder meting voltooid? (b) Meet “welke toestand?” op de tijdstippen $T/N, 2T/N, \dots$ met $T =
\pi/2\omega$: toon aan dat de kans om het stelsel bij elke controle *nog steeds* in $\ket1$ aan te treffen $[\cos^2(\pi/2N)]^N$ is. (c) Reken dit uit voor $N = 1, 4, 20, 100$ en toon aan dat het naar $1$ gaat: veelvuldig waarnemen bevriest de evolutie (het kwantumzeno-effect, in 1990 met gevangen ionen waargenomen). (d) Leg in één zin uit welk postulaat het bevriezen doet.

**Oplossing van Oefening 8.12.**

(a) Bij $\omega t = \pi/2$, dus $t = T$. (b) Bij elke controle is de toestand over $\pi/2N$ gedraaid; zij wordt aangetroffen in $\ket1$ met kans $\cos^2(\pi/2N)$ en *stort terug in* tot $\ket1$; de controles zijn onafhankelijk, vandaar het product. (c) $0$, $0.53$, $0.88$, $0.98$: wie nauwlettend genoeg kijkt, ziet de pan nooit koken. (d) Het projectiepostulaat (P5): elke waarneming zet de evolutie terug op haar startlijn.

![De Solvayconferentie van 1927 (foto van Benjamin Couprie, publiek domein): de mensen die de postulaten van dit hoofdstuk bouwden, in één zaal — en die diezelfde week nog ruzieden over wat meten betekent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/img-d8bbe6da071f.jpg)

*De Solvayconferentie van 1927 (foto van Benjamin Couprie, publiek domein): de mensen die de postulaten van dit hoofdstuk bouwden, in één zaal — en die diezelfde week nog ruzieden over wat meten betekent.*

## 8.7 Vraagstuk: Neutrino’s verkleden zich onderweg

**Probleem 8.1.**

Weekendvraagstuk — oscillaties met twee niveaus dwars door de aarde

Neutrino’s worden in kernreacties geboren als *smaak*toestanden — elektronneutrino $\ket{\nu_e}$ of muonneutrino $\ket{\nu_\mu}$ — maar zij *planten zich voort* als eigentoestanden van de energie (de massa), $\ket{\nu_1},
\ket{\nu_2}$. De twee bases vallen niet samen: zij zijn over een *menghoek* $\theta$ gedraaid,

$$
\ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} ,
\qquad
\ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} .
$$

De ontdekking dat neutrino’s daardoor onderweg tussen smaken *oscilleren* — en dus massa hebben — leverde de Nobelprijs van 2015 op. Dit vraagstuk leidt het effect af met niets buiten dit hoofdstuk. Een ultrarelativistisch neutrino met impuls $p$ en massa $m_i$ heeft energie $E_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E +
m_i^2c^4/2E$.

**Deel I — Het formalisme opgezet.**

1. Ga na dat een orthonormaal $(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2})$ ook $(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu})$ orthonormaal maakt.
2. Waarom moet de voortplantingsbasis de eigenbasis van de *energie* zijn, in welke basis het neutrino ook geboren is? (Welk postulaat regeert de vrije vlucht?)
3. Een muonneutrino wordt op $t = 0$ geboren. Schrijf $\ket{\psi(0)}$ in de massabasis.
4. Schrijf $\ket{\psi(t)}$ , waarbij elke massacomponent haar fase $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ draagt.
5. Toon aan dat een *globale* fase er niet toe doet, en zonder $\eu^{-\iu E_1t/\hbar}$ af: alleen de *relatieve* fase $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ drijft de natuurkunde.
6. Druk $E_2 - E_1$ uit in $\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2$ en $E$ , voor ultrarelativistische neutrino’s.

**Deel II — De oscillatieformule.**

7. Bereken de amplitude $\braket{\nu_e}{\psi(t)}$ .
8. Toon aan dat de verschijningskans $$\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) =  \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .$$ bedraagt. (Gebruik $2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$.)
9. Toets de twee gezondheidslimieten: $\theta = 0$ en $m_1 = m_2$ . Wat bewijst elke waargenomen oscillatie dus?
10. Toon met $t \approx L/c$ aan dat $$\mathcal P = \sin^2(2\theta)\,  \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,$$ en definieer de oscillatielengte $L_{\text{osc}} =  4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4$.
11. Toon aan dat de overlevingskans $\mathcal P_{\nu_\mu \to  \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e}$ is: waar is de unitariteit gebruikt?
12. Waarom meet de oscillatie alleen $\Delta m^2$ en nooit de massa’s zelf?

**Deel III — De proeven lezen.** Atmosferische muonneutrino’s ($E \approx 1\,\mathrm{GeV}$) regenen van boven op een detector ($L \approx 15\,\mathrm{km}$) en van onderen, dwars door de aarde ($L \approx 12\,800\,\mathrm{km}$). Super-Kamiokande (1998) vond de flux van onderen gehalveerd en die van boven ongeschonden.

13. Toon met $\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ de handige vorm $\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\,  \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]}  {E\,[\mathrm{GeV}]}$ aan.
14. Als de oscillatie bij $L =  12\,800\,\mathrm{km}$ *goed ontwikkeld* moet zijn maar bij $15\,\mathrm{km}$ *verwaarloosbaar* voor $E = 1\,\mathrm{GeV}$ : geef ruwe grenzen voor $\Delta m^2c^4$ .
15. De gemeten waarde is $\Delta m^2c^4 \approx  2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ : bereken de oscillatielengte bij $1\,\mathrm{GeV}$ en toets haar aan beide basislijnen.
16. De onderdrukking van onderen ligt dicht bij $1/2$ , niet bij $0$ : toon aan dat het *uitmiddelen* van $\sin^2$ over vele oscillatielengten (en over energieën) $\tfrac12\sin^22\theta$ geeft, en leid daaruit af dat de atmosferische menging bijna *maximaal* is ( $\theta \approx 45^\circ$ ).
17. Wat geeft $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ voor de zwaarste massa alleen als de lichtste verwaarloosbaar is — en vergelijk dat met de massa van het elektron: hoe zonderling licht zijn neutrino’s?
18. Reactorantineutrino’s hebben $E \approx 4\,\mathrm{MeV}$ . Toon met dezelfde formule met $1.27$ aan dat een basislijn van één tot twee kilometer op de splitsing $2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ is afgestemd (de proef Daya Bay), terwijl $L \approx 180\,\mathrm{km}$ (KamLAND) op de kleinere “zonne”-splitsing $7.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ is afgestemd — ga beide numeriek na.

**Deel IV — Wat het betekent.**

19. De zon zendt $\nu_e$ uit; decennialang telden detectoren maar een derde van de voorspelling. Leg het “zonneneutrinoprobleem” en de oplossing ervan elk in één zin uit.
20. Waarom dwongen de oscillaties tot de conclusie dat neutrino’s *massa hebben* , tegen de oorspronkelijke boekhouding van het standaardmodel in?
21. Een kwantumstelsel dat over $12800$ kilometer fasecoherentie bewaart: wat zegt dit over hoe zwak neutrino’s wisselwerken, en waarom moet de detector enorm zijn?
22. Smaak is een [observabele](#def-b3-quantum-formalism-observable) : waarom commuteert haar operator niet met de vrije [hamiltoniaan](https://one-course.com/books/physics/5/nl/chapter/2-hamiltoniaanse-mechanica#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) , en welke behoudswet is voor smaak dus *niet* beschikbaar (terwijl energie en impuls behouden blijven)?
23. De natuur heeft drie smaken en drie massa’s: waarom beschrijft de behandeling met twee niveaus elke proef toch zo goed? (Denk aan de hiërarchie van de twee $\Delta m^2$ en aan welke daarvan elke basislijn oplost.)
24. Benoem in het formalisme van dit hoofdstuk precies welke ingrediënten de oscillatie voortbrachten: welke basisontstemming, welk postulaat, welke fase.
25. Vat het genoemde resultaat samen: een draaihoek nabij $45^\circ$ en een splitsing $\Delta m^2c^4 =  2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ laten een muonneutrino van een GeV verdwijnen met oscillatielengte $\sim1000\,\mathrm{km}$ — lineaire algebra met twee niveaus, bevestigd dwars door het lichaam van de aarde.

**Oplossing van Probleem 8.1.**

**1.** Een rotatie stuurt een orthonormaal paar naar een orthonormaal paar: $\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta +
\sin\theta\cos\theta = 0$. **2.** P6: de vrije vlucht wordt voortgebracht door $\hat H$, wiens eigentoestanden zelfstandig via fasen evolueren — welke basis de productie ook koos. **3.** $\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1}
+ \cos\theta\ket{\nu_2}$. **4.** $\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar}
\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}$. **5.** Globale fasen vallen uit elke $|\braket\cdot\cdot|^2$ weg: houd $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ over. **6.** $E_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E$. **7.** $\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar}
\sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1)$. **8.** $|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu
\Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2)$. **9.** Geen menging, of geen massasplitsing: geen oscillatie. Elke waargenomen oscillatie bewijst $\theta \neq 0$ *en* $m_1 \neq
m_2$ — neutrino’s wegen. **10.** Vul $\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE$ in; $L_{\text{osc}}$ maakt het argument $\pi$. **11.** De twee smaakkansen zijn gekwadrateerde componenten in een orthonormale basis van een genormeerde toestand: zij tellen op tot $1$ — de unitariteit van de evolutie behield de norm. **12.** Alleen de *relatieve* fase is waarneembaar, en die bevat $E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2$: de absolute massa’s vallen weg. **13.** $\dfrac{L}{4\hbar cE}$ in de genoemde eenheden: $10^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times
10^{9}) = 1.27$ per $\mathrm{eV}^{2}$. **14.** Goed ontwikkeld van onderen: $1.27\,\Delta m^2 \times 12800
\gtrsim 1$, dus $\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$; verwaarloosbaar van boven: $1.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1$, dus $\ll
5 \times 10^{-2}$: ergens rond $10^{-4}$–$10^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}$. **15.** $L_{\text{osc}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx
990\,\mathrm{km}$ bij $1\,\mathrm{GeV}$: $15\,\mathrm{km}$ blijft ongeroerd, $12\,800\,\mathrm{km}$ is dertien volle lengten — precies het waargenomen patroon. **16.** Over vele lengten en een spreiding aan energieën is $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$: onderdrukking $\tfrac12\sin^22
\theta$; de gemeten helft dwingt $\sin^22\theta \approx 1$ af, dus $\theta \approx 45^\circ$ — de natuur koos maximale menging. **17.** $m_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}$: tien miljoen keer lichter dan het elektron — de lichtste materie die men kent, en niemand weet nog waarom. **18.** Daya Bay: $1.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004
\approx 1.2$ — van de orde één, afgestemd; KamLAND: $1.27 \times
7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3$ — van de orde één voor de zonnesplitsing: elke basislijn is een interferometer die op één $\Delta m^2$ is gezet. **19.** Het probleem: er kwam maar een derde van de voorspelde $\nu_e$ van de zon aan. De oplossing: de ontbrekende twee derde komt aan als andere smaken, waarin de $\nu_e$ zijn gedraaid (SNO telde het totaal en sprak de zon vrij). **20.** Oscillatie vergt $\Delta m^2 \neq 0$: ten minste één neutrino heeft massa — de eerste laboratoriumnatuurkunde voorbij het oorspronkelijke standaardmodel. **21.** Fasecoherentie over $10^7$ meter betekent dat er onderweg in wezen *niets* heeft gewisselwerkt: werkzame doorsneden zo klein dat er kilotonnen water nodig zijn om er een handvol te vangen — vandaar de vijftigduizend ton van Super-Kamiokande. **22.** Smaakoperatoren zijn diagonaal in de smaakbasis, die niet de energiebasis is: $[\hat H, \text{smaak}] \neq 0$ — smaak is eenvoudigweg geen behouden grootheid van de vrije vlucht, terwijl energie en impuls dat wel zijn. **23.** De twee splitsingen schelen een factor dertig: bij een gegeven $L/E$ is de ene oscillatie actief en de andere ofwel bevroren ofwel volledig uitgemiddeld — elke proef ziet een effectief stelsel met twee niveaus. **24.** De productiebasis $\neq$ de voortplantingsbasis (de rotatie $\theta$); P6 levert de twee fasen; de [regel van Born](#thm-b3-quantum-formalism-postulates) maakt van de relatieve fase een kans. **25.** $\theta \approx 45^\circ$ en $\Delta m^2c^4 =
2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ geven een muonneutrino van een GeV een oscillatielengte nabij $1000\,\mathrm{km}$: lineaire algebra met twee niveaus, dwars door de planeet geverifieerd, en een Nobelprijs voor het verdwijnen van een halve flux.