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title: "Mecânica lagrangiana"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana
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# Capítulo 1 — Mecânica lagrangiana

Tente escrever a lei de Newton para um pêndulo duplo: duas forças de tração, nenhuma delas conhecida de antemão, ambas mudando de direção a cada instante, e quatro equações escalares a desembaraçar só para descobrir como evoluem dois ângulos. Faça agora o mesmo para uma conta num aro que gira, para uma cadeia de molas acopladas, para um braço robótico. As forças que mantêm um sistema coeso — hastes, trilhos, dobradiças — não realizam trabalho algum e, ainda assim, o método de Newton nos obriga a carregá-las por todo o cálculo. Este capítulo apresenta a reformulação que Lagrange publicou em 1788: descrever o sistema pelas poucas coordenadas que de fato podem variar, escrever uma única função $L = E_k - E_p$ e deixar que uma só receita produza as equações de movimento em quaisquer coordenadas, com todas as hastes e trilhos já eliminados. Melhor ainda, a nova formulação torna visível o que a de Newton esconde: cada simetria de $L$ fornece uma grandeza conservada — o momento, da uniformidade do espaço; a energia, da uniformidade do tempo — resultado de Emmy Noether que se tornou o princípio organizador da física muito além da mecânica.

## 1.1 Das forças às coordenadas

**Definição 1.1 (Vínculos, graus de liberdade, coordenadas generalizadas).**

Um *vínculo* é uma condição geométrica imposta às posições de um sistema — uma conta permanece em seu arame, a haste de um pêndulo mantém comprimento fixo, duas rodas de um mesmo eixo giram juntas. Um vínculo que se exprime como uma equação $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ entre as coordenadas (e eventualmente o tempo) diz-se *holônomo*. O número de maneiras independentes pelas quais a configuração ainda pode variar é o número de *graus de liberdade* $n$; qualquer conjunto de $n$ grandezas independentes $q_1, \dots, q_n$ que fixe a configuração por completo é um conjunto de *coordenadas generalizadas* — ângulos, comprimentos ou qualquer mistura conveniente. Suas derivadas temporais $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ são as *velocidades generalizadas*.

**Exemplo 1.2 (Contagem dos graus de liberdade).**

Um ponto sobre uma mesa: $n = 2$. Um pêndulo plano de comprimento fixo: um ângulo, $n = 1$. Um pêndulo duplo: dois ângulos, $n = 1 + 1 = 2$. Uma conta num aro rígido: um ângulo, $n = 1$ — mesmo que o próprio aro seja forçado a girar, pois a rotação imposta não acrescenta liberdade alguma. Um corpo rígido livre no espaço: três coordenadas de seu centro mais três ângulos, $n = 6$. Um gás de $N$ moléculas livres (pontuais): $n = 3N$. Cada [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) holônomo suprime um grau de liberdade: dois pontos unidos por uma haste têm $3 + 3 - 1 = 5$.

![Coordenadas generalizadas: cada sistema é descrito pelos ângulos que de fato podem variar, e não pelas coordenadas cartesianas de suas massas. As trações das hastes e a força normal do aro nunca aparecem.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-973bc4d4dd6a.svg)

*[Coordenadas generalizadas](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): cada sistema é descrito pelos ângulos que de fato podem variar, e não pelas coordenadas cartesianas de suas massas. As trações das hastes e a força normal do aro nunca aparecem.*

## 1.2 O princípio da mínima ação

**Definição 1.3 (Lagrangiana e ação).**

A *lagrangiana* de um sistema mecânico cujas forças derivam de uma energia potencial $E_p$ é a função das coordenadas, das velocidades e, eventualmente, do tempo

$$
L(q, \dot q, t) = E_k - E_p ,
$$

energia cinética *menos* energia potencial, ambas expressas nas [coordenadas generalizadas](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates). A *ação* de um movimento concebível $q(t)$ entre extremidades fixas $q(t_1)$ e $q(t_2)$ é o número

$$
S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L\big(q(t), \dot q(t), t\big)\,\dd t .
$$

$S$ é um *funcional*: devora um caminho inteiro e devolve um único número, em joule-segundos — a unidade da constante de Planck.

**Teorema 1.4 (Princípio de Hamilton e equações de Euler–Lagrange).**

Entre todos os movimentos concebíveis que unem as mesmas duas extremidades no mesmo tempo, o movimento real é aquele que torna a [ação](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) *estacionária* (*princípio de Hamilton*, ou princípio da *[mínima ação](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*). De modo equivalente, o movimento obedece às *[equações de Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange)*

$$
\frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}
 - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 ,
\qquad i = 1, \dots, n :
$$

uma equação de segunda ordem por grau de liberdade, quaisquer que sejam as coordenadas escolhidas.

**Demonstração.** Deforme o caminho: $q_i(t) \to q_i(t) + \delta q_i(t)$ com $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$. Em primeira ordem,

$$
\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\delta q_i
 + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\delta\dot q_i\Big)\dd t
 = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big(
  \frac{\partial L}{\partial q_i}
 - \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Big)\delta q_i\,\dd t ,
$$

após integrar o segundo termo por partes ($\delta\dot q_i =
\dd(\delta q_i)/\dd t$) e descartar o termo de fronteira, que se anula nas extremidades fixas. Se $\delta S = 0$ para *toda* deformação, o colchete deve anular-se a cada instante e para cada $i$ — fosse ele positivo em algum ponto, uma saliência $\delta q_i$ concentrada ali daria $\delta S \neq 0$. A recíproca lê-se na mesma linha. ∎

![O princípio de Hamilton: entre todos os caminhos com as mesmas extremidades e a mesma duração, o real torna S = ∈t L\, t estacionária — deformações q de primeira ordem alteram S apenas em segunda ordem.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-e9e3efd0d448.svg)

*O princípio de Hamilton: entre todos os caminhos com as mesmas extremidades e a mesma duração, o real torna $S = \int L\,\dd t$ estacionária — deformações $\delta q$ de primeira ordem alteram $S$ apenas em segunda ordem.*

**Proposição 1.5 (Newton recuperado).**

Para uma partícula em coordenadas cartesianas, $L = \tfrac12 m(\dot x^2 +
\dot y^2 + \dot z^2) - E_p(x,y,z)$, e as [equações de Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) dão $m\ddot x = -\partial E_p/\partial x$ e o análogo para $y$ e $z$: exatamente $m\vect a = \vect F$. As mecânicas [lagrangiana](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) e newtoniana concordam sempre que ambas se aplicam; a nova forma simplesmente sobrevive a uma mudança de coordenadas, o que as equações em componentes de Newton não fazem.

**Demonstração.** $\partial L/\partial\dot x = m\dot x$, $\partial L/\partial x =
-\partial E_p/\partial x$; a equação de Euler–Lagrange é $\dd(m\dot x)/\dd t + \partial E_p/\partial x = 0$. ∎

**Observação 1.6 (Por que as forças de vínculo desaparecem).**

A tração de uma haste, a força normal de um trilho, agem perpendicularmente a todo deslocamento que o [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) permite: elas não realizam trabalho em nenhum movimento compatível com o [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates). Como a [ação](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) é construída a partir de energias avaliadas apenas sobre tais movimentos, essas forças jamais entram em $L$ — eis o milagre prático do método. A justificativa geral (o princípio dos trabalhos virtuais de d’Alembert) é aqui admitida; para todos os sistemas deste livro, a receita abaixo pode ser conferida diretamente contra Newton, como a [Proposição 1.5](#prop-b3-lagrangian-mechanics-newton) começou a fazer. Se a própria força de [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) for desejada — a haste vai romper? — volta-se a Newton apenas para essa força, com o movimento já conhecido.

**Método 1.7 (A receita lagrangiana).**

(1) Conte os [graus de liberdade](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) e escolha coordenadas $q_i$ — ângulos para rotações, abscissas ao longo de trilhos. (2) Exprima as posições $\vect r(q_i, t)$, derive para obter as velocidades e escreva $E_k$; escreva $E_p$. (3) $L = E_k - E_p$, descartando qualquer constante aditiva. (4) Uma equação de Euler–Lagrange por coordenada. (5) Antes de resolver, colha as grandezas conservadas: as [coordenadas cíclicas](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) ([Definição 1.10](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum)) e a [função energia](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) ([Proposição 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (6) Verifique os limites: pequenos ângulos, rotação desligada, casos particulares conhecidos.

**Exemplo 1.8 (O pêndulo, em três linhas).**

Uma coordenada $\theta$; $\vect v = \ell\dot\theta\,\vect e_\theta$, logo $E_k = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2$ e $E_p = -mg\ell\cos\theta$. Então $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$ e $\dd(m\ell^2\dot\theta)/\dd t = -mg\ell\sin\theta$:

$$
\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta ,
$$

a equação que o volume do primeiro ano obteve a partir do torque do peso — sem que a tração fosse mencionada uma única vez.

**Exemplo 1.9 (Conta num aro que gira).**

Uma conta de massa $m$ desliza sobre um aro circular vertical de raio $R$ forçado a girar em torno de seu diâmetro vertical com $\omega$ constante ([Exemplo 1.2](#ex-b3-lagrangian-mechanics-counting)). Uma coordenada, o ângulo polar $\theta$ medido a partir do ponto mais baixo. A velocidade da conta tem uma componente $R\dot\theta$ ao longo do aro e outra $\omega R\sin\theta$ devida à rotação imposta, perpendicular a ele:

$$
L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
 + mgR\cos\theta ,
\qquad
mR^2\ddot\theta = m\omega^2R^2\sin\theta\cos\theta - mgR\sin\theta .
$$

Equilíbrios em que $\ddot\theta = 0$: o ponto mais baixo $\theta = 0$ (e o mais alto, sempre instável) e, quando $\omega^2 > g/R$, um novo par $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$. Escrevendo a equação como $mR^2\ddot\theta = -\dd U_{\text{eff}}/\dd\theta$ com a *energia potencial efetiva*

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = -mgR\cos\theta
 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta
$$

torna a geometria visível: abaixo da taxa crítica $\omega_{\text{c}} = \sqrt{g/R}$ o fundo é um poço; acima dela, o fundo se torna um cume e a conta se acomoda na encosta, subindo mais quanto mais rápido o aro gira — o princípio do regulador centrífugo que governava as máquinas a vapor.

![A energia potencial efetiva da conta no aro que gira. Quando ultrapassa √g/R, o poço único do fundo se desdobra em dois poços simétricos: o ângulo de equilíbrio cresce com a rotação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-1a09b5299842.svg)

*A [energia potencial efetiva](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) da conta no aro que gira. Quando $\omega$ ultrapassa $\sqrt{g/R}$, o poço único do fundo se desdobra em dois poços simétricos: o ângulo de equilíbrio cresce com a rotação.*

## 1.3 Simetrias e leis de conservação

**Definição 1.10 (Momento generalizado, coordenada cíclica).**

O *momento generalizado* conjugado à coordenada $q_i$ é

$$
p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .
$$

Para uma coordenada cartesiana, é o momento linear ordinário $m\dot x$; para um ângulo, é um momento angular. Uma coordenada que não aparece em $L$ (embora sua velocidade apareça) diz-se *cíclica*.

**Proposição 1.11 (Coordenadas cíclicas dão leis de conservação).**

Se $q_i$ é cíclica, seu momento conjugado se conserva: $\partial L/\partial q_i = 0$ implica $\dd p_i/\dd t = 0$. Escolher as coordenadas de modo que o maior número possível delas seja cíclica é o passo isolado mais eficaz na resolução de um problema de mecânica.

**Demonstração.** Imediato, a partir da equação de Euler–Lagrange para $q_i$. ∎

**Exemplo 1.12 (Força central, resolvida por inspeção).**

Uma partícula num potencial central $E_p(r)$, em coordenadas polares no seu plano de movimento:

$$
L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .
$$

$\varphi$ é cíclica, de modo que $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — o momento angular — se conserva: a lei das áreas de Kepler, que o volume do primeiro ano deduziu da equação do torque, cai aqui antes de qualquer equação ser resolvida. A equação radial restante é $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$, isto é, o movimento unidimensional na [energia potencial efetiva](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ daquele volume.

**Teorema 1.13 (Teorema de Noether).**

A toda simetria contínua da [lagrangiana](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) corresponde uma grandeza conservada. Precisamente: se o deslocamento $q_i \to q_i + \varepsilon\,K_i(q)$ deixa $L$ inalterada em primeira ordem em $\varepsilon$ para todos os movimentos, então

$$
Q = \sum_i p_i\,K_i(q)
$$

é constante ao longo de todo movimento real. A uniformidade do espaço (invariância por translação) fornece o momento linear; a isotropia do espaço (invariância por rotação) fornece o momento angular; a uniformidade do tempo fornece a energia ([Proposição 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)).

**Demonstração.** A invariância em primeira ordem significa $0 = \delta L = \sum_i\big(\partial_{q_i}L\,K_i +
\partial_{\dot q_i}L\,\dot K_i\big)\varepsilon$. Sobre um movimento real, $\partial_{q_i}L = \dot p_i$ por Euler–Lagrange, de modo que o colchete vale $\sum_i(\dot p_iK_i + p_i\dot K_i) = \dd Q/\dd t$. Uma [coordenada cíclica](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) é o caso particular $K_i = \delta_{ij}$. O caso do deslocamento temporal exige o cálculo separado da [Proposição 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy); o teorema completo, para transformações que também alteram $t$ ou modificam $L$ por uma derivada total, é demonstrado nos cursos de mecânica analítica e aqui admitido nessa generalidade. ∎

**Proposição 1.14 (A função energia).**

Ao longo de qualquer movimento, a *[função energia](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)*

$$
h = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L
\qquad\text{obedece a}\qquad
\frac{\dd h}{\dd t} = -\frac{\partial L}{\partial t} .
$$

Se $L$ não depende explicitamente do tempo, $h$ se conserva. Se, além disso, as relações $\vect r(q)$ entre posições e coordenadas não envolvem o tempo — nenhuma rotação imposta, nenhum apoio móvel — então $E_k$ é uma forma quadrática nas $\dot q_i$ e $h = E_k + E_p$: a energia mecânica. Com um [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) dependente do tempo, $h$ ainda se conserva quando $\partial L/\partial t = 0$, mas *não* é a energia: o motor que impõe o [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) troca trabalho com o sistema.

**Demonstração.** $\dd h/\dd t = \sum_i(\ddot q_ip_i + \dot q_i\dot p_i) -
\sum_i(\partial_{q_i}L\,\dot q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\ddot q_i) -
\partial_tL$. Os termos em $\ddot q_i$ se cancelam; as [equações de Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) transformam $\dot p_i$ em $\partial_{q_i}L$, cancelando o par seguinte; resta $-\partial_tL$. Se $E_k = \tfrac12\sum a_{jk}(q)\dot
q_j\dot q_k$, a identidade de Euler para formas quadráticas dá $\sum\dot
q_i\,\partial E_k/\partial\dot q_i = 2E_k$, logo $h = 2E_k - (E_k - E_p)
= E_k + E_p$. ∎

**Exemplo 1.15 (O aro girante conserva hhh, não EEE).**

Para a conta da [Exemplo 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop), $L$ não tem $t$ explícito, logo $h = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}
(\theta)$ se conserva — mas a energia mecânica $E = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$ não se conserva: $E = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ varia enquanto a conta desliza. A diferença é o trabalho do motor que mantém $\omega$ constante enquanto a distância da conta ao eixo muda.

## 1.4 Partículas carregadas e pequenas oscilações

**Proposição 1.16 (Lagrangiana de uma partícula carregada).**

Num campo eletromagnético descrito pelos potenciais $V$ e $\vect A$ (com $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ e $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$, como no volume do segundo ano), a [lagrangiana](#def-b3-lagrangian-mechanics-action)

$$
L = \tfrac12 m\vect v^{\,2} - qV + q\,\vect v\cdot\vect A
$$

fornece, pelas [equações de Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange), exatamente a força de Lorentz $m\dot{\vect v} = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. A força magnética, que não realiza trabalho e não deriva de nenhuma energia potencial ordinária, entra por um termo linear na velocidade; o momento conjugado passa a ser $\vect p = m\vect v + q\vect A$, e não mais $m\vect v$ sozinho.

**Demonstração.** Para a componente $x$: $p_x = m\dot x + qA_x$ e $\partial_xL = -q\,\partial_xV + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. A equação de Euler–Lagrange dá $m\ddot x = -q\,\partial_xV -
q\,\dd A_x/\dd t + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$. Ao longo do movimento, $\dd A_x/\dd t = \partial_tA_x + (\vect v\cdot\vect\nabla)A_x$, logo $m\ddot x = qE_x + q\big[\vect v\cdot\partial_x\vect A - (\vect v\cdot
\vect\nabla)A_x\big]$, e o colchete é a componente $x$ de $\vect
v\wedge(\vect\nabla\wedge\vect A) = \vect v\wedge\vect B$ — basta expandir ambos para verificar. ∎

**Proposição 1.17 (Pequenas oscilações e modos normais).**

Perto de um equilíbrio estável $q^{\text{eq}}$, expanda $L$ até segunda ordem nos deslocamentos $u_i = q_i - q_i^{\text{eq}}$: $L \approx \tfrac12\sum m_{ij}\dot u_i\dot u_j -
\tfrac12\sum k_{ij}u_iu_j$, com matrizes simétricas constantes. As equações de movimento são lineares e todo movimento é uma superposição de *[modos normais](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes)*: oscilações coletivas $u_i(t) = a_i\cos(\Omega t
+ \phi)$ em que todas as coordenadas vibram numa mesma frequência comum, com amplitudes e frequências que resolvem $\sum_j(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij})\,a_j = 0$ — um problema matricial de autovalores, com $n$ modos para $n$ [graus de liberdade](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates).

**Demonstração.** Os termos lineares se anulam num equilíbrio; as [equações de Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) da $L$ quadrática dão $\sum_jm_{ij}\ddot u_j = -\sum_jk_{ij}u_j$. Inserir a oscilação de prova fornece o sistema linear enunciado, que só tem vetor de amplitudes não nulo quando $\det(k_{ij} -
\Omega^2m_{ij}) = 0$: $n$ valores de $\Omega^2$, todos positivos num equilíbrio estável. Que o movimento geral seja uma superposição dos modos é a diagonalização simultânea de duas formas quadráticas, resultado da álgebra linear do volume de matemática do segundo ano; a completude é admitida. ∎

**Exemplo 1.18 (Dois pêndulos acoplados por uma mola).**

Dois pêndulos iguais (massa $m$, comprimento $\ell$), com as massas unidas por uma mola de constante elástica $k$, relaxada quando ambos pendem na vertical. Para pequenos ângulos,

$$
L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta_1^2 + \dot\theta_2^2)
 - \tfrac12 mg\ell(\theta_1^2 + \theta_2^2)
 - \tfrac12 k\ell^2(\theta_2 - \theta_1)^2 .
$$

A simetria sugere as combinações $s = \theta_1 + \theta_2$ e $d =
\theta_1 - \theta_2$, que desacoplam as equações: o *modo em fase* ($\theta_1 = \theta_2$, mola inerte), com $\Omega_1 =
\sqrt{g/\ell}$, e o *modo em oposição* ($\theta_1 = -\theta_2$, mola distendida em dobro), com $\Omega_2 = \sqrt{g/\ell + 2k/m}$. Solte um só pêndulo — mistura em partes iguais dos dois modos — e a energia migra por inteiro de um pêndulo para o outro e de volta, na frequência de batimento $(\Omega_2 - \Omega_1)/2\pi$: a demonstração dos pêndulos acoplados e o mecanismo por trás de toda transferência ressonante de energia, dos circuitos sintonizados às vibrações moleculares.

![Os dois modos normais dos pêndulos acoplados. Em fase, a mola nunca se distende e a frequência é a do pêndulo livre; em oposição, cada massa sente a mola dobrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/fig-75f58c1b1d00.svg)

*Os dois [modos normais](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) dos pêndulos acoplados. Em fase, a mola nunca se distende e a frequência é a do pêndulo livre; em oposição, cada massa sente a mola dobrada.*

![Um pêndulo duplo registrado por uma longa exposição: duas coordenadas, uma lagrangiana e um movimento que nenhuma fórmula prevê por muito tempo — a maquinaria da mínima ação deste capítulo escreve as equações; o caos mantém humildes as suas soluções.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-8fd84e34147d.jpg)

*Um pêndulo duplo registrado por uma longa exposição: duas coordenadas, uma [lagrangiana](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) e um movimento que nenhuma fórmula prevê por muito tempo — a maquinaria da [mínima ação](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) deste capítulo escreve as equações; o caos mantém humildes as suas soluções.*

## 1.5 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

Conte os [graus de liberdade](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) e proponha [coordenadas generalizadas](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates): (a) uma partícula no interior de uma tigela fixa; (b) um cilindro que rola sem deslizar por um plano inclinado fixo; (c) um pêndulo duplo cujo pivô superior desliza sobre um trilho horizontal; (d) um haltere (duas massas, haste rígida) no espaço; (e) duas contas no mesmo arame circular fixo. Qual [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) desta lista relaciona velocidades em vez de posições, e por que ele é, ainda assim, integrável a um [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) holônomo?

**Solução de Exercício 1.1.**

(a) 2 (dois ângulos sobre a superfície da tigela). (b) 1: a abscissa $x$ ao longo da encosta, com o ângulo de rotação preso a ela pelo rolamento, $x =
R\phi$. (c) 3: $X$, $\theta_1$, $\theta_2$. (d) 5: três para o centro, dois para a direção da haste. (e) 2: um ângulo cada. A condição de rolamento é uma relação entre *velocidades*, $\dot x =
R\dot\phi$; neste problema plano ela se integra de imediato em $x = R\phi +
\text{const}$, portanto é holônoma. (Para uma bola que rola sobre um plano ela não se integra, e a mecânica [lagrangiana](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) precisa de uma extensão.)

**Exercício 1.2 ★.**

Para o pêndulo plano ([Exemplo 1.8](#ex-b3-lagrangian-mechanics-pendulum)): (a) verifique as dimensões de $L$ e de $p_\theta =
\partial L/\partial\dot\theta$; (b) identifique $p_\theta$ fisicamente; (c) deduza o período para pequenos ângulos; (d) calcule a [ação](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $S$ de uma oscilação pequena completa de amplitude $\theta_0$ — e explique a resposta antes de calcular (qual é a média temporal de $E_k - E_p$ numa oscilação harmônica?).

**Solução de Exercício 1.2.**

(a) $[L] = \mathrm{J}$; $[p_\theta] = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — um momento angular, pois $\theta$ é adimensional. (b) $p_\theta =
m\ell^2\dot\theta$ é o momento angular da massa em torno do pivô. (c) $\ddot\theta = -(g/\ell)\theta$ dá $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$. (d) Com $E_p$ medida a partir do equilíbrio, uma oscilação harmônica tem médias temporais iguais de energia cinética e potencial, de modo que $\langle
L\rangle = 0$ e $S = 0$ ao longo de um período inteiro — o cálculo confirma: $S = \int_0^T\tfrac12 m\ell^2\theta_0^2[\omega^2\sin^2
\omega t - (g/\ell)\cos^2\omega t]\,\dd t = 0$, já que $\omega^2 =
g/\ell$.

**Exercício 1.3 ★.**

Uma máquina de Atwood: as massas $m_1$ e $m_2$ pendem de um fio ideal que passa por uma polia sem massa. (a) Escolha uma coordenada e escreva $L$. (b) Encontre a aceleração. (c) O tratamento de Newton precisava da tração — para onde ela foi? (d) Como você recuperaria a tração uma vez conhecido o movimento?

**Solução de Exercício 1.3.**

(a) Seja $x$ a descida de $m_1$ (de modo que $m_2$ sobe de $x$): $L =
\tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx$. (b) $(m_1 + m_2)\ddot x =
(m_1 - m_2)g$: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)$. (c) A tração age nas duas extremidades de um fio inextensível: em qualquer deslocamento permitido os seus trabalhos se cancelam, e por isso ela nunca entra em $L$. (d) Newton aplicado só a $m_1$: $T =
m_1(g - a) = 2m_1m_2g/(m_1 + m_2)$.

**Exercício 1.4 ★.**

Uma partícula livre em coordenadas cilíndricas: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 +
r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2)$. (a) Quais coordenadas são cíclicas e quais são os momentos conservados? (b) Por que $p_r$ *não* se conserva, embora nenhuma força atue? (c) Escreva a equação de Euler–Lagrange para $r$ e interprete o termo $mr\dot\varphi^2$. (d) Verifique que uma reta percorrida com velocidade constante a resolve.

**Solução de Exercício 1.4.**

(a) $\varphi$ e $z$: $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ (o momento angular em torno do eixo) e $p_z = m\dot z$ se conservam. (b) $r$ aparece em $L$ através de $r^2\dot\varphi^2$, logo não é cíclica: $\dot p_r =
mr\dot\varphi^2 \neq 0$. Nada está errado — $p_r = m\dot r$ é a componente radial de um vetor constante $\vect p$, e uma componente ao longo de uma direção que *gira* não precisa ser constante. (c) $m\ddot r =
mr\dot\varphi^2$: o termo centrífugo, o preço de usar coordenadas presas a direções que giram. (d) Para uma reta à distância $b$ percorrida com velocidade $v$: $r = \sqrt{b^2 + v^2t^2}$, $r^2\dot\varphi = bv$; então $\ddot r = b^2v^2/r^3 = r(bv/r^2)^2 = r\dot\varphi^2$.

**Exercício 1.5 ★★.**

Um bloco de massa $m$ desliza sobre a face sem atrito (ângulo $\alpha$) de uma cunha de massa $M$, ela própria livre para deslizar sobre um piso sem atrito. (a) Escolha duas coordenadas: a abscissa $X$ da cunha e a distância $s$ percorrida pelo bloco ao longo da face; escreva $L$. (b) Qual coordenada é cíclica e que lei de conservação ela exprime? (c) Encontre as duas acelerações. (d) Verifique os limites $M \to \infty$ e $\alpha \to
90^\circ$.

**Solução de Exercício 1.5.**

(a) Posição do bloco $(X + s\cos\alpha,\ -s\sin\alpha)$, logo

$$
L = \tfrac12 M\dot X^2 + \tfrac12 m\big(\dot X^2 +
2\dot X\dot s\cos\alpha + \dot s^2\big) + mgs\sin\alpha .
$$

(b) $X$ é cíclica: $P = (M + m)\dot X + m\dot s\cos\alpha$ se conserva — o momento horizontal total, pois nenhuma força horizontal externa atua. (c) A equação de $s$ é $\ddot s + \ddot
X\cos\alpha = g\sin\alpha$; com $\ddot X = -m\ddot s\cos\alpha/(M +
m)$ vindo de (b),

$$
\ddot s = \frac{(M + m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha} , \qquad
\ddot X = -\frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha} .
$$

(d) $M \to \infty$: $\ddot s \to g\sin\alpha$, o plano inclinado fixo; $\alpha \to 90^\circ$: $\ddot s \to g$, $\ddot X \to 0$ — queda livre ao longo de uma face vertical, sem empurrar a cunha.

**Exercício 1.6 ★★.**

O pêndulo esférico: uma massa na ponta de uma haste de comprimento $\ell$, livre nos dois ângulos ($\theta$ a partir da vertical descendente, $\varphi$ em torno dela). (a) Escreva $L$. (b) Identifique a [coordenada cíclica](#def-b3-lagrangian-mechanics-momentum) e o momento conservado $p_\varphi$. (c) Reduza o movimento de $\theta$ a um potencial efetivo e esboce-o. (d) Para o movimento cônico $\theta =
\theta_0$, recupere a relação do pêndulo cônico $\cos\theta_0 =
g/\ell\omega^2$ do volume do primeiro ano.

**Solução de Exercício 1.6.**

(a) $L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2) +
mg\ell\cos\theta$. (b) $\varphi$ é cíclica: $p_\varphi =
m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$, o momento angular vertical. (c) Eliminando $\dot\varphi$, $\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 +
U_{\text{eff}}(\theta)$ se conserva, com

$$
U_{\text{eff}}(\theta) = \frac{p_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta}
 - mg\ell\cos\theta :
$$

uma barreira em $\theta = 0$ e $\theta = \pi$ (para $p_\varphi \neq 0$) com um mínimo entre elas — a massa nuta entre dois círculos. (d) No mínimo, $\dot\theta = 0$ com $\theta = \theta_0$ constante: $p_\varphi^2\cos\theta_0/m\ell^2\sin^3\theta_0 = mg\ell\sin\theta_0$; inserindo $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta_0\,\omega$ obtém-se $\ell\omega^2\cos\theta_0 = g$.

**Exercício 1.7 ★★.**

Um pêndulo (massa $m$, comprimento $\ell$) pende de um carrinho de massa $M$ livre para rolar sobre um trilho horizontal. (a) Com as coordenadas $X$ (carrinho) e $\theta$, escreva $L$. (b) O que se conserva, e por quê fisicamente? (c) Linearize para $\theta$ pequeno e mostre que a frequência de oscilação é $\Omega = \sqrt{(1 + m/M)\,g/\ell}$. (d) Explique os limites $M \to
\infty$ e $M \to 0$ — por que um carrinho leve *aumenta* a frequência?

**Solução de Exercício 1.7.**

(a) Massa em $(X + \ell\sin\theta,\ -\ell\cos\theta)$:

$$
L = \tfrac12(M + m)\dot X^2 + m\ell\cos\theta\,\dot X\dot\theta
 + \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta .
$$

(b) $X$ é cíclica: $(M + m)\dot X + m\ell\cos\theta\,\dot\theta$ se conserva — o momento horizontal do sistema inteiro (o trilho só empurra verticalmente). (c) Pequenos ângulos: $(M + m)\ddot X +
m\ell\ddot\theta = 0$ e $\ell\ddot\theta + \ddot X + g\theta = 0$; eliminando $\ddot X$, $\ell\ddot\theta\,[1 - m/(M + m)] = -g\theta$, logo $\Omega^2 = (M + m)g/M\ell = (1 + m/M)\,g/\ell$. (d) $M \to \infty$: o pivô fixo, $\Omega^2 = g/\ell$. Para $M$ pequeno, o carrinho recua em sentido oposto ao da massa e a oscilação se dá em torno de um ponto entre os dois (o centro de massa fixo), o que encurta o pêndulo efetivo — daí a frequência mais alta, que diverge quando $M \to 0$.

**Exercício 1.8 ★★.**

Uma partícula de carga $q$ num campo uniforme $\vect B = B\vect e_z$, descrito por $\vect A = \tfrac12\vect B\wedge\vect r$. (a) Escreva $L$ em coordenadas cartesianas. (b) Deduza as equações de movimento e verifique que descrevem o círculo do cíclotron com $\omega_{\text{c}} = qB/m$. (c) Calcule os momentos conjugados $p_x$ e $p_y$: valem $m\dot x$ e $m\dot y$? Conservam-se? (d) Mostre que $L$ escrita em coordenadas cilíndricas tem $\varphi$ cíclica e identifique o $p_\varphi$ conservado para um círculo centrado no eixo.

**Solução de Exercício 1.8.**

(a) $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$: $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qB(x\dot y -
y\dot x)$. (b) A equação de $x$: $\dd(m\dot x - \tfrac12 qBy)/\dd t =
\tfrac12 qB\dot y$, isto é, $m\ddot x = qB\dot y$; do mesmo modo $m\ddot y =
-qB\dot x$: movimento circular com $\omega_{\text{c}} = qB/m$ e $\dot z$ constante. (c) $p_x = m\dot x - \tfrac12 qBy \neq m\dot x$; nem $x$ nem $y$ é cíclica ($\partial L/\partial x = \tfrac12 qB\dot y$), de modo que nenhum dos momentos se conserva — só combinações como $m\dot x -
qBy$ (verifique: sua derivada se anula). (d) Em coordenadas cilíndricas, $A_\varphi = \tfrac12 Br$: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2) + \tfrac12
qBr^2\dot\varphi$; $\varphi$ é cíclica e $p_\varphi = mr^2\dot\varphi +
\tfrac12 qBr^2$. Num círculo de raio $R$ centrado no eixo, $\dot\varphi = -\omega_{\text{c}}$, logo $p_\varphi = -qBR^2 + \tfrac12
qBR^2 = -\tfrac12 qBR^2$.

**Exercício 1.9 ★★.**

Para a conta no aro que gira ([Exemplo 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop)): (a) calcule a [função energia](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ e verifique que a equação de movimento a conserva; (b) calcule a energia mecânica $E$ e mostre que $E - h =
m\omega^2R^2\sin^2\theta$; (c) obtenha a potência fornecida pelo motor em função de $\theta$ e $\dot\theta$; (d) obtenha a frequência das [pequenas oscilações](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) em torno do equilíbrio inclinado quando $\omega^2 > g/R$ e mostre que ela se anula quando $\omega^2 \to g/R$ — a lentidão que anuncia o desdobramento do poço.

**Solução de Exercício 1.9.**

(a) $h = \dot\theta\,\partial L/\partial\dot\theta - L = \tfrac12
mR^2\dot\theta^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}$; $\dd h/\dd t =
\dot\theta\,[mR^2\ddot\theta + U_{\text{eff}}'(\theta)] = 0$ pela equação de movimento. (b) $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12
m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = h +
m\omega^2R^2\sin^2\theta$. (c) $P = \dd E/\dd t =
m\omega^2R^2\sin2\theta\,\dot\theta$: positiva enquanto a conta se afasta do eixo (o motor trabalha contra a inércia da conta), negativa na volta. (d) $U_{\text{eff}}'' = mgR\cos\theta -
m\omega^2R^2\cos2\theta$; em $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$ isso vale $m\omega^2R^2\sin^2\theta_{\text{eq}}$, logo $\omega_{\text{osc}} = \omega\sin\theta_{\text{eq}} = \omega\sqrt{1 -
(g/\omega^2R)^2} \to 0$ quando $\omega^2 \to g/R$: a força restauradora se achata exatamente quando os poços se fundem.

**Exercício 1.10 ★★★.**

O pêndulo duplo igual ($m_1 = m_2 = m$, $\ell_1 = \ell_2 = \ell$). (a) Mostre que, para pequenos ângulos, $L = \tfrac12 m\ell^2(2\dot\theta_1^2 +
2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(2
\theta_1^2 + \theta_2^2)$. (b) Escreva as duas equações de movimento. (c) Obtenha as frequências normais $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\,g/\ell$ e a forma de cada modo ($\theta_2 = \pm\sqrt2\,\theta_1$). (d) Em grande amplitude, este sistema é um exemplo clássico de caos: explique em poucas linhas o que quebra a análise de pequenos ângulos e por que nenhuma lei de conservação se perde.

**Solução de Exercício 1.10.**

(a) Posições $x_2 = \ell(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$, etc.; guardando os termos quadráticos, o termo cruzado de velocidade é $m\ell^2\dot\theta_1\dot\theta_2$, o que dá a $L$ enunciada. (b) $2\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -2\omega_0^2\theta_1$ e $\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -\omega_0^2\theta_2$, com $\omega_0^2
= g/\ell$. (c) Inserindo $\theta_i = a_i\cos\Omega t$: $\det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\Omega^2 & -\Omega^2\\ -\Omega^2 &
\omega_0^2 - \Omega^2\end{pmatrix} = \Omega^4 - 4\omega_0^2\Omega^2 +
2\omega_0^4 = 0$, logo $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\omega_0^2$; a segunda linha dá $a_2/a_1 = \Omega^2/(\omega_0^2 - \Omega^2) =
\pm\sqrt2$: massas juntas (modo lento), massas opostas (modo rápido). (d) Em grande amplitude, os acoplamentos em $\sin$ e $\cos$ tornam as equações não lineares; as soluções deixam de se superpor e condições iniciais vizinhas se afastam exponencialmente (caos). A energia continua exatamente conservada — $L$ não tem tempo explícito — o caos diz respeito à previsibilidade, não à conservação.

**Exercício 1.11 ★★★.**

*A braquistócrona.* Uma conta desliza sem atrito, partindo do repouso na origem, por uma curva $y(x)$ ($y$ para baixo) até um ponto $(a, b)$. (a) Usando a conservação da energia, mostre que o tempo de descida é $T =
\int_0^a\sqrt{(1 + y'^2)/2gy}\,\dd x$ — um funcional, com $x$ no papel do tempo. (b) O integrando $F(y, y')$ não tem $x$ explícito: mostre que $h = y'\,\partial F/\partial y' - F$ é constante ao longo da curva ótima (o mesmo cálculo da [Proposição 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy)). (c) Deduza $y(1 + y'^2) =
2r$ para uma constante $r$ e verifique que a cicloide $x = r(\phi -
\sin\phi)$, $y = r(1 - \cos\phi)$ a satisfaz. (d) Mostre que a descida da conta até o fundo de um arco leva $\pi\sqrt{r/g}$ e compare com a rampa reta até o mesmo ponto.

**Solução de Exercício 1.11.**

(a) $v = \sqrt{2gy}$ e $\dd s = \sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ dão o funcional. (b) O cálculo da [Proposição 1.14](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) com $x$ no lugar do tempo: $\dd
h/\dd x = -\partial F/\partial x = 0$. (c) $h = -1/\sqrt{2gy(1 +
y'^2)}$, logo $y(1 + y'^2) = 2r$. Para a cicloide, $y' =
\sin\phi/(1 - \cos\phi)$ e $1 + y'^2 = 2/(1 - \cos\phi)$, de onde $y(1 + y'^2) = 2r$. (d) $\dd t = \dd s/v = \sqrt{r/g}\,\dd\phi$ (toda a dependência em $\phi$ se cancela), de modo que o fundo ($\phi = \pi$) é alcançado em $\pi\sqrt{r/g}$ — qualquer que seja o ponto de partida: a cicloide é também a tautócrona. A rampa reta até $(\pi r, 2r)$ leva $\sqrt{\pi^2
+ 4}\,\sqrt{r/g} \approx 3.72\sqrt{r/g}$, cerca de $18\%$ a mais que $\pi\sqrt{r/g}$.

**Exercício 1.12 ★★★.**

*Fermat como [mínima ação](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange).* A luz num meio de índice $n(y)$ viaja entre dois pontos no menor tempo (volume do segundo ano). (a) Mostre que o tempo de percurso ao longo de $y(x)$ é $T = \tfrac1c\int n(y)\sqrt{1 +
y'^2}\,\dd x$. (b) Como o integrando não tem $x$ explícito, use o $h$ conservado do exercício anterior para mostrar que $n(y)\big/\sqrt{1 +
y'^2} = \text{const}$, e verifique que isso é a lei de Snell $n\sin i =
\text{const}$ para um raio medido a partir da vertical. (c) Sobre uma estrada quente, o índice cresce com a altura como $n(y) \approx n_0(1 + \beta y)$; mostre que um raio quase horizontal se encurva com raio de curvatura $R \approx
1/\beta$. (d) Com $\beta = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$, de que distância um motorista cujos olhos estão a $1.2\,\mathrm{m}$ acima da estrada vê nela a miragem de “água”?

**Solução de Exercício 1.12.**

(a) $\dd t = \dd s/(c/n)$. (b) $h = -n(y)/\sqrt{1 + y'^2}$ se conserva; $1/\sqrt{1 + y'^2} = \cos\theta$ ($\theta$ é o ângulo de inclinação) $= \sin i$ com $i$ medido da vertical: $n\sin i = \text{const}$ — a lei de Snell, aplicada de modo contínuo. (c) Para um raio quase horizontal, $n\cos\theta \approx \text{const}$ com $\theta$ pequeno dá $\theta\,\dd\theta = \dd n/n \approx \beta\,\dd y$; como $\dd y =
\theta\,\dd x$, a curvatura é $\dd\theta/\dd x = \beta$, isto é, $R =
1/\beta \approx 83\,\mathrm{km}$, encurvando-se para *cima* (rumo aos $n$ maiores). (d) Um raio que parte do olho e tangencia a estrada após encurvar-se com raio $R$ toca-a em $d = \sqrt{2hR} = \sqrt{2 \times 1.2 \times
8.3e4} \approx 450\,\mathrm{m}$: além dessa distância a própria estrada não é vista — vê-se o céu refratado para cima, a “água” cintilante.

![O pêndulo de Foucault no Panteão, em Paris. Coordenadas generalizadas, um vínculo e um referencial que gira lentamente: a rotação da sala aparece nas equações de movimento — e a deriva do plano de oscilação permite que um porão meça a rotação da Terra. Fotografia: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-lagrangian-mechanics/img-d1d827b23d7c.jpg)

*O pêndulo de Foucault no Panteão, em Paris. [Coordenadas generalizadas](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates), um [vínculo](#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) e um referencial que gira lentamente: a rotação da sala aparece nas equações de movimento — e a deriva do plano de oscilação permite que um porão meça a rotação da Terra. Fotografia: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.*

## 1.6 Problema: A vassoura que fica de cabeça para baixo

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — O pêndulo invertido de Kapitza

Um pêndulo rígido pode permanecer estável *acima* de seu pivô se este for sacudido para cima e para baixo com rapidez suficiente — descoberta analisada por Kapitza em 1951, surpreendente a ponto de parecer um truque de mágica, e o princípio pelo qual campos elétricos oscilantes aprisionam íons isolados. Modelamos o pêndulo como uma massa pontual $m$ na extremidade de uma haste rígida sem massa de comprimento $\ell = 40\,\mathrm{cm}$; $\theta$ é o ângulo a partir da vertical *descendente*; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — O pêndulo rígido.** De início, o pivô é mantido fixo.

1. Escreva a [lagrangiana](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) e a equação de movimento.
2. Dê a frequência $f_0$ das [pequenas oscilações](#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) em torno de $\theta =  0$ , e seu valor.
3. Mostre que aqui $h = E$ e use sua conservação para achar a velocidade mínima de lançamento da massa, no ponto mais baixo, que a leva até o topo.
4. Linearize a equação perto de $\theta = \pi$ (ponha $\theta = \pi +  \epsilon$ ) e mostre que $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : com que rapidez cresce uma inclinação inicial de um milésimo de grau? Dê o tempo para que ela cresça por um fator $e$ .
5. Uma vassoura equilibrada na ponta do dedo cai em cerca de um segundo e nunca se sustenta sozinha: diga numa frase o que a equação linearizada afirma sobre o equilíbrio $\theta = \pi$ .

**Parte II — Sacudindo o pivô.** O pivô agora oscila verticalmente, com altura $y_{\text{s}}(t) =
a\cos\Omega t$, sendo $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ e $\Omega$ ajustável.

6. Escreva as coordenadas da massa e mostre que $\vect v^{\,2} = \ell^2\dot\theta^2 -  2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta +  a^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ .
7. Mostre que duas [lagrangianas](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) que diferem por uma derivada temporal total $\dd F(q,t)/\dd t$ dão as mesmas [equações de Euler–Lagrange](#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) .
8. Usando essa liberdade, reduza a [lagrangiana](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) a $L = \tfrac12 m  \ell^2\dot\theta^2 - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta +  mg\ell\cos\theta$ . (Sugestão: $\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ combina-se com um termo $\cos(\Omega t)\cos\theta$ numa derivada total; termos que dependem só de $t$ podem ser descartados.)
9. Deduza a equação de movimento $$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta  + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos(\Omega t)\sin\theta .$$ Interprete o segundo termo como a substituição do peso por $g +  \ddot y_{\text{s}}$: o pêndulo vive num elevador.
10. A [função energia](#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ ainda se conserva? E a energia? O que bombeia energia para dentro e para fora?
11. No regime de Kapitza, $a \ll \ell$ e $\Omega \gg \omega_0 =  \sqrt{g/\ell}$ : verifique-os para $a = 2\,\mathrm{cm}$ , $\ell =  40\,\mathrm{cm}$ , $\Omega/2\pi = 40\,\mathrm{Hz}$ , e explique fisicamente por que a massa não consegue acompanhar a excitação.

**Parte III — Separando o rápido do lento.** Procure o movimento na forma $\theta(t) = \Theta(t) + \xi(t)$: uma deriva lenta $\Theta$ mais uma pequena ondulação $\xi$ na frequência de excitação.

12. Mantendo apenas o maior termo de cada lado, mostre que a ondulação obedece a $\ddot\xi \approx +(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)  \sin\Theta$ , com $\Theta$ congelado na escala de tempo da excitação.
13. Deduza $\xi(t) = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ e verifique que sua amplitude é pequena, da ordem de $a/\ell$ .
14. Expanda $\sin\theta = \sin(\Theta + \xi)$ em primeira ordem em $\xi$ e insira o resultado na equação de movimento.
15. Faça a média sobre um período de excitação, com $\Theta$ fixo: usando $\langle\cos\Omega t\rangle = 0$ e $\langle\cos^2\Omega t\rangle = \tfrac12$, mostre que $$\ddot\Theta = -\frac{g}{\ell}\sin\Theta  - \frac{a^2\Omega^2}{2\ell^2}\sin\Theta\cos\Theta .$$
16. Mostre que isso é um movimento na [energia potencial efetiva](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) $$U_{\text{eff}}(\Theta) = mg\ell\Big({-\cos\Theta}  + \frac{a^2\Omega^2}{4g\ell}\sin^2\Theta\Big) .$$
17. Compare com a conta no aro que gira ( [Exemplo 1.9](#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) ): a mesma matemática, com sinal oposto no termo novo — o que a sacudida faz ao equilíbrio *de baixo* que a rotação não fazia?
18. Esboce $U_{\text{eff}}$ para excitação lenta e para excitação rápida e descreva cada equilíbrio e sua estabilidade em cada caso.

**Parte IV — A vassoura se levanta.**

19. Expandindo $U_{\text{eff}}$ perto de $\Theta = \pi$, mostre que a posição invertida é estável exatamente quando $$a^2\Omega^2 > 2g\ell .$$
20. Calcule a frequência crítica de excitação $f_{\text{c}} =  \Omega_{\text{c}}/2\pi$ para o nosso pêndulo, bem como a velocidade máxima do pivô $a\Omega_{\text{c}}$ e a aceleração $a\Omega_{\text{c}}^2$ (em unidades de $g$ ) que ela exige.
21. Em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , obtenha a frequência da oscilação lenta do pêndulo em pé em torno de $\Theta = \pi$ e seu valor; verifique que ela é de fato lenta em comparação com a excitação.
22. Ainda em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , qual é a amplitude da ondulação $\xi$ com $\Theta$ pouco afastado de $\pi$ , em graus, para $a/\ell = 0.05$ ? Uma fotografia denunciaria o truque?
23. Quanto a vassoura pode inclinar-se em relação à vertical e ainda voltar? Mostre que o poço da posição em pé se estende por $|\Theta - \pi| <  \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ , e avalie-o em $\Omega =  2\Omega_{\text{c}}$ .
24. Um malabarista que equilibra uma vassoura na ponta de um dedo imóvel também a mantém em pé — por qual mecanismo inteiramente diferente? Nomeie a característica do pêndulo de Kapitza que dispensa realimentação.
25. Resuma o resultado central: um pivô sacudido com amplitude $2\,\mathrm{cm}$ a $45\,\mathrm{Hz}$ — o dobro da frequência crítica — mantém de cabeça para baixo um pêndulo de $40\,\mathrm{cm}$ , num poço que alcança cerca de $75^\circ$ a partir da vertical, balançando suavemente a cerca de $1.4\,\mathrm{Hz}$ . Onde na física se usa esse mesmo aprisionamento em média para segurar uma única partícula carregada?

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$; $\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta$. **2.** $f_0 = \sqrt{g/\ell}/2\pi = 0.79\,\mathrm{Hz}$. **3.** A suspensão é fixa, logo $h = E = \tfrac12
m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$; do fundo ao topo, $\tfrac12
mv^2 = 2mg\ell$: $v = 2\sqrt{g\ell} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **4.** $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$: $\epsilon \propto
\eu^{t/\tau}$ com $\tau = \sqrt{\ell/g} = 0.20\,\mathrm{s}$. **5.** O equilíbrio invertido existe, mas é exponencialmente instável: qualquer inclinação, por menor que seja, multiplica-se por $e$ a cada $0.2\,\mathrm{s}$. **6.** Massa em $(\ell\sin\theta,\ a\cos\Omega t - \ell\cos\theta)$; derive e eleve ao quadrado: o $\vect v^{\,2}$ enunciado, com o termo cruzado $-2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$. **7.** Se $L' = L + \dd F(q,t)/\dd t$, a [ação](#def-b3-lagrangian-mechanics-action) muda de $F(q_2, t_2) - F(q_1, t_1)$, constante sob variações com extremidades fixas: os mesmos caminhos estacionários, as mesmas equações. **8.** O termo cruzado vale $-ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,
\dot\theta = \dd[ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\cos\theta]/\dd t -
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta$; descartando a derivada total e os termos que só dependem de $t$ ($\tfrac12 ma^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ e $-mga\cos\Omega t$), resta a $L$ enunciada. **9.** $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta +
ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\sin\theta$. Como $\ddot y_{\text{s}} =
-a\Omega^2\cos\Omega t$, isso é $\ddot\theta =
-[(g + \ddot y_{\text{s}})/\ell]\sin\theta$: no referencial do pivô, a gravidade aparente oscila. **10.** $L$ passa a depender explicitamente de $t$: $h$ não se conserva, nem $E$ — o agitador injeta e retira energia pelo pivô. **11.** $a/\ell = 0.05$; $\Omega = 251\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ contra $\omega_0 = 4.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: razão $51$. Num período de excitação ($25\,\mathrm{ms}$) a gravidade mal altera $\dot\theta$: a massa é lenta demais para acompanhar e apenas estremece. **12.** $\ddot\xi$ é a maior derivada ($\propto\Omega^2$) e a excitação é o maior termo de força: $\ddot\xi =
(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$. **13.** Integrando duas vezes com $\Theta$ fixo: $\xi =
-(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$, de amplitude no máximo $a/\ell =
0.05$: um tremor de dois graus. **14.** $\sin\theta \approx \sin\Theta + \xi\cos\Theta$, logo

$$
\ddot\Theta + \ddot\xi = -\frac{g}{\ell}(\sin\Theta + \xi\cos\Theta)
 + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos\Omega t\,(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) .
$$

**15.** A média elimina $\ddot\xi$, $\langle\cos\Omega t\rangle$ e $\langle\xi\rangle$; o termo cruzado que sobrevive é $(a\Omega^2/\ell)\cos\Theta\,\langle\xi\cos\Omega t\rangle =
-(a^2\Omega^2/2\ell^2)\sin\Theta\cos\Theta$, o que dá a equação enunciada para $\Theta$. **16.** $\ddot\Theta = -(1/m\ell^2)\,U_{\text{eff}}'(\Theta)$ com $U_{\text{eff}} = mg\ell[-\cos\Theta + (a^2\Omega^2/4g\ell)
\sin^2\Theta]$ — derive para verificar. **17.** O mesmo termo em $\sin^2$ do aro, mas com o sinal *oposto*: a rotação cavava poços nos flancos e só podia achatar o fundo; a sacudida vertical enrijece o poço do fundo e cava um novo poço no *topo*. **18.** Excitação lenta ($a^2\Omega^2 < 2g\ell$): mínimo em $\Theta =
0$, máximo em $\pi$ — nada de novo. Excitação rápida: mínimos em $0$ *e* em $\pi$, separados por máximos em $\cos\Theta^* =
-2g\ell/a^2\Omega^2$; tanto o pêndulo pendente quanto o pêndulo em pé oscilam de modo estável. **19.** Perto de $\pi$, com $\Theta = \pi + \epsilon$: $\ddot\epsilon = [g/\ell - a^2\Omega^2/2\ell^2]\,\epsilon$; a estabilidade exige o colchete negativo: $a^2\Omega^2 > 2g\ell$. **20.** $\Omega_{\text{c}} = \sqrt{2g\ell}/a = 140\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $f_{\text{c}} = 22\,\mathrm{Hz}$; velocidade máxima $a\Omega_{\text{c}} =
2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, aceleração máxima $a\Omega_{\text{c}}^2 =
392\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 40g$. **21.** $\omega_{\text{lento}} = \sqrt{a^2\Omega^2/2\ell^2 -
g/\ell}$; em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$, $a^2\Omega^2 = 8g\ell$, logo $\omega_{\text{lento}} = \sqrt{3g/\ell} = 8.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $1.4\,\mathrm{Hz}$, trinta vezes mais lento que a excitação de $45\,\mathrm{Hz}$. **22.** $\xi_{\max} = (a/\ell)\sin\Theta$: inclinado $10^\circ$ em relação à vertical, $\xi_{\max} = 0.05\sin170^\circ = 8.7\,\mathrm{mrad}
\approx 0.5^\circ$ — uma fotografia comum mostra uma vassoura parada em pé. **23.** O poço da posição em pé alcança os máximos que o ladeiam: $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$; em $\Omega =
2\Omega_{\text{c}}$, $\arccos\tfrac14 = 75^\circ$ — um poço notavelmente tolerante. **24.** O malabarista usa realimentação: os olhos medem a inclinação e a mão acelera lateralmente para anulá-la. A estabilização de Kapitza é em malha aberta — a excitação nunca sabe onde está o pêndulo. **25.** Sacudido a $45\,\mathrm{Hz}$ com amplitude de $2\,\mathrm{cm}$, o pêndulo de $40\,\mathrm{cm}$ fica invertido num poço de $75^\circ$, balançando a $1.4\,\mathrm{Hz}$. O mesmo potencial efetivo médio, obtido com um campo elétrico quadrupolar oscilante em vez de um pivô sacudido, confina íons isolados na armadilha de Paul — o instrumento de trabalho dos relógios atômicos e da computação quântica com íons aprisionados.