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title: "O átomo de hidrogênio"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/11-o-atomo-de-hidrogenio
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# Capítulo 11 — O átomo de hidrogênio

Nove décimos dos átomos do universo são hidrogênio: um próton que segura um elétron, o único átomo que a física resolve exatamente — e a chave que abriu todos os outros. A velha teoria quântica do [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#ch-b3-hamiltonian-mechanics) adivinhou suas energias; a maquinaria está agora pronta para *deduzi-las*: o potencial de Coulomb entra na [equação radial](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) do capítulo anterior, e de lá saem os níveis $-E_{\text{I}}/n^2$, o [raio de Bohr](#thm-b3-hydrogen-atom-levels), as camadas e subcamadas da tabela periódica da química e as séries espectrais que os astrônomos leem em toda nebulosa. A mesma solução, reescalada, descreve o hélio ionizado, os átomos muônicos, o positrônio e os “átomos” de par elétron–buraco dentro dos semicondutores; esticada até $n
\approx 100$, ela descreve átomos de Rydberg de meio micrômetro de diâmetro, cujos sussurros de rádio mapeiam as nuvens ionizadas da Galáxia e cujas interações hoje movem computadores quânticos.

## 11.1 O problema de Coulomb resolvido

**Teorema 11.1 (Níveis do hidrogênio).**

Para $V(r) = -e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ (escreva $k = e^2/4\pi
\varepsilon_0$), os estados ligados são rotulados por $(n, l, m)$ com

$$
E_n = -\frac{E_{\text{I}}}{n^2} , \qquad
E_{\text{I}} = \frac{m_{\text{e}}k^2}{2\hbar^2} = 13.6\,\mathrm{eV} ,
\qquad n = 1, 2, 3, \dots
$$

e, para cada $n$, os números orbitais $l = 0, 1, \dots, n-1$ e $m = -l, \dots, l$. O comprimento natural é o [raio de Bohr](#thm-b3-hydrogen-atom-levels) $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 52.9\,\mathrm{pm}$; o estado fundamental é

$$
\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\;\eu^{-r/a_0} .
$$

A energia depende *apenas* de $n$: contando os $m$ e os $l$, o nível $n$ tem degenerescência $n^2$ (dobrada pelo spin, [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/12-spin-e-sistemas-de-dois-niveis#ch-b3-spin-two-level)) — muito além da degenerescência $(2l+1)$ que a isotropia explica.

**Demonstração parcial.** Para o estado fundamental, tente $u = Cr\,\eu^{-r/a}$ na [equação radial](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) com $l = 0$: $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$, de modo que $-\tfrac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}u'' - \tfrac kr u = Eu$ exige $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ (igualando os termos em $1/r$) — o que é $a = a_0$ — e $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$. A solução geral (polinômios de Laguerre, com $n - l - 1$ nós radiais) é admitida; cada passo da construção é elementar, mas longo. A degenerescência “acidental” em $l$ espelha um segredo clássico da força $1/r$ pura — as elipses de Kepler não precessam, e um vetor conservado a mais (Laplace–Runge–Lenz) aponta ao longo do eixo maior fixo; sua versão quântica é o que amarra diferentes $l$ a uma mesma energia ([Exercício 11.12](#exo-b3-hydrogen-atom-12)). ∎

![Os níveis do hidrogênio -E_ I/n2, distribuídos por l: todas as subcamadas de um mesmo n coincidem (o “acidente” de Coulomb). Os saltos para baixo que terminam em n = 1 formam a série ultravioleta de Lyman; os que terminam em n = 2, a série visível de Balmer, que tinge as nebulosas de vermelho.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/fig-79a0f398d6a3.svg)

*Os níveis do hidrogênio $-E_{\text{I}}/n^2$, distribuídos por $l$: todas as subcamadas de um mesmo $n$ coincidem (o “acidente” de Coulomb). Os saltos para baixo que terminam em $n = 1$ formam a série ultravioleta de Lyman; os que terminam em $n = 2$, a série visível de Balmer, que tinge as nebulosas de vermelho.*

## 11.2 Onde está o elétron

**Proposição 11.2 (Distribuições radiais).**

A probabilidade de encontrar o elétron entre $r$ e $r + \dd r$ vale $P(r)\,\dd r$, com $P(r) = |u(r)|^2$, o quadrado da função radial normalizada do [Teorema 10.6](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/10-momento-angular-quantico#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial). Para os estados mais baixos: $P_{1s} \propto r^2\eu^{-2r/a_0}$, com pico exatamente em $r = a_0$ e $\langle r\rangle = \tfrac32 a_0$; $P_{2s}$ mostra duas corcovas separadas por um *nó* esférico; $P_{2p} \propto
r^4\eu^{-r/a_0}$, com pico em $4a_0$. Em geral, $\langle r\rangle
\approx n^2a_0$: os átomos crescem *quadraticamente* com a excitação, enquanto sua ligação encolhe como $1/n^2$ — a alavanca por trás dos gigantes de Rydberg do [Problema 11.1](#pb-b3-hydrogen-atom-1).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Densidades de probabilidade radial. O pico do 1s fica exatamente em a_0; o estado 2s carrega um nó esférico e um lóbulo perto do núcleo — a “penetração” que ordenará a tabela periódica — ao passo que o 2p, murado pela barreira centrífuga, mantém distância.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/fig-9954a85e5f52.svg)

*Densidades de [probabilidade radial](#prop-b3-hydrogen-atom-radial). O pico do $1s$ fica exatamente em $a_0$; o estado $2s$ carrega um nó esférico e um lóbulo perto do núcleo — a “penetração” que ordenará a tabela periódica — ao passo que o $2p$, murado pela [barreira centrífuga](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/10-momento-angular-quantico#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial), mantém distância.*

**Exemplo 11.3 (Ler os tamanhos).**

Estado fundamental: $0.1\,\mathrm{nm}$ de diâmetro, $13.6\,\mathrm{eV}$ de profundidade — as escalas de toda a química. Em $n = 10$: raio $\sim5\,\mathrm{nm}$, ligação de $0.136\,\mathrm{eV}$ — frouxamente preso. Em $n = 100$: um átomo de escala *micrométrica* ligado por $1.4\,\mathrm{meV}$, destruído pelo mais débil dos campos — e, ainda assim, o espaço interestelar é vazio o bastante para que tais átomos vivam e transmitam ([Problema 11.1](#pb-b3-hydrogen-atom-1)).

## 11.3 O espectro

**Proposição 11.4 (Séries e regras de seleção).**

Um salto $n' \to n$ emite o comprimento de onda

$$
\frac{1}{\lambda} = R_{\text{H}}\Big(\frac{1}{n^2} -
\frac{1}{n'^2}\Big) , \qquad
R_{\text{H}} = \frac{E_{\text{I}}}{hc} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} ,
$$

sujeito à regra de seleção dipolar $\Delta l = \pm1$ (o fóton carrega $\hbar$). A [série de Lyman](#prop-b3-hydrogen-atom-series) ($\to n = 1$) fica no ultravioleta distante, a partir de $121.6\,\mathrm{nm}$; a [série de Balmer](#prop-b3-hydrogen-atom-series) ($\to n = 2$) começa na linha vermelha $H\alpha$, em $656.3\,\mathrm{nm}$ — a cor das nebulosas de emissão e das proeminências solares; as séries de Paschen e seguintes recuam para o infravermelho e, entre $n = 110$ e $109$, a mesma fórmula aterrissa em $5.0\,\mathrm{GHz}$: o hidrogênio fala do ultravioleta ao dial do rádio.

**Demonstração.** Conservação de energia com o [Teorema 11.1](#thm-b3-hydrogen-atom-levels); $R_{\text{H}}$ como no [Problema 2.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1), agora deduzido em vez de postulado. ∎

**Exemplo 11.5 (Átomos hidrogenoides: uma solução, muitos átomos).**

Substitua a carga do próton por $Ze$ e o elétron por qualquer massa $\mu$ em órbita: toda fórmula se reescala como

$$
a \to a_0\,\frac{m_{\text{e}}}{\mu}\,\frac1Z , \qquad
E_{\text{I}} \to E_{\text{I}}\,\frac{\mu}{m_{\text{e}}}\,Z^2 .
$$

He$^+$ ($Z = 2$): $54.4\,\mathrm{eV}$. Elétrons internos de átomos pesados ($Z \sim 30$): energias da camada K na faixa do keV — os raios X característicos com que Moseley ordenou os elementos ([Exercício 11.5](#exo-b3-hydrogen-atom-5)). Hidrogênio muônico ($\mu = 207
m_{\text{e}}$): um átomo de escala femtométrica que sonda o próprio próton. Positrônio ($e^+e^-$, $\mu = m_{\text{e}}/2$): metade da ligação, o dobro do tamanho e uma vida curta que termina em fótons de aniquilação. E, num semicondutor, um elétron e um buraco orbitam um ao outro com massas efetivas pequenas num dielétrico que blinda a interação: um *éxciton*, o mesmo átomo crescido até dez nanômetros e milielétron-volts ([Exercício 11.7](#exo-b3-hydrogen-atom-7)) — o hidrogênio é menos um átomo do que um molde.

![Uma solução, quatro “átomos”: reescalar massa, carga e vizinhança dielétrica transforma o hidrogênio em sondas do próton, em testes de eletrodinâmica quântica pura e nos quase átomos emissores de luz dos semicondutores.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/fig-55e8377ef73d.svg)

*Uma solução, quatro “átomos”: reescalar massa, carga e vizinhança dielétrica transforma o hidrogênio em sondas do próton, em testes de eletrodinâmica quântica pura e nos quase átomos emissores de luz dos semicondutores.*

**Método 11.6 (Trabalhar com sistemas hidrogenoides).**

(1) Reescale primeiro: $a \propto 1/\mu Z$ e $E \propto \mu Z^2$ transformam qualquer resposta do hidrogênio em qualquer resposta hidrogenoide. (2) Tamanhos: $\langle
r\rangle \sim n^2a$; espaçamentos perto do nível $n$: $\dd E/\dd n =
2E_{\text{I}}/n^3$. (3) Espectros: fórmula de Rydberg mais $\Delta l =
\pm1$. (4) Penetração: os estados $s$ sentem o núcleo, os de $l$ alto orbitam por fora — a alavanca da química de vários elétrons. (5) Âncoras de sanidade: $13.6\,\mathrm{eV}$, $52.9\,\mathrm{pm}$, $121.6\,\mathrm{nm}$ e $656.3\,\mathrm{nm}$ — quatro números que vale a pena memorizar para a vida toda.

![Um tubo de descarga de hidrogênio e um espectroscópio de bolso: o brilho rosado, decomposto, torna-se as linhas de Balmer — a impressão digital inteira que este capítulo deduz do potencial de Coulomb.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hydrogen-atom/img-76fcd27f8d68.jpg)

*Um tubo de descarga de hidrogênio e um espectroscópio de bolso: o brilho rosado, decomposto, torna-se as linhas de Balmer — a impressão digital inteira que este capítulo deduz do potencial de Coulomb.*

## 11.4 Exercícios

**Exercício 11.1 ★.**

(a) Verifique por substituição que $u = Cr\eu^{-r/a_0}$ resolve a [equação radial](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) de $l = 0$ com $E = -E_{\text{I}}$, desde que $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k$. (b) Normalize-a ($\int_0^\infty
x^2\eu^{-x}\dd x = 2$). (c) Confira as dimensões de $a_0$ e de $E_{\text{I}}$. (d) Por que não existe estado abaixo de $-E_{\text{I}}$ (argumente com o [Exercício 7.12](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-12))?

**Solução de Exercício 11.1.**

(a) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$; os termos em $1/r$ se igualam quando $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$, isto é, $a = a_0$, e os termos constantes dão $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$. (b) $C =
2/a_0^{3/2}$. (c) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$; $[mk^2/\hbar^2] =
\mathrm{J}$. (d) O argumento variacional do [Exercício 7.12](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-12) mostra que $-E_{\text{I}}$ é a menor energia que qualquer estado normalizado consegue atingir: o princípio de incerteza põe um piso no átomo.

**Exercício 11.2 ★.**

Calcule (a) os comprimentos de onda da Lyman $\alpha$ e do limite de Lyman; (b) as três primeiras linhas de Balmer e o limite de Balmer — quais são visíveis, e de que cores? (c) a faixa da série de Paschen; (d) a frequência da transição $n = 110 \to 109$.

**Solução de Exercício 11.2.**

(a) $121.6\,\mathrm{nm}$; limite em $91.2\,\mathrm{nm}$. (b) $656.3$ (vermelho), $486.1$ (azul-esverdeado), $434.0\,\mathrm{nm}$ (violeta); limite em $364.6\,\mathrm{nm}$ — as três primeiras são visíveis. (c) De $1875\,\mathrm{nm}$ até $820\,\mathrm{nm}$: infravermelho próximo. (d) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$.

**Exercício 11.3 ★.**

Para o estado fundamental: (a) localize o máximo de $P_{1s}(r)$; (b) calcule $\langle r\rangle$; (c) calcule a probabilidade de encontrar o elétron além de $2a_0$ ($\int_x^\infty t^2\eu^{-t}\dd t = (x^2 +
2x + 2)\eu^{-x}$); (d) por que as imagens de “órbita” de raio exatamente $a_0$ enganam?

**Solução de Exercício 11.3.**

(a) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$ em $r = a_0$. (b) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty
r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32
a_0$. (c) Com $x = 4$: $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$: um quarto do tempo o elétron está além de $2a_0$. (d) O elétron não tem raio: $P(r)$ é uma distribuição com moda, média e caudas longas — o átomo é difuso na escala de um fator dois.

**Exercício 11.4 ★.**

(a) Liste os pares $(l, m)$ de $n = 3$ e verifique a contagem $n^2 =
9$. (b) Com o spin, quantos estados há nas camadas $n = 1, 2, 3$? (c) Relacione-os com os comprimentos $2, 8, 18$ das linhas da tabela periódica. (d) Que degenerescência (em $m$ ou em $l$) sobrevive no elétron externo do sódio, e por que a outra se quebra?

**Solução de Exercício 11.4.**

(a) $l = 0$: um; $l = 1$: três; $l = 2$: cinco — nove. (b) $2$, $8$, $18$. (c) Exatamente os comprimentos das três primeiras linhas: a tabela periódica é o registro do preenchimento dessas camadas. (d) A degenerescência em $m$ sobrevive (o espaço continua isotrópico); a degenerescência em $l$ se quebra porque o potencial blindado que o elétron de valência vê já não é $1/r$ puro — [Exercício 11.8](#exo-b3-hydrogen-atom-8).

**Exercício 11.5 ★★.**

A escada de Moseley. Um elétron interno (da camada K) de um elemento $Z$ se move num campo nuclear quase nu, blindado pelo único outro elétron K: carga efetiva $\approx Z - 1$. (a) Mostre que a energia do raio X $2p \to 1s$ vale aproximadamente $\tfrac34(Z-1)^2E_{\text{I}}$. (b) Avalie-a para o cobre ($Z = 29$) e compare com a K$\alpha$ medida em $8.05\,\mathrm{keV}$. (c) Moseley (1913) traçou $\sqrt{\nu}$ contra $Z$ e obteve retas: o que isso provou sobre o significado do número atômico? (d) Preveja a energia K$\alpha$ do elemento $Z = 43$, então faltante.

**Solução de Exercício 11.5.**

(a) Hidrogenoide com $Z - 1$: $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 -
\tfrac14)$. (b) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — coincidindo com a K$\alpha$ medida do cobre. (c) Que o inteiro que ordena os elementos é a *carga nuclear*, e não o peso atômico: as lacunas nas retas de Moseley localizaram elementos não descobertos. (d) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — o tecnécio, encontrado décadas depois, obedeceu.

**Exercício 11.6 ★★.**

Positrônio. (a) Justifique $\mu = m_{\text{e}}/2$ e dê sua energia de ligação e seu [raio de Bohr](#thm-b3-hydrogen-atom-levels). (b) Seu comprimento de onda Lyman $\alpha$. (c) O para-positrônio se aniquila em dois fótons: as energias deles e as direções relativas (a partir do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#ch-b3-relativistic-dynamics)). (d) Onde a medicina detecta exatamente essa assinatura todos os dias?

**Solução de Exercício 11.6.**

(a) Duas massas iguais: $\mu = m_{\text{e}}/2$: ligação de $6.8\,\mathrm{eV}$, raio $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$. (b) $\tfrac34
\times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$: $243\,\mathrm{nm}$. (c) Dois fótons de $511\,\mathrm{keV}$, em sentidos opostos (conservação do momento em repouso). (d) Na tomografia por emissão de pósitrons: o par de fótons colineares de $511\,\mathrm{keV}$ é o sinal que todo anel PET triangula.

**Exercício 11.7 ★★.**

Éxcitons. No arseneto de gálio, $\varepsilon_{\text{r}} = 12.9$ e a massa efetiva reduzida vale $\mu = 0.058\,m_{\text{e}}$. (a) Mostre que $a_{\text{ex}} = a_0\,\varepsilon_{\text{r}}\,m_{\text{e}}/\mu$ e avalie. (b) A energia de ligação do éxciton. (c) Compare $a_{\text{ex}}$ com os raios dos pontos quânticos do [Problema 7.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes#pb-b3-schrodinger-three-dimensions-1) e justifique, enfim, o descarte do termo de Coulomb em pontos pequenos. (d) Por que as linhas excitônicas só aparecem em semicondutores *puros e frios* ($k_{\text{B}}T$ contra a sua resposta de (b))?

**Solução de Exercício 11.7.**

(a) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$. (b) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$. (c) O tamanho natural do par excede o do ponto: é a parede, e não a atração, que dá forma ao estado — o $1/R^2$ vence o $1/R$, como prometido. (d) O $k_{\text{B}}T$ à temperatura ambiente vale cinco vezes a ligação: os pares se ionizam; a física excitônica vive abaixo de $\sim50\,\mathrm{K}$, em cristais limpos.

**Exercício 11.8 ★★.**

Penetração e os metais alcalinos. O sódio é um elétron de valência hidrogenoide fora de um caroço fechado de carga efetiva $+e$. (a) Qual dos estados $3s$, $3p$, $3d$ sente mais o núcleo incompletamente blindado, e por quê (lembre a figura radial)? (b) Os níveis medidos são $E_{3s} = -5.14\,\mathrm{eV}$, $E_{3p} = -3.04\,\mathrm{eV},
E_{3d} = -1.52\,\mathrm{eV}$: verifique que o $3d$ é quase hidrogenoide ($n = 3$), enquanto o $3s$ é bem mais profundo, e explique. (c) Calcule o comprimento de onda de $3p \to 3s$: que cor famosa é essa? (d) Escreva os níveis alcalinos como $-E_{\text{I}}/(n - \delta_l)^2$ e extraia os “defeitos quânticos” $\delta_s$ e $\delta_p$ do sódio.

**Solução de Exercício 11.8.**

(a) O $3s$: seu lóbulo mais interno mergulha dentro do caroço, onde o $+11$ nuclear é mal blindado. (b) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ bate quase exatamente com o $3d$: o $3d$ orbita fora do caroço e vê um $+1$ líquido; o $3s$ (e em parte o $3p$) prova o potencial profundo e afunda. (c) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — o amarelo de sódio dos postes de rua. (d) $n_{\text{eff}} =
\sqrt{13.6/|E|}$: $1.63$ e $2.11$, logo $\delta_s = 1.37$ e $\delta_p = 0.89$.

**Exercício 11.9 ★★.**

Um próton numa nebulosa captura um elétron em $n = 100$. (a) Quanta energia é liberada no fóton de captura, se o elétron chegou quase livre? (b) O átomo desce em cascata, preferencialmente por passos $\Delta n = 1$ em $n$ alto: em que faixa caem esses fótons? (c) O último passo da cascata é a Lyman $\alpha$; a luz visível das nebulosas é dominada pela H$\alpha$: identifique que passo da cascata é esse. (d) Explique por que as nebulosas de emissão brilham em *vermelho*, embora a linha mais forte do hidrogênio (a Lyman $\alpha$) seja ultravioleta.

**Solução de Exercício 11.9.**

(a) Aproximadamente a ligação de $n = 100$, $\sim1.4\,\mathrm{meV}$, mais a pequena energia térmica do elétron: um fóton de infravermelho distante ou de rádio. (b) Os passos $\Delta n = 1$ perto de $n \approx 100$ caem na faixa de rádio dos GHz — as linhas de recombinação. (c) A H$\alpha$ é o passo $3 \to
2$, perto do fim da cascata. (d) A Lyman $\alpha$, embora a mais forte, é ultravioleta e, numa nebulosa cheia de hidrogênio no estado fundamental, é espalhada de forma ressonante e fica aprisionada; a H$\alpha$ escapa livremente e pinta a nebulosa de vermelho.

**Exercício 11.10 ★★★.**

Médias e o virial. Para o estado fundamental, calcule (a) $\langle 1/r\rangle$ e verifique $\langle E_p\rangle = -2E_{\text{I}}
= 2E_1$; (b) $\langle E_k\rangle = +E_{\text{I}}$, confirmando a razão do virial do [Exercício 2.4](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4); (c) a velocidade quadrática média do elétron e $v/c$; (d) a ordem de grandeza do campo magnético que o *próton* sente por causa do movimento do elétron (uma espira de corrente $ev/2\pi a_0$ vista à distância $a_0$) — um número de que a estrutura hiperfina precisará.

**Solução de Exercício 11.10.**

(a) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$: $\langle E_p\rangle = -k/a_0 =
-27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$. (b) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle
E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$: a razão do virial $-\tfrac12$ de toda órbita em $1/r$. (c) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c =
2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$ circulando a $53\,\mathrm{pm}$: $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx
12\,\mathrm{T}$ — o enorme campo interno de que a estrutura hiperfina vai se alimentar.

**Exercício 11.11 ★★★.**

Quão fina é a estrutura fina. (a) Mostre que a escala de velocidade do estado fundamental é $\langle v^2\rangle^{1/2}/c = \alpha \approx 1/137$ e que, para um hidrogenoide de $Z$, ela vale $Z\alpha/n$. (b) As correções relativísticas entram em ordem relativa $(v/c)^2$: estime a escala de estrutura fina $\alpha^2E_{\text{I}}$ em meV e a ordem do desdobramento para $n = 2$ em GHz. (c) Para o urânio hidrogenoide ($Z = 92$): $v/c$ em $n = 1$ — o tratamento não relativístico se sustenta? (d) O que a divergência formal em $Z\alpha \to 1$ ($Z \approx 137$) anuncia fisicamente?

**Solução de Exercício 11.11.**

(a) Do [Exercício 11.10](#exo-b3-hydrogen-atom-10)(c), $v/c = \alpha$; reescalando: $Z\alpha/n$. (b) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$; em $n = 2$ os desdobramentos saem em dezenas de $\text{µ}\mathrm{eV}$ — uns $10\,\mathrm{GHz}$, mensuráveis por rádio (e medidos). (c) $Z\alpha =
0.67$: dois terços da velocidade da luz — o tratamento de Schrödinger falha; a equação de Dirac assume. (d) Em $Z\alpha \to 1$, a energia do estado fundamental mergulha formalmente abaixo de $-2m_{\text{e}}c^2$: o próprio vácuo faria brotar pares elétron–pósitron — campos supercríticos, buscados em colisões de íons pesados.

**Exercício 11.12 ★★★.**

A degenerescência desarrazoada. (a) Na mecânica clássica, mostre que, para $V = -k/r$, a órbita se fecha (sem precessão), citando o vetor conservado de Laplace–Runge–Lenz $\vect A = \vect p\wedge\vect
L - mk\,\vect e_r$ — verifique $\dd\vect A/\dd t = 0$ usando a lei de Newton. (b) Argumente: um vetor conservado que fixa o eixo da elipse é uma simetria a mais, além das rotações — e simetria a mais significa degenerescência a mais (lembre o [Exercício 8.9](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#exo-b3-quantum-formalism-9)). (c) Acrescente uma pequena correção em $1/r^2$ ao potencial e mostre que a elipse precessa: o eixo gira e $\vect A$ deixa de se conservar. (d) Conecte: nos átomos de vários elétrons, o potencial efetivo não é $1/r$ puro, e a degenerescência em $l$ se quebra (o sódio!); no próprio hidrogênio, é a relatividade que fornece a pequena correção — que característica observada do [Exercício 11.11](#exo-b3-hydrogen-atom-11) é essa?

**Solução de Exercício 11.12.**

(a) Derive: $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect
r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$; expandir o duplo produto vetorial dá exatamente $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$: $\dot{\vect A} =
\vect 0$. (b) Um eixo conservado é uma simetria além da isotropia; a degenerescência é rotulagem incompleta, e o rótulo extra (a prima quântica de $\vect
A$) conecta os $l$ dentro de um mesmo $n$. (c) Com $V = -k/r + \epsilon/r^2$, o momento angular efetivo se desloca, o período angular deixa de casar com o radial, e o eixo da elipse gira a uma taxa $\propto\epsilon$. (d) As correções da relatividade fazem o papel de $\epsilon$ no próprio hidrogênio: a estrutura fina do [Exercício 11.11](#exo-b3-hydrogen-atom-11) é precisamente a quebra da degenerescência em $l$.

## 11.5 Problema: Átomos gigantes

**Problema 11.1.**

Problema de fim de semana — átomos de Rydberg, do brilho de rádio da Galáxia aos computadores quânticos

Estique o hidrogênio até $n \approx 100$ e ele se torna um objeto de outra espécie: micrômetros de diâmetro, ligado por milielétron-volts, absurdamente sensível — e absurdamente útil. Este problema amplia a solução do hidrogênio, primeiro até as nuvens interestelares que transmitem em comprimentos de onda centimétricos, depois até os arranjos de laboratório em que tais gigantes se emaranham uns nos outros e formam processadores. Dados: $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$, $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$, $R_{\text{H}}c = 3.29 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, e o $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ vale $25.9\,\mathrm{meV}$.

**Parte I — As leis de escala.**

1. Dê as quatro escalas básicas com $n$ : o tamanho $\langle  r\rangle$ , a ligação $|E_n|$ , o espaçamento $E_{n+1} - E_n$ (para $n$ grande) e a frequência orbital clássica da órbita de Bohr correspondente.
2. Mostre que, para $n$ grande, a frequência de transição $n+1 \to  n$ se aproxima de $2R_{\text{H}}c/n^3$ e verifique que ela é igual à frequência orbital clássica (o princípio da correspondência do [Problema 2.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1) , completado).
3. Avalie o tamanho e a ligação em $n = 50$ e $n = 100$ .
4. O dipolo elétrico de um átomo de Rydberg escala como $n^2ea_0$ : avalie-o em $n = 50$ , em debyes ( $1\,\text{D} =  3.34 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ), e compare com os $1.85\,\mathrm{D}$ de uma molécula de água.
5. Estime o campo elétrico que despedaça o átomo de $n = 50$ , como $F \sim |E_n|/(e\,\langle r\rangle)$ , em V/cm.
6. Por que átomos assim não sobrevivem à química ordinária do vácuo de laboratório — e, no entanto, sobrevivem muito bem no espaço interestelar (compare as taxas de colisão)?

**Parte II — As linhas de recombinação da Galáxia.** Nas nebulosas ionizadas, os prótons capturam elétrons em $n$ alto; a cascata irradia um pente de “linhas de recombinação de rádio”.

7. Calcule a frequência da transição $n = 110 \to 109$ (chamada H109 $\alpha$ ).
8. Em que faixa ela cai, e que tipo de telescópio a recebe?
9. Calcule o comprimento de onda da H109 $\alpha$ e compare-o com o tamanho do átomo emissor: quantos átomos cabem num comprimento de onda?
10. Essas linhas medem a temperatura da nebulosa por sua largura Doppler: a $T = 10^{4}\,\mathrm{K}$ , a velocidade térmica do hidrogênio é $\sim12.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — calcule a largura relativa de linha $\Delta\nu/\nu$ e a largura da H109 $\alpha$ em kHz.
11. As ondas de rádio atravessam a poeira que enegrece o céu óptico: o que isso permite mapear aos astrônomos de linhas de recombinação que os astrônomos das linhas de Balmer não conseguem?
12. Acima de mais ou menos $n \sim 1000$ (átomos de $0.05$ milímetro de diâmetro!), os níveis se borram num contínuo mesmo no espaço: nomeie dois efeitos que alargam ou destroem tais estados.

**Parte III — Gigantes no laboratório.**

13. Lasers levam átomos de rubídio a $n \approx 70$ em arranjos de pinças ópticas espaçadas de micrômetros. Dois átomos desses, à distância $R$ um do outro, interagem por seus dipolos induzidos (lembre o [Exercício 9.10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/9-o-oscilador-harmonico-quantico#exo-b3-harmonic-oscillator-10) ): com dipolo $\propto n^2$ , mostre que a intensidade de van der Waals escala com um colossal $n^{11}$ (use $C_6 \propto d^4/\Delta E$ com espaçamento de níveis $\Delta E \propto n^{-3}$ ).
14. O “bloqueio”: dentro de um raio $R_{\text{b}}$ , a interação desloca o estado duplamente excitado para fora da ressonância do laser, de modo que *dois* átomos não podem ser excitados ao mesmo tempo. Explique numa frase por que isso realiza uma porta de dois qubits.
15. Os raios de bloqueio chegam a vários micrômetros — milhares de vezes o tamanho dos átomos no estado fundamental: por que esse longo alcance (compare com o alcance nanométrico da química) é exatamente o que um processador escalável quer?
16. Um estado de Rydberg em $n = 70$ vive $\sim100\,\text{µ}\mathrm{s}$ , enquanto uma porta leva $\sim0.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ : quantas operações cabem, grosso modo, numa vida média, e por que essa razão, e não a vida média sozinha, é o que importa?
17. A radiação de corpo negro à temperatura ambiente, com pico perto de $100\,\mathrm{meV}$ mas rica numa cauda de baixa energia, provoca transições entre níveis de Rydberg vizinhos separados por apenas $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : por que os experimentos de precisão precisam encerrar os átomos em blindagens frias?
18. Estime quantas transições dipolares do tipo antena ( $\propto n^2$ ) um banho de fótons a $300\,\mathrm{K}$ provoca por segundo, em comparação com um átomo de $n = 1$ : que lei de escala faz dos átomos de Rydberg *sensores* primorosos de campos de micro-ondas e de terahertz?

**Parte IV — O quadro geral.**

19. Uma fórmula, $E_n = -E_{\text{I}}\mu Z^2/m_{\text{e}}n^2$ , abrange quantas ordens de grandeza de energia de ligação, do urânio hidrogenoide ( $Z = 92$ , $n = 1$ ) até um estado de Rydberg com $n = 1000$ ? Calcule os dois extremos.
20. As vidas médias radiativas dos estados de $l$ baixo escalam como $n^3$ : a partir da vida média de $1.6\,\mathrm{ns}$ do $2p$ , estime a vida média de um estado $100p$ — e compare com o problema do corpo negro à temperatura ambiente da Parte III.
21. No CERN, anti-átomos de anti-hidrogênio já têm o intervalo $1s \to 2s$ medido com quinze algarismos: que simetria fundamental a concordância com o hidrogênio comum testa, e por que o hidrogênio é o átomo certo para essa comparação?
22. Em $n \sim 100$ , a onda de de Broglie do elétron envolve uma órbita quase clássica; em $n = 1$ não existe órbita alguma: numa frase, onde a imagem clássica se acende?
23. As constantes de Rydberg são medidas com quinze algarismos: por que o hidrogênio, entre todos os sistemas, é a âncora natural de precisão da física atômica?
24. O Prêmio Nobel de 2012 (Haroche) usou átomos de Rydberg como contadores de fótons que não destroem o fóton: que duas propriedades das Partes I e III fazem deles sondas ideais, não demolidoras, de campos de micro-ondas?
25. Resuma o resultado central: as leis de escala $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ e $n^{11}$ de um único átomo resolvido exatamente esticam o hidrogênio de $52.9\,\mathrm{pm}$ a meio micrômetro, afinam sua voz de $121.6\,\mathrm{nm}$ a $6\,\mathrm{cm}$ e o transformam ao mesmo tempo no farol de rádio da Galáxia e na porta de dois qubits dos computadores quânticos de átomos neutros.

**Solução de Problema 11.1.**

**1.** $\langle r\rangle \sim n^2a_0$; $|E_n| =
E_{\text{I}}/n^2$; espaçamento $\approx 2E_{\text{I}}/n^3$; frequência orbital $\propto 1/n^3$ (Kepler na órbita de Bohr). **2.** $E_{n+1} - E_n \to 2E_{\text{I}}/n^3$, e $h$ vezes a frequência clássica $v_n/2\pi r_n$ dá a mesma expressão (o cálculo do [Problema 2.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1), item 20). **3.** $n = 50$: $132\,\mathrm{nm}$, $5.4\,\mathrm{meV}$; $n = 100$: $0.53\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.4\,\mathrm{meV}$. **4.** $n^2ea_0 = 2.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 6300\,\text{D}$: o dipolo de três mil moléculas de água num só átomo. **5.** $F \sim 5.4 \times 10^{-3}/1.32 \times 10^{-7} \approx
4 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} = 400\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$; o limiar exato de ionização clássica é cerca de oito vezes menor ($\sim50\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$): de um jeito ou de outro, um sussurro de campo. **6.** Com seções de choque geométricas $\sim\pi n^4a_0^2$, até o vácuo ultra-alto de laboratório faz um átomo desses colidir em microssegundos; as densidades interestelares ($\sim10^{6}$ partículas por $\mathrm{m}^{3}$) lhe dão dias — o espaço é a melhor câmara de vácuo. **7.** $\nu = R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) =
5.01\,\mathrm{GHz}$. **8.** Rádio centimétrico: um radiotelescópio — uma antena grande e um receptor silencioso. **9.** $\lambda = 6.0\,\mathrm{cm}$; o átomo de $n = 110$ tem $\sim0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: cem mil átomos por comprimento de onda — confortavelmente um regime de “antena”. **10.** $\Delta\nu/\nu \sim v/c = 4.3 \times 10^{-5}$: cerca de $200\,\mathrm{kHz}$ sobre $5\,\mathrm{GHz}$ — e a largura medida devolve a temperatura nebular. **11.** A Galáxia interna ionizada: regiões HII escondidas atrás da poeira que extingue todo fóton de Balmer — as linhas de recombinação de rádio mapearam a estrutura espiral que a astronomia óptica não conseguia ver. **12.** Os microcampos elétricos dos íons vizinhos (alargamento Stark) borram os níveis, e a radiação de corpo negro e cósmica, mais as colisões, ionizam ou misturam em $l$ os frágeis estados. **13.** $C_6 \sim d^4/\Delta E \propto (n^2)^4/n^{-3} =
n^{11}$: eleve $n$ de $1$ a $70$ e a interação cresce vinte ordens de grandeza. **14.** Dentro de $R_{\text{b}}$ o estado do par sai da ressonância, de modo que a excitação de um átomo *condiciona* a resposta do vizinho: exatamente a lógica controlada de que uma porta de dois qubits precisa. **15.** Interações de alcance micrométrico deixam cada átomo em sua própria pinça endereçável, muito afastados pelos padrões atômicos e ainda assim fortemente acoplados — alcance de interação casado com a resolução óptica. **16.** $\sim 200$ portas por vida média: a razão limita a fidelidade alcançável, e é a razão, e não os microssegundos brutos, o que sustenta um processador. **17.** A $300\,\mathrm{K}$ o banho de fótons é denso perto de $\sim0.1\,\mathrm{meV}$: ele embaralha e ioniza os níveis de Rydberg dentro das vidas médias radiativas deles; blindagens frias ($4\,\mathrm{K}$) matam essas transições de fome. **18.** As taxas de transição escalam como $d^2 \propto n^4$: em $n =
50$, seis milhões de vezes o acoplamento de um átomo comum — e é por isso que uma célula de vapor de átomos de Rydberg é hoje um sensor calibrado de campos de micro-ondas e de terahertz. **19.** De $92^2 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 115\,\mathrm{keV}$ até $13.6/10^6\,\mathrm{eV} = 13.6\,\text{µ}\mathrm{eV}$: dez ordens de grandeza a partir de uma só fórmula. **20.** A classicalidade desponta onde o espaçamento se torna uma fração evanescente da energia, $n \gg 1$ — o limite de correspondência do próprio átomo. **21.** É o único átomo calculável a partir de princípios primeiros até a precisão do experimento: qualquer discrepância é descoberta, e por isso o hidrogênio ancora as constantes fundamentais. **22.** $\tau \approx 1.6\,\mathrm{ns} \times 50^3 =
0.2\,\mathrm{ms}$ — generoso, mas a redistribuição por corpo negro (Parte III) o corrói, outra razão para as blindagens frias. **23.** A simetria CPT — os átomos de matéria e de antimatéria precisam coincidir linha a linha; o hidrogênio é a âncora porque só nele a teoria alcança o décimo quinto algarismo ao lado do experimento. **24.** O dipolo $n^2$ faz o átomo sentir o campo de um único fóton de micro-ondas, ao passo que sua vida longa e sua estrutura de níveis lhe permitem adquirir uma fase mensurável *sem* absorver o fóton: sensoriamento quântico não demolidor. **25.** As leis de escala $n^2$, $n^{-2}$, $n^{-3}$, $n^{11}$ esticam o único átomo resolvido de $52.9\,\mathrm{pm}$ a meio micrômetro e de $121.6\,\mathrm{nm}$ a $6\,\mathrm{cm}$ — a mesma solução de Schrödinger transmitindo das regiões HII da Galáxia e cronometrando portas de dois qubits em arranjos de pinças.