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title: "Mecânica hamiltoniana"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana
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# Capítulo 2 — Mecânica hamiltoniana

Fotografe um pêndulo mil vezes e marque, para cada foto, seu ângulo contra seu momento angular: os pontos caem sobre uma curva fechada, e todo movimento possível do pêndulo é uma curva dessas — [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) em ovais encaixados, voltas completas em linhas onduladas acima e abaixo e, entre elas, uma única curva cruzada que separa os dois regimes. Essa imagem, o *[retrato de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait)*, é o coração da reformulação que Hamilton deu à mecânica em 1833: o estado de um sistema é um ponto no espaço das coordenadas *e* dos momentos, sua evolução é um escoamento nesse espaço, e o escoamento é gerado por uma única função, a energia, por meio de duas equações de primeira ordem belamente simétricas. A recompensa não são cálculos mais fáceis — nisso Lagrange costuma vencer — mas a *geometria* certa: o escoamento conserva o volume do [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), o que fundará a física estatística; e seu esqueleto algébrico, o [colchete de Poisson](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson), é exatamente o que a mecânica quântica promoverá a comutador. Este capítulo é a dobradiça entre a mecânica das coisas e a física do século XX.

## 2.1 De Lagrange a Hamilton

**Definição 2.1 (Hamiltoniana e equações canônicas).**

Para um sistema de [lagrangiana](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $L(q, \dot q, t)$, exprima as velocidades em função dos momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ e defina a *hamiltoniana* como a transformada de Legendre

$$
H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,
$$

uma função das coordenadas e dos *momentos*. O espaço de dimensão $2n$ dos $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ é o *espaço de fases*; um só ponto dele — um *estado* — determina todo o futuro e todo o passado do sistema pelas *equações canônicas* da [Teorema 2.2](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-canonical).

**Teorema 2.2 (Equações de Hamilton).**

As [equações de Euler–Lagrange](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) são equivalentes às $2n$ equações de primeira ordem

$$
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .
$$

**Demonstração.** Derive $H = \sum p_i\dot q_i - L$ como função de $(q, p, t)$: $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum(
\partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. Os termos em $\dd\dot q_i$ se cancelam pela definição de $p_i$ — o objetivo mesmo da transformada de Legendre — restando $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. Lendo as derivadas parciais: $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ e $\partial H/\partial q_i =
-\partial L/\partial q_i$, que por Euler–Lagrange vale $-\dot p_i$. (Também $\partial_tH = -\partial_tL$.) ∎

**Proposição 2.3 (O que é HHH).**

$H$ coincide com a [função energia](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ do capítulo anterior: ao longo de um movimento, $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$, de modo que $H$ se conserva sempre que não depende explicitamente do tempo; e quando a energia cinética é quadrática nas velocidades com [vínculos](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) independentes do tempo, $H = E_k + E_p$, a energia mecânica — agora escrita nas variáveis $(q, p)$.

**Demonstração.** $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot
p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H -
\partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$: a simetria das [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) faz a soma cancelar-se identicamente. A identificação com $E_k + E_p$ é a [Proposição 1.14](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy). ∎

**Exemplo 2.4 (Duas hamiltonianas).**

Massa numa mola: $p = m\dot x$, logo

$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;
$$

as [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$ são o par familiar. Pêndulo: $p = m\ell^2\dot\theta$ e

$$
H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .
$$

Nos dois casos $H$ é a energia, constante em cada movimento: os movimentos *são* as curvas de nível de $H$ no plano $(q,p)$.

**Método 2.5 (A receita hamiltoniana).**

(1) A partir de $L$, calcule os momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ e inverta para obter os $\dot q_i$. (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$, expressa apenas em $(q, p)$ — para um sistema natural, simplesmente $E_k + E_p$ com $E_k$ reescrita nos momentos. (3) Escreva as [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (4) Trace as curvas de nível de $H$: para um grau de liberdade elas são as trajetórias, e todo o movimento qualitativo — oscilações, rotações, equilíbrios, [separatrizes](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) — se lê sem resolver nada.

## 2.2 O espaço de fases

**Definição 2.6 (Retrato de fases, pontos fixos, separatriz).**

O *retrato de fases* de um sistema é a família de suas trajetórias no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Um *ponto fixo* é um estado em que as duas [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) se anulam — um equilíbrio: um mínimo do potencial aparece como um *centro* cercado de curvas fechadas, e um máximo como uma *sela* pela qual passa uma *separatriz*, a trajetória que divide o [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) em regiões de movimento qualitativamente diferente.

**Exemplo 2.7 (O retrato de fases do pêndulo).**

Para $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$: ovais fechados em torno de $(0, 0)$ — as *librações*, as oscilações comuns; curvas onduladas com $|p|$ grande — as *rotações*, o pêndulo dando voltas por cima; e, pelas selas em $\theta = \pm\pi$, a [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), de energia $E = +mg\ell$, sobre a qual o pêndulo leva um tempo infinito para chegar ao topo. Um estado sobre a [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) é a oscilação lançada *exatamente* com o vigor necessário para chegar à posição invertida sem nada de sobra.

![O retrato de fases do pêndulo: as curvas de nível de H. Os ovais fechados (oscilações) circulam no sentido horário em torno do centro; acima e abaixo da separatriz, o pêndulo gira. As selas em ± 180 são o equilíbrio invertido.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-ace84ae31f7a.svg)

*O [retrato de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) do pêndulo: as curvas de nível de $H$. Os ovais fechados (oscilações) circulam no sentido horário em torno do centro; acima e abaixo da [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait), o pêndulo gira. As selas em $\pm 180^\circ$ são o equilíbrio invertido.*

**Teorema 2.8 (Teorema de Liouville).**

O escoamento hamiltoniano preserva o volume do [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): se uma região de estados iniciais é arrastada pelas [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), seu volume (sua área, para um grau de liberdade) nunca muda — por mais que sua forma se deforme.

**Demonstração.** O escoamento no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) tem campo de velocidades $(\dot q_i, \dot p_i) =
(\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$. Sua divergência é

$$
\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i}
 + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big)
 = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}
 - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :
$$

o escoamento é incompressível, e um escoamento incompressível transporta volumes sem alterá-los, como para os fluidos do volume do segundo ano. (A passagem formal da divergência nula ao volume conservado é o teorema de transporte demonstrado lá.) ∎

**Observação 2.9 (Por que Liouville importa).**

Nada na formulação de Newton sugere que algo seja incompressível. Na imagem [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) isso é automático — e é a licença para a física estatística: quando descrevemos um gás de $10^{23}$ moléculas por uma nuvem de pontos no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), o teorema de Liouville diz que a nuvem escoa como um fluido incompressível, de modo que o “número de estados num volume do [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)” é uma grandeza que a própria dinâmica não pode criar nem destruir. O postulado microcanônico da física estatística, mais adiante neste volume, apoia-se exatamente nisso.

![O teorema de Liouville: o escoamento deforma uma região de estados iniciais — cisalhando-a, girando-a — mas sua área se conserva exatamente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-4c6d71b29b5a.svg)

*O teorema de Liouville: o escoamento deforma uma região de estados iniciais — cisalhando-a, girando-a — mas sua área se conserva exatamente.*

## 2.3 Colchetes de Poisson

**Definição 2.10 (Colchete de Poisson).**

O *colchete de Poisson* de duas funções $f(q, p, t)$ e $g(q, p, t)$ no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) é

$$
\{f, g\} = \sum_i\Big(
 \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .
$$

Ele é antissimétrico, linear em cada argumento, obedece à regra do produto $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ e satisfaz, para as próprias coordenadas, as *relações canônicas*

$$
\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad
\{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .
$$

**Teorema 2.11 (A evolução como colchete).**

Ao longo de qualquer movimento,

$$
\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .
$$

Em particular, uma grandeza sem dependência explícita do tempo se conserva se e somente se seu colchete com a [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) se anula; e as próprias [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) são $\dot q_i = \{q_i, H\}$, $\dot p_i
= \{p_i, H\}$: a [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) *gera* a evolução temporal.

**Demonstração.** Regra da cadeia mais as [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): $\dd f/\dd t = \sum(
\partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf =
\sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\,
\partial_{q_i}H) + \partial_tf$. ∎

**Exemplo 2.12 (Colchetes do momento angular).**

Para uma partícula, $L_z = xp_y - yp_x$ e suas companheiras cíclicas. Um cálculo direto a partir das relações canônicas dá

$$
\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad
\{L_y, L_z\} = L_x , \qquad
\{L_z, L_x\} = L_y ,
$$

e $\{L^2, L_z\} = 0$: as componentes do momento angular não “comutam” entre si, mas cada uma comuta com o quadrado total. Guarde a forma dessas relações — elas voltarão, literalmente, como comutadores na mecânica quântica, onde ditam tudo a respeito da estrutura atômica.

**Observação 2.13 (A porta de entrada da mecânica quântica).**

Dirac observou em 1925 que toda a mecânica quântica se obtém mantendo a álgebra da mecânica [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) e substituindo o [colchete de Poisson](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) pelo comutador de operadores dividido por $\iu\hbar$: $\{q, p\} = 1$ torna-se $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$, a conservação continua a ser “o colchete com $H$ se anula” e a evolução temporal continua a ser gerada pela [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). A teoria clássica carrega, em seus ossos, o esqueleto da quântica; os capítulos sobre mecânica quântica tornarão essa correspondência explícita.

## 2.4 Ação e invariantes adiabáticos

**Definição 2.14 (Variável de ação).**

Para um sistema de um grau de liberdade que oscila sobre uma trajetória de fase fechada, a *variável de [ação](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-action)* é a área delimitada dividida por $2\pi$:

$$
I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .
$$

**Proposição 2.15 (Ação do oscilador harmônico).**

Para $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ à energia $E$, a trajetória é uma elipse de semieixos $\sqrt{2E/m\omega^2}$ e $\sqrt{2mE}$, que delimita a área $2\pi E/\omega$: portanto

$$
I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,
$$

e a frequência de oscilação é $\partial E/\partial I = \omega$, como deve ser.

**Demonstração.** Área de uma elipse, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} =
2\pi E/\omega$. ∎

**Proposição 2.16 (Invariância adiabática).**

Se um parâmetro do sistema (um comprimento, uma constante elástica, um campo) varia *lentamente* — ao longo de muitos períodos de oscilação — a energia muda, a frequência muda, mas a [ação](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ permanece constante com excelente aproximação: $I$ é um *[invariante adiabático](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)*. Para o oscilador lentamente modificado, $E/\omega$ se conserva: enrijeça a mola devagar até dobrar $\omega$ e a energia dobra junto.

**Demonstração parcial.** Para o oscilador com $\omega(t)$ lentamente variável: ao longo de um período, o trabalho realizado pelo parâmetro em mudança pode ser calculado por média; o cálculo (guiado no [Exercício 2.11](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-11)) dá $\dot E/E = \dot\omega/\omega$, isto é, $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ em ordem dominante. O enunciado geral, para qualquer sistema oscilante lentamente deformado, é admitido — é a razão pela qual as órbitas planetárias sobrevivem a perturbações lentas, e o ponto de partida da “velha teoria quântica” adiante. ∎

![Invariância adiabática. À esquerda: quando é lentamente dobrada, a elipse de fase muda de forma a área constante, e por isso E = I dobra. À direita: içar o fio de um pêndulo que oscila injeta energia na oscilação exatamente na proporção que mantém I = E/ fixo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-081db560e4b0.svg)

*Invariância adiabática. À esquerda: quando $\omega$ é lentamente dobrada, a elipse de fase muda de forma a área constante, e por isso $E = \omega I$ dobra. À direita: içar o fio de um pêndulo que oscila injeta energia na oscilação exatamente na proporção que mantém $I = E/\omega$ fixo.*

**Observação 2.17 (A velha teoria quântica).**

Por que os átomos têm energias discretas? A primeira resposta quantitativa (Bohr, 1913; Sommerfeld, 1915) foi escrita na linguagem deste capítulo: entre todos os movimentos clássicos, a natureza guarda aqueles cuja integral de [ação](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-action) vale um número inteiro de constantes de Planck,

$$
\oint p\,\dd q = nh .
$$

Aplicada ao oscilador harmônico, ela dá $E_n = n\hbar\omega$ (faltando apenas a metade do verdadeiro $\big(n + \tfrac12\big)\hbar
\omega$); aplicada a uma partícula numa caixa, dá *exatamente* os níveis do volume do segundo ano; aplicada ao átomo de hidrogênio ([Problema 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1)), dá o espectro medido com quatro algarismos. A regra era quantitativamente certa e conceitualmente provisória — e, como a [ação](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-action) é um [invariante adiabático](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic), o número quântico $n$ não muda sob perturbações lentas, e é por isso que uma regra assim podia funcionar. A verdadeira teoria começa cinco capítulos adiante.

![Um pêndulo fotografado com luz estroboscópica: as posições se aglomeram perto dos pontos de retorno, onde a massa se demora, e se espalham no fundo, onde ela se apressa — uma fotografia do retrato no espaço de fases que este capítulo desenha com equações.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/img-7e511e05d49a.jpg)

*Um pêndulo fotografado com luz estroboscópica: as posições se aglomeram perto dos pontos de retorno, onde a massa se demora, e se espalham no fundo, onde ela se apressa — uma fotografia do retrato no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) que este capítulo desenha com equações.*

## 2.5 Exercícios

**Exercício 2.1 ★.**

Para a massa na mola: (a) construa $H$ a partir de $L$ e verifique $H =
E_k + E_p$; (b) escreva as [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) e verifique que reproduzem $\ddot x = -\omega^2x$; (c) mostre que as trajetórias são elipses no plano $(x, p)$ e dê seus semieixos à energia $E$; (d) em que sentido o ponto representativo se move no sentido horário?

**Solução de Exercício 2.1.**

(a) $p = m\dot x$, $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k +
E_p$. (b) $\dot x = p/m$, $\dot p = -kx$, logo $\ddot x = -(k/m)x$. (c) $H = E$ é a elipse $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$: semieixos $\sqrt{2E/k}$ e $\sqrt{2mE}$. (d) No ponto mais à direita ($x > 0$, $p = 0$), $\dot p = -kx < 0$: o ponto desce — no sentido horário, sempre.

**Exercício 2.2 ★.**

A conta no aro que gira do capítulo anterior tem $L =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta +
mgR\cos\theta$. (a) Calcule $p$ e $H$. (b) $H$ se conserva? É a energia mecânica? (c) Esboce as curvas de nível de $H$ para $\omega^2 < g/R$ e $\omega^2 > g/R$, usando a [energia potencial efetiva](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#ex-b3-lagrangian-mechanics-hoop) daquele capítulo. (d) Identifique os centros, as selas e as [separatrizes](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) no caso rápido.

**Solução de Exercício 2.2.**

(a) $p = mR^2\dot\theta$; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2
\sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{eff}}(\theta)$. (b) Conserva-se ($H$ não tem $t$ explícito), mas é $h$, e não a energia mecânica: falta-lhe o trabalho do motor. (c) As curvas de nível são $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{eff}})}$: para rotação lenta, ovais em torno de $(0, 0)$ e uma [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) pela sela em $\theta = \pi$; para rotação rápida, duas famílias de ovais em torno de $(\pm\theta_{\text{eq}}, 0)$. (d) Caso rápido: centros em $\pm\theta_{\text{eq}}$; selas em $\theta = 0$ *e* $\theta =
\pi$; por $\theta = 0$ passa uma [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) em forma de oito que envolve os dois centros (as [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) saltam o fundo), e por $\pi$ passa a [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) externa, além da qual a conta circula por cima.

**Exercício 2.3 ★.**

Uma bola quica elasticamente no chão, $H = p^2/2m + mgz$ ($z >
0$). (a) Desenhe a trajetória de fase de um voo e a do movimento completo de quiques. (b) O que o quique elástico faz ao ponto representativo? (c) Calcule a área delimitada para uma altura máxima $z_{\max}$ e a [ação](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$. (d) A regra de Bohr–Sommerfeld $\oint p\,\dd z = nh$ aplicada a um nêutron que quica ($m =
1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) dá alturas de quique quantizadas: estime a mais baixa e compare com os $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ medidos no experimento de estados quânticos gravitacionais de 2002.

**Solução de Exercício 2.3.**

(a) Um voo é o arco $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — uma parábola deitada, percorrida de $(0, +p_0)$ até $(z_{\max}, 0)$ e de volta a $(0, -p_0)$. (b) O quique leva $(0, -p_0)$ a $(0, +p_0)$: um segmento vertical que fecha o laço. (c) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z =
\tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$, e $I$ é isso dividido por $2\pi$. (d) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$: para um nêutron, $z_1 =
(6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — a ordem certa: o experimento de Grenoble encontrou o estado quântico gravitacional mais baixo perto de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (o tratamento exato, com as verdadeiras funções de onda, dá $14\,\text{µ}\mathrm{m}$).

**Exercício 2.4 ★.**

Só a partir das relações canônicas, calcule (a) $\{x^2, p\}$; (b) $\{xp, H\}$ para $H = p^2/2m + E_p(x)$, e interprete os dois termos (esse colchete conduz ao *teorema do virial*); (c) $\{L_z, x\}$ e $\{L_z, p_x\}$; (d) mostre que, se $\{f, H\} = 0$ e $\{g, H\} = 0$, então $\{f, g\}$ também se conserva (use a identidade de Jacobi, admitida: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$).

**Solução de Exercício 2.4.**

(a) $\{x^2, p\} = 2x$. (b) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k -
x\,E_p'$: num movimento ligado, a média temporal de $\dd(xp)/\dd t$ se anula, de modo que $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — o teorema do virial (para $E_p \propto x^2$: $\langle E_k\rangle = \langle
E_p\rangle$; para $\propto -1/r$: $2\langle E_k\rangle = -\langle
E_p\rangle$). (c) $\{L_z, x\} = y$, $\{L_z, p_x\} = p_y$: $L_z$ gera rotações tanto das posições quanto dos momentos. (d) Jacobi com $h
= H$: $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$.

**Exercício 2.5 ★★.**

O pêndulo perto de sua [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait). (a) Dê a energia da [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) e o $|p|$ máximo sobre ela. (b) Mostre que sobre a [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) $p =
\pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ com $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$. (c) Usando $\dot\theta = p/m\ell^2$, mostre que o tempo para ir de $\theta$ até o topo diverge logaritmicamente. (d) Um pêndulo real solto logo abaixo da [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) fica um longo instante perto da posição invertida antes de voltar — relacione isso a (c) e à lentidão observada perto de toda sela.

**Solução de Exercício 2.5.**

(a) $E_{\text{sep}} = mg\ell$ (a energia da posição de repouso invertida); $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ máximo no fundo. (b) De $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$. (c) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ se separa: $\omega_0t =
\ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$, que diverge quando $\theta \to \pi$: o topo é aproximado, mas nunca alcançado. (d) Logo abaixo da [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) o movimento a acompanha de perto: o pêndulo rasteja até a vizinhança da sela, demora-se ali — o logaritmo — e por fim cai de volta; toda sela retarda logaritmicamente as trajetórias, e é por isso que uma haste equilibrada quase perfeitamente parece hesitar antes de cair.

**Exercício 2.6 ★★.**

Uma partícula carregada num campo magnético tem $H = (\vect p -
q\vect A)^2/2m$, com $\vect p$ o momento canônico do capítulo anterior. (a) Escreva as [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) para $\vect A = \tfrac12
B(-y, x, 0)$ e verifique que dão o movimento ciclotrônico. (b) Mostre que $H =
\tfrac12 m\vect v^{\,2}$: o campo magnético não realiza trabalho. (c) Calcule o colchete das duas grandezas conservadas $\pi_x = p_x - \tfrac12
qBy$ e $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (verifique antes que cada uma se conserva) e mostre que $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$: duas grandezas conservadas cujo colchete é uma constante. (d) Use o [Exercício 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d) para explicar por que não se devia esperar delas uma terceira grandeza conservada independente.

**Solução de Exercício 2.6.**

(a) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ e $\dot p_x =
-\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect
A$, etc.; eliminando $\vect p$, recupera-se $m\ddot x = qB\dot y$, $m\ddot y = -qB\dot x$. (b) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12
m\vect v^{\,2}$: só energia cinética — constante, pois a força magnética é perpendicular a $\vect v$. (c) Com $m\dot x = p_x +
\tfrac12 qBy$: $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$, cuja conservação é a primeira equação de movimento (idem para $\pi_y$); no colchete só dois termos sobrevivem: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12
qB$ e $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$, total $-qB$. ($\pi_x/qB$ e $\pi_y/qB$ são, a menos de sinais, as coordenadas do centro-guia do círculo.) (d) Pelo [Exercício 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(d), o colchete de duas grandezas conservadas se conserva — aqui é a constante $-qB$, conservada trivialmente e sem nada de novo a ensinar: nenhuma terceira grandeza aparece.

**Exercício 2.7 ★★.**

Liouville, na mão. (a) Para a partícula livre, o escoamento é $q \to q +
pt/m$, $p \to p$: mostre que um retângulo se torna um paralelogramo de mesma área. (b) Para o oscilador harmônico, mostre que o escoamento é uma rotação (em unidades adequadas) e conclua. (c) Para o oscilador *amortecido* $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$, escreva a divergência do escoamento no plano $(x, v)$ e mostre que as áreas encolhem como $\eu^{-\gamma t}$: o amortecimento não é hamiltoniano. (d) Para onde “vai” fisicamente a área perdida?

**Solução de Exercício 2.7.**

(a) A aplicação $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ é um cisalhamento: a base e a altura do retângulo não mudam, e a área tampouco (determinante $1$). (b) Nas variáveis $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ o escoamento é uma rotação rígida à taxa $\omega$; rotações preservam a área, e a mudança de variáveis tem determinante $1$. (c) O campo de velocidades $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ tem divergência $-\gamma$: qualquer área se contrai como $\eu^{-\gamma t}$, espiralando até a origem — impossível para um escoamento hamiltoniano. (d) Para os [graus de liberdade](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) ignorados: as moléculas do ar e os fônons do fio, cujo volume no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) cresce ao menos outro tanto — a semente da segunda lei.

**Exercício 2.8 ★★.**

Movimento plano num potencial central, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m
+ E_p(r)$. (a) Escreva as quatro [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (b) Mostre que $\{
p_\varphi, H\} = 0$ e identifique a lei de conservação. (c) Reduza a uma [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) radial unidimensional com um potencial efetivo. (d) Para $E_p = -k/r$, localize a órbita circular a $p_\varphi$ dado e dê sua energia — a ser quantizada no [Problema 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1).

**Solução de Exercício 2.8.**

(a) $\dot r = p_r/m$, $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$, $\dot p_r =
p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$, $\dot p_\varphi = 0$. (b) $H$ não contém $\varphi$: $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi =
0$; é a conservação do momento angular. (c) $H_{\text{rad}} = p_r^2/2m +
U_{\text{eff}}(r)$ com $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$. (d) $U_{\text{eff}}' = 0$: $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$, e $E =
U_{\text{eff}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$.

**Exercício 2.9 ★★.**

(a) Verifique $\{L_x, L_y\} = L_z$ a partir das relações canônicas. (b) Deduza os outros dois colchetes por permutação cíclica. (c) Mostre que $\{L^2, L_z\} = 0$. (d) Um corpo rígido gira livremente: tomando $H =
L^2/2J$ (inércia de simetria esférica), mostre que os três $L_i$ se conservam; e para um corpo com momentos de inércia desiguais (responda qualitativamente a partir dos colchetes)?

**Solução de Exercício 2.9.**

(a) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$: os únicos colchetes canônicos não nulos dão $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z,
p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$. (b) A renomeação cíclica $x \to y \to z \to
x$ dá os outros dois. (c) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} +
2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$. (d) Para $H = L^2/2J$, cada $\{L_i, H\} = 0$: $\vect L$ fixo. Com $H = \sum L_i^2/2J_i$ e $J_i$ desiguais: $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — só $L^2$ e $H$ sobrevivem, e o corpo cambaleia (o teorema da raquete de tênis do capítulo de corpo rígido do volume do segundo ano vive aqui).

**Exercício 2.10 ★★★.**

Níveis da velha teoria quântica. (a) Mostre que $\oint p\,\dd q = nh$ aplicada ao oscilador harmônico dá $E_n = n\hbar\omega$, usando a [Proposição 2.15](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-sho-action). (b) Aplique-a à partícula numa caixa de comprimento $a$ e recupere exatamente $E_n =
n^2h^2/8ma^2$. (c) Para uma molécula diatômica modelada como oscilador de constante elástica $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ e massa reduzida $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (monóxido de carbono), calcule $\hbar\omega$ em eV e o comprimento de onda da emissão $n = 1 \to 0$; em que faixa espectral ela cai? (d) Os níveis verdadeiros são $(n + \tfrac12)\hbar\omega$: a metade que falta muda os comprimentos de onda *emitidos*? Que experimento detecta essa metade de ponto zero?

**Solução de Exercício 2.10.**

(a) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ dá $E_n =
n\hbar\omega$. (b) Ida e volta a $|p|$ constante: $2pa = nh$, $p =
nh/2a$, $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — exatamente o poço infinito do volume do segundo ano. (c) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$, $\lambda = hc/
\hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: infravermelho médio (a banda fundamental do CO, usada para rastrear o gás no espaço). (d) Não: as diferenças entre níveis não mudam com a metade comum. A energia de ponto zero aparece em comparações que dependem do nível absoluto — deslocamentos isotópicos das energias de dissociação (H$_2$ contra D$_2$) ou vibrações que persistem no zero absoluto em cristais.

**Exercício 2.11 ★★★.**

Invariância adiabática de $E/\omega$, deduzida. Uma massa numa mola cuja constante elástica $k(t)$ cresce lentamente. (a) Mostre que $\dot E = \tfrac12\dot k\,
x^2$ ao longo do movimento exato. (b) Faça a média sobre um período a $k$ fixo: usando $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, mostre que $\langle\dot E\rangle
= \dot k\,E/2k$. (c) Conclua que $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln
\omega$, e portanto que $E/\omega$ é constante. (d) Um pêndulo que oscila com amplitude $\theta_0 = 5^\circ$ tem o fio lentamente encurtado de $1.0\,\mathrm{m}$ a $0.5\,\mathrm{m}$: encontre a nova amplitude e o fator pelo qual sua energia cresceu, e diga de onde veio essa energia.

**Solução de Exercício 2.11.**

(a) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$, logo ao longo de um movimento $\dot E =
\partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$. (b) Ao longo de um período com $k$ essencialmente fixo, $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$, logo $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$. (c) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln
k$; como $\omega = \sqrt{k/m}$, também $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$: $E/\omega$ é invariante. (d) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ cresce por $\sqrt2$, de modo que $E$ cresce por $\sqrt2 \approx 1.41$. Com $E = \tfrac12
mg\ell\theta_0^2$, $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$: $\theta_0' =
5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$. A energia é fornecida por quem puxa o fio: a tração supera $mg\cos\theta$ em média (termo centrífugo), e por isso içar realiza trabalho líquido positivo sobre a oscilação.

**Exercício 2.12 ★★★.**

A área dentro da [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) do pêndulo é um número de estados quânticos. (a) Mostre que $\oint p\,\dd\theta$ em torno da [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) vale $16m\ell^2\omega_0$. (b) Pela regra de Bohr–Sommerfeld, o número de estados quânticos com energia abaixo da [separatriz](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) é $N \approx
16m\ell^2\omega_0/h$: avalie-o para uma massa de um grama num fio de $10\,\mathrm{cm}$. (c) Avalie-o para um oscilador molecular do tipo amônia: $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$, $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (d) Conclua: onde está a fronteira entre a mecânica que precisa de $\hbar$ e a que não precisa?

**Solução de Exercício 2.12.**

(a) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0
\cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2)
\big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$. (b) $\omega_0 =
9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 =
1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, isto é, $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ estados: a granulosidade quântica de um pêndulo de laboratório está trinta ordens de grandeza abaixo de qualquer coisa observável. (c) $16 \times 10^{-26} \times
10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, isto é, $N \approx
240$: uma libração molecular abriga apenas algumas centenas de estados quânticos, e seus níveis baixos são resolvidos um a um por espectroscopia. (d) A fronteira está onde as áreas do movimento no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) valem um múltiplo modesto de $h$: as moléculas e abaixo são quânticas; tudo o que é visível é clássico.

## 2.6 Problema: A velha teoria quântica e o átomo de hidrogênio

**Problema 2.1.**

Problema de fim de semana — quantizar o espaço de fases, pesar a constante de Rydberg

Em 1913 Bohr calculou o espectro do hidrogênio a partir da mecânica planetária mais uma regra quântica; Sommerfeld reconheceu na regra um enunciado sobre a área no [espaço de fases](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Este problema refaz o cálculo deles com as ferramentas deste capítulo. Dados: $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $1/4\pi\varepsilon_0 =
8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Escreva $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$.

**Parte I — A [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) de Kepler.** Um elétron se move no plano em torno de um próton fixo.

1. Justifique tratar o próton como fixo (razão das massas) e escreva a [hamiltoniana](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} +  \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ .
2. Escreva as quatro [equações canônicas](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) .
3. Mostre que $p_\varphi$ se conserva e dê-lhe um nome.
4. Reduza o movimento radial ao potencial efetivo $U_{\text{eff}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ e esboce-o.
5. Localize a órbita circular: $r_{\text{c}} =  p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
6. Mostre que sua energia vale $E = -k/2r_{\text{c}} =  -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ e verifique que é metade da energia potencial (a razão do virial das órbitas gravitacionais do volume do primeiro ano).

**Parte II — A órbita clássica.**

7. Para uma órbita circular de raio $r$ , encontre a velocidade $v$ e a frequência orbital $f_{\text{orb}}$ em função de $r$ .
8. Uma órbita de tamanho atômico, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : calcule $v$ (e $v/c$ ), $f_{\text{orb}}$ e a energia em eV.
9. Calcule o momento angular $p_\varphi$ dessa órbita e compare-o com $\hbar = h/2\pi$ : o que essa proximidade sugere?
10. Classicamente, um elétron em órbita é um dipolo oscilante e irradia (volume do segundo ano) em $f_{\text{orb}}$ ; sua energia decai em cerca de $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ . Enuncie as duas previsões fatais que isso acarreta para os átomos, e o que se observa em lugar delas.
11. Que característica dos espectros observados (linhas discretas, regra de combinação $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) sugeriu *níveis* de energia discretos?
12. Explique por que um *[invariante adiabático](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)* é o candidato natural a grandeza que assume valores universais fixos (lembre-se da [Proposição 2.16](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) ).

**Parte III — A quantização.** Imponha a regra de Sommerfeld ao movimento angular da órbita circular: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$, $n = 1, 2, 3, \dots$

13. Mostre que a regra se lê $p_\varphi = n\hbar$ .
14. Deduza os raios permitidos $r_n = n^2a_0$ com $a_0 =  \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , e calcule $a_0$ .
15. Deduza as energias permitidas $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ com $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , e calcule $E_{\text{I}}$ em joules e em eV.
16. Calcule a velocidade na primeira órbita e verifique que $v_1/c =  k/\hbar c \approx 1/137$ (a constante de estrutura fina).
17. Um fóton carrega a energia de uma transição: deduza a fórmula de Rydberg e o valor de $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ; compare com o valor medido $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
18. Calcule os comprimentos de onda das transições $2 \to 1$ , $3 \to 2$ e $\infty \to 2$ ; qual delas é visível, e de que cor?
19. O íon de hélio ionizado He $^+$ é um hidrogênio de carga nuclear $2e$ : como se escalam $a_0$ e $E_{\text{I}}$ , e onde cai a sua linha $2 \to 1$ ?

**Parte IV — O confronto.**

20. Calcule a frequência orbital $f_{\text{orb}}(n)$ e a frequência de transição $\nu_{n \to n-1}$ para $n = 2$ , $10$ , $100$ , e mostre que a razão entre elas tende a $1$ quando $n$ cresce.
21. Este é o *princípio da correspondência* de Bohr: enuncie-o numa frase.
22. A regra $p_\varphi = n\hbar$ começa em $n = 1$ : que absurdo significaria $n = 0$ para uma órbita circular?
23. A mecânica quântica manterá $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ exatamente, mas descartará as órbitas: nomeie dois fatos mensuráveis que a imagem orbital erra (o valor do momento angular do estado fundamental; a existência de estados com o mesmo $n$ e formas diferentes).
24. O múon é um elétron $207$ vezes mais pesado: para o hidrogênio muônico, calcule $a_0^\mu$ e $E_{\text{I}}^\mu$ e explique por que os átomos muônicos sondam o *núcleo* .
25. Resuma o resultado central: um [invariante adiabático](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) , igualado a números inteiros de $h$ , fornece $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ e o espectro do hidrogênio com quatro algarismos — e entrega à teoria verdadeira suas duas constantes centrais.

**Solução de Problema 2.1.**

**1.** $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$: o próton se move 1836 vezes menos; $H$ como enunciada, no plano da órbita. **2.** $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$, $\dot\varphi =
p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$, $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 -
k/r^2$, $\dot p_\varphi = 0$. **3.** $\varphi$ está ausente de $H$: $p_\varphi$, o momento angular, se conserva. **4.** $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$: barreira repulsiva a $r$ pequeno, cauda coulombiana a $r$ grande, um único mínimo entre elas. **5.** $U_{\text{eff}}' = 0$ em $r_{\text{c}} =
p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$. **6.** $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} =
-m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$: a razão do virial de qualquer órbita circular em $1/r$. **7.** $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$: $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$, $f_{\text{orb}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$. **8.** $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$: $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($v/c =
0.0075$), $f_{\text{orb}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $E = -k/2r =
-2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$. **9.** $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx
\hbar$: uma órbita atômica carrega um momento angular da ordem de $\hbar$ — a constante de Planck está embutida nos tamanhos atômicos. **10.** Todo átomo deveria colapsar em $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$, com sua luz varrendo continuamente rumo a comprimentos de onda menores. O observado: os átomos são eternos e emitem linhas nítidas e fixas. **11.** $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ escreve toda frequência observada como *diferença* de termos: a energia é trocada entre níveis fixos $-hcR_H/n^2$. **12.** Uma grandeza travada em valores universais não pode derivar quando o átomo é suavemente perturbado (campos, colisões, mudanças lentas); um [invariante adiabático](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) é precisamente o que permanece fixo sob perturbação lenta — então quantize a [ação](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-action). **13.** $p_\varphi$ é constante na órbita: $\oint
p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$, isto é, $p_\varphi =
n\hbar$. **14.** $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$, $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$. **15.** $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$, $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} =
13.6\,\mathrm{eV}$. **16.** $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_1/c = k/\hbar c =
1/137$: a constante de estrutura fina $\alpha$, que mede quão pouco relativístico é o átomo. **17.** $h\nu = E_{n'} - E_n$ dá $1/\lambda =
(E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$: $R_H = E_{\text{I}}/hc =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$, que reproduz o valor medido $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ dentro da precisão de nossas constantes. **18.** $2 \to 1$: $122\,\mathrm{nm}$ (ultravioleta distante, Lyman $\alpha$); $3 \to 2$: $656\,\mathrm{nm}$, a linha vermelha visível que colore as nebulosas de emissão; $\infty \to 2$: $365\,\mathrm{nm}$, a borda no ultravioleta próximo da série de Balmer. **19.** $k \to 2k$: os raios encolhem por $2$ e $E_{\text{I}} \to
4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$; a linha $2 \to 1$ cai em $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$, no ultravioleta extremo. **20.** $f_{\text{orb}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$. A razão $\nu/f_{\text{orb}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$ vale $3$ em $n = 2$, $1.17$ em $n = 10$ e $1.015$ em $n = 100$. **21.** No limite de grandes números quânticos, as previsões quânticas devem fundir-se com as clássicas — aqui, a frequência irradiada com a frequência orbital. **22.** $n = 0$ significa $p_\varphi = 0$: uma “órbita circular” de raio nulo, o elétron sobre o próton — movimento que não existe. **23.** O hidrogênio medido tem um estado fundamental de momento angular *nulo* (e não $\hbar$) e vários estados distintos com o mesmo $n$ (as formas $s$, $p$, $d$ da química) — ambos impossíveis para uma única órbita circular. **24.** $a_0 \propto 1/m$: $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (raios X). O múon orbita duzentas vezes mais perto — em parte *dentro* da carga nuclear, para elementos pesados — e por isso seus níveis medem raios nucleares (e agudizaram o enigma moderno do tamanho do próton). **25.** Um [invariante adiabático](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) igualado a $nh$ entrega $a_0 =
52.9\,\mathrm{pm}$, $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$, $R_H =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — números que a teoria quântica completa do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/11-o-atomo-de-hidrogenio#ch-b3-hydrogen-atom) manterá inalterados, substituindo apenas as órbitas que os produziram.