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title: "Eletromagnetismo na matéria"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/22-eletromagnetismo-na-materia
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# Capítulo 22 — Eletromagnetismo na matéria

Deslize uma folha de plástico entre as placas de um capacitor carregado e a tensão cai, como se carga tivesse surgido do nada. Enrole uma bobina em torno de um prego de ferro e o campo magnético dele cresce mil vezes. Descole um ímã decorativo da geladeira e ele *se lembra* de que lado foi magnetizado — por décadas, sem fonte de alimentação. O volume do segundo ano tratou os campos na matéria por atacado, escondendo o material dentro de um índice de refração; este capítulo abre o material. O plano é o mesmo para a eletricidade e para o magnetismo: a matéria é uma multidão de dipolos microscópicos; some-os numa densidade ($\vect P$ ou $\vect M$); invente um campo auxiliar ($\vect D$ ou $\vect H$) que só enxergue as cargas e correntes que controlamos; depois desça à escala microscópica — onde os spins do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/12-spin-e-sistemas-de-dois-niveis#ch-b3-spin-two-level), o fator de Boltzmann do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/17-o-ensemble-canonico#ch-b3-canonical-ensemble) e a transição de campo médio do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/21-transicoes-de-fase#ch-b3-phase-transitions) assumem — para calcular o que o material faz. O capítulo termina no ferro-velho, projetando o eletroímã que levanta carros.

## 22.1 Polarização e o campo de deslocamento

**Definição 22.1 (Polarização e cargas ligadas).**

Um *dielétrico* é um isolante cujas moléculas adquirem (ou já possuem) momentos de dipolo elétrico. A resposta do material se resume na *polarização* $\vect P$: o momento de dipolo por unidade de volume, $\vect P = n\langle\vect p\rangle$ para $n$ moléculas por unidade de volume. Um bloco polarizado carrega *cargas ligadas* — não livres para sair, mas perfeitamente reais: uma densidade superficial $\sigma_{\text{b}} = \vect P\cdot\vect n$ onde a polarização encontra a superfície, e uma densidade volumétrica $\rho_{\text{b}} =
-\nabla\cdot\vect P$ onde quer que ela não seja uniforme. Uma laje uniformemente polarizada equivale exatamente a duas folhas de carga $\pm P$ nas faces dela: no interior, todas as cabeças e caudas dos dipolos se cancelam.

**Proposição 22.2 (O campo de deslocamento).**

A carga total é a livre mais a ligada; a lei de Gauss com $\rho =
\rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}}$ se rearranja numa lei para o *[deslocamento elétrico](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)* $\vect D = \varepsilon_0\vect E +
\vect P$:

$$
\nabla\cdot\vect D = \rho_{\text{f}} :
$$

as fontes de $\vect D$ são apenas as cargas livres — as que estão nas nossas placas e nos nossos fios. Num [dielétrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) *linear* a resposta é proporcional, $\vect P = \varepsilon_0\chi_{\text{e}}\vect E$, e assim $\vect D = \varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}\vect E$ com $\varepsilon_{\text{r}} = 1 + \chi_{\text{e}}$ a *[permissividade relativa](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)*: ar $1.0006$, polietileno $2.3$, vidro $\sim 5$, água uns enormes $80$. Entre placas de capacitor mantidas a carga fixa, o $\vect D$ não muda com o [dielétrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation), e assim $\vect E =
\vect D/\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}$ *cai* por $\varepsilon_{\text{r}}$: as cargas superficiais ligadas encaram as livres e cancelam a maior parte do campo delas. A capacitância fica multiplicada por $\varepsilon_{\text{r}}$ — toda a indústria de capacitores numa letra grega.

**Demonstração.** $\nabla\cdot(\varepsilon_0\vect E) = \rho_{\text{f}} +
\rho_{\text{b}} = \rho_{\text{f}} - \nabla\cdot\vect P$; passe o termo de [polarização](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) para a esquerda. ∎

![Uma laje dielétrica entre placas carregadas. O campo alinha os dipolos moleculares; as cargas interiores deles se cancelam aos pares, deixando folhas ligadas _ b nas faces — que se opõem à carga livre e encolhem o campo interior de E_0 para E = E_0/ _ r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-1725ef140772.svg)

*Uma laje dielétrica entre placas carregadas. O campo alinha os dipolos moleculares; as cargas interiores deles se cancelam aos pares, deixando folhas ligadas $\mp\sigma_{\text{b}}$ nas faces — que se opõem à carga livre e encolhem o campo interior de $\vect E_0$ para $\vect E = \vect E_0/\varepsilon_{\text{r}}$.*

## 22.2 De onde vem a permissividade

**Proposição 22.3 (Polarização induzida e Clausius–Mossotti).**

Um átomo num campo $\vect E_{\text{loc}}$ se estica num dipolo $\vect p = \alpha\vect E_{\text{loc}}$, com $\alpha$ a *polarizabilidade* (dimensão: $\varepsilon_0\times$volume — grosso modo $\varepsilon_0$ vezes o volume atômico). Num gás diluído, $E_{\text{loc}} \approx E$ e $\chi_{\text{e}} =
n\alpha/\varepsilon_0$ é pequeno. Num meio denso, cada molécula também sente os vizinhos polarizados dela: escavar uma pequena cavidade esférica em torno dela dá $\vect E_{\text{loc}} = \vect E + \vect
P/3\varepsilon_0$, e a autoconsistência produz a *[relação de Clausius–Mossotti](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti)*

$$
\frac{\varepsilon_{\text{r}} - 1}{\varepsilon_{\text{r}} + 2}
= \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0} :
$$

meça a suscetibilidade minúscula de um vapor e preveja a do líquido — funciona com alguns por cento para líquidos apolares.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 22.4.**

O campo da cavidade $\vect P/3\varepsilon_0$ é o resultado da esfera uniformemente polarizada, citado aqui sem demonstração; a dedução honesta, por valores de contorno, cabe a um curso dedicado de eletrodinâmica. Todo o resto acima é contabilidade.

**Proposição 22.5 (Moléculas polares: a função de Langevin).**

Uma molécula com um dipolo *permanente* $p$ (água: $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) não precisa ser esticada — só alinhada, contra a agitação térmica. A média canônica do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/17-o-ensemble-canonico#ch-b3-canonical-ensemble) sobre as orientações, com energia $-pE\cos\theta$, dá

$$
\langle\cos\theta\rangle = L(x) = \coth x - \frac1x ,
\qquad x = \frac{pE}{k_{\text{B}}T} ,
$$

a *[função de Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin)*: linear ($L \approx x/3$) em $x$ pequeno e saturando em $1$ quando o campo vence de vez. No regime linear, $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ — uma lei de Curie elétrica, caindo como $1/T$: aqueça um líquido polar e a permissividade dele *cai*, a assinatura que distingue dipolos permanentes de induzidos. Para a água à temperatura ambiente, isso prevê $\chi_{\text{e}} \sim 12$ — a magnitude certa, com a cooperação das ligações de hidrogênio empurrando o valor real até $80$.

**Demonstração parcial.** $Z = \int_0^\pi \eu^{x\cos\theta}\,2\pi\sin\theta\,\dd\theta \propto
\sinh x/x$, e $\langle\cos\theta\rangle = \dd\ln Z/\dd x = \coth x
- 1/x$. Expandir $\coth x = 1/x + x/3 - \dots$ para $x$ pequeno dá $L \approx x/3$, e portanto $P = np\langle\cos\theta\rangle =
np^2E/3k_{\text{B}}T$. ∎

![A função de Langevin. Os campos comuns vivem bem lá embaixo, no regime linear (x 10-3 mesmo nos campos de ruptura): o alinhamento completo dos dipolos da água exigiria E 7 × 108\, V/ m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-e04a409c677a.svg)

*A [função de Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin). Os campos comuns vivem bem lá embaixo, no regime linear ($x \sim 10^{-3}$ mesmo nos campos de ruptura): o alinhamento completo dos dipolos da água exigiria $E \sim 7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.*

## 22.3 Magnetização e o campo $H$

**Definição 22.6 (Magnetização, correntes ligadas e H).**

A história magnética corre em paralelo. A matéria é cheia de espiras microscópicas de corrente — elétrons que orbitam e giram, cada um um dipolo magnético $\vect\mu$; a densidade deles é a *magnetização* $\vect M = n\langle\vect\mu\rangle$. Um bloco uniformemente magnetizado equivale a uma *corrente superficial ligada* circulando pelos lados dele (as espiras interiores se cancelam aos pares; um ímã de barra *é* um solenoide de corrente ligada). Separando as correntes em livres e ligadas, a lei de Ampère se rearranja em torno do campo auxiliar

$$
\vect H = \frac{\vect B}{\mu_0} - \vect M , \qquad
\oint \vect H\cdot\dd\vect\ell = I_{\text{livre}} :
$$

o $\vect H$ tem por fonte as correntes dos nossos fios (unidades $\mathrm{A}/\mathrm{m}$), enquanto o $\vect B$ guarda a física — forças, fluxo, indução. Os meios lineares têm $\vect M = \chi_{\text{m}}\vect H$ e $\vect B = \mu_0(1 + \chi_{\text{m}})\vect H =
\mu_0\mu_{\text{r}}\vect H$.

**Observação 22.7 (Três personalidades magnéticas).**

Os materiais respondem ao $\vect H$ de três maneiras. Os *diamagnetos* ($\chi_{\text{m}} \sim -10^{-5}$: água, cobre, grafite) respondem como a lei de Lenz tornada permanente: o campo aplicado perturba toda órbita eletrônica de modo a se opor a ele — fraco, universal, independente da temperatura e repelido pelos ímãs (uma rã já foi levitada assim num furo de $16\,\mathrm{T}$). Os *paramagnetos* ($\chi_{\text{m}} \sim +10^{-5}$ a $10^{-3}$: alumínio, O$_2$) possuem momentos permanentes — spins desemparelhados do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles) — que se alinham como os dipolos de Langevin: $\chi_{\text{m}} = \mu_0 n\mu^2/3k_{\text{B}}T$, uma lei de Curie em $1/T$ (a versão quântica de dois níveis é o [Exercício 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/17-o-ensemble-canonico#exo-b3-canonical-ensemble-11)). Os *ferromagnetos* (ferro, cobalto, níquel: $\mu_{\text{r}}$ na casa dos milhares) são paramagnetos cujos spins também conversam entre si — o acoplamento de troca do [Exercício 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/14-particulas-identicas#exo-b3-identical-particles-12) — e abaixo da [temperatura de Curie](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/21-transicoes-de-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) eles se alinham *espontaneamente*: o [Teorema 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/21-transicoes-de-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield), agora posto a trabalhar.

## 22.4 Ferromagnetismo na prática: domínios e histerese

**Definição 22.8 (Domínios e histerese).**

Um bloco bruto de ferro *não* está magnetizado: ele se estilhaça em *domínios*, regiões da escala do micrômetro, cada uma plenamente magnetizada, mas apontando para lados diferentes, de modo que o campo exterior (e o custo em energia dele) quase se cancela. Um $\vect H$ aplicado move as paredes de domínio — os domínios favoráveis crescem — e depois gira domínios inteiros para a linha. As paredes engancham em defeitos, e por isso o processo é irreversível: varra o $H$ para cima e para baixo e o $B(H)$ traça um laço, o *ciclo de histerese*. Desligue a corrente e um campo *remanente* $B_{\text{r}}$ sobrevive; cancelá-lo exige o campo *coercivo* reverso $H_{\text{c}}$. A área encerrada pelo laço é a energia dissipada por ciclo e por unidade de volume. Os materiais *moles* (aço-silício, ferrites: laço fino, $H_{\text{c}}$ pequeno) fazem os núcleos de transformadores e motores; os *duros* (alnico, Nd$_2$Fe$_{14}$B: laço gordo, $H_{\text{c}}$ enorme) fazem os ímãs permanentes — e a memória magnética: o ímã de geladeira e o disco rígido são laços de histerese que se recusam a esquecer.

![Domínios. À esquerda: um ferromagneto virgem esconde a magnetização dele em regiões que se cancelam mutuamente. À direita: o campo aplicado faz crescer e girar essas regiões até um único bloco magnetizado — por saltos de parede irreversíveis que dão memória ao ferro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-6710bd52021f.svg)

*Domínios. À esquerda: um ferromagneto virgem esconde a [magnetização](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) dele em regiões que se cancelam mutuamente. À direita: o campo aplicado faz crescer e girar essas regiões até um único bloco magnetizado — por saltos de parede irreversíveis que dão memória ao ferro.*

![O ciclo de histerese. A partir do estado virgem (tracejado), o campo leva o B à saturação; devolver o H a zero deixa a remanência B_ r, e só o campo coercivo -H_ c a apaga. Área do laço = calor por ciclo por unidade de volume: laços finos para transformadores, laços gordos para ímãs permanentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-3d379efffa93.svg)

*O [ciclo de histerese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). A partir do estado virgem (tracejado), o campo leva o $B$ à saturação; devolver o $H$ a zero deixa a [remanência](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) $B_{\text{r}}$, e só o campo coercivo $-H_{\text{c}}$ a apaga. Área do laço = calor por ciclo por unidade de volume: laços finos para transformadores, laços gordos para ímãs permanentes.*

**Exemplo 22.9 (O eletroímã de núcleo de ferro).**

Enrole $N$ espiras que carregam $I$ num anel de ferro ($\mu_{\text{r}}
\sim 5000$) com um pequeno entreferro $e$. A lei de Ampère para $\vect H$ ao longo do laço dá $H_{\text{ferro}}\ell + H_{\text{ent}}e = NI$, e a continuidade do fluxo torna o $B$ comum, logo

$$
B\Big(\frac{\ell}{\mu_0\mu_{\text{r}}} + \frac{e}{\mu_0}\Big) = NI .
$$

Com $\ell = 1\,\mathrm{m}$ e $e = 1\,\mathrm{cm}$, o termo do entreferro é cinquenta vezes o do ferro: quase todo o esforço da bobina é gasto empurrando campo através de um centímetro de ar. Esse é o circuito magnético numa linha — o ferro é um condutor quase perfeito de fluxo, e o ar, o resistor — e é por isso que motores, relés e guindastes de ferro-velho mantêm os entreferros deles impiedosamente finos ([Problema 22.1](#pb-b3-electromagnetism-in-matter-1)).

![Um ferrofluido sobre um ímã escondido: a magnetização do líquido torna a energia de campo mais barata que a gravidade e a tensão superficial, e a superfície se enruga numa rede de espículas — o M, tornado visível.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-e2d2cf27d26a.jpg)

*Um ferrofluido sobre um ímã escondido: a [magnetização](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) do líquido torna a energia de campo mais barata que a gravidade e a tensão superficial, e a superfície se enruga numa rede de espículas — o $\vect M$, tornado visível.*

## 22.5 Exercícios

**Exercício 22.1 ★.**

Contabilidade de [cargas ligadas](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Uma laje de espessura $d$ está uniformemente polarizada ao longo da normal dela, com módulo $P$. (a) Dê as densidades de [carga ligada](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) em cada face. (b) Mostre que o campo *interno* devido a essas folhas é $E = P/\varepsilon_0$, opondo-se a $\vect P$. (c) Quanto vale o $\vect D$ dentro, sem carga livre em lugar algum? (d) Um eletreto de barra ($\vect P$ congelado) é o análogo elétrico de que objeto magnético?

**Solução de Exercício 22.1.**

(a) $+P$ na face para a qual o $\vect P$ aponta, $-P$ na outra. (b) Duas folhas infinitas $\pm P$ produzem $P/\varepsilon_0$ entre elas, dirigido de $+$ para $-$, ou seja, *contra* o $\vect P$. (c) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — como tem de ser: sem carga livre, e a componente normal do $\vect D$ é contínua a partir do vácuo de fora. (d) Um ímã de barra: densidade de dipolos congelada, com o campo sustentado pelas próprias fontes ligadas dele.

**Exercício 22.2 ★.**

Capacitor com [dielétrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Um capacitor de placas paralelas ($C_0 = 100\,\mathrm{pF}$) é carregado a $12\,\mathrm{V}$ e desconectado. Uma laje com $\varepsilon_{\text{r}} = 4$ o preenche. Ache (a) a nova capacitância; (b) a nova tensão; (c) a energia antes e depois — para onde foi a diferença? (d) Repita (b)–(c) com a bateria mantida ligada.

**Solução de Exercício 22.2.**

(a) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$. (b) O $Q =
1.2\,\mathrm{nC}$ fica preso: $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$. (c) $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ antes, $1.8\,\mathrm{nJ}$ depois: os $5.4\,\mathrm{nJ}$ que faltam viraram trabalho mecânico — o campo de borda *puxa a laje para dentro*. (d) Com a bateria ligada: o $V$ fica em $12\,\mathrm{V}$, o $Q$ quadruplica, a energia sobe a $28.8\,\mathrm{nJ}$ — a bateria paga tanto a nova energia de campo quanto o puxão.

**Exercício 22.3 ★.**

O zoológico das suscetibilidades. Classifique (dia-, para- ou ferromagnético) e justifique pela estrutura eletrônica onde puder: água ($\chi_{\text{m}} = -9\times10^{-6}$), alumínio ($+2.2\times10^{-5}$), oxigênio líquido ($+3.5\times10^{-3}$ — por que o O$_2$ é magnético, para começar?), níquel ($\mu_{\text{r}} \sim 600$ em campo pequeno). Qual dos quatro um ímã forte atrairia visivelmente, e qual repeliria de leve?

**Solução de Exercício 22.3.**

Água: diamagnética — todos os elétrons emparelhados, só a oposição induzida por Larmor. Alumínio: paramagnético (os spins dos elétrons de condução). Oxigênio líquido: fortemente paramagnético — o O$_2$ carrega *dois elétrons desemparelhados* (preenchimento pela regra de Hund dos orbitais antiligantes dele, [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles)); ele gruda visivelmente entre os polos de um ímã. Níquel: ferromagnético. O ímã atrai visivelmente o níquel e o oxigênio líquido, e repele levemente a água — a covinha que um ímã forte faz numa superfície de água.

**Exercício 22.4 ★.**

$B$, $H$, $M$. Um solenoide longo ($n = 2000$ espiras por metro, $I = 1.5\,\mathrm{A}$) é preenchido com ferro, e mede-se $B = 1.6\,\mathrm{T}$. Calcule (a) o $H$; (b) o $M$; (c) a amplificação $B/\mu_0H$; (d) a corrente superficial ligada por metro equivalente ao $M$ — compare-a com o $nI$ da própria bobina.

**Solução de Exercício 22.4.**

(a) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (b) $M = B/\mu_0 - H =
1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (c) $B/\mu_0H \approx 420$. (d) A corrente superficial ligada equivalente é $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ por metro — quatrocentas vezes o $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ da própria bobina: o ferro faz quase todo o trabalho.

**Exercício 22.5 ★★.**

Cabo coaxial, isolado. Uma linha coaxial (raio interno $a$, externo $b$) carrega carga livre $\lambda$ por unidade de comprimento no núcleo, com [dielétrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) $\varepsilon_{\text{r}}$ entre eles. (a) Ache $\vect D(r)$ pela simetria. (b) Deduza $\vect E$ e $\vect P$. (c) Calcule as densidades de [carga ligada](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) em $r = a$ e $r = b$ e verifique que somam zero por unidade de comprimento. (d) Mostre que a capacitância por unidade de comprimento fica multiplicada por $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Solução de Exercício 22.5.**

(a) Uma superfície gaussiana cilíndrica encerra só carga livre: $D = \lambda/2\pi r$, radial. (b) $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$, $P =
(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$. (c) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$: por unidade de comprimento, $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$; em $r = b$, $+P(b)$: por unidade de comprimento, $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — soma nula, como a [carga ligada](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) tem de dar. (d) $V = \int E\,\dd r =
(\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$, e assim $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$: multiplicada por $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Exercício 22.6 ★★.**

Clausius–Mossotti na prática. O argônio gasoso a $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$ tem $\varepsilon_{\text{r}} = 1.00052$. (a) Extraia $\alpha/\varepsilon_0$ (um volume) e compare com o volume atômico. (b) O argônio líquido tem $n = 2.1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: preveja o $\varepsilon_{\text{r}}$ por Clausius–Mossotti (medido: 1.53). (c) Por que o ingênuo $\chi = n\alpha/\varepsilon_0$ erra para cima menos feio aqui do que para a água? (d) Para que moléculas o esquema inteiro tem de falhar, e o que o substitui?

**Solução de Exercício 22.6.**

(a) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, e portanto $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — o volume de uma esfera de raio $\approx1.7\,\text{Å}$: a polarizabilidade *é* volume atômico, em unidades de $\varepsilon_0$. (b) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$, e assim $(\varepsilon_{\text{r}} -
1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ dá $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — em cheio no valor medido. (c) A correção de campo local é um efeito de 15 % aqui; o argônio é apolar, e por isso não há contribuição de orientação para disparar. (d) Moléculas polares (água, HCl): os dipolos permanentes dominam e interagem; a teoria de Langevin–Debye (e, para líquidos densos, a de Onsager) substitui o argumento simples da cavidade.

**Exercício 22.7 ★★.**

A permissividade gigante da água. (a) A partir da [Proposição 22.5](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin), calcule $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ para a água ($n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$, $T = 300\,\mathrm{K}$). (b) Estime o campo necessário para $x = 1$ (saturação séria) e compare com a rigidez dielétrica da água, $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (c) Os fornos de micro-ondas operam a $2.45\,\mathrm{GHz}$: por que uma resposta *dissipativa* de dipolos girantes aquece a comida, e por que o gelo aquece bem mais devagar que a água líquida? (d) Preveja o sinal de $\dd\varepsilon_{\text{r}}/\dd T$ para a água e para o argônio.

**Solução de Exercício 22.7.**

(a) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx
11.5$. (b) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — dez vezes o campo de ruptura: a água opera sempre bem fundo no regime linear. (c) A $2.45\,\mathrm{GHz}$ os dipolos quase acompanham, mas atrasam: a parte fora de fase da resposta realiza trabalho líquido sobre a água a cada ciclo — aquecimento [dielétrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). No gelo, as moléculas estão travadas na rede; a relaxação rotacional delas fica em quilohertz, e assim, em gigahertz, o gelo mal absorve (os ciclos de descongelamento pulsam com suavidade, deixando a água derretida aquecer). (d) Água: negativo (resposta de orientação em $1/T$); argônio: essencialmente nulo — a polarizabilidade induzida não se importa com a temperatura.

**Exercício 22.8 ★★.**

Diamagnetismo estimado. Trate um elétron atômico como uma carga num anel de raio $r$; um $B$ aplicado muda a frequência angular dele pelo deslocamento de Larmor $\Delta\omega = eB/2m_{\text{e}}$. (a) Mostre que o momento induzido é $\Delta\mu = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ (opondo-se a $B$). (b) Fazendo a média das orientações e somando $Z$ elétrons por átomo, acha-se $\chi_{\text{m}} = -\mu_0ne^2Z\langle
r^2\rangle/6m_{\text{e}}$: avalie para a água ($n =
3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ moléculas, $Z = 10$, $\langle r^2\rangle
\approx (0.7\,\text{Å})^2$) e compare com o valor medido $-9\times10^{-6}$. (c) Por que o diamagnetismo independe da temperatura e o paramagnetismo não? (d) Por que até uma rã levita em $16\,\mathrm{T}$, e por que o campo do ímã tem de ser *não uniforme*?

**Solução de Exercício 22.8.**

(a) O deslocamento de Larmor muda a corrente circulante em $\Delta I
= -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$, e portanto $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$, opondo-se ao $\vect B$ seja qual for o sentido da órbita do elétron — a lei de Lenz na escala atômica. (b) Com os números enunciados, $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$: o medido é $-9\times10^{-6}$, a partir de um modelo de anel. (c) O momento induzido vem da distorção da órbita, e não de uma disputa de Boltzmann entre alinhamento e desordem — não há $T$ em lugar algum. (d) A água é diamagnética, e por isso a rã é empurrada rumo ao campo fraco; a densidade de força $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ se anula num campo uniforme — a levitação precisa de um $B\,\dd B/\dd z$ grande o bastante para equilibrar $\rho g$, daí o furo de $16\,\mathrm{T}$.

**Exercício 22.9 ★★.**

Paramagnetismo de Curie e resfriamento. Um sal carrega $n =
2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ íons de momento $\mu \approx \mu_{\text{B}}$. (a) Calcule $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ e a $1\,\mathrm{K}$. (b) A que temperatura o $\chi_{\text{m}}$ chegaria a $1$ — e que física (aqui desprezada) intervém antes na maioria dos sais? (c) Desmagnetização adiabática: magnetize a $1\,\mathrm{K}$, isole e então retire o campo devagar — explique, com a entropia de spin do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/16-o-ensemble-microcanonico#ch-b3-microcanonical-ensemble), por que a amostra esfria. (d) Por que o método precisa de um *para*magneto, e não de um ferromagneto?

**Solução de Exercício 22.9.**

(a) $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T
\approx 1.7\times10^{-5}$ a $300\,\mathrm{K}$, e $5\times10^{-3}$ a $1\,\mathrm{K}$. (b) Extrapolando, $\chi \to 1$ perto de $5\,\mathrm{mK}$ — mas os acoplamentos dipolares e de troca ordenam (ou congelam) os sais reais antes: a lei de Curie é uma lei de alta temperatura. (c) Magnetizada a $1\,\mathrm{K}$, a entropia de spin é espremida para fora, no banho; isolada, o $S$ fica fixo, e baixar o $B$ deixa os spins reaverem os $k_{\text{B}}\ln 2$ de cada um — a energia vem da rede, cuja temperatura cai (milikelvins, na prática). (d) Os spins de um ferromagneto se ordenam sozinhos abaixo de $T_{\text{c}}$: a entropia deles deixa de ser controlada pelo campo, e a [histerese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) dissiparia em vez de resfriar.

**Exercício 22.10 ★★★.**

O circuito magnético. Um toro de ferro ($\ell = 60\,\mathrm{cm}$, $\mu_{\text{r}} = 4000$, seção $A = 16\,\mathrm{cm}^{2}$) carrega $N = 500$ espiras e um entreferro $e = 4\,\mathrm{mm}$. (a) Mostre que $NI =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ e calcule a corrente para $B = 1.2\,\mathrm{T}$. (b) Que fração do $NI$ é gasta no entreferro? (c) Defina a relutância $\mathcal R = \ell/\mu A$ de cada segmento e reformule (a) como uma “lei de Ohm” em série para o fluxo. (d) O ferro satura perto de $1.8\,\mathrm{T}$: explique o que acontece com o modelo de circuito — e com o seu motor — para além disso.

**Solução de Exercício 22.10.**

(a) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$: com o equivalente $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ contra $e =
4\,\mathrm{mm}$, $NI \approx 3960$ ampère-espiras, $I \approx
7.9\,\mathrm{A}$. (b) $4/4.15 \approx 96\,\%$ do esforço atravessa o entreferro. (c) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{ferro}} +
\mathcal R_{\text{ent}})$ com $\mathcal R = \ell/\mu A$: a força magnetomotriz $NI$ faz o papel da tensão, o fluxo faz o da corrente e a relutância, o da resistência — aqui $\mathcal R_{\text{ent}}
\approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx
27\,\mathcal R_{\text{ferro}}$. (d) Passados os $1.8\,\mathrm{T}$, o $\mu_{\text{r}}$ incremental do ferro desaba rumo a 1: a relutância dele dispara, corrente extra quase não compra fluxo extra, e um motor levado até ali para de ganhar torque enquanto os enrolamentos cozinham.

**Exercício 22.11 ★★★.**

Perdas por [histerese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). Um núcleo de transformador (volume $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$) opera a $50\,\mathrm{Hz}$. O laço de aço-silício dele encerra $\sim40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ por ciclo. (a) Calcule a potência perdida por [histerese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). (b) O mesmo núcleo em aço duro ($\sim6 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$): perda e veredito. (c) As correntes de Foucault acrescentam uma perda $\propto f^2$: explique por que os núcleos são laminados e por que as ferrites assumem nas radiofrequências. (d) Um bit de disco rígido tem de *guardar* a [magnetização](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) dele contra os chutes térmicos por dez anos: relacione as exigências sobre $H_{\text{c}}$ para memória com as de um transformador e conclua que material algum, sozinho, faz os dois trabalhos.

**Solução de Exercício 22.11.**

(a) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — aceitável. (b) $1.2\,\mathrm{kW}$: o núcleo ficaria em brasa; o aço duro é desqualificado do serviço em corrente alternada pela própria virtude dele. (c) As fem de Foucault escalam com a área do laço e com o $f$; laminar (ou pulverizar, ou usar ferrites isolantes) corta os laços e reduz a perda em $f^2$ — e é por isso que as ferrites dominam a faixa dos megahertz. (d) A memória quer que a barreira do bit armazenado, $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg
k_{\text{B}}T$, dure uma década (o limite superparamagnético), ou seja, um $H_{\text{c}}$ tão grande quanto ainda se possa escrever; um transformador quer $H_{\text{c}} \to 0$ para um laço fino. Um material só não fica nas duas pontas: magnetos moles para as máquinas, duros para a memória.

**Exercício 22.12 ★★★.**

O campo desmagnetizante. Dentro de um corpo uniformemente magnetizado sem corrente livre, o $\oint\vect H\cdot\dd\vect\ell = 0$ obriga o $\vect H$ interno a *se opor* ao $\vect M$ ($\vect H =
-N_{\text{d}}\vect M$, com $N_{\text{d}}$ um fator de forma: $1/3$ para uma esfera, $\approx 0$ ao longo de uma agulha comprida, $\approx 1$ através de uma placa fina). (a) Justifique os limites da agulha e da placa com a imagem das correntes ligadas (o solenoide). (b) Por que um ímã atarracado se desmagnetiza em parte enquanto uma agulha guarda a [magnetização](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) dela? (c) Conecte com as agulhas de bússola e com os grãos alongados da fita magnética. (d) Uma esfera de ferro doce fica num $B_0$ externo uniforme: explique por que a resposta dela satura em $\vect H
\approx 0$ por dentro, ou seja, $M \approx 3B_0/\mu_0$ no máximo, por maior que seja o $\mu_{\text{r}}$.

**Solução de Exercício 22.12.**

(a) Uma agulha longa magnetizada axialmente é um solenoide comprido de corrente ligada: por dentro, $H \approx 0$ (todo o $B$ vem do $M$). Uma placa fina magnetizada através das faces dela é o solenoide mais curto e mais gordo possível: o campo interno de retorno dela dá $H = -M$. (b) O ímã atarracado trabalha em $H = -N_{\text{d}}M$, bem embaixo na curva de desmagnetização dele: o movimento das paredes rói a [remanência](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis); uma agulha fica em $H \approx 0$ e guarda o que tem. (c) Daí as *agulhas* de bússola e os grãos alongados de domínio único da fita magnética e dos primeiros discos rígidos — a anisotropia de forma como seguro de memória. (d) A conservação do fluxo e o $\oint\vect H\cdot
\dd\vect\ell = 0$ dão, no interior de uma esfera, $H_{\text{int}} =
H_0 - M/3$; quando $\mu_{\text{r}}\to\infty$, o ferro leva o $H_{\text{int}}\to0$, e assim $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$: a esfera só consegue concentrar o campo por um fator três, por “melhor” que seja o ferro.

![O problema de fim de semana, em ação: uma bobina de núcleo de ferro cujo campo magnetiza o próprio ferro-velho — e o larga sob comando, que é a metade do projeto que a histerese torna interessante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-3c2314b40699.jpg)

*O problema de fim de semana, em ação: uma bobina de núcleo de ferro cujo campo magnetiza o próprio ferro-velho — e o larga sob comando, que é a metade do projeto que a [histerese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) torna interessante.*

## 22.6 Problema: o guindaste do ferro-velho

**Problema 22.1.**

*O guindaste do ferro-velho.* Um pátio de reciclagem encomenda um eletroímã de guindaste: um caldeirão de ferro de face plana, com um metro de diâmetro, que precisa levantar fardos de carros prensados de duas toneladas e então — igualmente importante — *largá-los* sob comando. Você é o engenheiro de projeto.

**Parte I — Por que ferro.**

1. A bobina nua: 400 espiras carregando $25\,\mathrm{A}$ espalhadas por um caminho magnético de $\sim1\,\mathrm{m}$ . Estime $B \sim  \mu_0NI/\ell$ sem ferro.
2. Explique em duas frases, com domínios, por que encher a bobina com ferro multiplica isso por $\sim\mu_{\text{r}}$ .
3. A [magnetização](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) do ferro satura em $M_{\text{s}} \approx  1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ . Calcule o teto $\mu_0M_{\text{s}}$ que isso impõe ao campo no polo, faça a bobina o que fizer.
4. Cada átomo de ferro contribui com $\approx 2.2$ [magnétons de Bohr](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/10-momento-angular-quantico#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic) . Confira: com $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , recupere $M_{\text{s}}$ .
5. Por que as faces polares têm de ser usinadas planas e mantidas livres de ferrugem e de sujeira? (Pense no [Exemplo 22.9](#ex-b3-electromagnetism-in-matter-electromagnet) .)
6. A própria carga passa a fazer parte do circuito magnético. Esboce o caminho do fluxo: núcleo do caldeirão, face norte, fardo de aço, face sul, de volta pela culatra.

**Parte II — O circuito magnético e a força.**

7. Modele o circuito: caminho de ferro $\ell = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu_{\text{r}} = 2000$ , e dois entreferros efetivos (contato face–fardo) de $e = 1.5\,\mathrm{mm}$ cada. Escreva a lei de Ampère para $H$ ao longo do laço.
8. Calcule os três termos de relutância por unidade de área ( $\ell/\mu_{\text{r}}$ contra $2e$ ) e mostre que os entreferros milimétricos ainda consomem a maior parte do esforço da bobina.
9. Com $NI = 10\,000$ ampère-espiras, calcule o $B$ nos entreferros.
10. A pressão de levantamento em cada face polar é $B^2/2\mu_0$ (densidade de energia magnética liberada por metro de aproximação). Avalie-a em $\mathrm{kPa}$ para o seu $B$ .
11. Área total das faces polares $A = 0.12\,\mathrm{m}^{2}$ : calcule a força de levantamento e converta em toneladas.
12. Ela atende à especificação de duas toneladas com margem de fator dois? Se não, ajuste o $NI$ e enuncie a nova corrente.
13. Os fardos prensados tocam as faces em talvez um terço da área deles, com entreferros efetivos mais largos. Recalcule a força para $e = 4\,\mathrm{mm}$ , $A_{\text{eff}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ e comente por que os levantamentos nominais citam capacidade de “placa plana”.

**Parte III — Lembrar e esquecer.**

14. O pátio aciona a chave para largar um fardo — e ele fica pendurado. Nomeie o culpado, com o laço de [histerese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) .
15. Por que o caldeirão tem de ser de ferro *doce* (com $H_{\text{c}}$ pequeno e $B_{\text{r}}$ pequeno) e não de aço duro de ímã?
16. Mesmo o ferro doce guarda um pouco de [remanência](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) . Proponha a cura padrão: um breve pulso de corrente *reversa* — que ponto do laço ele mira?
17. Alguns controladores aplicam, em vez disso, uma corrente alternada decrescente. Esboce o que a trajetória $B$ – $H$ faz e por que ela termina desmagnetizada.
18. O guindaste também manipula chapas quentes saídas direto do forno, a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . O ponto de Curie do ferro é $1043\,\mathrm{K}$ : o que acontece com a força de levantamento, e por quê? ( [Teorema 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/21-transicoes-de-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) .)
19. Um estagiário de verão sugere economizar cobre dobrando o entreferro e dobrando o $NI$ . Use as fórmulas da Parte II para explicar a assimetria: o que se reduz à metade e o que apenas se mantém?

**Parte IV — Potência, calor e a conta.**

20. A bobina: 400 espiras de cobre, comprimento médio por espira de $2.5\,\mathrm{m}$ , seção do fio de $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , resistividade $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Calcule a resistência dela.
21. Em $I = 25\,\mathrm{A}$ : a potência dissipada e a energia diária de um turno de oito horas com $60\,\%$ de uso.
22. A energia magnética armazenada nos dois entreferros ( $B^2/2\mu_0 \times$ volume): calcule-a e compare com um *segundo* de dissipação na bobina. Para onde vai todo o resto da energia elétrica?
23. Largar a carga devolve quase nada da energia armazenada à rede. Explique, com a área do laço e o pico indutivo, por que o controlador precisa de um caminho de roda-livre (flyback) atravessando a bobina.
24. Falta energia com um fardo no ar. O que o fardo faz, e o que a [remanência](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) *sozinha* segura? Justifique a regra do pátio de que ninguém anda sob um ímã energizado — e o argumento de venda dos guindastes com bateria de reserva.
25. Resuma o projeto em quatro linhas: teto de campo fixado por $M_{\text{s}}$ , força por $B^2A/2\mu_0$ , controlabilidade pela [histerese](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) do ferro doce e custo de operação por $RI^2$ — o capítulo inteiro pendurado num guindaste.

**Solução de Problema 22.1.**

**1.** $B \approx \mu_0NI/\ell = 13\,\mathrm{mT}$ — um campo de ímã de geladeira, a partir de $250\,\mathrm{W}$ de bobina. **2.** O pequeno $H$ da bobina desprende e gira domínios cujas correntes ligadas passam então a circular em compasso com a da bobina: o ferro acrescenta $\mu_0M \gg \mu_0H$ de si mesmo. **3.** $\mu_0M_{\text{s}} = 2.1\,\mathrm{T}$: bobina alguma tira mais que isso dos polos de ferro. **4.** $M = 2.2\mu_{\text{B}}n = 2.2\times9.27 \times 10^{-24}
\times8.5 \times 10^{28} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ — consistente. **5.** Qualquer ferrugem ou sujeira é um entreferro extra em série no único lugar em que a relutância mais importa; um décimo de milímetro de crosta come força de modo mensurável. **6.** O fluxo sai do polo norte central, cruza o entreferro de contato até o fardo, corre pelo aço e retorna pelo polo sul anular externo e pela culatra — a carga fecha o circuito magnético. **7.** $NI = H_{\text{ferro}}\ell + 2H_{\text{ent}}e =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + 2e/\mu_0)$. **8.** Por unidade de área: $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.6\,\mathrm{mm}$ contra $2e = 3\,\mathrm{mm}$: os três milímetros de ar tomam $\sim83\,\%$ das ampère-espiras. **9.** A fórmula linear dá $B = \mu_0NI/(\ell/
\mu_{\text{r}} + 2e) \approx 3.5\,\mathrm{T}$ — *acima* do teto da questão 3: o caldeirão satura e entrega $B \approx
1.7\,\mathrm{T}$, por mais que a bobina se esforce. **10.** $B^2/2\mu_0 \approx 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} \approx
1150\,\mathrm{kPa}$ — onze atmosferas de puxão. **11.** $F = 1.15 \times 10^{6}\times0.12 \approx 140\,\mathrm{kN}
\approx 14$ toneladas. **12.** Sim: 14 toneladas contra uma exigência de 4 toneladas (2 toneladas $\times$ fator de segurança 2) — a margem existe por causa da questão 13. **13.** Com $e = 4\,\mathrm{mm}$ e $A_{\text{eff}} =
0.04\,\mathrm{m}^{2}$: $B \approx 1.5\,\mathrm{T}$, pressão $\approx870\,\mathrm{kPa}$, força $\approx35\,\mathrm{kN} \approx 3.5$ toneladas — a classificação de doze toneladas de “placa plana” encolhe até mal atender à especificação em sucata real, e é por isso que a capacidade é sempre citada em placa retificada. **14.** [Remanência](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis): desligue e o ferro fica em $B_{\text{r}}$ no laço dele — o caldeirão passa a ser um ímã permanente fraco, e as cargas leves ficam penduradas. **15.** O laço fino do ferro doce torna pequenos o $B_{\text{r}}$ e o $H_{\text{c}}$: o ímã tem de *esquecer* sob comando; o aço duro transformaria o guindaste num ímã permanente com uma chave que não faz nada. **16.** Um pulso reverso calibrado leva o material a $-H_{\text{c}}$, o cruzamento de $B$ nulo do laço, e solta a carga. **17.** Uma varredura em corrente alternada decrescente traça laços aninhados cada vez menores que espiralam até a origem: o estado desmagnetizado — a mesma desmagnetização usada em cascos de navio e em telas de tubo antigas. **18.** $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ são $1073\,\mathrm{K}$ $> T_{\text{c}}$: a chapa é *paramagnética* — $\mu_{\text{r}} \approx 1$, o circuito se abre, a força desaba; as laminações a quente movem chapas com tenazes, não com ímãs. **19.** Dobrar o $e$ reduz o $B$ à metade e a força a um quarto (circuito dominado pelo entreferro); dobrar o $NI$ restaura os dois — mas o $P = RI^2$ quadruplica: os entreferros são pagos em calor no cobre. **20.** $R = \rho L/A = 1.7 \times 10^{-8}\times1000/
1.6 \times 10^{-5} \approx 1.1\,\Omega$. **21.** $P = RI^2 \approx 660\,\mathrm{W}$; ao longo de $8\,\text{h}\times0.6$: $\approx3.2\,\mathrm{kWh}$ por turno — alguns trocados de eletricidade para mover centenas de toneladas. **22.** Volume dos entreferros $2Ae = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ a $1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $\approx410\,\mathrm{J}$ — menos de um segundo de aquecimento da bobina. Em regime estacionário, essencialmente toda a entrada elétrica vira calor no cobre; o campo, uma vez construído, custa só a corrente de manutenção dele. **23.** Abrir o circuito força o $LI$ a zero de repente: a bobina responde com um enorme pico indutivo que abre arco nos contatos; um diodo de roda-livre (ou um resistor) deixa a energia de campo armazenada morrer em silêncio como calor — e a área do laço é dissipada no ferro a cada ciclo, de todo modo. **24.** A força de levantamento precisa de corrente: o fardo cai. A [remanência](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) retém apenas uma força simbólica — quilogramas, não toneladas. Daí a regra da passarela, e os guindastes com bateria de reserva (ou de ímã permanente mais bobina de liberação) para tudo o que penda sobre pessoas. **25.** Teto: $\mu_0M_{\text{s}} \approx 2\,\mathrm{T}$. Força: $B^2A/2\mu_0$, regida por milímetros de entreferro. Controle: ferro doce, $B_{\text{r}}$ pequeno, pulso de desmagnetização para largar. Custo: $RI^2$, um aquecedor da escala do quilowatt — o capítulo, pendurado num guindaste.