---
title: "Elétrons nos sólidos"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/24-eletrons-nos-solidos
---

# Capítulo 24 — Elétrons nos sólidos

O cobre conduz eletricidade um milhão de bilhões de bilhões de vezes melhor que o quartzo — a faixa mais larga de qualquer propriedade física, comandada por materiais que, de um jeito ou de outro, parecem blocos cinzentos. O andaime do capítulo anterior não explica nada disso; os *elétrons* despejados nele explicam tudo. Este capítulo percorre as três investidas do século sobre o problema, cada uma herdando os escombros da anterior: o fliperama clássico de Drude (1900), que acerta a lei de Ohm e erra escandalosamente a capacidade térmica; o gás de Fermi de Sommerfeld, que é o [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics) descontando o cheque dele; e a percepção de Bloch de que uma onda eletrônica numa [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) periódica sofre reflexão de Bragg como qualquer outra onda — abrindo *[lacunas de banda](#thm-b3-electrons-in-solids-bloch)* que separam todos os sólidos em metais, [isolantes](#def-b3-electrons-in-solids-classes) e os filhos do meio, de lacuna estreita, os [semicondutores](#def-b3-electrons-in-solids-classes), sobre os quais toda a era eletrônica se ergue. O capítulo termina dentro de um painel solar.

## 24.1 O metal de fliperama de Drude

**Proposição 24.1 (A condutividade de Drude).**

Trate os elétrons de valência de um [metal](#def-b3-electrons-in-solids-classes) como um gás clássico, de densidade $n$, que ricocheteia em obstáculos a cada $\tau$ segundos. Um campo $\vect E$ acelera cada um entre as colisões; a *[velocidade de deriva](#prop-b3-electrons-in-solids-drude)* média é $\vect v_{\text{d}} = -e\tau\vect E/m_{\text{e}}$, minúscula ao lado do movimento térmico. A densidade de corrente $\vect j =
-ne\vect v_{\text{d}}$ obedece então à lei de Ohm localmente, $\vect j = \sigma\vect E$, com

$$
\sigma = \frac{ne^2\tau}{m_{\text{e}}} .
$$

O $\sigma$ medido do cobre exige $\tau \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — e as duas glórias do modelo vêm daí: ele explica por que os resistores esquentam (o trabalho do campo é termalizado a cada colisão) e prevê a lei de Wiedemann–Franz, a de que $\kappa/\sigma T$ é a mesma constante para todos os metais — os elétrons carregam carga e calor ([Exercício 24.5](#exo-b3-electrons-in-solids-5)).

**Demonstração.** Entre as colisões, $\dot{\vect v} = -e\vect E/m_{\text{e}}$; recomeçando do zero a cada colisão, a velocidade média adquirida num tempo médio $\tau$ é $-e\tau\vect E/m_{\text{e}}$. Então $\vect j =
-ne\vect v_{\text{d}} = (ne^2\tau/m_{\text{e}})\vect E$. ∎

![O quadro de Drude: um elétron ricocheteia a 106\, m/ s, enquanto o campo superpõe uma deriva de frações de milímetro por segundo (). A lei de Ohm cai no colo; os fracassos do modelo ensinaram ainda mais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electrons-in-solids/fig-0784f524967c.svg)

*O quadro de Drude: um elétron ricocheteia a $\sim10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, enquanto o campo superpõe uma deriva de frações de milímetro por segundo ([Exercício 24.2](#exo-b3-electrons-in-solids-2)). A lei de Ohm cai no colo; os fracassos do modelo ensinaram ainda mais.*

**Observação 24.2 (O resgate de Sommerfeld).**

O gás de Drude deveria acrescentar $\tfrac32k_{\text{B}}$ por elétron à capacidade térmica de um [metal](#def-b3-electrons-in-solids-classes); o experimento acha cem vezes menos. O [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics) já absolveu os elétrons: eles são um *gás de Fermi degenerado*, com $T_{\text{F}} \sim
8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$, e só a casca térmica a menos de $k_{\text{B}}T$ da superfície de Fermi pode responder — ao calor e ao espalhamento. A repetição de Drude por Sommerfeld com estatística de Fermi–Dirac guarda a fórmula da condutividade (com o $\tau$ agora o tempo de vida dos elétrons da superfície de Fermi, cujos $10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ são $v_{\text{F}}$, e não a velocidade térmica), conserta a capacidade térmica na fatia $T/T_{\text{F}}$ medida e até repara a constante numérica de Wiedemann–Franz. Um mistério sobrevive a todo modelo de elétrons livres: por que o quartzo não conduz nada.

## 24.2 Bloch: a rede fala

**Teorema 24.3 (Estados de Bloch e lacunas de banda).**

Num potencial periódico perfeito, os estados estacionários são *ondas de Bloch* $\psi_k(x) = u_k(x)\eu^{\iu kx}$ — ondas planas vestidas com a periodicidade $u_k$ da própria [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) — que se propagam *sem espalhamento*: um [cristal](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) perfeito tem resistência nula, e a resistência real vem das imperfeições (vibrações, impurezas). Mas nem toda energia sobrevive. Em $k = \pi/a$ o comprimento de onda do elétron é $2a$: a condição de Bragg na própria [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) (o [Teorema 23.6](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#thm-b3-crystalline-solids-dispersion) fez a mesma descoberta para o som). As ondas refletida e incidente formam dois padrões estacionários — carga acumulada sobre os íons (energia menor) ou entre eles (maior) — e assim a parábola do elétron livre $E = \hbar^2k^2/2m_{\text{e}}$ se rasga: um intervalo de energias proibidas, a *[lacuna de banda](#thm-b3-electrons-in-solids-bloch)* $E_{\text{g}}$, separa uma *banda* preenchida de estados permitidos da seguinte. A identidade eletrônica de um [cristal](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) é a escada de bandas e lacunas dele.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![O elétron quase livre. Longe da borda da zona, o elétron mal nota a rede; em k = π/a, a reflexão de Bragg dele mesmo parte a parábola e proíbe as energias da lacuna. As ondas sonoras fizeram exatamente isto no capítulo anterior — mesma rede, mesma interferência, novo inquilino.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electrons-in-solids/fig-65f0051c2b05.svg)

*O elétron quase livre. Longe da borda da zona, o elétron mal nota a [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice); em $k = \pi/a$, a reflexão de Bragg dele mesmo parte a parábola e proíbe as energias da lacuna. As ondas sonoras fizeram exatamente isto no capítulo anterior — mesma [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice), mesma interferência, novo inquilino.*

**Definição 24.4 (Metais, isolantes, semicondutores).**

Preencha as bandas com os elétrons do [cristal](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice), dois por estado ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles)), dos mais frios primeiro. Se a banda ocupada mais alta estiver *parcialmente* cheia, uma energia infinitesimal já desloca elétrons para um movimento líquido: um *metal* (sódio: um elétron de valência, meia banda; os metais divalentes conduzem por bandas que se sobrepõem). Se ela estiver *exatamente* cheia, com uma lacuna larga acima, empurrão pequeno algum rearranja o que quer que seja: um *isolante* (diamante, $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$). Se a lacuna for pequena — $1.12\,\mathrm{eV}$ no silício — a agitação térmica iça alguns elétrons para o outro lado, cada um deixando embaixo uma *lacuna* móvel: um *semicondutor*, cuja contagem de portadores $\propto\eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ dobra a cada poucos graus. Daí a grande divisão: os metais conduzem pior quando aquecidos (mais vibrações em que espalhar) e os semicondutores, melhor (exponencialmente mais portadores) — uma troca de sinal que identifica a classe de um material numa única medida.

![O preenchimento das bandas decide tudo. Uma banda parcialmente cheia conduz; uma banda cheia sob uma lacuna larga não pode; uma lacuna estreita deixa a temperatura (ou a luz, ou a dopagem) negociar — toda a utilidade do semicondutor é a condutividade dele ser ajustável.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electrons-in-solids/fig-29f1070c1f36.svg)

*O preenchimento das bandas decide tudo. Uma banda parcialmente cheia conduz; uma banda cheia sob uma lacuna larga não pode; uma lacuna estreita deixa a temperatura (ou a luz, ou a [dopagem](#def-b3-electrons-in-solids-doping)) negociar — toda a utilidade do [semicondutor](#def-b3-electrons-in-solids-classes) é a condutividade dele ser *ajustável*.*

## 24.3 Projetando a lacuna: dopagem e junção

**Definição 24.5 (Dopagem).**

Substitua um átomo de silício em um milhão por fósforo (cinco elétrons de valência): quatro ligações ficam satisfeitas e o quinto elétron, ligado por meros $45\,\mathrm{meV}$ ([Exercício 24.10](#exo-b3-electrons-in-solids-10)), está livre à temperatura ambiente. Esses *doadores* fazem um [semicondutor](#def-b3-electrons-in-solids-classes) *tipo n*, com condução por elétrons; o boro (três elétrons) é um *aceitador*, que agarra um elétron de ligação e libera uma *lacuna* móvel — um elétron que falta, que se move, responde a campos e carrega carga positiva tão genuinamente quanto uma bolha carrega empuxo: o *tipo p*. A dopagem faz a densidade de portadores — e portanto a condutividade — oscilar por seis ordens de grandeza à vontade: o botão que transforma areia em circuito.

**Proposição 24.6 (A junção p–n).**

Junte o tipo p ao tipo n. Os elétrons transbordam rumo às lacunas e as aniquilam perto da interface, expondo uma *[zona de depleção](#prop-b3-electrons-in-solids-junction)* de dopantes ionizados fixos, cuja camada dupla constrói um campo interno — equilíbrio na tensão de barreira $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e)
\ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/n_{\text{i}}^2) \approx
0.7\,\mathrm{V}$ no silício. A junção então retifica: a polarização direta baixa a barreira e a corrente cresce como $\eu^{eV/k_{\text{B}}T}$; a polarização reversa a levanta e só flui uma fuga $I_0$:

$$
I = I_0\big(\eu^{eV/k_{\text{B}}T} - 1\big) .
$$

Essa assimetria é o *diodo* — e, nas variantes dele, o LED (os pares que se recombinam emitem fótons da energia da lacuna), a célula solar (os fótons da energia da lacuna criam pares que o campo de barreira varre para fora: [Problema 24.1](#pb-b3-electrons-in-solids-1)) e, dobrada em sanduíches, o transistor: o interruptor de que um chip moderno imprime centenas de bilhões.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![A lei do diodo. A tensão direta é paga exponencialmente; a tensão reversa só compra a fuga I_0. Uma junção retifica; duas fazem um transistor; um metro quadrado delas, ao sol, faz uma usina.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electrons-in-solids/fig-d33bebddfbed.svg)

*A lei do diodo. A tensão direta é paga exponencialmente; a tensão reversa só compra a fuga $I_0$. Uma junção retifica; duas fazem um transistor; um metro quadrado delas, ao sol, faz uma usina.*

![Uma pastilha de silício acabada: centenas de chips, cada um com bilhões de junções, impressos num único cristal dopado — a teoria de bandas como a receita de manufatura mais consequente do século XX.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electrons-in-solids/img-bb4e74add7d4.jpg)

*Uma pastilha de silício acabada: centenas de chips, cada um com bilhões de junções, impressos num único [cristal](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) dopado — a teoria de bandas como a receita de manufatura mais consequente do século XX.*

## 24.4 Exercícios

**Exercício 24.1 ★.**

O cobre de Drude. $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, resistividade $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$. Calcule (a) $\tau =
m_{\text{e}}/ne^2\rho$; (b) o livre caminho médio usando a velocidade de Fermi $v_{\text{F}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (c) esse caminho em [constantes de rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) ($a = 3.61\,\text{Å}$); (d) explique por que um voo tão longo já sugere que os próprios íons não fazem o espalhamento.

**Solução de Exercício 24.1.**

(a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$. (b) $\ell =
v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$. (c) Cerca de 110 [constantes de rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice). (d) Um elétron que navega por uma centena de íons sem espalhar não pode estar ricocheteando nos próprios íons — a [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) tem de ser transparente para ele, exatamente o que o teorema de Bloch ([Teorema 24.3](#thm-b3-electrons-in-solids-bloch)) prova mais tarde.

**Exercício 24.2 ★.**

O caracol no fio. Um fio de cobre de $1\,\mathrm{mm}^{2}$ carrega $10\,\mathrm{A}$. (a) Calcule a [velocidade de deriva](#prop-b3-electrons-in-solids-drude). (b) Quanto tempo um elétron levaria para atravessar um cabo de abajur de $1\,\mathrm{m}$? (c) Por que a lâmpada acende instantaneamente mesmo assim? (d) Compare $v_{\text{d}}$ com $v_{\text{F}}$ e comente o fliperama de Drude.

**Solução de Exercício 24.2.**

(a) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — menos de um milímetro por segundo. (b) Cerca de 23 minutos. (c) O *campo* se estabelece ao longo do fio quase à velocidade da luz e põe todo o mar de elétrons a derivar de uma vez: os marchadores são lentos, a ordem de marchar não é. (d) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim
10^{-9}$: a condução é um viés imperceptível sobre um movimento quântico violento, não um escoamento clássico calmo.

**Exercício 24.3 ★.**

Separando por bandas. Classifique, com a regra do preenchimento de bandas: (a) sódio (um elétron de valência); (b) magnésio (dois — e ainda assim um [metal](#def-b3-electrons-in-solids-classes): o que as bandas dele têm de fazer?); (c) diamante ($E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$); (d) silício ($1.12\,\mathrm{eV}$) — e diga, para cada um, o sinal de $\dd\rho/\dd T$.

**Solução de Exercício 24.3.**

(a) Banda semipreenchida: [metal](#def-b3-electrons-in-solids-classes), $\dd\rho/\dd T > 0$. (b) Dois elétrons preencheriam exatamente a banda dele — o magnésio conduz porque a banda cheia dele *se sobrepõe* à próxima, vazia: [metal](#def-b3-electrons-in-solids-classes), $\dd\rho/\dd T > 0$. (c) Banda cheia, lacuna de $5.5\,\mathrm{eV}$: [isolante](#def-b3-electrons-in-solids-classes) (formalmente $\dd\rho/\dd T < 0$, mas essencialmente sem portadores para contar). (d) [Semicondutor](#def-b3-electrons-in-solids-classes): $\dd\rho/\dd T < 0$, a troca de sinal exponencial que denuncia a classe.

**Exercício 24.4 ★.**

Lacunas e fótons. (a) Que comprimento de onda de fóton corresponde à lacuna do silício, e em que região espectral o silício fica transparente? (b) O mesmo para o diamante: por que ele é claro no visível? (c) Um LED de nitreto de gálio tem $E_{\text{g}} =
3.4\,\mathrm{eV}$: que borda de cor isso fixa, e por que os LEDs azuis precisaram deste material? (d) Por que um LED vermelho morre escuro em vez de brilhar fracamente em branco quando sobrecarregado?

**Solução de Exercício 24.4.**

(a) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: o silício é transparente no infravermelho além disso — e é por isso que as câmeras infravermelhas podem ter lentes de silício. (b) $225\,\mathrm{nm}$, no ultravioleta: fóton visível algum pode ser absorvido, e por isso o diamante é claro como água. (c) $365\,\mathrm{nm}$: uma lacuna larga o bastante para o azul ($2.8\,\mathrm{eV}$) existe nos nitretos e em quase mais nada prático — o LED azul esperou décadas pelo crescimento de materiais. (d) A lacuna dele fixa o fóton dele: sobrecarregar acrescenta calor, não largura de lacuna, e o diodo cozinha no escuro — a cor de um LED é uma constante do material, não um ajuste de brilho.

**Exercício 24.5 ★★.**

Wiedemann–Franz. (a) A partir do $\kappa =
400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ e do $\sigma = 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ do cobre a $300\,\mathrm{K}$, calcule $\kappa/\sigma T$. (b) Compare com o valor de Sommerfeld $L = \pi^2k_{\text{B}}^2/3e^2 =
2.44 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$. (c) Explique em uma frase por que um só tipo de portador amarra as duas condutividades. (d) Panelas de cozinha e os cabos delas: use a lei para explicar as escolhas de material de uma cozinha.

**Solução de Exercício 24.5.**

(a) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) =
2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$. (b) A dez por cento de $L$. (c) Os mesmos elétrons da superfície de Fermi carregam a carga e o calor, e assim o tempo de espalhamento deles se cancela na razão. (d) A panela de aço conduz calor à comida porque os elétrons dela se movem; o cabo de madeira, [isolante](#def-b3-electrons-in-solids-classes) nos dois sentidos, mantém esses elétrons — e o calor — longe da sua mão.

**Exercício 24.6 ★★.**

A absolvição da capacidade térmica. (a) Drude prevê $\tfrac32nk_{\text{B}}$ dos elétrons: com o $n$ do cobre, que fração isso acrescentaria ao $3nk_{\text{B}}$ da [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) (um elétron de condução por átomo)? (b) O [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics) dá, em vez disso, $C_{\text{el}}
\sim \tfrac{\pi^2}{2}nk_{\text{B}}(T/T_{\text{F}})$: avalie a supressão $T/T_{\text{F}}$ a $300\,\mathrm{K}$ ($T_{\text{F}} = 8.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$). (c) Por que o termo eletrônico mesmo assim *vence* nas temperaturas do hélio líquido (lembre o $T^3$ da [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice))? (d) Que medida, traçada como $C/T$ contra $T^2$, desembaraça os dois?

**Solução de Exercício 24.6.**

(a) Cinquenta por cento a mais — flagrantemente ausente do experimento. (b) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$: o termo eletrônico fica estrangulado abaixo de um por cento. (c) O $T^3$ da [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) desaba mais depressa que o $T$ dos elétrons: abaixo de alguns kelvins, os elétrons “desprezíveis” são tudo o que resta. (d) $C/T =
\gamma + \beta T^2$: o intercepto $\gamma$ pesa os elétrons, e a inclinação $\beta$, a [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) — um gráfico, os dois inquilinos.

**Exercício 24.7 ★★.**

A superfície de Fermi encontra a zona. (a) Para o cobre, calcule o comprimento de onda de Fermi $\lambda_{\text{F}} = 2\pi/k_{\text{F}}$ com $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3}$. (b) Compare com $2a$: quão perto a superfície de Fermi está da condição de Bragg? (c) Explique fisicamente por que as duas ondas estacionárias em $k = \pi/a$ (carga sobre os íons contra carga entre eles) têm de diferir em energia. (d) Que fato experimental do [Exercício 24.1](#exo-b3-electrons-in-solids-1) o teorema do não espalhamento de Bloch finalmente explica?

**Solução de Exercício 24.7.**

(a) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$: $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$. (b) $2a =
7.2\,\text{Å}$: a mesma ordem — a superfície de Fermi do cobre chega perto da fronteira da zona, e a física que abre a lacuna acontece *nas* energias que importam. (c) Uma onda estacionária acumula a carga dela sobre os íons positivos (energia eletrostática menor), e a outra, entre eles (maior): mesmo comprimento de onda, duas energias — a lacuna. (d) O caminho livre de 110 [constantes de rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice): as ondas de Bloch não espalham numa [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) perfeita, e assim só sobram vibrações e impurezas para resistir.

**Exercício 24.8 ★★.**

O termômetro exponencial. O silício intrínseco tem $n_{\text{i}}
\propto \eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$. (a) Calcule a razão de densidades de portadores entre $400\,\mathrm{K}$ e $300\,\mathrm{K}$. (b) Esboce daí a resistência de um termistor contra a temperatura e contraste-a com a de um fio de platina. (c) Por que o fator 2 no expoente (o que é criado *aos pares*?). (d) Estime a temperatura em que a eletrônica de silício falha porque os portadores intrínsecos afogam uma [dopagem](#def-b3-electrons-in-solids-doping) de $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($n_{\text{i}}(300\,\text{K}) \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$).

**Solução de Exercício 24.8.**

(a) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$: $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$. (b) A resistência do termistor despenca exponencialmente — uma curva íngreme e sensível; a da platina sobe suave e linearmente (mais fônons). Um é um termômetro por contagem de portadores; o outro, por espalhamento. (c) Os portadores nascem em *pares* elétron–lacuna, e o equilíbrio $np = n_{\text{i}}^2$ reparte o custo da lacuna entre os dois — daí o $E_{\text{g}}/2$. (d) O $n_{\text{i}}$ chega a $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ perto de $760\,\mathrm{K}$: a [dopagem](#def-b3-electrons-in-solids-doping) se afoga e o circuito esquece o projeto dele. Os dispositivos reais desistem antes — as fugas reversas deles, que dobram a cada dez kelvins, se comportam mal primeiro.

**Exercício 24.9 ★★.**

Aritmética da [dopagem](#def-b3-electrons-in-solids-doping). O silício tem $5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ átomos. (a) Um fósforo por milhão de átomos de silício: que densidade de portadores, e que razão com $n_{\text{i}} \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$? (b) Por que fator uma ppm de sujeira mudou a condutividade? (c) Explique por que a fabricação de [semicondutores](#def-b3-electrons-in-solids-classes) primeiro purifica a partes por *bilhão* antes de dopar de propósito. (d) Estime a distância média entre [doadores](#def-b3-electrons-in-solids-doping) e compare com a órbita de $2.4\,\mathrm{nm}$ do [Exercício 24.10](#exo-b3-electrons-in-solids-10).

**Solução de Exercício 24.9.**

(a) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — cinco milhões de vezes o $n_{\text{i}}$. (b) O mesmo fator $\sim5\times10^6$: um grãozinho por milhão de átomos manda sozinho na condutividade. (c) Porque uma ppm acidental faria o mesmo sem convite: só um [cristal](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) puro a ppb tem uma condutividade que pertence ao projetista. (d) $d \sim n^{-1/3}
\approx 27\,\mathrm{nm}$, dez vezes a órbita de $2.4\,\mathrm{nm}$: os [doadores](#def-b3-electrons-in-solids-doping) são hidrogênios isolados; aumente a [dopagem](#def-b3-electrons-in-solids-doping) cem vezes e as órbitas se tocam — uma banda de impurezas e, no fim, um [metal](#def-b3-electrons-in-solids-classes).

**Exercício 24.10 ★★★.**

O [doador](#def-b3-electrons-in-solids-doping) como [átomo de hidrogênio](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/11-o-atomo-de-hidrogenio#thm-b3-hydrogen-atom-levels). O quinto elétron do fósforo orbita o íon $+e$ dele *dentro* do silício: blinde o Coulomb por $\varepsilon_{\text{r}} = 11.7$ ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/22-eletromagnetismo-na-materia#ch-b3-electromagnetism-in-matter)) e alivie o elétron até a massa de banda efetiva dele, $m^* = 0.26\,m_{\text{e}}$. (a) Reescale os resultados do hidrogênio do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/11-o-atomo-de-hidrogenio#ch-b3-hydrogen-atom): mostre que $E = 13.6\,\mathrm{eV}\times(m^*/m_{\text{e}})/
\varepsilon_{\text{r}}^2$ e avalie. (b) Compare com $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$: os [doadores](#def-b3-electrons-in-solids-doping) estão ionizados? (c) Reescale o [raio de Bohr](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/11-o-atomo-de-hidrogenio#thm-b3-hydrogen-atom-levels) do mesmo modo. (d) A órbita cobre dezenas de células da [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice): explique por que isso justifica, de modo autoconsistente, usar $\varepsilon_{\text{r}}$ e $m^*$ afinal.

**Solução de Exercício 24.10.**

(a) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (o valor medido do fósforo, $45\,\mathrm{meV}$, mantém a escala honesta). (b) Comparável a $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$: essencialmente todos os [doadores](#def-b3-electrons-in-solids-doping) estão ionizados à temperatura ambiente — a premissa da [Definição 24.5](#def-b3-electrons-in-solids-doping). (c) $a =
0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/
m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$. (d) Uma órbita que cobre dezenas de células vê o [cristal](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) como um meio liso — que é precisamente a condição sob a qual um $\varepsilon_{\text{r}}$ de volume e um $m^*$ médio de banda são legítimos: a aproximação se certifica sozinha.

**Exercício 24.11 ★★★.**

Números da junção. Um diodo de silício tem $N_{\text{a}} =
N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, $n_{\text{i}} =
1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$, $T = 300\,\mathrm{K}$. (a) Calcule $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e)\ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/
n_{\text{i}}^2)$. (b) Pela lei do diodo, calcule a razão das correntes em $+0.5\,\mathrm{V}$ e $-0.5\,\mathrm{V}$. (c) Por que o $I_0$ — e portanto a fuga reversa — mais ou menos dobra a cada $10\,\mathrm{K}$? (d) Uma ponte de quatro diodos assim transforma CA em CC: esboce em palavras a ideia do circuito.

**Solução de Exercício 24.11.**

(a) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$. (b) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$: razão $\eu^{19.3} \approx
2\times10^{8}$ — o diodo é uma via de mão única com oito dígitos. (c) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto
\eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$: a mesma exponencial do [Exercício 24.8](#exo-b3-electrons-in-solids-8), daí a duplicação da regra de bolso. (d) Os quatro diodos formam um losango: a cada meio ciclo, o par que estiver diretamente polarizado guia a corrente pela carga no *mesmo* sentido — CA na entrada, CC acidentada na saída.

**Exercício 24.12 ★★★.**

Projetando a lacuna solar. (a) Os fótons abaixo de $E_{\text{g}}$ passam direto; a energia de fóton acima de $E_{\text{g}}$ se perde como calor em picossegundos. Explique o compromisso resultante na escolha de $E_{\text{g}}$. (b) O ótimo perto de $1.3\,\mathrm{eV}$ limita a eficiência de junção única a cerca de um terço (Shockley–Queisser): onde fica o silício ($1.12\,\mathrm{eV}$)? (c) Por que as pilhas em tandem (uma célula de lacuna larga sobre uma de lacuna estreita) superam o limite? (d) Por que um painel solar *quente* é um painel pior? (Duas razões honestas do capítulo: o $I_0$ da lei do diodo e o leve encolhimento da lacuna com o $T$.)

**Solução de Exercício 24.12.**

(a) Estreite a lacuna e mais fótons a vencem, mas cada um entrega apenas a pequena energia da lacuna; alargue-a e cada fóton paga mais, mas menos se qualificam: colheita $\times$ tensão tem máximo no meio. (b) Logo abaixo do ótimo de $1.3\,\mathrm{eV}$: o teto ideal do silício é de $\sim30\,\%$ — perto o bastante para que a barateza dele vença. (c) A célula de cima, de lacuna larga, pega o azul em alta tensão e passa o vermelho para a célula de lacuna estreita embaixo: cada fóton é colhido perto da energia dele, a termalização encolhe e o teto da pilha sobe rumo aos quarenta. (d) O calor eleva o $I_0$ exponencialmente, arrastando para baixo a tensão de circuito aberto $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$; e a própria lacuna se estreita um pouco, trocando tensão por corrente que ela não recupera por inteiro.

![Réplica do primeiro transistor (Bell Laboratories, 1947, domínio público): dois contatos de ouro pressionados sobre uma lasca de germânio. A primeira máquina da teoria de bandas — e, por descendência, todas as outras.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electrons-in-solids/img-0a49a6d4e4f8.jpg)

*Réplica do primeiro transistor (Bell Laboratories, 1947, domínio público): dois contatos de ouro pressionados sobre uma lasca de germânio. A primeira máquina da teoria de bandas — e, por descendência, todas as outras.*

## 24.5 Problema: o referendo do telhado

**Problema 24.1.**

*O referendo do telhado.* O seu vizinho está decidindo se cobre a casa dele com painéis fotovoltaicos e nomeou você, o físico, como árbitro. O painel candidato: silício, $2\,\mathrm{m}^{2}$, sessenta células em série, com $400\,\mathrm{W}$ nominais sob os $1000\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ padrão da luz solar de meio-dia.

**Parte I — A luz do Sol encontra a lacuna.**

1. A luz solar é grosso modo um espectro térmico a $5800\,\mathrm{K}$ ( [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/20-fotons-e-fonons#ch-b3-photons-phonons) ): calcule em eV a energia dos fótons do máximo dela (Wien).
2. A lacuna do silício é de $1.12\,\mathrm{eV}$ : qual é o maior comprimento de onda que uma célula de silício consegue colher?
3. Cerca de um quinto da potência do Sol chega em fótons abaixo da lacuna. O que acontece com ela no painel?
4. Um fóton verde de $2.5\,\mathrm{eV}$ é absorvido: quanto da energia dele sobrevive como energia de par elétron–lacuna, e para onde vai o resto, e com que rapidez?
5. Combine os itens 3 e 4 no veredito do espectro: cerca de metade da potência incidente some antes de qualquer eletrônica começar. Enuncie os dois canais de perda em uma frase cada.
6. Por que um fóton precisa de $\ge E_{\text{g}}$ , afinal — o que proíbe absorver dois fótons de meia lacuna em rápida sucessão no silício comum?

**Parte II — A junção como motor.**

7. Cada célula é uma [junção p–n](#prop-b3-electrons-in-solids-junction) . Explique em três frases como o campo de barreira da [zona de depleção](#prop-b3-electrons-in-solids-junction) transforma um par criado em corrente externa — que portador vai para que lado, e por que eles não se recombinam simplesmente.
8. Com $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , calcule $V_{\text{bi}}$ a $300\,\mathrm{K}$ .
9. Uma célula em operação entrega cerca de $0.6\,\mathrm{V}$ . Sessenta em série: qual é a tensão de operação do painel?
10. A partir dos $400\,\mathrm{W}$ nominais, deduza a corrente de operação.
11. Estime o fluxo de fótons (fótons por segundo) que o painel absorve de modo útil, tomando $\sim2\,\mathrm{eV}$ por fóton absorvido, e compare com o fluxo de elétrons que a sua corrente implica: que fração dos fótons absorvidos rende um elétron coletado?
12. A eficiência nominal: $400\,\mathrm{W}$ a partir de $2000\,\mathrm{W}$ incidentes. Concilie os 20 % com a “metade perdida antes da eletrônica” da Parte I: para onde vão os trinta pontos restantes?
13. Por que a célula entrega $0.6\,\mathrm{V}$ e não o $1.12\,\mathrm{V}$ inteiro da lacuna? (Nomeie o culpado na lei do diodo.)

**Parte III — Telhados reais.**

14. Um meio-dia de inverno sem nuvens na latitude $50^\circ$ entrega luz a $30^\circ$ de elevação. Calcule o fator geométrico em relação à incidência normal num painel horizontal.
15. A ficha técnica do painel lista $-0.4\,\%/\text{K}$ de saída: um painel de telhado preto chega a $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ no verão. Quanto do valor nominal sobrevive?
16. Explique a perda por temperatura com o [Exercício 24.12](#exo-b3-electrons-in-solids-12) (d).
17. Uma chaminé sombreia uma célula das sessenta. Por que isso pode estrangular toda a série — e o que a própria natureza de diodo da célula faz com a pobre célula sombreada?
18. Os fabricantes ligam um *diodo de desvio* em cada sub-série: explique a função dele em uma frase.
19. Na média dos dias e do tempo, o telhado rende $15\,\%$ da potência nominal. Estime a energia anual do painel de $400\,\mathrm{W}$ , em quilowatt-hora.

**Parte IV — O veredito.**

20. A $0.25\,\mathrm{euros}$ por kWh, quanto o painel rende por ano? Com um custo instalado de $300\,\mathrm{euros}$ , qual é o tempo de retorno?
21. O painel levou aproximadamente $500\,\mathrm{kWh}$ para ser fabricado (o silício é purificado por fusão): quanto tempo até ele ter pago a própria energia?
22. O seu vizinho pergunta por que o painel não pode ser “simplesmente pintado de preto” para pegar o quinto abaixo da lacuna. Responda com teoria de bandas em duas frases.
23. Ele pergunta em seguida por que não empilhar embaixo um segundo painel de lacuna menor: responda com o [Exercício 24.12](#exo-b3-electrons-in-solids-12) (c) — e nomeie o empecilho prático.
24. Trinta anos depois, o painel desbotou para 85 % do valor nominal dele. Que vilões microscópicos deste capítulo (lembre o que limita o $\tau$ , e o que as junções temem) envelhecem plausivelmente uma célula?
25. Entregue o resumo do árbitro em quatro linhas: a física da lacuna fixa a colheita, a junção a converte, a fiação em série e a temperatura a tributam, e o livro-caixa — energia e euros — fecha a favor do painel.

**Solução de Problema 24.1.**

**1.** $\lambda_{\text{máx}} \approx 500\,\mathrm{nm}$: cerca de $2.5\,\mathrm{eV}$. **2.** $hc/E_{\text{g}} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. **3.** Ela atravessa as células (não há estado final em que absorver) e termina como calor no substrato — aquecendo o telhado, não os fios. **4.** Os $1.12\,\mathrm{eV}$ sobrevivem como o par; o excesso de $1.4\,\mathrm{eV}$ escoa para os fônons em picossegundos — mais depressa do que qualquer circuito poderia interceptar. **5.** A transparência abaixo da lacuna ($\sim20\,\%$ da potência) e a termalização acima dela ($\sim30\,\%$): o espectro é taxado pela metade antes de a junção ver um único elétron. **6.** A absorção é um salto quântico de um só fóton que precisa de um estado final real; em meia lacuna não há nenhum em que pausar, e os eventos de dois fótons são desprezíveis nas densidades de fótons da luz solar. **7.** Os pares criados na [zona de depleção](#prop-b3-electrons-in-solids-junction) ou perto dela sentem o campo de barreira: os elétrons são varridos para o lado n, e as lacunas para o lado p, e o campo os separa mais depressa do que eles conseguem se encontrar para recombinar — a carga se acumula até que um circuito externo a alivie como corrente. **8.** $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx
0.71\,\mathrm{V}$. **9.** $60\times0.6\,\mathrm{V} = 36\,\mathrm{V}$. **10.** $I = 400/36 \approx 11\,\mathrm{A}$. **11.** No painel inteiro, a luz acima da lacuna é de $\sim1400\,\mathrm{W}$ a $\sim2\,\mathrm{eV}$ cada: $4\times10^{21}$ fótons por segundo — mas as sessenta células estão em *série*, e assim os $11\,\mathrm{A}$ (um fluxo de elétrons $I/e \approx
7\times10^{19}\,\mathrm{s}^{-1}$) passam por cada célula, cuja parcela de fótons é $4\times10^{21}/60 \approx
7\times10^{19}$ por segundo: quase todo fóton absorvido rende um elétron coletado. A eficiência quântica é excelente; as perdas são energéticas, não numéricas. **12.** Depois dos 50 % do espectro, a célula paga o déficit de tensão ($0.6/1.12 \approx 54\,\%$) e alguns pontos de reflexão e recombinação: $0.5\times0.54 \approx 27\,\%$, aparados até os 20 % nominais. **13.** A fuga $I_0$: a tensão de circuito aberto $(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ para onde a fotocorrente e a fuga do diodo se equilibram — cerca de $0.6\,\mathrm{V}$, bem aquém da lacuna. **14.** $\sin30^\circ = 0.5$: metade do valor nominal de meio-dia só pela geometria — antes das nuvens. **15.** $\Delta T = 40\,\mathrm{K}$: $-16\,\%$, deixando $\approx335\,\mathrm{W}$ — os dias mais ensolarados não são os melhores dias por watt. **16.** O calor infla o $I_0$ exponencialmente, e a tensão de circuito aberto — a repreensão de um logaritmo — cai uma fração de por cento por kelvin; a lacuna ligeiramente encolhida termina o serviço. **17.** A fiação em série impõe uma corrente comum: a célula sombreada, que não gera nada, é levada à polarização reversa pelas cinquenta e nove colegas dela e dissipa a potência delas como ponto quente — a série se estrangula até a célula mais fraca. **18.** O diodo de desvio dá à corrente um caminho direto em volta da sub-série sombreada, sacrificando a tensão dele em vez da saída do painel inteiro. **19.** $400\,\mathrm{W}\times0.15\times8760\,\mathrm{h} \approx
530\,\mathrm{kWh}$ por ano. **20.** $\approx130\,\mathrm{euros}$ por ano: retorno em cerca de $300/130 \approx 2.5$ anos, e depois duas décadas de lucro. **21.** $500/530 \approx$ um ano: o painel paga a energia de fabricação dele mais ou menos tão rápido quanto o preço. **22.** O preto não é uma escolha, e sim uma [estrutura de bandas](#thm-b3-electrons-in-solids-bloch): a absorção precisa de um estado vazio uma energia de fóton acima de um cheio, e abaixo da lacuna o silício simplesmente não tem nenhum a oferecer — a tinta não acrescenta estados. **23.** Empilhe em cima uma célula de lacuna larga para pegar o azul em alta tensão e passar o vermelho adiante: o tandem bate o teto de junção única. O empecilho: a pilha em série tem de casar correntes (e preços) entre as camadas. **24.** Tudo o que encurta o $\tau$ e envenena junções: defeitos criados por UV e impurezas que se difundem para dentro espalham e aprisionam portadores, a umidade corrói contatos e os pontos quentes envelhecem os diodos — a lenta entropia de um [cristal](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) a quem se pede sentar ao sol por trinta anos. **25.** A lacuna colhe metade do Sol; a junção transforma pares em $36\,\mathrm{V}$ de corrente ordenada; as séries, a sombra e o calor do verão cobram o quinhão deles; e a $\sim530\,\mathrm{kWh}$ por ano contra um retorno energético de um ano e monetário de três, o árbitro decide: cubra o telhado.