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title: "Física nuclear"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear
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# Capítulo 25 — Física nuclear

O volume do ensino médio contou o esboço da história: os átomos têm núcleos; alguns núcleos se desfazem, em prazos que vão de microssegundos a bilhões de anos; e gramas de matéria escondem megatons de energia. Este capítulo reabre o núcleo com as ferramentas do terceiro ano. Um modelo de gota com cinco termos prevê a ligação de centenas de [nuclídeos](#def-b3-nuclear-physics-nuclide) com precisão de por cento; o tunelamento quântico — o problema da barreira do volume do segundo ano, promovido — explica como uma só fórmula cobre vinte e cinco ordens de grandeza nos tempos de vida do decaimento $\alpha$; e o discreto máximo da curva de [energia de ligação](#prop-b3-nuclear-physics-binding) no ferro divide toda a tecnologia nuclear em dois campos: partir os pesados (reatores) ou juntar os leves (as estrelas e, um dia, as usinas). O capítulo termina à beira de uma piscina de reator, brilhando no azul de Cherenkov.

## 25.1 O núcleo: uma gota saturada

**Definição 25.1 (Nuclídeos, tamanho e densidade).**

Um *nuclídeo* $^{A}_{Z}\text{X}$ guarda $Z$ prótons e $N = A -
Z$ nêutrons, ligados pela *interação forte*: intensa (${\sim}100\,\times$ a de Coulomb no contato), de curto alcance (${\sim}1\,\mathrm{fm}$, sentida só pelos vizinhos que se tocam) e cega à carga (ela agarra prótons e nêutrons por igual). Os experimentos de espalhamento dão a todo núcleo a mesma receita: raio

$$
R = r_0A^{1/3} , \qquad r_0 \approx 1.2\,\mathrm{fm} ,
$$

e assim o volume cresce como $A$ e a densidade é um valor universal, $\rho \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — uma gota de chuva disso pesaria como uma frota de petroleiros, e o [Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/27-astrofisica#ch-b3-astrophysics) encontrará estrelas inteiras nesta densidade. Os *isótopos* compartilham o $Z$, mas diferem no $N$: mesma química, destinos nucleares diferentes.

**Proposição 25.2 (Defeito de massa e energia de ligação).**

Um núcleo ligado pesa *menos* que as partes dele; pelo [Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#ch-b3-relativistic-dynamics), a massa que falta é a [energia de ligação](#prop-b3-nuclear-physics-binding),

$$
B = \big(Zm_{\text{p}} + Nm_{\text{n}} - m_{\text{núcleo}}\big)c^2 ,
$$

tipicamente ${\sim}8\,\mathrm{MeV}$ *por núcleon* — um milhão de vezes a química. Traçado por núcleon, o $B/A$ sobe abruptamente pelos núcleos leves (os efeitos de superfície somem), tem máximo em $\approx8.8\,\mathrm{MeV}$ perto do ferro-56 e então declina à medida que a repulsão de Coulomb, de longo alcance e sem saturação, taxa os pesos-pesados. As duas encostas são minas de energia: a *fusão* sobe a da esquerda (o negócio do Sol) e a *fissão* desce a da direita (o do reator) — e o ferro, no cume, é cinza nuclear para as duas.

![A curva de energia de ligação — talvez o gráfico mais consequente da física. Os núcleos leves ganham ao se fundir, e os pesados ao se partir; por quilograma, a encosta da esquerda paga cerca de quatro vezes melhor, e o Sol está nela.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-nuclear-physics/fig-5b1c03ae3d6d.svg)

*A curva de [energia de ligação](#prop-b3-nuclear-physics-binding) — talvez o gráfico mais consequente da física. Os núcleos leves ganham ao se fundir, e os pesados ao se partir; por quilograma, a encosta da esquerda paga cerca de quatro vezes melhor, e o Sol está nela.*

**Proposição 25.3 (A fórmula semiempírica de massa).**

Modele o núcleo como uma gota líquida carregada e a curva inteira sai de cinco termos:

$$
B = a_{\text{V}}A - a_{\text{S}}A^{2/3}
- a_{\text{C}}\frac{Z^2}{A^{1/3}}
- a_{\text{A}}\frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A) ,
$$

com (em $\mathrm{MeV}$) $a_{\text{V}} = 15.8$ (cada núcleon se liga aos vizinhos dele: volume), $a_{\text{S}} = 17.8$ (os núcleons da superfície se ligam a menos: a “tensão superficial” da gota), $a_{\text{C}} = 0.71$ (Coulomb, o sabotador de longo alcance), $a_{\text{A}} = 23.7$ (assimetria: pelo [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics), prótons e nêutrons preenchem duas escadas de Fermi separadas, mais baratas quando igualmente cheias) e $\delta$, um pequeno bônus de emparelhamento para números pares ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles)). Minimizar a $A$ fixo traça o *[vale de estabilidade](#prop-b3-nuclear-physics-semf)*: $N \approx Z$ para os núcleos leves, curvando-se rumo ao excesso de nêutrons ($N/Z \to 1.5$) à medida que Coulomb pune os prótons — e os [nuclídeos](#def-b3-nuclear-physics-nuclide) fora do vale rolam de volta por decaimento $\beta$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![O vale de estabilidade. Os núcleos leves equilibram as duas escadas de Fermi deles (N = Z); os pesados diluem a conta de Coulomb com nêutrons extras. Um nuclídeo fora do fundo do vale decai por de volta rumo a ele — e os fragmentos de fissão, nascidos bem acima da linha, são furiosamente radioativos exatamente por isso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-nuclear-physics/fig-e618a99ef10b.svg)

*O [vale de estabilidade](#prop-b3-nuclear-physics-semf). Os núcleos leves equilibram as duas escadas de Fermi deles ($N = Z$); os pesados diluem a conta de Coulomb com nêutrons extras. Um [nuclídeo](#def-b3-nuclear-physics-nuclide) fora do fundo do vale decai por $\beta$ de volta rumo a ele — e os fragmentos de fissão, nascidos bem acima da linha, são furiosamente radioativos exatamente por isso.*

## 25.2 Radioatividade, pelo relógio

**Teorema 25.4 (A lei do decaimento).**

Um núcleo instável não tem memória nem envelhece: em cada segundo que ele vive, decai com a mesma probabilidade $\lambda$. Para $N$ núcleos, $\dd N = -\lambda N\,\dd t$, e assim

$$
N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} = N_0\,2^{-t/T_{1/2}} ,
\qquad T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda} ,
$$

e a *atividade* $\mathcal A = \lambda N$ (decaimentos por segundo, $\mathrm{Bq}$) esmaece na mesma exponencial. As meias-vidas vão de microssegundos a bilhões de anos; a estatística do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/16-o-ensemble-microcanonico#ch-b3-microcanonical-ensemble) garante que, enquanto um núcleo é perfeitamente imprevisível, um mol deles marca tempo exponencial melhor que qualquer relógio — o alicerce da datação radiométrica.

**Demonstração.** Probabilidade constante por segundo significa $N(t + \dd t) = N(t)(1 -
\lambda\dd t)$; integre. Impor $N/N_0 = \tfrac12$ dá o $T_{1/2}$. ∎

![Decaimento exponencial: indivíduos sem memória, população pontual. Duas meias-vidas deixam um quarto; dez deixam um milésimo — a régua com que os físicos datam carvão, geleiras e a Terra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-nuclear-physics/fig-e2aa430ab287.svg)

*Decaimento exponencial: indivíduos sem memória, população pontual. Duas meias-vidas deixam um quarto; dez deixam um milésimo — a régua com que os físicos datam carvão, geleiras e a Terra.*

**Observação 25.5 (Três portas para fora de um núcleo).**

$\boldsymbol\alpha$: um núcleo pesado emite um aglomerado de $^4$He. Classicamente impossível — a barreira de Coulomb chega a $25\,\mathrm{MeV}$ e o $\alpha$ sai com $5\,$–$9\,\mathrm{MeV}$ — isso acontece por *tunelamento* (a barreira do volume do segundo ano, agora curva): a sensibilidade exponencial de Gamow transforma um fator dois em energia em vinte ordens de grandeza no tempo de vida, exatamente o padrão de Geiger–Nuttall ([Exercício 25.8](#exo-b3-nuclear-physics-8)). $\boldsymbol\beta$: um nêutron vira próton (ou vice-versa), emitindo um elétron (ou pósitron) e um neutrino — a *interação fraca* em ação, a força que restaura o vale; a história do neutrino espera pelo [Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#ch-b3-particle-physics). $\boldsymbol\gamma$: um núcleo excitado solta fótons de $\mathrm{MeV}$, o análogo nuclear das linhas espectrais do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/11-o-atomo-de-hidrogenio#ch-b3-hydrogen-atom). Os decaimentos se encadeiam até se chegar ao fundo do vale: a escada do urânio termina, catorze degraus depois, no chumbo estável.

## 25.3 Descendo as encostas: fissão e fusão

**Proposição 25.6 (A fissão e a reação em cadeia).**

Um nêutron lento absorvido pelo $^{235}$U faz uma gota trêmula que se parte: dois fragmentos de massa média, dois a três nêutrons novos e $\approx200\,\mathrm{MeV}$ — a diferença de $B/A$ entre os $7.6\,\mathrm{MeV}$ do urânio e os $8.5\,\mathrm{MeV}$ dos fragmentos, vezes 235. Os nêutrons liberados podem fissionar outros núcleos: com um fator de multiplicação $k$ (nêutrons por nêutron, uma geração depois), uma população cresce como $k^n$ — subcrítica ($k < 1$) se extingue, crítica ($k = 1$) se mantém, supercrítica explode. Um reator modera os nêutrons até velocidades lentas (a dieta preferida da fissão), se apoia nos 0,7 % de nêutrons que chegam *segundos* atrasados dos decaimentos dos fragmentos — o atraso que torna $k \approx 1$ humanamente ajustável — e deixa as barras de controle comerem o excedente ([Problema 25.1](#pb-b3-nuclear-physics-1)).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Fissão de gota líquida: um nêutron lento põe o 235U a tremer; a repulsão de Coulomb da gota deformada vence a tensão superficial dela, e ela se rasga em fragmentos ricos em nêutrons mais os nêutrons de sobra que tornam possível uma cadeia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-nuclear-physics/fig-866ebc8b2ff6.svg)

*Fissão de gota líquida: um nêutron lento põe o $^{235}$U a tremer; a repulsão de Coulomb da gota deformada vence a tensão superficial dela, e ela se rasga em fragmentos ricos em nêutrons mais os nêutrons de sobra que tornam possível uma cadeia.*

**Observação 25.7 (Fusão: a encosta mais difícil e melhor).**

Juntar núcleos leves paga $\sim4\times$ mais por quilograma que partir os pesados, e sem fragmentos de vida longa — mas os reagentes, ambos positivos, têm de tunelar a barreira de Coulomb mútua, o que exige temperaturas de $10^7$–$10^8\,\mathrm{K}$ ([Exercício 25.11](#exo-b3-nuclear-physics-11)). As estrelas conseguem por serem enormes ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/27-astrofisica#ch-b3-astrophysics): o Sol transforma $600\,$ milhões de toneladas de hidrogênio em hélio a cada segundo); os laboratórios conseguem com plasmas engarrafados por ímãs e, até aqui, um livro-caixa de energia ainda aquém das ambições de equilíbrio dele.

![Marie Curie (fotografia de Henri Manuel, por volta de 1920, domínio público): duas vezes laureada com o Nobel por abrir o assunto deste capítulo — o grama de rádio do era dela.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-nuclear-physics/img-03d2cd7d4296.jpg)

*Marie Curie (fotografia de Henri Manuel, por volta de 1920, domínio público): duas vezes laureada com o Nobel por abrir o assunto deste capítulo — o grama de rádio do [Exercício 25.4](#exo-b3-nuclear-physics-4) era dela.*

## 25.4 Exercícios

**Exercício 25.1 ★.**

Contabilidade. (a) Dê $Z$, $N$, $A$ para $^{12}$C, $^{14}$C, $^{235}$U, $^{238}$U. (b) Que pares são [isótopos](#def-b3-nuclear-physics-nuclide)? (c) Por que os [isótopos](#def-b3-nuclear-physics-nuclide) compartilham química, mas não estabilidade nuclear? (d) O $^{14}$C e o $^{14}$N compartilham $A = 14$: como se chamam [nuclídeos](#def-b3-nuclear-physics-nuclide) assim, e que decaimento os conecta?

**Solução de Exercício 25.1.**

(a) $^{12}$C: $6, 6, 12$; $^{14}$C: $6, 8, 14$; $^{235}$U: $92, 143, 235$; $^{238}$U: $92, 146, 238$. (b) Os carbonos; os urânios. (c) A química é a nuvem eletrônica, fixada pelo $Z$; a estabilidade é o equilíbrio $N$–$Z$ lá dentro. (d) Isóbaros — conectados pelo decaimento $\beta^-$: $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N}
+ \text{e}^- + \bar\nu$, a batida do relógio do radiocarbono.

**Exercício 25.2 ★.**

A densidade universal. (a) A partir de $R = r_0A^{1/3}$, mostre que a densidade nuclear independe de $A$ e avalie-a. (b) Calcule a massa de uma colher de chá ($5\,\mathrm{mL}$) de matéria nuclear. (c) Que fração do volume de um átomo o núcleo dele preenche (tome $R_{\text{át}} = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$, $A = 60$)? (d) O que a própria lei $A^{1/3}$ diz sobre o alcance da força forte?

**Solução de Exercício 25.2.**

(a) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A =
3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: o $A$ se cancela. (b) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — um bilhão de toneladas numa colher de chá. (c) $(R/R_{\text{át}})^3 \approx
(4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$: o átomo é espaço vazio com um grãozinho pesado. (d) Volume $\propto A$ significa que cada núcleon reivindica um espaço fixo e só se liga aos vizinhos que toca: a força satura no alcance do $\mathrm{fm}$.

**Exercício 25.3 ★.**

Pesando a cola. Massas nucleares: $m_{\text{p}} =
1.007\,276\,\mathrm{u}$, $m_{\text{n}} = 1.008\,665\,\mathrm{u}$, $m(^4\text{He}) = 4.001\,506\,\mathrm{u}$; $1\,\mathrm{u}\,c^2 = 931.5\,\mathrm{MeV}$. (a) Calcule o [defeito de massa](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#thm-b3-relativistic-dynamics-emc2) e a [energia de ligação](#prop-b3-nuclear-physics-binding) do $^4$He. (b) Dê o $B/A$. (c) Compare o $B$ com os $13.6\,\mathrm{eV}$ do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/11-o-atomo-de-hidrogenio#ch-b3-hydrogen-atom): quantas ordens de grandeza separam a cola nuclear da atômica? (d) Por que a ligação excepcional do $^4$He (o pico da figura) faz dele a moeda do decaimento $\alpha$?

**Solução de Exercício 25.3.**

(a) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 =
0.030\,376\,\mathrm{u}$: $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$. (b) $B/A =
7.07\,\mathrm{MeV}$. (c) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx
2\times10^6$: seis ordens de grandeza — e é por isso que o combustível nuclear supera o químico por um milhão. (d) O $\alpha$ é um pacote pré-montado e excepcionalmente barato: emiti-lo exporta quatro núcleons com um desconto de pechincha de $28.3\,\mathrm{MeV}$, que núcleon algum sozinho consegue igualar.

**Exercício 25.4 ★.**

O primeiro curie. Rádio-226: $T_{1/2} = 1600$ anos, massa molar $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$. Para um grama: (a) conte os núcleos; (b) calcule o $\lambda$; (c) calcule a atividade e compare com a unidade histórica $1\,\text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ (definida como exatamente este grama); (d) quanto do grama sobrevive depois de 4800 anos?

**Solução de Exercício 25.4.**

(a) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$. (b) $\lambda =
\ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$: um curie, por construção — o próprio grama dos Curie. (d) Três meias-vidas: $0.125\,\mathrm{g}$ de rádio (o resto agora é radônio e as filhas dele, marchando rumo ao chumbo).

**Exercício 25.5 ★★.**

A fórmula na prática. Com $a_{\text{V}} = 15.75$, $a_{\text{S}} = 17.8$, $a_{\text{C}} = 0.711$, $a_{\text{A}} = 23.7$ ($\mathrm{MeV}$) e emparelhamento $+12/\sqrt A$ para núcleos par–par: (a) calcule os quatro termos principais de $B$ para o $^{56}$Fe ($Z = 26$). (b) Some (com o emparelhamento) e compare o $B/A$ com os $8.79\,\mathrm{MeV}$ medidos. (c) Que dois termos brigam mais forte, e o que o equilíbrio deles fixa? (d) Por que o termo de Coulomb, sozinho, tem de crescer *mais rápido* que $A$?

**Solução de Exercício 25.5.**

(a) Volume $+882$; superfície $-261$; Coulomb $-0.711\times676/3.83
= -126$; assimetria $-23.7\times16/56 = -6.8$ ($\mathrm{MeV}$). (b) Com o emparelhamento $+12/\sqrt{56} = +1.6$: $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$, $B/A = 8.76$ contra os $8.79$ medidos — três por mil de erro, a partir de uma gota líquida. (c) Volume contra superfície$+$Coulomb: o cruzamento das taxas de crescimento deles é o que esculpe o máximo no ferro. (d) Coulomb é de longo alcance: todo próton repele todos os outros, $\propto Z^2$, enquanto a força forte, que satura, só paga $\propto A$ — a derrota final dos pesos-pesados.

**Exercício 25.6 ★★.**

O fundo do vale. (a) Guardando só os termos que dependem de $Z$, minimize a massa a $A$ fixo e deduza $Z^* = \dfrac{A/2}{1 + a_{\text{C}}A^{2/3}/4a_{\text{A}}}$. (b) Avalie para $A = 101$ e compare com o rutênio ($Z = 44$). (c) Mostre que o limite de $A$ pequeno é $Z^* = A/2$ e interprete com as duas escadas de Fermi. (d) Um fragmento de fissão tem $A = 95$ e $Z = 36$: a que distância do vale ele está, e que sequência de decaimentos vem depois?

**Solução de Exercício 25.6.**

(a) O $\partial/\partial Z$ dos termos de Coulomb e de assimetria dá $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$; resolva. (b) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$: a escolha da natureza em $A = 101$ é o rutênio, $Z = 44$. (c) Sem Coulomb, $Z^* = A/2$: duas escadas de Fermi ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics)), mais baratas quando cheias até a mesma altura. (d) O assento no vale do fragmento é $Z^* \approx 41$: cinco prótons a menos — uma cascata de cinco decaimentos $\beta^-$ o traz de volta, cada um convertendo um nêutron e emitindo um elétron e um antineutrino.

**Exercício 25.7 ★★.**

Radiocarbono. A matéria viva mantém o $^{14}$C ($T_{1/2} = 5730$ anos) reposto a 1 átomo por $10^{12}$ carbonos; a morte interrompe a reposição. (a) Uma amostra de carvão mostra 30 % da atividade viva: que idade tem a fogueira? (b) Um grama de carbono vivo: calcule a atividade de $^{14}$C dele ($\approx0.23\,\mathrm{Bq}$ esperados). (c) Por que o método é inútil além de $\sim50\,000\,$ anos? (d) E por que é inútil para datar rochas (que relógios assumem)?

**Solução de Exercício 25.7.**

(a) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx
10^{4}\,$ anos: uma fogueira do fim da era do gelo. (b) $N_{^{14}\text{C}}
= (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$; $\lambda =
3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$: $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — uma dúzia de decaimentos por minuto por grama, a taxa de contagem de trabalho de todo laboratório de datação. (c) Depois de nove meias-vidas, a atividade afunda abaixo do fundo: o relógio ainda anda, mas não dá mais para lê-lo. (d) As rochas nunca respiraram carbono atmosférico; os relógios delas são os primordiais — urânio–chumbo, potássio–argônio — com meias-vidas de bilhões de anos.

**Exercício 25.8 ★★.**

O penhasco de Gamow. O polônio-212 emite um $\alpha$ de $8.78\,\mathrm{MeV}$; a barreira dele chega a $\approx26\,\mathrm{MeV}$. (a) Mostre que a fuga clássica é impossível, e a entrada clássica também — e ainda assim ele decai em $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$. (b) O $\alpha$ do urânio-238 carrega $4.2\,\mathrm{MeV}$ e a meia-vida dele é de $4.5\times10^9$ anos: calcule a razão entre as duas constantes de decaimento. (c) Explique, com a exponencial do tunelamento, como um fator dois em energia compra $\sim10^{24}$ em taxa. (d) Por que a mesma física fixa a exigência de temperatura no núcleo do Sol?

**Solução de Exercício 25.8.**

(a) Os $8.78\,\mathrm{MeV}$ do $\alpha$ estão bem abaixo da borda de $26\,\mathrm{MeV}$: classicamente ele não pode nem sair nem ter entrado — e ainda assim a meia-vida é de $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$. (b) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$: razão $\approx 5\times10^{23}$. (c) A taxa de tunelamento é $\eu^{-2G}$, com o expoente de Gamow $\propto Z/\sqrt E$: reduzir o $E$ à metade eleva o $2G$ em cerca de cinquenta e cinco unidades, e $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — a reta escandalosa de Geiger–Nuttall, de uma só exponencial. (d) Os prótons solares também tunelam: a temperatura do núcleo tem de ser alta o bastante para que a cauda de Maxwell vezes o fator de Gamow sustente a queima — mesmo penhasco, escalado pelo outro lado.

**Exercício 25.9 ★★.**

Duzentos milhões de elétron-volts. (a) Justifique os $200\,\mathrm{MeV}$ por fissão a partir da curva $B/A$. (b) Calcule a energia de um quilograma de $^{235}$U totalmente fissionado, em joules e em toneladas equivalentes de petróleo ($42\,\mathrm{GJ}/\mathrm{t}$). (c) Uma usina de $1\,\mathrm{GW}_{e}$ com 33 % de eficiência: quantos quilogramas de $^{235}$U por ano? (d) Por que os fragmentos, e não os nêutrons, carregam a maior parte dos $200\,\mathrm{MeV}$, e em que forma isso se converte de imediato?

**Solução de Exercício 25.9.**

(a) A partição move ${\sim}235$ núcleons de $7.6\,$ a ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ de ligação: $235\times0.9 \approx
200\,\mathrm{MeV}$. (b) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ núcleos: $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ toneladas de petróleo — por quilograma. (c) $3\,\mathrm{GW}$ térmicos por um ano são $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$: cerca de $1.2\,\mathrm{t}$ de $^{235}$U. (d) Os dois fragmentos positivos se afastam num salto sob a própria repulsão de Coulomb, carregando ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ de energia cinética que vira calor em poucos micrômetros — um reator é uma chaleira cuja chama é recuo eletrostático.

**Exercício 25.10 ★★★.**

Domando o $k$. Num reator, os nêutrons prontos se reproduzem em $\ell
\approx 10^{-4}\,\mathrm{s}$. (a) Com $k = 1.001$ só nos nêutrons prontos, calcule a multiplicação de potência em um segundo — e o veredito sobre controle mecânico. (b) Uma fração $\beta =
0.7\,\%$ dos nêutrons é *atrasada* em $\sim10\,\mathrm{s}$: explique por que, para $k - 1 < \beta$, o relógio efetivo da cadeia passa a ser de segundos. (c) Calcule a mesma multiplicação de um segundo com o tempo de geração efetivo $\sim0.1\,\mathrm{s}$. (d) Diga em uma frase o que os operadores de Chernobyl perderam quando o reator deles ficou pronto-supercrítico.

**Solução de Exercício 25.10.**

(a) $10^4$ gerações: $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx
22000$ — de megawatts a dezenas de gigawatts dentro de um segundo; motor algum move uma barra tão rápido. (b) Com $k - 1 < \beta$, a cadeia não consegue se reproduzir só com nêutrons prontos: cada passo de crescimento espera os retardatários de ${\sim}10\,\mathrm{s}$, e assim o tempo de geração efetivo é de uma fração de segundo ou mais. (c) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$: meio por cento por segundo — território de barra e operador. (d) Levar o $k - 1$ para além do $\beta$ pôs o reator no relógio pronto de $10^{-4}\,\mathrm{s}$: eles perderam o período de graça dos nêutrons atrasados que torna os reatores dirigíveis.

**Exercício 25.11 ★★★.**

A aritmética do Sol. No conjunto, $4\,^1\text{H} \to {}^4\text{He}$ converte $0.71\,\%$ da massa em energia ($26.7\,\mathrm{MeV}$, neutrinos incluídos). (a) A partir de $L_\odot =
3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, calcule a massa convertida por segundo e o hidrogênio consumido por segundo. (b) Com $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ de Sol, e um décimo disso de hidrogênio queimável no núcleo (tome a fração de hidrogênio $\approx0.75$): estime o tempo de vida. (c) Dois prótons a $1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$: compare $k_{\text{B}}T$ com a barreira de Coulomb deles a $1\,\mathrm{fm}$ e conclua quem faz a travessia ([Exercício 25.8](#exo-b3-nuclear-physics-8)). (d) Por que a fusão, ao contrário da fissão, não deixa essencialmente cinza radioativa alguma?

**Solução de Exercício 25.11.**

(a) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de massa pura; vazão de hidrogênio $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — seiscentos milhões de toneladas por segundo. (b) Hidrogênio queimável ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$: $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ bilhões de anos — o Sol está de meia-idade. (c) Barreira de ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ contra $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$: um déficit de mil vezes — só os prótons mais rápidos da cauda de Maxwell, tunelando ([Exercício 25.8](#exo-b3-nuclear-physics-8)), chegam a fundir; e por isso o Sol queima por bilhões de anos em vez de explodir. (d) A cinza é $^4$He — estável, com o contentamento duplamente mágico; não há fragmentos ricos em nêutrons para decair por $\beta$ durante séculos.

**Exercício 25.12 ★★★.**

Medicina nuclear. (a) O tecnécio-99m ($T_{1/2} = 6\,\mathrm{h}$, $\gamma$ de $140\,\mathrm{keV}$) é o burro de carga da medicina: calcule o número de núcleos, e a massa deles, por trás de uma injeção de $500\,\mathrm{MBq}$. (b) Explique por que uma meia-vida de seis *horas* e um $\gamma$ puro são exatamente o que um diagnóstico quer. (c) PET: um pósitron do $^{18}$F se aniquila com um elétron — use o [Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#ch-b3-relativistic-dynamics) para dar a energia e a geometria dos dois fótons e, daí, o princípio do detector. (d) A radioterapia entrega $2\,\mathrm{Gy}$ ($\mathrm{J}/\mathrm{kg}$) a um tumor: compare a energia com um gole de água morna e concilie a inocuidade dos joules com a letalidade da ionização.

**Solução de Exercício 25.12.**

(a) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ núcleos — $2.6\,\mathrm{ng}$. Medicina por nanograma. (b) Seis horas sobrevivem ao exame, mas não ao fim de semana: a dose se desliga sozinha; um $\gamma$ puro de $140\,\mathrm{keV}$ deixa o corpo rumo à câmera sem o pedágio de $\alpha$/$\beta$ que queima tecido. (c) Elétron e pósitron em repouso se aniquilam em *dois* fótons de $511\,\mathrm{keV}$, um de costas para o outro (energia e momento, [Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#ch-b3-relativistic-dynamics)): cada par em coincidência define uma reta que passa pelo tumor, e milhares de retas o triangulam — tomografia por lei de conservação. (d) $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ aquecem o tecido meio milikelvin — termicamente um gole de água morna; mas, entregues como ${\sim}10^{17}$ ionizações por quilograma, cada uma cortando ligações químicas da escala do $\mathrm{eV}$, isso é quimicamente letal para uma célula em divisão. Os joules medem calor; os grays medem sabotagem.

![A piscina de reator do problema de fim de semana: os elétrons dos fragmentos, mais rápidos que a luz na água, envolvem o núcleo no azul de Cherenkov — a blindagem, visivelmente em ação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-nuclear-physics/img-7491f96b3186.jpg)

*A piscina de reator do problema de fim de semana: os elétrons $\beta$ dos fragmentos, mais rápidos que a luz na água, envolvem o núcleo no azul de Cherenkov — a blindagem, visivelmente em ação.*

## 25.5 Problema: dia aberto no reator de pesquisa

**Problema 25.1.**

*Dia aberto no reator de pesquisa.* O laboratório nacional abre a visitantes o reator de pesquisa tipo piscina de $20\,\mathrm{MW}$ dele, e você conseguiu na conversa um lugar na sacada: lá embaixo, por oito metros de água límpida, o núcleo brilha num azul sobrenatural. O guia — um físico de reatores prestes a se aposentar — concordou em deixar você fazer as contas.

**Parte I — O livro-caixa da energia.**

1. Cada fissão de $^{235}$ U libera cerca de $200\,\mathrm{MeV}$ . Converta em joules e calcule as fissões por segundo que sustentam $20\,\mathrm{MW}$ .
2. Converta em gramas de $^{235}$ U consumidos por dia.
3. Os mesmos $20\,\mathrm{MW}$ vindos de carvão ( $30\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ): quantas toneladas por dia? Forme a razão de massas e conecte-a às escalas de $\mathrm{MeV}$ contra $\mathrm{eV}$ deste capítulo e da química.
4. Os fragmentos nascem com ligação de $\sim8.5\,\mathrm{MeV}$ por núcleon, e o urânio com $7.6\,\mathrm{MeV}$ : verifique que $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ é consistente.
5. Os fragmentos param a micrômetros do lugar em que nasceram. Em que a $200\,\mathrm{MeV}$ deles se converte, e em que escala de tempo isso chega à água de refrigeração?
6. Por que os fragmentos (por exemplo, $A = 95$ , $Z = 36$ ) são inevitavelmente radioativos? Use o [vale de estabilidade](#prop-b3-nuclear-physics-semf) .

**Parte II — Mantendo $k = 1$.**

7. Defina o fator de multiplicação $k$ e diga o que $k = 0.999$ , $1.000$ e $1.001$ significam para a população de nêutrons.
8. A água da piscina modera. Explique em duas frases por que frear os nêutrons a velocidades térmicas *ajuda* a fissionar o $^{235}$ U, e por que o hidrogênio é o melhor moderador (lembre as colisões elásticas do volume do primeiro ano).
9. As barras de controle são de aço com boro. O que o boro faz, e como subir ou descer as barras dirige o $k$ ?
10. Só com os nêutrons prontos ( $\ell = 10^{-4}\,\mathrm{s}$ ) e $k = 1.0005$ , calcule o crescimento de potência em um segundo e conclua.
11. Os 0,7 % de nêutrons atrasados esticam o tempo de geração efetivo até $\sim0.1\,\mathrm{s}$ : recalcule e enuncie a regra de projeto que mantém $k - 1$ com folga abaixo da fração atrasada.
12. A água também é o refrigerante. Explique o traço de segurança intrínseca: o que acontece com a moderação — e portanto com o $k$ — se a água ferver e sumir?
13. Por que o reator ainda precisa de refrigeração de emergência depois do desligamento? (Nomeie a fonte de calor que as barras de controle não conseguem tocar.)

**Parte III — A luz azul.**

14. O brilho é radiação Cherenkov: a velocidade da luz na água é $c/n$ , com $n = 1.33$ . O que uma partícula carregada tem de fazer para emiti-la?
15. Calcule a velocidade limiar e, com o [Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#ch-b3-relativistic-dynamics) , a energia cinética limiar de um elétron.
16. Que partículas do reator se qualificam? Trace a cadeia do fragmento de fissão ao elétron $\beta$ rápido na água.
17. A intensidade do espectro cresce rumo aos comprimentos de onda curtos: por que a piscina brilha em azul, e não em vermelho?
18. O guia diz: “o brilho *é* a blindagem funcionando”. Explique — o que oito metros de água fazem com a radiação do núcleo, e por que, grosso modo, a sacada é segura?
19. Depois do desligamento, o azul se apaga ao longo de minutos, mas não some por dias. Conecte com a questão 6 da Parte I.

**Parte IV — Para que serve o reator.**

20. O trabalho do dia a dia deste reator é fazer molibdênio-99 ( $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ ), pai do tecnécio-99m da medicina. Por que os hospitais do mundo têm de ser reabastecidos toda semana, e por que armazém algum consegue estocá-lo?
21. Um carregamento de $100\,\mathrm{GBq}$ de Mo-99 parte na segunda; o hospital elui o Tc-99m na sexta (96 horas depois). Que atividade do pai resta?
22. Os feixes de nêutrons do núcleo também alimentam os instrumentos de difração do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#ch-b3-crystalline-solids) : por que os nêutrons de reator, uma vez termalizados, nascem com o comprimento de onda certo?
23. O problema de despedida do guia: um elemento combustível passa cinco anos na piscina antes de ser embarcado. Usando a mistura de meias-vidas dos fragmentos, explique a lógica — o que cinco anos de piscina compraram?
24. Estime o calor de decaimento uma hora depois do desligamento ( $\approx1\,\%$ de $20\,\mathrm{MW}$ ) e compare-o com o aquecedor elétrico de uma casa: a refrigeração passiva da piscina é plausível?
25. Feche o livro-caixa em quatro linhas: o $B/A$ paga $200\,\mathrm{MeV}$ por partição; os nêutrons atrasados emprestam os segundos que tornam o $k$ dirigível; a água modera, resfria, blinda e brilha; e o produto de verdade do dia sai em frascos médicos, não em megawatts.

**Solução de Problema 25.1.**

**1.** $200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$: $20\times10^6/3.2\times10^{-11} = 6.3 \times 10^{17}\,$ fissões por segundo. **2.** $5.4\times10^{22}$ fissões por dia $\times
235/N_{\text{A}}$: cerca de $21\,\mathrm{g}$ de $^{235}$U por dia. **3.** Carvão: $1.7 \times 10^{12}\,\mathrm{J}/3 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} \approx 58$ toneladas por dia — uma razão de massas de $\sim3\times10^{6}$, que *é* a razão de $\mathrm{MeV}$ para $\mathrm{eV}$ entre as ligações nucleares e as químicas. **4.** $235\times(8.5 - 7.6) \approx 210\,\mathrm{MeV}$: consistente, com o troco contabilizado pelos nêutrons e pelos neutrinos. **5.** Energia cinética dos fragmentos $\to$ ionização $\to$ calor, em poucos micrômetros e microssegundos; a condução a entrega à água — o reator é uma chaleira que freia fragmentos. **6.** Eles herdam o $N/Z \approx 1.55$ do urânio, bem acima do fundo do vale no $A$ deles: cada um tem de correr uma cadeia de decaimentos $\beta^-$ de volta para baixo — radioatividade embutida, pela geometria do vale. **7.** $k$ = nêutrons gerados por nêutron, uma geração depois: $0.999$ se extingue, $1.000$ se mantém (um reator em operação), $1.001$ cresce. **8.** Os nêutrons lentos demoram mais perto do núcleo e o apetite de fissão do $^{235}$U cresce abruptamente nas energias térmicas. As colisões elásticas cedem energia mais depressa a massas iguais — e o hidrogênio iguala a massa do nêutron: a água é um moderador feito sob medida. **9.** O boro-10 devora nêutrons ($\text{n} + {}^{10}
\text{B} \to \alpha + {}^{7}\text{Li}$): barras para dentro, nêutrons comidos, $k$ para baixo; barras para fora, $k$ para cima — o acelerador. **10.** $(1.0005)^{10^4} = \eu^{5} \approx 150$: potências de cento e cinquenta por segundo — sem esperança para a mecânica. **11.** No relógio atrasado de $0.1\,\mathrm{s}$: $(1.0005)^{10} \approx 1.005$, meio por cento por segundo. Regra: mantenha $|k - 1|$ bem abaixo de $\beta = 0.007$, para que os nêutrons atrasados tenham sempre o voto de minerva. **12.** Ferver remove o moderador: os nêutrons continuam rápidos, a fissão passa fome, o $k$ cai — o projeto moderado a água se estrangula sozinho (uma realimentação negativa que os primos de grafite dele não tinham). **13.** O calor de decaimento: a radioatividade dos fragmentos — a questão 6 da Parte I — obedece a meias-vidas, não a barras de controle, e ainda rende megawatts logo depois do desligamento. **14.** Correr mais que a luz na água: $v > c/n$. **15.** $v > 0.752c$: $\gamma = 1.51$, e assim $E_{\text{k}} >
0.51\times511\,\mathrm{keV} \approx 0.26\,\mathrm{MeV}$. **16.** Os elétrons $\beta$ dos decaimentos dos fragmentos carregam $\mathrm{MeV}$, e os $\gamma$ do núcleo chutam elétrons por Compton a energias parecidas: os dois passam bem dos $0.26\,\mathrm{MeV}$ — a piscina está cheia de elétrons qualificados. **17.** O espectro de Cherenkov se fortalece rumo aos comprimentos de onda curtos ($\propto1/\lambda^2$ em intensidade): ao olho se entrega azul e violeta — a cor é a inclinação do espectro. **18.** A água atenua $\gamma$ e nêutrons exponencialmente; oito metros são dezenas de comprimentos de meia atenuação, e por isso a sacada fica na dose de fundo. O brilho é a água *absorvendo* a energia da radiação — prova visível de que o escudo a está comendo. **19.** Os fragmentos de vida curta morrem em minutos (o esmaecimento); a cauda de vida mais longa — o mesmo calor de decaimento da questão 13 — mantém um brilho tênue e uma carga térmica real por dias. **20.** Com $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$, o pai perde um fator ${\sim}6$ por semana: os estoques se decaem sozinhos, e assim os hospitais vivem de uma “vaca de tecnécio” semanal entregue por reatores como este. **21.** $96/66 = 1.45$ meia-vidas: $2^{-1.45} \approx
0.36$ — restam cerca de $36\,\mathrm{GBq}$. **22.** Termalizado à temperatura ambiente, $\lambda =
h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ ([Exercício 23.5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#exo-b3-crystalline-solids-5)): nascem casados com os espaçamentos de [rede](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice). **23.** Cinco anos matam toda meia-vida de até alguns meses: a atividade e o calor de decaimento caem por ordens de grandeza, até que o elemento possa viajar num cesto blindado em vez de numa piscina. **24.** ${\sim}200\,\mathrm{kW}$ — uma centena de aquecedores domésticos numa piscina de cem toneladas: dezenas de kelvins por dia, no pior caso, removidos com folga por convecção natural — segurança passiva por pura capacidade térmica. **25.** O $B/A$ paga $200\,\mathrm{MeV}$ por partição e $21\,\mathrm{g}$ por dia; os nêutrons atrasados emprestam os segundos que tornam o $k$ dirigível; a água modera, resfria, blinda — e brilha em azul precisamente porque está funcionando; e o produto que mais importa sai em frascos para os hospitais de segunda-feira.