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title: "Astrofísica"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 27
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/27-astrofisica
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# Capítulo 27 — Astrofísica

Todo capítulo deste livro vinha ensaiando para este. As estrelas são bolas de gás autogravitantes regidas pela hidrostática do volume do primeiro ano, acesas pelo tunelamento do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#ch-b3-nuclear-physics) e brilhando pela [lei de Planck](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/20-fotons-e-fonons#thm-b3-photons-phonons-planck) do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/20-fotons-e-fonons#ch-b3-photons-phonons); as estrelas mortas são os gases de Fermi degenerados do [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics) do tamanho de cidades; e o próprio universo é um sistema térmico em resfriamento cuja foto de bebê — a radiação de fundo em micro-ondas — é o corpo negro mais perfeito já medido. Este capítulo de fecho reúne o volume inteiro no maior laboratório possível: como as estrelas vivem, como morrem, o que deixam para trás e como o universo em expansão que as contém começou como física que já fizemos.

## 27.1 Uma estrela é um equilíbrio

**Proposição 27.1 (Equilíbrio hidrostático).**

Uma estrela nem desaba nem se dispersa: em cada raio, o gradiente de pressão carrega o peso do gás acima. Para a massa $m(r)$ dentro do raio $r$,

$$
\frac{\dd P}{\dd r} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} .
$$

Estimado para todo o Sol, $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \sim
10^{15}\,\mathrm{Pa}$ e, pela lei dos gases ideais, $T_{\text{c}} \sim
10^7\,\mathrm{K}$ ([Exercício 27.1](#exo-b3-astrophysics-1)) — precisamente a temperatura em que os prótons do [Exercício 25.11](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#exo-b3-nuclear-physics-11) começam a tunelar. Isso não é coincidência, e sim um termostato: uma estrela *tem* de se contrair e esquentar até o núcleo dela acender, e a fusão então segura o equilíbrio por milhões a bilhões de anos. As estrelas têm capacidade térmica negativa — perdem energia, contraem, ficam *mais quentes* ([Exercício 27.5](#exo-b3-astrophysics-5)) — e é por isso que a gravidade sempre vence no fim.

**Demonstração.** Uma casca $[r, r + \dd r]$ de área $A$ sente a pressão $P(r)A$ vinda de baixo, $P(r + \dd r)A$ de cima, e o peso $g\rho A\,\dd r$ com $g = Gm(r)/r^2$ (só a massa interior puxa, pelo teorema de Gauss para a gravidade). O equilíbrio dos três dá a equação enunciada. ∎

![Uma estrela, desenhada como o diagrama de corpo livre dela. A fusão alimenta a pressão que carrega o próprio peso da estrela; as duas forças negociam por dez bilhões de anos — e todo destino estelar deste capítulo é o que acontece quando uma delas fica sem argumentos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-astrophysics/fig-e0c10b16774b.svg)

*Uma estrela, desenhada como o diagrama de corpo livre dela. A fusão alimenta a pressão que carrega o próprio peso da estrela; as duas forças negociam por dez bilhões de anos — e todo destino estelar deste capítulo é o que acontece quando uma delas fica sem argumentos.*

## 27.2 As vidas das estrelas

**Definição 27.2 (O diagrama de Hertzsprung–Russell).**

Trace as estrelas por temperatura superficial (as quentes à *esquerda*, por convenção) contra luminosidade, ambas vindas das leis do corpo negro do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/20-fotons-e-fonons#ch-b3-photons-phonons), e elas se recusam a se espalhar: noventa por cento se amontoam na *sequência principal*, a faixa diagonal das queimadoras de hidrogênio, ordenadas puramente pela massa — mais pesada significa mais quente *e* desproporcionalmente mais brilhante ($L \propto M^{3.5}$), e portanto de vida mais curta ($t \propto M/L \propto M^{-2.5}$: [Exercício 27.4](#exo-b3-astrophysics-4)). Fora da faixa vivem as exceções e os finais do gráfico: as *gigantes* frias, porém enormes (canto superior direito), e as *[anãs brancas](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf)* quentes, porém minúsculas (canto inferior esquerdo) — porque, a temperatura fixa, por $L = 4\pi R^2\sigma T^4$, a luminosidade é uma medida de *tamanho*. O diagrama HR não é um mapa de espécies, e sim de *idades*: o ponto de uma estrela vaga por ele à medida que o combustível dela se esgota.

![O diagrama de Hertzsprung–Russell. A sequência principal é a faixa que queima hidrogênio, uma escada de massas lida do alto à esquerda (azuis, esbanjadoras, mortas em milhões de anos) até a base à direita (vermelhas, frugais, sobrevivendo ao universo até aqui). As gigantes e as anãs brancas não são esquisitices, e sim capítulos: a mesma estrela visita as três regiões.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-astrophysics/fig-ea662c10b4c9.svg)

*O [diagrama de Hertzsprung–Russell](#def-b3-astrophysics-hr). A [sequência principal](#def-b3-astrophysics-hr) é a faixa que queima hidrogênio, uma escada de massas lida do alto à esquerda (azuis, esbanjadoras, mortas em milhões de anos) até a base à direita (vermelhas, frugais, sobrevivendo ao universo até aqui). As gigantes e as [anãs brancas](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf) não são esquisitices, e sim capítulos: a mesma estrela visita as três regiões.*

**Observação 27.3 (Como as estrelas envelhecem e o que deixam).**

Quando o hidrogênio do núcleo se esgota, a lógica do termostato se repete: o núcleo se contrai e esquenta, o hélio acende (fundindo-se em carbono e oxigênio), o envelope incha cem vezes — uma [gigante vermelha](#rem-b3-astrophysics-evolution). Uma estrela como o Sol para por aí: ela solta o envelope e se aposenta como [anã branca](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf). Uma estrela acima de $\approx8M_\odot$ continua acendendo combustíveis novos em cascas de cebola até o núcleo ser de *ferro* — o cume da [Proposição 25.2](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#prop-b3-nuclear-physics-binding), do qual fusão alguma devolve energia. O núcleo morto desaba num segundo; o ricochete e a enxurrada de neutrinos explodem a estrela: uma *supernova*, que por um instante ofusca a galáxia dela, forja os elementos além do ferro por captura de nêutrons e espalha tudo nas nuvens que constroem a próxima geração de estrelas e planetas. O cálcio dos seus ossos e o ferro do seu sangue fizeram este caminho ([Problema 27.1](#pb-b3-astrophysics-1)): a química é astrofísica reciclada.

## 27.3 Os cadáveres: a matéria nos limites dela

**Proposição 27.4 (Anãs brancas e estrelas de nêutrons).**

O que segura uma estrela que não queima mais? A mecânica quântica. Uma *[anã branca](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf)* é uma massa solar de carbono e oxigênio escorada pela *[pressão de degenerescência](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#thm-b3-quantum-statistics-fermi)* eletrônica dela — a pressão de Fermi a $T = 0$ do [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics) — no tamanho da Terra e a uma tonelada por colher de chá. O sustento de Pauli tem um teto: acima da *[massa de Chandrasekhar](#prop-b3-astrophysics-compact)* $M_{\text{Ch}}
\approx 1.4\,M_\odot$, os elétrons ficam relativísticos e a pressão perde a corrida (um resultado que enunciamos, não deduzimos). Além dele, os elétrons são esmagados dentro dos prótons e se forma uma *[estrela de nêutrons](#prop-b3-astrophysics-compact)*: degenerescência de nêutrons mais repulsão nuclear segurando $\sim1.4\,M_\odot$ em uma dúzia de quilômetros à densidade nuclear da [Definição 25.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#def-b3-nuclear-physics-nuclide) — um núcleo do tamanho de uma cidade, girando até milissegundos e emitindo feixe como um farol (um *pulsar*). E além de cerca de $3\,M_\odot$ nada conhecido resiste: a estrela cai para dentro do raio em que a fuga exige a velocidade da luz,

$$
R_{\text{s}} = \frac{2GM}{c^2}
\qquad (3\,\mathrm{km}\text{ por massa solar}) ,
$$

um *[buraco negro](#prop-b3-astrophysics-compact)* — a palavra final da gravidade, e a soleira da relatividade geral, um volume além deste.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Uma massa solar, quatro tamanhos. A pressão térmica segura o Sol; a degenerescência eletrônica, a anã branca; a de nêutrons, a estrela de nêutrons; nada segura o buraco negro. Cada passo multiplica a gravidade superficial por uns dez mil — e a física necessária para ficar de pé sobre ela.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-astrophysics/fig-f59777e3e90a.svg)

*Uma massa solar, quatro tamanhos. A pressão térmica segura o Sol; a degenerescência eletrônica, a [anã branca](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf); a de nêutrons, a [estrela de nêutrons](#prop-b3-astrophysics-compact); nada segura o [buraco negro](#prop-b3-astrophysics-compact). Cada passo multiplica a gravidade superficial por uns dez mil — e a física necessária para ficar de pé sobre ela.*

## 27.4 O universo em expansão

**Definição 27.5 (A lei de Hubble e o começo quente).**

Toda galáxia distante se afasta, a uma velocidade proporcional à distância:

$$
v = H_0d , \qquad H_0 \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s}
\text{ por megaparsec} .
$$

Isso não é uma explosão *para dentro* do espaço, e sim uma expansão *do* espaço — rode ao contrário e tudo já foi denso e quente: $1/H_0 \approx 14$ bilhões de anos atrás ([Exercício 27.9](#exo-b3-astrophysics-9)). O universo primitivo é este livro repassado em alta velocidade. Com um segundo, ele é uma sopa de partículas de $\mathrm{MeV}$ ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#ch-b3-particle-physics)); nos primeiros minutos, o [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#ch-b3-nuclear-physics) corre solto e congela *um quarto de hélio em massa* — previsto por um fator de Boltzmann, observado em toda parte ([Exercício 27.11](#exo-b3-astrophysics-11)). Aos 380 000 anos e $3000\,\mathrm{K}$, a [equação de Saha](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/18-o-ensemble-grande-canonico#prop-b3-grand-canonical-saha) ([Proposição 18.5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/18-o-ensemble-grande-canonico#prop-b3-grand-canonical-saha)) deixa os elétrons enfim se assentarem sobre os prótons; a névoa se dissipa, e essa luz espalhada pela última vez — esticada por um fator mil pela expansão — chega hoje como a *radiação cósmica de fundo em micro-ondas*: um espectro de Planck a $2.725\,\mathrm{K}$ ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/20-fotons-e-fonons#ch-b3-photons-phonons)), a fotografia mais antiga que existe. O que a imagem também mostra: as galáxias giram e se agrupam como se guiadas por *[matéria escura](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#rem-b3-particle-physics-higgs)* que detector algum capturou, e a expansão *acelera* sob uma *energia escura* que ninguém explicou — os noventa e cinco por cento do orçamento que este livro ainda não sabe escrever.

![A lei de Hubble: velocidade de recessão contra distância, com cada ponto uma galáxia (velocidades vindas de desvios Doppler, ; distâncias, de velas-padrão). A inclinação é H_0; o inverso dela é, grosso modo, a idade do universo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-astrophysics/fig-1c3d1d981961.svg)

*A [lei de Hubble](#def-b3-astrophysics-hubble): velocidade de recessão contra distância, com cada ponto uma galáxia (velocidades vindas de desvios Doppler, [Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/4-cinematica-relativistica#ch-b3-relativistic-kinematics); distâncias, de velas-padrão). A inclinação é $H_0$; o inverso dela é, grosso modo, a idade do universo.*

![Um aglomerado aberto: esbanjadoras branco-azuladas e anãs alaranjadas frugais, nascidas juntas, envelhecendo a ritmos muito diferentes — o diagrama de Hertzsprung–Russell, fotografado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-astrophysics/img-c2d8af68bca4.jpg)

*Um aglomerado aberto: esbanjadoras branco-azuladas e anãs alaranjadas frugais, nascidas juntas, envelhecendo a ritmos muito diferentes — o [diagrama de Hertzsprung–Russell](#def-b3-astrophysics-hr), fotografado.*

## 27.5 Exercícios

**Exercício 27.1 ★.**

O Sol, estimado. $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R = 7 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. (a) Estime $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4$. (b) Com a densidade média e a lei dos gases ideais ($P = \rho k_{\text{B}}T/
m_{\text{p}}$), estime $T_{\text{c}}$. (c) Compare com o limiar de ignição de $10^7\,\mathrm{K}$ do [Exercício 25.11](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#exo-b3-nuclear-physics-11). (d) Por que essa concordância é um termostato, e não uma coincidência?

**Solução de Exercício 27.1.**

(a) $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ — dez bilhões de atmosferas. (b) $\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $T \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K}$ — grosseiro, uma ordem acima dos $1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ verdadeiros, mas a escala está certa. (c) Bem no limiar do tunelamento. (d) Uma protoestrela se contrai e esquenta *até* o núcleo acender, e então para de contrair: toda bola de gás massiva o bastante tem de chegar à ignição — a estrela se sintoniza no termostato nuclear.

**Exercício 27.2 ★.**

Pesando a luz. (a) A partir da constante solar $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ a $d = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, calcule $L_\odot$. (b) A partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$, calcule a temperatura superficial. (c) Confira o máximo de Wien contra o amarelo-esverdeado visível do Sol. (d) Que lei de que capítulo cada passo usou?

**Solução de Exercício 27.2.**

(a) $L = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. (b) $T =
(L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}$. (c) Wien: $\lambda_{\text{máx}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ — o olho evoluiu sobre o máximo do Sol. (d) Fluxo pelo inverso do quadrado (primeiro ano); Stefan–Boltzmann e Wien: o corpo negro do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/20-fotons-e-fonons#ch-b3-photons-phonons), deduzido da estatística dos fótons.

**Exercício 27.3 ★.**

Lendo o diagrama. Sirius B: $T \approx 25\,000\,\mathrm{K}$, $L
\approx 0.026\,L_\odot$; Betelgeuse: $T \approx 3500\,\mathrm{K}$, $L \approx 10^5\,L_\odot$. (a) Situe as duas no diagrama HR. (b) A partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$, calcule cada raio em unidades solares. (c) Betelgeuse no Sistema Solar: que planetas ficam dentro dela? (d) O que tem de estar segurando Sirius B?

**Solução de Exercício 27.3.**

(a) Sirius B: bem à esquerda, bem embaixo; Betelgeuse: bem à direita, bem em cima. (b) $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2$: Sirius B, $\approx 0.009\,R_\odot \approx$ um raio terrestre; Betelgeuse, $\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}$. (c) Mercúrio, Vênus, Terra e Marte orbitariam *dentro* dela. (d) Do tamanho da Terra e com massa solar: só a [pressão de degenerescência](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#thm-b3-quantum-statistics-fermi) eletrônica ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics)) — Sirius B é a [anã branca](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf) clássica.

**Exercício 27.4 ★.**

Viva rápido, morra jovem. Com $L \propto M^{3.5}$ e tempo de vida $t \propto M/L$, e os dez bilhões de anos do Sol: (a) o tempo de vida de uma estrela de $10\,M_\odot$; (b) o de uma anã vermelha de $0.5\,M_\odot$ — compare com a idade do universo; (c) por que as estrelas mais pesadas, com *mais* combustível, morrem *antes*? (d) O que a brevidade das vidas massivas implica sobre onde (numa galáxia) ocorrem as supernovas?

**Solução de Exercício 27.4.**

(a) $10\,\text{Gyr}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}$. (b) $0.5^{-2.5} \approx 5.7$: cerca de 57 bilhões de anos — toda anã vermelha que já nasceu ainda está queimando. (c) A luminosidade cresce como $M^{3.5}$, mas o tanque só como $M$: os ricos queimam a fortuna deles mais rápido do que a depositam. (d) As estrelas massivas morrem em poucos milhões de anos após o nascimento — antes de vagar para qualquer lugar: as supernovas detonam dentro dos braços espirais de formação estelar que as fizeram.

**Exercício 27.5 ★★.**

A termodinâmica estranha da gravidade. Para uma bola de gás autogravitante, o teorema do virial ([Capítulo 1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#ch-b3-lagrangian-mechanics)) dá energia total $E = -K$ (menos a energia cinética/térmica). (a) Deduza: irradiar energia embora deixa a estrela *mais quente* — uma capacidade térmica negativa. (b) Estime a energia gravitacional $GM^2/R$ do Sol. (c) Ao $L_\odot$ de hoje, por quanto tempo só a contração poderia tê-lo alimentado (o tempo de Kelvin–Helmholtz)? (d) A geologia data a Terra em 4,5 bilhões de anos: enuncie o paradoxo do século XIX e a resolução nuclear dele.

**Solução de Exercício 27.5.**

(a) $E = -K$: irradiar torna o $E$ mais negativo, e assim o $K$ — ou seja, a temperatura — *sobe*: a assinatura termodinâmica da gravidade. (b) $GM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}$. (c) $E/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}$. (d) O Sol de Kelvin não podia ter mais que dezenas de milhões de anos, enquanto os vermes de Darwin e as rochas de Lyell exigiam bilhões: a resolução foi um combustível que ninguém conhecia — o [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#ch-b3-nuclear-physics), setenta anos antes da hora.

**Exercício 27.6 ★★.**

Anatomia de uma [anã branca](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf). Tome $M = 1\,M_\odot$ a $R = R_{\text{Terra}} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$. (a) Calcule a densidade média e a massa de uma colher de chá ($5\,\mathrm{mL}$). (b) Calcule a gravidade superficial. (c) A [pressão de degenerescência](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#thm-b3-quantum-statistics-fermi) do [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ch-b3-quantum-statistics) escala como $n^{5/3}$, e a exigência da gravidade como $M^2/R^4 \propto n^{4/3}M^{2/3}$: mostre que isso implica o bizarro $R \propto M^{-1/3}$ — as anãs mais pesadas são *menores*. (d) Explique fisicamente por que empilhar massa encolhe a estrela, e o que isso anuncia na [massa de Chandrasekhar](#prop-b3-astrophysics-compact).

**Solução de Exercício 27.6.**

(a) $\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: uma colher de chá de nove toneladas. (b) $g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — trezentas mil gravidades terrestres. (c) $n \propto M/R^3$: a degenerescência fornece $P \propto M^{5/3}/R^5$, e a gravidade exige $P \propto M^2/R^4$; igualando, $R \propto M^{-1/3}$. (d) Mais peso pede mais pressão de Fermi, que só a compressão fornece — e assim a massa *encolhe* a estrela; a espiral tem um muro: uma vez que os elétrons ficam relativísticos, a lei de pressão amolece para $n^{4/3}$, o equilíbrio falha em qualquer raio, e $M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot$ é a beira do penhasco.

**Exercício 27.7 ★★.**

Anatomia de uma [estrela de nêutrons](#prop-b3-astrophysics-compact). (a) À densidade nuclear $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, calcule o raio que segura $1.4\,M_\odot$. (b) O núcleo pré-colapso girava uma vez a cada 25 dias a $R \sim 10^5\,\mathrm{km}$: use a conservação do momento angular para estimar o período final de rotação. (c) Calcule a gravidade superficial. (d) O congelamento de fluxo amplifica o campo magnético como $B \propto 1/R^2$ ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/22-eletromagnetismo-na-materia#ch-b3-electromagnetism-in-matter)): a partir de $10^{-2}\,\mathrm{T}$ estelares, que campo superficial resulta, e por que os pulsares emitem em feixe?

**Solução de Exercício 27.7.**

(a) $V = M/\rho_{\text{nuc}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$: $R \approx 14\,\mathrm{km}$ — um núcleo com linha do horizonte. (b) $\omega \propto 1/R^2$: aceleração de $(10^8/1.4\times10^4)^2
\approx 5\times10^{7}$, e assim 25 dias encolhem para ${\sim}40\,\mathrm{ms}$: território de pulsar. (c) $g \approx
10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: uma montanha daqui seria milímetros lá. (d) $B \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx
5 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — e o eixo magnético, desalinhado do eixo de rotação, canaliza a emissão de rádio pelos polos dele: o feixe varre como um farol, e chamamos os clarões de pulsar.

**Exercício 27.8 ★★.**

O ponto sem retorno. (a) Deduza $R_{\text{s}} = 2GM/c^2$ da condição newtoniana de velocidade de escape $v_{\text{esc}} = c$ (a dedução honesta precisa da relatividade geral; a resposta, notoriamente, concorda). (b) Avalie para o Sol e para a Terra. (c) O [buraco negro](#prop-b3-astrophysics-compact) central da Galáxia: $M = 4\times10^6\,M_\odot$ — calcule $R_{\text{s}}$ e compare com a distância Sol–Mercúrio ($5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$). (d) Mostre que a densidade média dentro de $R_{\text{s}}$ cai como $1/M^2$ — um [buraco negro](#prop-b3-astrophysics-compact) grande o bastante é menos denso que a água: o que isso diz sobre as intuições de “esmagamento”?

**Solução de Exercício 27.8.**

(a) $\tfrac12mc^2 = GMm/R$ dá $R = 2GM/c^2$. (b) Sol: $3.0\,\mathrm{km}$; Terra: $8.9\,\mathrm{mm}$ — comprima um dos dois para dentro disso e a luz não consegue sair. (c) $R_{\text{s}} \approx
1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$: um quinto da órbita de Mercúrio — e observam-se estrelas chicoteando em volta dele. (d) $\bar\rho \propto
M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2$: um buraco de $10^8\,M_\odot$ é menos denso que a água. Nada precisa ser “esmagado” no horizonte — ele é um ponto sem retorno, não uma superfície de rocha.

**Exercício 27.9 ★★★.**

Aritmética de Hubble. $H_0 = 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por Mpc; $1\,
\text{Mpc} = 3.09 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$. (a) Converta $H_0$ ao SI. (b) Calcule $1/H_0$ em anos. (c) Uma galáxia a $200\,\mathrm{Mpc}$: a velocidade de recessão dela e o fator pelo qual o comprimento de onda da luz dela se esticou (Doppler de $z$ pequeno, [Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/4-cinematica-relativistica#ch-b3-relativistic-kinematics)). (d) Por que $1/H_0$ é só aproximadamente a idade do universo — o que a taxa de expansão andou fazendo nesse meio-tempo?

**Solução de Exercício 27.9.**

(a) $H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx
2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $1/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s}
\approx 14$ bilhões de anos. (c) $v = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $z \approx v/c \approx 0.047$: os comprimentos de onda chegam esticados em 5 %. (d) A taxa não foi constante — desacelerada pela matéria no começo, acelerada pela energia escura desde então: que $1/H_0$ ainda caia a menos de um bilhão de anos dos 13,8 verdadeiros é uma coincidência cósmica menor.

**Exercício 27.10 ★★★.**

A luz mais antiga. A CMB é um corpo negro a $2.725\,\mathrm{K}$. (a) Calcule o comprimento de onda de máximo dela ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/20-fotons-e-fonons#ch-b3-photons-phonons)) e justifique o “micro-ondas”. (b) Ela foi emitida como luz de $3000\,\mathrm{K}$: que fator de expansão a esticou, e por que $3000\,\mathrm{K}$ (lembre Saha, [Proposição 18.5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/18-o-ensemble-grande-canonico#prop-b3-grand-canonical-saha))? (c) A densidade de fótons dela é $\sim4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3}$: compare com a densidade de [bárions](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#def-b3-particle-physics-zoo), $\sim0.25\,\mathrm{m}^{-3}$, e enuncie a razão [fóton-bárion](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#def-b3-particle-physics-zoo). (d) Uma verificação clássica de mesa: alguns por cento da estática de uma TV analógica fora de sintonia eram a CMB — por que uma antena, apontada para onde for, a recebe?

**Solução de Exercício 27.10.**

(a) $\lambda_{\text{máx}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}$: micro-ondas, como anunciado. (b) Esticada por $3000/2.725 \approx
1100$ — o universo é mil e cem vezes maior em toda direção desde então. A recombinação espera até $3000\,\mathrm{K}$, bem abaixo de $13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}}$, porque o balanço de Saha ([Proposição 18.5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/18-o-ensemble-grande-canonico#prop-b3-grand-canonical-saha)) está inclinado por dois bilhões de fótons por [bárion](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#def-b3-particle-physics-zoo): a cauda ionizante mantém o hidrogênio despedaçado muito depois do que a energética ingênua diz. (c) Cerca de $1.6\times10^{9}$ fótons por [bárion](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#def-b3-particle-physics-zoo) — o universo é, em contagem, quase só luz. (d) A CMB não é um lugar, e sim o céu inteiro: toda linha de visada termina na névoa do último espalhamento, e assim toda antena, apontada para onde for, a recebe.

**Exercício 27.11 ★★★.**

Um quarto de hélio, de um fator de Boltzmann. Por volta de $t \sim
1\,\mathrm{s}$, $T \sim 10^{10}\,\mathrm{K}$ ($k_{\text{B}}T \approx
0.8\,\mathrm{MeV}$), as reações fracas ao congelarem deixaram a razão nêutron-próton no valor de Boltzmann dela ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/17-o-ensemble-canonico#ch-b3-canonical-ensemble)). (a) Com $\Delta mc^2 =
1.29\,\mathrm{MeV}$, calcule $n/p$ no congelamento. (b) O decaimento de nêutrons nos primeiros minutos a aparou para $\approx1/7$: mostre que ligar cada sobrevivente em $^4$He dá uma fração de *massa* de hélio de $2(n/p)/(1 + n/p) = 25\,\%$. (c) Diga por que esse número, medido em estrelas de toda parte, é evidência poderosa do começo quente. (d) Por que a cozinha primordial parou no hélio (com traços de lítio), deixando o carbono e todo o resto para a [Observação 27.3](#rem-b3-astrophysics-evolution)?

**Solução de Exercício 27.11.**

(a) $n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20$. (b) Com $n/p = 1/7$: 14 prótons para cada 2 nêutrons; os 2 nêutrons agarram 2 prótons num $^4$He (massa 4), deixando 12 prótons sozinhos: $4/16 = 25\,\%$ em massa. (c) Estrela alguma teve tempo de transformar em hélio um quarto de tudo; achar esse piso no gás mais antigo e mais pobre em metais é o universo primitivo quente pego em flagrante — um fator de Boltzmann escrito no céu. (d) Não existe núcleo estável em $A = 5$ nem em $8$, e a densidade e a temperatura estavam caindo em minutos: a ponte para o carbono (três hélios de uma vez) só se abre nos núcleos densos e pacientes das [gigantes vermelhas](#rem-b3-astrophysics-evolution).

**Exercício 27.12 ★★★.**

A matéria que falta. A velocidade de rotação de uma galáxia espiral fica plana em $v = 220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ até $r = 50\,\mathrm{kpc}$ ($1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$), bem além da borda visível dela. (a) Para uma órbita circular, mostre que $M(r) = v^2r/G$. (b) Avalie em $50\,\mathrm{kpc}$, em massas solares. (c) As estrelas e o gás visíveis totalizam $\sim5\times10^{10}\,M_\odot$: que fração fica explicada? (d) A expectativa kepleriana além da borda visível é $v \propto r^{-1/2}$ (o padrão do Sistema Solar): o que a planura implica sobre como a massa invisível se distribui?

**Solução de Exercício 27.12.**

(a) $mv^2/r = GM(r)m/r^2$. (b) $M = v^2r/G \approx
1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot$. (c) Grosso modo um décimo: noventa por cento da galáxia não brilha nem absorve. (d) Um $v$ plano significa $M(r) \propto r$ — a massa invisível continua se acumulando bem além do disco visível, um halo escuro estendido (densidade $\sim1/r^2$) em que a galáxia luminosa é só o caroço aceso.

![Uma antena de ondas milimétricas sob a Via Láctea: a galáxia que ela escuta, pairando acima dela. A radioastronomia achou a radiação cósmica de fundo em micro-ondas — o chiado a 2.7\, K que acabou sendo o começo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-astrophysics/img-7aab40839d93.jpg)

*Uma antena de ondas milimétricas sob a Via Láctea: a galáxia que ela escuta, pairando acima dela. A radioastronomia achou a [radiação cósmica de fundo em micro-ondas](#def-b3-astrophysics-hubble) — o chiado a $2.7\,\mathrm{K}$ que acabou sendo o começo.*

![A nebulosa do Caranguejo (NASA, ESA, J. Hester e A. Loll, domínio público): os destroços da supernova de 1054, ainda em expansão, com o farol de milissegundos de uma estrela de nêutrons no coração dela — o problema de fim de semana, fotografado nove séculos depois.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-astrophysics/img-ba7e88f519fa.jpg)

*A nebulosa do Caranguejo (NASA, ESA, J. Hester e A. Loll, domínio público): os destroços da supernova de 1054, ainda em expansão, com o farol de milissegundos de uma [estrela de nêutrons](#prop-b3-astrophysics-compact) no coração dela — o problema de fim de semana, fotografado nove séculos depois.*

## 27.6 Problema: a noite em que a estrela morreu

**Problema 27.1.**

*A noite em que a estrela morreu.* Em 23 de fevereiro de 1987, uma supergigante azul da Grande Nuvem de Magalhães — $d \approx
50\,\mathrm{kpc} \approx 1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ — virou a SN 1987A, a supernova mais próxima em quatro séculos. Horas *antes* de qualquer telescópio vê-la brilhar, três detectores subterrâneos contaram duas dúzias de neutrinos. Você vai reconstruir aquela noite a partir de primeiros princípios.

**Parte I — A estrela que existia.**

1. A progenitora pesava ${\sim}20\,M_\odot$ . Usando a escala do [Exercício 27.4](#exo-b3-astrophysics-4) , estime o tempo de vida dela e compare com o do Sol.
2. No último dia dela, a estrela era uma cebola: cascas de H, He, C, O e Si em torno de um núcleo de ferro. Por que cada combustível seguinte exige um núcleo mais quente?
3. Por que a sequência para, em definitivo, no ferro? ( [Proposição 25.2](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#prop-b3-nuclear-physics-binding) .)
4. O núcleo inerte de ferro cresce rumo a $1.4\,M_\odot$ . O que há de especial nesse número, e que pressão falha ali?
5. A queima do silício sustenta a estrela por cerca de um *dia* : o que isso diz sobre como o relógio de uma estrela acelera rumo ao fim?
6. Uma vez que o sustento por pressão falha, quanto tempo dura aproximadamente a queda livre, para um núcleo de densidade $\sim10^{12}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $t \sim 1/\sqrt{G\rho}$ )?

**Parte II — O clarão de neutrinos.**

7. O núcleo ( $M \approx 1.4\,M_\odot = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) desaba até $R \approx 12\,\mathrm{km}$ : calcule a energia gravitacional liberada, $E \sim GM^2/R$ .
8. Compare com a luz de um bilhão de sóis brilhando por um mês ( $L \sim 10^{9}L_\odot$ por $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ): mostre que os fótons são erro de arredondamento — para onde vão os 99 %, e por que só os neutrinos conseguem escapar de pronto de um núcleo em colapso?
9. Espalhe $E \approx 3 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ por uma esfera de raio $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ : calcule a fluência de energia na Terra.
10. Com $\sim15\,\mathrm{MeV}$ por neutrino, calcule a fluência de número (neutrinos por $\mathrm{m}^{2}$ ).
11. Um detector guarda $2000\,\mathrm{t}$ de água: ${\sim}1.5\times10^{32}$ prótons livres. Com uma probabilidade de interação por próton de $\sigma \approx 1 \times 10^{-46}\,\mathrm{m}^{2}$ por antineutrino (dada), estime a contagem esperada — e compare com os onze que um detector registrou.
12. Os neutrinos venceram a luz por horas. Explique os dois relógios: o que atrasa os fótons (onde o aumento de brilho nasce, de fato?) e o que a quase [simultaneidade](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/4-cinematica-relativistica#def-b3-relativistic-kinematics-event) diz sobre a massa e a velocidade do neutrino?
13. Vinte e cinco neutrinos contados: diga, em uma frase cada, duas coisas que eles confirmaram sobre a teoria das supernovas.

**Parte III — O que resta.**

14. Calcule a densidade média do remanescente de $12\,\mathrm{km}$ e $1.4\,M_\odot$ e compare com a densidade nuclear da [Definição 25.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#def-b3-nuclear-physics-nuclide) .
15. O núcleo progenitor girava uma vez a cada 30 dias a $R \sim 10^{5}\,\mathrm{km}$ : estime o período do remanescente.
16. O campo magnético dele, congelado no fluxo, é amplificado por $(R_0/R)^2$ : a partir de $10^{-2}\,\mathrm{T}$ , calcule o campo superficial.
17. Explique o farol: o que varre, o que emite em feixe e por que o pulsar do Caranguejo (nascido em 1054, cronicado como uma “estrela visitante” diurna) ainda pisca trinta vezes por segundo.
18. Se o remanescente tivesse passado de ${\sim}3\,M_\odot$ : calcule $R_{\text{s}}$ para $3\,M_\odot$ e diga o destino dele.
19. A temporização dos pulsares é estável a $10^{-15}$ : cite um uso físico de um relógio tão bom, girando no céu.

**Parte IV — O que isso significa.**

20. O oxigênio que você respira e o ferro do seu sangue: trace a biografia de cada átomo em duas frases, do hidrogênio do Big Bang à sua corrente sanguínea.
21. As supernovas de tipo Ia ( [anãs brancas](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf) empurradas para além de $M_{\text{Ch}}$ ) detonam todas na mesma massa, e portanto com quase o mesmo brilho. Explique por que isso as torna *velas-padrão* , e como o diagrama da [Definição 27.5](#def-b3-astrophysics-hubble) é construído a partir delas.
22. Em 1998, supernovas Ia distantes saíram *mais fracas* do que a reta de Hubble prevê: enuncie a conclusão que ganhou o Nobel de 2011.
23. Estime que distância a luz da SN 1987A havia percorrido quando chegou, em anos — e note o que acontecia na Terra quando ela partiu.
24. Os neutrinos da LMC atravessaram você também (todos os que estavam vivos naquele dia). Grosso modo, quantos cruzaram cada ser humano ( ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ )? Alguém sentiu ( [Exercício 26.10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#exo-b3-particle-physics-10) )?
25. Feche o livro-caixa do livro em quatro linhas: uma estrela equilibrada por dez milhões de anos pelo tunelamento; um colapso pago em neutrinos; um cadáver sustentado por Pauli; e os destroços — inclusive o leitor — ainda cavalgando a expansão de Hubble.

**Solução de Problema 27.1.**

**1.** $t \sim 10\,\text{Gyr}\times20^{-2.5} \approx
6\,\mathrm{Myr}$: o Sol viverá duas mil vidas dessas. **2.** Os núcleos mais pesados carregam mais carga: barreiras de Coulomb mais altas precisam de núcleos mais quentes para que as chances de tunelamento ([Exercício 25.8](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#exo-b3-nuclear-physics-8)) acompanhem. **3.** O ferro está no topo da curva $B/A$: fundi-lo *custa* energia — a escada de combustíveis da fornalha termina em cinza. **4.** A [massa de Chandrasekhar](#prop-b3-astrophysics-compact): o máximo que a [pressão de degenerescência](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#thm-b3-quantum-statistics-fermi) eletrônica consegue carregar; o núcleo é uma [anã branca](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/19-estatistica-quantica#ex-b3-quantum-statistics-dwarf) crescida dentro de uma estrela viva, e em $1.4\,M_\odot$ o sustento dele falha. **5.** Hidrogênio: milhões de anos; hélio: centenas de milênios; silício: um dia — cada etapa paga menos por quilograma enquanto a estrela, cada vez mais quente, gasta (sobretudo em neutrinos) cada vez mais rápido: o relógio enlouquece logaritmicamente. **6.** $t \sim 1/\sqrt{G\rho} =
1/\sqrt{6.7\times10^{-11}\times10^{12}} \approx 0.1\,\mathrm{s}$: o núcleo some por baixo da estrela em um décimo de segundo. **7.** $E \sim GM^2/R \approx 4 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$. **8.** O espetáculo de fótons é $10^9\times3.8\times10^{26}
\times2.6\times10^{6} \approx 10^{42}\,\mathrm{J}$ — uma parte em dez mil. O resto sai como neutrinos: a matéria nuclear em colapso é opaca a todo o resto, mas ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#ch-b3-particle-physics)) quase transparente às partículas da própria força fraca, que drenam a energia em segundos. **9.** $E/4\pi d^2 = 4\times10^{46}/2.8\times10^{43}
\approx 1.4 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$. **10.** A $15\,\mathrm{MeV} = 2.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ cada: ${\sim}6\times10^{14}$ neutrinos por metro quadrado — por cada metro quadrado da Terra. **11.** $6\times10^{14}\times10^{-46}\times1.5\times
10^{32} \approx 9$: o detector registrou onze — um acerto em cheio de ordem de grandeza para uma estrela que morreu há 160 000 anos. **12.** Os neutrinos deixam o núcleo no colapso; a luz só nasce quando a onda de choque irrompe pelo envelope da estrela, horas depois. Que os dois tenham chegado na mesma noite após 160 milênios de voo limita o neutrino à velocidade da luz com partes em $10^{9}$ — e a massa dele a quase nada. **13.** O orçamento de energia ($\sim10^{46}\,\mathrm{J}$, 99 % em neutrinos) e a duração do surto de ${\sim}10$ segundos — os dois bateram com o núcleo em colapso da teoria, promovendo o mecanismo de supernova do quadro-negro à observação. **14.** $\bar\rho = 2.8\times10^{30}/(\tfrac43\pi
(1.2\times10^4)^3) \approx 4 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: densidade nuclear — a colher de chá da [Definição 25.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#def-b3-nuclear-physics-nuclide), agora do tamanho de uma cidade. **15.** Aceleração de $(10^8/1.2\times10^4)^2 \approx
7\times10^{7}$: 30 dias $\to$ ${\sim}40\,\mathrm{ms}$. **16.** $B \approx 10^{-2}\times7\times10^{7} \approx
7 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — cem milhões de tesla-metros de fluxo, conservados dentro de um selo postal. **17.** O eixo magnético, inclinado em relação ao eixo de rotação, emite rádio em feixe pelos polos dele; o feixe varre o céu como um farol. O remanescente do Caranguejo — a estrela visitante de 1054 — ainda gira trinta vezes por segundo, com um milênio de frenagem mal começado. **18.** $R_{\text{s}} = 3\times3\,\mathrm{km} \approx
9\,\mathrm{km}$ — da ordem da própria estrela: sem pressão alguma para argumentar, o colapso segue através do horizonte e o remanescente é um [buraco negro](#prop-b3-astrophysics-compact). **19.** [Redes](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/23-solidos-cristalinos#def-b3-crystalline-solids-lattice) desses relógios são detectores de ondas gravitacionais com abertura galáctica (e os melhores laboratórios da relatividade: as órbitas de pulsares binários decaem exatamente como a radiação gravitacional prevê). **20.** O oxigênio dele foi fundido na casca de uma estrela massiva e lançado fora por uma supernova; o ferro foi forjado no próprio fim explosivo; os dois vagaram pelas nuvens interestelares, juntaram-se à nebulosa solar, à Terra, ao mar, à cadeia alimentar — e ao leitor. O hidrogênio do Big Bang, porém: esse é seu desde sempre. **21.** Mesma massa de detonação $\to$ mesmo brilho intrínseco $\to$ o brilho aparente dá a distância: uma vela de potência conhecida visível a bilhões de anos-luz — a régua que desenha a ponta distante do diagrama de Hubble. **22.** A expansão está *acelerando*: alguma “energia escura” empurra o universo para fora — o Nobel de 2011, e a maior fatura em aberto da física. **23.** $50\,\mathrm{kpc} \approx 163000$ anos-luz: a luz partiu enquanto o *Homo sapiens* deixava a África pela primeira vez. **24.** $6\times10^{14}\times0.03 \approx 2\times10^{13}$ por cada ser humano vivo — e, com as chances do [Exercício 26.10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/26-fisica-de-particulas#exo-b3-particle-physics-10), nem uma pessoa em um milhão interagiu com um só deles: o clarão que ofuscou uma galáxia atravessou a humanidade sem ser sentido. **25.** Uma estrela equilibrada dez milhões de anos sobre prótons que tunelam; um colapso de um décimo de segundo pago em $10^{46}$ joules de neutrinos; o princípio de Pauli segurando o cadáver à densidade nuclear; e os destroços espalhados — oxigênio, ferro, leitor — ainda cavalgando a expansão de Hubble, num universo cuja foto de bebê é uma curva de Planck. A física, completa por ora: volume encerrado.