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title: "Mecânica dos meios contínuos e elasticidade"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/3-mecanica-dos-meios-continuos-e-elasticidade
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# Capítulo 3 — Mecânica dos meios contínuos e elasticidade

Encoste o ouvido num longo trilho de aço enquanto um operário distante o golpeia: você ouve duas batidas — uma pelo aço, outra pelo ar, separadas por um segundo ou mais. Rocha, aço, osso e borracha transmitem forças e ondas como um fluido transmite pressão, mas com algo que nenhum fluido tem: resistem a *mudanças de forma*, e não apenas a mudanças de volume. O volume do segundo ano construiu a mecânica dos fluidos sobre duas ideias, a partícula material e o campo de pressão; este capítulo as estende aos sólidos. O deslocamento de cada partícula torna-se um campo, sua distorção local uma *deformação*, as forças internas uma *tensão*, e entre elas está a carteira de identidade do sólido, a [lei de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) com suas duas constantes elásticas. O proveito vai do cotidiano — por que os cabos se alongam, por que as garrafas estouram, como um trampolim se verga — ao planetário: os terremotos enviam pela Terra exatamente os dois tipos de onda elástica que este capítulo prevê, e seus tempos de chegada foram a primeira sondagem já feita do interior do nosso planeta.

## 3.1 Deformação: descrever a distorção

**Definição 3.1 (Campo de deslocamentos e tensor de deformações).**

Quando um sólido se deforma, a partícula inicialmente em $\vect r$ vai para $\vect r + \vect u(\vect r)$: $\vect u$ é o *campo de deslocamentos*. Para pequenas deformações, a distorção local é medida pelo *tensor de deformações*, o arranjo simétrico

$$
\varepsilon_{ij} = \frac12\Big(
 \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}
\Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .
$$

Uma componente diagonal $\varepsilon_{xx}$ é o alongamento relativo do material ao longo de $x$ (adimensional; por exemplo, $10^{-3}$ para um cabo de aço em serviço); uma componente fora da diagonal $\varepsilon_{xy}$ é a metade do fechamento do ângulo entre as direções materiais $x$ e $y$ — um *cisalhamento*. O traço é a variação relativa de volume, a *dilatação*:

$$
\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .
$$

**Exemplo 3.2 (Três deformações elementares).**

[Dilatação](#def-b3-continuum-elasticity-strain) uniforme $\vect u = \alpha\vect r$: $\varepsilon_{ij} =
\alpha\,\delta_{ij}$, variação de volume $3\alpha$, sem cisalhamento. Cisalhamento simples $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$: $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$, todas as componentes diagonais nulas — a forma muda, o volume não. Rotação rígida $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$: $\varepsilon_{ij} = 0$ identicamente — a parte antissimétrica de $\partial u_i/\partial x_j$, descartada pela simetrização, é exatamente a parte que gira sem deformar. A deformação mede apenas a distorção.

![O tensor de deformações vê apenas a distorção verdadeira: alongamento (componentes diagonais), cisalhamento (componentes fora da diagonal) — e uma rotação rígida, de modo algum.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-a82d13bd2ee9.svg)

*O [tensor de deformações](#def-b3-continuum-elasticity-strain) vê apenas a distorção verdadeira: alongamento (componentes diagonais), cisalhamento (componentes fora da diagonal) — e uma rotação rígida, de modo algum.*

## 3.2 Tensão: descrever as forças internas

**Definição 3.3 (Tração e tensor de tensões).**

Corte o sólido, em pensamento, ao longo de uma pequena superfície $\dd S$ de normal $\vect n$: o material do lado $+\vect n$ puxa o outro lado com uma força $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — a *tração*. Essa força depende linearmente de $\vect n$ (Cauchy) e por isso é codificada pelo *tensor de tensões* $\sigma_{ij}$:

$$
\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,
$$

em pascals. $\sigma_{xx}$ é um puxão ($> 0$: tração) ou um empurrão ($< 0$: compressão) através de uma face normal a $x$; $\sigma_{xy}$ é uma força ao longo de $x$ suportada por uma face normal a $y$ — uma tensão de cisalhamento. Um fluido em repouso é o caso particular $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$: a pressão empurra igualmente cada face e não cisalha nenhuma, e é por isso que os fluidos escoam — não conseguem suportar cisalhamento estático.

**Proposição 3.4 (Equilíbrio e simetria).**

Num sólido em equilíbrio sob uma força de volume $\vect f$ por unidade de volume (por exemplo, $\rho\vect g$),

$$
\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0
$$

em todo ponto interior; e o [tensor de tensões](#def-b3-continuum-elasticity-stress) é simétrico, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$.

**Demonstração parcial.** Faça o balanço de forças num pequeno cubo de aresta $a$: as [trações](#def-b3-continuum-elasticity-stress) nas duas faces normais a $x$ diferem de $a\,\partial_x\sigma_{ix}$ por unidade de área, e o mesmo vale para os outros pares; a força de superfície líquida por unidade de volume é $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$, que deve cancelar $f_i$ — a mesma contabilidade que deu $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ na estática dos fluidos do volume do primeiro ano. Simetria: o torque das tensões de cisalhamento em torno do centro do cubo vale $(\sigma_{xy} -
\sigma_{yx})a^3$ em ordem dominante, ao passo que seu momento de inércia escala como $a^5$; uma tensão assimétrica faria os cubos pequenos girarem infinitamente rápido. O argumento contínuo completo é admitido. ∎

![As três componentes da tração sobre uma face de um cubo material: uma normal (tração ou compressão), duas tangenciais (cisalhamento). As nove componentes das três faces formam o tensor de tensões.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-b57084ef0a0d.svg)

*As três componentes da [tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) sobre uma face de um cubo material: uma normal ([tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) ou compressão), duas tangenciais (cisalhamento). As nove componentes das três faces formam o [tensor de tensões](#def-b3-continuum-elasticity-stress).*

## 3.3 A lei de Hooke e as constantes elásticas

**Teorema 3.5 (Elasticidade linear isotrópica).**

Para pequenas deformações, um sólido isotrópico responde linearmente: a tensão é proporcional à deformação,

$$
\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,
$$

com duas constantes do material, os *coeficientes de Lamé* $\lambda$ e $\mu$ ($\mu$ também se escreve $G$, o *módulo de cisalhamento*). No ensaio de [tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) simples — uma barra puxada ao longo de $x$, livre nas laterais — a mesma lei toma a forma do engenheiro

$$
\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad
\varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,
$$

definindo o *[módulo de Young](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $E$ (rigidez ao alongamento) e o *[coeficiente de Poisson](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $\nu$ (contração lateral), com

$$
\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad
\lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .
$$

Este é o “tal a extensão, tal a força” de Hooke (1678), promovido a tensor. Vale até um *limite elástico* que depende do material.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 3.6 (Ordens de grandeza).**

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ para o aço, $70\,\mathrm{GPa}$ para o alumínio e o vidro de janela, $50\,\mathrm{GPa}$ para o granito, $15\,\mathrm{GPa}$ para o osso e o concreto, $10\,\mathrm{GPa}$ para a madeira na direção das fibras e apenas alguns MPa para a borracha — cinco ordens de grandeza, o intervalo que vai de uma ponte a um elástico. $\nu$ está entre $0$ (a cortiça, quase) e $1/2$ (a borracha): $\nu = 1/2$ significa deformação que preserva o volume, e $\nu \approx 0.3$ é típico dos metais. Uma deformação de $10^{-3}$ no aço já significa $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$, próxima da tensão de escoamento das ligas comuns: a elasticidade cotidiana vive abaixo de uma parte em mil.

**Exemplo 3.7 (Um cabo de elevador).**

Um cabo de aço de $60\,\mathrm{m}$ e seção $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ sustenta uma cabine de $1000\,\mathrm{kg}$: $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$, $\varepsilon =
\sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$, alongamento $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — e o cabo se comporta como uma mola de constante $k = ES/L =
6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$: a fórmula $k = ES/L$ é como um meio contínuo devolve as molas do volume do primeiro ano.

**Proposição 3.8 (Energia elástica).**

Um sólido deformado armazena, por unidade de volume, a densidade de energia

$$
w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij}
\qquad\text{(tração simples: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 =
\sigma^2/2E\text{)} ,
$$

a versão tridimensional de $\tfrac12 kx^2$.

**Demonstração parcial.** Em [tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) simples, levar a tensão de $0$ a $\sigma$ realiza o trabalho por unidade de volume $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' =
\int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12
E\varepsilon^2$ — a área sob a reta tensão–deformação, exatamente como para uma mola. A forma quadrática geral segue por superposição das componentes; admitida. ∎

![À esquerda: o ensaio de tração define E (alongamento relativo) e (afinamento lateral, exagerado). À direita: a curva tensão–deformação de um metal — elasticidade linear até o limite elástico, depois escoamento plástico irreversível, depois ruptura. Este capítulo vive na parte reta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-d1240a0493b7.svg)

*À esquerda: o ensaio de [tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) define $E$ (alongamento relativo) e $\nu$ (afinamento lateral, exagerado). À direita: a curva tensão–deformação de um metal — elasticidade linear até o limite elástico, depois escoamento plástico irreversível, depois ruptura. Este capítulo vive na parte reta.*

**Método 3.9 (Resolver problemas de elasticidade linear).**

(1) Identifique a geometria e o carregamento; adivinhe quais componentes de tensão são não nulas (uma barra puxada: só $\sigma_{xx}$; um fio torcido: cisalhamento; um casco pressurizado: [trações](#def-b3-continuum-elasticity-stress) tangenciais). (2) Escreva o balanço de forças sobre uma peça bem escolhida — um semicilindro, uma fatia, um cubo. (3) Converta tensão em deformação pela [lei de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) e deformação em deslocamento por integração. (4) Energias por $w = \sigma^2/2E$ (ou $\sigma^2/2G$ em cisalhamento). (5) Verifique sempre que a deformação permanece pequena e a tensão abaixo do limite elástico — do contrário, a resposta descreve um sólido que já não existe.

## 3.4 Ondas elásticas

**Proposição 3.10 (Os dois sons de um sólido).**

Num sólido elástico ilimitado de densidade $\rho$, as pequenas perturbações se propagam como dois tipos independentes de onda: as ondas *longitudinais* (P), em que a matéria oscila ao longo da direção de propagação por compressão e [dilatação](#def-b3-continuum-elasticity-strain), com velocidade

$$
c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,
$$

e as ondas *transversais* (S), em que a matéria cisalha de lado, com velocidade

$$
c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .
$$

Um fluido tem $\mu = 0$: não há [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) — o cisalhamento não pode ser transmitido — e a velocidade P se reduz à velocidade do som do volume do segundo ano. Para $\nu = 1/4$ (rocha típica), $\lambda = \mu$ e $c_{\text{P}} =
\sqrt3\,c_{\text{S}}$.

**Demonstração parcial.** Tome uma perturbação plana $\vect u = \vect u(x, t)$. A lei de Newton por unidade de volume é $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (a equação de equilíbrio com a inércia restituída). Para a componente longitudinal, a [lei de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) dá $\sigma_{xx} = (\lambda +
2\mu)\,\partial_xu_x$ (as deformações laterais se anulam numa onda plana, pois a matéria vizinha proíbe o alívio lateral), de modo que $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$: d’Alembert com velocidade $c_{\text{P}}$. Para a componente transversal, $\sigma_{yx} =
2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$, de onde $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$: velocidade $c_{\text{S}}$. Que uma perturbação geral se separe nessas duas famílias é admitido. ∎

![As duas ondas elásticas. P: os planos de matéria se juntam e se afastam ao longo da direção de percurso (onda de compressão — existe em sólidos, líquidos e gases). S: a matéria cisalha de lado (existe apenas onde o cisalhamento encontra resistência: nos sólidos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-bb5d178104f6.svg)

*As duas [ondas elásticas](#prop-b3-continuum-elasticity-waves). P: os planos de matéria se juntam e se afastam ao longo da direção de percurso (onda de compressão — existe em sólidos, líquidos e gases). S: a matéria cisalha de lado (existe apenas onde o cisalhamento encontra resistência: nos sólidos).*

**Exemplo 3.11 (O trilho e o terremoto).**

Aço: $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — uma pancada num trilho a $2\,\mathrm{km}$ chega pelo aço em $0.34\,\mathrm{s}$ e pelo ar ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) em $5.9\,\mathrm{s}$: duas batidas. Granito ($E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho =
2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Um terremoto, portanto, se anuncia duas vezes: um solavanco P agudo e, segundos depois, a sacudida S mais lenta e mais forte — e o atraso mede a distância ([Problema 3.1](#pb-b3-continuum-elasticity-1)). Os sistemas de alerta precoce de terremotos vivem dentro desse atraso: a [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), e a mensagem de rádio que ela dispara, correm mais que a [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), que é a que causa o dano.

**Observação 3.12 (Cordas, hastes e som recuperados).**

As ondas do volume do segundo ano são todas limites deste capítulo. Uma haste fina, livre para afinar lateralmente, transporta ondas de compressão a $\sqrt{E/\rho}$ (mais lentas que $c_{\text{P}}$: o alívio lateral amolece a resposta); uma corda esticada transporta ondas transversais a $\sqrt{T/\rho_\ell}$, com a [tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) no papel da rigidez; um fluido guarda apenas $\lambda$ — seu módulo de compressibilidade — e a única velocidade do som $\sqrt{\lambda/\rho}$.

![Um trampolim carregado: tensão e deformação distribuídas por um meio contínuo, curvado no perfil cúbico de deflexão da viga em balanço — e uma mola prestes a devolver a sua energia elástica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/img-5763894027e1.jpg)

*Um trampolim carregado: tensão e deformação distribuídas por um meio contínuo, curvado no perfil cúbico de deflexão da viga em balanço — e uma mola prestes a devolver a sua [energia elástica](#prop-b3-continuum-elasticity-energy).*

## 3.5 Exercícios

**Exercício 3.1 ★.**

(a) Verifique as unidades: o que é um pascal em termos de kg, m, s, e qual é a unidade da deformação? (b) Um cabo de aço trabalha a $\sigma =
200\,\mathrm{MPa}$: calcule sua deformação. (c) Um elástico ($E \approx
2\,\mathrm{MPa}$) é esticado ao dobro do comprimento: que “deformação” é essa, e por que o arcabouço deste capítulo não se aplica de fato? (d) Ordene pela densidade de [energia elástica](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) armazenada na tensão de trabalho: aço a $200\,\mathrm{MPa}$, borracha a $1\,\mathrm{MPa}$.

**Solução de Exercício 3.1.**

(a) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$; a deformação é um número puro. (b) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$. (c) Dobrar o comprimento é $\varepsilon = 1$: mil vezes além do “pequeno”, e a resposta da borracha ali é fortemente não linear (e de origem diferente, entrópica) — a [lei de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) apenas abre a curva. (d) $w =
\sigma^2/2E$: aço, $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) =
1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; borracha, $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) =
2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — o material macio armazena *mais* por unidade de volume à tensão de trabalho, e é por isso que os estilingues são de borracha, não de aço.

**Exercício 3.2 ★.**

Calcule o [tensor de deformações](#def-b3-continuum-elasticity-strain) de cada [campo de deslocamentos](#def-b3-continuum-elasticity-strain) e descreva a deformação: (a) $\vect u = \alpha(x, y, z)$; (b) $\vect u =
(\gamma y, 0, 0)$; (c) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$; (d) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — que experimento o realiza?

**Solução de Exercício 3.2.**

(a) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$: [dilatação](#def-b3-continuum-elasticity-strain) isotrópica, $\delta V/V = 3\alpha$. (b) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} =
\gamma/2$, as demais nulas: cisalhamento puro, volume inalterado. (c) $\varepsilon_{ij} = 0$: rotação rígida, sem deformação. (d) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$: o ensaio de [tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) — alongamento ao longo de $x$, contração de Poisson transversalmente.

**Exercício 3.3 ★.**

A base de uma coluna de granito de altura $h$ suporta a tensão $\sigma
= \rho gh$. (a) Deduza isso da equação de equilíbrio com a gravidade. (b) O granito se esmaga por volta de $200\,\mathrm{MPa}$: qual é a coluna mais alta possível? (c) O Everest tem $8.8\,\mathrm{km}$ de altura: comente. (d) Por que uma montanha pode ser um pouco mais alta que uma coluna da sua própria rocha (pense na forma)?

**Solução de Exercício 3.3.**

(a) Com apenas $\sigma_{zz}(z)$ e o peso: $\partial_z\sigma_{zz} =
\rho g$ (tomando a compressão positiva para baixo), $\sigma_{zz} = \rho
gh$ na base. (b) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g =
2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$. (c) O Everest está no limite de esmagamento da sua própria base — as montanhas da Terra são tão altas quanto a resistência da rocha permite, e não mais. (d) Um cone de altura $h$ carrega sua base com apenas $\rho gh/3$ (um terço da coluna: a massa cresce com a seção), de modo que uma pilha em forma de montanha pode ficar cerca de três vezes mais alta que uma coluna.

**Exercício 3.4 ★.**

Uma haste de aço ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.30$) é alongada de $\varepsilon = 10^{-3}$. (a) Deformação lateral? (b) Variação relativa de volume? (c) Para que $\nu$ o volume não mudaria em nada, e qual material comum se aproxima disso? (d) Por que $\nu > 1/2$ é impossível (considere a compressão hidrostática)?

**Solução de Exercício 3.4.**

(a) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$. (b) $\delta V/V = (1 -
2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$. (c) $\nu = 1/2$: deformação incompressível — a borracha. (d) Para $\nu > 1/2$ o módulo de compressibilidade $K =
E/3(1 - 2\nu)$ seria negativo: comprimir por todos os lados *aumentaria* o volume, e o material liberaria energia ao colapsar — nenhum sólido estável pode fazer isso.

**Exercício 3.5 ★★.**

Tensão circunferencial. Um cilindro de parede fina (raio $R$, espessura da parede $t \ll
R$) contém uma pressão $p$. (a) Fazendo o balanço de forças sobre um semicilindro de comprimento unitário, mostre que a parede suporta a tensão tangencial $\sigma_\theta = pR/t$. (b) Mostre que a tensão longitudinal (balanço sobre uma seção transversal) é $pR/2t$: um cilindro é solicitado duas vezes mais ao redor do que ao longo — de que modo racham as salsichas? (c) Um cilindro de mergulho: $p =
200\,\mathrm{bar}$, $R = 9\,\mathrm{cm}$, $t = 5\,\mathrm{mm}$: calcule $\sigma_\theta$ e compare com uma tensão de escoamento do aço de $700\,\mathrm{MPa}$. (d) Por que os tanques de alta pressão têm extremidades hemisféricas?

**Solução de Exercício 3.5.**

(a) Num semicilindro de comprimento unitário, a pressão empurra com $p
\times 2R$ (área projetada) e as duas paredes cortadas puxam de volta com $2\sigma_\theta t$: $\sigma_\theta = pR/t$. (b) Numa seção transversal, $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$: $\sigma_z = pR/2t$ — a metade. Uma salsicha racha *no comprimento*: a tensão circunferencial, maior, rasga a pele ao longo do eixo. (c) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times
0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$: um fator $2$ abaixo do escoamento — e é por isso que os cilindros são ensaiados e inspecionados. (d) Uma esfera suporta $pR/2t$ em todas as direções: extremidades hemisféricas reduzem a tensão à metade e evitam os cantos onde extremidades planas a concentrariam.

**Exercício 3.6 ★★.**

Um bloco de borracha ($E = 3.0\,\mathrm{MPa}$, $\nu \approx 0.5$), de base $10
\times 10\,\mathrm{cm}$ e altura $2\,\mathrm{cm}$, é colado entre duas placas; a placa de cima é empurrada lateralmente com $150\,\mathrm{N}$. (a) Calcule $G$. (b) A tensão e o ângulo de cisalhamento $\gamma = \sigma_{xy}/G$; o deslocamento lateral da placa de cima. (c) Por que $\nu \approx 1/2$ para a borracha (o que é difícil e o que é fácil para um emaranhado de cadeias poliméricas)? (d) Blocos de borracha assim sustentam edifícios inteiros em zonas sísmicas: qual propriedade desse apoio protege o edifício, a rigidez à compressão ou a maciez ao cisalhamento?

**Solução de Exercício 3.6.**

(a) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$. (b) $\sigma_{xy} = F/S =
150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$; $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$; deslocamento $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$. (c) Uma rede de borracha muda de *forma* pela mera reorientação de suas cadeias (fácil), mas mudar de *volume* significa empacotar as cadeias mais perto, tão difícil quanto comprimir um líquido: $G \ll K$, e daí $\nu \to 1/2$. (d) A maciez ao cisalhamento: o apoio deixa o solo tremer horizontalmente por baixo transmitindo pouca força, mas permanece rígido o bastante à compressão para sustentar o peso do edifício.

**Exercício 3.7 ★★.**

Uma corda de escalada, comprimento $L = 20\,\mathrm{m}$, seção $S =
80\,\mathrm{mm}^{2}$, módulo efetivo $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$. (a) Sua constante elástica $k = ES/L$. (b) Um escalador de $80\,\mathrm{kg}$ cai livremente $4\,\mathrm{m}$ antes que a corda atue: igualando energias, encontre o alongamento máximo da corda (resolva a equação do segundo grau; despreze, numa primeira passagem, a queda que continua durante a frenagem). (c) Deduza a força máxima e a desaceleração máxima em $g$. (d) Por que uma corda que segurou uma queda severa deve ser aposentada (para onde foi a energia, e o que diz a curva tensão–deformação)?

**Solução de Exercício 3.7.**

(a) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. (b) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$: $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$, $x =
1.3\,\mathrm{m}$. (c) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$; desaceleração $F/m
\approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — a razão de as cordas serem feitas deliberadamente elásticas. (d) Parte da energia absorvida foi para a ruptura de fibras e rearranjos plásticos: a corda passa a viver sobre uma curva tensão–deformação degradada, mais rígida e mais fraca, e a próxima queda seria pior nos dois sentidos.

**Exercício 3.8 ★★.**

Torção. Um fio de raio $a$, comprimento $L$ e módulo de cisalhamento $G$ é torcido de um ângulo $\theta$. (a) Mostre que um tubo de raio $r$ em seu interior sofre o ângulo de cisalhamento $\gamma(r) = r\theta/L$. (b) Sua tensão de cisalhamento vale $G\gamma$: integre $r \times$ tensão sobre a seção para obter o torque restaurador $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$. (c) O $a^4$: reduza o raio à metade e, por que fator cai a rigidez torcional? (d) Essa maciez extrema é a razão por que Cavendish (1798) pendurou sua balança de um fio fino: para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$, $L =
1\,\mathrm{m}$, $G = 40\,\mathrm{GPa}$, calcule $C = \pi Ga^4/2L$ e o período com uma haste de momento de inércia $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**Solução de Exercício 3.8.**

(a) O topo de um tubo de raio $r$ gira pelo arco $r\theta$ ao longo do comprimento $L$: $\gamma = r\theta/L$. (b) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\,
2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$. (c) Por $2^4 = 16$. (d) $C =
\pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 =
2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$; $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/
2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — um quarto de hora por oscilação: sensibilidade bastante para sentir a gravidade de esferas de chumbo.

**Exercício 3.9 ★★.**

(a) A partir da dedução por ondas planas da [Proposição 3.10](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), calcule $c_{\text{P}}$ e $c_{\text{S}}$ para o aço ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.29$, $\rho =
7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). (b) Compare $c_{\text{P}}$ com a velocidade $\sqrt{E/\rho}$ da haste fina e explique a diferença numa frase. (c) Para a água ($\mu = 0$, módulo de compressibilidade $2.2\,\mathrm{GPa}$): a velocidade S e a velocidade P. (d) Em que ângulo o movimento da matéria numa [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) difere do de uma [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), e como um sismômetro de três componentes as distingue?

**Solução de Exercício 3.9.**

(a) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$, $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu)
= 107\,\mathrm{GPa}$: $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} =
5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (b) A haste fina dá $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: na haste as laterais incham livremente (alívio de Poisson), o que amolece a resposta; no interior maciço a matéria ao redor o proíbe. (c) $c_{\text{S}} = 0$; $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — a velocidade do som na água. (d) A P move o solo ao longo do raio (quase vertical para uma fonte profunda), a S transversalmente a ele: as três componentes de um sismômetro separam as polarizações, e o atraso P/S dá então a distância.

**Exercício 3.10 ★★★.**

Flexão. Uma viga é curvada até um raio de curvatura $R$; suas fibras internas encurtam, as externas alongam, e uma *superfície neutra* intermediária conserva o comprimento. (a) Mostre que a fibra à distância $y$ da superfície neutra tem deformação $\varepsilon = y/R$ e, portanto, tensão $Ey/R$. (b) Somando os momentos sobre a seção transversal, mostre que o momento fletor é $M = EI/R$ com $I = \int y^2\,\dd S$ (o *momento de segunda ordem*); calcule $I$ para um retângulo de largura $b$ e altura $h$. (c) O $h^3$: por que uma tábua flexionada de chapa cede visivelmente, enquanto a mesma tábua de canto parece rígida? Calcule a razão para $b/h = 5$. (d) Para uma viga em balanço de comprimento $L$ carregada por $F$ na ponta, a flecha na ponta vale $\delta = FL^3/3EI$ (admitido): estime $\delta$ para um trampolim ($L = 1.8\,\mathrm{m}$, $b = 50\,\mathrm{cm}$, $h = 3.5\,\mathrm{cm}$, madeira $E
= 12\,\mathrm{GPa}$) sob um saltador de $75\,\mathrm{kg}$, e comente.

**Solução de Exercício 3.10.**

(a) Um arco no raio $R + y$ tem comprimento $(R + y)\alpha$ contra $R\alpha$ na superfície neutra: $\varepsilon = y/R$, $\sigma =
Ey/R$. (b) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$; para o retângulo, $I = bh^3/12$. (c) De chapa: $I = bh^3/12$; de canto: $hb^3/12$ — razão $(b/h)^2 = 25$ para $b/h = 5$: a mesma madeira, vinte e cinco vezes mais rígida, só pela geometria. (d) $I = 0.50 \times
0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$, $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$; $\delta =
FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx
7\,\mathrm{cm}$: exatamente a cedência agradável de um trampolim.

**Exercício 3.11 ★★★.**

Flambagem. Uma coluna esbelta (comprimento $L$, rigidez à flexão $EI$), articulada nas duas extremidades, suporta uma carga axial $P$. Suponha que ela se curve lateralmente segundo $y(x)$. (a) Mostre que a carga exerce então o momento fletor $M(x) = -Py(x)$ em torno do eixo deslocado, de modo que $EI\,y'' = -Py$. (b) Com $y(0) = y(L) = 0$, mostre que uma curvatura não nula só se torna possível a partir da carga crítica de Euler $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$. (c) Calcule $P_{\text{c}}$ para uma régua de um metro ($b = 3\,\mathrm{cm}$, $h = 1.5\,\mathrm{mm}$, $E = 12\,\mathrm{GPa}$) e compare com o empurrão da sua mão. (d) Explique, a partir de $I$, por que ossos, bambus e quadros de bicicleta são *tubos*.

**Solução de Exercício 3.11.**

(a) Na configuração curvada, a carga axial $P$ age com braço de alavanca $y(x)$ em torno da seção em $x$: $M = -Py$, e $M = EIy''$ dá $EIy'' = -Py$. (b) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ com $y(L) = 0$: um $A$ não nulo só aparece a partir de $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$, isto é, $P_{\text{c}} =
\pi^2EI/L^2$; abaixo dela a coluna reta é a única solução, acima dela curvar-se não custa força alguma. (c) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 =
8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$: $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times
8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — o peso de uma maçã: uma régua de um metro flamba sob um dedo. (d) $I$ cresce à medida que o material se afasta do eixo: um tubo põe toda a sua seção em $y$ grande, maximizando $I$ (e portanto $P_{\text{c}}$) para um dado peso de material — o projeto dos ossos, do bambu e dos quadros de bicicleta.

**Exercício 3.12 ★★★.**

A velocidade do som num sólido, a partir dos átomos. Modele um sólido como cadeias de átomos, com espaçamento $a$, ligados por “molas” de constante $\kappa$; a massa atômica é $m$. (a) Mostre que esticar a cadeia corresponde à [tração](#def-b3-continuum-elasticity-stress) contínua com $E = \kappa/a$ (conte as molas por unidade de área e o alongamento por mola). (b) Mostre que $\rho = m/a^3$ e conclua que $c =
\sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$. (c) Estime $\kappa$ a partir da profundidade de uma ligação interatômica ($\sim3\,\mathrm{eV}$ ao longo de $\sim
0.1\,\mathrm{nm}$): $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; com $a =
2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ e $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$, estime $c$. (d) Compare com as velocidades do som medidas em metais e conclua de que é feita a elasticidade cotidiana.

**Solução de Exercício 3.12.**

(a) Uma cadeia por área $a^2$; alongar de uma deformação $\varepsilon$ estica cada mola de $\delta = \varepsilon a$, com força $\kappa
\varepsilon a$ por cadeia e tensão $\kappa\varepsilon/a$: $E =
\kappa/a$. (b) $\rho = m/a^3$, logo $E/\rho = \kappa a^2/m$ e $c =
a\sqrt{\kappa/m}$. (c) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx
5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (d) Bem em cima dos poucos km/s medidos nos metais: a rigidez de tudo o que é sólido — e a velocidade de toda onda sísmica — é a rigidez da ligação química.

## 3.6 Problema: Ouvir a Terra

**Problema 3.1.**

Problema de fim de semana — como os terremotos revelaram o núcleo líquido

Um único terremoto faz o planeta inteiro ressoar, e as duas [ondas elásticas](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) deste capítulo, ao atravessá-lo, radiografam-no. Este problema segue a física da [lei de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) no granito até a descoberta, feita por Oldham em 1906, de que a Terra tem um núcleo — com a estimativa do seu tamanho por raios retos. Tome, para a rocha da crosta e do manto, $E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; o raio da Terra é $R_{\text{E}} =
6371\,\mathrm{km}$.

**Parte I — A rocha como sólido elástico.**

1. Calcule os coeficientes de Lamé $\mu$ e $\lambda$ desta rocha e observe que $\nu = 1/4$ os torna iguais.
2. Calcule $c_{\text{P}}$ e $c_{\text{S}}$ e verifique que $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .
3. Um terremoto desliza duas faces de rocha por metros em segundos: estime a deformação liberada se um deslizamento de $2\,\mathrm{m}$ relaxa a rocha numa escala de $50\,\mathrm{km}$ , e a tensão que se havia acumulado.
4. A partir da densidade de energia $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ , estime a [energia elástica](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) por metro cúbico e depois a energia num volume de $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ; compare com um megaton ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
5. Por que a [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) costuma sacudir os edifícios mais forte que a [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) (pense na direção do movimento do solo para uma onda que chega de baixo)?
6. Em qual das duas ondas o solo muda de volume?

**Parte II — As duas chegadas no sismômetro.**

7. Uma estação registra a chegada P e, $\Delta t$ mais tarde, a chegada S. Para uma fonte à distância $d$ (curta o bastante para raios retos), mostre que $$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} -  \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$$
8. Avalie o coeficiente: quantos quilômetros por segundo de atraso S–P?
9. Uma estação mede $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : a que distância está o terremoto?
10. Uma estação dá uma distância, não um lugar: quantas estações determinam o epicentro, e como, geometricamente?
11. As sirenes de alerta precoce do Japão soam segundos antes da sacudida forte: para um tremor $80\,\mathrm{km}$ abaixo de uma cidade, quanto aviso o próprio atraso P–S fornece?
12. Os alertas modernos acrescentam a velocidade da luz: a [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) detectada perto da fonte é transmitida por rádio à frente das duas ondas. Para uma cidade a $200\,\mathrm{km}$ do epicentro, quanto tempo após a ruptura chega a [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) , e que aviso pode dar uma mensagem de rádio enviada na primeira chegada P a $20\,\mathrm{km}$ da fonte?

**Parte III — Ondas que atravessam o planeta.**

13. Às pressões do manto profundo os módulos crescem: as velocidades P chegam a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ na base do manto. Tomando uma média grosseira $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , quanto tempo uma [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) leva para atravessar a Terra diametralmente?
14. As estações registram tremores do outro lado do globo: o que a simples existência dessas chegadas diz sobre a Terra profunda (ela é elástica? é fundida por inteiro?)?
15. Defina o ângulo epicentral $\Delta$ (ângulo, no centro da Terra, entre a fonte e a estação). Para raios retos, mostre que o comprimento da corda é $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ .
16. Avalie a corda e seu tempo de percurso em raio reto para $\Delta = 60^\circ$ à velocidade média $c_{\text{P}} \approx  10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
17. Por volta de 1900, Oldham notou que as [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) são registradas até $\Delta \approx 103^\circ$ e depois *desaparecem* : não há S direta além disso. Que propriedade de uma região profunda dentro da Terra mata as [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) , e que estado da matéria tem essa propriedade?
18. As [ondas P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) além de $103^\circ$ não estão ausentes, mas enfraquecidas, atrasadas e deslocadas (uma “zona de sombra” até $\approx 142^\circ$ ): por que uma região líquida atrasa e refrata as [ondas P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) , mas não as detém?
19. Conclua numa frase o que existe no centro da Terra.

**Parte IV — Pesar o núcleo com uma régua.**

20. Um raio S reto que sai da fonte tangencia o núcleo se sua maior aproximação ao centro for igual ao raio do núcleo $R_{\text{c}}$ . Mostre que esse raio rasante atinge a superfície no ângulo epicentral $\Delta^* =  2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
21. A partir de $\Delta^* = 103^\circ$ , calcule $R_{\text{c}}$ .
22. O valor moderno é $3480\,\mathrm{km}$ : calcule seu erro e explique o *sinal* dele: os raios reais se recurvam de volta para a superfície à medida que a velocidade cresce com a profundidade — argumente se os raios retos superestimam ou subestimam o núcleo.
23. Em 1936, Inge Lehmann encontrou chegadas P fracas *dentro* da zona de sombra: o que ela concluiu que existe dentro do núcleo líquido?
24. O raio do núcleo interno é $1220\,\mathrm{km}$ e ele é sólido: proponha a observação de ondas que poderia confirmar a solidez (que onda existe ali e que o núcleo externo proíbe?).
25. Resuma o resultado central: duas velocidades de onda elástica na rocha ( $5.8$ e $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), uma onda ausente além de $103^\circ$ e uma régua dão um núcleo líquido de raio $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — a $15\%$ do valor moderno de $3480\,\mathrm{km}$ , medido através de $6000\,\mathrm{km}$ de rocha sólida.

**Solução de Problema 3.1.**

**1.** $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$; $\lambda =
E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$: para $\nu = 1/4$, $\lambda =
\mu$. **2.** $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700}
= 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} =
3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; razão $\sqrt3$. **3.** $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$; $\sigma =
E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — a “queda de tensão” medida nos terremotos reais é de fato de alguns MPa. **4.** $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; em $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$: $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$, cerca de três quartos de megaton — um grande terremoto. **5.** Vindo de baixo, a P move o solo verticalmente — e os edifícios são construídos para suportar cargas verticais; a S o move *horizontalmente*, a direção em que os edifícios são mais fracos. **6.** Apenas na [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves): ela é uma onda de compressão; a [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) é cisalhamento puro, a volume constante. **7.** $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$, $t_{\text{S}} =
d/c_{\text{S}}$: $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$, invertido como no enunciado. **8.** $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx
7.9\,\mathrm{km}$ por segundo de atraso — os “oito quilômetros por segundo” do sismólogo de campo. **9.** $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$. **10.** Três, em geral: cada estação conhece um círculo de epicentros possíveis; dois círculos se cruzam em dois pontos, e o terceiro decide. **11.** $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$, $t_{\text{S}} =
80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$: cerca de $10\,\mathrm{s}$ de aviso entre o solavanco e a sacudida destrutiva. **12.** A S chega em $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$. A P alcança $20\,\mathrm{km}$ em $3.5\,\mathrm{s}$; uma mensagem de rádio é praticamente instantânea, de modo que a cidade pode ter quase um minuto de aviso — os sistemas atuais conseguem dezenas de segundos. **13.** $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$, uns vinte minutos. **14.** Que as [ondas elásticas](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) simplesmente a atravessem: a Terra profunda não é fundida por inteiro — ela transmite e, pelas [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) que cruzam o manto, até cisalha, como um sólido. **15.** Dois raios e o ângulo $\Delta$ entre eles: a corda vale $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$. **16.** $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$; $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$. **17.** Além de $103^\circ$, todo raio precisa atravessar uma região central profunda; se essa região for *fluida* ($\mu = 0$), ela não transporta onda de cisalhamento: as [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) morrem ali. Os fluidos são o estado da matéria que não resiste ao cisalhamento. **18.** Um fluido ainda transporta compressão: as [ondas P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) atravessam o núcleo, mas mais devagar — por isso se refratam bruscamente em sua fronteira, e os raios desviados deixam uma sombra anular em vez de um corte limpo. **19.** Um núcleo líquido ocupa o centro da Terra. **20.** A maior aproximação da corda ao centro é $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$; tangenciar significa $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$, isto é, $\Delta^* =
2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$. **21.** $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx
3970\,\mathrm{km}$. **22.** $+14\%$ grande demais. A velocidade cresce com a profundidade, e por isso os raios reais se recurvam de volta para a superfície: um raio cujo ponto mais profundo apenas toca o núcleo emerge num ângulo *menor* que o da corda reta pela mesma profundidade — de modo que, a partir dos $103^\circ$ observados, a inversão por raios retos coloca o ponto de tangência raso demais, isto é, superestima o núcleo. **23.** Energia P fraca dentro da sombra significa que algo dentro do núcleo líquido devolve raios para fora: um *núcleo interno* distinto (Lehmann, 1936). **24.** As ondas de cisalhamento só existem em sólidos: uma [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) que se convertesse em onda de cisalhamento dentro do núcleo interno e voltasse (a fase chamada PKJKP) provaria que ele é sólido — sua detecção, longamente buscada, é a evidência aceita. **25.** Duas velocidades na rocha ($5.8$ e $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), uma onda ausente além de $103^\circ$ e a geometria da corda dão um núcleo líquido de $\approx4000\,\mathrm{km}$ — a $15\%$ do valor moderno de $3480\,\mathrm{km}$: a [lei de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke), lida em escala planetária.