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title: "Cinemática relativística"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/4-cinematica-relativistica
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# Capítulo 4 — Cinemática relativística

Os raios cósmicos que atingem a alta atmosfera criam múons a quinze quilômetros de altura — partículas instáveis que vivem, em média, dois microssegundos. Dois microssegundos a quase a velocidade da luz são seiscentos metros; e, no entanto, os detectores de múons ao nível do mar disparam sem parar, contando partículas que percorreram vinte vezes o alcance que lhes cabia. A solução desse paradoxo não é um detalhe da física de partículas, mas uma revisão dos conceitos que sustentam toda a física: o tempo transcorre de modo diferente para o múon em movimento e para nós, e as distâncias encolhem ao longo do seu movimento. Este capítulo constrói essa revisão — a relatividade restrita (Einstein, 1905) — a partir de seus dois postulados: as leis da física são as mesmas em todo [referencial inercial](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates), e a luz no vácuo tem a mesma velocidade em todos eles. Todo o resto decorre de uma cinemática honesta: o enlace do espaço com o tempo na [transformação de Lorentz](#thm-b3-relativistic-kinematics-lorentz), a [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation), a [contração dos comprimentos](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction), a nova regra de [composição de velocidades](#prop-b3-relativistic-kinematics-addition) e a geometria — o espaço-tempo e seu intervalo invariante — em que tudo isso se torna tão natural quanto as rotações.

## 4.1 Dois postulados contra o tempo absoluto

**Observação 4.1 (De onde vem o conflito).**

A mecânica sempre teve um princípio de relatividade: dentro de um navio que navega suavemente, nenhum experimento com bolas e pêndulos denuncia o movimento (Galileu), e as leis de Newton valem em todo *[referencial inercial](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates)*, isto é, nos referenciais em movimento retilíneo uniforme uns em relação aos outros. Mas o eletromagnetismo do volume do segundo ano deduz uma velocidade definida para a luz, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, a partir de constantes da natureza, sem qualquer menção a quem a mede — e os experimentos concordam: a velocidade da luz das estrelas que chega à Terra em movimento, medida ao longo das estações, nunca varia (Michelson e Morley, 1887, e todos os seus sucessores). A cinemática galileana, em que as velocidades se somam, não consegue digerir uma velocidade que é a mesma para todos. Algo tem de ceder, e é a nossa suposição de que o tempo e a [simultaneidade](#def-b3-relativistic-kinematics-event) são absolutos.

**Teorema 4.2 (Os postulados da relatividade restrita).**

*(i) Relatividade:* as leis da física tomam a mesma forma em todo [referencial inercial](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates); nenhum experimento distingue o repouso do movimento uniforme. *(ii) Luz:* a luz no vácuo se propaga com a mesma velocidade $c$ em todo [referencial inercial](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates), qualquer que seja o movimento da fonte ou do observador.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Definição 4.3 (Eventos e simultaneidade).**

Um *evento* é uma ocorrência pontual: um lugar definido *e* um instante definido — uma faísca, um disparo de detector, um decaimento. Cada [referencial inercial](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) atribui a um evento suas coordenadas $(t, x, y, z)$, usando réguas em repouso no referencial e relógios sincronizados distribuídos por ele. Dois eventos são *simultâneos num referencial* quando os relógios desse referencial lhes atribuem o mesmo $t$ — e a primeira vítima dos postulados é que essa noção depende do referencial.

**Exemplo 4.4 (O trem e os dois raios).**

Dois raios atingem as duas extremidades de um trem veloz, deixando marcas no trem e nos trilhos. Para a observadora no solo, a meio caminho entre as marcas, os dois clarões chegam juntos: as descargas foram simultâneas para ela. O passageiro sentado no meio do trem, porém, move-se na direção de um clarão e afastando-se do outro; viajando a $c$ também no referencial dele, o clarão da frente o alcança primeiro — e, como ele está a igual distância das duas marcas *no trem*, deve concluir que a descarga da frente ocorreu *antes*. Nenhum dos dois está errado: a [simultaneidade](#def-b3-relativistic-kinematics-event) de [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) separados não é um fato sobre o mundo, mas sobre o referencial. Todo “paradoxo” relativístico se dissolve aqui.

![Dois raios marcam ao mesmo tempo o trem e os trilhos. A observadora no solo, a meio caminho entre as marcas, recebe os clarões juntos: simultâneos para ela. O passageiro corre ao encontro do clarão B; ele o alcança primeiro e — estando a igual distância das marcas em seu próprio referencial — ele conclui que B veio antes. A simultaneidade é relativa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/fig-6d590a2c61e9.svg)

*Dois raios marcam ao mesmo tempo o trem e os trilhos. A observadora no solo, a meio caminho entre as marcas, recebe os clarões juntos: simultâneos para ela. O passageiro corre ao encontro do clarão B; ele o alcança primeiro e — estando a igual distância das marcas em seu próprio referencial — ele conclui que B veio antes. A [simultaneidade](#def-b3-relativistic-kinematics-event) é relativa.*

## 4.2 A transformação de Lorentz

**Teorema 4.5 (Transformação de Lorentz).**

Seja o referencial $\mathcal R'$ em movimento com velocidade $v$ ao longo do eixo $x$ do referencial $\mathcal R$, com as origens coincidindo em $t = t' = 0$. Um [evento](#def-b3-relativistic-kinematics-event) $(t, x)$ de $\mathcal R$ tem em $\mathcal R'$ as coordenadas

$$
x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad
t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,
$$

com $y' = y$, $z' = z$; a transformação inversa é a mesma com $v \to -v$. Para $v \ll c$, $\gamma \to 1$ e recupera-se o $x' = x - vt$, $t' = t$ de Galileu. O fator $\gamma \ge 1$ — apenas $1$ nas velocidades cotidianas, $1.15$ a $c/2$, $7.1$ a $0.99c$ — mede todos os efeitos relativísticos deste capítulo.

**Demonstração parcial.** A homogeneidade do espaço e do tempo obriga a transformação a ser linear; a simetria entre os referenciais e o postulado da relatividade a reduzem a $x' = \gamma(x - vt)$, $x = \gamma(x' + vt')$ com uma única função incógnita $\gamma(v)$. Acompanhe um clarão de luz emitido na origem comum: o postulado (ii) exige $x = ct$ *e* $x' = ct'$. Substituindo, $ct' = \gamma t(c - v)$ e $ct = \gamma t'(c + v)$; multiplicando as duas equações, $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$, que é o $\gamma$ enunciado. Eliminando $x'$ entre as duas relações lineares obtém-se a fórmula do tempo. (A passagem de “a luz concorda” a “a transformação está completamente fixada” — sem qualquer alongamento residual das direções transversais nem reescalonamento — usa os argumentos de simetria detalhados no [Exercício 4.11](#exo-b3-relativistic-kinematics-11).) ∎

**Proposição 4.6 (Dilatação do tempo).**

Um relógio em repouso em $\mathcal R'$ — que bate com $x'$ fixo — é visto de $\mathcal R$ andar devagar: entre dois de seus tiques separados pelo *[tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)* $\Delta\tau$ (o tempo do referencial em que o relógio repousa), o referencial $\mathcal R$ mede

$$
\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .
$$

Os relógios em movimento andam devagar — todos eles, biológicos, atômicos ou subatômicos, porque o que se dilata é o tempo em si, e não um mecanismo.

**Demonstração.** Dois tiques no mesmo $x'$: a transformação inversa dá $\Delta t
= \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$, pois $\Delta x' = 0$. A imagem do relógio de luz ([Exercício 4.2](#exo-b3-relativistic-kinematics-2)) dá o mesmo $\gamma$ só com Pitágoras. ∎

**Proposição 4.7 (Contração dos comprimentos).**

Uma haste de *[comprimento próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction)* $L_0$ (seu comprimento no referencial em que repousa), em movimento longitudinal com velocidade $v$, mede no laboratório

$$
L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .
$$

As dimensões transversais não mudam. Medir uma haste em movimento significa localizar suas duas extremidades *no mesmo instante do laboratório* — e, como a [simultaneidade](#def-b3-relativistic-kinematics-event) depende do referencial, o comprimento também depende.

**Demonstração.** Marque as duas extremidades no mesmo tempo $t$ do laboratório: a transformação dá $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$ com $\Delta t = 0$, e $\Delta x' = L_0$: logo $\Delta x = L_0/\gamma$. ∎

![O relógio de luz: um fóton que ricocheteia entre dois espelhos. Visto do referencial em que o relógio se move, o fóton percorre um caminho mais longo e inclinado à mesma velocidade c: o tique demora mais, t = \,, só por Pitágoras.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/fig-c3a3383f7234.svg)

*O relógio de luz: um fóton que ricocheteia entre dois espelhos. Visto do referencial em que o relógio se move, o fóton percorre um caminho mais longo e inclinado à mesma velocidade $c$: o tique demora mais, $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$, só por Pitágoras.*

**Exemplo 4.8 (O múon, explicado duas vezes).**

Um múon a $v = 0.995c$ tem $\gamma = 10$. No nosso referencial, seu relógio interno anda dez vezes mais devagar: seus dois microssegundos de vida própria se esticam para vinte, e ele percorre seis quilômetros em vez de seiscentos metros. No referencial do múon, sua vida são os comuns $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — mas a montanha que se precipita sobre ele está contraída dez vezes, e cabe no percurso. Os dois referenciais concordam sobre o único fato físico, *se o múon chega ou não ao detector*: a relatividade reembaralha tempos e comprimentos, jamais desfechos ([Problema 4.1](#pb-b3-relativistic-kinematics-1)).

**Método 4.9 (Como não confundir os efeitos).**

(1) Identifique os *[eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event)* (emissão, chegada, tique, decaimento), e não “objetos”. (2) O [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) $\Delta\tau$ pertence ao único relógio presente nos dois [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event): todo outro referencial mede mais, $\gamma\Delta\tau$. (3) O [comprimento próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) $L_0$ pertence ao referencial em que a haste repousa: todo outro referencial mede menos, $L_0/\gamma$. (4) Quando um “paradoxo” aparecer, procure os dois [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) espacialmente separados que estão sendo silenciosamente chamados de simultâneos e pergunte: em qual referencial? (5) Verifique o limite $v/c \to 0$ e lembre que $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ a baixas velocidades — o tamanho das correções relativísticas do dia a dia.

## 4.3 Composição de velocidades; efeito Doppler

**Proposição 4.10 (Composição relativística de velocidades).**

Se um corpo se move com velocidade $u'$ ao longo de $x'$ no referencial $\mathcal R'$, ele próprio em movimento com velocidade $v$ em relação a $\mathcal R$, então $\mathcal R$ não mede $u' + v$, mas

$$
u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .
$$

Para as velocidades cotidianas o denominador vale $1$ e Galileu retorna; para $u' = c$ a fórmula dá $u = c$ qualquer que seja $v$ — a luz está a $c$ para todos, como foi construído; e nenhuma [composição de velocidades](#prop-b3-relativistic-kinematics-addition) abaixo de $c$ jamais alcança $c$.

**Demonstração.** $u = \dd x/\dd t$ com a transformação inversa: $\dd x =
\gamma(\dd x' + v\,\dd t')$, $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$; divida. ∎

**Exemplo 4.11 (O coeficiente de Fresnel explicado).**

A luz na água parada viaja a $c/n$. Na água que escoa com velocidade $v$, Fizeau mediu (1851) o intrigante $c/n + v(1 - 1/n^2)$: não o arrasto completo $c/n + v$. Componha $u' = c/n$ com $v$:

$$
u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc}
\approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big)
\approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,
$$

até primeira ordem em $v/c$. Um resultado de bancada do século XIX, então inexplicável, é a lei de [composição de velocidades](#prop-b3-relativistic-kinematics-addition) lida em primeira ordem — uma das confirmações discretas que Einstein citou em 1905.

**Proposição 4.12 (Efeito Doppler longitudinal).**

Uma fonte de frequência própria $f_0$ que se afasta com velocidade $v = \beta c$ ao longo da linha de visada é recebida em

$$
f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}
\qquad
\text{(aproximando-se: } \beta \to -\beta\text{)} .
$$

Dois efeitos se compõem: o alongamento clássico dos tempos de chegada, porque cada crista parte de mais longe, e a lentidão relativística do relógio da fonte — o $\gamma$ que sobrevive mesmo a $90^\circ$ (o efeito Doppler *transversal*, pura [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)).

**Demonstração.** No referencial do receptor, a fonte emite cristas a cada $\gamma/f_0$ (dilatação), cada uma partindo $v\gamma/f_0$ mais longe, de modo que as cristas chegam a cada $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/
(1-\beta)}\,/f_0$. ∎

**Exemplo 4.13 (O afastamento das galáxias).**

A linha do hidrogênio emitida em $656.3\,\mathrm{nm}$ chega de uma galáxia distante em $689\,\mathrm{nm}$: $f/f_0 = 0.953$, logo $\beta \approx 0.048$ — a galáxia se afasta a $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Aplicada por todo o céu, essa única fórmula transformou espectros num mapa do universo em expansão; o último capítulo deste livro retoma a história.

## 4.4 O espaço-tempo e o intervalo invariante

**Teorema 4.14 (O intervalo invariante).**

Para dois [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) quaisquer, a combinação

$$
\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2
$$

tem o mesmo valor em todo [referencial inercial](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) — a grandeza que a relatividade conserva enquanto tempos e comprimentos se flexionam. Seu sinal classifica o par: *do tipo tempo* ($\Delta s^2 > 0$): algum referencial leva os [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) ao mesmo lugar, e $\Delta s/c$ é o [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) entre eles; *do tipo espaço* ($\Delta s^2 < 0$): algum referencial os torna simultâneos, e nenhum sinal pode conectá-los; *do tipo luz* ($\Delta s^2 = 0$): só a luz os conecta.

**Demonstração.** Substituição direta da [transformação de Lorentz](#thm-b3-relativistic-kinematics-lorentz): $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2
\big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$. Quanto à classificação: levar os [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) ao mesmo lugar exige um referencial de velocidade $v = \Delta x/\Delta t$, o que é possível quando $|\Delta x| <
c\,|\Delta t|$ (tipo tempo); torná-los simultâneos exige $v =
c^2\Delta t/\Delta x$, o que é possível quando $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (tipo espaço). ∎

**Observação 4.15 (A causalidade tem uma geometria).**

Por cada [evento](#def-b3-relativistic-kinematics-event) passa o seu *[cone de luz](#rem-b3-relativistic-kinematics-causality)*: os [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) que ele pode influenciar (cone futuro), os que podem tê-lo influenciado (cone passado) e o “alhures” do tipo espaço, causalmente isolado. Como um par do tipo espaço tem ordem dependente do referencial — alguns referenciais veem A antes de B, outros B antes de A — qualquer sinal mais rápido que a luz permitiria a algum observador assistir a um efeito precedendo sua causa. O limite de velocidade da relatividade não diz respeito a motores; é o preço de uma história coerente.

![O espaço-tempo em torno de um evento (o ponto na origem). Seu cone de luz separa o que ele pode afetar (futuro), o que pode tê-lo afetado (passado) e o alhures do tipo espaço. As linhas de universo materiais permanecem mais inclinadas que 45 — sempre dentro do cone.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/fig-7fbdebea0d5e.svg)

*O espaço-tempo em torno de um [evento](#def-b3-relativistic-kinematics-event) (o ponto na origem). Seu [cone de luz](#rem-b3-relativistic-kinematics-causality) separa o que ele pode afetar (futuro), o que pode tê-lo afetado (passado) e o alhures do tipo espaço. As linhas de universo materiais permanecem mais inclinadas que $45^\circ$ — sempre dentro do cone.*

**Exemplo 4.16 (A gêmea viajante).**

Uma gêmea voa até uma estrela a $8$ anos-luz a $0.8c$ ($\gamma = 5/3$) e volta. Tempo na Terra: $2 \times 8/0.8 =
20\,\mathrm{yr}$. O [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) da viajante: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — oito anos mais jovem, e sem paradoxo algum: as situações das gêmeas *não* são simétricas, pois uma linha de universo é reta (inercial do início ao fim) e a outra tem um vinco na virada. Entre dois [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) fixos, a linha de universo reta é a de *maior* [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) — na geometria do espaço-tempo, o desvio vive menos. O efeito é medido rotineiramente: relógios atômicos levados a dar a volta ao mundo discordam de seus irmãos que ficaram em casa exatamente pelos nanossegundos previstos ([Problema 4.1](#pb-b3-relativistic-kinematics-1)).

![Uma estação de raios cósmicos em altitude. Os múons que ela conta, nascidos dez quilômetros acima, chegam até ela apenas porque os relógios em movimento andam devagar — a dilatação do tempo, medida todas as noites em cumes de montanha.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/img-5e341bdadaa0.jpg)

*Uma estação de raios cósmicos em altitude. Os múons que ela conta, nascidos dez quilômetros acima, chegam até ela apenas porque os relógios em movimento andam devagar — a [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation), medida todas as noites em cumes de montanha.*

## 4.5 Exercícios

**Exercício 4.1 ★.**

Calcule $\gamma$ para $v/c = 0.1$, $0.5$, $0.9$, $0.99$, $0.999$. Para a Estação Espacial Internacional ($7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), calcule $\gamma - 1$ pela aproximação de baixa velocidade e o tempo que sua tripulação “ganha” (ou perde?) por missão de seis meses em relação a um relógio no solo, ignorando a gravidade.

**Solução de Exercício 4.1.**

$\gamma = 1.005$, $1.155$, $2.294$, $7.09$, $22.4$. Estação Espacial: $\beta =
2.57 \times 10^{-5}$, $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$; em seis meses ($1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$) o relógio da tripulação atrasa *devagar* cerca de $\approx5\,\mathrm{ms}$ (só o efeito de velocidade; na baixa altitude da estação o efeito gravitacional reduz, mas não inverte, esse atraso).

**Exercício 4.2 ★.**

O relógio de luz da figura: (a) escreva o tique $\Delta\tau =
2d/c$ do relógio em repouso ($d$ é o espaçamento entre os espelhos); (b) a partir de Pitágoras no referencial em que ele se move com velocidade $v$, deduza $\Delta t =
\gamma\Delta\tau$; (c) por que o argumento exige que a distância transversal $d$ seja a mesma nos dois referenciais? (d) Dê o argumento (duas réguas idênticas passando uma pela outra) de que os comprimentos transversais não podem mudar.

**Solução de Exercício 4.2.**

(a) $\Delta\tau = 2d/c$. (b) A cada meio tique, o fóton percorre a hipotenusa: $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$ com $d =
c\Delta\tau/2$; resolvendo: $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. (c) Se $d$ mudasse com o movimento, o passo de Pitágoras estaria errado. (d) Faça duas réguas idênticas passarem uma pela outra, cada uma com um pincel na ponta apontado para a outra. Se o movimento contraísse os comprimentos transversais, cada referencial preveria que a sua própria régua pinta uma marca *além* da ponta da outra — dois fatos contraditórios sobre as mesmas pinceladas no mesmo [evento](#def-b3-relativistic-kinematics-event) de cruzamento. Contradição num único [evento](#def-b3-relativistic-kinematics-event) não é permitida: os comprimentos transversais não podem mudar.

**Exercício 4.3 ★.**

Um múon é criado a $15\,\mathrm{km}$ de altitude com $v = 0.999c$. (a) Seu $\gamma$ e sua vida média no nosso referencial. (b) A distância média que percorre. (c) A espessura da atmosfera no referencial dele. (d) Que fração desses múons chega ao solo, com e sem relatividade (lei de decaimento $\eu^{-t/\tau}$, $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$)?

**Solução de Exercício 4.3.**

$\gamma = 22.4$. (a) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$. (b) $v\gamma
\tau = 14.8\,\mathrm{km}$. (c) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$. (d) Tempo de voo no laboratório, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$: sem relatividade, $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — nenhum; com relatividade, o [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) é $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$, e a fração vale $\eu^{-1}
\approx 0.37$.

**Exercício 4.4 ★.**

Dois [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) sobre o eixo $x$: A em $(t = 0, x = 0)$, B em $(t =
2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$. (a) Calcule $\Delta s^2$: tipo tempo ou tipo espaço? (b) A pode causar B? (c) Encontre a velocidade do referencial em que A e B ocorrem no mesmo lugar, e o [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) entre eles ali. (d) As mesmas três perguntas para B em $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ — que referencial existe agora, e qual não existe?

**Solução de Exercício 4.4.**

(a) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$, $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$: $\Delta s^2
= (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$, do tipo tempo. (b) Sim: basta um sinal a $\Delta x/\Delta t = c/2$. (c) Essa mesma velocidade de referencial, $v =
0.5c$; [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c =
1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$. (d) Agora $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$: do tipo espaço; nenhum [vínculo](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) causal é possível; nenhum referencial os leva ao mesmo lugar, mas o referencial a $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ os torna simultâneos.

**Exercício 4.5 ★★.**

Os satélites do GPS orbitam a $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (a) Calcule $\gamma -
1$. (b) De quanto o relógio de um satélite atrasa em relação a um relógio no solo por dia, só pela [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)? (c) O posicionamento funciona cronometrando sinais que viajam a $c$: que erro de posição corresponde a um dia de deriva relativística restrita não corrigida? (d) A correção completa (com a gravidade, tratada no espírito do último capítulo) é de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, com o desvio gravitacional para o azul *vencendo* a [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation): o que o sinal lhe diz sobre qual efeito é maior a $20\,200\,\mathrm{km}$ de altitude?

**Solução de Exercício 4.5.**

(a) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$: $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$. (b) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia. (c) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — a navegação morreria em um dia. (d) O saldo de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ significa que o desvio gravitacional para o azul ($+45.7$) supera a lentidão cinemática ($-7.2$): a $20\,200\,\mathrm{km}$, estar mais alto no potencial da Terra acelera um relógio mais do que a velocidade orbital o atrasa.

**Exercício 4.6 ★★.**

(a) Uma nave a $0.8c$ lança uma sonda para a frente a $0.8c$ em relação a si mesma: qual é a velocidade da sonda para nós? (b) Duas naves se aproximam uma da outra, cada uma a $0.9c$ no nosso referencial: qual é a velocidade relativa delas? (c) Mostre, a partir da lei de composição, que $u' < c$ e $v < c$ implicam $u < c$ (fatore a expressão $c - u$). (d) Um ponteiro laser varrido sobre a face da Lua pode pintar uma mancha que se desloca mais rápido que $c$: por que isso não viola lei alguma?

**Solução de Exercício 4.6.**

(a) $1.6c/1.64 = 0.976c$. (b) $1.8c/1.81 = 0.994c$. (c) $c - u =
\dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$: os dois fatores são positivos, logo $u < c$. (d) A mancha é um *padrão* em movimento, não uma coisa: nenhuma matéria, energia ou informação viaja de um ponto da face da Lua ao seguinte — cada fóton foi até a Lua a $c$.

**Exercício 4.7 ★★.**

O dubleto do sódio em $589.0\,\mathrm{nm}$ chega de uma estrela em $575.0\,\mathrm{nm}$. (a) Ela se aproxima ou se afasta? Com que velocidade? (b) Com que velocidade a luz visível ($550\,\mathrm{nm}$) seria deslocada para o infravermelho próximo ($1100\,\mathrm{nm}$)? (c) Para $\beta \ll 1$, mostre que $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ e dê a regra prática em km/s por $\text{Å}$ em $600\,\mathrm{nm}$. (d) Uma fonte que circula a distância constante exibe um desvio mesmo sem movimento radial: que efeito é esse, e de que ordem em $\beta$?

**Solução de Exercício 4.7.**

(a) Comprimento de onda menor: aproximando-se. $f/f_0 = 589/575 = 1.024$; $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$: $\beta = 0.024$, cerca de $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (b) Razão $2$: $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$, $\beta =
0.6$. (c) Expandindo a raiz quadrada, $\Delta\lambda/\lambda \approx
\beta$; em $600\,\mathrm{nm}$, $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ dá $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$: cerca de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por ångström — o reflexo do astrônomo. (d) O efeito Doppler transversal: pura [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation), de ordem $\beta^2$ — mensurável apenas com precisão atômica.

**Exercício 4.8 ★★.**

A vara e o celeiro. Uma vara de $20\,\mathrm{m}$ é levada a $\gamma = 2$ em direção a um celeiro de $10\,\mathrm{m}$ com duas portas. (a) O comprimento da vara no referencial do celeiro: ela cabe? (b) No referencial do corredor, o *celeiro* tem $5\,\mathrm{m}$ de comprimento: como ambos podem estar certos? Identifique os dois [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) (“a porta da frente se fecha”, “a porta de trás se abre”) e compare a ordem temporal deles nos dois referenciais. (c) Calcule o tempo entre esses [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) em cada referencial, supondo o fechamento simultâneo no celeiro. (d) Enuncie a moral numa frase (que suposição silenciosa o “paradoxo” fez?).

**Solução de Exercício 4.8.**

(a) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$: cabe, por pouco, e as duas portas podem ser fechadas simultaneamente (referencial do celeiro). (b) No referencial do corredor, os [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) “a porta da frente se fecha” e “a porta de trás se abre” *não* são simultâneos: a saída se abre antes de a entrada se fechar, e a vara de $20\,\mathrm{m}$ enfia-se num celeiro de $5\,\mathrm{m}$ sem jamais estar encerrada. (c) Referencial do celeiro: $\Delta t = 0$ ao longo de $\Delta x =
10\,\mathrm{m}$. Referencial do corredor: $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 =
2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$. (d) “A vara está encerrada” afirma silenciosamente que dois [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) separados (as duas portas fechadas) são simultâneos — um enunciado dependente do referencial, não um fato.

**Exercício 4.9 ★★.**

Um foguete de [comprimento próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) $100\,\mathrm{m}$ passa por uma estação espacial a $0.6c$. (a) Quanto tempo marca o relógio da estação entre a passagem do nariz e a da cauda? (b) A mesma pergunta para um relógio do foguete que vê a estação (de [comprimento próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) $300\,\mathrm{m}$) passar. (c) A estação dispara duas garras de acoplamento simultaneamente (no referencial dela), a $80\,\mathrm{m}$ de distância: qual é o tempo entre os dois disparos para o foguete, e qual dispara primeiro? (d) Verifique que $\Delta s^2$ coincide nos dois referenciais para o par de [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) das garras.

**Solução de Exercício 4.9.**

$\gamma = 1.25$ a $0.6c$. (a) Comprimento em movimento $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$ a $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $444\,\mathrm{ns}$. (b) $240/1.8 \times 10^{8} =
1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$. (c) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 =
200\,\mathrm{ns}$; de $t' = \gamma(t - vx/c^2)$, a garra de $x$ maior — a dianteira — dispara *primeiro* para o foguete. (d) Estação: $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$. Foguete: $\Delta
x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$, $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$: $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — invariante.

**Exercício 4.10 ★★★.**

As gêmeas, por inteiro. Estela voa a $0.8c$ até uma estrela a $8\,\mathrm{ly}$ de distância (no referencial da Terra) e volta a $0.8c$; Terra fica. (a) Calcule o tempo decorrido para cada gêmea. (b) No referencial de ida de Estela, a que distância está a estrela e quanto tempo lhe toma a perna de ida? (c) Logo antes e logo depois da virada, o que Estela calcula para “a hora que é agora na Terra” (use o termo $vx/c^2$)? Mostre que sua contabilidade salta anos no vinco — e que esse salto é exatamente o que reconcilia os totais. (d) Explique por que nenhum argumento simétrico pode ser feito do lado de Estela.

**Solução de Exercício 4.10.**

(a) Terra: $20\,\mathrm{yr}$; Estela: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$. (b) A distância se contrai a $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$, percorrida em $4.8/0.8
= 6\,\mathrm{yr}$ do tempo dela — coerente com os $12\,\mathrm{yr}$ da viagem de ida e volta. (c) [Simultaneidade](#def-b3-relativistic-kinematics-event) com o [evento](#def-b3-relativistic-kinematics-event) da virada $(t =
10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$: o referencial de ida atribui ao relógio da Terra $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$; o de volta, $10 +
6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$. Seu “agora na Terra” salta $12.8\,\mathrm{yr}$ no vinco; sua contabilidade, $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$, bate exatamente com Terra. (d) Estela ocupa *dois* [referenciais inerciais](#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates) unidos por uma aceleração que ela sente; Terra ocupa um só. A linha de universo reta entre os [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) da partida e do reencontro carrega o maior [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation); só a de Estela é dobrada.

**Exercício 4.11 ★★★.**

Deduzir Lorentz honestamente. (a) Argumente, a partir da homogeneidade, que a transformação deve ser linear. (b) Supondo $x' = \gamma(x - vt)$ e, pelo princípio da relatividade, $x = \gamma(x' + vt')$, deduza $t'$ em função de $t$ e $x$ sem usar a luz. (c) Mostre que exigir $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ fixa $\gamma$ no valor enunciado. (d) Onde exatamente o argumento usou cada postulado?

**Solução de Exercício 4.11.**

(a) Se a aplicação fosse não linear, um movimento uniforme não pareceria uniforme no outro referencial, o que distinguiria pontos de um espaço e de um tempo homogêneos. (b) Substituindo uma relação na outra: $t' = \gamma t +
(1 - \gamma^2)x/\gamma v$. (c) Impondo $x = ct$, $x' = ct'$: $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$, que se resolve em $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$. (d) A relatividade deu o mesmo $\gamma$ para os dois sentidos (nenhum referencial privilegiado); o postulado da luz transformou a função livre restante no $\gamma(v)$ definido.

**Exercício 4.12 ★★★.**

Rapidez. Defina $\varphi$ por $\tanh\varphi = \beta$. (a) Mostre que a [transformação de Lorentz](#thm-b3-relativistic-kinematics-lorentz) se lê $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$, $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$: uma “rotação” por um ângulo imaginário, que preserva $c^2t^2 - x^2$ como as rotações preservam $x^2 + y^2$. (b) Mostre que compor velocidades *soma as rapidezes*: $\varphi =
\varphi_1 + \varphi_2$, e recupere a lei de composição a partir de $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$. (c) Um foguete acelera a $g$ no seu próprio referencial: admitindo que sua rapidez cresce como $\dd\varphi = g\,
\dd\tau/c$, encontre $\beta(\tau)$ e quanto [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) ele leva para chegar a $0.99c$. (d) Por que a rapidez pode crescer para sempre, enquanto $\beta$ não pode?

**Solução de Exercício 4.12.**

(a) Com $\cosh\varphi = \gamma$ e $\sinh\varphi = \gamma\beta$, a transformação é exatamente a rotação hiperbólica enunciada, e $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ preserva $c^2t^2 - x^2$. (b) $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 +
\tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$: precisamente a lei de composição — as velocidades não se somam, as rapidezes sim. (c) $\varphi = g\tau/c$, logo $\beta = \tanh(g\tau/c)$; $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ dá $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ anos de tempo de bordo. (d) $\varphi$ percorre todos os reais, enquanto $\tanh\varphi$ satura em $1$: pode-se acelerar para sempre, ganhando rapidez linearmente, ao passo que a velocidade apenas se arrasta rumo a $c$.

![Albert Einstein (fotografia de Orren Jack Turner, 1947, domínio público). O artigo de 1905 sobre a relatividade reconstruiu a cinemática a partir de dois postulados — este capítulo, essencialmente inalterado, é aquele artigo com exercícios.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-kinematics/img-db70820f67b4.jpg)

*Albert Einstein (fotografia de Orren Jack Turner, 1947, domínio público). O artigo de 1905 sobre a relatividade reconstruiu a cinemática a partir de dois postulados — este capítulo, essencialmente inalterado, é aquele artigo com exercícios.*

## 4.6 Problema: O experimento no céu

**Problema 4.1.**

Problema de fim de semana — múons, relógios de montanha e a prova de que o tempo se dilata

O teste inicial mais limpo da [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) não usou aparelho de laboratório algum: a natureza fornece relógios relativísticos aos milhares, que chovem sobre todas as montanhas. Este problema reconstrói o experimento de Frisch e Smith (1963) e depois traz a mesma física para os aviões de linha e os satélites de navegação. Dados: vida média própria do múon $\tau =
2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$; o decaimento é exponencial, com uma fração $\eu^{-t/\tau}$ dos múons sobrevivendo a um [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) $t$; $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; monte Washington: diferença de altitude $h =
1907\,\mathrm{m}$ entre os dois detectores.

**Parte I — Relógios que chovem do céu.**

1. Prótons cósmicos atingem núcleos no alto da atmosfera e os destroços decaem em múons por volta de $15\,\mathrm{km}$ de altura. Por que uma população de partículas instáveis idênticas é um *relógio* ?
2. Calcule $c\tau$ , o alcance natural de uma vida média de múon.
3. Sem relatividade, que fração dos múons nascidos a $15\,\mathrm{km}$ e viajando essencialmente a $c$ chegaria ao solo? (Dê o expoente; o número em si é absurdo.)
4. Os detectores ao nível do mar contam múons em abundância: enuncie a contradição numa frase.
5. O fluxo ao nível do mar é de cerca de um múon por centímetro quadrado por minuto: estime quantos múons atravessam sua mão estendida a cada segundo, e seu corpo entre duas batidas do coração.
6. O experimento selecionou múons de velocidade $0.995c$ : calcule o $\gamma$ deles.
7. Frisch e Smith contaram $563 \pm 10$ múons por hora no cume. Por que medir em duas altitudes do *mesmo* chuveiro em vez de confiar na história da criação a $15\,\mathrm{km}$ ?

**Parte II — A medida na montanha.**

8. Quanto tempo dura a viagem de $1907\,\mathrm{m}$ a $0.995c$ no referencial da montanha?
9. Sem [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) , que fração sobrevive a essa viagem, e quantos múons por hora deveriam chegar ao detector de baixo?
10. Com a [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) , quanto tempo *próprio* transcorre para o múon durante a viagem?
11. Preveja a fração sobrevivente e a contagem por hora com a relatividade.
12. A contagem medida embaixo foi de $408 \pm 9$ por hora. Compare as duas previsões com os dados e diga qual teoria sobrevive ao encontro com a montanha.
13. A partir da razão medida $408/563$ , extraia o fator de dilatação *experimental* e compare-o com $\gamma = 10$ . (Os múons desaceleram um pouco na blindagem rochosa, de modo que o $\gamma$ efetivo fica um pouco abaixo do valor do cume — Frisch e Smith encontraram $8.8 \pm  0.8$ .)

**Parte III — A versão do próprio múon.**

14. No referencial do múon, qual é a altura do monte Washington?
15. Quanto tempo a montanha leva para desfilar por ele, e que fração dos múons decai nesse tempo? Verifique que coincide com a previsão da Parte II.
16. Os dois referenciais discordam sobre o que se dilatou (o nosso tempo? a montanha dele?), mas concordam sobre a contagem: que tipo de grandeza é a contagem, e por que todos os referenciais devem concordar sobre ela?
17. Calcule o intervalo $\Delta s^2$ entre a criação no cume e a chegada embaixo, no referencial da montanha, e verifique que $\Delta s/c$ é igual ao [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) do múon da Parte II.
18. Um cético objeta: “talvez seja a altitude, e não a velocidade, que muda as taxas de decaimento”. Que controle a dependência medida em $\gamma$ (múons mais lentos dilatam menos) oferece?
19. Os anéis de armazenamento modernos mantêm múons a $\gamma = 29.3$ e medem vidas médias com precisão de $10^{-3}$ : o que eles encontram, e o que uma órbita circular acrescenta ao teste (qual das gêmeas é o múon)?

**Parte IV — De volta à Terra: aviões e satélites.**

20. Um avião de linha voa a $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ num voo de $40\,\mathrm{h}$ ao redor do mundo. Usando $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ , calcule o atraso relativístico restrito do seu relógio, em nanossegundos.
21. Os relógios de césio resolvem nanossegundos com facilidade; os voos de 1971 confirmaram a previsão (uma vez incluído o empurrão contrário da gravidade, maior em altitude). Por que os dois efeitos precisam ser separados voando *tanto* para leste quanto para oeste?
22. Um satélite do GPS ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) acumula que atraso de relógio relativístico restrito por dia, em microssegundos?
23. Sem correção, quantos quilômetros de erro de distância *uma semana* dessa deriva sozinha produziria?
24. A correção completa do GPS, de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia com a gravidade incluída, é embutida nos relógios dos satélites antes do lançamento: o que um navegador observaria em poucas horas se ela não existisse?
25. Resuma o resultado central: uma montanha, dois contadores e relógios de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ mediram a [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) em $\gamma \approx 9$ com $10\%$ de precisão em 1963 — e a mesma física é corrigida, a cada segundo, em todo telefone que sabe onde está.

**Solução de Problema 4.1.**

**1.** Todos os múons são rigorosamente idênticos e decaem a uma taxa estatística fixa: a fração sobrevivente de uma população mede o [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) decorrido tão bem quanto um ponteiro de relógio. **2.** $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, =
660\,\mathrm{m}$. **3.** $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$: fração $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$. **4.** Partículas que “não podem” percorrer mais de um quilômetro atravessam quinze deles e chegam em quantidade. **5.** Uma mão de $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$: alguns múons por segundo; um corpo de seção horizontal $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$: uns quinze entre duas batidas do coração — a relatividade chove sobre todo mundo, sempre. **6.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$. **7.** Comparar duas contagens da *mesma* população selecionada ao longo de uma diferença de altura conhecida elimina toda suposição sobre onde e quantos múons nascem. **8.** $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$. **9.** $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$: cerca de $31$ por hora. **10.** $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$. **11.** $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$: cerca de $420$ por hora. **12.** Medidos $408 \pm 9$: os $\approx 420$ da relatividade concordam, dentro da ligeira desaceleração dos múons no absorvedor dos detectores; os $31$ da física clássica erram por um fator treze. A montanha decide. **13.** $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{próprio}}/\tau}$: $t_{\text{próprio}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$, logo $\gamma_{\exp} =
6.39/0.71 = 9.0$ — bem dentro dos $8.8 \pm 0.8$ de Frisch e Smith. **14.** $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$. **15.** $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$: os mesmos $25\%$ de decaimento — a versão do múon para a mesma contagem. **16.** Uma contagem de disparos é um conjunto de [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) locais de coincidência; os [eventos](#def-b3-relativistic-kinematics-event) e suas somas são invariantes por mudança de referencial — os referenciais podem discordar sobre tempos e comprimentos, jamais sobre o que um contador registrou. **17.** $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 -
(1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$: $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — o [tempo próprio](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation), calculado sem jamais sair do referencial da montanha. **18.** As taxas de decaimento dependeriam da altitude do mesmo modo para toda velocidade; em vez disso, a sobrevivência acompanha $\gamma$ — seleções mais lentas dilatam menos, exatamente como $\gamma(v)$ prescreve. **19.** Vidas médias de $\gamma\tau$ com precisão de uma parte em mil (anéis de armazenamento de múons do CERN); o anel faz do múon um viajante perpetuamente acelerado — a “gêmea viajante” continua jovem mesmo quando a viagem é uma virada sem fim. **20.** $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$: $\Delta t = \tfrac12\beta^2
\times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$. **21.** A velocidade da aeronave se soma à da Terra em rotação ou dela se subtrai, ao passo que o efeito da altitude (gravitacional) é o mesmo nos dois sentidos: os voos para leste e para oeste separam limpamente as duas contribuições (o resultado de 1971 bateu com ambas). **22.** Do [Exercício 4.5](#exo-b3-relativistic-kinematics-5): $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia. **23.** $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx
15\,\mathrm{km}.$ **24.** As posições derivariam centenas de metros em poucas horas e quilômetros em um dia — a navegação quebraria visivelmente na primeira manhã. **25.** Em 1963, uma montanha, dois contadores e relógios de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ mediram $\gamma_{\exp} = 9.0$ contra um valor previsto de $10$ (com a desaceleração, $8.8 \pm 0.8$): a [dilatação do tempo](#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation) confirmada com $10\%$ de precisão — e a física idêntica é corrigida em silêncio, a cada segundo, em todo satélite de navegação acima da sua cabeça.