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title: "Dinâmica relativística"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica
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# Capítulo 5 — Dinâmica relativística

Em 1964, William Bertozzi filmou elétrons disparados por um acelerador linear: cada pulso recebia uma energia medida, e sua velocidade era cronometrada ao longo de $8.4\,\mathrm{m}$ de voo. Newton previa que elétrons de $15\,\mathrm{MeV}$ deveriam voar a oito vezes a velocidade da luz; o cronômetro dizia $0.9999c$ e se recusava a ir além, por mais forte que se empurrassem os elétrons. A cinemática nos disse, no capítulo anterior, que $c$ é um limite; a dinâmica deve agora explicar o que acontece com o empurrão — para onde vai o trabalho quando a velocidade não cresce mais. A resposta reorganiza a mecânica em torno de um novo momento e de uma nova energia, unidos na equação mais famosa da física: a energia armazenada é massa, a massa é energia residente, $E = mc^2$. Este capítulo constrói a dinâmica e depois a põe a trabalhar onde ela vive todo dia — decaimentos radioativos, colisões de partículas e os aceleradores que transformam movimento em matéria nova.

## 5.1 Momento e energia, reconstruídos

**Observação 5.1 (Por que mv→m\vect vmv teve de sair).**

O momento clássico $m\vect v$ se conserva em todo referencial *se* as velocidades se transformarem à maneira de Galileu. Elas não se transformam assim ([Proposição 4.10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/4-cinematica-relativistica#prop-b3-relativistic-kinematics-addition)): uma colisão que conserva $\sum m\vect v$ num referencial deixa de conservá-lo em outro, de modo que o momento antigo não pode ser uma lei da natureza — no máximo, a sombra de uma, a baixas velocidades. O conserto é medir a velocidade com o relógio *próprio* da partícula: $\dd\vect r/\dd\tau =
\gamma\,\vect v$ se transforma de modo limpo, e $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ acaba por se conservar em todos os referenciais de uma vez.

**Definição 5.2 (Momento e energia relativísticos).**

Uma partícula de massa $m$ e velocidade $\vect v$ ($\gamma = 1/\sqrt{1 -
v^2/c^2}$) carrega o momento e a energia

$$
\vect p = \gamma m\vect v , \qquad
E = \gamma mc^2 .
$$

Em repouso, $E_0 = mc^2$: a *energia de repouso*. A energia cinética é o que o movimento acrescenta, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$, que para $v
\ll c$ se reduz ao familiar $\tfrac12 mv^2$ (expanda $\gamma$). Em todo processo isolado, o $\vect p$ total e a $E$ total — energias de repouso incluídas — se conservam.

**Teorema 5.3 (A relação energia–momento).**

Para qualquer partícula,

$$
E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 ,
\qquad
\vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :
$$

a combinação $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ tem o mesmo valor em todo referencial — ela é, para a energia e o momento, o que o intervalo é para o tempo e o espaço. Dois regimes: a baixa velocidade, $E \approx mc^2 + p^2/2m$; a alta energia ($E \gg mc^2$), $E \approx pc$ e $v \to c$: empurrar mais forte acrescenta energia e momento, e quase nenhuma velocidade.

**Demonstração.** $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$; e $pc^2/E =
\gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$. A invariância de referencial decorre de $m$ e $c$ serem independentes do referencial. ∎

**Proposição 5.4 (Partículas sem massa).**

Uma partícula de massa nula tem $E = pc$ e se move exatamente a $c$ em todo referencial; não pode ser desacelerada, apenas desviada para o vermelho. O fóton é o caso padrão: $E = h\nu$ e $p = h\nu/c = h/\lambda$ — as relações de Planck–Einstein do volume do primeiro ano, vistas agora como o canto $m = 0$ da mecânica.

**Demonstração.** Faça $m = 0$ no [Teorema 5.3](#thm-b3-relativistic-dynamics-relation): $E = pc$ e $v = pc^2/E = c$. ∎

![À esquerda: o experimento da “velocidade limite” de Bertozzi — as velocidades medidas dos elétrons (pontos) seguem a curva relativística e saturam em c, enquanto a reta de Newton passa adiante. À direita: a hipérbole energia–momento; seu deslocamento em p = 0 é a energia de repouso, e sua assíntota é o E = pc do fóton.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/fig-abd1fd0aa16f.svg)

*À esquerda: o experimento da “velocidade limite” de Bertozzi — as velocidades medidas dos elétrons (pontos) seguem a curva relativística e saturam em $c$, enquanto a reta de Newton passa adiante. À direita: a hipérbole energia–momento; seu deslocamento em $p = 0$ é a [energia de repouso](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy), e sua assíntota é o $E = pc$ do fóton.*

**Exemplo 5.5 (Ordens de grandeza).**

A física de partículas conta a energia em elétron-volts e as massas em $\mathrm{MeV}/c^2$: elétron $0.511$, próton $938.3$, múon $105.7$, píon $139.6$. Um elétron de energia cinética $1\,\mathrm{MeV}$ tem $\gamma =
2.96$ e $v = 0.94c$ — já plenamente relativístico, e é por isso que a eletrônica permanece clássica ($\mathrm{eV}$) e a física nuclear não ($\mathrm{MeV}$). Um próton de $6.8\,\mathrm{TeV}$ do LHC tem $\gamma = 7250$ e fica atrás de um fóton por apenas $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 5.2 A massa é energia residente

**Teorema 5.6 (Equivalência massa–energia).**

A massa de um corpo é a energia total do seu conteúdo, dividida por $c^2$, medida no referencial em que ele repousa: aqueça um corpo, dê corda à sua mola, excite seus átomos, e ele pesa mais de $\Delta E/c^2$; ligue suas partes entre si e ele pesa *menos*, da energia de ligação sobre $c^2$ — o *[defeito de massa](#thm-b3-relativistic-dynamics-emc2)*. Reciprocamente, a [energia de repouso](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) pode ser liberada: sempre que as massas finais somam menos que as iniciais, a diferença $\Delta m\,c^2$ emerge como energia cinética ou radiação.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 5.7 (O balanço de c2c^2c2).**

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: um grama de diferença de massa são $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$, a energia de uma cidade pequena por um dia. As ligações químicas (alguns eV por molécula) deslocam as massas em partes em $10^{10}$ — para sempre impesáveis, e é por isso que a química nunca percebeu. A ligação nuclear as desloca em quase $1\%$: o hélio pesa $0.7\%$ menos que seus quatro ingredientes de hidrogênio, e essa fração que falta, escoando do Sol como luz, lhe custa $\Delta m = L_\odot/c^2 =
4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ a cada segundo — quatro milhões de toneladas de sol. A aniquilação acerta a conta inteira: um elétron que encontra um pósitron nada deixa senão dois fótons de $511\,\mathrm{keV}$ cada, o sinal com que os tomógrafos PET observam um cérebro vivo.

**Observação 5.8 (O que significa “conversão”).**

Nada material “se transforma” em energia: a energia total esteve conservada o tempo todo. O que muda é a sua *residência* — da [energia de repouso](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy), que pesa, para a energia cinética e a radiação, que voam. O enunciado profundo de $E = mc^2$ é que a própria inércia é um conteúdo de energia: uma caixa de gás quente resiste mais à aceleração que a mesma caixa fria.

## 5.3 Colisões e decaimentos

**Definição 5.9 (Quadrimomento e massa invariante).**

Reúna a energia e o momento de uma partícula em seu *quadrimomento* $P = (E/c, \vect p)$. Para um sistema de partículas, some componente a componente: $E_{\text{tot}} = \sum E_i$, $\vect p_{\text{tot}} = \sum\vect p_i$. A *massa invariante* $M$ do sistema é definida por

$$
M^2c^4 = E_{\text{tot}}^2 - \|\vect p_{\text{tot}}\|^2c^2 :
$$

o mesmo número em todo referencial, igual à energia total (dividida por $c^2$) no *referencial do centro de momento*, onde $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$. Note que $M$ excede a soma das massas das partes sempre que estas se movem umas em relação às outras — dois fótons que se afastam têm $M > 0$, embora nenhum deles tenha massa.

**Método 5.10 (Resolver uma colisão relativística).**

(1) Escreva a conservação do [quadrimomento](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum): $E$ e $\vect p$ juntos, nunca um só. (2) Calcule o invariante $E^2 - p^2c^2$ do conjunto que for conveniente — ele pode ser avaliado no referencial mais fácil e usado em qualquer outro. (3) Limiares: uma reação é possível quando a [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) do estado inicial alcança a soma das massas de repouso do estado final. (4) Decaimentos em repouso: os momentos dos produtos são opostos e iguais; as energias seguem só das massas. (5) Só no fim, se for pedido, converta em velocidades por $v = pc^2/E$.

**Exemplo 5.11 (A assinatura do píon).**

Um píon carregado em repouso decai, $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (com o neutrino efetivamente sem massa). A conservação do momento põe os produtos em sentidos opostos com $p$ igual; a conservação da energia se lê $m_\pi c^2 =
\sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$. Resolvendo:

$$
pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,
$$

de modo que todo múon vindo de um píon que decai em repouso nasce com exatamente $4.1\,\mathrm{MeV}$ de energia cinética — uma linha monoenergética, cuja observação (Powell, 1947) foi o modo como a massa do píon foi pesada pela primeira vez. Os decaimentos de dois corpos sempre produzem linhas assim; os de três corpos as espalham em espectros, que foi precisamente como se suspeitou pela primeira vez do neutrino no decaimento nuclear $\beta$.

**Proposição 5.12 (Limiares: a tirania do alvo fixo).**

Para criar novas partículas, só a energia do *centro de momento*, $Mc^2$, está disponível. Um feixe de energia $E$ que atinge um alvo de massa $m_{\text{t}}$ em repouso fornece

$$
M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 +
2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :
$$

a energia útil só cresce como $\sqrt E$ — o resto se desperdiça empurrando os destroços para a frente. Dois feixes idênticos que colidem de frente fornecem $Mc^2 = 2E$: tudo aproveitável. Essa única fórmula é a razão de as máquinas de fronteira serem colisores ([Problema 5.1](#pb-b3-relativistic-dynamics-1)).

**Demonstração.** Avalie $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ no laboratório: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$, com $p$ o momento do feixe; expanda e use $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$. Para o colisor, $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ e $Mc^2 = E_{\text{tot}}$. ∎

![Fazer matéria a partir de movimento: num alvo fixo, a conservação do momento obriga os produtos a continuar voando, e a energia útil do centro de momento só cresce como √ E; numa colisão frontal, ela vale os 2E inteiros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/fig-678f0f651f26.svg)

*Fazer matéria a partir de movimento: num alvo fixo, a conservação do momento obriga os produtos a continuar voando, e a energia útil do centro de momento só cresce como $\sqrt E$; numa colisão frontal, ela vale os $2E$ inteiros.*

## 5.4 A força e as máquinas

**Proposição 5.13 (Equação de movimento relativística).**

A lei de Newton sobrevive na forma

$$
\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)}
{\dd t} , \qquad
\frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .
$$

Um campo magnético, sempre perpendicular a $\vect v$, não altera energia alguma e curva a trajetória num círculo de raio

$$
r = \frac{p}{qB}
$$

— a mesma fórmula do volume do primeiro ano, com o $p$ relativístico. Mas a frequência de circulação $qB/\gamma m$ agora *cai* à medida que a partícula ganha energia: o empurrão de frequência fixa do cíclotron sai do compasso na escala do MeV, e as máquinas de alta energia — os *síncrotrons* — em vez disso elevam seu campo e sua frequência em sincronia com $\gamma$, mantendo o feixe num único anel.

**Demonstração parcial.** A lei da força é a definição de dinâmica coerente com o novo momento ($\dd E/\dd t$ decorre de $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$: $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$). Quanto ao círculo: $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ com $|\vect p|$ constante significa que o vetor momento gira à taxa $qvB/p$, de modo que o raio vale $v/(qvB/p) = p/qB$. ∎

**Exemplo 5.14 (Ler o LHC como um exercício).**

Prótons de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ em dipolos de $B = 8.3\,\mathrm{T}$: $p \approx E/c$ (ultrarrelativístico), logo $r = p/qB =
2.7\,\mathrm{km}$ — e, de fato, o raio de curvatura magnética do anel é $2.8\,\mathrm{km}$, sendo os $27\,\mathrm{km}$ de circunferência quase todos de ímãs. As colisões frontais fornecem $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$; alcançar isso num alvo fixo exigiria um feixe de $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx
10^{17}\,\mathrm{eV}$ — cem vezes o alcance de qualquer máquina já construída. Foi a fórmula do colisor, e não ímãs mais fortes, que comprou a fronteira moderna de energia.

![Partículas carregadas atravessando uma câmara de nuvens. Traços como estes — que se enrolam em campos magnéticos e aparecem aos pares — transformaram E = mc2 de fórmula em contabilidade diária: o pósitron foi descoberto numa fotografia assim.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/img-3dff948dc296.jpg)

*Partículas carregadas atravessando uma câmara de nuvens. Traços como estes — que se enrolam em campos magnéticos e aparecem aos pares — transformaram $E = mc^2$ de fórmula em contabilidade diária: o pósitron foi descoberto numa fotografia assim.*

## 5.5 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

Um elétron ($mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$) se move a $0.99c$. Calcule $\gamma$, seu momento em $\mathrm{MeV}/c$ e suas energias total e cinética. As mesmas perguntas para um próton ($mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$) de energia cinética $1\,\mathrm{GeV}$.

**Solução de Exercício 5.1.**

Elétron: $\gamma = 7.09$; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$, logo $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$, $E_k =
3.11\,\mathrm{MeV}$. Próton: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$, $\gamma
= 2.07$, $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$, $\beta =
pc/E = 0.875$.

**Exercício 5.2 ★.**

(a) Quanta energia dorme num grama de matéria? (b) A explosão de Hiroshima liberou cerca de $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$: que diferença de massa é essa? (c) O Sol irradia $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$: quanta massa ele perde por segundo, e que fração de seus $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ em dez bilhões de anos? (d) A bateria do seu telefone armazena $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$: de quanto um telefone carregado é mais pesado?

**Solução de Exercício 5.2.**

(a) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$. (b) $6 \times 10^{13}/
9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — a bomba converteu menos de um grama. (c) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; em $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ($3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$): $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$, cerca de $0.07\%$ do Sol. (d) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx
0.6\,\mathrm{ng}$ — real e para sempre impesável.

**Exercício 5.3 ★.**

(a) Que momento o feixe de um ponteiro laser de $5\,\mathrm{mW}$ carrega por segundo, e que força o ponteiro sente? (b) Que força a luz do Sol ($1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) exerce sobre uma vela solar perfeitamente refletora de $100\,\mathrm{m}^{2}$? (c) A partir do repouso, com que velocidade uma nave-vela de $10\,\mathrm{kg}$ se move depois de um mês? (d) Por que a cauda de poeira de um cometa aponta para longe do Sol?

**Solução de Exercício 5.3.**

(a) $p = P/c$ por segundo: força de recuo $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$. (b) A reflexão dobra a transferência: $F = 2\Phi A/c =
2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$. (c) $a
\approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; após $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $v \approx
240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lenta no começo, mas o motor nunca fica sem combustível. (d) O momento da luz solar (com o vento solar) empurra a poeira continuamente para fora: a cauda escoa para longe do Sol, e não atrás do cometa.

**Exercício 5.4 ★.**

Prática com unidades. (a) Mostre que $\mathrm{MeV}/c^2$ é uma unidade de massa e converta a massa do elétron em quilogramas. (b) Quanto vale $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ em $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$? (c) O quadrado de uma [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) resulta em $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (em unidades com $c = 1$): que energia de centro de momento é essa? (d) Por que os físicos de partículas fazem $c = 1$, e o que um leitor precisa reinserir para obter números no SI?

**Solução de Exercício 5.4.**

(a) $m = E_0/c^2$: $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} =
9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$. (b) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} =
5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ de energia de centro de momento. (d) Com $c = 1$, energia, momento e massa compartilham uma só unidade e toda fórmula se livra dos seus $c$; para voltar ao SI, reinsira a única potência de $c$ que acerta as dimensões.

**Exercício 5.5 ★★.**

Os elétrons de Bertozzi tinham energias cinéticas de $0.5$, $1$, $4.5$ e $15\,\mathrm{MeV}$. (a) Calcule a previsão de Newton $v^2 = 2E_k/m$ para cada uma, em unidades de $c^2$. (b) Calcule o $v^2/c^2$ relativístico. (c) O tempo de voo dele sobre $8.4\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{MeV}$: o que marcou o relógio, e o que Newton teria previsto? (d) A energia dos elétrons também foi medida calorimetricamente — pelo calor no impacto: por que esse passo era o verdadeiro ponto do experimento?

**Solução de Exercício 5.5.**

(a) $2E_k/mc^2$: $1.96$, $3.9$, $17.6$, $59$ — absurdos a partir do primeiro. (b) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$: $0.74$, $0.89$, $0.990$, $0.9989$. (c) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$; os $7.7c$ de Newton teriam dado $3.7\,\mathrm{ns}$. (d) O calorímetro provou que os elétrons de fato levavam os $15\,\mathrm{MeV}$ inteiros até o alvo: a energia estava toda lá e, ainda assim, a velocidade havia parado de crescer — o trabalho passa a comprar momento e energia, não velocidade.

**Exercício 5.6 ★★.**

O píon carregado decai em repouso: $\pi^+ \to \mu^+\nu$, $m_\pi c^2 =
139.6\,\mathrm{MeV}$, $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$, $m_\nu \approx 0$. (a) Mostre que $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ e avalie-o. (b) A energia cinética e a velocidade do múon. (c) A energia do neutrino. (d) Em voo a $\gamma_\pi = 50$, quais são as energias máxima e mínima do múon de decaimento no laboratório (decaimento para a frente e para trás)?

**Solução de Exercício 5.6.**

(a) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$; isole a raiz e eleve ao quadrado: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 =
(139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$. (b) $E_\mu =
\sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$: $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$, $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$. (c) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$. (d) Fazendo o impulso de Lorentz: $E_{\text{lab}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ com $\beta
\approx 1$: entre $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ e $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$.

**Exercício 5.7 ★★.**

[Massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) em ação. (a) Dois fótons de $200\,\mathrm{MeV}$ cada voam a $60^\circ$ um do outro: calcule a [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) do par. (b) Um píon neutro ($m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$) decai em dois fótons: qual é a [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) do par de fótons, em qualquer referencial? (c) Explique como um experimento “descobre” uma partícula na forma de uma protuberância na distribuição de [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) de seus produtos de decaimento. (d) Dois fótons de energias iguais voam exatamente paralelos: [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum)? O que isso diz sobre o referencial de repouso de um feixe de luz?

**Solução de Exercício 5.7.**

(a) Para dois quanta sem massa, $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) =
2 \times 200^2 \times \tfrac12$: $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$. (b) Exatamente $m_{\pi^0}$ — a [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) é a massa da partícula, em qualquer referencial. (c) Calcule $M$ para cada par de fótons do evento: os pares aleatórios se espalham suavemente, mas as verdadeiras filhas de uma partícula se acumulam na massa dela — a protuberância. (d) $\theta = 0$: $M = 0$; um feixe paralelo de luz não tem referencial de repouso — ele se move a $c$ como um todo, como cada um de seus fótons.

**Exercício 5.8 ★★.**

Contabilidade do LHC (prótons de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$). (a) $\gamma$ e o déficit de velocidade $c - v$ (use $c - v \approx c/2\gamma^2$). (b) A frequência de revolução no anel de $27\,\mathrm{km}$ e o número de voltas por segundo. (c) A energia armazenada num feixe de $3 \times 10^{14}$ prótons, em quilogramas de TNT ($4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$). (d) O equivalente em massa da energia cinética dos dois feixes, em microgramas — matéria prestes a ser feita.

**Solução de Exercício 5.8.**

(a) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$; $c - v \approx
c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 =
11.1\,\mathrm{kHz}$: onze mil voltas por segundo. (c) $3 \times 10^{14}
\times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ de TNT — num feixe fino como um fio de cabelo. (d) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx
7\,\text{µ}\mathrm{g}$: o estoque de trabalho da matéria por vir.

**Exercício 5.9 ★★.**

Fótons que colidem. (a) Mostre que um único fóton no vácuo não pode decair num par elétron–pósitron, por mais energético que seja (use o invariante). (b) Contra um segundo fóton de energia $\epsilon$, de frente, mostre que a criação de pares exige $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$. (c) Um fóton de $511\,\mathrm{keV}$ precisa de que parceiro? E um raio X de $50\,\mathrm{keV}$? (d) O universo está preenchido pela luz das estrelas e pela radiação cósmica de fundo em micro-ondas: o que (b) prevê para o alcance dos raios $\gamma$ de TeV pelo espaço intergaláctico?

**Solução de Exercício 5.9.**

(a) A [massa invariante](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) de um fóton é $0$; a de um par $e^+e^-$ é ao menos $2m_{\text{e}}c^2$. O invariante não pode mudar num decaimento isolado: proibido. (Equivalentemente: em nenhum referencial o momento se equilibra.) (b) De frente, $M^2c^4 = 4E\epsilon$; a criação de pares exige $Mc^2 \ge
2m_{\text{e}}c^2$, isto é, $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$. (c) Outro fóton de $511\,\mathrm{keV}$; para $50\,\mathrm{keV}$, um parceiro de $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$. (d) Um fóton de TeV encontra o limiar de $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ na luz estelar comum: o próprio céu absorve os raios $\gamma$ de TeV ao longo de distâncias cosmológicas — o universo não é transparente em todas as energias.

**Exercício 5.10 ★★★.**

Compton, por [quadrimomentos](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum). Um fóton de comprimento de onda $\lambda$ atinge um elétron em repouso e é espalhado no ângulo $\theta$. (a) Escreva a conservação do [quadrimomento](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) e isole o invariante do elétron final. (b) Deduza

$$
\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .
$$

(c) Avalie $h/m_{\text{e}}c$ e o desvio máximo; por que o efeito é invisível com a luz visível, mas decisivo para os raios X? (d) O que a medida de Compton, em 1923, estabeleceu sobre a luz que o efeito fotoelétrico não estabelecera?

**Solução de Exercício 5.10.**

(a) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$; eleve ambos os lados ao quadrado (invariantes): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\!
\cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$. (b) Com $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$, $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ e $P_\gamma\!\cdot\!
P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$: $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$, o que em comprimentos de onda ($E = hc/\lambda$) é o desvio enunciado. (c) $h/m_{\text{e}}c =
2.43\,\mathrm{pm}$, no máximo $4.9\,\mathrm{pm}$: uma parte em $10^5$ da luz visível (invisível), vários por cento de um raio X de $100\,\mathrm{pm}$ (medido). (d) Que um fóton colide como uma bola de bilhar — carregando um momento $h/\lambda$ trocado em eventos *individuais*, e não apenas energia em pedaços.

**Exercício 5.11 ★★★.**

O fim do espectro dos raios cósmicos. O universo se banha em fótons de micro-ondas de energia típica $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$. Um próton de energia $E$ que atinge um deles de frente pode ser excitado à ressonância $\Delta$ ($m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$), perdendo energia a cada vez. (a) Mostre que a condição de limiar é aproximadamente $4E\epsilon =
(m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$. (b) Calcule o $E$ de limiar. (c) Acima dele, o universo é opaco aos prótons além de uns $100\,\mathrm{Mly}$: o que isso prevê para o espectro observado dos raios cósmicos (o corte de Greisen–Zatsepin–Kuzmin)? (d) Já se registraram raios cósmicos de $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ — as partículas “Oh-My-God”: o que a existência delas exige de suas fontes?

**Solução de Exercício 5.11.**

(a) $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ de frente (com o próton ultrarrelativístico); limiar em $M = m_\Delta$. (b) $E =
(1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV})
\approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ para o fóton médio — a cauda térmica da radiação de fundo em micro-ondas leva o corte efetivo a $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$. (c) Os prótons acima do corte perdem energia para o $\Delta$ em $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$: o espectro deveria terminar perto de $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ para fontes distantes — a supressão GZK observada. (d) Suas fontes precisam ser, ao mesmo tempo, aceleradores extraordinários e cosmicamente *próximas* — dentro do nosso superaglomerado — e isso é parte da razão de sua origem ainda ser caçada.

**Exercício 5.12 ★★★.**

O foguete de fótons. Um foguete de massa inicial $m_{\text{i}}$ emite seu jato de exaustão como um feixe de luz colimado e alcança a velocidade $\beta c$. (a) Conservando energia e momento entre o começo e o fim, mostre que

$$
\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} =
\sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,
$$

a exponencial da rapidez — a equação de Tsiolkovski relativística com o melhor jato possível. (b) Qual a razão de massas para alcançar $0.9c$? E para alcançar $0.9c$ e *parar* no destino? (c) O feixe tem de ser produzido de algum modo: com aniquilação matéria–antimatéria de eficiência perfeita, quantos quilogramas de antimatéria por quilograma de carga útil para a viagem de ida a $0.9c$? (d) A produção mundial de antiprótons é de nanogramas por ano: conclua, numa frase, sobre os foguetes de fótons.

**Solução de Exercício 5.12.**

(a) Energia: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$; momento: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$. Elimine $E_\ell$: $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} =
m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$. (b) $\sqrt{19} = 4.4$; acelerar *e* frear eleva isso ao quadrado: $19$. (c) A massa consumida $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ tem de ser combustível aniquilado, metade dele antimatéria: $1.7\,\mathrm{kg}$ de antimatéria por quilograma entregue (só ida, sem frenagem). (d) Com nanogramas por ano de produção mundial, os foguetes de fótons continuam sendo aritmética, não engenharia.

![A descoberta da antimatéria (Carl D. Anderson, 1932, domínio público): um único pósitron subindo pela placa de chumbo da câmara de nuvens, curvando-se no sentido errado para um elétron e apertado demais para um próton — o balanço de E = mc2 flagrado correndo ao contrário.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-relativistic-dynamics/img-b683dc787f01.jpg)

*A descoberta da antimatéria (Carl D. Anderson, 1932, domínio público): um único pósitron subindo pela placa de chumbo da câmara de nuvens, curvando-se no sentido errado para um elétron e apertado demais para um próton — o balanço de $E = mc^2$ flagrado correndo ao contrário.*

## 5.6 Problema: Fabricar matéria — o antipróton e o Bevatron

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — como a conservação do momento pôs preço no antimundo

As equações de Dirac exigiam, desde 1931, que o próton tivesse um gêmeo espelhado de carga oposta. Fabricar um significava comprar sua [energia de repouso](#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) com energia de feixe — e a conservação do momento fixou o preço. Este problema calcula esse preço, projeta a máquina que o pagou e acompanha a descoberta de 1955. Dados: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$; a carga e o *número bariônico* (prótons e nêutrons $+1$, antiprótons $-1$) se conservam em toda reação.

**Parte I — O ferramental do [quadrimomento](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum).**

1. Para uma partícula, mostre que $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ a partir das definições de $E$ e $\vect p$ .
2. Para um sistema, por que $E_{\text{tot}}^2 -  p_{\text{tot}}^2c^2$ é o mesmo em todos os referenciais, e a que ele é igual no referencial do centro de momento?
3. Um feixe de prótons de energia $E$ atinge um próton em repouso: mostre que $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
4. Verifique os dois limites: a baixa energia, $Mc^2 \to  2m_{\text{p}}c^2$ ; a alta energia, $Mc^2 \approx  \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — a lei da raiz quadrada.
5. Uma reação só é permitida se $Mc^2$ alcançar a soma das massas de repouso dos produtos, com todos os produtos em repouso no referencial do centro de momento no limiar: justifique esta última cláusula.
6. Por que a energia cinética dos produtos no laboratório jamais pode ser recuperada para a criação de partículas num alvo fixo?

**Parte II — O preço do antipróton.**

7. Em colisões $p + p$ , a reação mais barata que produz um antipróton $\bar p$ tem de produzir também um próton *extra* : escreva-a e justifique com a carga e o número bariônico.
8. Mostre que o limiar exige $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ .
9. Deduza a energia de feixe necessária $E = 7m_{\text{p}}c^2$ e a energia cinética $T = 6m_{\text{p}}c^2$ ; avalie $T$ .
10. No limiar, que fração da energia cinética do feixe de fato se tornou massa de repouso nova (dela, $2m_{\text{p}}c^2$ )? Onde está o resto?
11. Num colisor frontal $p$ – $p$ , que energia cinética *por feixe* a mesma reação exigiria? Compare os dois projetos.
12. Em 1954 não existia colisor algum (os feixes eram finos demais para se acertarem): que fato prático impôs a escolha do alvo fixo, e quanto isso custou em energia de feixe?

**Parte III — Projetar o Bevatron.** A máquina construída em Berkeley alcançou $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — confortavelmente acima do limiar — com campos dipolares de $B =
1.56\,\mathrm{T}$.

13. Calcule a energia total e o momento do feixe na energia máxima.
14. Calcule o raio de curvatura $r = p/qB$ e compare com os $15.2\,\mathrm{m}$ da máquina.
15. Calcule a velocidade do próton e a frequência de revolução no anel de $2\pi r$ .
16. Na injeção, os prótons chegam com $10\,\mathrm{MeV}$ de energia cinética: calcule sua velocidade e explique por que a frequência de aceleração tinha de *varrer* durante cada ciclo (que duas grandezas mudam quando $E$ cresce?).
17. Com cerca de $1.5\,\mathrm{kV}$ ganhos por volta, quantas voltas e quanto tempo dura um ciclo de aceleração?
18. O nome “Bevatron” veio de BeV, bilhões de elétron-volts: diga numa linha que física fixou a cifra de projeto de $6$ e pouco BeV.

**Parte IV — A descoberta, 1955.**

19. Um ímã curva cada candidato num círculo: explique por que isso seleciona as partículas por *momento* ( $r = p/qB$ ), e não por energia ou velocidade — e por que um feixe selecionado em momento ainda mistura espécies.
20. O feixe sobre um alvo de cobre produzia torrentes de píons negativos ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ), entre os quais se escondiam alguns antiprótons. O espectrômetro selecionava negativos de momento $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : calcule a velocidade de um antipróton e a de um píon nesse momento.
21. Ao longo do percurso de voo de $12\,\mathrm{m}$ , calcule os dois tempos de voo: de que resolução temporal a descoberta precisava?
22. Uma segunda assinatura, independente, usava contadores Cherenkov, que disparam apenas acima de um limiar de velocidade: qual partícula foi arranjada para dispará-los, e por que a redundância importa para uma descoberta?
23. Chamberlain e Segrè contaram cerca de um antipróton para cada $44\,000$ píons: por que o argumento do limiar garantia que a taxa seria minúscula mesmo acima do limiar?
24. Um antipróton acaba por encontrar um próton e se aniquila: quanta energia é liberada por evento, e tipicamente sob que forma?
25. Resuma o resultado central: a conservação do [quadrimomento](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) pôs no antipróton o preço de $T = 6m_{\text{p}}c^2 =  5.6\,\mathrm{GeV}$ num alvo fixo; um síncrotron de $6.2\,\mathrm{GeV}$ e $15\,\mathrm{m}$ o pagou, e o antimundo tornou-se fato de laboratório — o Prêmio Nobel de 1959.

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$. **2.** $E_{\text{tot}}$ e $\vect p_{\text{tot}}$ se transformam como o $E$ e o $\vect p$ de uma só partícula (são somas), de modo que a mesma álgebra dá um invariante; onde $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ ele é o quadrado da energia total: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$. **3.** $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 +
2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$. **4.** $E \to m_{\text{p}}c^2$ dá $M = 2m_{\text{p}}$; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ dá $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$. **5.** Qualquer movimento relativo dos produtos acrescenta energia cinética no referencial do centro de momento, acima das massas de repouso deles; o $Mc^2$ mínimo — o limiar — os deixa todos em repouso relativo. **6.** O momento total no laboratório, $\vect p_{\text{tot}} \neq \vect 0$, tem de sobreviver à colisão: os produtos estão condenados a se mover, e sua energia cinética fica trancada fora da fabricação de massa. **7.** $p + p \to p + p + p + \bar p$: carga $+2 \to +2$; número bariônico $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$. Fabricar $\bar p$ sozinho, ou com menos que um bárion extra completo, viola uma das duas. **8.** Quatro massas de próton em repouso relativo: $Mc^2 =
4m_{\text{p}}c^2$. **9.** $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 +
2Em_{\text{p}}c^2$: $E = 7m_{\text{p}}c^2$, $T = 6m_{\text{p}}c^2 =
5.63\,\mathrm{GeV}$. **10.** Massa de repouso nova: $2m_{\text{p}}c^2$ num total de $T =
6m_{\text{p}}c^2$ — um terço; os outros dois terços seguem voando como energia cinética dos produtos, protegidos pela conservação do momento. **11.** De frente, $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) =
4m_{\text{p}}c^2$: $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ por feixe — seis vezes menos que o feixe de alvo fixo, e doze vezes menos de energia cinética total. **12.** Os feixes dos anos 1950 eram tênues demais para colidir uns com os outros de modo útil; um alvo sólido oferece $10^{22}$ prótons por centímetro cúbico. O preço: $5.6\,\mathrm{GeV}$ em vez de $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$. **13.** $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$; $pc =
\sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$. **14.** $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} =
3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — a máquina tal como foi construída. **15.** $\beta = pc/E = 0.991$; órbita $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$: $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$. **16.** A $10\,\mathrm{MeV}$, $\beta = 0.145$: $f =
0.46\,\mathrm{MHz}$. À medida que a energia sobe, a velocidade (e portanto $f$) e o momento (e portanto o campo necessário a raio fixo) mudam ambos: campo e radiofrequência têm de subir juntos — o truque que define o síncrotron. **17.** $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ voltas; a uma frequência média da ordem do megahertz, um ciclo de aceleração da ordem de um a dois segundos. **18.** O limiar do antipróton, $T = 6m_{\text{p}}c^2 =
5.6\,\mathrm{GeV}$, mais margem: a contabilidade deste problema é literalmente aquilo para que a energia — e o nome — da máquina foram escolhidos. **19.** $r = p/qB$ não contém massa alguma: o ímã curva igualmente momentos iguais, qualquer que seja a partícula — de modo que o feixe selecionado ainda mistura píons, káons e (raramente) antiprótons, todos a $1.19\,\mathrm{GeV}/c$. **20.** $\bar p$: $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} =
1.51\,\mathrm{GeV}$, $\beta = 0.79$. $\pi^-$: $E = \sqrt{1.19^2 +
0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$, $\beta = 0.993$. **21.** $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$; $t_\pi =
40\,\mathrm{ns}$: a diferença de $11\,\mathrm{ns}$ exigia cronometragem em nanossegundos — disponível, por pouco, em 1955. **22.** Os contadores foram ajustados para disparar com os píons rápidos e ficar escuros para os antiprótons lentos (um veto de velocidade); com uma agulha de $1$ em $44000$, só duas assinaturas independentes (tempo de voo *e* limiar Cherenkov) podiam excluir falsificações por coincidência. **23.** Logo acima do limiar, os produtos nascem quase em repouso relativo: a reação quase não tem [espaço de fases](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), ao passo que a produção de píons, muito acima do *seu* limiar, é copiosa — a raridade era garantida pela mesma cinemática que fixou o preço. **24.** $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ por aniquilação, tipicamente em um punhado de píons que decaem adiante em fótons, múons e neutrinos. **25.** A conservação do [quadrimomento](#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) pôs no antipróton o preço de $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ num alvo fixo; o Bevatron de $6.2\,\mathrm{GeV}$ e $15.1\,\mathrm{m}$ o pagou; o tempo de voo e um veto Cherenkov acharam uma partícula do antimundo para cada $44000$ impostores — e o Prêmio Nobel de 1959 certificou o balanço.