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title: "A equação de Schrödinger em três dimensões"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes
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# Capítulo 7 — A equação de Schrödinger em três dimensões

A tela de uma televisão moderna brilha com cristais tão pequenos que é o *tamanho* deles que fixa sua cor: um grão de seleneto de cádmio de quatro nanômetros brilha em vermelho; a mesma substância, com dois nanômetros, brilha em azul-esverdeado. Nada difere na química — apenas o tamanho da caixa que confina os elétrons. O volume do segundo ano terminou com a mecânica quântica em uma dimensão: funções de onda sobre uma reta, poços, barreiras e tunelamento. Mas os elétrons vivem em três dimensões, e o passo da reta ao espaço traz física genuinamente nova: a probabilidade escoa pelo espaço como uma corrente, as energias de uma caixa se empilham com *degenerescências* que denunciam sua simetria, os estados precisam ser *contados* — a contagem que mais tarde governará toda a física estatística — e os problemas esféricos se reduzem, no caso mais simples, a uma equação unidimensional disfarçada sobre o raio. Este capítulo dá esses passos, e suas peças centrais são o ponto quântico de uma televisão e o núcleo mais leve da natureza.

## 7.1 Funções de onda no espaço

**Definição 7.1 (Função de onda e probabilidade em três dimensões).**

O estado de uma partícula é um campo complexo $\psi(\vect r, t)$ com a regra de Born

$$
\dd\mathcal P = |\psi(\vect r, t)|^2\,\dd^3r , \qquad
\int|\psi|^2\,\dd^3r = 1 ,
$$

e sua evolução é a equação de Schrödinger com o laplaciano no lugar da derivada segunda:

$$
\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}
 = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi + V(\vect r)\,\psi ,
\qquad
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} .
$$

Tudo o que o volume do segundo ano estabeleceu sobrevive literalmente: a linearidade e a superposição, os estados estacionários $\varphi(\vect r)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}$ com $-\tfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\varphi + V\varphi = E\varphi$ e o operador momento, agora o gradiente $\hat{\vect p} =
-\iu\hbar\vect\nabla$.

**Proposição 7.2 (A probabilidade escoa: a corrente).**

A densidade $\rho = |\psi|^2$ obedece a uma equação de continuidade,

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,
\qquad
\vect\jmath = \frac{\hbar}{m}\,
\operatorname{Im}\big(\psi^*\vect\nabla\psi\big) :
$$

a probabilidade se conserva localmente, transportada pela corrente $\vect\jmath$ — para uma onda plana $A\eu^{\iu\vect k\cdot\vect r}$, $\vect\jmath = |A|^2\hbar\vect k/m = \rho\vect v$, um escoamento uniforme; para qualquer $\varphi$ de valores reais, $\vect\jmath = \vect 0$: os estados estacionários ligados não transportam escoamento líquido algum.

**Demonstração.** Como em uma dimensão: $\partial_t(\psi^*\psi)$ a partir da equação e de sua conjugada; os termos do potencial se cancelam, e $(\iu\hbar/2m)
(\psi^*\Delta\psi - \psi\Delta\psi^*) =
-\operatorname{div}\big[(\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\vect\nabla
\psi)\big]$ pela regra do produto para a divergência. ∎

![A corrente de probabilidade: uma onda progressiva transporta sua densidade como um fluido; uma função de onda real (ligada, estacionária) fica parada — a nuvem eletrônica do átomo não circula a menos que o estado seja complexo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/fig-4c4c36bbce75.svg)

*A [corrente de probabilidade](#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-current): uma onda progressiva transporta sua densidade como um fluido; uma função de onda real (ligada, estacionária) fica parada — a nuvem eletrônica do átomo não circula a menos que o estado seja complexo.*

## 7.2 Caixas, degenerescência e a contagem de estados

**Teorema 7.3 (Separação de variáveis).**

Se o potencial se separa como $V = V_1(x) + V_2(y) + V_3(z)$, os estados estacionários podem ser tomados como produtos $\varphi(\vect r) = \varphi_1(x)\,\varphi_2(y)\,\varphi_3(z)$, em que cada fator resolve seu próprio problema unidimensional, e as energias *se somam*: $E = E_1 + E_2 + E_3$. Nesses casos, três dimensões são uma dimensão três vezes.

**Demonstração.** Insira o produto na equação estacionária e divida por $\varphi$: a soma de três expressões de uma variável cada é igual à constante $E$, de modo que cada uma é separadamente constante. Que todo estado seja uma superposição de tais produtos é a completude das soluções unidimensionais, admitida. ∎

**Proposição 7.4 (A caixa cúbica e suas degenerescências).**

Numa caixa de aresta $a$ com paredes impenetráveis, os estados são indexados por três inteiros positivos,

$$
\varphi_{n_1n_2n_3} \propto
\sin\frac{n_1\pi x}{a}\sin\frac{n_2\pi y}{a}\sin\frac{n_3\pi z}{a} ,
\qquad
E = \frac{h^2}{8ma^2}\,(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2) .
$$

Agora estados distintos compartilham energias: o nível $(2,1,1)$ vem em três cópias, sendo $(1,2,1)$ e $(1,1,2)$ estados fisicamente distintos de mesmo $E$. Uma tal *degenerescência* é a assinatura de uma simetria — aqui, a permutabilidade dos três eixos da caixa; achate um pouco a caixa e o tripleto se desdobra.

**Demonstração.** Separação com três poços infinitos do volume do segundo ano; as energias se somam. ∎

![Os níveis mais baixos da caixa cúbica: energias em unidades de h2/8ma2 com seus números quânticos. As permutações de n_i desiguais dão tripletos e sextetos degenerados — a impressão digital da simetria cúbica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/fig-d3b2319d88b8.svg)

*Os níveis mais baixos da caixa cúbica: energias em unidades de $h^2/8ma^2$ com seus números quânticos. As permutações de $n_i$ desiguais dão tripletos e sextetos degenerados — a impressão digital da simetria cúbica.*

**Proposição 7.5 (Contagem de estados).**

O número de estados da caixa com energia abaixo de $E$ é, para $E$ grande,

$$
N(E) \approx \frac{V}{6\pi^2}\Big(\frac{2mE}{\hbar^2}\Big)^{3/2} ,
\qquad V = a^3 :
$$

proporcional ao volume e a $E^{3/2}$. De modo equivalente, o [espaço de fases](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) contém um estado quântico por volume $h^3$ — a célula de Bohr–Sommerfeld do [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#ch-b3-hamiltonian-mechanics), agora deduzida. Essa única contagem é a matéria-prima da física estatística e da física do estado sólido mais adiante neste volume: os elétrons nos metais, os fótons nas cavidades e o brilho dos corpos quentes começam todos aqui.

**Demonstração.** Os estados são pontos de rede $(n_1, n_2, n_3)$ no octante positivo; $E \le E_{\max}$ guarda os que estão dentro da esfera de raio $R =
\sqrt{8ma^2E/h^2}$. Para $R$ grande, a contagem é o volume do octante, $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi R^3$; substitua. (Versão no [espaço de fases](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): $N = \tfrac{V\cdot\frac43\pi p^3}{h^3}$ com $p = \sqrt{2mE}$ — o mesmo número.) ∎

**Exemplo 7.6 (Um metal, primeira estimativa).**

O cobre oferece aproximadamente um elétron móvel por átomo, $n =
8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$. Preencher os estados da caixa com dois elétrons cada (spin, [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/12-spin-e-sistemas-de-dois-niveis#ch-b3-spin-two-level)) até a energia que acomoda todos dá, invertendo a contagem, $E_{\text{F}}
\approx 7\,\mathrm{eV}$ — uma energia enorme em comparação com a agitação térmica ($k_{\text{B}}T \approx 25\,\mathrm{meV}$): mesmo à temperatura ambiente, os elétrons de um metal são uma multidão profundamente quântica. A história completa é o [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/24-eletrons-nos-solidos#ch-b3-electrons-in-solids).

**Exemplo 7.7 (O oscilador isotrópico).**

Para $V = \tfrac12 m\omega^2r^2 = \tfrac12 m\omega^2(x^2 + y^2 +
z^2)$, a separação dá $E = (n_x + n_y + n_z + \tfrac32)\hbar\omega$: níveis $\tfrac32, \tfrac52, \tfrac72\hbar\omega\ldots$ com degenerescências $1, 3, 6, 10, \dots$ — crescentes, ao contrário do padrão irregular da caixa, com regularidade perfeita. Uma degenerescência extra, além do que a permutação dos eixos explica, sinaliza uma simetria oculta *maior*; o átomo de hidrogênio repetirá o truque de modo espetacular. Preenchidas com partículas emparelhadas por spin, essas camadas do oscilador comportam $2,
8, 20, \dots$ — a primeira aproximação dos “números mágicos” da física nuclear ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/25-fisica-nuclear#ch-b3-nuclear-physics)).

## 7.3 Problemas esféricos: o truque da onda s

**Proposição 7.8 (Estados de simetria esférica).**

Para um potencial central $V(r)$, procure estados que dependam só de $r$ (os *estados s*; o caso geral, com estrutura angular, espera pelo [Capítulo 10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/10-momento-angular-quantico#ch-b3-quantum-angular-momentum)). Escrevendo $\varphi(r) = u(r)/r$, a função $u$ obedece a

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + V(r)\,u = E\,u ,
\qquad u(0) = 0 :
$$

*exatamente* a equação de Schrödinger unidimensional numa semirreta, com uma parede na origem. Toda ferramenta unidimensional do volume do segundo ano — poços, casamento de soluções, tunelamento — se aplica literalmente aos problemas esféricos, ao preço de uma substituição.

**Demonstração.** Para $\varphi(r)$, o laplaciano se reduz a $\Delta\varphi =
\tfrac1r(r\varphi)'' = u''/r$; insira e multiplique por $r$. A condição $u(0) = 0$ mantém $\varphi = u/r$ finita na origem; a normalização é $\int_0^\infty|u|^2\dd r$ vezes $4\pi$ — $u$ é uma genuína função de onda unidimensional. ∎

**Exemplo 7.9 (O dêuteron: mal chega a ser núcleo).**

O dêuteron — um próton e um nêutron — é o núcleo mais simples: energia de ligação $B = 2.2\,\mathrm{MeV}$, minúscula ao lado das escalas nucleares. Como modelo, ponha o movimento relativo (massa reduzida $m_{\text{p}}/2$) num poço esférico de alcance $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ e profundidade $V_0$: a equação de $u$ é o poço unidimensional finito. O casamento das soluções interna e externa exige uma profundidade mínima $V_0 > \pi^2\hbar^2/8\mu R^2
\approx 23\,\mathrm{MeV}$ para que exista *algum* estado ligado, e reproduzir $B = 2.2\,\mathrm{MeV}$ exige $V_0 \approx 35\,\mathrm{MeV}$ ([Exercício 7.10](#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-10)): a força forte liga o dêuteron com apenas dez por cento de margem. A função de onda vaza muito para fora do poço — o par de núcleons passa a maior parte do tempo além do alcance da força — e não há um segundo estado ligado: o segundo núcleo mais simples da natureza, o hélio, precisa de um terceiro núcleon.

![A função de onda radial u(r) do dêuteron no modelo do poço esférico: mal cabe um quarto de oscilação dentro do poço, e o estado sobrevive graças a uma cauda que alcança muito além do alcance da força — um núcleo ligado por 2.2\, MeV num poço de 35\, MeV de profundidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/fig-7764f80b23fa.svg)

*A função de onda radial $u(r)$ do dêuteron no modelo do poço esférico: mal cabe um quarto de oscilação dentro do poço, e o estado sobrevive graças a uma cauda que alcança muito além do alcance da força — um núcleo ligado por $2.2\,\mathrm{MeV}$ num poço de $35\,\mathrm{MeV}$ de profundidade.*

**Método 7.10 (Problemas tridimensionais).**

(1) Potencial aditivo ($V_1 + V_2 + V_3$)? Separe; as energias se somam; reúna as degenerescências pela simetria. (2) Potencial central, estado esférico? Substitua $\varphi = u/r$ e reaproveite todo resultado unidimensional com $u(0) = 0$. (3) Para contar estados, pense no espaço de $\vect n$ ou no [espaço de fases](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian), com um estado por $h^3$ (por estado de spin). (4) Correntes: calcule $\vect\jmath$ quando um escoamento ou um fluxo importar; lembre que função de onda real $=$ corrente nula. (5) Estimativas primeiro: a energia de confinamento $\sim h^2/8mL^2$ por direção decide as escalas, dos pontos quânticos aos núcleos, antes que qualquer equação seja resolvida.

![Pontos quânticos sob luz ultravioleta: o mesmo semicondutor, em cristais cada vez menores, brilha do vermelho ao azul. A cor é fixada pelas energias da partícula na caixa deste capítulo — confinamento que se pode ver.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-schrodinger-three-dimensions/img-e8c2bbe5802d.jpg)

*Pontos quânticos sob luz ultravioleta: o mesmo semicondutor, em cristais cada vez menores, brilha do vermelho ao azul. A cor é fixada pelas energias da partícula na caixa deste capítulo — confinamento que se pode ver.*

## 7.4 Exercícios

**Exercício 7.1 ★.**

O estado gaussiano $\psi(\vect r) = A\,\eu^{-r^2/4\sigma^2}$. (a) Normalize-o ($\int_0^\infty x^2\eu^{-x^2}\dd x = \sqrt\pi/4$). (b) Calcule $\langle r^2\rangle$ e $\Delta x$ (a isotropia ajuda). (c) Quanto vale $\vect\jmath$ para esse estado, e por quê? (d) Multiplique por $\eu^{\iu\vect k_0\cdot\vect r}$: quanto valem agora $\langle\vect
p\rangle$ e $\vect\jmath$?

**Solução de Exercício 7.1.**

(a) $\int|\psi|^2\dd^3r = |A|^2\,4\pi\int_0^\infty r^2\eu^{-r^2/2
\sigma^2}\dd r = |A|^2(2\pi\sigma^2)^{3/2}$: $A = (2\pi\sigma^2)^{
-3/4}$. (b) Por isotropia, $\langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle =
3\sigma^2$, logo $\Delta x = \sigma$. (c) $\vect\jmath = \vect 0$: a função de onda é real. (d) $\langle\vect p\rangle = \hbar\vect k_0$ e $\vect\jmath = \rho\,\hbar\vect k_0/m$: a mesma nuvem, agora em deriva.

**Exercício 7.2 ★.**

Para a caixa cúbica, liste todos os níveis até $E = 15$ (em unidades de $h^2/8ma^2$) com suas degenerescências. Depois mostre que o nível $27$ é degenerado *além* das permutações: encontre suas duas famílias de números quânticos e diga por que uma degenerescência “acidental” assim não decorre da simetria cúbica.

**Solução de Exercício 7.2.**

$3\,(1)$, $6\,(3)$, $9\,(3)$, $11\,(3)$, $12\,(1)$, $14\,(6)$ — depois nada até $17$. Nível $27$: $(3,3,3)$ e as permutações de $(5,1,1)$ — quatro estados, já que $27 = 9+9+9 = 25+1+1$. A simetria cúbica só permuta eixos, e nenhuma permutação liga $(3,3,3)$ a $(5,1,1)$: a coincidência é aritmética (duas representações como soma de três quadrados), não geométrica.

**Exercício 7.3 ★.**

Calcule a corrente $\vect\jmath$ para: (a) a onda plana $A\eu^{\iu kx}$; (b) a onda estacionária $A\sin kx$; (c) a superposição $A(\eu^{\iu kx} + r\,\eu^{-\iu kx})$, com $r$ real — interprete o resultado como fluxo incidente menos fluxo refletido; (d) o estado $A\,\eu^{\iu m\varphi}$ num anel de raio $b$ (ali, $|\vect\nabla|
= (1/b)\partial_\varphi$): uma corrente que circula para sempre.

**Solução de Exercício 7.3.**

(a) $\vect\jmath = |A|^2\hbar k/m\,\vect e_x$. (b) Nula: função real. (c) $j = (|A|^2\hbar k/m)(1 - r^2)$: fluxo incidente menos fluxo refletido — os termos cruzados se cancelam. (d) $j = \rho\,\hbar
m/Mb$ com $\rho = 1/2\pi$ (por unidade de ângulo): uma circulação permanente, o ancestral microscópico das correntes persistentes.

**Exercício 7.4 ★.**

Um cristalito de ponto quântico confina um par elétron–buraco de massa efetiva $\mu = 0.10\,m_{\text{e}}$; a energia do fóton que ele emite é a banda proibida do material maciço, $E_{\text{g}} = 1.74\,\mathrm{eV}$, mais a energia de confinamento de uma caixa esférica, $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$. (a) Calcule a energia de confinamento em $R = 3\,\mathrm{nm}$. (b) O comprimento de onda emitido. (c) Para que lado a cor se desloca quando o ponto encolhe? (d) Por que o seleneto de cádmio maciço ($R$ grande) mostra uma única cor fixa?

**Solução de Exercício 7.4.**

O coeficiente vale $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$. (a) Em $R = 3\,\mathrm{nm}$: $0.42\,\mathrm{eV}$. (b) $E = 2.16\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 1240/2.16 = 575\,\mathrm{nm}$, verde-amarelado. (c) $R$ menor, $E$ maior: rumo ao azul. (d) No material maciço o termo de confinamento desaparece: banda proibida fixa de $1.74\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 713\,\mathrm{nm}$, o mesmo vermelho profundo em qualquer amostra.

**Exercício 7.5 ★★.**

Uma partícula num anel (raio $b$, coordenada $\varphi$): os estados estacionários são $\psi_m = \eu^{\iu m\varphi}/\sqrt{2\pi}$. (a) Por que $m$ tem de ser inteiro? (b) Mostre que $E_m = \hbar^2m^2/2mb^2$ — cuidado com os dois $m$: escreva $E_m = \hbar^2 m^2/2Mb^2$ para a massa $M$ — e note que cada nível com $m \neq 0$ é duplamente degenerado: que simetria emparelha $+m$ com $-m$? (c) Calcule a corrente de $\psi_m$ e o momento magnético “orbital” associado, se a partícula carrega carga $q$. (d) Os seis elétrons móveis do benzeno vivem num anel de $b \approx 1.4\,\text{Å}$: estime a energia do fóton da primeira excitação permitida ($m = \pm1 \to \pm2$) e compare com a absorção ultravioleta do benzeno perto de $180\,\mathrm{nm}$ — um anel, nenhuma química.

**Solução de Exercício 7.5.**

(a) Univocidade: $\psi(\varphi + 2\pi) = \psi(\varphi)$ obriga $\eu^{2\pi\iu m} = 1$. (b) $E_m = \hbar^2m^2/2Mb^2$; os estados $\pm
m$ circulam em sentidos opostos e são trocados por uma reflexão especular (ou pela inversão temporal) — uma simetria do anel, daí a degenerescência. (c) A espira de corrente $I = q\hbar m/2\pi Mb^2$ carrega o momento magnético $\mu = I\pi b^2 = m\,q\hbar/2M$ — quantizado em passos de $q\hbar/2M$, o padrão do magnéton de Bohr do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/10-momento-angular-quantico#ch-b3-quantum-angular-momentum). (d) $\hbar^2/2m_{\text{e}}b^2 = 1.9\,\mathrm{eV}$; os seis elétrons preenchem $m = 0, \pm1$, e a primeira excitação $\pm1 \to \pm2$ custa $(4-1) \times 1.9 \approx 5.8\,\mathrm{eV}$, isto é, $\lambda \approx
210\,\mathrm{nm}$ — a vizinhança ultravioleta certa, a partir de um anel e de mais nada.

**Exercício 7.6 ★★.**

Degenerescências do oscilador isotrópico. (a) Mostre que o número de ternos com $n_x + n_y + n_z = n$ é $(n+1)(n+2)/2$. (b) Liste as populações das camadas para $n = 0$ a $3$, dobradas pelo spin. (c) Mostre que os preenchimentos acumulados são $2, 8, 20, 40, \dots$: os três primeiros coincidem com os números “mágicos” de núcleons extraestáveis da física nuclear — o que a falha em $40$ (os mágicos reais: $28$, $50$) sugere sobre o potencial nuclear? (d) Por que o padrão irregular de níveis da caixa, ao contrário do oscilador, não produz estrutura de camadas marcante?

**Solução de Exercício 7.6.**

(a) Escolha $n_x = 0..n$ e $n_y = 0..n - n_x$: $\sum_{n_x}(n - n_x
+ 1) = (n+1)(n+2)/2$. (b) Com spin: $2, 6, 12, 20$; acumulados $2,
8, 20, 40$. (c) $2$, $8$ e $20$ são mágicos; a falha adiante diz que o poço nuclear não é harmônico — tem fundo mais chato e, sobretudo, um forte acoplamento spin–órbita que reembaralha as camadas em $28, 50, 82$. (d) A estrutura de camadas exige níveis *agrupados* e separados por lacunas; os níveis da caixa se espalham irregularmente, sem grandes lacunas, e por isso nenhum padrão de estabilidade do tipo nuclear emerge.

**Exercício 7.7 ★★.**

O poço esférico infinito (raio $R$): usando o truque da onda $s$, (a) encontre os níveis $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$ e as funções de onda $u_n$; (b) calcule $E_1$ para um núcleon ($Mc^2 =
939\,\mathrm{MeV}$) em $R = 5\,\mathrm{fm}$ (use $\hbar c =
197.3\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$); (c) compare com os espaçamentos medidos de níveis de núcleon, de alguns MeV, em núcleos médios; (d) onde é mais provável encontrar a partícula no estado fundamental — calcule o máximo de $|u_1|^2$ e contraste com a resposta da caixa unidimensional para $|\varphi|^2$.

**Solução de Exercício 7.7.**

(a) $u_n = \sqrt{2/R}\sin(n\pi r/R)$, $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$. (b) $E_1 = \pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939 \times
25) = 8.2\,\mathrm{MeV}$. (c) A escala certa: os núcleons nos núcleos são estados quânticos espaçados de MeV, como mostram seus espectros. (d) $|u_1|^2$ tem máximo em $r = R/2$: a probabilidade radial é maior a meio caminho da borda (o $r^2$ do elemento de volume, escondido em $u = r\varphi$, empurra o máximo para fora do centro), ao passo que o $|\varphi|^2$ da caixa unidimensional tem máximo no centro.

**Exercício 7.8 ★★.**

Contar elétrons num metal. (a) A partir da [Proposição 7.5](#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) com dois estados de spin, mostre que preencher $N$ elétrons num volume $V$ alcança a energia de Fermi

$$
E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}\,(3\pi^2n)^{2/3} ,
\qquad n = N/V .
$$

(b) Avalie-a para o cobre. (c) Calcule a velocidade de Fermi correspondente e a temperatura $E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$. (d) Numa frase: por que os elétrons não se acomodam todos no estado fundamental, e que princípio (antecipado aqui, demonstrado no [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles)) o proíbe?

**Solução de Exercício 7.8.**

(a) Faça $N = 2N_{\text{est}}(E_{\text{F}})$ e inverta a contagem. (b) Cobre: $E_{\text{F}} = 7.1\,\mathrm{eV}$. (c) $v_{\text{F}} =
\sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$. (d) Os elétrons são férmions idênticos: o princípio de exclusão de Pauli ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles)) admite no máximo dois por estado orbital, e por isso a multidão precisa se empilhar até energias de elétron-volt.

**Exercício 7.9 ★★.**

Profundidade mínima de um poço esférico. Para o poço finito ($-V_0$ para $r < R$), o estado fundamental de onda $s$ tem $u = \sin kr$ dentro e $\eu^{-\kappa r}$ fora. (a) Escreva $k$ e $\kappa$ e a condição de casamento $k\cot kR = -\kappa$. (b) Mostre que um estado ligado aparece pela primeira vez quando $kR = \pi/2$, exatamente em $E = 0$, dando $V_{0,\min} = \pi^2\hbar^2/8MR^2$. (c) Avalie-a para o dêuteron ($M \to \mu = m_{\text{p}}/2$, $R = 2.1\,\mathrm{fm}$). (d) Contraste com uma dimensão, em que o poço mais raso já liga: o que a parede $u(0) = 0$ muda fisicamente?

**Solução de Exercício 7.9.**

(a) $k = \sqrt{2M(V_0 - |E|)}/\hbar$, $\kappa = \sqrt{2M|E|}/\hbar$; a continuidade de $u'/u$ em $R$ dá $k\cot kR = -\kappa$. (b) Quando $|E|
\to 0$, $\kappa \to 0$: $\cot kR = 0$, $kR = \pi/2$, e então $V_0 =
\hbar^2k^2/2M = \pi^2\hbar^2/8MR^2$. (c) Com $\mu c^2 =
469\,\mathrm{MeV}$ e $R = 2.1\,\mathrm{fm}$: $V_{0,\min} = 23\,\mathrm{MeV}$. (d) A parede $u(0) = 0$ faz do estado $s$ tridimensional o análogo de um estado unidimensional *ímpar*, que precisa acomodar um quarto de onda dentro do poço: um poço raso não consegue, ao passo que em uma dimensão o estado par sem nós sempre liga.

**Exercício 7.10 ★★★.**

O dêuteron, resolvido. Com $\mu c^2 = 469\,\mathrm{MeV}$, $R =
2.1\,\mathrm{fm}$, $B = 2.22\,\mathrm{MeV}$: (a) calcule $\kappa$ a partir de $B$ e o comprimento da cauda $1/\kappa$; (b) escreva a condição de casamento e mostre que ela se torna $\cot kR = -\kappa/k$, com $k$ fixado por $V_0 - B$; (c) resolva para $V_0$ (itere: parta de $kR \approx 0.6\pi$) e dê $V_0$ ao MeV mais próximo; (d) calcule a probabilidade de os núcleons estarem mais afastados que $R$ (integre a cauda) e comente “um núcleo que vive quase todo fora da própria força”.

**Solução de Exercício 7.10.**

(a) $\kappa = \sqrt{2\mu c^2B}/\hbar c = \sqrt{2 \times 469 \times
2.22}/197.3 = 0.231\,\mathrm{fm}^{-1}$: comprimento da cauda $1/\kappa =
4.3\,\mathrm{fm}$, o dobro do alcance da força. (b) $k =
\sqrt{2\mu(V_0 - B)}/\hbar$ e $\cot kR = -\kappa/k$. (c) Iterando: $kR = 1.83$, $k = 0.87\,\mathrm{fm}^{-1}$, $V_0 - B = (\hbar ck)^2/\mu
c^2\cdot\tfrac12 \approx 31\,\mathrm{MeV}$: $V_0 \approx 34\,\mathrm{MeV}$. (d) Dentro: $\int_0^R\sin^2kr\,\dd r \approx 1.19\,\mathrm{fm}$; fora: $\sin^2(kR)/2\kappa \approx 2.0\,\mathrm{fm}$: cerca de $63\%$ da probabilidade fica *além* do poço — o dêuteron habita principalmente a região em que sua força de ligação já se esgotou, um halo puramente quântico.

**Exercício 7.11 ★★★.**

Ehrenfest e a continuidade em três dimensões. (a) Demonstre que $\dd\langle\vect r\rangle/\dd t = \langle\vect p\rangle/m$ a partir da equação da continuidade (integre $\vect r\,\partial_t\rho$ por partes). (b) Demonstre que $\dd\langle\vect p\rangle/\dd t =
-\langle\vect\nabla V\rangle$. (c) Sob que condição sobre $V$ o $\langle\vect r\rangle$ segue exatamente a trajetória clássica? (d) Dê um caso concreto em que isso não ocorre (um pacote dividido por um potencial de fenda dupla, digamos) e explique o que a média descreve então.

**Solução de Exercício 7.11.**

(a) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\,\partial_t\rho\,\dd^3r =
-\int x\operatorname{div}\vect\jmath\,\dd^3r = \int j_x\,\dd^3r =
\langle p_x\rangle/m$ (por partes, com os termos de fronteira nulos). (b) Derive $\langle\vect p\rangle = -\iu\hbar\int\psi^*\vect\nabla
\psi$ e use a equação duas vezes; os termos cinéticos se cancelam por partes, restando $-\int|\psi|^2\vect\nabla V$. (c) $V$ no máximo quadrático: então $\langle\vect\nabla V(\vect r)\rangle = \vect\nabla V(\langle
\vect r\rangle)$ exatamente. (d) Atrás de uma fenda dupla o pacote são dois lóbulos; $\langle\vect r\rangle$ desliza pelo eixo de simetria, onde a partícula praticamente nunca cai: a média descreve o centroide do conjunto, não a trajetória de ninguém.

**Exercício 7.12 ★★★.**

Por que os átomos não colapsam. Modele o estado fundamental do hidrogênio pela função de teste $\psi \propto \eu^{-r/a}$, com $a$ ajustável. (a) Admitindo $\langle E_k\rangle = \hbar^2/2m_{\text{e}}a^2$ e $\langle E_p\rangle = -e^2/4\pi\varepsilon_0a$, explique a origem de cada escala. (b) Minimize $E(a)$ e mostre que o ótimo é o raio de Bohr, com $E = -13.6\,\mathrm{eV}$. (c) Por que encolher $a$ abaixo do ótimo *eleva* a energia, embora o potencial se aprofunde? (d) O mesmo argumento com o $1/r$ substituído pela atração gravitacional entre elétron e próton: encontre o “raio de Bohr gravitacional” e conclua por que a gravidade não constrói átomo algum.

**Solução de Exercício 7.12.**

(a) Cinética: gradientes de escala $1/a$ dão $\hbar^2/2m_{\text{e}}
a^2$; potencial: a nuvem fica a distâncias $\sim a$, o que dá $-ke^2/a$ (por acaso, os coeficientes exatos valem $1$). (b) $\dd E/\dd
a = 0$ em $a = \hbar^2/m_{\text{e}}ke^2 = a_0$; $E(a_0) =
-ke^2/2a_0 = -13.6\,\mathrm{eV}$. (c) Abaixo de $a_0$ o custo cinético cresce como $1/a^2$, mais rápido que o ganho em $-1/a$: a localização é taxada pelo princípio de incerteza, e o átomo flutua no tamanho de equilíbrio. (d) Substitua $ke^2$ por $Gm_{\text{e}}m_{\text{p}} =
1.0 \times 10^{-67}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$: $a_{\text{grav}} = \hbar^2/m_{\text{e}}G
m_{\text{e}}m_{\text{p}} \approx 1.2 \times 10^{29}\,\mathrm{m}$ — maior que o universo observável: a gravidade é fraca demais para fechar uma órbita quântica, e constrói estrelas em vez de átomos.

## 7.5 Problema: A cor de um ponto quântico

**Problema 7.1.**

Problema de fim de semana — fabricar luz contando nanômetros

O Prêmio Nobel de Química de 2023 foi para a descoberta e a síntese dos pontos quânticos: cristalitos tão pequenos que as energias da partícula na caixa deste capítulo fixam sua cor, hoje brilhando em telas de televisão e marcando moléculas em células vivas. Este problema projeta um display de pontos a partir da equação de Schrödinger. Modelo: o par elétron–buraco opticamente ativo, de massa efetiva $\mu = 0.10\,m_{\text{e}}$ ($m_{\text{e}}c^2 = 511\,\mathrm{keV}$), confinado numa esfera de raio $R$; energia do fóton emitido

$$
E(R) = E_{\text{g}} + \frac{\pi^2\hbar^2}{2\mu R^2} ,
$$

com a banda proibida do material maciço $E_{\text{g}} = 1.74\,\mathrm{eV}$ (seleneto de cádmio). Use $\hbar c = 197.3\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ e $hc =
1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$.

**Parte I — A física da fórmula.**

1. De onde vem o termo $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ ? Deduza-o como o nível fundamental do poço esférico infinito, pela substituição da onda $s$ .
2. Por que o confinamento sempre *eleva* a energia emitida, e nunca a abaixa?
3. Avalie a energia de confinamento para $R = 10$ , $4$ , $2$ e $1\,\mathrm{nm}$ e identifique o tamanho a partir do qual ela deixa de ser uma pequena correção a $E_{\text{g}}$ .
4. O modelo ignora a atração elétron–buraco. Em que direção incluí-la deslocaria a emissão, e por que a omissão é melhor para pontos *pequenos* (compare as leis de escala $1/R^2$ e $1/R$ )?
5. O seleneto de cádmio maciço emite em que comprimento de onda? Em que parte do espectro ele fica?
6. Por que um frasco de solução de pontos brilha numa *única* cor pura, embora contenha $10^{15}$ pontos? Que propriedade da síntese está sendo certificada?

**Parte II — Projetar a paleta.** Um display precisa de vermelho $630\,\mathrm{nm}$, verde $530\,\mathrm{nm}$ e azul $460\,\mathrm{nm}$.

7. Converta cada comprimento de onda numa energia de fóton.
8. Para cada cor, calcule a energia de confinamento necessária e o raio do ponto.
9. Tabele: quantos átomos de diâmetro tem, grosso modo, cada ponto (espaçamento de rede $\approx 0.6\,\mathrm{nm}$ )?
10. O azul é o mais difícil para os pontos de seleneto de cádmio: a partir dos seus raios, explique por quê (o que acontece com a tolerância quando $R$ encolhe?).
11. Mostre que a sensibilidade da energia emitida ao tamanho é $$\frac{\dd E}{\dd R} = -\frac{\pi^2\hbar^2}{\mu R^3} ,$$ e avalie-a, em $\mathrm{meV}$ por nanômetro, no raio do ponto verde.
12. Um lote varia $\pm5\%$ em raio: calcule a dispersão de comprimento de onda da emissão verde e compare com a largura de linha de $\sim25\,\mathrm{nm}$ que um bom display tolera.
13. Por que os displays de pontos quânticos tiveram de esperar por uma química capaz de controlar o tamanho em *escala atômica* — e por que isso é um feito de nível Nobel?

**Parte III — Mais brilhante, mais puro, mais estranho.**

14. Os aparelhos modernos usam os pontos como conversores de cor: um LED azul ilumina pontos vermelhos e verdes. Por que a energia do fóton de bombeio precisa exceder a energia de emissão do ponto, e para onde vai a diferença?
15. Calcule a fração da energia de um fóton de bombeio de $460\,\mathrm{nm}$ perdida como calor quando um fóton vermelho de $630\,\mathrm{nm}$ é emitido.
16. Um ponto também pode *absorver* em muitos comprimentos de onda e *emitir* num só: explique, a partir da estrutura de níveis, por que a absorção é de banda larga e a emissão é estreita.
17. Os biólogos marcam proteínas com pontos de vários tamanhos excitados por uma única lâmpada ultravioleta: que propriedade dos pontos faz uma lâmpada bastar onde os corantes orgânicos precisam de um laser por cor?
18. Estime o número de átomos do ponto vermelho ( $4/3\pi R^3$ , com volume atômico $\sim(0.3\,\mathrm{nm})^3$ ): “átomo artificial” é um nome justo para um objeto desse tamanho com níveis discretos?
19. Numa frase: o que faz o papel do “núcleo” nesse átomo artificial — o que segura o elétron?

**Parte IV — Confinamento por toda a física.**

20. A mesma estimativa $E_1 \sim \pi^2\hbar^2/2MR^2$ aplicada a um núcleon em $R = 3\,\mathrm{fm}$ dá que escala de energia? (É por isso que a física nuclear fala em MeV.)
21. Aplicada a um elétron confinado ao tamanho nuclear, ela dá que energia escandalosa — e o que isso argumenta a respeito de elétrons “dentro” do núcleo (um argumento que um dia matou uma teoria do decaimento beta)?
22. Aplicada a você ( $70\,\mathrm{kg}$ ) numa sala de $2\,\mathrm{m}$ : calcule a energia de confinamento e conclua.
23. Inverta a fórmula: em que tamanho de confinamento a energia de confinamento de um *elétron* alcança sua [energia de repouso](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) $m_{\text{e}}c^2$ — e que física nova (criação de pares de partículas, [Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#ch-b3-relativistic-dynamics) ) adverte que a equação de Schrödinger de uma partícula está então além de suas forças?
24. Enuncie a lei geral de escala: energia de confinamento em função da massa e do tamanho.
25. Resuma o resultado central: uma fórmula, $E_{\text{g}} + \pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ , transforma raios de $4.0$ , $2.5$ e $2.0\,\mathrm{nm}$ em vermelho, verde e azul — cor fabricada contando nanômetros, à venda em qualquer loja de eletrônicos.

**Solução de Problema 7.1.**

**1.** Onda $s$: $u = rR$ obedece à equação livre unidimensional dentro da esfera com $u(0) = u(R) = 0$: $u \propto \sin(\pi r/R)$, de energia $\pi^2\hbar^2/2\mu R^2$. **2.** A energia fundamental de uma caixa é positiva e cresce quando a caixa encolhe — localizar custa sempre energia cinética (princípio de incerteza); ela só pode somar-se à banda proibida. **3.** Com $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$: $0.04$, $0.24$, $0.94$, $3.8\,\mathrm{eV}$ — em $R \approx 2\,\mathrm{nm}$ a correção já rivaliza com a própria banda proibida. **4.** A atração baixa a energia do par: a emissão se desloca para o vermelho. Ela escala como $1/R$, contra o $1/R^2$ do confinamento: para pontos pequenos o termo de caixa vence e a omissão melhora. **5.** $1240/1.74 = 713\,\mathrm{nm}$: na borda vermelha da visão. **6.** Uma só cor vinda de $10^{15}$ emissores certifica que a síntese os fez todos do *mesmo tamanho* — a monodispersidade, o feito químico por trás da física. **7.** $1.97$, $2.34$ e $2.70\,\mathrm{eV}$. **8.** Confinamento de $0.23$, $0.60$ e $0.96\,\mathrm{eV}$: $R =
\sqrt{3.76/\Delta E}$ dá $4.0$, $2.5$ e $2.0\,\mathrm{nm}$. **9.** Diâmetros de $8.1$, $5.0$ e $4.0\,\mathrm{nm}$: cerca de $13$, $8$ e $7$ espaçamentos de rede de diâmetro. **10.** O ponto azul é o menor, onde $E$ depende de $R$ do modo mais abrupto: um erro de um plano de rede desloca mais a cor — os pontos pequenos são os menos tolerantes. **11.** Derivando: $\dd E/\dd R = -2\Delta E_{\text{conf}}/R
= -\pi^2\hbar^2/\mu R^3$; em $R = 2.5\,\mathrm{nm}$: $2 \times 0.60/2.5
= 0.48\,\mathrm{eV}/\mathrm{nm} = 480\,\mathrm{meV}/\mathrm{nm}$. **12.** $\pm 5\% = \pm0.125\,\mathrm{nm}$: $\Delta E = \pm
60\,\mathrm{meV}$, isto é, $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta E/hc \approx
\pm14\,\mathrm{nm}$ — uma dispersão de $\sim28\,\mathrm{nm}$, bem no limite da tolerância do display: cinco por cento é a *fronteira* da química aceitável. **13.** Porque a pureza de cor exige controle de tamanho no nível de um único plano de rede ao longo de $10^{15}$ partículas — o crescimento controlado alcançado por Ekimov, Brus e Bawendi, e citado pelo comitê Nobel de 2023. **14.** Um ponto só pode emitir na sua própria banda proibida (a mais baixa); absorver exige ao menos essa energia, e por isso o bombeio tem de ser mais azul. O excesso relaxa em vibrações da rede: calor. **15.** $1 - 460/630 = 27\%$ da energia de cada fóton de bombeio aquece a tela. **16.** Acima do nível emissor, o espectro do ponto é denso (muitos estados de caixa): a absorção tem êxito numa banda larga; a excitação então despenca até o estado excitado mais baixo, e a emissão ocorre a partir desse único nível: estreita. **17.** Todos os pontos absorvem de bom grado o mesmo ultravioleta (banda larga), enquanto cada tamanho emite a sua cor: uma lâmpada, muitos marcadores — o inverso da química dos corantes. **18.** $\tfrac43\pi(4.0)^3/(0.3)^3 \approx 10^{4}$ átomos: dez mil átomos compartilhando um único conjunto de níveis discretos, do tipo hidrogenoide — “átomo artificial” é um nome merecido. **19.** A fronteira do cristal: a parede confinante do grão semicondutor substitui a atração do núcleo como o agente que segura e quantiza o elétron. **20.** $\pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939
\times 9) \approx 23\,\mathrm{MeV}$: a física nuclear fala em MeV porque as caixas de femtômetro falam. **21.** Para um elétron, a estimativa de caixa torna-se relativística; honestamente, $E \sim \pi\hbar c/R \approx 200\,\mathrm{MeV}$ — e, no entanto, os elétrons beta saem com alguns MeV: os elétrons não podem ser constituintes dos núcleos, o argumento que enterrou o velho modelo núcleo-elétron e preparou a invenção do neutrino. **22.** $\pi^2\hbar^2/2ML^2 \approx 2 \times 10^{-70}\,\mathrm{J}$: trinta e nove ordens abaixo do ruído térmico — as pessoas não estão confinadas quanticamente. **23.** $\pi^2\hbar^2/2m_{\text{e}}R^2 = m_{\text{e}}c^2$ em $R = \pi\hbar/\sqrt2\,m_{\text{e}}c \approx 0.9\,\mathrm{pm}$, a escala de Compton: ali a energia de confinamento basta para criar pares elétron–pósitron, e a equação de uma partícula abdica em favor da teoria quântica de campos. **24.** $E_{\text{conf}} \propto 1/MR^2$: partículas mais leves e caixas menores são mais quânticas, numa só fórmula. **25.** $E_{\text{g}} + \pi^2\hbar^2/2\mu R^2$ leva $4.0 \to$ vermelho, $2.5 \to$ verde e $2.0\,\mathrm{nm} \to$ azul: a partícula na caixa, ajustada por químicos ao nanômetro, acende a vitrine — a quantização por confinamento como eletrônica de consumo.